-1-
Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro čtvrtý ročník dálkového studia 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
Základy procentového počtu Posloupnosti a jejich využití ve finanční matematice Úlohy ekonomického charakteru Úlohy jednoduchého úrokování Úlohy složeného úrokování Spoření, splácení dluhů Základní pojmy užívané v teorii pravděpodobnosti Pravděpodobnosti jevů Sčítání pravděpodobností Doplnění a shrnutí učiva 1. pololetí
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Základní pojmy ve statistice Statistický soubor Charakteristika statistického souboru Základní planimetrické pojmy Základní stereometrické pojmy Rovinné obrazce Výpočty objemů, povrchů, hmotností těles Základní množinová terminologie Výrok a jeho pravdivostní hodnota Doplnění a shrnutí učiva
Vyučující: RNDr. Věra Schuhová Zkoušení z matematiky na konci každého pololetí se skládá z písemného testu – doba trvání asi 45 minut - a následného ústního zkoušení. Absolvování písemného testu je nutnou podmínkou k tomu, aby student mohl vykonat ústní zkoušku, k níž se dostaví osobně a přinese si studijní průkaz . Teprve po jejím absolvování může být hodnocen z matematiky.
Doporučená literatura (pro celé studium): ( 1 ) MATEMATIKA - přehled středoškolského studia, edice Maturita(N. Kubešová, E.Cibulková), ( 2 ) ODMATURUJ Z MATEMATIKY – nakladatelství Didaktik 1. díl – rozsáhleji je zde teorie, doporučuji hlavně pro ty, kteří uvažují o maturitě z matematiky, ( 3 ) Matematika v kostce pro střední školy (Z. Vošický), ( 4 ) Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU (kol.autorů-Odvárko, Calda,…) – 1.–6.část, určeno spíše pro denní studium ( 5 ) MFCH tabulky pro střední školy, ( 6 ) Matematika pro netechnické obory SOU 1. - 4. díl – kolektiv autorů atd. dále existují různé sbírky úloh k probírané tematice, řešené příklady i teorii lze hledat i na internetu (matematika po lopatě, matematika on line atd.)
-2Základy finanční matematiky Úrok a úroková míra Úrok je odměna jako náhrada za dočasnou ztrátu kapitálu, za riziko a za nejistotu, dlužník to bere jako cenu za získání úvěru úroková míra je vyjádření úroku v % z hodnoty kapitálu za časové období Doba splatnosti je čas, po který je kapitál uložen nebo zapůjčen Daň z úroku je procentuální část úroku, jejíž výši určuje stát 1) Banka poskytla podnikateli úvěr ve výši 3 250 000 Kč na jeden rok s úrokovou mírou 14,75 %. Kolik korun podnikatel bance zaplatí ? 3 250 000.(1 + 0,1475) = 3 729 375 Kč 2) Podnikatel uložil do banky na termínovaný účet částku 114 000 Kč na jeden rok, úroková míra je 2,15%, z vypočítaného úroku banka vyplatí podnikateli 85% a zbylých 15% odvede státu jako daň. Vypočítejte, kolik činí úrok před i po zdanění 0,0215.114 000 = 2 451 Kč 0,85.2 451 = 2 083,35 Kč 3) Podnikatel měl zaplatit zálohu na daň z příjmu ve výši 132 500 Kč, a to nejpozději do 15. 12. 2007. S placením se však opozdil a zaplatil až 8. 2. 2008. Finanční úřad mu vyměřil penále, které denně činí 0,1% z dlužné částky. Penále se počítalo od 16. prosince 2007 do 7. 2. 2008. O kolik dní se podnikatel opozdil s placením a kolik Kč činilo penále celkem ? prosinec……15 dní, leden……30 dní, únor……7 dní = 52 dní 0,001 . 132 000 . 52 = 6 890 Kč Jednoduché úročení je to takový způsob úročení, při kterém se úroky počítají stále z počátečního kapitálu u = i.
t .K 0 .m úrok před zdaněním, 360
u1 = k .u úrok po zdanění
K0 je počáteční kapitál, i je roční úroková míra, k je zdaňovací koeficient, t je počet dní úrokovacího období, m je počet úrokovacích období Při výpočtu se započítává jen jeden z „krajních“ dnů každý měsíc má 30 dní, rok má 360 dní 4) Na začátku roku jsme uložili na vkladní knížku částku 35 000 Kč. Banka úročí vklad s úrokovou mírou 2,3% jednou ročně, vždy na začátku následujícího roku, úrok převádí na náš běžný účet (na knížce tedy zůstává jen původní částka). Kolik Kč činí úrok po zdanění za tři roky ? u3 = 0,85.0,023.35 000.3 = 2 052?75 Kč 5) Klient banky uložil dne 5. 2. částku 21 000 Kč na termínovaný účet na tři měsíce, úroková míra činí 1,9%, úrokovací doba jsou tři měsíce. Kolik korun připsala banka klientovi na běžný účet celkem, jestliže termínovaný účet byl již sedmkrát zúročen ? 90 u 7 = 0,85.0,019. .21500.7 = 607,64 Kč 360
-36) Klient banky uložil dne 25. 4. 2008 na knížku částku 75 000 Kč. Peníze si přišel vybrat 28. 10. 2008, úrokovací míra je 2,1%. Vypočítejte úrok po zdanění a celkovou částku, kterou klient od banky obdržel nejprve doba: (10-4).30 + (28-25) = 183 183 u1 = 0,85.0,021. .75000.1 = 680,53Kč , K = 75 000 + 680,53 = 75 680,53 Kč 360 Složené úročení Úroky se přičítají k již dosaženému kapitálu a spolu sním se dále úročí. Platí: K m = K 0 .(1 + k .i.
