6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Funkce Dovednosti: 1. Základní poznatky o funkcích -Chápat definici funkce,obvyklý způsob jejího zadávání a pojmy definiční obor hodnot funkce. U funkcí zadaných předpisem umět správně operovat se zápisem y = f ( x ) a v jednodušších případech u algebraických funkcí umět určit jejich definiční obor. U funkcí zadaných grafem umět určit jejich definiční obor i obor hodnot. -Umět podle grafu operovat s pojmy: funkce rostoucí, klesající, konstantní(monotónnost), funkce prostá. -Ovládat pojmy extrémy a omezenost funkce (maximum, minimum, funkce omezená shora nebo zdola, omezená ). -Poznat, kdy je funkce sudá, lichá. -Umět všech předchozích dovedností využít ke komplexnímu popisu vlastností funkce. 2. Nepřímá úměrnost a lineární lomená funkce -Ovládat definice. K dané hodnotě proměnné umět určit funkční hodnotu a obráceně k dané funkční hodnotě určit hodnotu proměnné. -Chápat vztah mezi lineární lomenou funkcí a nepřímou úměrností. -Umět načrtnout graf a podle něj popsat základní vlastnosti funkcí pro k ax + b zadání funkce ve tvaru y − n = nebo y = .Chápat význam x−m cx + d konstanty k pro průběh funkce. k -Umět rovnice tvaru y − n = využít k sestavení předpisu pro funkci, jsoux−m li dány souřadnice středu hyperboly, která je grafem funkce, a jednoho bodu jejího grafu. 3. Exponenciální funkce a rovnice -Znát definici exponenciální funkce, umět pomocí vhodných bodů pro daný základ načrtnout její graf a popsat její základní vlastnosti, chápat souvislost hodnoty základu s průběhem funkce. -Umět načrtnout graf a popsat vlastnosti funkcí, jejichž grafy vzniknou z grafu exponenciální funkce jednoduchým posunutím. -Umět aplikovat metodu převedení na společný základ při řešení základních exponenciálních rovnic typu a x = b a rovnic, které lze na ně převést početní úpravou (pomocí pravidel o mocninách nebo pomocí vytýkání) nebo jednoduchou substitucí.
1
4. Logaritmické funkce a rovnice - Chápat funkce y = a x a y = log a x jako funkce navzájem inverzní. - Ovládat definici logaritmu a umět ji aplikovat. - Umět pomocí vhodných bodů pro daný základ načrtnout graf logaritmické funkce a popsat její vlastnosti; chápat, jak souvisí hodnota základu s průběhem funkce. - Umět načrtnout grafy a popsat vlastnosti funkcí typu y − n = log a x a y = log a ( x − m ) .
- Ovládat pravidla pro logaritmování součinu, podílu a mocniny a umět je aplikovat při logaritmování a odlogaritmování výrazů. - Umět využít předcházející dovednosti při řešení jednodušších typů exponenciálních a logaritmických rovnic.
