MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. 1) Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az (2 pont) A B halmaz elemeit! Megoldás:
A B 5; 7; 9 2) Az a 2 és b 1 esetén számítsa ki C értékét, ha
(2 pont)
1 1 1 ! C a b
(2 pont)
Megoldás:
C 2
(2 pont)
sin 7 1 vagy B log 2 ? (Írja a megfelelő relációs 2 4 jelet a válaszmezőbe! Válaszát indokolja!) (2 pont)
3) Melyik a nagyobb: A Megoldás:
A 1, B 2 AB
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
4) Egy dobozban húsz golyó van, aminek 45 százaléka kék, a többi piros. Mekkora annak a valószínűsége, hogy ha találomra egy golyót kihúzunk, akkor az piros lesz? (3 pont) Megoldás: A kék golyók száma: 9. A piros golyók száma: 11. kedvező esetek száma 11 P 0, 55 20 összes eset
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
5) Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha egy természetes szám osztható hattal és tízzel, akkor osztható hatvannal. (1 pont) b) A 20-nál kisebb pozitív prímszámok összege páratlan. (1 pont) c) A deltoid átlói felezik a belső szögeket. (1 pont) Megoldás: a) hamis b) igaz c) hamis
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
6)
Adja meg a lg x 2 2 lg x egyenlet megoldáshalmazát!
(2 pont)
Megoldás: A pozitív valós számok halmaza.
(2 pont)
7) Egy számtani sorozat első és ötödik tagjának összege 60. Mennyi a sorozat első öt tagjának összege? Válaszát indokolja! (3 pont) Megoldás:
a1 an n 2 60 S5 5 2 S5 150 S5
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
8) Hány olyan háromjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, amelyikben csupa különböző számjegyek szerepelnek? (2 pont) Megoldás:
5 4 3 60
(2 pont)
9) Mely valós számokra teljesül a egyenlőség?
0; 2
intervallumon a
1 2 (2 pont)
sin x
Megoldás:
6 5 x2 6
x1
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
10) Fejezze ki az i és a j vektorok segítségével a c 2a b vektort, ha a 3i 2 j és b i 5 j ! (3 pont) Megoldás:
c 2a b ; c 2 3 i 2 j i 5 j
(1 pont)
c 6i 4 j i 5 j
(1 pont)
c 7i 9 j
(1 pont) Összesen: 3 pont
11) Öt szám átlaga 7. Az öt szám közül négyet ismerünk, ezek az 1, a 8, a 9 és a 12. Határozza meg a hiányzó számot! Válaszát számítással indokolja! (3 pont) Megoldás: Legyen az ötödik szám x, ekkor
x 5
1 8 9 12 x 7 5
12) Adja meg a 2; 3 intervallumon értelmezett értékkészletét!
(1 pont) (2 pont) Összesen: 3 pont
f x x 2 1 függvény (3 pont)
Megoldás: A függvény legkisebb értéke az 1, (1 pont) az adott intervallum végpontjaiban a függvény értéke 5, illetve 10, (1 pont) a függvény értékkészlete az 1;10 intervallum. (1 pont) Összesen: 3 pont
II/A. 13) a) Mely pozitív egész számokra igaz a következő egyenlőtlenség? (4 pont) 5x 2 513 2x b) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet!
