MAT 1 Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı

MAT 1 — Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı́ Studijnı́ materiá ly

Pro listová nı́ dokumentem NEpouž ıv ́ ejte koleč ko myš i nebo zvolte mož nost Full Screen. Brno 2013

RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Obsah 1. Posloupnos琀 1.1. Způ soby zadá vá nı́ posloupnostı́ . . . . . . . 1.1.1. Grafem, tabulkou, vý čtem prvků . . 1.1.2. Rekurentnı́m vztahem . . . . . . . . 1.1.3. Vzorcem pro obecný č len . . . . . . 1.2. Aritmetická posloupnost . . . . . . . . . . . 1.3. Geometrická posloupnost . . . . . . . . . . 1.3.1. Aplikace geometrické posloupnosti Dvojková č ıś elná soustava . . . . . Vý poč et ú roků . . . . . . . . . . . . 2. Bankovní produkty 2.1. Vklady . . . 2.2. Spoř enı́ . . . 2.3. Dů chody . . 2.4. U󰂦 vě ry . . . . 2.5. Př ı́klady . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

3 5 5 6 6 7 8 9 9 19

. . . . .

21 22 23 24 25 26

Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1. Posloupnos琀 Až doposud jsme si vš ı́mali nejrů zně jš ı́ch funkcı́. Také nynı́ se zamě řı́me na funkce, a to speciá lnı́, jejichž de󰅮inič nı́m oborem jsou vš echna př irozená č ı́sla. Takové funkce nazveme posloupnosti. To znamená , ž e doká ž eme jejich prvky „oč ı́slovat“, urč it jejich poř adı́ (který je prvnı́, který druhý, atd.).

Posloupností reálných čísel (dá le jen posloupností) budeme nazý vat funkci, jejı́mž de󰅮inič nı́m oborem je množ ina vš ech př irozený ch č ı́sel ℕ. C󰂪 leny posloupnosti (jejı́ prvky ⟹ reá lná č ı́sla) zapisujeme do slož ený ch {svorkový ch} zá vorek. Příklad: {𝟏, 𝟒, 𝟕, 𝟏𝟎, 𝟏𝟑, …} je př ı́kladem posloupnosti, u které jsme vyjmenovali prvnı́ch pě t jejı́ch prvků (č lenů posloupnosti) tak, jak jdou po sobě . Zajisté doká ž ete ř ı́ci, jak by tato posloupnost pokrač ovala, jaká je mezi jejı́mi č leny zá konitost. Má me zadá n prvnı́ č len 1, druhý č len 4, tř etı́ 7, č tvrtý 10, pá tý 13 a zř ejmě š estý č len bude 16, protož e kaž dý dalš ı́ č len dostaneme tak, ž e k př edchozı́mu př ič teme TROJKU. Jistě si vzpomı́ná te, ž e funkci 𝑓 lze zadat: • grafem, ze které ho odeč teme souř adnice potř ebný ch bodů do tabulky; • tabulkou, na zá kladě které lze buď nač rtnout graf nebo interpolacı́ zı́skat př edpis funkce, která vš emi daný mi body prochá zı́; • př edpisem (vztahem, vzorcem), který kaž dé mu 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) př iř azuje prá vě jedno 𝑦 ∈ 𝐻(𝑓). Vypoč tené hodnoty pak mů ž eme zapsat do tabulky. Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

V př ı́padě posloupnostı́ je to stejné . Také posloupnost lze zadat: • grafem ⟹ grafem posloupnosti jsou navzá jem izolované body. Tohle je graf př edchozı́ho př ı́kladu.

