Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

-1-

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia 1) Číselné obory 2) Základní početní operace, procentový počet 3) Absolutní hodnota reálného čísla 4) Intervaly, množinové operace 5) Mocniny 6) Odmocniny 7) Algebraické výrazy 8) Početní operace s výrazy 9) Lomené výrazy 10) Doplnění a shrnutí učiva 1. pololetí 11) Rovnice, ekvivalentní úpravy 12) Lineární rovnice 13) Soustavy lineárních rovnic 14) Kvadratické rovnice 15) Řešení kvadratických rovnic 16) Nerovnice a jejich soustavy 17) Rovnice s absolutní hodnotou 18) Nerovnice s absolutní hodnotou 19) Iracionální rovnice 20) Doplnění a shrnutí učiva 2. pololetí Vyučuje: RNDr. Věra Schuhová

Literatura (pro celé studium): povinně: ( 1 ) MATEMATIKA - přehled středoškolského studia, edice Maturita(N. Kubešová, E.Cibulková) doporučeně: ( 2 ) ODMATURUJ Z MATEMATIKY – nakladatelství Didaktik 1. díl – rozsáhleji je zde teorie, pěkné, doporučuji hlavně pro ty, kteří uvažují o maturitě z matematiky ( 3 ) Matematika v kostce pro střední školy (Z. Vošický) ( 4 ) Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU (kol. autorů-Odvárko, Calda,…) – 1.–6. část, určeno spíše pro denní studium ( 5 ) Tabulky matematické, fyzikální a chemické pro střední školy dále existují různé sbírky úloh k probírané tematice, řešené příklady i teorii lze hledat i na internetu (matematika po lopatě, matematika on line atd.)

-2-

1. pololetí

Číselné obory, absolutní hodnota, intervaly ( 1 ) str.11 - kap.2.1, 2.1.1, str.17 – kap.2.2, 2.3, 2.4 str. 21 – kap.2.5, str. 26 – kap.3.3, str. 10 – kap.1.2.1 ( 2 ) str. 9 – kap.1, str. 12 – kap.2, str. 14 – kap.3, str. 16 – kap.4 ( 3 ) str. 13 – kap. 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 ( 4 ) první část: str.17 – kap.1.3, 1.4, str. 24 – kap.1.5, str.27 – kap. 1.6 N = {1, 2, 3, …}- množina přirozených čísel: pojmy: prvočíslo, složená čísla, věty o dělitelnosti, největší společný dělitel, věty o dělitelnosti Z …N, 0, čísla opačná – množina celých čísel: základní operace v Z: 3+5 = 8, -3+5=2, -3-5= -8, 3-5=-2, 3-(-5)=8, 3-(+5)=-2, -(-1)=1, -(-(-1))= -1, 0.“cokoliv“=0, + . + = +, + . - = -, - . + = -, - . - = +, totéž pro dělení 0:“čímkoliv“ = 0, “cokoliv“: 0=nelze, atd. Q …množina racionálních čísel: lze je napsat ve tvaru zlomku či desetinným konečným nebo periodickým rozvojem, základní operace se zlomky: složený zlomek, krácení, rozšiřování, sčítání, odčítání, násobení, dělení – opakování ze ZŠ, SOU I ….množina iracionálních čísel, např. 2 , π , atd. R …množina reálných čísel, lze je znázornit na číselné ose. Části číselné osy se nazývají intervaly. Platí. R ⊃ Q ⊃ Z ⊃ N, I ∪ Q=R Př.: Znázorněte na číselné ose a zapište množinově, tj. pomocí příslušných závorek: x >-3, x < 4, 1< x ≤ 5, 6> x >3, -3 ≤ x ≤ 1 atd. Př.: Sjednocení a průnik intervalů A ∩ B, A ∪ B, např. A = (2, 10), B= − 3,7 (hledejte případnou pomoc v doporučené literatuře) Absolutní hodnota reálného čísla a se značí |a|, je to nezáporné reálné číslo, pro které platí: 1) je-li a ≥ 0, je |a| = a 2) je-li a< 0, je |a| = -a. Absolutní hodnota reálného čísla je (geometricky) vzdálenost obrazu tohoto čísla od počátku souřadnic ( 0), tj.délka této úsečky. a a Její vlastnosti: |a| ≥ 0, |a| = |-a|, |0| =0, |a.b| = |a| . |b|, | | = , |a+b| ≤ |a| + |b|, a 2 = |a| b b Př.: Znázorněte na číselné ose a zapište pomocí intervalů: |x| ≥ 5, |x| < 4, 1 ≤ |x| < 5, 2 ≥ |x| > -5 Nulový bod je reálné číslo, které získáme tak, že výraz uvnitř absolutní hodnoty položíme rovný nule. Nulový bod pro |x| je 0, pro |x-4| je 4, pro |x+5| je -5, pro |3+x| je -3, pro |2-x| je 2 Př.: Znázorněte na číselné ose a zapište pomocí intervalů: |x-2| ≤ 3, |x+2| < 1, |x-1| ≥ 4, |x+5| > 2 Příklady na procvičení:

-3-

Vypočítejte: a) -5-|2|= , b) |-3-(-1)|= , c) |8-10|-|3-9|= , d) 15-|4-7|=, e) |-3-|5-8||=, f) |-|2-3|+1|= Znázorněte a zapište: a) |x|<5, b) |x| ≥ 3, c) 1< x ≤ 4, d) |x| >0 Určete průnik a sjednocení intervalů: a) ( - ∞ ; 3

