Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008
1
3
Posloupnosti a řady funkcí
Požadavky • • • •
Spojitost za předpokladu stejnoměrné konvergence Mocninné řady Taylorovy řady Fourierovy řady
Táto otázka je vypracovaná hlavne podľa skrípt prof. Kalendu, takže je možné že niektoré vety (napr. od prof. Pultra) budú mať iné znenie. Hlavne časť o Fourierových funkciách vyzerá byť prednášaná odlišne (menej obecne). . . ;-( andree
3.1
Spojitost za předpokladu stejnoměrné konvergence
Definice (Bodová/stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí) Řekneme, že posloupnost funkcí fn konverguje bodově k funkci f na množině M (značíme fn → f ), jestliže pro každé x ∈ M platí limn→∞ fn (x) = f (x), tj. jestliže ∀x ∈ M ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : |fn (x) − f (x)| < ε Řekneme, že posloupnost fn konverguje stejnoměrně k funkci f na množině M (značíme fn ⇒ f ), jestliže ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 ∀x ∈ M : |fn (x) − f (x)| < ε Řekneme že posloupnost funkcí je stejnoměrně konvergentní na M , jestliže konverguje k nějaké funkci na M . Definice {fn } konverguje lokálně stejnoměrně k funkci f na množině M (značíme fn ⇒loc f na M ), jestliže pro každé x ∈ M existuje ε > 0 takové, že fn ⇒ f na M ∩ (x − ε, x + ε). Věta (Kritérium stejnoměrné konvergence) Nechť M je (neprázdná) množina, f funkce definovaná na M a {fn }∞ n=1 posloupnost funkcí definovaných na M . Pak fn ⇒ f , právě když: lim sup{|fn (x) − f (x)|; x ∈ M } = 0,
n→∞
tj. existuje n0 ∈ N takové, že pro n ≥ n0 je sup{|fn (x) − f (x)|; x ∈ M } definováno (a konečné) a tato posloupnost má limitu 0. Věta (Bolzano-Cauchyho podmínka pro stejnoměrnou konvergenci) Nechť M je (neprázdná) množina, {fn }∞ n=1 posloupnost funkcí definovaných na M . Pak posloupnost fn je stejnoměrně konvergentní na M , právě když: ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m, n ∈ N, m ≥ n0 , n ≥ n0 ∀x ∈ M : |fn (x) − fm (x)| < ε
2
Věta (O záměně limit, Moore-Osgoodova) Nechť a, b ∈ R∗ , a < b, f je funkce definovaná na (a, b) a {fn }∞ n=1 posloupnost funkcí definovaných na (a, b). Dále nechť fn ⇒ f na (a, b) a pro každé n ∈ N existuje vlastní limx→a+ fn (x) = cn . Pak existují vlastní limity limn→∞ cn a limx→a+ f (x) a platí: lim cn = lim f (x) n→∞
x→a+
Analogicky v bodě b zleva. . . Poznámka Jiný zápis je, že platí: lim lim fn (x) = lim lim fn (x)
n→∞ x→a+
x→a+ n→∞
a navíc jsou tyto limity vlastní, pokud pro každé n ∈ N existuje vlastní limita limx→a+ fn (x) a posloupnost fn je stejnoměrně konvergentní na (a, b) pro nějaké b > a. Tato věta platí i pro „oboustrannéÿ limity. Věta (Spojitost limitní funkce) Nechť I ⊂ R je interval, f funkce definovaná na I a {fn }∞ n=1 posloupnost funkcí definovaných na I. Jestliže fn je spojitá na I pro každé n ∈ N a fn ⇒loc f na I, pak f je spojitá na I. Věta (Záměna limity a derivace) Nechť a, b ∈ R, a < b a {fn }∞ n=1 je posloupnost funkcí definovaných na intervalu (a, b), které mají v každém bodě (a, b) vlastní derivaci. Nechť dále platí: 1. Existuje takové x0 ∈ (a, b), že posloupnost {fn (x0 )} je konvergentní 2. Posloupnost {fn0 } je stejnoměrně konvergentní na (a, b) Pak posloupnost {fn } je stejnoměrně konvergentní na (a, b), a označíme-li f její limitu, pak funkce f má v každém bodě x ∈ (a, b) vlastní derivaci a platí f 0 (x) = limn→∞ fn0 (x). Definice (Bodová/stejnoměrná konvergence řady funkcí) P∞ Řekneme, že řada n=1 un konverguje bodově na množině M , pokud posloupnost jejich částečných P∞ součtů je bodově konvergentní na M , tj, pro každé x ∈ M konverguje řada P n=1 un (x). Součtem řady ∞ n=1 un nazveme funkci S(x) =
∞ X
un (x) = lim sn (x), x ∈ M, n→∞
n=1
pokud řada konverguje P bodově na M . ∞ Řekneme, že řada n=1 un konverguje stejnoměrně na množině M , pokud posloupnost jejich částečných součtů je stejnoměrně konvergentní na M . P Je-li navíc M ⊂ R, řekneme, že řada ∞ u konverguje lokálně stejnoměrně n=1 n na množině M , pokud posloupnost jejich částečných součtů je lokálně stejnoměrně konvergentní.
