Matematika v ekonomii a ekonomice

Luboš Bauer, Hana Lipovská, Miloslav Mikulík, Vít Mikulík

DÁLE DOPORUČUJEME:

Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 e-mail: [email protected]

Michael Armstrong

Moderní učebnice inspirovaná prestižními publikacemi anglosaských univerzit je určena zejména studentům vysokých škol ekonomického zaměření. Publikace pokrývá problematiku, která je obsahem výuky matematiky na českých VŠ, oproti jiným učebnicím však klade důraz na případové studie z ekonomické praxe. Aplikace osvojených matematických dovedností na úlohy z mikroekonomie a makroekonomie, managementu a financí tvoří asi třetinu knihy, takže učebnice může sloužit i jako pomůcka při studiu kurzů ekonomických předmětů vyžadujících matematický aparát. Díky kapitolám, které opakují a rozšiřují znalosti středoškolské matematiky, najde knížka využití i třeba v maturitních seminářích. Cílem je pochopení klíčových nástrojů, součástí je proto i návod na řešení složitějších problémů pomocí tabulkového kalkulátoru (Excel). K procvičení učiva slouží řešené příklady i samostatná cvičení s výsledky a čtenáři určitě ocení i glosář použitých termínů včetně jejich anglických ekvivalentů.

MATEMATIKA V EKONOMII A EKONOMICE

w w w . g r a d a . c z

L. Bauer H. Lipovská M. Mikulík V. Mikulík

Matematika v ekonomii a ekonomice  Moderní učebnice podle anglosaských univerzit

 Aplikace matematiky na ekonomické disciplíny

 Řešené příklady i samostatná cvičení s výsledky

 Případové studie z ekonomické praxe

Luboš Bauer, Hana Lipovská, Miloslav Mikulík, Vít Mikulík

Matematika v ekonomii a ekonomice

Grada Publishing

Upozornˇení pro cˇ tenáˇre a uživatele této knihy Všechna práva vyhrazena. Žádná cˇ ást této tištˇené cˇ i elektronické knihy nesmí být reprodukována a šíˇrena v papírové, elektronické cˇ i jiné podobˇe bez pˇredchozího písemného souhlasu nakladatele. Neoprávnˇené užití této knihy bude trestnˇe stíháno.

RNDr. Luboš Bauer, CSc. Hana Lipovská doc. RNDr. Miloslav Mikulík, CSc. Ing. Vít Mikulík

Matematika v ekonomii a ekonomice ˇ TIRÁŽ TIŠTENÉ PUBLIKACE:

Kniha je monografie Vydala Grada Publishing, a.s. U Pr˚uhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou 5755. publikaci Odborná recenze: prof. RNDr. Ivanka Horová, CSc. Vydání odborné knihy schválila Vˇedecká redakce nakladatelství Grada Publishing, a.s. Odpovˇedný redaktor Petr Somogyi Grafická úprava a sazba Mgr. David Hampel, Ph.D. Poˇcet stran 352 První vydání, Praha 2015 Vytiskly Tiskárny Havlíˇck˚uv Brod, a.s. c Grada Publishing, a.s., 2015

c fotobanka allphoto Cover Photo ISBN 978-80-247-4419-3 ELEKTRONICKÁ PUBLIKACE:

ISBN 978-80-247-9651-2 (ve formátu PDF)

5

Obsah

Obsah Seznam obrázku˚

9

Seznam tabulek

13

O autorech

15

Úvodní slovo recenzenta

17

Pˇredmluva

19

1

Pˇripomenutí základních znalostí z matematiky 1.1 Množina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Množinové operace . . . . . . . . . ˇ 1.1.2 Rešené pˇríklady a aplikace . . . . . 1.2 Výrokový poˇcet . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Kvantifikátory . . . . . . . . . . . ˇ 1.2.2 Rešené pˇríklady a aplikace . . . . . 1.3 Poznámky k výstavbˇe matematiky . . . . . 1.4 Úlohy k procviˇcení . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

21 21 23 26 28 30 31 32 34

ˇ 2 Císla 2.1 Zavedení reálných cˇ ísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Množiny reálných cˇ ísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Další vlastnosti reálných cˇ ísel . . . . . . . . . . 2.2.2 Zavedení racionálních operací s nevlastními cˇ ísly 2.2.3 Zavedení pojmu interval . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Nerovnice v oboru reálných cˇ ísel . . . . . . . . 2.2.5 Zavedení absolutní hodnoty reálného cˇ ísla . . . . 2.2.6 Mocniny a odmocniny reálných cˇ ísel . . . . . . 2.3 Komplexní cˇ ísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Pˇripomenutí d˚uležitých vzorc˚u pro poˇcítání s cˇ ísly . . . . ˇ 2.5 Rešené pˇríklady a aplikace . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

35 35 39 40 41 41 43 43 45 49 51 53

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

6

Matematika v ekonomii a ekonomice 3

Maticová algebra 3.1 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Zvláštní typy matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Základní operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Úlohy k procviˇcení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Soustava m lineárních rovnic o n neznámých . . 3.6 Eliminaˇcní metody ˇrešení systému lineárních rovnic . . . 3.7 Elementární úpravy matic . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Ekvivalentní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Gaussova eliminaˇcní metoda . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Jordan˚uv algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Matice inverzní ke cˇ tvercové matici . . . . . . . . . . . 3.12 Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 Výpoˇcet determinantu rozvojem podle libovolného ˇrádku nebo sloupce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.1 Vztah mezi |A| a |AT | . . . . . . . . . . . . . . 3.14 Výpoˇcet hodnoty determinantu z horní trojúhelníkové matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15 Použití determinant˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 Pˇrímý výpoˇcet inverzní matice pomocí determinant˚u . . ˇ 3.17 Rešené pˇríklady a aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18 Úlohy k procviˇcení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

63 63 66 68 75 75 76 81 82 83 83 84 86 88

. . . . . . . . . . . 92 . . . . . . . . . . . 93 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

95 95 97 98 105

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

107 107 109 115 118 123 127 136 139

Zobrazení a funkce 5.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Vlastnosti funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Limita a spojitost funkce jedné promˇenné . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Úvodní poznámky k zavedení limity reálné funkce jedné promˇenné 5.3.2 Definice limity funkce v daném bodˇe . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Spojitost funkce v bodˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Inverzní zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Elementární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Racionální lomená funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 5.4.3 Funkce n x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

141 141 145 149 149 150 154 156 157 157 163 165

ˇ 4 Císelné posloupnosti a cˇ íselné rˇ ady 4.1 Co je to posloupnost . . . . . . . . . . 4.2 Aritmetická a geometrická posloupnost 4.3 Limita posloupnosti . . . . . . . . . . . 4.4 Vlastnosti posloupností reálných cˇ ísel . 4.5 Nekoneˇcné cˇ íselné ˇrady . . . . . . . . . 4.6 Aplikace posloupností . . . . . . . . . ˇ 4.7 Rešené pˇríklady a aplikace . . . . . . . 4.8 Úlohy k procviˇcení . . . . . . . . . . . 5

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

Obsah 5.4.4 Exponenciální funkce a logaritmus . . . . 5.4.5 Trigonometrické a cyklometrické funkce 5.4.6 Složená funkce . . . . . . . . . . . . . . Úlohy k procviˇcení . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

165 167 173 175

Diferenciální poˇcet funkcí jedné promˇenné 6.1 Zavedení pojmu derivace funkce . . . . . . . . . 6.2 Derivace složených funkcí . . . . . . . . . . . . 6.3 Derivace vyšších ˇrád˚u . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Derivace funkce f (x)g(x) . . . . . . . . . . . . . 6.5 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Funkce spojité na intervalu . . . . . . . . . . . . 6.7 Vˇety o funkcích spojitých na intervalu ha, bi . . . 6.8 Funkce monotónní na intervalu a lokální extrémy 6.9 Globální extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Konvexnost a konkávnost funkce . . . . . . . . . 6.11 Pr˚ubˇeh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12 Diferenciál a Taylorova vˇeta . . . . . . . . . . . ˇ 6.13 Rešené pˇríklady a aplikace . . . . . . . . . . . . 6.14 Úlohy k procviˇcení . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

177 177 184 187 187 188 190 192 194 199 200 206 212 215 225

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

231 231 236 238 244

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

245 248 255 259

Urˇcitý integrál 8.1 Zavedení Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Vlastnosti Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Existence Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Výpoˇcet Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Metoda per partes a substituˇcní metoda pro výpoˇcet urˇcitého integrálu 8.5 Nevlastní integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R∞ 8.5.1 Integrál f (x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261 262 265 266 267 268 272

5.5 6

7

8

Neurˇcitý integrál 7.1 Primitivní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Metoda per partes (po cˇ ástech) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Výpoˇcet neurˇcitého integrálu substitucí . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Racionální lomená funkce a její rozklad . . . . . . . . . 7.3.2 Rozklad reálné ryze lomené racionální funkce na souˇcet parciálních zlomk˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Integrace racionální lomené funkce . . . . . . . . . . . 7.3.4 Integrace nˇekterých významných tˇríd funkcí . . . . . . . 7.4 Úlohy k procviˇcení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272

a

8.5.2 8.5.3

Integrál Integrál

Rb −∞ R∞

f (x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 f (x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

−∞

8.6

Nevlastní integrály vzhledem k funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7

8

Matematika v ekonomii a ekonomice 8.7

Numerický výpoˇcet urˇcitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Rb 8.7.1 Obdélníková metoda výpoˇctu f (x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . 278 a

8.7.2

Rb Lichobˇežníková metoda na výpoˇctu f (x) dx . . . . . . . . . . . . . 278 a

8.7.3

Rb

Simpsonova metoda výpoˇctu f (x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . 279 a

8.8 8.9 9

ˇ Rešené pˇríklady a aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Úlohy k procviˇcení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Funkce více promˇenných 294 9.1 Parciální derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 9.2 Extrémy funkcí více promˇenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

10 Vícerozmˇerné integrály 310 10.1 Substituˇcní metoda pro výpoˇcet dvojného integrálu . . . . . . . . . . . . . . 318 10.1.1 Substituˇcní metoda pro dvojný integrál . . . . . . . . . . . . . . . . 318 11 Kombinatorika 11.1 Dvˇe kombinatorická pravidla 11.1.1 Pravidlo souˇcinu . . 11.1.2 Pravidlo souˇctu . . . 11.2 Permutace bez opakování . . 11.3 Variace bez opakování . . . 11.4 Kombinace bez opakování . 11.5 Variace s opakováním . . . . 11.6 Permutace s opakováním . . 11.7 Kombinace s opakováním . . 11.8 Úlohy k procviˇcení . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

324 324 324 326 326 330 332 336 337 339 340

Literatura

342

Glosáˇr

345

Použité zkratky

350

Summary

352

9

Seznam obrázk˚u

Seznam obrázku˚ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Znázornˇení množiny M . . . . . . . . Znázornˇení množiny M a jejích prvk˚u Znázornˇení komplementu množiny A Znázornˇení množiny A − B . . . . . Znázornˇení sjednocení A ∪ B . . . . Znázornˇení pr˚uniku A ∩ B. . . . . . . Venn˚uv diagram . . . . . . . . . . . . Venn˚uv diagram . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

23 24 24 24 25 25 27 28

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

ˇ Císelná osa . . . . . . . . . Intervaly . . . . . . . . . . . K poznámce 2 . . . . . . . . Komplexnˇe sdružená cˇ ísla . Rozdˇelení komplexních cˇ ísel

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

38 42 44 50 52

3.1 3.2 3.3 3.4

. 70 . 89 . 90

3.5

Násobení matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Výpoˇcet determinantu matice 2. ˇrádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Výpoˇcet matice S1 (první cˇ ást determinantu matice 3. ˇrádu) . . . . . . . . . Výpoˇcet matice S2 (druhá cˇ ást determinantu matice 3. ˇrádu, kterou od první cˇ ásti odeˇcteme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Výpoˇcet determinantu matice 3. ˇrádu s pˇridáním prvních dvou ˇrádk˚u . . . .

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13

Body reprezentující cˇ leny posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Znázornˇení posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Znázornˇení vklad˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Znázornˇení vklad˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustrace ˇrešení pomocí Excelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustrace ˇrešení pomocí Excelu – inflace vyjádˇrená v procentech je 2,596 % První cˇ leny posloupnosti {1/n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustrace k ˇrešení pˇríkladu pomocí Excelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustrace k ˇrešení pomocí Excelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustrace k ˇrešení pomocí Excelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustrace k ˇrešení pomocí Excelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustrace k ˇrešení pomocí Excelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustrace k ˇrešení pomocí Excelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. 91 . 91 108 108 110 112 114 114 115 122 131 131 132 132 133

10

Matematika v ekonomii a ekonomice 4.14 Ilustrace k ˇrešení pomocí Excelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 . . . . . . . . . . . . . . .

142 144 145 146 147 150 151 152 152 153 156 157 157 160 163

5.17 5.18 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28

Zobrazení F množiny A do B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Souˇradnice bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf paraboly y = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf závislosti podílu senior˚u na populaci v jednotlivých letech . . . . . . . Graf závislosti poˇctu prodaných kolobˇežek v jednotlivých dnech . . . . . . Graf funkce y = x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . limx→a+ f (x) = α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . limx→a+ f (x) = ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . limx→∞ f (x) = α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . limx→∞ f (x) = ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Znaménko funkce f (x) = x2 − 5x + 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zobrazení f množiny A do B a zobrazení f −1 množiny B do A . . . . . . . Zobrazení f množiny A do B a zobrazení k nˇemu inverzní . . . . . . . . . Graf lineární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koˇreny polynomu 2. stupnˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ √ Vlevo graf funkce y = x2 a y = x, vpravo graf funkce y = x3 a y = 3 x pro x ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf funkce ax a loga x pro a > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf funkce ax a loga x pro 0 < a < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Úhel v obloukové míˇre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vztah mezi velikosti úhlu ve stupních a v obloukové míˇre . . . . . . . . . . Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x a cotg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf funkce sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf funkce cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf funkce tg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf funkce cotg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf funkce arcsin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graf funkce arccos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Složené zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

165 166 167 168 168 170 170 171 172 172 173 173 174

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14

Teˇcna ke grafu funkce y = f (x) v bodˇe T [a, f (a)] . . . . . . . . . . . . Funkce s lokálním maximem v bodech a a b a lokálním minimem v bodˇe c Absolutní extrémy na ha, bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porušení pˇredpoklad˚u vˇety 6.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivace – smˇernice teˇcny (f 0 (a) > 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivace jako smˇernice teˇcny (f 0 (a) < 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretace vˇety 6.7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monotónnost funkce f (x) = 2x3 − 15x2 + 36x − 5 . . . . . . . . . . . f (x) má v x0 derivaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) nemá v x0 derivaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tvar plechu na krabici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zavedení funkce Φ(x) v bodˇe a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funkce f (x) má v bodˇe T [a, f (a)] inflexní bod . . . . . . . . . . . . . . Funkce ryze konvexní na intervalu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

178 191 191 192 192 193 193 195 195 196 200 201 201 203

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16

. . . . . . . . . . . . . .