,

2 ; + ∞ ), b) ( 1; + ∞ ), ( 2 ;+ ∞ )

c) 2,3 , (1;+ ∞ ), d) ( -3 ; 2 ), ( 2 ; 4 ) e) (- ∞ ; 0

, 0,1 , f) ( 0;1 ), 0,1

Znázorněte a zapište: a) |x-3| ≤ 1, b) |x+5| ≤ 3, c) |x-1|<2 , d) |x-2| ≥ 3 , e) |x-2|>3, f) |x-2| < 2

další příklady v příslušných kapitolách doporučených učebnic

Mocniny a odmocniny (1) (2) (3) (4)

str. 27 – kap. 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 str. 35 – kap. 8 str. 20 – kap. 3.1 první část: str. 32 – kap. 1.7, 1.8, 1.11 druhá část: str. 121 – kap. 3.1, 3.2, 3.3

mocnina an – n=exponent(mocnitel), a=základ, mocnina je n-krát vynásobené stejné číslo mocniny s přirozeným exponentem – pro všechna reálná čísla a mocniny s celým exponentem pro všechna reálná čísla a ≠ 0 mocniny s racionálním exponentem pro všechna kladná reálná čísla a, tj. a > 0 Pravidla pro počítání s mocninami: Sčítat(odčítat) lze pouze mocniny stejného základu a stejného exponentu Pro všechna přípustná a, b, n, r, s platí: a0 = 1, ar . as = ar+s , ar: as = ar-s , (ar)s = ars, 1n = 1, (-1)n = 1 pro sudé n, (-1)n = -1 pro liché n,

1 a = n, a -n

n

1 n

a =a ,

n

a

m

m n

n

an a = a , a . b = (ab ,   = n , b b n

n

)n

zavedení druhé a třetí odmocniny: a z libovolného nezáporného čísla a je takové nezáporné číslo x, pro které platí a = x2 3

a z libovolného čísla a je takové číslo x, pro které platí, že a = x3

např. 9 = 3 , 32 = |3| , 3 8 = 2, 3 − 8 = −2 další vlastnosti odmocnin a příklady viz literatura ( 1 )

-4částečné odmocňování - například: 50 = 25.2 = 25 . 2 = 5. 2 ,

3

16 =

3

8 .2 =

3

8 . 3 2 = 2. 3 2

Při počítání se zlomky nemůže být ve jmenovateli odmocnina, zbavíme se ji tak, že daný zlomek rozšíříme, říká se tomu usměrňování zlomků – například: 1 2 2 2 6 3 6 3 6 3 12 3 4 123 4 123 4 . = = , . = = = 2 3 , 3 .3 = 3 = = 63 4 2 3 2 2 2 2 .2 3 3 2 4 9 8 15 3

9

3

.3

3 3

=

153 3 3

27

=

153 3 = 53 3 3

Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu – důležité!!! (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 , (A-B)2 = A2 – 2AB + B2, A2 – B2 = (A+B).(A-B), A2 + B2 rozložit v R nelze

Použití pro usměrňování – například: 1 − 2 1 − 2 (1 − 2 ) 2 1 − 2 2 + 2 . = = = −(3 − 2 2 ) = 2 2 − 3 , 1− 2 −1 1+ 2 1− 2 3

.

2+ 3

2− 3 2+ 3

2 3 +3 = 2 3 +3 4−3

=

Příklady na procvičování: ( − 2 ) 3 .2 2 2x3 3y5 =, = , -4x-5.( 2x - 3x2 ) =, 2x3y2.( 3x2y3 + 1) – 4xy2.( x4y3 + 2x2y) =, 2 4 2 ( − 2 ) .2 4x y 16 x 8 y 6 z −4 = ,

125,

3

16 =,

20 x 3 y 5 5 x −3 y 9 1 3 : 7 4 =, = , =, 2 4 12 x y 6 x y 1− 3 3+ 3 3

4

64 x y =, x

21 . 36

3 4

2 5− 3

=,

2 3

=, (a ) =,

další příklady v příslušných kapitolách doporučených učebnic

Algebraické výrazy ( 1 ) str.22 – kap. 3.1, 3.2, 3.3 ( 2 ) str.27 – kap. 6 str.32 – kap. 7 ( 3 ) str.21 – kap. 3.2, 3.3 ( 4 ) str.64 – kap. 2.1, 2.2, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10

-5-

výraz obsahuje číselné konstanty, proměnné (písmena malé abecedy), základní operace s nimi (+,-,.,: ), mocniny, odmocniny, zlomkové čáry, znaky funkcí ( log x, sin x,….). Neobsahuje tedy znaky rovnosti či nerovnosti. Člen výrazu, jednočlen, mnohočlen, hodnota výrazu, lomený výraz, smysl výrazu neboli podmínky, za nichž má výraz smysl u lomeného výrazu je základním pravidlem, že ve jmenovateli nesmí po dosazení za proměnné vyjít nula základní operace s výrazy: sčítání(odčítání) mnohočlenů – jen členy stejného stupně, např. 4x2+5x3-(2x2-6x3)+(-7x2+3x3) = 4x2+5x3-2x2+6x3-7x2+3x3 = 14x3-5x2 násobení mnohočlenů: 3x2y3.(-2xy2 + 3x3y) = -6x3y5 + 9x5y4 (x2+y3).(x3-y2) = x5- x2y2 + x3y3- y5 : Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu – důležité!!! – proto znovu (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 , (A-B)2 = A2 – 2AB + B2, A2 – B2 = (A+B).(A-B), A2 + B2 rozložit v R nelze Vzorce pro třetí mocniny dvojčlenu nejsou povinné Úpravy lomených výrazů: vytýkání před závorku, rozklad podle vzorců, rozklad kvadratického trojčlenu, krácení na základní tvar, sčítání lomených výrazů, násobení a dělení lomených výrazů Příklady na procvičování: a2- b2 + 9a + 9b = (a+b).(a-b)+9(a+b) = (a+b).(a-b+9) 2x(3x+1)-3x-1 = 2x(3x+1)-(3x+1) = (3x+1).(2x-1) x2-4a2 = (x+2a).(x-2a) (x-3)2 =, (2x+1)2=, (4x-5y)2=, (3xy+9)2=, (3x3-4x2)2=, - upravte sami x2+7x+10 = (x+5).(x+2), x2+x-12 = (x+4).(x-3), x2-6x+8 = (x-2).(x-4), x2-5x-6 = (x-6).(x+1) atd. (a + 1) 2 .b 3 a 2 − 1 1 1 2a x x x2 . 2 − − =, =, + − =, 1+ a a −1 a −1 a −1 b .(a + 1) x + y x − y x 2 − y 2 2a 2 3 + 2 x 2 − 3 x x(16 − x) x + 2 x + 3 a − 2b 2a − b − =, + − 2 =, − + 2 =, 2 2− x 2+ x x −1 x + 2 a+b a−b a −b x −4 x 2 − xy x 2 y + xy 2 x 2 + xy  x y   =, . . =, 2 − 2  x xy x + y  x − y x + y  1   1  (1 − x) 2 (1 + x).(1 − x 2 ). y 4  1 . − =, 25 x 6 y −8 z 10 =,  .1 −  =, 2 2 2 1+ a   a  (1 − x).(1 + x) y 1− a 25 x 4 y −9 6 x −1 y 4 − 8 x −3 y 5 16 x 2 y 6 . , : = = 12 x −2 y 5 5 x 2 y −3 9 x 4 y −2 3 x −1 y 2

