Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008
1
8
Algebra
Požadavky • • • • •
Grupa, okruh, těleso – definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál Homomorfismy grup Dělitelnost a ireducibilní rozklady polynomů Rozklady polynomů na kořenové činitele pro polynom s reálnými, racionálními, komplexními koeficienty. • Násobnost kořenů a jejich souvislost s derivacemi mnohočlenu
8.1
Grupa, okruh, těleso – definice a příklady
Definice (algebra) Pro množinu A je zobrazení α : An → A, kde n ∈ {0, 1, ...} n-ární operace (n je arita). Jsou-li αi , i ∈ I operace arity Ωi na množině A, pak (A, αi |i ∈ I) je algebra. Definice (grupoid) Algebra s 1 binární operací je grupoid. V něm je e ∈ G : e · g = g · e = g ∀g ∈ G neutrální prvek. Algebra s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem vzhledem k ní je monoid. Nechť je dán monoid s neutrálním prvkem (M, ·, e) a nějakým prvek m ∈ M . Potom řekneme, že prvek m−1 ∈ M je inverzní k prvku m, pokud m · m−1 = m−1 · m = e. Prvek je invertibilní, pokud má nějaký inverzní prvek. Poznámka Každý grupoid obsahuje nejvýš 1 neutrální prvek. V libovolném monoidu platí, že pokud (a · b = e) & (b · c = e), pak a = c (tj. inverzní prvek zleva a zprava musí být ten samý). Každý inverzní prvek je sám invertibilní. Definice (grupa) Algebra (G, ·,−1 , e) je grupa, pokud je (G, ·, e) monoid a −1 je operace inv. prvku (tedy unární operace, která každému prvku přiřadí prvek k němu inverzní). Grupa G je komutativní (abelovská), pokud je operace „·ÿ komutativní. Příklady Příklady grup: • Množina R s operací sčítání, inverzním prvkem −x a neutrálním prvkem 0 • Množina R+ (kladných reálných čísel, tedy bez nuly, protože k té bychom inverzní prvek nenašli) s operací násobení, inverzním prvkem x−1 a neutrálním prvkem 1 • Množina Zn = {0, . . . , n − 1} pro n libovolné přirozené číslo; s operací sčítání modulo n, inverzním prvkem (−x) modulo n a neutrálním prvkem 0 • Množina polynomů stupně ≤ n se sčítáním, opačným polynomem (s opačnými koeficienty) a neutrálním prvkem 0 2
• Množina všech permutací prvků (1, . . . , n) s operací skládání permutací, opačnou permutací (takovou, že její složení s původní dává identitu) a neutrálním prvkem id (na rozdíl od všech předchozích pro permutace délky větší než 3 není abelovská) • Množina regulárních matic n × n s operací maticového násobení, inverzními maticemi a jednotkovou maticí (taktéž není obecně abelovská) Definice (okruh) Nechť (R, +, ·, −, 0, 1) je algebra taková, že (R, +, −, 0) tvoří komutativní grupu, (R, ·, 1) je monoid a platí a(b + c) = ab + ac a (a + b)c = ac + bc ∀a, b, c ∈ R (tedy distributivita sčítání vzhledem k násobení). Pak je (R, +, ·, −, 0, 1) okruh. Příklady Příklady okruhů: • Množina Z s operacemi sčítání a násobení, inverzem vůči sčítání – unárním minus a neutrálními prvky 0 a 1. • Množina všech lineárních zobrazení na Rn s operacemi sčítání a skládání, „opačnýmÿ zobrazením (kde (−f )(x) = −(f (x))), nulovým zobrazením a identitou (pro obecná zobrazení toto nefunguje, neplatí distributivita) Poznámka (Vlastnosti okruhů) V okruhu (R, +, ·, −, 0, 1) pro každé 2 prvky a, b ∈ R platí: 1. 2. 3. 4.