• tabulkou ⟹ výčtem prvků • př edpisem (vztahem, vzorcem), který m se zpravidla zadá vá prvek (č len posloupnosti, který stojı́ na mı́stě 𝑛, označ ujeme podobně jako u matic pomocı́ jednoho indexu /protož e urč uje pouze poř adı́/ tedy např ı́klad 𝑎𝑛 ) jednı́m z ná sledujı́cı́ch způ sobů : rekurentně zadá nı́m prvnı́ho (vý jimeč ně Ntého) č lenu posloupnosti nebo ně kolika prvnı́ch č lenů posloupnosti a vzorcem, podle ně hož lze urč it dalš ı́ č leny pomocı́ př edchozı́ch č lenů ; např ı́klad: 𝑎1 = 1, 𝑎2 = 3, 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 , pro 𝑛 ≥ 2; vzorcem pro 𝑛. člen — prvek posloupnosti, který je v poř adı́ 𝑛−𝑡 , tedy 𝑛 je př irozené ; např ı́klad: 𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1 ⋅ √3. Nynı́ si uká ž eme, jak z grafu mů ž eme popsat posloupnost jiný m způ sobem, tak jako u funkcı́. Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.1. Způsoby zadávání posloupností 1.1.1. Grafem, tabulkou, výčtem prvků

Jednotlivé body [1; 1] [2; 4] [3; 7] [4; 10] [5; 13], který mi je tvoř en graf posloupnosti, mů ž eme zapsat např ı́klad do ná sledujı́cı́ tabulky:

POR󰂪 ADI󰂦 prvku posloupnosti

1

2

3

4

5

…

HODNOTA prvku posloupnosti 1 4 7 10 13 … Je zř ejmé , ž e pro vš echny mož né posloupnosti budou mı́t jejich tabulky stejný prvnı́ ř ádek. Proto uvedenou tabulku zjednoduš ı́me tak, ž e vypı́šeme jen jejı́ druhý ř ádek, který navı́c uzavř eme do slož ený ch {svorkový ch} zá vorek. Novou (zjednoduš enou) „tabulku“ {𝟏, 𝟒, 𝟕, 𝟏𝟎, 𝟏𝟑, …} pak nazý vá me také výčet prvků.

•Obsah First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.1.2. Rekurentním vztahem Jak jsme již uvedli v př ı́kladu, kaž dý ná sledujı́cı́ č len té to posloupnosti dostaneme tak, když k jeho př edchozı́mu č lenu př ič teme č ı́slo tři, což mů ž eme (pro ná sledujı́cı́ č len) vyjá dř it symbolicky:

𝑎1 = 1 ,

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 3

1.1.3. Vzorcem pro obecný člen Pokud budeme chtı́t toté ž vyjá dř it pro obecný č len 𝑎𝑛 pouze v zá vislosti na 𝑛 (tedy na poř adı́ dané ho č lenu), využ ijeme skuteč nosti, ž e: První člen posloupnosti 𝐚𝟏 = 𝟏. To také mů ž eme zapsat: 𝐚𝟏 = 𝟏+({1} − 1) ⋅ 𝑐𝑜𝑘𝑜𝑙𝑖𝑣 = 1 + (0) ⋅ 𝑐𝑜𝑘𝑜𝑙𝑖𝑣 = 1 + 0 = 1. Jednič ka ve slož ený ch zá vorká ch teď pro ná s bude př edstavovat poř adı́ dané ho č lenu, tedy 𝑛 = 1. Druhý člen posloupnosti 𝐚𝟐 = 𝟒 dostaneme tak, když k prvnı́mu č lenu (𝑎1 = 1) př ič teme trojku. Proto v č ervené m vztahu jednič ku ve slož ený ch zá vorká ch (př edstavujı́cı́ 𝑛) nahradı́me dvojkou a vý raz 𝑐𝑜𝑘𝑜𝑙𝑖𝑣 nahradı́me trojkou (tı́m co př ič ı́tá me): 𝑎2 = 1 + ({2} − 1) ⋅ 3 = 1 + 1 ⋅ 3 = 4. Třetí člen posloupnosti 𝐚𝟑 = 𝟕 zkusı́me analogicky: 𝑎3 = 1 + ({3} − 1) ⋅ 3 = 1 + 2 ⋅ 3 = 1 + 6 = 7. Odtud plyne: Obecný 𝑛. člen posloupnosti

𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1) ⋅ 3

Ově řte i pro jiná 𝑛.


