Matematika prostřednictvím projektově orientovaného studia pro 1. ročník gymnázia

Plán volitelného předmětu

Matematika prostřednictvím projektově orientovaného studia pro 1. ročník gymnázia 1. Charakteristika vyučovacího předmětu Volitelný předmět matematika, který je realizován prostřednictvím projektově orientovaného studie je vytvořen ze vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace a realizuje tematické okruhy průřezových témat Osobnostní a sociální výchova, Výchova k myšlení v evropských a globálních souvislostech, Multikulturní výchova, Environmentální výchova a Mediální výchova. Začlenění průřezových témat do vzdělávacího obsahu je uvedeno v tabulce osnov jednotlivých ročníků. Matematika napomáhá především rozvoji abstraktního a analytického myšlení, rozvíjí logické usuzování a geometrickou představivost, učí srozumitelné a věcné argumentaci. Těžiště výuky spočívá v aktivním osvojení strategie řešení úloh a problémů, v ovládnutí matematických nástrojů a dovedností, v pěstování schopnosti aplikace. Během studia žáci objevují, že matematika nachází uplatnění v mnoha oborech lidské činnosti (např. v ekonomii, informatice, fyzice a technice) a že moderní technologie jsou užitečným pomocníkem matematiky. Významným specifikem volitelného předmětu je metoda PBL (projektově orientované studium), který je zcela záměrně použit ve spojení se vzdělávacím obsahem fyziky. Projektově orientované studium je vzdělávací model, v němž vlastní práce studentů na pečlivě definovaných projektech je principiálním prostředkem k nabytí požadovaných profesních znalostí a úspěšnému dosažení předmětových či programových výstupních kompetencí předepsaných studijními osnovami. V průběhu práce na projektech je pravděpodobné, že se studenti střetnou s „problémy“, které můžou nebo nemusí mít známá a praktická řešení – v takových případech je projektová práce rozšířena o dodatečnou problémově orientovanou studii. Problémově orientované studium je vzdělávací model, v němž nejednoznačně artikulovaný problém odrážející komplexní životní realitu je prezentován studentům, jako počáteční bod jejich vlastní výzkumné, badatelské a studijní činnosti. V kontextu zadaného problému studenti identifikují relevantní vědomosti nabyté předchozím studiem, dále vědomosti, které budou potřebovat k postupnému řešení problému, optimální prostředky, kterými lze potřebné vědomosti efektivně získat, rozhodovací procesy potřebné k třídění a organizaci možných řešení, a zpětnovazebné informace o kvalitě a efektivnosti individuální a týmové činnosti. 1.1. Obsahové vymezení vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah matematiky je rozdělen do pěti tematických okruhů: 1. argumentace a ověřování; 2. číslo a proměnná; 3. práce s daty, kombinatorika, pravděpodobnost; 4. závislosti a funkční vztahy; 5. geometrie. 1

1.2. Časové vymezení vyučovacího předmětu Předmět je zařazen jako volitelný pro 1. ročník v celkové hodinové alokaci 26 hodin a je třeba jej považovat za doplnění povinného předmětu matematika. Plánovaná hodinová alokace je rozložena do jednoho pololetí školního roku v členění 13 týdnů po 2 vyučovacích hodinách, které jsou realizovány vždy společně v jeden termín. Kromě této alokace se však předpokládá, že žáci budou pracovat i nad její rámec ve svém volném čase a část alokovaných hodin bude využita k prezentacím výsledků dílčích realizačních kroků a ke konzultacím s pedagogem. 1.3. Organizační vymezení vyučovacího předmětu Nejsou kladeny žádné zvláštní požadavky. 1.4. Výchovné a vzdělávací strategie Při výuce volitelného předmětu je využíván model projektově orientovaného studia. Jako součást tohoto modelu bude využívána metoda řízeného rozhovoru se žáky, učení se ze zkušeností, samostudium apod. Při výuce mohou být využívány didaktické pomůcky, jsou-li k dispozici (tzn. počítače, dataprojektory, interaktivní tabule). Další možnou formou realizace výuky je účast v matematických soutěžích. 1.5. Hodnocení výsledků vzdělávání Kritéria hodnocení odpovídají klasifikačnímu řádu školy, nicméně je důležité, aby klasifikace předmětu se nestala hlavní motivací žáků k dosahování výsledků. 1.6. Výchovné a vzdělávací strategie pro rozvoj klíčových kompetencí žáků Výuka Matematiky směřuje k tomu, aby si žáci osvojili: 1) Kompetence k učení, tj. aby dokázali:  získat pozitivní vztah k učení a vzdělávání;  využívat ke svému učení různé informační zdroje;  sledovat a hodnotit pokrok při dosahování cílů svého učení;  přijímat hodnocení výsledků svého učení od jiných lidí. 2)       

