Modelování v ekonomice, lékařství, chemii Petr Hušek
Modelování v ekonomice, lékařství, chemii Petr Hušek
[email protected] katedra řídicí techniky Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze
MAS 2012/13
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 2/21
Co se dnes dozvíme?
Jak vypadá základní model ekonomiky, tzv. HarrodDomarův model růstu Jak modelovat šíření epidemie v populaci Jak se šíří inzulín v krvi Jak vypadají základní modely v chemii
MAS 2012/13
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 3/21
Modely v ekonomii
základní modely vycházejí z ekonomických zákonů fungují jen v malém rozsahu, mnoho zjednodušujících předpokladů, zanedbávají mnoho vnějších vlivů složitější modely stochastické, experimentální, aproximace statistických řad
MAS 2012/13
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 4/21
Harrod-Domarův model růstu
vznikl ve 40.letech 20.století základní makroekonomický model zástupce keynesovské školy – zvyšování objemu peněz vede ke snižování nezaměstnanosti x monetaristická škola (M. Friedman) – dlouhodobě tomu tak není, dochází k inflaci
Roy Forbes Harrod (1900-1978) MAS 2012/13
ČVUT v Praze
Evsey David Domar (1914-1997) 14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 5/21
y(t) – hrubý národní produkt (GDP) s(t) – úspory (savings)
s (t ) = a ⋅ y (t ) K(t) – kapitálové rezervy nutné pro vytvoření GDP s(t) – úspory (savings)
K (t ) = b ⋅ y (t ) a – savings ratio b – incremental capital-output ratio (ICOR) MAS 2012/13
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 6/21
předpoklady:
ΔK (t ) = b ⋅ Δy (t ) investice
I (t ) = s (t ) = ΔK (t )
Δy (t ) a = =g y (t ) b g – index růstu GDP
diferenciální rovnice:
⎛a ⎞ y (t + 1) − ⎜ + 1⎟ y (t ) = 0 ⎝b ⎠ - exponenciální růst
MAS 2012/13
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 7/21
Příklad Indie
Čína
GDP/obyvatel 769$ v 1960
GDP/obyvatel 564$ v 1960
Index růstu (1960-1980) 2%
Index růstu (1960-1980) 1.3%
(1980-2000) 2.5%
(1980-2007) 8%
(2000-2007) 6.5% MAS 2012/13
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 8/21
vyvoj GDP
6000
2.5 GDP Indie GDP Cina
4000 3000 2000
1.5 1 0.5
1000 0 1960
vyvoj GDP
4
GDP CR GDP Indie GDP Cina
2 GDP [$/obyvatel]
GDP [$/obyvatel]
5000
x 10
1970
1980
1990
2000
2010
rok
2000
2005
2010
rok
GDP/obyvatel v 2007 [USD]: 1. Katar 2. Lucembursko 8. USA 26.Japonsko 40. ČR 45. Slovensko 105. Čína MAS 2012/13
0 1995
80900 80500 45800 33600 24200 20400 5300
ČVUT v Praze
Růst GDP v 2007 [%]: 1. Azerbajdžán 10. Čína 15. Slovensko 19. Indie 70. ČR 179. USA 185. Japonsko
23.4 11.4 10.4 9.6 6.0 2.2 1.9
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 9/21
Modely v lékařství Model šíření epidemie SIR S(t) – počet náchylných k onemocnění (susceptible) I(t) – počet infikovaných, šíří nákazu mezi S(t) (infected) R(t) – počet jedinců, kteří nejsou nakažení ani chorobu nemohou šířit, imunní, izolováni (removed)
ΔS = −α SI ΔI = α SI − β I ΔR = β I MAS 2012/13
ČVUT v Praze
T =1
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 10/21
1
Sireni epidemie, alfa = 0.5, beta = 0.3
1 0.8 S(t) I(t) R(t)
0.6
S(t),I(t),R(t)
S(t),I(t),R(t)
0.8
0.4 0.2 0 0
0.4 0.2
20
40
60
80
0 0
100
Sireni epidemie, alfa = 0.8, beta = 0.2
20
40
60 80 t Sireni epidemie, alfa = 0.2, beta = 0.8
0.8 S(t),I(t),R(t)
S(t),I(t),R(t)
1
S(t) I(t) R(t)
0.8 0.6 0.4
100
S(t) I(t) R(t)
0.6 0.4 0.2
0.2 0 0
S(t) I(t) R(t)
0.6
t
1
Sireni epidemie, alfa = 0.3, beta = 0.5
20
40
60
80
100
20
40
60
80
100
t
t
MAS 2012/13
0 0
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 11/21
ΔI = α SI − β I ⇒
Rovnovážný stav: IS = 0
pro α S − β > 0 : závislost I(t) je rostoucí pro α S − β < 0 : závislost I(t) je klesající
β pro S (0) < nedojde k rozšíření epidemie α Sireni epidemie, alfa = 0.5, beta = 0.3, S(0)=0.6 1
S(t),I(t),R(t)
0.8
S(t) I(t) R(t)
0.6 0.4 0.2 0 0
20
40
60
80
100
t
MAS 2012/13
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 12/21
Model šíření inzulínu v krvi
modely různé složitosti model AIDA předpoklad stejné koncentrace v celém těle vhodný pro modelování inzulínového a glukózového testu testu Berger, M. a Rodbard, D.: Computer Simulation of Plasma Insulin and Glucose Dynamics After Subcutaneous Insulin Injection, The American Diabetes Association, Diabetes Care Vol. 12, No. 10, November/December 1989, 725–736.