A nynı́ se struč ně zmı́nı́me o posloupnostech zná mý ch ze stř ednı́ š koly, a to — aritmetické a geometrické posloupnosti.

1.2. Aritme琀cká posloupnost Aritmetická posloupnost má stá lý rozdı́l mezi sousednı́mi č leny. Tento rozdı́l mezi libovolný m č lenem kromě prvnı́ho a př edchá zejı́cı́m č lenem se obvykle znač ı́ 𝑑 a nazý vá diference.

Diference

𝑑 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛

Rekurentní zadání

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑑

Zadání obecného členu

Součet prvních 𝑛 členů

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑑

𝑠𝑛 =

𝑛 ⋅ (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) 2


1.3. Geometrická posloupnost U geometrické posloupnosti je kaž dý č len kromě prvnı́ho stá lý m ná sobkem př edchozı́ho č lenu. Tento ná sobek se obvykle znač ı́ 𝑞 a nazý vá kvocient geometrické posloupnosti. Pro posloupnosti s nenulový mi č leny je 𝑞 rovno podı́lu libovolné ho č lenu kromě prvnı́ho a č lenu př edchozı́ho.

Kvocient

Rekurentní zadání

𝑞=

𝑎𝑛+1 𝑎𝑛

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑞

Zadání obecného členu

𝑎𝑛 = 𝑎1 ⋅ 𝑞 𝑛−1

Součet prvních 𝑛 členů

𝑠𝑛 = 𝑎1 ⋅

nebo

𝑞 𝑛 −1 𝑞−1

1 − 𝑞𝑛 𝑠𝑛 = 𝑎1 ⋅ 1−𝑞


1.3.1. Aplikace geometrické posloupnos琀 Dvojková číselná soustava Číselná soustava je způ sob vyjá dř enı́ č ı́sel. Podle způ sobu urč enı́ hodnoty č ı́sla rozliš ujeme dva hlavnı́ druhy č ı́selný ch soustav: Poziční č ı́selné soustavy, které jsou charakterizová ny tzv. zá kladem nebo-li bá zı́, což je obvykle kladné celé č ı́slo de󰅮inujı́cı́ maximá lnı́ poč et č ı́slic, které jsou v dané soustavě k dispozici. C󰂪 ı́slo v nich zapsané lze vyjá dř it souč tem mocnin zá kladu dané soustavy vyná sobený ch př ı́sluš ný mi platný mi č ıś licemi. Tedy se jedná o geometrickou posloupnost, jejı́ž kvocient je př edstavová n bá zı́ č ı́selné soustavy. Pokud je zá kladem č ı́slo 2, hovoř ı́me o dvojkové (biná rnı́) soustavě , která je prostř ednictvı́m logický ch č lenů (proud prochá zı́×neprochá zı́) př ı́mo implementová na v digitá lnı́ch elektronický ch obvodech. Tedy interně ji použ ı́vajı́ vš echny bě žné digitá lnı́ poč ı́tač e. Nepoziční č ıś elné soustavy, pro které je charakteristická skuteč nost, ž e hodnota č ı́slice je daná jejı́m symbolem a nezá visı́ na jejı́ pozici v zapsané m č ı́sle. Asi nejzná mně jš ı́ jsou římské číslice, kdy č ı́sla zapisujeme pomocı́ pı́smen abecedy.

