Teachers Info Nummer 16 / najaar 1999
Inhoud Colofon, namen en adressen
2
Nieuws en actueel
3
Actueel, over T3
4
Internet en software
5
Nieuwe producten
6
Financieel rekenen
7-8
Repeterende breuken Werkbladen Cabri
INFO
Op alle scholen is het studiehuis nu ingevoerd en dat betekent dat (bijna) alle leerlingen in de tweede fase over een grafische rekenmachine beschikken. We zijn trots dat de TI-83 door zovelen is gekozen en zullen ook in dit schooljaar ons best doen om u te begeleiden bij het gebruik van de grafische rekenmachine en u ook via Teachers Info op de hoogte te houden van nieuwe ontwikkelingen en u van ideeën voor het gebruik van de grafische rekenmachine in de klas te voorzien. Texas Instruments biedt echter meer dan de grafische rekenmachine. De tweeregelige TI-30X II is een voorbeeld van een andere nieuwe ontwikkeling. Daarnaast richt Texas Instruments zich steeds meer op de ontwikkeling en verspreiding van software. Cabri is al een tijdje eigendom van Texas Instruments en nu is ook het populaire computer algebra pakket Derive toegevoegd aan de TI producten. Het aantal Flash-toepassingen voor de TI-83 Plus en de TI-89 groeit snel en deze technologie lijkt een goede toekomst te hebben. Het nascholingsprogramma T3 draait nu ook op volle toeren. Over al deze activiteiten en nieuwe ontwikkelingen kunt u meer lezen in deze Teachers Info en natuurlijk ook op de Nederlandstalige TI website. We wensen u veel leesplezier.
Naast Teachers Info – dat twee à drie maal per schooljaar verschijnt – zijn nog er twee andere nieuwsbrieven die Texas Instruments verspreidt: TI producten is steeds gewijd aan één product met technische specificaties en voorbeelden voor gebruik in de klas en TI Support besteedt aandacht aan ondersteunende programma’s en producten. Met het formulier op de achterkant kunt u aangeven of en op welk adres u de nieuwsbrieven van TI (gratis) wilt ontvangen.
TEACHERS
Beste lezers, Dit is de laatste Teachers Info van deze eeuw en van dit millennium. Het is de eerste Teachers Info in een nieuwe vormgeving. De vormgeving is dezelfde als die van vergelijkbare nieuwsbrieven – ook in andere Europese landen – en Texas Instruments hoopt hiermee de herkenbaarheid van TI te verbeteren.
9 10-11
De redactie
1
Colofon TI Customer Support Center Zoals bij de meesten van U inmiddels bekend, heeft Texas Instruments een Customer Support Centre. Voor al Uw vragen kunt U hier terecht. Ondanks de Engelse naam wordt u gewoon in het Nederlands geholpen. Het nummer is: 020 - 58 29 490 Voor wiskundige vragen of het afspreken van gerichte trainingen op school: e-mail:
[email protected] Internet De officiële TI-website heeft het volgende adres: www.ti.com/calc/nederland Hier staan ook alle aanbiedingen en u kunt er informatie over cursussen en begeleiding door TI vinden.
Reacties De redactie van Teachers Info stelt reacties zeer op prijs. Een bijdrage die wordt geplaatst in Teachers Info wordt beloond met een TI-83. Met name ervaringen uit de klas worden zeer gewaardeerd. Redactie Frits Wilbers Redactie-adres: Texas Instruments t.a.v. Redactie Teachers Info Rutherfordweg 102 3542 CG Utrecht Grafische productie Elijzen grafische producties – Ede
TI Nederland Te koop via Texas Instruments Texas Instruments geeft een heel scala aan (vooral Engelstalige) boeken uit met achtergrondinformatie over TI-producten en met ideeën voor het gebruik van de TI rekenmachines in de klas. Een compleet overzicht met alle boeken en prijzen kunt u opvragen bij het Customer Support Center
Claire van Splunter, Customer Support Benelux
Jean Dorff, Educational Market Manager Benelux
Pieter Schadron, Onderwijskundige begeleiding en adviezen
Henk Velink, Sales Manager Benelux
2
Jean Dorff, de opvolger van Henk Velink Henk Velink heeft een nieuwe functie binnen Texas Instruments. Hij zal het komende schooljaar zijn taken wat betreft de contacten met het Nederlands (wiskunde-)onderwijs afstoten en zich uitsluitend gaan richten op de verkoop van alle TI producten in de Benelux. Jean Dorff is de nieuwe Educational Market Manager voor de Benelux. Eén van zijn taken is het onderhouden van contacten met het onderwijsveld in België en Nederland. Op beurzen en conferenties zult u hem dit schooljaar wellicht tegenkomen. De redactie vindt het erg jammer om afscheid van Henk Velink te nemen, maar gelukkig verdwijnt hij niet helemaal uit beeld. Op conferenties, studiedagen en andere bijeenkomsten zullen we hem minder vaak zien. Mede dankzij Henk heeft TI een goede naam en reputatie opgebouwd in het Nederlandse onderwijs. Henk dank.
