Matematika
Diferenciální počet
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část – Diferenciální počet II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost an (n = 1, 2, 3, ...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní resp. ryze monotónní. 84. an = 1 + n2 85. an = 5 n n 86. an = 2 87. an = cos n n 88. an = 2 + 3 89. an = tg (1/n) 90. an = n / (n+1) 91. an = ( 1)n / (n2+1) 92. an = n2 / (n+1) 93. an = ( 1)n n2 / (n+3) Je dána posloupnost an a čísla L R, všechna n N, n n0 je an U (L). 94. an = 2 / n , L = 0, = 0.05 96. an = 1 / n3 , L = 0, = 0.01
0. Najděte přirozené číslo n0 takové, že pro 95. 97.
an = 2 + (sin n) / n , L = 2, = 0.1 an = 1 + 3 n , L = 1, = 0.02
Je dána posloupnost an . Vypočtěte lim an . n
98. 100. 102. 104. 106. 108. 110. 112. 114. 116.
an = (n 5) / (2n + 3) an = (2n3 + n2 50n)/(3n3 + 4n2 1) an = (n3 + 4n 5) / (20n2 + n + 10) an = (n+2) + n / (n+5) an = (n+4) n 2 an = (n +4) 2n an = (1+2+3+...+n) / (2n2 + 1) an = n cos (2n) / (2n + 5) an = (n+1) + cos n / (n + 2) an = ( 1)n.n2 + 3n / (2n2 + 1)
99. 101. 103. 105. 107. 109. 111. 113. 115. 117.
an = (n2 + 2n 4) / (n2 + 100) an = (2n2 + n 3) / (n3 + 4n2) an = (2n2 + 3n + 7) / ( 2 n) an = (n3+1) + 2n / (n2 + 3) an = (n2+1) n an = n. (n2+1) (n2 1) an = sin (n2+1) / n an = (n2 + sin n2) / (3n2 + n) an = (n2 sin n3) / (5n + 1) an = n.cos (n ) / (3n + 4)
II.2. Základní vlastnosti funkcí Určete definiční obory následujících funkcí. 118. y = (3x 5) 119. 2 120. y = 1 / (x 4x) 121. 2 122. y = ln (2x + 4) / (x 5x + 6) 123. 124. y = cos (2x) / x. (x + 4) 125. 126. y = (arcsin x) / (3x 1) 127. 128. y = (2 log 4x) 129.
7
y = (x + 2) / (x2 4x + 3) y = (sin x) + (16 x2) y = ln (x + 3) + (10 2x) y = arcsin (2x / 3) y = ln (x2 3x + 3) y = (1 ln2 x)
Matematika
Diferenciální počet
Určete supremum a infimum dané funkce f na množině M a rozhodněte, zda f má na M maximum resp. minimum (příp. určete jejich hodnotu). Nakreslete graf funkce y = f(x) pro x M . 130. f(x) = 2 + (x 1)2 , M = R 131. f(x) = 2 3x , M = 2, 4) 2 132. f(x) = 1 / (x 1) , M = (1, + ) 133. f(x) = (x + 2) , M = 2, + ) 134. f(x) = (5 x) , M = 1, 4) 135. f(x) = sin 2x , M = R 136. f(x) = 2 cos x , M = (0, 2 ) 137. f(x) = 2x 3 , M = R 138. f(x) = x 1 + 2 , M = (0, 5) 139. f(x) = 1 / (x2 + 2) , M = R 140. f(x) = 2 + ln (x 1) , M = (1, + ) 141. f(x) = 1 + ln (3 x) , M = 0, 2 142. f(x) = ex+2 , M = ( , 1 143. f(x) = 2 arctg x + , M = R 144. f(x) = arcsin (x 3) , M = (2, 4 145. f(x) = 3 (x2 + 1) , M = R Určete maximální intervaly, na kterých je daná funkce f ryze monotónní, a najděte k ní na těchto intervalech inverzní funkce. Určete také definiční obory inverzních funkcí. 146. f(x) = x2 1 147. f(x) = (x 2)3 148. f(x) = 1 / (x + 3) 149. f(x) = 2 1 / (x 1) 2x 150. f(x) = (3 + e ) 151. f(x) = ln (4 x) II.3. Limita a spojitost funkce Vypočtěte následující limity: 152. limx 2 sin x 154. limx 2+ (x2 + 3x 5) 156. limx (1 + 2 x) 158. limx 2 (x2 + 5) / (x2 3) 160. limx (x2 + 3x 10) / (2x2 + 7) 162. limx (3x + 5) / (x2 + 2x + 6) 164. limx (x3 + 8x 2) / (3x2 + 10) 166. limx (x2 + sin x2) / (2x2 3) 168. limx (1 + x2) 1 / x 170. limx 1 (x2 1) / (3x + 3) 172. limx 4 (2x 8) / ( x 2) 174. limx 0 tg (4x) / (2x) 176. limx 0 (1 cos2 x) / (2x2) 178. limx 0+ (tg x sin x) / x3 180. limx 0 (3x2 5x) / sin 3x 182. limx 1 (arctg x /4) / (x 1) 184. limx sin x / (x + 1) 186. limx arcsin x / (x + 2) 188. limx ex / x2 190. limx 0 ln (1 + 2x) / x
153. 155. 157. 159. 161. 163. 165. 167. 169. 171. 173. 175. 177. 179. 181. 183. 185. 187. 191.
