PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

oleh ADIMAS BANJAR M0107019

SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012

commit to user

i


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK Adimas Banjar. 2012. PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX PLUS . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Aljabar max-plus dibentuk dari himpunan Rmax = {−∞} ∪ R yang dilengkapi dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗). Aljabar max-plus merupakan suatu idempotent semi-field. Sedangkan aljabar konvensional adalah himpunan R yang dilengkapi penjumlahan (+) dan perkalian (×) dan merupakan suatu field. Aljabar max-plus mempunyai struktur yang mirip dengan aljabar konvensional menyebabkan sifat dan konsep aljabar linear mempunyai ekuivalensi dalam aljabar max-plus. Penelitian ini dilaksanakan guna menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Hasil dari penelitian ini adalah persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, yaitu M M dk ⊗ λ⊗n−k , dk ⊗ λ⊗n−k = λ⊗n ⊕ k∈

k∈ℓ

dengan dk adalah koefisien tertinggi untuk setiap λ⊗

n−k

.

Kata kunci: Aljabar max-plus, aljabar linear, persamaan karakteristik

commit to user

iv


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT Adimas Banjar. 2012. CHARACTERISTIC EQUATION ON MAX PLUS ALGEBRAIC MATRICES Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Max-plus algebra is constructed by the set Rmax = R ∪ {−∞} endowed with maximum (⊕) and addition (⊗) operations. Max-plus algebra have properties as idempotent semi-field. In other hand, the properties of conventional algebra that constructed by the set of R endowed with addition (+) and multiplication (×) operations is a field. There is exist remarkable similarity between max-plus algebra and conventional algebra, as consequence there is many linear algebra concept have a max-plus analogue. The main objective of this research is to find characteristic equation on max-algebraic matrices. Method of this research is a literary study. Result of this research are max-algebraic characteristic equation, that is M M dk ⊗ λ⊗n−k , dk ⊗ λ⊗n−k = λ⊗n ⊕ k∈

k∈ℓ

where dk are the highest coefficient from λ

⊗n−k

Key words: Max-plus algebra, linear algebra, characteristic polynomial

commit to user

v


digilib.uns.ac.id

PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

oleh ADIMAS BANJAR M0107019

SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012

commit to user

i


digilib.uns.ac.id

SKRIPSI PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS yang disiapkan dan disusun oleh ADIMAS BANJAR M0107019

dibimbing oleh Pembimbing I

Pembimbing II

Drs. Siswanto, M.Si NIP. 19670813 199203 1 002

Dra. Respatiwulan, M.Si NIP. 19680611 199302 2 001

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Rabu, 8 Februari 2012 dan dinyatakan telah memenuhi syarat. Anggota Tim Penguji

1.

Tanda Tangan

Drs. Pangadi, M.Si

1. ................................

NIP. 19571012 199103 1 001 2.

Dra. Yuliana Susanti, M.Si

2. ................................

NIP. 19661007 199302 1 001 Surakarta, 10 Februari 2012 Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dekan,

Ketua Jurusan Matematika

commitPh.D to user Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc.(Hons) NIP. 19610223 198601 1 001

ii

Irwan Susanto, S.Si, DEA NIP. 19710511 199512 1 001


digilib.uns.ac.id

MOTO

Tidak ada mimpi yang dapat dicapai tanpa pengorbanan. Setiap pengorbanan tidak ada yang sia-sia.

commit to user

iii


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK Adimas Banjar. 2012. PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX PLUS . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Aljabar max-plus dibentuk dari himpunan Rmax = {−∞} ∪ R yang dilengkapi dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗). Aljabar max-plus merupakan suatu idempotent semi-field. Sedangkan aljabar konvensional adalah himpunan R yang dilengkapi penjumlahan (+) dan perkalian (×) dan merupakan suatu field. Aljabar max-plus mempunyai struktur yang mirip dengan aljabar konvensional menyebabkan sifat dan konsep aljabar linear mempunyai ekuivalensi dalam aljabar max-plus. Penelitian ini dilaksanakan guna menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Hasil dari penelitian ini adalah persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, yaitu M M λ⊗n ⊕ dk ⊗ λ⊗n−k = dk ⊗ λ⊗n−k , k∈ℓ

k∈

dengan dk adalah koefisien tertinggi untuk setiap λ⊗

n−k

.

Kata kunci: Aljabar max-plus, aljabar linear, persamaan karakteristik

commit to user

iv


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT Adimas Banjar. 2012. CHARACTERISTIC EQUATION ON MAX PLUS ALGEBRAIC MATRICES Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Max-plus algebra is constructed by the set Rmax = R ∪ {−∞} endowed with maximum (⊕) and addition (⊗) operations. Max-plus algebra have properties as idempotent semi-field. In other hand, the properties of conventional algebra that constructed by the set of R endowed with addition (+) and multiplication (×) operations is a field. There is exist remarkable similarity between max-plus algebra and conventional algebra, as consequence there is many linear algebra concept have a max-plus analogue. The main objective of this research is to find characteristic equation on max-algebraic matrices. Method of this research is a literary study. Result of this research are max-algebraic characteristic equation, that is M M λ⊗n ⊕ dk ⊗ λ⊗n−k = dk ⊗ λ⊗n−k , k∈ℓ

k∈

where dk are the highest coefficient from λ

⊗n−k

Key words: Max-plus algebra, linear algebra, characteristic polynomial

commit to user

v


digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Tulisanku ini kupersembahkan untuk kedua orang tuaku Bapak Haryono dan Ibu Indrasti Nur Rahayu atas pengorbanan, do’a, bimbingan, dan dukungannya kepadaku Mbak Enya dan Mas Omman yang selalu menyemangati dan memberikanku motivasi, adik-adikku Zulva, Aziza, Ayyub, Wi’am, Kun-Kun, Wicak, dan Wibi yang telah memberikanku semangat.

