Permanen Dan Dominan Suatu Matriks......(Siswanto)
PERMANEN DAN DOMINAN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL Siswanto Jurusan Matematika FMIPA UNS
[email protected] Abstrak Misalkan ℜ himpunan bilangan real. Aljabar Max-Plus adalah himpunan ℜ = ℜ ∪ {− ∞} dilengkapi dengan operasi maksimum (⊕) dan penjumlahan (⊗). Setiap matriks persegi atas aljabar Max-Plus dapat dikaitkan dengan perrmanen dan dominan. Dari aljabar Max-Plus dapat dibentuk aljabar Max-Plus interval yaitu himpunan yang anggotanya merupakan interval-interval tertutup dalam ℜ atau (ℜ) dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan penjumlahan ⊗ . Dapat dibentuk himpunan matriks persegi atas aljabar Max-Plus interval. Dalam penelitian ini, akan dikaji tentang permanen dan dominan matriks atas aljabar Max-Plus interval, hubungan antara permanen dan dominan, serta bideterminan matriks atas aljabar Max-Plus interval. Dari hasil penelitian diperoleh formula permanen dan dominan, dominan selalu lebih kecil atau sama dengan permanen dan formula bideterminan. Kata kunci : Permanen, dominan, matriks, aljabar Max-Plus interval.
atas aljabar Max-Plus. Himpunan ℜ
PENDAHULUAN Aljabar digunakan
Max-Plus memodelkan
dilengkapi
dengan operasi maksimum
dan
dan plus merupakan dioid yaitu semiring
menganalisis secara aljabar masalah
yang idempoten (Akian, et. al, 1994;
perencanaan,
Bacelli, et al, 2001; Farlow, 2009)
sistem
untuk
telah
×
komunikasi,
antrian
dengan
produksi, kapasitas
Dalam
aljabar
konvensional,
dibahas
mengenai
berhingga, komputasi parallel, dan lalu
telah
lintas. (Bacelli, et.al, 2001). Aljabar
matriks beserta sifat-sifatnya (Hefferon,
Max-Plus adalah himpunan ℜ
2001; Meyer, 2000). Sejalan dengan
=
determinan
ℜ ∪ { } dilengkapi operasi maksimum
pembahasan
( ⨁ ) dan plus ( ⨂ ) dengan ℜ
determinan suatu matriks di dalam
himpunan bilangan real dan
= − ∞.
aljabar
tersebut
konvensional
yaitu
tentang
beserta
sifat-
Elemen identitas terhadap maksimum
sifatnya, Farlow (2009) telah membahas
dan plus berturut-turut adalah − ∞ dan
determinan matriks di dalam aljabar
0. Dapat dibentuk himpunan matriks
Max-Plus. Namun, terdapat perbedaan
elemen-
antara pengertian determinan matriks di
elemennya merupakan elemen dalam
dalam aljabar konvensional dan di
berukuran ℜ
×
, ditulis ℜ
yang ×
. Himpunan ℜ
×
selanjutnya disebut himpunan matriks
aljabar Max-Plus. Hal ini disebabkan tidak
adanya
invers
terhadap 45
Permanen Dan Dominan Suatu Matriks......(Siswanto)
penjumlahan di dalam aljabar Max-Plus.
interval, hubungan antara permanen dan
Istilah determinan matriks di dalam
dominan, serta bideterminan matriks atas
aljabar
aljabar Max-Plus interval.
Max-Plus
digantikan
oleh
permanen dan dominan suatu matriks.
Sebelum dibahas hasil penelitian,
Untuk menyelesaikan masalah
diberikan hal-hal yang diperlukan untuk
jaringan dengan waktu aktifitas bilangan
penelitian ini. Adapun hal-hal yang
kabur seperti penjadwalan kabur dan
diperlukan yaitu definisi, lema, dan
sistem antrian kabur, aljabar Max-Plus
teorema
telah
aljabar
matriks atas aljabar Max-Plus, permanen
Max-Plus interval. Aljabar Max-Plus
dan dominan matriks atas aljabar Max-
digeneralisasi
interval
yaitu
dengan operasi generalisasi
menjadi
( ℜ)
Max-Plus,
dilengkapi
Plus, aljabar Max-Plus interval serta
⊕
dan
⊗ . Dari
matriks atas aljabar Max-Plus interval.