8
limx limx limx limx limx limx limx limx limx limx limx limx limx limx limx limx limx limx 189. limx
cos 2x 2 4x) 1 (x 2 / (x + 3) 3 3x + 4) / (x2 2) 0 (x (2x2 + x x) / (x2 + 5x) (x3 + 4x2 + 1) / (2x2 + 5x) (2x + arctg x) / (x + 100) (2x2 + 1) / (x 5) (x2 1) x 2 x 2) / (x2 4) 2 (x 0+ sin (3x) / x 0 sin (4x) / tg x 0 arctg x / (3x) sin x) / cos 2x /4 (cos x 2 x ) / sin ( x) 1 (1 2 tg ( x) / (x + 2) 2 0 arctg (1/x ) ln (x2 5) / (x2 + 2x) limx ln x / x 0+ sin x / x
Matematika
Diferenciální počet
Najděte maximální intervaly, v nichž je daná funkce f spojitá. Je-li c R takový bod nespojitosti, že f je definována v jeho některém prstencovém okolí (c , c) (c, c+ ) , 0, zjistěte, zda funkci f lze v bodě c spojitě dodefinovat. Pokud ano, najděte odpovídající funkční hodnotu d. 192. f(x) = 1 / x 193. f(x) = sin x / x 2 194. f(x) = (x 2) / (x 2x) 195. f(x) = (x + 1) / (x3 + 1) 196. f(x) = 1 / ln x 197. f(x) = arctg (1/x) 198. f(x) = x . arctg (1/x) 199. f(x) = x / (ex 2) II.4. Derivace funkce a její význam Vypočtěte derivace následujících funkcí. Určete také, pro jaká x je derivace definovaná. 200. y = 6x2 3x + 1 201. y = 7x5 2x4 + x2 3 202. y = (x3 + 2x2 5x 10)2 203. y = (x2 + 2x + 5)4 204. y = (5x 3) 205. y = (x2 + 4) 206. y = (2x2 x + 5) 207. y = 3 (x2 1) 208. y = (x + 1).(2x + 5)8 209. y = (x 2).3 (x2 4) 210. y = 1 / (x 3) 211. y = (x2 + 1) / (x + 1) 212. y = 3 (x + 2) / x2 213. y = (x + 1)/(x + 3) 214. y = sin 3x 215. y = cos (x2 + 4x) 216. y = tg 5x 217. y = sin2 (x3 + 3x2 1) 218. y = cotg2 (3x) 219. y = sin (1/x) 2 220. y = x . cos x 221. y = (1 + x + sin x) 222. y = arcsin (x 2) 223. y = arccos x2 224. y = arctg2 (5 x) 225. y = arcsin (x + 1) 226. y = arctg x 227. y = arccotg 1 / (x 4) 3x+1 228. y = e 229. y = exp (5x2 2x+1) exp z = ez 230. y = exp ( 1/x2) 231. y = (e x 2) 232. y = 23x 233. y = 5(6x + 1/x) 234. y = ln (4x) 235. y = ln (x2 + 3x 4) 236. y = ln (x + (1+x2)) 237. y = ln (ln x) 5x 238. y = (2x) 239. y = (x2 + 1)3x 240. y = ln (sin 3x + 2) 241. y = e3x . (x2 + 1)2 242. y = e2x . sin 5x 243. y = e x . sin (x2 + 1) Vypočtěte druhé derivace následujících funkcí. Určete také, pro jaká x je druhá derivace definovaná. 244. y = sin (3x + 1) 245. y = cos2 x 246. y = (1 + x2) 247. y = tg x 2 x 248. y = x . e 249. y = (1 + x) / (1 x) 2 250. y = 1 / (2x + 1) 251. y = arcsin (x/2)
9
Matematika
Diferenciální počet
Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f v bodě x0, f(x0) . (Poznámka: Pro směrnice kt resp. kn tečny resp. normály ve společném bodě platí kn . kt = 1.) 252. f(x) = x2 , x0 = 2 253. f(x) = sin x , x0 = 2 254. f(x) = 8 / (4 + x ) , x0 = 2 255. f(x) = (3x + 1) / (x + 2) , x0 = 0 2 256. f(x) = 1 / (9 x ) , x0 = 5 257. f(x) = 2x , x0 = 2 258. Najděte tečny ke grafu funkce f(x) = 4x úhel , pod jakým se protínají. 259. Ve kterém bodě T paraboly y = x2 Najděte rovnici tečny.
