Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008
1
12
Matice
Požadavky • • • • •
12.1
Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice, různé charakteristiky Matice a lineární zobrazení, resp. změny souřadných soustav
Matice a jejich hodnost
Definice Obdélníkové schéma sestavené z reálných a11 a12 a21 a22 A = .. .. . . am1 am2
čísel ... ... .. .
a1n a2n .. .
...
amn
nazýváme (reálnou) maticí typu m × n. Prvek aij se nazývá ij-tý koeficient matice A. Množinu všech reálných matic typu m × n značíme Rm×n . Je-li m = n, říkáme, že matice je čtvercová řádu n. Podobně definujeme množinu komplexních matic typu m×n a značíme ji Cm×n , lze takto definovat množinu matic nad libovolným tělesem. Definice (Jednotková matice) Čtvercová matice řádu n tvaru I=
0 ... 0 1 ... 0 .. . . .. . . . 0 0 ... 1
1 0 .. .
se nazývá jednotková matice. Definice (Nulová matice) Čtvercovou matici A typu m × n, pro kterou ai,j = 0 ∀i ∈ {1, . . . , m}, ∀j ∈ {1, . . . , n} nazveme nulová matice a označíme 0. Definice (Prostory související s maticí) Buď A matice typu m × n nad tělesem K. Potom jsou s ní spojené tyto vektorové prostory: • sloupcový prostor, též sloupcový modul – podprostor Km generovaný sloupci A • řádkový prostor, též řádkový modul – podprostor Kn generovaný řádky A 2
• jádro matice (Ker A) – podprostor Kn generovaný všemi řešeními soustavy Ax = 0 Je zřejmé, že elementární maticové úpravy nemění ani řádkový prostor, ani jádro. Definice (Hodnost matice) Hodnost matice A je maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A (jako vektorů), značíme ji rank(A). Hodnost matice je rovna dimenzi sloupcového prostoru (to je ekvivalentní definice). Věta (O hodnosti matice) Pro libovolnou matici A typu m × n je dimenze jejího sloupcového prostoru rovna dimenzi řádkového prostoru. Tedy hodnost matice je rovna i dimenzi řádkového prostoru a platí rank(A) ≤ min{m, n} Důkaz Pro horní trojúhelníkové matice je tato skutečnost zřejmá, dokazuje se, že Gaussova eliminace (tj. elementární maticové úpravy – násobení vhodnou regulární maticí zleva) nemění hodnost sloupcového prostoru (při operacích s řádky). Věta (O dimenzích maticových prostorů) Pro matici A s n sloupci platí: dim(Ker A) + rank(A) = n Poznámka Po provedení Gaussovy eliminace na matici A (⇒ AR ) je hodnost matice A rovna počtu nenulových řádků matice AR . Definice (Regulární matice) Čtvercová matice A se nazývá regulární, jestliže soustava Ax = 0 má jediné řešení x = 0 (tzv. triviální). V opačném případě se nazývá singulární (tj. platí Ax = 0 pro nějaký vektor x 6= 0).
12.2
Operace s maticemi a jejich vlastnosti
Součet a násobení skalárem
3
Definice (Sčítání) Nechť A, B jsou matice typu m × n. Potom jejich součtem A + B nazýváme matici typu m × n s koeficienty (A + B)ij = Aij + Bij pro i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. Jsou-li A, B různých typů, potom součet A + B není definován. Definice (Násobení skalárem) Nechť A, B jsou matice typu m × n a α skalár. Potom α · A je matice typu m × n s koeficienty (α · A)ij = α · Aij pro i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. Nikdy nepíšeme A · α. Lemma (Vlastnosti součtu matic a násobení matic skalárem) Nechť A, B, C jsou matice typu m × n a α, β skaláry. Potom platí: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
A+B =B+A (A + B) + C = A + (B + C) A+0=A A + (−1)A = 0 α(βA) = (αβ)A 1·A=A α(A + B) = αA + αB (α + β)A = αA + βA
(komutativita) (asociativita) (existence nulového prvku) (existence opačného prvku)
(distributivita) (distributivita)
Tedy prostor matic typu m × n odpovídá vektorovému prostoru.
