METODA ROOT LOCUS Stabilitas suatu sistem tergantung pada akar-akar persamaan karakteristik sistem R(s)
+
E(s) B(s)
G(s)
C(s)
H(s)
Gambar 1. Blok Diagram Sistem Pengaturan Dari Gambar 1 di atas ♦ OLTF adalah G(s)H(s) ♦ CLTF adalah
G ( s) C ( s) = R( s) 1 + G ( s) H ( s)
♦ Akar-akar persamaan karakteristik adalah akar-akar dari 1+G(s)H(s) = 0. Dengan demikian akar-akar persamaan karakteristik sistem merupakan pole-pole dari CLTF. Apabila G ( s ) H (s ) = K
N ( s) D ( s) + KN (s ) N ( s) = , maka : 1 + G ( s) H ( s) = 1 + K D( s ) D( s ) D( s)
Oleh karena itu akar-akar persamaan karakteristik adalah akar-akar dari : D( s) + KN ( s) = 0
Dengan demikian akar-akar tergantung pada nilai K. Root locus merupakan peta locus dari akar-akar persamaan karakteristik sistem untuk K divariasi (pada umumnya) dari 0 ke tak terhingga.
♦ Untuk K=0, akar-akar dari D( s) + KN ( s) = 0 sama dengan akar-akar dari D(s)=0 yang tidak lain adalah pole dari OLTF.
♦ Untuk K = ∞ , D( s) + KN ( s) = 0 menjadi N(s)=0. Sehingga akar-akar persamaan karakteristik adalah merupakan zero dari OLTF. Dengan demikian root locus akan mulai dari pole OLTF dan akan berakhir di zero OLTF. Root locus adalah metode yang dikembangkan oleh W.R.Evans.
Root Locus - 1
Untuk sistem dengan umpan balik negatif, maka : G ( s) C ( s) = R ( s) 1 + G ( s) H ( s)
Akar-akar persamaan karakteristik diperoleh dari : 1 + G ( s) H ( s) = 0
atau G ( s) H ( s) = −1
di sini diperoleh syarat magnitudo G ( s) H ( s) = 1 dan syarat sudut
∠ G ( s) H ( s) = ±180 0 (2 k + 1) , k = 0,1,2,K Untuk sistem dengan umpan balik positif G ( s) C ( s) = R ( s) 1 − G ( s) H ( s)
Dengan demikian syarat sudut dan syarat magnitudo diperoleh dari G ( s) H ( s) = −1
sehingga syarat magnitudo G ( s) H ( s) = 1 dan syarat sudut
∠ G ( s) H ( s) = ±180 0 (2 k ) , k = 0,1,2,K Root Locus untuk Sistem Orde Kedua R(s)
+
E(s) -
K ---------s(s+1)
C(s)
Gambar 2. Blok Diagram Sistem Orde Kedua Dari Gambar 2 Sistem orde kedua didapat : G ( s) H ( s) =
K s( s + 1)
dengan demikian C ( s) K = 2 R ( s) s + s + K s 2 + s + K = 0 dengan demikian akar-akar karakteristik persamaannya adalah :
Root Locus - 2
s1.2 = −
1 ± 1 − 4K 2
Tampak bahwa s1 dan s2 tergantung pada harga K di mana : s1 dan s2 riil untuk K ≤
1 4
s1 dan s2 kompleks konjugate untuk K 〉
1 4
Jadi untuk : 1 4
→ Over damped
1 4
→ Critically damped
0〈 K 〈 K= K〉
1 4
→ Under damped
Gambar 3 Root Locus yang Mempunyai Dua Pole s1 dan s2 Semua titik pada root locus memenuhi syarat magnitudo dan syarat 1 sudut/fasa. Titik p berada pada root locus maka θ 1 + θ 2 = 180 0 titik s = − + j 2 2
berada pada root locus, maka :
G( s) H ( s) =
K =1 s ( s + 1) s = − 1 + j 2 2
sehingga :
K = s ( s + 1) s =− 1 + j 2 = 2
17 4 Root Locus - 3
Prosedur Penggambaran Root Locus 1. Tentukan OLTF dari Sistem dan Kemudian Cari Pole dan Zero dari OLTF. Contoh :
G ( s) H (s) =
K ( s + 2) s 2 (s + 4)
mempunyai tiga pole yaitu :
P1 = 0 P2 = 0
n=3
P3 = -4 mempunyai sebuah zero yaitu : z=-2 → m=1 2. Tentukan Banyak Locus yang Ada Banyak locus sama dengan banyaknya pole OLTF. Contoh :
G ( s) H (s) =
K ( s + 2) mempunyai 3 locus s 2 ( s + 4)
3. Locus pada Sumbu Riil Untuk K>0 :
Cabang root locus berada pada sebelah kiri dari pole/zero ganjil (hitungan pole/zero ganjil mulai dari kanan).