Derive nu ook in de TI-stal Texas Instruments heeft gekozen om zich meer en meer op software te gaan richten. TI is daarmee meer dan “alleen maar” een rekenmachine-fabrikant. Het meetkundeprogramma Cabri is enkele jaren geleden overgenomen en geïmplementeerd in de TI-92. Inmiddels is er ook een Nederlandse Windows versie van Cabri zoals u in het vorige nummer van Teachers Info heeft kunnen lezen (zie ook pagina 5). Sinds deze zomer is nu ook het populaire symbolische computer algebra-pakket Derive eigendom van TI. Texas Instruments heeft Soft Warehouse Inc. – de makers van Derive en leiders in het ontwikkelen van computer algebra systemen – overgenomen. Er bestond al een hechte band tussen TI en Soft Warehouse; de symbolische algebra in de grafische rekenmachines van TI is in samenwerking met Soft Warehouse ontwikkeld.
Voor de gebruikers van Derive zal er niet veel veranderen, of zoals Albert D. Rich – één van de auteurs van Derive – het uitdrukte: ‘Het is tijd voor Derive om de grote wereld in te gaan en uit het comfortabele doch kleine nest van de ontwikkelaars te vliegen. TI is de beste partij om Derive groter en beter te maken en ik heb er het grootste vertrouwen in dat het eenvoudige en degelijke karakter van Derive onder hoede van TI behouden zal blijven.’
Correctie bij werkbladen Cabri In het vorige nummer stond de fraaie oogbalstelling. Helaas bevatte die een storende blunder. De aldaar geformuleerde stelling is gewoonweg onjuist. Gelukkig bleek deze onjuiste stelling nog zo inspirerend te zijn dat een aantal lezers de moeite nam om de onjuistheid te bewijzen. Voor de meeste leerlingen zal dat echter een erg hoog gegrepen opgave zijn. Om het allemaal weer goed te maken volgen aan het
eind van deze Teachers Info drie opdrachten over de oogbalstelling. De opdrachten staan op zichzelf. U kunt er dus een keuze uit maken. Excuses voor de fout en dank voor het opmerken hiervan. A. de Smit en J.M. Noteboom worden met name bedankt voor de heldere wijze waarmee ze ons op de fout wezen en vervolgens de ‘juiste stelling’ met behulp van schetsen bewezen.
Welke machine voor wie Op verzoek geven we hier een overzicht van de populairste (grafische) rekenmachines en voor welke schooltypen ze geschikt zijn.
schooltype
rekenmachine
Mavo, Vbo, onderbouw Havo en Vwo
TI-30 Solar TI-30X II
Bovenbouw Havo en Vwo, Mbo (met name sector techniek)
TI-83 TI-83 Plus Graph Link
Wetenschappelijk en hoger onderwijs (inclusief HEAO en SPD)
TI-83 TI-83 Plus TI-89 TI-92 II Graph Link
3
Nieuws van T3 Ook in dit nummer van Teachers Info wil ik u graag op de hoogte stellen van de recente ontwikkelingen van T3, het nascholingsprogramma rond het gebruik van ICT in de les, dat het APS in Nederland uitvoert. Dat T3 een internationaal project is, werd duidelijk op de Europese T3-conferentie die in augustus in Parijs plaatsvond. De verschillen tussen de deelnemende landen (alleen in Europa al meer dan 25) zijn opvallend. In bijvoorbeeld Portugal en Denemarken wordt het T3-project gesteund door de landelijke vereniging van wiskundeleraren, die er daar kennelijk niet voor terugschrikt om nauwere banden aan te gaan met een bedrijf, in dit geval Texas Instruments dat T3 initieert. In de zomer hebben de cursusactiviteiten grotendeels stilgelegen. Uitzondering was het bijzonder geslaagde zomersymposium Grafische en Symbolische Rekenmachine, een gezamenlijk initiatief van T3 Vlaanderen en T3 Nederland, dat eind augustus in Oostende plaatsvond. In een zeer gemoedelijke en inspirerende ambiance kreeg een zeventigtal deelnemers een vol programma voorgeschoteld, bestaande uit plenaire lezingen en werkgroepen over verschillende onderwerpen en op verschillende niveaus. Daarnaast boden de maaltijden en ‘de wandelgangen’ natuurlijk ruime gelegenheid tot ontmoetingen met collega’s en uitwisseling van ervaringen. Ietwat teleurstellend was de Nederlandse deelname, maar gelukkig is er komend jaar de mogelijkheid om ons te revancheren: het symposium vindt opnieuw plaats in Oostende op 22-24 augustus 2000. Een compacte en aangename manier om uw kennis op het gebied van ICT in het wiskundeonderwijs te ‘upgraden’!
