ˇ Derivace funkcí jedné promenné
1 / 19
Matematika 1 pro PEF PaE
ˇ 4. Derivace funkcí jedné promenné Pˇremysl Jedliˇcka ˇ Katedra matematiky, TF CZU
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Nejjednodušší derivace
Derivace ve fyzice Isaac Newton 1643–1727
ˇ Prum ˚ erná rychlost
v=
s t
Okamžitá rychlost
ds dt→0 dt
v = lim
ds
2 / 19
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Nejjednodušší derivace
3 / 19
Derivace v geometrii Gottfried Wilhelm Leibniz 1646–1716
∆y ˇ Smernice teˇcny
∆y ∆x→0 ∆x
k = lim
∆x ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Nejjednodušší derivace
Derivace funkce
Definice Bud’ f reálná funkce spojitá v bodeˇ a. Derivace funkce f v bodeˇ a, znaˇcená f 0 (a), je definována jako f (a + ∆x) − f (a) . ∆x→0 ∆x lim
Definice Bud’ f reálná funkce. Derivace funkce f (x) je reálná funkce f 0 (x), neboli ˇ funkce, která každému bodu pˇriˇradí derivaci v pˇríslušném bode.
4 / 19
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Nejjednodušší derivace
5 / 19
Nejjednodušší derivace
Pˇríklad ∆x (x + ∆x) − x = lim =1 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
x0 = lim
Pˇríklad K −K =0 ∆x→0 ∆x
K 0 = lim
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Nejjednodušší derivace
Derivace mocnin Pˇríklad 0 (x + ∆x)2 − x2 x2 + 2x∆x + ∆x2 − x2 2 x = lim = lim = ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x 2x∆x + ∆x2 = lim = lim (2x + ∆x) = 2x ∆x→0 ∆x→0 ∆x Pˇríklad 0 (x + ∆x)3 − x3 x3 = ∆x→0 lim ∆x
x3 + 3x2 ∆x + 3x∆x2 + ∆x3 − x3 ∆x→0 ∆x 3x2 ∆x + 3x∆x2 + ∆x3 2 = lim = lim (3x2 + 3x∆x + ∆x2 ) = 3x ∆x→0 ∆x→0 ∆x
= lim
Fakt Pro každé α ∈ R platí (xα )0 = α · xα−1 .
6 / 19
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Nejjednodušší derivace
7 / 19
Derivace goniometrických funkcí Pˇríklad sin(x + ∆x) − sin x ∆x→0 ∆x sin x · cos ∆x + cos x · sin ∆x − sin x = lim ∆x→0 ∆x sin x · 1 + cos x · ∆x − sin x = lim ∆x→0 ∆x cos x · ∆x = cos x = lim ∆x→0 ∆x
sin0 x = lim
Pˇríklad cos(x + ∆x) − cos x lim cos0 x = ∆x→0
∆x cos x · cos ∆x − sin x · sin ∆x − cos x = lim ∆x→0 ∆x cos x · 1 − sin x · ∆x − cos x − sin x · ∆x = lim = lim = − sin x ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Nejjednodušší derivace
Derivace pˇrirozeného logaritmu Pˇríklad ln x+∆x ln(x + ∆x) − ln x x ln x = lim = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x ! ln 1 + ∆x ∆x 1 x = lim = lim ln 1 + · ∆x→0 ∆x→0 ∆x x ∆x ! ∆x1 ! xt ∆x 1 = lim ln 1 + = lim ln 1 + t→±∞ ∆x→0 x t !t 1x !t 1x 1 1 1 1 = ln e x = = lim ln 1 + = ln lim 1 + t→±∞ t→±∞ t t x 0
Substituce
1 ∆x x = , neboli ∆x = . Pro ∆x → 0 je t → ±∞. t x t
8 / 19
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Pravidla pro derivování
9 / 19
Derivování souˇctu a rozdílu ˇ Veta Bud’te f , g dveˇ spojité funkce a k konstanta. Pak platí
f (x) + g(x) 0 = f 0 (x) + g0 (x) f (x) − g(x) 0 = f 0 (x) − g0 (x) k · f (x) 0 = k · f 0 (x)
Dukaz. ˚ (f ± g)(x + ∆x) − (f ± g)x (f ± g)(x) 0 = lim = ∆x→0 ∆x f (x + ∆x) − f (x) ± [g(x + ∆x) − g(x)] = lim = f 0 (x) ± g0 (x). ∆x→0 ∆x kf (x+∆x)−kf (x) ∆x ∆x→0