-6další příklady v příslušných kapitolách doporučených učebnic Shrnutí učiva 1. pololetí vzorový test ke zkoušení v 1. pololetí: 1) Znázorněte na číselné ose a zapište pomocí intervalů a) 1 ≤ |x| < 4 2) Usměrněte zlomky: a)

2 2+ 2

b)

b) |x| < 4

6 3

9

3) Upravte na co nejjednodušší tvar, nezapomeňte na podmínky, za kterých mají dané výrazy smysl: 1 1 2x y 3 .( x + 1) 2 x2 −1 a) + − = b) . = x −1 x +1 1− x 1− x2 y 2 .( x + 1) 4) Upravte na základní tvar: a)

16 x 6 y −8 z 4 =

b)

9 x 3 y 4 10 x 6 y −3 . = 5 x − 2 y 5 3 x −1 y 4

Zkoušení z matematiky na konci 1. pololetí se skládá z písemného testu (viz vzor) – doba trvání asi 45 minut - a následného ústního zkoušení. Absolvování písemného testu je nutnou podmínkou k tomu, aby student mohl vykonat ústní zkoušku z matematiky, k níž se dostaví osobně a pak teprve bude klasifikován z matematiky v 1. pololetí.

2. pololetí

Řešení lineárních rovnic ( 1 ) str. 33 – kap.5.1- 5.1.1, 5.1.2 str. 60 – pročíst, str. 63-64 – lineární funkce ( 2 ) str. 38-40 – kap. 9 str. 65 – kap. 14 ( 3 ) str. 24 – kap. 4.1, 4.2 str. 34 – kap. 5.3 ( 4 ) druhá část: str. 13 – kap. 1.3, 1.4, 1.5, 1.6

-7-

Lineární funkce je dána rovnicí y = ax + b, kde a, b ∈ R, a ≠ 0, D(f) = R. Řešení lineárních rovnic pak znamená určit všechna x tak, aby výraz ax+b se rovnal 0. b Řešením rovnice ax + b = 0 je x = - , tj. lineární rovnice( dále LR) má řešení, existuje-li a výraz na pravé straně. Řešit rovnici znamená najít všechna taková x, pro která platí, že výraz na levé straně rovnice je roven výrazu na pravé straně – řeší se vždy v nějaké základní množině, nejčastěji v množině R LR obecně má buď jedno řešení nebo žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení Při řešení se používají tzv. ekvivalentní úpravy: 1) Strany rovnice lze zaměnit – je jedno, jestli píšu 5=x nebo x=5 2) Převádíme-li výraz (člen) rovnice z jedné strany na druhou, musíme změnit jeho znaménko na opačné: x+3 = 7 → x = 7-3 → x = 4 3) Obě strany rovnice můžeme násobit (dělit) stejným výrazem různým od nuly: 3x = 12→ x = 4 Zkouška řešení se provádí dosazením zvlášť do levé i do pravé strany rovnice ( v případě používání pouze ekvivalentních úprav není zkouška nutná ) Doporučený postup řešení LR: Stanovit D(f) rovnice, tj. tzv. podmínky Odstranit lomené výrazy (zlomky) – vynásobit rovnici společným jmenovatelem Odstranit závorky – roznásobením, užitím vzorců atd. Převést členy obsahující neznámou x na jednu stranu rovnice, absolutní členy (čísla) na druhou stranu rovnice a pak sečíst členy na příslušných stranách LR vydělit číselným koeficientem stojícím před x Provést zkoušku, je-li to nutné

Příklady: a) 2x+10 = 0 2x = -10 x = -5 1 řešení

b) x+5 = 2+x+3 x-x = 2+3-5 0=0 nekonečně mnoho řešení

c) x+5 = 1+x+3 x-x = 1+3-5 0 = -1 žádné řešení

ve zkušebním testu bude rovnice s neznámou ve jmenovateli!

Příklady na procvičování: 3x + 6 5 x − 2 1 + = 2x − 3 4 6 6 x − 1 4 − 3x c) = 5 − 4x 2x − 5

a)

5 10 − 7 x −7 = [x ≠ 1, -1] x +1 x −1 2 1 3 d) − = [x ≠ 2, 3, 1] x − 2 3 − x x −1 b)

-8-

e) f) h) j) k)

x+2 2x 1 − = [ x ≠ 1] 2.( x − 1) 3.( x − 1) 24 x2 − 3 1 x−3 6 + 2 = x + 2 [ x ≠ 1] g) − = 2 −1 x −1 x − 2 x + 4 x + 2x − 8 x−2 x+2 8x 4 3 1 − + 2 = 0[ x ≠ 2,-2, ∞řešení ] i) − = [ x ≠ 1, 2] x+2 x−2 x −4 x − 2 x −1 x x +1 2 6 + −1 = [ x ≠ 1,-2, x =1tj.nemá řešení], x −1 x + 2 ( x + 2).( x − 1) 2 3 3 − = [ x ≠ 1, -3] l) (x-3)2 + (x+1)2 – (x+2)2 = 1+(x-4)2-3x x − 1 x + 3 2x − 2 další příklady v příslušných kapitolách doporučených učebnic

