-1-
Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia 1) Pojem funkce, základní pojmy 2) Grafy funkcí, druhy funkcí 3) Druhy funkcí – lineární, lomená 4) Kvadratická funkce, mocninné funkce 5) Exponenciální funkce 6) Logaritmická funkce 7) Vlastnosti logaritmů, pravidla pro počítání s logaritmy 8) Exponenciální rovnice 9) Logaritmické rovnice 10) Doplnění, shrnutí a opakování učiva 1. pololetí 11) Řešení pravoúhlého trojúhelníka 12) Goniometrické funkce ostrého úhlu 13) Obecný úhel, oblouková a stupňová míra 14) Goniometrické funkce v oboru reálných čísel 15) Úpravy goniometrických výrazů 16) Goniometrické rovnice a jejich řešení 17) Geometrické rovnice – metoda substituce 18) Řešení obecného trojúhelníka – sinová věta 19) Řešení obecného trojúhelníka – kosinová věta 20) Doplnění, shrnutí a opakování učiva 2. pololetí Vyučuje: RNDr. Věra Schuhová Zkoušení z matematiky na konci každého pololetí se skládá z písemného testu – doba trvání asi 45 minut - a následného ústního zkoušení. Absolvování písemného testu je nutnou podmínkou k tomu, aby student mohl vykonat ústní zkoušku, k níž se dostaví osobně a přinese si studijní průkaz . Teprve po jejím absolvování může být klasifikován z matematiky.
Doporučená literatura (pro celé studium): ( 1 ) MATEMATIKA - přehled středoškolského studia, edice Maturita(N. Kubešová, E.Cibulková) ( 2 ) ODMATURUJ Z MATEMATIKY – nakladatelství Didaktik 1. díl – rozsáhleji je zde teorie, pěkné, doporučuji hlavně pro ty, kteří uvažují o maturitě z matematiky ( 3 ) Matematika v kostce pro střední školy (Z. Vošický) ( 4 ) Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU (kol. autorů-Odvárko, Calda,..)– 1.–6. část, určeno spíše pro denní studium ( 5 ) MFCH Tabulky pro střední školy ( 6 ) Matematika pro netechnické obory SOU 1. – 4. díl – kolektiv autorů dále existují různé sbírky úloh k probírané tematice, řešené příklady i teorii lze hledat i na internetu (matematika po lopatě, matematika on line atd.)
-2-
1. pololetí Funkce je předpis, který ke každému číslu x (argument neboli nezávisle proměnná) z definičního oboru funkce D(f) přiřazuje jediné číslo y (závisle proměnná neboli hodnota funkce) z množiny funkčních hodnot H(f). Funkce se zadává rovnicí (funkčním předpisem), tabulkou, grafem x y Sloupce v tabulce jsou souřadnice jednotlivých bodů grafu, x si volíme, y počítáme podle rovnice funkce. Znalost vynesení bodů do grafu = základní škola ( viz také doporučená literatura) Graf funkce je množina bodů [x;y], kde y = f(x). Grafy se znázorňují v pravoúhlé soustavě souřadnic, osa x je rovnoběžná, orientovaná zleva doprava, osa y je svislá, orientovaná zdola nahoru. Průsečík je počátek souřadnic [0;0]. Osy rozdělují rovinu na čtyři kvadranty číslované proti směru hodinových ručiček
II I III IV Př. Zkuste si určit znaménka bodů v jednotlivých kvadrantech Lineární funkce je dána rovnicí y = ax + b, kde a, b ∈ R, a ≠ 0, D(f) = R. Grafem je přímka, která neprochází (pro b ≠ 0) počátkem souřadnic a není rovnoběžná s osou y. Pro b = 0 přímka prochází počátkem ( funkce se pak nazývá přímá úměrnost). Pokud je přímka rovnoběžná s osou x ve vzdálenosti b, jedná se o konstantní funkci y = b (a = 0, b ≠ 0). Osa x má rovnici y = 0, osa y má rovnici x = 0 Poznámka: přímka rovnoběžná s osou y by nemohla být grafem žádné funkce, protože by nesplňovala obecnou definici funkce Grafem lineární funkce je tedy přímka, k sestrojení přímky stačí dva různé body Koeficient a určuje směr přímky, koeficient b určuje úsek na ose y, kde přímka protíná osu y Je-li a > 0, je přímka rostoucí ( směrový úhel je ostrý ), je-li a < 0, je přímka klesající (směrový úhel je tupý) Příklady: 1) Graf lineární funkce prochází body A [-2;1], B[1;-2]. Zapište rovnici této funkce Řešení: y = ax + b → 1 = -2a + b →soustava rovnic, druhou vynásobíme 2, sečteme, -2 = a + b/.2 dostaneme -3 = 3b → b = -1, dosadíme do druhé z rovnic a spočítáme a = -1 → funkce má tedy rovnici y = -x - 1 1 2) Funkce má předpis y = x + 3 . Vypočítejte chybějící souřadnici bodu D[-2;…], leží-li na 4 grafu této funkce. 1 2 1 Řešení: dosadíme do rovnice za x a spočítáme y, tj. y = (−2) + 3 = − + 3 = 2 4 4 2 3) Funkce je určena rovnicí y = 3x – 2. Vypočítejte zbývající souřadnice bodů A [-2; ], B[ ;10]. Řešení: dosazením za x: y = 3.(-2) – 2 = -8 pro bod A, dosazením za y: 10 = 3x – 2 a výpočtem dostaneme x = 4 pro bod B 4)Funkce má rovnici y = -3x + 9. Vypočítej souřadnice průsečíků této funkce se souřadnými osami.
