Matematika Teknik Dasar-2 10 โ Aplikasi Integral - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan โ Universitas Brawijaya
Volume Benda-Putar
Sebuah bentuk bidang yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, dan ordinatordinat di x=a dan x=b, diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x, maka putaran ini akan membentuk sebuah benda yang simetris terhadap OX.
Volume Benda-Putar
Volume yang dibentuk oleh potongan kira-kira sama dengan volume yang dibentuk oleh empat-persegi panjang, atau ๐น๐ฝ = ๐๐ . ๐
๐
Volume Benda-Putar
Jika dibagi seluruh bentuk bidang menjadi sejumlah potongan tipis. Maka masing-masing akan menghasilkan cakram tipis dengan volume ๐๐ฆ 2 . ๐ฟ๐ฅ ๐ฅ=๐
โด ๐๐๐๐ข๐๐ ๐ก๐๐ก๐๐, ๐ = เท ๐๐ฆ 2 . ๐ฟ๐ฅ ๐ฅ=๐
Volume Benda-Putar Dalam pendekatan model ini muncul kesalahan dikarenakan luas daerah di atas masing-masing adalah empat-persegi panjang, sehingga muncul pola tangga. Tetapi jika ๐ฟ๐ฅ โ 0, kesalahan akan hilang maka ๐ =
๐ โซ ๐ฆ๐ ๐ืฌโฌ2 . ๐ฟ๐ฅ
Contoh - 1 Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh y=5cos2x, sumbu-x dan ordinat-ordinat di x=0 dan x=๏ฐ/4, diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x ๐/4
๐/4
๐= เถฑ
๐๐ฆ 2 . ๐ฟ๐ฅ = 25๐ เถฑ
0
0
๐๐๐ 2 2๐ฅ๐๐ฅ
Dinyatakan dalam bentuk sudut ganda (4x) cos 2๐ =
2๐๐๐ 2 ๐
โ 1;
๐๐๐ 2 ๐
=
1 2
1 + cos 2๐
25๐ ๐/4 เถฑ ๐= 1 + cos 4๐ฅ ๐๐ฅ 4 0
Contoh - 1 25๐ sin 4๐ฅ ๐/4 ๐= ๐ฅ+ 4 4 0 25๐ ๐ ๐= +0 โ 0+0 4 4 25๐2 V= 8
satuan3
Contoh - 2 Persamaan parametrik suatu kurva adalah x = 3t2, y = 3t โ t2. Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva, sumbu-x dan ordinat-ordinat yang bersangkutan dengan t=0 dan t=2, diputar mengelilingi sumbu-x ๐
๐=เถฑ ๐ก=2
๐=เถฑ ๐ก=0
๐๐ฆ 2 . ๐๐ฅ
๐
๐ 3๐ก โ ๐ก 2 2 . ๐๐ฅ
x = 3t2, y= 3t-t2 c = 3t2 dx = 6t dt
Contoh - 2 2
๐ = ๐ เถฑ 9๐ก 2 โ 6๐ก 3 + ๐ก 4 6๐ก๐๐ก 0
2
๐ = 6๐ เถฑ 9๐ก 2 โ 6๐ก 3 + ๐ก 4 ๐๐ก 0
๐ = 6๐
9๐ก 4 4
โ
6๐ก 5 5
+
2
๐ก6 6
0
๐ = 6๐ 36 โ 38,4 + 10,67 ๐ = 6๐ 8,27 ๐ = 156 ๐ ๐๐ก๐ข๐๐3
Volume Benda-Putar Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y=x2+5, sumbu-x, dan ordinat-ordinat di x=1 dan x=3, diputar mengelilingi sumbu-y sampai satu putaran penuh.
