ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ JAROSLAV ZHOUF Pedagogická fakulta UK Praha
Osnova přednášky 1. Vysvětlení pojmu Aritmetické posloupnosti vyšších řádů (APVŘ) 2. APVŘ na nižším gymnáziu 3. APVŘ na vyšším gymnáziu 4. APVŘ pro talentovanější studenty – matematická olympiáda 5. GPVŘ
Aritmetická posloupnost druhého řádu Příklad 1
( bn ) ( an )
(a ) n
2
5 3
10 5
2
17 7
2
26 9
2
37 11
2
50 ... AP2 13 ... AP1
2 ... AP0 ≈ AP1
??? Jak vypadají n-té členy těchto posloupností ???
Aritmetická posloupnost druhého řádu Příklad 1 – pokračování
( bn ) ( an )
(a )
2
5 3
5 2
n
10
17 7
2
26 9
2
37 11
2
50 ... AP2 13 ... AP1
2 ... AP0 ≈ AP1
bn = n 2 + 1 2 ⎡ an = 2n + 1 = ( n + 1) + 1⎤ − ⎡⎣ n 2 + 1⎤⎦ = bn+1 − bn ⎣ ⎦ an = a1 + ( n − 1) d = dn + ( a1 − d ) správně lineární funkce
( a ) = 2 = ( 2n + 3) − ( 2n + 1) = a n
n +1
− an
Aritmetická posloupnost druhého řádu Příklad 2
( bn ) ( an )
(a ) n
−5
−2 5 16 31 50 73 ... AP2 3 7 11 15 19 23 ... AP1 4
4
4
4
4 ... AP0 ≈ AP1
??? Jak vypadají n-té členy těchto posloupností ???
Aritmetická posloupnost druhého řádu Příklad 2 – pokračování
( bn ) ( an )
(a ) n
−5
−2 5 16 31 50 73 ... AP2 3 7 11 15 19 23 ... AP1 4
4
4
4
4 ... AP0 ≈ AP1
an = 4n − 1 = bn+1 − bn
( a ) = 4 = ( 4n + 3) − ( 4n − 1) = a n
bn = ???
n +1
− an
Aritmetická posloupnost druhého řádu Příklad 2 – pokračování
( bn ) ( an )
(a ) n
−5
? 3
? 7
4
? 11
4
? 15
4
? 19
4
? ... AP2 23 ... AP1
4 ... AP0 ≈ AP1
an = 4n − 1 = bn+1 − bn
( a ) = 4 = ( 4n + 3) − ( 4n − 1) = a n
b2 = b1 + a1 = −2
n +1
− an
b3 = b2 + a2 = 5
??? Ale jak vypadá bn obecně ???
…
Aritmetická posloupnost druhého řádu Příklad 2 – pokračování
( bn ) ( an )
(a ) n
−5
−2 5 16 31 50 73 ... AP2 3 7 11 15 19 23 ... AP1 4
4
4
4 ... AP0 ≈ AP1
4
b2 = b1 + a1 = −2 b3 = b2 + a2 = 5 b4 = b3 + a3 = 16 .
.
.
.
.
.
bn = bn−1 + an−1 = ??? bn = b1 + a1 + a2 + ... + an−1 = −5 + ( 3 + 7 + ... + ( 4n − 5 ) ) = = −5 + 1 ( n − 1)( 3 + 4n − 5 ) = 2n 2 − 3n − 4 2
Aritmetická posloupnost druhého řádu Příklad 2 – pokračování
( bn ) ( an )
(a ) n
−5
−2 5 16 31 50 73 ... AP2 3 7 11 15 19 23 ... AP1 4
4
4
4
4 ... AP0 ≈ AP1
Jiný postup při výpočtu bn : Očekáváme bn = An 2 + Bn + C
b1 = A ⋅12 + B ⋅1 + C = −5 b2 = A ⋅ 22 + B ⋅ 2 + C = −2 b3 = A ⋅ 32 + B ⋅ 3 + C = 5 A = 2 , B = −3, C = −4 bn = 2n 2 − 3n − 4
Aritmetická posloupnost třetího řádu Příklad 3
( cn ) ( bn ) ( an )
(a ) n
0
0
0
120 ... AP3 0 0 6 18 36 60 ... AP2 0 6 12 18 24 ... AP1 6
6
6
24
6
60
6
...
AP0 ≈ AP1
??? Jak vypadají n-té členy těchto posloupností ???