Kompetence k řešení problému, tj. aby dokázali: porozumět zadání úkolu; získat informace potřebné k řešení problému; nahlížet na problém z různých stran; nalézt různé způsoby řešení problému; zvážit klady i zápory jednotlivých způsobů řešení; vybrat optimální postup řešení a provést jej; vyhodnotit a ověřit správnost zvoleného postupu.

3)   

Kompetence komunikativní, tj. aby byli připraveni: vyjadřovat se vhodně, přesně a srozumitelně; formulovat a prosazovat vlastní názory; vhodně argumentovat.

2

4)   

Kompetence sociální a personální, tj. aby byli schopni: odhadovat důsledky vlastního jednání a chování v nejrůznějších situacích; spolupracovat; být tolerantní a projevovat si vzájemnou úctu a empatii.

5)   

Kompetence občanské, tj. aby byli připraveni: jednat odpovědně, samostatně a iniciativně ve vlastním i veřejném zájmu; dodržovat zákony, respektovat práva a osobnost druhých lidí; zajímat se aktivně o politické a společenské dění u nás a ve světě.

6) Kompetence k podnikavosti, tj. aby byli schopni:  rozvíjet svůj osobní i odborný potenciál;  posuzovat a kriticky hodnotit rizika související s rozhodováním v reálných životních situacích;  nést následky svého chování a jednání;  uplatňovat znalosti a dovednosti z matematiky v různých oblastech lidské činnosti.

1.7.

Očekávané výstupy

ARGUMENTACE A OVĚŘOVÁNÍ Žák:  čte a zapisuje tvrzení v symbolickém jazyce matematiky  užívá správně logické spojky a kvantifikátory  rozliší definici a větu, rozliší předpoklad a závěr věty  rozliší správný a nesprávný úsudek  vytváří hypotézy, zdůvodňuje jejich pravdivost a nepravdivost, vyvrací nesprávná tvrzení  zdůvodňuje svůj postup a ověřuje správnost řešení problému ČÍSLO A PROMĚNNÁ Žák:  užívá vlastnosti dělitelnosti přirozených čísel  operuje s intervaly, aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty  provádí operace s mocninami a odmocninami, upravuje číselné výrazy  odhaduje výsledky numerických výpočtů a efektivně je provádí, účelně využívá kalkulátor  upravuje efektivně výrazy s proměnnými, určuje definiční obor výrazu  rozkládá mnohočleny na součin vytýkáním a užitím vzorců, aplikuje tuto dovednost při řešení rovnic a nerovnic  řeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice, řeší soustavy rovnic, v jednodušších případech  diskutuje řešitelnost nebo počet řešení  rozlišuje ekvivalentní a neekvivalentní úpravy  geometricky interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy, graficky znázorňuje řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav  analyzuje a řeší problémy, v nichž aplikuje řešení lineárních a kvadratických rovnic a jejich soustav 3