-3řešení: každý průsečík s osou x má vždy druhou souřadnici rovnou 0, každý průsečík s osou y má vždy první souřadnici rovnou 0, proto podle toho dosadíme a spočítáme, tj. bod X: 0 = -3x + 9 → x = 3 X[3;0] bod Y: y = -3.0 + 9 → y = 9 Y[0;9] Další příklady: Neúplně určená rovnice lineární funkce má tvar y = ax +6. Určete průsečíky s osami souřadnic, víte-li, že graf prochází bodem A[2;-6] (nejprve spočítat a, pak podle př. 4) Vypočítejte souřadnice průsečíku dvou lineárních funkcí daných rovnicemi y = 3x + 5, y = 4x – 1 ( řešíme jako soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých – např. sčítací metodou nebo graficky ) atd.
Kvadratická funkce je dána rovnicí y = ax2 + bx + c, kde a,b,c jsou libovolná reálná čísla, a ≠ 0. Grafem je parabola, jejíž osa je rovnoběžná s osou y. Je-li a > 0, je parabola tvaru U a y-ová souřadnice vrcholu paraboly je minimem funkce, je-li a < 0, je parabola tvaru I a y-ová souřadnice jejího vrcholu je maximem. Souřadnice vrcholu paraboly se dají spočítat: b b 2 − 4ac V = [ - ,− ]. (grafy viz doporučená literatura) a 4a Zkuste si načrtnout parabolu a popsat, kdy je rostoucí a kdy je klesající Jednoduchá kvadratická funkce je dána rovnicí y = ax2, její vrchol leží v počátku souřadnic, tj. má souřadnice V = [0 , 0] . Kvadratické funkce dané rovnicí y = ax2 + c mají vrchol posunutý po ose y vzhledem ke grafu funkce y = ax2, tj. V = [0 , c]. Hledat průsečíky grafu kvadratické funkce s vodorovnou osou x je vlastně totéž jako řešit kvadratické rovnice ( látka 1. ročníku / 2. pololetí - zopakovat ) Průsečíky mohou být buď dva (osa x je sečnou paraboly) nebo jeden ( osa x je tečnou) nebo nebo žádný (osa x parabolu vůbec neprotne) Průsečík s osou y je vždy jeden: Y= [0;c] Příklady užití KF: obsah kruhu, objem válce, dráha volného pádu, závislost výkonu na proudu Příklad: 1) Kvadratická funkce je dána rovnicí y = x2 – 2x – 3. Určete souřadnice jejího vrcholu V, průsečíků s osou x X1, X2 a s osou y Y, sestrojte tabulku a načrtněte a popište její graf 16 − 2b řešení: V − = 1,− = −4 = [1,−4] , X1[ 3 ; 0] , X2[ -1 ; 0] , Y[0; -3 ] 4 2 2 x -2x -3 = 0 D = b2 – 4ac = (-2)2 -4.1.(-3) = 4 + 12 = 16, D je kladný, existují tedy dva průsečíky 2 ± 16 6 −2 s osou x: x = = = 3nebo = −1 jsou jejich x-ové souřadnice 2 2 2 Je-li x = 0 (průsečík s osou y), dosadíme do rovnice a y = -3 Náčrt grafu na konzultaci Další příklady pro studenty: 2) y = x2 + 9x + 14 3) y = 2x2– 14x + 20 4) y = -x2 - 3x + 10 5) y = x2 – 4 6) y = x2 + 2x + 1
-47) y = x2 – 4x + 4 8) Porovnej grafy y = x2 , y = x2 – 3, y = x2 + 1
Exponenciální a logaritmická funkce (1) (2) (3) (4)
str. 70 – kap. 6.6 str. 72 – kap. 6.8 str. 79-82 – kap. 18 str. 38 – kap. 5.6 3. část - str. 42 – kap. 1.6, 1.8, 1.9, 1.10
