MATICE Matice typu m/n nad tˇelesem T je soubor m·n prvk˚ u z tˇelesa T uspoˇra´dan´ ych do m ˇra´dk˚ u a n sloupc˚ u:
a11 a21 .. .
A=
a12 a22
· · · a1n · · · a2n
am1 am2 · · · amn
= [aij ]
Prvek ai,j je prvek matice A na m´ıstˇe (i, j), tj. v ˇra´dku i a v sloupci j. Prvn´ı index i je index ˇra´dkov´ y, druh´ y index j je index sloupcov´ y. Tˇeleso T m˚ uˇze b´ yt tˇeleso komplexn´ıch ˇc´ısel C, tˇeleso re´aln´ ych ˇc´ısel R ˇci jin´e tˇeleso. Matici nad tˇelesem re´aln´ ych ˇc´ısel R naz´ yv´ame re´ aln´ a matice. Typ matice ud´av´a poˇcet ˇr´adk˚ u a poˇcet sloupc˚ u matice (v tomto poˇrad´ı). Prvky akk , pro kter´e je ˇra´dkov´ y index stejn´ y jako index sloupcov´ y, se naz´ yvaj´ı prvky diagon´ aln´ı. Matice A = [aij ] typu m/n se naz´ yv´a matice nulov´ a a znaˇc´ı se 0, jestliˇze aij = 0 pro kaˇzd´e i = 1, ..., m a pro kaˇzd´e j = 1, ..., n, t.j. jestliˇze na kaˇzd´em m´ıstˇe matice je prvek 0. Matice A typu m/n se naz´ yv´a matice ˇ ctvercov´ aˇ r´ adu n, jestliˇze m = n, t.j. jestliˇze m´a stejn´ y poˇcet ˇra´dk˚ u a sloupc˚ u. Matice A typu m/n se naz´ yv´a matice obd´ eln´ıkov´ a, jestliˇze m 6= n. ˇ Ctvercov´ a matice A = [aij ] ˇra´du n se naz´ yv´a matice diagon´ aln´ı, jestliˇze aij = 0 pro kaˇzd´e i 6= j. Potom p´ıˇseme A = diag [a11 , a22 , ..., ann ]. Jednotkov´ a matice ˇra´du n je matice I = diag[ 1, 1, ..., 1 ], |
t.j. I =
1 0 0 ··· 0 1 0 0 0 1 .. .. . . 0 0 0 ···
0 0 0 1
.
1
{z n
}
ˇ Rekneme, ˇze ˇctvercov´a matice A ˇra´du n je symetrick´ a, jestliˇze aij = aji pro kaˇzd´e i, j = 1, ..., n. ˇ Rekneme, ˇze matice A typu m/n je horn´ı (resp. doln´ı) troj´ uheln´ıkov´ a matice, jestliˇze aij = 0 pro kaˇzd´e i > j (resp. i < j). Rovnost matic: Matice A = [aij ] , B = [bij ] jsou si rovny, jestliˇze to jsou matice stejn´eho typu m/n a jestliˇze aij = bij pro kaˇzd´e i = 1, ..., m a pro kaˇzd´e j = 1, ..., n. P´ıˇseme A = B.
Operace s maticemi Transponov´ an´ı matice Je-li A = [aij ] matice typu m/n, potom matice typu n/m tvaru AT = [aji ] se naz´ yv´a matice transponovan´ a k matici A. Pro matici a11 a21 A= .. .
a12 a22 .. .
· · · a1n · · · a2n .. .
am1 am2 · · · amn
je AT =
a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2 .. .. .. . . . a1n a2n · · · amn
.
Tvrzen´ı: 1. Matice A je symetrick´a pr´avˇe tehdy, kdyˇz AT = A. 2. Pro kaˇzdou matici A plat´ı: (AT )T = A.
Sˇ c´ıt´ an´ı matic Jsou-li matice A = [aij ] , B = [bij ] matice stejn´eho typu m/n nad tˇelesem T , potom jejich souˇ cet je matice typu m/n nad tˇelesem T tvaru A + B = [aij + bij ] .