Aritmetická posloupnost třetího řádu Příklad 3 – pokračování
( cn ) ( bn ) ( an )
(a ) n
0
0
0
120 ... AP3 0 0 6 18 36 60 ... AP2 0 6 12 18 24 ... AP1 6
6
6
24
6
60
6
...
AP0 ≈ AP1
an = 6n − 6 = bn+1 − bn
( a ) = 6 = ( 6n ) − ( 6n − 6 ) = a n
n +1
− an
bn = b1 + a1 + a2 + ... + an−1 = 0 + ( 0 + 6 + ... + ( 6n − 12 ) ) = = 0 + 1 ( n − 1)( 0 + 6n − 12 ) = 3n 2 − 9n + 6 2 cn = ???
Aritmetická posloupnost třetího řádu Příklad 3 – pokračování
( cn ) ( bn )
0
0 0
0
6
24
120 ... AP3 0 6 18 36 60 ... AP2 bn = 3n 2 − 9n + 6 = cn+1 − cn
(
60
(
))
cn = c1+ b1+ ... + bn−1= 0 + 0 + ... + 3 ( n − 1) − 9 ( n − 1) + 6 =
(
)
2
= 3 02 + 12 + ... + ( n − 1) − 9 ( 0 + 1 + ... + ( n − 1) ) + ( n − 1) ⋅ 6 = 2
n − 1) n ( 2n − 1) − 9 ⋅ 1 ( n − 1) n − 6 ( n − 1) = ( 2 2 = n3 − 6n 2 + 11n − 6 = ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)
= 3⋅ 1
Vzorec 12 + 2 2 + ... + n 2 = 1 n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) později 2
Aritmetická posloupnost třetího řádu Příklad 3 – pokračování
( cn ) ( bn )
0
0 0
0 0
6 6
24 18
60 36
120 ... AP3 60 ... AP2
Jiný postup výpočtu cn : Očekáváme cn = An 3 + Bn 2 + Cn + D
c1 = A ⋅13 + B ⋅12 + C ⋅1 + D = 0 c2 = A ⋅ 23 + B ⋅ 22 + C ⋅ 2 + D = 0 c3 = A ⋅ 33 + B ⋅ 32 + C ⋅ 3 + D = 0 c4 = A ⋅ 43 + B ⋅ 42 + C ⋅ 4 + D = 6 A = 1, B = −6 , C = 11, D = −6 cn = n3 − 6n 2 + 11n − 6 = ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)
Aritmetické posloupnosti dalších řádů AP0 an= A an = An + B AP1 AP2 bn = An 2 + Bn + C AP3 cn = An3 + Bn 2 + Cn + D AP4 d n = An 4 + Bn3 + Cn 2 + Dn + E AP5 en = An5 + Bn 4 + Cn3 + Dn 2 + En + F Atd.
Součet aritmetické posloupnosti nultého řádu
s 0n = konst + konst + ... + konst = konst ⋅ n AP1 (lineární)
Součet aritmetické posloupnosti prvního řádu s1n = ( A ⋅1 + B ) + ... + ( An + B ) = = A ⋅ (1 + ... + n ) + Bn = A ⋅ 1 n ( n + 1) + Bn = 2 A 2 ⎛A ⎞ = n + ⎜ + B ⎟ n AP2 (kvadratická) 2 ⎝2 ⎠ Odpovídá to kvadratické závislosti ze školy:
n n a1d 2 a1 − a1d sn = [ a1 + an ] = ⎡⎣ a1 + a1 ( n − 1) d ⎤⎦ = n + n 2 2 2 2
Součet aritmetické posloupnosti druhého řádu s 2n = ( A ⋅12 + B ⋅1 + C ) + ... + ( An 2 + Bn + C ) = = A ⋅ (12 + ... + n 2 ) + B ⋅ (1 + ... + n ) + Cn = 1 1 = A ⋅ n ( n + 1)( 2n + 1) + B ⋅ n ( n + 1) + Cn = 6 2 A 3 ⎛ A B⎞ 2 ⎛ A B ⎞ = n + ⎜ + ⎟n + ⎜ + + C ⎟n 3 ⎠ ⎝2 2⎠ ⎝6 2 AP3 (kubická)
Součet aritmetické posloupnosti třetího řádu Příklad 2 - pokračování
( bn )
−5
−2
5