MAS 2012/13
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 13/21
ΔI (t ) I abs (t ) = − ke I (t ) Δt Vi ⋅ m ΔI a (t ) = k1 I (t ) − k2 I a (t ) Δt st s (au (t ) + b) s u (t ) I abs (t ) = s s 2 t ( (au (t ) + b) + t )
Vi = 0.142l/kg, m = 80kg, k1 = 0.025h-1, k2 = 1.25h-1, ke = 5.4l/h
I(t) [U/l] – koncentrace inzulínu Ia(t) [U/l] – koncentrace aktivního inzulínu (výstup) u(t) [U] – dávka inzulínu (vstup) Vi [l/kg] – míra distribuce inzulínu m [kg] – hmotnost člověka ke [l/h] – míra vylučování inzulínu k1, k2, a, b, s – konstanty
MAS 2012/13
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 14/21
krátce působící inzulín: a=0.05, b=1.7, s=2 středně dlouho působící inzulín: a=0.18, b=4.9, s=2 dlouho působící inzulín: a=0, b=13, s=2.5 vstupem je konstantní velikost dávky inzulínu při inzulínovém testu Vstupni davka inzulinu
25
u(t) [U]
20 15 10 5 0
0
5
10
15
20
25
t [h]
MAS 2012/13
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 15/21
Kratce pusobici inzulin
1.6
0.7
1.4
0.6 0.5
1
I(t) [mU/l]
I(t) [mU/l]
1.2
0.8 0.6
0.4 0.3 0.2
0.4
0.1
0.2 0 0
Stredne dlouho pusobici inzulin
5
10
15
20
0 0
25
5
t [h] Dlouho pusobici inzulin
0.5
10
15
20
Koncentrace inzulinu
1.6
kratky stredni dlouhy
1.4
0.4
1.2
0.3
I(t) [mU/l]
I(t) [mU/l]
25
t [h]
0.2
1 0.8 0.6 0.4
0.1
0.2
0 0
5
10
15
20
25
t [h]
MAS 2012/13
ČVUT v Praze
0 0
5
10
15
20
25
t [h]
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 16/21
Modely v chemii
modelování chemických reakcí chemická kinetika rychlost reakce je úměrná látkovému množství reaktantů ↔ koncentraci
Reakce 0.řádu
A → B (nevratná)
reakce 1.řádu
ΔA(t ) = −k ⋅ A(t ) Δt
ΔA(t ) = −k Δt odbourávání alkoholu, k=0.1 g/kg hod
rychlost je rovněž ovlivňována skupenstvím, katalyzátory, teplotou
MAS 2012/13
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 17/21
vliv teploty vyjádřen nejčastěji Arrheniovým zákonem:
k = c⋅e
−
E RmT
c, E, Rm – konstanty
Reakce 2.řádu (nevratná), aA + bB → rR + sS 1 ΔA ⋅ = −k ⋅ Aα ⋅ B β a Δt 1 ΔB ⋅ = −k ⋅ Aα ⋅ B β b Δt 1 ΔR ⋅ = k ⋅ Aα ⋅ B β r Δt 1 ΔS ⋅ = k ⋅ Aα ⋅ B β s Δt MAS 2012/13
ČVUT v Praze
α+β=2 nejčastěji α = β = 1 a, b, r, s – stechiometrické koeficienty
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 18/21
Spalování uhlí obsahující síru
4FeS2 + 11O2 → 2Fe203 + 8SO2 oxid železitý
pyrit
výkon tep. el. v ČR [MW] SO2 [tun] MAS 2012/13
ČVUT v Praze
oxid siřičitý
1987
2007
11 500
9 500
1 000 000
50 000
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 19/21
Spalovani uhli
2
Spalovani uhli
3
pyrit kyslik
1.5
koncentrace [mol/l]
koncentrace [mol/l]
2.5 pyrit kyslik 1
0.5
0 0
2 1.5 1 0.5
1000
2000
3000
4000
0 0
5000
1000
2000
t [s] Spalovani uhli
0.8
3000
Fe203 SO2
0.5 0.4 0.3 0.2
2 koncentrace [mol/l]
koncentrace [mol/l]
Fe203 SO2
5000
Spalovani uhli
2.5
0.7 0.6
4000
t [s]
1.5 1 0.5
0.1 0 0
1000
2000
3000
4000
5000
t [s]
MAS 2012/13
0 0
1000
2000
3000
4000
5000
t [s]
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 20/21
Kontrolní otázky
V Matlabu napište program, který bude simulovat chování Harrod-Domarova modelu. Pro jaké hodnoty indexu růstu g je Harrod-Domarův model stabilní? Nakreslete simulační schema modelu šíření epidemie a odsimulujte jej pro Vámi zvolené parametry a počáteční podmínky. Dokažte, že v modelu šíření epidemie platí S(t) + I(t) + R(t) = N pro jakýkoli čas t. Čemu se rovná celkový počet nakažených jedinců? Vytvořte simulační schema pro model šíření inzulínu v krvi a odsimulujte jej pro Vámi zvolené hodnoty parametrů a různé vstupní dávky inzulínu. Vytvořte simulační schemata chemických reakcí 0. a 1.řádu, zvolte si hodnoty parametrů a modely odsimulujte.
MAS 2012/13
ČVUT v Praze
14 - Modelování v ekonomii, lékařství,… 21/21