x2 v bodech jeho průsečíků s osou x a určete
2x + 5 je její tečna kolmá k ose prvního kvadrantu?
260. Určete koeficienty b, c v rovnici paraboly y = x2 + bx + c tak, aby se dotýkala přímky o rovnici y = x v bodě x0, y0 , x0 = 2. 261. Pod jakým úhlem
se protínají grafy funkcí y = sin x a y = cos x ?
II. 5. Užití derivace, průběh funkce Pro danou funkci najděte lokální extrémy a intervaly, v nichž je funkce ryze monotónní. Určete také, zda je rostoucí nebo klesající. 262. f(x) = x3 6x + 1 263. f(x) = 2x3 + 3x2 36x + 4 264. f(x) = x / (x2 + 1) 265. f(x) = x + x / (x2 1) 266. f(x) = x . ln x 267. f(x) = x2 / (x2 + 1) 268. f(x) = x + e x 269. f(x) = x2 . ex 270. f(x) = ex / (x2 1) 271. f(x) = x . (1 x) Najděte maximum a minimum funkce f na intervalu I a určete, ve kterých bodech funkce těchto hodnot nabývá. 272. f(x) = x3 3x2 9x + 35 , I = 4, 4 273. f(x) = (5 4x) , I = 1, 1 274. f(x) = x2 . ln x , I = 1, e 275. f(x) = x2 + 16 / x 16 , I = 1, 4 276. f(x) = x + 3 . 3 x2 , I = 1, 1 277. f(x) = x2 . ex , I = 3, 1/4 278. f(x) = x3 / (x2 + 1) , I = 2, 3 Najděte lokální i absolutní extrémy následujících funkcí (pokud existují) na jejich definičních oborech. 279. y = x2 / (x 2) 280. y = x3 + x4 / 4 281. y = 2x / (x2 + 1) 282. y = x 3. ln x 2 283. y = x / 2 3x + 2. ln x 284. y = x . ln x + 2 285. y = 2x + e x 286. y = arctg x x / 2 287. y = 3x . (1 x) 288. y = x2 . e x 289. y = (2x x2) 290. y = x / 2 + arctg (1/x)
10
Matematika
Diferenciální počet
Určete, na jakých maximálních intervalech jsou následující funkce konvexní nebo konkávní, a najděte jejich inflexní body. 291. y = x3 5x + 2 292. y = 3x5 40x3 + 10x 5 293. y = x / (1 + x2) 294. y = 2x2 / (1 + x2) 295. y = x2 . ex 296. y = x . ln x + 1 2 297. y = ln (1+ x ) 298. y = x . (2 x) 299. y = arctg x x / 2 300. y = ex x2 Najděte asymptoty následujících funkcí (pokud existují). 301. y = 1 / x + 3 302. y = 3x 1 / (x 2) 2 303. y = x / (x + 5) 304. y = (x3 + 2) / (x2 + 1) 305. y = 2x 1 + e x 306. y = x3 / (2 x2) 307. y = (4x2 + x + 3) 308. y = 2x + 3 + ln (x) / x 309. y = x + ln (x) / (x 2) 310. y = 2x + arctg (x/2)
11
Matematika
Diferenciální počet
Výsledky: 84. omezená zdola, rostoucí 86. omezená, klesající 88. omezená zdola, rostoucí 90. omezená, rostoucí 92. omezená shora, klesající 94. n0 41 95. n0 11 98. 1/2 99. 1 102. + 103. 106. 0 107. 0 110. 1/4 111. 0 114. 0 115. + 118. 5/3, + ) 120. ( , 0) (4, + ) 122. ( 2, 2) (2, 3) (3, + ) 124. ( 4, 0) (0, + ) 126. 0, 1/3) (1/3, 1 128. (0, 25 Výsledky k příkladům č. 130 - 145: Příklad maxM f supM f 130. neexistuje + 131. 8 8 132. neexistuje + 133. neexistuje + 134. 6 6 135. 1 1 136. 3 3 137. neexistuje + 138. neexistuje 6 139. 1/2 1/2 140. neexistuje + 141. 1 + ln 3 1 + ln 3 142. e3 e3 143. neexistuje 2 144. /2 /2 145. neexistuje +
85. 87. 89. 91. 93. 96. 100. 104. 108. 112. 116. 119. 121. 123. 125. 127. 129.
