Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady

MA2, M2

MA2, M2

1

2

1. Funkční posloupnosti a řady

Definice 1.1 (funkční posloupnost)

Kapitola

Funkční posloupnost ( = posloupnost funkcí ) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n ∈ N přiřazuje právě jednu funkci fn definovanou na množině D ⊂ R:

1

n 7→ fn(x),

Funkční posloupnosti a řady

x ∈ D.

Zapisujeme: {fn (x)}, {fn(x)}+∞ n=1, {f1 (x), f2(x), . . . , fn (x), . . . }, x ∈ D.

c 2009, analyza.KMA.zcu.cz


Funkce fn se nazývá n-tý člen funkční posloupnosti {fn}.

MA2, M2

MA2, M2 1. Funkční posloupnosti a řady

3


4

Definice 1.2 (bodová konvergence a divergence)

Definice 1.3 (limitní funkce na množině)

Nechť je dána funkční posloupnost {fn}, D je společný definiční obor funkcí fn.

Nechť funkční posl. {fn } konverguje na neprázdné množině M ⊂ D, kde D je společný definiční obor funkcí fn. Funkci f danou na množině M předpisem

Řekneme, že funkční posloupnost {fn}+∞ n=1 1. konverguje v bodě a ∈ D k číslu b ∈ R, pokud

f (x) = lim fn(x), n→+∞

lim fn(a) = b;

nazýváme limitní funkcí (limitou) funkční posloupnosti {fn }+∞ n=1 na množině M . Říkáme také, že funkční posloupnost konverguje na množině M k funkci f .

n→+∞

2. diverguje v bodě a ∈ D, pokud lim fn(a) = +∞ (−∞) nebo @ lim fn(a);

n→+∞

M

Zapisujeme: fn(x) → f (x), x ∈ M ; fn → f .

n→+∞

3. konverguje na množině M ⊂ D, pokud konverguje v každém bodě x množiny M ;


4. diverguje na množině M ⊂ D, pokud diverguje v každém bodě x množiny M .


x ∈ M,

MA2, M2


5


6

Definice 1.4 (obor konvergence a limitní funkce)

Definice 1.5 (stejnoměrná konvergence na množině)

Nechť D je společný definiční obor funkcí fn funkční posloupnosti {fn }.

Nechť je dána funkční posloupnost {fn}, D je společný definiční obor funkcí fn.

Oborem konvergence funkční posloupnosti {fn}+∞ n=1 rozumíme množinu K všech bodů x ∈ D, ve kterých funkční posloupnost konverguje.

Řekneme, že funkční posloupnost {fn}+∞ n=1 konverguje stejnoměrně na množině M ⊂ D k funkci f , pokud platí

Limitní funkcí (limitou) funkční posloupnosti {fn }+∞ n=1 nazveme limitní funkci f funkční posloupnosti na neprázdném oboru konvergence K.

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀x ∈ M ∀n ∈ N :

Zapisujeme: fn → f .

Říkáme také, že funkce f je stejnoměrná limitní funkce (limita) funkční posloupnosti {fn}+∞ n=1 na množině M .

n > n0 ⇒ |fn(x) − f (x)| < ε.

M



Zapisujeme: fn(x) ⇒ f (x), x ∈ M ; fn ⇒ f .

MA2, M2


7


8

Lemma 1.6

Věta 1.7 (postačující podmínka stejnoměrné konvergence)

Jestliže funkční posloupnost {fn } konverguje stejnoměrně na množině M (∅ = 6 M ⊂ D ⊂ R) k limitní funkci f , potom také konverguje bodově na M k téže limitní funkci f .

Nechť funkční posloupnost {fn} konverguje na množině M k funkci f . Jestliže existuje reálná posloupnost {an} taková, že 1. lim an = 0, n→+∞

2. pro s.v. n ∈ N platí ∀x ∈ M : |fn(x) − f (x)| ≤ an,



potom funkční posloupnost {fn} konverguje stejnoměrně na množině M k limitní funkci f .

MA2, M2


9


10

Věta 1.8 (nutná a postačující podm. stejnom. konvergence)

Věta 1.9 (Bolzano-Cauchyovo kritérium stejnom. konv.)

Funkční posloupnost {fn } konverguje stejnoměrně na množině M k limitní funkci f právě tehdy, když platí

Funkční posloupnost {fn } konverguje stejnoměrně na množině M k limitní funkci f právě tehdy, když ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m ∈ N ∀n ∈ N ∀x ∈ M :

lim sup |fn(x) − f (x)| = 0.

n→+∞ x∈M

MA2, M2

|fm(x) − fn(x)| < ε.


11

12


Věta 1.10

Věta 1.11 (stejnoměrná konvergence a spojitost)

Jestliže funkční posloupnost {fn } konverguje stejnoměrně na množině M k limitní funkci f , x0 je hromadný bod množiny M , potom lim lim fn (x) = lim lim fn(x) = lim f (x).