commit to user

vi


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Aljabar max-plus adalah salah satu dari idempotent semi-field yang memiliki banyak kegunaan di berbagai bidang matematika. Aljabar max-plus mulai dikenal karena strukturnya yang mirip dengan aljabar konvensional. Banyak penelitian yang menjelaskan tentang ekuivalensi teorema dalam aljabar linear konvensional di aljabar max-plus. Satu yang menarik perhatian penulis adalah karya Schutter dan Moor yang membahas tentang persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Oleh karena itu, penulis bertujuan untuk mengkaji ulang hasil penelitian tersebut. Skripsi ini dibagi menjadi 5 bagian. Bab 1 berisikan latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan, dan manfaat dari penelitian ini. Pada bab 2 dipaparkan tentang penelitian-penelitian yang mendahului dan teori-teori penunjang sebagai dasar penulisan. Kemudian, langkah-langkah penelitian dirangkum dalam metodologi penelitian yang dipaparkan pada bab 3. Pada bab 4 diuraikan tentang hasil penelitian yang telah dilaksanakan. Terakhir, bab 5 berisikan tentang kesimpulan dan saran. Skripsi ini tidak dapat selesai tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak. Penulis mengucapan terima kasih kepada Bapak Drs.

Siswanto, M.Si.

dan

Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si. sebagai Pembimbing I dan Pembimbing II atas bimbingannya selama penulisan skripsi ini. Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Nugroho, Gery, Adi, Agus, Ika, dan Hokki yang senantiasa memberikan dukungan, kritik, dan saran kepada penulis. Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat.

Surakarta, Januari 2012

commit to user Penulis vii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

I

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

II LANDASAN TEORI

3

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2 Teori-Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.1

Sistem Persamaan Linear dan Matriks . . . . . . . . . . .

5

2.2.2

Determinan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.3

Persamaan Karakteristik Suatu Matriks . . . . . . . . . .

7

2.2.4

Aljabar Max-Plus .commit . . . .to. user . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.5

Matriks dalam Aljabar max-plus . . . . . . . . . . . . . . .

11

viii


digilib.uns.ac.id

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

III METODE PENELITIAN

13

IV PEMBAHASAN

14

4.1 Persamaan Karakteristik Suatu Matriks dalam Aljabar max-plus .

14

4.2 Contoh Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

V PENUTUP

21

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

DAFTAR PUSTAKA

22

commit to user

ix


digilib.uns.ac.id

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

S⊂T

: S adalah himpunan bagian dari T

R

: himpunan bilangan real

Rm×n

: matriks berukuran m × n dengan elemen R

In

: matriks identitas berukuran n × n

Aαβ

: submatriks dari A dengan elemen baris dinyatakan oleh α dan elemen kolom yang dinyatakan oleh β

Cnk

: himpunan seluruh subhimpunan dengan kerdinalitas k dari himpunan {1, 2, . . . , n}

Pn

: himpunan seluruh permutasi dari himpunan {1, 2, . . . , n}

f :D→T

: fungsi dengan domain D dan kodomain T

≍

: ekuivalensi asimtotik

λ

: nilai eigen dari suatu matriks A

⊕

: operasi penjumlahan aljabar max-plus

⊗

: operasi pergandaaan aljabar max-plus

ε

: elemen identitas untuk ⊕; ε = −∞ ⊗r

x

: pangkat ke-r dari x dalam aljabar max-plus

En

: matriks identitas berukuran n × n dalam aljabar max-plus

Rmax

: R ∪ {−∞}

Rm×n max

: matriks berukuran m × n dengan elemen Rmax

commit to user

x


digilib.uns.ac.id

Bab I PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang Masalah

Sistem kejadian diskrit (skd) adalah nama klasifikasi masalah sistem dengan sumber daya terbatas yang digunakan oleh beberapa pengguna demi mencapai tujuan bersama. Contoh-contoh masalah skd antara lain adalah jaringan transportasi, jaringan telekomunikasi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, sistem produksi, dan berbagai masalah dengan sumber daya yang terbatas [10]. Dari masalah skd dapat dibentuk model matematika yang biasanya berbentuk sistem persamaan non-linear. Mencari penyelesaian sistem persamaan non-linear dengan metode penyelesaian sistem dinamik tidaklah mudah. Dalam perkembangannya, menurut Schutter dan Boom [12] jika digunakan aljabar max-plus untuk mempelajari sifat skd, maka diperoleh suatu model berbentuk sistem persamaan linear. Masalah skd akan lebih mudah diselesiakan jika model berbentuk sistem yang linear. Skd merupakan sistem yang komponennya bekerja dalam suatu siklus, karena tiap komponen harus menunggu hasil dari komponen lain yang berada dalam sistem tersebut untuk bekerja. Muncul masalah bagaimana cara mengatur sistem agar seluruh komponennya dapat memulai siklus bersamaan. Nilai eigen mendeskripsikan waktu maksimal yang diperlukan satu komponen dalam sistem untuk menyelesaikan kerjanya [5]. Mencari nilai eigen dalam aljabar max-plus yang diperoleh dari model adalah cara menyelesaikan permasalahan tersebut [3]. Menurut Anton [1] jika A adalah suatu matriks berukuran n × n, maka nilai eigen λ dapat diperoleh dengan mencari akar-akar yang tidak nol dari persamaan commit to user det(λI − A) = 0. Persamaan tersebut disebut sebagai persamaan karakteristik dari A. 1


digilib.uns.ac.id

Menurut Bacelli [2], aljabar max-plus adalah himpunan R ∪ {−∞} bersama dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗) yang menggantikan operasi penjumlahan dan perkalian pada aljabar konvensional. Aljabar konvensional merupakan field, sedangkan aljabar max-plus (Rmax , ⊕, ⊗) merupakan idempotent semi-field. Karena kemiripan strukturnya, berbagai sifat dan konsep pada aljabar linear, seperti aturan Crammer, teorema Cayley-Hamilton, masalah nilai eigen, dan persamaan karakteristik memiliki ekuivalensi secara aljabar max-plus[7]. Penelitian yang telah dilaksanakan Schutter dan Boom menjelaskan mengenai sistem persamaan linear dalam aljabar max-plus [10]. Kemudian, Schutter dan Moor pada [11] dan Farlow pada [7] menunjukkan bagaimana menentukan persamaan karakteristik dari suatu matriks dalam aljabar max-plus. Sejalan dengan kedua penelitian tersebut, penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengkaji ulang tulisan Schutter dan Moor dan Farlow tentang persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus dengan memberikan penyempurnaan penjelasan, bukti teorema, dan contoh kasus.

