Matematicka´ analy´za I prˇedna´sˇky M. Ma´lka cvicˇenı´ A. Hakove´ a R. Ota´halove´ Zimnı´ semestr 2004/05
5. Posloupnosti a rˇady 5.1 Limita a hromadne´ hodnoty. Meˇjme posloupnost (x n ) prvku˚ Hausdorffova topologicke´ho prostoru X . Jelikozˇ ∞ je prvkem uza´veˇru mnozˇiny N, mu˚zˇeme uvazˇovat limitu limn→∞ x n . Pokud nedojde k my´lce, budeme tuto limitu oznacˇovat prosteˇ lim x n . Na´sledujı´cı´ krite´rium pro limitu posloupnosti je prˇ´ımy´m du˚sledkem definice limity: Veˇta 5.1. Posloupnost (x n ) prvku˚ topologicke´ho prostoru X ma´ limitu x 0 , pra´veˇ kdyzˇ pro kazˇde´ okolı´ U bodu x 0 existuje prˇirozene´ cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n ≥ n 0 platı´ x n ∈ U . Prvek x 0 se nazy´va´ hromadna´ hodnota posloupnosti (x n ), jestlizˇe ke kazˇde´mu jeho okolı´ U existuje nekonecˇneˇ mnoho prˇirozeny´ch cˇ´ısel k takovy´ch, zˇe x k ∈ U .
Veˇta 5.2. Mnozˇina hromadny´ch hodnot libovolne´ posloupnosti je uzavrˇena´. D u˚ k a z. Oznacˇme A mnozˇinu hromadny´ch hodnot posloupnosti (x n). Zvolme libovolny´ prvek x ∈ X \ A. Jelikozˇ x nenı´ hromadnou hodnotou, musı´ mı´t okolı´ U , ktere´ obsahuje pouze konecˇneˇ mnoho cˇlenu˚ posloupnosti (x n ). Pak ale kazˇdy´ prvek okolı´ U ma´ tute´zˇ vlastnost a U ⊂ X \ A. Tı´m jsme doka´zali, zˇe mnozˇina X \ A je otevrˇena´. Veˇta 5.3. Prˇedpokla´dejme, zˇe topologicky´ prostor X je kompaktnı´ a uvazˇujme posloupnost (x n ) prvku˚ X . 1. (x n ) ma´ hromadnou hodnotu. 2. Ma´-li posloupnost (x n ) jedinou hromadnou hodnotu x 0 , pak lim x n = x 0 . D u˚ k a z. 1. Prˇedpokla´dejme, zˇe zˇa´dny´ prvek mnozˇiny X nenı´ hromadnou hodnotou posloupnosti (x n ). Pak kazˇdy´ prvek x ∈ X ma´ okolı´ Ux , ktere´ obsahuje pouze konecˇneˇ mnoho cˇlenu˚ posloupnosti (x n ). Syste´m S = {Ux | x ∈ X } je otevrˇene´ pokrytı´ mnozˇiny X a ma´ konecˇne´ podpokrytı´ T ⊂ S. Nynı´ je zrˇejme´, zˇe ve sjednocenı´ syste´mu T lezˇ´ı jen konecˇneˇ mnoho cˇlenu˚ posloupnosti (x n ). Ovsˇem ∪T ⊂ X a ma´me co? A ma´me spor. 2. Kdyby neplatilo lim x n = x 0 , pak existuje okolı´ U prvku x 0 takove´, zˇe v mnozˇineˇ X \ U lezˇ´ı nekonecˇneˇ mnoho cˇlenu˚ posloupnosti (x n ). Tyto prvky tvorˇ´ı posloupnost v kompaktnı´m topologicke´m prostoru X \ U ,1) ktera´ ma´ podle bodu 1. hromadnou hodnotu, ru˚znou od x 0 . To je spor. 5.2 Posloupnosti rea´lny´ch cˇ´ısel. Pravı´me, zˇe posloupnost rea´lny´ch cˇ´ısel je konvergentnı´, ma´-li limitu v R. Je-li limitou te´to posloupnosti ∞ nebo −∞, rˇ´ıka´me, zˇe je divergentnı´. Posloupnost, ktera´ nenı´ ani konvergentnı´, ani divergentnı´, se nazy´va´ oscilujı´cı´. Ze cvicˇenı´ 11 k prˇedchozı´ kapitole vı´me, zˇe mnozˇina R je kompaktnı´. Podle veˇty 5.3 ma´ tedy kazˇda´ posloupnost rea´lny´ch cˇ´ısel v R hromadnou hodnotu — mnozˇina hromadny´ch hodnot je nepra´zdna´. Podle veˇty 5.2 je tato mnozˇina navı´c uzavrˇena´, cozˇ ovsˇem dohromady znamena´, zˇe ma´ nejmensˇ´ı a nejveˇtsˇ´ı prvek. Mu˚zˇeme tedy zformulovat na´sledujı´cı´ vy´sledek: Veˇta 5.4. 1. Kazˇda´ posloupnost rea´lny´ch cˇ´ısel ma´ v R nejveˇtsˇ´ı a nejmensˇ´ı hromadnou hodnotu. 2. Je-li tato posloupnost navı´c ohranicˇena´, jsou tyto hromadne´ hodnoty rea´lna´ cˇ´ısla. D u˚ k a z. Bod 1. jsme doka´zali v prˇedchozı´m odstavci, bod 2. je zrˇejmy´. Nejveˇtsˇ´ı hromadna´ hodnota posloupnosti rea´lny´ch cˇ´ısel (x n ) se nazy´va´ limes superior posloupnosti (x n ) a oznacˇuje lim supn→∞ x n nebo lim sup x n . Nejmensˇ´ı hromadna´ hodnota te´to posloupnosti se nazy´va´ limes inferior posloupnosti (x n ) a oznacˇuje lim inf n→∞ x n nebo lim inf x n . Je-li σ rostoucı´ posloupnost prˇirozeny´ch cˇ´ısel, pak posloupnost (x σn ) se nazy´va´ posloupnost vybrana´ z posloupnosti (x n ) nebo podposloupnost posloupnosti (x n ). 1) Jak vı´me, zˇe je kompaktnı´?