Je-li {fn} posloupnost funkcí spojitých na libovolném intervalu I, která na něm konverguje stejnoměrně k limitní funkci f , potom funkce f je také spojitá na intervalu I.

x→x0

x→x0

n→+∞

x→x0


n→+∞


⇒



m > n0 ∧ n > n0

MA2, M2


13


14

Věta 1.12 (stejnoměrná konvergence a integrovatelnost)

Věta 1.13 (stejnoměrná konvergence a diferencovatelnost)

Je-li {fn } posloupnost funkcí integrovatelných na omezeném intervalu I := ha, bi, která na něm konverguje stejnoměrně k limitní funkci f , potom tato funkce f je také integrovatelná na intervalu I a platí Zx Zx Zx f (t) dt = lim fn(t) dt = lim fn (t) dt

Je-li {fn} posloupnost funkcí diferencovatelných na intervalu I := ha, bi, {fn} je konvergentní alespoň v jednom bodě x0 ∈ I a posloupnost derivací {fn0 } konverguje stejnoměrně na intervalu I, potom limitní funkce

n→+∞

a

f (x) = lim fn(x) n→+∞

n→+∞

a

je také diferencovatelná na I a platí 0 f 0(x) = lim fn(x) = lim fn0 (x).

a

pro každé x ∈ I = ha, bi.

n→+∞



n→+∞

MA2, M2


15

Definice 1.14 (funkční řada)

Definice 1.15 (konvergence a divergence funkční řady) +∞ P fn(x) Řekneme, že funkční řada

Nechť {fn}+∞ n=1 je posloupnost funkcí fn definovaných na téže množině D ⊂ R.

n=1

1. konverguje v bodě a ∈ D, pokud konverguje číselná řada funkčních hodnot funkcí fn v bodě a:

Symbol +∞ X


16

+∞ X

fn(x) = f1(x) + f2(x) + · · · + fn(x) + · · ·

fn(a) = f1(a) + f2(a) + · · · + fn(a) + · · · ;

n=1

n=1

2. diverguje v bodě a ∈ D, pokud

se nazývá funkční řada (řada funkcí), funkci fn se říká n-tý člen funkční řady.

lim sn(a) = +∞ (−∞) nebo @ lim sn(a);

n→+∞

n→+∞

Funkci sn určenou předpisem sn(x) = f1(x) + f2(x) + · · · + fn(x),

3. konverguje (bodově) na množině M ⊂ D, pokud konverguje v každém bodě x ∈ M ;

x ∈ D,

4. diverguje (bodově) na množině M ⊂ D, pokud diverguje v každém bodě x ∈ M .



nazýváme n-tým částečným součtem funkční řady. Posloupnost {sn }+∞ n=1 nazýváme posloupností částečných součtů funkční řady.

MA2, M2


17

Definice 1.16 (obor konvergence a součtová funkce) +∞ P fn(x), x ∈ D, naOborem konvergence funkční řady

Definice 1.17 (absolutní konvergence) +∞ P fn je řada funkcí definovaných na množině D. Nechť

n=1

n=1

zýváme množinu K všech čísel x ∈ D, ve kterých funkční řada bodově konverguje. Dále, nechť

+∞ P


18

Řekneme, že daná funkční řada je absolutně konvergentní v bodě a ∈ D, pokud je konvergentní číselná řada +∞ X

fn(x) je konvergentní funkční řada s ne-

n=1

prázdným oborem konvergence K ⊂ D. Funkci s definovanou na množině K předpisem s(x) = lim sn (x), n→+∞

|fn(a)| .

n=1

Řekneme, že daná funkční řada je absolutně konvergentní na množině M ⊂ D, pokud je absolutně konvergentní v každém bodě x ∈ M .

x ∈ K,

nazýváme součtovou funkcí (součtem) funkční řady +∞ P fn(x). n=1

Zapisujeme: s(x) =

+∞ P

fn (x), s =

fn.


n=1


n=1

+∞ P

MA2, M2


19

Věta 1.18 (postačující podmínka konvergence funkční řady) +∞ P fn. Nechť K je obor konvergence funkční řady

Definice 1.19 (obor absolutní konvergence) +∞ P fn je řada funkcí definovaných na množině D. Nechť

n=1

Jestliže funkční řada

+∞ P

|fn| n=1 +∞ P

K, potom funkční řada na množině M .


20

n=1

Množina Ka všech čísel x ∈ D takových, že je v nich daná funkční řada absolutně konvergentní, se nazývá obor absolutní konvergence funkční řady.

konverguje na množině M ⊂

fn konverguje (a to absolutně)

n=1

Poznámka Mezi oborem konvergence K a oborem absolutní konvergence Ka funkční řady platí vztah



Ka ⊂ K.