t m ) 360
pro celkový kapitál,
m t pro celkový úrok u m = K m − K 0 neboliK 0 .1 + k .i. − 1 360 7) Klient si uložil na začátku roku 11 500 Kč. Banka úročí vždy na konci pololetí, úroková míra je 1,9%. Kolik Kč dostane klient po dvou letech 180 K 4 = 11500.(1 + 0,85. .0,019) 4 = 11876 Kč 360 8) Klient potřeboval půjčit kapitál na své investice. Banka nabízí úvěr s mírou 13,5 % a s jednorázovou splatností po půl roce, úrokovací období je jeden měsíc, banka půjčuje jen celé tisícikoruny. Klient předpokládá, že po půl roce bude mít k dispozici 3 miliony. Kolik korun si může nejvýše půjčit ? Km 3000000 K0 = = = 2805240 Kč t m 30 6 (1 + k .i. ) (1 + 1.0,135. ) 360 360
9) Klient uložil na začátku roku 60 000 Kč, úroková míra je 2,1 %. Vypočítejte kapitál na konci druhého roku za předpokladu, že úrokovací období je a) jeden rok b) půl roku c) čtvrt roku d) jeden měsíc 2 a) K 2 = 60000.(1 + 0,85.0,021.1) = 62121,12 Kč b) K 4 = 60000.(1 + 0,85.0,021.0,5) 4 = 62170,85 Kč c) K 8 = 60000.(1 + 0,85.0,021.0,25) 8 = 62175,76Kč 1 d) K 24 = 60000.(1 + 0,85.0,021. ) 24 = 62179,04Kč 12 Odpisy strojů a zařízení 10) Do podniku byl zakoupen stroj v hodnotě 400 000 Kč. Z ceny stroje se každoročně odepisuje 15%. Jaká bude hodnota stroje za 12 let ? 15 12 K 12 = 400000.(1 − ) = 56896,702 Kč 100
-4Další typy příkladů: 11) Na kolik % byla uložena jistina 80 000 Kč, vzrostla-li za 6 let na 99 774 Kč ? 99 774 = 80 000.(1 + p)6 99774 p=6 − 1 = 1,037-1=0,037 …..3,7 % 80000 12) Ve městě s 10 000 obyvateli je průměrný roční přírůstek 25 obyvatel na každých 1 000 obyvatel. Kolik obyvatel bude ve městě za 10 let ? a10 = 10000.(1 + 0,025)10 = 12800 obyvatel ( 25 : 1000 = 0,025 ) Další vzorce: Splácení dluhu: s =
D.q n .(q − 1) , kde n … počet splátek, D … počáteční výše dluhu, qn −1 t q = 1+ . p , kde p … procentová míra 360
qn −1 Spoření: K n = K 0 .q. , kde K0 …vstupní částka, q −1 K0.q …vstupní částka za jedno období a na konci tohoto období t zúročená, q = 1 + .k . p , kde k …zdaňovací koeficient 360 další cvičení a příklady na konzultacích
-5-
Základy teorie pravděpodobnosti Základní pojmy: Pokusy: při splnění předepsaných podmínek vedou vždy ke stejnému, očekávanému výsledku Náhoda – je soubor drobných, ne zcela zjistitelných nebo nezjistitelných činitelů (vlivů), které způsobují, že se výsledek dané činnosti v jednotlivých případech mění Náhoda má svá pravidla a své zákonitosti. Studium a formulace těchto zákonitostí i jejich využívání je úkolem počtu psti Náhodný pokus – budeme za něj považovat každou opakovatelnou činnost, prováděnou za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě Náhodným jevem rozumíme jakékoli tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze (po provedení pokusu) rozhodnout, zda je pravdivé Klasická definice pravděpodobnosti Pokud jde o takový náhodný pokus, u něhož jsou (elementární) výsledky stejně možné (pravděpodobné), je jich konečný počet a vzájemně se vylučují, potom číselnou hodnotu psti m jevu A určíme podle vzorce P ( A) = , kde m……počet příznivých výsledků, n n……počet všech možných výsledků Pravděpodobnost nemožného jevu je rovna nule P(Ø) = 0 Pravděpodobnost jistého jevu je rovna jedné P = 0 Pro pravděpodobnost libovolného jevu A platí 0 ≤ P(A) ≤ 1 Pst nějakého jevu je číslo, které udává, jak moc či málo můžeme daný jev očekávat. Čím je pst vyšší, tím si můžeme být daným jevem jistější a naopak. Míra psti náleží do uzavřeného intervalu < 0;1 >, kde nula znamená, že událost nemůže nastat a jednička, že jev je jistý. V praxi se uvádí procentuální vyjádření, které získáme, když míru vynásobíme stem. Pokud byla hodnota psti 0,5, po vynásobení sty procenty získáváme 50%. Jak vypočítat pst ? Samotný postup je jednoduchý a lze shrnout do jedné věty: pst jevu A je rovná podílu počtu příznivých jevů lomeno počtem celkových jevů.