5-1
5-2
5. Posloupnosti a ˇrady
Veˇta 5.5. Bud’(x n ) posloupnost rea´lny´ch cˇ´ısel. Pak bod x 0 ∈ R je hromadnou hodnotou te´to posloupnosti, pra´veˇ kdyzˇ existuje vybrana´ posloupnost x σn takova´, zˇe lim x σn = x 0 . D u˚ k a z. Bud’ U okolı´ bodu x 0 . Prˇedpokla´dejme, zˇe existuje vybrana´ posloupnost x σn takova´, zˇe lim x σn = x 0 . Oznacˇme n 0 prˇirozene´ cˇ´ıslo takove´, zˇe pro kazˇde´ n ≥ n 0 je x σn ∈ U (veˇta 5.1). Hledany´mi cˇ´ısly k jsou cˇ´ısla σn 0 , σn 0 +1 , σn 0 +2 , . . . Nynı´ doka´zˇeme opacˇne´ tvrzenı´ pro x 0 ∈ R (pro x 0 ∈ {∞, −∞} prˇenecha´me du˚kaz cˇtena´rˇi). Oznacˇme In interval (x 0 − 1/n, x 0 + 1/n). Pomocı´ principu matematicke´ indukce zkonstruujeme vybranou posloupnost (x σn ) takovou, zˇe pro kazˇde´ n je x n ∈ In . Oznacˇme σ1 nejmensˇ´ı prˇirozene´ cˇ´ıslo, pro ktere´ x σ1 ∈ I1 (takovy´ch prˇirozeny´ch cˇ´ısel je podle prˇedpokladu nekonecˇneˇ mnoho). Podobneˇ, oznacˇme σ2 nejmensˇ´ı prˇirozene´ cˇ´ıslo veˇtsˇ´ı nezˇ σ1 , pro ktere´ x σ2 ∈ I2 (prˇirozeny´ch cˇ´ısel k > σ1 , pro ktera´ x k ∈ I2 je nekonecˇneˇ mnoho). Prˇedpokla´dejme nynı´, zˇe jizˇ ma´me cˇ´ısla σ1 < . . . < σn , ktera´ nasˇi podmı´nku splnˇujı´. Pak σn+1 budizˇ nejmensˇ´ı prˇirozene´ cˇ´ıslo, pro ktere´ σn+1 > σn a x σn+1 ∈ In+1 . Tı´m je hledana´ vybrana´ posloupnost (x σn ) zkonstruova´na a veˇta doka´za´na. Posloupnost (x n ) prvku˚ mnozˇiny R se nazy´va´ cauchyovska´, jestlizˇe ke kazˇde´mu rea´lne´mu cˇ´ıslu ε > 0 existuje prˇirozene´ cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ n 1 , n 2 > n 0 platı´ |x n 1 − x n 2 | < ε
(5.2.1)
Veˇta 5.6. Kazˇda´ konvergentnı´ posloupnost rea´lny´ch cˇ´ısel je cauchyovska´. Kazˇda´ cauchyovska´ posloupnost rea´lny´ch cˇ´ısel je konvergentnı´. D u˚ k a z. Bud’(x n ) konvergentnı´ posloupnost rea´lny´ch cˇ´ısel, x 0 jejı´ limita. Zvolme libovolne´ cˇ´ıslo ε > 0 a oznacˇme n 0 prˇirozene´ cˇ´ıslo takove´, zˇe pro kazˇde´ n > n 0 je |x n − x 0 | < ε/2. Bud’te nynı´ n 1 , n 2 > n 0 . Ma´me |x n 1 − x n 2 | = |x n 1 − x 0 + x 0 − x n 2 | ≤ |x n 1 − x 0 | + |x 0 − x n 2 | <
ε ε + =ε 2 2
Kazˇda´ konvergentnı´ posloupnost je tedy cauchyovska´. Meˇjme nynı´ cauchyovskou posloupnost (x n ) a oznacˇme n 0 prˇirozene´ cˇ´ıslo takove´, zˇe pro kazˇde´ n 1 , n 2 ≥ n 0 je |x n 1 − x n 2 | < 1. Da´le oznacˇme M = max{x 1 , x 2 , . . . x n 0 } + 1, m = min{x 1 , x 2 , . . . x n 0 } − 1. Nynı´ pro libovolne´ n ∈ {1, 2, . . . , n 0 − 1} platı´ x n < M a pro n ≥ n 0 je |x n − x n 0 | < 1, cozˇ znamena´, zˇe x n < x n 0 + 1 ≤ M. Posloupnost (x n ) je tedy shora ohranicˇena´ cˇ´ıslem M. Stejny´m zpu˚sobem se doka´zˇe, zˇe posloupnost (x n ) je take´ zdola ohranicˇena´ cˇ´ıslem m. Polozˇme a = lim inf x n a b = lim sup x n . Ma´me a, b ∈ R (veˇta 5.4). Prˇedpokla´dejme, zˇe a < b a polozˇme ε = 13 (b − a). Pak existuje prˇirozene´ cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ n 1 , n 2 > n 0 je |x n 1 − x n 2 | < ε. Zvolme nynı´ k, l ≥ n 0 tak, aby |x k − a| < ε a |xl − b| < ε (cˇ´ısla k, l existujı´, jelikozˇ a a b jsou hromadne´ hodnoty — veˇta 5.5). Dosta´va´me xl > b − ε, x k < a + ε, cˇili xl − x k > b − ε − a − ε = 3ε − 2ε = ε a to je spor, jelikozˇ podle prˇedpokladu, xl − x k < ε. Dosta´va´me tedy a = b a tvrzenı´ plyne z veˇty 5.3. ˇ ´ıka´me, 5.3 Posloupnosti funkcı´. Necht’Y ⊂ X ⊂ R. Uvazˇujme posloupnost ( f n ) funkcı´ f n : X → R. R zˇe tato posloupnost konverguje bodoveˇ k funkci f : Y → R na mnozˇineˇ Y , jestlizˇe pro kazˇde´ x ∈ Y platı´ ˇ ´ıka´me, zˇe limn→∞ f n (x) = f (x). Funkce f se nazy´va´ limita posloupnosti ( f n ) a oznacˇuje lim f n . R posloupnost ( f n ) konverguje k funkci f na mnozˇineˇ Y stejnomeˇrneˇ, jestlizˇe ke kazˇde´mu ε > 0 existuje n 0 ∈ N takove´, zˇe pro kazˇde´ n ≥ n 0 a x ∈ Y platı´ | f n (x) − f (x)| < ε. Z uvedeny´ch definic ihned plyne: Jestlizˇe posloupnost ( f n ) konverguje k funkci f na mnozˇineˇ Y stejnomeˇrneˇ, pak k te´to funkci na te´to mnozˇineˇ konverguje i bodoveˇ. Tuto implikaci lze obra´tit naprˇ´ıklad jsou-li funkce f n konstantnı´.
Matematicka´ analy´za I
5-3
Obsahuje-li mnozˇina Y vsˇechna cˇ´ısla x ∈ X , pro neˇzˇ existuje limn→∞ f n (x), nazy´va´ se obor konvergence posloupnosti ( f n ). Necht’ f n : R → R, f (x) =
x . n
Pro kazˇde´ x ∈ R platı´ limn→∞ f n (x) = 0; oborem konvergence te´to posloupnosti je tedy mnozˇina R. Prˇedpokla´dejme nynı´, zˇe mnozˇina Y ⊂ R je ohranicˇena´ a −M < Y < M. K libovolne´mu ε > 0 zvolme n 0 ∈ N tak, aby M/n 0 < ε. Pak pro kazˇde´ n ≥ n 0 a x ∈ Y platı´ | f n (x)| = |x/n| ≤ |x/n 0| ≤ M/n 0 < ε. Posloupnost ( fn ) tedy konverguje stejnomeˇrneˇ k nule na Y . Nenı´-li ovsˇem mnozˇina Y ohranicˇena´, najdeme ke kazˇde´mu ε > 0 a n ∈ N cˇ´ıslo x ∈ Y takove´, zˇe |x| > nε, neboli |x/n| = | f n (x)| > ε. V tomto prˇ´ıpadeˇ tedy posloupnost ( f n ) na Y stejnomeˇrneˇ nekonverguje.