MA2, M2


21

Věta 1.20 (majorantní kritérium absolutní konvergence) +∞ +∞ P P fn(x), x ∈ D a nechť bn Nechť je dána funkční řada n=1


22

Definice 1.21 (stejnoměrná konvergence funkční řady) +∞ P fn(x), x ∈ D, konverguje na svém Nechť funkční řada

n=1

n=1

oboru konvergence K ⊂ D k součtové funkci s, tj. platí:

je číselná řada taková, že pro skoro všechna n ∈ N platí ∀x ∈ M ⊂ D : |fn(x)| ≤ bn.

s(x) =

+∞ X

fn(x),

Je-li tato číselná řada konvergentní, potom funkční řada +∞ P fn je absolutně konvergentní na množině M .

Řekneme, že daná funkční řada konverguje stejnoměrně na množině M ⊂ K k součtové funkci s, pokud na této množině M konverguje stejnoměrně posloupnost {sn(x)} částečných součtů funkční řady k součtové funkci s, tj.

n=1

x ∈ M.


sn (x) ⇒ s(x),


x ∈ K.

n=1

MA2, M2


23

Věta 1.22 (nutná podmínka stejnoměrné konvergence) +∞ P fn(x), x ∈ D a nechť Nechť je dána funkční řada

Věta 1.23 (Cauchyovo kritérium stejnoměrné konvergence) +∞ P fn(x), x ∈ D, konverguje stejnoměrně Nekonečná řada

n=1

n=1

tato řada stejnoměrně konverguje na množině M ⊂ D. Potom funkční posloupnost {fn} konverguje stejnoměrně na množině M k nulové limitní funkci f (x) = 0, tj. fn(x) ⇒ 0,


24

na množině M ⊂ D právě tehdy, když

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N ∀p ∈ N ∀x ∈ M : n+p X n > n0 ⇒ fk (x) < ε.

x ∈ M.



k=n+1

MA2, M2


25

Věta 1.24 (Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence) +∞ +∞ P P fn(x), x ∈ D a nechť bn Nechť je dána funkční řada n=1


26

Věta 1.25 (spojitost součtové funkce) +∞ P fn je funkční řada, která konverguje stejnoNechť

n=1

n=1

měrně na intervalu I k součtové funkci s. Jestliže všechny +∞ P fn jsou funkce spojité na I, potom členy funkční řady

je číselná řada taková, že pro skoro všechna n ∈ N platí ∀x ∈ M ⊂ D : |fn(x)| ≤ bn.

n=1

také součtová funkce s je spojitá na I.

Je-li tato číselná řada konvergentní, potom funkční řada +∞ P fn je stejnoměrně konvergentní na množině M .



n=1

MA2, M2


27

Věta 1.26 (integrace stejnoměrně konv. funkční řady) +∞ P fn je funkční řada, která konverguje stejnoNechť

Věta 1.27 (derivace funkční řady) +∞ P fn je funkční řada, jejíž všechny členy fn mají Nechť

n=1

n=1

měrně na intervalu I k součtové funkci s. Jestliže všechny +∞ P členy funkční řady fn jsou funkce integrovatelné na I,

derivace fn0 na intervalu I. Jestliže funkční řada derivací +∞ P 0 fn je stejnoměrně konvergentní na I a je-li funkční řada

n=1

n=1 +∞ P

potom pro každé x0, x ∈ I konverguje také funkční řada +∞ Rx P Rx x0 fn (t) dt a její součet je x0 s(t) dt, tj. platí x

s(t) dt = x0

Z

x

x0

+∞ X n=1

fn(t)

!

dt =

+∞ Z X n=1

fn konvergentní alespoň v jednom bodě x0 ∈ I, potom

n=1

je konvergentní na celém intervalu I, a to stejnoměrně. +∞ P fn má vlastní Navíc, součtová funkce s funkční řady

n=1

Z


28

x

fn(t) dt.

n=1

derivaci s0, která je součtovou funkcí funkční řady derivací +∞ P 0 fn na I, tj. platí

x0

n=1

0

∀x ∈ I : s (x) =

" +∞ X



n=1

fn(x)

#0

=

+∞ X n=1

fn0 (x).


29

Věta 1.28 (derivace funkční řady - II) +∞ P fn konverguje na intervalu I k součNechť funkční řada n=1

tové funkci s. Jestliže všechny členy fn této funkční řady +∞ P 0 fn mají na I spojité derivace fn0 a jestliže funkční řada n=1

konverguje stejnoměrně na každém intervalu ha, bi ⊂ I, +∞ P potom také funkční řada fn konverguje stejnoměrně n=1

na každém z těchto intervalů a součtová funkce s má na I derivaci s0, pro kterou platí " +∞ #0 +∞ X X fn(x) = fn0 (x). ∀x ∈ I : s0(x) =


n=1

n=1

Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady

Recommend Documents