Dvojková soustava (nebo také biná rnı́ soustava) je č ı́selná soustava, která použ ı́vá pouze dva symboly: NULU a JEDNIC󰂪 KU. Je to pozič nı́ č ı́selná soustava mocnin č ı́sla 2. Abychom se nespletli, v jaké č ı́selné soustavě se vlastně pohybujeme, zapisujeme daná č ı́sla do zá vorek a př idá me index, který označ uje zá klad dané č ı́selné soustavy. Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Např ı́klad:

( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =

= 1 ⋅ 128 + 1 ⋅ 64 + 0 ⋅ 32 + 1 ⋅ 16 + 0 ⋅ 8 + 1 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 = 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = ( 214 )10 V tomto př ı́padě vlastně hledá me (např ı́klad Hornerový m sché matem) funkč nı́ hodnotu mnohoč lenu: 𝑃(𝑥) = 𝑥 7 + 𝑥 6 + 𝑥 4 + 𝑥 2 + 𝑥 v č ı́sle DVA. Tedy:

𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Např ı́klad:

( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Např ı́klad:

( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Např ı́klad:

( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Např ı́klad:

( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Např ı́klad:

( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Např ı́klad:

( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Např ı́klad:

( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Např ı́klad:

( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =

+


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10

Pokud bychom chtě li urč ovat uvedenou funkč nı́ hodnotu z hlavy, nenı́ vů bec naš kodu, umě t alespoň zá kladnı́ mocniny č ı́sla 2 zpamě ti. mocnina

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

210

hodnota

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1 024


Výpočet úroků Podı́vejme se krá tce na pozoruhodné Eulerovo č ı́slo e 1 které zná me jako zá klad „př irozený ch logaritmů “. Toto č ı́slo e se dá vyjá dř it jako „meznı́ hodnota“ 2 (limita posloupnosti) což lze poklá dat za extré mnı́ vý sledek vý poč tu úroku z úroků. Příklad: C󰂪 ástka (např ı́klad tisı́c korun) se má roč ně zú roč it 100 %. Řešení: To by př i jediné m ú roč enı́ na konci roku č inilo 2 000 Kč . • Jestliž e se vš ak ú roky př ipisujı́ pololetně (ú roč ı́ se dvakrá t po 50 %), ú roč ı́ se od zač átku č ervence nikoliv 1 000 Kč , ale 1 500 Kč . Na konci roku tedy v bance má me 2 250 Kč . • Jestliž e se vš ak ú roky př ipisujı́ č tvrtletně (ú roč ı́ se č tyř ikrá t po 25 %), ú roč ı́ se od zač átku dubna 1 250 Kč , od zač átku č ervence 1 562,50 Kč a od zač átku ř ıj́ na 1 953,13 Kč . Na konci roku v bance budeme mı́t 2 441,41 Kč . • Vý poč et ú roků z ú roků lze teoreticky stá le vı́ce zuž ovat: mě sı́čně , tý dně , hodinově , atd. C󰂪 ástka vyjadř ujı́cı́ stav naš eho konta na konci roku tak bude neustá le vzrů stat. Nikoli vš ak donekoneč na, ný brž ve stá le menš ı́ch krocı́ch tak, jak se budeme blı́žit k hranici — vı́ce než 2 718,28 Kč to v ž ádné m př ı́padě nemů ž e bý t: tedy našich původních tisíc korun násobených číslem e. 𝑛

1 Na kontě tedy budeme mı́t ná š pů vodnı́ vklad vyná sobený č ı́slem (1 + ) , což je vlastně zadá nı́ 𝑛 obecné ho (𝑛−𝑡ℎ𝑜 ) č lenu 𝑎𝑛 ně jaké posloupnosti. C󰂪 ıś lo 𝑛 urč uje, kolikrá t do roka banka ú roč ı́. 1

Ná sledujı́cı́ př ı́klad je i s ř eš enı́m př evzat z: SWOBODA, H. Moderní statistika. Praha : Svoboda, 1977. Str. 90.