Veˇta 5.7. Jestlizˇe k posloupnosti ( f n ) funkcı´ f n : X → R a funkci f : Y → R existuje posloupnost (yn ) takova´, zˇe lim yn = 0 a pro kazˇde´ n ∈ N a x ∈ Y je | f n (x) − f (x)| < yn , pak posloupnost ( fn ) konverguje stejnomeˇrneˇ k funkci f na mnozˇineˇ Y . D u˚ k a z. Zvolme ε > 0 a oznacˇme n 0 takove´ cˇ´ıslo, zˇe pro kazˇde´ n > n 0 platı´ yn < ε. Pak pro kazˇde´ x ∈ Y platı´ | f n (x) − f (x)| < ε a tvrzenı´ je doka´za´no. Na´sledujı´cı´ tvrzenı´ budeme cˇasto pouzˇ´ıvat. Veˇta 5.8. Posloupnost ( f n ) konverguje stejnomeˇrneˇ na Y , pra´veˇ kdyzˇ ke kazˇde´mu ε > 0 existuje cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ n 1 , n 2 > n 0 a x ∈ Y platı´ | f n 1 (x) − f n 2 (x)| < ε. D u˚ k a z. Jestlizˇe posloupnost ( fn ) konverguje stejnomeˇrneˇ na Y k funkci f , pak k libovolne´mu ε > 0 existuje cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ x ∈ Y a n 1 , n 2 > n 0 platı´ ε , 2 ε | f n 2 (x) − f (x)| < . 2
| f n 1 (x) − f (x)| <
(5.3.1)
Ma´me tedy | fn 1 (x) − f n 2 (x)| = | f n 1 (x) − f (x) + f (x) − f n 2 (x)| ε ε ≤ | f n 1 (x) − f (x)| + | f n 2 (x) − f (x)| < + = ε. 2 2 Prˇedpokla´dejme nynı´ naopak, zˇe je splneˇna druha´ podmı´nka tvrzenı´. Zvolme ε > 0 a oznacˇme n 0 cˇ´ıslo takove´, zˇe pro kazˇde´ n 1 , n 2 > n 0 a x ∈ Y platı´ ε | fn 1 (x) − f n 2 (x)| < . 2
(5.3.2)
Podle prˇedpokladu je posloupnost ( f n (x)) cauchyovska´ a existuje tedy cˇ´ıslo f (x) takove´, zˇe limn→∞ f n (x) = f (x). Ma´me tedy | fn (x) − f (x)| = lim | f n (x) − f m (x)| ≤ m→∞
ε < ε. 2
(5.3.3)
tvrzenı´ je doka´za´no. Veˇta 5.9. Necht’posloupnost ( fn ) funkcı´ spojity´ch v bodeˇ x 0 ∈ Y stejnomeˇrneˇ konverguje na mnozˇineˇ Y k funkci f . Pak funkce f je spojita´ v bodeˇ x 0 . D u˚ k a z. Polozˇme yn = limn→∞ f n (x 0 ) a zvolme ε > 0. Pak existuje cˇ´ıslo n 1 takove´, zˇe pro kazˇde´ x ∈ Y a n > n 1 platı´ | fn (x) − f (x)| <
ε 3
(5.3.4)
5-4
5. Posloupnosti a ˇrady
a cˇ´ıslo n 2 takove´, zˇe pro kazˇde´ n > n 2 , ε | fn (x) − f (x 0 )| < . 3
(5.3.5)
Polozˇme n = max{n 1 , n 2 }. Funkce f n je spojita´ v bodeˇ x 0 , existuje tedy okolı´ U tohoto bodu, tak, zˇe pro kazˇde´ x ∈ Y ∩ U platı´ ε | fn (x) − f n (x 0 )| < . 3
(5.3.6)
Pro libovolny´ bod x ∈ Y ∩ U (a pro pevne´ n, ktere´ jsme si prˇed chvı´lı´ vybrali) tedy platı´ | f (x) − f (x 0 )| = | f (x) − f n (x) + f n (x) − f n (x 0 ) + f n (x 0 ) − f (x 0 )| ε ε ε < | f (x) − f n (x)| + | f n (x) − f n (x 0 )| + | f n (x 0 ) − f (x 0 )| = + + = ε, 3 3 3 cozˇ dokazuje spojitost funkce f v bodeˇ x 0 . Uvazˇme funkce f n : [0, 1] → R, f n (x) = x n . Snadno zjistı´me, zˇe pro x < 1 je lim f n (x) = 0, ale lim f n (1) = 1. Limitou posloupnosti ( fn ) je tedy nespojita´ funkce f : [0, 1] → R, f (x) =
!
0 x < 1, 1 x = 1.
Podle uvedene´ veˇty nenı´ konvergence posloupnosti ( f n ) stejnomeˇrna´. Vskutku, ke kazˇde´mu cˇ´ıslu ε > 0, 0 < ε < 1, najdeme cˇ´ıslo x ∈ [0, 1) tak, zˇe f n (x) > ε.
Du˚sledek 5.10. Necht’posloupnost ( fn ) stejnomeˇrneˇ konverguje na mnozˇineˇ Z k funkci f a necht’pro kazˇde´ n ∈ N existuje limita lim x→x0 f n (x) = an . Pak existujı´ i limity lim an a lim x→x0 f (x) a platı´ lim an = lim f (x).
(5.3.7)
x→x 0
ˇ ady. Meˇjme posloupnost (x n ) rea´lny´ch cˇ´ısel. Nekonecˇnou rˇadou, urcˇenou posloupnostı´ (x n ), 5.4 R " rozumı´me symbol x n . Posloupnost (sn ), jejı´zˇ cˇleny jsou " da´ny prˇedpisem sn = x 1 + . . . + x n (n = 1, 2, . . .), nazy´va´me posloupnost cˇa´stecˇny´ch souc ˇ tu ˚ r ˇ ady xn . " Jestlizˇe posloupnost cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ rˇady x n konverguje, hovorˇ´ıme o konvergentnı´ rˇadeˇ a cˇ´ıslo lim sn nazy´va´me jejı´m soucˇ" tem. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ hovorˇ´ıme o divergentnı " ´ rˇadeˇ. Soucˇet nekonecˇne´ rˇady x n obvykle rovneˇzˇ oznacˇujeme symbolem x n (pokazˇde´ je prˇitom " " jasne´, ˇ v jake´m vy´znamu jsme tento symbol zrovna pouzˇili). Tvrzenı´ x" ´ :" ,,Rada x n konn = s znamena ∞ ∞ verguje a jejı ´ souc ˇ et je s“. Krome ˇ tohoto za ´ pisu pouz ˇ ´ ı va ´ me i za ´ pis x . Za ´ pis x znamena ´ n n n=1 n=k "∞ x . V takove ´ m pr ˇ ´ ı pade ˇ budeme pouz ˇ ´ ı vat na ´ sledujı ´ cı ´ znac ˇ enı ´ pro posloupnost c ˇ a ´ stec ˇ ny ´ch n+k−1 n=1 soucˇtu˚: sn = x k + x k+1 + . . . + x n . " n−1 ˇ ada Necht’q ∈ R. R q se nazy´va´ geometricka´ rˇada s kvocientem q.e-li q *= 1, pak pro n-ty´ cˇlen sn jejı´ posloupnosti cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ platı´ sn = 1 + q + q 2 + . . . + q n−1 =
1 − qn 1−q (1 + q + q 2 + . . . + q n−1 ) = . 1−q 1−q
(5.4.1)
Je-li q = 1, platı´ sn = n,
(5.4.2)
Vidı´me tedy, zˇe lim sn existuje, pra´" veˇ kdyzˇ |q| < 1, a je rovna 1/(1 − q). Uvedena´ rˇada tedy konverguje, pra´veˇ kdyzˇ |q| < 1, a v tom prˇ´ıpadeˇ platı´ q n−1 = 1/(1 − q). Geometricka´ rˇada s q = −1 se nazy´va´ Grandiho rˇada. " ˇ ada 1/n se nazy´va´ harmonicka´ rˇada. Pro posloupnost (sn ) jejı´ch cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ platı´ R
Matematicka´ analy´za I
5-5
s1 = 1
1 2 1 1 1 1 1 s4 = s2 + + > + = s2 + 3 4 4 4 2 .. . 1 1 1 1 1 1 + + . . . + n+1 > s2n + n+1 + . . . + n+1 = s2n + . s2n+1 = s2n + n 2 + 1 2n + 2 2 2 2 2
s2 = 1 +
Harmonicka´ rˇada tedy diverguje. Necht’ 1
xn =
2
n −1
(5.4.3)
.
Pro n-ty´ cˇlen sn posloupnosti cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ rˇady n #
"∞
n=2 x n
platı´
% ∞ $ 1 1# 1 = − sn = 2 k−1 k+1 k2 − 1 k=2 k=2 $ % 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + −...+ − + − + − 2 $ 1 3 2 4 3% 5 4 n−3 n−1 n−2 n n−1 n+1 1 1 1 1 1 = . + − − 2 1 2 n n+1 Je tedy
"∞
n=2 x n
1
= lim sn = 34 .