Úlohy: 1. Rozhodněte, který z předpisů je předpisem funkce. a) 3x – 2y + 7 = 0 b) x2 + y2 = 4 c) x + y2- 2 = 0 d) y – 3x2 + 1 = 0 e) y = 2x+1 +2 1 f) y = +2 x−3 2. Určete definiční obory funkcí: a) f: y = -2x + 4 1− x b) f: y = 3x + 2 1 c) f: y = 2 x +1 d) f: y =
[ D = R]
2x − 7
[D =
7 ;∞) 2
]
[D = (− 3; ∞ ) ]
3 x+3 1 + x−5 f) f: y = 7−x
[D = 5; 7 ) ∪ (7; ∞ ) ] [D = (− ∞; − 4 ∪ 3; ∞ ) ]
x 2 + x + 12
x−2 x − 3x + 2 3 ch) f: y = log x − 4 h) f: y =
[ano]
[ D = R] 2 [D = R- − ] 3
e) f: y = -
g) f: y =
[ano] [ne] [ano] [ano] [ano]
[D = (1;2) ∪ (2; ∞ ) ]
2
3 [D = ; ∞ ] 4
2
[D = (2;3) ∪ (3; ∞ ) ]
x log( x − 2) log 3 (2 x − 3) j) f: y = x−5
i) f: y =
3 [D = ;5 ∪ (5; ∞ ) ] 2
k) f: y =
x 2 − 5 + log(1 − 3 x)
l) f: y =
log(2 x − 1)
(
[D = − ∞;− 5 ] [D = 1; ∞ ) ]
3. Dokažte (podle definice i podle náčrtu), že daná funkce je: a) rostoucí: f1: y = 2x – 3 − x +1 f2: y = 2 1 f3: y = +1 x −1 f4: y = 2x+1 – 5
[ano] [ne] [ano] [ano]
b) klesající: f1: y = 2x + 0,5 1 x f2: y = − 4 4 3 f3: y = +2 x +1
1 f4: y = 2
[ne] [ano] [ano]
x −3
+2
[ano]
4. Které z funkcí jsou sudé (liché) v definičním oboru? g1: y = x
g2: y = 3x
g5: y = cos x
g6: y = log x
g9: y = x3
g10: y = x4
g13: y =
x2 x +1
g14: y =
2 x g7: y = 3x sin x g11: y = +2 2 g3: y =
2 + x2 x
g15: y = 5 cos x+ 1
g4: y = x g8: y = x2 g12: y =
4x x +4 2
g16: y = x-3
[g1 lichá v R, g2 lichá v R, g3 lichá v R-{0}, g4 sudá v R, g5 sudá v R, g6 není sudá ani lichá, g7 není sudá ani lichá, g8 sudá v R, g9 lichá v R, g10 sudá v R, g11 není sudá ani lichá, g12 lichá v R, g13 sudá v R, g14 lichá v R-{0}, g15 sudá v R, g16 lichá v R-{0} ]
5. K dané funkci zapište předpis pro funkci inverzní, Znázorněte obě funkce v jedné soustavě souřadnic: f: y = x + 2 [f-1: y = x – 2] + obr. V12.23 g: y = 2 – x [g-1 = g] + obr. V12.24 1 h: y = 2x – 2 [h-1: y = x + 1] + obr. V12.25 2
3
k: y = -0,5x + 2 , x ∈ − 2;2
[k-1: y = -2x + 4 , x ∈ 1;3 ] + obr. V12.26
1 x 1 m: y = + 2 , x ∈ (0; ∞ ) x
[l-1 = l] + obr. V12.12
l: y =
n: y =
[m-1: y =
x2 , x ∈ (− ∞; 0 2
o: y = x
1 , x ∈ (2; ∞ ) ] x−2 + obr. V12.27
[n-1: y = - 2 x , x ∈ 0; ∞ ) ]
3
-1
[o : y =
6. Určete obor hodnot funkce f: y =
[
3
+ obr. V.6 x ] + obr. V12.28
]
[H = − 3; ∞ ) ]
1 (x − 2)2 − 6 . 2
7. Jsou dány funkce: f: y = -2x + 3 a g: y = 5x – 2(x2 + 1) = 0 . a) Zapište definiční obory a obory hodnot obou funkcí a sestrojte jejich grafy (do jedné soustavy souřadnic). b) Vypočtěte souřadnice společných bodů obou grafů. 9 [a) Df = R, Hf = R, Dg = R, Hg = − ∞; 4 5 b) P1[1;1], P2 ;−2 ] 2
8. Sestrojte grafy funkcí a určete jejich vlastnosti: 1 1 3 a) f1: y = f2: y = +2 f3: y = x x x 1 1 1 f5: y = f6: y = +2 f7: y = −3 x+2 x−3 x−2 b) g1: y = x3 1 g5: y = 2 − 1 x
