Matematika I Posloupnosti RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích
EF Katedra aplikované matematiky a informatiky
Posloupnost Nekoneènou posloupností reálných èísel nazýváme zobrazení Def.
a : N → R, an
kde
a1, a2, a3, a4 . . .
1 → a1, 2 → a2, 3 → a3, . . ..
. . . n-tý èlen posloupnosti
{an}∞ n=1 . . . posloupnost
jako celek
∞ {an}∞ n=1 = {bn }n=1 ⇔ an = bn , ∀n ∈ N
c Klufová 2011
Zpùsoby vyjadøování posloupností •
nejèastìji vztahem pro n-tý èlen: n o 1 {an} = n n o n+1 {bn} = −2
{cn} = {5}
•
rekurentnì - vycházíme z charakteristiky þvnitøního øáduÿ
posloupnosti, tj. vztahù mezi n-tým èlenem a jeho sousedy pøíklady: Fibonacciho posloupnost: aritmetická posloupnost:
f1 = 0, f2 = 1, fn+2 = fn + fn+1
hn+1 = hn + d c Klufová 2011
Operace s posloupnostmi Jsou dány dvì posloupnosti {an}, {bn} a reálné èíslo r. De nujeme následující operace: •
souèet/rozdíl posloupností
{an} ± {bn}
an ± bn
•
souèin posloupností
{an} · {bn}
an · bn
•
podíl posloupností
{an } {bn }
•
pøiètení
r
• r-násobek
k posloupnosti posloupnosti
an , b 6= 0, ∀n ∈ N bn n
r + {an}
r + an
r · {an}
r · an c Klufová 2011
Ukázky poèetních operací n o 1 , {b } = {2}, {c } = {10, 12, 14, 16, . . .}, {an} = n n n {dn} = {(−1)n · n}
c Klufová 2011
Globální charakteristiky posloupností Dána posloupnost
{an}∞ n=1 .
Platí-li pro ka¾dé
n ∈ N:
1.
an < an+1,
je posloupnost
{an}
rostoucí,
2.
an > an+1,
je posloupnost
{an}
klesající,
3.
an ≤ an+1,
je posloupnost
{an}
neklesající,
4.
an ≥ an+1,
je posloupnost
{an}
nerostoucí,
Posloupnosti (1) - (4) . . . monotónní, (1) a (2) ryze monotónní. c Klufová 2011
Globální charakteristiky posloupností Existuje-li M {an}
tak, ¾e pro ka¾dé n ∈ N platí an ≤ M , nazýváme shora omezenou. ∈R
Existuje-li m ∈ R tak, ¾e pro ka¾dé n ∈ N platí an ≥ m, nazýváme {an} zdola omezenou. Posloupnost omezená shora i zdola se nazývá omezená (M, m . . . horní a dolní mez).
c Klufová 2011
Pøíklad - monotonie a omezenost Vy¹etøete monotonii a omezenost nekoneèné aritmetické posloupnosti.
c Klufová 2011
Pøíklad - monotonie a omezenost Vy¹etøete chování nekoneèné geometrické posloupnosti, její¾ první èlen a1 je kladný.
c Klufová 2011
Limita posloupnosti Pro ka¾dou posloupnost {an}∞ n=1 , která je rostoucí nebo neklesající, nastane právì jedna ze dvou mo¾ností: •
•
není shora omezená - posloupnost diverguje k zapisujeme: n→∞ lim an = +∞,
+∞
je shora omezená - pak existuje její nejmen¹í horní mez posloupnost konverguje k L a zapisujeme: n→∞ lim an = L
L
a
-
c Klufová 2011
Limita posloupnosti Pro ka¾dou posloupnost {an}∞ n=1 , která je klesající nebo nerostoucí, nastane právì jedna ze dvou mo¾ností: •
•
není zdola omezená - posloupnost diverguje k −∞ a zapisujeme: n→∞ lim an = −∞, je zdola omezená - pak existuje její nejvìt¹í dolní mez posloupnost konverguje k L a zapisujeme: n→∞ lim an = L
L
-
c Klufová 2011
Pøíklad - limita Vy¹etøete konvergenci posloupnosti
{tn}∞ n=1 =
n
o 2n+1 ∞ . n n=1
c Klufová 2011
Speciální pøípad limity
lim
n→∞
n
no 1 1+n =e
c Klufová 2011
De nice limity posloupnosti Je-li L ∈ R, potom pro ka¾dé ε > 0 de nujeme ε-okolí èísla L jako otevøený interval (L − ε, L + ε). Pro ka¾dou posloupnost {an}∞ n=1 nastane právì jedna z následujících ètyø navzájem se vyluèujících mo¾ností: 1. Platí
lim a = L n→∞ n
(pro jediné
L ∈ R )⇔
∀ε > 0 ∃n0 : ∀n > n0 : |an − L| < ε
. . . posloupnost konverguje k
L
(má vlastní limitu L), c Klufová 2011
De nice limity posloupnosti 2. Platí
lim a = +∞ ⇔ ∀M ∈ R ∃n0 : ∀n > n0 : an > M n→∞ n
. . . diverguje k 3. Platí
+∞
lim a = −∞ ⇔ ∀m ∈ R ∃n0 : ∀n > n0 : an < m n→∞ n
. . . diverguje k
−∞
4. ¾ádná z pøedchozích mo¾ností neplatí . . . nemá limitu
(diverguje)
c Klufová 2011
Reziduální a kon nální posloupnosti a jejich limity O posloupnostech •
•
{an}, {bn}
øíkáme, ¾e jsou navzájem reziduální, jestli¾e existuje n0 tak, ¾e pro ka¾dé n > n0 je an = bn, øíkáme, ¾e jsou navzájem kon nální, jestli¾e existuje nekoneènì mnoho n takových, ¾e an = bn
Posloupnost {bn} nazveme vybranou z posloupnosti {an}, jestli¾e vznikla vynecháním nìkterých (i nekoneènì mnoha) èlenù z {an} a poøadní ponechaných èlenù zùstalo zachováno. c Klufová 2011
Reziduální a kon nální posloupnosti a jejich limity Nech» n→∞ lim an = L, kde L je vlastní nebo nevlastní limita. Potom platí:
(a) Jsou-li {an}, {bn} reziduální, pak je také n→∞ lim bn = L. (b) Jsou-li L = S.