Definice: Exponenciální funkce je dána rovnicí y = ax , kde a > 0, a ≠ 1, a ∈ R. D(f) = R, H(f) = R+ = (0, + ∞ ). Grafem této funkce je křivka zvaná exponenciála. Vlastnosti: 1) Exponenciální křivka má různý průběh pro a > 1 a pro 1 > a > 0 (grafy viz doporučená literatura) 2) Všechny exponenciální křivky procházejí jedním bodem, a to bodem [0;1] 3) Pro a > 1 je exponenciální funkce rostoucí v celém D(f) 4) Pro 1 > a > 0 je funkce klesající v celém D(f) 5) Funkce je definována pro všechna reálná čísla, ale nabývá vždy pouze kladných hodnot, tj. celý graf leží nad osou x 6) Pro všechna a > 1 platí: je-li x > 0, je ax > 1, je-li x < 0, je ax < 1, je-li x = 0, je ax = 1 7) Pro 1 > a > 0 platí: je-li x > 0, je ax < 1, je-li x < 0, je ax > 1, je-li x = 0, je ax =1 8) Exponenciální funkce je spojitá v celém D(f) 9) Je to funkce prostá, tj. pro všechna x ∈ D(f) platí: je-li x1 ≠ x2, je také f(x1) ≠ f(x2). Existuje k ní tedy inverzní funkce zvaná logaritmická. 10) Exponenciální funkce není sudá ani lichá. 11) Je to funkce omezená zdola osou x, tj. hodnotou 0 neboli pro všechna x ∈ D(f) platí, že f(x)> 0 12) Pro všechna přípustná a ∈ R platí: je-li a x1 = a x2 , je to právě když x1 = x2 → důležité pro řešení exponenciálních rovnic. Definice: Logaritmická funkce je dána rovnicí y = logax, kde a > 0, a ≠ 1, a ∈ R. D(f) = R+, H(f) = R Funkční hodnoty se nazývají logaritmy. Grafem této funkce je logaritmická křivka. Vlastnosti: 1) Logaritmická křivka má různý průběh pro a > 1 a pro 1 > a > 0 (grafy viz doporučená literatura) 2) Všechny logaritmické křivky procházejí jedním bodem, a to bodem [1;0] 3) Pro a > 1 je funkce rostoucí v celém D(f).
-54) 5)
Pro 1 > a > 0 je funkce klesající v celém D(f). Funkce je definována pouze pro kladné hodnoty x, ale nabývá všech reálných hodnot, tj. celý graf leží vpravo od osy y. 6) Logaritmická funkce je spojitá v celém D(f). 7) Je to funkce prostá a tedy k ní existuje inverzní funkce zvaná exponenciální. 8) Funkce není sudá ani lichá. 9) Funkce není omezená ani zdola ani shora. 10) Pro všechna přípustná a ∈ R platí: je-li logax1 = logax2 , je to právě když x1 = x2. Pro všechna přípustná a, x, y tedy platí: y = logax právě když ay = x Pravidla pro počítání s logaritmy ( platí pro všechny přípustné hodnoty a, x, y, n) loga1 = 0 logaa = 1 loga xy = logax + logax logaxn = n logax x loga = logax - logay y 1 loga n x = logax n pravidlo pro převod logaritmu o jiném základu: log b a =
log c a log c b
Logaritmus, jehož základ a = 10, se nazývá dekadický a je zvykem vynechat v zápisu základ, tj. zapisujeme pouze y = log x. Poznámka: tzv. přirozený logaritmus je ten, který má za základ Eulerovo číslo ln a ( e =2,718) – značí se ln x – možný přepis log a = ln 10 Některé výpočty logaritmů: log 2 32 = 5 log 0,01 = -2 log 5 625 = 4 1 log 2 = -4 16
protože 25 = 32 10-2 = 0,01 54 = 625 1 2-4 = 16
log 2 x = 5
→ x = 25 = 32
log 3 x = 4
→ x = 34 = 81
log 3 x = -2 →
x = 3-2 =
1 9
log x = 0 → x = 100 = 1 log -2 x = neexistuje (-2< 0)
log 3 27 = 3 protože 33 = 27 log 2 16 = 4 42 = 16 log 4 16 = 2 24 = 16 log (-1 000) není řešení protože 23 = 8 1 1 log 1 x = 4 → x = ( ) 4 = 2 16 2 1 log 1 x = −4 → x = ( ) -4 = 16 2 2
log 2 x = 3 → x = 8
log a1 000 = 3 → a = 10 protože 103 = 1 000 log a 0,0001 = -4 → a = 10 protože 10-4 = 0,0001
atd. Příklady: Zlogaritmujte výrazy: - použijte pravidla pro počítání s logaritmy –
-6xy 2 = 3z 5 5x 2 y
log log
z
=
x 4 ( x + y)
log
3
log
3
[log x + 2log y – log 3 – 5log z]
y
2
[log 5 + 2 log x +
=
1000 x 3 y 4 = ( x + y) 2
1 log y – 3 log z] 2
[4log x + log (x + y) -
2 log y] 3
[ 3 + 3log x + 4log y -2log(x + y) ]
atd.
