Uˇ cebn´ı texty ke konzultac´ım pˇ redmˇ etu Matematika pro kombinovan´ e studium BOZO Konzultace čtvrtá
RNDr. Libuˇ se Samkov´ a, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webov´ a str´ anka: home.pf.jcu.cz/∼lsamkova/
Obsah konzultace: Diferenciální rovnice. Procenta a poměry.
Z´ apoˇ cet se udˇ eluje na z´ akladˇ e odevzd´ an´ı dom´ ac´ı pr´ ace (vypracov´ an´ı zadan´ ych u ´ loh). Z kaˇ zd´ eho bloku pˇ r´ıklad˚ u je nutno vypracovat 3 pˇ r´ıklady. Zkouˇ ska se skl´ ad´ azu ´ stn´ı a p´ısemn´ eˇ c´ asti. Nutnou podm´ınkou k u ´ˇ casti na zkouˇ sce je z´ısk´ an´ı z´ apoˇ ctu.
1
Diferenciální rovnice Rovnice, ve kterých se jako neznámá vyskytuje funkce a derivace této funkce. Například: f ′ (x) = f (x) + 3. Kvůli zjednodušení zápisu se v těchto rovnicích místo f (x) píše y. Výše uvedená rovnice by se tedy zapsala jako y ′ = y + 3. Základním typem diferenciálních rovnic jsou rovnice tvaru y ′ = g(x), tedy nevyskytuje se v nich y. Řešením této rovnice je Z y = g(x) dx, včetně konstanty c. Každá taková diferenciální rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení. Většinou nás ale nezajímají všechna řešení dané diferenciální rovnice, chceme jen jedno konkrétní, které splňuje tzv. počáteční podmínku. Takové řešení se nazývá partikulární řešení.
Příklady Najdˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı diferenciální rovnice: 1) y ′ = x5 + 3
2) y ′ =
√
x
3) y ′ =
1 x7
x 1 ′ 4) y = (3x + 1) 5) y = 6) y = sin 2x − 7 3 √ 6 V´ ysledky: 1) x6 + 3x + c, x ∈ R, c ∈ R; 2) 23 x3 + c, x ≧ 0, c ∈ R; 3) − 6x1 6 + c, x 6= 0, 1 c ∈ R; 4) 15 (3x + 1)5 + c, x ∈ R, c ∈ R; 5) 12 ln |2x − 7| + c, x 6= 72 , c ∈ R; 6) −3 cos( x3 ) + c, x ∈ R, c ∈ R. ′
4
′
Najdˇete partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı diferenciální rovnice, kter´e vyhovuje uveden´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınce: 1) y ′ = x6 − 2x, y(1) = 0 1 2) y ′ = , y(7) = 1 (x − 6)2 3) y ′ = e7−x , y(6) = −e 1 4) y ′ = , y(0) = 5 x
2
5) 6)
y ′ = cos(2x), y(0) = 3 √ y ′ = 3 x, y(1) = 0
7
1 V´ ysledky: 1) y = x7 − x2 + 67 , x ∈ R; 2) y = − x−6 + 2, x 6= 6; 3) y = −e7−x , x ∈ R; 4) neexistuje (do zad´an´ı nelze dosadit x = 0); 5) y = 12 sin(2x) + 3, x ∈ R; √ 3 6) y = 34 x4 − 34 , x ∈ R.
Metoda separace proměnných Tato metoda se používá pro diferenciální rovnice, ve kterých se vyskytuje y i y ′ , a které se dají upravit do tvaru y ′ · g(y) = h(x), tedy všechna y převést na jednu stranu rovnice a všechna x na druhou. Řešením takové rovnice je y splňující rovnici Z Z g(y) dy = h(x) dx, včetně konstantyRc, kterou stačí psát pouze na Rpravou stranu rovnice. Poznámka: Je-li g(x) Rdx = G(x) + c, potom g(y) dy = G(y) + c. R Pozor! 1 dx = x + c, 1 dy = y + c.
Příklady Najdˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı diferenciální rovnice: 1) y ′ · y 2 = sin x 4) y ′ ·
1 = −2 y
2)
y ′ · ey = 1
5)
y′ ·
1 = 3x2 y−2
3) y ′ ·
1 =1 y
6) y ′ = 4xy
√ V´ ysledky: 1) y = 3 3c − 3 cos x, x ∈ R, c ∈ R; 2) y = ln(x + c), x > −c, c ∈ R; 3 3) y = K · ex , x ∈ R, K 6= 0; 4) y = K · e−2x , x ∈ R, K 6= 0; 5) y = 2 + K · ex , x ∈ R, 2 K 6= 0; 6) y = K · e2x , x ∈ R, K 6= 0, a tak´e y ≡ 0.
3
Najdˇete partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı diferenciální rovnice, kter´e vyhovuje uveden´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınce: 1 = 2x, y(0) = −1 y2 1 2) y ′ · = cos x, y(0) = 3 y 1 3) y ′ · = ex , y(3) = 0 y ′ 4) y · y 4 = x4 , y(1) = 0 1) y ′ ·
5) y ′ = 6x2 y,
y(0) = 5
6) y ′ = 6x2 y,
y(1) = 0
V´ ysledky: 1) y = − x21+1 , x ∈ R; 2) y = 3esin x , x ∈ R; 3) neexistuje (do zad´ an´ı nelze √ 3 5 dosadit y = 0); 4) y = x5 − 1, x ∈ R; 5) y = 5e2x , x ∈ R; 6) y ≡ 0.