kf (x) 0 = lim
f (x+∆x)−f (x) ∆x ∆x→0
= k lim
= kf 0 (x)
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Pravidla pro derivování
10 / 19
Derivace obecného logaritmu
Pˇríklad ln x log0a x = ln a
!0
!0 1 1 1 1 1 = · ln x = · ln0 x = · = ln a ln a ln a x x ln a
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Pravidla pro derivování
11 / 19
Derivace souˇcinu a podílu ˇ Veta Bud’te f a g dveˇ spojité funkce. Pak platí
f (x) · g(x) 0 = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g0 (x) !0 f 0 (x) · g(x) − f (x) · g0 (x) f (x) = g(x) g(x)2
Dukaz. ˚ Souˇcin:
f (x + ∆x) · g(x + ∆x) − f (x) · g(x) ∆x→0 ∆x f (x + ∆x) · g(x + ∆x) − f (x) · g(x + ∆x) + f (x) · g(x + ∆x) − f (x) · g(x) = lim ∆x→0 ∆x ! f (x + ∆x) − f (x) g(x + ∆x) − g(x) = lim g(x + ∆x) + f (x) ∆x→0 ∆x ∆x
((f · g)(x))0 = lim
f (x + ∆x) − f (x) g(x + ∆x) − g(x) + f (x) · lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x 0 0 = g(x) · f (x) + f (x) · g (x) = lim g(x + ∆x) · lim
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Pravidla pro derivování
12 / 19
Derivace goniometrických funkcí 2
Pˇríklad sin x tg0 x = cos x
!0
sin0 x cos x − sin x cos0 x = = cos2 x
cos x cos x − sin x(− sin x) cos2 x + sin2 x 1 = = = cos2 x cos2 x cos2 x
Pˇríklad cotg x = 0
cos x 0
sin2 x − sin x sin x − cos x cos x
sin x =
=
cos0 x sin x − cos x sin0 x
sin2 x
=
=
− sin2 x − cos2 x sin2 x
=−
1 sin2 x
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Derivace inverzní funkce
13 / 19
Derivace inverzní funkce ˇ Veta Bud’ f spojitá prostá funkce a ϕ její funkce inverzní. Bud’ x ∈ D(f ). Oznaˇcíme-li y = f (x), pak platí f 0 (x) =
1 . ϕ0 (y)
Dukaz. ˚ Oznaˇcme f (x + ∆x) = y + ∆y, a tedy x + ∆x = ϕ(y + ∆y).
f (x + ∆x) − f (x) y + ∆y − y ∆y = lim = lim ∆x→0 ∆x→0 x + ∆x − x ∆y→0 ϕ(y + ∆y) − ϕ(y) ∆x 1 1 1 = lim ϕ(y+∆y)−ϕ(y) = = ∆y→0 ϕ0 (y) lim∆y→0 ϕ(y+∆y)−ϕ(y) ∆y ∆y lim
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Derivace inverzní funkce
Vzorce pro derivaci element. inverzních funkcí 1 Pˇríklady (ex )0 =
1 1 = y = ex = 0 1 ln (y) y
√ ( x)0 =
1 1 1 = = √ (y2 )0 2y 2 x
Pˇríklady arcsin0 (x) =
1 1 1 1 = = = q √ sin0 (y) cos y 1 − x2 1 − sin2 y
arccos0 (x) =
1 1 1 1 = = − = − p √ cos0 (y) − sin y 1 − cos2 y 1 − x2
14 / 19
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Derivace inverzní funkce
15 / 19
Vzorce pro derivaci element. inverzních funkcí 2 Pˇríklady arctg0 (x) = =
arccotg0 (x) =
1 = tg0 (y)
1 1 cos2 y
1 cos2 y cos2 y
+
=
sin2 y cos2 y
=
1 1
1 + tg2 y
1 1 = cotg0 (y) − 12
=−
sin y
=−
1 sin2 y sin2 y
+
cos2 y sin2 y
=
cos2 y+sin2 y cos2 y
=−
=
1 1 + x2
1 sin2 y+cos2 y sin2 y
1 1 + cotg2 y
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
=
=−
1 1 + x2
Derivace složené funkce
16 / 19
Derivace složené funkce ˇ Veta Bud’ g funkce spojitá v bodeˇ x a f funkce spojitá v bodeˇ g(x). Pak (f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x)) · g0 (x)
Dukaz. ˚ Oznaˇcme y = g(x) a ∆y = g(x + ∆x) − g(x).