Odlogaritmujte: 2log a + 4log b – log 3 – 3log c = 3log n – 4log(n + 1) + 2 -
log a +
1 log m = 2
1 1 log d – log b - log c = 3 4
[log [ log
[ log
a 2b 4 ] 3c 3 n 3 .100
( n +) 4 . m a.3 d b.4 c
]
atd. ]
Příklady na určování D(f) – důležité z hlediska teorie a z hlediska následného řešení logaritmických rovnic Určete D(f) daných funkcí: 1) y = log(x + 2) → x + 2 > 0 → x > -2, tj. D(f) = (-2 ; +∞) y = log(x – 3) + log(x + 1) → x > 3 a současně x > -1, tj. D(f) = (3 ; +∞) 2) 2− x 3) y = log → 2-x > 0 a současně 3+x > 0 → 2 > x a současně x > -3, 3+ x tj. D(f) = (-3 ; 2), ale musíme také prověřit 2 – x < 0 a současně 3 + x < 0 → 2 < x a současně x < -3, tj. D(f) = Ø, takže platí pouze D(f) = (-3 ; 2) 2 1 x −1 4) y = log 2 → x2 + 1> 0 vždy, x2 -1>0, tj. (x + 1).(x – 1) > 0 → 4 x +1 D(f) = (-∞; -1) ∪ ( 1;+∞)
5)
y = 10x + 2x → exp. funkce , tj. nemusíme určovat D(f), ten je celé R
další příklady viz doporučená literatura
Logaritmické a exponenciální rovnice (1) (2) (3)
str. 71 – kap. 6.7, str. 74 – kap. 6.9 str. 82-84 – kap. 18 str. 41 – kap. 5.6
-7(4)
3. část – str. 42 – kap. 1.7, 1.11
Exponenciální rovnice: obsahují neznámou v exponentu 2 3x-2 = 128 → 128 = 27 → 3x – 2 = 7 → 3x = 9 → x = 3 1 4 2) 2 4x . 2 x = → 2 4x + x = 2 -4 →5x = -4 → x = − 16 5 3) 3 3 . 27 2x-3 = 81 3x-5 → 3 3 + 3(2x-3) = 3 4(3x-5) → 3 + 6x – 9 = 12x – 20 → 7 3 – 9 + 20 = 12x – 6x → 14 = 6x → x = 3 2 0 x 2 −5 x + 6 2 = 1 → x -5x + 6 = 0 (protože 2 = 1) → vyřešíme tuto kvadratickou 4) rovnici, jejím řešením jsou čísla 3 , 2 a ta jsou i řešením původní exp. rovnice 5) 5 x+1 + 5 x+2 = 750 → 5x .5 + 5 x . 52 = 750 → 5x .(5 + 25) = 750 → 5x.30 = 750 ( dělíme číslem 30) → 5x = 25 → x = 2 10 10 10 6) 4.3x + 2.3 x+1 = → 3x(4 + 2.3) = → 3x.10 = → 3x = 3-1 → x = -1 3 3 3 1 1 atd. 7) = 125 → 5-3x+2 = 53 → -3x + 2 = 3 → -3x = -1 → x = 3x−2 3 5 poznámka: nemusíme se většinou zabývat stanovováním D)f) 1)
Logaritmické rovnice: obsahují neznámou buď jako logaritmovaný výraz nebo jako základ logaritmu.Používáme často metodu substituce buď za argument nebo za funkční hodnotu. Nesmíme zapomínat na určení D(f). 1) log2 x = 5 → x = 32 , D(f): x > 0 1 2) log( x + 5) = 1 → log (x + 5) = log 100 → x + 5 = 100 → x = 95, D(f): x > -5 2 3) 2.log(3x-2) = log(x + 4) → (3x – 2)2 = x + 4 → 9x2 – 12x + 4 = x + 4 → 9 9x2 – 13x = 0 → x.(9x – 13) = 0 → x = 0 nebo x = , 13 2 D(f): 3x – 2 > 0, tj. x > , x + 4 > 0, tj. x > -4 → 3 9 platí pouze řešení x = 13 2 log( x + 8) 4) = 2 → log(x2 + 8) =2.log(x + 2) → x2 + 8 = (x + 2)2 → log( x + 2) x2 + 8 = x2 + 4x + 4 → 4 = 4x → x = 1, D(f): x > -2, x ≠ -1 5x − 3 5) log3(5x -3) – log3(2 + x) = log34 → log3 = log 3 4 → 5x – 3 = 4(2 + x) → 2+ x 3 5x – 3 = 8 + 4x → x = 11, D(f): x > , (x >-2) 5 12 6) log x + = 8 → log2x + 12 = 8.log x → log2x – 8.log x + 12 = 0 → log x substituce za log x → y2 – 8y + 12 = 0 → řešením této kvadratické rovnice jsou čísla 6 a 2 , log x = 6 →
-8x1 = 1 000 000, log x = 2 → x2 = 100 , D(f): x > 0, x ≠ 1 7)
31+ log x = 81 → 31+ log x = 3 4 → 1 + log x = 4 → log x = 3 → x = 1 000, D(f): x > 0
8)
log
3x − 5 3x − 5 = 4 → 3x – 5 = 4.(x – 1) → 3x – 5 = 4x – 4 → = log 4 → x −1 x −1 5 x = -1 , D(f): x > , x > 1 → rovnice nemá řešení atd. 3
Další příklady: Řešte exponenciální rovnice: 2 3-x = 32 3 x+1 + 3 x-2 = 36 2 2x - 9.2 x + 8 = 0 3.5 x + 2 – 2.5 x = 9.125, 4 x – 4 x-1 = 192 Řešte logaritmické rovnice: x 3-logx = 100 log2x + 8.log x + 16 = 0 2 x −6 log 36 = 2− 4 x log 6 2
