MATEMATIKA TEKNIK DASAR-I JENIS-JENIS FUNGSI SEBRIAN MIRDEKLIS BESELLY PUTRA TEKNIK PENGAIRAN
FUNGSI GONIOMETRI 1. Satuan Sudut Radial DALIL ILMU UKUR Besar sudut pusat sebuah lingkaran, sama dengan bilangan yang menyatakan panjang busur lingkarang yang dihadapinya
Pada dalil didapatkan kesamaan antara satuan derajat terhadap
satuan panjang busur lingkaran secara geometri. Bila hasilnya diperluas didapatkanlah keliling lingkaran ~ 360o Tanda ~ dibaca “ekivalen dengan”
FUNGSI GONIOMETRI TEOREMA Bila di dalam lingkaran dibuat segi banyak tali busur, maka keliling segi banyak itu < dari 6x jarijari lingkaran tersebut.
BUKTI
Melalui semua ujung tali busur segi-n ditarik garis // sumbu x dan sumbu y.
Perhatikan ABB2; didapatkan AB < AB2+BB1 Dalam CBK, BC < B1C1 + B2Cc Dalam DCL, DC < C1D1 + C2D2
FUNGSI GONIOMETRI Secara ilmu ukur Kochansky mendapatkan cara yang paling mendekati yang betul sebagai berikut. Dengan phytagoras dihitung PR2=PQ2+QR2 𝑃𝑅2 = 𝑃𝑄 2 + 𝑄𝑅2 𝐴𝑃 1 𝑜 = 𝑡𝑔30 = 3 3 𝑟 1 Jadi, AP= 3 𝑟
3 dan BR=3r 1
1
Jadi, QR = 3𝑟 − 𝑟 3 = r 3 − 3 3 3 ∴ PQ = 2r ∴ PR = 4𝑟 2 + 𝑟 2 3 1
1 −3
3
2
1
=
𝑟 4 + 9 − 2 3 + 3 = 𝑟 13 3 − 2 3 ≈ 3,14𝑟
FUNGSI GONIOMETRI ▪ Bilangan 3,14... (biasa dilambangkan dengan ) adalah perbandingan antara k dengan garis tengah lingkaran, ditulis 𝜋 =
▪
44 Sehingga 6,28 < 2 < 7
𝑘 2𝑟
FUNGSI GONIOMETRI DEFINISI: satu radial adalah besar sudut pusat suatu lingkaran, yang panjang busur yang dihadapinya sama dengan jejari lingkaran. Akibat: PR =panjang ½ keliling lingkaran = radial. Jadi 180o = radial.
Dengan demikian, terbesar : 1 rad = 7/22
x 180o =
6 𝑜 57 22
= 57o16’;
1 terkecil : 1 rad = 3,14 x 180o = 57o14’45”
Untuk diingat, 1 radial 57o
Selanjutnya, busur o akan sama dengan Jika =30o dalam satuan derajad maka 𝛼 1 tidak ditulis, jadi, 𝛼 = 6 𝜋
𝛼 𝛼 x 2 rad, atau x rad. 360 180 1 = 6 𝜋 radial. Biasanya istilah ‘satuan radial’
FUNGSI GONIOMETRI 2. Bentuk Elementer Penyajian Dengan Grafik. Perkembangan nilai fungsi goniometri tersebut di atas lebih jelas, bila kita sajikan dengan f={(x,y)y=nilai fungsi goniometri untuk x} pada bidang kartesius. Dalam hal ini digunakan ekivalensi derajad pada garis (satuan panjang dalam radial)
FUNGSI GONIOMETRI
X
0
30o
y
0
½
X
210o
y
-½
240o −𝟏ൗ 𝟑 𝟐
45o
60o
𝟏ൗ 𝟐 𝟏ൗ 𝟐 𝟐 𝟐 270o
−𝟏
300o −𝟏ൗ 𝟑 𝟐
90o
120o
150o
180o
1
𝟏ൗ 𝟑 𝟐
½
0
330o
360o
−½
0
FUNGSI GONIOMETRI ▪ Digambarkan pasangan berurutan (x,y) itu pada bidang.
