PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

„Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online  “

PRACOVNÍ SEŠIT 5. tematický okruh:

POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA

vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ z matematiky

školní rok 2014/2015

© RNDr. Věra Effenberger

www.zvladnimatiku.cz

5. POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA Příprava na SMZ z MATEMATIKY online!

Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Posloupnosti a finanční matematika. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Posloupnosti a finanční matematika unaví, nebo tě přestanou bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Posloupnosti a finanční matematika musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s www.zvladnimatiku.cz!

Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video „Posloupnosti a finanční matematika“. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost.



2


5.

POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA

5.1 ZÁKLADNÍ POZNATKY O POSLOUPNOSTECH Pozn.: Protože posloupnosti jsou speciálním případem ________, budeme mít dost často příležitost využít znalosti z předchozího tematického okruhu: 4. ________. Připomínám  : Funkce na množině D  R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y. Množina D se nazývá ________ ________ funkce.

Co je to posloupnost? Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech ________ čísel N, se nazývá nekonečná posloupnost. Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina prvních n ________ čísel 1, 2,  , n , se nazývá konečná posloupnost. Funkční hodnoty posloupnosti (konečné nebo nekonečné) se nazývají ________ posloupnosti. Funkční hodnota v bodě n  N se nazývá n-tý člen posloupnosti a značí se:

Nekonečná posloupnost s n-tým členem a n se zapisuje:


Konečná posloupnost s n-tým členem a n se zapisuje:


3


Příklady posloupností: posloupnost všech sudých čísel: ………………………………………………………… posloupnost všech lichých čísel: ………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

Jak může být posloupnost zadána? Posloupnost může být zadána jedním z těchto způsobů:

 Vzorcem pro n-tý člen -

posloupnost je zadána vzorcem, pomocí kterého můžeme vypočítat ________ její člen (bez toho aniž bychom znali členy předcházející)

Příklady: Napište prvních pět členů posloupnosti n  n  1n 1 

Určete 3. a 7. člen posloupnosti an 

3n  1 n2 

1   n Určete 4. a 11. člen posloupnosti   1   n  2  n 1 

 Výčtem prvků -

posloupnost je určena tím, že se vyjmenují všechny její členové, a to v pořadí od prvního do n-tého to lze samozřejmě provést jen u ________ posloupností

Příklady: 1, 4, 9, 16, 25, 36

2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2, -2

1 2 3 4 5 6 , , , , , 2 3 4 5 6 7

1 1  32, 16,  8, 4,  2, ,  2 4



4


 Rekurentně * -

v posloupnosti je dán její první člen (někdy i několik prvních členů) a dále vzorec, pomocí něhož spočítáme člen ________ abychom spočítali další člen, musíme mít vždy spočítány členy, které mu ________

Příklady: Určete prvních pět členů následujících posloupností: a1  6, an1  2an  1 b1  1, b2  3, bn2  3bn1  bn

 Graficky -

posloupnost může být zadána i graficky, stejně jako funkce grafem posloupnosti je vždy množina ________ bodů!!! posloupnosti můžeme znázorňovat v pravoúhlé soustavě souřadnic na přímce

Příklady: a n   1  n


n 2


5


bn  n 2  3n

Vlastnosti posloupností U posloupností zkoumáme obdobné vlastnosti jako u reálných funkcí. Posloupnost an n 1 se nazývá: 

 shora omezená, jestliže existuje takové číslo h  R , že _________ pro všechna n  N Příklad:

 n 

2  n 1

 zdola omezená, jestliže existuje takové číslo d  R , že _________ pro všechna n  N Příklad:

5n  3n 1

 omezená, jestliže je shora a zároveň i zdola omezená 

Příklad:

 n     n  1  n 1

 rostoucí, je-li _________ pro každé n  N ;

Příklad:

 klesající, je-li _________ pro každé n  N ;

Příklad:

 nerostoucí, je-li _________ pro každé n  N ;

Příklad:

 neklesající, je-li _________ pro každé n  N ;

Příklad:



6


5.2 ARITMETICKÁ POSLUPNOST Definice aritmetické posloupnosti Posloupnost an n 1 se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo d, že pro 

každé přirozené číslo n je: an1  an  d

Číslo d se nazývá ________ aritmetické posloupnosti.

Pro každé dva po sobě jdoucí členy an a an+1 aritmetické posloupnosti platí:

Příklad: Dokažte, že posloupnost an  2n  5 je aritmetická a určete její diferenci.

Vypište prvních šest členů aritmetické posloupnosti, jestliže a1  16 , d  5 .

V aritmetické posloupnosti dále platí: an  a1  n  1d

pro každé n  N

as 

pro každé r, s  N


r


s

7


Příklady: V aritmetické posloupnosti

an n 1

jsou dány její členy: a5  4, a11  46 . Určete

diferenci a členy a1 , a23 .

Určete diferenci a první člen v aritmetické posloupnosti bn n 1 , pro kterou platí: 

b4  5b1  95 2b2  b3  20

Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti Součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti an n 1 je roven: 

sn  a1  a2    an 

Příklady: Vypočítejte součet všech lichých dvojciferných čísel.