g2: y = -x3 g6: y =
g3: y = x3 + 1
1 (x − 1)2
g7: y = x-3
9. Sestrojte grafy funkcí, zapište jejich vlastnosti: a) f1: y = 2x f2: y = 2x – 3 f3: y = 2x-1 1 g1: y = 2
x
x
1 g2: y = +2 2
b) f1: y = log3 x – 1
1 g3: y = 3
f2: y = log3(x – 2)
4
3 x x −1 f8: y = x+2
f4: y = 2 -
g4: y = (x + 1)3 1 g8: y = +2 (x + 2)3
f4: y = 3x+2 + 1 x −1
−3
1 g4: y = - 3
f3: y = - log x
f5: y = -2x
x +1
− 1 g5: y = ex f4: y = |log x|
g1: y = log0,5 x
g2: y = log0,5 x + 3
g3: y = 2 log0,5 x
x g4: y = log0,2 2
10. Využijte vlastnosti a grafu exponenciální funkce a porovnejte exponenty p a r, je-li dáno: a) 1,5p > 1,5r [p>r] p r b) e < e [p
4 4 c) > 9 9
r
[p>r]
11. Stanovte podmínku pro a , je-li dáno (využijte poznatky o exponenciální funkci): a) a0,1 > a1,1 [0 < a < 1] b) a5 < a3 [0 < a < 1] c) a1,03 > a0,3 [a > 1]
12. Uveďte, zda daný zápis je pravdivý, či nikoli (využijte náčrty příslušných grafů): a) e6,5 < e5,6 b) 0,74 > 0,78 −2
5 5 c) < 2 2 3 d) 7
−2 , 5
[ne] [ano]
−5
3 > 7
[ne] 3, 5
[ano]
e) 50,52 π > 50,50,5 π
[ano]
13. Načrtněte grafy příslušných funkcí f: y = log2 x , g: y = log0,5 x a z grafů určete, pro která x platí: a) log2 x > 0 [x ∈ (1; ∞ ) ] b) log2 x < 0 [x ∈ (0;1) ] [x ∈ (0;1 ]
c) log0,5 x ≥ 0
[x ∈ (1; ∞ ) ]
d) log0,5 x < 0
[x ∈ (0;1 ]
e) log2 x ≤ 0
[x ∈ 1; ∞ ) ]
f) log0,5 x ≤ 0
14. Rozhodněte o pravdivosti tvrzení (využijte vlastnosti a náčrtu příslušné funkce): a) log3 7 > log3 6 [ano] b) log 0,9 < log 1,01 [ano] c) ln 0,3 < ln 0,39 [ano] d) log (-6) > log [log(-6) není def., nelze určit] [ne] e) log0,2 10 < log0,2 15
5
15. Pomocí definice logaritmu určete neznámé hodnoty x,y,a : 1 a) log5 x = 2 b) log 1 x = -4 c) log8 x = d) log x = 1 3 3 f) log9 81 = y
g) log 1 2
j) loga 3 = 1
k) loga
1 =y 8
h) log0,2 1 = y
3 = -1 4
l) loga
ch) log7(-49) = y
e) log36 x = − i) log 2 5
1 =4 16
[25; 81; 2; 10;
m) loga 0,001 = -3 n) loga
1 2
25 =y 4 6=
1 2
1 4 1 ; 2; 3; 0; nedef.; -2; 3; ; ; 10; 6 ] 6 3 2
16. Najděte x ∈ R : a) log x = log 2 + log 5 + log 4
[x = 40] 2 [x = ] 7 1 [x = ] 3
b) log x = log 10 – log 5 – log7 c) log x = -log 2 + log 6 – 2log 3
17. Logaritmujte daný výraz (předpokládejte přípustné hodnoty proměnných): a) 3xy-2 [log 3 + log x – 2log y] 1 b) m.4 n + 1 [log m + log (n + 1)] 4
xy 5 c) 2 p4 7
d)
1 5 [ log x + log y – log 2 -4log p] 7 7
[
a2 − x2 a2 + x2
]
1 2 2 2 2 2 log(a − x ) − log(a + x )
18. V daných úlohách odlogaritmujte výrazy: a) 3log x – 1 – log (2x – 1) b) 2log6 (x + 4) + log6 (x – 4) + 1 c) 1 +
1 2 log (p + 4) - log (p – 5) – 2log p 2 3
19. Řešte rovnice v R, proveďte zkoušku: 1 a) 5 x = 25
[x = -2] 2 ] 3 4 [x = ] 3
b) 35 m−8 = 9 m−3 c)
x3 10(2 x −1) 2 [(x + 4) .(x – 4).6] 10 p + 4 p 2 . 3 ( p − 5)2
[m =
3x = 3 9
6
3 d) 7