▪ Untuk menyederhanakan persoalan, kita ambil sudut kelipatan 30o dan 45o ▪ Kemudian dibuat garis lengkung serasi, yang menghubungkan titik yang berurutan ▪ Karena garis sumbu x skalanya satuan panjang, akan lebih baik, bila satuan yang dipakai dalam radial. X
0
30o
y
0
½
45o
60o
90o
120o
dan seterusnya
𝟏ൗ 𝟐 𝟏ൗ 𝟐 𝟐 𝟐
1
𝟏ൗ 𝟑 𝟐
dan seterusnya
𝟏Τ𝟒 𝝅 𝟏Τ𝟑 𝝅 𝟏ൗ 𝟐 𝟏ൗ 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏Τ𝟐 𝝅
𝟐Τ𝟑 𝝅 𝟏ൗ 𝟑 𝟐
dan seterusnya
diganti dengan X
0
𝟏 Τ𝟔 𝝅
y
0
½
1
dan seterusnya
FUNGSI GONIOMETRI
X
0
𝟏Τ𝟔 𝝅 𝟏Τ𝟒 𝝅 𝟏Τ𝟑 𝝅 𝟏 Τ𝟐 𝝅 𝟐Τ𝟑 𝝅 𝟓 Τ𝟔 𝝅
y
0
𝟏ൗ 𝟑 𝟏ൗ 𝟐 𝟎, 𝟓 𝟐 𝟐
0,9
0,7
0
𝝅
𝟏 𝟏ൗ𝟔 𝝅𝟏 𝟏ൗ𝟒 𝝅𝟏 𝟏ൗ𝟑 𝝅𝟏 𝟏ൗ𝟐 𝝅𝟏 𝟐ൗ𝟑 𝝅𝟏 𝟓ൗ𝟔 𝝅
−𝟏ൗ 𝟐 0,5 −𝟎, 𝟓 − 𝟏ൗ𝟐 𝟑 -1 − 𝟏ൗ𝟐 𝟑 𝟐
-0,9
-0,9
-0,7
0
0,5 𝟏ൗ𝟐 𝟑
𝟐𝝅 1
FUNGSI GONIOMETRI
Bila wilayah y=tgx ditambah dengan ½ < x < dan - < x < - ½, maka akan terbentuk lagi seperti grafik pada 0 < x < ½ . Perkembangan tangen di kwadran I serupa dengan perkembangannya di kwadran III. Begitu pula di kwadran II dan IV
FUNGSI GONIOMETRI
Dengan f(x)=tg x, F(x) = cotg x juga diskontinu pada nilai tertentu. Kita tahu, bahwa cotg x = tg (90o-x); maka asimtot f(x) dan F(x) berselisih ½ ; jadi, x=k. Bila wilayah fungsi ditambah n , nilainya akan berulang (nB)
FUNGSI GONIOMETRI Grafik y=sec x dalam wilayah - x 2
FUNGSI GONIOMETRI Grafik y = cosec x dalam wilayah - x 2
FUNGSI GONIOMETRI ▪ Bila diperhatikan, grafik sec x dan cosec x tidak mengisi jajahan -1 < y <1
▪ Jadi, jajahannya adalah 1 y < ~ atau -~ < y -1; cosec x = sec (90o-x)
▪ Jadi berselisih ½ untuk ordinat yang sama ▪ Periode sec x sama dengan periode cos x, dan periode cosec x sama dengan periode sin x
FUNGSI GONIOMETRI 3. Fungsi Goniometri
Dalam hal ini kita menganggap y = a sin x adalah fungsi bersusun daripada : x z = sin x. Kemudian oleh f : z y = az. Jadi, y = a sin x mempunyai grafik, dimana ordinatnya adalah a kali ordinat z = sin x untuk setiap x. Periode fungsi y = a sin x tetap sama dengan periode z = sin x.
FUNGSI GONIOMETRI
FUNGSI GONIOMETRI
FUNGSI GONIOMETRI 3. y = sin ax; a 0, a konstanta Contoh Periode sin x adalah 2 sin (ax + 2 ) = sin ax; ∴ sin a (𝑥 +
2𝜋 ) = sin ax 𝑎
Dengan demikian periode sin ax adalah 2/a Bila a > 1, periodenya lebih kecil daripada 2 Bila a < 1, periodenya lebih besar daripada 2
Nilai nol f(x) = sin ax didapat bila sin ax = 0
FUNGSI GONIOMETRI Maka ax = 0 + 2k; jadi x = Dengan demikian, 𝑥 =
2𝑘𝜋 ; atau ax = + 2k. 𝑎
2𝑘+1 𝜋 ; kB; jadi 𝑥 𝑎
=
𝑛𝜋 , n B 𝑎
FUNGSI GONIOMETRI
Grafik y=a sin x + b cos x + r. Untuk menggambarkan grafik fungsi tersebut kita berasumsi f(x)= a sin x dan g(x) = b cos x + r. ∴ y = f(x) + g(x) Dengan demikian, xR. Kita jumlahkan f(x) + g(x), berturut-turut kemudian kita susun barisan titiknya.