" Veˇta 5.11 (Cauchyho-Bolzanovo krite´rium). Rˇada x n konverguje, pra´veˇ kdyzˇ ke kazˇde´mu ε > 0 existuje cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ n 1 , n 2 > n 0 platı´ |x n 1 + . . . + x n 2 | < ε.
(5.4.4)
D u˚ k a z. Je-li sn posloupnost cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ rˇady |x n 1 + . . . + x n 2 | = |sn 2 − sn 1 −1 |.
"
x n a n 2 ≥ n 1 , platı´ (5.4.5)
Cauchyho-Bolzanovo krite´rium tedy plyne z veˇty 5.6. Jestlizˇe v (5.4.5) polozˇ´ıme n 1 = n 2 , dostaneme: Du˚sledek 5.12 (nutna´ podmı´nka konvergence rˇady). Konverguje-li rˇada Aplikujte toto tvrzenı´ na geometrickou a harmonickou rˇadu!
Du˚sledek 5.13. Jestlizˇe rˇada
"
x n konverguje, pak platı´ limn→∞
"∞
k=n
"
x n , pak platı´ lim x n = 0.
x k = 0.
Veˇta 5.14. Meˇjme dveˇ posloupnosti ´ısel (x n ), (yn ) a cˇ´ıslo c. Jestlizˇe rˇady " rea´lny´ch cˇ" konvergujı´, pak konvergujı´ i rˇady (x n + yn ) a cx n a platı´
"
# # # (x n + yn ) = xn + yn , # # cx n = c xn .
"
yn
(5.4.6)
D u˚ k a z. Platı´
lim (x 1 + y1 + x 2 + y2 + . . . + x n + yn )
n→∞
= lim (x 1 + x 2 + . . . + x n ) + lim (y1 + y2 + . . . + yn ) = n→∞
xn a
n→∞
#
xn +
#
yn ,
5-6
5. Posloupnosti a ˇrady
lim (cx 1 + cx 2 + . . . + cx n ) = c lim(x 1 + x 2 + . . . + x n ) = c
n→∞
#
xn .
" " x n konverguje a rˇada yn diverguje, pak rˇada " Z uvedene´ho tvrzenı´ ihned plyne (jak?), zˇe jestlizˇe rˇada x n + yn diverguje. Jestlizˇe prvnı´ dveˇ rˇady divergujı´, nelze o konvergenci trˇetı´ rˇ´ıci nic (uved’te prˇ´ıklady).
Veˇta 5.15. Jestliz " ˇe pro posloupnosti (x n ) a (yn ) existuje " cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ n ≥ n 0 platı´ x n = yn , pak x n konverguje, pra´veˇ kdyzˇ konverguje yn . " D u˚ k a z. Za dany´ch prˇedpokladu˚ konverguje rˇada (x n − yn ). Da´le viz veˇtu 5.14. " Veˇta 5.16. Necht’k je neza´porne´ cele´ cˇ´ıslo. Pak rˇada ∞ ´ veˇ kdyzˇ konverguje rˇada n=1 x n konverguje, pra " ∞ x . n=k n "∞ ˇ pra´veˇ kdyzˇ D u˚ k a z. Necht’ " "y∞n = 0 pro n < k a yn = x n pro n ≥ k Rada n=1 x n konverguje, y konverguje, ˇ´ı se konecˇny´m pocˇtem cˇlenu˚ — viz veˇtu 5.15) a rˇada ∞ konverguje rˇada n=1 yn (lis" n=1 n ´ stecˇny´ch soucˇtu˚). pra´veˇ kdyzˇ konverguje rˇada ∞ n=k x n (porovnejte jejich posloupnosti cˇa " Veˇta 5.17. Necht’(kn ) je rostoucı´ posloupnost neza´porny´ch cely " ´ ch cˇ´ısel, k1 = 1. Jestlizˇe x n = s, pak pro posloupnost (yn ) = (x kn + x kn +1 + . . . + x kn+1 −1 ) platı´ yn = s. " D u˚ k a z. Stacˇ´ı si uveˇdomit, z ˇ e posloupnost c ˇ a ´ stec ˇ ny ´ch souc ˇ tu ˚ rˇady yn je vybrana´ z posloupnosti " cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ rˇady x n . Opacˇne´ tvrzenı´ neplatı´; vyzkousˇejte na Grandiho rˇadeˇ, pro (kn ) posloupnost lichy´ch cˇ´ısel.
" ˇ ady s neza´porny´mi cˇleny. Necht’(x n ) ≥ 0. Posloupnost cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ rˇady x n je neklesajı´cı´. 5.5 R Konverguje tedy, pra´veˇ kdyzˇ je ohranicˇena´ a pra´veˇ kdyzˇ konverguje neˇjaka´ jejı´ podposloupnost. Jinak diverguje k +∞. " " Veˇta 5.18 (srovna´vacı´ krite´rium). Necht’ x n a yn jsou rˇady s neza´porny´mi cˇleny a necht’existuje cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ n ≥ n 0 platı´ x n ≤ yn
(5.5.1)
" " Potom z konvergence " rˇady yn plyne konvergence rˇady x n . D u˚ k a z. Necht’rˇada yn konverguje. Polozˇme ! 0 pro n < n 0 xn = x pro n ≥ n 0 . " " xn a yn platı´ (s n ) ≤ (tn ). Posloupnost (tn ) Pro posloupnosti (s n ) a (tn ) cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ rˇad " ohranic ˇ ena ´ . Je tedy ohranic ˇ ena ´ i posloupnost (s ) a ˇ r ada x konverguje. Podle veˇty 5.16 z konvergence n n " " rˇady x n plyne konvergence rˇady x n . " " " ˇ ˇ ada x n se nazy´va´ minoranta rˇady yn z prˇedchozı´ veˇty se nazy´va´ majoranta rˇady x n . R " Rada yn . " " Veˇta 5.19 (limitnı´ srovna´vacı´ krite´rium). Necht’ x n a yn jsou rˇady s neza´porny´mi cˇleny a necht’ existuje konecˇne´ lim sup
xn . yn
(5.5.2)
Potom z konvergence rˇady yn plyne konvergence rˇady x n . D u˚ k a z. Z definice limes superior posloupnosti plyne, zˇe posloupnost (x n /yn ) je shora ohranicˇena´. Existuje tedy cˇ´ıslo M"takove´, zˇe pro kazˇde´ n platı´ " x n /yn < M, neboli x n < M yn . Z veˇty 5.14 y plyne konvergence ˇ r ady M yn . Z nı´ a ze srovna´vacı´ho krite´ria plyne a konvergence rˇady n " konvergence rˇady x n .
Matematicka´ analy´za I
5-7
" Ekvivalentnı´ tvrzenı´ k"tvrzenı´ srovna´vacı´ho krite´ria (limitnı´ho i nelimitnı´ho) je: Du˚sledkem divergence rˇady x n je divergence rˇady yn .
Veˇta 5.20 (d’Alembertovo podı´love´ krite´rium). Bud’ q < 1 a n 0 takova´, zˇe pro kazˇde´ n ≥ n 0 je x n+1 ≤ q, xn
"
x n rˇada s kladny´mi cˇleny. Existujı´-li cˇ´ısla
(5.5.3)
rˇada konverguje. Existuje-li cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ n ≥ n 0 je x n+1 ≥ 1, xn
(5.5.4)
rˇada nesplnˇuje nutnou podmı´nku konvergence. ˇ ada D u˚ k a z. Doka´zˇeme prvnı´ tvrzenı´. Necht’ yn = x n pro n < n 0 a yn = q n−n 0 x n 0 pro n ≥ n 0 R konverguje (to plyne z konvergence geometricke´ rˇady a veˇty 5.18). Da´le x n 0 +1 ≤ qx n 0 , x n 0 +2 ≤ qx n 0 +1 ≤ q 2 x n 0 , .. . x n 0 + p ≤ qx n 0 + p−1 ≤ . . . ≤ q p−1 x n 0 +1 ≤ q p x n 0 .
