9. Číselné posloupnosti a řady

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

9. Číselné posloupnosti a řady Definice 9.1 (číselná posloupnost) Funkce

a:  

(9.1)

se nazývá číselná posloupnost. Jestliže pro obor hodnot R ( a ) posloupnosti a platí R ( a )   , budeme říkat, že posloupnost je reálná, v opačném případě, tj. když R ( a )   , budeme posloupnost nazývat komplexní. Hodnoty posloupnosti a(n) se většinou zapisují zkráceně an. Uspořádané dvojice ( n, an ) se nazývají členy posloupnosti a. Posloupnost a je sjednocením svých členů, tj. a   {(n, an )}  {(n, an ) | n  } . Hovoříme-li o an, jako o členu n

posloupnosti, máme na mysli uspořádanou dvojici ( n, an ) . V této souvislosti se používají dále uvedená rčení: „Člen ( n, an ) leží v množině M “ znamená, že an  M , „V množině M leží nekonečně mnoho členů posloupnosti a“ znamená, že množina {n | an  M } je nekonečná. Například v jednoprvkové množině {0} může ležet nekonečně mnoho členů posloupnosti. Poznámka 9.1 V denici (9.1) se užívá jak konvence 0   , tak 0   , pozná se z kontextu. V této kapitole užíváme konvence 0   . Posloupnost se často zapisuje či denuje výčtem několika svých členů, například 0,  1,  2 j ,  1,  2 j ,  , nebo rekurentně rovnicemi, například an1  (an  j )2 , a0  0 .

Posloupnost (9.1) lze vždy rozdělit na reálnou a imaginární část, an  xn  j yn , xn , yn   . Definice 9.2 (limita posloupnosti) Říkáme, že číslo     { ,  } je limitou posloupnosti a pro n  , zapisujeme lim an   , nebo jen lim an   , právě když n 

U () n0   n    n  n0  an  U ()  ,

(9.2)

kde pro    denujeme U (,  )  {z   | z     } , dále U ( ,  )  ( 1 ,     , U ( ,  )   ,  1 )   , číslo     se nazývá poloměr okolí. Jesliže velikost poloměru okolí není podstatná, píšeme stručně jen U () . Jestliže    říkáme, že posloupnost a je konvergentní, taky že posloupnost a konverguje k číslu . Jestliže   { ,  } , nebo když žádné číslo  z množiny   { ,  }

[1]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

nesplňuje (9.2), říkáme, že posloupnost a je divergentní, v prvním případě taky, že diverguje k + , nebo k – . Poznámka 9.2 Výrok (9.2) lze formulovat několika ekvivalentními způsoby. Jestliže pro nějakou vlastnost V, která je závislá na přirozeném čísle n, pišme tedy V ( n ) , platí výrok n0  n    n  n0  V (n)  , říkáme, že vlastnost V je splněna pro skoro všechna n   . Lze tedy psát lim an    U ()  an  U () pro s. v. n    ,

n 

s. v. – zkratka pro skoro všechna. Nebo lim an    U () {n | an  U ()} je konečná množina  .

n 

(9.3)

Skutečnost, že lim an   zapisujeme ekvivalentně taky takto: an   . n 

Důsledek 9.1 Jestliže posloupnost b vznikne z posloupnosti a přidáním, odebráním či změnou konečně mnoha členů posloupnosti a, pak pro každé okolí U () množina {n | an  U ()} bude konečná právě když množina {n | bn  U ()} bude konečná. Podle (9.3) pak lim an  lim bn . Z tohoto důvodu denice limity má smysl i pro funkce, které jsou denovány na  s výjimkou konečně mnoha bodů, říkáme jim taky posloupnosti. Platí tedy například lim an  lim anm  lim an m ,

n  

n  

n  

kde posloupnost an  m má členy {(1, a1 m ), (2, a2 m ), (3, a3 m ),} , an  m má členy {(m  1, a1 ), ( m  2, a2 ), ( m  3, a3 ),} . Posloupnost an  m tedy není na množině {1, 2, , m} definována. Věta 9.1 (konvergence po složkách) Nechť a :    . Pak platí: Posloupnost a konverguje k číslu  právě když posloupnost Re(a) konverguje k reálné části čísla  a posloupnost Im(a) konverguje k imaginární části čísla . Tj.

an  ,  Re(an )  Re() & Im( an )  Im() .

 Důkaz je zřejmým důsledkem dále uvedených trojúhelníkových nerovností, Re(an )  Re()  an   , Im(an )  Im()  an   ,

[2]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

an    Re(an )  Re()  Im( an )  Im() .



Důsledek 9.2 (elementární důsledky denice limity) Nechť a, b, jsou konvergentní číselné posloupnosti. Pak platí: an    an    0 , an    an   ,

an  0  an  0 .

Jestliže an  1 , bn   2 , pak an  bn  1   2 ,

an  bn   1   2 , an  bn  1   2 ,

an / bn  1 /  2 , pokud  2  0 .

 V důkazech těchto vlastností hrají klíčovou úlohu následující vztahy: an    an    0 , an    an   , an  0  an  0 , an  bn  (1   2 )  an  1  bn   2 , an  bn  (1   2 )  an  1  bn   2 , an bn  1 2  (an  1 )bn  1 (bn   2 ) 

an  1 c  1 bn   2 (konvergentní posloupnost je omezená, tj. bn  c ), an  2  bn 1 bn  2



( an  1 )  2  1 (  2 bn ) bn  2



an  1  2  1 bn   2 c 2

an bn



  12 

(kde 0  c  bn pro s. v. n   ).



Denice 9.3 (BC podmínka) Posloupnost a :    splňuje BC podmínku právě když platí    n0   m   n  (m  n0 & n  n0  | am  an |   ) ,

(9.4)

nebo ekvivalentně     n0   p   (| an0  p  an0 |   ) .

(9.5)

BC podmínka je zkratka za Bolzanova Cauchyova [čti kóšiova] podmínka. Posloupnosti, které splňují uvedené podmínky (9.4), (9.5) se nazývají cauchyovské.   Dokažme ekvivalenci podmínek (9.4), (9.5). (9.4)  (9.5). Nechť     . Podle (9.4) existuje n0 takové, že m  n0 & n  n0  | am  an |   . (i) Je-li p   libovolné, potom pro m : n0  p  n0 , n : n0  n0 plyne z (i) | an0  p  an0 |   . (9.5)  (9.4). Nechť     . Podle (9.5) existuje n0 takové, že p    | an0  p  an0 |  2 .

[3]

(ii)

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

Jsou-li m, n   libovolná a m  n0 & n  n0 , pak existují p1 , p2   taková, že m  n0  p1 , n  n0  p2 . Podle (ii) odtud plyne | an0  p1  an0 |  | am  an0 |  2 a | an0  p2  an0 |  | an  an0 |  2 .

Odtud | am  an |  | am  an0  an0  an |  | am  an0 |  | an0  an | 

 2

 2   , tj. platí (9.4).



Věta 9.2 (BC podmínka konvergence) Posloupnost a :    je konvergentní právě když splňuje BC podmínku, tj. právě když posloupnost a :    je cauchyovská.   Nejprve ukažme, že konvergentní posloupnost splňuje (9.5). Nechť an   a     je libovolné. Podle denice 9.2 existuje n0   tak, že n  n0  | an   |  2 .

(i)

Nechť p   je libovolné. Pak n0  p  n0 a podle (i) dostaneme | an0  p  an0 |  | an0  p   |  |   an0 | 

 2

 2   . Tedy platí (9.5).