log( x 2 + 5) =2 log(7 − x) log(x2 + 5) = 2.log(3-x) 2log(x-2) = 0 1 log(3x − 11) = log( x − 5) 2 log 3 – log(x + 1) + log x = log(x – 1) + log 2 3 log x + =4 log x log(x2 – x – 4) – log(x + 4) = 0 log2x – log x – 6 = 0
další příklady viz doporučená literatura
-9-
2. pololetí
Základy geometrie, Řešení pravoúhlého trojúhelníka (1) (2)
(3) (4)
str. 88 – kap.8 – základní pojmy - .1.3, 8.1.4, 8.1.5, 8.1.6 str. 112 – kap.9 – základní pojmy – 9.3.1 str.114-117, 123 – kap.25 – základní pojmy str. 125 – kap.26 – zákl. pojmy str.129 – kap.27 – zákl. pojmy str.147 – kap.31 – zákl. pojmy str.57 – kap. 7 – 7.3, 7.4, 7.5, 7.9, 7.10 1. část - str.130 – kap. 4.1, 4.2, 4.3 3. část – str. 125 – kap. 2.10
Základní pojmy: bod…………..A, B, C, …. přímka, úsečka, strana ……….a, b, c, …… výška ……..v, úhlopříčka ……..u, střední příčka …….s, těžnice …….t vnitřní úhly: α (u vrcholu A), β (u vrcholu B), γ (u vrcholu C) Kruh: o = 2πr , S = πr2 Čtyřúhelníky: čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník, lichoběžník Obvod (o) a obsah (S) těchto čtyřúhelníků: čtverec: o = 4a , S = a2 obdélník: o = 2.(a + b), S = a.b (a + c).v lichoběžník: o = a + b + c + d , S = 2 Trojúhelníky: rovnostranný, rovnoramenný, obecný ostroúhlý, tupoúhlý, pravoúhlý a.v a b.vb c.vc 1 o = a + b + c, S = = = , S = ab sin γ (cyklická záměna) atd. 2 2 2 2 a.b pravoúhlý ∆ ABC: S = , kde a, b ….odvěsny 2 pojmy: výška, těžnice, těžiště, střední příčka součet vnitřních úhlů trojúhelníka: α + β + γ = 180° V pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta: a2 + b2 = c2 , kde a, b jsou odvěsny (strany, které tvoří pravý úhel), c je přepona (nejdelší strana v trojúhelníku) základní geometrická tělesa: krychle, kvádr, hranol, jehlan válec, kužel, koule vzorce pro povrch ( S-jednotky: m2, dm2, cm2,… ) a objem ( V- jednotky: m3, dm3, cm3,… ) těles – viz literatura, resp. tabulky kg kg g , 3 hmotnost těles m – jednotky: kg, g, q, t atd. , hustota materiálu ρ - jednotky: 3 , 3 m dm cm
- 10 platí, že m = ρ.V další teorie - viz literatura, resp. tabulky příklady: V pravoúhlém trojúhelníku ABC je dáno: a) a = 60 cm, b = 84 cm. Vypočítejte c, o, S. b) a = 43 cm, c = 99 cm. Vypočítejte b, o, S. a.b návod: a) c = a 2 + b 2 , o = a + b + c, S = 2 a.b b) b = c 2 − a 2 , o = a + b + c, S = 2
další příklady viz doporučená literatura
Goniometrické funkce ostrého úhlu ( 1 ) str. 85 – kap. 7.7 ( 2 ) str. 95 – kap. 19 ( 3 ) str. 44 – kap. 6.3 ( 4 ) 1. část – str. 134 – kap. 4.2
Úhly v trojúhelníku ABC jsou dány buď ve stupňové míře nebo v obloukové míře – zavedení viz literatura π π π π Platí, že 360° = 2π → 180° = π, 90° = , 45° = , 30° = , 60° = , 2 6 3 4 2π 5π 120° = , 150° = atd. 3 3 V pravoúhlém trojúhelníku ABC jsou zavedeny goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens vždy jako poměr příslušných dvou stran daného trojúhelníka ( c – přepona a, b - odvěsny: a….protilehlá odvěsna k úhlu α , b….přilehlá odvěsna k úhlu α a….přilehlá odvěsna k úhlu β a….protilehlá odvěsna k úhlu β Zavedení funkcí v pravoúhlém trojúhelníku: a b a b sin α = , cos α = , tg α = , cotg α = c c b a sin β =
b a b a , cos β = , tg β = , cotg β = c c a b
Vyřešit pravoúhlý trojúhelník znamená vypočítat délky všech tří stran a, b, c , velikosti všech vnitřních úhlů α , β, γ , resp. obvod a obsah ∆.
