2015.05.19.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 1. Defin´ıci´o szerint ´es form´ alisan is hat´ arozzuk meg a h(x) =
p 3x − x2 f¨ uggv´eny deriv´ altj´ at az x = 2
helyen.
8pt
2. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ert´ekeket:
10pt
p p (i) lim n2 − π − n2 − 2n , n→∞
(ii) lim
n→∞
n+3 2n − 1
n−1
.
3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) = x ln2 x f¨ uggv´enyt.
15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
0 −1
ds , s2 − 2s + 2
(ii)
32pt Z
3
∞
1 dt, t2 − 2t
(iii)
Z
3 1
√
x x2
+4
dx.
Seg´edlet: Z 1 xα+1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
xα dx =
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) A -2 korl´ atja az {bn } sorozatnak.
5pt
(ii) g(x) konvex [−1, 3]–n.
5pt
(iii) A korl´ atos H sz´ amhalmaz infimuma.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim f (x) = ∞.
5pt
(v) Darboux–f´ele fels˝ o integr´ alk¨ ozel´ıt˝ o¨ osszeg (r´eszletesen).
5pt
x→−∞
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2015.05.26.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 2n2 − 5 = 2. n→∞ n2 − n + 3
1. Defin´ıci´o alapj´ an ´es form´ alisan is igazoljuk, hogy lim 2. Hat´ arozzuk meg az f (x) =
9pt
√ 3 1 − x f¨ uggv´enynek az a = 0 pont k¨ or¨ uli harmadrend˝ u Taylor–f´ele poli-
nomj´at, tov´ abb´ a becs¨ ulj¨ uk meg
√ 3 2 ´ert´ek´et.
9pt
2
3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) = xe−x f¨ uggv´enyt.
15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
0
32pt
1 2
3 12
v (3 + 5v )
dv,
(ii)
Z
1
2
du , u3 + u2
(iii)
Z
∞
xe3−2x dx.
0
Seg´edlet: Z xα+1 1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . 2 ln a 1−x Z
xα dx =
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) Az {xn } sorozat szigor´ uan monoton cs¨ okken.
5pt
(ii) A h(x) f¨ uggv´eny line´ arisan approxim´ alhat´ o a −1 pontban.
5pt
(iii) A {cn } sorozat r´eszsorozata a {bn } sorozatnak.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim f (x) = −3.
5pt
(v) A Lagrange–f´ele marad´ektag.
5pt
x→2−
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2015.06.02.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: p 3an−1 − 2 (n > 1) rekurz´ıv sorozatot. √ 2n2 + 5 2. Defin´ıci´o szerint ´es form´ alisan is igazoljuk, hogy lim = ∞. n→∞ n−4
10pt
3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) = xe−x f¨ uggv´enyt.
15pt
1. A tanult m´ odon vizsg´ aljuk az a1 = 3, an =
10pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
30pt
π/2
−π/4
x cos 2x dx,
(ii)
Z
0
∞
ue
−u2
du,
(iii)
Z
0
1 3
t −1 dt. t+2
Seg´edlet: Z 1 xα+1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = arctg x + C = − arcctg x + C, 2 dx = − ctg x + C, 2 x +1 sin x Z Z Z 1 ax x x √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, e dx = e + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
xα dx =
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) Az (xn ) sorozat korl´ atos.
5pt
(ii) A g(x) f¨ uggv´eny monoton n˝ o [c, d]–n.
5pt
(iii) A h(x)–nek az x = −1 pont kritikus pontja.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim f (x) = −∞.
5pt
(v) Integr´ alf¨ uggv´eny.
5pt
x→−2
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2015.06.09.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: n3 − n + 1 = ∞. n→∞ 3 − n + 2n2
1. Defin´ıci´o szerint ´es form´ alisan is igazoljuk, hogy lim
10pt
2. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ert´ekeket:
10pt
√ n 3−1 √ , (i) lim n→∞ 1 − n 9 3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) =
(ii) lim
x→0
1 − cos x . x2
x f¨ uggv´enyt. − x)
20pt
ex (1
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
2
3
u3 + u + 1 du, u2 − 1
25pt
(ii)
Z
∞ 2
ve1−v dv . 0
Seg´edlet: Z 1 xα+1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
xα dx =
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) Az {an } sorozat hat´ ar´ert´eke 3.