3x+7
7 = 3
7 x−2
2
[x = 3
5 3− 2 x 9 x −5 e) 1 − = 9 4
1 ] 4 7 [x = ] 3
[x = -
f) 33.27 2 x −3 = 813 x −5 x 2 −6x−
5 2
= 16 . 2 x 1 h) 1 = 2 3 . 3 x − 2 8
g) 2
( )
1 ] 2
[x1 = 7; x2 = -1]
2
[x1 = 1; x2 = 2]
1− x
27 x 1 ch) . 3x = 4 − 2 x 3 3 x2 +
i) j)
[x=1]
1 2
5 = 5 . 253 . 54 x x+5 25 2 x.5 x = 0,1.10 2 x −3
[x1 = 8; x2 = -2] [x = 4]
10 x 5−15 = 2 −15 1012 −12 x 2
k)
[x1 = 3; x2 = 9]
20. Řešte v oboru reálných čísel, proveďte zkoušku: a) 5.(4 − 2 x ) = 2 x − 2. 4 − 28 b) 3x + 2 + 3x – 1 = 28 c) 5x + 1 – 15 . 5x – 1 = 1250 d) 7x + 2 + 2 . 7x – 1 – 345 = 0 e) 32x – 1 + 32x – 2 – 32x – 4 = 315
21. Řešte v R, proveďte zkoušku: a) 32x – 3x = 702 b) 72x + 7x – 686 = 36 . 7x c) 42x + 1 = 65 . 4x – 1 – 1 d) 25x = 0,2 – 4 . 5x – 1 e) 8 . 3x = 1 – 9x + 1 f) 2 . 4x – 9 . 2x + 4 = 0 g) 3 . 36x = 6 . (17 . 6x – 1 + 1) h)
[x = 3] [x = 1] [x = 4] [x = 1] [x = 3]
[x = 3] [x = 2] [x1 = -2; x2 = 1] [x = -1] [x = -2] [x1 = -1; x2 = 2] [x = 1] 1 [x1 = ; x2 = 1] 2
24x + 3 = 22x – 5 . (1 – 22x)
22. Řešte v R: a) log3 (x + 5) = log3 (2x – 1) b) log5 (x2 – 17) = log5 (x + 3) c) log (x + 3) + log (x – 3) = 2 . log (x + 1) d) log0,2 (10x + 3) = 0 e) log0,5 (2 – x) = -2
7
[x = 6] [x = 5] P=ø P=ø [x = -2]
f) log2 (4x – 4) – log2 (3 – x) = 2 g) log (2x + 9) – 2 . log x + log (x – 4) = 2 – log 50 log3 x( x − 8) h) =1 2 log(3 x + 2 ) ch) =1 log 4 + 3 x i) 1 + log8 x = log8 (6 – x) + 2 . log8 x j) -2 . log0,5 (4 – x) = 3 – log0,5 (10 – x)
23. Řešte v R: a) log22 x – log2 x – 2 = 0 b) (log x – 2)(log x + 4) = 0
[x = 2] [x = 36] [x1 = 9; x2 = -1] [x = 0] [x1 = 2; x2 = 4] [x = -8]
[x1 = 4; x2 = 0,5] [x1 = 10-4; x2 = 102] 1 [x1 = ; x2 = 35] 9 1 [x1 = ; x2 = 100] 10
c) (log3 x)2 – 5 . log3 x = 10 – 2 . log3 x 2 log x 10 e) 1 + log x 3 = log x
d) 2. log x = 3 +
[x1 = 3 105 ; x2 = 10-2] 1 ] 27 [x = 5]
f) 5 . log3 x = 3 – log32 x + 3 . log3 x
[x1 = 3; x2 =
g) (log5 x)-1 – 2 = - log5 x 6 h) log x − 2 = −1 log x 12 ch) ln x − 1 = ln x
[x1 = 1000; x2 = 0,01] [x1 = e4 ; x2 = e-3]
24. Rovnice řešte v oboru R: log 3 2. log 5 3. log 5 + 2. log 4 log 4 + 2. log 5
a) 51 + 2x = 15 b) 4x – 2 = 53 – 2x
log 4 x = − log 3 = 1,21 [x = 0]
c) 3x + 2 = 3x + 2 d) 2x +3 + 3x = 3x + 2
8
Posloupnosti Dovednosti: 1. Ovládat pojem posloupnosti, symboliku, grafické znázornění a určení posloupnosti vzorcem pro n-tý člen a rekurentně. 2. Znát základní vztahy, které platí pro aritmetickou a geometrickou posloupnost, umět je aplikovat při řešení jednoduchých úloh. 3. Umět v jednoduchých příkladech rozhodnout o monotónnosti a omezenosti posloupnosti. 4. S využitím geometrické interpretace rozumět definici vlastní i nevlastní limity posloupnosti a aktivně ovládat věty o limitách posloupnosti.