16 31 50 73 ... AP2 bn = 2n 2 − 3n − 4 s 2n = −5 − 2 + 5 + ... + ( 2n 2 − 3n − 4 ) =
= 2 (12 + ... + n 2 ) − 3 (1 + ... + n ) − 4n = 1 1 = 2 ⋅ n ( n + 1)( 2n + 1) − 3 ⋅ n ( n + 1) − 4n = 6 2 2 1 31 = n3 − n 2 − n 3 2 6 2 000 000 10 000 3100 Např. s 2100 = − − = 6 656 150 3 2 6
Součet aritmetické posloupnosti třetího řádu s3n = ( A ⋅13 + B ⋅12 + C ⋅1 + D ) + ... + ( An3 + Bn 2 + Cn + D ) =
= A ⋅ (13 + ... + n3 ) + B ⋅ (12 + ... + n 2 ) + C ⋅ (1 + ... + n ) + Dn = 1 2 1 1 2 = A ⋅ n ( n + 1) + B ⋅ n ( n + 1)( 2n + 1) + C ⋅ n ( n + 1) + Dn = 4 6 2 A 4 ⎛ A B⎞ 3 ⎛ A B C⎞ 2 ⎛B C ⎞ = n + ⎜ + ⎟n + ⎜ + + ⎟n + ⎜ + + D⎟n 4 ⎝2 3⎠ ⎝4 2 2⎠ ⎝6 2 ⎠ AP4 (4. stupně)
Odbočka k součtu prvních mocnin Gauss
s100 = 1 + 2 + ... + 99 + 100 s100 = 100 + 99 + ... + 2 + 1 2 s100 = 50 ⋅101
sn = 1 + 2 + ... + ( n − 1) + n sn = n + ( n − 1) + ... + 2 + 1 2sn = n ( n + 1)
Odbočka k součtu prvních mocnin Důkaz beze slov (Proof without Words)
n2 n 1 + 2 + ... + n = + 2 2
Odbočka k součtu druhých mocnin
( n + 1)
3
= n3 + 3n 2 + 3n + 1
n = ⎣⎡( n − 1) + 1⎦⎤ = ( n − 1) + 3 ( n − 1) + 3 ( n − 1) + 1 3 3 3 2 ( n − 1) = ⎡⎣( n − 2 ) + 1⎤⎦ = ( n − 2 ) + 3 ( n − 2 ) + 3 ( n − 2 ) + 1 3
3
3
2
………………………………………………………..
33 = ( 2 + 1) = 23 + 3 ⋅ 22 + 3 ⋅ 2 + 1 3
2 = (1 + 1) = 13 + 3 ⋅12 + 3 ⋅1 + 1 3
3
( n + 1) = 13 + 3 (12 + ... + n 2 ) + 3 (1 + ... + n ) + n 3
3 12 + ... + n 2 = 1 ⎡( n + 1) − 13 − 3 (1 + ... + n ) − n ⎤ = 3⎣ ⎦ = 1 ( 2n3 + 3n 2 + n ) = 1 n ( n + 1)( 2n + 1) 6 6
Odbočka k součtu druhých mocnin Důkaz beze slov (Proof without Words)
3 (12 + ... + n 2 ) = (1 + ... + n )( 2n + 1)
Odbočka k součtu třetích mocnin
( n + 1) = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 4 4 3 2 4 n = ⎡⎣( n − 1) + 1⎤⎦ = ( n − 1) + 4 ( n − 1) + 6 ( n − 1) + 4 ( n − 1) + 1 4 4 4 3 2 ( n−1) = ⎡⎣( n−2 ) + 1⎤⎦ = ( n−2 ) + 4 ( n−2 ) + 6 ( n−2 ) + 4 ( n−2 ) + 1 4
………………………………………………………..
34 = ( 2 + 1) = 24 + 4 ⋅ 23 + 6 ⋅ 22 + 4 ⋅ 2 + 1 4
2 = (1 + 1) = 14 + 4 ⋅13 + 6 ⋅12 + 4 ⋅1 + 1 4
4
( n + 1) = 14 + 4 (13 + ... + n3 ) + 6 (12 + ... + n 2 ) + 4 (1 + ... + n ) + n 4
4 13 + ... + n3 = 1 ⎡( n + 1) − 14 − 6 (12 + ... + n 2 ) − 4 (1 + ... + n ) − n ⎤ = 4⎣ ⎦ 2 4 3 2 2 1 1 = n + 2n + n ) = n n + 1) 4( 4 (
Odbočka k součtu třetích mocnin Důkaz beze slov (Proof without Words)
⎡1 ⎤ 1 + ... + n = ⎢ n ( n + 1) ⎥ ⎣2 ⎦ 3
3
2
Aritmetické posloupnosti prvního řádu na nižším gymnáziu Příklad 4 Obsah daného útvaru (Cihlář a kol.).