Násobení Definice (Maticové násobení) Je-li A matice typu m × p a B matice typu p × n, potom A · B je matice typu m × n definaná předpisem (A · B)ij =
p X
Aik Bkj
k=1
pro i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n. Lemma (Vlastnosti součinu matic) Nechť A, B, C jsou matice, α skalár. Potom 1. Jestliže součin (AB)C je definován, potom i součin A(BC) je definován a platí (AB)C = A(BC). 2. Jestliže A(B + C) je definován, potom i AB + AC je definován a platí A(B + C) = AB + AC. 4
3. Jestliže (A + B)C je definován, potom i AC + BC je definován a platí (A + B)C = AC + BC. 4. Je-li AB definován, je α(AB) = (αA)B = A(αB) 5. Je-li A typu m × n, potom Im A = AIn = A. Násobení matic není komutativní - tj. obecně neplatí AB = BA. Věta (O hodnosti součinu matic) Pro matici A typu m × p a matici B typu p × n platí: rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)} Důkaz Řádkový prostor AB je určitě podprostorem řádkového prostoru matice B a sloupcový prostor AB podprostorem sloupcového prostoru matice A.
Transpozice Definice Pro matici A ∈ Rm×n definujeme transponovanou matici AT ∈ Rn×m předpisem (AT )ji = Aij (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n) Lemma (Vlastnosti transpozice) 1. 2. 3. 4.
(AT )T = A jsou-li A, B stejného typu, je (A + B)T = AT + B T (αA)T = αAT , pro každé α ∈ R je-li AB definován, je i B T AT definován a platí (AB)T = B T AT .
Definice (Symetrická matice) Matice A se nazývá symetrická jestliže AT = A. Věta Pro každou matici A ∈ Rm×n je AT A symetrická. Věta Pro každou matici A ∈ Rm×n platí rank(AT ) = rank(A).
5
12.3
Inversní matice
Věta Ke každé regulární matici A ∈ Rn×n existuje právě jedna matice A−1 ∈ Rn×n s vlastností AA−1 = A−1 A = I Naopak, existuje-li k A ∈ Rn×n matice A−1 s touto vlastností, potom je A regulární. Definice Matici A−1 s touto vlastností nazýváme inversní maticí k matici A. Poznámka Inverzní matici mají tedy právě regulární matice. Důsledek Je-li A regulární, je i A−1 regulární. Věta (Inversní matice je oboustranně inversní) Jestliže pro A, X ∈ Rn×n platí XA = I, potom A je regulární a X = A−1 . Analogicky, jestliže AX = I, potom A je regulární a X = A−1 . Věta Je-li A ∈ Rn×n regulární, potom pro každé b ∈ Rn je jediné řešení soustavy Ax = b dáno vzorcem x = A−1 b. Věta (Výpočet inversní matice) Pro čtvercovou matici A řádu n nechť je matice (A I) (tj. zřetězení sloupců matice A a jednotkové matice I řádu n) převedena Gauss-Jordanovou eliminací na tvar (I X). Potom platí: X = A−1 Jestliže Gauss-Jordanova eliminace není proveditelná až do konce, potom A je singulární a nemá inversní matici. Důkaz Víme, že Gauss-Jordanova eliminace je vlastně opakované násobení regulárními maticemi zleva. Součin všech těchto matic označme Q. Označme H∗,j j-tý sloupec nějaké (obecné) matice. Potom pro j ∈ {1, . . . , n} platí: (I X)∗,j = I∗,j = Q(A I)∗,j = (QA)∗,j , tedy QA = I, dále platí (I X)∗,n+j = X∗,j = (QI)∗,n+j = Q∗,j , takže Q = X a tedy AX = I. Věta (Vlastnosti inversní matice) Nechť A, B ∈ Rn×n jsou regulární matice. Potom platí: 1. 2. 3. 4.