PRÁCE S DATY, KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST Žák:  řeší reálné problémy s kombinatorickým podtextem (charakterizuje možné případy, vytváří model pomocí kombinatorických skupin a určuje jejich počet)  využívá kombinatorické postupy při výpočtu pravděpodobnosti, upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly  diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení  volí a užívá vhodné statistické metody k analýze a zpracování dat (využívá výpočetní techniku)  reprezentuje graficky soubory dat, čte a interpretuje tabulky, diagramy a grafy, rozlišuje rozdíly v zobrazení obdobných souborů vzhledem k jejich odlišným charakteristikám ZÁVISLOSTI A FUNKČNÍ VZTAHY Žák:  načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti  formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí a posloupností  využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů  aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi  modeluje závislosti reálných dějů pomocí známých funkcí  řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích a posloupnostech  interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice GEOMETRIE Žák:  používá geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v rovině a v prostoru, na základě vlastností třídí útvary  určuje vzájemnou polohu lineárních útvarů, vzdálenosti a odchylky  využívá náčrt při řešení rovinného nebo prostorového problému  v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii a úpravy výrazů, pracuje s proměnnými a iracionálními čísly  řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím všech bodů dané vlastnosti, pomocí  shodných zobrazení a pomocí konstrukce na základě výpočtu  zobrazí ve volné rovnoběžné projekci hranol a jehlan, sestrojí a zobrazí rovinný řez těchto těles  řeší planimetrické a stereometrické problémy motivované praxí  užívá různé způsoby analytického vyjádření přímky v rovině (geometrický význam koeficientů)  řeší analyticky polohové a metrické úlohy o lineárních útvarech v rovině  využívá charakteristické vlastnosti kuželoseček k určení analytického vyjádření  z analytického vyjádření (z osové nebo vrcholové rovnice) určí základní údaje o kuželosečce  řeší analyticky úlohy na vzájemnou polohu přímky a kuželosečky 4

2. Vzdělávací obsah Školní očekávaný výstup žák  zapíše a určí množinu výčtem prvků, uvedením charakteristické vlastnosti prvků množiny  určí vztah mezi množinami, průnik a sjednocení množin, rozdíl množin a doplněk množiny v množině  pozná, zda sdělení je výrok, určí jeho pravdivostní hodnotu a výrok neguje  čte a zapisuje tvrzení v symbolickém jazyce matematiky  užívá správně logické spojky a kvantifikátory  vytváří hypotézy,z zdůvodňuje jejich pravdivost a nepravdivost, vyvrací nesprávná tvrzení  rozliší definici a větu, rozliší předpoklad a závěr věty  rozliší správný a nesprávný úsudek  zdůvodňuje svůj postup a ověřuje správnost řešení problému

Výstup RVP Učivo (č.)

4.1.1

4.1.2

Téma

Průřezová témata

 inkluze a rovnost množin  operace s množinami

Množiny

 výrok  definice  věta  důkaz

Výroková OSV 1.3: Sociální komunikace logika Základní poznatky z matematiky

Mezipředmětové vztahy

IT Tabulky pravdivostních hodnot CJ tvarosloví gramatika stavba věty

4.1.5 4.1.3

4.1.4

4.1.6

5

Školní očekávaný výstup

Výstup RVP (č.)

Učivo

Téma

 upravuje číselné výrazy  užívá vlastnosti dělitelnosti přirozených čísel  odhaduje výsledky numerických výpočtů a efektivně je provádí  účelně využívá kalkulátor  provádí operace s mocninami  geometricky interpretuje číselné vztahy

4.2.3 (1.)

   

Číselné obory Mocniny

 provádí operace s odmocninami  operuje s intervaly  aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty  upravuje efektivně výrazy s proměnnými  určuje definiční obor výrazu  rozkládá mnohočleny na součin  vytýkáním a užitím vzorců  řeší lineární rovnice a nerovnice  řeší soustavy rovnic  v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení  analyzuje a řeší problémy, v nichž aplikuje řešení lineárních rovnic

4.2.3 (3.) 4.2.2

4.2.1

přirozená čísla celá čísla racionální čísla mocniny s přirozeným, celým exponentem

Průřezová témata

Mezipředmětové vztahy ZEM měřítko plánu a mapy měřítkové číslo

4.2.4

4.2.3 (2.) 4.2.9 (1.)