Seznam obrázk˚u 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 6.25 6.26 6.27 6.28 6.29

Funkce ryze konkávní na intervalu I . . . . . . . . . . . . . . . . . Funkce konvexní na intervalu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funkce konkávní na intervalu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konkávnost, konvexnost a inflexní bod funkce f (x) = x3 − 6x2 + x Konvexnost funkce f (x) = x4 − 4x3 + 6x2 + 12x + 1 . . . . . . . Konkávnost, konvexnost a inflexní bod funkce f (x) = x1 ln x . . . . Asymptoty bez smˇernice – x = 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptota se smˇernicí v bodˇe ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2x+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Náˇcrtek grafu funkce x(x+1) Prodej zboží . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Význam diferenciálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineární poptávková funkce, P = aQ + b . . . . . . . . . . . . . . Dokonale neelastická poptávka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dokonale elastická poptávka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lokální minimum funkce T C v bodˇe Q = 420 . . . . . . . . . . .

8.1 8.2

Význam s(f, D5 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Význam S(f, D5 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Rb Význam f (x) dx, f (x) ≥ 0, x ∈ ha, bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

8.3

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

204 204 205 205 206 206 207 207 211 211 212 215 216 216 219

a

8.5

Funkce po cˇ ástech spojitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 R∞ Definice nevlastního integrálu f (x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8.6 8.7 8.8

Aproximace f (x) polynomem P3i (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Graf rozložení bohatství v populaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Výpoˇcet Giniho koeficientu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11

Pr˚umˇety bod˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vrstevnice funkce z = x2 + y 2 o úrovních 1 a 4 Vzdálenost bod˚u v R2 a Pythagorova vˇeta . . . Okolí Uδ (A) = {X ∈ Rn : %(A, X) ≤ δ} . . . Množina M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hromadný bod Y . . . . . . . . . . . . . . . . Limita funkce v bodˇe A . . . . . . . . . . . . . Nevlastní limita v bodˇe A . . . . . . . . . . . . Geometrický význam parciálních derivací . . . Extrémy funkcí více promˇenných . . . . . . . . Uzavˇrená oblast . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

295 295 296 296 297 297 300 301 302 304 308

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7

Dílek Di,j obdélníku D . . . . . . . . . . . Kvádr s podstavou Di,j a výškou hi,j . . . Souˇcet objem˚u kvádr˚u . . . . . . . . . . . Uzavˇrená oblast ω . . . . . . . . . . . . . . Normální uzavˇrená oblast vzhledem k ose x Normální uzavˇrená oblast vzhledem k ose y Oblast D . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

310 311 311 312 313 314 314

8.4

a

. . . . . . .

. . . . . . .

11

12

Matematika v ekonomii a ekonomice 10.8 Oblast D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9 Oblast D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10 Obdélníkový pr˚uˇrez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.11 Oblast D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12 Regulární oblast Ω = Ω1 ∪ Ω2 . . . . . . . . . . . . . . . 10.13 Polární souˇradnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.14 Ilustrace k pˇríkladu 288: vlevo oblast A, napravo oblast B 10.15 Oblast A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.16 Oblast At (vlevo) a oblast Bt (vpravo) . . . . . . . . . . . 10.17 Oblast A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.18 Oblast An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

315 316 317 317 318 319 320 321 322 322 323

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

325 328 328 328 329 330

Schéma rozhodování pˇri objednávce . . . . . . . . . Do libovolné buˇnky napíšeme vzorec permutace(n;r) Výsledek je uveden ve formˇe vˇedeckého zápisu . . . Úprava formátu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Výsledek permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schéma zasedacího poˇrádku . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Seznam tabulek

Seznam tabulek 1.1

Tabulka pravdivostních hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 3.2 3.3

Ukazatele z Výbˇerového šetˇrení pracovních sil (2011) . . . . . . . . . . . . . 63 Inflace [%] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Nezamˇestnanost [%] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1

Vztah mezi velikostmi úhl˚u ve stupních a v radiánech . . . . . . . . . . . . . 168

6.1

Derivace elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.1

Tabulka význaˇcných neurˇcitých integrál˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.1

Rozložení bohatství mezi dˇetmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

Výpis všech uspoˇrádaných trojic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uspoˇrádané trojice bez opakování . . . . . . . . . . . . . . . . . . Výpis všech uspoˇrádaných cˇ tveˇric . . . . . . . . . . . . . . . . . . Výbˇer permutací s opakováním . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schematické znázornˇení všech uspoˇrádání 6 ks pralinek dvou druh˚u

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

332 333 337 337 339

13

O autorech

O autorech RNDr. Luboˇs Bauer, CSc. Absolvoval Pˇrírodovˇedeckou fakultu Masarykovy univerzity, kde v roce 1989 získal titul kandidáta vˇed v oboru algebra a teorie cˇ ísel (práce Asociativní schemata, koherentní konfigurace a buˇnkové algebry). V letech 1978–1982 p˚usobil jako odborný pracovník Výzkumného ústavu elektrických stroj˚u toˇcivých, v letech 1986–1991 v Ústavu výpoˇcetní techniky MU. Od této doby se zabývá také otázkami využití e-learningu ve výuce matematiky. Po roce 1991 spoluzakládal Katedru aplikované matematiky a informatiky Ekonomicko-správní fakulty MU, jejímž je od roku 2008 vedoucím. Je aktivnˇe cˇ inný v akademické obci i jako cˇ len Akademického senátu MU.

Hana Lipovská Studuje obor Hospodáˇrská politika na Ekonomicko-správní fakultˇe Masarykovy univerzity v Brnˇe, kde také p˚usobila v letech 2011–2012 jako externí pracovnice Katedry aplikované matematiky a informatiky. Její práce Teorie her v ekonomii (2010) získala nˇekolik ocenˇení ˇ ve studentských soutˇežích (napˇr. cena Merkur soutˇeže Ceská hlaviˇcka), na jejichž základˇe cˇ erpala grant PPNS JCMM. Ve své cˇ innosti se zamˇeˇruje na problematiku lidského kapitálu, ˇ ekonomie r˚ustu a metodologie vˇedy. Externˇe spolupracuje s Ceským statistickým úˇradem ˇ ˇ ˇ ˇ a MŠMT CR. Je rádnou clenkou Ceské spoleˇcnosti ekonomické, Jednoty cˇ eských matematik˚u a fyzik˚u a The American Economic Association.

doc. RNDr. Miloslav Mikul´ık, CSc. Vystudoval Pˇrírodovˇedeckou fakultu MU v Brnˇe. Pozdˇeji získal titul kandidáta vˇed a habilitoval se. Jeho první práce patˇrily do oblasti algebry. Pracoval ve výzkumném ústavu, kde se zabýval ˇrešením technických aplikací matematiky a zavádˇením výpoˇcetní techniky do praxe. Výzkumnou a publikaˇcní cˇ innost v oblasti numerických metod (splajny) rozvíjel na pozici samostatného vˇedeckého pracovníka bˇehem p˚usobení v Akademii vˇed. Tˇri roky p˚usobil jako assistant professor na univerzitˇe v Kuvajtu. V roce 1991 se podílel na institucionalizaci Katedry aplikované matematiky a informatiky novˇe vznikající Ekonomicko-správní fakulty MU, kde od té doby nepˇretržitˇe pedagogicky p˚usobí.

15

16


Ing. V´ıt Mikul´ık Je absolventem Fakulty stavební Vysokého uˇcení technického v Brnˇe, oboru Konstrukce a dopravní stavby. Matematice se vˇenoval již jako student v matematické tˇrídˇe i jako úˇcastník olympiád. Svou odbornou pracovní a vˇedecko-výzkumnou cˇ innost zamˇeˇril na matematické ˇrešení problém˚u aplikované mechaniky. Na MU v Brnˇe se zapojil do nˇekolika projekt˚u. Jako vysokoškolský pedagog na VUT v Brnˇe je tv˚urcem e-learningových kurz˚u. Aktivnˇe se úˇcastní cˇ etných konferencí a semináˇru˚ .

Úvodní slovo recenzenta

´ Uvodn´ ı slovo recenzenta Publikaci Matematika v ekonomii a ekonomice lze považovat za základní uˇcební text matematiky pro studenty ekonomie. Kniha je vhodnˇe uspoˇrádána do jedenácti kapitol. Výklad zaˇcíná pˇripomenutím základních matematických pojm˚u. Postupnˇe jsou uvedena další témata až po násobné integrály. Poslední kapitola je vˇenována užiteˇcnému nástroji v poˇctu pravdˇepodobnosti – kombinatorice. Každá kapitola zaˇcíná motivaˇcním pˇríkladem, pro jehož ˇrešení je pak vybudována matematická teorie. Výklad sice nezahrnuje precizní matematické d˚ukazy, ale ukazuje užití získaných matematických dovedností k ˇrešení praktických úloh. Zejména lze ocenit, že souˇcástí každé kapitoly jsou aplikace, které se zabývají ˇrešením konkrétních ekonomických problém˚u. Navíc je u každé kapitoly uvedeno shrnutí a úlohy k procviˇcení. Kniha poutavým zp˚usobem ukazuje, jak lze matematické znalosti využívat a zejména jak se lze s jejich pomocí vypoˇrádat s ekonomickou teorií a praxí. Recenzovaná publikace je sice primárnˇe urˇcena pro studenty ekonomie, ale je vhodná i pro studenty jiných nematematických obor˚u.

prof. RNDr. Ivanka Horová, CSc. Ústav matematiky a statistiky Pˇrírodovˇedecká fakulta Masarykovy univerzity v Brnˇe

17

*

Pˇredmluva

Pˇredmluva Vysokoškolští studenti ekonomie (a ekonomové obecnˇe) vˇetšinou patˇrí do jedné ze dvou skupin. První je tvoˇrena tˇemi, kteˇrí si zvolili studium ekonomie, protože je v nˇem potˇreba matematiky. Pokud do této skupiny patˇríte, pak vám blahopˇrejeme – ocitli jste se ve spoleˇcnosti takových ekonomických titán˚u, jakými byli Milton Friedman, Gary Becker nebo Paul Samuelson. Nikoli náhodou se jedná o laureáty Nobelovy ceny. Pokud si budete chtít pˇreˇcíst jejich odborné práce, zjistíte, že se bez d˚ukladné znalosti matematiky neobejdete. Do této prvotˇrídní skupiny jste se pravdˇepodobnˇe dostali po úspˇešné maturitˇe z matematiky a možná i ocenˇeních z matematických olympiád. Základní vysokoškolské kurzy matematiky pro vás nepˇredstavují nic obtížného – derivovat a integrovat jste se nauˇcili už na stˇrední škole a s maticemi si poradíte v pˇrestávce mezi pˇrednáškami mikroekonomie a financí. Do druhé skupiny se ˇradí ti, kteˇrí šli ekonomii studovat, pˇrestože je v ní potˇreba matematiky. Tito „nešt’astníci“ vˇenují nesmírné úsilí pˇrípravˇe na závˇereˇcnou zkoušku a po jejím absolvování si z hloubi srdce oddechnou, že už symboly pro limity a integrál (nemluvˇe o tˇech podivných hieroglyfech z parciálních derivací) nikdy neuvidí. At’ už jste se poznali v kterékoliv ze zmínˇených skupin, dˇríve nebo pozdˇeji se nejspíš zeptáte, k cˇ emu vám studium matematiky je. Kde je spojitost mezi derivací a mikroekonomií? K cˇ emu vám poslouží inverzní matice v bˇežném životˇe? Proˇc se ve financích používá Eulerovo cˇ íslo? Co mají spoleˇcného cˇ asové ˇrady a penˇežní multiplikátor? Pokud si tyto otázky nepoložíte, uˇciní tak za vás pˇrednášející ve vˇetšinˇe kurz˚u od mikroekonomie a makroekonomie, pˇres ekonomii práce a veˇrejnou ekonomii až po statistiku a ekonometrii. Ve všech tˇechto kurzech na vás ze stránek uˇcebnic tu a tam vykouknou stˇrípky matematiky zakuklené do ekonomických problém˚u. Tato kniha je urˇcena nejen pro všechny, kteˇrí se chtˇejí nauˇcit matematiku s cílem úspˇešného složení zkoušky, ale také pro ty, kteˇrí chtˇejí lépe porozumˇet ekonomii. Napˇríklad kytarista nepotˇrebuje umˇet vyrobit kytaru, aby na ni dokázal skvˇele hrát. Pˇresto si své kytary nejen nesmírnˇe váží, ale zároveˇn se snaží porozumˇet jednotlivým prvk˚um hudebního nástroje. Skuteˇcný virtuos rozumí hudebnímu nástroji víc, než mnozí okolo tuší. Podobnˇe i pro vás jako budoucí ekonomy je matematika nástrojem. Krásným a dokonalým, ale stále jen prostˇredkem ke snadnˇejšímu ˇrešení obtížných ekonomických problém˚u. Nutno však podotknout, že bez tohoto nástroje se virtuosy v ekonomii nestanete. V této knize vás ušetˇríme detailního rozboru všech souˇcástek, z nichž je nástroj (matematika) vyroben. Nebudeme vás zatˇežovat d˚ukazy a postupy, které pro vás nejsou nezbytnˇe nutné. Pokud budete v nˇekterých oblastech hledat odpovˇed’ na otázku „Proˇc to tak je?“, odkážeme vás na ˇradu vynikajících, ale již nároˇcnˇejších matematických knih, které se zabývají ryze teoretickými aspekty vˇedy. Nepˇristupujeme

19

20

Matematika v ekonomii a ekonomice k matematice jako k vˇedˇe, ale radˇeji vás provedeme tím, jak a kdy jednotlivé matematické dovednosti používat a pˇredevším jak se s jejich pomocí vypoˇrádat s ekonomickou teorií a praxí. Kniha je cˇ lenˇena do relativnˇe samostatných kapitol, které pokrývají všechny základní oblasti ekonomické matematiky. Poslední kapitola – kombinatorika – nebývá souˇcástí výuky, poznatky z ní však využijete pˇri studiu teorie pravdˇepodobnosti v kurzech statistiky. Souˇcástí kapitol jsou aplikace, které se zabývají konkrétními ekonomickými problémy, pˇri jejichž ˇrešení využíváme diskutované nástroje. Všechny kapitoly jsou uzavˇreny závˇereˇcným shrnutím a úlohami. Více než tˇri stovky ˇrešených pˇríklad˚u vám pomohou lépe pochopit vysvˇetlenou látku a ekonomické aplikace. Našim cílem (a jistˇe se shodneme s vašimi vyuˇcujícími) není, aby se z vás staly dokonalé lidské multifunkˇcní kalkulaˇcky. Byli bychom rádi, abyste pochopili podstatu matematických nástroj˚u a vidˇeli, kdy který z nich použít. V bˇežném profesním životˇe budete pro zdlouhavé mechanické postupy využívat výpoˇcetní techniku. Výsledek tak získáte nepomˇernˇe rychleji než ruˇcním výpoˇctem a navíc minimalizujete riziko chyby. Seznámíme vás proto i s postupy ˇrešení numericky složitˇejších pˇríklad˚u pomocí poˇcítaˇce. Existuje ˇrada komerˇcních i volnˇe dostupných softwar˚u, které jsou pro ˇrešení matematických problém˚u vhodné (v ekonomii patˇrí mezi velmi užiteˇcné napˇr. Matlab, který je vyuˇcován na mnoha cˇ eských fakultách). Nechtˇeli jsme však znevýhodˇnovat ty studenty, kteˇrí se nikdy nesetkali s programováním, proto používáme široce rozšíˇrený tabulkový procesor Microsoft Excel (verze 2010). Jeho výhodou je snadné ovládání, bˇehem svého profesního života se s ním navíc budete setkávat nejˇcastˇeji. Nevýhodou je, že se jedná o komerˇcní, a tedy placený produkt. Vˇetšina popsaných funkcí je však souˇcástí volnˇe dostupných softwar˚u obdobného charakteru. Pˇri ˇrešení ekonomických problém˚u používáme tradiˇcní ekonomické zkratky a symboly. Pokud jste se s nˇekterým oznaˇcením promˇenné cˇ i funkce nesetkali, m˚užete nahlédnout do seznamu zkratek na konci publikace. Neocenitelnou studijní pom˚uckou pro vˇetšinu z nás je internet, pˇriˇcemž pˇresnˇejší odpovˇed’ na konkrétní problém cˇ astˇeji najdeme na anglických webových stránkách nebo v odborných cˇ asopisech (také publikovaných vˇetšinou v angliˇctinˇe). Pro snazší orientaci proto v této knize naleznete také cˇ esko-anglický glosáˇr pojm˚u, s nimiž se bˇehem studia matematiky setkáte. Knihu Matematika v ekonomii a ekonomice jsme psali v první ˇradˇe pro studenty. Tomu jsme podˇrídili volbu témat pˇríklad˚u, cˇ astˇejší opakování základních vztah˚u, styl i jazyk (vynasnažili jsme se nepoužívat v matematice kanonické, ale bˇežnému smrtelníkovi tˇežko srozumitelné pojmy a obraty). Pˇresto vˇeˇríme, že tuto publikaci využijí i vyuˇcující – zejména jako zdroj námˇet˚u k propojení matematické teorie s pestrou praxí ekonomie a ekonomiky. Zároveˇn jsme pˇresvˇedˇceni, že kniha je vhodná i pro studium matematiky v oborech, které nejsou primárnˇe zamˇeˇreny na ekonomii a ekonomiku. Pˇrejeme vám, at’ vás vaše studium matematiky dovede k objevování nových obzor˚u a obdivování netušených souvislostí. Kéž pˇrispˇeje do mozaiky vašeho vzdˇelání, at’ už je specializováno jakkoli. Kéž i ekonomické vztahy a pˇredevším ekonomický styl myšlení se pro vás na základˇe matematiky objeví v nové dimenzi. Vaši autoˇri