3
Věta (Nutná P podmínka stejnoměrné konvergence řady) Nechť řada ∞ n=1 un konverguje stejnoměrně na množině M . Pak un ⇒ 0 na M . Věta (Srovnávací kritérium pro stejnoměrnou Nechť M je (neprázdná) množina a {un }∞ n=1 , finovaných P∞ na M, pro které platí |un (x)| ≤ řada n=1 vn konverguje stejnoměrně na M, noměrně na M .
konvergenci) {vn }∞ n=1 dvě posloupnosti funkcí devn (x) pro všechna x ∈ M . Jestliže P∞ pak i řada n=1 un konverguje stej-
Věta (Weierstrassovo kritérium) NechťP M je (neprázdná) množina, {un }∞ n=1 posloupnost funkcí definovaných na ∞ M a n=1 cn konvergentní P∞ řada reálných čísel. Pokud pro každé x ∈ M platí |un (x)| ≤ cn , pak řada n=1 un konverguje stejnoměrně na M . Věta (Leibnizovo kritérium pro stejnoměrnou konvergenci) Nechť M je (neprázdná) množina, {un }∞ n=1 posloupnost funkcí definovaných na M splňujících obě podmínky: 1. Pro všechna x ∈ M a n ∈ N je un (x) ≥ un+1 (x) ≥ 0 2. un ⇒ 0 na M P n Pak řada ∞ n=1 (−1) un konverguje stejnoměrně na M . Věta (Dirichletovo a Abelovo kritérium) ∞ Nechť M je (neprázdná) množina a {un }∞ n=1 , {vn }n=1 dvě posloupnosti funkcí definovaných na M , přičemž pro každé x ∈ M a každé n ∈ N platí vn (x) ≥ vn+1 (x) ≥ 0. Nechť navíc platí alespoň jedna z podmínek: P 1. (Abelovo) Řada ∞ n=1 un konverguje stejnoměrně na M, pro každé pevné x je posloupnost hodnot funkcí {vn (x)} monotónní (klidně pro každé x jinak) a existuje K ∈ R takové, že ∀n ∈ N ∀x ∈ M : |vn (x)| < K (tj. {vn } je stejnoměrně omezená na M ). 2. (Dirichletovo) Existuje K ∈ R takové, že pro všechnaPx ∈ M a n ∈ N je |u1 (x) + · · · + un (x)| ≤ K (tj. posloupnost část. součtů { ni=1 un (x)} je stejnoměrně omezená na M ) a dále vn ⇒ 0 na M (konverguje stejnoměrně k nulové funkci). P Pak řada ∞ n=1 un · vn konverguje stejnoměrně na M . (Pozn. autora: Dále platí i věty ekvivalentní větám o záměně limit při posloupnostech. . . )
3.2
Mocninné řady
Definice Nechť P a ∈ R a {cn }∞ n=0 je posloupnost reálných čísel. Nekonečnou řadu funkcí ∞ tvaru n=0 cn (x − a)n nazýváme mocninnou řadou o středu a.