Příklady:
- 11 1)
V R-∆ABC je dáno: c = 1,3 dm, α = 60° . Vypočítejte úhel β , délky stran a, b , obvod a obsah ∆ABC. a Návod: β = 90° - α = 30°, sinα = → a = c. sinα , sinα = 0,866 - najdete c v pomocné tabulce (*) nebo v tabulkách nebo na kalkulačce, a = 1,3 . 0,866 = 1,1 dm, b pomocí buď Pythagorovy věty nebo pomocí funkce cosα (= 0,500), a.b , podobně zkuste i ostatní příklady o=a+b+c,S= 2
2)
V R- ∆ABC je dáno: a = 4 cm, b = 30 mm. Určete přeponu c, úhly α , β , obvod a obsah ∆.
3)
Určete sin 60°, cos 45°, tg 30°, cotg 53°, atd. – použijte pomocnou tabulku , kalkulačku, tabulky 2 Určete úhel α , je-li sin α = 0,500, cos α = , tg α = 3 , cotg α = 1, atd. – 2 použijte pomocnou tabulku, kalkulačku, tabulky
4)
5)
Převeďte úhly 15°, 75°, 270°, 120°, 150°, 135°, atd. do obloukové míry, tj. pomocí π
Pomocná tabulka (*)
π
π
π
π
π
0°
6 30°
4 45°
3 60°
2 90°
sin α
0
1 = 0,5 2
2 = 0,707 2
cos α
1
3 = 0,866 2
2 = 0,707 2
3 = 0,866 2 1 = 0,5 2
tg α
0
3 = 0,577 3
1
cotg α
☻
3 = 1,732
1
α
0
180°
3π 2 270°
360°
1
0
-1
0
0
-1
0
1
3 = 1,732
☻
0
☻
0
3 = 0,577 3
0
☻
0
☻
další příklady viz literatura
2π
- 12 -
Goniometrické funkce obecného úhlu, tj. v oboru reálných čísel ( 1 ) str. 76 – kap. 7.1, 7.2, 7.3, 7.4 ( 2 ) str. 85-92 – kap. 19 ( 3 ) str. 43 – kap. 6.1, 6.2, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7 ( 4 ) 3. část - str. 75 – kap. 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8, 2.9 obecný, resp. orientovaný úhel – zavedení a definice viz literatura každý obecný úhel lze vyjádřit pomocí jeho základní velikosti α0, což je úhel z intervalu 0,2π ) : α = α0 + 2kπ (α = α0 + k.360° ) Platí, že sin α = sin α0 ( platí i pro všechny ostatní goniometrické funkce ). I. kvadrant. ….. (0 , II. kvadrant…… (
π 2
III. kvadrant …. ( π , IV. kvadrant …. (
π
2
) = (0°, 90°)
, π ) = (90° , 180°) 3π ) = (180°, 270°) 2
3π ,2π ) = (270°, 360°) 2
Příklad řešený: Určete základní velikost úhlu: 780° = 2.360° + 60° 1 230° = 3.360° + 150° 1 690° = 4.360° + 250° 2 110° = 5.360° + 310°
-170° = -1.360° + 190° -1 140° = -4.360° + 300° -290° = -1.360° + 70°
5π = 2.2π + π 11 3π π = 2.2π + 2 2
-5π = -3.2π + π 11 π - π = −3.2π + 2 2
11 3π π = 2π + 4 4
-
11 5π π = −2.2π + 4 4
atd.
Zavedení funkcí obecného úhlu φ se dělá pomocí jednotkové kružnice (viz literatura) Funkce sinus φ je zavedena jako y-ová souřadnice bodu M, což je průsečík jednotkové kružnice a koncového ramene základní velikosti příslušného úhlu. Funkce kosinus φ je zavedena jako x-ová souřadnice bodu M. Funkce tangens φ je zavedena jako poměr y-ové a x-ové souřadnice bodu M, pokud x-ová souřadnice bodu M (tj. cos φ) není rovna 0. Funkce kotangens φ je zavedena jako poměr x-ové a y-ové souřadnice bodu M, pokud y-ová souřadnice bodu M (tj. sin φ) není rovna 0. Platí to i ve všech ostatních kvadrantech (podrobněji v doporučené literatuře)
- 13 V ostatních kvadrantech se ale musí přepočítávat pomocný úhel, jehož funkci pak můžeme stanovit v tabulkách. Je nutné také v jednotlivých kvadrantech stanovit znaménka jednotlivých goniometrických funkcí. kvadrant/funkce sin cos tg cotg I + + + + II + III + + IV + I. kvadrant - φ II. kvadrant - 180° - α = φ III. kvadrant - 180° + α = φ IV. kvadrant - 360° - α = φ Např. 150° = 180° - 30° → sin 150° = sin 30° → cos 150° = -cos 30° → podobně tg, cotg 210° = 180° + 30° → sin 210° = -sin 30° → cos 210° = -cos 30° → - ″- ″330° = 360° - 30° → sin 330° = -sin 30° → cos 330° = cos 30° →
atd.