Zbývá ukázat, že posloupnost a :    , která splňuje (9.4) nebo (9.5), je konvergentní. Tato část důkazu je nejcennější a nejobtížnější. Důkaz rozdělíme do několika kroků. (1) Nejprve ukážeme, že cauchyovská posloupnost je omezená, tj. že například existuje čtverec v němž leží všechny členy posloupnosti. Zvolme nějaké     . Podle podmínky (9.5) existuje člen posloupnosti an0 v jehož okolí U (an0 ,  ) leží skoro všechny (tj. s výjimkou konečného počtu) členy posloupnosti. Mezi členy posloupnosti, které neleží v kruhu U (an0 ,  ) , vyberme ten, který leží nejdále od an0 . Nechť je to am . Zvolme poloměr r tak, aby r  max{| am  an0 |,  } . Pak všechny členy posloupnosti leží v kruhu U (an0 , r ) , tento kruh o

konečném poloměru r leží jistě v nějakém čtverci. Právě jsme ukázali, že všechny členy cauchyovské posloupnosti se nalézají v nějakém čtverci (čtverec v rovině je obdobou intervalu na přímce). (2) Na základě tohoto faktu nyní v komplexní rovině  nalezneme číslo  v jehož libovolném okolí se bude nalézat vždy nekonečně mnoho členů posloupnosti a, později pak ukážeme, že číslo  je limitou této posloupnosti. K nalezení čísla  budeme opakovat nekonečněkrát následující proceduru P. Bude tím sestrojena nekonečná posloupnost I n do sebe vnořených čtverců, tj. I n  I n 1 , přičemž v každém z nich bude ležet nekonečně mnoho členů posloupnosti a. Všechny čtverce uvažujeme uzavřené, tj. včetně jejich hranice, jinak by dále uvedená procedura nefungovala. Proč? Procedura P: Nechť I je čtverec, ve kterém leží nekonečně mnoho členů posloupnosti a. Čtverec I rozdělme na čtyři shodné uzavřené čtverce (kvadranty). Pak P(I) označuje ten uzavřený kvadrant čtverce I, ve kterém rovněž leží nekonečně mnoho členů posloupnosti a. Takový kvadrant P(I) vždy musí existovat, v opačném případě by v I nemohlo ležet nekonečně mnoho členů posloupnosti a. Viz dále uvedený obrázek.

[4]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

Nechť I0 je uzavřený čtverec, ve kterém leží všechny členy cauchyovské posloupnosti a. Položme I n 1 : P ( I n ) . Tím je rekurentně sestrojena hledaná posloupnost I n do sebe vnořených uzavřených čtverců, tj. I n  I n 1 , přičemž v každém z nich bude ležet nekonečně mnoho členů posloupnosti a. Situaci ilustruje následující obrázek. Im

I2

I4

I1 I3 I0 Re 0 Podle principu vnořených intervalů, průnik čtverců  I n je neprázdný a obsahuje jediný n

prvek. Tento prvek je ono hledané . Platí tedy  I n  {} .

n

Poznamenejme, že princip vnořených intervalů byl dokázán v zimním semestru na základě věty o supremu pro jednorozměrné intervaly. Platí i pro intervaly vícerozměrné, tedy i pro čtverce, neboť projekce těchto intervalů do „souřadných os“ jsou intervaly jednorozměrné, na které lze dokázaný princip aplikovat. (3) Nyní si všimněme, že číslo  je tzv. hromadný bod posloupnosti a, je to bod, v jehož libovolném okolí leží vždy nekonečně mnoho členů posloupnosti a. To je zřejmé, zvolíme-li libovolně nějaké okolí U (,  ) , pak musí existovat čtverec, který leží ve zvoleném okolí, tj. pro nějaké n bude I n  U (,  ) . Čtverce se totiž zmenšují čtvrcením a všechny obsahují . Protože se ve čtverci I n nalézá nekonečně mnoho členů posloupnosti a, nalézá se toto množství členů i v okolí U (,  ) . (4) Nyní ukážeme, že cauchyovská posloupnost nemůže mít více než jeden hromadný bod. Předpokládejme, že posloupnost a má dva hromadné body, tj. nechť  1   2 jsou hromadné body posloupnosti a. Potom r  | 1   2 |  0 . Položme   13 r . Protože platí (9.4), existuje index n0 takový, že m  n0 & n  n0  am  an   . (ii) Protože v libovolném okolí hromadných bodů posloupnosti a leží nekonečně mnoho členů této posloupnosti, existují členy an1 U (1 ,  ) , an2 U ( 2 ,  ) , jejichž indexy jsou větší než n0. Pak ovšem podle (ii) | an1  an2 |   . Potom r  | 1   2 |  | 1  an1  an1  an2  an2   2 | 

[5]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

| 1  an1 |  | an1  an2 |  | an2   2 |        r , odtud plyne r  r což není pravda, máme tedy spor.

(5) Zbývá ukázat, že číslo  je limitou posloupnosti a, podle (9.3) stačí ukázat, že pro libovolné     je {n | an  U (,  )} konečná množina. Nechť to není pravda, pak existuje

 0    takové, že množina {n | an  U (,  0 )} je nekonečná. Odstraníme-li v tomto případě z posloupnosti a všechny členy, které leží uvnitř okolí U (,  0 ) , stále jich zbude ve čtverci I0 nekonečně mnoho a stejnou procedurou P dokážeme existenci hromadného bodu  1 . V libovolném okolí hromadného bodu se nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti a, proto 1  U (,  0 ) , protože všechny členy posloupnosti a, které leží v U (,   ) , byly z posloupnosti odstraněny. Proto  1   , což je spor, neboť cauchyovská posloupnost nemůže mít dva různé hromadné body, viz již dokázaný bod (4). Je tedy nutně pro libovolné     množina {n | an  U (,  )} konečná a tedy lim an   , kde   I 0   , tj. posloupnost a je n 

konvergentní.



Číselné řady Denice 9.4 (nekonečná řada) Nechť a :    , s :    jsou posloupnosti, pro které platí sn  a1  a2    an n   ,

(9.6)

a1  s1 & an 1  sn 1  sn n   .

(9.7)

nebo ekvivalentně





a

Symbol

k 1

(9.8)

k

se nazývá nekonečná (číselná) řada, může být zapsán v mnoha ekvivalentních tvarech, například 

 ak  k 1



 am  m 1



 an  2  n 3



 an  4 

n  3





m  k 1

am  k  a1  a2  a3  .

 

Hodnota sn se nazývá n–tý částečný součet nekonečné řady (9.8). Posloupnost s se nazývá posloupnost částečných součtů nekonečné řady (9.8).



k–tý člen posloupnosti a se nazývá k–tý člen řady (9.8).



Denice pojmů lze zcela zřejmě vyslovit i pro variantu 0   , potom pro n-tý částečný součet budeme psát sn  a0  a1    an , symbol řady pak píšeme ve tvaru 

a k 0

k

a podobně. Tohoto způsobu použijeme zejména u geometrické a mocninné

řady. [6]

9

25.4.2008



15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

Nechceme-li nekonečnou řadu denovat jako symbol, je možné ji denovat jako uspořádanou dvojici posloupností (a, s), které jsou svázány vztahy (9.6), (9.7) (modernější, méně běžné).

Denice 9.5 (součet nekonečné řady) Nechť a :    , s :    jsou posloupnosti pro které platí sn  a1  a2    an n   . Číslo     { ,  } se nazývá součet řady



a k 1



 ak pak připisujeme význam tohoto součtu, tj. k 1



a

n  



a k 1

k

:  . Platí tedy

 lim (a1  a2    an ) .

k

k 1

právě když   lim sn . Symbolu řady

k

(9.9)

n  

Jestliže posloupnost s konverguje, tj. lim sn  , říkáme, že řada n 



a k 1

konverguje, nebo že

k

je konvergentní. Jestliže posloupnost s diverguje, tj. lim sn neexistuje, nebo n 

lim sn { ,  } , říkáme, že řada diverguje, nebo že je divergentní. V případě

n 

lim sn    , resp. lim sn    říkáme, že řada diverguje k + , resp. k – . Budeme

n 

n 



užívat symbolů

 ak (K) pro konvergentní řadu a k 1



a k 1

k

(D) pro divergentní řadu.

Příklad 9.1 

Stanovte součet nekonečné řady

 k 1

1 k ( k 1)

.

Nejprve vhodně vyjádříme posloupnost částečných součtů. Protože n

postupovat takto: sn   k ( k11) k 1

n

 k 1

1 k

 k 11  

n

 k 1

1 k

n

n

k 1

k 2

 1k  n11  1  n1 1 . Odtud plyne lim sn  lim (1  n11 )  1 . Řada k 2

 1k  k11 , lze

n 1

n

k 2

k 2

  k11  1   1k   1k  1   1k 

n

n 

1 k ( k 1)

n 



 k 1

1 k ( k 1)

je tedy

konvergentní a platí 

 k 1

1 k ( k 1)

 1.