Volume Benda-Putar Pada kasus tersebut tidak memiliki rumus standar, karena rumus ๐ = ๐ โซ ๐ฆ๐ ๐ืฌโฌ2 . ๐๐ฅ adalah rumus untuk rotasi mengelilingi sumbu-x. Dibuat metode umum
Volume yang dibentuk oleh potongan = Volume yang dibentuk oleh empat persegi panjang (silinder tipis yang berongga)
Volume Benda-Putar โด ๐ฟ๐ โ ๐๐ข๐๐ ๐๐๐๐๐ก ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ฅ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฟ๐ โ ๐ฆ๐ฟ๐ฅ. 2๐๐ฅ โ 2๐๐ฅ๐ฆ. ๐ฟ๐ฅ Maka untuk semua potongan seperti ini di antara x=1 dan x=3: ๐ฅ=3
๐ โ เท ๐ฟ๐ โ เท 2๐๐ฅ๐ฆ. ๐ฟ๐ฅ ๐ฅ=1
Jika ๐ฟ๐ฅ โ 0, kesalahan akan hilang dan akan diperoleh 3
๐ = 2 เถฑ ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ก 1
Contoh - 3 Menggunakan soal yang diberikan pada pembahasan sebelumnya. Karena y=x2 + 5, maka dapat mensubstitusikan y: 3
3
3
๐ = 2 เถฑ ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ = 2๐ เถฑ ๐ฅ ๐ฅ 2 + 5 ๐๐ฅ = 2๐ เถฑ ๐ฅ 3 + 5๐ฅ ๐๐ฅ 1
1
4
๐ฅ 5๐ฅ ๐ = 2๐ + 4 2
๐ = 2๐
3
2 1
81 45 1 5 + โ + 4 2 4 2
1
Contoh - 3 80 40 ๐ = 2๐ + 4 2 ๐ = 2๐ 20 + 20 V = 80๏ฐ satuan3
Sentroid dari Suatu Bentuk Bidang Sentroid dapat dicari posisinya dengan cara mengambil satu potongan elementer dan kemudiann menghitung momennya (a) terhadap OY untuk mencari ๐ฅ,าง dan (b) terhadap OX untuk mencari ๐ฆ. เดค ๐ด๐ฅาง โ ฯ๐ฅ=๐ ๐ฅ=๐ ๐ฅ. ๐ฆ๐ฟ๐ฅ ๐ด๐ฆเดค โ
๐ฆ ๐ฅ=๐ ฯ๐ฅ=๐ . ๐ฆ๐ฟ๐ฅ 2 ๐
Yang menghasilkan ๐ฅาง =
โซ๐ฅ๐๐ฆ๐ฅ ๐ืฌโฌ ๐ โซ๐ฅ๐๐ฆ ๐ืฌโฌ
, ๐ฆเดค =
1 ๐ 2 โซ๐ฅ๐ ๐ฆ ืฌโฌ 2 ๐ ๐ โซ๐ฅ๐๐ฆ ๐ืฌโฌ
Contoh - 4 Carilah posisi sentroid dari daerah yang dibatasi oleh y=e2x, sumbu-x, sumbu-y, dan ordinat di x=2 Jawaban: Langkah pertama dicari ๐ฅาง ๐ฅาง =
๐ โซ๐ฅ๐๐ฆ๐ฅ ๐ืฌโฌ ๐ โซ๐ฅ๐๐ฆ ๐ืฌโฌ
, yang kemudian dihitung kedua integral
secara terpisah.