2

e = lim (1 + ) , 𝑛→+∞

1 𝑛 𝑛

𝑛 je př irozené č ı́slo


A protož e se v posloupnosti (viz pozná mka pod č arou) vyskytuje mocnina, jedná se o geometric1

1 𝑛

kou posloupnost, kde 𝑎1 = 𝑞 = (1 + ) a 𝑎𝑛 = 𝑎1 ⋅ 𝑞 𝑛−1 = (1 + ) . Vidı́me tedy, ž e geometrická 𝑛 𝑛 posloupnost má využ itı́ pro vý poč et ú roků .


2. Bankovní produkty Posloupnosti (zejmé na geometrické ) se použ ijı́ pro zá kladnı́ vý poč ty slož ený ch ú roků a tı́m se uplatnı́ pro takové bankovnı́ produkty, jako jsou vklady, spoř enı́, dů chody nebo ú vě ry. Tyto procesy postupujı́ v „obdobı́ch“, např ık ́ lad kaž dý mě sı́c. Pož adovaný ú kon (např ı́klad vklad) mů ž eme prové st na poč átku nebo na konci obdobı́ a pak hovoř ı́me o PŘEDlhůtním nebo POlhůtním ú konu. Pokud dva takové procesy na sebe navazujı́, je lhů tnost volena tak, aby komunikovaly sprá vně . Tato problematika ale nenı́ dá le ř eš ena. Počítat na „plný displej“ ⟹ Protož e se v ná sledujı́cı́ch vzorcı́ch vyskytujı́: mocniny s velký m exponentem a zá kladem blı́zký m jednič ce; součiny, kdy jeden z č initelů je blı́zký jednič ce č i nule; podíly, kdy dě litel je blı́zký jednič ce č i nule; … Proto neuvá ž ené i nepatrné zaokrouhlová nı́ mů ž e způ sobit dost velkou odchylku ve vý sledku, je lé pe radě ji nezaokrouhlovat. Vž dyť o penı́ze jde až „v prvnı́ ř adě “.


2.1. Vklady Popis produktu: V př ı́padě vkladů vlož ı́ klient jednorá zově penı́ze do banky, kde lež ı́ po sjednanou dobu a pouze se př ipisujı́ ú roky. U tohoto produktu př ipouš tı́me, ž e banka mů ž e ú roč it č astě ji než jednou do roka. 𝑉 . . . jednorá zový (termı́novaný ) vklad 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 𝐾 . . . stav konta (zů statek na ú č tu, jistina, kapitá l) 𝑚 . . . poč et ú rokovacı́ch obdobı́ v jednom roce 𝑛 . . . poč et celý ch let – roků ulož enı́ 𝑧 . . . poč et ú rokovacı́ch obdobı́ nad celé roky

𝑖 𝐾 = 𝑉 ⋅ (1 + ) 𝑚

𝑚⋅𝑛+𝑧


2.2. Spoření Popis produktu: Př i spoření jdou klientovy penı́ze do banky v pravidelný ch ú lož ká ch, banka ú roč ı́ jednou do roka, ú roky př ipisuje klientovi. 𝑆 . . . stav spoř ı́cı́ho ú č tu na konci spoř enı́ 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 𝑛 . . . doba spoř enı́ (v celý ch letech – rocı́ch)

𝑆=

𝑎 . . . uklá daná konstantnı́ (stá le stejná ) č ástka 𝑚 . . . frekvence vkladů (poč et) v jednom roce

𝑎 ⋅ [𝑚 + 0,5 ⋅ (𝑚 + 1) ⋅ 𝑖] ⋅ [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝑖


2.3. Důchody Popis produktu: Na poč átku si klient ulož ı́ na svů j důchodový ú č et č ástku 𝐷0 Kč , ze které v pravidelný ch intervalem 𝑚-krá t roč ně odebı́rá vý platu 𝑎 Kč po dobu 𝑛 let, č ı́mž je dů chodový ú č et zcela vybrá n (anulová n). Př itom klientovi z ulož ené č ástky prů bě žně př ibý vajı́ ú roky. Navı́c je mož né zař ı́dit, aby zač átek vyplá cenı́ byl pozdrž en o 𝑘 let. 𝐷0 . . . poč áteč nı́ stav dů chodové ho ú č tu 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 𝑚 . . . frekvence vý bě rů (poč et) v jednom roce 1 𝜈 . . . diskont 𝜈= 1+𝑖