Definice 9.6 (BC podmínka pro řady) 

Nekonečná číselná řada

a k 1

k

splňuje BC podmínku pro řady právě když BC podmínku z

Denice 9.3 splňuje posloupnost částečných součtů řady, tj. když platí:

[7]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

   n0   m   n  (m  n0 & n  n0  | sm  sn |   ) ,

(9.10)

kde sn  a1  a2    an , nebo ekvivalentně: n0  p



   n0   p   

k  n0  1

ak   .

(9.11)

Důsledek 9.3 Nekonečná číselná řada je konvergentní právě když splňuje BC podmínku (9.10), nebo (9.11).  Splnění podmínky (9.10), nebo (9.11) je ekvivalentní podle věty 9.2 konvergenci posloupnosti sn  a1    an , což podle definice 9.5 znamená konvergenci řady



a k 1

k

.



Věta 9.3 (nutná podmínka konvergence) 

Jestliže řada

a k 1

k

konverguje potom lim ak  0 . k  

 Jestliže řada konverguje, pak existuje limita lim sn     , kde sn  a1    an . Pak platí n 

lim an  lim ( sn  sn1 )  lim sn  lim sn 1      0 .

n 

n 

n 



n 

Příklad 9.2 (součet geometrické řady) Nechť q   . Jestliže | q |  1 řada



 q k konverguje a platí k 0

Jestliže | q |  1 řada



q k 0



 q k diverguje. Pro q  1 je k 0

 Jestliže q  1 pak platí sn  1  q    q n  existuje právě když existuje lim q

n 1

n 

k

 11q . 

q

k

 .

k 0

(1 q  q n )(1 q ) (1 q )



1 q n 1 1 q

. Odtud plyne, že lim sn n 

.

(a) Nechť | q |  1 , potom posloupnost n | q |n je nerostoucí a zdola ohraničená nulou, tj. existuje lim | q |n   . Platí   lim | q |n 1  lim | q |  | q |n  | q |  lim | q |n  | q |  . Odtud n 

n 

n  

n 

 (1 | q |)  0 , tj.   0 , protože 1 | q |  0 . Potom lim q  0 a tedy lim sn  11q . n

n 

n 

n 1

(b) Jestliže | q |  1 , potom | q |  1 a tudíž nemůže být splněna nutná podmínka konvergence, neboť lim q n  0  lim | q |n  0 , řada tedy diverguje. n 

n 

(c) Jestliže q  1 , tj. q je reálné, potom sn  1  q    q n  n  1 , tudíž lim sn  lim n  1    . n 

n 

[8]



9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

Příklad 9.3 

Najděte součet řady

( k 0

 Protože | 11 j | 

1 2

1 k 1 j

) .

 1 , řada je geometrickou konvergentní řadou, podle předešlého příkladu

je jejím součtem číslo

1 1 j   1 j . 1  11 j 1  j  1



Příklad 9.4 





Řada

k 1

k k 1

je divergentní, protože nesplňuje nutnou podmínku konvergence. Jelikož

posloupnost částečných součtů řady je rostoucí, sn 1  sn  nn12  sn , je nutně





 k 1

k k 1

  .



 sin(k )

Řada

je divergentní, protože nesplňuje nutnou podmínku konvergence,

k 1

lim sin(k ) totiž neexistuje.

k 







Řada

k 1

lim

k 

1 k

1 k

je divergentní a zároveň je splněna nutná podmínka konvergence, tj.

 0. Tento výsledek není v rozporu s větou 9.3.

Věta 9.4 (harmonická řada je divergentní) 

Řada



k 1

1 k

se nazývá harmonická. Platí 

 k 1

1 k

 .

n

 Uvažujme posloupnost sn   1k . Posloupnost je rostoucí, neboť platí sn  sn  n11  sn 1 . k 1

Ukažme, že posloupnost s není ohraničená shora. Předpokládejme sporem, že ohraničená shora je. Pak ovšem rostoucí posloupnost ohraničená shora má nutně konečnou limitu, nechť tedy lim sn     . Pro libovolná přirozená čísla m, n platí sn  m  sn  n11  n1 2    n1m  n 

sn  n 1m  n 1m    n 1m  sn  n mm , tedy sn  m  sn  nmm , proto pro každé n   platí

lim sn  m  lim sn  nmm , tj. pro každé n   je   sn  1 a konečně   lim sn  1    1 ,

m 

m 

n 

tedy     1 , což dává hledaný spor. Posloupnost sn je tedy rostoucí a není ohraničená shora, tj. nutně sn    , což se mělo dokázat. 

[9]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

Příklad 9.5 (počítačové experimenty s harmonickou řadou) Položme si otázku, kolik je třeba sečíst členů harmonické řady, aby její součet byl 100. n

Označme s (n)   1k . Pomocí programu Mathematica nebo Maple můžeme určit k 1

s (15.0926 10 42 )  99.999994128 ,

experimentem, že

s (15.0927  10 42 )  100.000000754 .

Kdybychom k sečtení tolika členů řady chtěli použít rekurentní formuli sn 1 : sn  n11

(i)

a měli bychom k dispozici superpočítač, který by dokázal vyčíslit rovnici (i) za 1s 60 biliardkrát ( 60  1015 ), tedy s frekvencí 60 milionů GHz, (těžko si představit, že bude někdy takový počítač postaven), potřebovali bychom k sečtení 15  1042 členů čas t

15 1042  2.5  1026 [ s ]  7.9 1018 [let]  700  106  [stáří vesmíru]. 60  1015 [ s 1 ]

Stáří vesmíru se v současnosti odhaduje na 11.5  109 let.

Elementární vlastnosti číselných řad Věta 9.5 Nechť a :    . Pak pro každé přirozené číslo n   platí 

 ak  a1    an  k 1



a

k  n 1

k

,

(9.12)

přičemž řada vlevo konverguje právě když konverguje řada vpravo. 

Poznámka: Řada



k  n 1



ak se nazývá zbytek řady

a k 1

k

.

 Napišme posloupnosti částečných součtů pro obě řady ve vztahu (9.12). Dostaneme n

n m

k 1

k  n 1

sn   ak ,  m 



ak . Pak platí sn m  sn   m , odtud

lim ( sn   m )  sn  lim  m  a1    an 

m 

m 



a k 1

k

 lim sn  m  m  



a

k  n 1

k



.

Důsledek 9.4 

Jestliže řada

 ak konverguje, pak lim

n  

k 1

[ 10 ]



a

k  n 1

k

0.

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla



 Jestliže řada

 ak konverguje, potom existuje číslo  takové, že k 1





máme

k  n 1



ak    (a1    an )    sn . Odtud lim

n  

a

k  n 1



a k 1

  . Podle (9.12)

k

 lim (  sn )      0 .

k



n  

Věta 9.6 (konvergence po složkách) Nechť a :    , označme xk  Re( ak ) , yk  Im(ak ) . Pak platí 

 ak (K)  k 1



a k 1

(K) 

k





k 1

k 1

k 1

k

| (K) 

k 1



k

(9.13)

(9.14)

k 1





k 1

k 1

 ak   ak ,



(9.15)



| x k 1

(K),

 j  yk ,

k

k 1

k



a   x

 ak (K)  

y

k 1



| a



 xk (K) &

| (K) &

k

| y k 1



k

| (K),

(9.16)



 | ak | (K) 

a

k 1

k 1

k

(K).

(9.17)

 Tvrzení (9.13), (9.14) jsou důsledkem konvergence po složkách, tj. důsledkem věty 9.1 

aplikované na posloupnost částečných součtů řady

a k 1

k



nerovnosti a ze spojitosti funkce z  z ,

 ak  k 1

n

lim

n 

 ak  k 1

. (9.15) plyne z trojúhelníkové n

lim

n  

 ak  lim

n  

k 1

n

a k 1

k





a k 1

k

.

Vztah (9.16) plyne z nerovností | xk |  | ak | , | yk |  | ak | , | ak |  | xk |  | yk | a z toho, že posloupnosti částečných součtů řad s nezápornými členy jsou neklesající. 

