Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Lesnická a dřevařská fakulta
Diplomová práce
Analýza stupně dřevěného schodiště
Brno 2006
Prager Tomáš
Zadání diplomové práce
2
Jméno:
Tomáš Prager
Abstrakt: Cílem této diplomové práce je analýza stupně dřevěného schodiště metodou konečných prvků. Pomocí výpočtu
je zjištěna odezva dřevěného smrkového a
dubového koutového stupně smíšenočarého schodiště na statické zatížení. Základní zjišťovaný parametr, maximální průhyb je použit pro porovnání se zjištěnými hodnotami shodných stupňů, navržených z jednotlivých aglomerovaných materiálů. Je provedeno zhodnocení výsledků vhodnosti použití daných materiálů a navržen, z posuzovaného hlediska, optimální aglomerovaný materiál pro výrobu stupně dřevěného schodiště. Klíčová slova: Ansys Workbench, dřevěné schodiště, stupeň, numerické modelování
Abstract: The aim of this diploma work is to analyse the wooden curtail-step by means of method of final elements. The calculation ensures the static load response of wooden spruce and oak angle level of the mixed-line curtail-step. The basic found parameter maximal camber is used for the comparison with the found values of the consistent curtail-steps, designed from particular agglomerated materials. There is realised the final evaluation of the results of materials pertinence and there is proposed, from the point of view under consideration, the optimal agglomerated material for the production of this wooden curtail-step. Key words: ANSYS WORKBENCH, wooden staircase, curtail-step, numerical modelling
3
Poděkování: Na tomto místě chci poděkovat panu Ing. Petru Koňasovi Ph.D. a všem pracovníkům ústavu nauky o dřevě za cenné informace, ochotu a jejich čas, který mně věnovali.
Děkuji:
4
Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma: Analýza stupně dřevěného schodiště zpracoval sám a uvedl jsem všechny použité prameny. Souhlasím, aby moje diplomová práce byla zveřejněna v souladu s § 47b Zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a uložena v knihovně Mendelovy zemědělské a lesnické univerzity v Brně, zpřístupněna ke studijním účelům ve shodě s Vyhláškou rektora MZLU o archivaci elektronické podoby závěrečných prací. Autor kvalifikační práce se dále zavazuje, že před sepsáním licenční smlouvy o využití autorských práv díla s jinou osobou (subjektem) si vyžádá písemné stanovisko univerzity o tom, že předmětná licenční smlouva není v rozporu s oprávněnými zájmy univerzity a zavazuje se uhradit případný příspěvek na úhradu nákladů spojených se vznikem díla dle řádné kalkulace.
V Brně, dne: …………………
podpis studenta…………………..
5
Obsah 1 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3. 4. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 6. 6.1 6.2 7. 7.1 7.2 7.3 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 9. 10. 11. 12,
Úvod Popis a rozdělení dřevěných schodišť Dřevěné schodiště Rozdělení podle typu a konstrukce Schodnicová schodiště Sedlová schodiště Zavěšená schodiště Speciální schodiště Točitá schodiště vřetenová Význam norem v soustavě předpisů ČR Základní pojmy a názvosloví Schodišťové rameno Výstupní čára Podesta Zábradlí Madlo Schodnice Schodišťový stupeň Základní rozměrové požadavky Průchodná šířka Podchodná výška Poměr stoupání Požadavky na povrchovou úpravu Základní parametry zábradlí Konstrukční metody smíšenočarého schodiště Metoda velkých kružnic Poměrová metoda Základní popis metody konečných prvků Postup v metodě konečných prvků Matematická formulace MKP Přednosti, jaké má MKP proti ostatním metodám Analýza stupně dřevěného schodiště Nadefinování okrajových podmínek Materiálové vlastnosti Výpočet průhybu pro smrk Výpočet průhybu pro dub Výpočet průhybu pro aglomerovaný materiál Navržený stupeň Zhodnocení výsledků Diskuse
Závěr Použitá literatura
6
7 7 7 8 8 8 9 10 10 10 14 14 14 15 15 15 16 16 18 18 18 18 19 19 20 20 21 23 24 27 33 34 38 39 40 44 46 54 58 59 62 64
1. Úvod Cílem
této
diplomové
práce
je
analýza
stupně
dřevěného schodiště metodou konečných prvků. Výpočtem byla zjištěna odezva dřevěného smrkového a dubového koutového stupně
smíšenočarého
Základní
schodiště
zjišťovaný
na
parametr
statické
zatížení.
maximální
průhyb,
v závislosti na tloušťce stupně, průchodné šířce schodiště a posuvu zatěžovaného tělesa po stupnici, byl použit pro porovnání
s vypočítanými
navrženého
z jednotlivých
hodnotami
aglomerovaných
provedeno
zhodnocení
výsledků
materiálů
a
z posuzovaného
navržen,
aglomerovaný
materiál
shodného
materiálů.
vhodnosti
pro
stupně,
použití
Bylo
daných
hlediska,
optimální
stupně
dřevěného
výrobu
schodiště.
2. Popis a rozdělení dřevěných schodišť 2.1
Dřevěné schodiště Schodiště
je
k překonávání
stupňovitá
rozdílu
stavební
výškových
konstrukce
úrovní
určená
chůzí
mezi
jednotlivými podlažími. Pro to, aby schodiště bylo nejen pohodlné pro chůzi, ale aby zároveň sloužilo pro přenášení zařízení normou
interiéru stanovené
požadavky
a
respektování
a
dalších
základní
materiál
být
při
neméně
schodiště
plnit
důležitou
schopen
je
užitnou
vhodné
interiéru.
7
a
by
splňovat
konstrukční
výrobě,
zatížení působící na jednotlivé části Zároveň
mělo
rozměrové
použitý
hospodárnosti
břemen,
by
přenášet
měl
při
veškerá
i celek konstrukce.
vlastnost,
estetické
kterou
začlenění
má do
2.2
Rozdělení schodiště podle typu konstrukce Podle typu konstrukce rozlišujeme dřevěná schodiště
na schodnicová, sedlová, zavěšená a speciální. Pro naši další
práci
uložení
je
důležité
jednotlivých
rozlišení
stupňů.
spíše
podle
Základní
druhu
rozdělení
a
bude
popsáno v následujícím textu.
2.3
Schodnicová schodiště Jednotlivé stupně jsou zasunuty
nebo vsazeny do schodnic, ve kterých jsou vyfrézovány drážky odpovídající jednotlivým
zasunutým
stupňům.
Pro
upevnění stupňů ve schodnicích jsou použity kovové svorníky, jimiž jsou stupnice
navzájem
staženy.
Každé
schodišťové rameno je třeba zafixovat na
dvou
až
dotáhnout
třech
svorníky
místech. je
Možnost
zajištěna
Obr.č.1
použitím
závitové
tyče
nebo jsou na kulatině vyřezány závity, pro matky sloužící k dotažení. Rozhodující pro únosnost schodiště je rozměr schodišťových ramen. Doporučené rozměry schodnice vyrobené z rostlého dřeva je pro tloušťku 55 mm a pro šířku 32 cm. Schodnicová zasunutými
schodiště
nebo
mohou
zapuštěnými
být
stupni.
vyrobena
se
Schodiště
se
zasunutými stupni mají drážku pro stupeň vyfrézovanou přes celou
schodnici
a
stupeň
se
do
těchto
Mohou být vyrobené pouze jako přímočaré.
8
drážek
zasouvá.
U
schodišť
stupně
zasunuty
drážek
ve
se
zapuštěnými
do
předem
schodnicích.
stupni
jsou
jednotlivé
vyfrézovaných
neprůběžných
vyrobeno
přímé
Bývá
jako
i
smíšenočaré. 2.4
Sedlová schodiště Schodnice
podle
je
vyřezána
a
šířky
výšky
stupňů.
Stupně
se
rameni
buď
bují.
Stupnice
stupňovitě
jednotlivých
ke
schodišťovému
nakolíkují na
nebo
přišrou-
obou
koncích
přesahují přes nosné schodnice. Otvory po
vrutech
zátkou. také
jsou
Schodiště
pouze
s
překryty
dřevěnou
může
vyrobeno
jednou
být
schodnicí
upro-
Obr. 2
střed schodišťového ramene, v tomto případě je třeba klást důraz na uchycení stupně ke schodnici. Sedlová schodiště mohou být vyrobena jako přímá i jako zakřivená.
2.5
Zavěšená schodiště Jednotlivé
zavěšeny
na
stupnice
táhlech.
jsou
Zatížení
je
z
jednotlivých stupnic přenášeno táhly na
další
stupně
až
na
nosnou
kon-
strukci, do které jsou táhla kotvena. Tou
může
madlo však
být
strop,
schodišťového musí
být
střechy,
zábradlí,
speciálně
pro
nebo které tento
účel dimenzované a kotvené. Jsou-li dvě může
schodišťová táhlo
ramena
procházet
nad
sebou,
stupnicemi
obou
konstrukci je možné přichytit zábradlí.
9
Obr. 3 ramen.
Na
tuto
2.6
Speciální schodiště Speciální schodiště jsou nejméně náročná na půdorysný
prostor, ale také nejméně pohodlná pro chůzi a přenášení předmětů.
Dalším
typem
speciálního
schodiště
jsou
„mlynářské schody", strmé schodiště, méně náročné na půdorysný
prostor,
ale
dost
nepohodlné
a
pro
velký
úhel
stoupání a malou našlápnou plochu stupnic také nebezpečné. Používají
se
jako
nouzové
nebo
příležitostné schodiště.
Musí mít oboustranné zábradlí.
2.7 Točitá schodiště vřetenová Mezi
jednotlivými
umístěno
nosné
vřeteno,
nasunuté
jednotlivé
podlažími na
kterém
stupnice.
je jsou
Vzájemnou
výškovou
polohu
zajišťují
dřevěné kroužky, též nasunuté na
vnitřní konci nebo
kovovou
jsou jsou
jednotlivých
část
stupně
vřetena.
zasunuty
jednotlivé
Na
do
stupně
stupnic opačném
schodnice
ukotveny
k
nosnému zdivu. Nevýhodou těchto schodišť je malá
šířka
stupnic
u
vřetene.
Tato
Obr.č.4
schodiště jsou nejméně náročná na půdorysný prostor, ale také nejméně pohodlná pro chůzi a přenášení předmětů.
3. Význam norem v soustavě předpisů ČR V
textu se setkáváme s odkazy na jednotlivé normy,
normou stanovené hodnoty, některé budou následně uplatněny při návrhu a výpočtech navrženého stupně. Proto považujeme
10
za
důležité,
postavení způsobem
alespoň
ČSN o
okrajově,
se
seznámit
v
soustavě
předpisů
tomto
problému
pojednává
ČR. ve
s vymezením
Vyčerpávajícím svých
skriptech
„Technická normalizace a posuzování shody“ Prof. Ing.Josef Polášek Ph.D. a ve skriptech „Řízení jakosti“ Ing. Arnošt Trávník, ze kterých jsme použili krátké citace a pro zbylý text nám byly inspirací. Do roku 1997 byl stát garantem bezpečnosti výrobků a také ji
zabezpečoval
závazných
prostřednictvím
technických
norem.
státních
zkušeben
Přijetím zákona
a
č. 22/1997
Sb. přechází odpovědnost na výrobce, resp. dovozce. Stát vytváří pro tuto změnu odpovědnosti nové podmínky. Ty jsou vyjádřeny zákonem č. 22/1997 Sb. o technických požadavcích na výrobky a zároveň nařízeními vlády č. 168 - 179/1997 Sb., nařízeními vlády č.163/2002 Sb., kterým se stanoví technické požadavky na vybrané stavební výrobky, ve znění nařízení
vlády
č.312/2005
Sb.
a
nařízeními
vlády
č.190/2002 Sb., kterým se stanoví technické požadavky na stavební
výrobky
Ministerstva
pro
označované místní
CE,
rozvoj
dále
vyhláškou
č.137/1998
Sb.
o
technických požadavcích na výstavbu, kterými se stanovují technické požadavky na jednotlivé skupiny výrobků. Novela
zákona
č.22/1997
Sb.,
provedená
zákonem
č.