Příklady Urči kvadrant, znaménko funkce, případně hodnotu: sin 240° , cos (-60°) , tg 135° , cotg 215° , cos 855° , sin (-405°) , ………. 7π 5π 15π 5π sin , cos , tg , cotg , ……… 3 3 6 4
Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi: sin x cos x tg x = cosx ≠ 0, cotg x = sinx ≠ 0, sin2 x + cos2 x = 1 , tg x. cotg x = 1 , cos x sin x sin 2x = 2sin x cos x , cos 2x = cos2 x – sin2 x …….. atd. další vztahy jsou v tabulkách Funkce sin, tg, cotg jsou tzv. liché funkce tj. sin (-x) = -sin x , tg (-x) = tg x , cotg (-x) = cotg x Funkce cos je sudá, tj. cos (-x) = cos x Goniometrické funkce jsou periodické, tj. jejich hodnoty se pravidelně opakují – perioda funkcí sin, cos je 2π neboli 360° , perioda funkcí tg, cotg je poloviční, tj. π neboli 180° .
Definice goniometrických funkcí: Funkce y = sin x je definována pro všechna x ∈ R a nabývá hodnot od -1 do 1, tj. D(f) = R, H(f) = − 1,1 . Je to funkce periodická s periodou 2π , spojitá v celém R, rostoucí v I. a IV.
kvadrantu, lichá, omezená shora i zdola, v jedné periodě má jedno maximum (1) a jedno minimum(-1), jejím grafem je sinusoida. Ta protíná osu x v bodech 0, π, 2 π
- 14 Funkce y = cos x je definována pro všechna x ∈ R a nabývá hodnot od -1 do 1, tj. D(f) = R, H(f) = − 1,1 . Je to funkce periodická s periodou 2π , spojitá v celém R, rostoucí ve III. a IV. kvadrantu, sudá, omezená shora i zdola, v jedné periodě má jedno maximum (1) a jedno π 3π . minimum(-1), jejím grafem je kosinusoida. Ta protíná osu x v bodech , 2 2
Funkce y = tg x je definována pro všechna x ∈ R, x ≠ (2k + 1).
π
π
2
, kde k je celé číslo.Nabývá
}, H(f) = R. Je to funkce periodická s periodou 2 π , spojitá vždy jen v D(f), rostoucí v celém D(f), lichá, neomezená, nemá maximum ani minimum, jejím grafem je tangentoida. všech reálných hodnot, tj. D(f) = R -{(2k+1).
π
≠ k .π , kde k je celé 2 číslo.Nabývá všech reálných hodnot, tj. D(f) = R -{k.π}, H(f) = R. Je to funkce periodická s periodou π , spojitá vždy jen v D(f), klesající v celém D(f), lichá, neomezená, nemá maximum ani minimum, jejím grafem je kotangentoida.
Funkce y = cotg x je definována pro všechna x ∈ R, x ≠ 2k .
Grafy jednotlivých funkcí najdete v doporučených učebnicích nebo v tabulkách.
Goniometrické rovnice ( 1 ) str. 82 – kap. 7.5 ( 2 ) str. 93 – kap. 19 ( 3 ) str. 53 – kap. 6.8 ( 4 ) 3. část – str. 105 – kap. 2.6 mohou to být rovnice lineární i kvadratické, v jejichž zadání se vyskytují goniometrické funkce Budeme řešit pouze rovnice s jedním typem goniometrické funkce K řešení se užívají definice goniometrických funkcí, goniometrické vzorce, substituce za celou funkci nebo za argument Nesmíme při zápisu řešení zapomenout na to, že funkce jsou periodické Funkce sin, cos mají stejné řešení většinou ve dvou kvadrantech, obě řešení je nutné zapsat funkce tg, cotg stačí zapsat jen v jednom kvadrantu, protože jejich perioda je poloviční než u funkcí sin, cos Příklady: 1) 2)
→ x = 90° + k.360° čili x =
π
+2kπ 2 cos x = -1 → x = 180° + k.360° čili x = π + 2kπ v obou příkladech šlo o rozhraní kvadrantů sin x = 1
- 15 -
3)
3 π → x = 30° + k.180° čili x = + k .π 3 6 kdyby zde bylo znaménko - , tak by řešení bylo 150°+ k.180°
4)
sin(x-30°) =
tg x =
3 3 → substituce y = x-30° → x = y+30° → sin y = → 2 2 y1 = 60°+k.360°( I. kvadrant), y2 = 120° + k.360° ( II. kvadrant) →
x1 = 60° + 30° + k.360° = 90° + k.360° čili x1 =
π
2
+ 2kπ ,
x2 = 120° + 30° + k.360° → x2 = 150° + k.360° čili x2 =
5π + 2kπ 3
1 y → y = 2x → x = → y = 18° + k.180° → x = 9° + k.90° 3 2
5)
tg 2x =
6)
2cos2 x + cos x – 1 = 0 → substituce y = cos x → 2y2 + y – 1 = 0 → řešíme 1 kvadratickou rovnici (D = 9), jejímž řešením jsou čísla -1 a → cos x = -1 → 2 1 x1 = 180° + k.360°, tj. π + 2k.π , cos x = → x2 = 60° + k.360°, ……. 2 x3 = 300° + k.360°, …….
