Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008
1
7
Diferenciální rovnice
Požadavky • Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu • lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty • Jejich řešení a speciální vlastnosti. Vypracováno podle textu Dr. M. Klazara pro Matematickou analýzu III http://kam.mff.cuni.cz/~klazar/vseMAIII.pdf
7.1
Obyčejné diferenciální rovnice
Definice (Diferenciální rovnice) Diferenciální rovnice je (neformálně) rovnicový popis relací mezi hodnotami derivací nějakých neznámých funkcí. Rozlišují se dva druhy diferenciálních rovnic (přičemž my se omezíme na první z nich, a ještě speciálnější): • Obyčejné diferenciální rovnice - takové rovnice, kde vystupují pouze derivace funkcí jedné proměnné • Parciální diferenciální rovnice - v nich se objevují parciální derivace funkcí více proměnných. Definice (Obecný tvar obyčejné diferenciální rovnice) Obyčejná diferenciální rovnice v obecném tvaru pro neznámou funkci y = y(x) vypadá následovně: F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0 (a F je nějaká funkce n + 2 proměnných.) Nejvyšší řád derivace, která se v rovnici vyskytuje, označujeme jako řád rovnice. Definice (Lineární diferenciální rovnice) Speciálním případem obyčejných diferenciálních rovnic jsou rovnice lineární. Jsou to všechny rovnice, které se dají zapsat ve tvaru: an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = b(x) Funkce ai (x) a b(x) jsou zadané a y = y(x) je neznámá. b(x) se označuje jako pravá strana rovnice. Je-li funkce b(x) identicky nulová, mluvíme o takové rovnici jako o homogenní. Definice (Algebraické diferenciální rovnice) Pokud je F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) = 0 (obyčejná) diferenciální rovnice a F je nějaký polynom, mluvíme o této rovnici jako o algebraické. Lineární diferenciální rovnice jsou speciálním případem algebraických. Definice (Řešení diferenciální rovnice) Řešením diferenciální rovnice F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) = 0 rozumíme dvojici (y, I), kde I ⊆ R je otevřený interval a y : I → R je na I n-krát diferencovatelná funkce, pro níž v každém bodě a intervalu I platí F (a, y(a), y 0 (a), y (n) (a)) = 0.
2
7.2
Řešení některých speciálních typů obyčejných diferenciálních rovnic
TODO • • • •
7.3
Metoda integračního faktoru (pro 1 lin. rovnici) Variace konstant (pro 1 lin. rovnici) Separované proměnné Exaktní rovnice
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
Definice (Soustava lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu) Diferenciální rovnice 1. řádu jsou takové, ve kterých se vyskytují maximálně první derivace. Soustavou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu rozumíme soustavu rovnic yi0 = ai,1 y1 + · · · + ai,n yn + bi 1 ≤ i ≤ n a yi je n neznámých funkcí, ai,j = ai,j (x) a bi = bi (x) jsou zadané funkce (celkem je jich n2 + n) na otevřeném intervalu I ⊆ R. Maticově lze totéž vyjádřit jako: y 0 = Ay + b Poznámka (Převod jedné rovnice n-tého řádu na soustavu prvního řádu) Je zřejmé, že funkce y = y(x) je na otevřeném intervalu I řešením rovnice F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0 , právě když jsou funkce y, y1 , y2 , . . . , yn řešením soustavy y1 = y 0 y2 = y10 .. . 0 yn = yn−1 F (x, y, y1 , . . . , yn ) = 0 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu je pak ekvivalentní soustavě lin. rovnic 1. řádu: y1 = y 0 .. . 0 yn = yn−1 yn + an−1 yn−1 + · · · + a0 y + b = 0
3
Věta (O jednoznačném řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic) Nechť ai,j , bi : I → R jsou spojité funkce definované na I pro i ∈ {1, . . . , n}. Potom soustava lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu y 0 (x) = Ay(x) + b s počátečními podmínkami y(α) = β (kde α ∈ I, β ∈ Rn ) má na I jednoznačné řešení, tj. existuje právě jedna matice funkcí y1 , . . . , yn se spojitými derivacemi (neboli z množiny C 1 (I)), která splňuje yi (α) = βi , yi0 (x) =
n X
ai,j (x)yj (x) + bi (x)
j=1
pro každé i ∈ {1, 2, . . . , n} a každé x ∈ I. Důsledek Pokud se dvě řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu shodují v jednom bodě intervalu I, pak se shodují na celém I. Definice (Množiny řešení homogenní a nehomogenní soustavy) Pro soustavy lineárních dif. rovnic prvního řádu definujeme: • H = {y ∈ C 1 (I)n |y 0 = Ay ∀a ∈ I} jako množinu řešení homogenní soustavy, • M = {y ∈ C 1 (I)n |y 0 = Ay + b ∀a ∈ I} jako množinu řešení nehomogenní soustavy. Věta (O množinách řešení) Pro nějakou lineární dif. rovnici prvního řádu je H z přechozí definice vektorový podprostor prostoru C 1 (I)n o dimenzi n. M je afinní podprostor C 1 (I)n dimenze n a platí ∀y ∈ M : M = y + H = {y + z|z ∈ H}. Definice (Fundamentální systém řešení) Každou bázi prostoru H = {y ∈ C 1 (I)n |y 0 = Ay ∀a ∈ I} nazveme fundamentálním systémem řešení. Definice (Wronskián) Wronského determinant neboli wronskián n-tice funkcí f1 , . . . , fn (kde fi : I → Rn a I ⊂ Rn ) je funkce W : I → R definovaná předpisem: f1,1 f1,2 · · · f1,n f2,1 f2,2 · · · f2,n W (x) = Wf1 ,...,fn = det .. .. .. . . . . . . fn,1 fn,2 · · · fn,n Tato matice funkcí se někdy označuje jako fundamentální matice.