2
Vlastnosti sˇ c´ıt´ an´ı matic: Jsou-li A, B, C matice t´ehoˇz typu m/n nad tˇelesem T a 0 je nulov´a matice typu m/n nad T , plat´ı: 1. A + B = B + A, 2. A + (B + C) = (A + B) + C, 3. A + 0 = 0 + A = A, 4. (A + B)T = AT + BT . N´ asoben´ı matice prvkem z tˇ elesa Je-li λ prvek z tˇelesa T , A = [aij ] matice typu m/n nad tˇelesem T , potom matice typu m/n tvaru λA = [λaij ] se naz´ yv´a n´ asobek matice A prvkem λ. Matice opaˇ cn´ a k matici A je n´asobek matice A ˇc´ıslem −1, tedy −A = (−1)A. Odeˇ c´ıt´ an´ı matic je souˇcet matice a matice opaˇcn´e, t.j. A − B = A + (−B).
Vlastnosti n´ asoben´ı matice prvkem z tˇ elesa: Jsou-li A, B matice typu m/n nad tˇelesem T , 0 nulov´a matice t´ehoˇz typu m/n nad T a λ, λ1 , λ2 jsou libovoln´e prvky z tˇelesa T , plat´ı: 1. λ(A + B) = λA + λB, 2. (λ1 + λ2 )A = λ1 A + λ2 A, 3. (λ1 .λ2 )A = λ1 (λ2 A), 4. 1A = A, 5. 0A = 0, 6. (λA)T = λAT .
3
n-ˇ clenn´ y aritmetick´ y vektor nad tˇelesem T je matice typu n/1 nad tˇelesem T . Pˇri z´apisu n-ˇclenn´eho aritmetick´eho vektoru budeme vynech´avat druh´ y index, budeme ps´at
a=
a1 a2 .. .
= [a1 , a2 , ..., an ]T .
an Symbolem Rn budeme oznaˇcovat mnoˇzinu vˇsech n-ˇclenn´ ych aritmetick´ ych vektor˚ u nad tˇelesem R re´aln´ ych ˇc´ısel. N´ asoben´ı matic Jsou-li A = [aij ] matice typu m/n nad tˇelesem T , B = [bjk ] matice typu n/p nad tˇelesem T , potom matice C = [cik ] typu m/p se naz´ yv´a souˇ cin matic C = AB, jestliˇze pro kaˇzd´e i = 1, ..., m, k = 1, ..., p plat´ı: cik = ai1 b1k + ai2 b2k + · · · + ain bnk =
n X
aij bjk .
j=1
Pozn´ amka: 1. Jestliˇze C = AB, potom prvek v matici C na m´ıstˇe (i, k) je vlastnˇe skal´arn´ı souˇcin i-t´eho ˇra´dku matice A s k-t´ ym sloupcem matice B. 2. Lze n´asobit pouze matice vhodn´ ych typ˚ u, t.j. existuje souˇcin C = AB, jestliˇze poˇcet sloupc˚ u matice A se rovn´a poˇctu ˇra´dk˚ u matice B. 3. POZOR!!! N´asoben´ı matic nen´ı komutativn´ı operace, t.j. pro mnoho matic A, B je AB = 6 BA. Vlastnosti n´ asoben´ı matic: Pro kaˇzd´e tˇri matice A, B, C nad tˇelesem T a pro libovoln´ y prvek λ ∈ T plat´ı, pokud je alespoˇ n jedna strana rovnosti definov´ana: 1. A(BC) = (AB)C, 2. (A + B)C = AC + BC, 3. C(A + B) = CA + CB, 4
4. (AB)T = BT AT , 5. (λA)B = A(λB) = λ(AB). D´ale plat´ı pro jednotkovou matici I a nulovou matici 0 a pro kaˇzdou matici A nad tˇelesem T , kdykoliv je definov´ana lev´a strana rovnosti: (a) AI = A, IA = A, (b) A0 = 0, 0A = 0.