1.2

Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan masalah yaitu bagaimana menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus?

1.3

Tujuan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah menentuan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus.

1.4

Manfaat

Manfaat penulisan skripsi ini adalah pengayaan di bidang aljabar, khususcommit to user nya aljabar max-plus, yaitu dapat menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. 2


digilib.uns.ac.id

Bab II LANDASAN TEORI Bab kedua skripsi ini terbagi menjadi tiga bagian. Bagian pertama dijelaskan mengenai tinjauan pustaka penelitian-penelitian yang dilaksanakan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian ini. Pada bagian kedua dijelaskan mengenai teori-teori penunjang yang meliputi definisi-definisi yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Setelah dijelaskan mengenai landasan teori yang digunakan, pada bagian terakhir bab ini dibangun alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini yang dijelaskan dalam kerangka pemikiran.

2.1

Tinjauan Pustaka

Aljabar max-plus adalah salah satu jenis dari idempotent semi-field. Jenis idempotent semi-field yang lain adalah aljabar min-plus. Operasi penjumlahan dalam himpunan tersebut adalah operasi minimum dengan elemen identitas ∞ [7]. Aljabar max-plus diperkenalkan oleh Klene pada papernya yang membahas tentang jaringan syaraf dan automata di tahun 1956 [8]. Dalam perkembangannya, diketahui bahwa aljabar max-plus juga dapat digunakan untuk memodelkan, menganalisis, dan mengontrol beberapa subkelas sistem kejadian diskrit (skd) [12]. Beberapa contoh skd tersebut adalah jaringan telekomunikasi, sistem kontrol lalu lintas, sistem logistik, sistem transportasi, jaringan komputer, dan sebagainya. Karakteristik yang paling menonjol dari skd adalah dinamisasi sistem yang berdasarkan atas kejadian. Kejadian adalah keadaan dari dimulainya hingga berakhirnya suatu aktivitas. Misalkan dalam suatu proses produksi, kejadian commit to user yang dapat terjadi antara lain adalah input, proses, dan output. Diasumsikan bahwa jika satu kejadian selesai, maka kejadian selanjutnya akan langsung terjadi 3


digilib.uns.ac.id

dan interval tiap-tiap kejadian tidak harus sama. Pada umumnya model matematika dari skd menghasilkan model yang nonlinear jika dideskripsikan menggunakan aljabar konvensional. Akan tetapi terdapat beberapa subkelas dari skd yang dapat dideskripsikan menggunakan aljabar max-plus [2] yang dilengkapi dengan operasi maksimisasi dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya, sehingga diperoleh model yang linear. Adapun subkelas tersebut adalah skd dengan sinkronisasi tanpa adanya kejadian yang bercabang. Operasi hitung maksimisasi menggambarkan sinkronisasi komponen skd yang akan langsung melaksanakan operasi setelah seluruh operasi komponen sebelumnya selesai. Sedangkan operasi hitung penjumlahan menggambarkan durasi dari seluruh aktivitas. Waktu penyelesaian operasi diperoleh dari penjumlahan dari waktu dimulainya operasi dengan durasi aktivitas. Deskripsi tersebut menyebabkan aljabar max-plus dapat menghasilkan model yang linear [12]. Hal inilah yang menyebabkan aljabar max-plus mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang. Pada awal tahun enam puluhan fakta kegunaan aljabar max-plus ditemukan secara independen oleh beberapa peneliti, antara lain adalah Cunningham-Green dan Giffler. Hal tersebut menyebabkan banyak peneliti mulai tertarik untuk meneliti aljabar max-plus, adapun beberapa perintisnya adalah CunninghamGreen, Gaubert, Gondran, dan Minoux. Mereka menemukan bahwa berbagai teorema dan teknik yang digunakan dalam aljabar linear klasik mempunyai analogi pada aljabar max-plus [6]. Bacelli [2] telah menjelaskan bagaimana pentingnya nilai eigen suatu matriks pada aljabar max-plus. Dalam jurnalnya Bapat [3], Chung [5], dan Butkovic [4] telah menjelaskan bagaimana menyelesaikan masalah nilai eigen tersebut. Akan tetapi nilai eigen suatu matriks dapat pula diperoleh dari persamaan karakteristik matriks tersebut [1]. Schutter dan Moor pada [11] dan Farlow pada [7] telah menunjukkan analogi dari persamaan karakteristik pada aljabar max-plus. Sejalan dengan kedua penelitian tersebut, penelitian ini dilaksanakan bertujuan untuk mengkaji ulang kedua penelitian tersebut disertai commit to user dengan penyempurnaan penjelasan, bukti teorema, dan contoh kasus.

4


digilib.uns.ac.id

2.2

Teori-Teori Penunjang

Untuk dapat mencapat tujuan penelitian, perlu diuraikan terlebih dahulu beberapa hal yang mendasari penelitian ini. Beberapa hal tersebut antara lain adalah pengertian aljabar max-plus, struktur aljabar max-plus, pengertian sistem persamaan linear dan matriks dalam aljabar konvensional, matriks dalam aljabar max-plus, dan terakhir adalah beberapa sifat dan konsep aljabar linear dalam aljabar konvensional.