muncul
himpunan
ini ×
aljabar
I ()max
matriks atas aljabar Max-Plus interval yaitu
tentang
merupakan himpunan
matriks berukuran elemennya dalam
×
yang elemen-
(ℜ)
(Rudhito,
2011). Jika m = n diperoleh himpunan matriks persegi, yaitu (ℜ) Selanjutnya,
×
aljabar Max-Plus dan matriks dalam aljabar Max-Plus beserta operasinya (Bacelli, et al, 2001; CuninghameGreen, 2004; Farlow, 2009; Konigsberg, 2009). Definisi 1.1. Misalkan himpunan
.
dengan
Berikut adalah definisi tentang
adanya
matriks atas aljabar Max-Plus interval dan penelitian yang dilakukan oleh Farlow (2009) yaitu tentang permanen
bilangan real, didefinisikan himpunan ℜ
= ℜ ∪ { } dengan dan e
= 0. Struktur aljabar dari ℜ
yang
dilengkapi dengan operasi ⊕ yaitu
dan dominan matriks atas aljabar Max-
”maksimum” dan ⊗ yaitu
Plus, hubungan antara permanen dan
merupakan
dominan, serta bideterminan matriks atas
selanjutnya disebut aljabar Max-Plus dan
aljabar Max-Plus memungkinkan untuk
dinotasikan dengan ℝ
diteliti konsep-konsep tersebut di dalam
⊗).
aljabar Max-Plus interval. Oleh karena
Definisi
itu, dalam penelitian ini penulis ingin
berukuran n m dengan elemen-elemen
mengkaji
dalam ℜ
tentang
permanen
dan
dominan matriks atas aljabar Max-Plus
46
yaitu
semifield
1.2.
ℜ
”plus”
idempoten, = (ℜ
Himpunan
; ⊕,
matriks
dinotasikan dengan ℜ ×
=
∈ℜ
×
; =
Vol. 7, No. 2, Desember 2012
1, 2, … , ; = 1, 2, … ,
⊗
. Elemen baris
ke-i dan kolom ke-j dari matriks ∈ℜ
×
dinyatakan oleh aij
⊗ … ⊗ . Untuk k = 0,
⊗
atau
=
.
g. Untuk sebarang
∈
matriks
[ A]ij .
ℜ
Definisi 1.3. Berikut beberapa operasi
didefinisikan oleh [ ⊗ ] =
A, B ℜ ⊕
didefinisikan [ ⊕ ] = max [ b. Untuk
,
,
ℝ
=
×
∈ℜ
,
⊗
[ ⊗ ] =
,
,
aljabar
konvensional
idempoten
Max-Plus ∈ℜ
, dengan
×
, jika = . , jika ≠
elemen
.
berikut (Farlow, 2009) :
∈ [−∞, ∞), didefinisikan
jika dan hanya jika lim
×
+
≍
dan g≍
( ⊕ )
=
membuktikan
×
aljabar =(
misalkan
dan bilangan bulat positif k ,
matriks berukuran matriks
⊗
=
Lema
1.5
konvensional,
)∈ℜ
=
∑
∈
A ( ) ∏
×
yaitu
× , determinan
⊗
pangkat k dari A ditulis
dan
digunakan Definisi 1.4. Dalam
∈ℜ
ln ( ) =
→
.
Untuk
didefinisikan [ℰ] = . f. Untuk suatu matriks
≍
.
( ⊕ )
ℰ ∈ℜ
∶ (0, ∞) → (0, ∞)
Definisi 1.4. Jika
maka
e. Matriks netral Max-Plus ditulis
oleh
dengan
atas aljabar Max-Plus disajikan sebagai
Lema 1.5. Jika
didefinisikan :
dengan
merupakan
serta permanen dan dominan matriks
dan
identitas
didefinisikan
; ⊕, ⊗)
berkaitan dengan fungi eksponensial,
]
[ A ]ij [ A] ji
ℰ ,
×
Berikut definisi dan lema yang
T
[ ] =
dilengkapi
netral dan elemen identitas masing-
=
dan didefinisikan seperti dalam
ditulis
= (ℜ
masing adalah ℰ dan
dengan
⊗
, ,… } [
×
c. Tranpose dari matrik ditulis AT
d. Matriks
×
semiring
∈ℜ
×
ℜ
Himpunan
dengan operasi ⊕ dan ⊗ ditulis
].
didefinisikan
max ∈{
×
dengan
⊕
⊗
,
⊗ [ ] .
