3/29/2016
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV
Nor ma Puspita, ST. MT.
Matriks ◦ Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang ◦ Matriks dinotasikan dengan huruf capital. ◦ Banyaknya baris dankolom suatu matriks menentukan ukuran matriks tersebut, yang disebut ordo matriks ◦ Secara umum ordo matriks dituliskan dengan symbol m x n , m menerangkan banyaknya baris, sedangkan n menerangkan banyaknya kolom a11 a21
a12 a22
a13 a23
… …
a1n a2n
Matriks Amxn = [Amxn] = a31
a32
a33
…
a3n
.. .
.. .
.. . …
.. .
.. .
am1 am2 am3
amn
1
3/29/2016
Jenis Matriks Berdasarkan Ordo: ◦ Matriks bujur sangkar/persegi, berordo n x n ◦ Matriks baris, yaitu berordo 1 x n
◦ Matriks Kolom
a
b
c
d
[Anxn] =
[A1xn] =
[A1xn] = [ a b c ]
a b c
◦ Matriks Tegak berordo m x n, tetapi m > n
[Amxn] =
◦ Matriks datar berordo m x n, tetapi m < n
a c
b d
e
f
a
b
c
d
e
f
[Anxn] =
Jenis matriks Berdasarkan elemen penyusunnya: ◦ Matriks nol, elemen semua penyusunnya bernilai 0
◦ Matriks Diagonal, D, matriks persegi yang semua nilai diatas diagonal dan dibawah diagonal bernilai 0
◦ Matriks Skalar, matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya bernilai sama
2
3/29/2016
◦ Matriks Simetri, matriks persegi yang setiap elemennya, selain elemen diagonal dalah simetri terhadap diagonal utama
◦ Matriks simetri miring yaitu matriks simetri yang elemen-elemennya, selain elemen diagonal, saling berlawanan
◦ Matriks Identitas, I, matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah 1 dan dinotasikan sebagai I.
◦ Matriks segitiga atas yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.
◦ Matriks segitiga bawah yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.
◦ Matriks transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-elemen baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya. Transpose matriks A dilambangkan dengan AT
3
3/29/2016
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Sifat penjumlahan matriks: ◦ A +B = B + A ◦ A + (B + C) = (A + B ) + C ◦ A + O = O + A = A ◦ (A + B)T = AT + BT ◦ Jika A−B = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari pengurangan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij −bij atau pengurangan dua matriks ini dapat dipandang sebagai penjumlahan, yaitu A + (-B)
Perkalian Matriks Yang perlu diperhatikan dari perkalian matriks, yaitu: ◦ Pada umumnya AB ≠ BA ( tidak komutatif ) ◦ Apabila A suatu matriks persegi maka : A2 = A.A ; A3 = A2 .A : A4 = A3 . A dan seterusnya ◦ Apabila AB = Bc maka tidak dapat disimpulkan bahwa B = C ( tidak berlaku sifat penghapusan ) ◦ Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B =0 Sifat perkalian Matriks:
◦ A(BC) = (AB)C ◦ A(B+C) = AB + AC ◦ (B+C)A = BA + CA
• (B−C)A = BA−CA • a(BC) = (aB)C = B(aC) • AI = IA = A
◦ A(B−C) = AB−AC
4
3/29/2016
Determinan Matriks Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A). ◦ Determinan matriks berordo 2 X 2
◦ Determinan matriks berordo 3 X 3 – Metode Saruss
Perlu diperhatikan bahwa cara demikian tidak berlaku bila matriks berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi. – Metode Kofaktor Terlebih dahulu dijelaskan tentang sub matriks atau minor dari suatu matriks. Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j. Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan Kij = (-1)i+j Mij = (-1)i+j det (Mij ) Untuk mencari det(A) dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1
5
3/29/2016
Adjoin Matriks ◦ Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = (kij)t dari hitungan sebelumnya bahwa k11=13, k12 =−26 dan k13 =13
Invers matriks ◦ Matrks-matriks persegi A dan B sedemikian hingga AB = BA = I maka A disebut insvers B ditulis B-1 dan sebaliknya B adalah invers A ditulis A-1 sehingga berlaku AA−1= A−1A = I, dimana I matriks identitas. 1
◦ Invers matriks A dirumuskan A−1=𝑑𝑒𝑡𝑟 (𝐴) 𝐴𝑑𝑗 (𝐴)
6