Rovnice součinového a podílového typu Jedná se o rovnice typu L(x) = 0, kde na levé straně je součin dvou i více výrazů. Řeší se na základě pravidla, že součin několika činitelů se rovná nule pouze v případě, že alespoň jeden z těchto činitelů je nule roven. Příklady: a) x.(x-3) = 0 → x = 0 nebo x = 3 b) (x+3).(x-3) = 0 → x = -3 nebo x = 3 c) (x-1).(x+4).(5-x) = 0 → x = 1, x = -4, x = 5 d) 2x3.(x+4).(x-2).(7+x) = 0 → x = 0, x = -4, x = 2, x = -7 Rovnice podílového typu má tvar lomeného výrazu, který se rovná nule. Řeší se na základě pravidla, kdy zlomek se rovná nule právě když se nule rovná čitatel, zatímco jmenovatel tohoto zlomku musí být různý od nuly. Příklady: x+5 a) = 0 → x ≠ 1, x = -5 x −1 2x − 4 2.(x - 2) b) =0→ = 0 → x ≠ -6, x = 2 x+6 x+6 ( x − 5).( x − 3).( x + 7) c) = 0 → x ≠ -2, 4, x = 5, 3, -7 ( x + 2).( x − 4) (3 − x).( x + 6).(1 + x).( x − 8) d) = 0 → x ≠ 0, 3, -2, x = 8, -1, -6, (3 – to už být nemůže!) x.( x − 3).( x + 2) ( x 2 − 6 x + 9).( x 2 − 25) ( x − 3) 2 .( x + 5).( x − 5) = 0 ⇒ = 0 ⇒ x ≠ −2, x = 3,5,−5 , ( x 2 + 1).( x 2 + 4 x + 4) ( x 2 + 1).( x + 2) 2 poznámka: výraz (x2+1) se nikdy nule rovnat nemůže, proto se neobjevuje zde v podmínkách, kdyby byl v čitateli, tak by nedával žádné možné řešení e)

-9-

Rovnice s absolutní hodnotou ( 1 ) str. 37 – kap. 5.1.4 ( 2 ) str. 40 – kap. 9 ( 3 ) str. 26 – kap. 4.5 ( 4 ) – 2. část – kap. 1.9 k řešení se používá definice absolutní hodnoty, metoda řešení pomocí intervalů, tj. metoda nulových bodů. Nulové body získáváme tak, že výraz v absolutní hodnotě položíme rovný nule. Tím se rozdělí číselná osa na dva ( jedna absolutní hodnota ), tři ( dvě různé absolutní hodnoty ) atd. intervaly. V nich se nahradí absolutní hodnota příslušným výrazem ( dle definice absolutní hodnoty ) a v každém intervalu zvlášť se příklad vypočítá. Výsledné celkové řešení se získá sjednocením dílčích řešení. Příklady: 1) |x+5| = -2 → nemá řešení 2) |x+4| = 0 → jedno řešení: x = -4 3) |x-7| = 1 → dvě řešení: x = 6 , 8 nulový bod je 7 a řešením jsou ta čísla x, která jsou ve vzdálenosti jedna od tohoto nulového bodu na obě strany (řešení grafické) nebo výpočtem: x0 = 7 , v intervalu (-∞ , 7) řešíme –x+7 = 1 → -x = 1-7 → x = 6 v intervalu (7 , +∞ ) řešíme x-7 = 1 → x = 1+7 → x = 8, tj. K = {6 ; 8} 4) |3 + x| = 5 → x0 = -3, v intervalu (-∞ , -3) řešíme –3-x = 5 → -x = 5+3 → x = -8 v intervalu (-3 , +∞ ) řešíme 3+x = 5 → x = 5-3 → x = 2, tj. K = {-8 ; 2} 2 16 5) 3. |3 - x| -2 = 5 → x0 = 3 → K = { , } 3 3 6) |5 + x| + 4x = 1→ x0 = -5 → v intervalu (-∞; -5) řešíme -5-x + 4x = 1 → 3x = 6 → x = 2, ale v daném intervalu není řešení , v intervalu (-5 ; +∞) řešíme 5 + x + 4x = 1→ 5x = 1-5 −4 →x= → nemá řešení , takže celkově rovnice nemá řešení 5 7) |1 –x | + | x – 4 | = 7 → 2 nulové body. x0 = 1 , 4 → vzniknou tři intervaly: (-∞;1), (1; 4), -1+x-x+4 = 7 -1+x+x-4 = 7 (4; +∞) → 3 přepisy rovnice: 1-x-x+4 = 7 x = -1 3≠7 x=6 tj. NŘ čili množina kořenů dané rovnice je K = {-1 ; 6} 8) |x+3 | + | 5-x | = 8 → 2 nulové body. x0 = -3 , 5 → vzniknou tři intervaly: (-∞;-3), (-3; 5), (5; +∞) → 3 přepisy rovnice: -x-3+5-x = 8 x+3+5-x = 8 x+3-5+x = 8 x = -3 8=8 x=5 tj. celý interval čili množina kořenů dané rovnice je uzavřený interval < -3 ; 5 > 9) |x-4 | - | x +7 | = 3 → 2 nulové body. x0 = 4 , -7 → vzniknou tři intervaly: (-∞;-7), (-7; 4), -x+4-x-7 = 3 x-4-x-7 = 3 (4; +∞) → 3 přepisy rovnice: -x+4-(-x-7) = 3