En inmiddels is het nieuwe schooljaar weer begonnen. T3 biedt weer een uitgebreid programma aan, dat in het najaar onder meer de volgende cursussen bevat: • Masterclass Grafische Rekenmachine • Introductie TI-83 • De TI-83 bij Getal en Ruimte • De TI-83 bij Moderne wiskunde • De TI-83 bij Netwerk • De TI-83 bij Pascal • Werken met Cabri • Vervolgcursus Cabri • Introductie Symbolische Rekenmachine Daarnaast zijn er cursussen voor docenten natuurwetenschappen, en is een aanbod voor docenten economie / management & organisatie in voorbereiding. Inhoudbeschrijvingen van deze cursussen vindt u op de site van het APS: www.aps.nl/vo/vo.htm. Tevens staat daar specifieke T3-informatie. Eerder heb ik al vermeld dat deze cursussen aangepast aan uw specifieke situatie ook op uw school kunnen worden uitgevoerd. Dat betekent: geen reiskosten of reistijd voor de docenten, en de mogelijkheid voor een teamgerichte aanpak. U kunt ook uw collega’s van een school uit de omgeving erbij betrekken. Dit soort ‘maatwerk’ wint de laatste jaren aan populariteit. Heeft u belangstelling voor het T3-aanbod? Kijk dan in de aanbodbrochure van APS-wiskunde, die onlangs op de scholen is verspreid. U kunt ook op de APS-site kijken, of contact opnemen met het APS: APS Infopunt wiskunde postbus 85475 3508 AL Utrecht tel. : 030 - 2856722 email :
[email protected] URL : www.aps.nl/vo/vo.htm
TEXAS INSTRUMENTS your partner in Education 4
Paul Drijvers
Een Nederlandse TI-83 website ‘Ik ben 16 jaar en zit momenteel in de Tweede fase’, zo begint de inleiding op de officieuze Nederlandse TI–83 website. Hyperbyte, zoals de maker van deze website heet, heeft een unieke verzameling feitjes, tips, programma’s en spelletjes voor de TI-83 op zijn website neergezet. Het begon allemaal met het publiceren van een goedkoop alternatief voor de PC-GraphLink kabel, zodat hij zijn TI-83 aan een computer kon linken en leuke spelletjes kon downloaden. De spelletjes heeft Hyperbyte in-
middels allemaal op zijn site staan met een professioneel classificatiesysteem, hoe meer sterren hoe beter. Eén van de nuttige tips beschrijft heel helder wat je moet doen als je TI-83 het helemaal niet meer lijkt te doen. De site wordt regelmatig ge-update en is zeker een bezoek waard: www.hysoft-automation.com/hyperbyte Overigens heeft TI intussen een goedkopere PC GraphLink kabel op de markt gebracht (zie ook de aanbieding op de achterpagina)
Cabri voor Windows, kennismaken en toepassen In de reeks Wiskunde en ICT is bij Wolters Noordhoff een handleiding verschenen bij het programma Cabri II voor Windows. Het boekje is een verzameling opdrachten die geschreven is als een stapsgewijze introductie van Cabri. Het is bestemd voor leerlingen en voor docenten die op een snelle manier willen leren werken met het programma. Het eerste gedeelte, Kennismaken, verkent de mogelijkheden van Cabri. De opdrachten in het tweede gedeelte, Toepassen, zijn gericht op het ontdekken en bewijzen van stellingen en constructies uit de vlakke meetkunde. Deze opdrachten sluiten aan bij het nieuwe programma voor de vlakke meetkunde in het profiel Natuur en Techniek.