2.2.1

Sistem Persamaan Linear dan Matriks

Dua definisi yang berhubungan dengan sistem persamaan linear berikut diambil dari Lipschutz [9]. Definisi 2.2.1 (Definisi Persamaan Linear). Bentuk umum dari suatu persamaan linear dengan variabel bebas x1 , x2 , . . . , xn adalah a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, dengan a1 , a2 , . . . , an , b adalah suatu konstanta. Konstanta ak disebut koefisien dari xk untuk k = 1, 2, . . . , n. Sedangkan b disebut sebagai konstanta dari persamaan. Definisi 2.2.2 (Definisi Sistem Persamaan Linear). Bentuk umum dari suatu sistem persamaan linear dengan variabel bebas x1 , x2 , . . . , xn adalah a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn

= b1

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn .. .

= b2

,

(2.1)

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm dengan aij , bi adalah konstanta.

commit to userbentuk barisan angka yang diseSistem (2.1) dapat dibentuk menjadi suatu

5


digilib.uns.ac.id

but matriks perbesaran. Berikut adalah  a a12  11   a21 a22 M =  .. ..  . .  am1 am2

bentuk matriks perbesaran tersebut.  · · · a1n b1   · · · a2n b2   .. .. ..  . . . .   · · · amn bm

Dapat dilihat bahwa setiap baris dari M berkorespodensi dengan setiap persamaan dari sistem. Sedangkan, setiap kolom dalam sistem berkorespodensi dengan setiap variabel dari sistem, kecuali kolom terakhir yang berkorespodensi dengan konstanta dari sistem. Barisan angka tersebut biasa disebut sebagai matriks dan berikut adalah definisi matriks. Definisi 2.2.3 (Lipschutz [9]). Jika A adalah suatu barisan angka berbentuk persegi empat sebagai berikut 

a a12 · · · a1n  11   a21 a22 · · · a2n A=  .. .. .. ..  . . . .  am1 am2 · · · amn



   ,   

maka barisan A disebut sebagai matriks. Matriks tersebut dapat dituliskan sebagai A = (aij ) dengan i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Ukuran dari suatu matriks ditentukan dari jumlah baris dan kolomnya. Sebagai contoh jika suatu matriks memiliki tiga baris dan dua kolom, maka ukuran dari matriks tersebut adalah 3 × 2. Matriks dengan ukuran m × n disebut sebagai matriks m × n.

2.2.2

Determinan Matriks

Menurut Anton [1], determinan adalah suatu fungsi yang bernilai real dari suatu matriks persegi berukuran n misal A = (aij ) dan dinotasikan sebagai det(A) atau commit to user

6


digilib.uns.ac.id

|A| atau

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. .. .. .. . . . . . an1 an2 · · · ann

Misal terdapat suatu matriks A = (aij ) dengan i = 1, 2, . . . , n dan j = 1, 2, . . . , n, akan dibentuk suatu produk perkalian yang diambil dari n elemen dari A. Dari masing-masing kolom dari matriks A diambil satu elemen. Selain berasal dari kolom yang berbeda, elemen tersebut harus berasala dari baris yang berbeda pula, sehingga hasil perkalian n elemen tersebut dapat dituliskan sebagai a1j1 a2j2 . . . anjn . Indeks angka pertama diperoleh dari baris, sehingga urutannya adalah 1, 2, . . . , n. Sedangkan untuk indeks angka kedua diperoleh dari kolom yang berbeda, sehingga diperoleh dari permutasi σ = j1 , j2 , . . . , jn ∈ Sn . Definisi 2.2.4. Determinan dari A = (aij ) yang dinotasikan sebagai det(A) atau |A| adalah suatu jumlahan seluruh hasil permutasi dari Sn dan dikalikan dengan sgn σ, yaitu |A| =

X

(sgn σ)a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(n) .

σ∈Sn

Dengan sgn σ adalah   1, jika σ permutasi genap; sgn σ =  −1, jika σ permutasi ganjil.

2.2.3

Persamaan Karakteristik Suatu Matriks

Jika dimisalkan A adalah suatu matriks persegi berukuran n × n, maka matriks karakteristik dari A adalah matriks λIn − A dengan In adalah matriks identitas berukuran n dan λ adalah variabel bebas. Matriks karateristik dari A dapat

commit to user

7


digilib.uns.ac.id

dituliskan sebagai 

λ − a11 −a12 · · · −a1n    −a21 λ − a22 · · · −a2n λIn − A =  ..  .. .. ..  . . . .  −an1 −an2 · · · λ − ann



   .   

Dengan mencari determinan dari matriks karakteristik dari A, diperoleh suatu polinomial, yaitu ∆A (λ) = det(λIn − A). Polinomial ∆A (λ) adalah polinomial yang disebut sebagai polinomial karakteristik dari A. Kemudian, persamaan karakteristik dari A adalah ∆A (λ) = det(λIn − A) = 0.

2.2.4

Aljabar Max-Plus

Pada bagian ini dijelaskan lebih lanjut mengenai struktur, sifat-sifat, dan beberapa operasi dasar dalam aljabar max-plus. Dalam penelitiannya, Bacelli [2] dan Siswanto [13] telah membahas beberapa definisi yang berkaitan dengan struktur aljabar max-plus. Definisi 2.2.5 (Definisi Monoid ). Monoid (K, ∗) adalah himpunan K bersama dengan operasi biner (∗), yang memiliki sifat asosiatif dan elemen identitas. Definisi 2.2.6 (Definisi Grup). Grup (G, ∗) adalah himpunan G bersama dengan operasi biner (∗), yang memiliki sifat asosiatif, elemen identitas, dan elemen invers. Definisi 2.2.7 (Definisi Semi-ring). Semi-ring (S, ⊕, ⊗) adalah himpunan S bersama dengan operasi biner ⊕ membentuk monoid abelian, dengan operasi biner ⊗ membentuk monoid, bersifat distributif pada ⊗ terhadap ⊕.

commit to user Definisi 2.2.8 (Definisi Dioid). Dioid (D, ⊕, ⊗) adalah semi-ring yang idempotent, yaitu a ⊕ a untuk setiap a ∈ D. 8


digilib.uns.ac.id

Definisi 2.2.9 (Definisi Semi-field ). Semi-field (S, ⊕, ⊗) adalah himpunan S bersama dengan operasi penjumlahan ⊕ membentuk monoid abelian, dengan operasi pergandaan ⊗ membentuk grup, bersifat distributif pada ⊗ terhadap ⊕. Aljabar max-plus atau (Rmax , ⊕, ⊗) adalah suatu semi-field yang dibentuk oleh himpunan Rmax = R ∪ {−∞} yang dilengkapi dengan operasi max sebagai operasi penjumlahan ⊕ dan operasi plus sebagai operasi pergandaan ⊗ yang dituliskan sebagai berikut a ⊕ b = max(a, b)

a ⊗ b = a + b.