Definice: Jestliˇze A je ˇctvercov´a matice ˇra´du n nad tˇelesem T , potom ˇctvercov´a matice yv´a inverzn´ı matice k matici A, jestliˇze AA−1 = I A−1 ˇra´du n nad T se naz´ a A−1 A = I, kde I je jednotkov´a matice ˇr´adu n. Vˇ eta: Ke ˇctvercov´e matici existuje nejv´ yˇ se jedna inverzn´ı matice.
5
´ ´ICH ALGEBRAICKYCH ´ SOUSTAVY LINEARN ROVNIC I ˇ ´I METODA - vyuˇ (GAUSSOVA ELIMINACN zit´ı redukovan´ eho stupˇ novit´ eho tvaru matice)
Necht’ je d´ana matice A typu m/n nad tˇelesem R re´aln´ ych ˇc´ısel, n-ˇclenn´ y aritmetick´ y vektor x = [x1 , x2 , ..., xn ]T nad R a m-ˇclenn´ y aritmetick´ y vektor b = [b1 , b2 , ..., bm ]T nad R. Potom Ax = b je soustava m line´ arn´ıch algebraick´ ych rovnic o n nezn´ am´ ych. Jestliˇze A = [aij ], potom Ax = b rozep´ıˇseme do tvaru:
a11 a21 .. .
a12 a22
· · · a1n · · · a2n .. .
am1 am2 · · · amn
·
x1 x2 .. .
=
xn
b1 b2 .. .
bm
t.j. a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 , ............... am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm . Matice A = [aij ] se naz´ yv´a matice soustavy. Vektor x = [x1 , x2 , ..., xn ]T vektor nezn´ am´ ych. Vektor b = [b1 , b2 , ..., bm ]T vektor prav´ ych stran.
Matici [A|b] =
a11 a21 .. .
a12 a22
· · · a1n · · · a2n .. .
b1 b2 .. .
am1 am2 · · · amn bm
soustavy.
6
naz´ yv´ame rozˇ s´ıˇ ren´ a matice
Definice: Necht’ Ax = b je soustava m line´arn´ıch rovnic o n nezn´am´ ych. Potom kaˇzd´ y n-ˇclenn´ y aritmetick´ y vektor x nad tˇelesem R, pro kter´ y plat´ı Ax = b, naz´ yv´ame ˇ reˇ sen´ı soustavy rovnic. Dvˇe soustavy line´arn´ıch rovnic naz´ yv´ame ekvivalentn´ı soustavy, jestliˇze maj´ı stejn´e mnoˇziny ˇreˇsen´ı. Definice: N´asleduj´ıc´ı u ´pravy matice A ( typu m/n ) 1. vz´ajemn´a v´ ymˇena dvou ˇra´dk˚ u matice, 2. vyn´asoben´ı ˇr´adku matice nenulov´ ym ˇc´ıslem, 3. pˇriˇcten´ı n´asobku jednoho ˇr´adku k jin´emu ˇr´adku, se naz´ yvaj´ı element´ arn´ı ˇ r´ adkov´ eu ´ pravy matice A. Vˇ eta: Jestliˇze matice [C|d] vznikne z matice [A|b] uˇzit´ım ˇr´adkov´ ych element´arn´ıch u ´prav, potom soustavy line´arn´ıch rovnic Ax = b a Cx = d jsou ekvivalentn´ı. Definice: ˇ Rekneme, ˇze matice A je ve stupˇ novit´ em tvaru s pivoty 1, jestliˇze plat´ı: 1. Jestliˇze ˇra´dek nen´ı nulov´ y, potom prvn´ı nenulov´e ˇc´ıslo je 1. Toto ˇc´ıslo se naz´ yv´a pivot neboli vedouc´ı prvek. 2. Vˇsechny nulov´e ˇra´dky jsou aˇz za ˇra´dky nenulov´ ymi. 3. V kaˇzd´ ych dvou nenulov´ ych ˇra´dc´ıch i, j, i < j, je pivot v ˇr´adku j v´ıce vpravo neˇz pivot v ˇr´adku i. ˇ ık´ame, ˇze matice je v redukovan´ R´ em stupˇ novit´ em tvaru s pivoty 1, jestliˇze nav´ıc plat´ı: Kaˇzd´ y sloupec obsahuj´ıc´ı pivot 1 m´a vˇsude jinde 0. Vˇ eta: Kaˇzdou matici lze pˇrev´est pomoc´ı ˇra´dkov´ ych element´arn´ıch u ´prav na matici ve stupˇ novit´em tvaru s pivoty 1 a tak´e na matici v redukovan´em stupˇ novit´em tvaru s pivoty 1.