matriks dalam Aljabar Max-Plus : a. Untuk matriks
× dan ∈ℜ
adalah ()
det ( ) = dimana
47
Permanen Dan Dominan Suatu Matriks......(Siswanto)
menyatakan himpunan semua permutasi
Definisi 1.6. Untuk matriks
dari { 1, 2, … , } dan
ℜ
( ) adalah
tanda dari permutasi . Jika
permutasi
genap maka
( )
sedangkan jika
permutasi ganjil maka
adalah
×
dengan
∈ℜ
,
definisi
×
dari
digunakan matriks
adalah matriks berukuran
( )
Untuk tetap mempertahankan
,
dengan z adalah variabel. Matriks
( ) dihilangkan.
tetapi
adalah
∈ℜ
matriks
hampir sama dengan determinan matriks ∈ℜ
()
dominan. Untuk merumuskan dominan
permanen dari matriks A didefinisikan ×
⊗
adalah himpunan semua
Berikut =
Misalkan
∈
permutasi dari { 1, 2, … , }.
( ) adalah ” – ”. ×
)∈
permanen dari A didefinisikan
perm ( ) =⊕
” + ”,
=(
elemen
×
dengan
.
didefinisikan bideterminan dari matriks ∈ℜ
×
.
Definisi 1.7. Dominan dari matriks A didefinisikan : dom( ) =
pangkat tertinggi dalam det ( ), jika det ( , jika det ( ) = 0
Dengan mengingat lema 1.5 jika
) ≠ 0
Definisi 1.8. Diberikan matriks
z diganti dengan e s diperoleh definisi
(
tentang matriks
elemen
dan definisi dom (A)
)∈ℜ
×
, matriks dimana
yang merupakan bentuk lain dari definisi
elemen dari A
dom (A) pada Definisi 1.7 sebagai
[
] =
=
mempunyai ∈ℜ
atau dapat
adalah ditulis,
.
berikut :
dom( ) =
lim →
×
∈ℜ
Definisi 1.9. Misalkan
ln |det( ,
)| ,
jika det(
jika det(
) = 0
Menurut Definisi 1.4, dikatakan bahwa |det (e )| ≍
48
( )
.
,
Hubungan
) ≠ 0
serupa dipenuhi untuk permanen yaitu perm (
)≍
( )
.
Vol. 7, No. 2, Desember 2012
Karena
perm
(A)
adalah
maksimum dari nilai diagonal untuk
x = x, x x, x ∈
semua permutasi kolom pada matriks A
ℜ, ≺
maka dom (A) perm (A). Sifat ini
Pada himpunan
disajikan pada lema berikut :
operasi " ⊕ " dan ×
∈ℜ
Lema 1.10. Misalkan
maka
dom (A) perm (A). Definisi
1.11.
misalkan
∈ℜ
Untuk
( )=
bahwa
⊗ … ⊗
×
( )
,
⊗
( ),
himpunan
permutasi genap dan
permutasi
( )
ganjil dari { 1, 2, … , }. Bideterminan △ ( ) dari A adalah Bidet ( ) = △ ( ) △ ( ) = ⊕
dengan
△ ( ) = ⊕
∈
∈
( )
dan
Dengan memperhatikan definisi dari bideterminan dan permanen suatu matriks ∈ ℜ permanen
dari
×
, diperoleh bahwa matriks
A
adalah
perm ( ) = △ ( ) ⊕ △ ( ). Selanjutnya,
disajikan
aljabar Max-Plus interval dan matriks di dalamnya (Rudhito, 2011). Interval tertutup x dalam ℜ adalah suatu himpunan bagian dari ℜ yang
berbentuk
x = x, x =
(ℜ)
didefinisikan " ⊗ " dengan
x ⊕ y = [ x ⊕ , x ⊕
]
x ⊗ y = [ x ⊗ , x ⊗ x, y ∈ (ℜ)
.
dan
] untuk setiap (ℜ)
Himpunan
dilengkapi dengan operasi ⊕ dan ⊗ merupakan
semiring
idempoten
komutatif dengan elemen netral ε = [ , ] dan elemen satuan 0 = [0,0]. Selanjutnya disebut aljabar Max-Plus interval
dan =
dinotasikan
(ℜ)
dengan
; ⊕, ⊗ .
Definisi 1.13. Untuk x = [ x, x ], y = [ y, y ] ∈ (ℜ) x ≼
didefinisikan
y ⟺ x ⊕ y = y ⟺ x ≼ y
dan x ≼ y . Definisi
konsep
=
x ≼ x ∪ ε , dengan ε = [ , ].