Nechť

 | ak | (K). Pak řada k 1

    n0  p  



| a k 1

n0  p



k  n0 1

k

| splňuje podle důsledku 9.3 BC podmínku, tj.

| ak |   . Avšak

n0  p



k  n0 1

[ 11 ]

ak 

n0  p



k  n0 1

| ak | 

n0  p



k  n0 1

| ak |   , tj.

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla



BC podmínku splňuje i řada

a k 1

a proto je podle důsledku 9.3 konvergentní, platí

k



tedy (9.17) Denice 9.7 (absolutní – neabsolutní konvergence) Nechť a :    . 

Jestliže

 | ak | (K) říkáme, že řada k 1 

Jestliže



 ak konverguje absolutně, budeme psát k 1



 | ak | (D) a řada

a k 1

k

(KA).



 ak (K) říkáme, že řada

k 1



a

k 1

k 1

k

konverguje neabsolutně.

Podle (9.17) absolutně konvergentní řada je konvergentní. Věta 9.7 (operace s řadami) Nechť a, b, c :    ,    , (zde 0   ). 





n0

n0

n0







n0

n0

n0

 (an  bn )   an   bn ,

Pak platí

(9.18)

 (an  bn )   an   bn , 



n0

n0

(9.19)

  an    an ,

(9.20)

má-li pravá strana rovnice smysl. n

Nechť pro posloupnost c platí: cn  a0bn  a1bn 1  a2bn  2    anb0   ak bn k . Jestliže řady k 0





a , b n0

n

n0

n

konvergují a alespoň jedna z nich konverguje absolutně, pak konverguje řada



 cn a platí: 

 an , n0 

Poznámka. Řady

 (a n0



řad

 an , n0



n

 bn . Řada n0





n0

n0

n0

 cn   an   bn .

n0

Jestliže obě řady



(9.21)



 bn konvergují absolutně, konverguje absolutně i řada n0

 bn ) ,



 (a n0

n

 bn ) ,



c n0

n

.



c n0

n



se po řadě nazývají součet, rozdíl a součin

  an se nazývá -násobek řady n0



[ 12 ]



a n0

n

.

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

n

n

n

k 0

k 0

k 0

 (ak  bk )   ak   bk , platí

 (9.18), (9.19). Nechť   {, } . Protože

n n n  n  (1) lim a  b  lim  ( ak  bk )  lim  ak  lim  bk   k  k  n   n   n   n   k 0 k 0 k 0 k 0  k 0  (1) je možný, pokud výraz napravo od rovnosti (1) má smysl.

n

a k 0

k 0



a k 0

 lim

k

n 

n

 a

k

k 0

k 0

 bk ) 

k



a  b k

k 0

. Krok

k

k 0

(2)

n

 lim   ak  n 

k 0



n

n  

   ak , potom

k

k 0

 lim

n

a

 (a



n

(9.20). Platí



   ak , pokud výraz napravo od rovnosti (2) má smysl.

k

k 0

(9.21). Nejprve dokažme pomocné tvrzení: Jestliže x, y :    , zn  x0 yn  x1 yn 1    xn y0 , xn  0 ,



y n0



 Protože

y n0

n

(KA), pak zn  0 .

(KA), pak yn  0 a existuje konstanta K   taková, že

n

n

n    | yk |  K . Protože xn  0 , existuje konstanta L   taková, že n   | xn |  L . k 0

Vezměme nyní     libovolně. Protože xn  0 , existuje n1   takové, že n  n1 | xn | 





. Protože yn  0 , existuje n 2   takové, že n  n 2 | yn | 



 n 1L

. Pak pro

n  n1  n 2 platí | zn |  | x0 yn  x1 yn 1    xn1 1 yn n1 1  xn1 yn n 1    xn 1 y1  xn y0 | 

| x0 || yn |  | x1 || yn 1 |   | xn1 1 || yn n1 1 |  | xn1 || yn n 1 |   | xn 1 || y1 |  | xn || y0 |  (| x0 |  | x1 |   | xn1 1 |)  nL  (| yn n 1 |   | y1 |  | y0 |) Κ  (n1 L)  nL  ( K ) Κ   .

Takže zn  0 .

 



n

n

n

n0

k 0

k 0

k 0

Předpokládejme  an (KA),  bn (K), označme  n :  ak ,  n :  bk ,  n :  ck  n0

n



k

 a b

 k 

k 0 0

,     bk . Dodefinujme posloupnost b pro záporné indexy, k    bk   0 , k 0

n

k

pak můžeme psát  n   a bk    k 0 0

n

n

a b 

0

k 

n

a  

0



k 





n

n

a b 

0

k 0

n

 a ( 

0

k



n

 abk   k 0 0

n

a  

0

n

n 



n

 a ( 

0

n

 abk   0 k 0

    ) 

n

n

0

k 0

 a  bk   n

 a ( 

0

n 

  ) 

n

n 

   )     a . Protože posloupnost m   m    konverguje k 0 a 0



 an (KA), je podle pomocného tvrzení lim n0

n 

n

n  

n

 a ( n    )  0 . Pak ovšem 0

[ 13 ]



c n0

n



9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

n n n  n  lim  n  lim   a (  n      )    a   lim  a (  n     )  lim    a  n   n   n   n  0 0 0  0 

0    lim

n  

n

a







b a



0

n

n0

n0

n

. 

Zbývá ukázat, že součin řad konverguje absolutně, konvergují-li absolutně obě řady

a n0





b n0

n . Nechť tedy

a n0





b

n (KA),

n0

| a

n (KA). Pak ovšem

n0

n

,



n | (KA) a

| b

n

n0

| (K) a vztah

(9.21) můžeme aplikovat na řady s absolutními hodnotami. Odtud plyne, že řada 

n

n

 | an || bnk | (K). Dále | cn |  |  ak bn k |  n0 k 0

k 0

n

 | ak || bn k | . Konvergence řady k 0



| c n0

n

| pak

vyplývá ze srovnávacího kritéria konvergence, viz dále uvedená věta.



Kritéria konvergence Věta 9.8 (srovnávací kritérium) Nechť a :    , b :    . Jestliže ak  bk pro s. v. k   , pak platí: 

 bk (K)  k 1



 k 1





ak (K) ,

k 1

ak (D)  n

 Jestliže ak  bk pro s. v. k   , pak existuje n0 takové, že



k  n0 1 

 bk (K), potom podle věty 9.5 to znamená konvergenci k 1

n



k  n0 1

bk 





k  n0 1

bk , tj. posloupnost sn 



b k 1

ak 



k  n0 1



k  n0 1

(9.22)

n



k  n0 1

bk . Je-li



n



bk a tedy platí

k  n0 1

ak 

n



k  n0 1

ak je neklesající a shora ohraničená, má tedy



konečnou limitu, tj.

(D) .

k



ak (K). Podle věty 9.5 to znamená konvergenci

tvrzení v (9.22) je důsledkem ekvivalence ( p  q )  (q  p ) .

a k 1

k

. Zbytek 

Věta 9.9 (integrální kritérium) Nechť funkce f : 1,  )   je monotónní. Pak platí: 

 f (k ) (K) k 1





 1

f ( x) dx (K).

(9.23)

 Jestliže funkce f je monotónní a konverguje v (9.23) řada nebo integrál, je funkce f buď nerostoucí a nezáporná, nebo neklesající a nekladná. Oba případy se liší jen znaménkem, stačí dokázat jen jeden z nich.

[ 14 ]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

Nechť f je nerostoucí a nezáporná. Pak platí f (k  1)  

k 1 k

f ( x) dx  f (k ) , viz obrázek.

f f (k) f (k +1)

0

k

Sečtením dostaneme nerovnosti

k +1

n

n

k 1

k 1

 f (k  1)   

sn 1  f (1) 



n 1 1

k 1 k

n

f ( x) dx   f (k ) , konečně k 1

f ( x) dx  sn .

(i)

n

Posloupnosti n  sn , n   f ( x) dx jsou neklesající. 1

(a) Jestliže konverguje řada, pak sn  lim sn   a podle (i) je neklesající posloupnost n 

n

n   f ( x) dx shora ohraničená a tedy je ohraničená shora i monotónní funkce 1

t

t   f ( x) dx . Integrál tedy konverguje a platí 1







f ( x) dx  lim sn   ak . n 

1

k 1

(b) Jestliže konverguje integrál, podle (i) je neklesající posloupnost n  sn shora ohraničená, sn 1  f (1)  

n 1 1

f ( x) dx  f (1)  

 1

f ( x) dx a tedy konvergentní.