4
DefiniceP n Nechť ∞ n=0 cn (x−a) je mocninná řada o středu a. Jejím poloměrem konvergence rozumíme číslo ∞ X R = sup{r ∈ h0, +∞) ; |cn |rn konverguje}, n=0
je-li uvedená množina shora omezená. Není-li shora omezená, klademe R = +∞. Věta P n Nechť ∞ n=0 cn (x − a) je mocninná řada o středu a a R její poloměr konvergence. P n 1. Je-li |x − a| < R, pak řada P∞ n=0 cn (x − a) konverguje absolutně; Je-li |x − a| > R, pak řada ∞ c (x − a)n diverguje. P∞ n=0 n 2. Je-li r ∈ (0, R), pak řada n=0 cn (x − a)n konverguje stejnoměrně na množině B(a, r) = {x ∈ R; |x − a| ≤ r} = ha − r, a + ri. P n 3. Řada ∞ n=0 cn (x − a) konverguje lokálně stejnoměrně na množině B(a, R) = {x ∈ R; |x − a| < R}. Body 2. a 3. jsou vlastně ekvivalentní. Je-li R = ∞, pak řada konverguje lokálně stejnoměrně na celém R. Poznámka P n Množině B(a, R), kde R je poloměr konvergence mocninné řady ∞ n=0 cn (x − a) , se říká kruh konvergence. Věta (Výpočet poloměru konvergence) P n Nechť ∞ c n=0 n (x − a) je mocninná řada o středu a a R její poloměr konvergence. p 1. Jestliže L = lim supn→∞ n |cn |, pak 1 , L > 0, L R= +∞, L = 0 cn+1 2. Týž vzoreček platí, je-li L = lim supn→∞ cn První bod plyne z Cauchyova odmocninového kritéria konvergence řady, druhý z D’Alembertova podílového kritéria. Stejné tvrzení platí i pro limity daných výrazů v případě, že existují. Věta (. ..„jenÿ pomocná pro následující) P n Nechť ∞ c je mocninná řada o středu její poloměr konvergence. n=0 n (x − a) P P∞a a cR ∞ n−1 n Pak i mocninné řady n=0 n.cn (x − a) a n=0 n+1 (x − a)n+1 mají poloměr konvergence R. Věta (Derivace a integrace mocninné řady) P∞ Nechť n=0 cn (x − a)n je mocninná a a R > 0 její poloměr konverP∞ řada o středu n gence. Definujme funkci f (x) = n=0 cn (x − a) , x ∈ B(a, R). Pak platí: 1. Funkce f je spojitá na B(a, R). 2. Funkce f má v každém bodě x ∈ B(a, R) vlastní derivaci a platí f 0 (x) = P∞ a)n−1 . n=0 n · cn (x −P cn n+1 3. Funkce F (x) = ∞ je primitivní funkcí k f na B(a, R). n=0 n+1 (x − a)
5
3.3
Taylorovy řady
Definice P Nechť funkce f má v bodě a derivace všech řádů. Pak řadu ∞ n=0 nazýváme Taylorovou řadou funkce f o středu a v bodě x.
f (n) (a) (x n!
− a)n
Poznámka Nechť funkce f má v bodě a derivace všech řádů a x ∈ R. Pak funkce f je v bodě x součtem své Taylorovy řady o středu a, právě když limn→∞ (f (x) − Tna (x)) = 0. Věta Nechť x > a a funkce f má v každém bodě intervalu ha, xi derivace všech řádů. Jestliže platí podmínka • existuje C ∈ R takové, že pro každé t ∈ (a, x) a každé n ∈ N je |f (n) (t)| ≤ C, pak funkce f je v bodě x součtem své Taylorovy řady o středu a. Analogicky pro případ x < a. Věta P n Nechť ∞ a a R > 0 její poloměr konvern=0 cn (x − a) je mocninná P∞ řada o středu n gence. Definujme funkci f (x) = n=0 cn (x − a) , x ∈ B(a, R). Pak řada ∞ X
cn (x − a)n
n=0
je Taylorovou řadou funkce f o středu a, tj. pro každé n ∈ N∪{0} platí cn =
f (n) (a) . n!
Význam Taylorových řad: • aproximace funkcí – příklady (Taylorovy řady elementárních funkcí): ∞ X 1 k x ∀x ∈ R : exp x = k! k=0 ∞ X (−1)k−1 2k−1 x ∀x ∈ R : sin x = (2k − 1)! k=0
...
• zjednodušení důkazů – příklad (Důkaz binomické věty): Rozvineme funkci f (x) = (1 + x)α v okolí nuly. Indukcí lze ověřit, že f (k) (x) = α(α − 1) · · · · · (α − k + 1) · (1 + x)α−k . Taylorova řada funkce f (x) = (1 + x)α konverguje na (−1, 1) a je rovna hodnotě (1 + x)α : α
(1 + x) =
∞ X α(α − 1) · · · · · (α − k + 1)
k!
k=0
a to dává binomickou větu.
6
k
x =
∞ X α k=0
k
xk
3.4 3.4.1
Fourierovy řady Obecné Fourierovy řady
Definice Nechť {ϕn }∞ n=1 je posloupnost komplexních funkcí na ha, bi, z nichž žádná není konstantně nulová. Řekneme, že tato posloupnost tvoří ortogonální (krátce OG) systém na ha, bi, jestliže pro každá dvě různá m, n ∈ N platí: b
Z
ϕm ϕn = 0 a
Pokud navíc
b
Z
|ϕn |2 = 1
a
pro všechna n ∈ N, říkáme, že jde o ortonormální systém. Poznámka Příklady OG systémů: • Systém tvořený funkcemi exp 2kπix , k ∈ Z je OG na intervalu ha, a + pi pro p každé a ∈ R • Systém tvořený funkcemi 1, cos 2kπx , sin 2kπx , k ∈ N je OG na intervalu p p ha, a + pi pro každé a ∈ R Věta ∞ Nechť {ϕn }∞ n=1 je posloupnost komplexních funkcí na ha, bi, {an }n=0 je posloupnost komplexních čísel. Jestliže f (x) =
∞ X
an ϕn (x), x ∈ ha, bi ,
n=1
a uvedená řada konverguje stejnoměrně na ha, bi, pak pro každé n ∈ N platí Rb an = R ab a
f ϕn |ϕn |2
.