Úlohy: 1. Určete prvních 5 členů dané posloupnosti: a) a n = 3n – 4 n −1 b) a n = n +1 c) a n = n.(−1) n +1
d) a n = cos
nπ 4
[ -1; 2; 5; 8; 11] 1 1 3 2 [ 0; ; ; ; ] 3 2 5 3 [1;-2;3;-4;5]
2 2 2 ;0;− ;−1;− 2 2 2
Sestrojte grafy uvedených posloupností.
2. Posloupnost je dána rekurentně.Vypočítejte prvních 6 členů posloupnosti, jestliže: a) a 1 = 1, a n +1 = a n +2n + 1 [ 1; 4; 9; 16; 25; 36 ] b) a 1 = 3, a n = a n −1 − 2
[ 3; 1;-1; -3;-5;-7 ]
c) a 1 = −2, a 2 = 1, a n+ 2 = a n − 2a n +1 − 1
[ -2; 1;-5; 10;-26;61 ]
d) a 1 = −3, a 2 = −1, a n +1 = 2a n − a n −1
[ -3; -1; 1; 3; 5; 7 ]
3. Určete vztah pro n –tý člen posloupnosti, je-li: a) a 1 = 4; a n+1 = 2a n
[a n = 2 n +1 ] 2 n −1 a n = 5 .(−1) [ a n = 4 − 2n ]
2 ; a n +1 = −a n 5 c) a 1 = 2; a n +1 = a n − 2 b) a 1 =
9
4. Rozhodněte, zda daná posloupnost je rostoucí, či klesající. ∞
n + 1 a) 3n n =1
[ klesající ]
∞
2n b) n + 3 n =1
[ rostoucí ]
5. Rozhodněte, které z následujících posloupností jsou aritmetické, které jsou geometrické. V případě aritmetických určete diferenci, v případě geometrických určete kvocient. ∞
n + 3 a) 5 n =1 b) (1 –n ) ∞n=1
4 1 AP, a1 = 5 , d = 5 [ AP, a 1 =0, d = -1 ]
∞
2n c) n +1 3 n =1
2 2 GP, a1 = 9 , q = 3
∞
n + 2 d) n + 1 n =1
[ není AP, není GP ]
6. Určete prvních 5 členů AP, je-li : a) a 1 = 6, d = -2,5 b) a 1 = 2, a 2 = 2 + c) a 3 = 1, a 7 = -7
[ 6; 3,5; 1; -1,5; -4 ]
3
[2;2+ 3 ; 2 +2 3 ; 2+3 3 ;2+4 3 ] [ 5; 3; 1; -1; -3 ]
a4 = 5 - a9
[ -3; -2; -1; 0; 1 ]
d) a 13 - a 2 +a 1 = 8
Pro uvedené posloupnosti určete součet prvních 10 členů. a) [-52,5] b) [20 + 45 3 ] c) [ - 40 ] d) [ 15 ]