9 16
S = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) + 9 ⋅ 7
Aritmetické posloupnosti prvního řádu na nižším gymnáziu Příklad 5 Počet všech jednotkových rovnostranných trojúhelníků v síti rovnostranného trojúhelníku o straně délky 2n–1. Konkrétně např. pro n = 6. Řešení
1 + 3 + 5 + ... + 21 = = ( 2 ⋅1 − 1) + ( 2 ⋅ 2 − 1) + ... + ( 2 ⋅11 − 1) = = 2 (1 + ... + 11) − 11⋅1 = 2 ⋅ 1 ⋅11⋅12 − 11 = 121 2 Obecně 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = 2 (1 + 2 + ... + n ) − n = n 2
Odbočka k součtu lichých čísel Důkaz beze slov (Proof without Words)
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 82 1 + 3 + ... + ( 2n − 1) = n 2
Aritmetické posloupnosti druhého řádu na nižším gymnáziu Příklad 6 Počet čtverců ve čtvercové síti n x n. Číslo n bude konkrétní. Např. počet čtverců ve čtvercové síti 10 x 10. Řešení 1x1 2x2 3x3 ……………
9x9 10 x 10 Celkem
102 čtverců 92 čtverců 82 čtverců
n2 (n-1)2 (n-2)2
22 čtverců 12 čtverců
22 12
12 + ... + 102 = 1 ⋅10 ⋅11 ⋅ 21 = 385 12 + ... + n 2 = 1 ⋅ n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( 2n + 1) 6 6
Aritmetické posloupnosti druhého řádu na nižším gymnáziu Příklad 7 Čtvercová čísla (patří mezi figurální čísla).
....... 12
22
32
42
n-té čtvercové číslo je n 2
Aritmetické posloupnosti druhého řádu na nižším gymnáziu Příklad 8 Trojúhelníková čísla (patří mezi figurální čísla).
....... 1 1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
n-té trojúhelníkové číslo je
⎛ n + 1⎞ 1 1 + 2 + ... + n = n ( n + 1) = ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠
Aritmetické posloupnosti druhého řádu na nižším gymnáziu Příklad 9 Pětiúhelníková čísla (patří mezi figurální čísla).
....... 1
1+4
1+4+7
1+4+7+10
n-té pětiúhelníkové číslo je
1 + 4 + 7 + ... + ( 3n − 2 ) = 1 n ( 3n − 1) 2
Aritmetické posloupnosti druhého řádu na nižším gymnáziu Příklad 10 Počet úhlopříček mnohoúhelníku.
……..
0
4·1/2
5·2/2
6·3/2
1 Počet úhlopříček je n ( n − 3) 2
Aritmetické posloupnosti druhého řádu na nižším gymnáziu Příklad 11 Počet přímek vytvořených z n bodů, z nich žádné tři neleží v přímce.
5
4
3 1
2
⎛n⎞ 1 Počet průsečíků je n ( n − 1) = ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2⎠
Aritmetické posloupnosti druhého řádu na vyšším gymnáziu Příklad 12 Počet oblastí roviny rozdělené n přímkami (každé dvě mají průsečík, žádné tři průsečík nemají).
5
Řešení Přidáním n-té přímky přibude n oblastí. Přidáváním přímek vzniká AP2.
( bn ) ( an )
2
? 2
? 3
bn = An 2 + Bn + C
?
4
3 1
?
?
2
? ... AP2 4 5 6 7 ... AP1 bn = 1 n 2 + 1 n + 1 = 1 n ( n + 1) + 1 2 2 2
Aritmetické posloupnosti druhého řádu na vyšším gymnáziu Příklad 13 Počet oblastí roviny rozdělené n kružnicemi (každé dvě mají dva průsečíky, žádné tři neprocházejí jedním bodem). 4
2
Řešení Přidáním n-té přímky přibude 2(n-1) oblastí. Přidáváním přímek vzniká AP2.
( bn ) ( an )
2
?
2
?
4
?
6
bn = An 2 + Bn + C
?
8
1
?
10
3
? ... AP2 12 ... AP1
bn = n 2 − n + 2
Aritmetické posloupnosti druhého řádu na vyšším gymnáziu Příklad 14 Počet oblastí prostoru rozděleného n rovinami, kde každé dvě mají průsečnici, žádné tři nemají stejnou průsečnici a všechny se protínají v jednom bodě.