7
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR LINEARN
Definice: Nepr´azdn´a mnoˇzina L se naz´ yv´a line´ arn´ı vektorov´ y prostor nad tˇelesem T , jestliˇze plat´ı: 1. Pro libovoln´e dva prvky u, v ∈ L existuje jednoznaˇcnˇe urˇcen´ y prvek u + v ∈ L naz´ yvan´ y souˇ cet prvk˚ u u a v. 2. Pro libovoln´ y prvek u ∈ L a pro libovoln´ y prvek λ ∈ T existuje jednoznaˇcnˇe urˇcen´ y prvek λu ∈ L naz´ yvan´ y n´ asobek prvku u prvkem λ z tˇelesa T . 3. Pro kaˇzd´e dva prvky u, v ∈ L plat´ı u + v = v + u . (komutativita sˇc´ıt´an´ı) 4. Pro kaˇzd´e tˇri prvky u, v, w ∈ L plat´ı (u + v) + w = u + (v + w). (asociativita sˇc´ıt´an´ı) 5. Existuje prvek 0 ∈ L takov´ y, ˇze pro kaˇzd´ y prvek u ∈ L plat´ı u + 0 = 0 + u = u. (existence nulov´eho prvku) 6. Pro kaˇzd´ y prvek u ∈ L existuje prvek (−u) ∈ L takov´ y, ˇze u + (−u) = (−u) + u = 0. (existence opaˇcn´eho prvku k prvku) 7. Pro kaˇzd´e dva prvky u, v ∈ L a pro kaˇzd´ y prvek λ ∈ T plat´ı λ(u + v) = λu + λv. 8. Pro kaˇzd´ y prvek u ∈ L a pro kaˇzd´e dva prvky λ, α ∈ T plat´ı (λ + α)u = λu + αu . 9. Pro kaˇzd´ y prvek u ∈ L a pro kaˇzd´e dva prvky λ, α ∈ T plat´ı (λα)u = λ(αu). 10. Pro kaˇzd´ y prvek u ∈ L plat´ı 1u = u .
8
Uved’me pˇr´ıklady line´arn´ıch vektorov´ ych prostor˚ u nad tˇelesem re´aln´ ych ˇc´ısel R. 1. Mnoˇzina vˇsech orientovan´ ych u ´seˇcek v rovinˇe, t.j. T R2 = {[u1 , u2 ] ; u1 , u2 ∈ R}. 2. Mnoˇzina vˇsech orientovan´ ych u ´seˇcek v prostoru, t.j. T R3 = {[u1 , u2 , u3 ] ; u1 , u2 , u3 ∈ R}. 3. Mnoˇzina vˇsech re´aln´ ych ˇc´ısel, t.j. R = R1 4. Rn = {[u1 , u2 , ..., un ]T ; u1 , u2 , ..., un ∈ R} pro libovoln´e pˇrirozen´e n, jestliˇze sˇc´ıt´an´ı i n´asobky re´aln´ ym ˇc´ıslem definujeme po sloˇzk´ach, t.j. [u1 , ..., un ]T + [v1 , ..., vn ]T = [u1 + v1 , ..., un + vn ]T , λ[u1 , ..., un ]T = [λu1 , ..., λun ]T pro kaˇzd´e [u1 , u2 , ..., un ]T , [v1 , v2 , ..., vn ]T ∈ Rn a pro kaˇzd´e λ ∈ R. 5. Mm,n = {A; A je re´aln´a matice typu m/n} pro libovoln´a pˇrirozen´a ˇc´ısla m, n. 6. Pn = {p(x); p(x) je polynom do stupnˇe n, vˇcetnˇe nulov´eho polynomu} pro libovoln´e celoˇc´ıseln´e n ≥ 0. 7. P = {p(x); p(x) je polynom}. 8. C(a, b) = {f (x); f (x) je re´aln´a funkce, spojit´a naintervalu < a, b >}.