Berikut adalah contoh penggunaan operasi hitung tersebut. 3 ⊕ 2 = max(3, 2) = 3 = max(2, 3) = 2 ⊕ 3, 4⊗5 =4+5

=9=5+4

= 5 ⊗ 4.

Elemen identitas terhadap operasi pergandaan ⊗ adalah e = 0. Sedangkan elemen identitas terhadap operasi penjumlahan ⊕ adalah ε = −∞. Selanjutnya, sifat-sifat dasar dari aljabar max-plus dijelaskan pada Lema 2.2.1. Karena pembuktian bersifat dasar sehingga tidak disertakan. Lema 2.2.1. Untuk setiap x, y, z ∈ Rmax berlaku sifat 1. assosiatif

x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z dan x ⊗ (y ⊗ z) = (x ⊗ y) ⊗ z,

2. komutatif

x ⊕ y = y ⊕ x dan x ⊗ y = y ⊗ x,

3. distributif

x⊗(y ⊕z) = (x⊗y) ⊕(x⊗z) dan (x⊕y) ⊗z = (x⊗z) ⊕(y ⊗z)

4. elemen nol 5. elemen unit

x⊕ε =ε⊕x=x x⊗e=e⊗x=x

6. invers terhadap pergandaan adalah jika x 6= e maka akan terdapat elemen y yang tunggal dengan x ⊗ y = e 7. elemen penyerap

x ⊗ ε = εcommit ⊗ x = εto user

8. idempotent terhadap penjumlahan 9

x ⊕ x = x.


digilib.uns.ac.id

Aljabar max-plus juga dikenal sebagai aljabar dari fungsi dengan pertumbuhan asiptotik dalam aljabar konvensional. Untuk memperjelas hal tersebut, diberikan definisi dan lema berikut. Definisi 2.2.10. Jika p : (0, ∞) → (0, ∞) dan u ∈ (−∞, ∞), maka didefinisikan p ≍ esu yang berarti lims→∞ s−1 ln(p) = u. Lema 2.2.2. Jika f ≍ esa dan g ≍ esb dengan a, b ∈ [−∞, ∞), maka f + g ≍ es(a⊕b) dan f g ≍ es(a⊗b) Bukti. Jika digunakan Definisi 2.2.10 pada f g maka diperoleh lim s−1 ln(f g) = lim s−1 ln(f ) + lim s−1 ln(g) = a + b = a ⊗ b,

s→∞

s→∞

s→∞

yang berarti terbukti bahwa f g ≍ es(a⊗b) . Kemudian, dapat diketahui bahwa max(f, g) ≤ f + g ≤ 2 max(f, g). Jadi, jika digunakan kembali Definisi 2.2.10 maka diperoleh lim s−1 ln max(esa , esb ) ≤ lim s−1 ln(esa +esb ) ≤ lim s−1 ln max(esa , esb ) + ln 2 .

s→∞

s→∞

s→∞

Karena s−1 ln max(esa , esb ) = max(a, b), dan dengan menggunakan teorema apit, diperoleh bahwa lim s−1 ln(f + g) = max(a, b) = a ⊕ b.

s→∞

Jika Definisi 2.2.10 dan Lema 2.2.2 digunakan pada fungsi eksponensial esa dan esb akan diperoleh operasi ⊕ dan ⊗ sebagai berikut esa esb ≍ es(a⊗b) esa + esb ≍ es(a⊕b) . Hubungan aljabar max-plus dengan aljabar konvensional tersebut sering digunakan untuk membuktikan sifat-sifat dalam aljabar max-plus. commit to user

10


2.2.5

digilib.uns.ac.id

Matriks dalam Aljabar max-plus

Berikut adalah definisi matriks dalam aljabar max-plus sebagaimana telah dijelaskan oleh Farlow dalam [7]. Definisi 2.2.11 (Definisi Matriks dalam Aljabar Max-Plus). Himpunan matriks berukuran m × n dengan elemen-elemen Rmax dinotasikan dengan Rm×n max . Himpunan tersebut dapat dituliskan       a    11     a 21 m×n Rmax =  .    ..         am1

sebagai a12

···

a1n

a22 .. .

··· .. .

a2n .. .

am2 · · · amn

    a    

ij

∈ Rmax

                  

.

Elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A ∈ Rm×n max dinyatakan oleh aij atau dapat ditulis sebagai [A]ij . Selanjutnya dijelaskan mengenai operasi matriks dalam aljabar max-plus. Definisi-definisi berikut diacu dari Farlow [7] dan Siswanto [13]. Definisi 2.2.12 (Operasi Hitung dari Matriks dalam Aljabar Max-Plus). 1. Untuk setiap A, B ∈ Rm×n max , definisi penjumlahan A ⊕ B adalah [A ⊕ B]ij = aij ⊕ bij = max(aij , bij ). k×n 2. Untuk setiap A ∈ Rm×k max dan B ∈ Rmax , definisi pergandaan A ⊗ B adalah

[A ⊗ B]il =

k M (aij ⊗ bjl ) = max (aij + bjl ). j∈{1,2,...}

j=1

3. Transpose dari matriks dituliskan sebagai AT dan didefinisikan seperti dalam aljabar konvensional, yaitu [AT ]ij = [A]ji . commit to user

11


digilib.uns.ac.id

4. Untuk matriks berukuran n × n dalam aljabar max-plus memiliki identitas En yang didefinisikan sebagai   e, jika i = j; [En ]ij =  ε, jika i 6= j, dengan ε adalah elemen identitas dari operasi max yaitu −∞ sedangkan e adalah elemen identitas dari operasi penjumlahan yaitu 0. 5. Untuk suatu matriks A ∈ Rn×n max dan bilangan bulat positif k, pangkat k dari A dituliskan sebagai A⊗k dan didefinisikan dengan A⊗A⊗ {z. . . ⊗ A} . A⊗k = | k kali Untuk k = 0, berlaku A⊗0 = En . 6. Untuk sebarang matriks A ∈ Rn×n max dan α ∈ Rmax , operasi α⊗A didefinisikan dengan [α ⊗ A]ij = α ⊗ [A]ij .