Untuk K<0 :
Cabang root locus berada pada sebelah kiri dari pole/zero genap (hitungan pole/zero ganjil mulai dari kanan).
4. Asimtot Untuk jarak yang jauh dari titik asal pada bidang s, cabang-cabang dari root locus mendekati asimtot garis lurus. Suatu asimtot ditentukan oleh pusat asimtot dan sudut asimtot terhadap sumbu riil negatif (arah sudut positif) sesuai dengan koordinat polar. 4.1. Pusat Asimtot pada Sumbu Riil : n
σc =
m
∑ p −∑z i =1
i
i =1
i
n−m
di mana : pi = pole ke i; n = banyaknya pole G(s)H(s) zi = zero ke i;
m = banyaknya zero G(s)H(s)
Root Locus - 4
4.2. Sudut Asimtot (2l + 1)180 0 untuk k 〉 0, l = 0,1,2,K, n − m − 1 n−m β = 0 (2l )180 untuk k 〈 0, l = 0,1,.2,K, n − m − 1 n − m
di mana : (n-m) = banyaknya asimtot 5. Breakaway/Breakin Point Dapat diperoleh dalam dua cara : a).
n
∑ (σ i =1
m 1 1 dimana σb = breakaway/breakin point (pada =∑ i =1 (σ b − z i ) b − pi )
sumbu riil) b). Dari G ( s ) H (s ) = K D (s ) + KN ( s ) = 0
N ( s) D( s) →
→ K =−
1+ K
N ( s) =0 D( s )
D( s) N ( s)
dk D ′(s ) N ( s ) − D (s ) N ′( s ) =− =0 ds N 2 (s ) D ′( s ) N (s ) − D( s ) N ′( s )
S =σ b
=0
6. Sudut Datang (pada Zero) dan Sudut Pergi (pada Pole) Sudut datang dan sudut pergi berada di luar sumbu riil. Sudut datang : θ d = 180 0 − arg GH ′( s ) s = z Sudut pergi : θ p = 180 0 + arg GH ′′( s ) s= p di mana,
θ d = sudut datang pada zero s = z θ p = sudut pergi pada pole s = p GH ′(s ) = GH ( s) dengan mengabaikan zero yang bersangkutan GH ′′( s) = GH ( s) dengan mengabaikan pole yang bersangkutan
Root Locus - 5
Titik Perpotongan Root Locus dengan Sumbu Imajiner a. dengan kriteria stabilitas routh b. dengan pendekatan trial dan eror c. dengan mengambil s = jω, kemudian K dan ω dapat diperoleh Secara umum stabilitas sistem dapat ditentukan dari root locusnya. Konsep dasar yang dipakai untuk menentukan sistem adalah bahwa sistem akan stabil apabila akar-akarnya (dari persamaan karakteristik sistem) terletak pada bidang s setengah kiri (Left Half s-Plane). Contoh : Suatu sistem dengan G ( s) H ( s) =
K s (s + 1)( s + 2)
( K 〉0)
n = 3, yaitu p1 = 0
Sistem ini memiliki :
p2 = -1 p3 = -2 m=0 Oleh karena n=3, maka sistem memiliki 3 locus (pada root locus) Root locus pada sumbu riil ada diantara s=0 dan s=1 serta di sebelah kiri dari titik s =-2 pada sumbu riil.
Gambar 4 Root Locus pada Sumbu Riil Pusat asimtot pada sumbu riil
σc =
n
m
i =1
i =1
∑ pi − ∑ z i n−m
=
P1 + P2 + P3 0 − 1 − 2 = = −1 3−0 n−m
Dalam soal ini adalah kebetulan bahwa pusat asimtot berhimpit dengan salah satu pole OLTF.