0·a=a·0=0 (−a) · b = a · (−b) = −(a · b) (−a) · (−b) = a · b |R| > 1 ⇔ 0 6= 1
Definice (těleso) Těleso je okruh (F, +, −, ·, 0, 1), pro který navíc platí, že pro každé x ∈ F kromě nuly existuje y ∈ F takové, že x · y = y · x = 1, tj. pro všechny prvky kromě nuly existuje inverzní prvek vůči operaci „·ÿ – „x−1 ÿ. Navíc v F musí platit, že 0 6= 1 (vyloučení triviálních okruhů). Komutativní těleso je takové těleso, ve kterém je operace „·ÿ komutativní. Příklady Příklady těles: • Tělesa C a R • Racionální čísla Q = { ab |a, b ∈ Z, b 6= 0} • Zpn = {0, . . . , pn − 1}, kde p je prvočíslo a n přirozené číslo – tzv. Gallois field, pro dané p a n existuje vždy až na isomorfismus (přejmenování prvků) jen jedno. Všechna uvedená tělesa jsou komutativní. Obecně všechna konečná tělesa jsou komutativní (Wedderburnova věta).
3
8.2
Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
Definice (podalgebra) Množina B je uzavřená na operaci α, když ∀b1 , . . . bn ∈ B platí α(b1 , ...bn ) ∈ B. Pro algebru (A, αi |i ∈ I) je množina B ⊆ A spolu s operacemi αi podalgebra A, je-li množina B uzavřená na operaci αi ∀i ∈ I. Definice (podgrupa) Podalgebra grupy je podgrupa (tj. jde o podmnožinu pův. množiny prvků, uzavřenou na „·ÿ a „−1 ÿ, spolu s původními operacemi). Podgrupa H grupy G je normální, pokud pro každé g ∈ G (z původní množiny!) a pro každé h ∈ H platí, že g −1 · h · g ∈ H (někdy se píše zkráceně G−1 HG ⊆ H). Poznámka (Vlastnosti podgrup) Průnik podgrup G ∩ H je opět podgrupa. To určitě neplatí o sjednocení G ∪ H (to je podgrupou jen pokud je G ⊂ H nebo H ⊂ G). Každá podmnožina grupy má nějakou nejmenší podgrupu, která ji obsahuje – to je podgrupa generovaná touto množinou. Podgrupa (i grupa) generovaná jedním prvkem se nazývá cyklická. Každá podgrupa cyklické grupy je také cyklická. Podgrupy každé grupy společně s průnikem jako infimem a podgrupou generovanou sjednocením jako supremem tvoří úplný svaz (algebru se dvěma operacemi se speciálními vlastnostmi, supremem a infimem, definovanými pro všechny její podmnožiny). Úplný svaz se stejnými operacemi tvoří také normální podgrupy (jde o podsvaz prvního). Příklady Příklady podgrup: • G a {e} jsou vždy normální podgrupy grupy (G, ·,−1 , e). • Množina Z(G) = {z ∈ G|gz = zg ∀g ∈ G} je normální podgrupou G („centrum grupyÿ). • Z8 má dvě netriviální podgrupy – {0, 4} a {0, 2, 4, 6} (je sama cyklická, takže obě jsou cyklické), plus samozřejmě triviální Z8 a {0}. Definice Pro grupu G a její podgrupu H se relace rmodH definuje předpisem : (a, b) ∈ rmodH ≡ ab−1 ∈ H. Symetricky se definuje relace lmodH ((a, b) ∈ lmodH ≡ a−1 b ∈ H). Tyto relace jsou ekvivalence. Index podgrupy v grupě je [G : H] = |G/rmodH | = |G/lmodH | (počet tříd ekvivalence podle rmodH nebo lmodH ). Věta (Lagrangeova) Pro grupu G a její podgrupu H platí: |G| = [G : H] · |H|. Z toho plyne, že velikost podgrupy dělí velikost konečné grupy.