2.3

Kerangka Pemikiran

Berdasarkan tinjauan pustaka dapat disusun suatu kerangka pemikiran langkah-langkah penyelesaian masalah dalam penulisan skripsi ini. Pertama, akan dipahami terlebih dahulu mengenai struktur aljabar max-plus. Kedua, dilanjutkan dengan memahami tentang sistem persamaan linear aljabar max-plus dan bagaimana membuat suatu matriks dari sistem tersebut. Ketiga, memahami konsep-konsep aljabar linear dalam aljabar max-plus, khususnya determinan matriks dalam aljabar max-plus. Setelah memahami determinan matriks dalam aljabar max-plus barulah dapat ditentukan persamaan karakteristik dari suatu matriks. Kemudian, untuk memperjelas pembahasan, akan diberikan contoh kasus mengenai penentuan persamaancommit karakteristik to user dari suatu matriks.

12


digilib.uns.ac.id

Bab III METODE PENELITIAN Metode penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah kajian pustaka, yaitu dengan mengumpulkan berbagai referensi buku, skripsi, jurnal, maupun informasi dari halaman websites mengenai struktur aljabar, aljabar max-plus, sifat-sifat aljabar linear, dan sistem persamaan linear aljabar max-plus. Dari metode tersebut, diharapkan dapat dikaji ulang bagaimana penentuan persamaan karakteristik dari suatu matriks dalam aljabar max-plus dan kemudian memberikan contoh penerapannya dalam contoh kasus. Berikut adalah langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini. 1. Menerapkan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar konvensional, 2. menerapkan sistem persamaan linear dalam bentuk matriks pada aljabar max-plus, 3. menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus, dan 4. memberikan contoh kasus berupa model dari jalur kereta api sederhana yang diambil dari Vries [14].

commit to user

13


digilib.uns.ac.id

Bab IV PEMBAHASAN Pada bab ini diberikan hasil studi dan pembahasan. Bab ini terdiri dari dua bagian. Pada bagian pertama akan dijelaskan tentang bagaimana cara mengkonstruksikan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Kemudian, akan diberikan contoh kasus tentang jaringan kereta api sederhana pada bagian yang kedua.

4.1

Persamaan Karakteristik Suatu Matriks dalam Aljabar max-plus

Sebelum membahas persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, terlebih dahulu didefinisikan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar konvensional. Jika A adalah suatu matriks berukuran n × n dan ϕ ⊂ {1, 2, . . . n}, maka Aϕϕ adalah submatriks yang diperoleh dengan menghapus seluruh baris dan kolom dari A kecuali elemen dari baris dan kolom yang dinyatakan oleh ϕ. Kemudian, persamaan karakteristik suatu matriks adalah det(λI − A) = λn + c1 λn−1 + . . . + cn−1 λ + cn = 0 untuk ck = (−1)k

P

k σ∈Cn

(4.1)

det(Aσσ ) dengan Cnk adalah himpunan dari seluruh sub-

himpunan k elemen dari himpunan {1, 2, . . . , n}. Karena dalam aljabar max-plus tidak didefinisikan operasi pengurangan, koefisien ck λn−k dari persamaan (4.1) yang bertanda negatif dipindahkan ke ruas kanan. Sifat-sifat dari permutasi digunakan untuk memisahkan antara koefisien ck λn−k yang bernilai positif. Digunakan pendekatan melalui fungsi eksponensial, yaitu matriks esA commit to user untuk menentukan analogi persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus. Jika

14


digilib.uns.ac.id

matriks esA disubstitusikan pada persamaan (4.1), maka diperoleh det(λI − esA ) = λn + γ1 λn−1 + . . . + γn−1 λ + γn = 0, dengan γk (s) = (−1)k

P

k σ∈Cn

(4.2)

det(esAσσ ).

Didefinisikan Γk = {ζ : ∃{i1 , i2 , . . . , ik } ∈ Cnk , ∃ρ ∈ Pk sedemikian seP hingga ζ = kr=1 air iρ (r) } untuk k = 1, 2, . . . , n dengan Pn adalah himpunan seluruh permutasi σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}. Nilai Γk merupakan himpunan pangkat dari esζ yang terjadi pada γk (s). Jika didefinisikan Ik (ζ) adalah koefisien dari esζ untuk setiap ζ ∈ Γk dengan k ∈ 1, 2, . . . , n, maka Ik (ζ) = Ike (ζ) − Iko (ζ) dengan 1. Ike (ζ) adalah nilai dari ρ ∈ Pke sedemikian sehingga {i1 , i2 , . . . , in } ∈ Cnk dan P ζ = kr air iρ (r) , 2. Iko (ζ) adalah nilai dari ρ ∈ Pko sedemikian sehingga {i1 , i2 , . . . , in } ∈ Cnk dan P ζ = kr air iρ (r) , untuk Pne sebagai permutasi genap dan Pno sebagai permutasi ganjil. Nilai Ik (ζ) disubstitusikan pada γk (s) dan diperoleh γk (s) = (−1)k

X

Ik (s)esζ .