minM f 2 neexistuje neexistuje 0 neexistuje 1 neexistuje 0 2 neexistuje neexistuje 1 neexistuje neexistuje neexistuje 1
146.
a) ( , 0 , f 1 (y) = (y + 1) , D(f 1) = 1, + ) b) 0, + ), f 1 (y) = (y + 1) , D(f 1) = 1, + )
147.
(
148.
a) ( , 3), f 1 (y) = 1/y 3 , D(f 1) = ( , 0) b) ( 3, + ), f 1 (y) = 1/y 3 , D(f 1) = (0, + )
149.
a) ( , 1), f 1 (y) = 1 + 1/(2 y), D(f 1) = (2, + ) b) (1, + ), f 1 (y) = 1 + 1/(2 y), D(f 1) = ( , 2)
150.
(
151.
(
152. 156. 160. 164. 168. 172. 176. 180. 184. 188.
0 1 1/2
3
, + ), f 1 (y) = 2
, + ), f 1 (y) = ln (y2 , 4), f 1 (y) = 4
1 8 1/2 5/3 0 +
y , D(f 1) = (
infM f 2 10 0 0 1 1 1 0 2 0 1 0 0 /2 1
,+ )
3) / 2 , D(f 1) = ( 3, + )
y
e , D(f 1) = (
153. 157. 161. 165. 169. 173. 177. 181. 185. 189.
omezená shora, klesající omezená, není monotónní omezená, klesající omezená, není monotónní neomezená, není monotónní n0 5 97. n0 4 2/3 101. 0 2 105. 0 109. 1 1/2 113. 1/3 neexistuje 117. neexistuje 2, 1) (1, 3) (3, + ) 4, 0, ( 3, 5 3/2, 3/2 ( ,1 2, + ) 1/e, e
1 0 2 2 0 3 1/3 2/ /2 0
,+ ) 154. 158. 162. 166. 170. 174. 178. 182. 186. 190.
12
5 9 0 1/2 2/3 2 1/2 1/2 /2 2
155. 159. 163. 167. 171. 175. 179. 183. 187. 191.
5 2 + 2 3/4 4 1/ 2 0 0
Matematika
192. 193. 194. 195. 196. 197. 198. 199. 200. 202. 204. 206. 208. 210. 212. 214. 216. 217. 218. 219. 220. 221. 222. 224. 226. 228. 230. 232. 234. 236. 238. 240. 242. 244. 246. 248. 250. 252. 254. 256. 257. 258. 259. 262. 263. 264.