4
Definice (faktorgrupa) Pro grupu (G, ·,−1 , e) a nějakou její normální podgrupu N je faktorgrupa G/N = {gn|g ∈ G, n ∈ N }. Běžně se definuje jako množina všech levých rozkladových tříd podle nějaké normální podgrupy (kde levá rozkladová třída podle podgrupy je gH = {gh|h ∈ H}). Faktorgrupa cyklické nebo abelovské grupy je také cyklická, resp. abelovská. Příklady Příklady faktorgrup: • Pro grupu celých čísel Z a její normální podgrupu sudých celých čísel 2Z je Z/2Z faktorgrupou, isomorfní s grupou {0, 1}. Podobně to platí pro libovolné nZ, kde n je přirozené. • R/Z je faktorgrupa grupy R (rozkladové třídy jsou tvaru a + Z, kde a je reálné číslo v intervalu h0, 1). • Faktorová grupa Z4 /{0, 2} je isomorfní se Z2 . Definice (kongruence) Obecně v algebrách je relace ρ slučitelná s operací α arity n, pokud a1 , . . . an , b1 , . . . bn : (ai , bi ) ∈ ρ ∀i implikuje (α(a1 , . . . an ), α(b1 , . . . bn )) ∈ ρ. Kongruence je každá ekvivalence slučitelná se všemi operacemi algebry. Poznámka Faktorgrupa je vlastně grupa, v níž jsou jednotlivé prvky třídy ekvivalence na původní grupě podle nějaké kongruence (levé rozkladové třídy tvoří kongruence). Definice (ideál) Nechť (R, +, ·, −, 0, 1) je okruh a I ⊆ R. Pak I je pravý ideál, pokud I ≤ (R, +, −, 0) (tzn. I je podgrupou grupy R; je i normální, protože grupa R je z definice okruhu komutativní) a pro každé i ∈ I a r ∈ R platí i · r ∈ I. Levý ideál se definuje stejně, jen poslední podmínka zní r · i ∈ I. Každý levý i pravý ideál I je podle této definice uzavřený na násobení. I je ideál, pokud je pravý a zároveň levý ideál. Ideál je netriviální (vlastní), pokud I 6= R a I 6= {0}. Příklady Příklady ideálů: • {0} a R jsou (nevlastní, triviální) ideály v každém okruhu R • Sudá celá čísla tvoří ideál v okruhu Z, podobně to platí pro nZ, kde n je přirozené. • Množina polynomů dělitelných x2 + 1 je ideálem v okruhu všech polynomů s 1 proměnnou a reálnými koeficienty • Množina matic n × n s nulovým posledním sloupcem vpravo je levý ideál v okruhu všech matic n×n, není to ale pravý ideál (podobně s řádky a opačnými ideály)
5
Poznámka (Vlastnosti ideálů) Průnik (levých, pravých) ideálů tvoří opět (levý, pravý) ideál. Ideál generovaný podmnožinou X okruhu R je průnik všech ideálů v R, které X obsahují. Všechny ideály nad nějakým okruhem s průniky a ideály generovanými sjednocením tvoří úplný svaz. I je maximální ideál, pokud je netriviální a žádný jiný netriviální ideál není jeho nevlastní nadmnožinou. Prvoideál P v okruhu R je takový ideál, že pro každé a, b ∈ R, pokud je ab ∈ P , potom musí být a ∈ P nebo b ∈ P . Prvoideály mají v některých ohledech podobné vlastnosti jako prvočísla. Je-li ideál vlastní, pak neobsahuje 1. Každý ideál je neprázdný, protože jako podgrupa (R, +, −, 0) musí obsahovat 0.
8.3
Homomorfismy grup
Obecná tvrzení o homomorfismech algeber (platí i pro grupy) Definice (homomorfismus) O zobrazení f : A → B řekneme, že je slučitelné s operací α, pokud pro každé a1 , . . . an ∈ A platí f (α(A) (a1 , ...an )) = α(B) (f (a1 ), ...f (an )). Pro algebry stejného typu (se stejným počtem operací stejné arity) je zobrazení f : A → B homomorfismus, pokud je slučitelné se všemi jejich operacemi. Bijektivní homomorfismus se nazývá isomorfismus, algebry stejného typu jsou isomorfní, existuje-li mezi nimi aspoň 1 isomorfismus. Poznámka (Vlastnosti homomorfismů) Složení homomorfismů je homomorfismus. Je-li f bijekce a homomorfismus, je f −1 taky homomorfismus. Definice (přirozená projekce, jádro zobrazení) Přirozená projekce množiny A podle kongruence ρ je πρ : A → A/ρ, kde πρ (a) = [a]ρ . Pro zobrazení f : A → B se jádro zobrazení definuje jako relace kerf předpisem (a1 , a2 ) ∈ kerf ≡def f (a1 ) = f (a2 ). Poznámka (homomorfismy a kongruence) Pro každou kongruenci ρ na libovolné algebře A je přirozená projekce πρ : A → A/ρ homomorfismus. Věta (O homomorfismu) Nechť f : A → B je homomorfismus algeber stejného typu a ρ kongruence na A. Potom: 1. existuje homomorfismus g : A/ρ → B takový, že f = gπρ právě když ρ ⊆ kerf , 2. g je navíc isomorfismus, právě když f je na (surjekce) a ρ = kerf .