Příklad: S jakou pstí může padnout na běžné hrací kostce číslo tři ? Na kostce může padnout celkem šest různých čísel, počet možností daného jevu je tedy šest. Avšak my chceme, aby nám padlo jedno konkrétní číslo – trojka – počet možností, které vyhovují našemu zadání je jedna. Nyní vydělíme jedničku šestkou a máme výslednou 1 pst: , přibližně 0,16 = 16% 6 m Platí tedy vzorec P ( A) = . Počty příznivých a celkových jevů se často počítají pomocí n variací a kombinací. Doplňkový jev Občas se může hodit počítat pst doplňkového jevu než původního jevu. dopl. jev k jevu A je takový jev, který nastane právě tehdy, když nenastane jev A. Takže pokud máme jev “na kostce padne sudé číslo“, pak dopl. jevem je „na kostce padne liché číslo“. Dopl. jevem k „ z balíčku karet si vytáhnu pikové eso“ je „z balíčku karet si nevytáhnu pikové eso“.
-6Platí pak pravidlo, že se počítá pst opačného (doplňkového) jevu jako 1 – P(A). Např. pst, že 1 5 = na kostce nepadne číslo tři, je 1 6 6 Pokud se jevy A a B vzájemně vylučují, je pst jejich sjednocení rovna součtu jejich pstí: P( A ∪ B ) = P( A) + P( B) tj. psti se sčítají Pokud se jevy A a B vzájemně nevylučují, je pst jejich sjednocení dána vzorcem: P( A ∪ B ) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B ) Dva náhodné jevy A, B jsou nezávislé ( tím se rozumí, že to, že nastal jeden jev, neovlivní, zda druhý jev nastane nebo nenastane) platí-li P( A ∩ B ) = P( A).P( B) P( A ∩ B ) P( B) ( jsou-li jevy A, B nezávislé, platí, že P(A/B) = P(A), protože pro nezávislé jevy A, B platí P( A ∩ B ) = P( A).P( B)
Pro pst jevu A podmíněnou jevem B platí, že je dána vzorcem: P( A / B ) =
Příklady: 1) Jaká je pst, že nám na dvou kostkách padnou stejná čísla ? počet všech možných výsledků je 6.6 = 36, Počet vyhovujících výsledků je šest 6 1 ( 11, 22, 33, 44, 55, 66), P ( A) = = = 0,166 (17%) 36 6 2) Jaká je šance, že nám na dvou kostkách padne alespoň jedna šestka ? celkové výsledky jsou 36, příznivé výsledky: tři případy – buď padne šestka na první kostce nebo na druhé nebo na obou. Pokud na jedné kostce padne šestka, zadruhé se může objevit celkem pět možností, pokud na druhé kostce padne šestka, objeví se pět možností zase na první kostce – to je tedy celkem 10 možností a k tomu přidáme jeden případ, kdy na obou kostkách padnou šestky – celkem je tedy 11 možností 11 P ( A) = = 0,3055 (31%) 36 3) Jaká je pst, že z botníku, kde je dvanáct párů bot, vytáhnu právě tři boty na pravou nohu ? Pracujeme s kombinacemi. Nejprve celkový počet trojic bez ohledu na typ, tj. 24 12 220 = 2024 , vyhovující jsou jen pravé = 220 , vydělíme = 0,1087 (11%) 2024 3 3 4) Třikrát za sebou hodíme kostkou. Jaká je pst, že hodíme alespoň jednu šestku ? pomocí doplňkového jevu „šestka nepadne“ . Pst, že v prvním hodu nepadne šestka je pět šestin, ve druhém hodu stejně, ve třetím také. Tyto dílčí psti vynásobíme a dostaneme 0, 5787 a odečteme od jedničky a dostaneme 0,4212 ( 42 %) 5) Přítel si myslí číslo z uzavřeného intervalu od jedné do dvaceti. Jaká je šance, že nejhůře na potřetí tipnete to číslo správně ?