Řešení Přidáním n-té roviny přibude 2(n-1) oblastí. Přidáváním přímek vzniká AP2.
( bn ) ( an )
2
? 2
? 4
? 6
bn = An 2 + Bn + C
? 8
? 10
? ... AP2 12 ... AP1
bn = n 2 − n + 2
Aritmetické posloupnosti druhého řádu na vyšším gymnáziu Příklad 15 Počet oblastí uvnitř trojúhelníku vytvořených n spojnicemi z bodu A s protější stranou a n spojnicemi C z bodu B s protější stranou.
Řešení Mezi každými dvěma přímkami z bodu A je n+1 oblastí. Mezi všemi přímkami je (n+1)2 oblastí. Vzniká AP2.
bn = An + Bn + C 2
A
bn = ( n + 1)
B 2
Aritmetické posloupnosti druhého řádu na vyšším gymnáziu Příklad 16 Počet oblastí uvnitř trojúhelníku vytvořených n spojnicemi z bodu A s protější stranou, n spojnicemi z bodu B s protější stranou a n spojnicemi z bodu B s protější stranou. Žádné tři se neprotínají v jednom bodě.
C
A
B
Řešení Přidáním n-tých přímek přibude 6n+6 oblastí. Vzniká AP2.
( bn ) ( an )
7
? 12
? 18
? 24
bn = An 2 + Bn + C
? 30
? 36
? ... AP2 42 ... AP1
bn = 3n 2 + 3n + 1
Aritmetické posloupnosti třetího řádu na nižším-vyšším gymnáziu Příklad 17 Počet krychlí v krychlové síti n x n x n. Číslo n je konkrétní. Např. počet krychlí v síti 10 x 10 x 10. Řešení 1x1x1 2x2x2 3x3x3 ……………
9x9x9 10 x 10 x 10
103 krychlí 93 krychlí 83 krychlí
n3 (n-1)3 (n-2)3
23 krychlí 13 krychlí
23 13
Celkem 13 + ... + 103 = 1 4 ⋅102 ⋅112 = 3 025 2 Obecně cn = 13 + ... + n3 = 1 4 ⋅ n 2 ⋅ ( n + 1)
Aritmetické posloupnosti třetího řádu na nižším-vyšším gymnáziu Příklad 18 Krychlová čísla (patří mezi figurální čísla).
....... 13
23
33
43
n-té krychlové číslo je
cn = n3
Aritmetické posloupnosti třetího řádu na nižším-vyšším gymnáziu Příklad 19 Jehlanovitá (pyramidální) čísla (patří mezi figurální čísla).
....... 12
12+22 12+22+32
12+22+32+42
n-té jehlanovité (pyramidální) číslo je
cn = 12 + 22 + ... + n 2 = 1 n ( n + 1)( 2n + 1) 6
Aritmetické posloupnosti třetího řádu na nižším-vyšším gymnáziu Příklad 20 Čtyřstěnová čísla (patří mezi figurální čísla).
....... 1 1+3=4 1+3+6=10 1+3+6+10=20
n-té čtyřstěnové číslo je cn = 1 ⋅1 ⋅ (1 + 1) + 1 ⋅ 2 ⋅ ( 2 + 1) + ... + 1 n ( n + 1) = 2 2 2 ⎛ n + 2⎞ 2 2 1 1 1 n n + 1)( n + 2 ) = ⎜ 1 + ... + n ) + (1 + ... + n ) = = ⎟ 2( 2 6 ( 3 ⎝ ⎠
Aritmetické posloupnosti třetího řádu na vyšším gymnáziu Příklad 21 Počet trojúhelníků s vrcholy na stranách čtverce. Uvnitř každé strany čtverce je n bodů.
Řešení kombinatoricky AP3 ⎛ 4n ⎞ ⎛ n ⎞ cn = ⎜ ⎟ − 4 ⎜ ⎟ = 10n3 − 6n 2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠
Aritmetické posloupnosti čtvrtého řádu na vyšším gymnáziu Příklad 22 Počet průsečíků úhlopříček n-úhelníku, žádné tři se neprotínají v jednom bodě.
Řešení kombinatoricky: vyberou se čtyři vrcholy n úhelníku, ty vytvoří čtyřúhelník, A z toho je 1 uvažovaný průsečík AP4 ⎛ n ⎞ n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3) dn = ⎜ ⎟ = 24 ⎝ 4⎠
C
B
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů na vyšším gymnáziu Příklad 23 Pascalův trojúhelník
1 1 1 1 1 1 1 1 .