4
Věta (Wronskián a fundamentání systém řešení) V případě, že funkce f1 , . . . , fn jsou řešením homogenní soustavy lin. diferenciálních rovnic prvního řádu (fi )0 = Afi 1 ≤ i ≤ n, platí: f1 , . . . , fn jsou lineárně závislé, právě když W (x) = 0 ∀x ∈ I. A wronskián je nulový ve všech bodech intervalu I, právě když je nulový pro jedno x ∈ I. To znamená, že pokud f1 , . . . , fn má na I v nějakém bodě nulový wronskián, pak není fundamentálním systémem řešení rovnice (fi )0 = Afi 1 ≤ i ≤ n, v opačném případě však ano. Věta (O variaci konstant pro soustavu lin. diferenciálních rovnic 1. řádu) Nechť I ⊆ Rn je otevřený interval, A : I → Rn×n , b : I → Rn spojité maticové funkce a y 1 , . . . , y n (kde y i : I → R ∀i) je fundamentální systém řešení homogenní soustavy rovnic y 0 = Ay. Nechť x0 ∈ I a y 0 ∈ Rn jsou dané počáteční podmínky a Y = Y (x) je matice funkcí fundamentálního systému řešení – fundamentální matice (jejíž determinant by byl wronskián). Pak vektorová funkce z : I → Rn daná předpisem Z x z(x) = Y (x)( Y (t)−1 b(t)dt + Y (x0 )−1 y0 ) x0
je řešením nehomogenní soustavy y 0 = Ay + b a splňuje počáteční podmínku z(x0 ) = y 0 . Poznámka Variace konstant nám dovoluje získat řešení soustavy pro nějakou konkrétní pravou stranu rovnic, známe-li fundamentální systém řešení.
7.4
Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty
Definice (Lineární rovnice s konstantními koeficienty) Rovnici R(y) tvaru an y (n) + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0 pro ai ∈ R ∀i konstanty, an nenulové a y = y(x) neznámou funkci nazveme lineární diferenciální rovnicí řádu n s konstantními koeficienty. Definiční interval I je zde I = R. Definice (Charakteristický polynom) Charakteristickým polynomem lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty rozumíme p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 . Podle základní věty algebry má množinu kořenů K(p) = {λ ∈ C|p(λ) = 0}, jejichž násobnost označíme n(λ) ∈ N.
5
Definice (Množiny F(R, C) a F(R, R)) Pro lineární dif. rovnici R(y) definujeme množiny F(R, C) = {xk · eλx |λ ∈ K(p), 0 ≤ k ≤ n(λ)} a F(R, R) = {xk · eλx |λ ∈ K(p) ∩ R, 0 ≤ k ≤ n(λ)} ∪ {xk eλx sin(µx)|λ + µi ∈ K(p), λ, µ ∈ R, µ ≥ 0, 0 ≤ k ≤ n(λ + µi)} ∪ {xk eλx cos(µx)|λ + µi ∈ K(p), λ, µ ∈ R, µ ≥ 0, 0 ≤ k ≤ n(λ + µi)} kde i značí imaginární jednotku komplexních čísel. Věta (O řešení rovnic s konstatními koeficienty) Každá funkce z F(R, C) i každá funkce z F(R, R) je řešením rovnice R(y) = 0. Věta (O lineární nezávislosti kořenů) Funkce z F(R, R) jsou lineárně nezávislé. TODO: doplnit – podle rozsahu souborkových textů???
6