"
yn
" ˇ ada R yn je tedy majoranta nasˇ´ı rˇady a prvnı´ tvrzenı´ plyne ze srovna´vacı´ho krite´ria. Du˚kaz druhe´ho tvrzenı´ je zrˇejmy´. " Veˇta 5.21 (limitnı´ podı´love´ krite´rium). Jestlizˇe pro rˇadu x n s kladny´mi cˇleny je lim sup
x n+1 < 1, xn
(5.5.5)
pak konverguje. Je-li lim inf
x n+1 > 1, xn
(5.5.6)
rˇada nesplnˇuje nutnou podmı´nku konveregence. D u˚ k a z. Oznacˇme a = lim sup x n+1 /x n , b = lim inf x n+1 /x n . Necht’a < q < 1. Podle definice limes superior posloupnosti existuje cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ n ≥ n 0 je x n+1 /x n ≤ q. Prvnı´ tvrzenı´ tedy plyne z podı´love´ho krite´ria. Jestlizˇe b > 1, pak existuje cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro n ≥ n 0 je x n+1 /x n > 1, a druhe´ tvrzenı´ plyne rovneˇzˇ z podı´love´ho krite´ria. " Veˇta 5.22 (Cauchyho odmocninove´ krite´rium). Bud’ x n rˇada s neza´porny´mi cˇleny. Existujı´-li cˇ´ısla q < 1 a n 0 takova´, zˇe pro kazˇde´ n ≥ n 0 je √ n x n ≤ q, (5.5.7) rˇada konverguje. Existuje-li cˇ´ıslo n 0 takove´, zˇe pro kazˇde´ n ≥ n 0 je √ n x n ≥ 1,
(5.5.8)
rˇada nesplnˇuje nutnou podmı´nku konvergence. D u˚ k a z. Je podobny´ du˚kazu podı´love´ho krite´ria a prˇenecha´va´me jej cˇtena´rˇi jako uzˇitecˇne´ cvicˇenı´. " Veˇta 5.23 (limitnı´ odmocninove´ krite´rium). Jestlizˇe pro rˇadu x n s neza´porny´mi cˇleny je
5-8
5. Posloupnosti a ˇrady
lim sup
√ n
x n < 1,
(5.5.9)
pak konverguje. Je-li √ lim sup n x n > 1
(5.5.10)
rˇada nesplnˇuje nutnou podmı´nku konvergence. D u˚ k a z. Postupujeme podobneˇ, jako v du˚kazu limitnı´ho podı´love´ho krite´ria. ˇ ekneme, zˇe rˇada 5.6 Alternujı´cı´ rˇady. R opacˇne´ zname´nko.
"
x n je alternujı´cı´, jestlizˇe pro kazˇdy´ cˇlen x n ma´ cˇlen x n+1
" Veˇta 5.24 (Leibnitzovo krite´rium pro alternujı´cı´ rˇady). Bud’ x n alternujı´cı´ rˇada splnˇujı´cı´ podmı´nky lim x n = 0 a existuje n 0 ∈ N takove´, zˇe pro kazˇde´ n > n 0 je |x n+1 |/|x| < 1, pak rˇada konverguje. D u˚ k a z. S ohledem na veˇtu 5.15 mu˚zˇeme prˇedpokla´dat, zˇe x n ≥ 0 pro licha´ n a x n ≤ 0 pro suda´ n a zˇe podmı " ´nka |x n+1 |/|x n | < 1 platı´ pro vsˇechna n ∈ N. Oznacˇme (sn ) posloupnost cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ rˇady x n . Ma´me s2n+2 = s2n + x 2n+1 + x 2n+2 ≥ s2n , s2n+1 = s2n−1 + x 2n + x 2n+1 ≤ s2n−1 .
(nebot’|x 2n+1 | ≥ |x 2n+2 |) (nebot’|x 2n | ≥ |x 2n+1 |
Odtud plyne s2 ≤ s4 ≤ s6 ≤ . . . s1 ≥ s3 ≥ s5 ≥ . . . s2n = s2n−1 + x 2n ≤ s2n−1 .
(protozˇe x 2n ≤ 0)
(5.6.1) (5.6.2) (5.6.3)
Posloupnost (s2n ) je neklesajı´cı´ a shora ohranicˇena´, nebot’s2n ≤ s2n−1 ≤ s1 , existuje tedy lim s2n = s. Podle (5.6.3) take´ lim s2n−1 = lim s2n − lim x 2n = s. Zvolme ε > 0 podle prˇedchozı´ho odstavce existujı´ prˇirozena´ cˇ´ısla n 1 , n 2 takova´, zˇe pro n > n 1 je |s2n − s| < ε a pro n > n 2 je |s2n−1 − s| < ε. Polozˇme m 0 = max{2n 1 , 2n 2 − 1}, je-li m > m 0 prˇirozene´ cˇ´ıslo, potom pokud m je sude´ a m = 2n ≥ 2n 1 tedy |sm − s| = |s2n − s| < ε; nebo je m liche´ a m = 2n − 1 ≥ 2n 2 − 1 a opeˇt |sm − s| = |s2n−1 − s| < ε. Cozˇ dokazuje konvergenci posloupnosti (sn ). 5.7 Absolutneˇ konvergentnı´ rˇady. K definici absolutneˇ konvergentnı´ rˇady musı´me nejprve doka´zat na´sledujı´cı´ pomocne´ tvrzenı´: &" & " " " Veˇta 5.25. Konverguje-li rˇada |x n |, konverguje i rˇada x n a platı´ & x n & ≤ |x n |. D u˚ k a z. Pro libovolna´ cˇ´ısla n 1 ≤ n 2 platı´ |x n 1 + . . . + x n 2 | ≤ |x n 1 | + . . . + x n 2 .
" " Je-li tedy podmı´nka Cauchyho–Bolzanova krite´ria splneˇna pro rˇadu |x n |, je splneˇna i pro rˇadu x n . Polozˇ´ıme-li n 1 = 1, dostaneme nerovnost pro posloupnosti cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ zkoumany´ch rˇad, ze ktere´ vyply´va´ nerovnost z tvrzenı´. " " ˇ ada R x n , pro kterou konverguje rˇada |x n |, se nazy´va´ absolutneˇ konvergentnı´. Z prˇedchozı´ veˇty plyne, zˇe absolutneˇ konvergentnı´ rˇada je konvergentnı´. Konvergentnı´ rˇada, ktera´ nenı´ absolutneˇ konvergentnı´, se nazy´va´ neabsolutneˇ konvergentnı´. " " Veˇta 5.26. Meˇjme dveˇ posloupnosti rea´lny´ch cˇ´ısel (x n" ), (yn ) a cˇ´ıslo c"∈ R. Jestlizˇe rˇady x n a yn absolutneˇ konvergujı´, pak absolutneˇ konvergujı´ i rˇady (x n + yn ) a cx n a platı´ # # # (x n + yn ) = xn + yn , # # cx n = c yn .