Diferenciální počet
( , 0), (0, + ); c = 0, nelze dodefinovat ( , 0), (0, + ); c = 0, d = 1 ( , 0), (0, 2), (2, + ); c1 = 0, nelze dodefinovat, c2 = 2, d2 = 1/2 ( , 1), ( 1, + ); c = 1, d = 1/3 (0, 1), (1, + ); c = 1, nelze dodefinovat ( , 0), (0, + ); c = 0, nelze dodefinovat ( , 0), (0, + ); c = 0, d = 0 ( , ln 2), (ln 2, + ); c = ln 2, nelze dodefinovat 12x 3, x R 201. 35x4 8x3 + 2x, x R 2.(x3+2x2 5x 10).(3x2+4x 5), x R 203. 4.(x2 + 2x + 5).(2x + 2), x R 5 / 2. (5x 3) , x (3/5, + ) 205. x / (x2 + 4) , x R (4x 1) / 2. (2x2 x + 5) , x R 207. 2x / 3.(x2 1)2/3 , x R 1, 1 7 3 (2x + 5) .(18x + 21), x R 209. (x2 4) + (2x 4) / 3.(x2 4)2/3 , x R 2, 2 3/2 2 2 1 / 2.(x 3) , x (3, + ) 211. (x 1) / (x + 1) . (x + 1) , x R 1 3 2/3 2 ( 5x 12) / 3x .(x+2) , x R 2, 0 213. (x+3)/(x+1) / (x+3) , x ( , 3) ( 1, + ) 3.cos 3x , x R 215. (2x + 4).sin (x2 + 4x) , x R 5 / cos2 (5x) , x ( /10 + k. /5, /10 + k. /5), k celé (6x2 + 12x). sin (x3 + 3x2 1). cos (x3 + 3x2 1) , x R 6.cotg 3x / sin2 (3x) , x (k. /3, (k+1). /3), k celé cos (1/x) / x2 , x ( , 0) (0, + ) cos2 x / (2. x) 2. x . cos x . sin x , x (0, + ) (1 + cos x) / 2. (1 + x + sin x) , x (x0, + ), x0 je řešení rovnice 1 + x + sin x = 0 1 / (4x x2 3) , x (1, 3) 223. 2x / (1 x4) , x ( 1, 1) 2.arctg (5 x) / (x2 10x + 26) , x R 225. 1 / 2. ( x x2) , x ( 1, 0) 1 / 2. x . (1 + x) , x (0, + ) 227. 1 / 1 + (x 4)2 , x ( , 4) (4, + ) 3.e3x+1 , x R 229. (10x 2) . exp (5x2 2x + 1) , x R 2. exp ( 1/x2) / x3 , x R 0 231. 1 / 2ex . (e x 2) , x ( , ln 2) 3x 3. 2 . ln 2 , x R 233. (6 1/x2) . ln 5 . 5(6x + 1/x) , x R 0 1 / x , x (0, ) 235. (2x + 3) / (x2 + 3x 4) , x ( , 4) (1, + ) 2 1 / (1 + x ) , x R 237. 1 / (x . ln x) , x (1, + ) 5x (2x) . (5. ln 2x + 5) , x (0, + ) 239. (x2 + 1)3x . 3. ln (x2 + 1) + 6x2 / (x2 + 1) , x R 3. cos 3x / (sin 3x + 2) , x R 241. e3x . (x2 + 1) . (3x2 + 4x + 3) , x R e2x . (2. sin 5x + 5. cos 5x) , x R 243. e x . 2x . cos (x2 + 1) sin (x2 + 1) , x R 9. sin (3x + 1) , x R 245. 2. cos 2x , x R (1 + x2) 3/2 , x R 247. 2. sin x / cos3 x , x /2 + k , k celé 2 x 3 (x 4x + 2) . e , x R 249. 4 / (1 x) , x R 1 24 / (2x + 1)4 , x R 1/2 251. x / (4 x2)3/2 , x ( 2, 2) t: y = 4x 4 , n: y = 9/2 x/4 253. t: y = x , n: y = x t: y = 2 x/2 , n: y = 2x 3 255. t: y = 1/2 + 5x/4 , n: y = 1/2 4x/5 t: y = 5.x / 8 1/8 , n: y = 17/2 8.x / 5 t: y = 1/4 + ln 2 . (x + 2) / 4 , n: y = 1/4 4 . (x + 2) / ln 2 t1 : y = 4x , t2 : y = 16 4x , = arccos (15/17) T = 1/2, 17/4 , t: y = 19/4 x 260. b = 3, c = 4 261. = arccos (1/3) rostoucí v ( , 2 a 2, + ), klesající v 2, 2 , lok. max. y = 1+ 4 2 pro x = 2 , lok. min. y = 1 4 2 pro x = 2 rostoucí v ( , 3 a 2, + ), klesající v 3, 2 , lok. max. y = 85 pro x = 3, lok. min. y = 40 pro x = 2 rostoucí v 1, 1 , klesající v ( , 1 a 1, + ), lok. max. y = 1/2 pro x = 1, lok. min. y = 1/2 pro x = 1
13
Matematika 265. 266. 267. 268. 269. 270. 271. 272. 274. 276. 278. 279. 280. 281. 282. 283. 284. 285. 286. 287. 288. 289. 290. 291. 292. 293. 294. 295. 296. 297. 298. 299. 300. 301. 302. 303. 304. 305. 306. 307. 308. 309. 310.