Pˇripomenutí základních znalostí z matematiky

Kapitola 1

Pˇripomenut´ı základn´ıch znalost´ı z matematiky Pojem množina je základním pojmem v matematice. Proto si jej hned v úvodu pˇripomeneme. Ukážeme si též nˇekteré množinové operace a vysvˇetlíme pojem výroku. Dále se budeme zabývat výrokovou logikou a základy výstavby matematiky.

1.1

Mnoˇzina

Pojem množina je základním pojmem matematiky. Pro naše úˇcely je postaˇcující chápat množinu jako soubor navzájem odlišitelných objekt˚u. Objektem m˚uže být cokoliv (ˇcíslo, písmeno, stát, cˇ lovˇek atd.). O každém objektu se musí dát rozhodnout, zda do uvažované množiny patˇrí nebo nepatˇrí. Množiny si zavádíme dle potˇreby, vˇetšinou tak, aby všechny objekty množiny mˇely spoleˇcné jisté vlastnosti. Nˇekteré speciální množiny mají ustálené oznaˇcení. Napˇr. množina pˇrirozených cˇ ísel se znaˇcí N, množina racionálních cˇ ísel se znaˇcí Q atd. Objekt˚um z množiny budeme ˇríkat prvky, resp. elementy množiny. Množiny budeme znaˇcit vˇetšinou velkými písmeny, jejich prvky malými písmeny. Okolnost, že objekt x je prvkem množiny A, budeme zapisovat jako x ∈ A. Okolnost, že objekt y nepatˇrí do množiny A, budeme zapisovat jako y ∈ / A. Množiny, které obsahují koneˇcný poˇcet prvk˚u, koneˇcné množiny, m˚užeme zapisovat výˇctem, to znamená, že jednotlivé prvky zapíšeme do složených závorek nezávisle na poˇradí a oddˇelíme je navzájem cˇ árkami. Jako pˇríklad uved’me množinu A, jejíž prvky jsou písmena a, b, c. Tuto množinu zapíšeme tedy jako A = {a, b, c}. Pˇritom nezáleží na poˇradí zápisu jednotlivých prvk˚u. Uvedenou množinu A lze tedy zapsat též napˇr. ve tvaru A = {c, b, a}. Zápis B = {a, b, c, c, a} není zápis množiny, nebot’ v zápisu jsou písmena a, c uvedena dvakrát.

21

22

Matematika v ekonomii a ekonomice Mezi množiny poˇcítáme i množinu, která neobsahuje žádný prvek. Nazýváme ji prázdná množina a znaˇcíme ji ∅. Pˇríkladem prázdné množiny je množina všech muž˚u starších 200 let žijících v souˇcasné dobˇe v Brnˇe. Konstanta, promˇenná. Objekty m˚užeme oznaˇcit symboly. To jednak zjednodušuje vyjadˇrování, jednak umožˇnuje struˇcný zápis nˇekterých výpovˇedí o objektech množiny. Zaved’me si nyní dva pojmy, se kterými se budeme cˇ asto setkávat: konstanta a promˇenná. V této kapitole se pracuje s pojmy jako pˇrirozené nebo reálné cˇ íslo, které jsou intuitivnˇe ˇ známy. Podrobnˇeji o nich bude pojednáno v kapitole 2 (Císla). Každý konkrétní prvek množiny nazýváme konstanta. Pˇríkladem je napˇr. symbol π z množiny reálných cˇ ísel, kterým oznaˇcujeme konkrétní reálné cˇ íslo – Ludolfovo cˇ íslo. Jestli symbol m˚uže nabývat kteroukoliv konstantu z dané množiny M , nazýváme jej promˇennou. Množinu konstant, kterých m˚uže tato promˇenná nabývat, nazýváme oborem promˇenné. Jestliže tedy oznaˇcíme symbolem x promˇennou s oborem M , potom vše, co se ˇrekne o x, se vztahuje na každý prvek množiny M . Uved’me si tento pˇríklad. Pˇríklad 1. Mˇejme množinu P = {2, 3, 5}. Oznaˇcme x promˇennou s oborem hodnot P . Potom je tvrzení „Jestliže x ∈ P , pak x2 ≤ 25“ pravdivé pro každé x ∈ P . Skuteˇcnˇe, 22 ≤ 25, 32 ≤ 25 a též 52 ≤ 25. Podmnožina. Necht’ M, N jsou dané množiny. Jestliže každý prvek množiny M je i prvkem množiny N , potom ˇríkáme, že množina M je podmnožinou množiny N , nebo že množina N je nadmnožinou množiny M . Píšeme pak M ⊆ N , resp. N ⊇ M . Jestliže zároveˇn platí M ⊆ N a M ⊇ N , potom ˇríkáme, že množiny M, N se sobˇe rovnají a píšeme M = N . Jestliže M ⊆ N a jestliže množina N obsahuje prvky, které do množiny M nepatˇrí, ˇríkáme, že množina M je vlastní podmnožinou množiny N a píšeme M ⊂ N , resp. N je vlastní nadmnožinou M a píšeme N ⊃ M . Je-li tedy M ⊂ N , je též M ⊆ N , avšak je-li M ⊆ N , nemusí být M ⊂ N . Pˇríklad 2. Jestliže Z je množina celých cˇ ísel, potom množina M celých cˇ ísel dˇelitelných cˇ íslem 2 je její podmnožinou. Pˇríklad 3. Jestliže N je množina pˇrirozených cˇ ísel, potom množina M pˇrirozených cˇ ísel menších než 6, tj. cˇ ísel 1, 2, 3, 4, 5, je podmnožinou množiny N. Pˇríklad 4. Necht’ M = {1, 4, 3, 9}. Potom {1, 3} ⊂ M , avšak {3, 7} není podmnožinou množiny M , nebot’ prvek 7 není prvkem M . Všimnˇeme si dvou významovˇe i formálnˇe odlišných zápis˚u. Necht’ M = {1, 4, 3, 8}. Potom zápis 8 ∈ M znamená, že 8 je prvkem množiny M , a zápis {8} ⊂ M znamená, že množina, obsahující jediný prvek 8, je vlastní podmnožinou množiny M . Ukažme si nyní následující zp˚usob zavedení podmnožiny dané množiny. Zaˇcneme s pˇríkladem. Oznaˇcme x promˇennou s oborem hodnot pˇrirozených cˇ ísel N. Každý prvek x ∈ N bud’ splˇnuje podmínku x < 5, nebo ji nesplˇnuje. Podmínku x < 5 oznaˇcme V (x) a nazvˇeme charakteristickou vlastností promˇenné x. Množinu tˇech prvk˚u z N, které vyhovují podmínce V (x), oznaˇcme P . Budeme ji zapisovat jako P = {x ∈ N : V (x)}. Tímto zápisem je definována množina P = {1, 2, 3, 4}.

Pˇripomenutí základních znalostí z matematiky Pˇríklad 5. Necht’ M = {a, b, c, d, e, f } je množina šesti muž˚u. Oznaˇcme muz promˇennou s oborem hodnot M . Oznaˇcme K(muz) vlastnost, že muž má obleˇcenu bílou košili. Tedy K(muz) je charakteristická vlastnost promˇenné muz. Tedy S = {muz ∈ M : K(muz)} je množina tˇech muž˚u z množiny M , kteˇrí mají obleˇcenou bílou košili. Podobnˇe m˚užeme definovat podmnožinu Q množiny P následujícím zp˚usobem. Necht’ x je promˇenná s oborem hodnot P . Necht’ V (x) je charakteristická vlastnost definovaná pro všechna x ∈ P . Potom množinu Q tˇech prvk˚u x ∈ P , které mají vlastnost V (x), zapisujeme jako Q = {x ∈ P : V (x)}. (1.1)

1.1.1

Mnoˇzinové operace

Necht’ je dána množina Ω. Pracuje-li se jen s prvky množiny Ω a s jejími podmnožinami, nazveme Ω základním prostorem. K usnadnˇení práce s množinami bývá zvykem používat grafické znázornˇení množin. Základní prostor budeme oznaˇcovat obdélníkem. Podmnožiny množiny Ω budeme znázorˇnovat rovinnými obrazci, napˇr. kruhy, ovály, obdélníky ležícími v obdélníku Ω, znázorˇnujícím základní prostor. Rovinným obrazcem m˚užeme znázornit i množinu, která obsahuje jenom koneˇcný poˇcet prvk˚u. Každý bod obrazce nemusí být prvkem množiny, kterou rovinný obrazec reprezentuje. Elementy množiny m˚užeme v pˇrípadˇe potˇreby znázornit nˇejakým symbolem, napˇr. symbolem „+“. Do obrazce znázorˇnujícího nˇejakou množinu m˚užeme zapsat i nˇejaké údaje, napˇr. cˇ íslo udávající poˇcet prvk˚u množiny. Pokud není nebezpeˇcí omylu, m˚užeme pro zjednodušení vynechat základní prostor. Pˇríklad 6. Uvažujme základní prostor Ω a jeho podmnožinu M = {a, b, c, d}. Na obr. 1.1 je znázornˇen základní prostor Ω a množina M bez údaj˚u. Na obr. 1.2 je znázornˇen základní prostor Ω a množina M s vyznaˇcením jejích cˇ tyˇr prvk˚u a, b, c, d. Ω M

Obrázek 1.1: Znázornˇení množiny M

Komplement množiny. Necht’ Ω je základní prostor a A ⊆ Ω. Potom množinu, oznaˇcme ji A0 , tˇech prvk˚u z Ω, které nepatˇrí do A, nazýváme komplementem množiny A. Na obr. 1.3 je vyznaˇcena jak množina A, tak i množina A0 . Množina A0 je šedá. Pˇríklad 7. Necht’ základním prostorem je množina pˇrirozených cˇ ísel N a necht’ A ⊂ N je její podmnožina sudých cˇ ísel. Potom komplementem množiny A je množina A0 lichých cˇ ísel.

23

24


Ω + a

M

+ + b + c d

Obrázek 1.2: Znázornˇení množiny M a jejích prvk˚u

Ω

A0 A

Obrázek 1.3: Znázornˇení komplementu množiny A

Rozdíl dvou množin. Necht’ A, B jsou dané množiny. Potom množinu C tˇech prvk˚u množiny A, které nepatˇrí do množiny B, nazýváme rozdílem množin A, B v tomto poˇradí a znacˇ íme A − B resp. A\B. Na obr. 1.4 je znázornˇen rozdíl A − B. Tato množina je vyznaˇcena šedou barvou. A B

A−B

Obrázek 1.4: Znázornˇení množiny A − B

Sjednocení dvou množin. Necht’ A, B jsou dvˇe množiny. Potom množinu C tˇech prvk˚u, které patˇrí do množiny A, resp. do množiny B, pˇrípadnˇe do obou zároveˇn, nazýváme sjednocením množin A, B. Píšeme pak C = A ∪ B. Na obr. 1.5 je množina A ∪ B vybarvena šedˇe. Jestli napˇr. A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, potom A ∪ B = {a, b, c, 1, 2, 3, 4}.

Prunik ˚ dvou množin. Mˇejme dvˇe množiny A, B. Potom množinu C tˇech prvk˚u, které patˇrí jak do množiny A, tak i do množiny B, nazýváme pr˚unikem množin A, B. Píšeme pak C = A ∩ B. Na obr. 1.6 je množina A ∩ B šedá. Jestliže napˇríklad A = {1, a, b, c}, B = {b, 1, 2, 3, 4}, potom A ∩ B = {b, 1}.


A A∪B

B

Obrázek 1.5: Znázornˇení sjednocení A ∪ B

A B

A∩B

Obrázek 1.6: Znázornˇení pr˚uniku A ∩ B.

Disjunktní množiny, incidentní množiny. Jestliže je A ∩ B = ∅, nazýváme množiny A, B disjunktní. Jestliže A ∩ B 6= ∅, nazýváme množiny A, B incidentní. Pˇríklad 8. Mˇejme množiny A = {a, b, c, d}, B = {a, c, e, f, g}, C = {h, m}. Potom A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}, A ∩ B = {a, c }, A ∩ C = ∅. Množiny A, B jsou incidentní, množiny A, C jsou disjunktní. Pravidla pro operace s množinami. Pro každé tˇri množiny A, B, C platí následující vztahy: 1. Sjednocení množin je operace komutativní a asociativní, tj. A ∪ B = B ∪ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). 2. Pr˚unik množin je operace komutativní a asociativní, tj. A ∩ B = B ∩ A, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). 3. Pro operace sjednocení a pr˚unik platí distribuˇcní zákony, tj. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 4. Platí de Morganova pravidla (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 , (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0 .

25

26

Matematika v ekonomii a ekonomice Kartézský souˇcin dvou množin. Mˇejme dvˇe množiny A, B. Kartézským souˇcinem A × B (v tomto poˇradí) rozumíme množinu C vytvoˇrenou všemi uspoˇrádanými dvojicemi [x, y], kde x ∈ A a zároveˇn y ∈ B. Tedy A × B = {[x, y] : x ∈ A a zároveˇn y ∈ B}.

