Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008
1
14
Vlastní čísla a vlastní hodnoty
Požadavky • • • • •
Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního operátoru resp. čtvercové matice. Jejich výpočet. Základní vlastnosti. Uvedení matice na diagonální tvar. Informace o Jordanově tvaru v obecném případě.
Otázka vychází především ze skript pana Jiřího Tůmy a částečně i ze skript pana Jiřího Rohna.
14.1
Definice
Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n s reálnými (komplexními) prvky. Jestliže platí Ax = λx
(1)
pro jisté λ ∈ C a pro nenulový vektor x ∈ Rn×1 (Cn×1 ). Pak λ nazveme vlastním číslem matice A a vektor x vlastním vektorem příslušným k tomuto vlastnímu číslu. Množinu všech vlastních čísel matice A nazýváme spektrum matice A a označujeme ji σ(A). Funkci p(λ) = det(A − λIn ) nazveme charakteristický polynom matice A. Pozorování Z definice přímo plyne: λ ∈ σ(A) ⇔
matice A − λIn
je
singulární
⇔ det(A − λIn ) = 0
Poslední podmínka nám říká, jak najít vlastní čísla matice, pokud existují. Vlastní vektory vypočteme úpravou (1) na: (A − λIn )x = 0 Definice Je-li F : V →V lineární operátor na reálném (komplexním) vektorovém prostoru V, pak skalár λ nazýváme vlastní číslo lineárního operátoru V, pokud existuje nenulový vektor x ∈ V, pro který platí F (x) = λx. Je-li λ vlastní číslo operátoru F, pak každý vektor x ∈ V, pro který platí F (x) = λx, nazýváme vlastní vektor lineárního operátoru F příslušný vlastnímu číslu λ. Množinu všech vlastních čísel operátoru F označujeme σ(F ) a nazýváme spektrum operátoru F .
2
Definice (podobné matice, diagonalizovatelnost) Řekneme, že matice A a B jsou podobné, pokud existuje nějaká regulární matice P taková, že platí B = P−1 AP. Reálná(komplexní) matice A řádu n se nazývá diagonalizovatelná, pokud existuje regulární reálná(komplexní) matice P řádu n, pro kterou platí, že součin P−1 AP je diagonální matice, tj. pokud matice A je podobná nějaké diagonální matici. Lineární operátor F : V →V na reálném(komplexním) vektorovém prostoru V se nazývá diagonalizovatelný, pokud existuje báze B prostoru V, pro kterou platí, že matice [F ]B operátoru F vzhledem k bázi B je diagonální.
14.2
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů
Příklad 3 2 3−λ 2 A= , spočítáme tedy kdy se det =0 2 6 2 6−λ 3−λ 2 det = (3 − λ)(6 − λ) − 4 = λ2 − 9λ + 14 2 6−λ
λ2 − 9λ + 14 = 0 dává dvě řešení: λ1 = 2 a λ2 = 7 vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ1 = 2: 3 2 2 0 1 2 − = 2 6 0 2 2 4 1 2 x = 0 ⇒ x = (−2, 1) 2 4 vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ2 = 7: 3 2 7 0 −4 2 − = 2 6 0 7 2 −1 −4 2 x = 0 ⇒ x = (1, 2) 2 −1
14.3
Vlastnosti
Věta (vlastnosti vlastních čísel) Pro komplexní čtvercovou matici A řádu n platí: 1. charakteristický polynom matice A řádu n je polynom stupně n s vedoucím koeficientem rovným (−1)n 2. komplexní číslo λ je vlastním číslem matice A právě když je kořenem charakteristického polynomu p(λ) matice A 3
3. matice A má n vlastních komplexních čísel, počítáme-li každé tolikrát, kolik je jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu 4. pokud A je reálná matice, pak λ ∈ σ(A) právě když komplexně sdružené λ ∈ σ(A) Důkaz 1. plyne z definice determinantu. 2. ∃x 6= 0 : Ax = λx ⇔ Ax − λx = 0 ⇔ (A − λIn )x = 0, tj. matice (A − λIn ) je singulární, takže musí mít nulový determinant. 3. plyne ze Základní věty algebry. 4. taktéž.
