Root Locus A. Landasan Teori Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop tertutupnya)

Nama

: Ardian Umam

NIM/Jur/Angk

: 35542/Teknik Elektro UGM/2009

Root Locus A. Landasan Teori Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop tertutupnya).

Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah. Untuk mengetahui kawasan letak pole-pole persamaan karakteristik sistem tersebut terhadap kemungkinan kombinasi nilai K, maka diperlukan sebuah metode yang disebut dengan Root Locus. Root berarti akar dan Locus berarti tempat kedudukan. Maka Root Locus adalah tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik dari sebuah sistem pengendalian proses dengan K = 0 sampai K = tak hingga. Ini dapat digunakan untuk menentukan stabilitas sistem tersebut selalu stabil atau ada batas kestabilannya, sehingga dalam merancang sistem kontrol, si desainer bisa mendapatkan hasil step response sesuai yang diinginkannya dengan mengubah nilai-nilai K. Dalam sistem pengendali, dikenal juga sistem kontrol untuk kestabilan sistem, yang disebut dengan PID. Sistem kontrol PID terdiri dari tiga buah cara pengaturan yaitu kontrol P (Proportional), D (Derivative) dan

(Integral), dengan masing-masing memiliki kelebihan dan

kekurangan. Dalam implementasinya masing-masing cara dapat bekerja sendiri maupun gabungan diantaranya. Dalam perancangan sistem kontrol PID yang perlu dilakukan adalah mengatur parameter P, I atau D agar tanggapan sinyal keluaran sistem terhadap masukan tertentu sebagaimana yang diiginkan. Untuk merancang sistem kontrol PID, kebanyakan dilakukan dengan metoda coba-coba atau (trial & error). Hal ini disebabkan karena parameter Kp, Ki dan Kd tidak independent. Untuk mendapatkan aksi kontrol yang baik diperlukan langkah coba-coba dengan kombinasi antara P, I dan D sampai ditemukan nilai Kp, Ki dan Kd seperti yang diiginkan. Berikut skema/blok sistem plant dengan sebuah kontroler menggunakan PID.

B. Cara Kerja Cara kerja percobaan disini adalah meneliti perubahan pole-pole sistem terhadap perubahan parameter pengendali, dalam percobaan ini parameter pengendali yang akan digununakan yakni K, ki dan kp. Selanjutnya adalah melakukan ploting step response dari sitem sesuai dengan kombinasi parameter pengendali yang diberikan. Percobaan yang dilakukan yakni : 1. Melakukan pengalian fungsi alih sistem dengan konstanta tertentu dalam loop terbuka, kemudian mengamati hasil step response-nya 2. Melakukan pemberian nilai parameter pengendali K pada sistem pengendali tertutup yang membuat pole-pole persamaan karakteristik berada disebelah kiri sumbu imaginer kemudian melakukan plot step response-nya dan melakukan analisa. 3. Melakukan pemberian nilai parameter pengendali K pada sistem pengendali tertutup yang membuat pole-pole persamaan karakteristik berada disebelah kanan sumbu imaginer kemudian melakukan plot step response-nya dan melakukan analisa. 4. Melakukan percobaan pengaturan parameter pengendali integral (ki) dan proportional (kp) pada sistem kontrol tertutup (close loop). Percobaan ini menggunakan software Matlab, untuk percobaan dan alur yang lebih detail akan diuraikan secara sistematis pada bab analisa pembahasan dengan harapan agar setiap langkah percobaan beserta hasilnya sekalian dapat diberi analisa penjelasan. Hal ini dimaksudkan agar alurnya pembahasan pada tulisan ini lebih sistematis dan tidak terpecah-pecah.

C. Analisis dan Pembahasan Pada perobaan ini dilakukan dengan menggunakan software komputasi yang dinamakan dengan matlab, karena library yang tersedia sangat support untuk melakukan komputasi dan simulasi di bidang pengendalian dasar. Berikut adalah langkahnya : 1. Pertama adalah menginisiasikan suatu fungsi alih (TF) sistem ke program matlab. Misalnya sistem yang akan kita uji sebagai berikut :

input

_

output

K

Gambar 0.1

Dari sistem di atas transfer function sistem terbukanya adalah :

1 𝑠+2 𝑠+1 (𝑠+6)

. Maka dalam

matlab dengan perintah sebagai berikut : G=zpk([],[-2 -1 -6],[1]);