71/2000 Sb., přinesla nově základ k vymezení postavení ČSN v
soustavě
předpisů
České
republiky
tím,
že
výslovně
stanoví: "Česká technická norma není obecně závazná" (viz § 4). Z toho vyplývá, že ČSN nejsou považovány za právní předpisy a není stanovena obecná povinnost jejich dodržování. To ale
neznamená,
že
taková
povinnost
nemůže
vyplynout
z jiného právního aktu.(Převzato Prof. Ing.Josef Polášek Ph.D.) V praxi se můžeme setkat s těmito příklady:
11
Jestliže zakládá
smlouva
povinnost
mezi
účastníky
dodržovat
obchodního
ustanovení
vztahu,
konkrétní
ČSN,
stává se plnění této normy právní povinností. Rozhodnutí správního orgánu, například ve stavebním řízení
může
určité
ČSN.
příslušný Důsledkem
stavební
úřad
stanovit
dodržení
nesplnění
této
povinnosti
je,
že
stavba nebude zkolaudována a nebude ji možné užívat. Právní
předpisy
vyhlášky přímo
publikované
určitým
či
způsobem
nepřímo
Například
sbírce
odkazují
povinnost
vyhláška
ve
na
zákonů, ČSN.
dodržovat
Ministerstva
ale
Stanoví
i tak
technické
normy.
místní
rozvoj
pro
č.137/1998 Sb. o technických požadavcích na výstavbu v § 34. Pro schodiště a šikmé rampy jsou uvedeny konkrétní požadavky,
které
je
nutno
dodržet
spolu
s odkazy
na
normové hodnoty pro dané výrobky. Zákon č.22/97 stanovuje v § 12 a § 13 pouze obecná práva
a
povinnosti,
Konkretizací správní
je
úřady.
související
pověřena V
roce
s
vláda, 2002
posuzováním
ministerstva
bylo
mimo
jiné
shody.
nebo
jiné
schváleno
nařízení vlády č.163/2002 Sb., kterým se stanoví technické požadavky na vybrané stavební výrobky, ve znění nařízení vlády č. 312/2005 Sb. Konkrétní význam v souvislosti s posuzováním stupně dřevěného schodiště má nařízení vlády č.163/2002 Sb., kde se mimo jiné v příloze č.l k tomuto nařízení stanovuje, že výrobky musí být vhodné pro stavby, aby tyto byly (jako celek
i
jejich
jednotlivé
části)
při
respektování
hospodárnosti vhodné k určenému využití ve stavbě. Stavba nebo
její
části
musí
být
navrženy
a
postaveny
takovým
způsobem, aby zatížení, o kterých se očekává, že na ni budou
působit
v
průběhu
výstavby
a
užívání,
neměly
za
následek zřícení celé stavby nebo její části, větší stupeň nepřípustného
přetvoření,
nebo
12
poškození
jiných
částí
stavby,
technických
zařízení
a
instalovaného
vybavení
následkem deformace nosné konstrukce. Příloha
č.2
obsahuje
seznam
výrobků
s vyznačením
postupů posouzení shody, kde v části 3 - Stavební výrobky ze dřeva a dřevěné konstrukce pod pořadovým číslem 4 je uvedeno pro schodiště postup posuzování shody podle § 5a. Předchozí
omezení
závaznými
technickými
normami
byla
zrušena touto nově přijatou legislativní úpravou, což má význam
hlavně
zavádět
nové
pro
podnikatele,
technologické
kteří
postupy,
mohou
ale
i
snadněji
materiály
do
výroby. Přesunem odpovědnosti na výrobce, resp. na dovozce potenciální
možnost
uspět
s reklamací
pro
spotřebitele
vzrostla. Bývalé československé, resp., české státní normy přestaly být závazné. Přesto mají svůj význam, zejména tam, kde došlo nebo ještě dojde k harmonizaci s normami Evropské unie.
Představují jednu z nejjednodušších možností, jak
prokázat shodu se závaznými technickými předpisy, zákony, vyhláškami, event. nařízeními vlády. V současné době roste význam evropských norem (EN). Pro Českou republiku má zvláště aktuální význam, vzhledem k rozšiřujícím
se
byla
dubnu
k
l.
Evropského
obchodním 1997
výboru
pro
stykům přijata
s za
standardizaci
EU.
Česká
republika
plnoprávného (CEN),
člena
Brusel.
Z
členství vyplývá povinnost pro ČR zavádět evropské normy. EN
sice
musí
být
převzata
doslovně,
ale
komise
jednotlivých členských zemí si mohou na konci normy (ČSN EN) vytvořit národní přílohu podle svých zvyklostí, které však není v rozporu s přijatou EN. (převzato
z Řízení jakosti Ing.
Arnošt Trávník)
V
textu jsou uváděny citace z norem upřesňující nejmenší
nebo mezní rozměry konstrukčních částí schodiště. Některé mají zásadní význam z normou
stanovených
bezpečnostního hlediska. Dodržení
mezních
hodnot
13
při návrhu následných
výpočtech
a
realizaci
považujeme
z výše
uvedeného
za
bezpodmínečné.
4. Základní pojmy a názvosloví Pro
lepší
orientaci
v
následném
textu
popisující
konstrukci a výpočty byly uváděny některé ze základních pojmů.
Jednou
z publikací,
která
nám
posloužila
jako
inspirativní pro sepsání této části a z nichž jsme použily citace nám byla kniha ¨Stavíme dům ze dřeva¨ od Dr. Ing. Zdeňky Havířové a Schodiště a šikmé rampy ČSN 734130. Další použitá literatura je uvedena v závěrečném seznamu.
4.1
Schodišťové rameno Je
sestava
výškovými
schodišťových
schodišťovými
stupňů,
stupni,
s
nejméně
určená
třemi
k překonávání
rozdílu výškových úrovní chůzí mezi jednotlivými podlažími nebo spojuje prostory s různou výškovou úrovní podlah ve stejném jednou
podlaží. nebo
Překonávání
dvěma
výškami
rozdílu
výškových
schodišťových
úrovní
stupňů
se
nepovažuje za schodišťové rameno. Maximální dovolený počet stupňů v jednom rameni je 16 (u rodinných domů je povoleno 18
stupňů).
Při
větším
počtu
stupňů
musí
být
odděleny
mezipodestou.
4.2
Výstupní čára Je
přední výstupu.
kreslená hrany Začíná
čára
v
půdorysu
schodišťových na
hraně
stupňů
prvního
14
schodiště v
spojující
teoretické
(nástupního)
ose
stupně
a
končí na hraně posledního (výstupního) stupně schodiště a naznačuje směr výstupu. U přímých schodišťových ramen se kreslí v ose ramene. U schodišť se zakřivenými rameny je poloha výstupní čáry závislá na průchodné šířce schodišťového ramene a leží u průchodné šířky 900 mm ve vzdálenosti 300 mm u šířky 901 až 1200 mm ve vzdálenosti 400 mm od vnějšího okraje tj. od okraje s větším poloměrem a u šířky 1301 mm a větší v ose schodišťového
ramene.
výstupní
jsou
čáře
Šířky
shodné
a
stupňů měli
by
kreslené být
na
shodné
této i
pro
navazující rameno schodiště.
4.3
Podesta Je vodorovná plošina, spojující nebo ukončující
schodišťová ramena nebo šikmé rampy a určená pro přechod a odpočinek osob pohybujících se po schodišti nebo šikmé rampě. Podle výškového umístění vzhledem k podlažím se rozeznávají podesty podlažní, neboli hlavní a mezipodlažní neboli, vedlejší.
4.4
Zábradlí Je konstrukce zabraňující pádu osob a zároveň slouží
k
4.5
přidržování při chůzi po schodišti.
Madlo Slouží k přidržování při chůzi po schodišti. Minimální
vzdálenost od vyzděné konstrukce je 5 cm.
15
4.6
Schodnice Šikmý nosník, podporující
schodišťové
rameno
nebo
schodišťové
stupně.
U
zakřivených
schodišťových
ramen se spojovací část mezi schodnicemi
nazývá ohybník.
Rozhodujícím
pro
únosnost
schodišťového ramene je rozměr
výška
Schodnice mají
z
a
tloušťka.
rostlého
zpravidla
tloušťku
55
mm
dřeva
konečnou a
šířku
32 Obr. 5
cm, která je vhodná pro všechny rozsahy sklonu. Schodnice se vyrábějí z masivního dřeva, slepením spárovky. Ohybníky a zakřivené schodnice se vyrábí z lepených vrstev dýh.
4.7
Schodišťový stupeň Horní vodorovná část stupně s nášlapnou plochou se
nazývá
stupnice,
svislá
přední
(čelní)
část
stupně
se
nazývá podstupnice. U dřevěných stupňů často bývá pouze stupnice.
Šířka
vodorovná
vzdálenost
dvou
po
sobě
schodišťového
stupně
půdorysných
následujících
se
průmětů
stupňů
na
měří
jako
předních
hran
výstupní
čáře.
Zatímco šířka stupnice je skutečný rozměr stupnice (její šířka). Všechny schodišťové stupně v jednom schodišťovém rameni se
měří
mají být stejně vysoké. Výška schodišťového stupně jako
svislá
vzdálenost
dvou
stupnic
po
sobě
následujících stupňů. Všechny schodišťové stupně v jednom schodišťovém
rameni
kromě stupňů jalových a výstupních,
musí mít stejnou šířku. Schodišťová ramena téhož schodiště
16
mají mít stejně široké stupně. Kosé a zvláštní stupně musí mít
kromě
toho
ve
130 mm.
Nejmenší
210
a nejmenší
mm
svém
nejužším
dovolená
místě
šířku
nejméně
šířka schodišťového stupně je
dovolená
šířka stupnice je
250 mm.
Stupně jsou nejčastěji vyrobeny z masivního nebo lepeného dřeva, s vlhkostí 10%. Jako alternativní materiál je možné použít rovněž stavební překližku. Pro
výrobu
stupnic
se
nejčastěji
používají
tyto
listnaté dřeviny dub, buk, jasan, javor, třešeň, ořech, z jehličnatých stupnic
má
dovoleným
borovice,
být
s
rozměrem
z masivního
dřeva
modřín.
největším zkosení jsou
Zaoblení
poloměrem
je
25
slepeny
mm
jako
X
předních
10mm, 5
hran
největším
mm.