ˇ ada D u˚ k a z. R
"
(5.7.1)
(|x n | + |yn |) konverguje podle veˇty 5.14. Da´le pro kazˇde´ n ∈ N platı´ |x n + yn | ≤
Matematicka´ analy´za I
5-9
" " ˇ ada |x n + yn | tedy konverguje podle srovna´vacı´ho krite´ria a rˇada x n + yn konverguje |x n | + |yn |. R absolutneˇ. " " ˇ ada |cx n | tedy konverguje podle veˇty 5.14 a rˇada cx n Pro kazˇde´ n ∈ N platı´ |cx n | = |c||x n |. R konverguje absolutneˇ. Rovnosti z tvrzenı´ plynou ze stejny´ch rovnostı´ z veˇty 5.14. " " ˇ Veˇta 5.27. Bud’te x n absolutneˇ" konvergentnı yn , kde yn = x σ (n) , " ´ rˇada a σ : N → N bijekce. Rada je absolutneˇ konvergentnı´ a platı´ x n = yn . " " D u˚ k a z. Oznacˇme (s n ) a (t n ) posloupnosti cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ rˇad |x n | a |yn |, m σ (n) nejveˇtsˇ´ı prvek mnozˇiny {1, . . . , n}. Posloupnost (m σ ) je neklesajı´cı´ a neohranicˇena´, ma´ tedy rostoucı´ podposloupnost (kσ (n)). Posloupnost (s kσ (n) ) je tedy vybrana´ z posloupnosti s n . Navı´c platı´ (t n ) ≤ (skσ (n) ). Z konver" " " gence rˇady |x n | tedy plyne konvergence ˇ r ady y ( |x | konverguje, (s n ) je tedy ohranicˇena´, (t n ) n n " " ˇ ada je tedy rovneˇzˇ ohranicˇena´ a |yn | konverguje). R yn je tedy" absolutne ˇ konvergentnı´. " Oznacˇme nynı´ (sn ) a (tn ) posloupnosti cˇa´stecˇny´ch soucˇtu˚ rˇad xn a yn . Pro kazˇde´ n ∈ N je ∞ skσ (n) − tn rovno soucˇtu konecˇneˇ mnoha cˇlenu˚ posloupnosti (y ) . Pr ˇ itom podle du˚sledku 5.13. k k=n+1 " Cauchyho–Bolzanova kriteria z konvergence ˇ r ady |y | plyne, z ˇ e ke kaz ˇ de ´ mu ε > 0 existuje n ∈ N n " takove´, zˇe ∞ |y | < ε. Ma ´ me tedy k=n+1 k |skσ (n) − tn | ≤
∞ #
k=n+1
|yk | < ε
a skσ (n) = lim tn (zˇe tyto limity existujı´ jizˇ vı´me), cˇili i lim sn = lim tn . " " ˇ adeˇ R yn rˇ´ıka´me prˇerovna´nı´ rˇady x n . " 5.8 Neabsolutneˇ konvergentnı´ rˇady. Necht’ rˇada x n je neabsolutneˇ konvergentnı´. Polozˇme x n+ = max{x n , 0}, x n− = − min{x n , 0}. Posloupnosti x n+ a x n− jsou tedy neza´porne´ a platı´ (x n ) = (x n+ − x n− ).
Lemma 5.28. Posloupnosti (x n+ ) a x n− obsahujı´ nekonecˇneˇ mnoho kladny´ch cˇlenu "˚ . D u˚ k a z. Existuje-li cˇ´ıslo n 0 ∈ N takove´, zˇe pro kazˇde´ n ≥ n 0 platı´ x n ≥ 0, rˇada ∞ n=n 0 x n , a tedy i rˇada " x n konverguje absolutneˇ, cozˇ je spor. Podobne ´ n ≥ n0 "ˇ z existence cˇ´ısla n 0 takove´ho, zˇe pro kazˇde " platı´ x n ≤ 0 plyne absolutnı´ konvergence rˇady ∞ ˇ |x n | = −x n ), a tedy i rˇady x n . n=n 0 x n (je totiz " " − Lemma 5.29. Rˇady x n+ a x n" jsou divergentnı " − ´. + D u˚ k a z. Podle veˇty 5.14 rˇady xn a x n bud’ obeˇ divergujı´, nebo obeˇ konvergujı ´. Jestlizˇe obeˇ " konvergujı´, konvergujı´ absolutneˇ (jsou to rˇady s neza´porny´mi cˇleny) a rˇada x n podle veˇty 5.26 konverguje absolutneˇ. Musejı´ tedy by´t divergentnı´. Nynı´ uka´zˇeme, zˇe pro neabsolutneˇ konvergentnı´ rˇady neplatı´ tvrzenı´ podobne´ veˇteˇ 5.27. " Veˇta 5.30 (Riemannova prˇerovna´vacı´ veˇta). Necht’r "ˇada x n neabsolutneˇ konverguje. Pak k libovolne´mu x ∈ R existuje bijekce σ : N → N takova´, zˇe σ (n) x n = x. D u˚ k a z. Bude doplneˇn pozdeˇji...
Prˇ´ıklady √ 1. Necht’x ∈ R. Dokazˇte, zˇe limn→∞ n x = 1. ˇ esˇenı´: V prˇ´ıpadeˇ, zˇe x = 1, je tvrzenı´ zrˇejme´. R √ √ Pokud x > 1, pak take´ n x > 1. Necht’ tedy n x > 1 + h n , kde h n > 0. Platı´ x = (1 + h n )n > 1 + nh n > nh n (vyuzˇili jsme tvrzenı´ binomicke´ veˇty2) ), pro n > √1, a tedy 0 < h n < x/n. Jelikozˇ limn→∞ x/n = x lim 1/n = 0, pak take´ lim h n = 0 a tedy limn→∞ n x = 1. ' ( ' ( ' ( 2) Binomicka´ veˇta: Pro kazˇde´ a, b ∈ R, n ∈ N platı´ (a + b)n = a n + n a n−1 b + n a n−2 b2 + . . . + n abn−1 + bn , kde 1 2 n−1
5-10
√ n
5. Posloupnosti a ˇrady
√ √ √ √ Jestlizˇe 0 < x < 1, polozˇme y = 1/x, tedy y > 1. Jelikozˇ n x n y = n x y = n 1 = 1, ma´me √ x = 1/ n y. Nynı´, kdyzˇ vyuzˇijeme to, co uzˇ vı´me o limiteˇ z minule´ho te´matu, dostaneme lim
n→∞
√ n
x=
lim 1 1 = = 1. √ n lim y 1 n→∞
n→∞
√ √ 2. Vypocˇteˇte lim( n 2 + 5n + 6 − n 2 + 3n + 1). √ √ ˇ esˇenı´: Vy´raz v limiteˇ rozsˇ´ırˇ´ıme vy´razem n 2 + 5n + 6 + n 2 + 3n + 1 a dostaneme R ) ) lim( n 2 +)5n + 6 − n 2 +)3n + 1) ) ) ( n 2 + 5n + 6 − n 2 + 3n + 1)( n 2 + 5n + 6 + n 2 + 3n + 1) ) ) = lim n 2 + 5n + 6 + n 2 + 3n + 1 n 2 + 5n + 6 − n 2 − 3n − 1 ) = lim ) n 2 + 5n + 6 + n 2 + 3n + 1 2n + 5 ) = lim ) . n 2 + 5n + 6 + n 2 + 3n + 1 Vy´raz v poslednı´ limiteˇ rozsˇ´ırˇ´ıme 1/n a dostaneme
2n + 5 ) n 2 + 5n + 6 + n 2 + 3n + 1 2 + 5/n * = lim * 2 1 + 5/n + 6/n + 1 + 3/n + 1/n 2 2 = 1. = 1+1
lim )
+ ,n 3. Dokazˇte, zˇe posloupnost an , kde an = 1 + n1 , je konvergentnı´. ,n+1 + ˇ esˇenı´: Polozˇme bn = 1 + 1 . Pokusı´me se doka´zat, zˇe posloupnost (b)n je klesajı´cı´. Chceme tedy R n doka´zat, zˇe $
1 1+ n
%n+1
=
$
n+1 n
%n+1
>
$
n+2 n
To je ale splneˇno, pra´veˇ kdyzˇ $ % % $ n + 2 n+2 n + 1 n + 1 n+2 > n n+1 n .n+2 (n + 1)2 1 >1+ n(n + 2) n $ %n+2 1 1 >1+ , 1+ n(n + 2) n
%n+2
$
1 = 1+ n+1
%n+2
.
tj. tj. jelikozˇ (n + 1)2 = n(n + 2) + 1.
Pro h > 0, k > 1, k cele´ je (1 + h)k . Leva´ strana poslednı´ nerovnosti je tedy veˇtsˇ´ı nezˇ n! ˇ k = (n − k)!k! . Ctena´rˇ si jisteˇ toto tvrzenı´ doka´zˇe za pomocı´ principu matematicke´ indukce.