Vˇ eta: (z´ akladn´ı vlastnosti) Necht’ L je line´arn´ı vektorov´ y prostor nad tˇelesem T . Potom plat´ı: 1. Nulov´ y prvek je urˇcen jednoznaˇcnˇe. 2. ∀x, y, z ∈ L: jestliˇze x + y = x + z, potom y = z. 3. Ke kaˇzd´emu prvku x ∈ L je opaˇcn´ y prvek urˇcen jednoznaˇcnˇe. 4. ∀x, y, z ∈ L: jestliˇze x + y = z, potom x = z + (−y). 5. ∀x ∈ L: 0x = 0, ∀λ ∈ T : λ0 = 0. 6. ∀x ∈ L: (−1)x = −x. 7. Jestliˇze λx = 0, potom bud’ λ = 0 nebo x = 0. 9
Definice: Necht’ L je line´arn´ı vektorov´ y prostor nad tˇelesem T , necht’ v1 , v2 , ..., vn ∈ L, necht’ λ1 , λ2 , ..., λn ∈ T . Prvek λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn ∈ L se naz´ yv´a line´ arn´ı kombinace prvk˚ u v1 , v2 , ..., vn s koeficienty λ1 , λ2 , ..., λn . Line´arn´ı kombinace λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn se naz´ yv´a netrivi´ aln´ı, jestliˇze existuje i ∈ {1, 2, ..., n} takov´e, ˇze λi 6= 0 (tj. existuje alespoˇ n jeden nenulov´ y koeficient). Line´arn´ı kombinace λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn se naz´ yv´a trivi´ aln´ı, jestliˇze λi = 0 pro kaˇzd´e i = 1, 2, ..., n (tj. vˇsechny koeficienty jsou nulov´e).
Definice: Necht’ L je line´arn´ı vektorov´ y prostor nad tˇelesem T , necht’ v1 , v2 , ..., vn ∈ L. Prvky v1 , v2 , ..., vn se naz´ yvaj´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, jestliˇze kaˇzd´a jejich netrivi´aln´ı line´arn´ı kombinace je nenulov´ y prvek. Prvky v1 , v2 , ..., vn se naz´ yvaj´ı line´ arnˇ e z´ avisl´ e, jestliˇze nejsou line´arnˇe nez´avisl´e, t.j. jestliˇze existuje jejich netrivi´aln´ı line´arn´ı kombinace, kter´a se rovn´a nulov´emu prvku.
Jak tedy urˇcovat, zda prvky v1 , v2 , ..., vn line´arn´ıho vektorov´eho prostoru L jsou line´arnˇe z´avisl´e nebo nez´avisl´e? Nap´ıˇseme jejich obecnou line´arn´ı kombinaci a poloˇz´ıme ji rovnou nulov´emu prvku prostoru L, tedy λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn = 0. Urˇc´ıme, pro kter´e hodnoty koeficient˚ u λ1 , ..., λn je rovnost splnˇena. Pokud rovnost plat´ı jen pro λ1 = 0, λ2 = 0, ..., λn = 0, jsou prvky v1 , v2 , ..., vn line´arnˇe nez´avisl´e. Pokud je rovnost splnˇena i pro nˇejak´e nenulov´e hodnoty koeficient˚ u λ1 , ..., λn , jsou prvky v1 , v2 , ..., vn line´arnˇe z´avisl´e.