Stupnice
spárovka,
aby
se
předešlo jejich zborcení a deformacím. Tloušťka stupnice podle druhu dřeviny a vzdálenosti podpěr činí minimálně 45 až 50 mm. U stupnic z dýhovaných stavebních překližek musí být dýhovaná vrstva v minimální tloušťce 2,5 mm u tvrdého dřeva a 5 mm u dřeva měkkého. Povrch schodišťových stupňů má být odolný proti mechanickému namáhání. Stupeň
musí
vyhovovat
také
těmto
protiskluzovým
vlastnostem. Součinitel smykového tření povrchu stupnice musí být nejméně µ=0,6. Toho lze dosáhnout i přídavnými protiskluzovými pásky. stupnice
lištami,
úpravou
hran,
protiskluzovými
Součinitel smykového tření na ostatních plochách musí
být
µ=0,6. Protiskluzové
nejméně
úpravy
nesmějí vystupovat nad povrch stupnice více než 3 mm. Podle půdorysného tvaru se stupně dělí na: -
Rovné
přední
hrany
schodišťových
stupňů
jsou
přímé
schodišťových
stupňů
jsou
přímé
a navzájem rovnoběžné -
Koso
přední
hrany
a nejsou rovnoběžné, stupnice má tvar lichoběžníku. - Zvláštní přední hrany schodišťových stupňů jsou křivky
17
5. Základní rozměrové požadavky 5.1 Průchodná šířka Podle
normy
má
být
průchodná
šířka
schodišťového
ramene násobkem 550 mm, v rodinných domech minimálně 900 mm.
5.2 Podchodná výška Podchodná
výška
schodišťového
ramene
je
nejmenší
svislá vzdálenost mezi přední hranou schodišťových stupňů v
rameni
a
spodní
hranou
konstrukce
ležící
nad
tímto
ramenem. Světlá průchozí výška nesmí být nižší u běžných schodišť v rodinných domech a v bytech pod 2 100 mm.
5.3 Poměr stoupání Je poměr výšky stupně h a šířky stupně b v milimetrech. Protože chůze po schodišti má být pohodlná, vychází rozměry
jednotlivých
stupňů
z
průměrné
délky
kroku
dospělého člověka, která činí 630 mm. Rozměry jednotlivých stupňů jsou pak stanoveny na základě této délky a poměru stoupání,
který
se
pohybuje
v
rozmezí
od
25°
do
35°.
Výpočet rozměrů se provádí podle vztahu 2x výška stupně + lx šířka stupně = 630 mm. Jako ideální pro pohodlnou chůzi vychází rozměry stupně výška 170 šířka 290 mm. Délka navazujícího schodišťovém
podesty
má
schodišťového rameni,
který
odpovídat ramene nemá
být
minimálně a
rytmu podestou
šířce
chůze
po
přerušen.
Délka mezipodesty u přímočarého schodiště je rovna délce kroku 630 mm, ke které se přičte šířka jednoho stupně. Podlažní podesty se doporučují zvětšit minimálně o 100 až 200 mm oproti průchodné šířce přilehlých ramen.
18
5.4 Požadavky na povrchovou úpravu Celé schodiště musí být povrchově upraveno. U stupnic se předpokládá, že bude povrchově upraveno lakem s vysokou odolností
proti
opotřebení.
Před
montáží
se
doporučuje
schodiště upravit jedním základním nátěrem. Pro povrchové úpravy
schodišť
se
používají
nejčastěji
polyuretanové
laky, které musí být nanášeny minimálně ve třech vrstvách a po opotřebení obnoveny. Povrchové nátěry mohou být i krycí, pro které jsou kladeny nižší nároky na vzhledové vlastnosti dřeva. Povrchová úprava se hodnotí na vzhledové požadavky jako ostatní vnější plochy. Přípustné jsou velmi jemné defekty, sotva znatelné stopy po broušení. 5.5 Základní parametry zábradlí Zábradlí je ochranná konstrukce na volných okrajích schodišťových ramen a podest. Součástí zábradlí je i madlo určené
k
přidržování
bezpečnost
osob
při
proti
chůzi pádu,
po
schodišti.
ale
plní
Zajišťuje
též
funkci
estetickou. U zvláštních druhů schodišť má zábradlí rovněž funkci nosnou a nese jednotlivé stupně. Základním rozměrem zábradlí je výška, která se měří na svislici od přední hrany stupně a normou je stanoveno minimálně 900 mm výšky. Při výšce nad 12 metrů se zábradlí zvyšuje na l 100 mm. Vzdálenost svislých sloupků zábradlí mezi
sebou
stanovena
předepisuje vzdálenost
norma
spodní
rozměrem hrany
120
zábradlí
mm. od
Také
je
stupnic.
Musí být taková, aby nebylo možno pod zábradlím prostrčit krychli o hraně 150 mm. V budovách, kde se předpokládá přítomnost
dětí,
nesmí
být
zábradlí.
19
navrženo
vodorovné
členění
6. Konstrukční metody smíšenočarého schodiště
6.1 Metoda velkých kružnic U metody velkých kružnic(viz obr 6.) vznikne prodloužením
přední
hrany
zkoseného stupně vzdálenost kružnic
P1
je
a
prvního
a
přední
hrany
posledního
průsečík P1. Poloměr velké kružnice je hrany
vnitřní
v průsečíku
schodnice.
úsečky
vedoucí
Střed
velkých
koncovými
body
oblouku výstupní čáry a již zmiňovaných prodloužení hran zkosených stupňů. Kružnice s tímto poloměrem sahá až po přední
hranu
prvního
zkoseného
stupně
a
k
zadní
hraně
posledního zkoseného stupně. Průsečík obou hran středního stupně
se
zaoblením
schodnice
se
kolmo
přenese
na
příslušnou kružnici. Tím se v průsečících kružnic a osy koutového stupně vytvoří body. Od těchto bodů se zbývající část kružnic rozdělí vždy na tolik stejných částí, kolik je
šířek
v
rámci
oblouku.
Spuštěním
kolmic
z
bodů
rozdělení kružnice na volnou schodnici získáme menší šířky stupňů.
Hrany
stupňů
vytvoříme
tak,
že
body
na
volné
nejmenší
šířka
schodnici spojíme s body na výstupní čáře. Při
této
metodě
zkosení
je
zadána
stupně b/2. Šířky zkosených stupňů se konstrukcí přizpůsobí této
nejmenší
zkosení
šířce.
stupnic
Jak
vedou
k
výpočet,
tak
harmonickému
schodnice.
20
grafické zaoblení
řešení volné
Obr. 6 Konstrukce metodou velkých kružnic
6.2 Poměrová metoda Při
poměrové
metodě
(viz
obr.
7)
se
nalezne
prodloužením obou hran koutového stupně průsečík s osou koutového prvního
stupně.
Vodorovné
zkoseného
stupně
prodloužení a zadní
přední
hrany
hrany
posledního
zkoseného stupně určí průsečík s osou koutového stupně. Na libovolnou úsečku vycházející z průsečíků naneseme dílky v poměru 1 : 2 : 3 : 4 atd. v počtu stupňů, které mají být zkoseny.
Těmito
body
vytvoříme
kolmice
k ose
koutového
stupně. Vzniknou tím průsečíky s osou koutového stupně. Tyto průsečíky
spojíme s body na výstupní čáře tvořícími
normální šířku stupnice. Spojnice mezi oběma schodnicemi udávají hrany stupňů. Při této poměrové metodě je zadána nejmenší
šířka koutového stupně. Šířky zkosených stupňů
21
jsou konstrukcí přizpůsobeny této nejmenší šířce. Nejmenší šířku koutového stupně je v některých případech třeba volit trochu větší pro jemnější přechod rovné části schodnice do zaoblení. Zkosení stupňů poměrovou metodou lze použít pro schodiště zatočená o 90° a 180°. Dělení je symetrické ke koutovému nebo střednímu stupni.
Obr. 7 Konstrukce poměrovou metodou
22
7. Základní popis metody konečných prvků Převzato
ze
skript
”Výpočtové
metody
ve
stavbě
motorových vozidel“ od prof. Ing. Milana Apetaura, Csc., Ing.
Vladimíra
Stejskala,
CSc.,
Ing.
Jana
Baněčka,
“Algoritmy metody konečných prvků“ od Doc. RNDr. Libora Čermáka,
CSc.,
“Matematické
základy
metody
konečných
prvků“ od Prof. RNDr. Alexandera Ženíška, DrSc. Její
základní
myšlenkou
je
rozdělení
skutečné
konstrukce na konečné prvky, které zcela vyplňují délku, plochu nebo objem konstrukce modelované jako jedno, dvoj nebo
trojrozměrně
konečné
rozměry.
kontinuum. Nejde
tedy
Konečné o
proto,
nekonečně
malé
že
mají
elementy,
tyto prvky se stýkají v bodech, v čarách a plochách podle typu kontinua. Styčné body, průsečíky dvou čar a společné body
tří
ploch
nazýváme
uzly.
Charakteristickými
veličinami prvku jsou uzlové parametry, parametry řešení, souřadnice,
kterými
mohou
být
posuvy
uzlů,
natočení
jistých přímek procházejících uz1y, ale i derivace těchto veličin. Počet uzlových parametrů patřících jednomu prvku je
počet
poddajných
stupňů těles
volnosti je
prvku.
každý
prvek
V
úlohách
dále
mechaniky
charakterizován
maticí tuhosti a vektorem zatížení. Ty určíme na základě deformačního modelu. Jednou z výhod MKP je, že deformační model může být pro každý prvek jiný. Tvarové funkce musí být vybrány tak, aby zaručovaly stejné funkční hodnoty a někdy i shodné derivace na společné hranici dvou prvků, nebo musí zajistit splnění okrajových podmínek v případě, že hranice prvku je současně hranicí oblasti. Neznámými jsou v MKP uzlové parametry. Jak poloha uzlů, tak uzlové parametry jsou zavedeny do spojité konstrukce uměle. Počet uzlových parametrů konstrukce je konečný a nepostačuje k určení posuvů všech bodů, kterých je nekonečně mnoho. Z tohoto
hlediska
je
MKP
metodou
23
diskretizace,
která
nahrazuje
soustavu
s
nekonečně
diskrétní
soustavou
s
konečným
mnoha
stupni
počtem
stupňů
volnosti volnosti.
Posuvy vnitřních bodů prvků po provedeném řešení vypočteme užitím deformačního modelu. Vzhledem k přibližnosti metody nemůžeme ani posuvy uzlů ztotožňovat se skutečnými posuvy těch bodů konstrukce, jež splývají s uzly. Pokud jde o přesnost MKP ve skutečném případě vlastní funkci problému neznáme a užitím náhradní funkce se řešení stává stavem přibližným.
7.1 Postup v metodě konečných prvků Vytvoření věrné kopie modelu (s doporučením vynechání částí, které mají zanedbatelný nebo nemají žádný vliv na vyšetřované
části
z
důvodů
omezených
výpočtových
možností). Rozdělíme
konstrukci
na
prvky,
tj.
zvolíme
uzly
(provedeme diskretizaci). Názornému pochopení asi nejlépe vyhoví
přirovnání
k
fiktivnímu
soustředění
hmotností
(momentů setrvačností) do konečného počtu uzlových bodů, navzájem
spojených
ideálními
nehmotnými
tuhými
nebo
pružnými a případně i tlumícími vazbami. Často se v těchto případech
mluví
o
staticky
nebo
dynamicky
rovnocenném
ekvivalentním modelovém tělese. Snažíme se modelové těleso definovat
co
nejjednodušeji,
ale
vždy
tak,
aby
jeho
vyšetřované vlastnosti, určené na předem dané úrovni, byly srovnatelné s vlastnostmi reálného tělesa. Nejjednodušším rovinných
úloh
parciálních
prvkem
popsaných
hlediska
jednoznačně
používaným
pomocí
diferenciálních
geometrického polynomem
konečným
rovnic
trojúhelník, určeným
jedné
pro
nebo
několika
druhého
řádu
na
je
němž
svými
řešení je
z
řešení
hodnotami
ve
vrcholech. Obecně, hovoříme-li o konečném prvku, musí být definovány jeho tři následující vlastnosti:
24
1) geometrický tvar prvku 2) typ funkce na něm definované 3) parametry jednoznačně tuto funkci určující Druhá a třetí vlastnost konečného prvku nám určuje funkci, kterou nazýváme násada. Nejjednodušší používaný lineární trojúhelníkový prvek označme symbolicky T3. Jeho největší předností je jednoduchost algoritmů, které lze jeho užitím vyvinout. Konkrétně, bez problémů se generuje triangulace oblasti matice
i
její
(řádu
odvozují
a
případné
3)
a
jejich
lokální
vektory výsledný
(o tvar
zahuštění, 3 je
elementární
složkách) dobře
se
snadno
srozumitelný.