(1.2)

Oznaˇcení. Necht’ A je množina. Potom A2 = A × A je množina všech uspoˇrádaných dvojic [x, y], kde x, y ∈ A. Kartézský souˇcin dvou množin lze zobecnit na kartézský souˇcin n množin A1 , . . . , An . Zapisujeme jej jako A1 × A2 × . . . × An

(1.3)

a definujeme jej jako množinu všech uspoˇrádaných skupin n prvk˚u [a1 , a2 , . . . , an ], kde ai ∈ Ai , i = 1, 2, . . . , n. Oznaˇcení. Necht’ A je množina. Potom An = A × A × . . . × A {z } |

(1.4)

n

oznaˇcíme množinu všech uspoˇrádaných skupin o n prvcích z množiny A. Pˇríklad 9. Necht’ A = {a, b}, B = {α, β, γ}. Potom A × B = {[a, α], [a, β], [a, γ], [b, α], [b, β], [b, γ]}.

1.1.2

ˇ sené pˇr´ıklady a aplikace Reˇ

Slovní úlohy, které se zabývají poˇcty prvk˚u v libovolných množinách, m˚užeme ˇrešit pomocí Vennových diagram˚u. Podle situace zvolíme diagram a vztahy mezi jednotlivými podmnožinami zapíšeme do rovnic. Získanou soustavu rovnic vyˇrešíme. Oznaˇcení: Jestliže A je koneˇcná množina, tzn. že obsahuje koneˇcný poˇcet prvk˚u, pak |A| znaˇcí její mohutnost (poˇcet jejích prvk˚u). Pˇríklad 10. Ve mˇestˇe probˇehla anketa využívání dopravních prostˇredk˚u – tramvají a autobus˚u – k cestˇe do zamˇestnání. Ankety se úˇcastnilo 2000 osob, tramvaj nebo autobus využívá 80 % z nich. Poˇcet osob, které jezdí do práce jen tramvají, je stejný jako poˇcet tˇech, kteˇrí jezdí autobusem. Tramvají i autobusem jezdí o 200 lidí více než jiným dopravním prostˇredkem. Kolik oslovených osob jezdí do práce jen autobusem? ˇ Rešení: Situaci si znázorníme pomocí Vennova diagramu (viz obr. 1.7), kde U znaˇcí množinu všech úˇcastník˚u ankety, T množinu osob jezdících do práce tramvají a A množinu osob jezdících do práce autobusem. Pr˚uniky jednotlivých množin jsou na obrázku a mají tento význam: a – poˇcet osob jezdících do práce jen tramvají. b – poˇcet osob jezdících tramvají i autobusem, c – poˇcet osob jezdících jen autobusem, d – poˇcet osob jezdících jiným zp˚usobem. Ankety se úˇcastnilo 2000 osob: a + b + c + d = 2000 = |U |. Tramvaj nebo autobus využívá 80 % z nich: a + b + c = 0,8 · 2000. Poˇcet osob, které jezdí do práce jen tramvají, je stejný jako poˇcet tˇech, kteˇrí jezdí autobusem: a = b + c. Tramvají i autobusem jezdí o 200 lidí více, než jiným dopravním prostˇredkem: b = d + 200. Získali jsme soustavu rovnic 2000 = a + b + c + d,


U

A

T a

b

c

d Obrázek 1.7: Venn˚uv diagram

0,8 · 2000 = a + b + c ⇒ a + b + c = 1600, d = 400, a = b + c, b = d + 200 ⇒ b = 600. Vyˇrešením jsme dostali: a = 800, b = 600, c = 200, d = 400. Jen autobusem jezdí do práce 200 oslovených úˇcastník˚u ankety. Pˇríklad 11. O volné místo u auditorské spoleˇcnosti se uchází 45 zájemc˚u. Personalistka se rozhodla, že do užšího výbˇeru zaˇradí pouze ty uchazeˇce, kteˇrí splˇnují tˇri následující podmínky: • vysokoškolské vzdˇelání, • znalost anglického jazyka, • poˇcítaˇcová gramotnost. Životopis zaslalo do spoleˇcnosti 40 vysokoškolák˚u, 28 zájemc˚u ovládá angliˇctinu a 22 práci s poˇcítaˇcem. Pouze podmínku znalosti angliˇctiny bez znalosti práce na poˇcítaˇci splˇnuje 15 vysokoškolák˚u, celkem 19 vysokoškolák˚u je poˇcítaˇcovˇe gramotných. Jeden žadatel s ukonˇceným stˇredoškolským vzdˇeláním ovládá práci na poˇcítaˇci i angliˇctinu a jeden žadatel nesplˇnuje žádnou ze stanovených podmínek. Kolik uchazeˇcu˚ bude pozváno k pohovoru? ˇ Rešení: Situaci si znázorníme pomocí Vennova diagramu – viz obr. 1.8. Levý i pravý graf jsou r˚uzné zp˚usoby vyjádˇrení téže skuteˇcnosti. Množina U je množina všech uchazeˇcu˚ o práci, množina V je množina všech vysokoškolák˚u, množina A jsou žadatelé, kteˇrí ovládají angliˇctinu a množina P znázorˇnuje žadatele ovládající práci na poˇcítaˇci. Pr˚uniky jednotlivých množin V, A a P jsou na obrázku znázornˇeny takto: a – poˇcet vysokoškolák˚u, kteˇrí neumˇejí anglicky ani neovládají poˇcítaˇc; b – poˇcet anglicky mluvících uchazeˇcu˚ , kteˇrí však nejsou vysokoškoláci a neumí ovládat poˇcítaˇc; c – poˇcet uchazeˇcu˚ ovládajících práci na poˇcítaˇci, kteˇrí však neumˇejí anglicky a nejsou vysokoškoláky; d – poˇcet vysokoškolák˚u, kteˇrí ovládají práci na poˇcítaˇci, ale neumí anglicky; e – poˇcet vysokoškolák˚u, kteˇrí umí anglicky, avšak neovládají práci na poˇcítaˇci; f – poˇcet uchazeˇcu˚ mluvících anglicky a ovládajících práci na poˇcítaˇci, kteˇrí ale nejsou vysokoškoláky; g – poˇcet uchazeˇcu˚ , kteˇrí jsou vysokoškoláky, zároveˇn umí anglicky i ovládají práci na poˇcítaˇci, tedy splˇnují všechna

27

28


U

A

V e

a d

g

b

U

V a e

f

h

A b

P c

P

h

d

g

f

c

Obrázek 1.8: Venn˚uv diagram

kritéria a budou pozváni k ústnímu pohovoru; h – poˇcet uchazeˇcu˚ , kteˇrí nejsou vysokoškoláky, a neumí anglicky ani neovládají práci na poˇcítaˇci. Nyní si znovu pozornˇe pˇreˇcteme text zadání a postupnˇe vyjádˇríme všechny údaje pomocí promˇenných a, b, c, d, e, f, g, h. |U | |V | |A| |P | e d+g f h g

= = = = = = = = =

45 = a + b + c + d + e + f + g + h 40 = a + d + e + g 28 = b + e + f + g 22 = c + d + f + g 15 19 1 1 ?

(1.5)

Vyˇrešením soustavy rovnic (1.6) nám vyjde g = 11. K ústnímu pohovoru bude pozváno 11 uchazeˇcu˚ o zamˇestnání.

1.2

Výrokový poˇcet

Výrokem rozumíme každou výpovˇed’, o níž má smysl rˇíci, že je pravdivá nebo nepravdivá. Pˇri tom není rozhodující, zda dovedeme o pravdivosti rozhodnout nebo ne. Výroky budeme znaˇcit v této podkapitole vˇetšinou písmeny p, q. Je-li výrok p pravdivý, budeme psát p ≡ 1, je-li výrok p nepravdivý, budeme psát p ≡ 0. Napˇr. výrok „6 je cˇ íslo sudé“ je výrok pravdivý, kdežto výrok „3 je cˇ íslo sudé“ je výrok nepravdivý. Výpovˇed’ „ˇcíslo x je sudé“ není výrokem, cˇ íslo x není konkrétnˇe zadáno. Složené výroky. Z daných výrok˚u m˚užeme vytváˇret nové výroky negací a spojováním. K vytváˇrení složených výrok˚u se používají tzv. logické spojky. Logickým spojkám se pˇriˇrazují dále uvedené symboly. Negace výroku. Necht’ p je výrok. Oznaˇcme ¬p výrok, který je pravdivý tehdy, jestliže výrok p je nepravdivý a je nepravdivý tehdy, jestliže p je pravdivý. Pro zápis negace výroku užíváme

Pˇripomenutí základních znalostí z matematiky symbol ¬ . Výrok ¬p cˇ teme „není pravda, že (platí) p“. Napˇr. negací výroku „tato tabule je cˇ erná“ dostáváme výrok „tato tabule není cˇ erná“. Konjukce výroku. ˚ Pˇredpokládejme, že p, q jsou výroky. Oznaˇcme p ∧ q složený výrok, který je pravdivý tehdy, jsou-li oba výroky pravdivé, a nepravdivý, je-li alespoˇn jeden z nich nepravdivý. Složený výrok p ∧ q cˇ teme „p a q“. Oznaˇcme napˇríklad písmenem p výrok „ˇcíslo 4 je sudé“. Dále oznaˇcme písmenem q výrok „ˇcíslo 6 je liché“. Výrok p ∧ q v našem pˇríkladˇe je tedy výrok „ˇcíslo 4 je sudé a (zároveˇn) cˇ íslo 4 je liché“. V našem pˇrípadˇe je p ≡ 1, q ≡ 0, takže p ∧ q ≡ 0.

Disjunkce výroku. ˚ Pˇredpokládejme, že p, q jsou výroky. Oznaˇcme p∨q složený výrok, který je pravdivý, je-li alespoˇn jeden z výrok˚u p, q pravdivý, a je nepravdivý, jsou-li oba výroky p, q nepravdivé. Výrok p ∨ q cˇ teme „p nebo q“. Slovo „nebo“, které zde používáme, nemá vyluˇcovací význam.. Pro disjunkci výrok˚u používáme spojku ∨. Uved’me tento pˇríklad. Oznaˇcme p výrok „ˇcíslo 3 je sudé“ a q výrok „ˇcíslo 4 je sudé“. Potom v našem pˇríkladˇe je p∨q výrokem „ˇcíslo 3 je sudé nebo cˇ íslo 4 je sudé“. Tento výrok je pravdivý, nebot’ výrok „ˇcíslo 4 je sudé“ je pravdivý výrok. Výrok „grafem funkce y = x + 2 je pˇrímka“ ∨ „grafem funkce y = x + 2 je parabola“ je pravdivý výrok, nebot’ je pravda, že grafem této funkce je pˇrímka.

Implikace. Necht’ p, q jsou výroky. Složený výrok p ⇒ q je výrok, který je nepravdivý tehdy, jestliže je výrok p pravdivý a výrok q je nepravdivý, jinak je pravdivý. Výrok p ⇒ q cˇ teme „z p vyplývá q“, nebo „p implikuje q“, nebo „jestliže p, potom q“ a podobnˇe. Pro implikace používáme symbol ⇒. Oznaˇcme p výrok „1 + 2 = 4“ a q výrok „5 + 6 = 0“, potom výrok „jestli platí p, potom platí q“ je pravdivý, nebot’ výrok p je nepravdivý. Ekvivalence. Necht’ p, q jsou výroky. Potom složený výrok p ⇔ q je pravdivým výrokem právˇe tehdy, jsou-li souˇcasnˇe oba výroky p ⇒ q, q ⇒ p pravdivé. Složený výrok p ⇔ q cˇ teme „p platí, když a jenom když platí q“, nebo cˇ teme „p (platí) tehdy a jenom tehdy, když (platí) q“, nebo „p je ekvivalentní s q“ a podobnˇe. V tab. 1.1 – nazveme ji tabulka pravdivostních hodnot – je uvedena pravdivost, resp. nepravdivost základních výrok˚u. p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

¬p 0 0 1 1

p∧q 1 0 0 0

p∨q 1 1 1 0

p⇒q 1 0 1 1

p⇔q 1 0 0 1

Tabulka 1.1: Tabulka pravdivostních hodnot

Pˇríklad 12. Z výrok˚u p, q vytvoˇrte konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci. Výrok p: „pan XY nepˇrijde v sobotu do práce“. Výrok q: „pan XY nepˇrijde v nedˇeli do práce“. ˇ Rešení: Konjunkce p ∧ q = „Pan XY nepˇrijde do práce v sobotu ani v nedˇeli.“. Disjunkce p ∨ q = „Pan XY nepˇrijde do práce v sobotu nebo v nedˇeli.“. Implikace p ⇒ q = „Jestliže pan XY nepˇrijde do práce v sobotu, nepˇrijde do práce ani v nedˇeli.“. Ekvivalence p ⇔ q = „Pan XY nepˇrijde do práce v nedˇeli, když a jenom když nepˇrijde do práce v sobotu.“

29

30

Matematika v ekonomii a ekonomice Pˇríklad 13. Pomocí tabulky pravdivostních hodnot 1.1 ovˇerˇte ekvivalentnost výrok˚u uvedených na jednom rˇádku následující tabulky. ¬(p ∧ q) ¬(p ∨ q) ¬(p ⇒ q)

¬p ∨ ¬q ¬p ∧ ¬q p ∧ ¬q

ˇ Pˇríklad 14. a) Negujte výrok: „Císlo 4 je sudé a souˇcasnˇe cˇ íslo 4 je menší než 10.“ b) Negujte ˇ výrok: „Císlo 4 je dˇelitelné 2 nebo cˇ íslo 10 je dˇelitelné 2.“ c) Negujte výrok: „Je-li cˇ íslo a dˇelitelné 4, potom je dˇelitelné 2.“ ˇ ˇ Rešení: a) Jedná se o negaci konjunkce: „Císlo 4 není sudé nebo cˇ íslo 4 není menší než 10. ˇ b) Jedná se negaci disjunkce: „Císlo 4 není dˇelitelné 2 a cˇ íslo 10 není dˇelitelné 2.“ c) Jedná ˇ se o negaci implikace: „Císlo a je dˇelitelné 4 a není dˇelitelné 2.“ Výrokové formy. Sdˇelení, které obsahuje jednu nebo více výrokových promˇenných, se nazývá výroková forma, jestliže ze sdˇelení dostaneme výrok: • dosazením pˇrípustných konstant z oboru promˇenných za tyto promˇenné; • kvantifikací, to je doplnˇením o údaj o poˇctu, resp. o odhad poˇctu konstant, jejichž dosazením za promˇenné vznikne výrok. Pˇríklad 15. Sdˇelení „reálné cˇ íslo x je vˇetší než 2“ není výrokem. Jde o výrokovou formu. Napˇr. dosadíme-li za x cˇ íslo 3, dostáváme výrok „ˇcíslo 3 je vˇetší než 2“. Výrokovou formu závislou na promˇenné x lze zapsat obecnˇe napˇr. jako V (x).

1.2.1

Kvantifikátory

a) Obecný kvantifikátor. Necht’ výroková forma V (x) závisí na promˇenné x a necht’ M je daná množina. Okolnost, že výroková forma V (x) je pravdivá pro všechna x ∈ M , zapíšeme jako ∀ x ∈ M : V (x) (1.6) a cˇ teme pro všechna x ∈ M platí V(x). Výrokovou formu jsme v (1.6) doplnili údajem o poˇctu konstant (pro všechny konstanty z oboru promˇenné x), pro nˇež je V (x) pravdivým výrokem. (1.6) je tedy výrokem. Symbol „∀ “ nazýváme obecným kvantifikátorem. Pˇríklad 16. Necht’ M = {2, 3, 4, 8}, x je promˇenná s oborem M . Oznaˇcme V (x) výrokovou formu „x ≥ 2“. Potom ∀x ∈ M : x ≥ 2 je pravdivý výrok. Podobnˇe ∀x ∈ M : x < 4 je nepravdivý výrok, nebot’ pro x = 8 je výrok x < 4 nepravdivý. Kvantifikací jsme dostali z výrokové formy V (x) výrok.