Diferenciální počet
rostoucí v ( , 3 a 3, + ), klesající v 3, 1), ( 1, 1) a (1, 3 , lok. max. y = 3. 3 / 2 pro x = 3 , lok. min. y = 3. 3 / 2 pro x = 3 rostoucí v 1/e, + ), klesající v (0, 1/e , lok. min. y = 1/e pro x = 1/e rostoucí v 0, + ), klesající v ( , 0 , lok. min. y = 0 pro x = 0 rostoucí v 0, + ), klesající v ( , 0 , lok. min. y = 1 pro x = 0 rostoucí v ( , 2 a 0, + ), klesající v 2, 0 , lok. max. y = 4e−2 pro x = 2, lok. min. y = 0 pro x = 0 rostoucí v ( , 1), ( 1, 1 2 a 1+ 2, + ), klesající v 1 2, 1) a (1, 1+ 2 , lok. max. y = exp(1 2) / (2 2 2) pro x = 1 2, lok. min. y = exp(1+ 2) / (2+2 2) pro x = 1+ 2 rostoucí v ( , 2/3 , klesající v 2/3, 1 , lok. max. y = 2. 3 / 9 pro x = 2/3, lok. min. y = 0 pro x = 1 max f = f( 1) = 40, min f = f( 4) = 41 273. max f = f( 1) = 3, min f = f(1) = 1 max f = f(e) = e2 , min f = f(1) = 0 275. max f = f(4) = 4, min f = f(2) = 4 max f = f(1) = 4, min f = f(0) = 0 277. max f = f( 2) = 1/e , min f = f(0) = 0 max f = f(3) = 27/10 , min f = f( 2) = 8/5 lok. max. y = 0 pro x = 0, lok. min. y = 8 pro x = 4 abs. min. y = 27/4 pro x = 3 abs. max. y = 1 pro x = 1, abs. min. y = 1 pro x = 1 abs. min. y = 3 3. ln 3 pro x = 3 lok. max. y = 5/2 pro x = 1, lok. min. y = 2. ln 2 4 pro x = 2 abs. min. y = 2 1/e pro x = 1/e abs. min. y = 2 2. ln 2 pro x = ln 2 lok. max. y = /4 1/2 pro x = 1, lok. min. y = 1/2 /4 pro x = 1 abs. max. y = 2. 3 / 3 pro x = 2/3 , lok. min. y = 0 pro x = 1 lok. max. y = 4.e 2 pro x = 2, abs. min. y = 0 pro x = 0 abs. max. y = 1 pro x = 1, abs. min. y = 0 pro x = 0, x = 2 lok. max. y = /4 1/2 pro x = 1, lok. min. y = /4 + 1/2 pro x = 1 konvexní na 0, + ) , konkávní na ( , 0 , inflexní bod 0 konvexní na 2, 0 a 2, + ) , konkávní na ( , 2 a 0, 2 , inflexní body 2, 0, 2 konvexní na 3, 0 a 3, + ) , konkávní na ( , 3 a 0, 3 , inflexní body 3, 0, 3 konvexní na 3/3, 3/3 , konkávní na ( , 3/3 a 3/3, + ) , inflexní body 3/3, 3/3 konvexní na ( , 2 2 a 2+ 2, + ) , konkávní na 2 2, 2+ 2 , inflexní body 2 2 konvexní na (0, + ) , nemá inflexní body konvexní na 1, 1 , konkávní na ( , 1 a 1, + ) , inflexní body 1, 1 konkávní na ( , 2 , nemá inflexní body konvexní na ( , 0 , konkávní na 0, + ) , inflexní bod 0 konvexní na ln 2, + ) , konkávní na ( , ln 2 , inflexní bod x = ln 2 svislá asymptota x = 0 , šikmé asymptoty y = 3 pro x svislá asymptota x = 2 , šikmé asymptoty y = 3x pro x šikmé asymptoty y = 0 pro x šikmé asymptoty y = x pro x šikmé asymptoty y = 2x 1 pro x + svislé asymptoty x = 2 , x = 2 , šikmé asymptoty y = x pro x šikmé asymptoty y = 2x 1/4 pro x , y = 2x + 1/4 pro x + svislá asymptota x = 0 , šikmá asymptota y = 2x + 3 pro x + svislé asymptoty x = 0 , x = 2 , šikmá asymptota y = x pro x + šikmé asymptoty y = 2x /2 pro x , y = 2x + /2 pro x +
14