Příklad 9.6 Harmonická řada je divergentní. 

Členy harmonické řady



k 1

1 k

jsou hodnoty funkce f ( x ) 

můžeme použít integrální kritérium konvergence.



 1

1 x

1 x

klesající na intervalu 1,   ) ,

dx  [ln x]1  lim ln x    . x 

Integrál diverguje, diverguje i řada. Věta 9.10 (limitní d’Alembertovo (podílové) kritérium) Nechť a :    .  an 1  1 potom řada  ak konverguje, Jestliže lim n   a n k 1 Jestliže lim

n  

 an 1  1 potom řada  ak diverguje. an k 1

[ 15 ]

(9.24)

(9.25)

9

25.4.2008

15:00

 Jestliže lim

n  

n  n0  an1 an

an 1 an

   1 , existuje     takové, že      a index n0 takový, že

an 1 an

      . Označíme-li q     , můžeme pro n  n0 psát:

 ann1  ann12  a

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

a

an1 an0



 q n  n0 1 , odtud plyne an 1  an0 q  n0  q n 1  c  q n 1 . Jelikož q  1 ,

an0 1 an0



cq

geometrická řada

k

je konvergentní, můžeme použít srovnávací kritérium konvergence,

k 1

neboť an  c q n pro s. v. n   a tedy řada



a k 1

Nechť lim

n  

an1 an

konverguje.

an 1  1 , pak existuje index n0 takový, že n  n0  an

 ann1  ann12  a

k

a

an0 1 an0

an 1 an

  , odtud

 1 , tj. an 1  an0  0 . Pak ovšem lim an  0 , tj. řada n 



a k 1

k

diverguje. 

Poznámka 9.3 Podle limitního d’Alembertova kritéria se o konvergenci řady nedá rozhodnout v případě, kdy lim

n  

an 1 an

 1 . Uvažujme například řady





  k 1

1 k

,

k 1

1 k2

. Prvá je divergentní harmonická řada,

druhá je konvergentní, například podle integrálního kritéria. Pro obě tyto řady vychází lim

n  

an 1 an

 1.

Příklad 9.7 

Rozhodněte o konvergenci řady



kk k!

k 1

ak 1 ak



( k 1) k 1 k ! ( k 1)! k k



( k 1)k kk

.

 (1  1k )k  e . Protože e > 1, řada je divergentní. Protože má 

kladné členy, je posloupnost částečných součtů rostoucí, tudíž

 k 1

kk k!

  .

Věta 9.11 (limitní Cauchyovo (odmocninové) kritérium) Nechť a :    . 

Jestliže lim

n

n 

an  1 , potom řada  ak konverguje,

(9.26)

k 1



Jestliže lim

n 

n

an  1 , potom řada  ak diverguje. k 1

[ 16 ]

(9.27)

9

25.4.2008

15:00

 Jestliže lim

n

n 

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

an    1 , existuje     takové, že q      1 . Potom

s. v. n   , tj. an  q n pro s. v. n   . Jelikož



q

n

an  q pro



k

a

(K), potom

k 1

k 1

(K) podle

k

srovnávacího kritéria. Je-li lim

an    1 , existuje     takové, že     1 , pak ovšem

n

n 

an      1 pro

n

s. v. n   , tj. an  1 pro s. v. n   a tudíž nemůže být splněna nutná podmínka konvergence. Řada je tedy divergentní.



Poznámka 9.4 Podle limitního Cauchyova kritéria se o konvergenci řady nedá rozhodnout v případě, kdy lim

n

n 

an  1 . Můžeme uvážit tytéž řady jako v poznámce 9.3,





  k 1

1 k

divergentní harmonická řada, druhá je konvergentní. Platí však lim

n

neboť lim

n

n  

n  1 , tudíž lim

n

n  

n 2  lim

n  

n

n  n n  lim

n

n  

n  lim

n  

n

,

k 1

1 n

n

1 k2

. Prvá je

 1 , lim

n

1 n

n2

 1,

n 1.

Příklad 9.8 

Vyšetřete konvergenci řady

 k 1

k 2k

. Platí lim

n n 2n n 

 lim

n 

n

n 2

 12  1 , řada tedy konverguje.

Věta 9.12 (o rovnocenné síle d’Alembertova a Cauchyova kritéria) a Nechť a :     . Jestliže existují limity lim ann1  1 , lim n an   2 , potom  1   2 . n  

n  

 Nechť  1  0 . Pak pro libovolné   (0, 1 ) existuje index n0 takový, že 0  1   

an 1 an

(l1   )nn0 1 

(l1   ) n

an0 ( l1  )n0

 1   pro n  n0 . Odtud (l1   ) n  n0 1 

an1 an0

an1 an

 ann1  ann12  a

a

an0 1 an0

 (l1   ) n n0 1 , tj.

 (l1   )nn0 1 , odtud an0 (l1   ) n  n0  an  an0 (l1   ) n  n0 a konečně

 n an  (l1   ) n

an0 ( l1  )n0

. Pro n   dostaneme 1     2  1   , tj.

 2   1   . Protože   (0, 1 ) může být libovolně malé, dostáváme rovnost  1   2 .

Zcela obdobně se postupuje v případě  1  0 . Pro libovolné     existuje index n0 takový, že 0 

an 1 an

  pro n  n0 . Odtud potom 0  an  an0  n  n0 , dále 0  n an   n an0   n0 a pro

n   dostaneme 0   2   , což vede na  2  0 , tedy opět  1   2 .

Příklad 9.9 

Vyšetřete konvergenci řady

 k 1

k k 1

.

[ 17 ]



9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

an 1

Použitím d’Alembertova kriteria dostaneme lim

n  

an

 lim

k 

k 1 k 1 k 2 k

 1 . Podle d’Alembertova

kriteria se tedy nedá o konvergenci rozhodnout. Podle věty 9.12 ovšem nemá smysl zkoušet kritérium Cauchyovo, bude-li existovat limita lim n an , bude se rovnat číslu 1. Protože však n 

lim

k 

k k 1

 1 , není splněna nutná podmínka konvergence. Řada je divergentní,



 k 1

k k 1

  .

Poznámka 9.5 V dosud uváděných kritériích byla vždy testována absolutní konvergence. V d’Alembertově a Cauchyově kritériu se vždy uvažovaly absolutní hodnoty členů posloupnosti, v integrálním kritériu je tato skutečnost skryta v monotonii funkce f. Existují však řady, které konvergují, ale nikoliv absolutně. Příkladem takových řad, které mohou konvergovat neabsolutně jsou alternující řady. Jsou to řady s reálnými členy jejichž znaménka se pravidelně střídají, alternují. Definice 9.8 (alternující řady) Nechť a :    je nezáporná posloupnost, tj. n  (an  0) . Potom řady



 (1) k 1





k 1

k 1

k 1

ak ,

 (1)k ak   (1)k 1 ak se nazývají alternující. Pro alternující řady je známo jednoduché kritérium konvergence. Věta 9.13 (Leibnizovo kritérium konvergence pro alternující řady) Nechť a :    . Jestliže platí: (1) Posloupnost a je nezáporná, (2) posloupnost a je nerostoucí, (3) lim an  0 , n 



pak alternující řada

 (1)k 1 ak , (a tedy i řada k 1



 (1) k 1

k

ak ) konverguje.

  Nechť platí (1), (2) a (3). Nejprve vyšetřeme chování sudých členů posloupnosti 

částečných součtů řady

 (1) k 1

k 1

ak . Mějme

s2 n  a1  a2  a3  a4    a2 n 1  a2 n .