Pˇripomenutí základních znalostí z matematiky b) Existenˇcní kvantifikátor. Necht’ výroková forma V (x) závisí na promˇenné x a necht’ množina M je daná množina. Okolnost, že výroková forma V (x) je pravdivá alespoˇn pro jedno x ∈ M , zapíšeme takto ∃ x ∈ M : V (x) (1.7) a cˇ teme „existuje x ∈ M , pro nˇež platí V (x)“. Výrokovou formu jsme v (1.7) doplnili o specifikaci poˇctu hodnot promˇenné x, pro nˇež je V (x) pravdivým výrokem (alespoˇn pro jedno x ∈ M ). Symbol „∃“ se nazývá existenˇcním kvantifikátorem. Pˇríklad 17. Necht’ „x je prvoˇcíslo vˇetší než 20“ je výroková forma s oborem hodnot N. Potom ∃ x ∈ N : x je prvoˇcíslo vˇetší než 20 (1.8) je výrok. Negace výroku˚ (1.6), (1.7). Negací výrok˚u (1.6), (1.7) dostáváme tyto ekvivalentní výroky: ¬(∀ x ∈ M : V (x)) ⇔ ¬(∃ x ∈ M : V (x)) ⇔

∃ x ∈ M : ¬V (x), ∀ x ∈ M : ¬V (x).

(1.9) (1.10)

Pˇríklad 18. Necht’ N je množina pˇrirozených cˇ ísel. Potom ∃ x ∈ N : x2 = −1

(1.11)

ˇ je výrok. Cteme jej: „Existuje (alespoˇn jedno) pˇrirozené cˇ íslo x, pro které platí x2 = −1“. Tento výrok je nepravdivý. Negací tohoto výroku podle vztahu (1.10) dostáváme ∀ x ∈ N : ¬ (x2 = −1),

(1.12)

∀ x ∈ N : x2 6= −1.

(1.13)

to je Zˇrejmˇe (1.13) je pravdivý výrok. Z výrokových forem lze vytváˇret složené výrokové formy podobnˇe jako z výrok˚u složené výroky.

1.2.2

ˇ sené pˇr´ıklady a aplikace Reˇ

Pˇríklad 19. Které z následujících vˇet jsou výroky? Rozhodnˇete o jejich pravdivosti. a) John Maynard Keynes je nositelem Nobelovy ceny za ekonomii. ˇ b) Ceská národní banka je výhradním emitentem cˇ eských bankovek a mincí. ˇ c) Jaká byla v roce 2008 inflace v Ceské republice? d) Akcie, dluhopisy, smˇenky, šeky a opˇcní listy patˇrí mezi cenné papíry. e) Ztrátu platební karty nahlaste instituci, která ji vydala. f) Monopol maximalizuje pˇrebytek spotˇrebitele.

31

32

Matematika v ekonomii a ekonomice g) Oznaˇcení pro ekonomii pochází z rˇeckého oikonomos – správa domu. h) Jednou z pˇrímých daní je daˇn z pˇridané hodnoty (DPH). i) Kéž by byla úroková sazba terminovaných vklad˚u alespoˇn 4 %. ˇ Rešení: Vˇety a, b, d, f, g, h, jsou výroky. Výroky b, d, g jsou pravdivé.

1.3

Poznámky k výstavbˇe matematiky

Co jsou to axiomy? Pˇri budování jednotlivých matematických disciplin se vychází z postulát˚u (axiom˚u). Výraz axiom pochází z ˇreckého slova axiómo. Axiomy jsou výchozí matematické výroky, které obsahují základní pojmy a vztahy mezi nimi. Považují se za pravdivé bez jakéhokoliv dalšího dokazování. Musí však být bezesporné, to znamená, že z nich nelze odvodit žádná tvrzení, která by souˇcasnˇe nemohla platit. Musí být však na sobˇe nezávislá, žádný axiom tedy nelze odvodit z ostatních. Každé tvrzení v uvažované disciplínˇe se musí dát odvodit z dané soustavy axiom˚u. Jako ukázku, pouze pro informaci, si uved’me dva z pˇeti geometrických axióm˚u, které uvedl ve svých „Základech“ ˇrecký matematik Eukleidés. V nich jsou postulovány základní pojmy – bod, pˇrímka, rovnobˇežka. Uved’me tyto axiomy: • Máme-li dány dva body, existuje jedna pˇrímka, která jimi prochází. • K dané pˇrímce a bodu, který na ní neleží, lze sestrojit právˇe jednu rovnobˇežku, která prochází daným bodem. Všimnˇeme si, že napˇr. bod, pˇrímka, atd. nejsou blíže specifikovány, jsou urˇceny jenom axiómy – vztahy mezi jednotlivými základními pojmy. Zavedení pojmu definice. Kromˇe základních pojm˚u existují pojmy, které se zavádˇejí na základˇe již dˇríve zavedených pojm˚u. Uved’me si dva pˇríklady. Pˇríklad 20. Víme-li již, co je to trojúhelník, definujeme další pojem „rovnostranný trojúhelník“ následující definicí. Definice: Rovnostranný trojúhelník je takový trojúhelník, jehož strany jsou stejnˇe dlouhé. Pˇríklad 21. Víme-li, co je to celé cˇ íslo, zavedeme pojem racionální cˇ íslo následující definicí. Definice. Jestliže p, q jsou celá cˇ ísla, q 6= 0, potom cˇ íslo

p q

je „ˇcíslo racionální“.

Poznámka. V této knize nebudeme zavádˇet pojmy axiomaticky. Základní pojmy si pouze osvˇetlíme tak, jak jsme to udˇelali s pojmem množina. Obrat’me nyní svoji pozornost k pojmu matematická „vˇeta“. Pojem matematická vˇeta. Struˇcnˇe budeme ˇríkat pouze vˇeta. Matematická vˇeta je pravdivý výrok, který se dá odvodit pomocí logiky užitím axióm˚u, definic a již dokázaných vˇet s využitím již zavedených pojm˚u. Uvedeme si pˇríklady vˇet. Pˇríklad 22. Vˇeta. Každý vnitˇrní úhel rovnostranného trojúhelníka je roven 60◦ . Jde skuteˇcnˇe o vˇetu. Je to pravdivý výrok, který lze dokázat. Pojmy, které se zde vyskytují, musely být již dˇríve zavedeny. Tuto vˇetu m˚užeme pˇreformulovat takto: Jestliže trojúhelník

Pˇripomenutí základních znalostí z matematiky je rovnostranný, potom každý jeho vnitˇrní úhel je roven 60◦ . Také by bylo možné definovat rovnostranný trojúhelník takto: „Trojúhelník, jehož všechny vnitˇrní úhly jsou rovny 60◦ , se nazývá rovnostranný.“ Potom bychom mohli vyslovit vˇetu: „Všechny strany rovnostranného trojúhelníka jsou stejnˇe velké.“ Pˇríklad 23. Vˇeta. Necht’ a, b, c jsou reálná cˇ ísla a necht’ c < 0, a < b. Potom a · c > b · c. První cˇ ást vˇety „Necht’ a, b, c jsou reálná cˇ ísla a necht’ c < 0, a < b“ jsou pˇredpoklady, za nichž platí druhá cˇ ást vˇety „a · c > b · c“. Tedy definicí se zavádí nový pojem, kdežto matematická vˇeta vypovídá o vzájemných vztazích mezi již zavedenými pojmy. Ukažme si nˇekolik cˇ asto se vyskytujících tvar˚u matematických vˇet. Zaˇcneme s vˇetou ve tvaru: „Necht’ V (x) je výroková forma promˇenné x s oborem D“. Potom platí ∀x ∈ D : V (x). (1.14) Slovy: „Pro všechna x ∈ D platí V (x)“. Pˇríklad 24. Jako pˇríklad uved’me vˇetu: Vˇeta. Pro každé pˇrirozené cˇ íslo n ≥ 1 platí 1 1 1 1 + + ... =1− . 1·2 2·3 n · (n + 1) n+1

(1.15)

Tuto vˇetu lze zapsat takto: Necht’ V (n) ≡

1 1 1 1 + + ... =1− 1·2 2·3 n · (n + 1) n+1

(1.16)

je výroková forma promˇenné n s oborem N. Potom platí ∀ n ∈ N : V (n). Abychom mohli tento výrok prohlásit za vˇetu, bylo by nutné ještˇe dokázat, že jde o pravdivý výrok. ˇ Casto se vyskytují vˇety typu: Vˇeta. Jestliže platí výrok 1, potom platí výrok 2. Zde výrok 1 nazýváme postaˇcující podmínkou k platnosti výroku 2. Výrok 2 nazýváme tvrzením vˇety. Pˇríklad 25. Jako pˇríklad uvedeme vˇetu: Vˇeta. Necht’ pro strany a, b, c trojúhelníka platí vztah c2 = a2 + b2 . Potom je trojúhelník pravoúhlý. V této vˇetˇe je „v trojúhelníku o stranách a, b, c platí c2 = a2 +b2 “ pˇredpoklad a „trojúhelník o stranách a, b, c je pravoúhlý“ je tvrzení.

33

34


´ 1.4 Ulohy k procviˇcen´ı Úloha 1. Co je to množina? Úloha 2. Napište množinu A, jejíž prvky jsou písmena obsažená ve slovˇe „matematika“. a) Pro každé z písmen „a, b, c, i, j“ zapište, zda patˇrí nebo nepatˇrí do množiny A. b) Napište podmnožinu B množiny A, obsahující všechny samohlásky množiny A. c) Co znamenají zápisy B ⊂ A, B ⊆ A? [a) A = { m, a, t, e, i, k }, a ∈ A, b 6∈ A, c 6∈ A, i ∈ A, j 6∈ A, b) B = {a, e, i}, c) B je vlastní podmnožinou množiny A; B je podmnožinou množiny A.] Úloha 3. Vysvˇetlete rozdíl mezi konstantou a promˇennou. Uved’te pˇríklady. Úloha 4. Co je to obor promˇenné? Úloha 5. Necht’ A = {a, b, c}, B = {a, e}. Urˇcete množiny a) A ∪ B, b) A ∩ B, c) A − B. [a) {a, b, c, e}, b) {a}, c) {b, c}] Úloha 6. Co je to výrok a co je to výroková forma? Úloha 7. Pˇrímka 2x + 3y = 1 rozdˇeluje rovinu (x, y) na dvˇe poloroviny. Vyznaˇcte, který z následujících výrok˚u je pravdivý a který je nepravdivý. a) Body [1, 3], [5, −2] leží v téže polorovinˇe.

b) Body [0, 2], [3, −5] leží v téže polorovinˇe.

[a) pravdivý, b) nepravdivý]

Úloha 8. Oznaˇcme p, q tyto výroky: • výrok p . . . „ˇcíslo π je reálné“,

• výrok q . . . „ˇcíslo 2 je pˇrirozené cˇ íslo“. Vyslovte výroky : a) ¬ p, b) ¬ q, c) p ∨ q, d) p ∧ q a uved’te jejich pravdivost. ˇ ˇ ˇ [a) „Císlo π není reálné“ (≡ 0), b) „Císlo 2 není pˇrirozené“ (≡ 0), c) „Císlo π je ˇ reálné nebo cˇ íslo 2 je pˇrirozené“ (≡ 1), d) „Císlo π je reálné a cˇ íslo 2 je pˇrirozené“ (≡ 1)] Úloha 9. Necht’ n je promˇenná s oborem pˇrirozených cˇ ísel. Je výpovˇed’ „n2 > 4“ výrokem? [Není, jde o výrokovou formu.] Úloha 10. Oznaˇcme N množinu všech pˇrirozených cˇ ísel. Vyslovte následující výroky a uved’te jejich pravdivost. a) ∀ n ∈ N : n2 > 1, b) ∃ n ∈ N : n2 > 1. [Výrok a) je nepravdivý – pro n = 1 neplatí n2 > 1. Výrok b) je pravdivý – pro n = 2 platí n2 > 1.]

ˇ Císla

Kapitola 2

ˇ ısla C´ Pojem cˇ ísla není tak jednoduchý, jak by se mohlo zdát na první pohled. Jeho pˇresné zavedení se vymyká našim možnostem a ani znalost jejich pˇresného zavedení není pro ekonomy nutná. Tuto kapitolu je proto možné chápat jen jako pokus o vytvoˇrení náhledu na jeden zp˚usob zavedení cˇ ísel a o pˇripomenutí nˇekterých jejich vlastností. Zavádˇejí se zde i nevlastní cˇ ísla a nˇekteré pojmy související s cˇ íselnými množinami, jako napˇr. supremum a infimum množiny. V této kapitole uvádíme též nˇekolik pˇripomínek k numerickým výpoˇct˚um a opakujeme si nˇekteré úkony s cˇ ísly. Zopakujeme si též zavedení komplexních cˇ ísel. Souˇcástí výkladu je nˇekolik pˇríklad˚u. Pokud nˇekdo bude mít potíže s jejich ˇrešením, doporuˇcujeme sbírky pˇríklad˚u ze stˇredoškolské matematiky.