Auteur: Jeroen Zijlstra (Freudenthal Instituut) Uitgever: Wolters Noordhoff, Groningen ISBN: 90 01 83297 0 Prijs: f 8,40
Nederlandse Cabri voor Windows Cabri is hèt meetkunde programma voor het domein Voortgezette Meetkunde. Cabri wordt geleverd in een Nederlandstalige versie voor Windows. Cabri is beschikbaar in de volgende uitvoeringen: • Cabri Site (de netwerklicentie, op één locatie) f 1499,• Cabri Single (voor individueel gebruik) f 299,-
Cabri wordt geleverd door DÆDALUS ONDERWIJSPRODUCTIES.
Voor gebruikers van de nieuwe tweede fase edities van Getal en Ruimte, Moderne wiskunde en Netwerk is er een speciale aanbieding: • Cabri Single zal met de betreffende delen worden meegeleverd. • De school kan Cabri Site (de netwerklicentie) aanschaffen voor de gereduceerde prijs van f 750,- (excl f 35,- administratie en verzendkosten).
DÆDALUS ONDERWIJSPRODUCTIES Postbus 60 9350 AB LEEK
DÆDALUS biedt u een compleet product: • Technische ondersteuning bij installatie in het netwerk (gratis); • Didactische ondersteuning via een start-cursus. Voor meer informatie:
telefoon telefax
: 0594-516751 : 0594-517181
Voor de meest recente informatie zie ook onze website: www.xs4all.nl/~educad
Alle genoemde bedragen zijn exclusief 17.5% btw. Prijswijzigingen voorbehouden.
5
De Presenter als alternatief voor een OHP TI heeft een nieuw product ontwikkeld waardoor het nu ook mogelijk is om elke grafische rekenmachine van TI te koppelen aan een standaard TV, videorecorder of grootbeeldprojector. U heeft geen (aparte) overheadprojector meer nodig om het scherm van een grafische rekenmachine groot te projecteren. Het kastje, de zogenaamde Presenter, kan alleen aangesloten worden op een docentenmodel van een grafische rekenmachine. Meer informatie over de Presenter kunt u vinden op de website van TI.
Een eenvoudig kastje om de grafische rekenmachine aan een TV te koppelen.
De TI-34 II en de TI-30X II In het vorig nummer van Teachers Info hebben we uitgebreid aandacht besteed aan de TI-30X II. Deze nieuwe tweeregelige wetenschappelijke rekenmachine zal de opvolger worden van de populaire TI-30Xa. Speciaal voor docenten is er een aanbieding om de TI–30X II voor een probeerprijs aan te schaffen (zie de achterkant van deze Teachers Info).
TI-30X II
Sinds de zomer is er een nieuwe tweeregelige rekenmachine bijgekomen: de TI-34 II. Dit zal de opvolger worden van de TI-40 Solar. De TI–34 II kan meer dan de TI-30X II: kan delen met gehele getallen, werkt met een symbolische π, kan meerdere talstelsels aan, en beschikt over logische operatoren.
TI-34 II
Docenten kunnen ook de TI-34 II tegen een gereduceerde prijs aanschaffen (zie bestelformulier op de achterkant).
Flash toepassingen voor de TI-83 Plus en TI-89 In vorige nummers van Teachers Info hebben we het over FLASH technologie gehad, de technologie waardoor het mogelijk is om de software van de TI–83 Plus en de TI–89 te upgraden en uit te bereiden. Inmiddels is er al een aantal toepassingen beschikbaar, waaronder: •
Interactief grafieken tekenen, wat gebeurt er met de grafiek van een functie als de coëfficiënten veranderen?
6
•
Een Nederlandse versie van commando’s, foutmeldingen en functies van de rekenmachine.
•
Geavanceerde statistiek, waaronder meervoudige regressie-analyse.
•
Organiser, maak van uw TI-83 Plus of TI-89 ook uw elektronische agenda.