Jedinou nevýhodou prvku T3 je jeho malá přesnost. Chcemeli
dostat
přesnější
aproximaci
řešení,
musíme
přesněji
aproximovat jak hledanou neznámou funkci, tak i oblast. Vhodným
prostředkem
izoparametrických trojúhelníkové
k
dosažení
konečných
nebo
tohoto
prvků.
čtyřúhelníkové
cíle
je
Používají s
obecně
použití
se
prvky křivými
stranami.
Obr. č.8
Obr. č.9
Při řešení 3D úloh se obvykle používají izoparametrické prvky.
Tvarově
jde
nejčastěji
o šestistěny,
čtyřboké
hranoly nebo dokonce o kvádry. Někdy je však k vykrytí
25
oblasti
nutné
hranoly,
použít
nebo
také
dokonce
pětistěny, speciálně trojboké
čtyřstěny
a
speciálně
trojboké
jehlany. Protože šestistěn lze rozdělit na dva pětistěny a pětistěn
zase
na
tři
čtyřstěny,
stačí
pracovat
jen
s
nejjednoduššími čtyřstěnnými prvky. Přesto se pětistěny a zejména
šestistěny
hojně
používají.
Na
obrázku
je
čtyřstěnný prvek T4 (obr.10) se čtyřmi uzly a s přímými hranami a čtyřstěnný prvek T10 (obr.11) s deseti uzly a s křivými
hranami
(Označení
každá
čtyřstěnných
hrana prvků
je
určena
písmenem
T
třemi
je
uzly.
odvozeno
od
prvního písmene anglického slova „tetrahedron".)
Obr. č.10
Obr. č.11
Pětistěnný písmeno P od prvního písmene anglického slova pentahedron a šestistěnný prvek
hexahedron.
Nadefinujeme materiálové konstanty jednotlivých prvků (mohou
být
různé).
Metoda
je
použitelná
pro
konstrukce
obsahující části z různých materiálů. Nadefinujeme volnosti
(musí
okrajové
podmínky,
jednoznačně
zajistit
geometrické polohu
prostoru)a fyzikální síly, moment ,zrychlení.
26
stupně
tělesa
v
Zvolíme tvarové funkce a z nich vytvoříme deformační model platný pro prvek (může být pro každý prvek jiný). Sestavíme
základní
rovnice
např.
principem
minima
potenciální energie a vypočteme uzlové parametry. Užitím uzlových parametrů vypočteme posuvy vnitřních bodů
prvku,
eventuelně
napětí,
či
přetvoření
v
daných
bodech.
7.2 Matematická formulace MKP Převzato ze skript ”Výpočtové metody ve stavbě motorových vozidel“ od prof. Ing. Milana Apetaura, Csc., Ing. Vladimíra Stejskala, CSc., Ing. Jana Baněčka. Metoda konečných prvků je odvozena z obecné matice tuhosti, a proto pro její odvození převedeme základní vztahy z pružnosti a pevnosti do maticové formy. Vektor napětí zavedeme předpisem σ = σ x , σ y , σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx
[
]
kde σ x ,σ y ,σ z jsou normálová napětí a
τ xy ,τ yz ,τ zx jsou smyková napětí.
[
Obdobně definujeme vektor deformací ε = ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx
]
kde ε x , ε y , ε z jsou poměrná prodloužení a
γ xy , γ yz , γ zx jsou skosy.
[
Dále definujeme Poissonovo číslo µ = µ x , µ y , µ z
[
],
vektor posuvů vnitřních bodů σ = σ x ,σ y ,σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx
]
vektor hmotových sil o složkách vektor povrchových sil o složkách Základní rovnice pružnosti a pevnosti uvedené ve skalárním tvaru v můžeme užitím zavedených vektorů zapsat maticově. Rovnice
deformace - napětí
mají pro prostorovou
napjatost tvar
27
⎡ε x ⎤ ⎡ 1 ⎢ε ⎥ ⎢− µ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎢ε z ⎥ 1 ⎢ − µ ⎢ ⎥= ⎢ ⎢ γ yz ⎥ E ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎢ γ zx ⎥ ⎢ ⎢⎣ γ xy ⎥⎦ ⎣⎢ 0
−µ
1 −µ 0 0 0
−µ −µ
1 0 0 0
0 0 0 ⎤ ⎡σ x ⎤ ⎥ ⎢σ ⎥ 0 0 0 ⎥⎢ y ⎥ ⎥ ⎢σ z ⎥ 0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ 2(1 + µ ) 0 0 ⎥ ⎢τ yz ⎥ ⎥ ⎢τ ⎥ 0 2(1 + µ ) 0 ⎥ ⎢ zx ⎥ 0 0 2(1 + µ ) ⎦⎥ ⎢⎣τ xy ⎥⎦
E je modul pružnosti v tahu a
µ je Poissonovo číslo
ε = Dσ Rovnice stručněji zapíšeme jako Inverzní závislost - rovnice napětí
µ µ ⎡1 − µ ⎢ ⎡εx ⎤ ν 1− µ ⎢ µ ⎢ε ⎥ ⎢ µ µ 1− µ ⎢ y⎥ ⎢ ⎢εz ⎥ E 0 0 ⎢ 0 ⎢ ⎥= γ + − µ µ ( 1 )( 1 2 ) ⎢ ⎢ yz ⎥ ⎢ 0 ⎢γ xz ⎥ 0 0 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎢γ xy ⎦⎥ 0 0 ⎢ 0 ⎣
0 0 0 1 − 2µ 2
0 0 0 0
0
1 − 2µ 2
0
0
⎤ ⎥ ⎡σ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢σ y ⎥ ⎥ ⎢σ ⎥ 0 ⎥⎢ z⎥ ⎥ ⎢τ yz ⎥ 0 ⎥ ⎢τ xz ⎥ ⎥⎢ ⎥ 1 − 2µ ⎥ ⎣⎢τ xy ⎦⎥ ⎥ 2 ⎦
0 0 0
což je zobecněný Hookův zákon. nebo
σ = Eε
kde B je maticový operátor, jež má pro prostorovou napjatost tvar
28
⎡∂ ⎢ ∂x ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 B=⎢∂ ⎢ ⎢ ∂y ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢∂ ⎢⎣ ∂z
⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ∂⎥ ∂z ⎥⎥ 0⎥ ⎥ ∂⎥ ⎥ ∂y ⎥ ∂⎥ ∂x ⎥⎦
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂x ∂ ∂z 0
Posuvy ve skalárním tvaru,rovnice deformace
εx =
γ xy =
∂u x ∂x
εy =
∂u y
+
∂x
∂u y ∂y
∂u x ∂y
∂u z ∂z
εz =
γ yz =
∂u y ∂z
+
∂u z ∂y
γ zx =
∂u z ∂u x + ∂x ∂z
Vyjadřujeme maticově zápisem
ε = Bu K
odvození
základní
rovnice
MKP
použijeme
princip
minima potenciální energie. Vyjdeme z celkové potenciální energie M soustavy definované jako součet vnitřní energie U
napjatosti
a
potenciální
energie
V
zátěžných
sil.
Vyjádříme-li potenciální energii V zátěžných sil jako jejich záporně vzatou práci W , dostaneme
M = U −W
V
MKP
jsme
však
celou
oblast
tělesa
rozdělili
na
konečné prvky, z nichž každý přispívá k celkové hodnotě U vnitřní
energie
částí
Ui
a
29
k
celkové
hodnotě
W
práce
zátěžných sil částí Wi
práce sil působících na prvek i.
Je proto
(
)
M = ∑ U i − W i = ∑π i i
i
Kde π i je celková potenciální energie prvku i. Hustota potenciální
energie
napjatosti
(potenciální
energie
napjatosti vztažená na jednotku objemu) pružného tělesa je vyjádřena vztahem
U=
1 T ε σ 2
energii napjatosti i - tého prvku vypočteme integrací přes celý objem prvku
1 U = ∫ ε iT σ i dV i 2 vi
Protože základními proměnnými jsou v MKP uzlové parametry Y , upravíme rovnici, aby energie napjatosti prvku tyto proměnné obsahovala.
σ i = E iε i
ε i = Bu i
µ i = N iv
Maticový operátor B aplikovaný na matici Ni tvarových funkcí obsaženou v posledním vztahu vede k výsledku
ε = BN i v Kde vzniklou
B
je
obecně
předepsanými
funkční
maticí
derivacemi
30
V
proměnných
prvků
matice
x,y,z Ni .
Připomeňme ještě, že vektor V obsahuje uzlové parametry nikoliv uzlů náležejících i - tému prvku, ale všech uzlů řešené oblasti. 1
Ui =
∫ 2v
T
B iT E i B i vdV i
Vi
Což
je
energii
příspěvek
i
napjatosti.
-
tého
prvku
Celkovou
k
práci
celkové
vnitřní
zátěžných
sil
působících na řešenou oblast rozdělíme na tři části. Bude to práce Wu osamělých sil působících v uzlech, práce Wp povrchových sil a práce Wh hmotových sil. Nejjednodušší je výpočet práce osamělých sil. Uvažujeme je
ve
složkách
zvoleno
tolik
a
předpokládáme, že v každém uzlu bylo
posuvů
(uzlových
parametrů),
kolik
je
rozměrů prostoru, v němž úlohu řešíme. Chápeme-li síly v uzlech jako obecné síly, zahrnujeme-li mezi ně i silové dvojice,
musí
být
mezi
uzlovými
parametry
i
natočení.
Protože polohu uzlů v řešené oblasti si volíme, nic nám nebrání zvolit uzel právě v působišti osamělé síly. Práci osamělých sil pak vyjádříme podle definice vztahem Wu = v T f u
kde vektor fu složek sil muže mít řadu prvků nulových, pokud v příslušných uzlech žádná osamělá síla nepůsobí. Celkovou práci Wp povrchových sil vypočteme jako součet prací Wpi povrchových sil působících na i - tý element. Při tom budeme předpokládat, že u1, u2, u3 jsou složky posuvu povrchových bodů elementu ve směru jsou
složky
OB
x,y,z a Px, Py ,Pz
spojitě rozloženého povrchového zatížení
stejných směrech. Pak je
31
ve
W pi = ∫ v T N iT p i dS i Si
Celkovou práci objemových sil vypočteme obdobně.