6
Věta (Věty o isomorfismu) 1. Nechť f : A → B je homomorfismus algeber stejného typu, pak f (A) je podalgebra B a A /kerf je isomorfní algebře f (A). 2. Nechť ρ ⊆ η jsou dvě kongruence na algebře A. Pak algebra (A/ρ) /(η/ρ) je isomorfní algebře A /η .
Homomorfismy grup Věta (O homomorfismu grup) Je-li zobrazení f : G → H, kde G, H jsou grupy, slučitelné s bin. operací, pak je homomorfismus. (Důkaz: nejdřív dokázat slučitelnost s „eÿ a pak „−1 ÿ, oboje přímo z definice grupy.) Definice (mocnina prvku) V grupě lze definovat g n (kde n ∈ Z) jako: • g 0 = 1, • g n+1 = g · g n (n > 0), • g n = (g −1 )−n (n < 0). Mocninná podgrupa grupy G je potom cyklická podgrupa – pro nějaký prvek g ∈ G jde o množinu {. . . , g −1 , g 0 , g, g 2 , . . . }. Poznámka (O mocnině prvku) Je-li zobrazení ϕ : Z → G definováno předpisem ϕg (n) = g n (tj. jde o mocniny prvku g), kde g ∈ (G, ·,−1 , 1), pak je ϕ grupový homomorfismus (Z, +, −, 0) a (G, ·,−1 , 1). Poznámka (Vlastnosti cyklických grup) Nechť grupa (G, ·,−1 , 1) je cyklická. Potom platí: 1. Je-li G nekonečná, pak G ' (Z, +, −, 0) (je isomorfní s celými čísly). 2. Je-li n = |G| konečné, pak (G, ·,−1 , 1) ' (Zn , +, −, 0) (je isomorfní s grupou zbytkových tříd odpovídající velikosti).
8.4
Dělitelnost a ireducibilní rozklady polynomů Zdroje následujících sekcí: texty J. Žemličky k přednášce Algebra II http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zemlicka/cvic6-7/algi.htm a skripta R. El Bashira k přednášce Algebra I a II pro matematiky http://www.karlin.mff.cuni.cz/~bashir/
7
Největší společný dělitel Definice (Komutativní monoid s krácením) Monoid (S, ·, 1) je komutativní monoid s krácením, pokud operace „·ÿ je komutativní a navíc splňuje ∀a, b, c ∈ S : a · c = b · c ⇒ a = b Definice (Dělení, asociovanost) O prvcích a, b nějakého komutativního monoidu s krácením S řekneme, že a dělí b (a|b, b je dělitelné a), pokud existuje takové c ∈ S, že b = a · c. Řekneme, že a je asociován s b (a||b), jestliže a|b a zároveň b|a. Definice (Obor integrity) Obor integrity je takový komutativní okruh (R, +, ·, −, 0, 1), ve kterém platí, že a · b = 0 implikuje a = 0 nebo b = 0. Příklady 1. (Z, +, ·, −, 0, 1) je obor integrity. 2. Pro každý obor integrity (R, +, ·, −, 0, 1) je (R \ {0}, ·, 1) komutativní monoid s krácením („multiplikativní monoidÿ). Poznámka (Vlastnosti „||ÿ) V komutativním monoidu s krácením (S, ·, 1) platí pro a, b ∈ S, že a||b, právě když existuje invertibilní prvek u z S takový, že a = b·u. Relace „||ÿ tvoří kongruenci na S a faktoralgebra (S/||, ·, [1]|| ) podle této kongruence je také komutativní monoid s krácením (relace „|ÿ na něm tvoří uspořádání). Definice (Největší společný dělitel) Mějme komutativní monoid s krácením (S, ·, 1) a v něm prvky a1 , . . . , an . Prvek c nazveme největším společným dělitelem prvků a1 , . . . , an , pokud c|ai pro všechna i ∈ {1, . . . , n} a zároveň libovolný prvek d ∈ S, který dělí všechna ai dělí i c. Píšeme NSD(a1 , . . . , an ) = c. Stejně se definuje největší společný dělitel pro obory integrity (bereme obor integrity (R, +, ·, −, 1, 0) jako komutativní monoid s krácením (R \ {0}, ·, 1)). Definice (Ireducibilní prvek, prvočinitelé) Prvek c komutativního monoidu s krácením (S, ·, 1) nazveme ireducibilním, pokud c není invertibilní a zároveň c = a · b pro nějaké a, b ∈ S vždy implikuje c||a nebo c||b. Prvek c nazveme prvočinitelem, pokud není invertibilní a zároveň c|a · b pro a, b ∈ S vždy implikuje c|a nebo c|b. Na oborech integrity se prvočinitelé a ireducibilní prvky definují stejně. Věta (Vlastnosti NSD) V komutativním monoidu s krácením (S, ·, 1) pro prvky a, b, c, d, e platí: 1. d = NSD(a, b) & e = NSD(a · c, b · c) ⇒ (d · c)||e. 2. 1 = NSD(a, b) & a|(b · c) & NSD(a · c, b · c) existuje ⇒ a|c.