.
7 .
3
5
.
2
4
6
3
10
.
1
6
15 21 .
1
4 10
20 35 .
1
.
1 5
15 35 .
.
1 6
21 .
.
1 7 .
.
1 .
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů na vyšším gymnáziu Příklad 23 – pokračování Pascalův trojúhelník AP0
1 1 1 1 1 1 1 1 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů na vyšším gymnáziu Příklad 23 – pokračování Pascalův trojúhelník AP0 AP1
1 1 1 1 1 1 1 1 .
.
1 2
3 4
5 6
7 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů na vyšším gymnáziu Příklad 23 – pokračování Pascalův trojúhelník AP0 AP1
1 1 1 1 1 1 1 1 .
.
3
5 6
7 .
.
2
4
AP2
1 1 3 6
10 15
21 .
.
.
.
.
.
.
AP2 …. Trojúhelníková čísla
.
.
.
.
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů na vyšším gymnáziu Příklad 23 – pokračování Pascalův trojúhelník AP0 AP1
1 1 1 1 1 1 1 1 .
.
3
5 6
7 .
.
2
4
21 .
3
10
.
AP3
1
6
15
AP2
1
1 4
10 20
35 .
.
.
.
.
AP3 …. Čtyřstěnová čísla
.
.
.
.
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů na vyšším gymnáziu Příklad 23 – pokračování Pascalův trojúhelník s doplněnými nulami
1 1 1 1 1 1 1 1 1 .
.
7 8 .
.
.
.
1
15
.
0 1
6 21
56 .
0 0
5
35 70 .
0
4
20
0 0
1
10
35 56 .
1
6
15
0 0
3
10
21 28 .
2
4
6
1
3
5
0
.
1 7
28 .
8 .
.
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů na vyšším gymnáziu Příklad 24 – viz Příklad 1 Využití „Pascalova trojúhelníku“ ke generování APVŘ – např. AP0
2 2 2 2 2 2 2 2 .
15 17
19 .
.
5
9
13
3
7
11
AP1
2 5
10 17
atd
26 37
50
.
.
.
.
.
.
.
AP3
??? atd
atd
65 82 .
AP2
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v Matematickém Klokanovi Klokánek 2004
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v Matematickém Klokanovi Klokánek 2004
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v Matematickém Klokanovi Benjamín 2000
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v Matematickém Klokanovi Student 2001
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v české MO
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v české MO
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v české MO
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v české MO
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v české MO
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v české MO
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v české MO
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v české MO
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v české MO
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v české MO
Aritmetické posloupnosti vyšších řádů v Mezinárodní MO
Geometrická posloupnost druhého řádu Příklad 25
( bn ) ( an )
(a ) n
1
8 8 4
256 32 768 16 777 216 ... GP2 32 128 512 ... GP1 4
4
... GP0 ≈ GP1
??? Jak vypadají n-té členy těchto posloupností ???
Geometrická posloupnost druhého řádu Příklad 25 – pokračování
( bn ) ( an )
(a ) n
1
8 8
256 32 768 16 777 216 ... GP2 32 128 512 ... GP1
4
4
bn = 2 2 n +1
an = 2 an = a1 ⋅ q n−1 = a1
(a ) n
... GP0 ≈ GP1
4
=2
n 2 −1
( n+1)2 −1
:2
n 2 −1
= bn+1 : bn
⋅ q n správně exponenciální funkce
q = 4 = 22 n+3 : 22 n+1 = an+1 : an
Geometrické posloupnosti dalších řádů an= q A an = q An+ B An 2 + Bn +C bn = q GP2 An3 + Bn 2 +Cn + D cn = q GP3 An 4 + Bn3+Cn 2 + Dn + E dn = q GP4 An5+ Bn 4 +Cn3 + Dn 2 + En + F en = q GP5 GP0 GP1
Atd.
Geometrické posloupnosti vyšších řádů Příklad 26 „Pascalův trojúhelník“ pro GPVŘ – např. 2 2 2 2 2 2
2 4
8 16
32
2 64 65 536 . . . . . .
2 8
64 2 048 .
16 2 048
4 194 304 .
2
.
2 32
2
65 536 64 2 . . . . . .
Geometrické posloupnosti vyšších řádů Neznám žádnou úlohu na GPVŘ ani ve škole ani v MO
Děkuji za pozornost