Wo = ∑ ∫ v T N iT h i dV i i Vi
Celkovou potenciální energii řešené oblasti dostaneme v rozepsaném tvaru
⎡ 1 ⎤ M = ∑ ⎢ ∫ v T B iT E i B i vdV i − ∫ v T N iT p i dS i − ∫ v T N iT h i dV i ⎥ − v f u i ⎣Vi 2 Si Vi ⎦ Nutnou podmínkou pro minimum funkce M(v) je ⎡ ⎤ ∂M = ∑ ⎢ ∫ B iT E i B i vdV i − ∫ N iT p i dS i − ∫ N iT h i dV i ⎥ − f u = 0 ∂v i ⎣Vi Si Vi ⎦
Poslední rovnici přepíšeme do tvaru
∑K v = ∑ f i
i
i
i p
+ ∑ f oi + f u
celková (globální) matice K tuhosti řešené oblasti je dána součtem matic Ki tuhosti
K = ∑Ki i
kde
K i = ∫ B iT E i B i dV i Vi
32
a
celkový
(globální)
vektor
T
zatížení
vypočteme
jako
součet vektorů fip, fio povrchových a objemových sil prvků a vektoru fu osamělých sil působících v uzlech, tedy
f = ∑ f pi + ∑ f oi + f u i
Rovnice hlediska neznámé
je
základní
představuje uzlové
rovnicí
soustavu
parametry
MKP,
z
matematického
lineárních
obsažené
ve
rovnic
vektoru
pro
V.
Jde
vlastně o tuhostní vztah. Byl založen ve výpočtu celkové potenciální
energie
energií
πi
energií
získaný
(přibližně) bychom
M
jako
součtu dílčích potenciálních
jednotlivých prvků. Aby tento součet dílčích integrací
roven
celkové
"správněji"
měli
nad
jednotlivými
potenciální získat
prvky
energii,
integrací
byl
kterou
nad
celou
oblastí, je nutné zajistit splnění požadavků kladených na tvarové funkce. Zejména musí tvarové (a z nich získané bázové)
funkce
nabývat
konečných
hodnot
na
rozhraních
prvků, musí však splňovat i další podmínky konvergence. Zřejmou
výhodou
užití
"skoro
ortogonálních"
bázových
funkcí nenulových jen v blízkém okolí uzlu, v němž jsou definovány,
jsou
jejich
dobré
vlastnosti
při numerickém
výpočtu i snadné respektování okrajových podmínek.
7.3 Přednosti jaké má MKP proti ostatním metodám Materiálové konstanty jednotlivých prvků mohou být různé. Metoda je použitelná pro konstrukce obsahující části z různých materiálů. Nepravidelné geometrické tvary mohou být snadno aproximovány větším počtem menších prvků s přímými
33
rovinnými hranicemi nebo dokonce prvky omezenými křivkami, které přesně vystihují geometrii součásti. Velikost prvků se může měnit podle potřeby, prvky nemusí být stejně velké. Snadno lze respektovat nespojitosti v zatížení. Nehomogenní okrajové podmínky lze respektovat stejně snadno jako homogenní. Při dodržení jistých pravidel metoda konverguje.
8.
Analýza stupně dřevěného schodiště Metodou konečných prvků je možno s velkou přesností
spočítat
v celém
objemu
stanoveného
matriálu
různé druhy a velikosti zatížení. Podstata úlohy
spočívá
ve
výpočtu
maximální
odezvu
na
řešení naší
hodnoty
průhybu
koutového stupně vyrobeného z rostlého dřeva v závislosti na
průchozí
šířce
schodiště,
tloušťce
daného
stupně
a
vzdálenosti objektu, do něhož je soustředěno zatížení, od vnitřní
schodnice.
Jednu
Provedeme
listnatou,
(nejčastěji
výpočet
kruhovitě
používanou
pro
pro
pórovitou výrobu
dvě
dřeviny.
dřevinu
schodišť)
a
dub jednu
jehličnatou dřevinu smrk. Vhodnost použití těchto dřevin je
z
historického
z těchto
dřevin
průhyb.
Vypočtené
porovnávací
mají
pro
aglomerovaných
hlediska
ověřena,
dostatečnou
hodnoty
stanovení materiálů
budou
tuhost
následně
možnosti pro
stupně
vyrobené
a
minimální
použity
(vhodnosti)
výrobu
stupně
jako
použití dřevěného
schodiště. Výpočtem nejvyšší hodnoty průhybu pro smrk 50 mm
v
závislosti
stupnici hodnot
získáme průhybu
vlastnostmi
na
posunutí
mezní stupňů,
posuzovaných
zatěžovaného
posuzovanou se
hodnotu.
zadanými
aglomerovaných
34
tělesa
po
Výpočtem
materiálovými materiálů,
a
jejich
porovnáním
získáme
přehled
aglomerovaných
s mezní o
možnosti
materiálů.
aglomerovaných materiálů Prvním
hodnotou
modelu
využití
Rozsah
stupně
jednotlivých
posuzované
tloušťky
jsme zvolili mezi 5-7 cm.
předpokladem
geometrického
smrkového
k
vyřešení
jak
úlohy
smíšenočarého
je
vytvoření
schodiště
se
zapuštěnými stupni, tak modelu koutového stupně. Jednou z částí
programu
parametrického
Ansys
modeláře
Workbennch ve
kterém
je
prostředí
byly
dané
modely
vytvořeny. Tvorba v prostředí parametrického modeláře je zcela
odlišná
proti
práci
v
běžných CAD
systémech.
Vytváření nového objektu začíná tvorbou náčrtů bez přesně stanovených možno
rozměrů.
přiřadit
K
jednotlivým
vzájemné
vztahy,
entitám
jako
je
objektu
je
rovnoběžnost,
kolmost, atd.. Následným přiřazením rozměrů jednotlivých částí objektu a jejich vzájemných vztahů je vytvořen takto definovaný objekt. Změnou jednoho z parametrů rozměru se překreslí objekt podle předdefinovaných vztahů. Například u
námi
vytvořeného
koutového
stupně
jsme
pevně
nadefinovali šířku v nejužším místě stupně a šířku stupně na
výstupní
schodnice.
čáře,
Jako
vzdálenost
proměnný
výstupní
parametr
jsme
čáry
od
určili
vnější průchozí
šířku schodiště, vzdálenost tělesa na stupni a tloušťku stupně.
Změnou
automaticky
tvar
některého stupně
z proměnných
překreslí.
Šířka
výška, nebo vzdálenost zatěžovaného objektu.
35
parametrů stupně,
se jeho
Obr. 12 Koutový stupeň
Při
návrhu
stupně
jsme
použili
minimální
normou
stanovené hodnoty pro nejmenší šířku stupnice 13 cm a pro šířku stupně na výstupní linii jsme použili výše popsaný vztah z délky
pro
pohodlnou
běžného
chůzi
kroku
a
po
ze
schodišti,
závislosti
jenž
vychází
výšky
a
šířky
stupně. Na stupnici je vytvořen objekt, do kterého bude soustředěno zatížení. Na okraji stupně je vytvořen z 3D ploch
imaginární objekt, simulující oboustranné vetknutí
do schodnice. Pro
konstrukci
schodiště
byla
použita
výše
popsaná
poměrová metoda. Při modelování schodiště byly vytvořeny jednotlivé
stupně,
schodnice,
ohybník.
Odečtem
těchto
objektů byly vytvořeny ve schodnicích drážky pro zasunutí jednotlivých
stupňů.
Pro
spojení
schodnic
a
schodnic
s ohybníkem byl navržen kolíkový spoj. Na koutovém stupni tohoto
schodiště
soustředěno
byl
zatížení.
vytvořen Takto
36
objekt,
vytvořený
do
kterého
objekt
má
bude věrně
simulovat zatížení chodidlem obuvi. Při vytváření modelu bylo záměrně vynecháno zábradlí, které nemá žádný vliv na vyšetřované části, z důvodů omezených výpočtových možností. Vhodným
nadefinováním
vzájemných
vztahů
a
provázáním
hodnot je možné vytvořit skripta pro automatické vytváření modelů schodišť. Program Ansys Workbench je schopen geometrické modely importovat, parametrických paremetrického požadovaných
ale
i
exportovat
modelářů.
Vytvořením
modeláře, hodnot
do
některých jiných modelu
numerickým
v procesu
optimalizace
v části vyšetřením
a
následným
převedením do programu s CAM částí např. Solid Works je možno získat přímý výstup do obráběcích center.
Obr 13 Model schodiště s okrajovými podmínkami
37
8.1 Nadefinování okrajových podmínek Okrajové podmínky dělíme na geometrické a fyzikální. Geometrickými
podmínkami
musíme
jednoznačně
zajistit
polohu tělesa v prostoru. Námi navržený stupeň byl fixován ve 3D plochách, tím byly navozeny podmínky srovnatelné s vetknutím do schodnic. Jako
fyzikální
okrajová
podmínka
byla
nadefinována
síla 1400N působící na vrchní plochu objektu umístěného na stupnici
simulující
zatížení
chodidlem
boty.
Dále
bylo
nadefinováno gravitační zrychlení působící ve směru síly.
Na obrázku 14 jsou znázorněny výše uvedené okrajové podmínky.
38
8.2 Materiálové vlastnosti Pro
výpočet
stupňů
z
rostlého
dřeva
byly
použity
hodnoty z tab. 1,tyto hodnoty byly převzaty z (Fyzikální a mechanické
vlastnosti
dřeva
Dr.Ing.
Petr
Horáček
MZLU
1998) dřevo [-]
EL [MPa]
SM DB
ER [MPa]
13650 11728
ET [MPa]
789 2046
GRT [MPa]
289 1028
GLT [MPa]
573 1324
µRT [−]
GLR [MPa]
474 1082
53 254
0,687 0,328
µLT [−]
µLR [−]
0,014 0,038
0,023 0,014
Tab.1 Význam zkratek z Tab. 1 EL,ER,ET
- Modul pružnosti v jednotlivých směrech
GRT,GLT,GLR –Smykové moduly pružnosti µRT, µLT, µLR
-Poissonovo číslo - Poměr mezi příčnou a podélnou deformací
Výpočet modulu pružnosti v ohybu: Hodnota
modulu
pružnosti
,
se
vypočítává
z
průměrné
hodnoty průhybu v elastické (při ztrátě zatížení deformace mizí) oblasti dřeva. Vzorec výpočtu Modul pružnosti: F
zatěžovací síla
l
vzdálenost podpěr
f
průhyb tělesa
b
šířka
h
výška Jednou
materiál jen
z důležitých
opracovat
s malými
vybavení.
3Fl 3 Ew = 64bh 3 f
na
stávajícím
obměnami
Aglomerovaný
vlastností ve
je
strojním
strojním
materiál
možnost
tuto
a
náhradní
zařízení nebo technologickém
podmínku
splňuje,
proto byl vybrán pro posuzování stanovených vlastností .
39
Pro
výpočet
stupňů
z aglomerovaných
materiálů
byly
převzaty hodnoty z ČSN EN 12369-1 ¨Desky na bázi dřeva¨ Charakteristické
hodnoty
pro
navrhování
dřevěných
konstrukcí Část 1: OSB, třískové a vláknité desky Pro používání této evropské normy platí následující termíny: Charakteristické
hodnoty
modulu
pružnosti
jsou
definovány jako 5% kvantil, nebo jako průměr základního souboru za výše uvedených podmínek. Hodnoty průměrné
modulu
hodnoty,
pružnosti obvykle
uvedené
v
používané
tabulkách při
jsou
navrhování
konstrukcí. Výpočet 5% kvantilu je vysvětlen v poznámce pod tabulkami. hlavni značky používané v normě: f
pevnost
E
modul pružnosti(v ENV 1995-1-1 definovaný jako tuhost)
G
modul pružnosti ve smyku
m
ohyb
t
tah
c
tlak
v
smyk kolmo na rovinu desky
r
smyk v rovině desky Hodnoty použité při výpočtech byly uvedeny v tabulkách
spolu
s
popisem
jednotlivých
charakteristik
pro
každý
µLT [−]
µLR [−]
0,014
0,023
materiál před jednotlivými výpočty.