(ℝ)
( ) .
(ℜ)
Definisi 1.12. Dibentuk
1.14. ×
berukuran
Himpunan
dengan elemen-elemen
(ℜ)
dalam
,
anggota
(ℜ)
(ℜ)
yaitu
A = A A ∈ (ℜ) 1, 2, …,
matriks
=
; =
=1, 2, …, ×
×
disebut
. Matriks matriks
interval Max-Plus. Selanjutnya matriks ∈ℜ
x ≼
dalam ℜ Suatu
≼ x . Interval x
disebut interval Max-Plus.
bilangan
x
∈ℜ
dinyatakan sebagai interval [x,x].
dapat
interval Max-Plus cukup disebut dengan matriks interval. Definisi 1.15. Struktur aljabar dari (ℜ)
×
yang dilengkapi dengan operasi
49
Permanen Dan Dominan Suatu Matriks......(Siswanto)
⊕
dan ⊗ ×
(ℝ)
=
dinotasikan dengan
(ℜ)
merupakan
×
dioid
idempoten),
Teorema 1.19. Struktur aljabar dari ×
(ℜ
; ⊕, ⊗ (semiring
yang ×
(ℜ)
sedangkan
merupakan semimodul atas (ℜ)
.
)
yang
dilengkapi
dengan
operasi ⊕ dan ⊗ dinotasikan dengan ×
(ℝ
×
) = ( (ℜ
merupakan
) ; ⊕, ⊗)
dioid
(semiring
Untuk A ∈ (ℜ)
×
idempoten),
didefinisikan matriks A = [A ] ∈ ℜ
×
merupakan semimodul atas (ℜ)
Definisi
1.16.
A = [A ] ∈ ℜ
dan
×
disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A.
A ∈ (ℜ)
×
⊗) (ℜ
Definisi 1.17. Diberikan matriks interval , dengan A dan A masing-
isomorfis ×
) = ( (ℜ
dengan
(ℜ)
matriks batas atas dari matriks A.
(ℜ)
Didefinisikan interval matriks dari A
(ℜ
×
.
×
; ⊕,
semiring
) ; ⊕, ⊗)
)
×
.
(ℜ)
dengan
)
: (ℜ)
×
→
(A) = A, A , ∀A ∈ Semimodul
(ℜ)
×
atas
isomorfis dengan semimodul ×
)
(ℜ)
atas
.
Dengan
demikian untuk setiap matriks interval A
A, A =
∈ℜ
×
A ≼
≼ A
selalu dapat ditentukan interval matriks
dan
A, A ×
(ℜ
=
pemetaan
×
(ℜ
masing adalah matriks batas bawah dan
yaitu
×
×
(ℜ
sedangkan
Semiring (ℝ)
masing-masing
yang
) = A, A | A ∈ (ℜ)
dimana A ≼
×
,
interval
⟺ A ⊕ = .
A, A ∈ (ℜ
matriks
dengan A, A ∈ ℜ
Definisi 1.18.
×
, A, A , B, B ∈
(ℜ
×
i.
α ⊗ A, A = α ⊗ A, α ⊗ A
) didefinisikan
A ,A
∈ (ℜ)
×
untuk setiap i dan j.
demikian
A ∈ (ℜ)
×
A, A ⊕ B, B =
interval
matriks
A, A ∈ (ℜ
A ⊕ A, B ⊕ B
Interval matriks
A, A ∈ (ℜ
A, A ∈ (ℜ
B, B ∈ (ℜ
×
×
) ,
) didefinisikan
A, A ⊗ B, B = A ⊗ A, B ⊗ B .
disebut
)
dimana
Dengan
2. Untuk
×
dapat ditentukan
matriks interval A ∈ (ℜ)
1. Untuk α ∈ (ℜ)
ii.
dan sebaliknya untuk setiap
matriks
interval
dapat dipandang sebagai
interval
matriks
× ×
) . )
yang
bersesuaian dengan matriks interval A ∈ (ℜ)
×
dan dilambangkan dengan
A ≈ A, A . Akibat isomorfisme di atas
50
Vol. 7, No. 2, Desember 2012
maka berlaku : α ⊗ A ≈ α ⊗ A, α ⊗
perm A =⊕
∈
⊗
a
()
≤
A,
perm (A) =⊕
∈
⊗
a
()
dengan
A ⊕ B ≈ A ⊕ B, A ⊕ B
dan
adalah himpunan semua permutasi
A ⊗ B ≈ A ⊗ B, A ⊗ B .