'n (
Matematicka´ analy´za I
1 + (n + 2)
5-11
1 1 =1+ . n(n + 2) n
Tı´m je poslednı´ nerovnost doka´za´na a posloupnost (bn ) je klesajı´cı´. Ona je ovsˇem take´ zdola ohranicˇena´ (nebot’bn > 0), existuje tedy lim bn a my ji oznacˇ´ıme e.3) Nynı´
$
lim 1 +
1 n
%n
$ $ % % 1 n+1 1 n+1 lim 1 + 1+ n n $ % = e. = = lim 1 1 1+ lim 1 + n n
4. Dokazˇte tvrzenı´ (Princip vnorˇeny´ch intervalu˚): Bud’(In) posloupnost uzavrˇeny´ch intervalu˚ s koncovy´mi body an , bn tak, zˇe 1. pro kazˇde´ n ∈ N je In+1 ⊂ In , 2. lim(an − bn ) = 0. Pak ∩{In , n ∈ N} je jednoprvkova´ mnozˇina. ˇ esˇenı´: Z prvnı´ podmı´nky vyply´va´, zˇe posloupnost (an ) je neklesajı´cı´. Podle veˇty 4.26 tedy ma´ limitu R a = lim an . Da´le, posloupnost (an ) je shora ohranicˇena´ kazˇdy´m z cˇ´ısel bk (k ∈ N), a tedy a ≤ bn , pro kazˇde´ n ∈ N (viz pozna´mku za du˚kazem). Navı´c, jelikozˇ posloupnost (an ) je neklesajı´cı´, je pro kazˇde´ k ∈ N, ak ≤ a (procˇ?). Celkoveˇ: pro kazˇde´ k ∈ N, a ∈ Ik . Prˇedpokla´dejme nynı´, zˇe existuje jine´ cˇ´ıslo a, ktere´ take´ lezˇ´ı v kazˇde´m z intervalu˚ Ik . Jestlizˇe a < a, pak podle definice limity existuje cˇ´ıslo n 0 tak, zˇe pro kazˇde´ n ≥ n 0 je an > a, cozˇ ovsˇem znamena´, zˇe a∈ / In , a to je spor. Jestlizˇe a > a, pak k tomu, aby a lezˇelo v kazˇde´m z intervalu˚ In , je nutne´, aby pro kazˇde´ n ∈ N bylo a − a ≤ bn − an . To ovsˇem znamena´, zˇe a − a ≤ lim(bn − an ) = 0. (viz pozna´mku za du˚kazem), neboli a = a, to je spor. Tı´m je tvrzenı´ doka´za´no. Pozna´mka: V uvedene´m du˚kazu jsme na dvou mı´stech vyuzˇili na´sledujı´cı´ tvrzenı´, ktere´ je jednoduchy´m du˚sledkem definice limity: Jestlizˇe pro funkce f, g : X ⊂ R → R platı´ f ≤ g a existujı´-li limity lim x→x0 f (x) a limx→x0 g(x), pak lim x→x0 f (x) ≤ lim x→x0 g(x). 5. Rozhodneˇte o stejnomeˇrne´ konvergenci posloupnosti funkcı´ ( fn ) na intervalech (0, a) a [a, ∞), kde a > 0, kdyzˇ f n : [0, ∞) → R, f n (x) =
1 . 1 + nx
ˇ esˇenı´: Jestlizˇe je x > 0, pak je limn→∞ f n (x) = 0. Posloupnost ( f n ) tedy bodoveˇ konverguje k nulove´ R funkci na (0, ∞). Pro x > a je 0 < f n (x) ≤
1 1 ≤ . 1 + na na
Je-li ε > 0, stacˇ´ı za n 0 zvolit cele´ cˇ´ıslo veˇtsˇ´ı nezˇ 1/aε. Pro kazˇde´ n ≥ n 0 a pro kazˇde´ x ≥ a potom platı´ | fn (x) − 0| = f n (x) <
1 1 ≤ < ε. na n0a
Na intervalu [a, ∞) se tedy jedna´ o stejnomeˇrnou konvergenci. 3) C ˇ ´ıslo e se nazy´va´ Eulerovo cˇ´ıslo. Budeme se s nı´m cˇasto setka´vat.
5-12
5. Posloupnosti a ˇrady
Podı´vejme se, jak to vypada´ na intervalu (0, a). Platı´ f n (1/n) = 12 . Jestlizˇe tedy zvolı´me ε < 12 , neexistuje k neˇmu zˇa´dne´ n 0 ∈ N tak, aby z podmı´nky x ∈ (0, a), n ≥ n 0 plynulo | f n − 0| ≤ ε. At’si totizˇ zvolı´me n 0 jakkoliv velke´, lze vzˇdy najı´t prˇirozene´ n tak, zˇe n ≥ n 0 a 1/n < a. Polozˇ´ıme-li x = 1/n, je splneˇno n ≥ n 0 a x ∈ (0, a), ale za´rovenˇ | f n (x) − 0| = f (1/n) = 21 > ε. Na intervalu (0, a) se tedy o stejnomeˇrnou konvergenci nejedna´.
Cvicˇenı´ 1. Sestrojte posloupnost rea´lny´ch cˇ´ısel (an ) tak, aby lim an = ∞ a aby byla splneˇna podmı´nka a) lim(an+1 − an ) = ∞; b) lim(an+1 − an ) = 1; c) lim(an+1 − an ) = 0. 2. Uved’te prˇ´ıklad posloupnostı´ (an ), (bn ), pro neˇzˇ je lim an = ∞, lim bn = ∞ a prˇitom: a) lim(an − bn ) = ∞; b) lim(an − bn ) = −∞; c) lim(an − bn ) = a ∈ R; d) lim(an − bn ) neexistuje. 3. Uved’te prˇ´ıklad posloupnostı´ (an ), (bn ), pro neˇzˇ je lim an = ∞, lim bn = 0 a prˇitom: a) lim(an bn ) = ∞; b) lim(an bn ) = 0; c) lim(an bn ) = −∞; f) lim(an bn ) neexistuje. d) lim(an bn ) = a > 0, a ∈ R; e) lim(an bn ) = a < 0, a ∈ R; 4. Rozhodneˇte, zda pro kazˇdou konvergentnı´ posloupnost (an ) existuje a) min{an | n ∈ N}; b) max{an | n ∈ N}; c) inf{an | n ∈ N}; d) sup{an | n ∈ N}. 5. Necht’lim an = ∞. Dokazˇte, zˇe posloupnost (an ) je zdola ohranicˇena´. 6. Necht’lim an = a ∈ R. Dokazˇte, zˇe lim aσ (n) pro kazˇde´ rostoucı´ zobrazenı´ σ : N → N. 7. Bud’ an > 0 pro kazˇde´ n ∈ N, necht’lim an = 0. Dokazˇte, zˇe z posloupnosti (an ) lze vybrat klesajı´cı´ podposloupnost, ale nelze vybrat neklesajı´cı´ podposloupnost. 8. Dokazˇte, zˇe ke kazˇde´mu a ∈ R existuje posloupnost rea´lny´ch cˇ´ısel konvergujı´cı´ k a. 9. Uved’te prˇ´ıklad posloupnosti rea´lny´ch cˇ´ısel ktera´ a) nema´ v R zˇa´dnou hromadnou hodnotu; b) ma´ v R jedinou hromadnou hodnotu; c) ma´ v R jedinou hromadnou hodnotu, ale nema´ limitu; d) ma´ v R pra´veˇ dveˇ hromadne´ hodnoty; e) ma´ v R pra´veˇ n hromadny´ch hodnot (n ∈ N); f) ma´ v R nekonecˇneˇ mnoho hromadny´ch hodnot. 10. Dokazˇte: Jestlizˇe ohranicˇena´ posloupnost nenı´ konvergentnı´, pak ma´ alesponˇ dveˇ ru˚zne´ hromadne´ hodnoty. 11. Pomocı´ definice limity dokazˇte, zˇe * √ n a) lim 2 1 = 0; c) lim n 12 = 1. b) lim 3 = 1; n +1 12. Pomocı´ definice limity dokazˇte, zˇe posloupnost (an ), kde an = (−1)n nema´ limitu. 13. Zjisteˇte, zda konverguje posloupnost (an ), kdyzˇ n ; a) an = 2 + (−1) b) an = 1 + n(−1)n . n 14. Urcˇete limitu a = limn→∞ n k x n v za´vislosti na parametrech k, x ∈ R. 15. Vypocˇtete lim an , kde 2 2 4 a) an = n 2− 2n + 3 ; b) an = 2n 3+ n − 1 ; c) an = n 3 + n + 1 . 2n + n + 1 n − 2n n +n+1