Vˇ eta: (charakterizace line´ arnˇ e z´ avisl´ ych prvk˚ u) Necht’ L je line´arn´ı vektorov´ y prostor nad tˇelesem T , necht’ v1 , v2 , ..., vn ∈ L jsou prvky tohoto prostoru. Prvky v1 , v2 , ..., vn jsou line´arnˇe z´avisl´e pr´avˇe tehdy, kdyˇz alespoˇ n jeden z nich se d´a vyj´adˇrit jako line´arn´ı kombinace ostatn´ıch n − 1 prvk˚ u. 10
D˚ usledek: Kaˇzd´a nepr´azdn´a podmnoˇzina mnoˇziny line´arnˇe nez´avisl´ ych prvk˚ u line´arn´ıho vektorov´eho prostoru je opˇet line´arnˇe nez´avisl´a.
Definice: ˇ Rekneme, ˇze nepr´azdn´a podmnoˇzina L0 line´arn´ıho vektorov´eho prostoru L nad tˇelesem T je podprostor prostoru L, jestliˇze plat´ı: 1. pro kaˇzd´e dva prvky x, y ∈ L0 je x + y ∈ L0 , 2. pro kaˇzd´ y prvek x ∈ L0 a pro kaˇzd´ y prvek λ ∈ T je λx ∈ L0 .
Definice: Necht’ L je line´arn´ı vektorov´ y prostor, necht’ M = {x1 , x2 , ..., xk } je koneˇcn´a podmnoˇzina prostoru L. Mnoˇzina vˇsech line´arn´ıch kombinac´ı tvaru λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λk vk se naz´ yv´a line´ arn´ı obal koneˇ cn´ e mnoˇ ziny M a znaˇc´ı se hM i.
Definice: ˇ Rekneme, ˇze mnoˇzina M generuje line´arn´ı vektorov´ y prostor L nad tˇelesem T (je mnoˇ zinou gener´ ator˚ u, je generuj´ıc´ı mnoˇ zinou), jestliˇze line´arn´ı obal mnoˇziny M je cel´ y prostor L, t.j. hM i = L. ( To znamen´a, ˇze kaˇzd´ y prvek prostoru L lze ps´at jako line´arn´ı kombinaci prvk˚ u mnoˇziny M .)
Definice: Existuje-li koneˇcn´a generuj´ıc´ı mnoˇzina M prostoru L, ˇr´ık´ame, ˇze prostor L je koneˇ cnˇ e generovan´ y prostor.
D´ale se budeme vˇenovat pouze line´arn´ım vektorov´ ym prostor˚ um, kter´e jsou koneˇcnˇe generovan´e.