Contoh - 4
Misalkan, ๐ฅาง = Maka ๐ผ1 =
๐ผ1 ๐ผ2
2 โซืฌโฌ0 ๐ฅ๐ 2๐ฅ ๐๐ฅ
= ๐ฅ
๐ 2๐ฅ 2
1 โ โซ ๐ ืฌโฌ2๐ฅ ๐๐ฅ 2 0 2๐ฅ 2๐ฅ 2
๐ฅ๐ ๐ ๐ผ1 = โ 2 4
2
0
4 ๐ 1 4 ๐ผ1 = ๐ โ โ โ 4 4 3๐ 4 1 3๐ 4 + 1 ๐ผ1 = + = 4 4 4
Contoh - 4
Maka ๐ผ2 =
2 2๐ฅ โซืฌโฌ0 ๐ ๐๐ฅ
Sehingga ๐ฅาง =
๐ผ1 ๐ผ2
=
=
๐ 2๐ฅ 2 0
2
3๐ 4 +1 2 . 4 4 ๐ โ1
= =
๐4 2
1 2
โ =
3๐ 4 +1 2 ๐ 4 โ1
=
๐ 4 โ1 2 3 54,60 +1 2 54,60โ1
๐ฅาง = 1,537 Kemudian dicari ๐ฆเดค
๐ฆเดค =
21 2 โซืฌโฌ0 2 ๐ฆ ๐๐ฅ 2 โซืฌโฌ0 ๐ฆ๐๐ฅ
๐ผ3 = ๐ผ2
=
163,8+1 109,2โ2
=
164,8 107,2
Contoh - 4 2
1 2 ๐ผ3 = เถฑ ๐ฆ ๐๐ฅ 0 2 2 2 4๐ฅ 2 1 1 1 ๐ 1 8 2 4๐ฅ ๐ผ3 = เถฑ ๐ฆ ๐๐ฅ = เถฑ ๐ ๐๐ฅ = = ๐ โ1 2 0 2 0 2 2 0 8 1 8 ๐ผ3 8 ๐ โ 1 1 4 1 ๐ฆเดค = = = ๐ โ 1 = 54,60 + 1 = 13,90 ๐ผ2 1 ๐ 4 โ 1 4 4 2 Maka sentroidnya adalah di ๐ฅาง = 1,537 dan ๐ฆเดค = 13,90
Pusat Massa Suatu Benda Putar Akan dicari posisi pusat massa (centre of gravity) dari suatu benda yang terbentuk apabila bentuk bidang yang dibatasi kurva y=f(x), sumbu-x, dna ordinat-ordinat di x=a dan x=b, diputar mengelilingi sumbu-x Jika diambil cakram-cakram elementer dan menjumlahkan seluruh momen volumenya (atau momen massanya) terhadap OY, maka kita dapat menghitung ๐ฅ.าง ๐
๐ฅาง =
โซ ๐ฆ๐ฅ ๐ืฌโฌ2 ๐๐ฅ ๐ โซ ๐ฆ๐ฅ ๐ืฌโฌ2 ๐๐ฅ
, sedangkan ๐ฆเดค = 0
Contoh - 5 Carilah posisi pusat massa dari benda yang terbentuk apabila bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva x2 + y2 = 16, sumbu-x, dan ordinat-ordinat di x=1 dan x=3 diputar mengelilingi sumbu-x 3 3 3 4 ๐ฅ 2 3 2 ๐ผ1 = เถฑ ๐ฅ 16 โ ๐ฅ ๐๐ฅ = เถฑ 16๐ฅ โ ๐ฅ ๐๐ฅ = 8๐ฅ โ 4 1 1 1 81 1 ๐ผ1 = 72 โ โ 8โ = 64 โ 20 = 44 4 4
โด ๐ผ1 = 44
Contoh - 5
3
๐ผ2 = เถฑ 16 โ 1
3
3
๐ฅ2
๐ฅ ๐๐ฅ = 16๐ฅ โ 3
1
1 1 1 ๐ผ1 = 48 โ 9 โ 16 โ = 23 โด ๐ผ2 = 23 3 3 3 ๐ผ1 44 3 132 ๐ฅาง = = . = = 1,89 ๐ผ2 1 70 70 Jadi ๐ฅาง = 1,89 dan ๐ฆเดค = 0
Panjang Kurva Akan dicari panjang busur suatu kurva y=f(x) diantara x=a dan x=b
Misalkan P adalah titik (x,y) dan Q adalah suatu titik pada kurva di dekat P. misalkan ๐ฟ๐ฅ= panjang busur kecil PQ.