𝐷0 =

𝑎 . . . vybı́raná konstantnı́ (stá le stejná ) č ástka 𝑘 . . . doba odkladu (v celý ch letech – rocı́ch) 𝑛 . . . doba vybı́rá nı́ (v celý ch letech – rocı́ch)

𝑎 ⋅ [𝑚 + 0,5 ⋅ (𝑚 + 1) ⋅ 𝑖] ⋅ [1 − 𝜈 𝑛 ] ⋅ 𝜈 𝑘 𝑖


2.4. Úvěry Popis produktu: Úvěrem (pů jč kou, hypoté kou) rozumı́me poskytnutı́ kapitá lu ve vý ši 𝑈0 Kč na urč enou dobu za odmě nu. Uvaž ujme pouze př ı́pad, kdy odmě na je skryta ve vý ši ú rokové sazby a konstantnı́ (nemě nné ) splá tky probı́hajı́ ve stejný ch intervalech, ve který ch banka ú roč ı́. 𝑈𝑟 . . . vý še ú vě ru po 𝑟 splá tká ch 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 1 𝑛 . . . poč et splá tek 𝜈 . . . diskont 𝜈= 1+𝑖 𝑎 . . . konstantnı́ (stá le stejná ) splá tka (anuita); pouze poslednı́ splá tka mů ž e bý t menš ı́! 𝑎=

𝑈0 ⋅ 𝑖 1 − 𝜈𝑛

𝑎 𝑈𝑟 = 𝑈0 ⋅ (1 + 𝑖) + ⋅ [1 − (1 + 𝑖)𝑟 ] 𝑖 𝑟


2.5. Příklady Příklad 1. Vložím na konto 30 000 Kč u banky, která ú roč ı́ kaž dý mě sı́c se sazbou 1,6 % p. a. Jaký bude stav konta za č tyř i a pů l roku? Řešení 1. Nejprve podle popisů produktů urč ı́me, ž e se jedná o vklad. Pro tento produkt jsme použ ili ná sledujı́cı́ označ enı́: 𝑉 . . . jednorá zový (termı́novaný ) vklad 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 𝐾 . . . stav konta (zů statek na ú č tu, jistina, kapitá l) 𝑚 . . . poč et ú rokovacı́ch obdobı́ v jednom roce 𝑛 . . . poč et celý ch let – roků ulož enı́ 𝑧 . . . poč et ú rokovacı́ch obdobı́ nad celé roky V naš em př ı́padě Vlož ım ́ na konto 30 000 Kč … ⟹ 𝑉 = 30 000 … u banky, která ú roč ı́ kaž dý mě sı́c … ⟹ 𝑚 = 12 … se sazbou 1,6 % p. a. … ⟹ 𝑖 = 0,016 (rozlož ı́me-li zadá nı́): … Jaký bude stav konta … ⟹ 𝐾 = ? … za č tyř i … ⟹ 𝑛 = 4 𝑚 … a pů l roku? ⟹ 𝑧 = 6 (⇐ ) 2 A po dosazenı́ 𝑖 𝐾 = 𝑉 ⋅ (1 + ) 𝑚

𝑚⋅𝑛+𝑧

0,016 = 30 000 ⋅ (1 + ) 12

12⋅4+6

= 30 000 ⋅ (1 + 0,001 333 333)48+6 =

= 30 000 ⋅ (1,001 333 333)54 = 30 000 ⋅ 1,074 603 788 = 32 238,113 64 Za č tyř i a pů l roku budu mı́t na kontě 32 238,11 Kč .