2.1

Zaveden´ı reálných cˇ ´ısel

Pˇrirozená cˇ ísla. Historicky zaˇcali lidé používat nejdˇríve pˇrirozená cˇ ísla. Dˇejiny pˇrirozených ˇ ek pˇri smˇenˇe potˇreboval spoˇcítat kusy dobytka, svitky cˇ ísel jsou dˇejinami ekonomie. Clovˇ plátna a pozdˇeji kovové mince. Pˇrirozená cˇ ísla tuto potˇrebu splˇnovala nejlépe. Vyjadˇruje se jimi poˇcet prvk˚u koneˇcné množiny (poˇcet mamut˚u, denár˚u, akcií) i poˇradí odpoˇcítávaných objekt˚u. V matematické literatuˇre není pojem množina pˇrirozených cˇ ísel chápán jednotnˇe. Nˇekteˇrí autoˇri zaˇrazují do množiny pˇrirozených cˇ ísel i nulu. V dalším budeme pod množinou pˇrirozených cˇ ísel rozumˇet jen množinu cˇ ísel 1, 2, 3, . . .; budeme ji znaˇcit N. Na množinˇe pˇrirozených cˇ ísel N jsou zavedeny operace sˇcítání, oznaˇcení „+“, a násobení, oznaˇcení „·“. Píšeme napˇr. 2+3 = 5, 2·3 = 6. Jestliže a, b ∈ N a existuje takové cˇ íslo c ∈ N, že a = b+c, oznaˇcíme c = a−b. Je tedy mezi nˇekterými prvky z N definována operace „−“, nazveme ji odeˇcítáním. Požadavek proveditelnosti této operace pro všechna a, b ∈ N vede k zavedení 0 a celých záporných cˇ ísel −1, −2, −3, . . . Napˇr. 45 − 45 = 0, 2 − 28 = −26. Ani nás nepˇrekvapí, že zavedení celých cˇ ísel souvisí s hospodaˇrením a s podnikáním. Jakmile zaˇcali lidé obchodovat, zaˇcali dˇelat také dluhy – tˇreba proto, že kožešinu nˇekdo potˇreboval ˇ okamžitˇe, ale jelena, jehož masem chtˇel zaplatit, ještˇe uloveného nemˇel. Císla pˇrirozená pak byla logicky doplnˇena cˇ ísly zápornými. Celá cˇ ísla. Množina N sjednocená s množinou {0} a s množinou celých záporných cˇ ísel se znaˇcí Z a nazývá množinou celých cˇ ísel. Symbolem Z+ (Z− ) budeme znaˇcit množinu celých

35

36

Matematika v ekonomii a ekonomice kladných (záporných) cˇ ísel. Na množinˇe Z jsou pak zavedeny operace „+“, „−“ a „·“. Napˇr. 51 + 7 = 58, −5 − 6 = −11, 5 − 6 = −1, −5 · 4 = −20, −5 · (−4) = 20, 5 · 4 = 20 (Zavedení celých cˇ ísel umožˇnuje pracovat nejenom s hotovostí, ale i s dluhy.) Racionální cˇ ísla. Necht’ p, q ∈ Z, q 6= 0. Jestliže existuje cˇ íslo x ∈ Z tak, že p = q · x, píšeme x = pq , resp. x = p : q. Operaci „:“ nazýváme dˇelením, zápis pq nazýváme zlomkem. Aby dˇelení cˇ ísla p cˇ íslem q, q 6= 0, bylo vždy proveditelné, rozšiˇruje se množina Z na množinu Q všech cˇ ísel tvaru pq , kde p, q ∈ Z, q 6= 0 zvanou množina racionálních cˇ ísel. Je tedy též každé celé cˇ íslo souˇcasnˇe racionálním cˇ íslem (q = 1). Uved’me nˇekolik zápis˚u racionálních cˇ ísel: 3 −3 3 3 , − , , . 4 4 4 −4

Jestliže pq je racionální cˇ íslo a k je libovolné nenulové racionální cˇ íslo, potom zápis k.p k.q je zápis téhož racionálního cˇ ísla. Napˇr. zápisy 68 , 34 jsou zápisy téhož racionálního cˇ ísla. Ve zlomku pq nazýváme symbol „−“ zlomkovou cˇ árou, cˇ íslo „p“ nad zlomkovou cˇ árou nazýváme cˇ itatelem a cˇ íslo „q“ pod zlomkovou cˇ arou nazýváme jmenovatelem. Necht’ pq , rs jsou takové zlomky, že r = k · p, s = k · q, pro nˇejaké k 6= 0. Potom ˇrekneme, že cˇ íslo rs vzniklo ze zlomku pq rozšíˇrením cˇ íslem k. Naopak ˇríkáme, že zlomek rs vznikl ze zlomku pq krácením cˇ íslem k. Na množinˇe racionálních cˇ ísel jsou pak zavedeny operace sˇcítání, odˇcítání, násobení a dˇelení vyjma dˇelení nulou. Symbolem Q+ (Q− ) znaˇcíme množinu kladných (záporných) racionálních cˇ ísel. Souˇcet a rozdíl dvou racionálních cˇ ísel. Souˇcet, resp. rozdíl dvou zlomk˚u o stejných jmenovatelích je roven zlomku, jehož jmenovatel je roven jmenovateli tˇechto zlomk˚u a cˇ itatel je roven souˇctu, resp. rozdílu cˇ itatel˚u tˇechto zlomk˚u. Vypoˇcítejme napˇr. 34 − 43 . Tato úloha je 9 ekvivalentní s úlohou ˇrešení 12 − 16 12 . Odtud vyplývá 3 4 9 16 9 − 16 −7 − = − = = . 4 3 12 12 12 12 Souˇcin dvou racionálních cˇ ísel. Souˇcin dvou zlomk˚u je zlomek, jehož cˇ itatel je roven souˇcinu 12 cˇ itatel˚u obou zlomk˚u a jmenovatel je roven souˇcinu jejich jmenovatel˚u. Napˇr. 34 . 45 = 20 = 35 . k Je-li a ∈ Q, k ∈ N, potom |a · a ·{z· · · · a} budeme znaˇcit a a pro a 6= 0 jeho reciprokou k

(pˇrevrácenou) hodnotu a−k . Podíl dvou racionálních cˇ ísel. O zlomku pq , p, q ∈ Z, p = q 6= 0 ˇrekneme, že je reciproký ke zlomku pq . Zlomek dˇelíme zlomkem, když daný zlomek násobíme reciprokou hodnotou druhého zlomku. Napˇr. 43 : 57 = 34 · 75 = 21 20 .

Dekadický rozvoj racionálního cˇ ísla. Jestliže r = pq , kde p ∈ Z, q ∈ N je racionální cˇ íslo, potom dˇelením cˇ ísla p cˇ íslem q (v desítkové cˇ íselné soustavˇe) dostaneme tzv. dekadický rozvoj cˇ ísla r: r = ± n, a1 a2 . . . ak . . . (2.1) Zde n je pˇrirozené cˇ íslo nebo nula, cˇ árka za n je tzv. desetinná cˇ árka a a1 , a2 , . . . jsou cifry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Vztah (2.1) je zkrácený zápis cˇ ísla ±(n + a1 · 10−1 + a2 · 10−2 + · · · + ak · 10−k + . . . ).

ˇ Císla Mohou nastat tyto pˇrípady : • Za desetinnou cˇ árkou v (2.1) je nekoneˇcný poˇcet cifer, ale jen koneˇcný poˇcet nenulových cifer. Napˇr. 46 4 = 11,500000 . . . • Za desetinnou cˇ árkou je nekoneˇcnˇe mnoho nenulových cifer, avšak existuje taková uspoˇrádaná skupina cˇ ísel, že za každou takovou skupinou cˇ ísel bezprostˇrednˇe následuje opˇet tatáž skupina cˇ ísel, zvaná perioda. Takováto cˇ ísla se nazývají periodická. Zápis je možné provést tak, že se nad prvním výskytem opakující se skupiny nakreslí pruh ehož a další navazující skupiny se nepíší. Jako pˇríklad si uved’me racionální cˇ íslo 89 6 , z nˇ provedením naznaˇceného dˇelení dostaneme 14,833333 . . . Je to periodické cˇ íslo, které m˚užeme zapsat jako 14,83. ˇ Jestliže r, s jsou racionální cˇ ísla, potom i cˇ íslo r+s 2 je racionální císlo. Tedy mezi každými dvˇema racionálními cˇ ísly leží nekoneˇcnˇe mnoho racionálních cˇ ísel. Délka uhlopˇríˇcky cˇ tverce o stranˇe délky 1 není racionálním cˇ íslem. Existuje ˇrada úloh, pˇri jejichž ˇrešení nevystaˇcíme s racionálními cˇ ísly. Ukažme si, že ani délku uhlopˇríˇcky cˇ tverce o stranˇe 1, oznaˇcme ji u, nelze vypoˇcítat v oboru racionálních cˇ ísel. To znamená, že neexistuje takové racionální cˇ íslo u, aby platilo u · u = u2 = 2. Dokažme to. Pˇredpokládejme, že u je možné zapsat jako p u= , (2.2) q kde p, q ∈ N a p, q jsou nesoudˇelná. Z (2.2) dostáváme u2 = váme p2 = 2q 2 .

p2 q2 .

Ponˇevadž u2 = 2, dostá(2.3)

Je tedy p2 cˇ íslo sudé a tedy i p je sudé. Tedy p lze zapsat ve tvaru p = 2r, kde r ∈ N. Dosazením do (2.3) dostáváme 4r2 = 2q 2 . (2.4) Odtud q 2 = 2r2 ,

(2.5)

ˇ takže q je sudé. Je tedy i q sudé cˇ íslo. Císla p, q jsou tedy cˇ ísla sudá, a tedy nejsou nesoudˇelná. To je spor s pˇredpokladem. Tedy u není racionální cˇ íslo. 2

ˇ Císelná osa. Uvažujme pˇrímku o s daným bodem 0, který nazveme poˇcátkem. Jistý smˇer této pˇrímky zvolíme jako kladný. Zvolme dále úseˇcku, její délku oznaˇcíme jako jednotku délky. Bez újmy na obecnosti nyní pˇredpokládejme, že pˇrímka o je ve vodorovné poloze a že kladný smˇer je zleva doprava. • Ke každému pˇrirozenému cˇ íslu m pˇriˇradíme na pˇrímce o bod, oznaˇcme jej též m, který je od poˇcátku v kladném smˇeru vzdálen o m-násobek zvolené jednotkové délky úseˇcky. K cˇ íslu −m pˇriˇradíme na pˇrímce o bod, oznaˇcíme jej též −m, který je od poˇcátku v záporném smˇeru ve vzdálenosti m-násobku zvolené jednotkové délky úseˇcky. • Necht’ pq je racionální cˇ íslo, které není celým cˇ íslem. Bez újmy na obecnosti lze pˇredpokládat, že p ∈ Z, q ∈ N. Úseˇcku, jejíž délku jsme zvolili za jednotku, rozdˇelme na q stejných dílk˚u. Je-li p > 0, naneseme p tˇechto dílk˚u v kladném smˇeru, je-li p < 0,

37

38

Matematika v ekonomii a ekonomice p ˇ naneseme (−p) tˇechto dílk˚u v záporném smˇeru. Obdržený bod oznaˇcíme pq . Císla q, r ˇ , pro nˇ e ž existuje k = 6 0 tak, že r = kp, s = kq jsou zápisy téhož racionálního c ísla; s napˇr. zápisy 23 , 46 pˇredstavují totéž racionální cˇ íslo.

e množinu všech bod˚u na této pˇrímce o, pˇriˇrazených naznaˇceným zp˚usobem k raOznaˇcme Q e a racionálním cˇ íslem, cionálním cˇ ísl˚um. Není podstatný rozdíl mezi bodem z množiny Q p k nˇemuž byl bod pˇriˇrazen. Budeme tedy používat pojem bod q a racionální cˇ íslo pq ve stejném významu. Na obr. 2.1 jsou vyznaˇcena racionální cˇ ísla −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 a cˇ íslo 27 . 1 −2

−1

0

u 1 u

2

3

7 2

4

ˇ Obrázek 2.1: Císelná osa

Jestliže r, s jsou racionální cˇ ísla a bod r je na cˇ íselné ose nalevo od bodu s, budeme psát r < s a cˇ íst „r je menší než s“. Ekvivalentnˇe budeme psát s > r. Jsou-li body r, s totožné, budeme psát r = s. Zavedení iracionálních cˇ ísel. Na pˇrímce o jsou tedy body, které nejsou pˇriˇrazeny žádným racionálním cˇ ísl˚um. Pˇríkladem je uvedené cˇ íslo u, pro nˇež u2 = 2. Toto cˇ íslo je rovnˇež vyznaˇceno na pˇrímce o (obr. 2.1). Každý bod na cˇ íselné ose, který není pˇriˇrazen k žádnému racionálnímu cˇ íslu, nazveme iracionální cˇ íslo. Necht’ A je bod na pˇrímce o napravo od poˇcátku 0, který není pˇriˇrazen racionálnímu cˇ íslu. Je to tedy iracionální cˇ íslo. Najdˇeme jeho nekoneˇcný dekadický rozvoj. Postupujeme takto: Necht’ n je nejvˇetší celé cˇ íslo ležící nalevo od bodu A. Necht’ a1 je nejvˇetší takové nezáporné celé cˇ íslo, že n + a1 · 10−1 leží nalevo od A. Po takovýchto k-krocích oznaˇcme ak nejvˇetší takové nezáporné celé cˇ íslo, že n + a1 · 10−1 + · · · + ak · 10−k leží nalevo od A. Tímto zp˚usobem dospˇejeme k symbolu n + a1 · 10−1 + · · · + ak · 10−k . . . Tento symbol zapíšeme ve zkráceném tvaru jako n, a1 a2 . . . ak . . . Nazveme jej nekoneˇcným dekadickým rozvojem cˇ ísla A. Necht’ B = −A. Potom nekoneˇcný dekadický rozvoj cˇ ísla B je −(n + a1 · 10−1 + · · · + ak · 10−k + . . . ). Každému iracionálnímu cˇ íslu odpovídá nekoneˇcný dekadický rozvoj tvaru ±(n + a1 · 10−1 + · · · + ak · 10−k + . . . ),

(2.6)

ˇ Císla kde n je pˇrirozené cˇ íslo, a1 , a2 , a3 , . . . jsou cifry 0, 1, 2, . . . 9 a (2.6) není zápis racionálního cˇ ísla. Množinu všech racionálních a iracionálních cˇ ísel nazýváme reálná cˇ ísla. Každý bod pˇrímky o odpovídá reálnému cˇ íslu a naopak, každému reálnému cˇ íslu odpovídá bod na pˇrímce o. Pˇrímku o nazýváme cˇ íselnou osou. Ve vyjadˇrování nebudeme dˇelat rozdíl mezi cˇ íslem a bodem na cˇ íselné ose. Uspoˇrádání reálných cˇ ísel. Uvažujme reálná cˇ ísla x, y. Jestliže x je na cˇ íselné ose nalevo od y, píšeme x < y (ˇcteme „x je menší než y“), nebo ekvivalentnˇe y > x (ˇcteme „y je vˇetší než x“). Okolnost, že x < y nebo x = y, m˚užeme zapsat jako x ≤ y (ˇcteme „x je menší nebo rovno y“). Potom takto uvedené uspoˇrádání má následující vlastnosti: (U1) (U2) (U3) (U4)

2.2

Pro každá dvˇe reálná cˇ ísla x, y platí x < y, nebo x = y, nebo x > y. Jestliže x, y, z jsou reálná cˇ ísla a x < y ∧ y < z, potom x < z. Jestliže x, y, z jsou reálná cˇ ísla a x < y, potom x + z < y + z. Necht’ x, y, z jsou reálná cˇ ísla a necht’ (x < y) ∧ (z > 0), potom x · z < y · z.

Mnoˇziny reálných cˇ ´ısel

Zaved’me si nˇekolik pojm˚u spojených s množinami reálných cˇ ísel. ˇ Ohraniˇcené množiny. Necht’ M ⊆ R. Rekneme, že množina M je shora ohraniˇcená, jestliže existuje takové cˇ íslo h ∈ R, že x ∈ M ⇒ x ≤ h. ˇ Císlo h nazýváme horním ohraniˇcením množiny M . Podobnˇe ˇrekneme, že množina M je zdola ohraniˇcená, jestliže existuje takové reálné cˇ íslo d ∈ R, že x ∈ M ⇒ x ≥ d. ˇ Císlo d nazýváme dolním ohraniˇcením množiny M . Jestliže množina M je shora i zdola ohraniˇcená, ˇríkáme, že je ohraniˇcená. Jako pˇríklad uved’me množinu 1 M = x ∈ R : x = , kde n ∈ N . n Zˇrejmˇe horním ohraniˇcením množiny M je každé reálné cˇ íslo h ≥ 1 a dolním ohraniˇcením množiny M je každé cˇ íslo d ≤ 0. Zaved’me si dále pojmy maximum a minimum a pojmy supremum a infimum množiny reálných cˇ ísel. ˇ Maximum cˇ íselné množiny. Rekneme, že cˇ íslo xmax je maximum cˇ íselné množiny M , jestliže: 1. xmax ∈ M , 2. jestliže x ∈ M , potom x ≤ xmax . Píšeme xmax = max x, resp. xmax = max M . Jestliže takové cˇ íslo neexistuje, ˇríkáme, že x∈M

množina M nemá maximum. To znamená, že xmax je nejmenším horním ohraniˇcením množiny M , které do množiny M patˇrí.