{1, 2, … , }.
dari
PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas
×
A ∈ (ℜ)
Permanen
matriks
didefinisikan
sebagai
hasil penelitian ini. Hasil penelitian
berikut :
meliputi
Definisi 2.1. Diberikan matriks A ∈
permanen dan dominan dari
(ℜ)
suatu matriks atas aljabar Max-Plus interval, hubungan antara permanen dan
×
matriks A didefinisikan perm (A) =
dominan, serta bideterminan matriks atas
perm A , perm A .
aljabar Max-Plus interval.
Untuk mendefinisikan dominan ×
Misalkan A ∈ (ℜ) A ≈ A, A a
∈ℜ
a ≼ a
dengan
. Karena A ≈ A, A maka
Matriks
adalah matriks berukuran
Oleh
. ∈
setiap karena
itu,
Definisi 2.2. Dominan matriks A ∈ (ℜ) dom (A) = min dom A , dom A
, jika det
jika z diganti dengan e diperoleh definisi berikut : Definisi 2.3. Diberikan matriks A ∈
[
,
,
×
pangkat tertinggi dalam det
s
dengan A ≈ A, A , matriks
mempunyai
[
dengan
elemen
] dimana a ∈ ℜ
[
,
adalah variabel.
elemen
[
,
]
=
] .
dengan A ≈ A, A , didefinisikan
, dom A , dengan
Dengan mengingat lemma 1.5
×
×
pangkat tertinggi dalam det ( ), jika det ( , jika det ( ) = 0
dan dom A =
(ℜ)
digunakan
dengan
{1, 2, … , }.
dom A =
×
matriks
untuk
A= a
suatu matriks A ∈ (ℜ)
, A=
dan ×
dengan A ≈ A, A . Permanen
]
=
adalah
) ≠ 0
, jika det
≠ 0
= 0
elemen dari A dan a ∈ ℜ
adalah
elemen dari A. Dengan memperhatikan Definisi 1.7 dan Definisi 1.9, bahwa definisi dominan matriks A ∈ (ℜ) × pada Definisi 2.2 ekuivalen dengan definisi dominan pada definisi sebagai berikut :
51
Permanen Dan Dominan Suatu Matriks......(Siswanto)
×
Definisi 2.4. Misalkan matriks A ∈ (ℜ) dom (A) = min dom A , dom A dom A =
lim
, lim
dan dom A =
→
jika det(
jika det(
) = 0
ln det(
) , jika det
, jika det
Menurut
Definisi
dikatakan bahwa det( dan det(
, dom A , dengan
) ,
ln det(
→
) ≍
1.4,
) ≍ ( )
)≍
( )
perm
≍
perm (A) = perm A , perm A . Menurut lema 1.10, jika
∈ℜ
×
∈ℜ
dapat ditulis bahwa, jika maka dom ( ) ≼
adalah maksimum dari nilai diagonal
dom A ≼
matriks A dan A maka diperoleh lema
perm A
×
A ∈ (ℜ)
Misalkan
×
dengan A ≈ A, A maka dom (A) ≼ perm (A).
Terdapat 2 kemungkinan : a. dom (A) = dom A , dom A
≼
perm A , perm A
b. dom (A) = dom A , dom A
≼
dom A , dom A
≼
perm A , perm A
Oleh karena itu, dom (A) = min dom A , dom A ≼
perm A , perm A
= perm (A). 52
, dom A
maka
dan dom A
≼ perm A .
berikut :
×
perm ( ). Oleh
karena itu, karena A, A ∈ ℜ
untuk semua permutasi kolom dalam
2.5.
maka
dom (A) perm (A). Dalam hal ini,
.
Karena perm (A) dan perm (A)
Lema
, dom A
dan
dan
( )
.
min dom A , dom A
. Hubungan
( )
≠ 0
Bukti : Perhatikan bahwa, dom (A) =
dapat
) ≠ 0
= 0
serupa dipenuhi untuk permanen yaitu perm (
dengan A ≈ A, A ,
= perm (A),
= perm (A).