Příklad 2. Je pravdou, ž e př i pravidelném mě sı́čnı́m vkladu 1 100 Kč budu mı́t po š esti rocı́ch na kontě alespoň 85 000 Kč , když banka garantuje ú rokovou sazbu 2,3 % p. a.? Řešení 2. Nejprve podle popisů produktů urč ı́me, ž e se jedná o spoření. Pro tento produkt jsme použ ili ná sledujı́cı́ označ enı́: 𝑆 . . . stav spoř ı́cı́ho ú č tu na konci spoř enı́ 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 𝑛 . . . doba spoř enı́ (v celý ch letech – rocı́ch)

𝑎 . . . uklá daná konstantnı́ (stá le stejná ) č ástka 𝑚 . . . frekvence vkladů (poč et) v jednom roce

V naš em př ı́padě

(rozlož ı́me-li zadá nı́):

Je pravdou, ž e př i pravidelné m mě sı́čnı́m … ⟹ 𝑚 = 12 … vkladu 1 100 Kč … ⟹ 𝑎 = 1 100 … budu mı́t po š esti rocı́ch … ⟹ 𝑛 = 6 … na kontě alespoň 85 000 Kč … ⟹ 𝑆 = 85 000 a vı́c … když banka garantuje ú rokovou sazbu 2,3 % p. a.? ⟹ 𝑖 = 0,023

A po dosazenı́ 𝑆=

𝑎 1 100 ⋅ [𝑚 + 0,5 ⋅ (𝑚 + 1) ⋅ 𝑖] ⋅ [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] = ⋅ [12 + 0,5 ⋅ (12 + 1) ⋅ 0,023] ⋅ [(1 + 0,023)6 − 1] = 𝑖 0,023

= 47 826,086 96⋅[12+0,5⋅(13)⋅0,023]⋅[(1,023)6 −1] = 47 826,086 96⋅[12+0,149 5]⋅[1,146 182 576−1] = = 47 826,086 96 ⋅ [12,149 5] ⋅ [0,146 182 576] = 84 941,292 52 Nenı́ to pravda, protož e na kontě budu mı́t jen 84 941 Kč .


Příklad 3. Je pravdou, ž e když nynı́ vlož ı́m jednorá zově č ástku 100 000 Kč , budu mı́t za 16 roků pravidelný příspěvek k důchodu (tj. mě sı́čně ) 1 500 Kč po dobu 9 let, když banka garantuje ú rokovou sazbu 2,4 % p. a.? Řešení 3. Nejprve podle popisů produktů urč ım ́ e, ž e se jedná o důchod. Pro tento produkt jsme použ ili ná sledujı́cı́ označ enı́: 𝐷0 . . . poč áteč nı́ stav dů chodové ho ú č tu 𝑎 . . . vybı́raná konstantnı́ (stá le stejná ) č ástka 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 𝑘 . . . doba odkladu (v celý ch letech – rocı́ch) 𝑚 . . . frekvence vý bě rů (poč et) v jednom roce 𝑛 . . . doba vybı́rá nı́ (v celý ch letech – rocı́ch) 1 𝜈 . . . diskont 𝜈= 1+𝑖 … vlož ı́m jednorá zově č ástku 100 000 Kč … ⟹ 𝐷0′ = 100 000 … budu mı́t za 16 roků … ⟹ 𝑘 = 16 … pravidelný př ı́spě vek k dů chodu (tj. mě sı́čně ) … ⟹ 𝑚 = 12 … 1 500 Kč … ⟹ 𝑎 = 1 500 … po dobu 9 let … ⟹ 𝑛 = 9 … když banka garantuje ú rokovou sazbu 2,4 % p. a.? ⟹ 𝑖 = 0,024 Po dosazenı́ do vzorce zjistı́me potř ebnou č ástku 𝐷0 a jestli ná mi vlož ená č ástka 𝐷0′ pokryje pož adav1 1 ky. Nejdř ı́ve ovš em musı́me urč it hodnotu diskontu 𝜈 = = = 0,976 562 5. Potom V naš em př ı́padě