(4.3)

ζ∈Γk

Didefinisikan dominan dari γk (s) adalah dk = max{ζ ∈ Γk : Ik (ζ) 6= 0}. Jika digunakan Definisi 2.2.10 pada persamaan (4.3), maka diperoleh |γk (s)| ≍ esdk . Kemudian didefinisikan nilai koefisien dari γk (s) sebagai γ¯k (s) = (−1)k Ik (dk ) untuk k = 1, 2, . . . , n. Misal ℓ = {k : γ¯k (s) > 0} dan  = {k : γ¯k (s) < 0}, agar dapat memisahkan koefisien yang positif dengan negatif. Sebagai contoh untuk commit to user setiap ζ ∈ Γ1 = {aii : i = 1, 2, . . . , n} diketahui bahwa I1o (ζ) = 0 dan I1e (ζ) > 0. Hal ini menyebabkan I1 (d1 ) > 0 sehingga γ¯1 < 0 yang berarti 1 ∈ . Sejalan 15


digilib.uns.ac.id

dengan Γ1 seluruh γk (s) dengan γ¯k (s) < 0 atau k ∈  dipindah ke ruas kanan agar tanda negatif dapat dihilangkan. Seluruh γk (s) dengan k ∈  dipindahkan ke ruas kanan dan diperoleh λn +

X

X

γ¯k (s)esdk λn−k =

k∈ℓ

γ¯k (s)esdk λn−k .

(4.4)

k∈

Kemudian, agar Lema 2.2.2 dapat digunakan, variabel λ pada persamaan (4.4) diganti dengan variabel esλ dan diperoleh X X n n−k n−k esλ + γ¯k (s)esdk esλ ≍ γ¯k (s)esdk esλ k∈ℓ n

esλ +

X

k∈ n−k

γ¯k (s)esdk λ

≍

k∈ℓ

X

n−k

γ¯k (s)esdk λ

k∈

Jika digunakan Definisi 2.2.10, maka diperoleh X n X n−k n−k γ¯k (s)es(dk λ ) = lim s−1 ln γ¯k (s)es(dk λ ) lim s−1 ln esλ +

s→∞

s→∞

k∈ℓ

(4.5)

k∈

Kemudian, digunakan Lema 2.2.2 pada persamaan (4.5) dan diperoleh max nλ, dk + (n − k)λ + ln γ¯k (s) = max dk + (n − k)λ + ln γ¯k (s) . k∈ℓ

k∈

Karena ln γ¯k (s) dapat diabaikan, persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus adalah λ⊗n ⊕

M

dk ⊗ λ⊗n−k =

k∈ℓ

4.2

M

dk ⊗ λ⊗n−k

(4.6)

k∈

Contoh Kasus

Kasus berikut diambil dari penelitian yang telah dilaksanakan oleh Vries et. al [14]. Misalkan diketahui suatu jaringan rel kereta api sederhana seperti yang dapat dilihat pada Gambar 4.1. Pada jaringan tersebut, terdapat rute kereta dari P menuju ke S dan sebaliknya yang melewati stasiun Q. Selain itu terdapat rute dari stasiun Q ke R dan sebaliknya. Pada stasiun Q kereta dari P dan S harus mendahulukan kereta yang berjalan pada rute Q ke R dan sebaliknya. commit to user Waktu keberangkatan dari kereta ke-k pada rute i dinotasikan sebagai xi (k), untuk i = 1, 2, . . . , n dengan n adalah jumlah rute yang berbeda pada jaringan. 16


digilib.uns.ac.id

Gambar 4.1. Jaringan rel kereta api sederhana. Kereta ke-(k + 1) harus memenuhi beberapa kondisi untuk dapat berjalan pada rute i. Kondisi pertama adalah kereta harus telah tiba di stasiun. Dianggap bahwa kereta dari rute j akan melanjutkan perjalanan melewati rute i, sehingga diperoleh kondisi berikut. xi (k + 1) ≥ aij ⊗ xj (k),

(4.7)

dengan xi (k + 1) adalah waktu keberangkatan ke-(k + 1) pada rute i dan aij adalah waktu tempuh yang diperlukan untuk melewati rute j ke i ditambah dengan waktu yang diperlukan penumpang untuk turun dan naik dari kereta. Kondisi kedua adalah setiap kereta dapat menunggu kereta lain yang berhubungan. Hal tersebut menyebabkan munculnya kondisi berikut. xi (k + 1) ≥ ail ⊗ xl (k),

(4.8)

untuk l adalah himpunan seluruh rute sebelum i dengan ail adalah waktu tempuh pada rute l ke i ditambah dengan waktu yang diperlukan penumpang untuk turun dan naik dari kereta. Diasumsikan bahwa kereta langsung berangkat jika seluruh kondisi telah dipenuhi. Waktu keberangkatan kereta ke-(k + 1) pada rute i yang dituliskan dalam aljabar max-plus adalah xi (k + 1) = aij (k) ⊗ xj (k) ⊕

M

ail (k)xl (k).

l

Sehingga, model dari jaringan pada Gambar 4.1 dengan memperhatikan kondisi

commit to user

17


digilib.uns.ac.id

(4.7) dan (4.8) adalah sebagai berikut x1 (k + 1) = a2 (k) ⊗ x2 (k) x2 (k + 1) = a3 (k) ⊗ x3 (k) ⊕ a4 (k) ⊗ x4 (k) x3 (k + 1) = a1 (k) ⊗ x1 (k) ⊕ a3 (k) ⊗ x3 (k) ⊕ a4 (k) ⊗ x4 (k) x4 (k + 1) = a1 (k) ⊗ x1 (k) ⊕ a3 (k) ⊗ x3 (k). Jika dimisalkan x(k) = x1 (k), . . . , xi (k), . . . , xn (k) uliskan menjadi x(k + 1) = A(k) ⊗ x(k)  ε    ε A(k) =    a1  a1

T

, maka model dapat dit-

dengan A(k) adalah suatu matriks, yaitu  a2 ε ε   ε a3 a4  . (4.9)  ε a3 a4   ε a3 ε