De toepassingen en meer informatie over deze en andere toepassingen zijn verkrijgbaar via de internationale website van TI: www.ti.com/calc/
Het gebruik van de FINANCE-mode bij de TI-83 (deel 1) De TI-83 (en de TI-83 Plus) beschikt over financiële functies, waarmee financieel rekenen een stuk eenvoudiger wordt. Veel van de standaardberekeningen zitten als kant en klare opdrachten in de TI-83. Hierdoor is de TI-83 ook voor economische wetenschappen een heel geschikte machine. J. Wagensveld gaat in het volgende artikel aan de hand van enkele voorbeelden in op de zogenaamde TVM-solver (time, value, money). In het volgende nummer van Teachers Info volgt deel twee.
Voorbeeld 1 Berekening van de maandannuïteit voor een lening van ƒ 250.000,- bij een periode van 20 jaar en een nominale rentevoet van 7%, bij respectievelijk - een evenredig percentage per maand - een gelijkwaardig percentage per maand, Effectief Kredietpercentage op Jaarbasis (EKJ)=12 - continue interest.
Het FINANCE-programma bestaat uit CALCulatie en VARS. Door middel van het menu FINANCE VARS is het mogelijk om waarden in TVM-variabelen op te slaan. Het FINANCE CALC menu bevat de volgende onderdelen.
Voorbeeld 2 Berekening van het nominale percentage bij het voorgaande voorbeeld als de annuïteit wordt vastgesteld op ƒ 2.000,- per maand in elk van de drie gevallen.
CALC 1 bevat de TVM Solver. Dit is een programma dat de volgende variabelen berekent als de overige bekend zijn. N = aantal perioden I% = percentage per jaar PV = present value, contante waarde PMT = payment, annuïteit FV = future value, eindwaarde P/Y = aantal payments per jaar, aantal (betalings) perioden per jaar C/Y = aantal compounding perioden per jaar, de rentefrequentie per jaar PMT:END BEGIN, postnumerando of prenumerando betalingen.
7
De menu-opties CALC 2 t/m 6 bevatten de variabelen Pmt, I%, PV, N en FV. CALC 7 en 8 bevatten de menu-opties npv(, net present value en irr(, internal rate of return. Deze twee menuopties zullen in deel twee van deze bijdrage behandeld worden (zie het volgende nummer van Teachers Info). CALC 9, bal( geeft de mogelijkheid om bij het annuïteitenprogramma de schuldrest (balance) na een aantal betalingen te vinden. bal(2) geeft de schuldrest als er twee annuïteiten zijn betaald. bal(60,2) geeft de schuldrest na 60 annuïteiten, waarbij afgerond werd op centen nauwkeurig.
CALC 0 ΣPrn( en CALC A ΣInt( geven de som van de aflossingen en de som van de interestbedragen in een periode. Er is een controlemogelijkheid doordat de som van aflossing en interest steeds gelijk is aan de annuïteit. Ga dit na in de schema’s (zie de schermafdrukken hierna).
drs. J. Wagensveld RA
8
Werken met Cabri deel II Opdracht A: Bewijs de oogbalstelling Gegeven zijn twee cirkels met middelpunten A en B. Vanuit elk middelpunt zijn de raaklijnen naar de andere cirkel getrokken. Bewijs dat de lijnstukken PQ en RS gelijk zijn. Aanwijzing: maak voor de constructie gebruik van de raaklijn-macro (zie kader).
Q
A•
• •
P
S
• • R
•B
Hoe maak je een raaklijn-macro? • • • • • • • • • • • • •
Begin met een leeg scherm. Teken een cirkel met middelpunt A. Teken een punt B buiten de cirkel Teken het midden M tussen het middelpunt en het getekende punt. Teken de cirkel met M als middelpunt die door A en B gaat. Teken het snijpunt P van beide cirkels. Trek de halve lijn van B naar P. Verberg M, de tweede cirkel en punt P. Kies Beginobjecten uit het maco-menu . Wijs aan: de cirkel en punt B. Kies Eindobjecten uit het macro-menu. Wijs aan: de halve lijn. Kies: Definieer macro. Er verschijnt nu een apart menu waarmee je de macro een naam kunt geven en kunt bewaren. De nieuwe macro wordt nu onder het macro-menu opgenomen.
Opdracht Maak nu een macro die beide raaklijnen aan de cirkel tekent.
9
Werken met Cabri deel II Opdracht B: Onderzoek de oogbalsituatie Gegeven zijn twee cirkels met middelpunten A en B. Vanuit elk middelpunt zijn de raaklijnen naar de andere cirkel getrokken.