-7opět je asi lepší přes doplněk Šance že v prvním případě neuhád P ( A) =
19 19 neme dané číslo je velká, P ( A) = , ve 20 20
druhém kole je 18 17 , ve třetím P ( A) = , dílčí výsledky vynásobíme, dostaneme asi 0,85 19 18 ( to je pst, že ani napotřetí neuhádneme), odečteme od jedné, pst je tedy 0,15, tj. 15 % to už jen P ( A) =
6) Třikrát za sebou hodíme kostkou. Jaká je pst, že ve druhém a ve třetím hodu hodíme více než v prvním hodu ? celkový počet možností je 63 = 216. Příznivé výsledky: Pokud na první padne šestka, úloha je neřešitelná, padne-li na první pětka, existuje právě jedna možnost, jak splnit zadání – v obou dalších hodech musí padnout šestka – jeden příznivý výsledek. Pokud na první kostce padne čtyřka, musí pak padnout buď pětka nebo šestka na druhé i na třetí kostce tj. 2.2 = 4 možnosti – už máme pět příznivých výsledků Padne-li trojka, může nám dále padnout čtyřka až šestka – 3.3 = 9. Padne-li dvojka, může nám dále padnout trojka až šestka – 4.4 = 16 Padne-li jednička – 5.5 = 25. Sečteme všechny výsledky 25+16+9+4+1 = 55 55 =0,2546 Výsledná pst je 216
Příklady pro nácvik: 1) V rodinách se třemi dětmi sledujeme pohlaví dětí, záleží na pořadí dětí podle věku. Jaká je pst, že v rodině jsou nejméně dva chlapci ? 2) Jaká je pst, že při hodu dvěma hracími kostkami padne a) součet větší než 10 b) alespoň na jedné kostce šestka c) dvojice prvočísel 3) Ve třídě je 10 dívek a 12 chlapců. Náhodně vybereme skupinu 3 studentů. Jaká je pst, že ve vybrané skupině jsou 2 chlapci a jedna dívka ? 4) Ve třídě je 32 žáků, pět z nich není připraveno na zkoušení. Profesor vyzkouší 4 žáky. Jaká je pst, že nejvýše dva ze zkoušených žáků nejsou připraveni ? 5) Při zkoušce z matematiky si zkoušený student z 20 očíslovaných příkladů vylosuje tři příklady. Jaká je pst, že mezi vylosovanými příklady bude příklad číslo 3 nebo příklad číslo 5 ? 6) Ve skladu je uloženo 25 stejných žárovek, z nichž 5 je vadných. Jaká je pst, že ze čtyř náhodně vybraných žárovek je alespoň jedna vadná ? 7) V osudí je 5 černých a 3 bílé koule. Táhneme postupně 3 koule, přičemž každou vytaženou kouli vrátíme do osudí dříve, než táhneme další kouli. Jaká je pst, že první koule je bílá, druhá a třetí koule černá ? 8) Házíme dvěma hracími kostkami. Jaká je pst, že padne součet 8, jestliže na první kostce padne sudé číslo ?
-89) Každý z 25 pracovníků podniku ovládá alespoň jeden jazyků němčina a angličtina. Přitom německy hovoří 19 lidí, anglicky 13 pracovníků. Vypočítejte pst, že náhodně oslovený pracovník ovládá: a) jen němčinu b) jen angličtinu c) oba jazyky 10) Jaká je pst toho, že při jednom hodu třemi hracími kostkami padne součet 12 ?
-9-
Základy statistiky Metody matematické statistiky slouží při zpracovávání větších množství informací v každodenním životě – výpočet průměrné známky, průměrný příjem, spotřeba potravin, návštěvnost kin, preference politiků, výzkumy veřejného mínění, oblast obchodu, průzkum trhu atd. Pracuje se s tabulkami, grafy, výpočetní technikou. Základní pojmy: Statistické šetření, statistická jednotka, statistický soubor, statistický znak Př.: Zjistěte průměrnou výšku všech studentů školy st. šetření. = přesné změření výšky všech žáků st. jednotka. = jednotlivý žák st. soubor = skupina žáků, kteří jsou skutečně měřeni st. znak = měřená výška postavy žáka Měření se provádějí na výběrovém statistickém souboru, pak se zobecňují. Mezi statistické charakteristiky patří: absolutní četnost, relativní četnost, aritmetický průměr x , vážený aritmetický průměr ) xv , modus x, medián ~ x x=
x1 + x 2 + ..... + x n , xv = n
x1 n1 + x 2 n 2 + ....x n n n n