9
x
3x 3
(8 pont)
Megoldás: a)
Az (5 alapú exponenciális) függvény szigorúan monoton növekedése miatt (1 pont)
x 2 13 2x x 5 Az egyenlőtlenség megoldása: 1; 2; 3; 4 b) x 0 32
x
3x 3
(1 (1 (1 (1
pont) pont) pont) pont)
(1 pont)
A (3 alapú exponenciális) függvény szigorú monotonitása miatt 2 x x 3 (1 pont)
4x x 2 6x 9
(1 pont)
x 2 10x 9 0
(1 pont)
x1 1 x 2 9
(1 pont)
Az x 1 nem megoldása az egyenletnek. Az egyenlet megoldása a valós számok halmazán az x 9 . (2 pont) Összesen: 12 pont
14) Az iskola rajztermében minden rajzasztalhoz két széket tettek, de így a legnagyobb létszámú osztályból nyolc tanulónak nem jutott ülőhely. Minden rajzasztalhoz betettek egy további széket, és így hét üres hely maradt, amikor ebből az osztályból mindenki leült. a) Hány rajzasztal van a teremben? Hányan járnak az iskola legnagyobb létszámú osztályába? (6 pont) A rajzterem falát (lásd az ábrán) egy naptár díszíti, melyen három forgatható korong található. A bal oldali korongon a hónapok nevei vannak, a másik két korongon pedig a napokat jelölő számjegyek forgathatók ki. A középső korongon a 0, 1, 2, 3; a jobb szélsőn pedig a 0, 1, 2, 3, .......8, 9 számjegyek szerepelnek. Az ábrán beállított dátum február 15. Ezzel a szerkezettel kiforgathatunk valóságos vagy csak a képzeletben létező „dátumokat”. b) Összesen hány „dátum” forgatható ki? (3 pont) c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a három korongot véletlenszerűen megforgatva olyan dátumot kapunk, amely biztosan létezik az évben, ha az nem szökőév. (3 pont)
Megoldás: a)
A teremben x rajzasztal van, és az osztály létszáma y. (1 pont) (1 pont) 2x 8 y (1 pont) 3x 7 y (1 pont) x 15 és y 38 Ellenőrzés (1 pont) 15 asztal van a teremben, és a kérdéses osztálylétszám 38 fő. (1 pont) b) A lehetséges „dátumok” száma: 12 4 10 , (2 pont) tehát 480 „dátum” forgatható ki. (1 pont) c) Valóságos dátumból nem szökőévben 365 van, (1 pont) minden lehetséges „dátum” egyenlő valószínűséggel forgatható ki*, ezért 365 valóságos dátumot (2 pont) 0,7604 valószínűséggel kapunk. 480 Összesen: 12 pont
15) Egy négyzet és egy rombusz egyik oldala közös, a közös oldal 13 cm hosszú. A négyzet és a rombusz területének az aránya 2:1. a) Mekkora a rombusz magassága? b) Mekkorák a rombusz szögei? c) Milyen hosszú a rombusz hosszabbik átlója? A választ két tizedesjegyre kerekítve adja meg! Megoldás: a)
Helyes ábra (1 pont) 2 Tnégyzet a és Trombusz ama
a2 2 (3 pont) ama 1 A rombusz magassága a ma 6, 5 cm (1 pont) a m b) sin a (1 pont) a 30 (1 pont) (1 pont) 150 c) Bármelyik lehetséges derékszögű háromszögből jó összefüggést felír a hosszabbik átló segítségével, e például cos15 2 . (2 pont) 13 (1 pont) e 2 13 cos15 e 25,11 cm
(5 pont) (3 pont) (4 pont)
a a α a a
a a ma
a a a a
a a
(1 pont) Összesen: 12 pont
II/B. 16) Egy televíziós vetélkedőn 20 játékos vesz részt. A műsorvezető kérdésére a lehetséges három válasz közül kell a játékosoknak az egyetlen helyes megoldást kiválasztani, melyet az A, a B vagy a C gomb megnyomásával jelezhetnek. A vetélkedő három fordulóból áll, minden fordulóban négy kérdésre kell válaszolni. Amelyik versenyző hibásan válaszol, 0 pontot kap. A helyes válaszért annyi pont jár, ahány helytelen válasz született (pl. ha Péter jól válaszol és 12-en hibáznak, akkor Péter 12 pontot szerez). a) Töltse ki az első forduló táblázatának hiányzó adatait! Első forduló eredményei Anikó válasza Jó válaszok száma Anikó elért pontszáma
1. kérdés
2. kérdés
3. kérdés
helyes
hibás
helyes
7
10
(4 pont) 4. kérdés
8 5
0
b) Hány százalékkal növekedett volna Anikó összpontszáma az első fordulóban, ha a második kérdésre is jól válaszolt volna? (A többi játékos válaszát változatlannak képzeljük.) (3 pont) c) Ha Anikó valamelyik másik fordulóban mind a négy kérdésre találomra válaszol, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy minden válasza helyes? (3 pont) d) Hány játékosnak kell helyesen válaszolnia egy adott kérdésre ahhoz, hogy a 20 játékosnak erre a kérdésre kapott összpontszáma a lehető legtöbb legyen? (7 pont) Megoldás: a) Első forduló eredményei Anikó válasza Jó válaszok száma Anikó elért pontszáma