Q
A•
• •
P
S
• • R
•B
In de figuur lijken de bogen PQ en RS aan elkaar gelijk te zijn. Hetzelfde geldt misschien voor de lijnstukken PQ en RS. Onderzoek met Cabri wat er aan de hand is en geef een bewijs van je vermoeden. Aanwijzing: maak voor de constructie gebruik van de raaklijn macro.
Opdracht C: Bewijs de onjuistheid van de oogbalsituatie Gegeven zijn twee cirkels met middelpunten A en B. Vanuit elk middelpunt zijn de raaklijnen naar de andere cirkel getrokken.
Q
A•
• •
P
S
• • R
•B
In de figuur lijken de bogen PQ en RS aan elkaar gelijk te zijn. Hetzelfde geldt misschien voor de lijnstukken PQ en RS. Bewijs dat de gelijkheid wel opgaat voor de lijnstukken PQ en RS . Bewijs dat die niet geldt voor de bogen PQ en RS. Aanwijzing: maak voor de constructie gebruik van de raaklijn-macro.
10
Repeterende breuken Dit is het laatste jaar van de eeuw en tevens het laatste jaar van het millennium Bovendien duurt het nog even voor we weer in een priemjaar leven. Dit inspireerde T. van Amsterdam tot de volgende bijdrage. Een bekende stelling uit de getaltheorie zegt, dat wanneer het getal N priem is en ongelijk aan 2 of 5, de reciproque van N een repeterende breuk is waarvan de periode een lengte heeft die deler is van N – 1. •
Zo is voor N = 7 de periode van
1 gelijk aan 142857. 7
Dit zijn zes cijfers en 6 is een deler van 6 = 7 – 1. •
1 gelijk aan 027. 37
Voor N = 37 telt de periode van
Dit zijn drie cijfers en 3 is een deler van 36 = 37 – 1 •
Voor N = 13 telt de periode van
1 zes cijfers. 13
En 6 is een deler van 12 = 13 – 1 •
Voor N = 41 is de lengte van de periode van
1 vijf. 41
Het programmaatje luidt als volgt:
PROGRAM:REPET :Prompt N :1 -> A :0 -> D :Lbl 1 :iPart (A/N) -> B :A-N*B -> R :10000000000*R -> A :Disp “VOLGENDE CIJFERS:”,B :Disp “AANTAL DECIMALEN:”,D :Pause :ClrHome :D+10 -> D :Goto 1 :End Opmerking1 Het programmaatje heeft een manco. De eventuele nul of nullen aan de voorkant van de tien cijfers wordt of worden niet getoond. Geen nood: het eerste cijfer hoort direct onder de “D” toets van VOLGENDE te staan. Wanneer u dus voor N = 1999 kiest en tweemaal op de ENTER-toets drukt, luidt het begin van de tekst:
VOLGENDE
CIJFERS 5002501
En 5 is een deler van 40 = 41 – 1. Drie jaar geleden, toen het jaar 1997 aanbrak, realiseerde ik me dat 1997 priem is en ik vroeg me af uit hoeveel cijfers de periode van
1 zou bestaan. 1997
Ik schreef toen voor mijn TI-83 een programmaatje, dat mij leerde dat deze periode uit 998 cijfers bestaat; 998 is de op één na grootste deler van 1996 = 1997 – 1. Ook het jaartal dat thans op de kalender prijkt, 1999, is priem en ik kon het niet nalaten de lengte van de periode van
1 te bepalen. 1999
Hiervoor moeten drie nullen staan om aan tien cijfers te komen: onder de “D”, de “E” en de spatie. En nu maar een aantal keren op de ENTER-toets drukken en goed opletten wanneer u de combinatie 0005002501 of een gedeelte ervan wéér ziet. Opmerking 2 Het programmaatje is natuurlijk ook bruikbaar voor N is niet priem. Zo blijkt de lengte van de periode van 1 gelijk aan zes, deler van 7 – 1. En 7 is de grootste 63 priemfactor van 63. Opmerking 3 2 Om de periode van te leren kennen, vult u voor 63 N = 31.5 in. Immers 63 : 2 = 31.5. Ook hiervan blijkt de lengte van de periode gelijk aan zes. Veel plezier
TEXAS INSTRUMENTS voor betere ondersteuning
Allen alvast een in alle opzichten voorspoedig 2000 toewensend,
T. van Amsterdam
11