Matematicka´ analy´za I
5-13
16. Vypocˇteˇte limitu posloupnosti (an ), kde √ √ √ √ a) an = n + 1 − n; b) an = n 2 + 5n + 6 − n 2 + 3n + 1; √ √ √ √ √ d) an = n( n + 1 − n). c) an = n + 2 − n; n 17. Spocˇteˇte limitu lim 2 + 3 n . 1−4·2 18. Bud’ a ∈ R, a > 0. Spocˇteˇte: n −n n b) limn→∞ a n − a −n . a) limn→∞ a n ; 1+a a +a 19. Dokazˇte, zˇe pro kazˇdou posloupnost (an ) platı´ lim inf an = lim min{a1 , a2 , . . . an }. 20. Vypocˇteˇte lim sup an , lim inf an , kde: n (2 + (−1)n )n . b) a = ; a) an = 1 + (−1) n n 2n Nalezneˇte vsˇechny hromadne´ hodnoty teˇchto posloupnostı´. 21. Dokazˇte, zˇe posloupnost (an ) je monotonnı´ a ohranicˇena´ a najdeˇte jejı´ limitu, kdyzˇ: * 2 n 5 c) an = n 2+ 2 . a) an = 2 − 2n ; b) an = 2 + n1 ; 4n + 1 22. Spocˇteˇte limitu posloupnosti (an ), kdyzˇ ) √ 2 4; n a) an = 3 + 3n c) an = nn ++1 1 ; b) an = 4 − 16; + ,3 e) an = (n + 1)(n4 + 3)(n + 2) . d) an = 2 + n3 ; n +1 23. Dokazˇte, zˇe uvedene´ divergentnı´ posloupnosti nemajı´ vlastnı´ limitu a najdeˇte k nim vybranou posloupnost, ktera´ ma´ vlastnı´ nebo nevlastnı´ limitu: n a) ((−2)n + 2n ); b) ((−1)n n); c) (n (−1) ). 24. Vypocˇteˇ+te limitu, posloupnosti (an ), kde: + , n + 1 n. b) an = 2n a) an = 1 − n1 ; n−1 25. Na prˇ´ıkladech ukazˇte, zˇe vsˇechny prˇedpoklady Principu vnorˇeny´ch intervalu˚ jsou nutne´. 26. Dokazˇte, zˇe z Principu vnorˇeny´ch intervalu˚ vyply´va´ axiom spojitosti. 27. Najdeˇte obor konvergence a limitu posloupnosti funkcı´ ( f n ), jestlizˇe 2 (n ' a) f n (x) = n x2 − 5n ; b) f n (x) = 1 + nx . 2n + nx 28. Rozhodneˇte, zda posloupnost ( f n ) konverguje stejnomeˇrneˇ na I , jestlizˇe 2 2 b) f n(x) = 2−nx , I = (0, ∞); a) f n (x) = nx n+ 1 , I = R; χ (x) c) f n (x) = n , I = R. 29. Rozhodneˇte o konvergenci na´sledujı´cı´ch rˇad. U konvergentnı´ch se pokuste najı´t soucˇet. " " " 5 · 4n + (−3)n+1 1 ; √ √ 1 √ ; a) c) ∞ b) n=2 3 n+2 n( n + 1 − n) n −n 5 3 "∞ √ √ "√ n − 1 ; d) n=2 ln 3 e) ( n − 2 n + 1 + n + 2). n +1 30. Rozhodneˇte o konvergenci na´sledujı´cı´ch rˇad " " 1 " 1 1 ; b) ; c) a) ; n 2 n+1 n2n 2 −n 2 " 1 " 2n−1 " + n ,n f) e) d) ; n ; n! ; n+1 , n + , + n " " 3n − 1 " 2n 3n i) ; g) h) 3n + 2 ; 3n + 1 ; (5 + (−1)n )n " 2n n! . j) nn " 31. Uved’te prˇ´ıklad konvergentnı´ rˇady an s kladny´mi cˇleny, pro kterou uplatı´ lim sup an+1 /an > 1.
5-14
5. Posloupnosti a ˇrady
" √ Existuje konvergentnı´ rˇada an s kladny´mi cˇleny, pro kterou platı´ lim n an > 1? " 32. Najdeˇte soucˇet rˇady an , kde 1 ´, n/2 , je-li n sude 3 an = 1 ´. (n−2)/2 , je-li n liche 2·3
33. Najdeˇte soucˇet rˇady
"
an , n(n+1)/2 −n (−1) 2 ;
jestlizˇe
a) an = 1 ˇ litelne´ 3; 2n/3 , je-li n de (−2) 1 ˇ lenı´ 3 roven 1; b) an = n+(n−1)/3 , je-li zbytek cˇ´ısla n po de (−2) 1 , je-li zbytek cˇ´ısla n po deˇlenı´ 3 roven 2. (−2)n+(n+1)/3 34. Rozhodneˇte o neabsolutnı´ konvergenci rˇady #
(−1)n . (n + 1) log2 (n + 1)
35. Rozhodneˇte+o absolutnı ´ konvergenci rˇad: , ´ a neabsolutnı " " (−1)n 1 n a) (−1) 1 + n ; b) ; n+3 10
c)
"
(−1)n+1
log2 (10+1/n) . n
Vy´sledky 2. a) an = 2n, bn = n; b) an = n, bn = 2n; c) an = n + a, bn = n d) an = n + (−1)n , bn = n. 3. a) an = n 2 , bn = 1/n b) an = 1/n, bn = n 2 c) an = n 2 , bn = −1/n; d) an = n, bn = a/n; e) an = n, bn = a/n; f) an = n, bn = (−1)n /n. 4. a) Nemusı´ (naprˇ´ıklad (1/n)); b) nemusı´ (naprˇ´ıklad (−1/n)); c) existuje; d) existuje. 9. a) an = n; b) an = 1/n; c) an = n, pro n licha´, an = 1/n, pro n suda´; d) (−1)n ; e) (an ) = (1, 2, . . . , n, 1, 2, . . . , n, . . .); f) (an ) = (1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . .). 13. a) Ano, lim an = 0; b) ne. 14. pro x, k > 0, a = ∞, pro x < 0, k > 0, a = −∞, pro x > 0, k < 0, a = 0 a pro x, k < 0, a = 0. 15. a) 12 ; b) 0; c) ∞. 16. a) 0; b) 1; c) 0; d) 21 . 21. a) 2; b) 1; c) 41 . 22. a) 3; b) −15; 169 ; c) konverguje 41 ; d) konverguje ln 32 ; e) konverguje c) 1; d) 8; e) 0. 29. a) Diverguje; b) konverguje 200 √ 1 − 2. 30. a) Diverguje; b) konverguje; c) konverguje; d) diverguje; e) konverguje; f) konverguje; g) diverguje; h) diverguje; i) konverguje; j) konverguje. 32. 54 . 33. a) − 35 ; 35. a) Diverguje; b) konverguje neabsolutneˇ; c) konverguje neabsolutneˇ.
