KMA/MAT1 Pˇredn´aˇska ˇc. 7, Posloupnosti a jejich limity 5. listopadu 2013
1
Motivaˇ cn´ı pˇ r´ıklady
Prozkoumejme, zat´ım laicky“, n´asleduj´ıc´ı posloupnosti: 1) Posloupnost 1, 4,” 9, . . . , n2 , . . . :
Hodnoty rostou nade vˇsechny meze. 2) Posloupnost −1, −2, −3, . . . , −n, . . . :
Hodnoty klesaj´ı pode vˇsechny meze.
1
3) Posloupnost 11 , 21 , 31 , . . . , n1 , . . . :
Hodnoty leˇz´ı v intervalu [0; 1) a s rostouc´ım n se bl´ıˇz´ı nule. 4) Posloupnost 1, −2, 3, −4, 5, . . . , 2n − 1, −2n, . . . :
Hodnoty stˇr´ıdaj´ı znam´enko (osciluj´ı) a rostou (v absolutn´ı hodnotˇe) nade vˇsechny meze. 1 5) Posloupnost 1, 21 , 1, 14 , 1 . . . , 1, 22n ,...:
2
2
Pojem posloupnosti
Definice 2.1. Kaˇzd´e zobrazen´ı N do R naz´yv´ ame ˇ c´ıseln´ a posloupnost. Z´apis: an
+∞
an ;
nebo jen
n=1
an se naz´yv´ a n-t´y ˇclen posloupnosti. Definici ˇc´ıseln´e posloupnosti lze zaloˇzit i na pojmu (re´aln´e) funkce; pak je to funkce definovan´a na mnoˇzinˇe N vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Zp˚ usoby zad´ an´ı posloupnosti ˇ ıseln´a posloupnost b´ C´ yv´a zad´ana nˇekolika prvn´ımi ˇcleny (tak, aby bylo patrn´e pravidlo, jak vytv´aˇret dalˇs´ı ˇcleny, n-t´ ym ˇclenem nebo rekurentnˇe. ´ Uloha 2.2. Je d´ana posloupnost 1 3 5 7 , , , , ··· 1 · 4 4 · 7 7 · 10 10 · 13 Urˇcete jej´ı n-t´y ˇclen. ˇ sen´ı. an = Reˇ
2n − 1 (3n − 2) · (3n + 1)
Pˇri zad´an´ı n-t´ym ˇclenem zase naopak lze z pˇr´ısluˇsn´eho vzorce poˇc´ıtat jednotliv´e ˇcleny posloupnosti. ´ Uloha 2.3 (Pˇr´ıklady ˇc´ıseln´ ych posloupnost´ı zadan´ ych n-t´ ym ˇclenem).
n n+1
+∞
,
n=1
n
(−1) ·n
+∞
,
n=1
1 1+ n
n +∞
,
a·q
n=1
n−1
+∞
,
n=1
+∞
a+(n−1)d
n=1
Vypoˇctˇete ˇcleny a1 , a2 , a3 , a4 . Rekurentn´ı definice obsahuje zpravidla 1. ˇclen (nebo nˇekolik prvn´ıch ˇclen˚ u) a pravidlo, jak vytvoˇrit dalˇs´ı ˇclen ze ˇclen˚ u pˇredch´azej´ıc´ıch. Rekurentn´ı definice aritmetick´e posloupnosti: a1 = a,
an+1 = an + d.
Rekurentn´ı definice geometrick´e posloupnosti: a1 = a,
an+1 = an · q 3
(q ∈ / {0, 1, −1}).
.
´ Uloha 2.4. Posloupnost an
+∞
je zad´ ana rekurentnˇe takto:
n=1
a1 = 1,
an+1
je to posloupnost aproximac´ı ˇc´ısla
√
10 1 an + ; = 2 an
10. Vypoˇctˇete prvn´ı ˇctyˇri aproximace.
´ Uloha 2.5. Fibonacciova posloupnost bn b1 = 1,
b2 = 1,
+∞
je definov´ ana takto:
n=1
bn+2 = bn+1 + bn .
Vypoˇctˇete prvn´ıch 10 ˇclen˚ u t´eto posloupnosti.