4.2.5

 reálná čísla  mocniny s racionálním exponentem  odmocniny

   

mnohočleny lomené výrazy výrazy s mocninami a odmocninami

Číselné obory Mocniny

Výrazy s proměnnými

4.2.6 (1.) 4.2.8 4.2.7 (1.)

 lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy  rovnice s neznámou ve jmenovateli  rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru  rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

Rovnice a nerovnice

OSV 1.2: Seberegulace, organizační dovednosti a CH efektivní řešení problémů slovní úlohy: OSV 1.5: Spolupráce a soutěž směsi a roztoky rovnice

4.2.10 (1.)

6

Školní očekávaný výstup

Výstup RVP (č.)

Učivo

Téma

 načrtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funkčním předpisem) a určí jejich vlastnosti  formuluje a zdůvodňuje vlastnosti funkcí  využívá poznatky o funkcích při řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů  řeší aplikační úlohy

4.4.1

      

Obecné poznatky o funkcích

 graficky znázorňuje řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav  geometricky interpretuje algebraické vztahy  řeší kvadratické rovnice a nerovnice  řeší soustavy rovnic  v jednodušších případech diskutuje řešitelnost nebo počet řešení  vytýkáním a užitím vzorců, aplikuje tuto dovednost při řešení rovnic a nerovnic  analyzuje problémy, v nichž aplikuje řešení kvadratických rovnic a jejich soustav

4.4.2 (1.)

pojem funkce definiční obor a obor hodnot graf funkce vlastnosti funkcí lineární funkce kvadratická funkce funkce absolutní hodnota

Průřezová témata

Mezipředmětové vztahy

Funkce

4.4.3

4.4.6 (1.) 4.2.9 (2.)

4.2.7 (2.)

Rovnice a nerovnice

 kvadratická rovnice (diskriminant, vztahy mezi kořeny a koeficienty)  rovnice s neznámou pod odmocninou

Rovnice

4.2.6 (2.)

4.2.10 (2.)

7

3. Hodinový tematický plán volitelného předmětu Téma Vstupní lekce do volitelného předmětu - představení obsahu volitelného předmětu

Časová dotace 90 min

Úvodní prezentace a vysvětlení pojmů Výklad a diskuse se žáky (důležité bude vyprovokovat diskusi lehce provokativními otázkami)

- charakteristika PBL úvod do problematiky – princip dotací a role jednotlivých subjektů v dotačním procesu - vytipování témat pro projekty Vyhledávání projektových témat - definování a výběr projektů

90 min Výklad doprovázený prezentací a příklady dobré a chybné praxe a jejich důsledků Individuální práce a konzultace k jednotlivým návrhům Výklad doprovázený prezentací a příklady

- sestavení projektových studentských týmů a rozdělení rolí v týmu - prezentace projektové fiche a její jednotlivých částí Tvorba projektové fiche - sestavení projektových plánů

Metody, formy

90 min Představení obsahu fiche a zpracování dle dané osnovy. Práce v týmech a následná prezentace výsledků práce, diskuse

- definice milníků a harmonogramu projektu

Kontrola a úprava projektových plánů Prezentace výstupů jednotlivých projektových týmů Diskuse a oponentura plánů

90 min

Přípravné práce před realizací projektu Definování zdrojů (včetně finančních a sestavení rozpočtu) Příprava pomůcek Vyhledávání literatury a dalších zdrojů

90 min

Realizace projektů I Práce v projektových týmech nad řešením konkrétního projektu

90 min

Prezentace spojená s následnou diskusí ke každé prezentaci Řízená diskuse

Individuální práce v týmech a konzultace k jednotlivým návrhům Individuální práce v týmech Individuální práce v týmech

Individuální práce v týmech s možností konzultace k jednotlivým realizačním krokům.

8

Téma Realizace projektů II Práce v projektových týmech nad řešením konkrétního projektu

Časová dotace 90 min

Individuální práce v týmech s možností konzultace k jednotlivým realizačním krokům.

Realizace projektů III Práce v projektových týmech nad řešením konkrétního projektu

90 min.