(i)

Protože posloupnost a je nezáporná a nerostoucí, tj. an  an 1  0 , posloupnost sudých členů (i) je nezáporná a neklesající. Je totiž pro libovolné n   :

[ 18 ]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

s2 n  2  (a1  a2 )    (a2 n 1  a2 n )  (a2 n 1  a2 n  2 )  s2 n  0 .     0 0 0  

(ii)

S2 n

Členy v rovnici (ii) můžeme ovšem uzávorkovat jakkoliv, udělejme to následovně: s2 n  2  a1  (a2  a3 )  (a4  a5 )    (a2 n  2  a2 n 1 )  (a2 n  a2 n 1 )  a2 n  2  a1 .       0

0

0

(iii)

0

0

Spojením (ii) a (iii) dostáváme 0  s2 n  s2 n 2  a1 . Na základě podmínek (1) a (2) jsme odvodili, že posloupnost (i) je neklesající a shora ohraničená. Taková posloupnost má konečnou limitu, označme lim s2 n   . n 

Podívejme se nyní na posloupnost lichých členů posloupnosti částečných součtů (i). Nechť m   je libovolné, pak platí: s2 m 1  a1  a2    a2 m 3  a2 m  2  a2 m 1  (a2 m  a2 m 1 )  s2 m 1 .    

(iv)

0

s2 m 1

Posloupnost lichých členů je nerostoucí a má stejnou limitu jako posloupnost sudých členů, protože s2 m 1  s2 m  a2 m 1 platí lim s2 m 1  lim ( s2 m  a2 m 1 )  lim s2 m  lim a2 m 1  m 

m 

m 

m 

  0   . Protože posloupnost sudých i lichých členů posloupnosti s má stejnou limitu, má ji 

i posloupnost s, tj. lim sn     (1) k 1 ak . Řada je tedy konvergentní. n  



k 1

Poznámka 9.6 Nechť a :    je nezáporná posloupnost a alternující řada



 (1) k 1

k 1

ak splňuje podmínky

(1) a (2) z věty 9.13, tj. a je nerostoucí a řada splňuje nutnou podmínku konvergence. Podle věty 9.13 je to konvergentní řada, podle důkazu věty 9.13 sudé členy posloupnosti částečných součtů tvoří neklesající posloupnost, liché členy posloupnosti částečných součtů tvoří nerostoucí posloupnost, platí tedy nerovnosti s2 n    s2 m 1 pro libovolná m, n   ,

(i)



kde    (1) k 1 ak . Na základě nerovnosti (i) můžeme odhadnout velikost součtu řady  a k 1

stanovit chybu, které se dopustíme, nahradíme-li součet řady  jejím částečným součtem. Z (i) dostáváme: 0    s2 n  s2 m 1  s2 n a s2 n  s2 m 1    s2 m 1  0 , tj. 0  s2 m 1    s2 m 1  s2 n . V první nerovnosti položme m : n  1 , ve druhé položme m : n , dostaneme 0    s2 n  s2 n 1  s2 n  a2 n 1 , 0  s2 n 1    s2 n 1  s2 n  a2 n . Obě získané nerovnosti lze spojit do jediné   sk  ak 1 k   . (9.28)

[ 19 ]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

Příklad 9.10 

Řada

 (1) k 1

k 1 1 k

je konvergentní. Sečteme-li 10 6 členů této řady dostaneme odhad jejího

součtu  s přesností   s106  a106 1  106 .  Jelikož posloupnost k 

1 k

je klesající a lim

k 

1 k

 0 , řada



 (1) k 1

k 1 1 k

je konvergentní

podle Leibnizova kritéria. V programu Maple spočteno s106  0.6931466806 , tudíž pro  platí odhad s106  a106 1    s106  a106 1 , tj. 0.6931457    0.6931477 . Je známo, že



 (1) k 1

k 1 1 k

 ln 2 ,

tj.   0.69314718056 , vidíme, že ln 2 leží ve vypočteném tolerančním poli.



Asociativita, komutativita v nekonečných řadách Položme si otázku, zda při sčítání nekonečných řad platí obdoba asociativního zákona, tj. zda v nekonečných součtech lze sdružovat činitele, jak to znázorňuje dále uvedená formule. (a1  a2 )  (a3  a4  a5 )  a6  (a7  a8 )  (a9  a10  a11  a12 )  ,      b1

b2

b3

b4



?

 ak  k 1

b5



b k 1

k

.

Problém řeší následující věta. Věta 9.14 (sdružování činitelů nekonečné řady) Nechť a :    je libovolná posloupnost,  :    je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Označme: b1  a1    a (1) , b2  a     a  2  ,  bk  a  k 1    a  k  . 

Pak platí. Jestliže má řada

 ak součet, pak má součet i řada k 1



a k 1

k





b k 1

k

a platí



b k 1

k

.

 Sestavme posloupnosti částečných součtů pro obě řady, dostaneme sm  a1    am ,  n  b1  b2    bn  (a1    a (1) )  (a     a  2  )    (a  n    a  n  ) . Odtud

[ 20 ]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

plyne vztah  n  s  n ) , posloupnost  je tedy vybraná posloupnost z posloupnosti s. Jestliže má posloupnost s limitu, pak stejnou limitu má každá z ní vybraná posloupnost, tedy i posloupnost . Existence limity posloupnosti s je ekvivalentní existenci součtu řady



a k 1

k

. 

Příklad 9.11 Pro řady, které nemají součet, zmíněná obdoba asociativního zákona neplatí. Uvažme řadu: 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  .

(i)

(1  1)  (1  1)  (1  1)  (1  1)  (1  1)    0  0    0 . 1  ( 1  1)  (1  1)  (1  1)  (1  1)    1  0  0    1 .

(a) (b)

Různá „uzávorkování“ vedou na různé součty. Z toho vyplývá, že řada (i) vůbec součet nemá, je tedy divergentní. Dále uvedené věty řeší problém, zda u nekonečných řad platí obdoba komutativního zákona, tj. zda lze změnou pořadí členů řady ovlivnit její součet. Věta 9.15 (o přerovnání absolutně konvergentní řady) Nechť a :    je libovolná posloupnost,  :    je prosté zobrazení na, tj. m  n    m)    n) a  (  )   , tzv. bijekce. Pak platí: 

Řada

 ak konverguje absolutně právě když konverguje absolutně řada k 1





k 1

k 1



 a k 1

k )

a platí

 ak   a  k ) . 

O řadě

 a  k ) říkáme, že vznikla z řady k 1



a k 1

k

přerovnáním .

 Nejprve si všimněme inkluzí, které jsou důsledkem bijektivity zobrazení  :    . Platí:

m   n   {1, 2, , m}  { (1),  (2), ,  ( n)} ,

(i)

n   k   { (1),  (2), ,  ( n)}  {1, 2, , k} .

(ii)

Inkluze (i) znamená, že pro každé m existuje n takové, že množina { (1),  (2), ,  ( n)} obsahuje všechna přirozená čísla 1, 2, …, m. Tato vlastnost plyne z toho, že  (  )   . Pak každé číslo z množiny {1, 2, , m} je obrazem nějakého čísla z , tj. 1    k1 ) ,…, m    k m ) , za n můžeme zvolit n  max{k1 , k2 , , km } , nebo číslo větší.

[ 21 ]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

Inkluze (ii) znamená, že pro každé n existuje k takové, že množina { (1),  (2), ,  ( n)} je obsažena v množině přirozených čísel 1, 2,…, k. Toto je elementární vlastnost přirozených čísel, za k můžeme zvolit k  max{ (1),  (2), ,  ( n)} , nebo číslo větší. Dále z inkluzí {1, 2, , m}  { (1),  (2), ,  ( n)}  {1, 2, , k} (iii) vyplývají nerovnosti m  n  k . 

Předpokládejme konečně, že řada

a k 1



k

konverguje. Ukažme, že řada

 a k 1

podmínku. Je třeba ukázat platnost výroku    n0   p   

n0  p



k  n0 1

k)

splňuje BC

a  k )   (absolutní

hodnotu jsme vynechali, sčítáme totiž nezáporné členy). Zvolme libovolně     . Podle 

předpokladu

a k 1

k

konverguje, splňuje proto BC podmínku, tj. existuje m0 takové, že p  

m 0 p



k  m 0 1

ak   .

(iv)

K danému číslu m0 vyberme n0 tak, že je splněna inkluze (i), tj. {1, 2, , m0 }  { (1),  (2), ,  ( n0 )} .

(v)

Pro libovolné p   vyberme k0 tak, aby byla splněna inkluze (ii) ve tvaru

Dále platí:

{ (1),  (2), ,  ( n0  p)}  {1, 2, , k0 } .