Definice 2.6. Posloupnost bn
+∞
se naz´yv´ a vybran´ a z posloupnosti an
n=1
+∞
n=1
(nebo t´eˇz podposloupnost), pr´ avˇe kdyˇz existuje posloupnost pˇrirozen´ych ˇc´ısel k1 < k2 < k3 < · · · takov´ a, ˇze pro kaˇzd´e n z N je
b n = ak n .
Jin´ymi slovy: Z posloupnosti an prvk˚ u a zachov´ame jejich poˇrad´ı.
+∞
vybereme nekoneˇcnˇe mnoho jej´ıch
n=1
+∞
´ Uloha 2.7. Napˇr. posloupnost vˇsech prvoˇc´ısel je vybran´a z posloupnosti n
n=1
vˇsech ˇc´ısel pˇrirozen´ych:
+∞
= n
+∞
: b1 = a1 = 1, b2 = a2 = 2, b3 = a3 = 3, b4 = a5 = 5, b5 = a7 = 7, . . . .
an
bn
3
n=1
+∞
:
1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6, 7 , 8, 9, . . .
n=1
n=1
Rozˇ s´ıˇ ren´ a re´ aln´ a osa
Definice 3.1. Rozˇs´ıˇrenou re´alnou osou naz´yv´ ame mnoˇzinu R∗ = R ∪ {−∞, +∞} , kde −∞ a +∞ jsou nevlastn´ı ˇc´ısla, pˇriˇcemˇz pro kaˇzd´e x ∈ R plat´ı −∞ < x < +∞. 4
Poˇ cetn´ı operace s nevlastn´ımi ˇ c´ısly: • Sˇc´ıt´ an´ı a odˇc´ıt´ an´ı: ∀x ∈ R definujeme ±x+(+∞) = (+∞)±x = ±x−(−∞) = (+∞)+(+∞) = (+∞)−(−∞) = +∞, ±x+(−∞) = (−∞)±x = ±x−(+∞) = (−∞)+(−∞) = (−∞)−(+∞) = −∞. • Nedefinujeme (+∞) − (+∞),
(+∞) + (−∞),
(−∞) + (+∞),
(−∞) − (−∞).
• N´asoben´ı: ∀x ∈ R, x > 0 definujeme x · (+∞) = (+∞) · x = (+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞, x · (−∞) = (−∞) · x = (+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞. Podobnˇe pro x < 0. • Nedefinujeme 0 · (+∞),
(+∞) · 0,
0 · (−∞),
(−∞) · 0.
• Dˇelen´ı: ∀x ∈ R definujeme
x x = = 0. (+∞) (−∞)
Pro x > 0 je pro x < 0 je
+∞ = +∞, x
−∞ = −∞, x
+∞ = −∞, x
−∞ = +∞. x
• Nedefinujeme +∞ , +∞
+∞ , −∞
atd.,
x 0
pro ˇz´adn´e x ∈ R, tj. ani
0 0
nebo
• Mocniny: ∀n ∈ N definujeme (+∞)n = +∞,
(+∞)−n = 0,
(−∞)n = (−1)n · (+∞).
• Nedefinujeme (+∞)0 ,
(−∞)0 , 5
00 ,
1+∞ ,
1−∞ .
±∞ . 0
4
Limita posloupnosti
ˇ ık´ame, ˇze posloupnost Definice 4.1. R´
an
m´ a vlastn´ı limitu L ∈ R,
jestliˇze pro kaˇzd´e ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, ˇze pro kaˇzd´e n ∈ N, n ≥ n0 plat´ı |an − L| < ε. P´ıˇseme lim an = L.
n→+∞
1 ´ Uloha 4.2. lim = 0. n→∞ n 1 1 1 1, , , , . . . −→ 0 2 3 4 Napˇr´ıklad pro ε =
1 10
m˚ uˇzeme volit n0 = 11.