8
Věta (Vlastnosti prvočinitelů) V komutativním monoidu s krácením je každý prvočinitel ireducibilní. Pokud navíc pro každé dva jeho prvky existuje největší společný dělitel, je každý ireducibilní prvek prvočinitelem.
Polynomy Definice (Okruh polynomů) Nad okruhem (R, +, ·, −, 0, 1) a monoidem (M, ·, e) definujme okruh (R[M ], +, ·, −, 0, 1), kde: • • • • •
R[M ] = {p : M → R|{m|p(m) 6= 0} je konečné } P prvek p ∈ R[M ] se dá zapsat jako p = m∈M (p(m).m) P operace „+ÿ je definována jako: p + q = m∈M ((p(m) + q(m)).m) P P „·ÿ je definováno následovně: p · q = m∈M (( r·s=m p(r) · q(s)).m) další operace: P – −p = m∈M (−p(m)) · m, P – 0 = m∈M 0.m, P – 1 = (1 · e) + m∈M \{e} 0.m.
Pro okruh (R, +, ·, −, 0, 1) a monoid (N0 , +, 0) nezáporných celých čísel se sčítáním nazveme R[N0 ] (označme R[x]) okruh polynomů jedné neznámé. Jeho prvky P potom nazveme polynomy a budeme je zapisovat ve tvaru p = n∈N0 p(n).xn . Poznámka R[x] nad okruhem R je obor integrity, právě když R je obor integrity. Definice (Stupeň polynomu) Pro polynom p v okruhu R[x] nad (R, +, ·, −, 0, 1) definujeme stupeň polynomu (deg p, st p) následovně: ( největší n ∈ N0 : p(n) 6= 0, je-li p 6= 0 deg p = −1, je-li p = 0 Poznámka (Vlastnosti deg p) V okruhu R[x] nad (R, +, ·, −, 0, 1) platí pro p, r ∈ R[x]: • deg − p = deg p • deg (p + q) = max(deg p, deg q) • Je-li p = 6 0, q 6= 0, pak deg (p · q) ≤ deg p + deg q (na oborech integrity platí rovnost)
9
Věta (Dělení polynomů se zbytkem) Nechť jsou na oboru integrity (R[x], +, ·, −, 0, 1) (nad oborem integrity R) dány prvky a, b ∈ R[x]. Nechť navíc m = deg b ≥ 0 a bm je invertibilní v R. Potom existují jednoznačně určené polynomy q, r ∈ R[x] takové, že a = b · q + r a deg r < deg b. Poznámka Polynom q je podíl polynomů a a b, polynom r je zbytek při dělení.
Největší společný dělitel Definice (Eukleidovský obor integrity) Obor integrity (R, +, ·, −, 0, 1) je eukleidovský, jestliže existuje zobrazení ν : R → N0 ∪ {−1} (eukleidovská funkce), které pro každé a, b ∈ R splňuje: 1. Jestliže a|b a b 6= 0, pak ν(a) ≤ ν(b) 2. Pokud b = 6 0, existují q, r ∈ R taková, že a = b · q + r a ν(r) < ν(b) Poznámka Je-li (T, +, ·, −, 0, 1) nějaké komutativní těleso, pak T [x] je eukleidovským oborem integrity s eukleidovskou funkcí danou stupněm polynomů. Příkladem eukleidovského oboru integrity jsou např. i celá čísla (se sčítáním, násobením, unárním minus, jedničkou a nulou), kde eukleidovská funkce je funkce absolutní hodnoty prvku. Algoritmus (Eukleidův algoritmus) Na eukleidovském okruhu R s eukleidovskou funkcí ν pro dva prvky a0 , a1 ∈ R\{0} najdeme největší společný dělitel následujícím postupem: • Je-li i ≥ 1 a ai 6 | ai−1 , vezmeme ai+1 ∈ R takové, že ai−1 = ai · qi + ai+1 pro nějaké qi a ν(ai+1 ) < ν(ai ). i zvýšíme o 1 a pokračujeme další iterací. • Je-li i ≥ 1 a ai |ai−1 , potom ai = NSD(a0 , a1 ) a výpočet končí. Dá se dokázat, že se výpočet zastaví a kroky jsou dobře definované (lze nalézt ai+1 a qi ), tedy libovolné dva polynomy mají největšího společného dělitele. Poznámka Největší společný dělitel je v polynomech R[x] určen až na asociovanost (||) jednoznačně. Pro asociované polynomy p, q vždy platí, že deg p = deg q a p = r · q pro nějaké r ∈ R.