7)
sin2 x – sin x = 0 → sin x.(sin x – 1) = 0 → sin x = 0 nebo sin x = 1 → → sin x = 0 → x = 0° + k.360°, x = 180° + k.360° čili dohromady x1 = 0° + k.180°, …… → sin x = 1 → x2 = 90° + k.360°, ……
8)
9)
y − 60 o → tg y = -1 3 135o − 60 o + k.180o 75o + k.180o → y = 135° + k.180° → x = = = 25o + k .60 o 3 3 1 + cos x = 3 → substituce y = cos x , D)f): cos x ≠ 1,tj. x ≠ 0°+ k.360° → 1 − cos x 1+ y 1 1 = 3 → 1 + y = 3.(1 − y ) → 1 + y = 3 − 3 y → 4 y = 2 → y = → cos x = 1− y 2 2 ( I. a IV. kvadrant) π 5π → x1 = 60° + k.360° čili + 2kπ , x2 = 300° + k.360° čili + 2kπ 3 3 tg (3x + 60°) = -1 → substituce: 3x + 60° = y → x =
Další příklady: U předcházejících příkladů si vyzkoušejte vyjádřit všechna řešení v obloukové míře (kde to není již uděláno), u příkladů 9), 8), 5), 3) nezapomeňte doplnit podmínky neboli definiční obory ( pokud tam nejsou).
Další příklady v doporučených učebnicích
- 16 -
Řešení obecného trojúhelníka (1) (2) (3) (4)
str. 86 – kap. 7.8 str. 95 – kap. 19 str. 54 – kap. 6.9 3. část – str. 130 – kap. 2.11, str. 137 – kap. 2.12
V obecném trojúhelníku platí mezi stranami a vnitřními úhly různé vztahy, z nichž si uvedeme tzv. větu sinovou a větu kosinovou. Samozřejmě platí, že součet všech tří vnitřních úhlů je 180°. Věta sinová se užívá při zadání v trojúhelníku: 1) délky dvou stran a velikost úhlu proti jedné z nich 2) délka jedné strany a velikost libovolných dvou úhlů Je dána vztahem a : b : c = sin α : sin β : sin γ sin α sin β sin γ = = nebo Pro konkrétní výpočty se používají spíše vztahy a b c obráceně
a b c = = sin α sin β sin γ
(a vždy dva zápisy ze tří) Příklad 1: V trojúhelníku ABC je dáno: b = 7,2 cm , α = 62° , γ = 39° . Vypočítejte zbývající strany a úhel β = 180° - 62° - 39° = 79° b. sin α 7,2.0,8829 b a b c →a= = = 6,5 cm = , = sin β 0,9816 sin β sin α sin β sin γ b. sin γ 7,2.0,6293 = = 4,6 cm sin β 0,9816 Příklad 2: V ∆ABC je dáno: β = 83°, γ = 37°, a = 50 cm. Určete α , b, c c=
α = 180° - β – γ = 60° a. sin β 50.0,9925 b= = = 57 cm , sin α 0,8660
c=
a. sin γ 50.0,6018 = = 35 cm sin α 0,8660
Věta kosinová se užívá při zadání trojúhelníku: 1) délky všech tří stran 2) délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného Je dána vztahem: c2 = a2 + b2 – 2abcos γ a cyklickou záměnou a2 = b2 + c2 – 2bccos α b2 = c2 + a2 – 2accos β Příklad 3: V ∆ABC je dáno: a = 74 cm, b = 53 cm, c = 45 cm. Určete α, β, γ b 2 + c 2 − a 2 53 2 + 45 2 − 74 2 Návod: a2 = b2 + c2 – 2bccos α → cos α = = = −0,1346 2bc 2.53.45 (II. kvadrant) → α = 98° (viz př. 4), pak buď sinovou větou (snazší) nebo kosinovou a nakonec γ dopočítat do 180° → 37° větou β → β = 45° ,
- 17 Příklad 4: V ∆ABC je dáno: b = 64,1 cm, c = 29,3 cm, α = 48°. Určete β, γ, a. návod: a2 = b2 + c2 – 2bccos α → a2 = 64,12 + 29,32 – 2.64,1.29,3.0,6691 = 2453,87 b. sin α 64,1.0,7431 → a = 49,5 cm , pak např. úhel β: sin β = = = 0,9623 → a 49,5 β = 74° → γ = 58°
další příklady: 1) je dáno: b = 25 cm, α = 50°, γ = 100°. Určete a, c, β 2) je dáno: a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm. Určete α, β, γ. 3) je dáno: a = 55 cm, b = 52 cm, γ = 48°. Určete c, α, β. 4) U všech př. zkuste vypočítat také obsah ∆ABC – použijte vzorec S =
(a cyklická záměna)
Další příklady k procvičování látky: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)
3.tg 30° - 4.sin 45° + 2.cos 90° - cotg 135° = 6.cos 90° - 3.sin 45° + 2tg 60° - 5cotg 30° = 1 − sin x 1 = 1 + sin x 3 2sin2 x -2 = 0 tg2 x – 2 tg x – 3 = 0 5 − sin x =1 sin x + 4 cotg (x+45°) = -1 1 cos (x+15°) = 2 sin (4x-25°) = 1 tg x = - 3 2 atd. =1 3 + sin x
1 a.b. sin γ 2