1 ´ = 0. Uloha 4.3 (Podrobnˇeji). Dokaˇzte z definice, ˇze lim n→+∞ n ˇ sen´ı. Definice limity posloupnosti: Reˇ lim an = a ⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tak, ˇze ∀n ∈ N :
n ≥ n0 ⇒ |an − a| < ε.
n→+∞
Uprav´ıme pro naˇsi situaci (an = n1 , n ∈ N): 1 lim = 0 ⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tak, ˇze ∀n ∈ N : n→+∞ n
n ≥ n0
tedy 1 = 0 ⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tak, ˇze ∀n ∈ N : n→+∞ n
n ≥ n0 ⇒
lim
ˇ s´ıme tedy nerovnost Reˇ
Z podstaty nerovnosti n > urˇcit´eho n0 , napˇr´ıklad: ε= ε=
1 ε
1 ⇒ − 0 < ε,
n
1 < ε. n
1 1 <ε⇔n> . n ε lze vyvodit, ˇze pro dan´e ε > 0 je splnˇena od
1 1 dostaneme n > 1 = 10, a tedy n0 = 11, 10 10
1 1 dostaneme n > 1 = 1000, a tedy n0 = 1001. 1000 1000
T´ım je d´ano, ˇze 0 je skuteˇcnˇe limitou posloupnosti 6
n o 1 n
.
ˇ ık´ame, ˇze posloupnost Definice 4.4. R´
an
m´ a nevlastn´ı limitu +∞,
jestliˇze pro kaˇzd´e K ∈ R (K > 0) existuje n0 ∈ N tak, ˇze pro kaˇzd´e n ∈ N, n ≥ n0 plat´ı an > K. P´ıˇseme lim an = +∞.
n→+∞
´ Uloha 4.5. n→∞ lim n = +∞. 1, 2, 3, 4, . . . −→ +∞ Napˇr´ıklad pro K = 1 000 m˚ uˇzeme volit n0 = 1 001. ˇ ık´ame, ˇze posloupnost Definice 4.6. R´
an
m´ a nevlastn´ı limitu −∞,
jestliˇze pro kaˇzd´e K ∈ R (K < 0) existuje n0 ∈ N tak, ˇze pro kaˇzd´e n ∈ N, n ≥ n0 plat´ı an < K. P´ıˇseme lim an = −∞.
n→+∞
´ Uloha 4.7. n→∞ lim −n2 = −∞. −1, −4, −9, −16, . . . −→ −∞ Napˇr´ıklad pro K = −10 000 m˚ uˇzeme volit n0 = 101. ˇ Definice 4.8. Rekneme, ˇze posloupnost
an
je konvergentn´ı, jestliˇze m´a
vlastn´ı limitu. ˇ Rekneme, ˇze posloupnost an je divergentn´ı, jestliˇze m´a nevlastn´ı limitu nebo limitu nem´a.
Posloupnost tedy bud’ konverguje nebo diverguje. V tomto druh´em pˇr´ıpadˇe bud’ diverguje k +∞ nebo k −∞ nebo osciluje (tj. nem´a limitu vlastn´ı ani nevlastn´ı). Napˇr. posloupnost
sloupnost
c
n n+1
je konvergentn´ı, m´a limitu 1, stacion´arn´ı po-
je konvergentn´ı a m´a limitu c, posloupnost
n 100
je diver-
gentn´ı, m´a nevlastn´ı limitu +∞, posloupnost q n je pro q ≤ −1 divergentn´ı, nem´a limitu (osciluje).
7
Vˇ ety o limit´ ach: Vˇ eta 4.9. Kaˇzd´a posloupnost m´a nejv´yˇse jednu limitu. Vˇ eta 4.10. M´a-li posloupnost
an
limitu, pak kaˇzd´a posloupnost
bn
vybran´a z posloupnosti {an } m´a tut´eˇz limitu. Limita posloupnosti se tedy nezmˇen´ı, vynech´ame-li nebo pozmˇen´ıme-li libovoln´ y koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u posloupnosti. Pˇri v´ ypoˇctu limit vyuˇz´ıv´ame tak´e tohoto postupu: 1) zjist´ıme, ˇze dan´a posloupnost je konvergentn´ı a 2) najdeme limitu a nˇejak´e vhodn´e vybran´e posloupnosti. Pak toto a je i limitou dan´e posloupnosti. – Kdyˇz naopak zjist´ıme, ˇze nˇejak´a vybran´a posloupnost je divergentn´ı, znamen´a to podle pˇredchoz´ı vˇety, ˇze je divergentn´ı i dan´a posloupnost. – Podobnˇe zjist´ıme-li, ˇze dvˇe vybran´e posloupnosti maj´ı r˚ uzn´e limity, je dan´a posloupnost divergentn´ı. Vˇ eta 4.11 (o limit´ach souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu). Necht’ lim an = a, lim bn = b. Pak plat´ı, pokud v´yrazy na prav´ych stran´ach maj´ı v R∗ smysl: 1) lim(an + bn ) = a + b, lim(an − bn ) = a − b, 2) lim(an · bn ) = a · b, 3) pro bn 6= 0, b 6= 0 je lim(an /bn ) = a/b, 4) lim |an | = |a|.