8.5
Rozklady polynomů na kořenové činitele
Rozklady polynomů
10
Poznámka (Ireducibilní polynomy) Polynom je ireducibilní, pokud není součinem dvou polynomů nižších stupňů a jeho stupeň je větší nebo roven jedné. Všechny polynomy stupně 1 jsou ireducibilní. Jedinými děliteli ireducibilního polynomu jsou asociované polynomy a nenulové skaláry (tj. polynomy stupně 0). Věta (Rozklad polynomu) Každý polynom stupně alespoň 1 má až na asociovanost jednoznačný rozklad na součin ireducibilních polynomů. Důkaz existence: indukcí podle deg p – najdeme vždy dělitel p nejmenšího možného kladného stupně, vydělíme a pokračujeme, dokud nedostaneme polynom, který nemá dělitel kladného stupně menšího než je jeho vlastní. Definice (Dosazování do polynomů) Nechť (S, +, ·, −, 0, 1) je okruh, R jeho podokruh P (R ⊂ S) na nechť P α ∈ S. Potom n zobrazení jα : R[x] → S, dané předpisem jα ( n∈N0 an .x ) = n∈N0 an · α je okruhový homomorfismus. Nazývá se dosazovací homomorfismus. Poznámka (Dosazovaní a deg p) Pro obor integrity R[x] nad oborem integrity (R, +, ·, −, 0, 1) je polynom p[x] invertibilní, právě když deg p = 0 a j0 (p) = p(0) je invertibilní na R. Definice (Kořen polynomu) Pro okruh (S, +, ·, −, 0, 1) a jeho podokruh R je kořen polynomu p ∈ R[x] takové α ∈ S, že jα (p) = p(α) = 0 (při dosazení α se polynom p zobrazí na 0). Definice (Kořenový činitel, rozklad) Je-li a = c · pk11 · . . . pknn rozklad polynomu p ∈ R[x] na ireducibilní polynomy, potom kořenovým činitelem polynomu p nazveme takové pi , které je ve tvaru x−α (tedy stupně 1 s koeficienty 1 a α). Řekneme, že polynom p ∈ R[x] se rozkládá na kořenové činitele v R[x], jestliže existuje takový jeho rozklad na ireducibilní polynomy, že všechny pi jsou kořenové činitele. Potom nazveme ki násobnostmi kořenů. Věta (kořen a kořenový činitel) Na oboru integrity R[x] nad oborem integrity R je α ∈ R kořenem polynomu p ∈ R[x], p 6= 0, právě když (x − α)|p.
Komplexní, reálné a racionální polynomy Definice (Algebraicky uzavřené těleso) Nechť T je těleso a S jeho nadtěleso. Prvek a ∈ S je algebraický nad T , pokud existuje nějaký nenulový polynom z T [x], jehož je a kořenem. Pokud žádný takový polynom neexistuje, nazývá se prvek transcendentní. Těleso T je algebraicky uzavřené, pokud všechny nad ním algebraické prvky jsou i jeho prvky (jsou v něm obsaženy).