Panjang Kurva Maka: ๐ฟ๐ ๐ฟ๐ ๐ฟ๐ฅ Jika ๐ฟ๐ฅ โ 0
2 2
โ ๐ฟ๐ฅ
2
+ ๐ฟ๐ฆ
๐ฟ๐ฆ โ1+ ๐ฟ๐ฅ
๐๐ ๐๐ฅ
=
1+
2
๐ฟ๐ โด ๐ฟ๐ฅ
2
โด ๐๐ฆ 2 ๐๐ฅ
๐ฟ๐ ๐ฟ๐ฅ โด๐ =
2 2
๐ฟ๐ฆ โ1+ ๐ฟ๐ฅ
โ ๐ โซ๐ืฌโฌ
2 2
๐ฟ๐ฆ 1+ ๐ฟ๐ฅ 1+
2
๐๐ฆ 2 . ๐๐ฅ ๐๐ฅ
Contoh - 6
Carilah panjang dari kurva y=10 cosh
๐ฅ 10
diantara x=-1 dan x=2
Jawaban: y=10 cosh
๐ฅ 10
๐ =
๐๐ฆ ๐ฅ = sinh ๐๐ฅ 10 2
โด๐ =เถฑ โ1
2 โซืฌโฌโ1
1+
๐๐ฆ 2 . ๐๐ฅ ๐๐ฅ 2
๐๐ฆ โด1+ ๐๐ฅ
๐ฅ ๐ฅ 2 =1+ = ๐๐๐ โ 10 10 2 2 ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ ๐๐๐ โ2 . ๐๐ฅ = เถฑ cosh ๐๐ฅ = 10 sinh 10 10 10 โ1 โ1 ๐ ๐๐โ2
Contoh - 6 ๐ = 10 (sinh 0,2 โ sinh(โ0,1)) sinh โ๐ฅ = โ sinh ๐ฅ ๐ = 10 (sinh 0,2 + sinh 0,1) = 10(0,2013 + 0,1002) ๐ = 10 0,3015 = 3,015 ๐ ๐๐ก๐ข๐๐
Panjang Kurva โ Persamaan Parametrik Daripada dilakukan proses perubahan variable integral seperti yang dilakukan sebelumnya jika kurva dinyatakan dalam persamaan parametrik, dapat dibuat suatu bentuk kurva yang akan memudahkan pekerjaan. Misalkan ๐ฆ = ๐ ๐ก , ๐ฅ = ๐น(๐ก)
Seperti sebelumnya: ๐ฟ๐
2
= ๐ฟ๐ฅ
2
+ ๐ฟ๐ฆ
2
Bagi kedua sisi dengan ๐ฟ๐ก โด
๐๐ 2 ๐๐ก
=
๐๐ฅ 2 ๐๐ก
+
๐๐ฆ 2 ๐๐ก
2
Panjang Kurva โ Persamaan Parametrik Jika ๏คt ๏ 0, ini mejadi: ๐๐ 2 ๐๐ก ๐๐ ๐๐ก
=
=
๐๐ฅ 2 ๐๐ก
๐๐ฅ 2 ๐๐ก
+
+
๐๐ฆ 2 ๐๐ก
๐๐ฆ 2 ๐๐ก
โด๐ =
๐ก=๐ก2 โซ๐ก=๐กืฌโฌ 1
๐๐ฅ 2 ๐๐ก
+
๐๐ฆ 2 . ๐๐ก ๐๐ก
Contoh 7 Carilah panjang dari kurva ๐ฅ = 2๐๐๐ 2 ๐, ๐ฆ = 2๐ ๐๐3 ๐ di antara titik-titik yang berkorespondensi dengan ๏ฑ=0 dan ๏ฑ=๏ฐ/2 Ingatlah ๐ =
๐/2 โซืฌโฌ0
Kita memiliki
๐๐ฅ ๐๐
โด
๐๐ฅ 2 ๐๐
+
๐๐ฆ 2 . ๐๐ ๐๐
= 6๐๐๐ 2 ๐ โ sin ๐ = โ6๐๐๐ 2 ๐ sin ๐ ๐๐ฆ = 6๐ ๐๐2 ๐ cos ๐ ๐๐ 2 2 ๐๐ฅ ๐๐ฆ + = 36 ๐๐๐ 4 ๐ ๐ ๐๐2 ๐ + 36๐ ๐๐4 ๐๐๐๐ 2 ๐ ๐๐ ๐๐
Contoh 7
โด
2
๐๐ฅ ๐๐ ๐๐ฅ ๐๐
2
๐๐ฆ + ๐๐
๐๐ฆ + ๐๐ ๐๐ฅ ๐๐
โด
2
๐๐ฅ ๐๐
2
= 36 ๐๐๐ 4 ๐ ๐ ๐๐2 ๐ + 36๐ ๐๐4 ๐๐๐๐ 2 ๐ 2