Konkr´ etn´ı v´ ypoˇ cty limit Budeme pouˇz´ıvat pˇredchoz´ı vˇety a znalosti n´asleduj´ıc´ıch limit posloupnost´ı: 1)
α
lim n =
n→+∞
+∞ ,
1 0
α > 0; , α = 0; , α < 0. 8
0 1 2) lim q n = n→+∞ +∞ neexistuje √ 3) Pro q > 0 plat´ı lim n q
n→+∞
4)
lim
n→+∞
√ n
, q ∈ (−1, 1); , q = 1; , q > 1; , q ≤ −1. = 1.
n = 1.
´ Uloha 4.12. lim (n2 + 5n) = +∞ + (+∞) = +∞. n→+∞
´ Uloha 4.13. lim (n − 5n) =
=
2
n→+∞
+∞ − (+∞)ND = lim n(n − 5) = n→+∞
+∞ · (+∞) = +∞.
´ Uloha 4.14. 3n2 − 4n + 5 = lim n→+∞ 4n2 + n − 3
n2 (3 − +∞ = lim 2 n→+∞ n (4 + +∞ ND
3− = lim n→+∞ 4 +
5
4 n 1 n
+ −
5 n2 3 n2
4 n 1 n
+ −
5 ) n2 3 ) n2
=
3 3−0+0 = . = 4+0−0 4
Cviˇ cen´ı
´ Uloha 5.1. Vypoˇctˇete a = +∞ · 5 −
5.1
(−∞) 1200! + (−∞)3 · (100 − ∞) − . 3 +∞
Posloupnost aritmetick´ a a posloupnost geometrick´ a
Aritmetick´ a posloupnost je (definov´ana jako) posloupnost, kter´a je d´ana sv´ ym prvn´ım ˇclenem a1 , konstantn´ı diferenc´ı d a rekurentn´ım pravidlem ∀n ∈ N : an+1 = an + d. Aritmetickou posloupnost lze rovnˇeˇz definovat jako posloupnost, u n´ıˇz rozd´ıl libovoln´ ych dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u je konstantn´ı. Z rekurentn´ıho pravidla dostaneme vzorec pro n-t´ y ˇclen: an = a1 + (n − 1)d. 9
Vid´ıme, ˇze aritmetick´a posloupnost m´a pro d > 0 limitu +∞, pro d < 0 limitu −∞. ´ Uloha 5.2. V posledn´ıch tˇrech mˇes´ıc´ıch ˇcinil celkov´y objem zak´azek pˇribliˇznˇe a1 = 325 tis´ıc Kˇc, a2 = 354 tis´ıc Kˇc a a3 = 383 tis´ıc Kˇc. Jak´y objem lze oˇcek´avat ve 4. mˇes´ıci? ˇ sen´ı. Lze vyslovit hypot´ezu, ˇze objem zak´azek tvoˇr´ı aritmetickou posloupReˇ nost, kde a1 = 325, d = 29 (tis´ıc Kˇc). Pak a4 = a3 + d = 412 (tis´ıc Kˇc). Lze oˇcek´avat objem zak´azek za 412 tis´ıc Kˇc. (Samozˇrejmˇe korektnost vysloven´ı takov´e hypot´ezy z´avis´ı na praktick´ ych okolnostech.) Praktick´ y v´ yznam m˚ uˇze m´ıt i souˇcet sn prvn´ıch n ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti. Vzorec pro sn lze odvodit napˇr. takto: Vyj´adˇr´ıme sn dvˇema zp˚ usoby: sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + · · · + (a1 + (n − 1)d), sn = an + (an − d) + (an − 2d) + · · · + (an − (n − 1)d). Po seˇcten´ı m´ame 2sn = n · (a1 + an ),
takˇze sn =
n (a1 + an ). 2
´ Uloha 5.3. Na skl´ adce jsou uloˇzeny roury tak, ˇze v doln´ı vrstvˇe jich je 26 a kaˇzd´a roura v kaˇzd´e vyˇsˇs´ı vrstvˇe vˇzdy zapad´ a mezi dvˇe roury ve vrstvˇe niˇzˇs´ı; vrstev je celkem 12. Kolik je na skl´ adce rour? ˇ sen´ı. Poloˇz´ıme a1 = 26; pak d = −1. V horn´ı vrstvˇe je a12 = 26 + 11 · Reˇ (−1) = 15 rour a celkem s12 = 6 · (26 + 15) = 246 rour. Geometrick´ a posloupnost je (definov´ana jako) posloupnost, kter´a je d´ana sv´ ym 1. ˇclenem a1 , konstantn´ım kvocientem q 6= 0 a rekurentn´ım pravidlem ∀n ∈ N : an+1 = an · q.