Věta Determinant čtvercové matice je roven součinu jejích vlastních čísel. Věta Vlastními čísly horní(dolní) trojúhelníkové matice jsou právě všechny diagonální prvky. Věta Je-li A reálná symetrická matice, pak každé vlastní číslo matice A je reálné. Věta Je-li A čtvercová reálná(komplexní) matice řádu n, P reálná(komplexní) regulární matice stejného řádu a B = P−1 AP, pak obě matice A a B mají stejný charakterictický polynom a tedy i stejné spektrum. Důkaz det(P−1 AP − tI) = det(P−1 AP − tP−1 IP) = det(P−1 ) · det(A − tI) · det(P) = det(A − tI). Věta Jsou-li A, B čtvercové matice stejného typu, potom AB a BA mají stejná vlastní čísla.
14.4
Uvedení matice na diagonální tvar
Věta (O diagonalizovatelnosti a bázi) Čtvercová reálná(komplexní) matice A řádu n je diagonalizovatelná, právě když existuje báze prostoru Rn (Cn ), která je složena z vlastních vektorů matice A. Lineární operátor F : V →V na reálném(komplexním) vektorovém prostoru V je diagonalizovatelný právě když existuje báze prostoru V složená z vlastních vektorů operátoru F .
4
Důkaz Je-li A diagonalizovatelná, znamená to, že existuje regulární matice R taková, že R−1 AR = D (a D je diagonální), což je to samé jako AR = RD. Sloupce matice R tvoří vlastní vektory příslušné vlastním číslům matice A. R je regulární, takže vlastní vektory jsou lineárně nezávislé a tedy tvoří bázi. Mám-li n lineárně nezávislých vlastních vektorů, mohu z nich sestavit matici R a pro ní už platí, že R−1 AR = D. Důsledek Je-li A čtvercová matice řádu n a P regulární matice taková, že P−1 AP = D pro nějakou diagonální matici D, pak na hlavní diagonále matice D jsou všechna vlastní čísla matice A. Věta (Vlastní čísla a diagonalizovatelnost) Platí: 1. Jsou-li λ1 , ..., λm navzájem různá vlastní čísla matice A řádu n a ui 6= 0 je vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λi pro libovolné i = 1, ..., m, pak je posloupnost vektorů u1 , . . . , um lineárně nezávislá. 2. Má-li matice A řádu n celkem n navzájem různých vlastních čísel, pak je diagonalizovatelná. 3. Má-li lineární operátor F : V → V celkem n navzájem různých vlastních čísel, pak je diagonalizovatelný. Důkaz 1. indukcíPa sporem, u1 , . . . , uk dávají nejmenší protipříklad, pak z rovnice 0 = Pk k A0 = i=1 ai λi ui a 0 = λk · 0 = λk · i=1 ai ui , pak dostávám spor (buď byly u1 , . . . , uk−1 závislé, nebo je uk nulové) 2. z n lineárně nezávislých vlastních vektorů sestrojím matici R a platí AR=RD, kde D je diagonální matice s vlastními čísly na diagonále.
Věta (O diagonalizovatelnosti a násobnostech) Čtvercová reálná(komplexní) matice A řádu n je diagonalizovatelná, právě když pro každé vlastní číslo λ matice A platí, že algebraická násobnost λ se rovná dimenzi nulového prostoru matice A − λIn , tj. číslu dim N (A − λIn ). Neboli: čtvercová matice A řádu n je diagonalizovatelná, právě když pro každé její vlastní číslo λi s násobností ri platí rank(A − λi I) = n − ri . Důkaz Matice je diagonalizovatelná, právě když existuje báze prostoru Cn (Rn ), složená z vlastních vektorů, a tu lze rozložit na k bází Ker(A − λI), které mají dimenzi ri .