Definice (po částech spojitá funkce) Řekneme, že funkce f je po částech spojitá na ha, bi, jestliže existuje D = {xi }N j=0 dělení intervalu ha, bi takové, že pro každé j ∈ {1, . . . , N } je funkce f spojitá na intervalu (xj−1 , xj ) a v krajních bodech tohoto intervalu má vlastní jednostranné limity.
7
Definice Nechť {ϕn }∞ n=1 je OG systém na ha, bi a funkce f je po částech spojitá na ha, bi. Pro n ∈ N položme Rb f ϕn . an = R ab 2 |ϕ | n a Tato čísla nazýváme Fourierovými koeficienty funkce f vzhledem k OG systému {ϕn }∞ n=1 na ha, bi a řadu ∞ X an ϕ n n=1
nazýváme Fourierovou řadou f vzhledem k OG systému {ϕn }∞ n=1 na ha, bi.
3.4.2
Trigonometriké Fourierovy řady
Definice (po částech spojitá periodická funkce) Buď funkce f periodická s periodou p > 0. Řekneme, že je po částech spojitá, je-li po částech spojitá na intervalu h0, pi. Poznámka Nechť f je p-periodická funkce a a, b ∈ R. 1. Pak f je počástech spojitá na ha, a + pi, právě když je po částech spojitá na hb, b + pi. R b+p R a+p 2. a f = b f , pokud alespoň jeden z těchto integrálů existuje. Definice Nechť funkce f je p-periodická po částech spojitá funkce. Jejími trigonometrickými Fourierovými koeficienty rozumíme čísla Z 2 p 2πnx an = f (x) cos dx, n ∈ N ∪ {0} p 0 p Z 2πnx 2 p bn = f (x) sin dx, n ∈ N p 0 p Definice Trigonometrickou Fourierovou řadou funkce f pak rozumíme řadu ∞ a0 X 2πnx 2πnx + an cos + bn sin 2 p p n=1
8
Poznámka (Besselova nerovnost) Besselova nerovnost pro trigonometrické Fourierovy řady má tvar Z p ∞ X |a0 |2 2 2 p |f |2 . (|an | + |bn | ) ≤ p+ 4 2 0 n=1 Podobná nerovnost platí i pro obecné Fourierovy řady. (Riemann-Lebesgue) důsledkem této nerovnosti je fakt, že lim an = lim bn = 0. Věta (Persevalova rovnost) Pro trigonometrické Fourierovy řady platí v Besselově nerovnosti rovnost. Pro funkce s periodou 2π potom platí: 1 π
∞
π
|a0 |2 X |f | = + (|an |2 + |bn |2 ) (jedna z variant zápisu) 2 −π n=1
Z
2
Poznámka Nechť f je p-periodická po částech spojitá funkce taková, že všechny její trigonometrické Fourierovy koeficienty jsou nulové. Pak f (x) = 0 pro všechna x ∈ h0, pi s výjimkou konečně mnoha bodů. Věta (Symetrie funkce a Trigonometrické Fourierovy koeficienty) Nechť f je p-periodická po částech spojitá funkce, an , n ∈ N ∪ {0} a bn , n ∈ N, její trigonometrické Fourierovy koeficienty. Pak platí 1. Pro všechna n ∈ N ∪ {0} je an = 0, právě když f (−x) = −f (x) pro všechna x ∈ h0, pi s výjimkou konečně mnoha bodů. 2. Pro všechna n ∈ N je bn = 0, právě když f (−x) = f (x) pro všechna x ∈ h0, pi s výjimkou konečně mnoha bodů. Definice Nechť f je p-periodická po částech spojitá funkce. Řekneme, že f je po částech hladká, jestliže f 0 je po částech spojitá. Věta (O konvergenci Fourierových řad) Nechť f je po částech hladká p-periodická funkce. Pak platí: 1. Trigonometrická Fourierova řada funkce f konverguje bodově na R a její součet v bodě x ∈ R je 21 (limt→x− f (t) + limt→x+ f (t)) 2. Je-li f navíc spojitá na intervalu (a, b), pak její trigonometrická Fourierova řada konverguje lokálně stejnoměrně na (a, b) a její součet je f (x) pro každé x ∈ (a, b). 3. Je-li navíc spojitá na R, pak její trigonometrická Fourierova řada konverguje stejnoměrně na R a její součet je f (x) pro každé x ∈ R.
9