7. V AP určete součet prvních osmi členů, jestliže platí : a 14 : a 4 = 16 2a 2 − a 1 +1 = 0
8. Určete, kolik prvních členů AP dává součet 132, je-li a 4 = 15, d = 3
9. Určete součet všech lichých přirozených čísel menších než 100 .
[ 28 ]
[8]
[ 2500 ]
10. Mezi kořeny kvadratické rovnice ( x + 2) 2 - 2(7x – 6 )=0 vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočtenými kořeny vzniklo šest následujících členů AP. [2; 3,2; 4,4; 5,6; 6,8; 8 nebo 8; 6,8; 5,6; 4,4; 3,2; 2 ]
10
11. Délky pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Delší odvěsna má délku 24cm. Určete délky zbývajících stran. [ 18cm, 30cm]
12. Určete součet všech sudých čísel, která vyhovují nerovnici x 2 - 53x + 150 ≤ 0 . [ s 24 = 648 ]
13. V aritmetické posloupnosti určete 1. člen a diferenci, víte-li, že platí: 1 a) a 6 = - a 16 , s 26 = 104 3 b) s 5 = 60, s 10 = 170
[ a 1= -6; d = 0,8 ] [ a 1 = 8; d = 2 ]
14. Určete první čtyři členy geometrické posloupnosti a znázorněte graficky: 1 1 [-9; -3; -1; - ] a) a 1 = -9, q = 3 3 [0,1; 0,3; 0,9; -2,7] b) a 1 = 0,1, a 2 = -0,3 c) a 2 = 10, a 5 = -0,01 [-100; 10;-1; 0,1] 1 d) a 5 = -1,5, q = [-24; 12; -6; 3 ] 2
15. V geometrické posloupnosti je a 1 = 64, q =
1 1 . Kolikátý člen je roven číslu ? 2 32 [ 12 . člen ]
16. Určete první člen a kvocient GP, ve které platí : a) a 3 - a 1 + 16 = 0 a 4 - a 2 + 48 = 0 b) a 5 = 40 - a 3
[ a 1 = -2, q = 3 ] [1.řeš.:a 1 =2, q = 2 ] [2.řeš.:a 1 =2, q = -2 ]
a 1 + a 3 = 10
17. Mezi čísla
2 a 162 vložte čtyři čísla tak, aby s danými čísly tvořila GP . 3
18. Určete kvocient GP, je-li dáno : a 21 = 4, a 16 =
19. V GP je dáno : q = -3, s 4 = -80. Určete a 4 .
11
1 8
[ 2; 6; 18; 54 ]
[q=2 ]
[ - 108 ]
20. Určete tři reálná čísla větší než 8 a menší než 648 tak, aby spolu s danými čísly tvořila pět následujících členů GP. [q 1 =3;8;24;72;216;648; q 2 =-3;8;-24;72;-216;648]
234 21. Poločas přeměny protaktinia 91 Pa je 1,14 min..Počáteční hmotnost protaktinia je 50 g. Jaká bude jeho hmotnost za 8 min. ? [ 0,39 g ]
4 předcházejícího průměru. 5 Jaký bude jeho průměr po pěti taženích, byl-li původní průměr 4 mm ? [ 1,3 mm ]
22. Průměr měděného drátu se každým tažením zmenšuje na
23. Při průchodu skleněnou deskou ztrácí světlo 5 0 0 své intenzity. Kolik desek je třeba navrstvit na sebe, aby se světlo ztlumilo alespoň na polovinu své původní intenzity? [ 14 desek ]
24. Za kolik let klesne hodnota předmětu na méně než desetinu původní ceny, jestliže ročně [ za 12 let ] odepisujeme 18 0 0 ceny předmětu z předchozího roku ?
25. Vypočtěte: 2n − 3 3 − n4 a) lim b) lim 4 n →∞ n + 1 n → ∞ 5n − 3n 2 + 3 n(3n − 2) n e) lim f) lim (− 1) n →∞ n → ∞ (1 − n)( 2 + n )
(
i) lim n 2 + n − n n →∞
)
2 − n3 n3 + 8 c) lim 4 d) lim n → ∞ 5n + 2 n − 1 n →∞ n + 2 n 2n − n 2 2n + 3 g) lim + h) lim n →∞ n + 2 n → ∞ 1 − 4 .2 n 2n 2
1 1 1 1 ; h) - ; i) ] [a) 2; b) - ; c) 0; d) + ∞ ; e) -3; f) neexistuje; g) 5 2 4 2
12