5
Věta (spektrální věta pro diagonalizovatelné matice) Čtvercová matice A řádu n se spektrem σ(A) = {λ1 , ..., λt } je diagonalizovatelná právě když existují matice E1 , ..., Et řádu n, pro které platí: 1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
14.5
A = λ1 E1 + λ2 E2 + ... + λt Et Ei 2 = Ei pro každé i = 1, 2, ..., t Ei Ej = 0 pro libovolné dva různé indexy i, j = 1, 2, ..., t E1 + E2 + ... + Et = In Dále pro diagonalizovatelnou matici A platí, že matice Ei jsou jednoznačně určené maticí A a vlastnostmi 1,2,3,4 hodnost každé z matic Ei se rovná algebraické násobnosti vlastního čísla λi je-li f (x) = c0 + c1 x + ... + ck xk libovolný polynom s komplexními koeficienty, pak platí f (A) = c0 In + c1 A + ... + ck Ak = f (λ1 )E1 + f (λ2 )E2 + ... + f (λk )Ek nějaká matice B komutuje s maticí A (tj. AB = BA) právě tehdy, když komutuje s každou z matic Ei pro i = 1, 2, ..., t
Jordanův tvar v obecném případě
Definice (Jordanův tvar) Diagonalizovatelné matice mají dobře pochopitelnou strukturu popsanou ve spektrální větě. Matice, které nelze diagonalizovat, nemají bázi složenou z vlastních vektorů, musí mít nějaké vícenásobné vlastní číslo λ, pro které je dimenze nulového prostoru N (J − λIn ) menší než algebraická násobnost čísla λ. (viz věta o diagonalizovatelnosti a násobnostech) Příklad takové matice řádu n, pro n ≥ 2 λ 1 0 0 ··· 0 0 0 λ 1 0 · · · 0 0 0 0 λ 1 · · · 0 0 J = 0 0 0 λ · · · 0 0 .. .. ... . . 0 0 0 0 · · · λ 1 0 0 0 0 ··· 0 λ Všechny prvky na diagonále se rovnají stejnému číslu λ, všechny prvky bezprostředně nad hlavní diagonálou se rovnají 1, ostatní prvky jsou nulové. Pozorování Charakteristický polynom matice J se rovná: p(t) = (λ − t)n
6
Pozorování Matice J−λIn je v řádkově odsťupňovaném tvaru, její hodnost se rovná n−1 a její nulový prostor N (J − λIn ) má proto dimenzi rovnou 1, což se nerovná algebraické násobnosti vlastního čísla λ, matice J tedy není diagonalizovatelná. Definice (Jordanova buňka) Matice J se nazývá Jordanova buňka řádu n příslušná vlastnímu číslu λ. Věta (O Jordanově kanonickém tvaru) Pro každou čtvercovou matici A existuje regulární matice P taková, že J1 0 0 · · · 0 0 J2 0 · · · 0 0 0 J3 · · · 0 −1 P AP = .. .. . . . . . 0 0 0 · · · Jk kde každá z matic Ji pro i = 1, ..., k je Jordanova buňka nějakého řádu ni příslušná vlastnímu číslu λi . Čísla λ1 , ..., λk jsou všechna, nikoliv nutně různá, vlastní čísla matice A a platí dále n1 + ... + nk = n. Dvojice ni , λi pro i = 1, ..., k jsou maticí A určené jednoznačně až na pořadí (tj. reprezentují třídu podobných matic). Definice (Hermitovskost) Nechť A je komplexní matice, potom matici AH , pro kterou platí, že (AH )ij = aji nazýváme hermitovskou transpozicí matice A (někdy se používá název „konjugovaná maticeÿ). Komplexní čtvercová matice A se nazývá unitární, pokud platí, že AH A = I. Komplexní čtvercová matice A se nazývá hermitovská, pokud AH = A. Pozorování Platí: (AB)H = BH AH (důkaz je stejný jako pro obyčejnou transpozici). Věta (O hermitovských maticích) Každá hermitovská matice A má všechna vlastní čísla reálná ( i když je sama komplexní). Navíc existuje unitární matice R taková, že R−1 AR je diagonální. (tzn. hermitovská matice je diagonalizovatelná). Důsledek Interpretace v R: Pro každou symetrickou matici A platí, že všechna její vl. čísla jsou reálná a navíc existuje ortogonální matice R: R−1 AR je diagonální. Příslušný vl. vektor x lze vzít reálný, protože (A − λI)x = 0 – soustava lin. rovnic s reálnou singulární maticí – musí mít netriviální reálné řešení.
14.6
Spektrální věta - část důkazu Tato část není v požadavcích ke zkouškám!