Vol. 7, No. 2, Desember 2012
( )
Selanjutnya, sejalan dengan pembahasan
⊕
pada
genap dan
aljabar
didefinisikan ×
Definisi
2.6. ×
a
matriks
sebagai berikut : A = a
Untuk
∈
( )=a
( )
⊗ a
( )
⊗
dan
( )=a
( )
⊗
( )
⊗ … ⊗ a
( ),
himpunan
permutasi genap dan
permutasi
( )
ganjil dari { 1, 2, … , }. Bideterminan matriks
A
△
A ,△
A
△
A ,△
A
dengan △
A =
( ),
⊕
∈
△
A = ⊕
⊕
∈
( )
⊕
∈
( ).
Bidet (A) =
adalah
( ), △
∈
Berdasarkan bideterminan
dan
A =
dengan
bideterminan
△
A = ⊕
⊕
∈
△
A = ⊕
A
△
A ,△
A
( ), △
.
Karena
A ,△
A
△
A ,△
A
△
A ,△
A
△
A ,△
A
△
A
△
A
,
A
A .
∈ ( ℜ)
×
, A=
Bidet (A) =
maka Bidet (A) =
≈
△
A
△
A
=
Bidet A , Bidet A . Oleh karena itu, Bidet A =
matriks
A
×
△
A
△
A
△
A
dan Bidet A =
. Dengan demikian permanen A
adalah
perm (A) =
perm A , perm A
dengan
Jika
perm A = △
A ⨁ △
A
adalah
perm A = △
A ⨁ △
A .
dan
dengan KESIMPULAN A =
( ), ∈
∈ℜ
△
A ,△
a
,
A ≈ A, A .
A ⨁ △
dengan A ≈ A, A dan A = a
A
∈
A ⨁ △
Bukti : Misalkan A = a
△
×
△
∈
dan perm A = △
suatu
matriks
Bidet (A) =
dengan perm A = △
permanen
Teorema 2.7. Misalkan A = a ×
perm (A) = perm A , perm A
dari
diperoleh teorema berikut :
( ℜ)
permutasi ganjil dari
{ 1, 2, … , } maka permanen matriks A
definisi
∈ ( ℜ)
matriks A = a
A = △
dan
himpunan permutasi
adalah
dengan A≈A, A, misalkan
bahwa … ⊗ a
dapat
bideterminan
A ∈ (ℜ)
ℜ
Max-Plus
∈
Dari hasil penelitian diperoleh formula permanen dan dominan matriks
( ) dan △
A =
A ∈ (ℜ)
×
, dominan matriks A selalu
53
Permanen Dan Dominan Suatu Matriks......(Siswanto)
lebih kecil atau sama dengan permanen
the requirements for the degree of
matriks A dan formula bideterminan
Masters in Mathematics.
matriks A.
Hefferon, J. (2001). Linear Algebra,
Setelah
dikaji
matriks
yang
Vermont USA 05439 : Mathematics,
mempunyai invers, selanjutnya dapat
Saint Michael’s College Colchester.
dikaji lebih lanjut kaitan permanen dan
Konigsberg Z. R. (2009). A Generalized
dominan matriks A dengan matriks yang
Eigenmode Algorithm for Reducible
mempunyai invers.
Regular Matrices over the Max-Plus Algebra.
International
DAFTAR PUSTAKA
Mathematical Forum, 4. 24. 1157 –
Akian, M., Cohen, G., Gaubert, S.,
1171.
Quadrat, J. P., and Viot, M. (1994).
Meyer, C. D. (2000). Matrix Analysis
Max-Plus Algebra and Applications
and Applied Linear Algebra, New
to System Theory and Optimal
York : The Mac millan Publishing
Control.
Company.
Proceedings
International
of
Congress
Mathematicians.
the of
Zurich,
Switzerland.
J.
P.
(2001).
Bilangan
Disertasi
:
Matematika
York : Joh Wiley & Sons.
Yogyakarta.
(2004)
Bases
in
Max-Algebra.
Linear Algebra and its Applications. 389. 107–120 Farlow,
K.
G.
(2009).
Max-Plus
Algebra, Master's Thesis submitted to the Faculty of the Virginia Polytechnic
Institute
University in partial
and
State
fulfillment of
Kabur pada
dan
Masalah
Penjadwalan dan Jaringan Antrian.
Synchronization and Linearity, New
Cuninghame-Green, R.A. Butkovi’c, P.
54
Plus
Penerapannya
Bacelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J., Quadrat,
Rudhito, Andy. (2011). Aljabar Max-
Program FMIPA
Studi
S3
UGM.