(vi)

k  n0    k )  {1, 2, , m0 } ,

(vii)

protože k  n0    k )  { (1),  (2), ,  ( n0 )} , odtud podle (v) dostaneme (vii). Dále ukažme, že platí:

{ (n0  1), ,  (n0  p )}  {m0  1, , k0 } .

(viii)

Vezměme k  { (n0  1), ,  (n0  p )} , pak k  { (1), ,  (n0 )} , podle (v) k  {1, 2, , m0 } a podle (vi) je k  {1, 2, , k0 } , odtud k  {1, 2, , k0 }  {1, 2, , m0 }  {m0  1,  , k0} , tj. platí (viii). Podle (viii) máme:

a

k k { ( n0 1),, ( n0  p )} n0  p

A tedy



k  n0 1

a ( k ) 



k0



k  m0 1

[ 22 ]

a

k k { m0 1,, k0 }

,

(2)

ak   ,

(ix)

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

nerovnost (2) plyne z (iv). K danému     jsme tedy našli n0 tak, že podle (ix), platí n0  p



k  n0 1

a ( k )   , tj. řada



 k 1



 a

a  k ) splňuje BC podmínku konvergence, řada

k 1

proto

k)



konverguje a tedy řada

 a k 1

konverguje absolutně.

k )

Zbývá ukázat, že obě řady mají stejný součet. Nyní již víme, že obě řady absolutně konvergují, konverguje-li jedna z nich. (Je-li  :    bijekce, je  1 :    rovněž 

bijekce, tj. konverguje-li

 a k 1



 k 1

, pak podle předchozí části důkazu musí konvergovat řada

k)



a    k )  ak .) k 1



Nyní ukážeme, že rozdíl



 a   a k 1

k

je menší než libovolné kladné číslo, proto musí být

k )

k 1

nulový. Podle věty 9.5 s využitím trojúhelníkové nerovnosti a elementárních vlastností limity posloupnosti napišme rozdíl v následujícím tvaru: 



k 1

k 1

 ak   a  k ) 





k  m 1

ak  a1    am  a     a  n   



a1    am  a     a  n  

k  n 1





a  k ) 

ak 

k  m 1





k  n 1





k  n 1





a  k ) 

k  m 1

ak 

a  k ) 

a1    am  a     a  n  .

Nyní zvolme     . Podle důsledku 9.4 existuje m0 a n0 takové, že





k  m0 1 



k  n0 1

a  k )   . Pak dostaneme:





 a   a k 1

k

k 1



k)





ak  3 ,

   a1    am0  a     a  n0 

Čísla m0 a n0 mohou být vybrána libovolně velká. Vyberme číslo n0 tak, aby {1, 2, , m0 }  { (1),  (2), ,  ( n0 )} , viz inkluze (v). Pak se v rozdílu a1    am0  a     a  n0  odečtou všechny členy a1 ,, am0 , tj. pro nějaké p platí a1    am0  a     a  n0  

p



k  m0 1

kde     je libovolné. Odtud nutně

ak  





k  m0 1 

 a   a k 1

ak  3 . Máme tedy

k

k 1

k )





k 1

k 1

 ak   a  k )   ,

 0.

Podle věty 9.15 součet absolutně konvergentní řady nezávisí na pořadí sčítanců v řadě. To nám umožňuje zavést symbol pro nekonečné řady, u nichž toto pořadí sčítanců není vyznačeno, neboť na něm nezáleží. Takovým řadám budeme říkat zobecněné řady, všechny absolutně konvergentní řady budeme moci chápat jako řady zobecněné.

[ 23 ]



9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

Definice 9.9 (zobecněné číselné řady) Nechť a : I   a I je spočetná množina, tj. existuje nějaká bijekce  :   I , pišme I   . Symbol

a i I

i

nazýváme zobecněnou (nekonečnou) řadou.

Číslo    nazveme součtem zobecněné řady

 a , pišme  a i

i I

bijekce  :   I pro kterou bude řada

i

i I

  , právě když existuje



 a  k ) absolutně konvergentní a k 1



 a k 1

k)

.

(Podle věty 9.15 pak bude řada absolutně konvergentní pro každou bijekci  :   I a bude mít stejný součet.) Má-li zobecněná řada

a

i

i I

řady

a i I

i

součet, budeme říkat, že konverguje. Konvergence zobecněné 

 a

tedy znamená absolutní konvergenci řady

k 1

pro nějakou bijekci  :   I .

k )

Věta 9.16 (kritérium konvergence pro zobecněné řady) konverguje  M   J  I & J  Fin ( | a j |  M )

a i I

i

j J

Symbol Fin označuje třídu všech konečných množin.  „“ Nechť

 a (K), pak existuje bijekce  :   I i I

i



taková, že řada

 | a k 1



položme M :  | a  k ) |   , pak sn  | a  |   | a  n  |  k 1



 | a k 1

k)

k)

| (K),

|  M n   . Nechť

J  I , J  Fin je libovolné. Protože  je bijekce, existuje index n0 takový, že platí

J  {     n0 } . Odtud dostaneme

| a j |  j J

n0

 | a  k ) |  k 1



 | a k 1

k )

| M .

„“ Nechť platí M   J  I  J  Fin ( | a j |  M ) . Vezměme libovolnou bijekci jJ

 :   I , pro každé n   položme K n : {     n } . Potom K n  I , K n  Fin a n

podle předpokladu

 | a |  M , tj. s   | a

i K n

i

n

k 1

k 

|

 | a |  M n   . Neklesající

i K n

i

posloupnost částečných součtů sn je tedy shora ohraničená, má tedy konečnou limitu, tj. řada   ai konverguje. i I

Právě vyslovený pojem zobecněné řady dovoluje snadno formulovat obecnější (transfinitní) způsob přerovnání nekonečné řady, viz další věta.

[ 24 ]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

Věta 9.17 (sčítání řady po blocích) Nechť a : I   , I   , I   I , kde     I  I    .  

Jestliže zobecněná řada  ai konverguje (má součet), pak pro každé   A zobecněná řada i I

a

i  I

i

rovněž konverguje. Označíme-li součty b   ai , pak zobecněná řada

konverguje a platí

i  I

 a   b . Lze tedy psát i I

i

 b

A

A



ai  

a . i

  A i  I

i   I A

Jestliže některé I  nebo A je prázdná nebo konečná množina, interpretujeme symboly

 b 

běžným způsobem, tj.



i{i1 ,,in }

A

n

a , a

ai 

k 1

ik

i

a

,

i

i  I

 0.

i

  Příklad 9.12 

Uvažujme řadu se známým součtem e z   k1! z k . Podle d’Alembertova kritéria řada k 0

konverguje absolutně pro každé z   . Platí totiž lim

n  

z k 1 k ! ( k 1)! z k

 lim

n  

zk k 1

 0  1 pro každé

z   . Lze tedy psát e z   k1! z k , kde nyní   {0,1, 2,} . Množinu  rozložme na sudá a k 

lichá čísla, tj.      ,   {0, 2, 4,} ,   {1,3,5,} , pak jsou splněny předpoklady věty 9.17, tj. platí e z   k1! z k   k1! z k   k1! z k . k  

k 

(i)

k 

Vybereme-li vhodné bijekce, můžeme řady přepsat do běžného tvaru 





k 0

k 0

k 0

e z   k1! z k   (21k )! z 2 k   (2 k11)! z 2 k 1 .

(ii)

Dosadíme-li do (ii) z : jz dostaneme známou Moivrovu formuli, kterou jsme zde dokázali pro libovolné komplexní z   . 



e jz   ((21)k )! z 2 k  j  (2( k1)1)! z 2 k 1  cos( z )  j sin( z ) . k 0

k

k

k 0

[ 25 ]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

Věta 9.18 (přerovnání neabsolutně konvergentní řady) 

a

Nechť a :    . Nechť řada

k 1



k

konverguje a řada

a k 1



k

a

diverguje. (tj. řada

k 1

k

konverguje neabsolutně). Definujme posloupnosti nezáporných a nekladných členů řady 

a k 1

po řadě vztahy ak  max{0, ak } , ak  max{0, ak } . Pak platí:

k

(1) ak  0 , ak  0 k   , (2) ak  ak  ak , ak  ak  ak k   , (3) lim ak  lim ak  lim ak  0 , k  



(4)

a k 1

 k

k  

k  



  ak    k 1



(5)     přerovnání  :    takové, že    a  k  . k 1

  (1) Protože ak  max{0, ak }  0 , ak  max{0, ak }  0 platí (1). (2) Jestliže ak  0 potom ak  ak  ak , ak  0 , tj. ak  ak  ak , ak  ak  ak , jestliže ak  0 potom ak  0 , ak   ak  ak , tj. ak  ak  ak , ak  ak  ak . Platí tedy (2). 