{an}, {bn}
kon nální a je-li
lim b = S , n→∞ n
pak nutnì
(c) Je-li {bn} vybraná z posloupnosti {an}, pak n→∞ lim bn = L.
c Klufová 2011
Ukázky Posloupnost
{un}: 1 n > 1000 : un = n
pro
n ≤ 1000 : un = 15
a pro
c Klufová 2011
Vìta o limitách posloupností O libovolných posloupnostech platí:
(a) Je-li cn ≥ an pro ka¾dé n a je-li zároveò n→∞ lim an = +∞, pak nutnì
lim c = +∞. n→∞ n
(b) Je-li
cn ≤ an pro ka¾dé n nutnì lim cn = −∞.
a je-li zároveò
lim a = −∞, n→∞ n
pak
n→∞
(c) Je-li an ≤ cn ≤ bn pro ka¾dé n a je-li zároveò lim a = L = lim bn, n→∞ n n→∞
policajtechÿ
pak nutnì
lim c = L n→∞ n
. . . þvìta o
c Klufová 2011
Ukázky Zjistìte
lim −n3, lim (−0, 7)n, lim
n→∞
n→∞
n→∞
n+
n11 +47 11n +7
c Klufová 2011
Vìta o limitì souètu Nech» lim an = A, lim bn = B a {cn } = {an } + {bn }. n→∞
n→∞
(a) Jestli¾e A, B jsou vlastní limity, je lim cn = A + B . n→∞
(b) Jestli¾e A je vlastní limita a B nevlastní limita, je lim cn = B . n→∞
(c) Je-li A = B = +∞, pak lim cn = +∞. Je-li A = B = −∞, n→∞
pak lim cn = −∞. n→∞
(d) Je-li A = +∞ a B = −∞, nelze o limitì posloupnosti {cn} nic øíci. (e) lim −an = −A n→∞
c Klufová 2011
Kalkul s nekoneèny • r + ∞ = ∞ + r = +∞
• r − ∞ = −∞ + r = −∞
• +∞ + ∞ = +∞
• −∞ − ∞ = −∞
• +∞ − ∞
. . . neurèitý výraz - nelze jej vyhodnotit
c Klufová 2011
Vìta o limitì souèinu Nech» lim an = A, lim bn = B a {cn } = {an } · {bn }. n→∞
n→∞
(a) Jestli¾e A, B jsou vlastní limity, je lim cn = A · B . n→∞
(b) Jestli¾e A je vlastní limita a B nevlastní limita, je buï lim cn = +∞ v pøípadì, ¾e A > 0 ∧ B = +∞ nebo A < 0 ∧ B = −∞ n→∞
nebo lim cn = −∞ v pøípadì, ¾e A > 0 ∧ B = −∞ nebo A < 0 ∧ B = +∞. n→∞
Jestli¾e je A = 0, nelze o limitì posloupnosti {cn } nic øíci.
(c) Je-li A = B = +∞, pak lim cn = +∞. Je-li A = B = −∞, n→∞
pak lim cn = +∞. n→∞
(d) Je-li A = +∞, B = −∞, pak lim cn = −∞. n→∞
c Klufová 2011
Kalkul s nekoneèny 2
(
r · (±∞) =
±∞ ∓∞
pro pro
r>0 r<0
(±∞) · (±∞) = +∞ (±∞) · (∓∞) = −∞ 0 · (±∞)
. . . neurèitý výraz
c Klufová 2011
Vìta o limitì pøevrácené hodnoty a odmocniny Nech» lim an = A (vlastní nebo nevlastní) a pro ka¾dé n nech» je cn = √n→∞ dn = an .
1 , an
(a) Jesltli¾e A je vlastní limita rùzná od 0, pak lim cn = A1 . n→∞
(b) pro A = ±∞ je lim cn = 0. n→∞
(c) Jestli¾e A = 0, potom: pokud {an } je posloupnost kladných èlenù, pak lim cn = +∞, n→∞
pokud {an } je posloupnost záporných èlenù, pak lim cn = −∞, n→∞
pokud {an } má nekoneènì mnoho kladných a nekoneènì mnoho záporných èlenù, nemá posloupnost {cn } ¾ádnou limitu.
(d) lim dn = n→∞
√
A pro vlastní limitu A a jestli¾e A = +∞, pak lim dn = +∞. n→∞
c Klufová 2011
Kalkul s nekoneèny 3 1 =0 ±∞ 1 = 0
(
+∞ pro v¹echny èleny kladné, −∞ pro v¹echny èleny záporné. p
+∞ = +∞
0, ∞ 0 ∞
. . . neurèité výrazy
c Klufová 2011
Ukázky výpoètu limit posloupností n √ 1 lim 1 + n · n n→∞
c Klufová 2011
Ukázky výpoètu limit posloupností lim (−n3 + 60n2 − n + 9)
n→∞
c Klufová 2011
Ukázky výpoètu limit posloupností
lim
n→∞
3n +(−2)n+1 3n−2 −22n−1
c Klufová 2011