Určete součet prvních 15 členů aritmetické posloupnosti an n 1 , pro kterou platí: 

a) a1  3, d  5

b) a4  7 , a8  1



8


5.3 GEOMETRICKÁ POSLUPNOST Definice geometrické posloupnosti Posloupnost an n 1 se nazývá geometrická, právě když existuje takové reálné číslo q, že pro 

každé přirozené číslo n je: an1  an  q

Číslo q se nazývá ________ geometrické posloupnosti.

Jestliže a1  0 a také q  0 , pak pro každé dva po sobě jdoucí členy an a an+1 geometrické posloupnosti platí:

Příklad: Vypište prvních pět členů geometrické posloupnosti, jestliže a1  3, a2  12 .

Dokažte, že posloupnost an  2 n1  3n je geometrická a určete její kvocient.

r

s

V geometrické posloupnosti dále platí:

an  a1  q n 1

pro každé n  N

as 

pro každé r, s  N



9


Příklady: 5  V geometrické posloupnosti an n 1 jsou dány její členy: a 2  12, a5  3 . Určete 9 kvocient a členy a1 , a3 .

Určete první člen a kvocient v geometrické posloupnosti an n 1 , ve které platí: 

a1  a3  10 a2  a4  30

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti Součet sn  a1  a2    an prvních n členů geometrické posloupnosti an n 1 je roven: 

, jestliže je q  1

sn  a1 

qn  1 q 1

, jestliže je q  1

Příklady: Vypočítejte součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti an n 1 , kde: 

a) a1  2 , a3  8

b) a 4  27 , q 


1 3


10


5.4 VYUŽITÍ POSL. PRO ŘEŠENÍ ÚLOH Z PRAXE, FINANČNÍ MATEMATIKA Slovní úlohy (z praxe) Příklady: Plastové roury se skládají do vrstev, tak jak je tomu na obrázku (další vrstva rour je vždy položena do mezer spodní vrstvy rour). Do kolika vrstev se složí 77 rour, jestliže v nejvyšší vrstvě jsou jen dvě roury? Dále určete počet rour ve spodní vrstvě.

Nový automobil by byl v letošním roce pořízen za 420.000,- Kč. Každý následující rok se hodnota vozu snižuje a to vždy o stejné procento hodnoty z předchozího roku. Za čtyři roky by tak cena automobilu klesla přibližně na 327.900,- Kč. S přesností na jednotky určete, kolik procent se každým rokem hodnota vozu snižuje.



11


Finanční matematika Z oblasti financí můžeme posloupnosti aritmetickou a zejména pak geometrickou velice dobře využít. Budeme jejich pomocí počítat zúročené penízky nebo výši ________ .

Základní pojmy aneb Co to je … ?  Úrok z hlediska:  věřitele = odměna (též _______ ) ve formě náhrady za dočasnou ztrátu kapitálu a za riziko, že tento kapitál nebude splacen  dlužníka = cena za poskytnutý úvěr ve smyslu ________ peněz  Úroková míra = výše úroku za určité _________ v procentech = úroková sazba, míra výnosnosti, míra zisku, ...  roční, per annum (p.a.)  pololetní, per semestre (p.s.)  čtvrtletní, per quartale (p.q.)

 měsíční, per mensem (p.m.)  denní, par diem (p.d.)

 Doba splatnosti (úroková doba) = _________, po kterou je kapitál uložen či zapůjčen  Úrokové období = doba, na jejímž začátku nebo konci je připsán _________ z vkladu (je zaplacen úrok z úvěru)  Daň z úroků = daň, kterou je potřeba za úrok odvést  Úročení = způsob výpočtu úroku = úročení se dělí z hlediska doby ___________:  jednoduché un  K 0 

p n 100

p   K n  K 0 1   0,85  n   100 


 složené un  p   K n  K 0 1   0,85   100 


n

12


Příklady: Paní Šťastná si založila spořicí účet, na který si převedla 1.650.000,- Kč. Na tento účet se jednou ročně připíše úrok ve výši 1,53 %, který paní Šťastná hned vybere a spravedlivě rozdá svým pěti vnoučatům. Spočítejte, jaký celkový obnos paní Šťastná věnuje každému vnoučeti za 7 let. (Z úroků je samozřejmě odváděna daň 15%.)

Pan Novák si uložil do banky 150.000,- Kč na terminovaný vklad s úrokovou mírou 3 % p.a. Jaký finanční obnos si pan Novák z banky vybere po pětileté úrokové době? (Z úroků je samozřejmě odváděna daň 15%.)



13


Manželé Junákovi potřebovali zrekonstruovat byt. Na tuto opravu si museli půjčit 90.000,- Kč. Využili tedy půjčky „bez poplatků“ s úrokovou mírou 10,8 % p.a. Jaká je jejich měsíční splátka, jestliže mají půjčku na 3 roky? (Výsledek zaokrouhlete na jednotky, daň z úroku neberte v potaz.)

PERFEKTNÍ, TEORII K

POSLOUPNOSTEM MÁŠ ZA SEBOU! A MŮŽEŠ NA DALŠÍ TÉMA … školní rok 2014/15


14

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

Recommend Documents