8.3 Výpočet průhybu pro smrk Tyto zadané hodnoty byly převzaty z Tab.1 dřevo [-] SM
EL [MPa] 13650
ER [MPa] 789
ET [MPa] 289
GRT [MPa]
GLT [MPa]
573
Tab.2 40
474
GLR [MPa] 53
µRT [−] 0,687
Obr. 15 Na
obrázku
Rozdílné deformace 5cm,
15
barevné
výstup
kontury
(průhybu)
průchozí
je
šířka
pro
znázorňují
dané
105cm
z numerického šíření
zatížení.
a
Šířka
vzdálenost
řešení. maximální
stupně
tělesa
55
je cm.
Hodnota maximálního průhybu v tomto případě byla vypočtena 0,9304mm. Výpočet průhybu proběhl v subsystému programu ANSYS simulace,
mimo
převedení nadefinování požadované
již
zmíněných
geometrického okrajových hodnoty
geometrických
modelu
z části
podmínek.
výsledku.
Je
Např.
podmínek návrháře
třeba minimální
a a
zvolit nebo
maximální napětí a také námi zvolenou maximální deformaci. Síť vygeneruje program automaticky, je proto možno pouze upravovat její hustotu, nebo lokální zahuštění. Výsledky jsou zobrazovány automaticky s popisem viz. Obr. 14, nebo vytvořením zprávy o výsledcích. Některé výsledky je též možno vyjádřit graficky vektorově. Zajímavou nabízenou funkcí je možnost provádění řezu a zjišťování kursorem upřesněných hodnot v celém průřezu objektu. Posuzovanou vlastností v této části byla zvolena
41
max. deformace. Řešení spolu s posuzovanými
geometrickými
hodnotami byly exportovány do další části programu Design Xplorer. Tyto hodnoty byly přebrány jako střední a program nám nabízí možnost procenticky vyjádřit rozsah rozšíření horní
a
zjišťovaná
dolní
meze
posuzovaných
hodnota
tloušťky
veličin.
schodnice
Např.
pro
námi
požadovaný
průhyb s hodnotou 5 cm se rozšířila na zjišťovaný interval tloušťky tohoto stupně 3 – 7 cm. Tento
interval
v jednotlivých vytvářeny
je
bodech
vzorky,
pro
parametry.
Výsledky
jednotlivé
vzorky
programem
rozčlenění které
TLOUŠŤKA SMROVÉHO
jsou
program
jsou
prezentovány
ve
vytvořeném
v přehledných námi uváděných
rozčleněn
automaticky
vypočítá buď
a
sledované
popisem
protokolu
pro nebo
grafech.
STUPNĚ
TLOUŠŤKA STUPNĚ
VZDÁLENOST TĚLESA
Graf 1
Graf 2
Křivky v grafu 1 popisují změny průhybu v závislosti na tloušťce smrkového stupně.
42
Pro námi posuzovanou hodnotu průhybu smrkového stupně přibližně 0,9 mm, vyhovují tyto tloušťky v závislosti na průchozí šířce schodiště. Pro šířku 94 cm červená vyhovuje přibližně tloušťka stupně 4,5 cm. Při šířce 105 cm modrá vyhovuje tloušťka 5 cm a při šířce 114 cm zelená vyhovuje tloušťka
6
s nejvyšším stupnici. průhybu
Křivky
průhybem Při
v grafu
v závislosti
šířce
94
cm 44
105
cm
modrá
dojde
vzdálenosti
57
cm
a
pro
č.2 na
červená
vzdálenosti
šířku
ve
cm.
cm
od
popisují posunu
dojde
vnitřní
k největšímu
šířku
115
cm
místa
tělesa
po
k největšímu schodnice,pro průhybu zelená
ve
dojde
k největšímu průhybu ve vzdálenosti přibližně 63 cm od vnitřní schodnice.
VZDÁLENOST TĚLESA
VZDÁLENOST TĚLESA
Graf 3
Graf 4 Grafem
číslo
3
je
popsán
vztah
nejvyššího
místa
průhybu v závislosti na vzdálenosti tělesa u jednotlivých smrkových stupńů. Pro jednotlivé tloušťky stupňů jsou nejvyšší hodnoty průhybu následující zelená 7 cm přibližně 0,55 mm, modrá 6
43
cm přibližně 0,71 mm, žlutá 5cm přibližně0,93 mm, červená 4cm přibližně 1,42 mm. Z grafu 4 je možno vyčíst hodnotu důležitou pro další posuzování
vhodnosti
použití
aglomerovaných
materiálů.
Nejvyšší hodnota průhybu pro smrkový stupeň tloušťky 5 cm, průchozí šířky 105 cm a vzdálenosti tělesa je 0,937 mm. Pro možnost porovnání křivky mezi smrkovým a dubovým stupněm jsme vytvořili shodné grafy i pro dub. 8.4 Výpočet průhybu pro dub Tyto hodnoty byly převzaty z Tab. 1 dřevo [-] DB
EL [MPa] 11728
ER [MPa]
ET [MPa]
2046
GRT [MPa]
1028
GLT [MPa]
1324
GLR [MPa]
1082
254
µRT [−] 0,328
µLT [−]
µLR [−]
0,038
0,014
Tab.3
VZDÁLENOST TĚLESA
TLOUŠŤKA STUPNĚ
Graf 5
Graf 6
Křivky v grafu 5 popisují změny průhybu v závislosti na tloušťce dubového stupně. Pro námi posuzovanou hodnotu průhybu smrkového stupně přibližně 0,9 mm, vyhovují tyto tloušťky v závislosti na průchozí šířce schodiště. Pro šířku 94 cm červená vyhovuje
44
přibližně tloušťka stupně 3,2 cm. Při šířce 105 cm modrá vyhovuje
tloušťka
3,7
cm
a
při
šířce
114
cm
zelená
vyhovuje tloušťka 4,5 cm. Hodnoty tloušťky dubového stupně pro stejný průhyb jsou u stupně smrkového jsou přibližně o 1/4 nižší. Křivky průhybem Barevné
v grafu
6
vypovídají
v závislosti rozčlenění
na
o
posunu
odpovídají
místech tělesa
stupně
s nejvyšším
po
stupnici.
s průchozí
šířkou
schodiště zelená – 114 cm, modrá – 105 cm, červená – 94 cm a pro tloušťku stupně 5 cm. Rozdíl
míst
s největším
průhybem
v porovnání
se
smrkovým stupněm je malý.
VZDÁLENOST TĚLESA
VZDÁLENOST TĚLESA
Graf 7
Grafem
Graf 8
číslo
7
je
popsán
vztah
nejvyššího
místa
průhybu v závislosti na vzdálenosti tělesa na stupnici u jednotlivých
dubových
stupńů.
Pro
jednotlivé
tloušťky
stupňů jsou nejvyšší hodnoty průhybu následující zelená 7 cm přibližně 0,21 mm, modrá 6
cm přibližně 0,28 mm, žlutá
5cm přibližně 0,47 mm, červená 4 cm přibližně 0,793 mm. Z grafu 8 je možno vyčíst hodnotu důležitou pro další posuzování
vhodnosti
použití
aglomerovaných
materiálů.
Nejvyšší hodnota průhybu pro dubový stupeň tloušťky 5 cm,
45
průchozí šířky 105 cm a vzdálenosti tělesa 57 cm je 0,457 mm. 8.5 Výpočet průhybu pro aglomerované materiály Výpočet průhybu pro OSB/2,OSB/3 DESKY Nosné desky pro použití v suchém prostředí a OSB/3: Nosné desky pro použití ve vlhkém prostředí Poissonovo číslo µ=0,2 hodnoty převzaty z ČSN EN 12369-1 Tloušťka, Průměrná hodnota modulu pružnosti (N/mm2) mm Ohyb Tah Tlak Smyk kolmo k rovině tnom Em Et Ec Gv
Smyk v rovině Gr
0
90
0
90
0
90
4930
1 980
3800
3000
3800
3000
1 080
50
> 18 až 25 4930
1 980
3800
3000
3800
3000
1 080
50
> 10 až 18
Tab.4
VZDÁLENOST TĚLESA
VZDÁLENOST TĚLESA
Graf 9
Graf 10 46
Křivky stupnic
v grafu
vyrobených
9
a
10
z OSB/3
popisují desky.
maximální
Červenou
průhyby
barvou
je
v
grafu č. 9 znázorněn stupeň tloušťky 5,3 cm s maximálním průhybem 0,91 mm, odpovídající přibližně smrkovému stupni o síle 5 cm. V grafu tloušťce
č.
6,8
10 cm
červená a
křivka
znázorňuje
s maximálním
průhybem
stupeň 0,43
o
mm,
odpovídající dubovému stupni s tloušťkou 5cm. Tento materiál vyhovuje námi stanoveným podmínkám pro možnost náhrady za rostlé dřevo a to pro obě
posuzované
dřeviny. Výpočet průhybu pro OSB/4 DESKY: Charakteristické hodnoty desek podle EN 300 OSB/4: Zvlášť zatížitelné nosné desky pro použití ve vlhkém prostředí Hodnoty převzaty z ČSN EN 12369-1 Tloušťka, Průměrná hodnota modulu pružnosti (N/mm2) mm Smyk Ohyb Tah Tlak Inom
Em
Et
Ec
kolmo k rovině desky
Smyk v rovině desky
Gv
Gr
0
90
0
90
0
90
> 6 až 10
6780
2680
4300
3200
4300
3200
1 090
60
> 10 až 18
6780
2680
4300
3200
4300
3200
1 090
60
> 18 až 25
6780
2680
4300
3200
4300
3200
1090
60
Poissonovo číslo µ=0,2 Tab.5
47
VZDÁLENOST TĚLESA
VZDÁLENOST TĚLESA
Graf 11
Graf 12
Křivky
v grafu
11
a
12
popisují
maximální
průhyby
stupnic vyrobených z OSB/4 desky. V grafu 11 je červeně znázorněn
stupeň
tloušťky
5,2
cm
s
maximálním
průhybem
0,895 mm, odpovídající přibližně smrkovému stupni o síle 5 cm. V grafu 12 červená křivka znázorňuje stupeň o tloušťce 6,7
cm
a
s maximálním
průhybem
0,436
mm,
odpovídající
dubovému stupni s tloušťkou 5cm. Tento materiál vyhovuje pro obě
posuzované dřeviny.