absolutní četnost - je počet statistických jednotek, které mají stejnou hodnotu st. znaku relativní četnost - je číslo, které vyjadřuje, jaká část st. souboru má hodnotu příslušného absolutníčetnost st. znaku, vyjadřuje se zlomkem rozsahst .souboru ) modus x je hodnota statistického znaku, která se ve statistickém souboru vyskytuje nejčastěji medián ~ x je prostřední hodnota st. znaku ve st. souboru, který je uspořádán podle velikosti hodnot st. znaku. Při lichém počtu hodnot je jednoznačně určena – je to prostřední hodnota. Při sudém počtu hodnot je to aritmetický průměr dvou prostředních hodnot. Př: Vypočtěte aritmetický průměr (průměrnou známku) žáka, který měl na vysvědčení následující známky z jednotlivých předmětů: 4,4,2,1,4,3,3,3,4,2 4 + 4 + 2 + 1 + 4 + 3 + 3 + 3 + 4 + 2 30 = = 3,00 nebo x= 10 10 nejprve seřadíme známky podle velikosti, výpočet je kratší 1.1 + 2.2 + 3.3 + 4.4 30 xv = = = 3,00 10 10 vlastnosti arit. průměru: připočteme-li ke všem hodnotám st. znaku totéž číslo, arit. průměr se změní také o stejné číslo, násobíme-li všechny hodnoty st. znaku týmž číslem, rovná se arit. průměr původnímu arit. průměru vynásobenému tímto číslem. (lze využít v případě výpočtů s velkými či desetinnými čísly) Aritmetický průměr, modus a medián se nazývají střední hodnoty statistického souboru
-10-
Statistickým vyhodnocením souboru se rozumí vypočítat aritmetický průměr, modus, medián, absolutní a relativní četnost atd. Příklad: Ve škole byla měřena výška chlapců ve dvou třídách, naměřeny byly hodnoty: 165, 172, 169, 180, 174, 168, 176, 174, 167, 182, 175, 174, 173, 175, 174, 178, 179, 170, 178, 175, 169, 174, 171, 175, 179, 176, 174, 173, 177, 173, 175, 171, 177, 174, 180, 173, 177 Nejprve sestavte tabulku: četnost výška 165 1 166 0 167 1 168 1 169 2 170 1
četnost 2 1 4 7 5 2
výška 171 172 173 174 175 176
výška 177 178 179 180 181 182
četnost 3 3 1 2 0 1
) 6445 4.173 + 7.174 = 174,2cm , x= 174 cm, ~ x= = 173,6cm 37 11 Lze řešit i jiným způsobem, např. tak, že hodnoty nejprve rozdělíme do podskupin – např. po 3 cm. Zde je ukázka s výpočtem abs. a relat. četností včetně procentuálního vyjádření:
xv =
výška 165-167 168-170 171-173 174-176 177-179 180-182 součet
absolutní četnost 2 4 7 14 7 3 37
relativní četnost 0,05 0,11 0,19 0,38 0,19 0,08 1,00
rel.četnost v % 5% 11 % 19 % 38 % 19 % 8% 100 %
Charakteristiky variability Variační rozpětí R - je to rozdíl mezi maximální a minimální hodnotou statistického znaku Průměrná odchylka d – počítá se tak, nesečteme absolutní hodnoty rozdílu všech hodnot statistického znaku od průměru a tento součet vydělíme rozsahem statistického souboru, tj. x1 − x + x 2 − x + ..... + x n − x n
=d
-11-
Rozptyl S2 – je podíl(všechny xk) ( x − x ) 2 + ( x 2 − x ) 2 + ..... + ( x n − x ) 2 S2 = 1 n
Směrodatná odchylka S – je druhá odmocnina z rozptylu.
Variační koeficient V – je následující výraz udávaný v procentech S V = .100% x Někdy se používá také výraz pásmo rozptylu – patří sem ty statistické jednotky, jejichž hodnota statistického znaku je větší než dolní mez pásma rozptylu a menší než horní mez pásma rozptylu Dolní mez pásma rozptylu určíme tak, že od aritmetického průměru odečteme hodnotu směrodatné odchylky. Analogicky horní mez pásma rozptylu se určí přičtením směrodatné odchylky k aritmetickému průměru
Příklad: Kolektiv pracovníků podniku má povoleno odpracovat celkem 240 přesčasových hodin. Přehled je v tabulce
Počet hodin Počet pracovníků
12
14
15
16
18
19
20
1
2
2
2
3
1
4
a) o kolik procent překročil tým stanovený limit b) kolik hodin průměrně mohl a kolik průměrně skutečně odpracoval jeden pracovník c) určete modus a medián d) vypočítejte rozptyl a směrodatnou odchylku a zjistěte, kolik pracovníků se nachází v pásmu rozptylu řešení a postup: a) nejprve zjistíme tzv. úhrn, tj. kolik přesčasových hodin kolektiv skutečně odpracoval 1.12+2.14+2.15+………= 255 (255 : 240) . 100 % = 106,25 % …….. limit překročen o 6,25 % b) celkem je 15 pracovníků ( z tabulky ), 240 : 15 = 16 hodin mohl odpracovat, ve skutečnosti ale 255 : 15 = 17 hodin
-12nyní nejprve si sestavíme tabulku, kde seřadíme pracovníky vzestupně podle počtu skutečně odpracovaných přesčasových hodin pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Počet hodin 12 14 14 15 15 16 16 18 18 18 19 20 20 20 20
Odchylka od x -5 -3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 1 2 3 3 3 3
Druhá mocnina odchylky 25 9 9 4 4 1 1 1 1 1 4 9 9 9 9