11
Poznámka Každý polynom v okruhu polynomů o jedné neznámé nad algebraicky uzavřeným tělesem se rozkládá na kořenové činitele. Věta (Základní věta algebry) Těleso C komplexních čísel je algebraicky uzavřené. Důsledek Proto má každý polynom p(x) ∈ C[x]P stupně alespoň 1 v C[x] rozklad tvaru k1 ks p(x) = a(x − β1 ) · · · · · (x − βs ) , kde si=1 ki = n a βi jsou navzájem různá. Věta (Komplexně sdružené kořeny v C) Má-li polynom p nad C[x] s reálnými koeficienty (ai ∈ R) kořen α ∈ C, pak je jeho kořenem i α, tedy číslo komplexně sdružené s α. Důsledek Polynom p(x) ∈ R[x] stupně alespoň 1 má v R[x] rozklad tvaru p(x) = a(x − α1 )k1 · . . . (x − αr )kr · (x2 − a1 x + b1 )l1 · . . . (x2 − as x + bs )ls a polynomy x2 + aj x + bj , kde j ∈ {1, . . . s} mají za kořeny dvojice komplexně sdružených čísel (která nejsou čistě reálná). Navíc deg p = k1 + · · · + kr + 2(l1 + · · · + ls ). Důsledek Každý polynom v R[x] lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen. Věta (Ireducibilní polynomy v Q) V Q[x] existují ireducibilní polynomy libovolného stupně většího nebo rovného jedné (tj. ne vždy existuje rozklad na kořenové činitele, ani rozklad na polynomy stupně max. 2 jako v reálných číslech).
8.6
Násobnost kořenů a jejich souvislost s derivacemi mnohočlenu
Věta (o počtu kořenů) Každý nenulový polynom p ∈ R[x], kde R[x] je okruh polynomů nad oborem integrity (R, +, ·, −, 0, 1), má nejvýše deg p kořenů (plyne z vlastností deg p). Definice (vícenásobný kořen) Pro komutativní okruh (R, +, ·, −, 0, 1) a polynom p ∈ R[x] je α ∈ R vícenásobný kořen, pokud polynom (x − α)(x − α) dělí p. Definice (Derivace P polynomu) Pro polynom p = i≥0 ai xi z okruhu polynomů R[x] nad komutativním okruhem (R, +, ·, −, 0, 1) definujeme derivaci (p0 , p0 ∈ R[x]) předpisem X p0 = (i + 1)ai+1 xi i≥0
12
Poznámka (Vlastnosti derivace) Pro okruh (R, +, ·, −, 0, 1), prvek α ∈ R a polynomy p, q ∈ R[x] platí: • (p + q)0 = p0 + q 0 • (αp)0 = αp0 • (p · q)0 = p0 · q + p · q 0 Věta (derivace a vícenásobný kořen) Nad oborem integrity (R, +, ·, −, 0, 1) buď p ∈ R[x] polynom. Je-li α ∈ R jeho kořen, pak α je vícenásobný kořen, právě když je α kořenem p0 . Definice (Charakteristika oboru integrity) Pro obor integrity (R, +, ·, −, 0, 1) definujeme charakteristiku oboru integrity jako • 0 (nebo někdy ∞), pokud cyklická podgrupa grupy (R, +, 0) generovaná prvkem 1 je nekonečná. • p, pokud cyklická pogrupa grupy (R, +, 0) generovaná jedničkou má konečný řád p. Věta (derivace snižuje stupeň polynomu) Nad oborem integrity charakteristiky 0 (R, +, ·, −, 0, 1) buď p polynom (p ∈ R[x]) stupně n > 0. Potom p0 je polynom stupně n − 1. Věta (derivace a násobný kořen) Nad tělesem charakteristiky 0 (T, +, ·, −, 0, 1) buď p polynom (p ∈ T [x]) stupně alespoň 1. Potom prvek α ∈ U , kde U je nějaké nadtěleso T , je k-násobným kořenem p, právě když platí obě následující podmínky: • p(α) = jα (p) = 0, p0 (α) = 0, . . . p(k−1) (α) = 0 • p(k) (α) 6= 0 Věta (derivace a největší společný dělitel) Mějme těleso (T, +, ·, −, 0, 1) charakteristiky 0 a nad ním něm polynom p ∈ T [x] stupně alespoň 1. Potom platí: • Pokud NSD(p, p0 ) = 1, pak p nemá žádný vícenásobný kořen. • Každý k-násobný kořen p je (k − n)-násobným kořenem n-té derivace p. • Polynom q ∈ R[T ] takový, že q · NSD(p, p0 ) = p má stejné kořeny jako p, ale jednoduché. Věta Nechť (R, +, ·, −, 0, 1) je obor integrity a jeho charakteristika nedělí přir. číslo n. Potom polynomy xn − 1 a xn+1 − x v R[x] nemají vícenásobný kořen.
13