1+𝑖

𝐷0 =

1+0,024

𝑎 1 500 ⋅[𝑚+0,5⋅(𝑚+1)⋅𝑖]⋅[1−𝜈 𝑛 ]⋅𝜈 𝑘 = ⋅[12+0,5⋅(12+1)⋅0, 024]⋅[1−0,976 562 59 ]⋅0,976 562 516 = 𝑖 0, 024 = 62 500 ⋅ [12 + 0,5 ⋅ (13) ⋅ 0, 024] ⋅ [1 − 0,807 793 566 9] ⋅ 0,684 227 765 8 =

= 62 500⋅[12+0,156]⋅[0,192 206 433 1]⋅0,684 227 765 8 = 62 500⋅[12,156]⋅[0,192 206 433 1]⋅0,684 227 765 8 Když 𝐷0 = 62 500 ⋅ [12,156] ⋅ [0,192 206 433 1] ⋅ 0,684 227 765 8 = 99 916,985 26 , pak 𝐷0′ − 𝐷0 = 100 000 − 99 916,985 ≐ 83 a proto je to pravda, protož e na kontě mi ješ tě zů stane 83 Kč . Obsah •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Příklad 4. Stač ı́ mi 3 roč nı́ splá tky po 11 000 Kč na splacenı́ celé ho úvěru ve vý ši 30 000 Kč u banky, která ú roč ı́ se sazbou 5 % p. a.? Řešení 4. Nejprve podle popisů produktů urč ı́me, ž e se jedná o úvěr. Pro tento produkt jsme použ ili ná sledujı́cı́ označ enı́: 𝑈𝑟 . . . vý še ú vě ru po 𝑟 splá tká ch 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 1 𝑛 . . . poč et splá tek 𝜈 . . . diskont 𝜈= 1+𝑖 𝑎 . . . konstantnı́ (stá le stejná ) splá tka (anuita); pouze poslednı́ splá tka mů ž e bý t menš ı́! V naš em př ı́padě (rozlož ı́me-li zadá nı́):

Stač ı́ mi 3 roč nı́ splá tky … ⟹ 𝑛 = 3 … po 11 000 Kč … ⟹ 𝑎 = 11 000 … na splacenı́ celé ho ú vě ru ve vý ši 30 000 Kč … ⟹ 𝑈0 = 30 000 … u banky, která ú roč ı́ se sazbou 5 % p. a.? ⟹ 𝑖 = 0,05

A po dosazenı́ 𝑈𝑟 = 𝑈0 ⋅ (1 + 𝑖)𝑟 +

𝑎 ⋅ [1 − (1 + 𝑖)𝑟 ] 𝑖

⟹

𝑈3 = 30 000 ⋅ (1 + 0, 05)3 +

11 000 ⋅ [1 − (1 + 0, 05)3 ] = 0, 05

= 30 000 ⋅ (1, 05)3 + 220 000 ⋅ [1 − (1, 05)3 ] = 30 000 ⋅ 1,157 625 + 220 000 ⋅ [1 − 1,157 625] = = 34 728,75 + 220 000 ⋅ [−0,157 625] = 34 728,75 − 34 677,5 = 51,25 Pro splacenı́ celé ho ú vě ru mi bude chybě t 51 Kč .


Použitá literatura [1] KOVAŘ ÍK, P. Matematika I. Brno : Vysoká š kola Karla Engliš e, a. s., Brno. 2010, 63 stran. ISBN 978–80–86710–25–9 [2] KUBEN, J., S󰂪 ARMANOVÁ , P. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Ostrava : Vysoká š kola bá ň ská – Technická univerzita Ostrava, 2006, 351 s. ISBN 80–248–1192–8. [on line] ⟨http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd/pdf/dp/dp_obr.pdf⟩


MAT 1 Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı

Recommend Documents