39

40

Matematika v ekonomii a ekonomice ˇ Minimum cˇ íselné množiny. Rekneme, že cˇ íslo xmin je minimum cˇ íselné množiny M , jestliže: 1. xmin ∈ M , 2. jestliže x ∈ M , potom x ≥ xmin . Píšeme xmin = min x, resp. xmin = min M . Jestliže takové cˇ íslo neexistuje, ˇríkáme, že x∈M

množina M nemá minimum. To znamená, že xmin je nejvˇetším dolním ohraniˇcením množiny M , které do M patˇrí. Jako pˇríklad uved’me dvˇe množiny U, V reálných cˇ ísel: 1 (2.7) U = x ∈ R : x = 2 , kde n ∈ N , n V = {x ∈ R : x ≤ 2 ∧ x ≥ 0} . (2.8) Zˇrejmˇe max x = 1, min x neexistuje, max x = 2, min x = 0. Všimnˇeme si, že podle x∈U

x∈U

x∈V

x∈V

definice je maximum (minimum) cˇ íselné množiny M jejím prvkem. Supremum a infimum cˇ íselné množiny. Uved’me si dva podobné pojmy: supremum a infimum množiny reálných cˇ ísel. Tyto pojmy se nˇekdy mylnˇe zamˇenˇ ují s pojmy maximum a minimum cˇ íselné množiny. Mˇejme U ⊆ R. Nejmenší horní ohraniˇcení množiny U , pokud existuje, nazveme supremem množiny U . Znaˇcíme jej jako sup(U ). Nejvˇetší dolní ohranicˇ ení množiny U , pokud existuje, nazveme infimem množiny U . Znaˇcíme jej jako inf (U ). K vlastnostem (U1), (U2), (U3), (U4) o uspoˇrádaní reálných cˇ ísel pˇridejme následující vlastnost: (U5) Jestliže množina A ⊆ R je shora ohraniˇcená, resp. zdola ohraniˇcená, potom existuje její supremum sup(A), resp. její infimum inf (A). Pˇríklad 26. Uvažujme množinu A = {0,9; 0,99; 0,999, . . . }. Lehce nahlédneme, že tato množina je shora ohraniˇcená – jejím supremem je zˇrejmˇe cˇ íslo „1“. Toto cˇ íslo není maximem množiny A, nebot’ nepatˇrí do A.

2.2.1

Dalˇs´ı vlastnosti reálných cˇ ´ısel

Reálná cˇ ísla mají následující vlastnosti: (R1) (R2) (R3) (R4) (R5) (R6) (R7) (R8) (R9)

(x + y) + z = x + (y + z) pro všechna x, y, z ∈ R. x + y = y + x pro každá x, y ∈ R. Existuje prvek 0 ∈ R tak, že pro každé x ∈ R platí x + 0 = x. Ke každému x ∈ R existuje prvek −x ∈ R tak, že x + (−x) = 0. (x · y) · z = x · (y · z) pro všechna x, y, z ∈ R. x · y = y · x pro každé x, y ∈ R. Existuje prvek 1 ∈ R tak, že pro každé x ∈ R platí x · 1 = x. Ke každému x ∈ R, x 6= 0 existuje prvek x−1 ∈ R tak, že x · x−1 = 1. x · (y + z) = (x · y) + (x · z) pro všechna x, y, z ∈ R.

ˇ Císla Rozšíˇrení množiny reálných cˇ ísel o symboly ∞ a −∞. Množinu reálných cˇ ísel R nyní rozˇ šíˇríme o dva symboly ∞, −∞, (místo ∞ lze psát i +∞). Cteme (plus) nekoneˇcno a minus ∗ nekoneˇcno. Množinu R∪{−∞, ∞} budeme znaˇcit R . Symboly −∞, ∞ nazýváme nevlastní cˇ ísla. (Nˇekdy z d˚uvodu struˇcnosti pouze cˇ ísla.) Stejnˇe jako lze místo termínu reálné cˇ íslo x použít termín bod x, lze mluvit i o bodech ∞, resp. −∞. Položme x < ∞ pro všechna x ∈ R. Jestliže množina M ⊆ R není shora ohraniˇcená, položíme sup M = ∞. Nevlastní cˇ íslo ∞ je nejmenší horní ohraniˇcení množiny všech reálných cˇ ísel. Položme x > −∞ pro všechna x ∈ R. Jestliže množina M ⊆ R není zdola ohraniˇcená, položíme inf M = −∞. Nevlastní cˇ íslo −∞ je nejvˇetším dolním ohraniˇcením množiny všech reálných cˇ ísel.

2.2.2

Zaveden´ı racionáln´ıch operac´ı s nevlastn´ımi cˇ ´ısly

Nˇekteré racionální operace rozšíˇríme i na nevlastní cˇ ísla −∞, ∞, a to takto: Pro a ∈ R definujeme a + ∞ = ∞, ∞ + a = ∞, ∞ + ∞ = ∞, a − ∞ = −∞, −∞ + a = −∞, −∞ − ∞ = −∞, a = 0, ∞ · ∞ = ∞, ∞ · (−∞) = −∞, ±∞ −∞ · ∞ = −∞, −∞ · (−∞) = ∞, ∞, je-li a > 0 −∞, je-li a > 0 a·∞= , a · (−∞) = . −∞, je-li a < 0 ∞, je-li a < 0 Všimnˇeme si, že nˇekteré operace, napˇríklad ∞ − ∞,

−∞ + ∞,

±∞ , ±∞

0 · ∞,

0 · (−∞),

jsou nadále nedefinované.

2.2.3

Zaveden´ı pojmu interval

Necht’ a, b ∈ R, a < b. Množinu všech x ∈ R, pro nˇež platí a ≤ x ≤ b, budeme zapisovat ˇ jako ha, bi a nazývat uzavˇrený interval o koncových bodech a, b. Císlo a (b) nazýváme levým (pravým) koncovým bodem intervalu ha, bi. Množinu všech x ∈ R, pro nˇež platí a < x < b, budeme zapisovat jako (a, b) a nazývat ˇ otevˇrený interval o koncových bodech a, b. Císlo a (b) nazýváme levým (pravým) koncovým bodem intervalu (a, b). Množinu všech x ∈ R, pro nˇež platí a ≤ x < b (a < x ≤ b), budeme zapisovat jako ha, b) ((a, bi) a nazývat zleva uzavˇrený (otevˇrený) a zprava otevˇrený (uzavˇrený) interval ˇ o koncových bodech a, b. Císlo a nazýváme levým a cˇ íslo b nazýváme pravým koncovým bodem intervalu ha, b) ((a, bi).

41

42

Matematika v ekonomii a ekonomice Množinu všech cˇ ísel x ∈ R, pro nˇež platí a ≤ x < ∞ (a < x < ∞), budeme zapisovat jako ha, ∞) ((a, ∞)) a nazývat zleva uzavˇrený (otevˇrený) interval o koncových bodech a, ∞. Bod a budeme nazývat levým a bod ∞ jeho pravým koncovým bodem. Množinu všech cˇ ísel x ∈ R, pro nˇež platí −∞ < x ≤ a (−∞ < x < a), budeme zapisovat jako (−∞, ai ((−∞, a)) a nazývat zprava uzavˇrený (otevˇrený) interval o koncových bodech −∞, a. Bod −∞ budeme nazývat levým a bod a jeho pravým koncovým bodem. Množinu všech reálných cˇ ísel x m˚užeme zapsat jako (−∞, ∞) a nazývat intervalem o koncových bodech −∞, ∞. a

b

a

b

a

b

a

b

ha, bi (a, b) (a, bi ha, b)

a

ha, ∞)

a

(a, ∞) a a

(−∞, ai (−∞, a)

Obrázek 2.2: Intervaly

Všimnˇeme si, že levý koncový bod každého intervalu je menší než jeho pravý koncový bod. Kdybychom v definici intervalu ha, bi nahradili požadavek a < b požadavkem a ≤ b, zahrnuli bychom pod pojem intervalu též jednobodovou množinu, obsahující jediný prvek a, kterou bychom mohli zapsat jako ha, ai. Na obr. 2.2 jsou vyznaˇceny uvedené intervaly. Okolí bodu. Zaved’me si ještˇe pojem okolí bodu a ∈ R. Necht’ a ∈ R, δ ∈ R, δ > 0. Potom interval ha, a + δ) budeme nazývat pravým δ-okolím bodu a a budeme jej vˇetšinou znaˇcit Uδ+ (a). Tedy Uδ+ (a) = ha, a + δ). Kv˚uli zkrácení zápisu jej lze nˇekdy oznaˇcit struˇcnˇe U + (a). Necht’ a ∈ R, δ ∈ R, δ > 0. Potom interval (a − δ, ai budeme nazývat levým δ-okolím bodu a a budeme jej vˇetšinou znaˇcit Uδ− (a). Tedy Uδ− (a) = (a − δ, ai. Kv˚uli zkrácení zápisu lze oznaˇcit též struˇcnˇe U − (a). Necht’ a ∈ R, δ ∈ R, δ > 0. Potom interval (a − δ, a + δ) budeme nazývat δ-okolím bodu a a budeme jej vˇetšinou znaˇcit Uδ (a). Tedy Uδ (a) = (a − δ, a + δ). Kv˚uli zkrácení zápisu lze nˇekdy oznaˇcit struˇcnˇe i jako U (a). Necht’ k ∈ R. Potom množinu (k, ∞) nazýváme k-okolím bodu ∞ a znaˇcíme Uk (∞), nebo struˇcnˇe U (∞). Podobnˇe množinu (−∞, k) nazýváme k-okolím bodu −∞ a znaˇcíme Uk (−∞), nebo struˇcnˇe U (−∞).

ˇ Císla

2.2.4

Nerovnice v oboru reálných cˇ ´ısel

Ze základních vlastností reálných cˇ ísel dostáváme tuto vˇetu. Vˇeta 2.2.1 (Nerovnice). Pro libovolná cˇ ísla x, y, z, u platí: (2.9) Je-li x ≤ y, z ≤ u, potom x + z ≤ y + u.

Slovy: Levé i pravé strany souhlasných nerovnic m˚užeme seˇcíst.

(2.10) Je-li x ≤ y, z > 0, pak x · z ≤ y · z.

Slovy: Násobíme-li obˇe strany nerovnice týmž kladným cˇ íslem, smysl nerovnice se nezmˇení.

(2.11) Je-li 0 < x ≤ y, 0 < z ≤ u, platí 0 < x · z ≤ y · u. (2.12) Je-li x ≤ y, z < 0, potom x · z ≥ y · z.

Slovy: Násobíme-li obˇe strany nerovnice týmž záporným cˇ íslem, zmˇení se smysl nerovnice. 1 y

≤ x1 . Slovy: Jestliže v nerovnici mezi kladnými cˇ ísly pˇrejdeme k reciprokým hodnotám, zmˇení se smysl nerovnice.

(2.13) Je-li 0 < x ≤ y, platí 0 <

Pˇríklad 27. V R rˇešte nerovnici 2x + 1 < 5x − 2.

(2.14)

ˇ Rešení. Na obˇe strany (2.14) pˇripoˇcítejme −2x + 2. Užitím (2.9) dostáváme 3 < 3x. Násobením (2.15) cˇ íslem

1 3

(2.15)

dostáváme 1 < x.

Tedy nerovnici (2.14) vyhovují všechna cˇ ísla x > 1.

2.2.5

Zaveden´ı absolutn´ı hodnoty reálného cˇ ´ısla

Definice 2.2.1. Necht’ x ∈ R. Položme |x| =

x, je-li x ≥ 0, −x, je-li x < 0.

ˇ Císlo |x| nazveme absolutní hodnotou cˇ ísla x. Pˇríklad 28. a) | − 4| = 4. Položíme-li x = −4, je x < 0, takže podle definice je | − 4| = |x| = −(x) = −(−4) = 4. b) |x−2|, kde x je reálné, se urˇcí takto: Je-li x−2 ≥ 0, tedy je-li x ≥ 2, je |x−2| = x−2. V pˇrípadˇe, že x − 2 ≤ 0, tedy je-li x ≤ 2, je |x − 2| = −(x − 2) = 2 − x. Tedy x − 2 pro x ≥ 2, |x − 2| = 2 − x pro x < 2.

43

44

Matematika v ekonomii a ekonomice Pro absolutní hodnotu reálných cˇ ísel platí vztahy uvedené v následující vˇetˇe. Vˇeta 2.2.2 (Pravidla pro poˇcítání s absolutními hodnotami v R). Pˇredpokládejme, že x, y, a, ε ∈ R, ε > 0. Potom platí: |x| ≥ 0 x ≤ |x|, −x ≤ |x| |x| = | − x| |x| − |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| |x · y| = |x| · |y| | xy | =

|x| |y|

pro y 6= 0

(2.16) (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21)

|x − a| < ε ⇐⇒ a − ε < x < a + ε

(2.22)

Zavedení pojmu vzdálenost. Uvažujme množinu P . (Nemusí jít o množinu cˇ ísel.) Jestliže je na množinˇe P definovaná funkce, oznaˇcme ji %, kterou je ke každým dvˇema bod˚um a, b ∈ P pˇriˇrazeno reálné cˇ íslo %(a, b) s tˇemito vlastnostmi: 1. Pro všechny body a, b ∈ P je %(a, b) ≥ 0 a %(a, b) = 0 tehdy a jen tehdy, když a = b. 2. Pro všechny body a, b ∈ P je %(a, b) = %(b, a). 3. Pro všechny body a, b, c ∈ P je %(a, b) ≤ %(a, c) + %(c, b). Potom ρ(a, b) nazýváme vzdáleností bod˚u a, b. Poznámka 1. Pro všechna x, y ∈ R položme ρ(x, y) = |x − y|. Potom ρ(x, y) je vzdálenost bod˚u x, y. Poznámka 2. Jsou-li a, ε, kde ε > 0, konstanty, potom |x − a| < ε v (2.22) znamená, že x je od bodu a vzdáleno o ménˇe než ε. Ponˇevadž body a − ε, a + ε jsou od bodu a vzdáleny právˇe o ε, leží x mezi body a − ε, a + ε, tedy platí a − ε < x < a + ε (viz obr. 2.3).

a−ε

a

x

a+ε

Obrázek 2.3: K poznámce 2

Pˇríklad 29. V R rˇešte nerovnice 2x − 1 < |x − 2| < 3x + 2.

(2.23)

ˇ ˇ Rešení. Rešení rozdˇelme do dvou cˇ ástí: a) Necht’ x > 2. Potom |x − 2| = x − 2, takže z (2.23) plyne α) 2x − 1 ≤ x − 2, β) x − 2 < 3x + 2. Z α) dostáváme x < −1, to je v rozporu s pˇredpokladem x > 2. Nerovnice (2.23) nemá pro x > 2 rˇešení.