1. kérdés
2. kérdés
3. kérdés
4. kérdés
helyes
hibás
helyes
hibás
7
10
15
8
13
0
5
0
(4 pont) b) A 2. kérdés oszlopa így módosul: helyes, 11, 9; Anikó tehát 9 pontot kapott. (1 pont) Anikó elért pontszáma ezzel 27 lesz. Ez a régi pontszám 150 százaléka, (1 pont) tehát a pontszám 50%-kal emelkedett volna. (1 pont)
Anikó összesen 34 81 módon válaszolhat a négy kérdésre. (2 pont) Egyetlen esetben lesz minden válasza helyes, ezért a keresett valószínűség: 1 (1 pont) . 81 d) Ha x jó válasz születik a vizsgált kérdésre, akkor a jól válaszolók 20 x pontot kapnak személyenként. (1 pont) Az elért összpontszám: x 20 x . (2 pont) c)
Az x 20x x 2 függvény maximumát keressük a 20-nál kisebb pozitív egészek körében. A maximum hely (akár grafikusan, akár teljes négyzetté való kiegészítéssel, akár a számtani-mértani közép összefüggésre való hivatkozással, akár az esetek végigszámolásával) x 10 . (3 pont) Tíz játékos helyes válasza esetén lesz a játékosok összpontszáma a lehető legtöbb. (1 pont) Összesen: 12 pont 17) Szabó nagymamának öt unokája van, közülük egy lány és négy fiú. Nem szeret leveletnírni, de minden héten ír egy-egy unokájának, így öt hét alatt mindegyik unoka kap levelet. a) Hányféle sorrendben kaphatják meg az unokák a levelüket az öt hét alatt? (3 pont) b) Ha a nagymama véletlenszerűen döntötte el, hogy melyik héten melyik unokájának írt levél következik, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy lányunokája levelét az ötödik héten írta meg? (3 pont) Szabó nagymama sálat kötött egyetlen lányunokájának. Az első napon 8 cm készült el a sálból, és a nagymama elhatározta, hogy a további napokon minden nap 20 százalékkal többet köt meg, mint az előző napon. Ezt az elhatározását tartani tudta. c) Hány nap alatt készült el a 2 méter hosszúra tervezett sál? (11 pont) Megoldás: a)
A lehetséges sorrendek száma: 5! Az unokák 120-féle sorrendben kaphatják meg a levelet.
(2 pont) (1 pont)
b) Az utolsó hétre az 5 unoka bármelyike egyenlő valószínűséggel kerül. (2 pont) 1 A keresett valószínűség tehát: (1 pont) 5 c) Az egyes napokon kötött darabok hosszúságai mértani sorozatot alkotnak. (1 pont) A mértani sorozatban a1 8, q 1,2 (2 pont) A sál teljes hossza a mértani sorozat első n elemének összegeként adódik. (1 pont) n q 1 (1 pont) Sn a1 q 1 200 8
1,2n 1 0,2
5 1 1,2n
(1 pont) (1 pont)
lg 6 lg1,2 n 9,83 A sál a tizedik napon készül el. n
(2 pont)
(1 pont) (1 pont) Összesen: 17 pont 18) Egyenlő szárú háromszög alapja 40 cm, szárainak hossza 52 cm. A háromszöget megforgatjuk a szimmetriatengelye körül. (A válaszait két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) a) Készítsen vázlatrajzot az adatok feltüntetésével, és számítsa ki, hogy mekkora a keletkező forgáskúp nyílásszöge? (4 pont) b) Számítsa ki a keletkező forgáskúp térfogatát!
(3 pont)
c) Mekkora a felszíne annak a gömbnek, amelyik érinti a kúp alapkörét és a palástját? (6 pont) d) Mekkora a kúp kiterített palástjának területe? Megoldás: a) Jó vázlatrajz feltüntetésével. Ha
az
kúp nyílásszöge 20 sin 0,3846 52 Ebből 45, 24 b)
a
m 2704 400 48
c)
φ,
(2 pont) akkor
φ
(1 pont) (1 pont)
(1 pont)
52
52
(1 pont)
A kúpba írt gömb sugara megegyezik az egyenlő szárú háromszögbe írt kör (2 pont) sugarával. A háromszög alapon fekvő szöge (1 pont) 67,38 (1 pont) tg33,69 20 13,33 cm A gömb felszíne: A 2234, 01 cm2
F
(1 pont)
2
r m 400 48 3 3 V 20106,19 cm3
V
adatok
K
A
20
i R 2 20 26 2 3267,26 cm2
Tpalást
F
20 (1 pont) (1 pont)
d) A körcikk ívének hossza i 2r , i 2 20 125,66 cm
Tpalást
(4 pont)
(2 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 17 pont
B