f (y + ∆y) − f (y) f (g(x + ∆x)) − f (g(x)) = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x f (y + ∆y) − f (y) ∆y f (y + ∆y) − f (y) ∆y · = lim · lim = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆y ∆x ∆y→0 ∆y g(x + ∆x) − g(x) = f 0 (y) · lim = f 0 (g(x)) · g0 (x) ∆x→0 ∆x
(f ◦ g)0 (x) = lim
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Derivace složené funkce
17 / 19
Derivace mocninných funkcí Pˇríklad a
x 0
ln ax 0
= e
x x·ln a 0 = e = ex·ln a · (x · ln a)0 = eln a · 1 · ln a = ax · ln a
ˇ o derivaci podílu. Dukaz ˚ vety f (x) g(x)
!0
−1 0 = f (x) · g(x) = f (x) · g(x) + f (x) · g(x) = f 0 (x) · g(x)−1 + f (x) · −1 · g(x)−2 · g0 (x)
−1
0
−1
f 0 (x) f (x) · g0 (x) f 0 (x) · g(x) − f (x) · g0 (x) = − = g(x) g(x)2 g(x)2 ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Derivace vyšších ˇrádu˚
Derivace vyšších ˇrádu˚ Definice Druhou derivaci funkce f , znaˇcení f 00 (x), dostaneme, když zderivujeme derivaci funkce f ješteˇ jednou, neboli f 00 (x) = (f 0 (x))0 . n-tá derivace funkce f , znaˇcení f (n) (x), se dostane n postupnými derivacemi funkce x, neboli f (n) (x) = (f (n−1) (x))0 .
Pˇríklad f (x) = x · ex f 0 (x) = x0 · ex + x · (ex )0 = 1 · ex + x · ex = (1 + x)ex f 00 (x) = (1 + x)0 · ex + (1 + x)(ex )0 = 1 · ex + (1 + x)ex = (2 + x)ex f (3) (x) = (2 + x)0 · ex + (2 + x)(ex )0 = 1 · ex + (2 + x)ex = (3 + x)ex .. . f (n) (x) = (n + x) · ex
18 / 19
Derivace vyšších ˇrádu˚
ˇ Derivace funkcí jedné promenné
Pˇríklad na derivace vyšších ˇrádu˚ Úloha r ˇ druhou derivaci funkce f (x) = ln Najdete
1−x . 1+x
ˇ Rešení: Dvakrát zderivujeme
1 f 0 (x) = q
1 q
·
1−x 1+x
=
1 2·
1−x 1+x
2 ·
·
1−x 1+x
−2 (1+x)2
=
(−1)·(1+x)−(1−x)·1 (1+x)2
= 2
1+x 2(1−x)
·
−2 (1+x)2
=
1 q
1−x 1+x
−2 2(1−x)·(1+x)
0 · (1 − x2 ) − (−1) · (−2x) −2x = f (x) = (1 − x2 )2 1 − 2x2 + x4 00
2 ·
=
−1−x−1+x (1+x)2
−1 1 − x2
19 / 19