Charakteristické hodnoty třískové desky podle EN 312-6: Třískové desky -Zvlášť zatížitelné nosné desky pro použití v suchém prostředí Poissonovo číslo µ=0,2
48
hodnoty převzaty z ČSN EN 12369-1 Průměrná hodnota modulu pružnosti (N/mm2)
Tloušťka, mm
Ohyb
Tah a tlak
Smyk kolmo
tnom
Em
Et,Ec
Gv
> 6 až 13 > 13 až 20 > 20 až 25 > 25 až 32 > 32 až 40 >40
4 400 4 100 3 500 3 300 3 100 2 800
2 500 2 400 2 100 1 900 1 800 1 700
1 200 1 150 1 050 950 900 880
Tab.6
VZDÁLENOST TĚLESA
VZDÁLENOST TĚLESA
Graf 14
Graf Křivky
v grafu
13
a
14
popisují
maximální
průhyby
stupnic vyrobených z DTD. Červenou barvou v grafu 13 je znázorněn
stupeň
tloušťky
5,9
cm
s
maximálním
průhybem
0,97 mm, odpovídající přibližně smrkovému stupni o síle 5 cm.
Tento
materiál
neodpovídá
svým
maximálním
průhybem
v rozsahu tloušťky do 5-7 cm možnosti náhrady za dubový stupeň o síle 5 cm. Vyhovuje pouze pro smrk. Charakteristické hodnoty třískové desky podle EN 312-7: Třískové desky - Zvlášť zatížitelné nosné desky pro použití ve vlhkém prostředí Poissonovo číslo µ=0,2
49
hodnoty převzaty z ČSN EN 12369-1 Průměrná hodnota modulu pružnosti (N/mm2)
Tloušťka, mm
Ohyb
Tah a tlak
Em
Et,Ec
tnom 6 až 13 13 až 20 20 až 25 25 až 32 32 až 40 >40
> > > >
4 4 4 3 3 3
600 200 000 900 500 200
2 2 2 2 2 2
Smyk kolmo Gv
600 500 400 300 100 000
1 1 1 1 1 1
250 200 150 100 050 000
Tab.7
VZDÁLENOST TĚLESA
VZDÁLENOST TĚLESA
Graf 15
Graf 16
Křivky stupnic pro
v grafu
vyrobených
použití
ve
15
a
z DTD
vlhkém
16
popisují
maximální
průhyby
zvlášť zatížitelné nosné desky
prostředí.
Červenou
barvou
je
u
grafu 15 znázorněn stupeň tloušťky 5,9 cm s maximálním průhybem 0,928 mm, odpovídající přibližně smrkovému stupni o síle 5 cm. Tento materiál neodpovídá svým maximálním průhybem
v rozmezí
tloušťky
5-7
cm
možnosti
náhrady
za
dubový stupeň o síle 5 cm. Vyhovuje pouze jako náhrada za smrkový stupeň.
50
Charakteristické hodnoty vláknitých desek podle EN 622-2: Tvrdé desky -Zvlášť zatížitelné nosné desky pro použití ve vlhkém prostředí (HB.HLA2) hodnoty převzaty z ČSN EN 12369-1 Tloušťka. Průměrná hodnota modulu pružnosti (N/mm2) mm Ohyb Tah a tlak Smyk kolmo tnom
Em
Et,Ec
Gv
3,5 > 3.5 až 5,5 >5,5
5000 4800 4600
5000 4800 4600
2100 2000 1900
Tab.8
VZDÁLENOST TĚLESA
VZDÁLENOST TĚLESA
Graf 17
Graf 18
Křivky
v grafu
17
a
18
znázorňují
maximální
průhyby
stupnic vyrobených z DVD tvrdé desky zvlášť zatížitelné ve vlhkém prostředí. Červenou barvou je V grafu 17 znázorněn stupeň tloušťky 4,5 cm a maximálním průhybem 0,928 mm, odpovídající
přibližně
smrkovému
stupni
o
síle
5
cm.V grafu 18 červená křivka znázorňuje stupeň S tloušťkou 5,8
cm
a
s maximálním
průhybem
dubovému stupni s tloušťkou 5 cm.
51
0,453
mm,
odpovídající
Z
tohoto
materiálu
vyrobený
stupeň
bude
mít
lepší
posuzované vlastnosti, než zhotovený smrkový stupeň. Charakteristické hodnoty vláknitých desek podle EN 622-3: Polotvrdé desky -Zvlášť zatížitelné nosné desky pro použiti v suchém prostředí (MBH.LA2) Poissonovo číslo µ=0,2 hodnoty převzaty z ČSN EN 12369-1 Tloušťka, Průměrná hodnota modulu mm Ohyb Tah a tlak tnom Em Et,Ec =10 3100 3100 >10 2900 2900
pružnosti (N/mm2) Smyk kolmo Gv 1 300 1 200
Tab.9
VZDÁLENOST TĚLESA
VZDÁLENOST TĚLESA
Graf 19 Křivky stupnic,
Graf 20 v grafu
19
vyrobených
a
20
popisují
z DVD
polotvrdé
maximální
průhyby
desky,
zvlášť
zatížitelné v suchém prostředí. Červenou tloušťky
5,3
barvou cm
je s
v
grafu
maximálním
19
znázorněn
průhybem
0,930
odpovídající přibližně smrkovému stupni o síle 5 cm.
52
stupeň mm,
V grafu
20
červená
tloušťkou 5,8 cm a
křivka
znázorňuje
stupeň
s
maximálním průhybem 0,458 mm, odpoví-
dající dubovému stupni s tloušťkou 5 cm. Tento
matriál
pro
své
vlastnosti
vyhovuje
námi
stanoveným podmínkám pro možnost náhrady za rostlé dřevo a to pro obě
posuzované dřeviny.
V tabulce 10 a 11 jsou přehledně shrnuty výsledky jednotlivých výpočtů. V tab. 10 pro smrkový stupeň, v. tab. 11 pro dubový stupeň. Vypočtené hodnoty pro náhradu smrkového stupně Tloušťka stupně smrk v cm 5 5 5 5 5 5
Průhyb smrk v mm 0,937 0,937 0,937 0,937 0,937 0,937
Aglomerovaný Materiál posuzovaný OSB/3 OSB/4 DTD EN 312-6 DTD EN 312-7 DVD 622-2 DVD 622-3
Tluošťka stupně aglom. mat. v cm při stejném průhybu jako u smrku tl.5cm 5,3 5,2 5,9 5,9 4,5 5,3
průhyb v mm aglom. mat. 0,954 0,895 0,972 0,962 0,928 0,931
Vyhovují možnosti náhrady za smrk v rozmezí tlošťky 5-7 cm ano ano ano ano ano ano
Průhyb v mm aglom. mat. 0,447 0,436 0,612 0,602 0,453 0,458
Vyhovují možnosti náhrady za dub v rozmezí tlošťky 5-7 cm ano ano ne ne ano ano
Tab.10 Vypočtené hodnoty pro náhradu dubového stupně Tloušťka stupně dub v cm 5 5 5 5 5 5
Průhyb dubu v mm 0,457 0,457 0,457 0,457 0,457 0,457
Aglom. Materiál posuzovaný OSB/3 OSB/4 DTD EN 312-6 DTD EN 312-7 DVD 622-2 DVD 622-3
Tloušťka stupně aglom. mat. v cm při stejném průhybu jako u smrku tl.5cm 6,8 6,7 7 7 5,8 6,8
Tab.11
53
Obr 16 Maximální průhyb stupně v navrženém schodišti
Při posouzení koutového stupně umístěného
ve schodišti
bylo zjištěno, že místo s nejvyšším průhybem se posunulo blíže
k ohybníku.
Patrná
je
interakce
se schodnicemi
a
ohybníkem, kde došlo k mírné deformaci. 8.6 Navržený stupeň
Na
základě
získaných
výsledků
byl
navržen
stupeň
s tímto složením. Jako střední nosná deska byla použita zvlášť
zatížitelná
nosná
deska
pro
použití
ve
vlhkém
prostředí (HB.HLA2) o tloušťce 5 cm. Jako nákližky byly použity
dřevěné
hranolky
příčných
rozměrů
0,8x5
cm.
Stupnice byla odýhována dubovou
dýhou o síle 5 mm, viz
obr
s těmito
19.
Pro
takto
vytvořený
a
materiálovými
vlastnostmi nadefinovaný model, byl vypočten průhyb 0,224 mm. (viz. obr. 15)
54
Průhyb navrženého stupně
Obr. 17 Následně
bylo
provedeno
povrchové dýhy a šířky tohoto stupně.
posouzení
vlivu
změny
tloušťky
dubového nákližku na změnu průhybu
Posuzovaný stupeň byl překreslen s dubovým
nákližkem šířky 5x3 cm. Tloušťka nosné desky i povrchové dýhy zůstala nezměněná.Viz. obr.16.
Výsledkem výpočtu je
průhyb 0,256 mm.
Obr. 18
Obr. 19
55
Stupně
byl
překreslen
pro
tyto
parametry,
tloušťka
nosné desky a nákližku 5,9 cm a dýhy 0,05 mm. Výpočet byl proveden s výslednou hodnotou maximálního průhybu 0,218 mm (viz. obr. 19)
Obr. 20
Obr. 21
Kombinace materiálu pro nosnou desku V následující části byla hodnocena změna maximálního průhybu
pro
možnost
stupně.
Jednotlivé
kombinace stupně
materiálů
jsme
v nosné
překreslili
na
části.
tloušťku
povrchové vrstvy 15 mm a středové vrstvy 30 mm. V tomto případě jsme vliv dýhy zanedbali. Výpočty materiálů
vzájemných
dřevovláknité
kombinací desky
jsme
tvrdé,
prováděli
zvlášť
u
zatížitelné
nosné desky pro použití ve vlhkém prostředí(DVD EN 622-2), třískové desky nosné pro použití v suchém prostředí DTD EN 312-4, OSB/3 nosné desky pro použití ve vlhkém prostředí. Byla
dodržena
k deformaci ckých
symetrie
stupně
vlastností.
povrchových
vlivem
vrstev
rozdílných
Výsledky
56
,aby
fyzikálně
jednotlivých
nedošlo mechani-
výpočtů
s
porovnáním
průhybů
s rostlým
dřevem
jsou
shrnuty
v tabulce 12.
VNITŘNÍ DESKA
VNĚJŠÍ OBOUSTRANNÉ
MAXIMÁLNÍ
MAXIMÁLNÍ PRŮHYB
MAXIMÁLNÍ PRŮHYB
OSB/3 DTD EN 312-4 DTD EN 312-4 DVD 622-2 DVD 622-2 OSB/3
DESKY DVD 622-2 DVD 622-2 OSB/3 OSB/3 DTD EN 312-4 DTD EN 312-4
PRŮHYB 0,342 0,374 0,531 0,452 0,707 0,781
DUB 5 cm 0,457 0,457 0,457 0,457 0,457 0,457
SMRK 5 cm 0,937 0,937 0,937 0,937 0,937 0,937
Tab.12
Rozhodující
pro
snížení
průhybu
je
schopnost
materiálů odolávat zatížení v tahu a tlaku v povrchových vrstvách. stupni
Obrázek
složeného
středovou
vrstvu
20
znázorňuje
v povrchové tvoří
DTD
distribuci
vrstvě EN
z
napětí
DVD
312-4.
622-2
Napětí
ve a je
koncentrováno v povrchových vrstvách. Dobře patrná je i středová neutrální osa. Pro střední vrstvu je možné použít všechny s lepšími
posuzované
desky.
vlastnostmi
pro
Zpevnění tuto
vhodné použít levnější materiál.
Obr. 22
57
při
vrstvu
použití
není
desek
výrazné,
je
Z výpočtu
jako
nevhodný
materiál
pro
povrchovou
vrstvu vyšli DTD.