Kontrola milníků - vyhodnocení dosažení průběžných výsledků, které byly naplánovány v plánu projektu

90 min

Individuální práce v týmech s možností konzultace k jednotlivým realizačním krokům.

Prezentace práce jednotlivých týmu s definováním průběžných milníků a případných odchylek od plánu, včetně zdůvodnění těchto odchylek. Diskuse Individuální konzultace a diskuse v týmech.

- ověření dosažených výsledků a návrhy na případné úpravy projektů Dokončení realizace projektů Závěrečné práce na projektu

Metody, formy

90 min Individuální práce v týmech s možností konzultace k jednotlivým realizačním krokům. Prezentace jednotlivých týmů

Vyhodnocení dosažení či nedosažení plánovaných cílů Zpracování prezentace výsledků projektů Příprava závěrečné zprávy o realizaci projektu a prezentace v powerpointu

90 min

Prezentace výsledků a jejich obhajoba Prezentace výsledků projektových týmů a obhajoba před dalšími týmy a pedagogem

90 min

Závěrečné vyhodnocení práce Vyhodnocení ze strany pedagoga a zpětná vazba od projektových týmů.

90 min

Individuální práce v týmech s možností konzultace k jednotlivým realizačním krokům.

Prezentace výsledků jednotlivých týmů a obhajoba spojená s řízenou diskusí

Zhodnocení pedagoga, brainstorming

9

4. Vzorový projekt Metoda projektově orientovaného studia je založena na realizaci projektu, který je nositelem znalostí a dovedností, které by žáci měli zvládnout. Z důvodů vyšší motivace žáků je preferována situace, kdy iniciátory a těmi kdo definují řešený projekt jsou sami žáci. Žáci by tedy měli určit téma projektu a učitel by pak měl toto téma využít k propojení na vzdělávací obsah, který je uveden v bodu 2. Tento postup však od učitele vyžaduje zkušenost s metodou PBL. V situaci, kdy tato zkušenost chybí, popřípadě chybí jiné důležité atributy (čas, prostorové zázemí, apod.) je však možné postupovat i tak, že projekty jsou předdefinovány učitelem a žáci si z této nabídky vybírají jim nejbližší témata. Pro tuto situaci lze pak použít náměty projektů, které jsou zpracovány například na projektových kartách, které pak stejně musí žáci dopracovat do projektových fiší. Příklady projektových námětů jsou uvedeny v příloze.

10

5. Projektová fiše

Projektová fiše – základní identifikace projektu Název projektu Důvod realizace projektu Cíl projektu Popis projektu Realizační tým Popis rolí jednotlivých členů v realizačním týmu

Proč projekt chcete realizovat ? Proč projekt připravujete? Jaký problém chcete vyřešit a čeho chcete dosáhnout? Stručný text, popisující, co se stane, pokud bude projekt realizován – jaké činnosti budou provedeny. Jmenovité složení členů týmu Popis role jednotlivých členů projektového týmu

Manažer projektu

Konkrétní jméno vedoucího projektového týmu

Výstup(y) projektu

Stručně popište přímé (okamžité) výstupy projektu. Je pravděpodobné, že bude více než jeden. Uveďte jaké výsledky budou dosaženy, jak povedou výstupy k výsledkům, jak projekt přispěje k řešení nějakého konkrétního problému.

Výsledek(y) projektu Zdroje Materiální zdroje Informační zdroje

Jaké pomůcky a materiál budeme potřebovat k realizaci projektu Jaké informace budeme potřebovat k realizaci projektu

Literatura Finanční zdroje

Seznam literatury, kterou budeme potřebovat V případě, že bude nutné nějaké vybavení či materiál koupit, uveďte finanční náklady na tento nákup Měsíc Měsíc

Očekávaný začátek projektu Očekávaný konec projektu Realizační milníky

Rizika

Milník č. Název Datum dosažení 1 2 3 4 Jaká jsou rizika, že projekt nebude realizován vůbec nebude realizován podle původního plánu (nepřinese očekávané výstupy/výsledky/dopady)

11