- 10 11 ≠ 3 tj. NŘ čili množina kořenů dané rovnice je K = {-3}

x = -3

-11 ≠ 3 tj. NŘ

10) ) |2+x | - | x +5 | = 3 → 2 nulové body. x0 = -2 , -5 → vzniknou tři intervaly: (-∞;-5), (-5; -2), (-2; +∞) → 3 přepisy rovnice: -2-x-(-x-5) = 3 -2-x-(x+5) = 3 2+x-(x+5) = 3 3=3 x = -5 -3 ≠ 3 tj. celý interval tj. NŘ čili množina kořenů dané rovnice je interval ( -∞ ; -5 > další příklady v příslušných kapitolách doporučených učebnic v příslušné konzultaci se budou podobným principem řešit nerovnice s absolutní hodnotou

Kvadratické rovnice (1)

str. 38 – kap. 5.1.6 str. 39 – kap. 5.1.7 str. 65, 66 – kap. 6.3 ( 2 ) str. 46, 47, 48 – kap. 10 str. 68 až 71 – kap. 15 ( 3 ) str. 25 – kap.4.3 str. 35 – kap. 5.3 (jen kvadratické funkce) ( 4 ) 2. část – str. 73 – kap. 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 Kvadratická funkce je dána rovnicí y = ax2 + bx + c, kde a,b,c jsou libovolná reálná čísla, a ≠ 0. Hledat průsečíky grafu kvadratické funkce s vodorovnou osou x je vlastně totéž jako řešit kvadratické rovnice. Kvadratická rovnice se nejprve převede ( na základě klasických úprav rovnic, tj. např. odstranění zlomků, závorek atd. ) do tzv. anulovaného tvaru ax2 + bx + c = 0, kde kde a,b,c jsou libovolná reálná čísla, a ≠ 0. ax2 je kvadratický člen, bx je lineární člen, c je absolutní člen, čísla a, b, c se nazývají koeficienty kvadratické rovnice. Pak se spočítá tzv. diskriminant podle vzorce D = b2 – 4ac. Je-li D < 0, kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení ( bude doplněno ve třetím ročníku v kapitole komplexní čísla ), je.li D = 0, kvadratická rovnice má právě jedno reálné řešení, nazývá se dvojnásobný kořen. Je-li D > 0, kvadratická rovnice má dvě různá reálná řešení, která se počítají podle vzorce: −b± D x 1,2 = 2a příklady: 1) 2x2 + 2x + 5 = 0 → D = 22 – 4.2.5 = -36 → NŘ 2) x2 + 6x + 9 = 0 → D = 62 – 4.1.9 = 0 → x = -3 - 1 řešení

- 11 3) 2x2 + 6x + 4 = 0 → D = 62 – 4.2.4 = 36 – 32 = 4 → 2 řešení −b± D −6± 4 → x 1,2 = → x 1,2 = 2a 2. 2 −6+2 −4 −6− 2 −8 x1 = = = −1, x2 = = = −2 4 4 4 4 4) x2 – 3x – 10 = 0 → D = (-3)2 -4.1.(-10) = 9 + 40 = 49, x1,2 =

3 ± 49 3 ± 7 = = 5,−2 2 .1 2

5) x2 – 9x + 14 = 0 → D = (-9)2 – 4.1.14 = 81 – 56 = 25, x1,2 =

9 ± 25 9 ± 5 = = 7, 2 2 .1 2

6) 3x2 + 2x – 1 = 0 → D = 22- 4.3.(-1) = 4 + 12 = 16, x1,2 =

− 2 ± 16 − 2 ± 4 1 = = ,−1 2 .3 6 3

další příklady: 6x2 – 7x – 3 = 0, x2 – 11x + 28 = 0, 4x2 + 3x – 10 = 0, x2 – 5x – 14 = 0, x2 – 6x 5 = 0, x2 + 9x + 20 = 0, x2 – 8x – 20 = 0 atd. jako metodu řešení lze použít i rozklad kvadratického trojčlenu, zvláště v případě, kdy koeficient a = 1: x2 + bx + c = 0 → (x – x1).(x - x2) = 0, kde x1 + x2 = -b, x1.x2 = c x2 + x -6 = 0 x2 + 3x – 4 = 0 x2 – 6x + 5 = 0 x2 – 7x + 12 = 0 x2 + 8x + 12 = 0 x2 + 8x + 7 = 0 x2 + 9x + 20 = 0 x2 + 3x -18 = 0 x2 – 9x + 8 = 0 x2 – 5x – 50 = 0 x2 – 8x – 20 = 0 x2 – 11x + 10 = 0 x2 – 8x – 9 = 0 x2 – 7x – 18 = 0 x2 – 6x – 27 = 0 x2 – 8x + 7 = 0 x2 + 10x + 21 = 0 x2 – 12x + 35 = 0

(x + 3).(x – 2) = 0 (x + 4).(x – 1) = 0 (x - 5).(x – 1) = 0 (x - 4).(x – 3) = 0 (x + 2).(x + 6) = 0 atd.

x1 = -3, x2 = 2 x1 = -4, x2 = 1 x1 = 5, x2 = 1 x1 = 4, x2 = 3 x1 = -2, x2 = -6

Neúplné kvadratické rovnice lze řešit opět pomocí diskriminantu, pouze s tím, že buď koeficient b = 0 ( kvadratické rovnice bez lineárního členu ) nebo koeficient c = 0 ( ryze kvadratické rovnice ) Jednodušší a kratší způsob je pomocí příslušného rozkladu ( resp. vzorců ): Příklady: 1) x2 – 4 = 0 → D = 0 – 4.1.(-4) = 16 → x1,2 =

0 ± 16 ± 4 = = ±2 → tj. čísla -2 a 2 2 .1 2

- 12 nebo x2 – 4 = 0 → (x + 2).(x – 2) = 0 → x1,2 = 2 , -2 4x2 – 100 = 0 → 4.(x2 – 25) = 0 → x2 – 25 = 0 → x1,2 = 5, -5 x2 + 9 = 0 → nelze rozložit →NŘ ( D = -4.1-9 = -36 ) x2 – 1 = 0, x2 – 49 = 0, x2 + 81 = 0 atd. Řešením rovnic tohoto typu jsou tedy vždy dvě opačná čísla nebo rovnice v množině reálných čísel vůbec řešení nemá