9. Zhodnocení výsledků
Z vypočtených hodnot vyplývá, že pro nahrazení smrkového stupně
v rozmezí
tloušťky
5
–
7
cm,
je
možno
použít
všechny posuzované aglomerované materiály. Jako náhradu za dubový
stupeň z posuzovaného hlediska průhybu, je možno
použít
OSB/3,
Z výpočtů
OSB/4,
vyplývá,
DVD
že
EN
622-2
materiál
a
DVD
EN
s nejnižší
622-3.
maximální
deformací a proto z posuzovaného hlediska nejvhodnější, je dřevovláknitá zvlášť zatížitelná nosná deska pro použití ve vlhkém prostředí (HB.HLA2). Při posuzování vlivu tloušťky povrchové dýhy na změnu průhybu jsme došli k závěru, že nemá takřka žádný vliv na změnu velikosti průhybu. Rozdíl průhybů při změně tloušťky o hodnotu 4,5 mm, je 0,01 mm. U zkoumané závislosti změny šířky dubového nákližku byl vypočten rozdíl v průhybu, při změně šířky o hodnotu 2,2 cm, na
0,03 mm. Tento vliv je
možno považovat také za zanedbatelný. Při posuzování možnosti vytvoření střední nosné části kombinací námi prověřovaných aglomerovaných materiálů jsme došli
k závěru,
schopnost
že
materiálu
v povrchových
rozhodující odolávat
vrstvách.
pro
snížení
zatížení
Nejvhodnější
průhybu
v tahu kombinace
a
je
tlaku z námi
posuzovaného hlediska průhybu, je střední vrstva vytvořená z desky OSB/3 tloušťky 3 cm a vnějších vrstev z DVD EN 622-2 tloušťky 1,5 cm s max. průhybem 0,342 mm.
58
10.
Diskuse
Cílem této diplomové práce je analýza stupně dřevěného schodiště
metodou
konečných
prvků.
Touto
metodou
lze
velice přesně zjistit v celém průřezu materiálu odezvu na zatížení a nemusí to být jenom přímé působení sil, ale i působení snadno
vlhkosti,
teploty,
použitelná
materiálů,
s
pro
proudění
vytvořené
nepravidelnými,
a
jiné.
konstrukce
složitými
Metoda z
je
různých
geometrickými
tvary. Je možné snadno změnit podmínky zatížení a výsledky výpočtů máme k dispozici v řádu hodin, nebo několika dnů. Použitý program Ansys Worbench metodu konečných prvků pro
výpočty používá. Má příznivé uživatelské prostředí,
výběr funkcí se provádí rozbalení menu z lišt a následným grafickým výběrem. Je tvořen vzájemně propojenými částmi. Z nichž první část, ve kterých probíhá návrh modelu je prostředím
parametrického
modeláře.
Model
je
možné
vytvářet i v některých jiných programech s parametrickým modelářem a následně načítat do námi zvoleného programu. Výpočty
se
provádějí
v části
simulace,
kde
je
nutno
nadefinovat okrajové podmínky a stanovit potřebné výsledky výpočtu,
případně
dotvořit
síť.
Optimalizace
návrhu
je
prováděna v části Design Xplorer. Jako jeden z výstupů je model
s optimálními
parametry,
bez
nutnosti
dalšího
překreslení. Následným převedením do programu s CAM částí, např.
Solid
Works,
je
možno
získat
přímý
výstup
do
obráběcích center. Zhodnocení části,
pro
výpočtech
výsledků
upřesnění průhybu
bylo
provedeno
výsledků
stupňů
je
třeba
vytvořených
v předcházející dodat,
že
při
z aglomerovaných
materiálů, jsme zadávali materiálové vlastnosti jako pro isotropní materiály. U DTD a OSB desek jsme se dopustily značných
nepřesností
vzhledem
ke
struktuře
těchto
materiálů. U dřevovláknité desky jsou vlákna rozmístěna do
59
značné míry nahodile proto můžeme tento materiál považovat za isotropní. Hodnoty
max.
průhybu
získané
při
výpočtech
optimalizace v závislosti na tloušťce stupně, v rozsahu 37
cm
pro
smrkový
stupeň,
závislostí
průhybu
na
jsme
porovnali
tloušťce
vyjádřenými
s hodnotami ze
vzorce
výpočtu modul pružnosti(viz.str.39). Po úpravě na stejný počet desetinných míst jsme porovnali průběh křivky viz. tab. 13 a graf 21. Tloušťka Stupně 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3
Hodnoty vyp. Prog. ANSYS 0,53 0,6 0,68 0,795 0,937 1,14 1,42 1,83 2,45
Hodnoty vyp. Z modulu pružnosti 0,29 0,36 0,46 0,60 0,80 1,10 1,56 2,33 3,70
Tab.13
4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0
1
2
3
HODNOTY ANSYS
4
5
6
7
8
HODNOTY VYP. Z MODELU PRUŽNOSTI
Graf 21
Autor se domnívá že přibližně stejný průběh křivky je možno vysvětlit působením malé sily, vzhledem k rozměrům tělesa. Hodnoty jsou v lineární části závislosti napětí a deformace a v dostatečné míře se neprojevili transformační vztahy z matice tuhosti. Pro konstrukci navrženého stupně byl
použit
nákližek
s nižší
šířkou
z důvodu
menšího
momentu vůči lepené spáře a úspory materiálu. Při použití aglom. materiálu s horšími vlastnostmi může mít nákližek zpevňující funkci.
60
Obr 23 Na průhybu
obrázku
23
schodiště
je
zobrazen
zatíženého
výsledek
pouze
výpočtu
vlastní
max.
objemovou
hmotností.
Obr 24 Na
obrázku
24
je
znázorněna
distribuce
napětí
ve
schodišti. Těleso na koutovém stupni je zatíženo přibližně
61
200 kg. Dobře patrné je šíření napětí z ohybníku schodiště do sousedních stupňů. Též je dobře patrné napětí v místě ukotvení schodiště.
62
11. Závěr
Konkurenční
prostředí
přináší
zvyšující
nároky
zákazníků na kvalitu výrobků a zároveň nutí výrobce ke snižování ceny nebo k setrvání na cenové úrovni i přes zvyšující
se
ceny
vstupních
nákladů.
Jednou
z možností
úspor je nahrazení kvalitního drahého řeziva používaného pro
výrobu
kvalitou
stupně
lepším,
materiálem. zachování
schodišť cenově
Podmínkou možnosti
technologického
jiným
příznivějším
efektivní
využití
zařízení
srovnatelným
a
a
dostupnějším
úspory
stávajícího případné
nebo
nákladů
je
strojního
a
snížení
náročnosti
opracování. Proto jako vhodný k posouzení možnosti náhrady byl
vybrán aglomerovaný materiál. Jedním
podmínek
z podmiňujících
souvisejících
s
faktorů
je
ochranou
nutnost
zdraví
a
dodržení
bezpečnosti
výrobků upravených v předpisech ČR. Jedním ze základních požadavků je schopnost odolávat předpokládaným zatížením, které budou po dobu užívání působit na výrobek. Vhodnou metodou a v některých případech jedinou, při zjišťování bezpečnosti výrobku v závislosti na zatížení, je metoda konečných prvků. Touto metodou lze velice přesně zjistit
v celém
průřezu
materiálu
odezvu
na
zatížení
a
nemusí to být jenom přímé působení sil, ale i působení vlhkosti, teploty proudění a jiné. Pro složitost a rozsah výpočtů při této metodě používaných je nutností použití výpočetní
techniky.
aglomerovaných schodiště
Při
materiálů
byl
použit
posuzování při
program
možnosti
výrobě Ansys
stupně
Worbench,
využití dřevěného
který
pro
výpočty tuto metodu konečných prvků používá. Tento program má příznivé prostředí, výběr funkcí se provádí rozbalení menu
z lišt
vzájemně
a
následným
propojenými
grafickým
částmi.
Z
výběrem.
nichž
první
Je
tvořen
část,
ve
kterých probíhá návrh modelu je prostředím parametrického
63
modeláře.
Model
je
možné
vytvářet
i
v některých
jiných
programech s parametrickým modelářem a následně načítat do námi
zvoleného
simulace
kde
programu.
je
nutno
Výpočty
se
nadefinovat
provádějí
okrajové
v části
podmínky
a
stanovit potřebné výsledky výpočtu, případně dotvořit síť. Optimalizace návrhu je prováděna v části Design Xplorer, ve
které
program
nabízí
procentické
rozšíření
zadaného
parametru a přepočte pro jednotlivé automaticky vytvořené vzorky
zvolené
parametry.
Výsledky
v podobě
grafů
závislostí posuzovaných veličin jsou přehledné, jako jeden z výstupů
je
model
s optimálními
parametry
bez
nutnosti
dalšího překreslení. V této práci byl posuzován konkrétní stupeň reálného schodiště
výběrem
parametry
a
možností
pouze
největší
poškození
stupně
délkou,
jsme
se
s nejnižšími tedy
snažili
průřezovými
s nejvyšší
reálnou
optimalizovat
tento
proces. Je možné se domnívat, že získané výsledky je možno použít
i
pro
stupně
schodišť
s většími
průřezovými
parametry a srovnatelnou délkou. Bylo posuzováno schodiště s vetknutými stupni, ale lze očekávat, že obdobné výsledky získáme i u sedlových schodišť, kde jsou stupně podepřeny a uchyceny blíže k průchodné linii. Tato schodiště jsou vyráběna nejčastěji, a proto námi zjištěné výsledky mohou být pro praxi přínosné. Vhodnost následně ckého,
použití
posoudit
posledním
jednotlivých
z pohledu
stupněm
před
materiálu
ekonomického finální
a
je
třeba
technologi-
výrobou
musí
být
zkoušky zatížení na reálném modelu. Při
výběru
postupovat
vhodného
opačným
materiálu
způsobem,
zadat
je
možno
okrajové
teoreticky podmínky
a
rozsah zatížení a v procesu optimalizace nalézt zjišťovaný parametr
popisující materiálovou vlastnost.
64
11.
Použitá literatura
APETAUR M., STEJSKAL V., BANĚČEK J., Výpočtové metody ve stavbě motorových vozidel. 1. vydání. Praha ČVUT, 1984. 145 s. ČERMÁK L., Algoritmy metody konečných prvků. 1. vydání. Brno VUT, 2000. 106 s. ISBN 80214-1697-1 HAVÍŘOVÁ Z., Stavíme dům ze dřeva. 1. vydání. Brno ERA, 2005. 99 s. ISBN: 80-7366-008-3 KRATOCHVÍL C., Mechanika těles, Počítače a MKP. 1. vydání. Brno VUT, 1987. 84 s. MANNES W., Dřevěná schodiště. , 1. vydání. Praha Grada Publishing, a.s., 2005. 176 s. ISBN 80-247-0949-X POLÁŠEK J., Technická normalizace a posuzování shody. 1. vydání. Brno MZLU, 2005. 200 s. ISBN 80-7157-876-2 TRÁVNÍK A., Řízení jakosti. 1. vydání. Brno MZLU, 2002. 198 s. ISBN 80-7157-588-7 ŽENÍŠEK A., Matematické základy metody konečných prvků. 2. vydání. Brno VUT, 1999. 100 s. ISBN 80-214-1498-7 ČSN 734130: Schodiště a šikmé rampy, 1985 ČSN EN 12369-1: Desky na bázi dřeva – charakteristické hodnoty pro navrhování dřevěných konstrukcí – část 1: OSB, třískové a vláknité desky, 2001
65