) c) modus x= 20 hodin (nejvíce, tj. 4 pracovníci), medián ~ x = 18 hodin ( hodnot je 15, tedy lichý počet, s pořadím 8 je pracovník, který odpracoval 18 hodin ) modu získáme z první nebo i z druhé tabulky, medián z druhé tabulky d) vycházíme z druhé tabulky , součet posledního sloupce je 96, vydělíme počtem pracovníků 96 : 15 = 6,4, odmocnina asi 2, 53, hranice pásma rozptylu je tedy od -2,5 do +2,5. V pásmu rozptylu se tedy nacházejí všichni pracovníci, jejichž počet odpracovaných přesčasových hodin se od aritmetického průměru neliší o více než 2 hodiny, tj. odpracovali 15 až 19 přesčasů, tj. čtvrtý až jedenáctý pracovník
Příklady na procvičení : 1) Ve třídě je 32 studentů, z nichž dva mají z testu známku 1, dva známku 5, deset známku 2, dvanáct známku 3 a šest známku 4. Vypracujte tabulku rozdělení četností a relativních četností (sledovanou hodnotou znaku je známka z testu. Proveďte grafické znázornění rozdělení četností (spojnicový, vodorovná osa=známky), svislá osa=četnost) 2) 130 studentů třetího ročníku si volí své zástupce do studijní rady školy. 15% studentů zvolilo Janu, 25% zvolilo Karla, 60% zvolilo Lucii. Znázorněte výsledky kruhovým diagramem 3) Průměrný roční hrubý příjem byl zjišťován u všech 20 zaměstnanců podniku Roční příjem četnost
151 000 - 175 000 4
176 000 - 200 000 5
201 000 – - 225 000 8
226 000 – - 250 000 2
251 000 - 275 000 1
-13Vypočítejte průměrný roční hrubý příjem zaměstnanců (vypočítejte si nejprve středy intervalů), vypočítejte také modus a medián tohoto souboru. Vypočítejte průměrnou absolutní odchylku(je dobré sestavit tabulku): Středy intervalů ročního příjmu
xk − x četnost Dále vypočítejte rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient průměrného ročního hrubého příjmu těchto zaměstnanců. 4) V sedmi po sobě jdoucích letech jsou hodnoty růstu výroby elektroniky procentuálně určeny: 107,1%, 111,2%, 102,6%, 108,3%, 110,2%, 109,8%, 105.5%. Vypočítejte průměrné roční tempo růstu výroby za toto období.
5) Ve třídě s 31 žáky byla zjišťována výše jejich kapesného na měsíc. Výsledky šetření jsou zpracovány v tabulce: Výše kapesného v Kč
50
100
200
500
Četnost žáků 15 12 3 1 Určete průměrnou hodnotu, modus a medián kapesného ve třídě. Porovnejte tyto charakteristiky polohy.
další cvičení na konzultacích
-14-
Planimetrie a stereometrie
Planimetrie – geometrie v rovině. Stereometrie – geometrie v prostoru Základní pojmy: bod, přímka, polopřímka, úsečka, rovina, polorovina, úhel Dvěma různými body prochází jediná přímka Pojem úsečky, délka úsečky, střed úsečky, shodné úsečky Dva geometrické útvary v rovině jsou shodné, lze-li je přemístěním ztotožnit Shodné úsečky mají sobě rovné délky Dvě přímky v rovině mají jeden společný bod = různoběžky, nekonečně společných bodů = splývající , žádný společný bod = rovnoběžky různé. Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku a také pouze jedinou kolmici Pojem osa úsečky Vzdálenost bodu M od přímky p : d(M, p) Vzdálenost dvou rovnoběžek p, q je vzdálenost pat jejich společné kolmice Přímka dělí rovinu na dvě poloroviny Dvě různé polopřímky se společným vrcholem V dělí rovinu na dva úhly (bod V je vrchol) – konvexní a nekonvexní úhel Úhel přímý, plný, pravý, ostrý, tupý Velikost úhlu – stupňová míra, oblouková míra– viz konzultace Geometrická zobrazení – shodnost, podobnost, stejnolehlost, otočení, posunutí Osová souměrnost, středová souměrnost Příklad: Je dán bod A[7;2] . V pravoúhlé soustavě souřadnic zakreslete obrazy bodů souměrně sdružených a) podle středu, b) podle osy x, c) podle osy y, d) podle osy I. a III. kvadrantu, e) podle osy II. a IV. kvadrantu Trojúhelníky: Vrcholy, strany, vnitřní úhly, druhy podle stran i podle úhlů, Součet vnitřních úhlů je úhel přímý (180°), pro strany platí: součet dvou stran je vždy větší než strana třetí, proti delší straně leží větší vnitřní úhel pojem výšky, těžnice (těžiště), střední příčky, kružnice opsaná, kružnice vepsaná Pojem souhlasných úhlů, střídavých úhlů ( viz konzultace ) Shodnost trojúhelníků - věty o shodnosti: Věta sss: shodují-li se ve třech stranách Věta sus: shodují se ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném Věta usu: shodují se v jedné straně a dvou úhlech k ní přilehlých Věta Ssu: shodují se ve dvou stranách a v úhlu proti delší z nich Podobnost trojúhelníků – věty o podobnosti: Věta uu: shodují-li se ve dvou úhlech Věta sus: shodují-li se v jednom úhlu a v poměru délek stran ležících na jeho ramenech Věta Ssu: shodují-li se v poměru délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu proti větší z nich Pravoúhlý trojúhelník: Euklidovy věty:
-15o výšce: v každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina výšky k přeponě rovna součinu délek obou úseků přepony (tj. úseček, které na ní vytíná pata výšky) o odvěsně: v každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky odvěsny rovna součinu délek přepony a přilehlého úseku na přeponě Pythagorova věta: v každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu druhých mocnin délek obou odvěsen – platí i opačně Příklady: 1) V pravoúhlém trojúhelníku ABC je dáno a = 85 cm, b = 60 cm. Vypočítejte úhly α , β ,přeponu c, obsah a obvod tohoto trojúhelníku 2) V pravoúhlém trojúhelníku ABC je dáno α = 56° , c = 160 cm. Vypočítejte délky stran a, b, úhel β , obvod a obsah tohoto trojúhelníku. 3) V rovnoramenném lichoběžníku ABCD je dáno rameno r = 80 cm, kratší základna c = 60 cm, úhel α = 30° . Vypočítejte delší základnu a, výšku v, obvod a obsah tohoto čtyřúhelníku. Kružnice, kruh Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S(střed kružnice) této roviny danou vzdálenost r Kruh je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S (střed kružnice) této roviny vzdálenost menší nebo rovnou r Pojmy: poloměr, průměr, sečna, nesečna, tečna Vzájemná poloha přímky a kružnice, kružnice soustředné a nesoustředné, Obvodový úhel, středový úhel, Thaletová věta – obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý Obvody a obsahy rovinných obrazců: viz MFCH tabulky a konzultace Konstrukční úlohy: viz doporučená literatura
Stereometrie Vztahy mezi prostorovými útvary: • Ke každé přímce lze daným bodem v prostoru vést právě jednu rovnoběžku • Dvěma různými body prochází právě jedna přímka • Leží-li dva body v jedné rovině, pak v této rovině leží i přímka určená těmito body • Daným bodem a danou přímkou(na níž tento bod neleží) je určena právě jedna rovina • Třemi různými body, které neleží na téže přímce, je určena právě jedna rovina • Dvěma různými přímkami, které mají společný bod (různoběžkami), prochází právě jedna rovina • Mají-li dvě různé roviny společný bod, pak mají společnou celou přímku, která tímto bodem prochází Vzájemná poloha přímek a rovin:
-16Dvě přímky v prostoru: - neleží v jedné rovině(mimoběžky) - leží v téže rovině: - žádný společný bod(přímky rovnoběžné různé) - jeden společný bod(přímky různoběžné) - všechny společné body(přímky rovnoběžné splývající) Přímka a rovina v prostoru: - žádný společný bod(přímka rovnoběžná s rovinou, neleží v ní) - jeden společný bod(přímka různoběžná s rovinou) - všechny společné body(přímka leží v rovině) Dvě roviny v prostoru: - žádný společný bod(roviny rovnoběžné různé) - společná právě jedna přímka(různoběžné roviny) - společné všechny body(roviny rovnoběžné splývající) Geometrická tělesa – jsou to množiny bodů v prostoru ohraničené uzavřenou plochou Hmotnost tělesa se počítá tak, že se hustota násobí objemem Objemy a povrchy těles Krychle: V = a 3 , S = 6.a 2 …..V – objem, S – povrch, a – hrana Kvádr: V = a.b.c , S = 2.(ab+ac+bc)………a,b,c –hrany Hranol: V = Sp.v, 2Sp + Q……Sp – podstava(n-úhelník), Q – plášť = n.a.v, v – výška n – počet boků a.v 1 Jehlan: V = Sp.v, S = Sp + Q , Q = n. s , vs – stěnová výška 3 2 2 Válec: V = π . r v , S = 2 π r ( r + v ) , r – poloměr podstavy 1 Kužel: V = .π ..r 2 .v, S = π .r.(r + v s ) 3 4 Koule: V = π .r 3 , S = 4.π .r 2 3 Při řešení příkladů nezapomeňte všechny délky stran ve stejných jednotkách, objem se počítá v krychlových jednotkách, povrch se počítá v plošných jednotkách, hmotnost má jednotky např. gram, kilogram, tuna atd. Příklady: Pravidelný čtyřboký jehlan má každou hranu dlouhou 4 dm. Vypočítejte jeho objem, povrch a hmotnost, je-li hustota 3 kg/dm3 . Kolikrát se změní objem a povrch koule, zvětší-li se poloměr této koule třikrát ?