2) x2 – 5x = 0 → D = (-5)2 – 4.1.0 = 25 → x1,2 = nebo

5 ± 25 5 ± 5 = = 5, 0 2 .1 2

x.(x – 5) = 0 → x1 = 0, x2 = 5 −3±3 = 0 , -3 2 x.(x + 3) = 0 → x1 = 0, x2 = -3

x2 + 3x = 0 → D = 9 → x1,2 = nebo

2x2 + 12x = 0 → 2x.(x + 6) = 0 → x1 = 0, x2 = -6 3x2 – 15x = 0, x2 + 7x = 0 atd. Rovnice tohoto typu mají vždy jeden kořen roven 0, mají také vždy reálná řešení

další příklady v příslušných kapitolách doporučených učebnic

Lineární nerovnice a jejich soustavy (1) (2) (3) (4)

str. 49 – kap. 5.4 – 5.4.1, 5.4.2, 5.4.4 str. 57 – kap. 5.6 str.56 – kap. 12 (jen lineární nerovnice atd.) str. 29 – kap. 4.9 str. 35 – kap. 1.8 str. 41 – kap. 1.9 str. 46 – kap. 1.10

Mezi výrazy na levé a na pravé straně se používají znaménka ≠ , > , < , ≤ , ≥ Pro práci s nerovnicí se používají stejné ekvivalentní úpravy jako při práci s rovnicemi, ale při násobení (dělení) záporným číslem (výrazem) se musí změnit znaménko nerovnosti na opačné. Také při případné výměně levé a pravé strany nerovnice se musí znaménko nerovnosti změnit na opačné. Řešením nerovnic jsou obecně intervaly.

- 13 Příklady: 2x + 1 ≤ 3 2x ≤ 2 x≤1 K = ( - ∞ ;1

1 1 2.(6 – 2x) – 3.( +x) > 5 + 3x 2 2 12 – 4x – 1,5 – 3x > 5,5 + 3x -4x – 3x – 3x > 5,5 + 1,5 - 12 -10x > -5

4x – 2 ≤ 5x – 1 4x – 5x ≤ -1 + 2 -x ≤ 1 x ≥ -1

1 2 K = (-∞; +∞)

K = − 1,+∞)

x<

Další příklady: 1)

5( x − 1) 2( x + 1) −1 ≥ → K = 〈15,+∞) 6 3

3)

2 x − 5 3x − 1 7 x + 2 + ≥ → K = (-∞; -1 〉 6 3 2

2)

4)

Která přirozená čísla jsou řešením nerovnice? 3x − 5 x + 2 x x + 8 + ≤ + 4 3 2 5

5)

(x-1).(x-4) > x2 + 2x + 11

6)

3x − 6 6x + 1 ≤ 1− 4 8

5 x + 2 3x + 4 x + 3 − > → NŘ 7 14 2

Soustavy dvou lineárních nerovnic o jedné neznámé se řeší tak, že se každá nerovnice vyřeší zvlášť a výsledné řešení se získá jako průnik. Mohou nastat čtyři možnosti výsledného řešení: a) 3x + 5 < x -1

b) 3x + 5 < x -1

2x – 3 ≥ x +1 x < -3 x≥4

2x -3 ≤ x -1 x < -3 x≤4

(-∞,-3) ∩ 〈 4,+∞) K= Ø

(-∞,-3) ∩ (-∞, 4 〉 K = (-∞; -3)

c) 3x + 5 > x -1 2x – 3 ≤ x – 1 x > -3 x≤4 (-3, +∞) ∩ (-∞, 4 〉 K = (-3; 4 〉

Další příklady: 1) 3.(2x+1) – 2.(3x+1) > 3x – 1 4.(x-1) + 3.(2-x) ≤ 2x + 3

d) 3x + 5 > x - 1

2)

4x + 3 −x <6 5 2x − 3 4x + 5 < 3 6

2x – 3 ≥ x – 1 x > -3 x≥4 (-3, +∞) ∩ 〈 4,+∞) K = 〈 4,+∞)

- 14 Nerovnice součinového a podílového typu Patří do kategorie soustav nerovnic Součin, resp. podíl dvou výrazů je kladný právě když oba výrazy mají stejné znaménko, tj. buď jsou oba kladné nebo jsou oba záporné. Existují tedy dvě možnosti řešení, každou zvlášť tedy vyřešíme a celkové řešení budeme hledat jako jejich sjednocení. Součin, resp. podíl dvou výrazů je záporný právě když se výrazy znaménkem liší, existují tedy opět dvě možnosti řešení. Stejně se postupuje v případě nerovností typu ≤ , ≥ , jen v případě zlomku musíme dát pozor na jmenovatel (nesmí se rovnat nule). Příklady: 1) (x+2).(x-4) ≥ 0 → x + 2 ≥ 0 nebo x + 2 ≤ 0 x-4≥0 x–4≤0 x ≥ -2 x ≤ -2 x≥4 x≤4 K = 〈 4,+∞) U (- ∞,−2〉 2) (x-3).(x+4) < 0 → x - 3 > 0 x+4<0 Ø 3)

nebo x - 3 < 0 x+4>0 (-4 ; 3) = K

(x-1).(3-x) ≤ 0 → x - 1 ≥ 0 nebo x - 1 ≤ 0 3–x≤0 3–x≥0 x≤1 x≥1 3≤x 3≥x K = 〈3,+∞) U (- ∞,1〉

4) (3+x).(6-x) > 0 → 3 + x > 0 nebo 3 + x < 0 6–x>0 6–x<0 x > -3 x < -3 6>x 6<x (-3 ; 6 ) = K Ø 3− x 5) nebo 3 – x < 0 >0 → 3–x>0 x+2 x+2>0 x+2<0 3>x 3<x x > -2 x < -2 (-2 ; 3) = K Ø

6)