Procenta a poměry Příklady na procenta se řeší trojčlenkou přes jedno procento: zjistíme, kolik jedno procento tvoří, a z toho dopočítáme požadované hodnoty (celek = 100%). Není tedy potřeba žádný vzoreček. Podobně u příkladů na poměry pouze zjistíme, na kolik dílů celkem máme věc rozdělit, a potom odtud jednoduše dopočítáme velikost jednoho dílu. Příklady 1 Rozdělte: a) 200 v poměru 2:3 b) 140 v poměru 1:6 c) 75 v poměru 1:2:2 2 V jakém poměru jsou a) 15 a 10? b) 2 a 6 a 8? c) 20 a 16? 3 Určete: a) 20% z 125 b) 14% z 200 c) 7% z 650 4
4 Určete 100% (celek), je-li a) 15% rovno 45 b) 35% rovno 70 c) 20% rovno 400 5 Kolik procent je a) 30 z 200? b) 33 z 60? c) 15 ze 75? V´ ysledky: 1 a) 80 a 120; b) 20 a 120; c) 15 a 30 a 30. 2 a) 3:2; b) 1:3:4; c) 5:4. 3 a) 25; b) 28; c) 45,5. 4 a) 300; b) 200; c) 2000. 5 a) 15%; b) 55%; c) 20%.
Slovní úlohy 1 Letní krmná směs pro holuby doupňáky obsahuje 50% pšenice, 40% řepky a 10% kukuřice. a) Jaké množství jednotlivých surovin potřebujeme na vyrobení 5 kg směsi? b) Na jaké množství směsi nám bude stačit 12 kg řepky? c) Kolik krmné směsi můžeme vyrobit, máme-li k dispozici 10 kg pšenice, 10 kg řepky a 5 kg kukuřice? d) V jakém poměru jsou ve směsi pšenice a řepka? 2 Krmná směs pro agapornise obsahuje 60% míchaného prosa, 30% ovsa a 10% olejnatých semen. Proso je smíchané ze žlutého a červeného prosa v poměru 1:1, olejnatá semena tvoří slunečnice a kardi v poměru 1:1. a) b) c) d) e)
Jaké je podrobné procentuální složení krmné směsi? V jakém poměru jsou ve směsi žluté proso a oves? V jakém poměru jsou ve směsi červené proso a slunečnice? Jaké množství jednotlivých surovin je potřeba na výrobu 200 g směsi? Na jaké množství směsi nám bude stačit 1 kg slunečnice?
3 V 1 kg krmné směsi pro amadiny je obsaženo 700 g míchaného prosa, dále mohár červený a lesknice. Žluté, senegalské, šedé, stříbrné a japonské proso jsou v poměru 2:2:1:1:1. Mohár a lesknice jsou v poměru 1:2. a) b) c) d) e)
Určete konkrétní množství (v gramech) jednotlivých druhů prosa. Určete procentuální zastoupení jednotlivých druhů prosa v krmné směsi. Určete konkrétní množství moháru a lesknice (v gramech). Jaké je podrobné procentuální složení krmné směsi? V jakém poměru je lesknice a stříbrné proso?
5
V´ ysledky: 1 a) 2,5 kg pšenice, 2 kg řepky a 0,5 kg kukuřice; b) 30 kg; c) 20 kg; d) 5:4. 2 30% žluté, 30% červené, 30% oves, 5% slunečnice, 5% kardi; b) 1:1; c) 6:1; d) 60 g žlutého, 60 g červeného, 60 g ovsa, 10 g slunečnice, 10 g kardi; e) 20 kg. 3 (prosa uváděna v pořadí jako v zadání příkladu) a) 200 g, 200 g, 100 g, 100 g, 100 g; b) 20%, 20%, 10%, 10%, 10%; c) 100 g moháru, 200 g lesknice; d) údaje z b) plus 10% mohár, 20% lesknice; e) 2:1.
6
Vzorová zkoušková písemka
ˇ Cas: 90 minut. Pom˚ ucky: papír, tužka a vlastní hlava. Je tˇ reba získat minimálnˇ e 10,5 bodu. 1) V prosn´e smˇesi jsou senegalsk´e, ˇzlut´e a stˇr´ıbrn´e proso v pomˇeru 9 : 5 : 1. Jak se vyrob´ı 300 g smˇesi? ˇ ste rovnici: 2) Reˇ ex =
1 e4
1,5 bodu
1,5 bodu
3) Urˇcete derivaci funkce a)
1 x3
b)
(x − 2)5
1,5 bodu 1,5 bodu
4) Spočtěte integrál: a)
Z
1 √ dx 5 x
b)
Z
e3−5x dx
1,5 bodu
1,5 bodu
5) Spočtěte určitý integrál: Z π6 cos(3x) dx
3 body
0
6) Najděte parikul´arn´ı řešení diferenciální rovnice vyhovující dané počáteční podmínce: y′ ·
1 = 2x, y2
y(0) = −
1 4
5 bod˚ u
7) Objem tˇeˇzby dˇreva na sledovan´em u ´zem´ı charakterizuje funkce f (x) = 50 − 0, 3 · x,
kde f (x) je intenzita tˇeˇzby (v tis´ıc´ıch m3 za rok) na konci x-t´eho roku od začátku pozorování. Jaký je celkový objem vytěženého dřeva za prvních 10 let pozorování? 3 body
7
V´ ysledky: 1) 180 g + 100 g + 20 g; 2) −4; 3)a) − x34 , x 6= 0; b) 5(x − 2)4 , x ∈ R; √ 5 4)a) 54 x4 + c, x 6= 0; b) − 15 e3−5x + c, x ∈ R; 5) 13 ; 6) y = − x21+4 , x ∈ R; 7) 485.
8