5pt
(ii) A g(x) szigor´ uan monoton cs¨ okken a [0, 2]–on.
5pt
(iii) Az f (x) f¨ uggv´enynek inflexi´ os pontja van az x = −2 helyen.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim f (x) = ∞.
5pt
(v) Az integr´ alhat´ o f (x) f¨ uggv´eny integr´alk¨ ozepe a [c, d]–on.
5pt
x→4+
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2015.06.16.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 1. Line´ aris transzform´ aci´ ok seg´ıts´eg´evel a´br´ azoljuk az f (x) = 1 − e2+3x f¨ uggv´enyt.
8pt
2. Hat´ arozzuk meg az f (t) = t3 − 4t2 + 16 f¨ uggv´eny sz´els˝ o´ert´ekeit a [−2, 2] halmazon. √ 3 3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) = 2x + 2 − 3 x2 f¨ uggv´enyt.
7pt 15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
π/4
−π/3
2
cos t dt,
(ii)
35pt Z
ln 9
ln 4
e
−y/2
dy,
(iii)
Z
1
3
x2
1 dx. −4
Seg´edlet: Z 1 xα+1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = arctg x + C = − arcctg x + C, 2 dx = − ctg x + C, 2 x +1 sin x Z Z Z 1 ax x x √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, e dx = e + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
xα dx =
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) Az {an } sorozat monoton n˝ o.
5pt
(ii) A g(x) f¨ uggv´eny differenci´ alhat´ o a −3 pontban.
5pt
(iii) A korl´ atos H sz´ amhalmaz supremuma.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim f (x) = −1.
5pt
(v) Riemann–f´ele integr´ alk¨ ozel´ıt˝ o¨ osszeg (r´eszletesen).
5pt
x→−2
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2015.06.23.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 1. A tanult m´ odon vizsg´ aljuk az a1 = 4, an =
p an−1 + 6 (n > 1) rekurz´ıv sorozatot.
2. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ert´ekeket:
9pt 9pt
√ (i) lim n 7n − 2 · 4n , n→∞
(ii) lim
n→∞
2n − 1 2n + 3
n+3
.
3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) = x2 ln x f¨ uggv´enyt.
15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
1
2
√ 3 sin( t − 1) √ dt , t
(ii)
32pt Z
1
∞
dz , z 2 + 4z + 2
(iii)
Z
2
3
x ln(2x − 3) dx.
Seg´edlet: Z xα+1 1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . 2 ln a 1−x Z
xα dx =
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) Az {xn } sorozat alulr´ ol korl´ atos.
5pt
(ii) A H sz´amhalmaznak a −1 supremuma.
5pt
(iii) Az f (x) f¨ uggv´enynek konk´ av a [c, d]–n.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim f (x) = −∞.
5pt
(v) Darboux–f´ele als´ o integr´ alk¨ ozel´ıt˝ o¨ osszeg (r´eszletesen).
5pt
x→∞
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2015.06.30.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 1. Hat´ arozzuk meg az f (x) =
p x2 + e−x + 2x + 1 f¨ uggv´enynek az x = 0 pontba h´ uzott ´erint˝ oegyenes´enek
az egyenlet´et.
5pt
2. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ert´ekeket:
10pt
5 + n3 , n→∞ 3 − 2n−1
1 − x3 . x→1 x2 − 1
(i) lim
(ii) lim
√ 3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) = x2 − 3 x2 f¨ uggv´enyt.
15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
0
1
x2 + 1 dx, x2 − 6x + 9
35pt
(ii)
Z
0
1
se
2s−1
ds,
(iii)
Z
2
3
t
p 5 t2 − 4 dt.
Seg´edlet: Z 1 xα+1 x dx = + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
α
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) A {bn } sorozat konverg´ al −2–h¨ oz.
5pt
(ii) A h(x) f¨ uggv´enynek helyi maximuma van −1–ben.
5pt
(iii) A g(x) f¨ uggv´eny differenci´ alhat´ o a c pontban.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an
lim f (x) = 2.
x→−1+
(v) Az f (x) f¨ uggv´eny egyenletesen folytonos a [2, 3]–on.
5pt
5pt
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