5− x ≤ 0 → 5 – x ≤ 0 nebo 5 – x ≥ 0 x+3 x+3>0 x+3<0 5≤x 5≥x x > -3 x < -3 K = 〈5,+∞) U (- ∞,−3)

Další příklady:

- 15 x−5 x +1 3x − 1 ≤ 0, ≥ 0, ≥ 0, atd. x+2 x −1 3− x

další příklady v příslušných kapitolách doporučených učebnic

Nerovnice s absolutní hodnotou řeší se obdobně jako rovnice s absolutní hodnotou, tj. na základě definice absolutní hodnoty, metodou nulových bodů a řešením v jednotlivých tak vzniklých intervalech. Řešením bývají intervaly, resp.. sjednocení intervalů. Před začátkem řešení je dobré zjistit, jak se příklad chová v nulových bodech, abychom zjistili, ve které části číselné osy bude řešení nerovnice a jak uzavřené intervaly budou. Nezapomeňte také zkontrolovat, zda možné řešení leží v příslušném intervalu, v němž zrovna provádíme výpočet. Pro jednodušší příklady lze také užít metodu grafickou, tj. zakreslování příslušných intervalů na číselné ose. 1) | x -1| ≤ 5 → nulový bod x0 = 1→ pro x = 1 nerovnost platí → řešení bude ve dvou intervalech → v (-∞ , 1 〉 je –x + 1 ≤ 5 , v 〈1,+∞) je x – 1 ≤ 5 -x ≤ 4 x≤6 x ≥ -4 〈−4,1〉 U 〈1,6〉 = 〈−4,6〉 = K 2) | x | + | x +3| ≤ x – 4 → x0 = 0, -3 → v nulových bodech nerovnost neplatí → v (-3, 0) je –x+x+3 ≤ x-4 v (0 , +∞ ) je x+x+3 ≤ x-4 v (-∞,-3) je -x-x-3 ≤ x-4 -3x ≤ -1 -x ≤ -7 x ≤ -7 1 x ≥ tj. Ø x ≥ 7, tj. Ø tj. Ø 3 K = Ø, příklad nemá řešení 1 3) | 3x +1| - | x -2| + 1 > 0 → x0 = - , 2 → nerovnost platí jen v bodě 2 → 3 1 1 v (-∞, - ) je -3x-1-(-x+2)+1> 0 v (- , 2 〉 je 3x+1-(-x+2)+1> 0 3 3 -3x-1+x-2+1 > 0 3x+1+x-2+1> 0 -2x > 2 4x > 0 x < -1 x>0 v 〈 2,+∞) je

3x+1-(x-2)+1 > 0 3x+1-x+2 > 0 2x > -4 x > -2

K = (-∞;-1) U (0;+∞)

4) 3x - | 3x | + | 11 – x | < 1 → x0 = 0 , 11 → nerovnost platí jen v čísle 11 → v (-∞,0) je 3x-(-3x)+11-x < 1 v (0, 11 〉 je 3x-3x+11-x < 1 v 〈11,+∞) je 3x-3x-11+x < 1 5x < -10 -x < -10 x < 12 x < -2 x > 10

- 16 (-∞; -2)

U

(10 ; 11 〉 K = (-∞; -2) U (10 ; 12 〉

U

〈11,12)

5) | x + 6| - | x -2| ≥1 → x0 = -6 , 2 → nerovnost platí jen v čísle 2 → v (-∞ , -6) je -x-6-(-x+2) ≥1 v (-6 , 2 〉 je x+6-(-x+2) ≥1 v 〈 2,+∞) je x+6-(x-2) ≥ 1 x+6+x-2 ≥ 1 x+6-x+2 ≥ 1 -x-6+x-2 ≥1 0≥9 x ≥ -3 0 ≥ -7 3 Ø 〈− ,2〉 U 〈 2,+∞) 2 3 K = 〈− ,+∞ ) 2 Další příklady: | x |+| x -3| ≤ 10 , | 3x -1| + x < 5 , |2 -x| ≤ 3 + 2x , | 3 – x | > 2 + 4x , | x + 7| + | x -1| ≥ 9 , 2x + | 2 –x | ≥ 3 , | 3 –x | > 4x – 2

další příklady v příslušných kapitolách doporučených učebnic

Iracionální rovnice (1) (2) (3)

str. 41 – kap. 5.1.11 str. 54 – kap. 11 str. 26 – kap. 4.4

Rovnice s neznámou pod odmocninou obsahují neznámou x pod odmocninou. Řeší se umocňováním, což ale není ekvivalentní úprava, tj. při jejím použití může dojít ke změně příkladu. Proto nutnou a nedílnou součástí řešení je zkouška, která zjistí, zda kořeny při výpočtu upravené rovnice po umocnění řeší původní rovnici. Umocněním zadané rovnice dostaneme lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou vyřešíme (viz předcházející kapitoly).

1)

2−x = x+4 / 2

Zk.

2 − ( −7 ) =

9 = 3 , -7 + 4 = -3 , -7 není kořenem rovnice

2 − (−2) = 4 = 2 , -2 + 4 = 2 , -2 je kořenem rovnice K = { -2 }

2

2 – x = x + 8x + 16 0 = x2 + 9x + 14 0 = (x + 7).(x + 2) x1 = -7, x2 = -2

2)

x2 + 5 = x − 5 / 2 x2 + 5 = x2 – 10x + 25 10x = 20 x=2

3)

3 x − 5 = x – 1 → K ={ 2 ; 1 }

Zk.