Jika waktu tempuh ai (k) deterministik dengan satuan waktu, maka perilaku sistem x(k + 1) = A(k) ⊗ x(k) ditentukan oleh nilai eigen dalam aljabar maxplus dari matriks A(k). Menurut Chung [5], nilai eigen adalah nilai besarnya waktu maksimal yang diperlukan kereta untuk dapat melewati rute manapun yang ada dalam jaringan tersebut. Dalam artikel ini hanya dibahas bagaimana cara mencari persamaan karakteristik dari matriks A tersebut. Jika dimisalkan a1 = 14, a2 = 17, a3 = 11, a4 = 9, maka nilai a1 , a2 , a3 , a4 disubstitusikan pada matriks (4.9) dan diperoleh matriks A berikut   ε 17 ε ε      ε ε 11 9  . A=    14 ε 11 9    14 ε 11 ε Kemudian, akan dicari persamaan karakteristik dari matriks A.

Persamaan

karakteristik dari matriks A akan dicari dengan dua cara. Cara pertama adalah memperoleh persamaan karakteristik dengan menggunakan matriks esA . Sedancommit to user gkan cara kedua adalah dengan menggunakan persamaan (4.6).

18


digilib.uns.ac.id

Pertama akan digunakan matriks esA untuk memperoleh persamaan karakteristik dari matriks A. Berikut adalah matriks esA .  0 e17s 0 0    0 0 e11s e9s sA  e =  e14s 0 e11s e9s  e14s 0 e11s 0

       

Kemudian, jika matriks esA disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1), maka diperoleh det(λI − esA ) = λ4 − e11s λ3 − e20s λ2 + −(e42s + e40s )λ − e51s = 0

(4.10)

Koefisien dengan pangkat tertinggi dari seluruh γk mempunyai tanda negatif. Oleh karena itu, seluruh γk dipindahkan ke ruas kanan. Jika hanya diambil pangkat terbesar dari γk , maka diperoleh persamaan (4.11), yaitu λ4 = e11s λ3 + e31s λ2 + e42s λ + e51s .

(4.11)

Jika nilai λ diganti dengan esλ dan digunakan Definisi 2.2.10 pada persamaan (4.12), maka diperoleh 4 2 3 lim s−1 esλ = lim s−1 e11s esλ + e31s esλ + e42s esλ + e51s

s→∞

s→∞

(4.12)

Kemudian, jika digunakan Lema 2.2.2, maka diperoleh persamaan karakteristik dari matriks A adalah 4

2

3

λ⊗ = 11 ⊗ λ⊗ ⊕ 31 ⊗ λ⊗ ⊕ 42 ⊗ λ ⊕ 51.

(4.13)

Kemudian, jika digunakan persamaan (4.6) untuk menentukan persamaan karakteristik dari matriks A, berikut adalah langkah-langkah penyelesaiannya. Dengan menggunakan definisi Γk untuk i = 1, 2, 3, 4, diperoleh Γ1 = {ε, 11}, Γ2 = {ε, 20}, Γ3 = {ε, 40, 42}, dan Γ4 = {ε, 51}. Kemudian berikut adalah nilai Ik (ζ) untuk k = 1, 2, 3, 4. I1 (ε) = 1,

I1 (11) = 1

I2 (ε) = −4,

I2 (20) = −1 commit to user I3 (ε) = −10, I3 (40) = 1, I3 (42) = −2 I4 (ε) = −5,

I4 (51) = −1. 19


digilib.uns.ac.id

Kemudian dicari dk untuk k = 1, 2, 3, 4. Karena max{Γ1 } = 11 dan I1 (11) 6= 0, diperoleh d1 = 11. Dengan cara yang sama, diperoleh d2 = 20, d3 = 42, dan d4 = 51. Hal tersebut menyebabkan γ¯1 = −1, γ¯2 = −1, γ¯3 = −1, dan γ¯4 = −1. Diperoleh ℓ = {} dan  = {1, 2, 3, 4}. Persamaan karakteristik dari matriks A dengan memperhatikan persamaan (4.6) adalah 4

3

2

λ⊗ = 11 ⊗ λ⊗ ⊕ 31 ⊗ λ⊗ ⊕ 42 ⊗ λ ⊕ 51.

(4.14)

Tampak bahwa persamaan (4.13) dan (4.14) sama. Sehingga terbukti bahwa dengan menggunakan det(λI − esA ) ataupun persamaan (4.6) diperoleh hasil sama. Mencari persamaan karakteristik menggunakan det(λI − esA ) masih membutuhkan penggunaan operasi (+) dan (×) pada aljabar konvensional, sehingga tidak efektif. Sedangkan, pada persamaan (4.6) hanya menggunakan operasi dalam aljabar max-plus. Kemudian, nilai eigen dari matriks A dapat diperoleh dengan memfaktorkan persamaan karakteristik tersebut. Dari nilai eigen yang diperoleh tersebut, misalkan λ dapat diartikan bahwa kereta dalam jaringan tersebut dapat diberangkatkan tiap λ satuan waktu.

commit to user

20


digilib.uns.ac.id

Bab V PENUTUP 5.1

Kesimpulan

Sesuai dengan masalah yang telah dirumuskan, diperoleh kesimpulan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus adalah λ⊗n ⊕

M

dk ⊗ λ⊗n−k =

k∈ℓ

M

dk ⊗ λ⊗n−k ,

k∈

dengan dk = max{ζ ∈ Γk : Ik (ζ) 6= 0}. Nilai Γk adalah himpunan pangkat yang mungkin terjadi untuk setiap λ dan Ik (ζ) adalah koefisien dari ζ ∈ Γk .

5.2

Saran

Penelitian ini hanya membahas tentang bagaimana menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Jika pembaca tertarik dapat melakukan penelitian tentang bagaimana cara memperoleh algoritma untuk memperoleh nilai eigen dan vektor eigen dari persamaan karakteristik.

commit to user

21

PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

Recommend Documents