7
Důkaz Důkaz spektrální věty je poměrně dlouhý - několik stránek, uvedu zde tedy jen část důkazu, doufám že tu lehčí :) „A je diagonalizovatelná ⇒ vlastnosti 1,2,3,4ÿ Nechť mi je algebraická násobnost vlastního čísla λi pro i = 1, ..., t. Matice A je diagonalizovatelná, tedy dle Definice 3 existuje regulární matice P řádu n taková, že součin P−1 AP je diagonální matice, a tato diagonální matice má na diagonále vlastní čísla matice A dle důsledku tvrzení 7 TODO. Tedy λ1 Im1 0 ··· 0 0 λ2 Im2 · · · 0 −1 (2) P AP = .. .. .. . . . . . . 0 0 · · · λt Imt kde Imi jsou jednotkové matice řádu mi . Označíme pro i = 1, ..., t symbolem Di matici, kterou dostaneme z blokové matice na pravé straně poslední rovnosti tak, že nahradíme všechny výskyty vlastního čísla λi číslem 1 a výskyty ostatních vlastních čísel λj pro j 6= i číslem 0. Například 0 0 ··· 0 0 Im · · · 0 2 D2 = .. .. .. . . . . . . 0 0 ··· 0 Jedná se vlastně o ”částečnou” jednotkovou matici, která má pouze na části diagonály čísla 1. Pak platí: In = D1 + D2 + ... + Dt −1
P AP = λ1 D1 + λ2 D2 + ... + λt Dt A = λ1 PD1 P−1 + λ2 PD2 P−1 + ... + λt PDt P−1 V první rovnosti jsme vlastně jen sečetli ”částečné jednotkové matice” Di a výsledek je jednotková matice. Pokud všechny matice Di vynásobíme vlastními čísly λi a sečteme je, dostaneme matici na pravé straně rovnice (2). A ve třetí rovnosti se jen zbavíme matic P a P−1 na levé straně. Položíme Ei = PDi P−1 pro i = 1, ..., t a dostaneme tak z třetí rovnosti vlastnost 1. Protože Di 2 = Di a Di Dj = 0 pro libovolné různé indexy i, j, = 1, ..., t , dostáváme Ei 2 = PDi P−1 PDi P−1 = PDi 2 P−1 = PDi P−1 = Ei Ei Ej = PDi P−1 PDj P−1 = PDi Dj P−1 = P0P−1 = 0 E1 + ... + Et = PD1 P−1 + ... + PDt P−1 = P(D1 + ... + Dt )P−1 = = PIn P−1 = In 8
což dokazuje vlastnosti 2,3,4. V první rovnosti jsme využili, že Di 2 = Di , ve druhé jsme využili Di Dj = 0 a ve třetí In = D1 + D2 + ... + Dt . Opačnou implikaci, tedy že z vlastností 1,2,3,4 plyne diagonalizovatelnost matice nebudu dokazovat. Ze zbývajících vlastností 5,6,7,8 dokážu vlastnosti 6 a 7. Vlastnost 6 Matice Di (z předchozího důkazu), má hodnost mi , proto má tutéž hodnost i matice Ei = PDi P−1 , což dokazuje 6. Vlastnost 7 Tento důkaz vypadá na první pohled odporně ale nenechte se odradit :) je to pouze rozepisování sum. Dle vlastnosti 1 : A2 = (λ1 E1 + ... + λt Et )(λ1 E1 + ... + λt Et ) to se rovná (jen přepsaní na sumu, násobení každý s každým) t X
λi E i λj E j
i,j=1
dáme li matice k sobě, vznikne nám Ei Ej což je dle vlastnosti 3 rovno nule (pro různé indexy i a j), tyto násobení tedy můžeme ignorovat a přepsat sumu tak, aby se mezi sebou násobili pouze matice se stejným indexem. Dále víme z vlasnosti 2 že Ei 2 = Ei , tedy t t X X λi 2 E i λi 2 E i 2 = i=1
i=1
jestliže nyní předpokládáme l
A =
t X
λi l E i
i=1
pro nějaké l ≥ 2, pak dostáváme (a upravujeme stejně jako v předchozím případě) Al+1 = (λ1 E1 + ... + λt Et )(λ1 l E1 l + ... + λt l Et l ) = =
t X
l
l
λi E i λj E j =
i,j=1
t X
λi
l+1
i=1
2
Ei =
t X
λi l+1 Ei
i=1
Protože rovněž platí A0 = In = E1 + ... + Et = λ1 0 E1 + ... + λt 0 Et tedy jsme dokázali, že rovnost Al =
t X i=1
9
λi l E i
platí pro každé nezáporné celé číslo l. Pro každé číslo j = 0, ...k dostáváme j
cj A = cj
t X
λi j E i
i=1
a tedy platí f (A) =
k X j=0
cj Aj =
k X j=0
t t X k t X X X j j cj ( λi E i ) = ( cj λi )Ei = f (λi )Ei i=1
i=1 j=0
10
i=1