ˇ Císla b) Necht’ x < 2. Potom |x−2| = 2−x. Dosazením do (2.23) dostáváme γ) 2x−1 < 2−x, δ) 2−x < 3x+2. Úpravou 3x < 3, 4x > 0 takže 0 < x < 1. S ohledem na pˇredpoklad x < 2 je x ∈ (0, 1). c) Necht’ x = 2. Dosazením do (2.23) dostáváme ) 2 · 2 − 1 = 3 < |2 − 2| = 0. Vzhledem k neplatnosti rovnice ) x = 2 není rˇešením nerovnice (2.23). Dané nerovnici vyhovují všechna x ∈ (0, 1). Aproximace reálných cˇ ísel. Uved’me si nˇekolik poznámek k aproximaci cˇ ísla x cˇ íslem x e. Rozdíl x e − x nazýváme absolutní chybou aproximace x e. V reálných situacích tuto chybu neznáme, ale cˇ asto ji m˚užeme odhadnout. Odhadem absolutní chyby rozumíme cˇ íslo δ ≥ 0, pro nˇež platí |e x − x| ≤ δ. Jestliže x je iracionální cˇ íslo v desítkové soustavˇe a v jeho zápise ponecháme jen prvních n cifer za desetinnou cˇ árkou, dostaneme racionální cˇ íslo x e, pro než platí |x − x e| < 10−n . Pˇredpokládejme, že pˇri mˇeˇrení vzdálenosti dvou míst A, B, kde A je místo v Praze a B je místo v Brnˇe, se dopustíme chyby nejvýše 1 m. Podobnˇe pˇredpokládejme, že pˇri mˇeˇrení délky obdélníkové místnosti se dopustíme rovnˇež chyby nejvýše 1 m. Je zˇrejmé, že stejný odhad chyby mˇeˇrení nelze použít ke srovnání pˇresnosti metody mˇeˇrení. K posouzení „kvality“ aproximace se pro x 6= 0 používá cˇ asto tzv. relativní chyba, definovaná vztahem x−x e . x ˇ Císlo δ ≥ 0, pro nˇež platí

x − x e x ≤ δ,

nazýváme odhadem relativní chyby. Pˇri numerických výpoˇctech jsme v jistém okamžiku nuceni cˇ ísla iracionální, s nimiž se pracuje, aproximovat cˇ ísly racionálními. Provádíme-li výpoˇcty na kalkulaˇcce nebo na poˇcítaˇci, nemáme k dispozici ani množinu všech racionálních cˇ ísel. Pracuje se jen s cˇ ísly dané reprezentace v daném rozsahu. Výsledek racionální operace (+, −, ·, :) s tˇemito cˇ ísly se aproximuje podle zabudovaného kritéria opˇet cˇ íslem dané reprezentace. To, že se nepracuje s pˇresnými cˇ ísly, ale jenom s jejich aproximacemi, m˚uže vést k velkým chybám. Je tomu tak pˇredevším pˇri dˇelení velice malými cˇ ísly. Iracionálním cˇ ísl˚um cˇ asto pˇriˇrazujeme symboly (napˇr. π) a teprve v závˇeru, je-li to úˇcelné, provádíme aproximaci racionálními cˇ ísly.

2.2.6

Mocniny a odmocniny reálných cˇ ´ısel

Mocniny reálných cˇ ísel s celoˇcíselným exponentem. Necht’ a, b ∈ R, n, m ∈ N. Definujme: (P1) an = |a · a ·{z. . . · a} n

(P2) an · am = (a · a · . . . · a) · (a · a · a · . . . · a) = an+m | {z } | {z } n

m

45

46

Matematika v ekonomii a ekonomice (P3) an : am = (a · a · . . . · a) : (a · a · . . . · a) = an−m , pokud n ≥ m, a 6= 0 | {z } | {z } n

m

m

m

m

(P4) (a ) = (a · a · . . . · a ) = (a · a · . . . · a) = an·m {z } | {z } | m n

n

n·m

n

(P5) (a · b) = (a · b) · (a · b) · . . . · (a · b) = an · bn | {z } n

(P6) ( ab )n =

n

a bn

pro b 6= 0

Budeme požadovat, aby vztahy (P1) až (P6) platily i pro n = 0 a celé záporné exponenty. V pˇrípadˇe n = m, a 6= 0 dostáváme pak an : an = a0 = 1. Zaved’me nyní odmocniny reálných cˇ ísel s celoˇcíselným exponentem. Uvažme dva pˇrípady. √ a) Pˇredpokládejme, že n je sudé pˇrirozené √ cˇ íslo. Potom n x definujme pro x ≥ 0 jako √ n takové cˇ íslo Symbol n x cˇ teme n-tá odmocnina cˇ ísla x. Místo 2 x p √ √ √ y ≥ 0, že y = x. staˇcí psát x. Je tedy napˇr. 4 16 = 2, nebot’ 24 = 16, 4 =√2, (−4)2 = 4, ale √ n n napˇr. −4 není pv oboru reálných cˇ ísel definována. Zˇrejmˇe platí a = |a| pro n sudé, 2 a ∈ R. Napˇr. (−2) = | − 2| = 2. √ b) Pˇredpokládejme, že n je pˇrirozené liché cˇ íslo. Potom n x pro každé x ∈ R je ta√ √ kové cˇ íslo y ∈ R, že y n = x. Napˇr. 3 8 = 2, nebot’ 23 = 8, 3 −8 = −2, nebot’ (−2)3 = −8. Pro n liché je √ √ n x = − n −x pro x ≤ 0. (2.24) Vztah 2.24 nám umožˇnuje omezit se jen na pˇrípady s odmocninami s nezápornými cˇ ísly. Sudá odmocnina ze záporného cˇ ísla není definována a lichá odmocnina ze záporného cˇ ísla x je rovna téže odmocninˇe z absolutní hodnoty cˇ ísla x násobené cˇ íslem (−1). Ukažme si pravidla pro poˇcítání s odmocninami nezáporných cˇ ísel. Pravidla pro poˇcítání s odmocninami. Vzhledem k uvedené poznámce se staˇcí omezit na odmocniny s nezápornými argumenty. Vˇeta 2.2.3 (Odmocniny – pravidla). Necht’ x, y ∈ R, x ≥ 0, y ≥ 0, m, n ∈ N. Potom platí √ √ ( n x)m = n xm , (2.25) √ √ √ n n n x· y = x · y, (2.26) √ r n x x = n , pokud y 6= 0, (2.27) √ n y y q √ m √ n x = mn x, (2.28) √ √ nm n x = xm . (2.29) √ √ Dukaz. ˚ Dokažme jen vztah (2.25). Uvˇedomte si, že z existence n x vyplývá existence n xm . Položme √ √ n x = y, n xm = u, (2.30)

ˇ Císla kde y a u jsou taková reálná cˇ ísla, že y n = x, un = xm .

(2.31)

Ze vztah˚u (2.31) vyplývá y nm = xm = un . To znamená, že (y m )n = un . Odtud y m = u. Vzhledem k (2.30) dostáváme dokazovaný vztah √ √ ( n x)m = n xm . Pˇríklady poˇcítání s odmocninami. √ √ √ √ a) 125 · 5 = 125 · 5 = 54 = 52 = 25, q √ √ 125 b) √125 = 25 = 5, 5 = 5 c)

q 3

− 81 3 =

√ 3

√ −27 = − 3 27 = −3,

p p p p √ √ √ √ √ 3 3 3 3 6 32 2 = 322 · 2 = 210 · 2 = 211 = 2 25 , √ √ √ 2 e) 3 −8 = (− 3 8)2 = ( 3 8)2 = 22 = 4,

d)

f)

√ 4 √ 4 9 = 32 = 34 = 81,

p √ √ √ 3 4 12 27 = 33 = 4 3, p√ h) 3 −4 neexistuje v R, √ √ √ √ √ √ √ i) 8 + 72 = 22 · 2 + 62 · 2 = 2 2 + 6 2 = 8 2, √ 2 2 2 √ j) x + √1x = x+1 = x +2x+1 pro x > 0, x x g)

k)

=

√ 1 x− √ 3 x

2

√ √ 2 x3x−1 √ = = 3 x

√ 6

!2 √ 6 x3 x2 − 1 √ = 3 x

!2 √ √ √ 6 3 6 √ √ x5 − 1 x5 − 2 x5 + 1 1 3 √ √ = = x3 − 2 6 x + √ = 3 3 3 2 x x x2 √ 3 √ √ 1 x 6 6 =x−2 x+ √ =x−2 x+ pro x > 0 3 2 x x

47

48

Matematika v ekonomii a ekonomice nebo

√ 1 x− √ 3 x

2

√ 3 √ √ 1 1 x 1 6 3√ √ √ = x−2 x√ + = x − 2 x + √ = 3 6 3 3 2 2 2 x x x x 3x √ 3 √ x x−26x+ pro x > 0. x

Mocniny s racionálním exponentem (mocnitelem). Zavedli jsme celoˇcíselné mocniny reálných cˇ ísel a operace jejich násobení a umocˇnování. Mocniny reálných cˇ ísel nyní rozšíˇríme i pro racionální mocnitele, a to tak, že zachováme základní vlastnosti mocnin s celoˇcíselným exponentem. Vlastnosti odmocnin reálných cˇ ísel uvedené ve vˇetˇe 2.2.3 nás vedou k rozšíˇrení celoˇcíselných mocnin reálných cˇ ísel na mocniny reálných cˇ ísel s racionálním exponentem. p

Definice 2.2.2. Necht’ p ∈ Z, q ∈ N a necht’ x je kladné reálné cˇ íslo. Definujme x q vztahem √ p x q = q xp . (2.32) p

Pro x = 0, p, q ∈ N položme x q = 0. Pro x > 0 je pˇri této definici splnˇen nezbytný požadavek platnosti vztahu xr = xs , kde r, s jsou odlišné zápisy téhož racionálního cˇ ísla. Napˇríklad r = pk qk = je odlišné vyjádˇrení téhož racionálního cˇ ísla pq . Potom podle (2.32) je

Avšak

√ xpk

qk

p q

= s, pro k ∈ N,

√ pk qk xpk . x qk = p p √ = qk (xp )k a podle (2.25) je qk (xp )k = q xp . Je tedy p

pk

x q = x qk pro k ∈ N.

(2.33)

Vˇeta 2.2.4 (Pravidla pro poˇcítání s mocninami s racionálním exponentem). Necht’ r, s ∈ Q, x > 0. Potom platí xr · xs = xr+s , xr = xr−s , xs (xr )s = xrs . Je-li x > 1 a r < s je xr < xs . Je-li 0 < x < 1 a r < s je xr > xs . Mocniny reálných cˇ ísel s reálným exponentem. Zatím jsme definovali racionální mocniny kladných reálných cˇ ísel x. Pro úplnost uvádíme i definici mocniny kladných cˇ ísel s reálným exponentem. a) Necht’ x > 1, m ∈ R. Položme xm = inf {xr : r ∈ Q ∧ r > m}. r

b) Necht’ x < 1, m ∈ R. Položme xm = sup{xr : r ∈ Q ∧ r > m}. r

ˇ Císla

2.3

Komplexn´ı cˇ ´ısla

ˇ Rada matematických úloh není ˇrešitelná v oboru reálných cˇ ísel. Napˇr. neexistuje reálné cˇ íslo x, pro nˇež je x2 = −1. To znamená, že rovnice x2 + 1 = 0 nemá v oboru reálných cˇ ísel ˇrešení. Tato a celá ˇrada jiných úloh nás inspiruje k zavedení komplexních cˇ ísel. Definice 2.3.1. Oznaˇcme C množinu uspoˇrádaných dvojic reálných cˇ ísel (x, y), na níž jsou zavedeny operace sˇcítání „+“ a násobení „·“ s tˇemito vlastnostmi: Pro a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R položíme (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ), (a1 , a2 ) · (b1 , b2 ) = (a1 b1 − a2 b2 , a1 b2 + a2 b1 ).

(2.34) (2.35)

Množinu C nazveme množinou komplexních cˇ ísel. Je-li z = (a, b) ∈ C, lze psát z = (a, 0) + (0, 1) · (b, 0).

(2.36)

ˇ ˇ Císlo (c, 0) lze zkrácenˇe oznaˇcit jako c. Symbol (c, 0) oznaˇcuje tedy reálné cˇ íslo. Císlo (0, 1) oznaˇcíme symbolem i a nazveme imaginární jednotka, pro kterou platí základní vztah i2 = −1.

(2.37)

z = a + ib.

(2.38)

Potom (2.36) lze zapsat jako Jestliže z = a + ib ∈ C, potom cˇ íslo a nazýváme jeho reálná cˇ ást a znaˇcíme ji <(z), b nazýváme imaginární cˇ ástí a znaˇcíme =(z). Je tedy <(a + ib) = a, =(a + ib) = b. Necht’ z = a + ib ∈ C. Potom cˇ íslo a − ib nazýváme cˇ íslem komplexnˇe sdruženým k cˇ íslu z. Budeme jej znaˇcit z¯. Tedy z¯ = a − ib. Vzhledem k definování souˇctu a souˇcinu cˇ ísel (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) dostáváme (a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ), (a1 + ib1 ) · (a2 + ib2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 ). Pˇríklad 30. Dokažte (2 + 3i) + (4 − i) = 6 + 2i (2 + 3i) · (4 − i) = 11 + 10i Lze ukázat, že operace sˇcítání a násobení komplexních cˇ ísel mají následující vlastnosti: (1) (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) pro každé z1 , z2 , z3 ∈ C, (2) z1 + z2 = z2 + z1 pro každé z1 , z2 ∈ C, (3) pro 0 = (0, 0) ∈ C platí z + 0 = z pro všechna z ∈ C,

49

50

Matematika v ekonomii a ekonomice (4) ke každému z ∈ C existuje −z ∈ C tak, že z + (−z) = 0, (5) (z1 · z2 ) · z3 = z1 · (z2 · z3 ) pro každé z1 , z2 , z3 ∈ C, (6) z1 · z2 = z2 · z1 pro každé z1 , z2 ∈ C, (7) pro 1 = (1, 0) ∈ C a pro každé z ∈ C platí 1 · z = z, (8) ke každému z ∈ C, z 6= 0 existuje z −1 ∈ C tak, že z · z −1 = 1, (9) z1 · (z2 + z3 ) = (z1 · z2 ) + (z1 · z3 ) pro všechna z1 , z2 , z3 ∈ C. Vidíme, že operace seˇcítání a násobení komplexních cˇ ísel mají vlastnosti, které jsme uvedli u operací reálných cˇ ísel. Komplexní cˇ ísla však nejsou lineárnˇe uspoˇrádaná. Komplexní cˇ ísla se znázorˇnují jako body v rovinˇe, ve které je zavedena kartézská soustava souˇradnic, nazývá se Gaussovou rovinou. Každé komplexní cˇ íslo z = x + iy se v ní znázorˇnuje jako bod o souˇradnicích x, y, tedy jako [x, y]. Na obr. 2.4 je vyznaˇceno komplexní cˇ íslo z a k nˇemu komplexnˇe sdružené cˇ íslo z¯. y

|z |

=

a+

ib| z = a + ib

|

x

0

z = a − ib Obrázek 2.4: Komplexnˇe sdružená cˇ ísla

Zaved’me si celoˇcíselné mocniny komplexních cˇ ísel následovnˇe. Necht’ a ∈ C, n ∈ N. Položme an = |a · a · ·{z · · · a · a} ,

(2.39)

n

1 , pro a 6= 0, an a0 = 1, pro a 6= 0, 0n = 0. a−n =

Pˇríklad 31. V oboru komplexních cˇ ísel rˇešte rovnici x2 + x + 1 = 0.

(2.40) (2.41) (2.42)

Matematika v ekonomii a ekonomice

Recommend Documents