(3) Protože řada

a k 1

k

konverguje a je tedy splněna nutná podmínka konvergence platí

lim ak  lim ak  0 . Podle (1), (2) je 0  ak  ak , 0  ak  ak , odtud podle „věty o

k  

k  

sevření“ máme (3). 

(4) Kdyby konvergovala řada

 ak , musela by konvergovat i řada k 1



 (ak  ak )  k 1 

 k 1





k 1

k 1

 ak   ak a řada 

ak , protože

 k 1

ak 



a k 1

k

k 1



a k 1

 k



konverguje. Potom ovšem musí konvergovat i 



k 1

k 1

 ak   ak . To je spor, protože 

diverguje. Obdobně se dokáže, že kdyby konvergovala řada

a k 1



konvergovat i řada

 ak , neboť



 (ak  ak )  k 1



 k

 ak a tedy opět by musela konvergovat řada k 1



a k 1

k

, musela by 

a k 1

k

, což vede ke

sporu. Obě řady v (4) jsou tedy divergentní, mají nezáporné členy, tudíž posloupnosti jejích částečných součtů jsou neklesající, nutně tedy divergují k nekonečnu.

[ 26 ]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

(5) Budeme konstruovat přerovnání řady tak, aby jejím součtem bylo libovolné číslo    . Nechť nejprve    . Z posloupnosti a  vyškrtáme všechny nulové členy, ponecháme jen ty, které odpovídají nulovým členům posloupnosti a. Z posloupnosti a  vyškrtáme všechny nulové členy. Tím docílíme toho, že posloupnosti a  , a  obsahují jen členy posloupnosti a. Uveďme příklad takové úpravy posloupností: a 

1

0

2

3

0

1 2

1

0

4

2

1

3 

a 

1

0

0

3

0

0

0

1

0

4

0

1

0



a 

0

0

2

0

0

1

2

0

0

0

2

0

3





Pokračujme konstrukcí hledaného přerovnání. Nejprve sečtěme n1 členů posloupnosti a  s indexy 1, …, n1, tak, aby   a1  a2    an1 . Toho lze vždy dosáhnout, protože řada 

a k 1

 k

diverguje k + . Dále odečtěme n2 členů posloupnosti a  s indexy 1, …, n2 tak, aby a1  a2    an1  ( a1 )    ( an2 )    a1  a2    an1  ( a1 )    ( an2 1 ) . 

Toho lze vždy dosáhnout, protože řada

 (a k 1

 k

(i)

) diverguje k – . Za index n2 vezměme

nejmenší index, pro který je splněna levá ostrá nerovnost ve výraze (i). Tím je automaticky splněna i pravá neostrá nerovnost. Dále postupujme analogicky jako v předchozím kroku, přičtěme n3 členů posloupnosti a  s indexy n1+1, …, n1+n3 tak, aby a1  a2    an1  (a1 )    (an2 )  an1 1  an1  2    an1  n3 1   a   a1  a2    an1 

(a1 )    (an2 )  an1 1  an1  2    an1  n3 . Toho lze vždy dosáhnout, protože řada





k  n 1 1

ak



diverguje k + , atd. Dále budeme odečítat další členy posloupnosti a s indexy n2+1, …, n2+n4 dokud součet vznikající přerovnané řady nedospěje pod hodnotu . Takto můžeme pokračovat bez omezení. Dostáváme postupně přerovnanou řadu a1    an1  (a1 )    (an2 )  an1 1    an1  n3  ( an2 1 )    ( an2  n4 )  an1  n3 1    an1  n3  n5  (an2  n4 1 )    ( an2  n4  n6 )  an1  n3  n5 1    an1  n3  n5  n7    an1  n2 k 1 1    an1  n2 k 1  (an2  n2 k 1 )    (  an2  n2 k 2 )  an1  n2 k 1 1    an1  n2 k 3 

(an2  n2 k 2 1 )    ( an2  n2 k 4 )   .

Sledujme hodnoty posloupnosti částečných součtů s vznikající přerovnané řady. Podle způsobu konstrukce platí:   sn1 , sn1  n2    sn1  n2 1  sn1  n2  an2 , sn1  n2  n3 1  sn1  n2  n3  an1  n3    sn1  n2  n3 ,

obecně pro k  

sn1  n2  n2 k    sn1  n2  n2 k 1  sn1  n2  n2 k  an2  n4  n2 k ,

[ 27 ]

(ii)

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

sn1  n2  n2 k 1 1  sn1  n2  n2 k 1  an1  n3  n2 k 1    sn1  n2  n2 k 1 .

(iii)

Z nerovností (ii), (iii) dostáváme 0    sn1  n2  n2 k  an2  n4  n2 k a an1  n3  n2 k 1    sn1  n2  n2 k 1  0 ,

z těchto nerovností vyplývá   sn1  n2  n2 k  an2  n4  n2 k ,

(iv)

  sn1  n2  n2 k 1  an1  n3  n2 k 1 .

(v)

Jelikož k  nk je rostoucí posloupnost a podle (3) lim ak  lim ak  0 , mají nulovou limitu k  

 n2  n4  n2 k

i vybrané posloupnosti k  a

 n1  n3  n2 k 1

, ka

k  

a tedy podle (iv), (v) vybraná

posloupnost k  sn1  n2  nk má za limitu číslo , tedy lim sn1  n2  nk   .

k 

(vi)

Ukažme dále, že tuto limitu má i posloupnost s. Ze způsobu konstrukce přerovnané řady vyplývá, že posloupnost s je neklesající na množinách indexů {1, , n1} , {n1  n2 , , n1  n2  n3 } , …, {n1    n2 k , , n1    n2 k 1} ,… neboť na těchto množinách se přičítají nezáporné hodnoty posloupnost a  a je klesající a množinách indexů {n1 , , n1  n2 } , {n1  n2  n3 , , n1  n2  n3  n4 } , …, {n1    n2 k 1 , , n1    n2 k } , … neboť na těchto množinách se přičítají záporné hodnoty

posloupnosti  a  . Posloupnost s je tedy monotónní na množinách indexů I k  {n   | n1    nk  n  n1    nk 1} , pro k   . Nechť nyní     je libovolné, protože platí (vi), existuje k0 takové, že k  k0  sn1  n2  nk    3 . Položme n0  n1  n2    nk0 . Nechť n  n0 . Protože 

 I k  {n   | n  n0 } , existuje interval Ik, k  k0 takový, že

k  k0

n  I k  {n   | n1    nk  n  n1    nk 1} . Protože s je na Ik, monotónní, leží hodnota sn

mezi hodnotami sn1  n2  nk , sn1  n2  nk 1 , proto sn  sn1  n2  nk  sn1  n2  nk 1  sn1  n2  nk . Odtud plyne sn    sn  sn1  n2  nk  sn1  n2  nk    sn  sn1  n2  nk  sn1  n2  nk    sn1  n2  nk 1  sn1  n2  nk  sn1  n2  nk    sn1  n2  nk 1      sn1  n2  nk  sn1  n2  nk    3  3  3   . Platí tedy lim sn   . n 

Řadu lze přerovnat i tak, že jejím součtem bude + (resp. – ). Postupujeme podobně, například tak, aby

[ 28 ]

9

25.4.2008

15:00

Číselné posloupnosti a řady

Josef Hekrdla

1  a1    an1 ,

2  a1    an1  (a1 )  an1 1    an1  n2 , 3  a1    an1  (a1 )  an1 1    an1  n2  (a2 )  an1  n2 1    an1  n2  n3 ,

4  a1    an1  (a1 )  an1 1    an1  n2  (a2 )  an1  n2 1    an1  n2  n3  (a3 )  an1  n2  n3 1    an1  n2  n3  n4 , atd.



     

[ 29 ]