Geometrickou posloupnost lze tedy rovnˇeˇz definovat jako posloupnost, u n´ıˇz pod´ıl libovoln´ ych dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u je konstantn´ı. Z rekurentn´ıho pravidla dostaneme vzorec pro n-t´ y ˇclen: an = a1 · q n−1 .
´ Uloha 5.4. V prvn´ım mˇes´ıci roku ˇcinil obrat 300 000 Kˇc a v kaˇzd´em dalˇs´ım mˇes´ıci byl o 5% vˇetˇs´ı neˇz v mˇes´ıci pˇredchoz´ım. Urˇcete pˇredpokl´ adan´y listopadov´y obrat. 10
ˇ sen´ı. Jde o geometrickou posloupnost, kde a1 = 300 000, q = 1, 05, n = 11. Reˇ Pak a11 = 300 000 · 1, 0510 ≈ 300 000 · 1, 629 = 489 000 Kˇc. Viz pozn´amku za u ´lohou 5.2. Je-li a1 > 0, pak geometrick´a posloupnost {a1 · q n−1 } m´a limitu 0 (pro |q| < 1) nebo a1 (pro q = 1) nebo +∞ (pro q > 1) a nebo nem´a limitu (pro q < −1). Praktick´ y v´ yznam m˚ uˇze m´ıt opˇet souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u geometrick´e posloupnosti (tj. n-t´ y ˇc´asteˇcn´ y souˇcet geometrick´e ˇrady). Vzorec pro sn lze odvodit takto: Vyj´adˇr´ıme sn a q · sn : sn = a1 + a1 · q + a1 · q 2 + · · · + a1 · q n−1 , q · sn = a1 · q + a1 · q 2 + · · · + a1 · q n−1 + a1 · q n . Po odeˇcten´ı je sn · (1 − q) = a1 · (1 − q n ), takˇze 1 − qn s n = a1 1−q
qn − 1 tj. t´eˇz sn = a1 . q−1
´ Uloha 5.5. Vyn´ alezce ˇsachov´e hry poˇzadoval podle povˇesti odmˇenu za kaˇzd´e ze 64 pol´ı ˇsachovnice takto: za 1. pole jedno obiln´ı zrno, za 2. pole 2 zrna, za 3. pole 4 zrna, atd., za kaˇzd´e dalˇs´ı vˇzdy dvojn´ asobek. Kolik zrnek obil´ı mˇel dostat? ˇ sen´ı. Jde o geometrickou posloupnost, kde a1 = 1, q = 2, n = 64. Proto Reˇ s64 = 1
264 − 1 = 264 − 1 ≈ 1, 845 · 1019 2−1
a to je v´ıce obil´ı, neˇz se kdy na Zemi urodilo.