2 2 + 5 = 9 = 3 , 2 – 5 = -3 , -2 není kořen, tj. zadaná rovnice nemá řešení

- 17 -

4) 5) 6)

x 2 − 6 = x – 2 → K ={

1 } 2

x 2 − 3 = 2x + 3 → K = Ø ( tj. žádné řešení )

2.

x 2 + 7 = 2(x +1) → kořeny kvadratické rovnice jsou -3 a

1 1 , K={ } 3 3

další příklady v příslušných kapitolách doporučených učebnic

Soustavy lineárních rovnic (1) (2) (3) (4)

str. 45 – kap. 5.3 – 5.3.1, 5.3.2 str. 43, 44 – kap. 9 str. 27 – kap. 4.6 2. část - str.53 – kap. 1.11 str. 67 – kap. 1.14

Řešením soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je taková uspořádaná dvojice [x ; y] , která po dosazení do původní soustavy za příslušné proměnné určí platné rovnosti. Existuje několik klasických metod řešení soustavy: srovnávací, dosazovací, sčítací, kombinovaná z předcházejících dvou, grafická, ale také pomocí determinantů. Řešením soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých je uspořádaná trojice [x ; y; z]. K řešení se užívá stejných metod jako u soustavy dvou lineárních rovnic (kromě grafické). Soustava lineárních rovnic má buď nekonečně mnoho řešení nebo žádné řešení nebo jediné řešení. 1) ( I ) ( II ) ( III ) ( I ) ( II ) ( III ) ( II ) ( III ) ( II )

x + 2y + 3z = -1 2x + y – 3z = 1 3x – 2y – z = 5 x = -1-2y -3z dosazovací vzorec a ten dosadíme do ( II ) a ( III ) 2.( -1-2y-3z ) +y – 3z = 1 3.(-1-2y-3z) -2y-z = 5 -2 - 4y - 6z + y- 3z = 1 -3 - 6y - 9z - 2y - z = 5 -3y - 9z = 3 / : 3 -8y - 10z = 8 / : 2 ( II ) -y – 3z = 1 /.(-4) -4y – 5z = 4 4y + 12z = - 4 a sečteme -4y – 5z = 4 7z = 0 z=0 dosadíme např. do ( II ) -y – 3z = 1 -y – 3.0 = 1 -y = 1 y = -1 a pak do dosazovacího vzorce ( I ) x = -1- 2y -3z = -1 -2.(-1) -3.0 = -1 + 2 = 1

- 18 Řešením je tedy [1 ; -1 ; 0]

Další příklady: 2) x + y + z = 15 2x – 4y + 3z = 16 x + 4y – 2z = 12 [8, 3, 4] 5)

x – y + 2z = -1 2x - 3y + 4z = -4 3x + 2y + 5z = 8

3) 2x + 3y + z = -4 3x – y + 2z = 5 -x + 2y + 3z = -5 [1, -2, 0]

4)

x + 2y – 3z = -7 3x – y + 2z = 8 2x – 3y + z = 7 [1, -1, 2]

[3, 2, -1]

další příklady v příslušných kapitolách doporučených učebnic

Doplnění a shrnutí učiva Příklady na procvičování, opakování, přípravu na písemný test:

1) kvadratické rovnice: 3x2 – 10x – 8 = 0 , 3x2 + 2x – 1 = 0 , 2x2 – 4x + 2 = 0 , 2x2 + 10x + 12 = 0 , x2 + 7x + 6 = 0 , x2 + 5x – 14 = 0 , x2 – 7x = 0 , 4x2 + 8x = 0 , x2 – 100 = 0 , 2x2 – 19 = 0 , 3x2 + 3 = 0 , x − 2 x +1 3.( x 2 − 5) 3x 1 + = x2 + 2x + 5 = 0 , , + =1 x − 1 x + 2 ( x + 2).( x − 1) x − 2 x + 3

2) lineární rovnice, lineární nerovnice: 3 2 4 − − =0 , x − 3 x + 3 2x − 6

4 3 1 − = , (x+2)2 = 2x2 – 3x + 6 –x(x-3) x − 2 x −1 x

5( x − 1 2( x + 1 2 x − 5 3 x − 1 7 x + 2 5 x + 2 3 x + 4 x + 3 3 x − 6 6 x + 1 −1 ≥ , + ≥ , − > , < 6 3 6 3 2 7 14 2 4 8 3x − 5 x + 2 x x + 8 + ≤ + 4 3 2 5

3) soustavy lineárních nerovnic: a) 3( 2x+1) – 2(3x+1) > 3x – 1 4(x – 1) + 3(2 – x) ≤ 2x + 3 x 2 + 3x < + 4 2 b) 4 x − 3 3x + 2 − <1 4 4

c)

4x + 3 −x≤6 5 2x − 3 4x + 5 ≤ 3 6

- 19 -

4) nerovnice součinového podílového typu: (2x-1).(x+1) > 0 , (x-3).(x+4) < 0 ,

5x + 1 2x + 3 x +1 3− x < 0, ≥ 0, ≤ 0, >0 1+ x 6 - 4x x+3 2+ x

5) rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou: |x-1| < 3 , |x-1| ≥ 5 , |3x+7| > 3 , |7x-1| ≤ 3 , |5+4x| < 1 , x + |x+1| + |x-3| < 5 , x - |1-2x| < 3 , 2x - |3x-1| > 2 , |2x-1| + x < 3 , |x+1| -3x ≥ 5 , |x+3| - 2. |x-1| ≥ 1, 2 |x+3|-x = 5, |x+2| + |x-6| = 8

6) iracionální rovnice

x2 + 5 = x + 3 ,

x−4 = x−2 ,

x-1=

x+5

7) soustavy lineárních rovnic 2x + 3y - z = 5 3x – 2y + 2z = 5 4x – y + 3z = 11

2x - y – 2z = 3 x + 2y + z = 5 3x – 2z = 7

x + 2y – 3z = -8 -3x + y + 2z = 10 2x – 3y + 2z = 5

Závěrečný test pro druhé pololetí bude obsahovat šest příkladů, každý bude za a) i za b):

Zkoušení z matematiky na konci 2. pololetí se skládá z písemného testu – doba trvání asi 45 minut - a následného ústního zkoušení. Absolvování písemného testu je nutnou podmínkou k tomu, aby student mohl vykonat ústní zkoušku z matematiky, k níž se dostaví osobně a pak teprve bude klasifikován z matematiky ve 2. pololetí. - konec textu -