Root Locus - 6
Sudut asimtot: (2l + 1)180 0 (2l + 1)180 0 β= = = (2l + 1)60 0 , l = 0,1, 2 n−m 3−0 0 0 β1 = (2.0 + 1)60 = 60
β 2 = (2.1 + 1)60 0 = 180 0 β 3 = (2.2 + 1)60 0 = 300 0 Dari perhitungan di atas ada tiga buah asimtot. Breakaway point n
m 1 1 = ∑ ∑ i =1 σ b − p i i =1 σ b − z i
1 1 1 + + =0 σ b − p1 σ b − p 2 σ b − p3 1 1 1 + + =0 σ b − 0 σ b −1 σ b − 2 (σ b + 1)(σ b + 2) + σ b (σ b + 2) + σ b (σ b + 1) = 0 (σ b2 + 3σ b + 2) + (σ b2 + 2σ b ) + (σ b2 + σ b ) = 0 3σ b2 + 6σ b + 2 = 0 − 6 + 36 − 24 = −0,423 6 − 6 − 36 − 24 = = −1,577 6
σ b1 = σ b2
Dari root locus pada sumbu riil tampak bahwa :
σb1 berlaku untuk K > 0 σb2 berlaku untuk K < 0 Breakaway point dapat juga diperoleh dengan cara kedua :
D ′( s ) N (s ) − D( s ) N ′( s ) s =σ =0 b N ( s ) = 1 , N ′( s ) = 0 D (s ) = s (s + 1)( s + 2) = s (s 2 + 3s + 2) = s 3 + 3s 2 + 2 s
→ D′( s ) = 3s 2 + 6 s + 2
(3s 2 + 6s + 2) − ( s 3 + 3s 2 + 2 s ) s =σ =0 b 3σ b2 + 6σ b + 2 = 0
→ σ b1 = −0,423,σ b 2 = −1,577
Root Locus - 7
Root Locus selengkapnya adalah sebagai berikut :
Gambar 5 Root Locus Lengkap G ( s ) H ( s ) =
K untuk K > 0 s (s + 1)( s + 2)
Untuk mencari titik potong root locus dengan sumbu imajiner dapat dicari terlebih dahulu harga K kritis dengan kriteria stabilitas Routh. Persamaan karakteristik sistem : K =0 s ( s + 1)( s + 2) s ( s + 1)( s + 2) + K = 0
1+
s 3 + 3s 2 + 2 s + K = 0
Tabel Routh persamaan karakteristik di atas sebagai berikut: s3 s2 s1 s0
1 3 6−K 3 K
2 K
→K <6 6−K >0 K >0 → stabil untuk 0〈 K 〈 6 dengan demikian harga kritis untuk K adalah K C = 6
Root Locus - 8
K = KC = 6, persamaan karakteristik menjadi :
s 3 + 3s 2 + 2 s + 6 = 0 s 2 ( s + 3) + 2( s + 3) = 0 ( s 2 + 2)( s + 3) = 0 s2 − 2 = 0 → s = ± j 2 s + 3 = 0 → s = −3
Dengan demikian maka titik potong root locus dengan sumbu imajiner adalah pada j 2
dan
−j 2.
Root Locus - 9
Untuk K<0
Pada soal tersebut di atas, harga breakaway point dan pusat asimtot dapat dipakai untuk menggambarkan root locus dengan K<0, yaitu : -
breakaway point
σb= -1,577
-
pusat asimtot
σc= -1,
sudut asimtot :
β=
(2l )180 0 (2l )180 0 = = (2l )60 0 ( n − m) 3−0
β1 = (2 × 0)60 0 = 0 0 β 2 = (2 ×1)60 0 = 120 0 β 3 = (2 × 2)60 0 = 240 0 Root Locus pada sumbu riil : - dari s= 0 ke s= + ∞ (1 locus) - dari s=-1 ke s= -2 (2 locus)
Tampak bahwa sistem tidak stabil (untuk K < 0) karena ada satu akar positif (pada
Sumbu Imajiner
RHP).
Gambar 6 Root Locus G ( s ) H ( s ) =
K untuk K < 0 s (s + 1)( s + 2) Root Locus - 10