(A−1 )−1 = A (AT )−1 = (A−1 )T (αA)−1 = α1 A−1 pro α 6= 0 (AB)−1 = B −1 A−1
6
12.4
Regulární matice, různé charakteristiky
Věta (Násobení regulární maticí a hodnost) Pro čtvercovou regulární matici R řádu m a matici A typu m × n platí: rank(RA) = rank(A) Důkaz Nerovnost „≤ÿ plyne přímo z věty o hodnosti součinu matic použité pro RA, opačná nerovnost z téže věty, použité na matici R−1 · (RA) = A. Věta (Násobení regulárních matic) Jsou-li A1 , A2 , . . . , Aq ∈ Rn×n regulární, q ≥ 1, potom A1 A2 . . . Aq je regulární. Důkaz Plyne přímo z předchozí věty. Poznámka (Podmínky regularity) Čtvercová A ∈ Rn×n je regulární matice, právě když: • • • • •
Její řádky jsou lineárně nezávislé Její sloupce jsou lineárně nezávislé Její hodnost je právě n AT je regulární A−1 je regulární
Další charakteristiky regulárních matic: • Matice A je regulární právě když je determinant nenulový. • Právě když po provedení Gaussovy-Jordanovy eliminace dostaneme jednotkovou matici. • Právě když lze napsat jako součin matic Ek × · · · × E2 × E1 × In , kde In je jednotková matice a E1 × Ek jsou elementární matice (odpovídají elementárním řádkovým úpravám, které matici A převádí na redukovaný, řádkově odstupňovaný tvar).
12.5
Matice a lineární zobrazení, resp. změny souřadných soustav
Definice Nechť V, W jsou vektorové prostory nad stejným tělesem (R nebo C). Zobrazení f : V → W nazýváme lineárním zobrazením jestliže 1. f (x + y) = f (x) + f (y) pro každé x, y ∈ V 2. f (α · x) = α · f (x) pro každé x ∈ V a každý skalár α.
7
Definice (Souřadnicový vektor) Nechť B = (x1 , . . . , xn ) je báze V. Každý vektor x ∈ V lze potom vyjádřit právě jedním způsobem jako lineární kombinaci vektorů báze B. Potom aritmetický vektor α1 [x]B = ... αn nazýváme souřadnicovým vektorem vektoru x v bázi B (a n = dimV a souřadnicový vektor závisí na výběru báze). Definice (Matice lineárního zobrazení) Nechť B = {x1 , . . . , xn } je báze vektorového prostoru V , B0 = {y1 , . . . , ym } je báze vekt. prostrou W a nechť f : V → W je lineární zobrazení. Potom pro každé j = 1, . . . , n lze f (xj ) zapsat právě jedním způsobem ve tvaru f (xj ) =
m X
αij yj .
i=1
Matice A = (αij ) ∈ Rm×n se nazývá maticí lineárního zobrazení f vzhledem k bázím B, B0 a značí se [f ]BB0 . Pozorování [f ]BB0 . je matice sestavená ze sloupců ([f (x1 )]B0 , . . . , [f (xn )]B0 ), které jsou souřadnicovými vektory vektorů f (x1 ), . . . , f (xn ) v bázi B0 . Věta Nechť B je báze V, B0 je báze W, a nechť f : V → W je lineární zobrazení. Potom pro každé x ∈ V platí [f (x)]B0 = [f ]BB0 .[x]B , kde napravo stojí maticový součin. Věta (Složené zobrazení a maticový součin) Nechť f : U → V , g : V → W jsou lineární zobrazení a nechť B, B0 , B00 jsou báze U, V, W. Potom platí [g ◦ f ]BB00 = [g]B0 B00 [f ]BB0 kde napravo stojí maticový součin. Věta (Matice inversního zobrazení) Je-li f : V → W isomorfismus, potom inversní zobrazení f −1 : W → V je rovněž isomorfismus a vzhledem k libovolným bázím B, B0 prostorů V, W platí: [f −1 ]B0 B = [f ]−1 BB0
8
Věta (Změna souřadnic vektoru při změně báze) Nechť jsou dány dvě báze B, B0 vektorového prostoru V . Potom pro každé x ∈ V platí: [x]B0 = [idV ]BB0 .[x]B Matice [idV ]BB0 se nazývá maticí přechodu od báze B k bázi B0 . Poznámka Předchozí vzorec vyžaduje znalost hodnot vektorů staré báze B v nové bází B0 . Typická situace ale je, že máme jen starou bázi B a pomocí ní vyjádříme novou bázi B0 . V tom případě můžeme použít vzorec [x]B0 = [idV ]−1 B0 B [x]B
9