11
Definice: Necht’ L je koneˇcnˇe generovan´ y line´arn´ı vektorov´ y prostor nad tˇelesem T . Line´arnˇe nez´avisl´a, generuj´ıc´ı mnoˇzina (koneˇcn´a) prostoru L se naz´ yv´a b´ aze prostoru L. Vˇ eta: (o existenci line´ arnˇ e nez´ avisl´ e podmnoˇ ziny gener´ ator˚ u) ’ Necht L je nenulov´ y, koneˇcnˇe generovan´ y line´arn´ı vektorov´ y prostor, necht’ koneˇcn´a mnoˇzina M je mnoˇzina gener´ator˚ u prostoru L. Potom existuje podmnoˇzina N ⊆ M , kter´a je b´az´ı prostoru L. D˚ usledek: (o existenci b´ aze) V kaˇzd´em nenulov´em, koneˇcnˇe generovan´em line´arn´ım vektorov´em prostoru existuje b´aze. Vˇ eta: (Steinitzova vˇ eta o v´ ymˇ enˇ e) Necht’ L je nenulov´ y line´arn´ı vektorov´ y prostor nad tˇelesem T , necht’ M = {g1 , g2 , ..., gm } je mnoˇzina gener´ator˚ u prostoru L, necht’ N = {b1 , b2 , ..., bn } je mnoˇzina line´arnˇe nez´avisl´ ych prvk˚ u prostoru L. Potom n ≤ m a nˇekter´ ych n prvk˚ u mnoˇziny M lze nahradit prvky mnoˇziny N tak, ˇze vznikl´a mnoˇzina opˇet generuje prostor L. Tato Steinitzova vˇeta m´a ˇradu d˚ uleˇzit´ ych d˚ usledk˚ u, nˇekter´e uvedeme v n´asleduj´ıc´ıch vˇet´ach. Vˇ eta: (poˇ cet prvk˚ u b´ aze) Kaˇzd´e dvˇe b´aze nenulov´eho, koneˇcnˇe generovan´eho line´arn´ıho vektorov´eho prostoru maj´ı stejn´ y poˇcet prvk˚ u. Tato vˇeta umoˇzn ˇuje definovat pojem dimenze prostoru. Definice: Poˇcet prvk˚ u b´aze koneˇcnˇe generovan´eho line´arn´ıho vektorov´eho prostoru se naz´ yv´a dimenze prostoru L a znaˇc´ı dim L. Je-li L nulov´ y (trivi´aln´ı) prostor, definuje se dim L = 0. Vˇ eta: (vˇ eta o doplnˇ en´ı b´ aze) Kaˇzdou nepr´azdnou, line´arnˇe nez´avislou mnoˇzinu nenulov´eho, koneˇcnˇe generovan´eho prostoru L lze doplnit na b´azi prostoru L. 12
D˚ usledek: Je-li dim L = n, n ∈ N, a prvky v1 , v2 , ..., vn ∈ L jsou line´arnˇe nez´avisl´e, potom prvky v1 , v2 , ..., vn tvoˇr´ı jednu moˇznou b´azi prostoru L.
Vˇ eta: (jednoznaˇ cnost vyj´ adˇ ren´ı prvku v dan´ e b´ azi) Kaˇzd´ y prvek line´arn´ıho vektorov´eho prostoru L lze jednoznaˇcnˇe vyj´adˇrit jako line´arn´ı kombinaci prvk˚ u b´aze, tj. je-li L nenulov´ y, koneˇcnˇe generovan´ y line´arn´ı vektorov´ y prostor nad tˇelesem T , d´ale b1 , b2 , ..., bn je b´aze prostoru L, a x ∈ L je libovoln´ y prvek prostoru L, potom pokud je prvek x zaps´an dvˇema zp˚ usoby jako line´arn´ı kombinace prvk˚ u b´aze, t.j. x = λ1 b1 + λ2 b2 + · · · + λn bn , x = α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn , potom mus´ı platit rovnost λi = αi pro kaˇzd´e i = 1, ..., n.
Definice: Necht’ L je nenulov´ y, koneˇcnˇe generovan´ y line´arn´ı vektorov´ y prostor nad ’ tˇelesem T , necht b1 , b2 , ..., bn je b´aze prostoru L. Je-li x ∈ L libovoln´ y prvek, potom jednoznaˇcnˇe urˇcen´e koeficienty λ1 , λ2 , ..., λn v line´arn´ı kombinaci x = λ1 b1 +λ2 b2 +· · ·+λn bn budeme naz´ yvat souˇ radnice prvku x v b´ azi b1 , b2 , ..., bn . b = [λ1 , λ2 , ..., λn ]T a tento vektor naz´ P´ıˇseme x yv´ame souˇ radnicov´ ym vektorem prvku x. Jakmile zaˇcneme vyuˇz´ıvat pojem souˇradnic prvku v dan´e b´azi, mus´ıme pˇredpokl´adat, ˇze poˇrad´ı prvk˚ u v b´azi je pevnˇe dan´e, tj. pˇredpokl´ad´ame, ˇze se jedn´a o uspoˇ r´ adanou b´ azi.
13