-17-
Výroky, množiny Výrok – sdělení(tvrzení, oznamovací věta), u něhož má smysl rozhodovat, zda je či není pravdivé Pravdivý výrok p = 1, nepravdivý výrok p = 0 Příklady výroků:
Dnes je 3. září Číslo 2 je sudé Praha je hlavní město Afghanistánu Co nejsou výroky: Běž domů! Bude zítra pršet ? Úsečka je dlouhá Negace výroku – výrok, jehož pravdivostní hodnota je opačná než u původního výroku označení: výrok…..v, negace výroku…..┐v vyjádření negace:“není pravda, že…..“ nebo konkrétněji, např. v – „Daný trojúhelník je ostroúhlý“ ┐v - „Není pravda, že daný trojúhelník je ostroúhlý“ nebo „ Daný trojúhelník je tupoúhlý nebo pravoúhlý“ výroky o počtu: a – Ve třídě je aspoň 30 žáků b – Ve třídě je nejvýše 30 žáků c – Ve třídě je právě 30 žáků jejich negace: ┐a - Ve třídě je méně než 30 žáků ┐b - Ve třídě je více než 30 žáků ┐c - Ve třídě je méně než 30 žáků nebo více než 30 žáků výroky s kvantifikátory – týkají se vždy prvků nějaké množiny obecný(velký) : výrok platí pro všechny prvky dané množiny, označení je ∀ existenční (malý): výrok platí alespoň pro jeden prvek dané množiny, označení je ∃ Příklady: Vyslovte negace výroků – výroky: v : ∀x ∈ R : x 2 ≥ 0, w : ∃n ∈ N : n ≤ 0 negace: ¬v : ∃x ∈ R : x 2 ≤ 0, ¬w : ∀n ∈ N : n f 0 Složené výroky – jsou to souvětí skládající se ze dvou nebo více výroků spojených logickými spojkami
Logické spojky konjunkce – „a“ - oba výroky platí zároveň disjunkce – „nebo“ – platí alespoň jeden z výroků implikace – „jestliže…pak“ - z platnosti jednoho výroku vyplývá i platnost druhého ekvivalence – „právě tehdy, když“ – oba výroky mají stejnou pravdivost
-18Konjunkce: a ∧ b , čteme platí výrok a a současně výrok b, např. a: „Do kina jde Adam“ b: „Do kina jde Bedřich“ a ∧ b : Do kina jde Adam a Bedřich tabulka pravdivostních hodnot a b 1 1 1 0 0 1 0 0 Konjunkce je pravdivá pouze tehdy, pokud jsou pravdivé oba výroky Disjunkce: a ∨ b ,čteme platí výrok a nebo výrok b, např. a: „Do kina jde Adam“ b: „Do kina jde Bedřich“ a ∨ b : Do kina jde Adam nebo Bedřich tabulka pravdivostních hodnot a b 1 1 1 0 0 1 0 0 Disjunkce je pravdivá, platí-li aspoň jeden z výroků
a∧b 1 0 0 0
a∨b 1 1 1 0
Implikace: a ⇒ b , čteme pokud platí výrok a, pak platí i výrok b a: „Do kina jde Adam“ b: „Do kina jde Bedřich“ a ⇒ b : Pokud jde do kina Adam pak jde i Bedřich tabulka pravdivostních hodnot a b a⇒b 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Implikace je nepravdivá pouze v případě, že první výrok platí a druhý neplatí Ekvivalence: a ⇔ b , čteme výrok a platí právě tehdy, když platí výrok b a: „Do kina jde Adam“ b: „Do kina jde Bedřich“ a ⇔ b : Adam jde do kina jedině tehdy, když jde Bedřich tabulka pravdivostních hodnot a b a⇔b 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Ekvivalence je pravdivá, pokud oba výroky mají stejnou pravdivostní hodnotu
-19Negace složených výroků: negace konjunkce ¬(a ∧ b) …není pravda, že platí zároveň výroky a b …neplatí výrok a nebo výrok b ¬a a b ¬b a∧b ¬(a ∧ b) 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 Výrok ¬(a ∧ b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok ¬a ∨ ¬b
¬a ∨ ¬b 0 1 1 1
Negace disjunkce ¬(a ∨ b) …není pravda, že platí výrok a nebo b …neplatí výrok a ani výrok b
¬a a b ¬b a∨b ¬(a ∨ b) 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 Výrok ¬(a ∨ b) má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok ¬a ∧ ¬b
¬a ∧ ¬ b 0 0 0 1
Negace implikace ¬(a ⇒ b) …není pravda, že pokud platí výrok a, pak platí výrok b …výrok a platí , výrok b neplatí a 1 1 0 0 Výrok ¬(a ⇒ b)
¬a b ¬b a⇒b ¬(a ⇒ b) 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako výrok a ∧ ¬b
a ∧ ¬b 0 1 0 0
Negace ekvivalence ¬(a ⇔ b) …není pravda, že výroky a i b mají stejnou pravdivostní hodnotu
¬a a b ¬b a⇔b 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Poslední dva sloupce mají stejnou pravdivostní hodnotu
¬(a ⇔ b) 0 1 1 0
(a ∧ ¬b) ∨ (¬a ∧ b) 0 1 1 0