5.2
Limity pod´ılu dvou polynom˚ u
´ Uloha 5.6. 2n2 − n + 5 lim = n→+∞ 5n4 − 2n + 1
+∞ − ∞ + 5 +∞ − ∞ + 1
nedef.
n2 (2 − n1 + n52 ) n→+∞ n4 (5 − 23 + 14 ) n n
= lim
2 − n1 + n52 2−0+0 = lim 2 = = 0. 1 2 n→+∞ n (5 − 3 + 4 ) +∞(5 − 0 + 0) n n "
11
#
´ Uloha 5.7. 2n4 − n + 5 = lim n→+∞ 5n2 − 2n + 1
+∞ − ∞ + 5 +∞ − ∞ + 1
nedef.
n4 (2 − n13 + n54 ) = lim n→+∞ n2 (5 − 2 + 12 ) n n
n2 (2 − n13 + n54 ) +∞(2 − 0 + 0) = lim = 1 2 n→+∞ 5−0+0 5 − n + n2 "
= ´ Uloha 5.8. Vypoˇctˇete
#
2 2 (+∞) = sgn (+∞) = +∞. 5 5
lim
n→+∞
1 + 3 + 5 + · · · (2n − 1) . n2 + 1
ˇ sen´ı. V ˇcitateli m´ame souˇcet prvn´ıch n lich´ Reˇ ych ˇc´ısel. Lich´a ˇc´ısla tvoˇr´ı aritmetickou posloupnost s diferenc´ı 1 a prvn´ım ˇclenem tak´e 1. Jedn´a se tedy o souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u aritmetick´e posloupnosti: n 1 1 + (2n − 1) = n2 . sn = n(a1 + an ) = 2 2
V´ yraz v limitˇe tedy m˚ uˇzeme pˇrepsat a dopoˇc´ıtat: 1 + 3 + 5 + · · · (2n − 1) n2 = lim = 1. n→+∞ n→+∞ n2 + 1 n2 + 1 lim
5.3
Limity s n-t´ ymi odmocninami
Pouˇz´ıv´ame tabulkov´e“ limity (pro a > 0) lim n→+∞ ” q √ 1 2 n 10 − n 2n ´ √ Uloha 5.9. Vypoˇctˇete lim . n→+∞ 5 n 10 ˇ sen´ı. Nejprve vypoˇcteme d´ılˇc´ı limity: Reˇ s
1 = 1, n→+∞ 10 1 > 0. nebot’ (a) = 10 √ √ √ n n 2n = lim 2 · n n = [1 · 1] = 1. 2. lim 1.
lim
n
n→+∞
n→+∞
3.
lim
n→+∞
√ n
10 = 1. 12
√ n
a = 1 a lim
n→+∞
√ n
n = 1.
Dohromady tedy dost´av´ame: lim
n→+∞
5.4
q
2n
√ − n 2n 2 · 1 − 1 1 √ = . = 5·1 5 5 n 10
1 10
Limity s vyuˇ zit´ım vzorce a2 − b2 = (a − b)(a + b)
´ Uloha 5.10. S vyuˇzit´ım vzorce a2 − b2 = (a − b)(a + b) vypoˇctˇete √ √ n+1− n−1 ; a) lim n→+∞
b)
1 √ . n→+∞ n − n2 − n lim
ˇ sen´ı. Reˇ ad a)
ad b)
√ √ lim ( n + 1 − n − 1) = [∞ − ∞, tedy nedef.] n→+∞ √ √ √ √ √ √ n+1+ n−1 ( n + 1)2 − ( n − 1)2 √ √ √ = lim ( n + 1− n − 1)· √ = lim n→+∞ n + 1 + n − 1 n→+∞ n+1+ n−1 (n + 1) − (n − 1) 2 2 √ √ =0 = = lim √ = lim √ = n→+∞ ∞+∞ n + 1 + n − 1 n→+∞ n + 1 + n − 1 0. 1 1 √ , tedy nedef.] =[ 2 ∞−∞ n− n −n √ √ 1 n + n2 − n n + n2 − n √ √ = lim · = lim n→+∞ n − n2 − n n + n2 − n n→+∞ n2 − (n2 − n) √ √ ! n + n2 − n n2 − n = lim 1 + √ = lim n→+∞ n→+∞ n n2 lim
n→+∞
= lim 1 + n→+∞
s
1 1 − = 1 + n
s
13
1 1− = 1 + 1 = 2 = 2. ∞