= 36 ๐ ๐๐2 ๐ ๐๐๐ 2 ๐ ๐๐๐ 2 ๐ + ๐ ๐๐2 ๐ 2
๐๐ฆ + ๐๐
๐๐ฆ + ๐๐
2
= 36 ๐ ๐๐2 ๐ ๐๐๐ 2 ๐
2
= 6 sin ๐ cos ๐ = 3 sin 2๐
Contoh 7
๐/2
๐/2
cos 2๐ โด ๐ = เถฑ 3 sin 2๐ ๐๐ = 3 โ 2 0 0 1 1 ๐ =3 โ โ = 3 ๐ ๐๐ก๐ข๐๐ 2 2
Luas Permukaan Benda Putar Jika busur suatu kurva diputar mengelilingi sebuah sumbu, maka putaran ini akan membentuk suatu permukaan. Carilah luas permukaan benda-putar yang terjadi jika busur suatu kurva y=f(x) diantara x=x1 dan x=x2 diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x.
Luas Permukaan Benda Putar Jika kita memutar sebuah elemen busur kecil dengan panjang ๐ฟ๐ satuan, maka putaran ini akan membentuk pita tipis dengan luas ๏คA. Maka ๐ฟ๐ด โ 2๐๐ฆ. ๐ฟ๐ Dengan membagi kedua sisi dengan ๏คx ๐๐ด ๐๐ฅ
=
Seperti yang telah kita lihat sebelumnya
๐๐ ๐๐ฅ
kita peroleh
๐๐ 2๐๐ฆ ๐๐ฅ
=
1+
๐๐ฆ 2 ๐๐ฅ
Luas Permukaan Benda Putar
๐๐ด ๐๐ฆ โด = 2๐๐ฆ 1 + ๐๐ฅ ๐๐ฅ Sehingga ๐ด =
๐ฅ2 โซ ๐ฅืฌโฌ2๐๐ฆ 1
1+
๐๐ฆ 2 ๐๐ฅ
2
Contoh 8 Carilah luas permukaan yang terbentuk jika busur dari parabola y2=8x di antara x=0 dan x=2 diputar mengelilingi sumbu-x
Jawaban 2
๐๐ฆ ๐ด = เถฑ 2๐๐ฆ 1 + ๐๐ฅ 0 ๐ฆ2
= 8๐ฅ
โด2
. ๐๐ฅ
๐๐ฆ โด = 2๐ฅ 1/2 ๐๐ฅ
2๐ฅ 1/2
๐๐ฆ โด1+ ๐๐ฅ
2
2
2 ๐ฅ+2 =1+ = ๐ฅ ๐ฅ
๐๐ฆ โด ๐๐ฅ
2
2 = ๐ฅ
Contoh 8
2
โด ๐ด = เถฑ 2๐2
2 ๐ฅ 1/2
0 2
๐ด = เถฑ 4 2. ๐. ๐ฅ 1/2 0
๐ฅ+2 . ๐๐ฅ ๐ฅ
๐ฅ + 2 1/2 ๐๐ฅ 1/2 ๐ฅ
2
๐ด = 4 2. ๐ เถฑ ๐ฅ + 2 0
๐ฅ+2 ๐ด = 4 2. ๐ 3/2
1/2 ๐๐ฅ 3/2 2
0
Contoh 8
4 2. ๐ ๐ด= 8 โ 2 2 3 8๐ 8๐ ๐ด= 8 2โ4 = 7,314 3 3 ๐ด = 19,5๐ ๐ ๐๐ก๐ข๐๐2
Luas Permukaan Benda-Putar โ Persamaan Parametrik Telah dilihat bahwa jika kita memutar sebuah busur kecil ๏คs, maka luas ๏คA dari pita tipis yang terbentuk diberikan oleh: ๐ฟ๐ด โ 2๐๐ฆ. ๐ฟ๐ Jika dibagi semua sisi dengan ๏ค๏ฑ, maka didapatkan ๐ฟ๐ด ๐ฟ๐ โ 2๐๐ฆ. ๐ฟ๐ ๐ฟ๐ Dan jika ๏ค๏ฑ ๏ 0, ini menjadi: ๐๐ด ๐๐ โ 2๐๐ฆ. ๐๐ ๐๐