2. Selanjutnya adalah menampilkan plot root locus dari fungsi tersebut dengan blok diagram seperti Gambar 0.1 di atas, yakni nilai K terletak pada feedback, maka perintah yang digunakan untuk mencari root locus yakni dengan perintah : rlocus(G). Dalam matlab, perintah root locus pada help desk matlab yaitu melakukan plotting pole-pole dengan nilai K=0 hingga K=infinite, dimana nilai K terletak pada feedback blok diagram. Untuk lebih jelasnya lihat Gambar.0.2. Model Root Locus Matlab. Setelah ditekan tombol enter akan muncul window baru yaitu kurva root locus sebagai berikut :

in

out

Sistem

K

Gambar 0.2. Model Root Locus Matlab Gambar 0.3. Root Locus Sistem Dari Gambar 0.3 di atas terlihat beberapa garis kurva, yang berwarna hijau, merah dan biru. Garis tersebut adalah area root locus dari fugsi alih. Garis putus-putus di atas adalah Sumbu X Axis dan Sumbu Y Imaginer. Seperti landasan teori sebelumnya, kurva root locus di atas adalah area dari pole-pole fungsi alih dengan berbagai kemungkinan nilai dari K dari K=0 hingga K=tak hingga (infinite). 3. Langkah selanjutnya adalah dengan melakukan plot LTI menggunakan perintah ltiview, pada tahap ini yang akan diplot adalah step respon-nya. Berikut perintahnya : ltiview(‘step’,G), setelah ditekan enter akan muncul sebagai berikut :

Gambar 0.4. Step Respons

Kurva step di atas menunjukkan bahwa sistem mencapai stabil tanpa adanya overshoot. Perintah ltiview(‘step’,G) berfungsi untuk melakukan plot step respon fungsi G = 1 𝑠+2 𝑠+1 𝑠+6 +𝐾

dengan nilai K disini = 0. Sesuai root locus, K=0 memiliki pole yang

berada di kiri sumbu imaginer, sehingga step respon-nya stabil, dan nilai settling time (waktu stabil) dicapai pada detik ke 4.75. 4. Selanjutnya akan dibandingkan kurva step respon di atas dengan fungsi alih dikalikan dengan bilangan tertentu dalam sistem terbuka (open loop), misal diambil nilai tersebut adalah 2. Maka fungsi alih menjadi : 2 𝑥

1 𝑠+2 𝑠+1 𝑠+6 +𝐾

; 𝐾 = 0. Perintah yang digunakan

sebagai berikut : ltiview(‘step’,2*G), berikut hasil plotnya :

input -

output 2

Gambar 0.5. Blok diagram

Gambar 0.6. Step respons sistem Dari kurva di atas terlihat bahwa nilai dari settling time berniali tetap, yakni = 4.75. Ini berarti bahwa pengubahan nilai konstanta pengali untuk fungsi alih dengan model blok diagram di atas tidak mempengaruhi nilai settling time, alasannya adalah karena persamaan karakteristiknya tidak berubah sehingga bentuk kurva root locusnya juga tidak berubah. Akan tetapi terdapat perbedaan pada nilai amplitude, sistem sekarang bernilai sekitar 1.68. Jika dilihat pada sebelumnya (saat belum dikalikan dengan konstanta=2), nilai amplitude pada saat stabil adalah sekitar 0.83. Dari hasil ini dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai konstanta pengali fungsi alih sistem terbuka berbanding lurus dengan nilai amplitude-nya, dengan hubungan sebagai berikut : Amplitude baru = Konstanta x Ammplitude baru

5. Selanjutnya adalah melakukan percobaan dengan sistem kendali tertutup (close loop), atau dikenal juga dengan istilah memberikan feedback pada sitem kendali. Pada percobaan ini dilakukan dengan berbagai nilai K yang membuat nilai pole-polenya berada disebelah kiri sumbu imaginer. Dari kurva root locus matlab bisa diambil nilai K yang menyebabkan pole masih berada di kiri Sb.Imaginer, misalnya nilai K=1, K=30, K=50 dan K=133.



Untuk K=1 Perintah di Matlab  T=feedback(G,1) ltiview(‘step’, T)

Gambar 0.7. Step response K=1 

Untuk K=30 Perintah di Matlab  T=feedback(G,30) ltiview(‘step’, T)

Gambar 0.8. Step response K=30



Untuk K=50 Perintah di Matlab  T=feedback(G,50) ltiview(‘step’, T)

Gambar 0.9. Step response K=50



Untuk K=133 Perintah di Matlab  T=feedback(G,133) ltiview(‘step’, T)

Gambar 1.0. Step response K=133 Dari hasil beberapa percobaan di atas dengan beberapa nilai K, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa semakin besar nilai K, maka laju kenaikan kurva step respon semakin besar. Hal ini mengakibatkan semakin besarnya nilai overshoot. Hal ini juga berakibat berubahnya waktu settling time-nya, akan tetapi perubahan nilai K terhadap nilai settling time disini tidak berbanding lurus, juga bukan berbanding terbalik. Buktinya, semakin ditambah nilai K ada yang justru turun nilai settling time-nya dan ada yang justru naik. Kesimpulan selanjutnya adalah, berbagai nilai K selama membuat pole-pole sistem berada di kiri Sumbu Imaginer, maka sistem akan tidak stabil, ditunjukkan dengan grafik step response yang akan konvergen (0 < settling time < ~).

6. Percobaan selanjutnya ialah mencoba melakukan plot step response dpada sistem kendali tertutup (close loop) dengan nilai K yang diberikan dipilih angka tertentu agar pole-pole berada di kanan Sumbu Y Imaginer. Dari root locus pada Matlab, misal diambil nilai K=260 agar pole dikanan Sumbu Imaginer. Berikut blok diagram dengan K=260..

260

Gambar 1.1. Blok Diagram

Persamaan tersebut memiliki fungsi alih =

1 𝑠+2 𝑠+1 𝑠+6 +260

. Pada matlab fungsi alih

dengan feedback K=260 bisa didapatkan dengan perintah, T=feedback(G,260). Untuk

melakukan plotting step respon-nya menggunakan perintah, ltiview(‘step’, T). Berikut kurva step responnya :

Gambar 1.2. Step response sistem Terlihat bahwa grafik di atas divergen, hal ini karena nilai K=260 membuat pole berada di kanan sumbu imaginer yang membuat sistem menjadi tidak stabil. Sehingga kesimpulannya adalah nilai K yang membuat pole-pole sistem berada di sebelah kanan sumbu imaginer, maka siste tidak stabil dengan ditunjukkan step response-nya divergen (settling time=~). 7. Selanjutnya adalah meneliti apa pengaruh dari Ki dan Kp. Dalam kontrol PID (Proportional Integral Derivatif), Ki adalah konstanta integral dan Kp adalah konstanta proportional. Penggunaan Kp dan Ki saja misalnya dalam percobaan ini menggunakan fungsi alih kontrol =

𝐾𝑝 𝑆+𝐾𝑖 𝑆

. Maka blok diagram pada percobaan ini menjadi :

Gambar 1.3. Perintah dalah matlab : # kp=1; # ki=1; # H=tf([kp],[1])+tf([ki],[1 0]); # T=feedback(H*G,1); Dari perintah ini telah didapatkan nilai transfer function dari sistem di atas dengan ki=1 dan kp=1. Selanjutnya adalah melakukan plot step response dari transfer function ini, yakni dengan perintah  ltiview(‘step’,T). Maka akan muncul tampilan sebagai berikut :

Gambar 1.4. Step Response dengan ki=1, kp=1

Selanjutnya adalah dengan pengubahan nilai dari ki. Misal diambil ki=2, ki=5 dan ki=12. Berikut hasil plot step response-nya :

Gambar 1.5. Step Response ki=2, kp=1

Gambar 1.6. Step Response ki=5, kp=1

Gambar 1.7. Step Response ki=12, kp=1

Kemudian percobaan diteruskan dengan perubahan pada nilai kp, sedangkan nilai ki=1. Misalnya variasi nilai yang diambil kp=3, kp=8, kp=20 dan kp=45. Berikut hasil plot step response-nya :

Gambar 1.8. Step Response ki=1, kp=3

Gambar 1.9. Step Response ki=1, kp=8

Gambar2.0. Step Response ki=1, kp=20

Gambar 2.1. Step Response ki=1, kp=45

Dari hasil plot step response di atas, maka dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi nilai ki, maka kurva step response akan semakin naik dan otomatis akan meningkatkan overshoot. Begitu pula untuk nilai kp, semakin tinggi nilai kp, maka kurva step response juga akan semakin naik sehingga overshoot semakin tinggi. Kedua nilai ini akan memiliki bentuk kurva step response yang konvergen selama nilai ki dan kp membuat pole-pole persamaan karakteristik berada di sebelah kiri sumbu imaginer. Pada percobaan di atas menunjukkan bentuk kurva step response yang konvergen, karena kombinasi nilai kp dan ki-nya membuat nilai pole-pole berada di sebelah kiri sumbu imaginer.