Luas Permukaan Benda-Putar โ Persamaan Parametrik
Ketika membahas tentang panjang kurva, maka: ๐๐ = ๐๐ ๐ฟ๐ด โด = 2๐๐ฆ ๐ฟ๐ ๐2
โด ๐ด = เถฑ 2๐๐ฆ ๐1
๐๐ฅ ๐๐
2
๐๐ฆ + ๐๐
๐๐ฅ ๐๐ ๐๐ฅ ๐๐
2
2
2
๐๐ฆ + ๐๐ ๐๐ฆ + ๐๐
2
2
. ๐๐
Contoh 9 Carilah luas permukaan yang dihasilkan ketika kurva x=a(๏ฑ- sin ๏ฑ), y=a(1 cos๏ฑ) antara ๏ฑ=0 dan ๏ฑ=๏ฐ diputar mengelilingi sumbu-x sampai satu putaran penuh. Disini
๐๐ฅ ๐๐
= ๐ 1 โ cos ๐
โด
๐๐ฅ 2 ๐๐
๐๐ฆ = ๐ sin ๐ ๐๐ ๐๐ฅ โด ๐๐
2
๐๐ฆ + ๐๐
= ๐2 1 โ 2 cos ๐ + ๐๐๐ 2 ๐
๐๐ฆ โด ๐๐
2
= ๐2 ๐ ๐๐2 ๐
2
= ๐2 1 โ 2 cos ๐ + ๐๐๐ 2 ๐ + ๐ ๐๐2 ๐
Contoh 9
๐๐ฅ โด ๐๐
2
๐๐ฆ + ๐๐
2
=
2๐2 ๐๐ฅ ๐๐
2
1 โ cos ๐ ๐๐ฆ + ๐๐
๐ก๐๐ก๐๐๐ cos ๐ = 1 โ
2
=
4๐2 ๐ ๐๐2
2๐ ๐๐2
๐ 2
Diselesaikan integralnya dan dicari luas permukaan yang terbentuk ๐
๐ด = เถฑ 2๐๐ฆ 0
๐๐ฅ ๐๐
2
๐๐ฆ + ๐๐
2
. ๐๐
๐ 2
Contoh 9 ๐
๐ ๐ ๐ ๐ 2 ๐ด = 2๐ เถฑ ๐ 1 โ ๐๐๐ ๐ . 2๐ sin . ๐๐ = 2๐ เถฑ ๐ 2๐ ๐๐ . 2๐ sin . ๐๐ 2 2 2 0 0 ๐ ๐ ๐ 2 2 ๐ด = 8๐๐ เถฑ 1 โ ๐๐๐ . sin . ๐๐ 2 2 0 ๐ ๐ ๐ ๐ 2 2 ๐ด = 8๐๐ เถฑ ๐ ๐๐ โ ๐๐๐ sin . ๐๐ 2 2 2 0 ๐ 3 ๐ 2๐๐๐ ๐/2 2 ๐ด = 8๐๐ โ2 cos + 2 3 0
๐ด = 8๐๐2 0 โ โ2 + 2/3 2 32๐๐ ๐ด = 8๐๐2 4/3 = ๐ ๐๐ก๐ข๐๐2 3
Aturan-Aturan Pappus
Ada dua aturan yang bermanfaat dan perlu diketahui: 1. Jika busur dari suatu kurva bidang diputar mengelilingi sebuah sumbu dalam bidang tersebut, maka luas permukaan yang terbentuk akan sama dengan panjang kurva tersebut dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya
2. Jika suatu bentuk bidang diputar mengelilingi sebuah sumbu putar dalam bidang tersebut, maka volume yang terbentuk akan sama dengan luas bentuk tersebut dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya.