Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Régi latin bölcsességek Non scholae sed vitae discimus. – Nem az iskolának, hanem az életnek tanulunk. Non multa, sed multum. – Ne sokat, hanem sokszor (alaposan).

Matematika

Raktári szám: FI-503011001 ISBN 978-963-682-783-0

Litterarum radices amarae sunt, fructus dulces. – A tudomány gyökerei keserűek, gyümölcsei azonban édesek. Usus magister est optimus. – Gyakorlat teszi a mestert. Repetitio est mater studiorum. – Ismétlés a tudás anyja.

Matematika Első kötet

10 KÍSÉRLETI TANKÖNYV

10

A tankönyv megfelel az 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet: 3. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9–12. évfolyama számára 3.2.04 Matematika 6. sz. melléklet: Kerettanterv a szakközépiskolák 9–12. évfolyama számára 6.2.03 Matematika megnevezésű kerettantervek előírásainak. Tananyagfejlesztő: Barcza István, Basa István, Tamásné Kollár Magdolna Alkotószerkesztő: Barcza István Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalontay Anna Tudományos szakmai lektor: Pálfalvi Józsefné Pedagógiai lektor: Bánky Judit Olvasószerkesztő: Füleki Lászlóné, Mikes Vivien Fedél: Korda Ágnes terve alapján készítette Orosz Adél Látvány- és tipográfiai terv: Gados László, Orosz Adél IIlusztráció: Szabó Amanda, Szórády István Ödön Szakábra: Szalóki Dezső, Szalókiné Tóth Annamária Fotók: PIXABAY: 6., 9., 24., 52., 54., 77., 81., 139., 150. FLICKR: 10., 17., 25., 38., 39., 61., 68., 106., 107., 108., 109., 111., 126., 127., 128., 129., 134., 137. WIKIPEDIA: 11., 12., 18., 64., 126., 96., 141., 144. 123RF: 13. SK: 13., 71., 74. ©CULTIRIS: 48 (Somogyi-Tóth Dániel), 66 (Szikszay Ágnes), 103 ( Lugosi Lugo László). A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN 978-963-682-783-0 © Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Felelős kiadó: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI-503011001 Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála Nyomdai előkészítés: Gados László, Hontvári Judit Terjedelem: 19,0 (A/5 ív), tömeg: 449 gramm A könyvben felhasználásra került a Matematika 10. Közel a mindennapokhoz című mű, Konsept-H Könyvkiadó, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 2013, Szerzők: dr. Korányi Erzsébet és dr. Marosvári Péter. Alkotószerkesztő: Környei László. Felelős szerkesztő: Bognár Edit. Lektor: Somfai Zsuzsa. 1. kiadás, 2014 Készült a Dürer Nyomda Kft.-ben, Gyulán Felelős vezető: Kovács János

ELŐSZÓ Kedves Tizedik Osztályos!

Kedves Tanár Kollégák!

Idén is 100 leckét találsz a két kötetben. Reméljük, ismerős lesz már, ahogy a hétköznapi élet problémái mögött felfedezzük a matematikai modellt. Az újdonságok mellett természetesen igyekszünk vissza-visszapillantani a korábban tanultakra, hiszen az érettségin majd mindent egyszerre kell tudni. A két év szoros kapcsolatát az is kifejezi, hogy az idei könyvet a 101. leckével kezdjük, folytatólagosan haladunk a számozással. Bizonyára komoly kihívást jelentettek számodra a szokatlanul hosszú szöveges leírások, feladatok. Nagyon fontos azonban, hogy ezeket önállóan próbáld megfejteni, hiszen az ilyen szövegek értelmezésének jelentősége számodra messze túlmutat a matematika tudományán. Segít eligazodni a világban. Ne add fel, ha nehezen megy! Szeretnénk elérni, hogy a valós élet problémáinak megoldása révén felhalmozódó egyre több matematikai ismeret kezdjen rendszerré összeállni. Egy olyan rendszerré, amely önmagában is szép, ahol az igaz és a hamis mindig elválasztható egymástól. Ahol a kérdésekre adott válaszok igazságát mindig el lehet dönteni. Fontos azonban, hogy legyen benned kíváncsiság, akard megismerni ezt a világot, és ezért szívesen dolgozz is. g Most is megtalálod a 100 leckében az ismerős bekezdéseket. A változatoss H Á Z I F E L A DAT O K AT , köztük könnyebbet, nehezebbet. Most is arra kérünk, hogy ne a könyvben dolgozz, gy az utánad jövő évfolyamok is hanem a füzetedben, hogy használhassák a kötetet!! R Á A D Á S címen olyan érdekességeket találsz, amelyek segítenek a világ egy új szeletét megismerni, melyet továbbra sem kérdeznek ugyan az érettségi vizsgán, de hasznodra válik, gazdagítja a műveltségedet. Már tudod, hogy a K I E G É S Z Í T Ő A N YAG az emelt szintű érettségihez nélkülözhetetlen ismereteket tartalmazza. Ne feledd, hogy ezek jelentősége ebben az évben megnő, hiszen év végén döntened kell arról, hogy tizenegyedik osztályban milyen szinten tanulod tovább a matematikát. Már ismerősként üdvözölheted a tíztagú Arany családot. A család tagjai és Arany Bence barátai újabb és újabb matematikai problémákat fedeznek fel mindennapjaikban. A  jelzésű részeknél érdemes azon is elgondolkodnod, hogy a probléma hogyan oldható meg számítógép segítségével. Ehhez a tankönyv is ad ötleteket a kötet végén, de használhatod az informatikából tanultakat vagy kutathatsz a világhálón is.

A könyv Dr. Marosvári Péter, Dr. Korányi Erzsébet és Környei László tankönyvének átdolgozása. Köszönjük munkájukat és támogató segítségüket. Igyekeztünk olyan könyvet írni, amely illeszkedik napjaink kihívásaihoz, és remélhetőleg elnyeri az Önök tetszését is. Nagy gondot fordítottunk arra, hogy a könyv tényleges segítséget jelentsen mind a tanár, mind a diák órai munkájához. Mivel a tankönyvet tartós használatra szánjuk, kérjük, idén is hívják fel diákjaik figyelmét arra, hogy ne írjanak bele, hanem a füzetükben dolgozzanak! Elsődleges célunk az volt, hogy minden középiskolás számára tanítható mennyiségű, ugyanakkor szakmai szempontból igényes tananyagot állítsunk össze. A 9. osztályos könyvünket már használó kollégák beszámolói alapján látjuk, hogy sok tanulónak nehezen ment a hosszabb szövegek értelmezése. Kérjük, hogy erre a tanítás során helyezzenek nagy hangsúlyt! Engedjék, hogy a tanulók önállóan küzdjenek meg ezekkel a szövegekkel, és csak végső esetben végezzék el helyettük azok értelmezését! Ebben a kötetben is a BEVEZETŐK éss a PÉLDÁK vezetnek el az új gondolatokhoz, a F E L A DAT O K egyéni, ggy , p páros vagy gy C S O P O R T M U N K A csoportos munkára is alkalmasak. A elvégzéséhez most is adunk segítséget, és továbbra is számítunk tanár,, diák kreativitására, együttműködési készségére egyaránt.. E L M É L E T címszó alatt a problémák megoldásából levont következtetések, a korábban már tanult fontos ismeretek pontosítása olvasható. Tankönyvsorozatunknak ebben a két kötetében is törekszünk arra, hogy ráirányítsuk a figyelmet mindazokra a hétköznapi gondokra, problémákra, érdekességekre, amelyek megoldása az újonnan megismert matematikai eszközökkel lehetséges. Tankönyvünkben a hagyományostól eltérő szemléletű, a tanulói kompetenciák bővebb halmazát igénylő feladatokat jelzéssel láttuk el. Kedves Kollégák, bízzanak bennünk, hogy ha a könyv leckéi szerint haladnak, akkor a tanév végére befejezik az anyagot, és semmi sem marad ki abból, ami az érettségin előkerülhet. Ha az óraszámuk meghaladja a 100-at, akkor és e és csak is inkább egy-egy lecke anyagát bontsák kétt részre, kivételesen lépjenek túl a könyv keretein. A jelzésű részek arra hívják fel a figyelmet, hogy a probléma feldolgozását érdemes lehet számítógéppel is elvégezni. A kötet végén megadott útmutatások segíthetnek a feldolgozásban. Sikeres és örömteli munkát kívánnak a SZERZŐK.

Jó tanulást, sok örömöt kívánnak a SZERZŐK. . l e c ke

ELŐSZÓ

3

101

LAPOZZUNK BELE A KÖNYVÜNKBE!

BEVEZETŐ Arany Bence szereti az új tankönyveket. Mihelyt megkapta a 10. osztályos matekkönyvét, végiglapozta, nézegette. Feltűnt neki a 139. lecke 5. házi feladatában ez a versike:

hogy máris megoldotta a feladatát. Édesapjuk lelohasztja a lelkesedését, azzal a megjegyzéssel, hogy azért ne bízza el magát, mert egy feladatnak több megoldása is lehet. a) Milyen egyenletet írhatott fel Bence? b) Milyen megoldást találhatott Bence a fejszámolással? c) Tudsz-e más megoldást találni? d) Hány megoldása lehet ennek a feladatnak?

A majmok két víg csapatban játszadoznak egy lugasban. Nyolcadrészük négyzetét vedd, s megtudod, hány verekedett. Amott tizenketten vannak, hangoskodnak, ugrándoznak. Mondd meg gyorsan, hány majom van összesen a két csoportban! Úgy gondolta, hogy nem várja meg a 39. órát, ő már most meg tudja oldani ezt a feladatot. Fel is írt hozzá egy egyenletet. Felírta, de a megoldás már nem ment. A nővére, Hajni biztatására elkezd számolni fejben. A szövegből látja, hogy a majmok száma 12-nél nagyobb, 8-cal osztható szám. Megkeresi a legkisebb ilyen egész számot, behelyettesíti a szövegbe, s indiánüvöltéssel hozza a család tudtára,

Bence több olyan feladatot is talált, amelyeket kedve kerekedett megoldani. Válassz te is a kiválasztott feladatok közül, biztosan megbirkózol velük már most, a tanév elején is!

110. LECKE

1.

Jocóéknak téglalap alakú udvaruk van, amelynek nem egyenlő hosszúak az oldalai, Dönciéknek pedig négyzet alakú az udvaruk. Mindkét udvar területe ugyanakkora: 144 m2. Melyik udvarnak nagyobb a kerülete?

Megoldási javaslat Ha Dönciék udvara négyzet alakú, akkor könnyen kiszámítható a területből a négyzet oldala. Számítsd ki! Készíts táblázatot Jocóék kertjére vonatkozóan! A füzetedben dolgozz! Ha a téglalap egyik oldalának hossza (m),

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

akkor a szomszédos oldal hossza (m), az udvar kerülete (m).

Tehát melyik udvarnak nagyobb a kerülete? A válaszod egy sejtés, vagy be is tudod bizonyítani?

4

11

12

13

…

118. LECKE

1.

1 37. L E C K E

Szerkessz olyan négyzetet, amelynek a területe pontosan 18 cm2!

Megoldási javaslat 1. lépés: Szerkessz 9 cm2 területű négyzetet! 2. lépés: Kétszerezd meg ennek a területét az ábra felhasználásával!

4.

Egy 10 m × 14 m méretű téglalap alakú udvar közepén 45 m2 területű virágágyat készítenek úgy, hogy körben egyenlő szélességű sétány maradjon. Milyen széles lesz ez a sétány?

10 m

45 m

2

14 m

Megoldási javaslat Kísérletezz! Ha a sétány 1 m széles, akkor a virágágy – oldalainak hossza: 14 m - 2 m = 12 m, illetve 10 m - 2 m = 8 m, – területe: 12 · 8 = 96 (m2), ez nem felel meg a feladat feltételeinek, mert 96 2 45. Végezz hasonló számításokat 2 m, 3 m, 4 m széles sétány esetére! Ha nem kapsz megoldást, állapítsd meg, melyik egész számok közé esik a sétány méterben mért hosszúsága, és kísérletezz tizedes törtekkel! Könnyen megkapod, milyen széles a sétány!

1 01 . l e c ke

LAPOZZUNK BELE A KÖNYVÜNKBE!

5

146. LECKE

3.

Egy divatjamúlt kabát ára 36  000 Ft, de ezen az áron a múlt hónapban egyetlen darab sem fogyott. Ezért az üzletvezető leértékeli a kabátot, de az új áron sem kelendő. Végül kétszer akkora százalékkal csökkenti az új árat, mint az előző árcsökkentésnél. Az így kialakított 13 500 forintos áron végre a teljes készletet sikerül eladnia. Hány százalékos volt az első árcsökkentés?

Megoldási javaslat Ha 10%-os lett volna az első árleszállítás, akkor a 36  000 Ft helyett 36 000 - 3600 = 32 400 Ft-ért vehettük vol-

na meg ezt a kabátot. A második esetben még 20%-kal csökkent volna az ár, vagyis 32 400 ⋅ 0,8 = 25 920 Ft lett volna. Még ez is több a feladatban szereplő 13 500 forintnál. Ez azt jelenti, hogy az első árcsökkenés 10%-osnál nagyobb volt. Kísérletezz tovább! Ha az első árleszállítás 20%-os lett volna, akkor… Nem is kell sokáig próbálkoznod, hamarosan megkapod a helyes megoldást!

1 57. L E C K E

2.

a) Bence két részre vágott egy 70 cm hosszú nádszálat, és egy rombusz alakú papírsárkány két átlójaként a két részt összeerősítette. Így a sárkánytest területe 6 dm2 lett. Milyen hosszú spárga kellett a sárkánytest kerületének elkészítéséhez?

y x

x y

Megoldási javaslat Ha a kék átló 2x deciméter, a piros átló pedig 2y deciméter hosszúságú, akkor az adott feltételek így írhatók fel: – a nádszál hossza 7 dm, tehát 2x + 2y = 7, vagy egyszerűbben: x + y = 3,5; – a rombusz területe 6 dm2 , tehát (2x ⋅ 2y) : 2 = 6, vagy egyszerűbben: 2xy = 6, xy = 3. 1. lépés: Kísérletezéssel állapítsd meg, melyik számot jelöli az x és az y! 2. lépés: Számítsd ki a rombusz oldalhosszúságát Pitagorasz tételével! 3. lépés: Válaszolj a feltett kérdésre!

Bence hat feladatot választott a 100 lecke anyagából. A mi megoldási javaslatainkban majdnem mindegyikhez kísérletezésre, próbálgatásokra volt szükség. Amikor a tanév során elérünk ezekhez a feladatokhoz, már olyan módszereket fogsz ismerni, amelyek szükségtelenné teszik a kísérletezéseket és a próbálgatásokat.

H Á Z I F E L A DAT

6

1.

Válassz ki a Tartalomból három olyan leckét, amelyet a címe alapján érdekesnek gondolsz!

2.

Oldd meg az 159. lecke 2. házi feladatát!

3.

Oldd meg Bhászkara Lilavatijából a következő feladatot! Egy majomcsapat egy barlangban tanyázik. Közülük most csak egy látható, amelyik a barlang előt-

ti fára mászik. Hogy hányan bújnak meg a barlangban, megtudjuk, ha az összes majom 3-mal kisebbített ötödrészét négyzetre emeljük. Hány majom volt ott összesen?

Az Arany család

1 01 . l e c ke

LAPOZZUNK BELE A KÖNYVÜNKBE!

7

102

SZÁLLODA TERVEZÉSE

P É L DA Arany Bence éppen barátjával, Döncivel sakkozott, amikor beállított hozzájuk osztálytársa, Socó Jocó. Socóék nagy fába vágják a fejszéjüket: részt akarnak venni egy szállodaépítési pályázaton. Jocó elhozta Aranyékhoz az előzetes terveket, hátha Bence javaslataival segíthet szüleinek az előzetes elképzelések pontosításában. A megbeszélésbe bevonják Dédmamát is, akinek sok tapasztalata van, és híres a jó ötleteiről. – A szüleim egy halastó partján 3 emeletes családbarát szállodát terveznek. A földszinten lesznek a közösségi helyiségek, egy-egy emeleten pedig 20 kétágyas erkélyes szoba – ismerteti a terveket Jocó. – A tóra néz emeletenként 5 szoba, ezek az első osztályúak, oldalról a tóra néz mindkét oldalon szintén 5-5 szoba, ezek a másodosztályúak. A hátsó front az út felé fordul, itt vannak a harmadosztályú szobák. A másodosztályúak ára 80%-a az első osztályú szobák árának, a harmadosztályúak ára 80%-a a másodosztályú szobák árának. Mennyi a napi bevétel, ha tele a szálloda?

Megoldás Telt ház esetén így alakulna a napi bevétel: Hányad osztályú?

Hány darab van a 3 emeleten?

I.

15

II.

30

0,8A

30 · 0,8A = 24A

III.

15

0,8 ⋅ (0,8A) = 0,64A

15 ⋅ 0,64A = 9,6A

Egységár (Ft) A

Összes bevétel (Ft) 15A

Tehát a legnagyobb (maximális) napi bevétel: 15A + 24A + 9,6A = 48,6A forint lenne.

F E L A DAT

1.

8

– Mit jelent az, hogy családbarát a szálloda? – érdeklődik Bence. – Azt, hogy 2 felnőttel 2 tízévesnél fiatalabb gyerek pótágyon ingyen szállhat meg nálunk, és lesznek játszóterületek is – magyarázza Jocó. – És gondoltok az idős meg a fájós lábú vendégekre is? – kérdezi Dédmama. – Lesz-e lift a szállodában? – Nem terveztünk liftet, hiszen csak 3 emeletes a szálloda! – felel Jocó. – Akkor viszont a harmadik emeleti szobákat olcsóbban kellene adni – érvel Dédmama. – Erre nem gondoltunk – kezd töprengeni Jocó. – De lehet, hogy ha a harmadik emeleti szobákat 20%-kal olcsóbban adjuk ki, mint az alattuk lévőket, az a pályázat szempontjából értékes pontokat jelent majd. Ekkor viszont a harmadik emeleti hátsó szobák már negyedosztályúak lennének.

Segíts Jocónak! Számold ki, mennyi lenne ezzel az új feltétellel a maximális napi bevétel! A fiúk az új feltételeknek megfelelően módosították a példa táblázatát, kiegészítették egy új sorral, a IV. osztályú szobáknak. Készítsd el a füzetedben te is a táblázatot és töltsd ki! Hány Hányad darab van a osztályú? 3 emeleten? I. II. III.

Egységár (Ft)

Összes bevétel (Ft)

A 0,8A 0,8 ⋅ (0,8A) = 0,64A

IV.

A legnagyobb (maximális) napi bevétel az I–IV. osztályú szobák bevételének összege.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

2.

3.

4.

Dönci szerint az új feltétellel a harmadik emeleti szobákból szerezhető bevétel éppen 80%-a a második emeleti szobák együttes árának. Így a táblázatos módszernél sokkal egyszerűbben meg lehet kapni az előző feladat eredményét. a) Igaz-e Dönci állítása? b) Ha igaza van, bizonyítsd be! Ha nincs igaza, cáfold meg! c) Bence hitt Döncinek, nem foglalkozott vele, hogy jó az elgondolás vagy nem. Mindjárt nekiállt, hogy ezzel az ötlettel és a példa eredményével megoldja az 1. feladatot. Találd ki, hogyan dolgozott!

Készítsd el a füzetedben az a) és a b) változathoz tartozó táblázatot, és töltsd ki őket! Számold ki mindkét esetben a teljes bevételt is! a)

I. II.

Egységár (Ft)

Összes bevétel (Ft)

A 0,8A

III.

0,8 ⋅ (0,8A) = 0,64A

IV.

0,8 ⋅ (0,64A)

A teljes bevétel:

b)

Jocó összeráncolta a homlokát, és ezt írta fel az 1. feladathoz: (48,6 : 3) ⋅ 2,8 = 45,36. Vajon mire gondolt? Bencének eszébe jutott, hogy nem kellene ragaszkodni a négyzet alakú alapterülethez. Hátha több bevételt lehetne elérni úgy, hogy növelnék az első osztályú szobák számát (de emeletenként továbbra is 20 szoba lenne). Hogyan változna a bevétel, ha a) emeletenként 6 szoba nézne a tóra is és az út felé is, a többi pedig oldalról nézne a tóra; b) emeletenként 7 szoba nézne a tóra is és az út felé is, a többi pedig oldalról nézne a tóra?

Hány Hányad darab van a osztályú? 3 emeleten?

Hány Hányad darab van a osztályú? 3 emeleten? I. II.

Egységár (Ft)

Összes bevétel (Ft)

A 0,8A

III.

0,8 ⋅ (0,8A) = 0,64A

IV.

0,8 ⋅ (0,64A)

A teljes bevétel:

5.

Dédmama már régóta magában számolgat. – Talán jobban járnátok, Jocó – mondja végül –, ha liftet építenétek a szállodába. Akkor nem érne benneteket veszteség a harmadik emeleti árak csökkentése miatt. – Erre még nem gondoltunk – hangzik a válasz. – De bizony érdemes lenne ezen is elgondolkozni. – Ha lenne lift – szól közbe Bence –, akkor esetleg 4 emeleten is el lehetne helyezni a 60 szobát, és így spórolnátok az alapozásnál! Hogyan helyeznéd el 4 emeleten a 60 szobát?

2.

Készíts tervet egy olyan 3 emeletes szállodához, ahol mindegyik oldalon emeletenként legalább két szoba van, és telt ház esetén maximális a bevétel!

3.

Mit javasolnál még Jocó szüleinek, hogy sikeres pályázatot készítsenek, és megtalálják a számításukat is?

H Á Z I F E L A DAT

1.

a) Bence a 4 emeletes, 60 szobás, liftes szállodát négyzet alapúnak tervezné, az alsó három emeletén 16– 16 szobát helyezne el. A 4. emeleten mindegyik szoba a tóra vagy legalábbis oldalról a tóra nézne. Mennyi lenne itt a maximális napi bevétel? b) Jocó nem tervezne oldalról a tóra néző szobákat, és nem ragaszkodik ahhoz sem, hogy négyzet alapú legyen az épület. Mekkora bevétel érhető el így?

1 0 2 . l e c ke

S Z Á L L O DA T E RV E Z É S E

9

103

IGAZ VAGY HAMIS

F E L A DAT

1.

Egy gimnázium női kosárlabda-bajnokságán 8 csapat indult. A következő hírek terjedtek el a 11. b) csapatáról: A: Második lett. B: Nem a második helyen végzett. C: Nem jutott a legjobb három közé. D: Dobogós helyen végzett. E: Utolsó lett. F: Győzött.

b) A füzetedben írd a pontozott helyekre a megfelelő mondat betűjelét úgy, hogy a megfogalmazott kijelentés igaz legyen! Ha A igaz, akkor csak a(z) … igaz, a többi hír hamis. Ha A hamis, akkor csak a(z) …-ről tudjuk biztosan, hogy igaz, a többi hír azonban lehet igaz is és hamis is. Ha C igaz, akkor biztos, hogy … igaz, A … és F pedig hamis, de előfordulhat, hogy a(z) … igaz, meg az is, hogy hamis. Ha C hamis, akkor … biztosan igaz, … biztosan hamis, a többi hír azonban lehet igaz is és hamis is. Fogalmazzatok meg szóban a fentiekhez hasonló, igaz állításokat!

2.

a) Készítsd el a füzetedbe az alábbi táblázatot! A  táblázat felső sorába beírtuk, hogy a 11. b) osztály csapata hányadik helyezést ért el a kosárlabda-bajnokságon. Írd be a táblázatba, hogy az egyes esetekben melyik hír igaz és melyik hamis! Segítségül néhány mezőt előre kitöltöttünk. 1. A B C D E F

10

2.

3.

hamis

igaz

hamis

igaz

hamis

4.

5.

6.

7.

8.

Van-e az 1. feladat szerint a 11. b) lánycsapatának olyan helyezése, amely esetében mind a 6 adott mondat tartalma hamis? Ha igen, akkor ez hányadik helyezés, ha nem, akkor miért nem?

Megfigyelések Érdekes kapcsolatot találunk az A és a B mondat között: ha A igaz, akkor B hamis, ha A hamis, akkor B igaz; és hasonlóan: ha B igaz, akkor A hamis, ha B hamis, akkor A igaz. Ugyanezt tapasztaljuk a C és a D kijelentés esetében: ha C igaz, akkor D hamis, ha C hamis, akkor D igaz; és hasonlóan: ha D igaz, akkor C hamis, ha D hamis, akkor C igaz. A logika szakkifejezései szerint A, B, C, D, E és F egy-egy állítás, A és B egymás tagadása, C és D egymás tagadása. E és F nem tagadása egyik szereplő állításnak sem. Miért? Például E „ellentétes tartalmú” A-val (egyszerre nem lehet igaz mindkettő), de több olyan eset is van, amikor mindkettő hamis (ha a csapat sem második, sem utolsó nem lett). Hasonlóan: a C nem tagadása az F-nek, mert előfordulhat, hogy mindkettő hamis.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

ELMÉLET Ha hallunk vagy olvasunk egy mondatot, akkor sokszor azonnal tudjuk, hogy a tartalma igaz vagy hamis. Más esetekben kisebb-nagyobb töprengés után tudjuk eldönteni, hogy mi vele a helyzet. Vannak olyan mondatok is, amelyekről egyáltalán nem mondhatjuk ki azt, hogy a tartalmuk igaz vagy hamis. 1. A logikában azokat a kijelentő mondatokat nevezzük állításoknak (más szóval: kijelentéseknek), amelyekről egyértelműen eldönthető, hogy a tartalmuk igaz vagy hamis. Példák Igaz állítás

Hamis állítás

Nem állítás (nem kijelentés)

A 29 prímszám.

A 25 és a 35 legnagyobb közös osztója 15.

Hány óra van?

Minden háromszögben 180° a belső szögek összege.

Minden háromszög beírt körének középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja.

Bence okosabb, mint Hajni.

A Nap nagyobb, mint a Hold.

A naptárban szerda után kedd következik.

A legszebb virág a kikerics.

2. Egy állítás igaz vagy hamis lehet csak, harmadik eset nincs. Ha egy állítás nem igaz, akkor csak hamis lehet és hasonlóan: ha egy állítás nem hamis, akkor csak igaz lehet. Megjegyzés Azt is szoktuk mondani, hogy egy állítás logikai értéke csak igaz vagy hamis lehet. 3. Minden állításnak van tagadása, ami egy másik állítás. Egy A állítás tagadása akkor igaz, ha az A hamis, és akkor hamis, ha az A igaz. Az A állítás tagadásának a jele: JA (olvasd: „nem A”).

F E L A DAT

3.

a) Mi volt a két úszónő sorrendje a selejtezőben, a középdöntőben és a döntőben? b) Mennyit javított Hosszú Katinka a saját Európa-rekordján? c) Biztos, lehetséges vagy lehetetlen az, hogy Hosszú Katinka megnyerte ezt a versenyt? d) Mit felelnél az előző kérdésre, ha Európa-bajnokságról lenne szó? e) Az újsághír ismeretében biztos, lehetséges vagy lehetetlen az, hogy Hosszú Katinka ezen a versenyen bronzérmet nyert? (Válaszod helyességéről meggyőződhetsz, ha utánanézel, mi történt valójában.)

Hajni egy újságcikkben ezt olvasta: „A 2009-es római úszó-világbajnokságon Verrasztó Evelyn és a selejtezőben új Európa-rekordot elérő (2 p 9,12 mp) Hosszú Katinka (a képen) is bejutott a 200 m-es női vegyes úszás döntőjébe, előbbi az ötödik, utóbbi pedig a hetedik legjobb eredménnyel. A döntőben Katinka nagyszerűen úszva, gyönyörű hajrával, saját rekordját megjavítva, 2 p 7,46 mp-es új Európa-csúccsal csapott a célba. Verrasztó Evelyn is kiváló teljesítményt nyújtott, és végül a hetedik helyen zárt.”

4.

1 0 3 . l e c ke

I G A Z VAGY H A M I S

Fogalmazd meg az 1. feladatban szereplő állítások tagadását! Mit tapasztalsz?

11

5.

Megadunk 5 állítást: A: A 0-ra végződő természetes számok oszthatók 5-tel. B: A 0-ra és az 5-re végződő természetes számok oszthatók 5-tel. C: Nem igaz, hogy a 0-ra végződő természetes számok oszthatók 5-tel.

D: A 0-ra végződő természetes számok nem oszthatók 5-tel. E: Az 5-tel osztható természetes számok nem mind végződnek 0-ra. a) Melyik igaz, melyik hamis? b) A B, C, D, E kijelentések közül melyik lehet az A állítás tagadása?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Bence egy újságcikkben ezt olvasta: „Verrasztó Evelyn szerezte a magyar úszócsapat első érmét 2009. december 10-én, az isztambuli rövidpályás Európa-bajnokságon, ahol a 200 m vegyes döntőjében 2:04.64-es (2 p 4,64 mp) világcsúcsidővel érdemelte ki az első helyet. Nyolc nappal később a manchesteri úszógálán ugyanezen a távon az amerikai Julia Smit 2:04.60 perccel (2 p 4,60 mp) csapott a célba.” Biztos-e, lehetséges-e, lehetetlen-e, hogy a) 2009. december 11-én Verrasztó Evelyn tartotta a 200 m-es rövidpályás női vegyes úszás Európa-csúcsát? b) 2009. december 19-én 2:04.64 perc volt a 200 m-es női rövidpályás vegyes úszás Európa-csúcsa? c) 2009. december 19-én 2:04.60 perc volt a 200 m-es női rövidpályás vegyes úszás világcsúcsa?

2.

Cseh László Európa-csúcsot úszott a rövidpályás országos bajnokságon. Közvetlenül a verseny után a) Dönci azt állítja, hogy a magyar országos csúcs ennél biztosan gyengébb;

b) Bence azt, hogy az országos csúcs pontosan ugyanennyi; c) Hajni szerint a világcsúcs ennél biztosan jobb. Kinek van igaza?

3.

12

Megadunk 7 állítást: A: A páros számok mind 2-re végződnek. B: A páros számok mind 0-ra végződnek. C: A páros számok nem mind végződnek 2-re. D: A páros számok 2-re vagy 0-ra végződnek. E: A 2-re végződő számok páros számok. F: Van olyan páros szám, amely 2-re végződik. G: Van olyan páros szám, amely nem 2-re végződik. a) Melyik igaz, melyik hamis? b) A fenti kijelentések között van-e két olyan, amely egymás tagadása?

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

RÁADÁS

1.

a) Egy bérház bérlői elhatározták, hogy megvásárolják az épületet. Úgy döntöttek, hogy mindenki arányosan járul hozzá a vételár kifizetéséhez, mégpedig aszerint, hogy mekkora az általa bérelt lakás alapterülete. Tehát ha például valaki a 20%-át bérli a teljes bérelhető területnek, akkor ő a vételár 20%-át fizeti ki. Döntsd el az alábbi kijelentések mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis! Válaszaidat indokold a füzetedben! A: A nagyobb alapterületű lakásban lakó többet fizet 1 m2 megvásárlásáért, mint a kisebb lakásban lakó. B: Ha ismerjük két lakás alapterülett és tudjuk, hogy az egyik lakás bérlője mennyivel járul hozzá a vételárhoz, akkor tudjuk azt is, hogy a másik lakás bérlője mennyit fizet. C: Ha ismerjük a bérház vételárát és tudjuk, hogy mennyivel járulnak hozzá a vételárhoz az egyes bérlők, akkor azt is tudjuk, hogy mekkora az egyes lakások alapterülete. D: Ha sikerülne 10%-ot lealkudni az épület vételárából, akkor minden bérlőnek 10%-kal kevesebbet kellene fizetnie a bérház megvásárlásához. b) A bérház 3 lakásból áll, ezek alapterülete rendre 95 m2, 85 m2 és 70 m2. A bérház vételára 30 millió forint. Mennyivel kell hozzájárulnia a 85 m2-es lakás tulajdonosának a vételárhoz?

2.

Az egyik 7. osztályos matematikaórán mindegyik tanuló magasságát megmérték. A mérések szerint a fiúk átlagmagassága 160 cm, a lányoké pedig 150 cm. Anna volt a legmagasabb, 180 cm, Dani a legalacsonyabb: 130 cm. A mérés napján két tanuló hiányzott, de másnap mindenki ott volt a matematikaórán, a két előző napi hiányzó is. Megmérték ennek a két tanulónak a magasságát is, aztán újraszámolták az átlagmagasságokat. Meglepetve tapasztalták, hogy sem a fiúk, sem a lányok átlagmagassága nem változott. Milyen következtetéseket lehet levonni a fentiekből? Döntsd el az alábbi kijelentésekről, hogy helyes következtetések-e! Válaszaidat indokold is füzetedben! A: B: C: D: E:

Mindkét hiányzó tanuló lány volt. Az egyik hiányzó tanuló lány volt, a másik fiú. Mindkét hiányzó tanulónak ugyanakkora a magassága. A jelen lévő tanulók magasságának átlaga az első napon ugyanannyi volt, mint a második napon. A második napon is Dani volt a legalacsonyabb a tanulók között.

1 0 3 . l e c ke

I G A Z VAGY H A M I S

13

104

APA 45 ÉVES

CSOPORTMUNKA

2.

Dolgozzatok párban!

1.

Bence nagyon szeretett volna elmenni a középiskolák közötti úszóbajnokság döntőjére, de aznap kishúgára kellett vigyáznia. A döntőben négy iskola versenyzői versenyeztek egymás ellen négy pályán: az Aranyhegyi, a János-hegyi, a Lakihegyi és a Pál-völgyi. Izgatottan hívta nővérét, aki ott volt az uszodában a barátnőivel, de nem az úszódöntő miatt, hanem az azt követő férfi ifi vízilabda-bajnokságra volt kíváncsi. Így aztán az eredményre sem emlékezett, ami Bencét nagyon lehangolta, mert legjobb barátja is a 4 döntős között volt. Hajni és barátnői azonban emlékeztek néhány tényre: – Az egyik szélső pályán úszó versenyző győzött. – A fekete sapkás a sárga és a kék sapkás közé került. – Csak egy olyan úszó volt, aki ugyanannyiadik helyezést ért el, mint ahányadik pályán úszott, és ez nem a győztes volt. – A lakihegyisnek fekete volt a sapkája. – A piros sapkás zöld úszónadrágban versenyzett. – Az aranyhegyis és a lakihegyis pályája nem volt szomszédos. – A sárga sapkás a 3. és 4. helyezett között úszott. – A jános-hegyisnek belső pálya jutott. Párban okoskodva próbáljátok megválaszolni a következő kérdéseket: a) Melyik iskola úszója lett a győztes? b) Milyen színű sapkában úszott a 3. helyezett? c) Kapott-e érmet Bence aranyhegyis barátja? Az alábbi táblázat segíthet a gondolatok rendszerezésében. Másold át a füzetedbe és töltsd ki! Pálya

1-es pálya

2-es pálya

3-as pálya

4-es pálya

Iskola Sapka Helyezés

Megjegyzés: Ez a feladat egy, Einstein nevéhez kapcsolható, logikai feladvány egyszerűsített változata. Állítólag az emberek 98%-a nem tudja helyesen megoldani Einstein feladatát. A Ráadásban bebizonyíthatod, hogy te a kivételes 2%-hoz tartozol!

14

Bence és Hajni édesapjuk szülinapjára készült. Eszükbe jutott apukájuk híres mondása: „Ebben nincs semmi logika!” – ami főként anyukájuk egyegy megjegyzésére hangzott el. Persze anyukájukat sem kell félteni, ilyenkor így szokott válaszolni: „Dehogy nincs! Csak éppen női logika!” Így aztán összefogtak, és a következőt találták ki: Anya készít két finom tortát, Hajni pedig kishúgával két koronát, amelyeken a következő felirat áll: „tévedtem”. Ezeket apa is látta. Azután (már titokban) két, külsőre teljesen egyforma dobozba betettek egyet-egyet a 4 „dolog” közül.

a) Bence ilyen feliratokat készített a dobozokhoz:

1. Ebben a dobozban van a szülinapi tortád, a másikban a korona.

2. Az egyik dobozban torta van, a másikban pedig korona.

A címkéket feltették a dobozokra, és még annyit árultak el apjuknak: „Lehet, hogy mindkét dobozban egy-egy torta van, de az is lehet, hogy az egyikben egy torta van, a másikban pedig egy korona. Az egyik felirat igaz, de a másik hamis. Ha tortás dobozt választasz, már közel kerülsz az ajándékodhoz.” Mit tanácsolnál, melyik dobozt nyissa ki apukájuk, ha a tortához szeretne hozzájutni? Töltsd ki a táblázatot a füzetedben az összes lehetséges doboztartalmat figyelembe véve!

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

1. doboz tartalma

2. doboz tartalma

Torta

Torta

Torta

Korona

Korona

Torta

1. felirat 2. felirat Igaz/ Igaz/ Hamis Hamis

Megfelel az „egyik igaz, másik hamis” feltételnek?

c) Újabb csomagolás és feliratozás következett, és apának újra választania kellett.

Persze apukájuk jól választott. Azonban meglepődve látta, hogy a 45 gyertya helyett csak 41 volt a tortán, és Bence ekkor a kezébe nyomott egy gyertyát, hogy azt is a többi közé szúrhatja. Ebből már sejtette, hogy további „megpróbáltatások” várnak rá – szám szerint még három. b) Bence elvitte a tortát és a másik doboz tartalmát is, és bement a kisszobába csomagolni. Hamarosan megjelent a két dobozzal. A kezdeti feltételek ugyanazok, de ezúttal a következő feliratok készültek:

1. Legalább az zban egyik dobo torta van.

2. bozban A másik do n. korona va

– Igazak a feliratok? – kérdezte apa. – Vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis – mondta Bence. Most melyiket választanád apa helyében? A pár egyik tagja az első, másik tagja a második táblázatot töltse ki a füzetében:

1. an Ebben a dobozb korona van, vagy an a másik dobozb torta van.

Ismét vagy mindkét állítás igaz vagy mindkettő hamis. Most hogyan döntenél apa helyében? Ismét töltsétek ki a két táblázatot a füzetben! 1. felirat

2. felirat

I

I

I

H

H

H

H

1. doboz

2. doboz

1. doboz

2. doboz

T

T

T

T

T

K

T

K

K

T

K

T

1. felirat

2. felirat

I

1. doboz

1. felirat

2. doboz

2. felirat

Lehetséges?

Lehetséges?

Ám apán nem lehetett kifogni, így a 43. gyertya is felkerült a tortára.

1 0 4 . l e c ke

A PA 4 5 É V E S

2. an A másik dobozb torta van.

1. doboz

2. doboz

Lehetséges?

1. felirat

2. felirat

Lehetséges?

Apa a 44. gyertyát is a tortára helyezhette, már csak egy próbát kellett kiállnia.

15

d) Bence sejtelmes mosollyal arcán hozta az újabb feladatot: „Ha az 1-es számú dobozban torta van, akkor a felirat rajta igaz, ha korona van benne, akkor viszont hamis. Míg a 2-es számú dobozban pont fordított a helyzet, ha ott torta van, akkor a felirat rajta hamis, míg ha korona van benne, akkor igaz.” Most ezek a címkék készültek:

1. Mindkét dobozban torta van.

Melyiket választanád? Apa megoldotta ezt a rejtélyt is. Így aztán felkerült a 45. gyertya a születésnapi tortára, kezdődhetett az igazi ünneplés. Szerencsére apa nagyon gyors volt, így nem olvadt el a tortán a máz. Csilla kedvéért apa még a koronát is felvette, bár a korona feliratára igazán nem szolgált rá!

2. Mindkét dobozban torta van.

H Á Z I F E L A DAT

1.

Döntsd el, hogy az alábbi állítás igaz vagy hamis minden a, b, c és d szám esetén, vagy csak bizonyos számok esetén igaz! a) ^a + b h2 = a 2 + b 2 b) a + b = a + b c+ d c+ d c+ d 2 a a c) = 2 b b

2.

Egy legény fogolyként ül Bergengócia tömlöcében. A király kegyelmet ad neki, ha elsőre megtalálja a börtön kulcsát a három láda egyikében. A ládákon a következő feliratok vannak:

a) Melyik ládát válassza, ha a három állítás közül csak egy igaz? b) Hogyan módosul a helyzet, ha a három állítás közül csak egy hamis?

16

3.

Három indián ül a tűz körül: Fehér Tigris, Szürke Egér, Sárga Irigység. Egyszer csak megszólal Fehér Tigris: – Egyikünk sárga ruhát visel, van közöttünk fehér ruhát és szürke ruhát viselő is, de egyikünk sem olyan színű ruhában van most, mint ami a nevében is szerepel. – Valóban! – mondta a sárga ruhás. Milyen színű ruhát viselt Szürke Egér?

4.

Frédi a vásárban három eladótól próbál nyakláncot vásárolni. A három eladónál összesen kétféle egységáron lehetne nyakláncot venni, de mindegyik eladónak csak egyfajta egységárú nyaklánca van.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

Frédi mindhárom eladónak – az idősnek, a középkorúnak és a fiatalnak is – feltesz egy kérdést:

Az idősebbtől pedig ezt: „Vehetek-e 100 garasért két nyakláncot a vásárban?”

A fiataltól ezt kérdezi: „A középkorú eladó drágább nyakláncot árul, mint az idősebb?” A középkorútól ezt kérdezi: „Az idősebb eladó nyaklánca drágább, mint a fiatalé?”

Mind a három kérdésre ugyanazt a választ (igen, vagy nem) kapta. Vajon sikerült-e Frédinek 100 garasért megvennie a két nyakláncot a vásárban?

RÁADÁS

.

Egy utcában van öt egymás melletti, más-más színű ház. Mindegyik házban más nemzetiségű férfi lakik. Mind más-más hangszeren játszik, más italt kedvel és más állatot tart.

1.

2.

10. A hegedűn játszó férfi szomszédja macskát tart. 11. A brácsás férfi sört iszik. 12. A lovat tartó férfi a dobos mellett lakik. 13. A német trombitál. 14. A norvég a kék ház mellett lakik. 15. A hegedűn játszó férfi szomszédja vizet iszik. Ki tart halakat? (Segíthet az alábbi táblázat a gondolkodásban. Másold át a füzetedbe!)

3.

1. ház 2. ház 3. ház 4. ház 5. ház Ház színe P, S, F, Z, K

4.

5.

Lakó nemzetisége A, Né, No, D, S

1. Az angol piros színű házban lakik. 2. A svédnek kutyája van. 3. A dán teát iszik. 4. A zöld ház közvetlenül a fehér mellett balra van. 5. A zöld ház tulajdonosa kávét iszik. 6. Aki zongorázik, annak papagája van. 7. A sárga ház tulajdonosa dobol. 8. A középső ház tulajdonosa tejet iszik. 9. A norvég az első házban lakik.

1 0 4 . l e c ke

A PA 4 5 É V E S

Hangszer Z, B, D, H, T Ital Tea, K, V, S, Tej Állat K, P, M, L, H K Keressetek ezekhez hasonló feladványokat az intern neten és osszátok meg egymással őket!

17

105

ÖSSZETETT ÁLLÍTÁSOK

P É L DA

1.

Bence édesapjával és Gyula papával vívóversenyt néz a tévében. – Emlékszel, Miklós, Kulcsár Győzőre? Ő aztán tudott vívni! – mondja Gyula papa. – Igen, valamikor a 70-es években az iskolatársaimmal izgatottan lestük, szerez-e olimpiai aranyérmet. Úgy emlékszem, jól drukkoltunk. – Én meg arra emlékszem, hogy mindkét olimpiáról hozott aranyérmet! – idézi fel a 70-es éveket Gyula papa.

2.

Az Arany gyerekek látták Egerszegi Krisztinát egy tévéműsorban. Hajni magyarázta a testvéreinek: – Ő 1991–1992-ben aranyérmet nyert az úszó-világbajnokságon vagy az olimpián. Bence elhatározta, hogy utánanéz ennek a dolognak.

Megoldás Bence érdeklődve figyel, aztán nekifog, hogy pontosítsa apa és nagyapa emlékeit. A 70-es években két olimpia volt, 1972-ben Münchenben és 1976-ban Montrealban. Az interneten megtalálja mindkét olimpia eredményeit. Azt vizsgálja, jól emlékszik-e Apa és Gyula papa.

Apa emléke két részre bontható: Kulcsár Győző aranyérmet szerzett Kulcsár Győző aranyérmet szerzett a müncheni olimpián a montreali olimpián IGAZ, párbajtőrcsapattal aranyér- HAMIS, ekkor nem nyert aranymet nyert. érmet.

Apa emléke szerint Kulcsár Győző a müncheni olimpián VAGY a montreali olimpián aranyérmet nyert. A két állítás egyike igaz, ezért Apa jól emlékezett. Gyula papa emléke ugyanerre a két részre bontható: Gyula papa emléke szerint Kulcsár Győző a müncheni olimpián is ÉS a montreali olimpián is aranyérmet nyert. Gyula papa rosszul emlékezett. Akkor lenne igaza, ha az állítás mindkét része igaz lenne.

18

Megoldás Először így okoskodott: Ha Egerszegi Krisztina az 1992-es olimpián bajnok lett, akkor Hajni állítása igaz, függetlenül attól, hogy nyert-e Krisztina az 1991-es világbajnokságon. Ha azonban 1992-ben nem lett bajnok, akkor az a kérdés, mi történt az 1991-es világbajnokságon. Ha onnan aranyéremmel tért haza, akkor igaz Hajni állítása, ha nem, akkor hamis. Megnézte az olimpiai eredményeket az interneten. Mit látott? Egerszegi Krisztina 1992-ben a barcelonai olimpián nem is egy, hanem három számban (100 m-es hát-, 200 m-es hát-, 400 m-es vegyes úszás) lett olimpiai bajnok. Ezért az 1991-es világbajnokság eredményeit már meg sem kellett néznie, máris elismerőleg szólt Hajninak: – Igazad van. Persze azért Bence kíváncsi volt, megnézte az 1991-es világbajnokság eredményeit is. Megállapította, hogy Egerszegi Krisztina itt a 100 m-es és a 200 m-es hátúszásban is elhódította az aranyérmet. Hajni ezt hallva mindjárt át is fogalmazta az eredeti állítást: az is igaz tehát, hogy – Egerszegi Krisztina 1991–1992-ben aranyérmet nyert a világbajnokságon és az olimpián.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

ELMÉLET Két-két állítást (kijelentést) meghatározott módon összekapcsolva olyan újabb állításokhoz juthatunk, amelyek logikai értékét az eredeti állítások logikai értéke egyértelműen meghatározza. Az ilyen összekapcsolásokat logikai műveleteknek nevezzük. Figyeljünk meg két egyszerű logikai műveletet! A VAGY-művelet (latinul: diszjunkció) Legyen A és B egy-egy állítás (kijelentés). A vagy B (jelekkel: A 0 B) azt az állítást jelenti, amely igaz, ha A és B közül legalább az egyik igaz, és hamis, ha mind A, mind B hamis. Például, ha A: Hajni jelest kapott matematikából; B: Hajni jelest kapott történelemből, akkor A 0 B azt jelenti, hogy Hajni jelest kapott matematikából vagy történelemből (vagy mindkettőből). A VAGY-művelet igazságtáblázata: Ha A igaz igaz hamis hamis

és B igaz hamis igaz hamis

akkor A 0 B igaz igaz igaz hamis

vagy egyszerűbben:

A i i h h

B i h i h

A0B i i i h

Az ÉS-művelet (latinul: konjunkció) Legyen A és B egy-egy állítás (kijelentés). A és B (jelekkel: A / B) azt az állítást jelenti, amely igaz, ha A is és B is igaz, és minden más esetben hamis. Például, ha A: Hajni jelest kapott matematikából; B: Hajni jelest kapott történelemből, akkor A / B azt jelenti, hogy Hajni jelest kapott matematikából is és történelemből is. Az ÉS-művelet igazságtáblázata: Ha A igaz igaz hamis hamis

és B igaz hamis igaz hamis

akkor A / B igaz hamis hamis hamis

vagy egyszerűbben:

A i i h h

B i h i h

A/B i h h h

Figyeld meg, hol szerepelt az 1. és a 2. példában a VAGY-művelet és hol az ÉS-művelet!

F E L A DAT

1.

Gyula papa így emlékezik: Kulcsár Győző négy olimpián is szerepelt; az egyiken két aranyérmet nyert. Melyik két állítást kapcsolta itt össze egy logikai művelettel Gyula papa (pedig biztosan nem is tudott róla)? Ez a VAGY-művelet vagy az ÉS-művelet?

1 0 5 . l e c ke

ÖSSZETETT ÁLLÍTÁSOK

19

2.

Egy teljesen hétköznapi mondatban akár több logikai művelet is „megbújhat”. Nézzük például ezt az egyszerű kijelentő mondatot: Gedó György az 1972-es olimpián dobogós helyezést ért el ökölvívásban. Fogalmazd át a következő séma szerint a mondatot (ha kell, tegyél zárójelet az egyes részek elkülönítésére): Gedó György elindult az 1972. évi olimpián … ökölvívásban versenyzett … 1. helyezést ért el … 2. helyezést ért el … 3. helyezést ért el. (Mivel csak egy súlycsoportban indulhatott versenyzőként, két érmet nem nyerhet olimpián ökölvívásban.)

3.

Két kijelentést fogalmaztunk meg a rajzon látható KLM háromszögre vonatkozóan. A: A KLM háromszög egyenlő szárú; B: A KLM háromszög derékszögű. a) Add meg A, illetve B logikai értékét (igaz vagy hamis)! b) Fogalmazd meg az A0B, illetve az A/B kijelentést! c) Döntsd el, hogy a b)-ben megfogalmazott két kijelentésnek mi a logikai értéke!

L

K

M

4.

Másold be a füzetedbe és egészítsd ki a kijelentést a pontozott helyre írt megfelelő logikai művelet jelével úgy, hogy a kijelentés igaz legyen! a) Az (x + 3)(5 - x) szorzat pontosan akkor egyenlő nullával, ha x + 3 = 0 … 5 - x = 0. b) Az (x + 3)2 + (5 - x)2 összeg pontosan akkor egyenlő nullával, ha x + 3 = 0 … 5 - x = 0.

5.

Írj az x, illetve az y helyébe olyan számokat, hogy a megfogalmazott kijelentések igazak legyenek! a) x + y = 4 / x - y = 2 b) x + y = 4 0 x - y = 2 c) (x + y)(x - y) = 0 d) (x + y)2 + (x - y)2 = 0

6.

Legyen A is és B is egy-egy állítás (kijelentés). Másold be az alábbi táblázatot a füzetedbe, és töltsd ki az üres mezőket a megfelelő logikai értékekkel! Jelölés: JA (= nem A) az A kijelentés tagadása. Segítségképpen néhány mezőt kitöltöttünk. A

B

i

A/B

A0B

i

i

i

i

h

h

i

h

i

h

i

h

h

h

h

JA

JB

JA/JB

JA0JB

J(A/B)

J(A0B)

H Á Z I F E L A DAT

1.

20

Rajzolj olyan ábrát, amelyre igaz az alábbi állítás! a) Az ABC háromszög egyenlő szárú és derékszögű. b) Az ABCD négyszög rombusz és téglalap. c) Az ABCD négyszög deltoid vagy paralelogramma. d) A megrajzolt sokszög konvex vagy belső szögeinek összege 540°.

2.

Rajzolj olyan ábrát, amelyre nem igaz (hamis) az alábbi állítás! a) Az ABC háromszög egyenlő szárú és derékszögű. b) Az ABCD négyszög rombusz és téglalap. c) Az ABCD négyszög deltoid vagy paralelogramma. d) A megrajzolt sokszög konvex vagy belső szögeinek összege 540°.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

3.

Egészítsd ki az állítást úgy, hogy igaz legyen! a) Az ^ x - 8h^7 - 2x h szorzat pontosan akkor egyenlő nullával, ha … b) Az ^ x - 8h2 + ^7 - 2x h2 összeg pontosan akkor egyenlő nullával, ha …

4.

Egészítsd ki a kijelentést úgy, hogy igaz legyen! Az x + 2 tört pontosan akkor nem negatív, ha … x+8

RÁADÁS I. Implikáció Legyen A és B is egy-egy kijelentés. A belőlük képzett „Ha A, akkor B.” kijelentésre azt mondjuk, hogy az IMPLIKÁCIÓ logikai művelettel kapcsoltuk össze a két kijelentést. Az implikáció jele: →. Ennek a logikai műveletnek az igazságtáblázata a következő: A

B

A→B

igaz

igaz

igaz

igaz hamis

hamis hamis igaz

hamis hamis

igaz

vagy egyszerűbben:

igaz

III. Kizáró vagy Az A és a B kijelentésből képzett „Vagy A vagy B.” kijelentésre azt mondjuk, hogy a VAGY-VAGY (kizáró vagy) logikai művelettel kapcsoltuk össze a két kijelentést. A kizáró vagy jele: +. Ennek a logikai műveletnek az igazságtáblázata a következő: A

B

A+B

A

B A→B

igaz

igaz

hamis

i

i

i

igaz

hamis

igaz

i

h

h

hamis

igaz

igaz

h

i

i

hamis hamis hamis

h

h

i

Az A → B kijelentés tehát pontosan akkor hamis, ha A igaz, B pedig hamis. II. Ekvivalencia Az A és a B kijelentésből képzett „A akkor és csak akkor, ha B.” kijelentésre azt mondjuk, hogy az EKVIVALENCIA logikai művelettel kapcsoltuk össze a két kijelentést. Az ekvivalencia jele: ↔. Ennek a logikai műveletnek az igazságtáblázata a következő:

vagy egyszerűbben:

A

B A+B

i

i

h

i

h

i

h

i

i

h

h

h

Az A + B kijelentés tehát pontosan akkor igaz, ha A és B logikai értéke különböző. Például: A „Vagy a cipőt veszed meg vagy a kabátot (veszed meg).” összetett kijelentés igaz, ha csak az egyik tárgyat vásárolod meg, hamis, ha mindkettőt vagy egyiket sem. A fejlettebb számológépek és a számítógépek ismerik a logikai műveleteket is. Általában a következő névvel lehet ezekre a műveletekre hivatkozni: Értelme

Gépi neve

A művelet neve

NEM

NOT

tagadás

A

B

A↔B

A

B A↔B

ÉS

AND

konjunkció

igaz

igaz

igaz

i

i

i

VAGY

OR

diszjunkció

i

h

h

VAGY-VAGY

XOR

kizáró vagy

h

i

h

h

h

i

igaz hamis

hamis hamis igaz

hamis hamis

hamis igaz

vagy egyszerűbben:

Az A ↔ B kijelentés tehát pontosan akkor igaz, ha A és B logikai értéke egyenlő.

1 0 5 . l e c ke

ÖSSZETETT ÁLLÍTÁSOK

E Ezekkel a műveletekkel informatika órán is találk kozhattál már, az Excel táblázat kezelésének tanulásakor. Nézz utána, hogy mit jelent a NAND és NOR művelet és milyen egyéb logikai műveletek találhatók az Excelben!

21

106

VAGY-MŰVELET, ÉS-MŰVELET NYITOTT MONDATOK ESETÉBEN

BEVEZETŐ Figyeljünk meg egy olyan nyitott mondatot, amelyből egy mondatrész hiányzik: A Tisza című verset … írta. Ha a kipontozott helyre beírjuk egy költő nevét, akkor egy kijelentést kapunk: A Tisza című verset József Attila írta. Ez hamis kijelentés. A Tisza című verset Petőfi Sándor írta. Ez igaz kijelentés. Ha nem Petőfi nevét írjuk be a kipontozott helyre, akkor a kapott állítás logikai értéke: hamis. Figyeljünk meg néhány olyan nyitott mondatot, amelyből egy vagy két szám hiányzik: 6-szor … nagyobb, mint 100; 6x 2 100; … szor … nagyobb, mint 100; xy 2 100; 6-szor … nagyobb, mint …; 6x 2 y.

Ha a kihagyott helyekre, illetve a betűk helyére egy-egy számot írunk, kijelentéseket kapunk. Ezek a kijelentések lehetnek igazak vagy hamisak. – Ha például a 6x 2 100 nyitott mondatba 8-at írunk az x helyébe, akkor a 6 ⋅ 8 2 100 hamis kijelentést kapjuk. Ha nem 8-at, hanem például 18-at írunk, akkor a 6 ⋅ 18 2 100 igaz kijelentést kapjuk. – Ha például a 6x 2 y nyitott mondatba 8-at írunk az x helyébe és 2-t az y helyébe, akkor a 6 ⋅ 8 2 2 igaz állítást kapjuk, ha 3-at írunk az x helyébe és 22-t az y helyébe, akkor a 6 ⋅ 3 2 22 hamis állítást kapjuk. A nyitott mondat önmagában sem nem igaz, sem nem hamis! A VAGY-műveletet meg az ÉS-műveletet nyitott mondatok esetére is értelmezzük.

P É L DA Megadunk két nyitott mondatot, A-t és B-t, alaphalmaznak mindkettőhöz a 15-nél kisebb pozitív egész számok halmazát választjuk. A: az n egy 4 és 12 közötti egész szám, B: az n prímszám. Írjuk a nyitott mondat változója (n) helyébe az alaphalmaz elemeit, és vizsgáljuk meg, hogy az így kapott kijelentések igazak vagy hamisak! Foglaljuk táblázatba az eredményeket! (Például, ha n helyébe a 3-at írjuk, akkor az A nyitott mondatból az „a 3 egy 4 és 12 közötti egész szám” kijelentést kapjuk, míg a B nyitott mondatból az „a 3 prímszám” kijelentést. Az első kijelentés hamis, a második igaz. Lásd a sötétített oszlopot!

22

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

h

h

h

h

i

i

i

i

i

10 11 12 13 14 i

i

h

h

h

B

h

i

i

h

i

h

i

h

h

h

i

h

i

h

Az A nyitott mondat igazsághalmaza: {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}, a B nyitott mondat igazsághalmaza: {2; 3; 5; 7; 11; 13}. Itt A 0 B azt a nyitott mondatot jelenti, amely – igaz, ha olyan 15-nél kisebb pozitív egész számot választunk n-nek, amelynek esetében az A és a B nyitott mondatok közül legalább az egyik igaz; – hamis, ha olyan 15-nél kisebb pozitív egész számot választunk n-nek, amelynek esetében az A és a B nyitott mondat is hamis.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

Tehát a táblázatot így egészíthetjük ki: n

1

2

3

4

5

6

7

A

h

h

h

h

B

h

i

i

h

A0B

h

i

i

h

8

9

10 11 12 13 14

i

i

i

i

i

i

i

h

h

h

i

h

i

h

h

h

i

h

i

h

i

i

i

i

i

i

i

h

i

h

A táblázatról leolvashatjuk, hogy az A / B nyitott mondat igazsághalmaza: {5; 7; 11}. Most halmazábrákon szemléltetjük az A és a B megoldáshalmazát. 4

A

6

A táblázatról leolvashatjuk, hogy az A 0 B kijelentés igazsághalmaza: {2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 13}.

2

5 10

11

9

3

7

8

Hasonlóan: A / B azt a nyitott mondatot jelenti, amely – igaz, ha olyan 15-nél kisebb pozitív egész számot választunk n-nek, amelynek esetében az A és a B nyitott mondat is igaz; – hamis, ha olyan 15-nél kisebb pozitív egész számot választunk n-nek, amelynek esetében az A és a B nyitott mondat közül valamelyik (vagy mindkettő) hamis. Tehát az első táblázatot így egészíthetjük ki: n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

h

h

h

h

i

i

i

i

i

10 11 12 13 14 i

i

h

h

h

B

h

i

i

h

i

h

i

h

h

h

i

h

i

h

A/B

h

h

h

h

i

h

i

h

h

h

i

h

h

h

1

B

13 12

14

4

A

6

2

5 10

11

9 8 14

1

B 3

7 13

12

Az ábrákról leolvashatjuk: – az A 0 B nyitott mondat igazsághalmaza az A és a B igazsághalmazának az uniója; – az A / B nyitott mondat igazsághalmaza az A és a B igazsághalmazának a metszete.

F E L A DAT

1.

Az x egy (-6)-nál nagyobb és 8-nál kisebb egész szám. Megadunk négy nyitott mondatot: A: x + 3 = 0; B: 5 - x = 0; C: (x + 3)(5 - x) = 0; D: (x + 3)2 + (5 - x)2 = 0. a) Töltsd ki a füzetedben az igaz és hamis szavakkal (i-vel és h-val) a táblázatot! Segítségképpen néhány mezőt előre kitöltöttünk. x

–5 –4 –3 –2 –1 0

A

h

B

h

C

h

D

h

A0B

h

A/B

h

h

1

2

3

4

5

6

7

i

c) Bence szerint ha A 0 B igaz, akkor C is igaz, ha A 0 B hamis, akkor C is hamis. Helyesen gondolkozik-e? Melyik halmaz az A 0 B igazsághalmaza? d) Hajni szerint ha C igaz, akkor A 0 B is igaz, ha C hamis, akkor A 0 B is hamis. Helyesen gondolkozik-e? e) Dönci szerint ha D igaz, akkor A 0 B is igaz, ha D hamis, akkor A 0 B is hamis. Helyesen gondolkozik-e? f) Jocó szerint ha D igaz, akkor A / B is igaz, ha D hamis, akkor A / B is hamis. Helyesen gondolkozik-e? Melyik halmaz az A / B igazsághalmaza? g) Bence szerint ha A / B igaz, akkor D is igaz, ha A / B hamis, akkor D is hamis. Helyesen gondolkozik-e?

b) Melyik nyitott mondatnak mi az igazsághalmaza az adott alaphalmazon?

1 0 6 . l e c ke

VAGY- M Ű V E L E T, É S - M Ű V E L E T N Y I T O T T M O N DAT O K E S E T É B E N

23

2.

A H halmazba tartozzanak azok a magyar sportolók, akik az 1968-as (mexikóvárosi) olimpián aranyérmet szereztek, a K halmazba pedig azok a magyar sportolók, akik az 1972-es (müncheni) olimpián lettek olimpiai bajnokok. a) Készíts halmazábrát a füzetedbe és helyezd el benne a következő magyar sportolókat: Erdős Sándor (1968, vívás), Balczó András (1960, 1968 és 1972, öttusa), Kozma István (1964 és 1968, birkózás), Szűcs Lajos (1968, labdarúgás), Zsivótzky Gyula (1968, kalapácsvetés), Hegedűs Csaba (1972, birkózás), Nemere Zoltán (1964 és 1968, vívás), Gedó György (1972, ökölvívás), Fenyvesi Csaba (1968 és 1972, vívás), Kulcsár Győző (1964, 1968 és 1972, vívás), Németh Angéla (1968, gerelyhajítás), Schmitt Pál (1968 és 1972, vívás), Osztrics István (1972, vívás).

Megadunk két nyitott mondatot (a sportoló a nyitott mondat változója): A: A sportoló az 1968. évi olimpián magyar aranyérmet szerzett. B: A sportoló az 1972. évi olimpián magyar aranyérmet szerzett. H

K

b) Szemléltesd a halmazábrán a következő nyitott mondatok igazsághalmazát (a H , K alaphalmazon): – A sportoló az 1968-as vagy az 1972-es olimpián aranyérmet szerzett. – A sportoló az 1968-as és az 1972-es olimpián aranyérmet szerzett. – A sportoló az 1972-es olimpián aranyérmet szerzett, és nem szerzett aranyérmet az 1968as olimpián. – A sportoló az 1968-as olimpián aranyérmet szerzett, vagy nem szerzett aranyérmet az 1972-es olimpián. c) Fogalmazz meg olyan nyitott mondatokat, amelyeknek igazsághalmaza (a H , K alaphalmazon) az alább megadott halmaz! Add meg az igazsághalmaz néhány elemét! A) H \ K ; B) K \ H ; C) ^ H \ K h , ^ K \ H h ; D) ^ K \ H h + ^ H \ K h .

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

Oldd meg az 1. feladatot azzal a változtatással, hogy az A helyett az A*: x + 3 2 0 nyitott mondatot veszed! Az x egy (-6)-nál nagyobb és 6-nál kisebb egész szám. Vizsgáld a következő nyitott mondatokat! A: x + 2 $ 0 B: x + 2 # 0 C: x + 8 2 0

24

D: x + 8 1 0 E: x + 2 $ 0 x+ 8

a) Töltsd ki a füzetedben az igaz és hamis szavaknak megfelelő i, illetve h betűkkel a táblázatot! x

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

A B C D A/C B/D

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

b) Melyik kijelentésnek mi az igazsághalmaza? c) Vizsgáljuk a feladattal kapcsolatban a következő négy kijelentést! ha A igaz, akkor B hamis ha A hamis, akkor B igaz ha C igaz, akkor D hamis ha C hamis, akkor D igaz – Ezek mindig igazak, akármelyik számot írjuk is az x helyébe az alaphalmazból! – mondja Jocó. – Dehogy, ezek mindig hamisak, bármelyik alaphalmazbeli elemet írjuk az x helyébe! – mondja Dönci.

Bence az arany középutat képviseli, szerinte van olyan állítás, amely esetén Jocónak van igaza, és van olyan, amelyik esetében Döncinek. Tegyél igazságot! d) Igaz-e, hogy az (A / C) 0 (B / D) nyitott mondat igazsághalmaza ugyanaz, mint az E nyitott mondaté? e) Vizsgáld meg a feladatot úgy is, hogy az állításokban x + 8 helyére mindenhol x + 5-öt helyettesítünk.

RÁADÁS

1.

Egy újságban két hirdetés jelent meg.

ugyanabban az irodaházban. Melyik irodaházat választanád a kedvezőbb bérleti díj elérése érdekében? Írd le a gondolatmenetedet is!

Alfa irodaház Bérelt terület

58 m2–95 m2 között

100–120 m2 között

Bérleti díj

475 tallér havonta

800 tallér havonta

Béta irodaház Bérelt terület

35 m2–260 m2 között

Bérleti díj

l 90 taller l m2 $ ev

Egy cég vezetője vagy, a céged egy 110 m2-es és egy 60  m2-es irodahelyiséget szeretne bérelni egy évre,

1 0 6 . l e c ke

2.

A mindennapok során gyakran találkozhatunk olyan helyzetekkel, amelyekben érvekkel próbálnak meggyőzni minket valamely állítás igazságáról vagy tarthatatlanságáról. Olykor nem könnyű eldöntenünk, hogy az elhangzó kijelentésekkel egyetértsünk vagy inkább ne. Az alábbiakban egy példán keresztül te is megértheted, hogy mennyire fontos a gondos mérlegelés, mielőtt döntenénk.

Egy országban a védelmi kiadások 2010-ben 30 millió tallért tettek ki. Ebben az évben az ország éves mérlegében a „kiadások öszszesen” rovatban 500 millió tallér szerepelt. 2011-ben a védelmi kiadásokra 35 millió tallért fordítottak, míg az éves mérlegben a kiadás oldalon 605 millió tallér szerepelt. A vizsgált időszakban az infláció 10% volt (2011-ben „átlagosan” minden 10%-kal többe került, mint egy évvel korábban). Kétféle szerepben kell értékelned az adatokat (2012 elején). Érvelj a szerepednek megfelelően! a) Egy pacifista szervezet tagjaként azt kell „bizonyítanod”, hogy a kormány egyre többet fordít a védelmi kiadásokra. b) Egy hadiipari cég képviselőjeként azt kell „bizonyítanod”, hogy a kormány egyre kevesebbet költ az ország védelmére.

VAGY- M Ű V E L E T, É S - M Ű V E L E T N Y I T O T T M O N DAT O K E S E T É B E N

25

107

HÁNYFÉLEKÉPPEN?

P É L DA Bence számítógépén olyan program van, amelyik a rögzített zeneszámokat összekeveri, és ebben az új sorrendben játssza le őket (ez az úgynevezett véletlen lejátszási lehetőség). Bence ötfajta zenét hallgat szívesen: rap, pop, dzsessz, rock és soul számokat. Mindegyikből egy számot választott ki lejátszásra. a) Hányféle különböző sorrendben játszhatja le az öt zeneszámot a program? b) Mekkora az esélye (vagyis az összes eset hányadrészében következik be), hogy az első szám soul, a második pedig rap zene lesz?

b) Az alábbi módon (gráffal) is szemléltethetjük a lehetőségeket. Láthatjuk, hogy 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 különböző olyan lejátszási sorrend lehetséges, amelyben az első szám soul, a második pedig rap zene. Ha a lejátszó program egyenlő eséllyel választja a 120 lehetséges lejátszási sorrend bármelyikét, akkor a keresett esély 6 : 120 = 1 : 20. (Ezt 5%-os esélynek vagy 1 = 0,05 valószínűségnek is szoktuk mondani.) 20 rock dzsessz soul

Megoldás a) Az első számot a program 5-féleképpen választhatja ki. Mindegyik választás 4 különböző módon folytatódhat, ezért az első két szám 5 ⋅ 4 = 20 különböző sorrendben követheti egymást. Mind a 20 lehetőség 3 különböző módon folytatható, a negyedik szám megválasztására már csak 2 lehetőség, az ötödik számra pedig már csak egy lehetőség marad. Az 5 számot tehát 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 különböző sorrendben játszhatja le a program.

pop dzsessz

rap

rock

pop dzsessz

pop

rock

pop

rock pop dzsessz rock dzsessz

Megjegyzés Az ábra pontjait a gráf csúcsainak (a gráf pontjainak), a pontokat összekötő vonalakat a gráf éleinek, egy adott csúcsba befutó élek számát a csúcs fokszámának nevezzük. Az ábrán egy olyan gráfot látunk, amelynek 17 csúcsa, 16 éle van. A csúcsok fokszámai között a következők fordulnak elő: 1, 2 és 3.

F E L A DAT

1.

26

Bence számítógépén sok zeneszám van. Háromfajta zenéből egy-egy albumot is rögzített. A rap albumon 8 szám van, a popon 6, és a soul albumon 7. Ezeket szeretné lejátszani Bence. a) Ha a lejátszó program véletlen sorrendben játssza le a három album 21 zeneszámát, akkor hány különböző sorrend közül választhat? b) Hány különböző lejátszási sorrend lehetséges, ha először az összes rap, majd az összes pop, végül az összes soul számot veszi sorra a program úgy, hogy egy albumon belül véletlen a lejátszási sorrend? Ez több vagy kevesebb, mint az a) kérdésre adott válasz?

c) Hogyan módosul a b)-re adott válasz, ha az albumok sorrendjét is véletlenszerűen választja a program? (A program csak akkor változtat albumot, ha az adott album összes számát lejátszotta már.)

2.

A magyar labdarúgó-bajnokság első osztályában 16 csapat indul. Hányféle végeredmény alakulhat ki a bajnoki tábla első három helyén?

3.

A 2007-es úszó-világbajnokság 200 m férfi vegyes úszás döntőjében két magyar is indult (Cseh László és Kerékjártó Tamás). A döntőben mind a nyolc versenyző célba ért, holtverseny nem volt.

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

a) Hány különböző célba érkezési sorrend volt lehetséges? b) Hány olyan sorrend alakulhatott volna ki, amelyben az egyik magyar úszó nyeri a versenyt? c) Hány olyan sorrend alakulhatott volna ki, amelyben mindkét magyar úszó dobogós helyezést ér el? d) Hány olyan sorrend alakulhatott volna ki, amelyben csak az egyik magyar úszó dobogós? e) Cseh végül a 3., Kerékjártó pedig a 6. lett. Hány különböző végeredmény alakulhatott ki?

4.

Annának kedden 5 órája van, mégpedig matematika (M), német (N), testnevelés (T), angol (A) és biológia (B). Tudjuk, hogy a matematikaórát testnevelés követi, és az utolsó óra német. Írd le Anna keddi órarendjének összes lehetőségét! (A 2010. májusi középszintű érettségi 5. feladata.)

5.

A múlt héten a 10, 21, 22, 53, 87 számokat húzták ki az ötös lottón. Kata mesélte, hogy kettes találata van. Melyik két számot találta el? Hány eset lehetséges? (2010. májusi k. sz. érettségi 11. feladata nyomán.)

H Á Z I F E L A DAT

1.

Hajni kosárlabdacsapata fontos versenyre készül. Szeretnének a lehető legjobb csapat-összeállítással kiállni a versenyen. Egy kosárlabdacsapat a következő öt játékosból áll: hátvéd, center, irányító, jobb és bal bedobó. Hajni a csapat egyetlen bal bedobó játékosa és egyben a csapatkapitány. A jobb bedobó posztra is csak egy játékosuk van, de négy hátvéd, három center és három irányító közül választhatnak. a) Hányféleképpen állíthatja össze Hajni a csapatát? b) Jelöljük a lehetséges játékosokat a következőképpen: h1, h2, h3 és h4 a négy hátvéd, c1, c2 és c3 a három center, i1, i2, i3 a három irányító. A tapasztalat azt mutatja, hogy tétmérkőzéseken h1 összjátéka c1-gyel és c3-mal, illetve i2-vel és i3-mal kiváló, h2 összjátéka c1-gyel és c2-vel és mindhárom irányítóval szintén nagyon jó, h3 a c1-gyel és c2-vel, illetve i1-gyel és i3-mal tud eredményesen játszani, h4 pedig mindhárom centerrel és i2-vel. Megfigyelték azt is, hogy c1 és i3 nem értik meg egymást a pályán, ahogy c2 és i1, illetve c2 és i3 sem. Figyelembe véve ezeket a feltételeket, hányféleképpen lehet kialakítani a csapatot a versenyre? Rajzolj gráfot a lehetséges csapat-összeállítások szemléltetésére!

2.

Hányféleképpen helyezhetünk el nyolc bástyát a sakktáblán úgy, hogy egyik se üsse a másikat?

3.

A foci-világbajnokság selejtező mérkőzéseit 8 selejtező csoportban játsszák. Minden selejtező csoport-

1 07. l e c ke

HÁNYFÉLEKÉPPEN?

ból az első 4 helyezett csapat jut a legjobb 32 közé. A 32 legjobb focicsapatot sorsolással nyolc darab négyes csoportba osztják (A, B, C, D, E, F, G, H csoport). A sorsolásnál a 32 csapat nevét négy kalapba teszik. Első kalapba kerül a selejtezőkön legjobb eredményt elért 8  csapat, másodikba a selejtezőkön második legjobb eredményt elért 8 csapat és így tovább. Ezután egy urnába nyolc cédulát tesznek, mindegyik cédulán egy-egy betű áll: A, B, C, D, E, F, G vagy H. Először az első kalapból húznak egy csapatnevet, és ehhez az urnából húznak egy betűt. Ez meghatározza, hogy az elsőnek kihúzott csapat melyik csoportba kerül. A kihúzott csapat nevét és a kihúzott cédulát félreteszik, majd az eljárást hétszer megismétlik az első kalapba került csapatokkal. Mire minden cédulát kihúztak, addigra az első kalapból is elfogytak a csapatnevek. A cédulákat visszateszik az urnába, és a második kalapban található nyolc csapattal megismétlik az eljárást; ezután a harmadik, majd a negyedik kalap kerül sorra. a) Hány különböző módon alakulhat az A csoport négy csapatának névsora? b) Németország csapata az első kalapban szerepel. Hány különböző módon alakulhat a csoportjába sorsolt másik három csapat? c) Hány különböző módon alakulhat ki az első két csoport (A és a B) nyolc csapatának névsora? d) Hány különböző módon alakulhat ki a nyolc csoport a sorsolásnál?

27

RÁADÁS

1.

Legfeljebb hány futót lehet elhelyezni egy sakktáblán úgy, hogy semelyik kettő ne üsse egymást? Hányféle ilyen elhelyezés létezhet?

2.

Nézz utána az interneten ehhez hasonló problémáknak! Az egyik leghíresebb ezek közül a nyolckirálynőprobléma: hogyan és hányféleképpen lehet elhelyezni nyolc darab királynőt a sakktáblán úgy, hogy közülük semelyik kettő ne üsse egymást? A megoldás csupán 92 féle lehetőség. Ezek közül egyet megmutatunk az alábbi ábrán: a

b

c

d

e

f

g

h

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1 a

b

c

d

e

f

g

h

Ellenőrizd, hogy az ábra valóban megfelel-e a nyolckirálnyőprobléma szabályainak! Igazold, hogy ha kilenc királynőt akarnánk elhelyezni a sakktáblán, akkor azok közül biztosan lenne kettő, amely ütné egymást!

KOMPETENCIA FELADATOK

1.

28

Bence és Dönci a következő képen látható sípályákon szeretnének síelni. A sípályák több szakaszból állnak. Bencéék 5 napig szeretnének síelni délelőtt és délután is. Tudnak-e mind a 10 alkalommal különböző útvonalat választani?

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

2.

Egy baráti társaság találkozót szeretne szervezni, ezért egyikük felhívta néhányukat, hogy segítsenek értesíteni mindenkit. Rövid idő múlva mindenki értesült a találkozóról. Az ábrán lévő nyilak azt jelzik, hogy ki kit hívott fel. Döntsd el, hogy leolvashatók-e az alabbi információk az ábKata Anna Ildi ráról! Leolvasható-e, hogy... … ki kezdte a találkozó szervezését? Teri … ki hívta fel a legtöbb embert? Pali … ki értesült először a találkozóról? Zsolt … kit hívtak a legtöbben? Bea … ki értesült legutoljára a találkozóról? … volt-e olyan, aki nem hívott fel senkit? Feri Kikről lehet biztosan megmondani, hogy közülük ki volt az, aki a találkozóról előbb értesült?

3.

Hajni, Bence és Csilla egy tanösvényen szeretnének végigsétálni. A tanösvény egyes állomásait és a köztük vezető útvonalat a mellékelt rajzon láthatod. A mezőkre írt számok azt jelzik, hogy az állomáson hány ismeretterjesztő tábla található.

a) Próbáld meg minél egyszerűbben összeszámolni, hányféle útvonalon mehetnek végig a tanösvényen, ha nem mennek közben körbe, tehát nem érintenek egyetlen mezőt sem kétszer. b) Bencének a táblákon olvasható ismeretterjesztő szövegek éppen kapóra jönnének egy iskolai projekt feladatához, ezért ő szeretne minél több táblát érinteni útközben. Hajni szívesen sétál, de nem szeretne sokat időzni a táblák előtt, így ő a lehető legkevesebb táblát érintené. Csilla pedig már nagyon fáradt, ő olyan gyorsan végigszaladna a tanösvényen, amilyen gyorsan csak lehet. (Az állomások nagyjából azonos távolságra vannak egymástól.) Milyen útvonalat javasolnál Bencének, Hajninak és Csillának?

1 07. l e c ke

HÁNYFÉLEKÉPPEN?

29

108

RENDEZZÜK TÁBLÁZATBA!

F E L A DAT

.

Aranyék sok könyvet örököltek egy nagybácsitól. Hajni kiválogatott közülük 20 könyvet, ezeket még az idén el szeretné olvasni, vagy legalábbis megismerkedne velük. Mindegyik szerzőnek adott egy számot, felírta az adataikat:

1. Charles Dickens (1812–1870) angol író; 2. Lev Tolsztoj (1828–1910) orosz író; 3. Móricz Zsigmond (1879–1942) magyar író; 4. Juhász Gyula (1883–1937) magyar költő; 5. Miguel de Cervantes Saavedra (1547–1616) spanyol író; 6. Selma Lagerlöf (1858–1940) svéd írónő; 7. Anton Pavlovics Csehov (1860–1904) orosz író; 8. Giovanni Boccaccio (1313–1375) olasz író; 9. William Shakespeare (1564–1616) angol író és költő; 10. Friedrich Schiller (1759–1805) német költő;

11. Dante Alighieri (1265–1321) olasz költő; 12. Vörösmarty Mihály (1800–1855) magyar költő; 13. Thomas Mann (1875–1955) német író; 14. Lord George Byron (1788–1824) angol költő; 15. Mikszáth Kálmán (1847–1910) magyar író; 16. Kaffka Margit (1880–1918) magyar írónő; 17. Alekszandr Szergejevics Puskin (1799–1837) orosz költő; 18. Federico García Lorca (1898–1936) spanyol író és költő; 19. Jane Austen (1775–1817) angol írónő; 20. báró Eötvös József (1813–1871) magyar író.

Rendszerbe akarta foglalni szerzeményeit, többféleképpen is csoportosítva a szerzőket. a) Hajni a következő kódrendszert találta ki: nő = 1, férfi = 2; költő = 1, író = 2; író és költő = 3; magyar = 1, angol = 2, német = 3, olasz = 4, spanyol = 5, orosz = 6 és svéd = 7. Ebben a rendszerben Selma Lagerlöf kódja: 127. Készítsd el a füzetedben a kódtáblázatot a húsz szerzőre! Segítségképpen néhány mezőt előre kitöltöttünk. nő/férfi

költő/író

nemzet

nő/férfi

1

2

2

2

11

2

2

2

6

12

3

13

4

14

5

15

6

1

2

7

költő/író

nemzet

16

7

17

8

18

9

19

10

20

b) Válaszolj az alábbi kérdésekre! – Mi a kódja Juhász Gyulának, illetve Kaffka Margitnak? – A húsz szerző közül kihez tartozik a legnagyobb háromjegyű szám és kihez a legkisebb? – Lehetséges-e, hogy két különböző könyvhöz ugyanaz a kód tartozik? – Lehetséges-e, hogy két különböző kódhoz ugyanaz a könyv tartozik?

30

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

c) Sorold fel – azokat a szerzőket, akiknek a kódja 4-gyel osztható; – azokat a szerzőket, akiknek a kódja 9-cel osztható; – az angol költők és a magyar írók kódját! d) Hajni könyveket rakott egy kupacba. Kedvtelésből ezeknek is elkészítette a háromjegyű kódját, és azt látta, hogy mindegyik könyvnek különböző a kódja. Legfeljebb hány könyv lehetett a kupacban?

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

Egészítsd ki Hajni kódrendszerét egy negyedik számjeggyel, amelyik azt jelzi, hogy melyik században született a szerző! Legyen például 3 = XIII. századi születés, 4 = XIV. századi születés, …, 9 = XIX. századi születés és 0 = XX. századi születés. Ezzel a kódrendszerrel Selma Lagerlöf kódja 1279 lenne. Készítsd el a kódtáblázatot, majd válaszolj az alábbi kérdésekre! – Mi a kódja Boccacciónak, illetve Danténak? – Melyik a legnagyobb és melyik a legkisebb kódszámú szerző? – Add meg azokat a szerzőket, akiknek a kódszámában az első számjegy a 2, a harmadik számjegy pedig az 1! – Add meg azokat a szerzőket, akiknek a kódszámában a második számjegy az 1 vagy a harmadik számjegy a 3! Egy üzletben kabátot, pulóvert, inget/blúzt és kesztyűt lehet vásárolni, mindegyiket fekete, barna, zöld vagy kék színben. Az üzletvezetőnek raktári nyilvántartást kell vezetnie, amelyben az áru fajtáját, színét, származási helyét (magyar áru vagy külföldi) és méretét (6-féle méret van mindegyik fajta áruból) kell nyilvántartania. Minden egyes árucikkhez egy ötjegyű kódszám tartozik. Az első számjegy jelentését az A) jelű táblázatból láthatjuk, a második számjegy jelentését a B) jelű táblázatból, és így tovább. Az ötödik számjegy jelentését az E) jelű táblázat adja meg.

1 0 8 . l e c ke

R E N D E Z Z Ü K T Á B L Á Z AT B A !

A)

B)

C)

1

kabát

2

pulóver

3

ing/blúz

4

kesztyű

1

férfi/fiú

2

női/lány

D)

E)

1

magyar

2

külföldi

1 S 2 M 3 L

1

fekete

4 XL

2

barna

5 XXL

3

zöld

6 gyerekméret

4

kék

a) Írd le azt az árut, amelynek a kódja 31314! b) Egy vevő zöld férfipulóvert szeretne venni L vagy XL méretben. Melyik kódszámokat kell megnéznie a számítógépes nyilvántartásban, ha a keresett áruból rendelkezésre álló készletet szeretné látni az üzletvezető? Sorold fel ezeket! c) Hány különböző ötjegyű kódot kell elkészítenie az üzletvezetőnek a nyilvántartáshoz? d) A nyilvántartást számítógépre vitte az üzletvezető. Az egyik leltározás során kiderült, hogy minden olyan termék elfogyott, amelynek a kódjában az első helyen és a harmadik helyen is kettes áll és az ötödik számjegy egyes vagy ötös. Milyen termékeket kell rendelnie a vezetőnek, ha szeretné fenntartani a teljes választékot?

31

109

ÁTLAG, SZÁMTANI KÖZÉP

BEVEZETŐ A hétköznapi életben több esetben is használjuk az „átlag”, „átlagosan” szavakat. Ha Vali azt mondja, hogy a múlt évben átlagosan havi 145 ezer Ft volt a nettó jövedelme, akkor mindenki arra gondol, hogy 12 ⋅ 145 = 1740 ezer (1 millió 740 ezer) forint volt az év során kapott nettó jövedelmeinek összege. Arról semmit sem tudtunk meg, hogy valójában mekkora nettó összegeket kapott Vali havonta. Lehet, hogy minden hónapban 145 ezer forintot, de az is lehet, hogy 5 hónapon keresztül havi 103 ezer forintot, majd 7 hónapon keresztül

havi 175 ezer forintot. Sőt, az is lehet, hogy 11 hónapon keresztül egyetlen fillér nettó jövedelme sem volt, de volt egy hónap, amelyben éppen 1 millió 740 ezer forint nettó jövedelmet ért el. Sokféleképpen alakulhatott az egyes hónapok nettó jövedelme úgy, hogy végül a havi átlag 145 ezer Ft legyen. Mindegyik esetben igaz azonban, hogy ha a havi nettó jövedelmeket összeadjuk, majd az összeget elosztjuk 12-vel, akkor a hányados 145 ezer lesz.

P É L DA Annának januárban 150 ezer, februárban 164 ezer, márciusban 154 ezer forint volt a nettó jövedelme. Bertának minden hónapban ugyanannyi volt a nettó jövedelme, az első negyedéves összjövedelme megegyezett Annáéval. a) Mennyi volt az első negyedévben Anna összjövedelme? b) Mekkora volt Berta havi nettó jövedelme? Megoldás a) Anna első negyedévi összjövedelme 150 + 164 + 154 = 468 ezer forint volt.

b) Berta havi nettó jövedelme 150 + 164 + 154 = 468 = 156 3 3 ezer forint volt, ami Anna első negyedévi havi átlagjövedelmével egyenlő. Megjegyzés A 150 + 164 + 154 hányados a 150, a 164 és a 154 átla3 ga, más szóval számtani közepe (lásd még: 9. osztály, 37. és 38. lecke).

F E L A DAT

1.

32

Anna az első negyedévben átlagosan havi nettó 156 ezer forint jövedelmet ért el, aztán hat hónapig átlagosan havi 158 ezer forintot keresett. Az utolsó negyedévben havi átlagban 174 ezer forint jövedelme volt. a) Mekkora volt Anna éves nettó jövedelme? b) Csilla minden hónapban ugyanannyit keresett. Egy év alatt ugyanakkora lett a nettó jövedelme, mint Annának. Mennyi pénzt kapott havonta Csilla? c) Dóri havi nettó átlagbére tavaly a 156 ezer, a 158 ezer és a 174 ezer számtani közepe volt

(forintban kifejezve). Többet, kevesebbet, vagy ugyanannyit keresett egy év alatt, mint Anna? d) Elvira havi nettó átlagkeresete 10 ezer forinttal kevesebb volt, mint Annáé. Hány forinttal volt kevesebb Elvira éves nettó összjövedelme, mint Annáé?

2.

Egy gyógyszer elkészítéséhez az egyik összetevőből pontosan 24 grammra van szükség. Az előre csomagolt anyagot analitikai mérlegen tízszer megmérik, és kiszámítják a kapott tíz tömeg átlagát. Ha ez az átlag 0,5%-nál többel tér el a szükséges mennyiségtől,

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

akkor nem fogadható el az előre csomagolt anyag. A táblázat tartalmazza a mérések eredményét. Mért tömeg (gramm)

Gyakoriság

23,78

4

24,09

2

24,31

3

24,50

1

3.

A Kis Boltban komoly vita alakult ki egy most bevezetésre kerülő „sikertermék” jövőbeni árának alakításáról. Az üzletvezető azt javasolta, hogy az alacsony „bevezető” árat két hónap múlva emeljék fel 20%-kal, majd újabb két hónap múlva további 10%-os emelést hajtsanak végre. Az üzletvezető-helyettes szerint inkább mindkét alkalommal az „átlagos”, 15%-os áremelést hajtsák végre. Szerinte így is ugyanaz lesz négy hónap után a termék ára. Tegyél igazságot a vitában!

2.

Az alábbi diagram két csoport, az A és a B csoport kémiadolgozatának pontszámait mutatja. Az A csoport átlagpontszáma 62,0, a B csoporté 64,5. A dolgozat 50 vagy afeletti pontszámmal tekinthető sikeresnek.

a) Mennyi a tíz mérésből kiszámítható átlagos tömeg? (Számolj súlyozott számtani középpel!) b) Elfogadható-e az előre csomagolt anyag?

H Á Z I F E L A DAT

1 0 9 . l e c ke

Á T L AG , S Z Á M TA N I K Ö Z É P

A kémiadolgozaton elért pontszámok

90–100

80–89

70–79

60–69

50–59

40–49

30–39

20–29

10–19

5 4 3 2 1 0

0–9

A statisztikai adatszolgál1 Sze 38 tatás kötelező a munka2 Cs 37 adók számára. Egy ren3 P 35 deletből való a következő 6 H 36 részlet. 7 K 40 8 Sze 40 …Az átlagos létszám szá9 Cs 39 mítása: 10 P 38 a munkavállalók folyama13 H 40 tosan vezetett létszámnyil14 K 40 vántartása alapján számí15 Sze 41 tott mutató. Az átlagolást 16 Cs 41 havonta kell elvégezni az 17 P 37 adott hónap naptári napja20 H 39 inak figyelembevételével. 21 K 40 A  naponkénti állomá22 Sze 39 nyi létszámok összegét 23 Cs 39 – a munkarend szerinti 24 P 39 pihenőnapokra és ünnep27 H 37 napokra az azt megelőző 28 K 37 munkanap létszámát véve figyelembe – el kell osztani a hónap napjainak számával. … A táblázat megadja egy cég dolgozóinak számát a munkanapokon. A rendelet szövege alapján számítsd ki a februári átlagos állományi létszámot!

Diákok száma

1.

Pontszámok A csoport

B csoport

A tanár úgy értelmezi a diagramot, hogy a B csoport jobban teljesített ebben a dolgozatban, mint az A csoport. Az A csoport diákjai nem értenek egyet a tanárral. Megpróbálják meggyőzni arról, hogy a B csoport teljesítménye nem feltétlenül jobb. A grafikon segítségével írj egy matematikai érvet, amivel az A csoport tanulói meggyőzhetnék a tanárt.

33

110

SZÁMTANI KÖZÉP, MÉRTANI KÖZÉP

P É L DA

1.

Januárban Antal és Benő is 150 ezer forint nettó bért kapott, márciusban pedig mindketten 216 ezer forintot. Antal bére februárban és márciusban is ugyanannyival növekedett, Benő bére pedig mindkét hónapban ugyanannyiszorosára nőtt. Melyikük kapott több bért februárban?

Megoldás Antal februári bére annyival több a januári bérénél, amennyivel a márciusi bére több a februárinál. Ha tehát a februári bére x Ft, akkor x - 150 = 216 - x. Ebből 2x = 150 + 216, vagyis Antal februári bére x = 150 + 216 = 183 ezer forint. 2 Ez éppen a januári és a márciusi bérének a számtani közepe. Benő februári bére annyiszorosa a januári bérének, ahányszorosa a márciusi bére a februárinak. Ha a februári bére y y Ft, akkor = 216 . Ebből y 2 = 150 $ 216 , vagyis 150 y y = 150 $ 216 = 180 ezer forint. Antal több bért kapott februárban, mint Benő.

Megjegyzés A 150 $ 216 = 180 számot a 150 és a 216 mértani (geometriai) közepének nevezzük. A 150 és a 216 számtani közepe nagyobb, mint a mértani közepük.

2.

Egy téglalap két szomszédos oldalának hossza a cm és b cm. Hány cm annak a négyzetnek az oldala, amelynek a téglalapéval megegyező a) a kerülete, b) a területe?

Megoldás a) Legyen a keresett négyzet oldala x cm. A téglalap kerülete (2a + 2b) cm, a négyzet kerülete 4x cm. A kerületek egyenlők: 4x = 2a + 2b. A négyzet oldala tehát x = a + b cm hosszú, azaz a téglalap két szomszédos 2 oldala hosszának számtani közepe. b) Legyen a keresett négyzet oldala y cm. A téglalap területe (a ⋅ b) cm2, a négyzet területe y 2 cm2. A területek egyenlők: y 2 = a ⋅ b. Melyik pozitív számnak a négyzete az a ⋅ b? A a $ b -nek. Tehát y = a $ b . Eszerint a négyzet oldala a $ b cm hosszúságú.

ELMÉLET A bevezető példákban három matematikai fogalommal találkoztunk: négyzetgyök, számtani közép, mértani közép. 1. A négyzetgyökről már tanultunk: Egy a pozitív szám négyzetgyökének azt a pozitív számot nevezzük, amelynek a négyzete a. A 0 négyzetgyöke 0, negatív szám négyzetgyökét nem értelmezzük. Jelekkel: ha a $ 0, akkor

a létezik, nemnegatív, és ^ a h = a . Ha a 1 0, akkor a 2

a jel számunkra értelmetlen.

Például 225 = 15 , mert 225 pozitív szám, 15 is pozitív szám és 152 = 225. A - 225 jel értelmetlen, mert a négyzetgyökjel alatt negatív szám áll.

34

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

2. Ha a és b pozitív valós szám, akkor az a + b számot a és b számtani közepének, a a $ b számot a és b mértani 2 (geometriai) közepének nevezzük. Bebizonyítható (lásd a 36–37. oldalon, az Emelt szintnél): – Ha a = b, akkor a és b számtani és mértani közepe egyenlő a + a = a és a $ a = a . Az állítás megfordítása is 2 igaz: ha két pozitív szám számtani és mértani közepe egyenlő, akkor maguk a számok is egyenlők. – Ha a ! b, akkor a és b számtani közepe nagyobb, mint a mértani közepük: a + b 2 ab . Az állítás megfordí2 tása is igaz: ha két pozitív szám számtani közepe nagyobb a mértani közepüknél, akkor a két szám nem egyenlő.

(

)

a+b 2 Öab

a

b

Például a 8 és a 98 számtani közepe: (8 + 98) : 2 = 106 : 2 = 53, a mértani közepük: Látjuk, hogy a számtani közép nagyobb a mértani középnél: 53 2 28.

8 $ 98 =

784 = 28 .

F E L A DAT

1.

Keressünk egy olyan számot, amelyet ha az 5400 és a 24 helyébe írunk, akkor a) az 5400 + 24 összeg nem változik meg; b) az 5400 · 24 szorzat nem változik meg!

2.

Egy téglalap két szomszédos oldalának hossza 27 cm és 12 cm. a) Egy négyzet kerülete ugyanakkora, mint az adott téglalapé. Mekkorák ennek a négyzetnek az oldalai? b) Egy négyzet területe ugyanakkora, mint az adott téglalapé. Mekkorák ennek a négyzetnek az oldalai? c) Az a) és a b) feladatban kapott két négyzet közül melyiknek nagyobb a területe?

3.

Jocóéknak téglalap alakú udvaruk van, amelynek nem egyenlő hosszúak az oldalai, Dönciéknek pedig négyzet alakú az udvaruk. Mindkét udvar területe ugyanakkora: 144 m2. Melyik udvarnak nagyobb a kerülete?

4.

Gyula papa azt találta egy banki hirdetésben, hogy a két évre lekötött befektetés esetén mindkét év végén megkapja a befektetett összeg 12%-át. Egy másik bankban kamatos kamatra lehetne két évre befektetni a pénzt, mindkét évben 12%-os éves kamatot fizetnek. A harmadik bank kétéves befektetés esetén szintén kamatos kamatot fizet, az első évre 8% éves kamatot, a második évre pedig 16%-ot. Melyik bank kínálata a legkedvezőbb Gyula papa szerint?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Januárban Vígh úr üzletében és Bíró úr üzletében is 25  000 Ft volt a télikabát, márciusban mindkét üzletben 16  000 Ft. Bíró úr februárban és márciusban is ugyanannyival csökkentette a kabát árát, Vígh úr pedig februárban ugyannyi százalékkal

1 1 0 . l e c ke

S Z Á M TA N I K Ö Z É P, M É R TA N I K Ö Z É P

csökkentette a januári árat, mint ahány százalékkal márciusban a februárit. Melyikük üzletében volt olcsóbb a kabát februárban?

35

2.

3.

a) Melyik eset a kedvezőbb: ha két hónapban egymás után kétszer 5%-os nettó bérnövekedést érünk el, vagy ha az első hónapban 8%-os, a második hónapban újabb 2%-os nettó bérnövekedést? b) Két egymást követő évben ugyanannyi százalékos béremelést értünk el. Így ugyanannyival nőtt a bérünk, mintha az első évben 10%-kal csökkent, a második évben pedig 60%-kal nőtt volna. Hány százalékos béremelést értünk el?

Készítsd el a füzetedben és töltsd ki a táblázatot pozitív egész számokkal! a

b

96

150

a és b számtani közepe

a és b mértani közepe

375

225 8

68

50

50 10

6

109

60

RÁADÁS Honnan ered a számtani közép és a mértani közép elnevezés? Valaha régen két szám különbségére azt mondták, ez a szá- Két szám hányadosára azt mondták, ez a számok mok számtani aránya. mértani aránya. Például a 9 és a 6 számtani aránya 9 - 6 = 3, a mértani arányuk pedig 9 : 6 = 1,5 volt. Ha két számtani arány egyenlő volt, akkor = jellel is felírták őket, így kaptak egy számtani aránypárt. Például 9 - 6 = 35 - 32, ez egy számtani aránypár. Itt a két középső szám (a két belső tag) összege éppen anynyi, mint a két szélső szám (a két külső tag) összege.

Ha két mértani arány egyenlő volt, akkor = jellel is felírták őket, így kaptak egy mértani aránypárt. Például 9 : 6 = 21 : 14, ez egy mértani aránypár. Itt a két középső szám (a két belső tag) szorzata éppen anynyi, mint a két szélső szám (a két külső tag) szorzata.

Különösen érdekesnek találták akkoriban azokat a számtani és mértani aránypárokat, amelyeknél ugyanaz a szám állt az egyenlőségjel mellett a két oldalon, vagyis a két belső tag egyenlő volt. Például ilyen a 9 - 6 = 6 - 3 számtani aránypár. Itt a 6-ot a 9 és a 3 számtani középarányosának nevezték.

Például ilyen a 9 : 6 = 6 : 4 mértani aránypár. Itt a 6-ot a 9 és a 4 mértani középarányosának nevezték.

Ebben az időben a fogalmakat csak pozitív számokra vonatkozóan alkották meg. (Azonban ezek a közepek bővebb számkörben is értelmezhetők.) Ha a két egyenlő belső tagot x-szel, a két külső tagot pedig a-val és b-vel jelölték, akkor az a - x = x - b számtani aránypárban az x számra mond- az a : x = x : b mértani aránypárban az x számra mondták, hogy ez az a és a b mértani középarányosa. ták, hogy ez az a és a b számtani középarányosa. a b Az a : x = x : b egyenletből: x = ab . Az a - x = x - b egyenletből: x = + . 2 A régi elnevezések vége lekopott, így maradt meg a számtani közép és a mértani közép elnevezés. Hogy honnan ered a nevük, azt mostanáig már csak néhány nagyon öreg ember tudta, de ezentúl már te is tudni fogod!

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG ELMÉLET Tétel: Két pozitív szám számtani közepe nem kisebb, mint a mértani közepük.

36

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

Bizonyítás Ha a és b pozitív valós szám, akkor a számtani közepük is pozitív és a mértani közepük is pozitív. Tudjuk továbbá, hogy két pozitív szám közül az a nagyobb, amelynek a négyzete nagyobb. Azt állítjuk tehát, hogy a és b számtani közepének négyzete nagyobb vagy egyenlő a mértani középük négyzeténél, 2 2 vagyis ` a + b j $ ^ ab h . 2 E helyett az egyenlőtlenség helyett egyszerűbb, vele ekvivalens egyenlőtlenségeket keresünk: a 2 + 2ab + b 2 $ ab ; a 2 + 2ab + b 2 $ 4ab ; a 2 - 2ab + b 2 $ 0 ; ^a - b h2 $ 0 . 4 Az utoljára kapott egyenlőtlenség igaz, mert minden valós szám négyzete nemnegatív szám, ezért igaz a vele ekvivalens eredeti állítás is. Ezzel beláttuk, hogy az összehasonlított két pozitív szám közül a számtani közép négyzete nagyobb vagy egyenlő a mértani közép négyzeténél. Ezért maguk között a számok között is ez a nagyságviszony áll fenn. Az utolsó alak azt is megmutatja, hogy itt egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a = b.

F E L A DAT

1.

Bizonyítsuk be, hogy ha a pozitív valós szám, akkor a + 1 $ 2! a

Megoldás a+ 1 a = 1 $ a+ 1 , a Az a és az 1 számtani közepe: a 2 2 ` aj mértani közepe pedig a $ 1 = 1 . a Az előbbiekben bebizonyítottuk, hogy a számtani közép nem kisebb a mértani középnél, vagyis 1 $ `a + 1 j $ 1 , 2 a és ebből 2-vel szorozva megkapjuk a bizonyítandó állítást: a + 1 $ 2. a Itt egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a = 1 , vagyis a ha a = 1. Megjegyzés – Ha egy pozitív szám nem egyenlő 1-gyel, akkor e számnak és a reciprokának az összege nagyobb, mint 2. – Fentiekből – például (-1)-gyel való szorzás útján – az is következik, hogy ha egy negatív szám nem a (-1), akkor e számnak és a reciprokának az összege kisebb (-2)-nél.

2.

Olvasd le erről a rajzról, hogy ha a pozitív valós szám, akkor a + 1 $ 2! a

1 a

Legfeljebb mekkora lehet annak a téglalap alakú teleknek a területe, amelyet 52 m hosszú kerítéssel tudunk körbekeríteni? Megoldás Legyen a telek két szomszédos oldalának hossza a méter, illetve b méter. Ekkor 2a + 2b = 52, vagyis a  + b = 26, a + b = 13. Tudjuk azt is, hogy a telek területe ab négy2 zetméter. 2 Mivel 169 = ` a + b j $ ab, ezért a telek területe nem lehet 2 nagyobb 169 m2-nél. Ha a = b = 13, vagyis négyzet alakú a telek, akkor a területe éppen 169 m2. Tehát az 52 méter hosszú kerítéssel legfeljebb 169 m2 területű, téglalap alakú telek keríthető körbe (a telek ekkor négyzet alakú; lásd az ábrát is). [Az ábrán hét olyan téglalap (is) látható, amelyeknek a kerülete egyenlő.]

a

a 1 a 1 a a a

1 1 0 . l e c ke

3.

1 a

S Z Á M TA N I K Ö Z É P, M É R TA N I K Ö Z É P

4.

Legalább mekkora annak a téglalap alakú teleknek a kerülete, amelynek területe 100 m2?

37

111

VÁLTOZÁSOK

F E L A DAT

1.

A zongora fehér billentyűinek szokásos elnevezése az ábrán látható. Egy fekete billentyű leütésekor megszólaló hang frekvenciája a szomszédos két fep

q

x

415

z

C

D

E

F

G

A

H

Cl

262

294

330

349

y

440

494

v

hér billentyű „frekvenciájának” mértani közepe. Ha egy fehér és egy fekete billentyű fog közre egy fehér billentyűt (pl. E, F vagy H), akkor az ehhez tartozó frekvencia a két közrefogó billentyű „frekvenciájának” mértani közepe. (A frekvenciát hertzben mérjük. Például a fenti ábrán megadott A hang frekvenciája 440 Hz.)

2.

10 millió Ft-os tőkénk az első évben 1,5 millió Fttal, a második évben 3,5 millió Ft-tal nőtt. Mennyi volt a tőke évenkénti átlagos növekedése?

3.

10 millió Ft-os tőkénk az első évben 1,21-szorosára nőtt, a második évben a megnövekedett értékének 1,69-szorosára. a) Hány forint lett a második év végére a tőke? b) Hány forinttal nőtt a tőke az első évben és hány forinttal a második évben? c) Átlagosan hány forinttal nőtt évenként a tőkénk? d) Ha mindkét évben ugyanannyiszorosára nőtt volna a tőkénk, és a második év végére ugyanannyi lenne az értéke, mint az eredeti szöveg szerint, akkor hányszoros lenne ez a növekedés? Mekkora lenne forintban kifejezve az első éves és a második éves növekedés?

4.

Egy baromfitelepen 10 000 csirke volt. Számuk egy év alatt 1,22-szorosára nőtt, a következő évben az előző évhez viszonyítva csak 1,01-szorosára. a) Hány csirke lett 2 év után ezen a telepen? b) Mennyi az éves átlagos szaporulat? c) Hány csirke lenne 2 év után a telepen, ha mindkét évben

1, 22 $ 1, 01 -szoros lett volna a nö-

vekedés?

a) Számítsd ki az ismeretlen frekvenciákat! b) Hányszorosa a C hang frekvenciájának az egy oktávval magasabban megszólaló Cl hang frekvenciája? c) A C hangtól elindulva sorra leütjük mindegyik billentyűt. Mit mondhatunk az egymás után megszólaló hangok frekvenciájának arányáról (az arányokat századra kerekítve)?

38

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

d) Hány százalékos éves növekedésnek felel meg a

1, 22 $ 1, 01 -szoros növekedés? Több, keve-

sebb vagy ugyanannyi ez, mint a 22% és az 1% számtani közepe (átlaga)?

5.

Egy új autó vételára 4,2 millió forint. Az első évben 20%-kal, a második évben újabb 15%-kal csökken az autó értéke. a) Mennyit ér az autó a megvásárlása után egy, illetve két évvel?

b) Hány százalékot veszített eredeti értékéből (vételárából) két év alatt az autó? c) A 20% és a 15% számtani közepe 17,5%. Ha mindkét évben 17,5%-ot veszített volna az autó az előző évi értékéből, akkor mennyi lenne két év után az értéke? d) 4,2 millió forintért vásárolt céges autó értékét évente ugyanannyi százalékkal csökkentették az előző évi értékéhez viszonyítva. A vétel után 2 évvel az autó nyilvántartási értéke 2,856 millió forint. Hány százalékos volt az éves értékcsökkenés?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy ország 5 milliós népessége 1900-tól 1950-ig 21%-kal nőtt, majd 2000-ig újabb 44%-kal. a) Mennyi lett 2000-ben a népesség? b) Átlagosan hány fővel nőtt 50 évente ebben a 100 évben az ország népessége? c) Ha 50 évente mindig ugyanannyi százalékot növekedve érte volna el az ország lakossága a 2000. évi népességszámot, akkor hány lakosa lett volna az országnak 1950-ben?

2.

A háromnapos, adott távolságú kerékpártúra második és harmadik napján is 10 km-rel többet tettünk meg, mint az előző napon. a) Hány km-rel tettünk meg többet a harmadik napon, mint az első napon? b) Ha a második és a harmadik napon ugyanannyi km-t tettünk volna meg, akkor ez napi hány kmrel lenne több, mint az első napon megtett táv?

3.

Egy kerékpártúra első napján az A csapat és a B csapat is 50 km-t tett meg; az A csapat a túra második napján 1,44-szer akkora távolságot, mint az első napon, a harmadik napon pedig 1,21-szer akkora távolságot, mint a második napon. a) Hányszor akkora távolságot tett meg az A csapat a harmadik napon, mint az elsőn? b) A B csapat a második és a harmadik napon is ugyanannyiszorosára növelte az előző napi távolságot, így a harmadik napon a B csapat ugyanakkora távot tett meg, mint az A csapat.

1 1 1 . l e c ke

V Á LT O Z Á S O K

Hányszorosára növelte a napi távolságot a B csapat? c) Hány km-t tett meg a három nap alatt az A, illetve a B csapat? d) Hány km a napi átlagosan megtett távolság az A, illetve B csapat esetében az első három napra számítva?

39

112

SZÁMOLÓGÉPPEL VAGY NÉLKÜLE?

BEVEZETŐ Régről ismert egy hamis bizonyítás arra, hogy 64 = 65. 5 3

IV.

P

3

I.

S

III. 5 8

Q 5

II.

3

5

R

3

8

U

Pitagorasz-tétellel: UV = 52 + 132 = 194 , PQ + RS = 52 + 22 + 82 + 32 = 29 + 73 . Számológéppel azt kapjuk, hogy UV . 13,93 és PQ + RS . 13,93. Nem meggyőző, hogy a két szám egyenlő, és az sem, hogy nem egyenlő. Olyan módszert kell találni, amely közelítő értékek használata nélkül ad megnyugtató választ a kérdésünkre.

5 III.

5

IV. I.

5

II. 5

8

V

Az ábrák jól mutatják a „bizonyítás” lényegét. A 8 egység oldalú négyzetből egy olyan téglalapot „raktunk ki”, amelynek oldalai 5 és 13 egység hosszúak. Ám ekkor a négyzet és a téglalap területének is egyenlőnek kell lennie: 82 = 5 ⋅ 13. Vagyis tényleg igaz lenne, hogy 64 = 65? Nyilván nem igaz, de akkor hol van a hiba? Megoldás Világos, hogy ha az I., II., III., IV. síkidomokból újabb síkidomot hozunk létre úgy, hogy a négy darab sehol sem fedi egymást, akkor az újabb síkidom területének is 64 egységnek kell lennie. Ezért csak ott lehet a hiba a „bizonyításban”, ahol azt állítjuk, hogy a négy síkidomból hézagtalanul „kirakható” az 5 × 13-as téglalap. Ha ez igaz, akkor a téglalap UV átlójának hossza sem lehet ugyanakkora, mint az I. trapéz PQ szárának és a II. háromszög RS átfogójának összege: UV ! PQ + RS. Járjunk utána, így van-e!

40

Vizsgáljuk meg a két pozitív szám négyzetét! Amelyiknek nagyobb a négyzete, az a szám a nagyobb! 2 ^ 194 h = 194 és 2 2 2 ^ 29 + 73 h = ^ 29 h + 2 $ 29 $ 73 + ^ 73 h . Ez utóbbi így írható: 29 + 2 $ 29 $ 73 + 73 = 102 + 2 $ 29 $ 73 . Melyik a nagyobb, 194 vagy 102 + 2 $ 29 $ 73 ? Mivel 194 = 102 + 2 ⋅ 46, ezért csak azt kell eldöntenünk, hogy a 29 $ 73 és a 46 közül melyik nagyobb. Ha nem akarunk közelítő értékeket használni, akkor ismét a két pozitív szám négyzetét érdemes összehasonlí2 2 2 tani: ^ 29 $ 73 h = ^ 29 h $ ^ 73 h = 29 $ 73 = 2117 és 462 = 2116. Ezzel beláttuk, hogy 29 $ 73 2 46 , ami azt jelenti, hogy UV 1 PQ + RS (a három szakaszból egy háromszög alkotható). Bebizonyítottuk, tehát, hogy az I., II., III., IV. síkidomokból nem rakható ki hézagtalanul az (5 × 13)-as téglalap. (A téglalap „közepén” egy 1 egység területű lefedetlen rész keletkezik, amelyet csak nehezen lehet észrevenni.) Megjegyzés A fenti bizonyításunkból kiolvasható, hogy 2 ^ 29 + 73 h ! 29 + 73 ; 2 ^ 29 $ 73 h = 29 $ 73 ; 29 $ 73 = 29 $ 73 .

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

P É L DA Írjuk fel egyszerűbben és pontosan a 18 $ 8 és a 18 : 8 számot! Megoldás Kiszámítjuk a számok négyzetét: ^ 18 $

8 h = ^ 18 h $ ^ 8 h = 18 $ 8 = 144 2

2

2

^ 18 : 8 h = ^ 18 h : ^ 8 h = 18 : 8 = 2,25 2

2

2

Melyik pozitív szám négyzete a 144? A 12-é!

Melyik pozitív szám négyzete a 2,25? Az 1,5-é!

Tehát 18 $ 8 = 12 .

Tehát 18 : 8 = 1,5 .

Ha megfigyeljük, milyen lépéseket végeztünk a számítás során, azt tapasztaljuk, hogy 18 $ 8 =

18 $ 8 .

18 : 8 vagy másképp:

18 : 8 =

18 = 8

18 . 8

ELMÉLET A pozitív számok négyzetgyökeivel való számolásban segítenek a következő tételek: Ha a és b pozitív szám, az n pedig pozitív egész szám, akkor n a = a; 2. 3. ^ a h = 1. a $ b = a $ b ; b b

an .

Például 8$ 2= 24 = 6 ^ 5h = 4

8$2 = 24 = 6

16 = 4 ;

4 = 2;

98 = 5 = 18

49 $ 2 = 10 = 36

49 $ 2 = 7 2 ; 10 = 36

10 ; 6

163 = ^ 16 h = 43 = 64 . 3

5 4 = 52 = 25 ;

F E L A DAT

1.

2.

Számológép használata nélkül válaszolj! Mennyi a)

50 $ 8 és a

50 : 8 ;

b)

72 $ 8 és a

72 : 8 ;

c)

72 $ 50 és a

72 : 50 ?

Az előző feladat eredményei közül melyiket adja meg pontosan a zsebszámológéped?

1 1 2 . l e c ke

S Z Á M O L Ó G É P P E L VAGY N É L K Ü L E ?

3.

Igazold, hogy a) 2 2 =

8;

b)

8 : 2 = 2;

c)

7 = 7

d)

8 = 98

8 = 2; 98 7

e)

54 = 6

54 = 3 ! 6

7;

41

4.

Az ábrán egy téglalap, egy deltoid, egy derékszögű trapéz és egy egyenlő szárú háromszög látható. A négyzetrács egy négyzetének területét egy egységnek tekintve, számítsd ki a megadott síkidomok területének pontos értékét! Ne használj számológépet!

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy téglalap egyik oldalának hossza 6 . Mekkora a másik oldal hossza, ha a téglalap területe a) 24 ; c) 0, 06 ; b) 150 ; d) 63 ?

2.

Számolj gyorsan, számológép nélkül! a) 2 $ 2 $ 2 $ 3 $ 2 $ 3 = 18 + 2 - 2 2 = 3 2 3 5 c) c + m^ 3 - 5 h = 3 5 b)

3.

4.

Melyik a nagyobb? Ne használj számológépet! a) 18 vagy 2,5 $ 7,5 23,8 3, 4

b)

7 vagy

c)

32 vagy ^ 2 h

5

Közelítő értékek használata nélkül döntsd el, hogy melyik szám a nagyobb! a) 505 vagy 194 + 73 b) 1325 vagy 194 + 505

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Igazoljuk, hogy ha a és b pozitív szám, az n pedig pozitív egész szám, akkor 1. a $ b = a$b; a = a; 2. b b 3. ^ a h = n

^ a$

b h = ^ a h $ ^ b h = ab 2

2

2 a = ^ ah = a c m 2 b b ^ bh

2

2

és

`

és

^ a $ bh = a $ b; 2

a 2= a. bj b

A bizonyításhoz felhasználjuk, hogy ha két pozitív szám négyzete egyenlő, akkor a számok is egyenlők.

Vagyis az összehasonlított két pozitív szám négyzete egyenlő, ezért maguk a számok is egyenlők.

1–2. Ha a és b pozitív, akkor négyzetgyökük is pozitív. Tehát

3. A négyzetgyök hatványozására vonatkozó tétel az 1. tételből azonnal következik (n-szer vesszük szorzótényezőként a -t).

a $ b 20 a 20 b

42

an !

Hasonlítsuk össze a vizsgált pozitív számok négyzetét (felhasználva a négyzetgyök definícióját és a hatványozás azonosságait):

és

és

a $ b 2 0. a 2 0. b

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

F E L A DAT

1.

9. osztályban, az 52. leckében foglalkoztunk ezzel a feladattal: Díszdoboz „alsó” részének elkészítéséhez egy 24 cm hosszú, 10 cm széles kartonlapból „vályút” készítünk úgy, hogy a két szélét derékszögben felhajtjuk. Milyen széles részt hajtsunk fel, hogy a vályú keresztmetszetének a területe a lehető legnagyobb legyen?

Oldd meg hasonló módszerrel a következő feladatokat is!

2.

Bonts fel egy 20 cm hosszúságú szakaszt két részre úgy, hogy a lehető legnagyobb vagy a lehető legkisebb legyen a) a részek hosszúságának a szorzata; b) a részek fölé rajzolt négyzetek területének összege; c) a részek fölé rajzolt félkörök területének összege; d) a részek fölé rajzolt szabályos háromszögek területének összege!

3.

Vili nagypapáék téglalap alakú baromfiudvart akarnak elkeríteni 12 m hosszú drótkerítéssel. A baromfiudvar egyik oldala a hátsó kőkerítéshez támaszkodik. Mekkorára válasszák a téglalap oldalait, hogy a baromfiudvar a lehető legnagyobb legyen? (A 9. osztályos tankönyv 52. leckéjének 2. házi feladata.)

24 cm x cm 10 cm

10 - 2x cm x cm 24 cm x cm x cm

10 - 2x cm

Megoldás A keresztmetszet olyan téglalap, amelynek az oldalai x cm és (10 - 2x) cm hosszúak. (Itt az x bármely, az 5-nél kisebb pozitív szám lehet.) E téglalap területe x(10 - 2x) cm2, vagy másképp: 2x(5 - x) cm2. Tavaly az x ! R , x 7 x ^10 - 2x h függvényt vizsgáltuk, annak a segítségével állapítottuk meg, hogy ez a terület akkor a legnagyobb, ha 2,5 cm-t hajtunk fel a két oldalon. Elég sok munkába telt, amíg ide eljutottunk. Most, hogy megismertük a számtani és mértani közép közötti összefüggést, sokkal egyszerűbben kaphatjuk meg ezt az eredményt az alábbi okoskodás segítségével. Az x és az 5 - x pozitív számok mértani közepe nem nagyobb a számtani közepüknél: x + ^5 - x h = 2,5. 2 Négyzetre emelés után azt kapjuk, hogy és így 2x(5 - x) # 12,5, x(5 - x) # 2,52 = 6,25, vagyis a keresztmetszet területe nem nagyobb 12,5 cm2nél. Mikor éri el ez a terület a legnagyobb lehetséges értéket, a 12,5-et? A két szám mértani középe akkor a legnagyobb (akkor egyenlő a számok számtani közepével), amikor egyenlő számokról van szó. A jelen esetben tehát az kell, hogy az x és az 5 - x egyenlő legyen. x = 5 - x , ha 2x = 5, vagyis ha x = 2,5. Ezzel meg is oldottuk a feladatot.

kõkerítés

a

b

x ^5 - x h #

1 1 2 . l e c ke

S Z Á M O L Ó G É P P E L VAGY N É L K Ü L E ?

4.

Igazold, hogy az adott R sugarú körbe írt téglalapok közül a négyzetnek a legnagyobb a területe! (Útmutatás: hasonlítsd össze a téglalap két szomszédos oldala négyzetének a számtani és a mértani közepét!)

43

113

NÉGYZETGYÖKÖK ITT ÉS OTT

F E L A DAT

1.

Tavaly megállapítottuk (a 62. leckében), hogy ha egy pozitív szám nem négyzete semelyik racionális számnak, akkor a négyzetgyöke irracionális szám. Ez azt is jelenti, hogy ha egy pozitív egész szám nem négyzetszám, akkor a négyzetgyöke irracionális. Vizsgáld meg, hogy az alábbi számok közül melyek racionálisak és melyek irracionálisak! a)

2,

2+

2 $ 2, b)

8,

8+

2+

8,

8,

8-

22, 8

2 $ 8,

2.

2-

a) b)

7.

b) 8,

8. 8,

8-

c) d)

6 2 2 2

6 2 0, 4 2

e) f)

5 5 20 5

12 5 10 d) 5 c)

5 -tel!

500 5 0, 25 5

e) f)

Az a cm oldalú négyzet területe 5 cm2, a b cm oldalú négyzet területe 2 cm2.

2,

8 2

5 cm

2

a cm

2 cm

2

b cm

b cm a cm

a) Mekkora a és b? b) Mekkora az a + b oldalú négyzet területe? c) Mekkorák az 5 + 2 = 7 (cm2) területű négyzet oldalhosszúságai?

3.

Egy szám négyzete a) 49; b) 121; Melyik lehet ez a szám?

4.

Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán! a) x 2 = 144 d) 2x 2 - 56 = 0 b) x 2 - 36 = 0 e) 5x 2 - 0,8 = 0 2 c) 5x - 28,8 = 0 f) x 2 - 10-8 = 0

5.

Végezd el a műveleteket! Először számológép használata nélkül add meg a végeredményt, majd ellenőrizd számológéppel is, hogy jól számoltál-e! 5 h^ 7 -

8 2 0, 32 2

2 -vel!

Bővítsd vagy egyszerűsítsd a törteket a)

Egy négyzet területe a) 49 cm2; b) 121 cm2; c) 57 cm2; d) T cm2. Mekkora a négyzet oldala?

a) ^ 7 +

Egyszerűsítsd a törteket

2,

8 8

8 $ 8, c)

2, 2 2

6.

c) 57; d) T (és T 2 0).

9.

A fehér szabályos háromszög magasságai 6 cmesek. Hányszor akkora a zöld terület, mint a fehér? a) Adj becslést! b) Végezz számításokat számológéppel! c) Adj pontos eredményt!

5h

b) ^ 7 + 5h^ 7 - 5h c) ^ 7 + d) ^5 -

44

5h

2

7h

2

M AT E M AT I K A A M I N D E N N A P O K B A N

Ve g ye s p r o b l é m á k

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy szabályos háromszög területe T mm2. Racionális szám-e T, ha a háromszög oldala a) 1 cm; c) 3,4 cm; b) 27 mm; d) 131 607 401 295 mm?

2.

Melyik igaz, melyik hamis? Ha hamis, akkor javítsd úgy, hogy igaz legyen! a) 8 = 2 2 8 b) 233 $ 23 = 232 c) ^ 14 -

3.

Oldd meg a valós számok halmazán az egyenleteket! a) 2 $ x = 8 b) 3 $ x + 6 = 2 6 c) 3x = 27 3 x d) = 13 - 2 13 + 2

4.

A fehér szabályos háromszög magassága 12 cm. a) Hányszor akkora a kék terület, mint a fehér? b) Hányszor akkora a zöld terület, mint a kék?

5h = 9 2

d) ^ 5 + 14 h^ 14 -

5h = 9

RÁADÁS I. Tört nevezőjének gyöktelenítése Ha a tört nevezőjében négyzetgyök (is) szerepel, akkor általában nehezebben kezelhető a tört. Egyes esetekben egyszerű módszerrel „megszabadulhatunk” a nevezőben szereplő négyzetgyökös alaktól. Ehhez csupán bővítenünk kell a törtet egy alkalmas számmal. Például Hogyan írható az 5 tört olyan alakban, amelynek a ne6 vezőjében nincs négyzetgyök? Bővítsük a törtet 6 -tal! 5 = 5 $ 6 . Mivel ^ 6 h2 = 6 , ezért 5 = 5 $ 6 . 6 6 6$ 6 6 6 Hogyan írható a tört olyan alakban, amelynek a 3- 2 nevezőjében nincs négyzetgyök? A nevezőben két szám különbsége áll. Tudjuk, hogy ha ezt megszorozzuk ugyanennek a két számnak az összegével, akkor a két szám négyzetének a különbségét kapjuk meg. Ezért bővítsük a törtet ^3 + 2 h -vel! 6 $ ^3 + 2 h 6 $ ^3 + 2 h 6 = = = 2 2 ^3 - 2 h^3 + 2 h 3- 2 3 - ^ 2h 6 $ ^3 + 2 h 6 $ ^3 + 2 h 6 = , tehát . = 7 9- 2 3- 2

1 1 3 . l e c ke

N É GY Z E T GY Ö K Ö K I T T É S O T T

II. Ellentmondás? Az alábbiakban kétféleképpen A=

3+ 2 2 +

számoljuk

ki

az

3 - 2 2 szám pontos értékét.

Első módszer Először számoljuk ki a (pozitív) A szám négyzetét, majd ennek ismeretében az A-t is! A 2 = 3 + 2 2 + 3 - 2 2 + 2 ^3 + 2 2 h^3 - 2 2 h A 2 = 6 + 2 3 2 - ^2 2 h = 6 + 2 9 - 8 = 6 + 2 = 8 Mivel A 2 0 , ezért A = 8 . 2

Második módszer Észrevesszük, hogy 2 ^1 + 2 h = 1 + 2 2 + 2 = 3 + 2 2 és 2 ^1 - 2 h = 1 - 2 2 + 2 = 3 - 2 2 . Tehát 2 2 A = ^1 + 2 h + ^1 - 2 h = 1 + 2 + 1 azaz A = 2 .

2,

Ha mindkét esetben jól gondolkodtunk volna, akkor most éppen azt bizonyítottuk volna, hogy 8 = 2 . Ez nem igaz, tehát valahol hibáztunk. De hol?

45

114

EGYBEVÁGÓ HÁROMSZÖGEK

P É L DA Bence egy szabályos ötszöget rajzolt. Meghúzta (az ábra szerint) két átlóját, természetesnek vette, hogy ez a két átló egyenlő hosszú. Jól gondolta-e? D

I)

– Tényleg – töpreng Bence –, mert hiszen a szabályos ötszög mindegyik oldala egyenlő, és mindegyik szöge is ugyanakkora. Jocó erre mindjárt nekiállt magyarázni: IV)

D

C

E

D´ = E

C

E´

A

C´

B

Megoldás – Igazad lehet – mondta neki a barátja, Jocó –, de hogy bizonyítod ezt be? – Nem olyan nagy dolog ezt igazolni – szólt közbe Dönci, akinek igen jó szeme van a geometriához. – Nézzétek csak a rajzot! Jól látszik, hogy ha a DE vektorral eltoljuk a rózsaszínű háromszöget (II) ábra), utána pedig ezt a zöldet ügyesen elforgatjuk az E pont körül, akkor éppen az ADE háromszögbe megy át (III) ábra), vagyis AD = EC. D

II) D´ = E

C

E´

C´

– Látjátok, a rózsaszínű háromszög egybevágó a zöld háromszöggel, mert egy eltolással átvihető a zöldbe. A  zöld pedig egybevágó a kékkel, mert egy forgatással átvihető a kékbe. Most pedig mit kell látnunk? A zöld a rózsaszínűvel is és a kékkel is egybevágó, ezért a rózsaszínű és a kék is egybevágó egymással. Vagyis jól gondolta Bence, egyenlő hosszú a két átló. – Most veszem észre – kiált fel Dönci –, hogy sokkal egyszerűbben is beláthattam volna a rózsaszín és a kék háromszög egybevágóságát! Elég a szabályos ötszöget tükrözni a B csúcson átmenő szimmetriatengelyen át (V) ábra). Ekkor az ötszögnek erre a szimmetriatengelyére vonatkozó tükörképét kapom. Ez a tükörkép egybeesik az eredeti ötszöggel, a CDE háromszög tükörképe éppen az AED háromszög lesz. Tehát igaz, hogy AD = CE. D = E´

V) B

E½ = A

E = D´

C = A´

C½ = D

III) D½ = D´ = E

C

A = C´ E´

B = B´

C´ E½ = A

46

B

A

B

A Az ábrázolás megoldható a GeoGebra program ssegítségével is.

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

F E L A DAT

1.

Mekkorák a IV) ábrán látható kék és rózsaszínű háromszög szögei? Igaz-e, hogy a rózsaszínű háromszög is egyenlő szárú?

2.

Mekkorák az V) ábrán a fehér négyszög szögei és oldalai, ha a szabályos ötszög oldalai 4 cm-esek?

kalmazásával). Mindegyikre adj egy-egy példát a csúcsok megnevezésével! b) Mekkorák a „különböző fajtájú” háromszögek szögei? D C I

3.

Megrajzoltuk egy szabályos ötszög átlóit. a) Hány „különböző fajta” háromszög látható az ábrán? Két háromszöget „különböző fajtájúnak” tekintünk, ha nem egybevágók (nem vihetők át egymásba egybevágósági transzformációk – eltolások, elforgatások, tükrözések – al-

J

H

E F

G

B

A

ELMÉLET A 9. osztályban a 82. leckében foglalkoztunk egybevágósági transzformációkkal és egybevágó ponthalmazokkal. Idézzük fel, amit akkor tanultunk! – Két ponthalmazt egybevágónak mondunk, ha van olyan egybevágósági (vagyis távolságtartó) transzformáció, amely az egyiket a másikba viszi át. – Azt, hogy két ponthalmaz egybevágó, az , szimbólummal jelöljük. – Egybevágó sokszögek megfelelő oldalai egyenlő hosszúak, megfelelő szögei egyenlők. – Az eltolás, a (tengelyes, pontra vonatkozó, síkra vonatokozó) tükrözés, a (pont körüli és a tengely körüli) forgatás is egybevágósági transzformáció. Például a példában: CDE 9 , AED 9, mert egy tengelyes tükrözés segítségével egymásba átvihetők. Sok feladat megoldását elősegíti a következő négy elégséges feltétel, amelyeket a háromszögek egybevágósági alapeseteinek nevezünk: I. Ha két háromszögben egy-egy oldal és az ezeken fekvő két-két szög egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó. II. Ha két háromszögben két-két oldal és az általuk közbezárt szög egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó. III. Ha két háromszögben a három oldal páronként egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó. IV. Ha két háromszögben két-két oldal és közülük a nagyobbikkal szemben fekvő szög egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó.

1 1 4 . l e c ke

E GY B E V Á G Ó H Á RO M S Z Ö G E K

I.

II.

b c

c

b a

c

a

b c

b @

III. b

c

a

a

@

@

a

@

IV. (a > b) b

a

a

47

Például – a téglalapot (a paralelogrammát) az átlója két egybevágó háromszögre bontja, mert a részek oldalai páronként egyenlők; – az egyenlő szárú háromszöget az alaphoz tartozó magassága két egybevágó háromszögre bontja, mert a két keletkező háromszögnek egyenlő két oldala és a hosszabbik oldalakkal szemben fekvő szöge; – ha egy húrtrapézból az ábra szerint levágunk két háromszöget, akkor ezek egybevágók, mert egyenlő egy oldaluk (a trapéz két szára) és az azon az oldalon fekvő két szögük.

F E L A DAT

4.

Egy derékszögű háromszög egyik befogójára és az átfogójára egy-egy négyzetet állítottunk az ábra szerint. Mutasd meg az I–IV. alapeset valamelyikének felhasználásával, hogy a kék és a zöld háromszög egybevágó! Adj meg olyan egybevágósági transzformációt, amely a kék háromszöget a zöld háromszögbe viszi át!

5.

Oldd meg az előző feladatot a rajzon látható esetben!

6.

Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igazak-e! a) Ha két szabályos háromszög egy-egy oldala egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó. b) Ha két derékszögű háromszög átfogója megegyezik, akkor a két háromszög egybevágó. c) Ha két szabályos háromszögnek ugyanakkora a területe, akkor a két háromszög egybevágó. d) Ha két egyenlő szárú derékszögű háromszögnek ugyanakkora az átfogója, akkor a két háromszög egybevágó. e) Ha két egyenlő szárú háromszög egy-egy oldala és két szöge egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó.

a a

H Á Z I F E L A DAT

1.

48

Megrajzoltuk egy paralelogramma két átlóját. A  rajzon nyolc háromszög látható, közöttük 4 olyan pár van, amelyet két egybevágó háromszög alkot.

a) Jelöld meg az egybevágó párokat, és indokold is, hogy miért egybevágó a párt alkotó két háromszög! b) Hány különböző területű háromszög van a nyolc háromszög között?

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

2.

4.

Összekötöttük egy háromszög oldalfelező pontjait. Mutasd meg, hogy a három szakasz négy egybevágó háromszögre bontja az eredeti háromszöget!

Az ABCD paralelogramma három oldalára az ábra szerint egy-egy négyzetet állítottunk.

O2 A

3.

Derékszögű háromszög két befogójára egy-egy négyzetet állítottunk az ábra szerint. Igazold, hogy m = x = y!

O3

B O1

D C

a) Igazold, hogy O1BO2 9 , O3AO2 9! (O1, O2, O3 egy-egy négyzet középpontja.) b) Igazold, hogy az O1O2O3 9 egyenlő szárú és derékszögű!

m y

x

A GeoGebra programmal is ellenőrizheted az á állítás helyességét.

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG ELMÉLET Ha két sokszög egybevágó, akkor a megfelelő oldalaik és szögeik páronként egyenlők. Két sokszög egybevágóságához elégséges, hogy megfelelő oldalaik és szögeik páronként egyenlők legyenek.

F E L A DAT

1.

Az ABCD paralelogramma oldalaira az ábra szerint egy-egy négyzetet állítottunk. A négyzetek középpontja O1, O2, O3, O4. Igazold, hogy O az O1O3 szakasz hossza egyenlő az  O2O4 szakasz hosszával, és ez a két szakasz merőleges egymásra!

2.

Igazold, hogy ha g || h || k || l és a = b, akkor c = d ! l

k

O1 g

A

b

h

f

a

O4 B

D

c d

e

2

1 1 4 . l e c ke

C O3

E GY B E V Á G Ó H Á RO M S Z Ö G E K

49

115

BÚVÁROK A TENGEREN

BEVEZETŐ Arany Bencének jó barátja Dönci. Így örömmel vette, amikor Dönci családja őt is meg Jocó barátjukat is meghívta, sátorozzanak együtt a tengerparton. Szülei el is engedték. Amikor Bence elindult hazulról erre a nyaralásra, még feladott Hajninak egy találós kérdést: Négy vízi jármű mindegyike az összes többitől 300 m távolságra van. Az egyik motorcsónak, a másik vitorlás, a harmadik sétahajó. Mi a negyedik? – Tengeralattjáró – vágta rá azonnal Hajni. – De most te mondd meg, milyen mélyen van ez a tengeralattjáró a tenger szintje alatt! – Jó, majd kiszámolom, és megírom SMS-ben – felelte Bence. Persze a nyaralást nem ezzel kezdte, hanem a barátaival együtt beiratkozott egy rövid búvártanfolyamra, és izgatottan várta az első merülést.

F E L A DAT

1.

Hajóval vitték Bencét, Döncit és Jocót az egyik gyakorlómerülésre, egy nevezetes korallzátonyhoz, ahol 4 piros bója jelezte a merülési területet. A bóják egy 20 m-es oldalú négyzet csúcsaiban helyezkedtek el. D

20 m

C

K

20 m

B

A x

egybevágóságának melyik alapesetét kell használni a bizonyításhoz? c) Milyen mértani testtel írhatjuk le ezt a problémát? Ennek melyik alkotórészeit ismerjük? Melyik alkotórészét számította ki Bence?

2.

Dönci is középről indult, de ő 25 m mélyre merészkedett. Milyen távol volt az A bójától? És a többitől? Rajzold le az AKF derékszögű háromszöget, számítsd ki az átfogóját! Tehát mekkora távolságra volt Dönci a bójáktól? D

20 m

A

a) Mit mutatott Bence mélységmérője, amikor a négyzet középpontjában függőlegesen merült le úgy, hogy az A jelű bójától 20 m volt a távolsága? Rajzold le az AKE derékszögű háromszöget, ebből számítsd ki a KE mélységet! (AK az ABCD négyzet átlójának a fele.) Tehát mit mutatott a mélységmérő? b) Igazold, hogy merülése után Bence mind a 4 bójától egyenlő távolságra volt! A háromszögek

50

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

C

K

20 m

E

20 m

B 25 m y y

F

Geometriai mérések, számítások

ELMÉLET Az előző két feladatban többször is elfogadtuk bizonyos háromszögek esetén azt, hogy azok derékszögűek. Ezt a szemléletünk támasztja alá, amely szerint minden függőleges egyenes merőleges minden vízszintes síkra, a vízszintes síkban fekvő minden vízszintes egyenesre (függetlenül attól, hogy metsző vagy kitérő egyenesek). A sík és egyenes merőlegességének matematikai definíciója ezt a szemléletet megerősíti: Akkor mondjuk, hogy az e egyenes merőleges az S síkra, ha a sík minden egyenesére merőleges. Kísérlet Ha egy derékszögű vonalzó egyik befogóját ráhelyezed az asztal lapjára, akkor a vonalzó ennek a befogónak az egyenese (a) körül elforgatható. Most a másik befogó a sík egyik egyenesére merőleges, mást nem mondhatunk róla. Ha egy másik derékszögű vonalzót is ugyanígy helyezel el, az is körbeforgatható (a b egyenes körül). Ha azonban egymás mellé tolod a két vonalzót úgy, hogy a síkon kívüli befogójuk egy egyenesbe essen, akkor már fixen áll mindkét vonalzó, nem forgathatók el. Érdekes: ebben az esetben bármely harmadik derékszögű vonalzó is hozzájuk illeszthető úgy, hogy annak az egyik befogója szintén az asztal lapján legyen, a másik pedig egy egyenesbe essen a fix helyzetű egyenessel. Vagyis a két vonalzó közös befogóegyenese a sík mindegyik egyenesére merőleges. Kísérletünk azt mutatja, hogy ha egy egyenes egy sík két metsző egyenesére merőleges, akkor már merőleges a sík minden más egyenesére (és így az egész síkra) is.

b

a

S merõleges a síkra

b c a

S

H Á Z I F E L A DAT

1.

A merülés befejezése után Bence nem függőlegesen emelkedett, így végül az AD szakasz H felezőpontjában bukkant a felszínre. (Használd az 1. feladat ábráját és annak jelöléseit!) a) Mekkora távolságra van a H pont az E ponttól? b) Milyen nevezetes szakasza az ADE háromszögnek az EH szakasz? c) Számítsd ki az ADE háromszög területét!

1 1 5 . l e c ke

B Ú V Á RO K A T E N G E R E N

2.

Dönci ugyanott bukkant felszínre, ahol Bence. Mekkora utat tett meg a felbukkanásig, ha egyenes vonalban emelkedett? (Használd a 2. feladat ábráját és annak jelöléseit!)

3.

Számítsd ki az ABCDE és az ABCDF gúla felszínét, ha a gúlák méretei megegyeznek az 1., illetve a 2. feladat gúlájának méreteivel!

51

116

HOL VAN A TENGERALATTJÁRÓ?

BEVEZETŐ Bence a barátaival, Jocóval és Döncivel élvezte a búvárkodás örömeit. Mérték a mélységet (hivatalosan 25 méterig szabad lemerülni), élvezték a számukra először feltáruló csodálatos víz alatti élővilágot, de közben észrevették az eléjük kerülő matematikai problémákat is.

F E L A DAT

1.

Ma Jocó az egyik bójánál merült le, 25 m mélyre. Mekkora távolságra volt ekkor a bójáktól? D

20 m

20 m B

A

A

v v 25 m

C

a) Milyen mértani testtel írhatjuk le ezt a problémát? Sorold fel ennek a testnek a tulajdonságait! b) Rajzold le az ABG háromszöget és az ADG háromszöget! Számítsd ki a BG és a DG szakasz hosszát! c) Rajzold le az ACG háromszöget! Számítsd ki a CG szakasz hosszát! 20Ö2

C

z 25

z

G G

52

d) Rajzold meg (kicsinyítve) ennek a testnek a hálóját!

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

2.

a) Bence megfigyelte, hogy AT = BT = CT, mert az ATD, a BTD és a CTD derékszögű háromszögek egybevágók. Igazold ezt a megfigyelést! b) Következik-e az a) pontból, hogy T az ABC háromszög köré írt kör középpontja? c) Bence kifejezte a DT = x távolságot az ATD háromszögből: x 2 = 3002 - r 2, tehát először az r2 kiszámításához fogott hozzá. Számítsd ki, mekkora az r 2! Bence ehhez az AFT háromszöget használta, mert tudta, hogy FT = r . (Vajon honnan tudta?) 2

Egy délután Bence egyedül maradt a sátorban, mert a dagadt bokáját kellett borogatnia. Eszébe jutott, mit ígért Hajninak: kiszámítja, milyen mélyen úszik a tengeralattjáró (lásd 115. lecke Bevezetőjét).

300 m 300 m 300 m

x 300 m 300 m

300 m

r

A

A négy vízi járműről egy olyan gúla jutott az eszébe, amelynek 6 egyenlő, 300 m hosszú éle van. Ez egy szabályos tetraéder. Az ABC alaplap a tenger felszínén van, a tengeralattjáró mélysége a gúla DT magassága.

C

T

r 300

x

300

300 T r

D

A

r 2 150

B

150

F

C 300 m 300 m

T

d) Ellenőrizd eredményedet az AFC háromszögön! e) Mekkora tehát a DT távolság? Mit SMS-ezett Bence Hajninak?

A 300 m

300 m

B

x 300 m

300 m

D

ELMÉLET A Pitagorasz-tétel tárgyalásakor a 9. osztályban már megfigyeltük (lásd 19. lecke), hogy könnyen megjegyezhető kapcsolatok vannak egyes különleges háromszögek alkotórészei között: – az a befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója a 2 hosszúságú; – az a oldalú egyenlő oldalú háromszög magassága: a

1 1 6 . l e c ke

H O L VA N A T E N G E R A L AT TJ Á R Ó ?

3. 2

aÖ2

a

a

a

a Ö3 2

a a

53

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

Egy szabályos háromszög oldala 48 mm hosszú. Mekkora a) a magassága; b) a beírt kör sugara; c) a köré írt kör sugara? Mekkorák a szabályos háromszög oldalai, ha 48 mm-es a) a magassága; b) a beírt kör sugara; c) a köré írt kör sugara?

3.

Egy szabályos hatszög oldalainak hossza 48 mm. Mekkora a) a beírt kör sugara; b) a köré írt kör sugara?

4.

Mekkorák a szabályos hatszög oldalai, ha 48 mm-es a) a beírt kör sugara; b) a köré írt kör sugara?

RÁADÁS A 115. lecke 1. feladatában olyan gúlát láttunk, amelynek az alaplapja négyzet, és mindegyik éle ugyanakkora. Keress egybevágó derékszögű háromszögeket, és ezeknek a felhasználásával igazold, hogy az ilyen gúlákban d = 2h!

háromszög határolja (innen ered a neve: „nyolclapú”), 6 csúcsa és 12 egyenlő hosszú éle van. Ilyen testet határoznak meg például a kocka lapközéppontjai is. Még érdekesebb: a szabályos oktaéder lapközéppontjai pedig egy kockát határoznak meg.

h

d = 2h

Ha papírból elkészítjük két ilyen, egybevágó gúla modelljét, és azokat az alaplapjuknál összeragasztjuk, érdekes test, szabályos oktaéder keletkezik. Ezt 8 szabályos

54

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG E

Jocó bebizonyította, hogy az 1. feladatban látható CDG (és a vele egybevágó BCG) háromszög derékszögű. D

20 m

C b

m

20 m c

B

A

D

A

d

a

v

B

v 25 m

z

G

Az ábra jelöléseivel: CD 2 = 202 és DG 2 = 202 + 252 (a DAG derékszögű háromszögből). A 1. c) feladatban kiszámítottuk a CG szakasz hosszát. Ott ezt kaptuk a CAG derékszögű háromszögből: CG 2 = 252 + AC 2 = 252 + (202 + 202) = = 202 + (202 + 252). Ez azt jelenti, hogy CG 2 = CD 2 + DG 2 is igaz. A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint ebből következik, hogy a CDG háromszög derékszögű, és a derékszögű csúcsa a CG oldalával szemben, a D csúcsánál van. (A BCG háromszög derékszögű csúcsa B-nél van.) Az ábrát és a bizonyítást nézegetve Jocó megsejtette, hogy nemcsak a négyzet alapú, hanem a téglalap alapú gúla esetén is derékszögű háromszögek lesznek az oldallapok, ha a gúla egyik oldaléle merőleges az alaplapra. Ezt a sejtését be is bizonyította. (Az ABCD téglalap alapú gúla AE éle merőleges a téglalap síkjára az ábra szerint.)

e

C

majd az ACE háromszögben: b 2 = m 2 + d 2. E két egyenlőségből: b 2 = m 2 + a 2 + e 2. Újabb Pitagorasz-tételt írt fel az ABE háromszögre: c 2 = m 2 + a 2. Mivel b 2 = (m 2 + a 2) + e 2, ezért a BCE háromszög b, c, e oldalaira teljesül: b 2 = c 2 + e 2. A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint ebből következik, hogy a BCE háromszög derékszögű, és a derékszögű csúcsa a CE oldalával szemben, a B csúcsánál van. A CDE háromszögre hasonló módon igazolható, hogy derékszögű háromszög, a derékszögű csúcsa D-nél van. Dönci és Bence figyelte, mit csinál Jocó. – Magas nekem ez a sokféle betű! – mondta Dönci. – Tudod mit – felelte Jocó –, nekem sem tetszett túlságosan. Rájöttem azonban egy másik lehetséges bizonyításra: a BC egyenes merőleges az ABE síkra, mert ebben a síkban van két olyan metsző egyenes, amelyekre BC merőleges (az AB és az AE egyenes). Ebből következik, hogy BC merőleges az ABE sík mindegyik egyenesére, így a BE-re is. Ezért a BCE háromszög B-nél lévő szöge derékszög. Dönci fellelkesedett: – Ez így sokkal egyszerűbb, mint a sok Pitagorasz-tétellel! Bence azonban egyáltalán nem volt lelkes, ő a „sok betűvel” leírt okoskodást tartotta áttekinthetőbbnek.

Egymás után kétszer alkalmazta a Pitagorasz-tételt: először az ABC háromszögben: d 2 = a 2 + e 2,

1 1 6 . l e c ke

H O L VA N A T E N G E R A L AT TJ Á R Ó ?

55

117

MAGASSÁGTÉTEL, BEFOGÓTÉTEL

P É L DA

1.

Egy szikla csúcsa nehezen közelíthető meg, ám alkalmas távolságok mérésével kielégítő becslés adható a magasságára nézve. Számítsuk ki, mekkora a CC1 távolság! (Ez elég jó becslését adja annak, hogy milyen magasan van a C csúcs az AB-t tartalmazó vízszintes síkhoz képest.)

2.

Az ácsok így faragják egy henger alakú fatörzsből a legszilárdabb gerendát: A keresztmetszet egyik átmérőjét három egyenlő részre osztják, majd a két osztópontban, az ábra szerint, merőlegest állítanak az átmérőre.

C

b

m

a

42 m

15 m A

Ezeknek a merőlegeseknek a körrel való metszéspontjai és az eredeti átmérő végpontjai egy négyszöget határoznak meg. Ez lesz a legszilárdabb gerenda keresztmetszete. Számítsuk ki, mekkorák ennek a négyszögnek az oldalai, ha a henger keresztmetszete 24 cm átmérőjű kör!

C1

B

Megoldás Használjuk az ábra jelöléseit! Megoldás Pitagorasz-tétellel dolgozhatunk a két kisebb derékszögű háromszögben: a 2 = m 2 + 422 és b 2 = m 2 + 152. De az ABC háromszög is derékszögű, ezért a 2 + b 2 = 572. Azt kaptuk tehát, hogy (m 2 + 422) + (m 2 + 152) = 572, amiből 2m 2 = 572 - 422 - 152. A számolások elvégzése után: m 2 = 630, vagyis m = 630 . 25,1 (m). A C csúcs nem lehet a CC1 távolságnál, azaz kb. 25 méternél magasabban az AB szint felett. Észrevehetjük: m 2 = 630 = 15 ⋅ 42, vagyis a magasság négyzete egyenlő az átfogó két szeletének a szorzatával. Másképp fogalmazva: m = 15 $ 42 , vagyis ebben a háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogó két szeletének mértani közepe.

56

C

a

b

A

m

8

D

8

8

B

Pitagorasz tétele szerint a BCD, illetve az ADC derékszögű háromszögből adódik: a 2 = m 2 + 162; b 2 = m 2 + 82. Az ABC háromszög is derékszögű (Thalész-tétel). Ezért a 2 + b 2 = 242.

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

Észrevehetjük: m 2 = 128 = 8 ⋅ 16, a 2 = 384 = 16 ⋅ 24, b 2 = 192 = 8 ⋅ 24. Szóban: az átfogóhoz tartozó magasság négyzete egyenlő az átfogó két szeletének a szorzatával; a befogó négyzete egyenlő az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének a szorzatával. Másképp fogalmazva: m = 8 $ 16 , vagyis ebben a háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogó két szeletének mértani közepe; a = 16 $ 24 és b = 8 $ 24 , vagyis ebben a háromszögben mindkét befogó mértani közepe az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének.

Tehát: (m 2 + 162) + (m 2 + 82) = 242, 2m 2 = 242 - 162 - 82 = 256, m 2 = 128. Mekkorák a gerenda keresztmetszetének az oldalai? a 2 = m 2 + 162 = 128 + 256 = 384, tehát a = 384 . 19, 6 (cm). b 2 = m 2 + 82 = 128 + 64 = 3 ⋅ 64 = 192, tehát b = 192 . 13, 9 (cm). A legszilárdabb gerenda oldalainak hossza 19,6 cm, illetve 13,9 cm. Megjegyzés: A négyszög szimmetrikus a kör középpontjára, tehát paralelogramma. Ha egy paralelogrammának az egyik szöge derékszög, akkor a többi is az, tehát ez a négyszög téglalap.

ELMÉLET A példában megfogalmazott észrevételek minden derékszögű háromszög esetén érvényesek. Magasságtétel A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogó két szeletének mértani közepe. Az ábra jelölései szerint: m = pq . a

b

Befogótétel A derékszögű háromszög bármelyik befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe.

m

q

Az ábra jelölései szerint: a =

pc és b =

qc .

p c=p+q

A bizonyításokat megtalálod az 58. oldalon, a Kiegészítő anyag résznél.

F E L A DAT

1.

Melyik állítás igaz, melyik hamis? (BD = p, AD = q, O a kör középpontja, r a kör A sugara.)

C

r

q

O

a) m =

p+q 2 c) r $ m b) r =

m

D

pq

p

B

d) AC =

q^ p + qh

p-q 2 p-q 2 2 g) r = c m + pq 2 h) AC + BC = AB f) O D =

i) r - m = O D

e) BC = BD $ AB 2

1 17. l e c ke

M AG A S S Á G T É T E L , B E F O G Ó T É T E L

57

2.

Derékszögű háromszög átfogóját a hozzá tartozó magasság egy 5,4 cm és egy 9,6 cm hosszú szakaszra osztja. a) A magasságtétel, illetve a befogótétel alkalmazásával számítsd ki, hogy mekkora az átfogóhoz tartozó magasság és mekkorák a befogók! b) Mekkora a háromszög körülírt körének sugara?

3.

Derékszögű háromszög befogóinak hossza 8 cm és 15 cm. a) Mekkora a háromszög átfogója? b) Mekkora részekre osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság? c) Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?

3.

a) Számítsd ki, mekkora a szabályos nyolcszög oldala! b) Mekkora távolságra vannak a szabályos nyolcszög csúcsai az AE átló egyenesétől?

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

Szerkessz olyan derékszögű háromszöget, amelynek az átfogóját a magasság 2 cm és 8 cm hoszszú szakaszokra osztja! Számítással határozd meg a magasság és a befogók hosszát, majd ellenőrizd méréssel az eredményeidet! Az ABC szabályos háromszög AB oldalának hossza 12 cm. Az AB oldal F felezőpontjából állíts merőlegest az AC oldalra! Mekkora szakaszokra osztja a merőleges az AC oldalt? Oldd meg a feladatot a szabályos háromszög ismert tulajdonságainak felhasználásával, majd a befogótétel felhasználásával is!

F

E

D

G 24 H

C

A

B

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Bizonyítsuk be a magasságtételt! Pitagorasz tétele szerint a 2 + b 2 = c 2 ; a 2 + b 2 = ^ p + q h2 = p 2 + 2pq + q 2 . Átrendezve: ^a 2 - p 2h + ^b 2 - q 2h = 2pq ; m 2 + m 2 = 2pq ;

Bizonyítsuk be a befogótételt! Az a = pc állítás igazolásához Pitagorasz tételét és a magasságtétel m 2 = pq alakját használjuk fel. A szürke háromszög derékszögű, ezért a 2 = m 2 + p 2 = pq + p 2 = p ^ p + q h = pc .

m 2 = pq ; m = pq . A számítás során felhasználtuk, hogy a magasság két derékszögű háromszögre bontja az eredeti háromszöget.

Ha a 2 = pc , akkor a =

b

a

Hasonlóan igazolható az is, hogy b 2 = qc , vagyis b =

qc .

a

b m

m q

p

q

p c=p+q

c=p+q

58

pc .

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

ELMÉLET Két pozitív szám négyzetes közepe és harmonikus közepe Definíció Az a és a b pozitív számok négyzetes közepének nevezzük a a  2 számot. 1+1 a b

a 2 + b 2 számot, harmonikus közepének pedig 2

Megjegyzés: az a és a b pozitív számok harmonikus közepét írhatjuk 2ab alakban is. a+b

Tétel Ha a és b pozitív számok, akkor a 2 + b 2 $ a + b $ ab $ 2 . 2 2 1+1 a b Ha a és b egyenlő, akkor mind a négy közép egyenlő a-val (és természetesen b-vel). Ha a és b nem egyenlő, akkor a négy közép közül semelyik kettő nem egyenlő egymással. Ennek az egyenlőtlenségnek azt a részét, amely a számtani és a mértani középre vonatkozik, a 10. lecke emelt szintű részében bizonyítottuk. Az alábbiakban egy olyan geometriai szemléltetés látható, amely egy ábrában mutatja az a és b pozitív számok (a ! b) négy nevezetes közepét és a közöttük fennálló egyenlőtlenségeket is. Legyen 0 1 b 1 a, továbbá legyenek a P kezdőpontú félegyenesre illeszkedő, A, B pontok olyanok, hogy PA = a és PB = b. Jelöljük K-val az AB átmérőjű kör középpontját. Mivel AB = a - b, ezért a kör sugara a - b . 2 Első lépés

R

PK = b + a - b = a + b , 2 2 tehát ez a szakasz a számtani közepet szemlélteti.

a-b 2 P

B

K

A

Állítsunk a K pontban merőlegest PA-ra, legyen R a merőleges és a kör egyik metszéspontja. A PKR derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétellel: PR =

a+b 2 a-b 2 ` 2 j +` 2 j =

2a 2 + 2b 2 = 4

a 2 + b 2 , tehát a PR szakasz a négyzetes közepet 2 szemlélteti. =

1 17. l e c ke

M AG A S S Á G T É T E L , B E F O G Ó T É T E L

Mivel a PKR derékszögű háromszög PR átfogója hosszabb a PK befogójánál, ezért

a2 + b2 $ a + b . 2 2

Második lépés Legyen E a P-ből a körhöz húzott egyik érintő érintési pontja.

E a-b 2 P

B

K

A

A Pitagorasz-tétel szerint 2 2 PE 2 = PK 2 - KE 2 = ` a + b j - ` a - b j = 4ab = ab . 2 2 4 PE = ab , tehát ez a szakasz a mértani közepet szemlélteti. Mivel a PKE derékszögű háromszög PK átfogója hosszabb a PE befogójánál, ezért a + b $ ab . 2 Harmadik lépés Állítsunk az E pontból meE rőlegest PA-ra, legyen a merőleges talppontja Q. A K A befogótétel szerint P B Q 2 vagyis PE = PK $ PQ , ab = a + b $ PQ . 2 Ebből PQ = 2ab , tehát PQ a harmonikus közepet szema+b lélteti. Mivel a PQE derékszögű háromszög PE átfogója hosszabb 2 . a PQ befogójánál, ezért ab $ 1+1 a b Egyszerűen látható az is, hogy egyenlőség mindegyik esetben pontosan akkor lehetséges, ha a = b.

59

118

SZERKESSZÜNK ÉS SZÁMOLJUNK!

P É L DA Szerkesszünk olyan négyzetet, amelynek a területe megegyezik az ABCD téglalap területével! Megoldás A téglalap oldalainak hossza legyen a és b, területe ekkor ab. b

D

C

a a

A

B

O

Öab

Ha egy négyzetnek ugyanekkora a területe, akkor az oldala ab hosszúságú. Tehát az a és a b ismeretében ab hosszúságú szakaszt kell szerkesztenünk. Ez lesz a keresett négyzet oldala. Feladatunkat így is megfogalmazhatnánk: Szerkesszünk olyan szakaszt, amelynek a hossza két adott hosszúság mértani közepe! Mérjünk az ábra szerint a b hosszúságú AB szakasz után egy a hosszúságú szakaszt. A Thalész-tétel felhasználásával szerkesszünk egy olyan derékszögű háromszöget, amelynek az átfogója a + b hosszúságú, és az átfogóhoz tartozó magasságának talppontja éppen a B pont. A magasságtétel szerint az átfogóhoz tartozó magasság ab hosszúságú. Ha tehát egy olyan négyzetet szerkesztünk, amelynek éppen ekkora az oldala, akkor annak a területe ab lesz.

F E L A DAT

1.

a) Az ábra alapján magyarázd el, hogyan szerkesztettük meg a számegyenesen a 15 szám helyét! Indokold a szerkesztés helyességét!

2.

a) Egy 2 cm és egy 5 cm átmérőjű kör kívülről érinti egymást. Számítással igazold, hogy a közös érintőszakaszuk hossza éppen a két átmérő mértani közepével egyenlő!

Ö15

0

1

2,5

3

Ö15

b) Az ábra melyik szakaszának hossza lyik szakasz 10 hosszúságú? c) Szerkeszd meg a számegyenesen a helyét!

60

5

6 , és me20 szám

b) Hogyan kapható meg a két kör középpontját összekötő szakasz hossza az átmérők hosszából?

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

3.

4.

c) Az ábra alapján leolvasható a két átmérő számtani és mértani közepe közötti nagysági viszony is. Hogyan? d) Igazak-e az előbbiekhez hasonló állítások más nagyságú, kívülről érintkező körök esetében is?

D

Q

C

Egy 5 cm sugarú kör O középpontjától 3 cm-re van a P pont. a) A P ponton áthaladó húrok közül melyik a leghosszabb és melyik a legrövidebb? (Használd fel azt az ismeretet, hogy egy adott körben egy húr hossza annál kisebb, minél távolabb van a húr felezőpontja a kör középpontjától!) b) Számítsd ki a P-re illeszkedő leghosszabb, illetve legrövidebb húr hosszát!

A

P

B

Többféleképpen is felvághatjuk két téglalapra az ABCD téglalapot. Bence szerint ez akkor a „legkellemesebb” az emberi szemnek, ha a hosszabb (AB) oldal két részének a mértani közepe éppen az eredeti téglalap rövidebb (AD) oldalával egyenlő.

a) Szerkeszd meg a Bence szerinti „kellemes” felosztást egy olyan téglalap esetében, amelynek rövidebb oldala 2 cm, hosszabb oldala pedig 6 cm! Hány megfelelő pont szerkeszthető a hoszszabbik oldalon? b) Van-e olyan téglalap, amelynek csak egyetlen „kellemes” felosztása van? c) Van-e olyan téglalap, amelynek nincs olyan felosztása, amely Bence szerint „kellemes” lenne? d) Dönci azt mondta Bencének, hogy szerinte a „kellemes” felosztás meghatározásánál a mértani közép helyett a számtani közepet kellene választania. Mi a véleményed erről?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Szerkessz olyan négyzetet, amelynek a területe pontosan 18 cm2!

2.

a) Szerkeszd meg a számegyenesen a magasságtétel segítségével a 24 helyét! b) Szerkeszd meg a számegyenesen a befogótétel segítségével a 24 helyét!

3.

Egy négyzet alakú, vízszintes fémlapra két 4 cm átmérőjű és egy 9 cm átmérőjű üveggömböt helyezünk el úgy, hogy a lappal érintkező pontjaik a fémlap középvonalán legyenek. Mekkora annak a legkisebb fémlapnak az oldala, amelyen elfér így a három gömb?

1 1 8 . l e c ke

SZERKESSZÜNK ÉS SZÁMOLJUNK!

61

119

CSOPORTVERSENY

CSOPORTMUNKA Alkossatok négyfős csoportokat!

1.

Oldjátok meg az 1–8. feladatokat! Az a csoport, amelyik először írja fel a jó eredményt a táblára, jutalomban részesül. Amikor minden csoport felírta az eredményét, akkor a verseny véget ér. Amíg van olyan csoport, amelyik nem végzett a munkájával, addig a már végzettek egyszer javíthatnak a táblára felírt számukon. 1. feladat Sára 140 ezer forintos fizetését tavaly 20%-kal felemelték. Az idén újabb, 15%-os emelést kapott. Hány százalékkal nőtt végül is a fizetése?

Jelöld ezt a számot A-val!

2. feladat Egy szabályos háromszög oldalai 12 cm-esek. Számítsd ki a magasságát! Melyik két egész szám fogja közre ezt az irracionális számot?

Ennek a két egész számnak az összegét jelöld a B betűvel!

3. feladat Megrajzoltuk egy szabályos ötszög 3 átlóját. Hány 36°-os szög keletkezett?

Az eredményt jelöld a C betűvel!

4. feladat Egy háromszög oldalhosszúságai: nagyobb szöge?

A kapott számot jelöld D-vel!

5. feladat Hányszorosa a

72 a

7 cm, 18 cm, 5 cm. Hány fokos a leg-

A kapott számot jelöld E-vel!

2 -nek? Fejezd ki az eredményt egy egész számmal!

6. feladat Fejezd ki egy egész számmal, hogy mennyi

45 : 3 ! 30 18

A kapott számot jelöld F-fel!

C

7. feladat Hány cm-es az ABC háromszög legrövidebb oldala?

A kapott számot jelöld G-vel! A

4 cm

5 cm

8. feladat Mennyi A - C + D ? B-G EF

2.

62

B

A kapott számot írd fel a táblára!

Az első 3 helyezett csapat bemutatja, milyen egyszerű módszereket alkalmazott a megoldások közben.

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

H Á Z I F E L A DAT

1.

Az AB szakaszon felvettük a P és Q pontot úgy, hogy AP = 4 cm, AQ = 12 cm legyen. A PQ szakasz hossza mértani közepe az AP és a PB szakasz hosszának. Hány cm hosszú az AB szakasz?

2.

Egy kör AC átmérőjét a rá merőleges BD húr egy 9 cm-es és egy 3 cm-es szakaszra osztja. a) Hány cm hosszú a BD húr? b) Mekkora az ABCD deltoid kerülete és területe?

3.

A) 5 $ 32 $ 2 B) 34 2 C) 6 ^ 24 - 6 h

B

9 cm

A

Állítsd párba az egyenlőket! Ne használj számológépet! A füzetedben dolgozva jegyezd le a számolásod lépéseit! A jobb oldali oszlopban van egy kakukktojás is.

3 cm C

a) 5 b) 6 c) 6 3 d) 40

D) 6 3 - 27 27

D

e)

^ 5h

17

3

E)

f) 1

5

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

1.

2.

Igaz-e a magasságtétel megfordítása?

Megoldás Azt kell megvizsgálnunk, hogy ha egy háromszög egyik magassága két olyan szeletre osztja a háromszög oldalát, amelyeknek a magasság a mértani közepe, akkor derékszögű-e a háromszög. Látni fogjuk, hogy ez az állítás igaz. A BDC derékszögű háromszögből: a 2 = p 2 + pq , az ADC derékszögű háromszögből: b 2 = q 2 + pq . A két egyenletből: a 2 + b 2 = p 2 + 2pq + q 2 = ^ p + q h2 . Az ABC háromszögben p + q = AB, tehát igaz, hogy AB 2 = BC 2 + CA 2 . A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint ez azt jelenti, hogy az ABC háromszög derékszögű, és a derékszöge a C csúcsánál van. C a

B

1 1 9 . l e c ke

p

CSOPORT VERSENY

Bizonyítás Húzzunk párhuzamost az ábra szerint az AC átlóval a D csúcsból! Ekkor egyrészt az EDBB megegyezik az átlók szögével, mert egyállású szögek, másrészt az EACD négyszög paralelogramma, hiszen szemközti oldalai párhuzamosak. Emiatt EA = CD. Ha tudjuk, hogy az átlók merőlegesek, akkor az EDB háromszög derékszögű, ezért a magasságtétel miatt d = ac . Ha viszont azt tudjuk, hogy d = ac , akkor a magasságtétel megfordítása miatt EDBB = 90°, tehát a trapéz átlói merőlegesek. C c Ezzel az állítást D { bizonyítottuk.

b

Öpq

D

Igazoljuk, hogy a derékszögű trapéz átlói akkor és csak akkor merőlegesek egymásra, ha a trapéz derékszögű szára a két alap mértani közepével egyenlő!

q

d

A

E

c

A

{

b

a

B

63

120

A FÖLD KERÜLETE ÉS A SZERENCSEKERÉK

CSOPORTMUNKA Alkossatok négyfős csoportokat! Oldjátok meg mindkét feladatot, majd alkossatok a csoportok 1-1 tagjából új csoportokat. Egyeztessétek megoldásaitokat az új csoporttársaitokkal!

1.

A következő feladatban egy híres ókori kísérlet elevenedik meg, amelynek során megmérték a Föld „kerületét”, mégpedig elég jó közelítéssel. Olvassátok el figyelmesen a szöveget, beszéljétek meg, miről van szó, majd egészítsétek ki ceruzával a könyvbeli ábrát! (A Föld modellezéséhez használjatok gömb alakú tárgyat!) A görög Poszeidóniosz „megmérte” a Föld kerületét (az Egyenlítő hosszát), ehhez a jól látható Canopus csillagot használta. Úgy vélte, hogy Rhodosz és Alexandria azonos hosszúsági körön fekszik, és a két település távolságát az utazók számításai alapján 5000 stadiumnak vette. Amikor Rodoszban a horizonton (r) éppen meg lehet pillantani a Canopust, akkor Alexandriában a csillagot az ottani horizonthoz (a) képest a teljesszög 48-ad részének megfelelő szög (a) alatt lehetett látni. A Canopushoz Rodoszból és Alexandriából húzott „látósugarakat” (r és c) a csillag nagyon nagy távolsága miatt párhuzamosnak tekinthetjük. (Figyeld az Rh

csillag (Canopus) a

R

r

rhodoszi horizont A

Megjegyzés Néhány évvel ezelőtt – német középiskolások kezdeményezésére – megismételték a mérést. A svájci és német diákok együttműködése alapján elkészült eredmény valamivel több mint 5% eltérést mutatott.)

c alexandriai horizont a

O p

64

ábrát! Az ábrán megjelenő távolságok nem méretarányosak, az a is jóval nagyobb az ábrán, mint a valóságban.) A horizont mindig merőleges a sugárra, így ha meghúzzuk az alexandriai horizontegyenessel párhuzamos p egyenest, amely „Rodoszon megy át”, akkor a rhodoszi horizont egyenesének és ennek az utóbbi egyenesnek a szöge szintén a (egyállású szögek miatt). Ebből következik, hogy az 5000 stadium hoszszú körívhez tartozó középponti szög is a (merőleges szárú hegyesszögek miatt). Poszeidóniosz az előbbi adatokból kiszámította, hogy hány stadium a Föld „kerülete”. a) Gondold végig, hogyan számolhatott Poszeidóniosz! Számítsd ki a Föld „kerületének” (az Egyenlítőnek) a hosszát a megadott adatokból! b) A kör kerületének ma ismert képletéből számítsd ki, hány stadiumnak mérhette Poszeidóniosz a Föld sugarát! c) A kapott eredmény alapján számítsd ki, mennyit tévedett az ókori tudós, (add meg százalékban is)! (1 stadium körülbelül 157,5 m.) d) Mi lehetett az oka annak, hogy Poszeidóniosz számítása ennyire eltért a ma már közismert értékektől?

2.

Játékos vetélkedőknek gyakran főszereplője a szerencse is. A következő ábrán olyan „szerencsekereket” látunk, amelyen egy körlemezt 16 részre bontottak. Az azonos színű részek egybevágók. A szerencsekerék egy rögzített nyíl előtt pörög. Amikor a kerék megáll, akkor megnézik, hogy a nyíl hegye milyen színű mezőre mutat. A zöld színű mezők nem nyernek, a többi mező nyer.

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

a) Mekkora a nyerés esélye, ha a zöld színű körcikkekhez tartozó középponti szög 25°-os? b) Mekkora legyen a zöld színű mezőkhöz tartozó középponti szög, ha olyan szerencsekereket akartok készíteni, amelyen a nyerés esélye 1. 0,5; 2. 0,4; 3. 0,3? c) Tervezzetek négy mezőből álló szerencsekereket, amelyen a nyerés esélyét előre megadjátok!

ELMÉLET Ha egy kísérletet akárhányszor elvégezhetünk úgy, hogy az eredménye csak a véletlenen múlik, akkor ezt véletlen eseménynek nevezzük. Ha egy ilyen kísérletnek véges számú eredménye lehet, és azok mind egyformán valószínűek, akkor könnyű megmondanunk, mennyi egy (a kísérletre vonatkozó) esemény esélye, más szóval: valószínűsége. Hogyan? A számunkra kedvező eredmények számát elosztjuk az összes lehetséges eredmény számával. Például a fenti szerencsekerék esetében 360 egyformán valószínű eredményt vizsgálhatunk aszerint, hogy melyik 1°-os középponti szöget jelöli ki a nyíl. Ha nekünk 200° a „jó”, mint a feladat a) részében, akkor az esély, vagyis a valószínűség 200 = 5 . 360 9 Hasonlóan: annak a valószínűsége, hogy egy 32 lapos magyarkártya-csomagból egy lapot kiválasztva piros figurát kapunk, 4 = 1 , mert a 32 lap között 4 piros figura van. 32 8 H Á Z I F E L A DAT

1.

Dönci édesanyja egy szövödében dolgozik, ahol különleges, 6 méter széles vízálló ponyvát (erős, durva szövésű vásznat) is gyártanak. Szeretne a fiának és a fia két barátjának egy-egy jó sátorlapot készíteni, ezért vásárol ebből (kedvezményes áron!) 6  métert. A négyzet alakú vászonból a fiúk segítségével kivág egy nagy kört, azt három egyenes vágással három egyforma (egybevágó) részre vágják és beszegik. Már készen is vannak a sátorlapok. a) Milyen alakú egy-egy sátorlap? b) Hány métert kellett beszegni?

6m

6m

Körcikk alakú ponyvából sátrat formázunk. 3m

120°

3m Þ

3m

3m m r

a) Mekkora sugarú lesz a sátor alaplapja? b) Milyen magas lesz a sátor?

3.

Folytasd az előző feladatot! Milyen magas sátrak keletkeznének, ha a körcikk alakú ponyvák középponti szöge nem 120°-os, hanem a) 60°-os, c) 180°-os, e) 330°-os b) 90°-os, d) 240°-os, lenne? Melyik sátor lenne jó kutyaólnak, raktárnak, szálláshelynek?

4.

Foglalkozz a csoportmunka 2. feladatában szereplő szerencsekerékkel! Mekkora a nyerés esélye akkor, ha egy zöld körcikk a teljes körlemez egy tized része?

6m

6m

1 2 0 . l e c ke

2.

A FÖLD KERÜLETE ÉS A SZERENCSEKERÉK

65

121

KÖZÉPPONTI SZÖG, KÖRÍV, KÖRCIKK

F E L A DAT

1.

Virágórát készítünk piros paprikavirágból, fehér szegfűből, sárga körömvirágból és kék nefelejcsből; az óra kerülete 36 dm. A virágóra kismutatója 10 órától 3 óráig piros, 3 órától 5 óráig fehér, 5 órától 8 óráig kék, 8 órától 10 óráig sárga virágok körül fordul el. A külső körön a szomszédos virágok távolsága 10 cm. a) Rajzold le ezt a virágórát! (Készíts vázlatot!) b) Milyen hosszú a külső körön az egy órára jutó ív? Milyen hosszú a piros, fehér, sárga és kék ív? c) A külső körön melyik fajta virágból hányra lesz szükség?

ELMÉLET Pontosítsuk a fogalmakat, és figyeljük meg ezeknek néhány tulajdonságát! Rajzoljuk meg egy kör két sugarát, az OA-t és az OB-t! Most a körvonalat két körívre, a körlemezt két körcikkre bontottuk. Két olyan szöget is látunk, amelyeknek O a csúcsa, az OA és az OB félegyenese pedig a két szára. Ezeket a szögeket az adott körre nézve középponti szögeknek mondjuk. A körbe rajzolt két sugár két olyan középponti szöget ad meg, amelyeknek az összege egy teljesszög.

B

A

O

Igazak a következő kijelentések (tételek). Egy körben – minden középponti szöghöz tartozik egy körív és egy körcikk; egyenlő középponti szögekhez egyenlő hosszúságú körívek és egyenlő területű körcikkek tartoznak; – minden körívhez tartozik egy középponti szög és egy körcikk; egyenlő körívekhez egyenlő nagyságú középponti szögek és egyenlő területű körcikkek tartoznak; – minden körcikkhez tartozik egy középponti szög és egy körív; egyenlő területű körcikkekhez egyenlő nagyságú középponti szögek és egyenlő hosszúságú körívek tartoznak. Ha egy körben egy középponti szög 2-szer, 3-szor, 4-szer, … akkora, mint egy másik középponti szög, akkor a nagyobbikhoz tartozó körív is és körcikk is 2-szer, 3-szor, 4-szer, … akkora, mint a kisebbikhez tartozó körív, illetve körcikk. i

i i

i

i i

i

i i i

i i

66

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

Bizonyítható, hogy egy körben a középponti szögek nagysága, a hozzájuk tartozó körívek hosszúsága és a hozzájuk tartozó körcikkek területe egyenesen arányos. 6 cm 6 cm 32°

6 cm

32°

32°

O

16°

3 cm

Például az ábrán megadott kör esetében: a 80°-os középponti szög 2,5-szer akkora, mint a 32°-os, ezért 2,5-szer olyan hosszú (15 cm-es) körív és 2,5-szer akkora területű körcikk tartozik hozzá, mint a 32°-oshoz. Fordítva: a 15 cm hosszú körívhez 2,5-szer akkora középponti szög tartozik, mint a 6 cm hosszúhoz (valóban, 15 : 6 = 80 : 32 = 2,5).

A Bevezetőben a különböző színű virágok körcikkeket határoznak meg. A fehér rész középponti szöge 60°, ugyanekkora a sárga részé. A kék körcikk középponti szöge 90°, a pirosé 150°. A középponti szögek aránya 2 : 2 : 3 : 5, ugyanennyi a megfelelő körívek hosszának aránya is (ugyanezt mutatja például, hogy melyik színű virágból hányat ültethetünk el).

P É L DA Az előző leckében megismerkedtünk egyfajta szerencsekerékkel. Most az ábrán látható szerencsekerék „nyert” mezői 21°-os középponti szögű körcikkek, „nem nyert” mezői 24°-os középponti szögű körcikkek. A kerék sugara a valóságban 50 cm. 21° 24°

Központi szög fokban

Körív hossza cm-ben

360

100r

1

100r = 5 r 360 18

21

5r $ 21 = 35 r . 18,3 18 6

24

5r $ 24 = 20 r . 20,9 18 3

b) Felhasználjuk, hogy az 1°-os középponti szöghöz tartozó körcikk területe 360-ad része a kör területének. a) Mekkora körív tartozik egy „nyert” feliratú mezőhöz, és mekkora egy „nem nyert” feliratúhoz? b) Mekkora egy nyerő és egy nem nyerő körcikk területe? Megoldás a) Felhasználjuk, hogy az 1°-os középponti szöghöz tartozó körív hossza 360-ad része a kör kerületének. A 21°-os középponti szöghöz tartozó körív 21-szer ekkora, a 24°-os középponti szöghöz tartozó körív 24-szer ekkora. Tehát egy „nyert” mezőhöz közelítőleg 18 cm-es, egy „nem nyert” mezőhöz közelítőleg 21 cm-es körív tartozik.

1 2 1 . l e c ke

K Ö Z É P P O N T I S Z Ö G , K Ö R Í V, K Ö RC I K K

A 21°-os középponti szöghöz tartozó körcikk 21-szer ekkora, a 24°-os középponti szöghöz tartozó körcikk 24-szer ekkora. Központi szög fokban Körcikk területe cm2-ben 360

2500r

1

2500r = 125 r 360 18

21

125r $ 21 = 875 r . 458 18 6

24

125r $ 24 = 500 r . 524 18 3

Tehát egy „nyerő” mezőhöz közelítőleg 458 cm2-es, egy „nem nyerő” mezőhöz pedig 524 cm2-es körcikk tartozik.

67

2.

Oldd meg a következő feladatokat! Készíts vázlatot a körcikkekről! a) Mekkora annak a 12 cm sugarú körívnek a hossza és a körcikk területe, amelynek a középponti szöge 107°? b) Mekkora a 181,5 mm ívhosszúságú, 200°-os középponti szögű körcikk sugara és területe? c) Mekkora a 10 m sugarú, 10 m ívhosszúságú körcikk középponti szöge és területe?

ELMÉLET Az előzőekben többször alkalmazott gondolatmeneteinket képletekkel is megjeleníthetjük! i = 2rra 360 t = r ra 360 2

a°

Ha egy r cm sugarú körben egy középponti szög a°-os, akkor a hozzá tartozó körív hossza a körkerület 360-ad részének az a-szorosa. Ha ennek a cm-ben mért hosszúságát i-vel jelöljük, akkor i = 2rr $ a = rra (cm). 360 180 Ugyanebben a körben egy a°-os középponti szöghöz tartozó körcikk területe a körterület 360-ad részének az a-szorosa. Ha ennek a cm2-ben mért nagyságát t-vel jelöljük, akkor 2 2 t = r r $ a = r ra (cm2). 360 360

Például egy 4,3 cm sugarú körben a 77°-os középponti szöghöz 4,3r : 180 ⋅ 77 . 1,8r . 5,7 centiméteres körív és 4,32r : 360 ⋅ 77 . 4,0r . 13 négyzetcentiméteres körcikk tartozik.

1.

68

Oldd meg a következő feladatokat! Készíts vázlatot a körcikkekről! a) Mekkora annak a 100 cm ívhosszúságú körcikknek a sugara és területe, melynek középponti szöge 286,5°? b) Mekkora a 42°-os középponti szögű, 450 m2 területű körcikk sugara és ívhosszúsága?

c) Mekkora a középponti szöge és a területe egy 15 cm sugarú kör 45 cm hosszú ívéhez tartozó körcikkének? d) Egy körcikk területe 24r cm2, a hozzá tartozó körív hossza 6r cm. Mekkora a középponti szöge és a sugara?

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

2.

A Föld Nap körüli mozgásának pályája közelíthető egy 150 millió km sugarú körrel. a) Mekkora a Föld pályájának kerülete? b) Mekkora ívet fut be a Föld egy nap alatt, és mekkora az ehhez az ívhez tartozó középponti szög? c) Mekkora a Föld pályájának 150 millió km hosszú ívéhez tartozó középponti szög, és mekkora az ívhez tartozó körcikk területe?

3.

Körülbelül hány km-t repül az a repülőgép, amely Londonból Accrába (Ghana) tart (leszállás nélkül)? A londoni repülőtér a 0°-os hosszúsági és 51,5°-os északi szélességi körön fekszik, az accrai repülőtér L pedig szintén (megközelítőleg) a 0°-os i hosszúsági és 5,7°51,5° A os északi szélességi 5,7° körön fekszik. (A Föld sugarát vedd 6370 km-nek!)

RÁADÁS Részlet a dartsjáték szabályzatából (a darts angol eredetű játék és sport, melynek dupla szektor 5 20 1 tripla szektor 18 12 során apró nyilakat dobnak egy kör alakú céltábla különböző pontértékű szektoraira): „A dartstábla méretei a következők legyenek: a dupla és a tripla gyűrűk szélességének mérete 8 mm, a 25 pontot érő külső Bull nevű gyűrű külsõ Bull átmérője 31,8 mm, az 50 pontot érő körlap, a Bull átmérője 12,7 mm. A dupBull la gyűrű külső széle a középpontig 170 mm. A tripla gyűrű külső széle a középpontig 107 mm …” a) Hány mm2 a „Bull’s eye” (röviden: „Bull”), illetve a „külső Bull” területe? („Bull’s eye” angolul „bikaszemet” jelent.) szimpla szektor b) Hány mm2 az egyes körcikkek területe? 2 c) Hány mm egy dupla szektor, illetve egy tripla szektor területe? d) Hány mm2 a szimpla szektor területe a dartstáblán? e) Írd fel a teljes dartstábla területének felosztását a következő módon, minden területet mm2-ben mérve! TBull + Tkülső Bull + Tszimpla szektorok + Tdupla szektorok + Ttripla szektorok Számítsd ki, hogy az egyes területek mekkora részei a dartstábla területének!

2.

Bence sajátos módon oldja meg az előző feladatot. Szerinte a szektorok területét egyszerűen ki lehet számolni, ha a szektor vastagságát (a kör sugarának azt a részét, amelyet a szektor kimetsz) megszorozzuk a szektor rövidebb és hoszszabb ívének átlagával. Bence szerint ez utóbbi éppen a szektor középvonalának hossza. Bizonyítsd be, hogy Bence módszere helyes, és keresd meg a szektorokban a középvonalakat!

6

11

13

14

4

9

1.

15

16

8

10

17

3

19

7

K Ö Z É P P O N T I S Z Ö G , K Ö R Í V, K Ö RC I K K

2

1 2 1 . l e c ke

69

122

GYAKORLÁS

ELMÉLET 2 Az ívhosszat megadó i = 2rra és a körcikk területét megadó t = r ra képletek 360 360 jobb oldalán szereplő két törtben több közös tényezőt látunk. Ha az első törtet megszorozzuk r-rel és elosztjuk 2-vel, éppen megkapjuk a másodikat. Ez azt jelenti, hogy t = ir , ami nagyon hasonlít a háromszög területképletéhez. 2

m

r

a t = am 2

Ha például tudjuk, hogy egy 24 cm2 területű körcikk egy 6 cm sugarú körben van, akkor ebből fejben is kiszámíthatjuk, hogy a hozzá tartozó ívhossz 8 cm.

i ir t= 2

P É L DA Mekkora középponti szög tartozik egy 16 mm sugarú körben a 61 mm hosszú körívhez? Mekkora az ugyanehhez a középponti szöghöz tartozó körcikk területe?

61 mm

a° 16 mm 16 mm

Megoldás Ha a középponti szög a°-os és a körcikk területét t-vel jelöljük, akkor az ívhosszúság képlete szerint 16ra : 180 = 61, a = 61 ⋅ 180 : (16r) . 218, vagyis ez a középponti szög közelítőleg 218°-os. A körcikk területe: t = i $ r = 61 $ 16 = 488 (mm2). 2 2

F E L A DAT

70

1.

Egy 5,4 cm sugarú körlemezt a kör négy sugara olyan körcikkekre bont, amelyek területének aránya a) 5 : 8 : 1 : 4; b) 2 : 3 : 4 : 5. Mekkora középponti szögek, mekkora körívek, mekkora körcikkek keletkeztek?

2.

Körülbelül mekkora a Quito (Ecuador) és Macapá (Brazília) közti repülőút hossza? Mindkét város az Egyenlítő közelében fekszik, Quito a 78,5°-os, Macapá pedig az 51,1°-os nyugati hosszúsági körön.

r = 6 370 km

27,4°

C

r Q

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

i

M

Geometriai mérések, számítások

3.

A csokis jégkrémet olyan forgáskúp alakú tölcsérben árulják, amelynek alkotója 12 cm, alapkörének sugara 3 cm hosszú. a) Mekkora a kúppalást területe? b) Hány m2 területű alufólia kell 500 db tölcsérhez, ha egy-egy fagyi becsomagolásához a palást területénél 35%-kal több fóliát használnak?

4.

Használj földgömböt! a) Mekkora a Ráktérítő és a Baktérítő kerülete, ha síkjaik távolsága közelítőleg 4875 km? b) Körülbelül mekkora utat tesz meg az az óceánjáró az Atlanti-óceánon, amely Rio de Janeiróból indulva a Baktérítő mentén haladva eljut Namíbiába? (Rio de Janeiro a 42°-os nyugati hosszúsági kör közelében fekszik, a Baktérítő a namíbiai partot a 14°-os keleti hosszúsági kör közelében éri el.)

2.

A fagyitölcsér teljes beburkolásához szükséges fólia három részből tehető össze: egy 16 cm sugarú, 67° középponti szögű körcikk, egy 1 cm széles rész, amellyel a körcikk egy ugyancsak 67° középponti szögű, de 17 cm sugarú körcikké egészíthető ki, továbbá egy 1,7 cm széles, 17 cm hosszú téglalap alakú rész. Számítsd ki, hogy 10 000  db fagyi gyártásához hány m2 fólia szükséges!

Útmutatás

12 cm

12 cm

Þ

12 cm

3 cm

12 cm

2·3·r cm

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy elektromosan töltött részecske egyenes vonalú pályán halad. A részecskét mágneses mezőn vezetik át, ahol egy 8 cm sugarú köríven halad tovább. A megfelelő pillanatban a mágneses mezőt megszüntetik, így a részecske ismét egyenes vonalú pályára tér (ábra). Így végül a részecske az eredeti haladási irányától 53°-os szögben térül el. 53°

8 cm

a

8 cm

a) Mutasd meg, hogy a = 53°! b) Számítsd ki, mekkora a töltött részecske mágneses mezőben megtett útjának hossza! c) Számítsd ki a 8 cm sugarú kör 53°-os középponti szögű körcikkének területét!

1 2 2 . l e c ke

GYA KO R L Á S

71

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG ELMÉLET Kerületi szögek Definíció Az olyan konvex szöget, amelynek a csúcsa egy körvonalon van, a szárai pedig tartalmazzák e kör egy-egy húrját, erre a körre nézve kerületi szögnek nevezzük. A kerületi szög a szóban forgó körnek arra az ívére támaszkodik, amely a szögtartományára illeszkedik. Egy körben egy ívre egy középponti szög és végtelen sok kerületi szög támaszkodik.

C a O b A

B

Tétel (a középponti és kerületi szögek tétele) A középponti szög kétszer akkora, mint a vele azonos ívre támaszkodó bármelyik kerületi szög. Bizonyítás Egy kör középpontja háromféleképpen helyezkedhet el az AB ívre támaszkodó kerületi szögekhez viszonyítva: A) illeszkedik a kerületi szög egyik szárára; B) e szögtartomány belső pontja; C) a körlemeznek a szögtartományon kívüli részére illeszkedik. E három esetre külön-külön bizonyítjuk be a tételt. C a a2 a1

C a O b2

b B

A

B

O b b1

B C

a a1

A

A b O

b1 D

D

A) eset: Az AOC9 egyenlő szárú, ezért CAO B = a. A b középponti szög az AOC9-nek külső szöge, ezért b a nem mellette fekvő két belső szög összegével egyenlő: b = a + CAO B = a + a. Tehát b = 2a.

B) eset: Az A) eset szerint az AD ívre nézve: b1 = 2a1 és a BD ívre nézve: b2 = 2a2. Tehát b = b1 + b2 = 2a1 + 2a2, b = 2(a1 + a2) = 2a.

C) eset: Az A) eset szerint az AD ívre nézve: b1 = 2a1 és a BD ívre nézve: b + b1 = 2(a + a1) = 2a + 2a1. Tehát b + b1 = 2a + b1, azaz b = 2a.

Az állítást mindhárom esetre bizonyítottuk, tehát igaz a középponti és kerületi szögek tétele.

72

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

ELMÉLET Érintő szárú kerületi szögek Definíció Ha egy konvex szög csúcsa egy körvonalon van, az egyik szára illeszkedik e kör egy húrjára, másik szára pedig e kör egy érintőjére, akkor ezt érintő szárú kerületi szögnek nevezzük. Az érintő szárú kerületi szög a szóban forgó körnek arra az ívére támaszkodik (az ábrán a pirossal jelölt AB ív), amely a szögtartományára illeszkedik. Egy körben egy ívre két érintő szárú kerületi szög támaszkodik (az ábrán a másik kerületi szög csúcsa a B pont).

O b A

B

a

I. Tétel Minden érintő szárú kerületi szög egyenlő a vele azonos ívre támaszkodó kerületi szögekkel. Bizonyítás C

O A

90°

180° O

b

b

B

B

A

a

a

O

A B

A) Ha az érintő szárú kerületi szög egy félkörre támaszkodik: 180° = 2 ⋅ 90°.

B) Az ACB B és az a merőleges szárú hegyesszögek, ezért egyenlők (az A csúcsnál az érintő tulajdonsága, a B csúcsnál a Thalész-tétel miatt van derékszög). Tehát b = 2 ⋅ ACB B = 2a.

C) A B) eset alapján: 360° - b = 2(180° - a) = 360° - 2a, vagyis b = 2a.

Az előző tétel értelmében így az érintő szárú és a többi kerületi szög egyenlő. II. Tétel (a kerületi szögek tétele) Egy körben vagy egyenlő sugarú körökben az egyenlő ívre támaszkodó kerületi szögek egyenlők. Igaz ennek a tételnek a megfordítása is: egy körben az egyenlő kerületi szögekhez tartozó körívek egyenlő hosszúak. III. Legyen adott a síkon az AB szakasz és a konvex a szög. Keressük a sík azon pontjainak halmazát, amelyekből az AB szakasz a szögben látszik. Tétel A keresett ponthalmaz két olyan egybevágó körív pontjainak halmaza, amelyeknek A és B a végpontjai, és amelyek az AB egyenesére nézve egymás tükörképei. A ponthalmazhoz az A és a B pont nem tartozik hozzá. Az így keletkezett ponthalmazt az adott szakaszhoz és az adott szöghöz tartozó látókörívnek is nevezzük (az ábrán narancssárgával rajzolt ívek). Az AB szakasz a „látóköríven” belüli pontokból nagyobb, a rajta kívüli pontokból kisebb szögben látszik, mint a látókörív pontjaiból.

1 2 2 . l e c ke

GYA KO R L Á S

O A

B O´

73

123

KÖRÍVEK, KÖRCIKKEK A MINDENNAPOKBAN

F E L A DAT

1.

b) Az A/4-es papírlap hossza 297 mm. Hány fokot fordul el a papírtovábbító henger, amíg a teljes lapot továbbítja? Hány teljes fordulatot tett meg? c) Az első sor nyomtatásának megkezdésétől számítva hányadik sor legépelésekor lesz a papírtovábbító henger elfordulása összesen 540°? d) Egy másik nyomtatóban a papírtovábbító henger átmérője 20,4 mm. Hány mm-rel tolta előre ez a henger a papírt, amíg 154°-ot fordult el? (A fent leírt elv alapján működnek még a szállítószalagok és a mozgólépcsők is. Ezeknél a továbbító henger állandó, egyenletes forgása a követelmény.)

A mindennapok során gyakorta előforduló technikai feladat egy papírlap egyenletes mozgatása (például számítógéphez csatlakozó nyomtatók, pénztárgépek nyomtatóegységei, írógépek). A mechanikus megoldások igen egyszerű alapelven működnek: a papírtovábbítást forgó henger (hengerek) segítségével oldják meg. A papírlaphoz tapadó henger forgása közben mozgásba hozza („tolja”) a papírlapot.

2. forgástengely (rögzített)

Majd 100 éves paradicsompasszírozó került elő Ilka mama padlásáról. Ennek a tartályát 24 cm széles, téglalap alakú, lyukacsos fémlapból hajlították úgy, hogy végül hengerfelületet formázzon.

papírtovábbító henger Eh a papírlap Ep

E

Ha a papírlap nem csúszik meg, akkor az EEh ív hossza egyenlő az EEp szakasz hosszával (előző ábra). A nyomtatókban a henger forgását elektronika szabályozza. Bence megmérte, hogy a papíron 10 kinyomtatott sor és 10 sorköz együtt 49 mm. Bence nyomtatójában a papírtovábbító henger átmérője 15,6 mm. a) Hány fokos szögelfordulásra ad parancsot az elektronika, ha egy sor kinyomtatásának befejezése után a következő sor nyomtatását kell megkezdeni?

74

120°

35 cm

a) Körülbelül hány centiméter hosszúságú téglalapra volt szükség az ábrán megadott méretű passzírozó szerkezet fémtestének kialakításához? b) Mekkora területű a passzírozónak a körszelet alakú oldalfala? (Ha egy körlemezt egy egyenessel két részre vágunk, a részeket körszeleteknek nevezzük.)

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

3.

A Föld Nap körüli keringésének pályáját közelítsük egy olyan 150 millió km sugarú körrel, amelynek középpontjában a Nap áll! a) Mekkora középponti szög tartozik ahhoz az ívhez, amelyet egy óra alatt befut a Föld? b) Mekkora ívet fut be egy óra alatt a Föld? c) Hány négyzetkilométer az egy óra alatt befutott ívhez tartozó körcikk területe?

4.

Hajni egy 60 cm × 60 cm-es, négyzet alakú szövetdarabra szabásmintarészletet tervezett. A mintát egyenes szakaszokból és körívekből szerkesztette. 45°

45°

60 cm

60 cm

a) Hány százalék hulladék keletkezik, ha kivágja a mintát az anyagból? b) Hajni be akarja szegni ezt a darabot. Hány cm-t kell beszegnie?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy híd egyik vége rögzítve van, másik vége két egyenlő sugarú hengeren nyugszik. A hőmérséklet változásakor a híd hossza változik. Hány fokos szöggel fordulnak el a 12,4 cm átmérőjű görgők, ha a híd hossza hőtágulás miatt 8 cm-rel megnő?

3.

Egy 250 cm2 területű körlapból az ábra szerint kivágtuk az ABCD négyszöget. C

B 60°

(rögzítési hely)

90°

O 120°

D

2.

A Hold pályáját közelítsük egy Föld középpontú, 384 ezer km sugarú körrel! A Hold keringési ideje 27,3 nap. a) Mekkora középponti szög tartozik ahhoz az ívhez, amelyet egy óra alatt befut a Hold? b) Mekkora ívet fut be egy óra alatt a Hold? c) Hány négyzetkilométer az egy óra alatt befutott ívhez tartozó körcikk területe?

1 2 3 . l e c ke

A

a) Mekkora a négyszög területe? b) Hány százalék hulladék keletkezett? c) Igazold, hogy az ABCD négyszög trapéz!

K Ö R Í V E K , K Ö RC I K K E K A M I N D E N N A P O K B A N

75

124

GYAKORLÁS, ISMÉTLÉS

P É L DA Egy derékszögű trapéz rövidebbik alapja 4 cm-es, a trapézba 3 cm sugarú kör írható (ez érinti a trapéznak mind a négy oldalát). Mekkora a többi oldal?

A DE magassággal a trapézt egy téglalapra és egy derékszögű háromszögre (AED9) bontottuk. D 1

Megoldás Készítsünk ábrát! A BC oldal egyenlő a kör átmérőjével, 6 cm hosszú. 1

D 1

3

x+1

O

A

x

3

3

O

C

6

C A

x

6

3

6

B

Felhasználjuk, hogy egy körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlők. A BC oldalon látjuk, hogy a B és a C pontból 3 cm-es érintőszakaszok húzhatók ehhez a körhöz. A CD oldal 4 cm-es, ezért a D-ből induló két érintőszakasz hossza 4 - 3 = 1 (cm). Az A csúcsból húzott érintőszakaszok cm-ben mért hoszszát x-szel jelöljük.

x–1

E 1

3

B

Az AED9 befogóinak hossza: 6 cm és (x - 1) cm, az AD átfogó hossza: (x + 1) cm . Pitagorasz tétele szerint: ^ x + 1h2 = ^ x - 1h2 + 62 , amiből x 2 + 2x + 1 = x 2 - 2x + 1 + 36 ; 4x = 36; x = 9. Tehát a trapéz oldalainak hosszúsága: CD: 4 cm, BC: 6 cm, AB: 12 cm és AD: 10 cm. Megfigyelés Az alapok összege 4 + 12 = 16 és a szárak összege 6 + 10 = 16. Vagyis itt ugyanannyi az alapok összege, mint a száraké. Ez természetes is, mert hiszen a két alap összege: AB + DC =  (x  + 3) + 4  =  x  +  7, a két szár összege: AD + BC = (x + 1) + 6 = x + 7.

F E L A DAT

1.

Egy 1 m átmérőjű, kör alakú alumíniumlemezből olyan, minél nagyobb négyszöget akarunk kivágni, amelynek a 6 dm-es és a 8 dm-es oldala párhuzamos.

1m

76

a) Készíts vázlatrajzot! (Kétféle lemez is készíthető.) b) Mekkora a négyszög két ismeretlen oldala? c) Kösd össze a kör középpontját a nagyobbik négyszög csúcsaival! Keress derékszögű háromszögeket! d) Melyik esetben hány százalék a hulladék?

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

2.

Egy 6 cm oldalú szabályos háromszög oldalaira az ábra szerint négyzeteket állítottunk, majd ezek két-két csúcsát öszszekötöttük egy-egy szakasszal. a) Igazold, hogy három egybevágó háromszög is látható az ábrán! b) Igazold, hogy a négy fehér háromszög területe egyenlő! c) Hány különböző módon színezhető ki a kék, barna, sárga és lila színekkel a négy fehér há-

romszög, ha mindegyik színt felhasználjuk, de azokat a színezéseket nem tekintjük különbözőknek, amelyek forgatással egymásba átvihetők? d) Mekkora annak a legkisebb körnek a sugara, amellyel lefedhető az ábra?

3.

Tükrözz egy trapézt az egyik szárának felezőpontjára! a) Igazold, hogy az eredeti és a tükrözött trapéz egyesítése egy négyszög! b) Igazold, hogy az a)-beli négyszög paralelogramma!

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

a) Adj meg olyan egybevágósági transzformációkat, amelyek az ábrát önmagába viszik át! Van-e ezek között körüljárási irányt megtartó transzformáció is? b) Mekkora annak a legnagyobb körnek a sugara, amelyik elfér az ábrán látható konvex hatszögben? (A hatszög a szabályos háromszögből, a három négyzetből és a három tompaszögű háromszögből rakható ki.) Szeretnénk kiszínezni az 1. feladat ábráját úgy, hogy a közös oldallal rendelkező sokszögek különböző színűek legyenek. a) Hány különböző módon színezhető ki ez az ábra két színnel?

1 2 4 . l e c ke

GYA KO R L Á S , I S M É T L É S

b) Hány különböző módon színezhető ki ez az ábra három színnel úgy, hogy a négyzetek mind különböző színűek legyenek? c) Hány különböző módon színezhető ki ez az ábra három színnel úgy, hogy a négyzetek mind azonos színűek legyenek, és minden szín előforduljon?

3.

Igazold a következő állításokat! a) A paralelogrammát az egyik átlója két egybevágó háromszögre bontja. b) A paralelogrammát a két átlója négy egyenlő területű háromszögre bontja. c) Ha összekötjük a paralelogramma két szemközti oldalának a felezőpontját, akkor két egybevágó paralelogrammát kapunk. d) A paralelogramma négy oldalfelező pontja egy másik paralelogramma négy csúcspontja.

77

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG ELMÉLET A húrnégyszögek Definíció Azt a négyszöget, amelyhez található mind a négy csúcsára illeszkedő kör, húrnégyszögnek nevezzük. Megjegyzés: a húrnégyszög oldalfelező merőlegesei egy pontra illeszkednek, ez a közös pont a húrnégyszög körülírt körének középpontja.

Például a speciális négyszögek közül húrnégyszög – minden olyan tengelyesen szimmetrikus trapéz, amelynek szimmetriatengelye az alapokra merőleges, köztük a téglalapok is, – minden derékszögű deltoid.

Tétel (a húrnégyszögek tétele) Egy négyszög akkor és csakis akkor húrnégyszög, ha két-két szemközti szögének az összege 180°. Bizonyítás E tétel egy szükséges és elégséges feltétel, ezért két állítást tartalmaz, ezek egymás megfordításai.

b 2a 2b

1. állítás A húrnégyszög két szemközti szögének az összege 180°. Az ábra jelöléseivel: 2a + 2b = 360°, ezért a középponti és kerületi szögek összefüggése miatt a + b = 180°.

a

2. állítás Ha egy síknégyszög két szemközti szögének az összege 180°, akkor ez húrnégyszög. A feltétel miatt a négyszög konvex. Legyen az ABCD négyszög esetében b + d = 180°, vagyis d = 180° - b. Azt kell bebizonyítanunk, hogy D illeszkedik az ABC háromszög köré írt körre. D nem lehet a körön belül sem és a körön kívüli síkrészben sem, mert mindkét esetben olyan háromszög keletkezne (az ábrákon a CDP9, illetve az ADP9), amelynek egy külső szöge (az 1. állítás következtében) egyenlő lenne az egyik nem mellette fekvő belső szögével. Ilyen háromszög nincs, tehát D a körön van.

78

D 180° – b

P

P

D 180° – b

180° – b

180° – b

A

A

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

C b

b

B

B

Geometriai mérések, számítások

C

ELMÉLET Az érintőnégyszögek Definíció Azt a négyszöget, amelyhez található mind a négy oldalát érintő kör, érintőnégyszögnek nevezzük. Megjegyzés Az érintőnégyszög olyan konvex négyszög, amelynek belső szögfelezői egy pontra illeszkednek. A szögfelezők közös pontja a négyszög beírt körének középpontja. Például a speciális négyszögek közül érintőnégyszög minden konvex deltoid (köztük a rombuszok is), de található érintőnégyszög a trapézok között is.

Tétel (az érintőnégyszögek tétele) Egy konvex síknégyszög akkor és csakis akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának az összege egyenlő. E tétel két állítást tartalmaz, ezek egymás megfordításai. 1. állítás: Ha egy négyszög érintőnégyszög, akkor két-két szemközti oldalának az összege egyenlő. 2. állítás: Ha egy konvex síknégyszög két-két szemközti oldalának az összege egyenlő, akkor ez érintőnégyszög. Dh h

g

C g f

e A

e

f

B

Bizonyítsuk be az 1. állítást! Felhasználjuk azt a tételt, hogy körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. E tételnek megfelelően az ábrán az A-ból, a B-ből, a C-ből, illetve a D-ből induló érintőszakaszok hosszát e-vel, f-fel, g-vel, illetve h-val jelöltük. Az ábráról leolvasható, hogy az AB és a CD oldal hosszának az összege: (e + f) + (g + h), a BC és az AD oldal hosszának az összege: (f + g) + (h + e), vagyis igaz a vizsgált állítás.

Bizonyítsuk be a 2. állítást! Az ABCD konvex négyszögben legyen (az ábra szerint) a + c = b + d. Két eset van. Első eset: a = d. Ekkor a + c = b + d miatt b = c is igaz, tehát a négyszög egy konvex deltoid. A konvex deltoidnak van beírt köre, tehát az állítás ebben az esetben igaz. Második eset: a ! d; legyen pl. az ábra szerint a 2 d. Ekkor c 1 b is igaz, ellenkező esetben ugyanis nem teljesülhetne, hogy a + c = b + d. Ha a d és a c hosszúságú szakaszt az ábra szerint felmérjük az AB, illetve a BC oldalra, és a kapott pontokat egymással meg a D ponttal összekötjük. Az ABCD négyszög konvex, ezért ezt most négy háromszögre bontottuk. Közülük a három „külső” egyenlő szárú, hiszen a + c = b + d miatt a - d = b - c is igaz. A „belső” háromszöget a három egyenlő szárú háromszögnek az alapjai határolják. Rajzoljuk meg a három egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelyét! Ezek a „belső” háromszög oldalfelező merőlegesei, ezért egy pontban metszik egymást. Ez a három egyenes azonban egyúttal az adott négyszög egy-egy szögfelezője is, tehát az ABCD négyszög három szögfelezője egy pontban metszi egymást. A szögfelezők tulajdonsága miatt ez a közös pont egyenlő távol van a négyszög négy oldalától. E pont körül tehát lehet olyan kört írni, amely a négyszög oldalait érinti. A vizsgált állítás tehát ebben az esetben is igaz, a bizonyítást befejeztük.

1 2 4 . l e c ke

GYA KO R L Á S , I S M É T L É S

D

c

C b

d

A

B

a D

c

C c

d b-c A

d

a-d

B

79

125

TUDÁSPRÓBA

TUDÁSPRÓBA I. 72 $ 15

10 egy természetes számmal? 3

1.

Egyenlő-e

2.

Az ábrán megadott háromszögnek mindegyik oldala 5 cm-es, csúcsai rajta vannak a négyzet kerületén. Bizonyítsd be, hogy a négyzetből levágott 3 háromszög közül kettő egybevágó, a harmadik pedig egyenlő szárú!

3.

4.

Vili papa a hátsó kertben 4 méter széles és 6 méter hoszszú fóliasátrat akar építeni. De milyen magas legyen?

1,5 m

120° 4m

Egy derékszögű deltoid oldalainak hosszúsága 4,5 cm és 2,4 cm. 2,4 cm a) Mekkora a területe? b) Mekkora a hosszabbik átlója? c) Mekkora a rövidebb átlója? 4,5 cm d) Mekkora részekre vágják egymást az átlók?

Bence ilyen előlapot tervez (a téglalap fölé olyan körszeletet rajzolt, amelynek az íve éppen egy harmadkör). Elég-e az előlap lefedésére a 4 méter széles fóliából 2,2 méter?

5.

Mennyi a két kör területének aránya, ha a négyzet oldalhosszúsága 32,6 cm?

6.

Egy negyedkör területe 36,1 cm2. Mekkora körív tartozik ebben a körben egy 117°-os középponti szöghöz?

TUDÁSPRÓBA II. 21 $ 2

Egyenlő-e

2.

Egyenlő szárú háromszöget helyeztünk a négyzetre. Bizonyítsd be, hogy a háromszög „felső” csúcsa egyenlő távol van a négyzet két „alsó” csúcsától!

3.

80

4.

Egy derékszögű háromszög magassága az átfogót 6 cm-es és 24 cm-es részekre osztja.

24 cm

a) Mekkora ez a magasság? b) Mekkorák a nagy háromszög befogói? c) Hogy aránylik egymáshoz a három derékszögű háromszög területe?

48 egy természetes számmal? 14

1.

6 cm

Vili papa a hátsó kertben 4 méter széles és 6 méter hoszszú fóliasátrat akar építeni. De milyen magas legyen? Bence ilyen előlapot tervez (a téglalap fölé olyan körszeletet rajzolt, amelynek az íve éppen egy harmadkör). Leborítható-e a sátor 6 mé1,5 m 120° ternyi 8 méter széles 4m fóliával?

SÍKIDOMOK MINDENÜTT

Geometriai mérések, számítások

5.

6.

Mekkorák a rombusz oldalai, ha a területe 26,4 cm2, a bele írt kör sugara pedig 24 mm?

Egy negyedkör területe 36,1 cm2. Mekkora középponti szög tartozik ebben a körben egy 7 cm-es körívhez?

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT Melyik oldalpáholyból lehet legnagyobb szögben látni az ábrán megadott (téglalap alapú) moziteremben a 16 m széles vetítővásznat? D

oldalpáholyok

C

L

16

20

Ha a piros k kör helyett a nála kisebb sugarú k1-et vennénk (ábra), akkor a rajta lévő „páholyok” nem érnék el a falat. Ha pedig nagyobb lenne a kör (k2), akkor a CD páholysorral való metszéspontjaiból (pl. H-ból) kisebb szögben látszana a mozivászon, mint P2-ből (az LPH háromszögnek külső szöge a, így b 1 a). P2

D

H

a

K A

oldalpáholyok

O2

O1

Megoldás A 16 méteres vetítővászonhoz (KL) mint húrhoz azt a legkisebb kört kell megkeresnünk, amelynek van pontja a terem AB (és CD) oldalán. E kör átmérője 20 m, a keresett páholy és az AD oldal távolságát az OFK háromszögből a Pitago-

P

O

F

B

C

b

L

k k1

k2

K A

P1

B

rasz-tétellel kapjuk meg: x = 102 - 82 = 6 , vagyis az AB oldalon a legjobb páholy (P1 ) 6 m-nyire van az A ponttól, illetve a CD oldalon (P2 ) a D ponttól. P2

D

C

L 10 F 8

x

O

10

10

K A

1 2 5 . l e c ke

B

P1

TUDÁSPRÓBA

81

126

TESSÉK, CSAK TESSÉK! OLCSÓ A CD-M!

CSOPORTMUNKA A mai órán és a következő órán is négyfős csoportokban dolgozzatok! A csoportok megalakítása az alábbiak szerint, vagy más szempontok szerint is történhet.

x 7- 2 +

x 7- 2 + x

x

x 7 5 - 2x - 7 + 3x x 7 2 + x $ x - 16

1.

Alkossatok négyfős csoportokat! Egy-egy papírdarabon a csoportvezetők egy-egy grafikont kapnak, a többiek pedig egy-egy hozzárendelési szabályt. Nézzétek meg a lapotokat, és keressétek meg a csoportotok vezetőjét, illetve a csoportvezetők keressék meg a tagjaikat! Segítsetek egymásnak! Egy csoportba kerülnek azok, akiknek a hozzárendelési szabálya ugyanahhoz a grafikonhoz tartozik. A grafikonok: y

y

1

1

0

0

y

y

1

1

0

x7

2.

0, 25 x +

4

x 7 2- x

Mindegyik csoport adja meg a saját függvényének minél több tanult tulajdonságát! (Szóforgó, kerekasztal*.)

*A kerekasztal egy csoport közös véleményének kialakítására alkalmas kooperatív módszerek egyike. Minden „körben” minden csoporttag egy korábban még el nem hangzott véleményt írhat a saját mezőjébe (vagy „passzolhat”) mindaddig, amíg nincs már újabb vélemény. Ekkor a csoport tagjai közösen megegyeznek abban, melyek azok a vélemények, amelyeket mindenki (vagy a többség) elfogad. Ezeket a véleményeket középre írják. Ezek a vélemények alkotják a csoport álláspontját az adott kérdésben. Ha egy osztályban több csoport is alakul, akkor a csoportvéleményekből a kerekasztal módszerrel osztályvélemény is kialakítható. A kerekasztal szóbeli formáját szóforgónak nevezik.

KEREKASZTAL

0

x

1

x72 x -2 2

x 7- x + x ^ x + 1h - 2 x 7 3x - 5x + 2 2 2 3 x x7 - x -2 2 2

1

x

Ide ír a 2. tag y y 1

1 0

1

0

x

1

x Ide ír az 1. tag

Ide írják a csoport közös véleményét

Ide ír a 3. tag

Hozzárendelési szabályok: x 7- x + 2

82

x7

x-2 2

x 7 0,5x + 2

x7x -2

x7 x- 2

x7 x -2

x7 x+ 4 2

x 7 2^1 - x h + x

Ide ír a 4. tag

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

3.

Az Arany család utcájában van egy számítástechnikai üzlet. Az üzletvezető Rezső, aki Bencével jóban van, mert Bence is szeret a számítógépekkel foglalkozni (ha felnő, informatikus lesz). A ma már nem annyira kelendő, írható CD-lemezek halomban állnak a raktárban és az üzlet eladóterében is. Rezső arra gondol, hogy valamilyen különleges akcióval fogja nagyobb mennyiségű lemez megvásárlására ösztönözni a vevőket. Ezért a lemezek árát így szabja meg: eddig a lemez egységára 200 Ft volt, de az akcióban annyiszor 5 Ft-tal kevesebb lesz, ahány lemezt vettünk. (Tehát egy lemezt 195 Ft-ért, 10 lemezt darabonként 150 Ft-ért, összesen 1500 Ft-ért vehetünk meg.)

Rezső Bencével és Hajnival is megosztja elképzeléseit. Kis gondolkodás után Bence megszólal: – Ez így még nem lesz jó, mert ha például 30 CD-t veszek, akkor összesen kevesebbet fizetek, mintha mondjuk, 20 CD-t vennék. Hajni rögtön hozzáteszi: – Ez is igaz, de szerintem leginkább az a baj ezzel, hogy mindenki ingyen vinné el tőled a CD-ket! a) Jól számolt-e Bence, és mire gondolhatott Hajni? b) Hajni megmutatta Rezső eredeti elképzeléseinek a matematikai hátterét is: – Összefüggést keresett a vásárolt CD-k száma és az egységár között. – Megadott egy függvényt, amely a vásárolt CD-k száma és az összesen kifizetett pénz mennyisége között teremt kapcsolatot. Értelmezési tartománynak a 40-nél kisebb pozitív egész számok halmazát választotta. – Ábrázolta az előbb felírt függvényt. Oldjátok meg ti is ezeket a feladatokat, fogalmazzátok meg a belőlük leszűrhető tanulságokat! Rezső elfogadta a gyerekek kritikáját, és a segítségüket kérte, hogy rendbe tegyék az akció részleteit. Két dologhoz mindenképpen ragaszkodott: a vásárolt CD-k számával az egységár is csökkenjen, de legalább 50 Ft-ot kapjon mindegyik CD-ért (mert 49 forint volt a lemezek eredeti beszerzési ára, és valamennyit ő is szeretne nyerni). c) Ti milyen javaslatot tennétek Bence és Hajni helyében? – Változtatnátok-e az akció tervén? Hogyan? (Szóforgó, kerekasztal.)

1 2 6 . l e c ke

T E S S É K , C S A K T E S S É K ! O LC S Ó A C D - M !

– Milyen kapcsolat áll fenn a ti tervetek szerint a vásárolt CD-k száma és a kifizetett összeg között? Milyen függvénnyel írható ez le? Ábrázoljátok ezt a függvényt is, és hasonlítsátok össze az előzővel! – Esetleg új feltételeket iktatnátok be az akcióba? Beszéljétek meg ötleteiteket a csoportban: találtok azokban is „kiskapukat”, amelyeket az okos, matematikában is jártas vásárló megtalálhat, kihasználhat? A legjobbnak ítélt javaslatot osszátok meg az osztály többi tagjával is!

83

H Á Z I F E L A DAT

1.

Rezső x darab újraírható, akciós árú DVD-lemezt [(x - 3)2 + 7]  100 forintért árul. Legfeljebb 10 lemezt vásárolhatunk egyszerre. (Ha nem vásárolunk, nem fizetünk!) a) Mennyit kell fizetnünk 1, 3, illetve 10 akciós lemez megvásárlása esetén? b) Hány lemez vásárlása esetén fizetjük a legkevesebbet? Ez a „legjobb vétel”? Érvelj az állításod mellett! c) 3 lemez vásárlása esetén az egységár 700 . 233 Ft, míg 10 lemez vásárlása esetén 3 5600 = 560 Ft. 10 Hány lemez vásárlása esetén lesz a legkisebb a megvásárolt lemezek egységára? Ez a „legjobb vétel”? d) Milyen módon lehet sok lemezt megvásárolni a lehető legalacsonyabb egységáron?

2.

Az f, g, h függvények értelmezési tartománya a "- 2; -1,5; 0; 1,5; 2 , halmaz. f ^ x h = 2x - 1 , g ^ x h = - 2x + 3 , h ^ x h = ^ x - 0,5h2 - 1 . a) Ábrázold a függvényeket! b) Melyik monoton függvény? Amelyik monoton, az növekedő vagy csökkenő? c) Melyik függvénynek van zérushelye?

d) Melyik függvénynek van maximuma? Ha van, akkor mennyi ez a maximum? e) Melyik függvénynek van minimuma? Ha van, akkor mennyi ez a minimum?

3.

Az alábbi ábrákon függvények grafikonja látható. Ismert a függvények hozzárendelési szabálya is, csak a koordinátatengelyeket elfelejtették megrajzolni. Rajzold meg a hiányzó tengelyeket a füzetedben, és add meg az egységeket is! Melyik függvénynek van szélsőértéke, melyiknek van zérushelye? a) x 7- 2x b) x 7 1 ^ x ! 0h x

c) x 7 x 2 - 4

d) x 7 x - 2

RÁADÁS Idézzük fel, amit már korábban tanultunk a függvényekről! I. Legyen A és B egy-egy nem üres halmaz. Ha az A minden eleméhez hozzárendeljük a B egy elemét, akkor azt mondjuk, hogy megadtunk egy olyan függvényt, amelynek az értelmezési tartománya A és egy képhalmaza B. Másképp: az A halmazt leképeztük a B halmazba.

A

84

B

A B halmaznak a hozzárendelésben szereplő elemei alkotják a függvény értékkészletét. Megjegyzés Az ábrán a B képhalmaz 6-elemű, a megadott függvény értékkészlete 4-elemű halmaz. II. Egy függvényt gyakran egy betűvel, például f-fel, g-vel vagy h-val jelölünk. Egy f-fel jelölt függvény értelmezési tartományának a jele Df , értékkészletének a jele Rf , a Df valamely x eleméhez hozzárendelt elem jele: f(x). Ezt az x helyen vett helyettesítési értéknek nevezzük. Egy függvényt legtöbbször az értelmezési tartományával és a hozzárendelési szabályával adunk meg.

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

Megállapodás Ha az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, akkor azt nem szükséges felírni. Ha egy függvény értelmezési tartománya is és értékkészlete is számhalmaz, akkor a hozzárendelési szabályt sokszor egy képlettel is megadhatjuk. Ilyenkor talpas nyilat használunk. Például az x 7 x2 + 5 jelölés azt a függvényt jelenti, amely minden egyes valós számhoz a négyzeténél 5-tel nagyobb számot rendeli hozzá. III. Ha egy függvény értelmezési tartománya és értékkészlete is számhalmaz, akkor az alábbi táblázat szerinti függvénytulajdonságokat szoktuk vizsgálni. Pl. az x 7 x 2 - 4 zérushelyei: 2 és (-2), az x 7 x 2 + 4 -nek nincs zérushelye.

Zérushely

az értelmezési tartománynak azok az elemei, amelyekhez a függvény 0-t rendel

Maximum (érték)

a függvény értékkészletének a legnagyobb eleme, ha Pl. az x 7 4 - x 2 maximuma 4, az létezik x 7 2x - 3-nak nincs maximuma.

Maximumhely

az értelmezési tartománynak azok az elemei, amelyekhez a függvény a maximumot rendeli

Pl. az x 7 4 - x 2 maximumhelye a 0.

Minimum (érték)

a függvény értékkészletének a legkisebb eleme, ha létezik

Pl. az x 7 x 2 - 4 minimuma (-4), az x 7 2x - 3-nak nincs minimuma.

Minimumhely

az értelmezési tartománynak azok az elemei, amelyekhez a függvény a minimumot rendeli

Pl. az x 7 x 2 - 4 minimumhelye a 0.

Növekedő (csökkenő) függvény

az értelmezési tartomány két eleme közül a nagyobbikhoz nem tartozhat kisebb (nagyobb) helyettesítési Pl. az x 7 x ( x $ 0 ) növekedő, az x 7- 2x + 3 csökkenő függvény. érték, mint a kisebbikhez

Szigorúan monoton növekedő (csökkenő) függvény

az értelmezési tartomány két eleme közül a nagyob- Pl. az x 7 x ( x $ 0 ) szigorúan monobikhoz nagyobb (kisebb) helyettesítési érték tarto- ton növekedő, az x 7- 2x + 3 szigorúan zik, mint a kisebbikhez monoton csökkenő függvény.

Példa: Ha az f függvény grafikonja az ábra szerinti, akkor D f = 6- 3; 5 @, R f = 6-1; 3 @. Zérushely: 4, maximum (érték): 3, maximumhely: 5. Minimum (érték): -1, minimumhely a [-3; 3] intervallum minden eleme. A függvény növekedő, de nem szigorúan monoton növekedő.

y

1 0

1 2 6 . l e c ke

T E S S É K , C S A K T E S S É K ! O LC S Ó A C D - M !

1

x

85

127

CSALÁDI VAKÁCIÓ

CSOPORTMUNKA Dolgozzatok a múlt órán alakított csoportokban! A 2-5. feladatok megoldása után az egyik csoport egy szóvivője (mindegyik feladatnál más) ismertesse a megoldást az osztály előtt! A többi csoport szóvivői kérdezhetnek tőle. Az Arany család nyári vakációjának három napját Olaszországban, Funzione városában tölti. A város hosszú, egyenes tengerparti sétánya, a Via Valore Assoluto sok szálláslehetőséggel és különféle szórakozást biztosító helyszínekkel szolgál. Szülei megengedik Hajninak, hogy két olasz barátnőjével külön béreljenek szállást. (funzione = függvény, ejtsd: funcióne; valore assoluto = = abszolút érték; ejtsd: valóre asszolúto)

szórakozás után a lányok ismét a szállásukra mennek. A turisztikai központ és az Estremo egymástól 3  m-re van. A Via Valore Assolutón és a környező utcákban is csak gyalogosan szabad közlekedni. Mit tanácsoltok a lányoknak, hol béreljenek szállást a Via Valore Assolutón? Írjátok fel a tippjeiteket! (estremo = szélsőérték; ejtsd: esztrémo)

2.

1.

86

A három barátnő napi programja – mindhárom napon – a következőképpen alakul: A nap első felében olasz barátokkal találkoznak a turisztikai központban, ahol hajót bérelnek fél napra. A hajóval tengerparti városkákat, romantikus szigeteket látogatnak meg. A hajókirándulás után (a turisztikai központban) elbúcsúznak az olaszoktól, majd visszamennek a szállásukra pihenni és készülődni az esti programra. Este a tengerparti, Estremo nevű szórakozóhelyre mennek, ahol táncolhatnak vagy beülhetnek egy szabadtéri előadásra. Az esti

Amikor a lányok megbeszélik, hogy hol keressenek szállást maguknak, Hajni a következőt javasolja: írják fel, hogy a Via Valore Assolutón kiválasztott hely függvényében mekkora távolságot kell gyalogolniuk egy nap alatt, és keressék meg azt a helyet, amelyikhez a legkisebb távolság tartozik! Az olasz lányok azt javasolják, képzeljenek el egy koordináta-rendszert, legyen az abszcisszatengely a Via Valore Assoluto, és ennek 0 pontja a turisztikai központ legyen. A lányok először megfeledkeztek arról, hogy főszezonban a Via Valore Assoluto szállóiban nem mindig akad szabad szoba. Így aztán az is előfordulhat, hogy a turisztikai központ és az Estremo között egyáltalán nem találnak szállást. Segítsetek a lányoknak a matematikai probléma megoldásában! Töltsétek ki a füzetetekben a táblázatot!

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

szállás helye (x)

–3 –2 –1

megtett út a turisztikai központig és vissza

6

0

1

2

3

4

5

6

3.

4

megtett út az Estremóig 12 10 és vissza összes megtett út

18 14

Miután az összes lehetőséget figyelembe vették, ábrázolták a naponta megtett távolságot a szállás helyének függvényében. Rajzoljátok meg ti is a grafikont és ennek alapján adjatok tanácsot a három lánynak, hol célszerű szállást választaniuk!

ELMÉLET A lányok szálláshelyének (x) függvényében az az út, amit a turisztikai központig és onnan vissza kell naponta megtenniük az x 7 2 $ x függvénnyel írható le. Az Estremóig és vissza megtett utat a x 7 2 $ x - 3 függvény írja le. A 3. feladatban a két függvény összegét rajzoltátok fel, tehát az x 7 2 $ x + 2 $ x - 3 függvényt.

CSOPORTMUNKA

4.

A grafikonnal felvértezve a lányok már éppen nekiláttak volna szállást keresni, amikor Hajni szülei telefonáltak, és felajánlották nekik, hogy étkezzenek abban a családias panzióban, ahol ők laknak. A panzió a turisztikai központ és az Estremo között, az Estremo-tól 1 km-re van. A lányok úgy döntenek, hogy a reggelit a hajókirándulás előtt, a vacsorát pedig az esti kiruccanás előtt, ebben a panzióban költenék el, az ebédet azonban maguk szeretnék megoldani. Abban is megegyeznek, hogy minden „panziós étkezés” után visszagyalogolnak a szálláshelyükre. a) Mennyit kellene naponta gyalogolniuk Hajniéknak, ha szállásuk az Estremo-tól 1 km-re lenne, csak éppen a másik irányban, mint amerre a szülők panziója? Mennyit kellene gyalogolniuk, ha a turisztikai centrumtól lenne 1 km-re találnának szállást? b) Mit tanácsolnátok, ezúttal hol keressenek maguknak szállást?

5.

Hajni egyik barátnője, Agnese (aki újságírást tanult Funzionéban és könnyen kiszúrta az összefüggéseket) a táblázatot és a grafikont nézve ezt mondja: „Észrevettem valamit. Amikor az első két függvényt adtuk össze, az x 1 0 értékek esetén mindkét függvény meredeksége -2 volt, az összeg meredeksége pedig -4. 0 1 x 1 3 értékek esetén az x függvény meredeksége +2 volt, az x - 3 függvényé pedig -2, az összeg meredeksége ezért volt 0. x 2 3 esetén pedig mindkét függvény meredeksége +2 volt, az összegé pedig +4. Ezt végiggondolva már látszik is a megoldás!” Hajninak megtetszik az ötlet és azt mondja, hogy így a második függvény is könnyen vázolható, és egy táblázatba foglalva azonnal látszik a minimumhely. Milyen táblázatot alkotnátok ti Agnese és Hajni gondolatai alapján?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Ezt a feladatot nem a füzetetekben, hanem egy külön papírlapon oldjátok meg, beadandó házi feladatként. Még a tanóra során, a csoportotokban a turisztikai központon és az Estremo-n kívül találjatok ki még egy harmadik programhelyszínt Hajniéknak! A helyszín legyen a via Assoluto-n, de ti határozzá-

1 27. l e c ke

C S A L Á D I VA K Á C I Ó

tok meg, hogy pontosan hol és mikor, illetve honnan gyalogolnak oda a lányok. A feladatot ezután oldjátok meg egyedül, az órán tanult valamely módszer segítségével. Adjatok választ arra, hol érdemes a lányoknak szállást keresni és ha éppen ott nem találnak, akkor mit tanácsolnátok, milyen irányban érdemes keresgélniük.

87

2.

Az Arany család autókirándulást tett Funzionéból Molto Caróba. Odafelé ugyanazokat az utakat választották, mint hazafelé. A közutak ingyenesen használhatók, az autópályákon azonban fizetni kell, mégpedig a megtett úttal egyenesen arányosan (Olaszországban az autópályák különböző üzemeltetők kezében vannak, a kilométerenként fize-

14,4

Úthasználat (euró)

10,8 7,2 3,6

20

100

Megtett út (km)

tendő díjak nem egyformák). A grafikon az úthasználat költségét mutatja euróban, az indulástól a hazaérkezésig. (molto caro = nagyon drága, ejtsd: molto káro) a) Hány kilométert autóztak, amíg elérték a Molto Caróban lévő úti céljukat? b) Hány kilométert tettek meg autópályán? c) Hogyan látható a grafikonról, hogy drágább és olcsóbb autópálya-szakaszon is autóztak? d) Mennyit fizettek összesen a drágább autópályán? e) Mennyibe kerül 100 km az olcsóbb és mennyibe a drágább autópályán? f) Mennyi úthasználati díjat fizettek összesen az autós kirándulásért?

RÁADÁS

88

1.

Az órai munka során csak azt vettük figyelembe, hogy összesen mekkora távolságot kell megtenniük Hajniéknak, a valóságban azonban ennél jóval több szempont is érvényesülhet. Például a kora délutáni órákban, a tűző napon (visszafelé a turisztikai központtól) kevésbé szeretünk sétálni, mint frissen, korán reggel, és az esti órákban is fáradtabbak vagyunk (főleg, ha előtte kitáncoltuk magunkat az Estremo-nál). Beszéljétek meg a csoportjaitokban, hogy hogyan vennétek figyelembe ezeket a tényezőket, és milyen matematikai leírást adnátok most róluk! Ötleteiteket és megoldásaitokat osszátok meg az osztály többi tagjával is.

2.

Az órán tanultak alapján vizsgáljátok meg a következő feladatot is: Funzione városában a via Valore Assolutón halad a 10-es busz. A Városi Közlekedésfejlesztő arról kíván dönteni, hogy a négy mellékutca, a via Primo, via Secondo, via Terzo és a via Quarto között hová helyezzék a megállót. Egy felmérés

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

során megállapítják, hogy naponta átlagosan 87-en a via Primón, 55-en a via Secondón, 30-an a via Terzón és 101-en a via Quartón lesétálva közelítenék meg a buszt. Hová helyezzék a buszmegállót, hogy az utasokhoz a lehető legközelebb legyen? Megoldás Az órai tapasztalatok alapján nem kell figyelembe vennünk, hogy a mellékutcákon érkező emberek milyen messziről jönnek, ez ugyanis egy állandó távolság, ami nem befolyásolja az összes megtett utat. Ha a koordináta-rendszerünk origóját a via Primóhoz helyezzük, a via Secondo az A pontban, a via Terzo a B-ben és a via Quarto a C-ben található, akkor az összes megtett távolságot így írhatjuk fel:

y |x| + |x – C|

|x – C|

87 $ x + 55 $ x - A + 30 $ x - B + 101 $ x - C . Adjuk össze „okosan” a fenti függvényeket! Az első x és az utolsó x - C függvény összege egy olyan függvény, amely a [0; C] intervallumon konstans és ezen az intervallumon minimális. A második és az utolsó előtti függvény összege szintén, így az összeg továbbra is konstans a [0; C]-n, egészen a 87. összegpárig, eddig tehát itt van a függvény minimuma. 87 db

55 db

30 db

|x|

0

x

C

y

101 db

|x A| + |x – C|

|x| + |x| + ¼ + |x| + |x – A| + ¼ + |x – A| + |x – B| + ¼ + |x – B| + |x – C| + ¼ + |x – C| + |x – C| + y

0 +

|x – C|

C x |x – A|

y

0 A 0

C

x

C x

A 88. pár az x - A és az x - C függvények összege, ez az [A; C]-n konstans, és itt is minimális, tehát az egész eddigi öszszeg ezen az intervallumon konstans és minimális. Folytatva az összegzést, végül olyan függvénypárokat adunk össze, ahol mindkét függvény az x - A , aminek A-ban van minimális értéke, így az összegnek és a teljes függvényösszegnek is, majd a legvégén hozzáadjuk a középső függvényt, ami szintén az x - A . Így a teljes függvényösszeg minimuma az A-ban van, tehát a buszmegállót a via Secondóba kell helyezni.

3.

Az előző feladat megoldását a továbbiakban általánosíthatjuk, és egy egyszerűbb algoritmust is kitalálhatunk. Elegendő azt vizsgálnunk, hogy mi a sorban felírt összeg középső tagja, annak is csak a minimumhelyét, ez határozza meg ugyanis a teljes összeg minimumát: 0, 0, …, 0 (87 db), A, A, …, A (55 db), B, B, … B (30 db), C, C, …, C (101 db). Összesen tehát 273 elemünk van, amelyből a 137. a középső. A 0 és az A elemek száma összesen 142, a 0 elemeké 87, tehát a 137. elem az A, ez lesz a minimumhely. Ez éppen az elemek mediánja, amivel tavaly már találkoztunk.

1 27. l e c ke

C S A L Á D I VA K Á C I Ó

89

128

AMIT MÁR TUDUNK A FÜGGVÉNYEKRŐL

PÁRMUNKA

1.

a) A színes ponthalmazok közül melyek függvénygrafikonok, és melyek nem? Figyelmesen olvasd el, majd oldd meg a b) feladatot! A)

B)

C)

D)

E)

F)

A B) és a C) ábrán lévő színes ponthalmaz függvénygrafikon, mert mindegyik színes pontnak más-más szám az első koordinátája. Az A), a D), az E) és az F) ábra mindegyikén találhatunk két-két olyan pontot, amelyeknek ugyanaz a szám az első koordinátája, ezért ezek nem függvénygrafikonok. b) Rajzolj két olyan grafikont, amely nem függvénygrafikon, és két olyat, amelyik függvénygrafikon! Cseréld ki a társaddal a rajzokat, és ellenőrizzétek egymás válaszának helyességét!

2.

Mi mindent tudunk leolvasni az f, a g és a h függvény grafikonjáról? Figyelmesen olvasd el, majd oldd meg a b) feladatot! a) y b

v

f

h

1 0

1

x

A 6- 3; 66 halmaz mindegyik eleméhez hozzárendeljük az abszolút értékénél 2-vel kisebb számot.

90

g

1

Függvény neve

Grafikonjának egyenlete

0

1 0

a

1

u

A @- 3; 66 halmaz mindegyik nem egész eleméhez hozzárendeljük az abszolút értékénél 2-vel kisebb számot.

Mindegyik (-4) és 6 közötti egész számhoz hozzárendeljük az abszolút értékénél 2-vel kisebb számot. Értelmezési tartománya

1

Értékkészlete

Hozzárendelési szabálya

f

y = |x| - 2

Df = [-3; 6[

x  |x| - 2

Rf = [-2; 4[

g

b = |a| - 2

Dg = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}

a  |a| - 2

Rg = {-2; -1; 0 ; 1; 2; 3}

h

v = |u| - 2

D h = D f \ Dg

u  |u| - 2

Rh = Rf \ Rg

Függvény neve

Zérushely

Legnagyobb érték (maximum)

Legkisebb érték (minimum)

f

-2 és 2

nincs

-2

g

-2 és 2

3

-2

h

nincs

nincs

nincs

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

b) Az a) feladat mintájára add meg szöveggel a k, l, m függvények hozzárendelési szabályát, majd tölts ki az a)-ban megadott táblázatok mintájára két táblázatot a k, l, m függvényekre is! Megállapításaidat hasonlítsd össze a munkapárod megállapításaival!

3.

y

y

k

y m

l

1 0

a) Párban ismételjétek át a lineáris függvényekről tanultakat a halmazábra alapján! b) Igazak-e az alábbi kijelentések? – Ha egy lineáris függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, akkor a grafikonja egyenes. – Ha egy lineáris függvény grafikonja egyenes, akkor az állandó függvény vagy elsőfokú függvény. – Az egyenes arányosság grafikonját egy origóra illeszkedő egyenes pontjai alkotják. – Az x 7- 2x + 3 elsőfokú függvény grafikonjának meredeksége -2. – Van olyan lineáris függvény, amelyik nem elsőfokú függvény.

1 0

x

1

1 1

0

x

1

x

Lineáris függvények konstansfüggvények y

0

x

0

y

x

y

y

0

elsőfokú függvények y

x

0

0

x

y

x

0

x

egyenes arányosságok

H Á Z I F E L A DAT

1.

Alkoss két igaz és két hamis kijelentést a fenti 3. feladat halmazábrájához kapcsolódva! Kezdődjenek így az állítások: „Van olyan …”, „Minden …”, „Nincs olyan …”, „Nem minden …”.

2.

Megadtunk hat függvényt: Minden x ! R esetén f ^ x h = 3x ; Minden x ! R esetén g ^ x h = - 6 ; Minden x ! R esetén h ^ x h = 3x - 2 ; Minden x ! Z esetén k ^ x h = 3x ; D l = " 2 , és l ^ x h = 4 ; D m = @1; 46 és m ^ x h = 3x - 2 .

Melyek lineáris függvények? Melyek állandó függvények? Melyek adnak meg egyenes arányosságot? Melyek elsőfokú függvények? Melyek grafikonja egyenes?

3.

Válaszoljatok a kérdésekre a fentiekben megadott f, g, h, k, l, m függvényekre vonatkozóan!

1 2 8 . l e c ke

A M I T M Á R T U D U N K A F Ü G GV É N Y E K R Ő L

Melyik hozzárendelési szabály tartozhat állandó függvényhez, egyenes arányossághoz, fordított arányossághoz, elsőfokú függvényhez, lineáris függvényhez a következők közül? x 7 8, x 7 6x + 3 , x 7 0 , x 7- 5 , x x 7- 2x , x 7 4x 2 - 2 , x 7 3 - 8x , x 7 x 2 . 7

91

129

A LEGNAGYOBB ÁLLATFARM

CSOPORTMUNKA Megjegyzés: A 2. és a 3. feladatot célszerű két különböző csoportban feldolgozni a füzetedben, majd összehasonlítani az „eredményeket”. Bence és Csilla „táborosat” játszanak: Csilla hajtogatós könyveiből tábort kerítenek el a kislány plüssállatai számára. A tábor téglalap alakú, és Csilla szeretné, ha a lehető legnagyobb táboruk lenne így. Öt darab (méretre egyforma), egyenként 4 lap hosszúra kihajtható (leporelló) könyvet használnak fel.

1.

Milyen javaslatot tennél Bence helyében? (Mi a tipped?)

2.

Bence megmérte a képeskönyvek lapjait. Mindegyik lap 2,3 dm hosszú és egyenlő széles. A feladat megoldásához a tábor méreteire vonatkozóan táblázatot készített: Tábor szélessége (dm)

2,3

Tábor hosszúsága (dm)

20,7

16,1

47,6

84,6 111,1

2

Terület (dm )

4,6

Készítsétek el a táblázatot a füzetetekben! Melyik a legkedvezőbb eset? Milyen összefüggés (szabály) írható fel a tábor területe és a szélessége között? (Legyen a tábor szélessége x dm, területe pedig T dm2.)

3.

Hajni nem mérte meg a képeskönyvek lapjait, de ő is készített táblázatot. Nála a választott hosszúságegység a képeskönyvek egy lapjának hossza, a területegység pedig egy akkora négyzet területe volt, amelyiknek mindegyik oldala 1 lap hosszúságú. Ebben az esetben a tábor méreteire vonatkozó táblázat így alakult: Szélesség (laphossz)

1

Hosszúság (laphossz)

9

Terület

9

2 7 16

21

Készítsétek el a táblázatot a füzetetekben! Melyik a legkedvezőbb eset? Milyen összefüggés (szabály) írható fel a tábor területe (t) és a szélessége (s) között?

92

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

4.

Csilla még mindig nem elégedett a tábor méretével, ezért Hajni azt javasolja, hogy használják fel a szoba egyik falát is, és ahhoz építsék hozzá a tábor kerítését. Ezúttal milyen javaslatot tennél a legnagyobb területű rész elkerítésére Hajninak? Vizsgáld meg, hogy helyesen tippeltél-e!

5.

Csilla Hajni ötletéből kiindulva azt javasolja, inkább a szoba sarkába építsék a tábort, akkor még nagyobb is lehet. Hogy nézne ki most a legnagyobb területű eset?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy 20 cm hosszú cérnaszállal téglalap alakú síkrészt kerítünk el. a) Ha a téglalap egyik oldalának hossza x cm, akkor hány cm hosszú a téglalap másik oldala, és hány cm2 a téglalap területe? b) Ábrázold az oldalhossz és a terület kapcsolatát! c) Melyik x-hez tartozik a legnagyobb terület?

1 2 9 . l e c ke

A L E G N AGYO B B Á L L AT FA R M

2.

Egy 20 cm hosszú cérnaszállal téglalap alakú síkrészt kerítünk el úgy, hogy a téglalap egyik oldala egy hosszú hurkapálca egy része, és csak a másik három oldal cérna. a) Ha a téglalap egyik oldalának hossza x cm, akkor hány cm hosszú a téglalap másik oldala, és hány cm2 a téglalap területe? (Két lehetőség is van!) b) Ábrázold az oldalhossz és a terület kapcsolatát! c) Melyik x-hez tartozik a legnagyobb terület? Hasonlítsd össze a lecke 4. feladatára kapott választ a most adott válasszal! Mit tapasztalsz?

93

130

„FEL”-„LE”, „JOBBRA”-„BALRA”

P É L DA a) Milyen geometriai transzformációval vihető át az f függvény grafikonja a g, illetve a h függvény grafikonjába, ha f ^ x h = x , g ^ x h = x + 2 és h ^ x h = x + 3 (Df = Dg = Dh = R)?

Megoldás y y = x2 f g

Megoldás y

y = |x| + 2

0

g

y = x 2– 2

1 1

x

y = |x|

Eltolás az y tengellyel párhuzamosan, negatív irányban, 2 egységgel.

f

y = x2

y

1

y = (x – 3)2

0

1

x

f

Eltolás az y tengellyel párhuzamosan, pozitív irányban, 2 egységgel. y

0

y = |x + 3|

h

1 1

x

Eltolás az x tengellyel párhuzamosan, pozitív irányban, 3 egységgel.

f y = |x| h 1 0

1

x

Eltolás az x tengellyel párhuzamosan, negatív irányban, 3 egységgel. b) Milyen geometriai transzformációval vihető át az f függvény grafikonja a g, illetve a h függvény grafikonjába, ha f ^ x h = x 2 , g ^ x h = x 2 - 2 és h ^ x h = ^ x - 3h2 (Df = Dg = Dh = R)?

Megjegyzés Korábban már említettük (például a 9. osztályos könyvünk 49. leckéjében), hogy az x 7 x 2 függvény grafikonja parabola. Ha pedig egy függvény hozzárendelési szabálya x 7 x 2 + v vagy x 7 ^ x - u h2 alakú, akkor könnyen meg tudjuk mutatni, hogy a grafikonja eltolással jött létre az x 7 x 2 függvény grafikonjából (akármelyik valós számot jelöli is az u és a v). Ebből látható, hogy minden ilyen függvény grafikonja is parabola. Az A adott vektorú eltolások a GeoGebra program segítségével s is szemléltethetők.

F E L A DAT

1.

94

a) Milyen geometriai transzformációval vihető át az f függvény grafikonja a g, illetve a h függvény grafikonjába, ha f ^ x h = x 2 , g ^ x h = x 2 + 3 és h ^ x h = ^ x + 2h2 (Df = Dg = Dh = R)? Ábrázold mindhárom függvényt ugyanabban a koordináta-rendszerben!

b) Milyen geometriai transzformációval vihető át az f függvény grafikonja a g, illetve a h függvény grafikonjába, ha f ^ x h = x , g ^ x h = x - 3 és h ^ x h = x + 4 (Df = Dg = Dh = R)? Ábrázold mindhárom függvényt ugyanabban a koordináta-rendszerben!

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

2.

c) Df = Dg = R+ , {0}, h értelmezési tartománya a (-4)-nél nem kisebb valós számok halmaza.

Add meg a grafikonok alapján a függvények hozzárendelési szabályát! Mindegyik esetben add meg azokat a geometriai transzformációkat, amelyekkel az f függvény grafikonja a másik két grafikonba átvihető!

y

h

1

a)

Df = Dg = Dh = R

y f

h 1

g

0

b)

1

3.

x

g

x

1

y

f g

1

h

0

g

Három függvény grafikonja látható az ábrán. Az egyik függvény grafikonjának egyenlete y = f ^ x h , a másiké y = f ^ x + 2h , a harmadiké pedig y = f ^ x h + 2 . Melyik grafikonhoz melyik egyenlet tartozhat?

Df = Dg = Dh = R

y

f

0

f

1 0 1

x

x

1 h

H Á Z I F E L A DAT

1.

f és g a valós számok halmazán értelmezett függvény. Milyen geometriai transzformációval vihető át az f függvény grafikonja a g függvény grafikonjába, ha a) f ^ x h = x , g^ x h = x - 4 ; b) f ^ x h = x 2 , g ^ x h = ^ x - 4h2 ; c) f ^ x h = x 2 - 3 , g^ x h = x 2 ? Ábrázold a megadott két-két függvényt közös koordináta-rendszerben! Ellenőrizd E a Graph vagy GeoGebra program segítségével, g hogy jók-e a grafikonjaid!

2.

Az y = x 2 egyenletű parabolát eltoltuk a) az y tengellyel párhuzamosan, negatív irányban 1 egységgel; b) az x tengellyel párhuzamosan, negatív irányban 2 egységgel; c) az x tengellyel párhuzamosan, pozitív irányban 3 egységgel;

1 3 0 . l e c ke

„ F E L” - „ L E ” , „ J O B B R A” - „ B A L R A”

d) az y tengellyel párhuzamosan, pozitív irányban 4 egységgel. Rajzold meg a transzformációk végrehajtásával keletkező parabolákat, és add meg mindegyik parabola egyenletét is!

3.

Bence mérgesen kiáltott fel, miközben éppen a matek házi feladatát készítette: „Ilyen feladatot nem is csináltunk, ezért nem tudom megoldani!” Hajni megnézte, és látta, hogy az x 7 x 2 + 6x + 9 függvényt kellett Bencének ábrázolnia. Így szólt az öcscséhez: „Bence, hiszen éppen ilyen feladatokat gyakoroltatok ezen az órán, csak nem pontosan ebben az alakban volt megadva a hozzárendelési szabály!” Bence egy kicsit elcsodálkozott, de rövid idő múlva így kiáltott: „Tényleg! Ez nagyon egyszerű feladat!” Rajzold meg te is az x 7 x 2 + 6x + 9 függvény grafikonját!

95

131

„SOVÁNYABB”, „KÖVÉREBB”

BEVEZETŐ St. Louis városának (Missouri, Egyesült Államok) nevezetessége a Gateway Arch (ejtsd: gétvéj árcs), amely egy hatalmas boltív a város központjában. Sokan úgy tartják, hogy parabolaív alakú. Lehetséges ez? Csupán egy fénykép áll rendelkezésünkre és nem a tervrajz, ezért pontos válasz természetesen nem várható. Az ív parabolára hasonlít, ezért lehet, hogy – jó közelítéssel – egy másodfokú függvény grafikonja; ezt a sejtésünket próbáljuk igazolni. Ahhoz azonban, hogy függvénygrafikonról beszéljünk, szükséges, hogy az ív egy derékszögű koordináta-rendszerben helyezkedjék el. A koordináta-rendszert saját magunk is berajzolhatjuk, ez látható a következő ábrán. Az építmény külső ívén kerestünk olyan pontokat, amelyek valamely függőleges rácsvonalra illeszkednek. Néhány ilyen pont: x

-3

-2

ymért

-5

-1,6 -0,4

-1

0 0

1

2

3

1 –3

–2

–1

-0,4 -1,6 -5

-3

-2

ymért

-5

-1,6 -0,4

0

-0,4 -1,6 -5

- 5 x2 9

-5

-2,2 -0,6

0

-0,6 -2,2 -5

-1

0

1

2

3

2

3

–2 –3 –4 –5

f^ x h = - 5 x 2 9 –3

–2 –1 (–1, –0,4)

1 0 (0, 0) –1

(–2, –1,6)

A -2-höz tartozó függvényérték (-2,2) a fényképen mértnek (a -1,6-nak) több mint 130%-a, a (-1)-hez tartozó pedig kb. a 150%-a a megfelelő mért értéknek. Láthatjuk, hogy az eltérés meglehetősen nagy. Ekkora eltérés nem adódhat a leolvasás pontatlanságából. Ezek szerint az x 7- 5 x 2 függvény grafikonja mégsem „idomul” az építmény ívé9 hez. Ez pedig arra enged következtetni, hogy a Gateway Arch külső íve – bár első ránézésre annak tűnhet, és sokan valóban ezt gondolják róla – nem parabola formájú. Hasonlóan megmutatható, hogy a belső ív sem parabolaív.

96

1

–1

Először célszerű a nagyobb értékeknél keresni az összefüggést, hiszen a kisebb értékeknél a leolvasási hibák sokkal többet számítanak. Tekintsük például a (3; -5) pontot. Ha a függvényünk hozzárendelési szabálya x 7- x 2 lenne, akkor a 3-hoz az y = -9 függvényérték tartozna. A -5 ennek éppen 5 -szerese, ami azt jelenti, hogy a 9 függvényünk hozzárendelési szabálya csak az x 7- 5 x 2 lehet. 9 Ha erre a függvényre vonatkozóan egy újabb sorral kiegészítve újra elkészítjük a fenti táblázatot, akkor a következőt kapjuk: x

0 (0, 0)

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

1 2 3 (1, –0,4) (2, –1,6)

–2 y = –0,56x2 –3 –4 (–3, –5)

–5

(3, –5)

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

P É L DA

1.

Két-két függvényt ábrázoljunk közös koordinátarendszerben! a) x 7 x és x 7 2x b) x 7 x és x 7 2 x c) x 7 x 2 és x 7 2x 2

Megoldás a)

y

y = 2x D y=x

B C

1

A 01

A(1; 1) B(1; 2) C(2; 2) D(2; 4) E(-1,5; -1,5) G(-1,5; -3)

Szemléletesen: a kék grafikonokat az abszcisszatengelyre merőleges irányban kétszeresükre „megnyújtottuk” („soványabb” grafikont kaptunk). Megjegyzés Ennek a geometriai transzformációnak a neve: tengelyes merőleges affinitás, amelynek tengelye az abszcisszatengely, az aránya pedig 2.

2.

Ábrázoljuk az x 7 0,5x 2 függvényt!

Megoldás y = x2

x

E

y = 0,5x 2

C

G

b)

E

A(1; 1) B(1; 2) C(2; 2) D(2; 4) E(-1,5; 1,5) G(-1,5; 3)

y y = 2|x|

D G y = |x|

B E

C

1 0

c)

A x

1

y

y = 2x 2

D

y = x2

G C

A(1; 1) B(1; 2) C(2; 4) D(2; 8) E(-1,5; 2,25) G(-1,5; 4,5)

B

E 1 0

A 1

x

A kék grafikonból úgy kapjuk meg a pirosat, hogy minden egyes kék pont második koordinátáját kétszeresére változtatjuk, miközben az első koordináta változatlan marad.

1 31 . l e c ke

A(1; 1) B(1; 0,5) C(2; 4) D(2; 2) E(-1,5; 2,25) G(-1,5; 1,125)

y

„ S OV Á N YA B B ” , „ K Ö V É R E B B ”

G

1 0

D

A B 1

x

Az x 7 x 2 függvény kék grafikonjából úgy kapjuk meg az x 7 0,5x 2 függvény piros grafikonját, hogy minden egyes kék pont második koordinátáját felére változtatjuk, miközben az első koordináta változatlan marad. Szemléletesen: a kék grafikont az abszcisszatengelyre merőleges irányban a felére „összenyomtuk” („kövérebb” grafikont kaptunk). Megjegyzés Bizonyítható, hogy ha az x 7 x 2 függvény grafikonját az x tengelyre merőlegesen „megnyújtjuk” vagy „összenyomjuk”, a kapott görbe ismét parabola lesz (a parabola definícióját lásd a Ráadás részben). Tehát az x 7 cx 2 (c ! 0 ) függvény grafikonja parabola. Ennek a parabolának ugyanaz a szimmetriatengelye és a tengelypontja, mint az eredetinek. Ha c 2 0, akkor a parabola „felfelé nyitott”, ha c 1 0, akkor pedig „lefelé nyitott”. Megfordítva is igaz: ha egy parabola szimmetriatengelye az y tengely és tengelypontja az origó, akkor a parabola egy x 7 cx 2 (c ! 0 ) függvény grafikonja. A Az ábrázolás megoldható a Graph vagy GeoGebra p programok segítségével is.

97

F E L A DAT

1.

2.

3.

Ábrázold a következő függvényeket a [-4; 4] intervallumon! a) x 7 1 x c) x 7 2 x (x ≥ 0) 2 b) x 7 1 x 2 d) x 7 1 x 4 3 Ábrázold a következő függvényeket a [-4; 4] intervallumon! a) x 7- 2 x c) x 7-1,5 x (x ≥ 0) b) x 7- 1 x 2 d) x 7- 1 x 2 3

b)

c)

y

1 0

4.

y

1 1

01

x

x

A feketével rajzolt grafikon egyenlete: y = f ^ x h . y 1

0 1 x

Add meg a grafikonok egyenletét! a) y A másik három grafikon egyenlete: y = - 2f ^ x h , y = 1 f ^ x h és y = 1 f ^ x h . Melyik grafikonhoz me3 2 lyik egyenlet tartozik?

1 0

1

x

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

Ábrázold közös koordináta-rendszerben az alábbi három-három függvényt! x a) x 7 x , x 7- 2 x , x 7 2 b) x 7 x , x 7- x , x 7 x 3 4 2 2 2 x c) x 7 x , x 7 , x 7- x 2 3

3.

A grafikonok egyenlete y = 1 , y = 4 , y = - 2 . x x x Melyik egyenlethez melyik grafikon tartozik? y

1 0

Közös koordináta-rendszerben ábrázoltuk az x 7 x2 - 2, x 7 ^ x - 2h2 , x 7- 2x 2 , x 7 x 2 : ^- 2h függvényeket.

1

x

y

4. 1 0

1

Ábrázold közös koordináta-rendszerben az x 7 x , az x 7- 1 x + 2 és az x 7 1 x + 2 függvénye2 3 ket!

x

Függvényábrázoló F program segítségével is ellenőrizheted, ő hogy jók-e a grafikonjaid. Melyik hozzárendelési szabályhoz melyik grafikon tartozik?

98

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

RÁADÁS I. Mi a parabola? Vegyünk fel egy síkban egy egyenest és egy olyan pontot, amely nincs rajta ezen az egyenesen. Nevezzük a pontot fókusznak (F), az egyenest vezéregyenesnek (v). A sík összes olyan pontjának a halmazát, amely egyenlő távolságra van a fókusztól és a vezéregyenestől, parabolának nevezzük.

P parabola pontja

d

F fókusz

v

génél megtartott, saját súlya alatt függeszkedő lánc szintén parabola alakot vesz fel. Azóta már bebizonyosodott, hogy nem parabola a függeszkedő lánc alakja. Ezt az alakot (éppen emiatt) láncgörbének hívjuk – a Gateway Arch íve egy transzformált láncgörbét formáz. A mellékelt rajzon pirossal egy y láncgörbét, kékkel pedig parabolaíveket ábrázoltunk. Látható, hogy a „soványabb” parabolák az origó körül mutatnak jelentős el1 térést a láncgörbétől, a „kövérebb” x 0 1 parabolák pedig az origótól távolodva válnak el egyre jobban tőle.

d vezéregyenes

A parabola tengelyesen szimmetrikus ponthalmaz, a szimmetriatengelye átmegy a fókuszon és merőleges a vezéregyenesre. Az, hogy „sovány” vagy „kövér” a parabola, csakis a fókusz és a vezéregyenes távolságától függ. Ha ezt a távolságot növeljük, akkor a parabola „kövérebb” lesz, ha csökkentjük, akkor pedig „soványabb”. (Az ábrán látható három parabolának közös a vezéregyenese, de a fókuszoknak a vezéregyenestől való távolsága különböző. Minél kisebb a távolság, annál „soványabb” a parabola.)

II. Láncgörbe A Gateway Arch alakját firtató probléma egy amerikai riporter téves megállapításából származik. Amikor az építményt 1968-ban felépítették, az újságíró így kezdte helyszíni riportját: „Ezen a napon a munkások feltették az utolsó követ a St. Louis-i Gateway Arch-ra, s ezzel felépült a világ leghíresebb parabolája.” Ő éppúgy a szemére hagyatkozott, mint Galileo Galilei, aki azt gondolta, hogy a két vé-

1 31 . l e c ke

„ S OV Á N YA B B ” , „ K Ö V É R E B B ”

III. Egy ügyes módszer az y = x2 egyenletű parabola közelítő megrajzolására A parabola tengelypontja az origó. Újabb pontokat kapunk, ha innen egyet lépünk jobbra és egyet fely felé, majd az új pontból egyet lépünk jobbra és hármat felfelé, majd a legújabb pontból egyet lépünk jobbra és ötöt felfelé, és így tovább: a kapott 1 pontból mindig egyet lépünk jobbra és sorban még 7-et, x 0 1 9-et, 11-et, … lépünk felfelé. Ugyancsak a parabola pontjait kapjuk meg, ha nem jobbra, hanem balra lépünk mindig 1-et, felfelé pedig 1-et, 3-at, 5-öt, 7-et, 9-et, 11-et, … Hasonlóan kaphatjuk meg az y = cx2 (c ! R+) egyenletű parabola néhány pontját is. Ebben az esetben is a tengelypontból (az origóból) kiindulva 1-1 lépést kell tenni jobbra, illetve balra, felfelé pedig c, 3c, 5c, 7c, … egységet, így jutnánk el a parabola pontjaihoz. Természetesen akkor is alkalmazható ez a módszer, ha egy parabola más helyzetű a koordináta-rendszerben, de a tengelye merőleges az x tengelyre.

99

132

ÖSSZETETT FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK

P É L DA

1.

Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett f és g függvényt, ha a) f ^ x h = 2 x és g ^ x h = 2 x - 4 ; b) f ^ x h = ^ x + 2h2 és g ^ x h = ^ x + 2h2 - 4 !

Megoldás Könnyen észrevehetjük, hogy g ^ x h = f ^ x h - 4 mindkét esetben, bármely valós számot jelöljön is az x. Ez pedig azt jelenti, hogy az f függvény grafikonját az y tengellyel párhuzamosan, negatív irányban 4 egységgel eltolva megkapjuk a g függvény grafikonját. A)

B)

y

y

f

f

először „kiszámítjuk” ^ x - 3h2 értékét, majd vesszük ennek a felét: 1 ^ x - 3h2 . 2 A kapott „számból” kivonunk 2-t: 1 ^ x - 3h2 - 2 . 2 A megfelelő transzformációk tehát rendre a következők lehetnek: – eltolás az x tengellyel párhuzamosan, pozitív irányban 3 egységgel, – összenyomás felére az x tengelyre merőlegesen, – eltolás az y tengellyel párhuzamosan, negatív irányban 2 egységgel. A transzformációkat szemlélteti a mellékelt ábra. y

1

1 0 g

1

x

0

y = x2 1

y = (x – 3) 2

x

y = 1 (x – 3) 2 2

g 1 0

2.

Adott az x 7 1 ^ x - 3h2 - 2 függvény. Adjuk meg, 2 hogy mely transzformációk egymás utáni végrehajtásával juthatunk el az x 7 x 2 függvény grafikonjából a megadott függvény grafikonjához, és ábrázoljuk a transzformációkkal kapott grafikonokat!

Megoldás A válasz megadásához elegendő, ha azt az utat követjük, ahogyan egy adott x helyen kiszámítjuk a függvényértéket:

1

x y = 1 (x – 3) 2– 2 2

Megjegyzés A kiindulási parabolát az egymás utáni transzformációk parabolába vitték át, tehát az x 7 1 ^ x - 3h2 - 2 függvény 2 grafikonja is parabola. Ennek a parabolának a tengelypontja a (3; -2) pont. A tengelyponton megy át a parabola szimmetriatengelye, amely most párhuzamos az y tengellyel.

F E L A DAT

1.

100

Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett f és g függvényt, ha a) f ^ x h = - 1 x és g ^ x h = - 1 x + 3 ; 2 2 b) f ^ x h = - ^ x + 2h2 és g ^ x h = - ^ x + 2h2 + 3 !

2.

Adott az x 7- 2 x + 3 + 4 függvény. Add meg, hogy mely transzformációk egymás utáni végrehajtásával juthatunk el az x 7 x függvény grafikonjából a megadott függvény grafikonjához, és ábrázold a transzformációk során kapott grafikonokat!

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

3.

Add meg a valós számok halmazán értelmezett f és g hozzárendelési szabályát! a)

b)

y

c)

y

f

y

1

g

0

1 0

g

1 1x

0

f

x

1

x

1

f g

4.

Add meg a füzetedben a hiányzó koordinátatengelyeket és a tengelyeken az egységeket a parabolákhoz! a) x 7 ^ x - 2h2 - 1

5.

b) x 7- ^ x - 2h2 + 1

c) x 7 2^ x - 2h2 - 3

Mely számok a 4. feladatban megadott függvények zérushelyei?

A függvények ábrázolásához a GeoGebra vagy a Graph program is használható.

H Á Z I F E L A DAT

1.

Ábrázold a valós számok halmazán értelmezett f függvényt, ha a) f ^ x h = 3 x - 1 ; b) f ^ x h = 3 x - 1 ; c) f ^ x h = - 1 x 2 + 3 ; 2 2 2

2.

Ábrázold az alábbi függvényeket! Van-e zérushelyük, szélsőértékük? 2 a) x 7 3 + 2 ^ x ! 0h b) x 7 3 ^ x ! - 2h c) x 7 x x+2 x- 3

3.

Add meg a függvények hozzárendelési szabályát a grafikonjuk alapján! a) b) c) y

d) f ^ x h = - 1 ^ x + 3h2 ! 2

^ x ! 3h d) x 7 -

4 + 3 ^ x ! - 1h x +1

d)

y

y

y

1

1

1

0

1

x

0

1

x

0

1

x

1 0

4.

1

x

Ábrázold a függvényeket! Van-e zérushelyük, szélsőértékük? a) x 7 x 2 + 2x + 1 b) x 7 x 2 - 4x + 4 c) x 7- x 2 + 4x - 4

1 3 2 . l e c ke

Ö S S Z E T E T T F Ü G GV É N Y T R A N S Z F O R M Á C I Ó K

d) x 7 x 2 - 10x + 25

1 01

133

MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

ELMÉLET Ha a, b és c adott számok és a ! 0, akkor az x ! R, x 7 ax2 + bx + c függvényt másodfokú függvénynek nevezzük. Például a) az x 7 3x2 - 2x - 5 függvény másodfokú, és itt a = 3, b = -2 és c = -5. b) az x 7 2,5x2 - x + 3,8 függvény másodfokú, és itt a = 2,5, b = -1 és c = 3,8. c) az x 7 -x2 + 3 függvény másodfokú, és itt a = -1, b = 0 és c = 3.

A másodfokú függvények ábrázolásokhoz használható a GeoGebra program is.

P É L DA

1.

Mutassuk meg, hogy az f, g, h másodfokú függvények grafikonja is parabola! Ábrázoljuk a függvényeket! a) f ^ x h = x 2 + 4x b) g ^ x h = x 2 - 8x + 12 c) h ^ x h = - 2x 2 + 4x

Megoldás Mindegyik hozzárendelési szabályt átalakítjuk úgy, hogy a feladat állítása könnyen igazolható legyen. a) Mivel f ^ x h = x 2 + 4x = x 2 + 4x   + 4  -  4 = ^ x 2 + 4x + 4h - 4 = ^ x + 2h2 - 4 , y = (x + 2) ezért f ^ x h = ^ x + 2h2 - 4 . Ebből látható, hogy ha az x 7 x 2 függvény grafikonját (amely egy parabola) eltoljuk az x tengellyel párhuzamosan negatív irányban 2 egységgel, majd az így kapott parabolát eltoljuk az y tengellyel párhuzamosan negatív irányban 4 egységgel, akkor megkapjuk az f függvény grafikonját. Ezért ez is egy parabola.

y

2

y

y = x2

y = x2

1 0

x

1

y = (x – 4) 2 y = (x + 2) 2 – 4

1 0

x

1

b) Hasonlóan járunk el, mint az előbb. g ^ x h - 12 = x 2 - 8x = x 2 - 8x   + 16 - 16 = ^ x 2 - 8x + 16h - 16 = ^ x - 4h2 - 16 , ezért g ^ x h = ^ x - 4h2 - 16 + 12 , vagyis g ^ x h = ^ x - 4h2 - 4 . Az előzőekhez hasonlóan látható, hogy a g függvény grafikonja is megkapható az x 7 x 2 grafikonjának eltolásával, azaz a g függvény grafikonja is parabola.

y = (x – 4) 2 – 4

c) Megismételjük az előbbiekben alkalmazott „trükköket”. h^xh = x 2 - 2x = x 2 - 2x   + 1 - 1 = ^ x 2 - 2x + 1h - 1 = ^ x - 1h2 - 1 . -2 h^xh Tehát = ^ x - 1h2 - 1 , ezért h ^ x h = - 2^ x - 1h2 + 2 . -2 A h függvény grafikonját megkaphatjuk úgy is, hogy az x 7- 2x 2 függvény grafikonját eltoljuk az x tengellyel párhuzamosan +1 egységgel és az y tengellyel párhuzamosan +2 egységgel. Tehát a h függvény grafikonja is parabola.

102

y y = –2(x – 1) 2 + 2 1 0 1

x

y = –2x 2

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

y = –2(x – 1) 2

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

ELMÉLET Az x 7 ax2 + bx + c másodfokú függvény grafikonja olyan parabola, amelynek a tengelye merőleges az x tengelyre. Ez a parabola „felfelé” nyitott, ha a 2 0, „lefelé” nyitott, ha a 1 0.

y a>0

a<0 x

Az x 7 ax2 + bx + c hozzárendelési szabály algebrai módszerekkel átalakítható x 7 a(x - u)2 + v alakra. Az itt fellépő u és v éppen a parabola tengelypontjának az első, illetve második koordinátája. E számok azt is megmutatják, mennyivel kell eltolni az x 7 ax2 függvény grafikonját a koordinátatengelyek mentén, hogy az x 7 ax2 + bx + c függvény grafikonját megkapjuk. Ezt az algebrai átalakítást teljes négyzetté kiegészítés módszerének nevezzük.

y

v

u

x

F E L A DAT

1.

Ábrázold közös koordináta-rendszerben az alábbi két-két másodfokú függvényt! a) f : x 7 x 2 - 2x , g : x 7 x 2 - 2x - 3 b) f : x 7 x 2 + 5x , g : x 7 x 2 + 5x + 8,25

2.

Egy másodfokú függvény grafikonja olyan parabola, amely egybevágó az x 7 x 2 függvény grafikonjával, és amelynek tengelypontja a (-2; 5) pont. Hány ilyen másodfokú függvény van? Írd fel a hozzárendelési szabályát!

3.

A másodfokú függvény általános alakjával (x 7 ax2 + bx + c) összehasonlítva határozd meg az a, b és c értékét! Határozd meg mindegyik esetben a függvény grafikonjaként adódó parabola tengelypontjának koordinátáit is! Minimuma vagy maximuma van a függvénynek? a) x 7 x 2 - 4x + 5 b) x 7 x 2 + 8x + 12 c) x 7- 0, 5x 2 + 2x - 2 d) x 7- 3x 2 + 18x

3.

Ábrázold a másodfokú függvényeket! Állapítsd meg a szélsőértéküket, a szélsőértékük helyét! a) x 7 x 2 - 4x c) x 7- x 2 + 6x b) x 7 x 2 - 4x + 5 d) x 7- x 2 + 6x - 5

H Á Z I F E L A DAT

1.

Határozd meg az alábbi másodfokú függvények zérushelyeit! a) x 7 x 2 - 16 d) x 7 x 2 + 16x b) x 7 x 2 - 16x e) x 7- x 2 + 25 2 c) x 7 x + 16

2.

Ábrázold az f : x 7 0,5x 2 - 2x függvényt! Határozd meg a függvény zérushelyeit, szélsőértékét, értékkészletét!

1 3 3 . l e c ke

M Á S O D F O K Ú F Ü G GV É N Y E K

103

134

BENCE ÉS A MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

F E L A DAT

1.

Olvasd el figyelmesen a szöveget és egészítsd ki szóban a hiányzó részeket! A feladat megoldását Bence instrukciói alapján végezd el a füzetedben te is! Nagy Dani a matek házi feladatával birkózik. Ábrázolnia kell az f: x 7 3x2 - 6x + 5 függvényt. Éppen hozzáfogna, amikor beállít régi barátja, Arany Bence, hogy menjen vele focizni. – Nem mehetek – mondja Dani –, ezzel a függvénynyel kell egész délután vacakolnom! Nem tudom a teljes négyzetté kiegészítés módszerével olyan alakra hozni, mint amilyet a múlt órán tanultunk. Valamivel osztani kellett, meg kivonni valamit… – Majd segítek – biztatja Bence, és mutat neki egy egyszerű, gyors módszert.

a) Rajzold meg először egy olyan egyszerűbb függvény grafikonját, amelyből könnyen eljuthatsz az f grafikonjához! Ez az egyszerűbb függvény legyen a következő: g: x 7 3x2 - 6x. Tudod, hogy a g másodfokú függvény, ezért grafikonja egy olyan „…” nyitott parabola, amelynek a tengelye merőleges az x tengelyre. A grafikon x tengelyen lévő pontjainak a második koordinátája … . Ennek a két pontnak az első koordinátáját (g zérushelyeit) úgy kapod meg, hogy megoldod a 3x2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 egyenletet. A g függvény két zérushelye: … és … . Ezeket már be is jelölheted az x tengelyen. A parabola szimmetriatengelye a két zérushely között középen metszi az x tengelyt. Rajzold meg ezt a tengelyt! y Látható, hogy a szimmetriatengelyen lévő pontok első koordinátája 1, ennyi tehát a parabola tengelypontjának 1 első koordinátája is. x 0 1 A parabola tengelypontjának második koordinátája: g(1) = 3 ⋅ 12 - 6 ⋅ 1 = -3.

104

Tehát a parabolát a szimmetriatengelye az E(…; …) pontban metszi. A parabola két, x tengelyen lévő pontja és a tengelypontja segítségével elég jó ábrát készíthetsz! b) Térjünk vissza Dani f függy vényéhez! Akármelyik valós szám is az x, igaz, hogy f (x) = g(x) + 5. Ezért az f gra1 fikonját megkapod, ha a g x grafikonját az y tengely men0 1 tén 5 egységgel feljebb tolod. g Az új parabola az 5-nél metszi az y tengelyt, a szimmetriatengelye megegyezik az előzővel, a szimmetriatengelyen lévő pontja T(1; 2). Ábrázold az előbbi koordináta-rendszerben az x 7 3x2 - 6x + 5 másodfokú függvényt is! Ezzel el is készült Dani házi feladata, mehet focizni Bencével.

2.

Ábrázold a zérushelyek és a tengelypont segítségével az f : x 7 x 2 + 5x másodfokú függvényt, majd ennek segítségével ugyanabban a koordináta-rendszerben a g : x 7 x 2 + 5x + 3 másodfokú függvényt is! Add meg a g függvény szélsőértékének helyét és értékét!

3.

Ábrázold a zérushelyek és a tengelypont segítségével az f : x 7- 1 x 2 + 2x másodfokú függvényt, 2 majd ennek segítségével ugyanabban a koordináta-rendszerben a g : x 7- 1 x 2 + 2x - 4 másodfo2 kú függvényt is! Add meg a g függvény szélsőértékének helyét és értékét!

4.

Határozd meg a függvények ábrázolása nélkül az f: x 7 0,1x2 - 2,2x és a g : x 7 0,1x 2 - 2,2x + 5,8 másodfokú függvények minimumhelyét és a minimum értékét!

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

H Á Z I F E L A DAT

1.

Ábrázold a h: x 7 12x - 3x2 + 7 függvényt úgy, hogy először a k: x 7 12x - 3x2 függvény grafikonját rajzolod meg a k zérushelyei és a k grafikonjának tengelypontja segítségével! Add meg a h függvény maximumát és maximumhelyét!

2.

Ábrázold az x 7 2x 2 - 10x + 8 másodfokú függvényt! Számítással határozd meg a grafikon tengelypontjának koordinátáit! A grafikon alapján állapítsd meg a függvény zérushelyeit! Határozd meg a következő másodfokú függvények zérushelyeit! Készíts vázlatos rajzot a függvény grafikonjáról a zérushelyek segítségével! a) f : x 7 0,2x 2 - 5x b) g : x 7- 0,2x 2 - 0,8x c) h: x 7 7x - 5x 2 d) k : x 7 0,4x 2 - 1,6x + 1,6

3.

F Függvényábrázoló programmal ellenőrizheted a megoldásaid helyességét. m

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT Vizsgáljuk algebrai módszerrel a valós számok halmazán értelmezett x 7 ax 2 + bx + c (a ! 0) másodfokú függvényt szélsőérték szempontjából! Megoldás Alakítsuk át a hozzárendelési szabályt: ax 2 + bx + c = a c x 2 + b x m + c = a 2 2 = a c x 2 + 2 $ b x + b 2 - b 2 m + c. 2a 4a 4a 2

2

Mivel x + 2 $ b x + b 2 = c x + b m , ezért 2a 2a 4a 2

2 2 ax 2 + bx + c = a c x + b m - b + c . 2a 4a

Ha a 2 0, akkor 2 a c x + b m $ 0 minden esetben teljesül, ezért 2a 2 ax 2 + bx + c $ - b + c . 4a

1 3 4 . l e c ke

Tehát a vizsgált függvény értékei nem lehetnek kisebbek, 2 mint - b + c . 4a Ezt az értéket a függvény fel is veszi, mégpedig abban az esetben, ha x + b = 0 , azaz x = - b . 2a 2a b A függvénynek tehát minimumhelye, a minimum 2a 2 értéke pedig - b + c . 4a Ha a 1 0, akkor 2 a c x + b m # 0 minden esetben teljesül, ezért 2a 2 ax 2 + bx + c # - b + c . 4a Az a 2 0 eset gondolatmenetét megismételve most azt kapjuk, hogy - b maximumhelye a függvénynek, a ma2a 2 ximum értéke pedig - b + c . 4a

B E N C E É S A M Á S O D F O K Ú F Ü G GV É N Y E K

105

135

MODELL ÉS VALÓSÁG

BEVEZETŐ Az írott és az elektronikus médiában is gyakran találkozunk olyan hírekkel, amelyek egy-egy jelenséggel kapcsolatos kutatásokról számolnak be. A kutatások eredményét nemegyszer matematikai összefüggések bemutatásával is igyekeznek alátámasztani, megvilágítani. Az is előfordul, hogy a vizsgált jelenségre egy matematikai modellt állítanak fel, és a modellből vonnak le következtetéseket. Ha ezeket a következtetéseket a „valóságos világ” visszaigazolja, akkor azt mondjuk, hogy a matematikai modell jól írja le a vizsgált jelenséget. Ha a következtetéseket a valóság nem, vagy nem teljesen igazolja vissza, akkor a modell javításra (finomításra) szorul, vagy teljesen új modellt kell helyette felállítani. Nézzük meg egy példán, hogyan is működik egy matematikai modell!

P É L DA Veszélyes hulladék megsemmisítése Egy amerikai államban egy tanulmány részeként a veszélyes hulladékok kezelésével is foglalkoztak. A veszé-

lyes hulladéknak a PCP (pentaklórfenol) eltávolítása céljából történő kezelési költsége növekszik az eltávolított PCP mennyiségének növekedésével. Egy matematikai modell szerint, ha naponta x kilogramm PCP-t távolítanak el, akkor a költség dollárban kifejezve: k(x) = 2000 + 100x2. Az állam PCP-kilogrammonként 500 dollárt átvállal a költségekből. Elemezzük a nettó (az állami hozzájárulás következtében kialakuló) költséget a matematikai modell alapján, a naponta megsemmisített PCP mennyiségének függvényében! ICSC: 0532

PENTAKLÓRFENOL FONTOS ADATOK

FIZIKAI ÁLLAPOT; MEGJELENÉS FEHÉR VAGY BARNÁS, JELLEGZETES SZAGÚ PELYHEK VAGY POR KÉMIAI VESZÉLYEK Az anyag bomlik hevítésre, mérgező és maró hatású füstöket fejlesztve, beleértve hidrogén-kloridot és dioxinokat. Reagál erős oxidáló szerekkel, tűz- és robbanásveszélyt okozva.

EXPOZÍCIÓS UTAK Az anyag bejuthat a szervezetbe belégzéssel, a bőrön keresztül és lenyeléssel. BELÉGZÉSI KOCKÁZAT A párolgás 20 °C-on elhanyagolható, de a levegőben lebegő részecskék veszélyes koncentrációja gyorsan kialakulhat, ha kiszórják, különösen ha por alakú. RÖVID IDEJŰ EXPOZÍCIÓ HATÁSAI Az anyag irritálja/izgatja a szemet, a bőrt és a légzőrendszert. Az anyag belégzése tüdővizenyőt okozhat, hatása lehet a szív-ér rendszerre és a központi idegrendszerre. Az expozíció, ha nagymértékű, okozhat eszméletlenséget vagy halált is. A tünetek késleltetve jelentkeznek, orvosi megfigyelés indokolt. HOSSZAN TARTÓ VAGY ISMÉTELT EXPOZÍCIÓ HATÁSAI Ismétlődő vagy tartós érintkezés bőrgyulladást okozhat (klórakne). Hatással lehet a központi idegrendszerre, a vesére, a májra. Kísérleti állatokban észleltek tumorokat, de lehet, hogy ennek emberen nincs jelentősége.

106

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

Megoldás Ha naponta x kilogramm PCP megsemmisítése történik meg, akkor ennek nettó költsége: K(x) = 2000 + 100x2 - 500x dollár. Mit olvashatunk ki ebből a modellből? – A tömeg nem lehet negatív, tehát a megadott összefüggésben x $ 0. – A költségnek van egy olyan része (2000 dollár), amely akkor is fellép, ha nem történik PCP-megsemmisítés. – A költséget a K(x) = 100x2 - 500x + 2000 = 100(x2 - 5x + 20) alakban írva látható, hogy a növekedési, csökkenési viszonyokat az x 7 x2 - 5x + 20 (x $ 0) függvény vizsgálata is megadja. Az x 7 x2 - 5x + 20 másodfokú függvény vizsgálatához használjuk az előző órán javasolt módszert! Nézzük az x 7 x2 - 5x másodfokú függvényt! Ennek grafikonja egy felfelé nyitott parabola, a függvény zérushelyei a 0 és az 5. Az x 7 x2 - 5x függvénynek tehát minimumhelye a 2,5, a minimum értéke pedig 2,52 - 5 ⋅ 2,5 = -6,25. y

20

2,5 kg-nál, de azután a költség folyamatosan növekszik. A csökkenő szakasz annak köszönhető, hogy az állam magára vállalja a költségek egy részét. A modell finomításra szorul például azért, mert a naponta megsemmisített PCP tömege nem lehet tetszőlegesen nagy. Ha további adatokat szerzünk az adott államban a PCPmegsemmisítés költségeiről, akkor ellenőrizhetjük, hogy a modell helyesen adja-e meg a költségeket. A kék görbe azt mutatja meg, hogy a költség az állam támogatása nélkül folyamatosan növekedne. y 3400 3200 3000 2800 2600 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

y = 100x 2 + 2000

y = 100x 2 – 500x + 2000

0

1

2

3

4

5 x

2 y = x – 5x + 20

2 0

x

2

y = x 2 – 5x

Ezek szerint az x 7 x2 - 5x + 20 függvénynek is 2,5 a minimumhelye, a minimumának értéke azonban 20-szal több, vagyis 13,75. – A veszélyeshulladék-megsemmisítés napi költsége akkor a legkisebb, ha naponta 2,5 kg PCP eltávolítása történik meg. – A legkisebb napi költség: K(2,5) = 100(2,52 - 5 ⋅ 2,5x + 20) = 1375 (dollár). – A megsemmisítés költsége csökken a PCP-mennyiség növekedésével, amíg a megsemmisített tömeg kisebb

1 3 5 . l e c ke

M O D E L L É S VA L Ó S Á G

1 07

F E L A DAT

1.

Globális felmelegedés

Bence a terepjáró gépkocsik szén-dioxid-kibocsátását tanulmányozta. A kibocsátott széndioxid mennyiségét 50 000 kmre és kilogrammban adta meg. Az adatok alapján matemati-

A sportterepjáró korunk dinoszaurusza, mely keresztülhasít a tájon. Méretéhez képest a vezetőjének az agya elenyésző, 3-5-ször szennyezőbb, mint egy átlagos autó, és óránként 16 kilométeres sebesség mellett is képes pes ö ölni. lni. A dinoszauruszokkal ellentétben a sportterepjárók vagy luxusterepjárók még nem haltak ki. Az Explorer, a Land Rover, a Pathfinder és az Expedition mind olyan járművek, melyek teret követelnek 1magulknalk. Az új autók amerikai piacának 50%-át teszik ki, és már Európát is célba vették.

kai modellt készített, amely a szén-dioxid-kibocsátás és a gépkocsi üzemanyag-fogyasztása közötti kapcsolatra vonatkozik. A matematikai modell szerint, ha egy terepjáró 1 liter üzemanyaggal x km-t képes megtenni, akkor a terepjáró szén-dioxid-kibocsátása (50 000 km-en): d(x) = 200x2 - 5200x + 44 000. Ez a matematikai modell akkor érvényes, ha 4,8 # x # 13,2. A matematikai modell alapján elemezd a terepjárók szén-dioxid-kibocsátását! a) Hány liter üzemanyagot fogyaszt 100 km-en az a terepjáró, amely 1 liter üzemanyaggal 4,8 km-t képes megtenni? És az, amelyik 13,2 km-t? b) A modell szerint hány km-t képes megtenni 1 liter üzemanyaggal az a terepjáró, amelyik a legkevesebb szén-dioxidot bocsátja ki? Hány liter üzemanyagot fogyaszt 100 km-en ez a terepjáró? c) Hány kilogramm szén-dioxidot juttat a légkörbe 50 000 km-en a legkevésbé szennyező terepjáró? És az, amelyik a legtöbb szén-dioxidot bocsátja ki?

H Á Z I F E L A DAT

1.

108

Egy terepjáró átlagos, kilogrammban mért tömege egy matematikai modell szerint a következőképpen függ a terepjáró évjáratától: m(t) = 1,5t2 - 45t + 2100, ahol 5 # t # 27, és t az időt jelöli. A t = 0 érték azt jelenti, hogy 1970-ben, a t = 5 azt, hogy 1975-ben és így tovább, a t = 27 azt, hogy 1997-ben gyártották a gépkocsit.

A modell szerint a) mekkora volt a terepjárók átlagos tömege 1975-ben, 1980-ban, 1990-ben; b) melyik évben csökkent és melyikben növekedett a terepjárók átlagos tömege; c) melyik évben volt a legkisebb a terepjárók átlagos tömege, és ez hány kg volt; d) mekkora volt a terepjárók átlagos tömege 2000-ben?(!)

H O GYA N S E G Í T E N E K P RO B L É M Á K M E G O L D Á S Á B A N A F Ü G GV É N Y E K ?

M á s o d f o k ú f ü g g v é n ye k

RÁADÁS Az interneten 2010-ben az alábbi tartalmú cikk volt olvasható: Érdekes részleteiben megvizsgálni azokat a törekvéseket, amelyekkel az egyes országok a CO2-kibocsátásukat csökkentik. A piacokon alkalmazott roncsbeszámítási akciók bizonyultak egyértelműen a legerőteljesebb hajtóerőnek a károsanyag-kibocsátás csökkentése terén. Ezek az akciók nemcsak az eladási mennyiségek növelésében segítettek, hanem a környezettudatosabb gondolkodást is népszerűsítették az európai újautó-vásárlók körében a hatékonyabb, alacsonyabb CO2-kibocsátású járművek népszerűsítésével. Eladott gépkocsik száma

CO2 kibocsátás átlaga (g/km)

1 Németország

2 059 405

154,6

-11,3

2 Olaszország

1 135 203

138,4

-6,5

3 Franciaország

1 131 315

134,5

-5,7

4 Nagy-Britannia

924 955

151,5

-8,4

5 Spanyolország

432 949

145,5

-3,5

6 Belgium

273 205

143,7

-4,8

7 Hollandia

220 340

149,5

-9,8

8 Lengyelország

168 885

150,6

-2,1

9 Ausztria

166 017

151,5

-8,7

10 Svájc

133 393

170,2

-8,3

11 Görögország

104 339

157,6

-3

12 Svédország

102 794

166,5

-7,6

13 Cseh Köztársaság

85 608

155,8

0

14 Portugália

73 093

135,5

-2,9

15 Dánia

53 490

141,9

-7,1

16 Finnország

51 943

159,8

-4,5

17 Magyarország

51 694

152,1

-2,4

18 Írország

46 772

145,1

-17,1

19 Szlovákia

45 728

151,9

-4,3

20 Norvégia

41 747

152,4

-6,2

21 Szlovénia

29 446

151,9

-3,1

Összesen

7 332 321

–

–

–

147,5

-7,1

Ország

 

Átlag (súlyozott)

Változás (g/km)

volt, mint a 2008 első félévében eladott új autóké. A többi jelentősebb európai piac közül az Egyesült Királyság átlagosan 8,4 g/km-rel csökkentette új autói károsanyag-kibocsátását az első félév 924 955 db eladott új autóján. Olaszországnak 6,5 g/km-es, míg Franciaországnak 5,7 g/km-es csökkentést sikerült elérnie. A legjelentősebb szén-dioxid-csökkentést Írország produkálta 2009 első félévében (a 2008-as megfelelő adathoz képest): a csökkenés 17,1 g/km lett.

1.

Körülbelül hány tonna szén-dioxidot juttatnak a légkörbe évente az EU új gépjárművei, ha feltételezzük, hogy átlagosan 1000 km-t tesz meg mindegyik jármű egy év alatt?

2.

Melyik ország új gépjárművei juttatják a legtöbb szén-dioxidot a légkörbe? Hány tonnát? (Feltételezzük, hogy minden gépkocsi kb. 1000 km-t fut évente.)

3.

Melyik ország csökkentette a legnagyobb mértékben (a legtöbb kg-mal) az új gépjárművek által a légkörbe juttatott szén-dioxid mennyiségét?

Németországban 2009 első félévében 2 059 405 új autót adtak el, ezek CO2-kibocsátása átlag 11,3 g/km-rel kevesebb

1 3 5 . l e c ke

M O D E L L É S VA L Ó S Á G

109

136

FELADATOK, EGYENLETEK, MEGOLDÁSOK

P É L DA

1.

Arany Hajni irodalomszakkörös. Most kaptak egy termet, amelynek a falát kedvenc íróik és költőik képeivel díszíthetik. Hajni, számítva nagypapája ügyességére, elvállalta, hogy hoz egy tablót. Megbeszélte Gyula papával, hogy olyan furnérlemezt készít, amelynek a közepén (10 dm × 6 dm)-es téglalap lesz a költők képei számára, körülötte pedig egyforma szélességű sáv az írók képeinek.

Az egyenletet így alakítja: d 2 + 4d + 4d = 26,25, és készít egy rajzot: d 2

d

d

4

4d

4 4d

165 dm2

Ezt a sokszöget kiegészíti négyzetté: 6 dm 10 dm

d

Másnap délután Gyula papa a barkácsüzletből telefonál: mondja meg Hajni, milyen széles legyen a külső sáv, azaz mekkorák legyenek a furnérlap oldalai, mert ma még akciós áron vehetné meg a lapot. Gyula papa csak arra emlékezett, hogy mekkorák a belső téglalap oldalai, és hogy a lemez teljes területe 165 dm2 lesz, de nincs nála az a papír, amelyre a pontos méreteket felírta. Hajni nincs otthon, de Bence elvállalja, hogy gyorsan kiszámítja a megfelelő méreteket és visszahívja Gyula papát. Megoldás Így fog hozzá Bence: Ha a külső sáv d dm szélességű, akkor a nagy téglalap oldalainak hossza (10 + 2d) dm és (6 + 2d) dm. Ezeknek a segítségével felírja, hogy a téglalap területe 165 dm2: (10 + 2d) · (6 + 2d) = 165; 60 + 12d + 20d + 4d 2 = 165; 4d 2 + 32d = 105. 4-gyel való osztás után Bence a d 2 + 8d = 26,25 egyszerű másodfokú egyenlethez jut. Olyan pozitív számot keres, amelyre ez az állítás igaz. Eszébe jut, mit olvasott a nyáron: az ókorban ügyes rajzokkal oldották meg az ilyesforma feladatokat.

110

4

d

d

2

4d

4

4d

16

Egy olyan négyzetet kap, amelynek az oldalai (d + 4) dmesek. Ennek a területe (d + 4)2 dm2, és négy részre van vágva. Itt három rész együttes területe 26,25 dm2, a negyediké 16 dm2. Tehát (d + 4)2 = 26,25 + 16 = 42,25. Bence azt is tudja, hogy 6,52 = 42,25. Ha a d + 4 négyzete ugyanannyi, mint a 6,5 négyzete, akkor d + 4 = 6,5 vagy d + 4 = -6,5. Mivel a d pozitív szám, ezért a második eset lehetetlen, vagyis d = 6,5 - 4 = 2,5 (dm). Bence elégedetten hívja fel Gyula papát: 25 cm-es keretet kell készíteni, tehát a szükséges furnérlemez méretei: 6 dm + 2 ⋅ 2,5 dm = 11 dm, illetve 10 dm + 2 ⋅ 2,5 dm = 15 dm. Gyula papa fejben számolva ellenőrzi, hogy az ekkora lemez területe valóban 165 dm2.

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

2.

(x - 3)2 = 1; x - 3 = 1 vagy x - 3 = -1. Ha x - 3 = 1, akkor x = 1 + 3 = 4; ha x - 3 = -1, akkor x = -1 + 3 = 2. Tehát ennek az egyenletnek két gyöke van, a 2 és a 4.

Oldjuk meg Bence módszerével, a teljes négyzetté kiegészítéssel az x2 - 6x + 8 = 0 egyenletet! Megoldás x2 - 6x = -8; x2 - 6x + 9 = -8 + 9 = 1;

F E L A DAT

1.

Oldd meg teljes négyzetté kiegészítéssel a következő egyenleteket! a) x2 + 2x = 15 b) x2 + 3x = 28 c) x2 - 12x + 20 = 0 d) x2 + 10x + 16 = 0

2.

Havi x tonna csillagpor forgalmazása esetén a bevétel és a kiadás különbsége (a „nyereség”) (-x2 + 5x - 4) ezer euró. Számítsd ki, mekkora tömegű csillagpor forgalmazása esetén lesz 0 a nyereség! Mekkora tömegű csillagpor forgalmazása esetén lesz a legnagyobb a nyereség, és mennyi ez?

3.

Egy tréfás kedvű kereskedő annyi forintért kínálta az alma kilóját, ahány kiló almát vitt a piacra. Amikor már eladott 30 kilót, akkor új árat írt ki: ez ismét csak annyi forint volt, ahány kiló alma még eladatlan maradt. Ezen az áron eladta az összes megmaradt almáját. Így annyi lett a bevétele, mintha az egész mennyiséget 79 forintos kilónkénti áron adta volna el. Hány kiló almát vitt a piacra a kereskedő?

H Á Z I F E L A DAT

1.

Oldd meg a teljes négyzetté kiegészítés módszerével az alábbi egyenleteket! a) x2 + 14x = 15 c) x2 - 7,6x + 12,64 = 0 2 b) x + 9,6x = 10,6 d) -x2 - 6x - 9 = 0

2.

Egy függőlegesen fellőtt lövedék talajszinttől való távolsága a kilövés után t másodperccel 50t - 5t 2 méter. A kilövés után hány másodperccel lesz a lövedék a) 45 m, b) 105 m, c) 125 m, d) 145 m magasságban a talajszint felett? Készíts grafikont a feladathoz!

1 3 6 . l e c ke

F E L A DAT O K , E GY E N L E T E K , M E G O L D Á S O K

111

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Ismert, hogy ha a ! 0, akkor az x 7 ax(x - d) függvény zérushelyei: 0 és d; szélsőértékhelye: d . Ez a szélsőérték minimum, 2 ha a 2 0, és maximum, ha a 1 0. A következő két feladat ezt az ismeretet is felhasználja.

F E L A DAT

1.

Egy 3 dm-es szakaszt két részre bontunk, a részek fölé egy-egy négyzetet emelünk. Hogyan változik a két négyzet területének összege többféle felosztás esetén?

Megoldás Látjuk, hogy ha az egyik négyzet oldala „nagyon kicsi”, akkor a másik négyzet területe majdnem 9 (dm2). Első módszer

x

A két négyzet területösszegének legkisebb értéke: T(1,5) = 2 ⋅ f (1,5) + 9 = -4,5 + 9 = 4,5. Ezt az értéket akkor kapjuk, ha a 3 dm-es szakaszt két egyenlő részre vágjuk, és úgy emelünk rájuk 1,5 dm 1,5 dm négyzeteket. Második módszer Ha a 3 dm-es szakaszt két egyenlő részre bontjuk, és ezekre állítjuk a négyzeteket, akkor a területek összege T = 1,52 + 1,52 = 2 ⋅ 2,25 = 4,5 (dm2).

3–x

x

3–x

x

3–x

Legyen az x bármely, 3-nál kisebb pozitív szám. Jelöljük T(x)-szel az x dm és a (3 - x) dm oldalú négyzet területének dm2-ben mért összegét! Ekkor T ^ x h = x 2 + ^3 - x h2 = 2x 2 - 6x + 9 = 2^ x 2 - 3x h + 9. A T változását megfigyelhetjük a következő, f-fel jelölt függvény grafikonján: Df = ]0; 3[ ; x 7 x2 - 3x. Ha ugyanis egy szakaszon az f függvény növekedő (csökkenő), akkor ott a vizsgált terület is nő (csökken). f(x) = x2 - 3x = x(x - 3), ezért az f zérushelyei: 0 és 3. Ha az x a 0-tól az 1,5-ig nő, akkor f(x) is és T(x) is egyre kisebb lesz, a legkisebb értéküket akkor érik el, amikor x = 1,5. Ha ezután tovább növeljük az x-et, akkor az f(x) is és T(x) is egyre nagyobb értékeket vesz fel. f (1,5) = 1,52 - 4,5 = -2,25, ez az f függvény minimuma.

1,5 + y

1,5 – y

Legyen az y egy 1,5-nél kisebb pozitív szám. Ha az egyik négyzet oldalai (1,5 + y) dm-esek, akkor a másikéi (1,5 - y) dm hosszúak, a két terület összege pedig T ^ y h = ^1,5 + y h2 + ^1,5 - y h2 = 2y 2 + 2 $ 1,52 = 2 = 2y 2 + 4,5 (dm ). Ez akkor a legkisebb, amikor y = 0, vagyis a két négyzet ugyanakkora oldalú: T(0) = 4,5 (dm2). Ha az y-t növeljük, akkor a két négyzet területösszege is nagyobb lesz. Mivel az y nem éri el az 1,5-et, a területösszegnek nincs legnagyobb értéke. Azt tapasztaljuk, hogy 4,5 # T(y) 1 9. T(y)

y

0

9

3

1,5

x

4,5

f 0

–2,25

112

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

1,5

y

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

2.

Van-e maximális felszínű azok között a forgáshengerek között, amelyek tengelymetszetének a kerülete 20 cm?

3.

Megoldás Az ábra jelölései szerint 4a + 2m = 20, vagyis m = 10 - 2a. Az m is pozitív szám, ezért kell, hogy a 1 5 legyen.

m

Egy 3 dm-es szakaszt két részre bontunk. Hogyan változik többféle felosztás esetén a) a két rész hosszúságának a szorzata; b) a két rész fölé emelt négyzetek területének különbsége; c) a két rész fölé emelt négyzetek kerületének összege; d) a két rész fölé emelt négyzetek kerületének különbsége;

m a 3 dm

2a

A henger felszíne 2a2r + 2ar ⋅ m = 2ar(a + m) = 2ar(10 - a). Jelöljük f-fel a Df = ]0; 5[, a 7 2r ⋅ a(10 - a) függvényt! Az a kérdés, van-e az f -nek maximuma. A D = R, a 7 2r ⋅ a(10 - a) függvény maximumhelye az 5, ez a függvény a ]0; 5[ intervallumon szigorúan monoton növekedő, tehát maga az f függvény is szigorúan monoton növekedő. Mivel f értelmezési tartománya nyílt intervallum, e függvénynek nincs maximuma. Tehát a 20 cm-es tengelyf (a) metszet-kerületű forgáshengerek között nincs maximá50r lis felszínű. 0

1 3 6 . l e c ke

5

a

F E L A DAT O K , E GY E N L E T E K , M E G O L D Á S O K

e) a két rész fölé emelt félkörök területének összege; f) a két rész fölé emelt félkörök kerületének különbsége;

3 dm

g) a két rész fölé emelt szabályos háromszögek területének összege; h) a két rész fölé emelt szabályos háromszögek kerületének különbsége?

3 dm

113

137

AZ x2 + px + q = 0 TÍPUSÚ EGYENLETEK

P É L DA

1.

Oldjuk meg a következő egyenleteket! a) x2 + 6x + 8 = 0 b) x2 - 14x + 33 = 0

c) x2 - 10x + 27 = 0

d) x2 + 3x - 10 = 0

Megoldás Az egyenlet

x2 + 6x + 8 = 0

x2 - 14x + 33 = 0

x2 - 10x + 27 = 0

x2 + 3x - 10 = 0

Teljes négyzetté alakítás

(x + 3)2 - 9 + 8 = 0 (x + 3)2 = 1

(x - 7)2 - 49 + 33 = 0 (x - 7)2 = 16

(x - 5)2 - 25 + 27 = 0 (x - 5)2 = -2

(x + 1,5)2 - 2,25 - 10 = 0 (x + 1,5)2 = 12,25

Megoldás

x + 3 = 1 ⇒ x = -2 vagy x + 3 = -1 ⇒ x = -4

x - 7 = 4 ⇒ x = 11 vagy x - 7 = -4 ⇒ x = 3

ez lehetetlen, mert valós szám négyzete nem lehet negatív

x + 1,5 = 3,5 ⇒ x = 2 vagy x + 1,5 = -3,5 ⇒ x = -5

Az egyenlet gyökei

-2 és -4

11 és 3

nincsenek

-5 és 2

A gyökök összege

-6

14

–

-3

A gyökök szorzata

8

33

–

-10

Megjegyzés: A gyökök összege és szorzata érdekes kapcsolatot mutat a kiindulási egyenletekben szereplő együtthatókkal. Erről a Ráadásban olvashatsz részletesebben.

2.

Van-e zérushelye az f másodfokú függvénynek, és ha van, akkor melyik szám az? a) f ^ x h = x 2 + 4x - 21 b) f ^ x h = x 2 + 4x + 4 c) f ^ x h = x 2 + 4x + 12

Megoldás a) Az a kérdés, van-e megoldása a valós számok halmazán az x 2 + 4x - 21 = 0 másodfokú egyenletnek. Alkalmazzuk a teljes négyzetté alakítás módszerét: ^ x + 2h2 - 4 - 21 = 0 , ^ x + 2h2 = 25 . Ebből következik, hogy x + 2 = 5 ⇒ x = 3 vagy x + 2 = -5 ⇒ x = -7. Tehát az f függvénynek két zérushelye van: a 3 és a (-7). b) x 2 + 4x + 4 = 0 , ^ x + 2h2 = 0 , x + 2 = 0 , x = - 2 . Az f függvénynek egy zérushelye van, a (-2). c) x 2 + 4x + 12 = 0 , ^ x + 2h2 - 4 + 12 = 0 , ^ x + 2h2 = - 8 . Ennek az egyenletnek nincs valós megoldása, az f függvénynek tehát nincs zérushelye.

F E L A DAT

114

1.

Egy társaságban mindenki mindenkivel egyszer kezet fogott. Összesen 55 kézfogás történt. Hányan vannak a társaságban?

2.

Érettségi találkozón mindenki mindenkinek adott egy fényképet. Összesen 342 fénykép cserélt gazdát. Hányan voltak jelen a találkozón?

3.

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

Bence egy rajzlapra „pontokat” rajzolt, Csilla pedig minden lehetséges módon egy-egy „egyenest” rajzolt két-két megadott ponton át. a) Legfeljebb hány különböző egyenest rajzolhatott Csilla, ha Bence 3 pontot adott meg? b) Megadhat-e Bence 5 pontot úgy, hogy Csilla csak egy egyenest tudjon rajzolni? c) Csilla végül 21 egyenest tudott megrajzolni. Legalább hány pontot rajzolt a rajzlapra Bence?

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

H Á Z I F E L A DAT

1.

4.

Oldd meg az egyenleteket! a) x - 9x + 21, 25 = 0 c) x - 65, 64 = 0 2

2

b) x 2 + 4, 6x = 0

d) x 2 + 9, 2x + 21 = 0

2.

Egy szabályos sokszögben összesen 44 átló húzható. Hány oldalú a sokszög, és mekkora egy belső szöge?

3.

Egy kertben gyümölcsfák állnak. Minden gyümölcsfán annyi seregély lakmározik, amennyi a gyümölcsfák száma. A lakmározó seregélyek száma éppen 75-tel nagyobb, mint a gyümölcsfák számának tízszerese. Hány fa áll a kertben?

Egy 10 m × 14 m méretű téglalap alakú udvar közepén 45 m2 területű virágágyást készítenek úgy, hogy körben egyenlő szélességű sétány maradjon. Milyen széles lesz ez a sétány?

10 m

45 m2

14 m

RÁADÁS Az órán megoldott példák esetében a következő felfedezésre jutottunk. Ha az x2 + px + q = 0 egyenletnek van két gyöke, akkor ezeknek az összege egyenlő (-p)-vel, a szorzata pedig egyenlő q-val. Ha a gyököket x1-gyel, illetve x2-vel jelöljük, akkor x1 + x2 = -p és x1 ⋅ x2 = q. Ennek ismeretében sokszor fejben oldhatunk meg egyszerű másodfokú egyenleteket.

1.

Mely számok lehetnek az x2 - 5x + 6 = 0 egyenlet gyökei, és melyek az x2 + 8x - 9 = 0 egyenlet gyökei?

2.

Melyik az a két szám, amelynek a) az összege 7 és a szorzata 12; b) az összege 3 és a szorzata -28?

Megoldás a) A szorzat pozitív, tehát a két szám egyforma előjelű. Mivel az összegük pozitív, ezért a számok is pozitívok. A lehetséges két szám: 3 és 4. b) A szorzat negatív, tehát a két szám különböző előjelű. Mivel az összegük pozitív, ezért a nagyobb abszolút értékű szám a pozitív, és az abszolút értékek különbsége 3. A lehetséges két szám: 7 és -4. A megoldásokat fejben ellenőrizhetjük.

Megoldás Az x2 - 5x + 6 = 0 egyenlet esetében a gyökök összege 5 és a szorzatuk 6. Ez a 2-re és a 3-ra igaz, tehát a gyökök 2 és 3; az x2 + 8x - 9 = 0 egyenlet esetében a gyökök összege (-8) és a szorzatuk (-9). Ez az 1-re és a (-9)-re igaz, tehát a gyökök: 1 és -9. A megoldásokat fejben ellenőrizhetjük.

1 37. l e c ke

A Z x 2 + p x + q = 0 T Í P U S Ú E GY E N L E T E K

3.

Oldd meg fejben a következő másodfokú egyenleteket! a) x2 - 6x + 8 = 0 b) x2 - 12x + 20 = 0 c) x2 + 7x + 10 = 0 d) x2 + x - 20 = 0

115

138

A MÁSODFOKÚ EGYENLET MEGOLDÓKÉPLETE

P É L DA

1.

Egy derékszögű háromszög átfogója 58 cm hosszú, a nagyobb befogó 2 cm-rel hosszabb a kisebbiknél. Hány cm a befogók hossza?

Megoldás Ha a rövidebb befogó hossza x cm, akkor a másik befogó hossza (x  +  2) cm. A Pitagorasz-tétel szerint tehát: x 2 + ^ x + 2h2 = 582. Elvégezve a kéttagú összeg négyzetre emelését: x 2 + x 2 + 4x + 4 = 3364 , 2x 2 + 4x - 3360 = 0 . Másodfokú egyenletet kaptunk. Osszuk el mindkét oldalt 2-vel: x 2 + 2x - 1680 = 0, majd alkalmazzuk a teljes négyzetté alakítás módszerét: ^ x + 1h2 - 1 - 1680 = 0 , 2 ^ x + 1h2 = 1681. Mivel 1681 = 41 , ezért x + 1 = 41 ⇒ x = 40, vagy x + 1 = -41 ⇒ x = -42. A befogó hossza pozitív, ezért csak a 40 lehet megoldása a feladatunknak. A befogók hossza tehát 40 cm és 42 cm.

Ellenőrzés: 402 + 422 = 1600 + 1764 = 3364 = 582. A Pitagorasz-tétel megfordítása miatt tehát ez valóban egy derékszögű háromszög.

2.

Oldjuk meg a 4x 2 + 12x - 27 = 0 egyenletet!

Megoldás Először osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 4-gyel: x 2 + 3x - 6,75 = 0. Alkalmazzuk a teljes négyzetté alakítás módszerét: ^ x + 1,5h2 - 2, 25 - 6, 75 = 0, ^ x + 1,5h2 = 9. Mivel 9 = 32, ezért x + 1,5 = 3 vagy x + 1,5 = - 3. Tehát x = 1,5 vagy x = - 4,5. A fentiekben bemutatott módszerünk minden másodfokú egyenletre alkalmazható. Ugyanis minden másodfokú egyenletet az ax2 + bx + c = 0 alakra lehet hozni (a ! 0), és ha itt az a-val mindkét oldalt elosztjuk, akkor a teljes négyzetté alakítással célhoz jutunk. Ezt a levezetést általánosan nem végezzük el, csupán az eredményt közöljük az alábbiakban.

ELMÉLET Ha az a, a b és a c betű egy-egy adott valós számot jelöl, ahol a ! 0, akkor az ax2 + bx + c = 0 egyenletnek 0, 1 vagy 2 gyöke van a valós számok körében. Ha b2 - 4ac 1 0, akkor az egyenletnek nincs gyöke a valós számok körében. Ha b2 - 4ac = 0, akkor az egyenletnek 1 gyöke van, a c- b m szám. 2a Ha b2 - 4ac 2 0, akkor az egyenletnek 2 gyöke van, a - b +

b 2 - 4ac és a - b - b 2 - 4ac szám. 2a 2a

2 Ezt a két gyököt együtt így szoktuk felírni: x1, 2 = - b ! b - 4ac . 2a Ez a másodfokú egyenlet megoldóképlete. (A megoldóképlet egy lehetséges levezetését megtalálod az Kiegészítő anyagánál.)

116

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

Látható, hogy a gyökök száma attól függ, hogy a (b2 - 4ac) szám negatív, 0 vagy pozitív. A (b2 - 4ac) számot a másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezzük és D-vel jelöljük. (A diszkrimináns latin eredetű szó, eredeti jelentése: megkülönböztető, osztályozó.) Például – a 3x2 + 7x + 5 = 0 egyenlet esetében a = 3, b = 7 és c = 5, a diszkrimináns D = 72 - 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 49 - 60 = -11 1 0, ezért ennek az egyenletnek nincs gyöke; – az x2 + 8x + 16 = 0 egyenlet esetében a = 1, b = 8 és c = 16, a diszkrimináns D = 82 - 4 ⋅ 1 ⋅ 16 = 64 - 64 = 0, ezért ennek az egyenletnek egy gyöke van, mégpedig x = - b = - 8 = - 4 ; (ezt egyszerűbben is megkaphatjuk, 2a 2 mert x2 + 8x + 16 = (x + 4)2); – a 2x2 + 15x - 3 = 0 egyenlet esetében a = 2, b = 15 és c = -3, a diszkrimináns D = 152 - 4 ⋅ 2 ⋅ (-3) = 225 + 24 = 249 2 0, ezért ennek az egyenletnek két gyöke van: x1, 2 = -15 ! 249 = -15 ! 249 . 2$2 4 15 15 , 78 15 - 15,78 = - 7,695 . + 15 249 15 249 + x1 = . . = 0,195 ; x2 = 4 4 4 4 A tankönyv II. kötetének végén, a 138–139. oldalon megtalálod azt is, hogy a számológép segítségével hogyan határozhatod meg a másodfokú egyenlet megoldásait!

F E L A DAT

1.

Oldd meg a megoldóképlet segítségével a 2. példában már megoldott 4x 2 + 12x - 27 = 0 egyenletet!

2.

Oldd meg a megoldóképlet segítségével a következő egyenleteket! a) 5x 2 + 4x - 9 = 0 c) 6 - 5x + x 2 = 0 b) - 2x 2 - 3x + 44 = 0 d) 5x 2 + 11x = 8

3.

Vizsgáld az x 7- 0,12x 2 + 80x - 10 000 másodfokú függvényt! a) Határozd meg a függvény zérushelyeit a megoldóképlet segítségével! b) Vázold a függvény grafikonját! c) Állapítsd meg, hol van szélsőértéke a függvénynek, és mennyi annak az értéke!

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 55 cm hosszú, az átfogója pedig 23 cm-rel rövidebb a másik befogó kétszeresénél. Mekkora az átfogó és a másik befogó hossza?

3.

Írj az x2 + bx - 12 = 0 egyenletbe a b betű helyére valós számokat! Lehetséges-e, biztos-e, lehetetlen-e, hogy a gyökök száma a) 0; b) 1; c) 2?

2.

Egészítsd ki a 3x2 + 5x + … = 0 egyenletet úgy, hogy az R alaphalmazon a) 2; b) 1; c) 0 gyöke legyen!

4.

Oldd meg az előző feladatot az x2 + bx + 12 = 0 egyenlet esetére vonatkozóan is!

5.

Vázold a zérushelyek és a tengelypont segítségével az f : x 7- 2x 2 + 4x + 10,5 függvény grafikonját!

1 3 8 . l e c ke

A M Á S O D F O K Ú E GY E N L E T M E G O L D Ó K É P L E T E

1 17

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Minden másodfokú egyenletet meg tudunk oldani a teljes négyzetté kiegészítés módszerével. Hogy a sok aprómunkától megkíméljük magunkat, elvégzünk egy olyan számítást, amelynek eredményével ezután tetszőleges másodfokú egyenlet esetében eldönthetjük, vannak-e az egyenletnek gyökei, és ha igen, akkor mely számok ezek. Oldjuk meg az ax2 + bx + c = 0 (a, b és c valós szám, a ! 0) másodfokú egyenletet! Teljes négyzetté kiegészítéssel szeretnénk kifejezni az ax2 + bx + c = 0 egyenletből az x-et. Átrendezve az ax2 + bx = -c egyenletet kapjuk. Egyszerűsíti a számolást, ha elvégezzük a következő szorzást: ax2 + bx = -c / ⋅ 4a 4a2x2 + 4abx = -4ac; (2ax)2 + 2 ⋅ 2ax ⋅ b = -4ac. Akkor lesz a bal oldalon egy kéttagú összeg négyzete, ha mindkét oldalhoz hozzáadunk b2-et: (2ax)2 + 2 ⋅ 2ax ⋅ b + b2 = b2 - 4ac; (2ax + b)2 = b2 - 4ac. Most azt kaptuk, hogy egy szám négyzete (b2 - 4ac)-vel egyenlő. Innen a gondolatmenetünk 3-felé válik: 1. ha b2 - 4ac negatív, akkor ez egyetlen valós számnak sem a négyzete, tehát a vizsgált másodfokú egyenletnek nincs gyöke a valós számok halmazában; 2. ha b2 - 4ac = 0, akkor a (2ax + b)2 = b2 - 4ac egyenlet jobb oldalán 0 áll: (2ax + b)2 = 0, vagyis 2ax + b = 0, 2ax = -b, x = - b . 2a Tehát ennek az egyenletnek egy valós gyöke van, és ez a - b szám; 2a 3. ha b2 - 4ac pozitív, akkor a (2ax + b)2 = b2 - 4ac egyenletnek megfelelően 2ax + b =

b 2 - 4ac b 2 - 4ac

2ax = -b +

vagy

2ax + b = - b 2 - 4ac ;

vagy

2ax = -b -

b 2 - 4ac ;

2 b 2 - 4ac vagy x = - b - b - 4ac . 2a 2a Ebben az esetben tehát a vizsgált egyenletnek két különböző valós gyöke van. 2 A két gyököt együtt az x1, 2 = - b ! b - 4ac alakban szoktuk felírni. 2a Ezt az alakot nevezzük az ax2 + bx + c = 0 (a ! 0) másodfokú egyenlet megoldóképletének.

x = -b +

Látjuk, hogy egy adott egyenlet esetében a b2 - 4ac szám mutatja meg, van-e az egyenletnek valós gyöke, és ha igen, akkor egy vagy kettő. Ezt a számot az egyenlet diszkriminánsának nevezzük.

F E L A DAT

1.

Melyik egyenletnek hány gyöke van? x2 + 4 3 x + 12 = 0 u 2 - uk - 6k 2 = 0 2

2

u + uk - 6k = 0

118

x2 - 4 2 x + 6 = 0 (u az ismeretlen, k pedig paraméter) (k az ismeretlen, u pedig paraméter)

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

Megoldás Az egyenlet

a

b

c

x + 4 3 x + 12 = 0

1

4 3

12

48 - 48 = 0

1

x2 - 4 2 x + 6 = 0

1

-4 2

6

32 - 24 2 0

2

u 2 - uk - 6k 2 = 0

1

-k

-6k2

k 2 - 4 $ 1 $ ^- 6k 2h = 25k 2 $ 0

k-tól függően 1 vagy 2

u

u2

u 2 - 4 $ ^- 6h $ u 2 = 25u 2 $ 0

u-tól függően 1 vagy 2

2

Itt u az ismeretlen, a k pedig paraméter u 2 + uk - 6k 2 = 0

Itt k az ismeretlen, az u pedig paraméter

2.

-6

Diszkrimináns

Gyökök száma

Oldjuk meg a következő egyenletet a megoldóképlettel! u 2 + ku - 6k 2 = 0 , ahol k egy valós paraméter.

Megoldás A diszkrimináns: k 2 - 4 $ 1 $ ^- 6k 2h = 25k 2 = ^5k h2 . A diszkrimináns k minden értéke esetén nemnegatív, azaz a megadott egyenletnek minden esetben van megoldása. Két esetet különböztetünk meg. – Ha k = 0 , akkor az u 2 + ku - 6k 2 = 0 egyenlet az u 2 = 0 egyenletet adja. Ennek egyetlen megoldása a 0. 2 – Ha k ! 0 , akkor u1, 2 = - k ! 25k = - k ! 5k ; u1 = - k + 5k = 2k és u2 = - k - 5k = - 3k . 2 2 2 2 Ebben az esetben tehát az egyenlet megoldáshalmaza kételemű: "- 3k ; 2k , . Oldd meg az 1. feladat maradék három egyenletét is a megoldóképlet segítségével!

3.

Adjuk meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy az egyenletnek egyetlen valós megoldása legyen! a) x 2 - 4m = 0 b) x 2 + 2mx + 5m - 4 = 0 c) ^m + 2h x 2 - ^m - 3h x + 4 = 0

RÁADÁS Némely számológép segítségével könnyedén meghatározhatod a másodfokú egyenlet mindkét megoldását. Ezt a funkciót többnyire a MODE gomb megnyomásával tudod elérni. Itt válaszd ki az EQN (equation = egyenlet) opciót, majd ezen belül a másodfokú egyenletet ( QUAD vagy ax2 + bx + c = 0 )! Az egyenlet együtthatóit az a, b, c értékek alatt adhatod meg, az = gomb megnyomásával. A negatív együtthatók megadásához használd a (-) gombot! A mezők között a nyílgombok segítségével is mozoghatsz. Az utolsó együttható megadása után az = gomb ismételt megnyomásával kapod meg az első és a második megoldást is. Az együtthatók között a fel-le gombokkal is tudsz váltani. Próbáld ki a számológépedet az órán megoldott feladatok végeredményeinek ellenőrzésére!

1 3 8 . l e c ke

A M Á S O D F O K Ú E GY E N L E T M E G O L D Ó K É P L E T E

119

139

DISZKRIMINÁNS

P É L DA

1.

Melyik egyenletnek hány gyöke van? 5x2 - 3x + 1 = 0 -7x2 + x + 4 = 0 2 10x - 29x + 10 = 0

x1 = 29 + 21 = 50 = 5 és 20 20 2 x2 = 29 - 21 = 8 = 2 . 20 5 20 A 10x2 - 29x + 10 = 0 egyenlet megoldáshalmaza az ' 5 ; 2 1 halmaz. 2 5 Megfigyelés: a két gyök egymás reciproka.

Megoldás Gyökök száma

Az egyenlet

a

b

c

Diszkrimináns

5x2 - 3x + 1 = 0

5

-3

1

9 - 20 1 0

0

-7x + x + 4 = 0

-7

1

4

1 + 112 2 0

2

10x2 - 29x + 10 = 0

10

-29

10

841 - 400 2 0

2

2

Felhasználtuk, hogy – a másodfokú egyenlet gyökeinek száma a diszkriminánstól függ; – az ax2 + bx + c = 0 (a ! 0) egyenlet diszkriminánsa: b2 - 4ac.

2.

Oldjuk meg az egyenleteket a megoldóképlettel! a) 10x2 - 29x + 10 = 0 b) -0,2x2 + 4,4x = 17

b) A megadott egyenlet másodfokú, de erre az alakjára nem használható a megoldóképlet. Először rendezzük az egyenletet: - 0, 2x 2 + 4, 4x - 17 = 0. A számológépeknek „mindegy”, ám a hibalehetőségek csökkentése érdekében célszerű az x2 együtthatóját 1-nek választani a (-0,2) helyett. Ezt elérhetjük, ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk (-0,2)vel (azaz mindkét oldalt megszorozzuk (-5)-tel): x 2 - 22x + 85 = 0. A diszkrimináns: 222 - 4 $ 1 $ 85 = 484 - 340 = 144 = 122 . x1, 2 = 22 ! 144 = 22 ! 12 ; 2 2 22 12 34 + = x1 = = 17 és x2 = 22 - 12 = 10 = 5. 2 2 2 2 2 A - 0, 2x + 4, 4x - 17 = 0 egyenlet megoldáshalmaza az "5; 17 , halmaz.

Megoldás a) Használjuk fel az 1. példa táblázatának eredményét! A diszkrimináns: 292 - 4 ⋅ 10 ⋅ 10 = 841 - 400 = 441 = 212, ezért x1, 2 = 29 ! 441 = 29 ! 21 ; 20 20

F E L A DAT

1.

Töltsd ki a táblázatot a füzetedben! Az egyenlet

a

b

c

Diszkrimináns

2.

Oldd meg az egyenleteket! a) - 0, 25x 2 - 1, 25x + 1,5 = 0 b) 47x = 42 + 10x 2 c) 77 + 25x + 2x 2 = 0

3.

Van-e három olyan egymást követő egész szám, amelyek négyzetének összege egyenlő a következő két egész szám négyzetének összegével? Ha van, melyik ez a három egész szám, ha nincs, miért nincs?

Gyökök száma

9x2 - 5x - 1 = 0 -x2 + x - 4 = 0 2

x - 3,8x = 0 16x2 + 9 = 24x

120

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

4.

b) Bontsd 2 tényező szorzatára az (x2 - 45x)-et is és a 250-et is, ennek alapján keresd meg a pozitív gyököt! c) Találd ki, hogyan kaphatnád meg ugyanebből a szorzatalakból az egyenlet negatív gyökét!

Bhászkara, az egyik leghíresebb hindu tudós a XII. század közepén élt Udzsainban. Azt írják róla, hogy megtalálta az x2 - 45x = 250 másodfokú egyenlet pozitív gyökét. Vajon hogyan? a) Keresd meg az egyenlet mindkét gyökét a megoldóképlettel!

H Á Z I F E L A DAT

1.

Oldd meg az egyenleteket! a) 0,125x 2 - 3,125x + 18 = 0 b) 16 - 25x 2 = 0 c) 7x - 0,1x 2 = 0

2.

Melyik az a három egymást követő egész szám, amelyek közül a középső 1-gyel nagyobb, mint az első és a harmadik szám szorzata?

3.

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 10 cmrel hosszabb, mint a másik befogó kétszerese, az átfogó pedig 4 cm-rel hosszabb a kisebbik befogó háromszorosánál. Mekkora az átfogó?

4.

28 mm. Mekkorák a derékszögű háromszög oldalai? (Használd a magasságtételt!)

5.

Említettük Bhászkara nevét (4. feladat). Ő arról is híres, hogy írt a leánya számára egy feladatgyűjteményt, Lilavati (elbűvölő) címen. Ebből vettük a következő versikét: A majmok két víg csapatban játszadoznak egy lugasban. Nyolcadrészük négyzetét vedd, s megtudod, hány verekedett. Amott tizenketten vannak, hangoskodnak, ugrándoznak. Mondd meg gyorsan, hány majom van összesen a két csoportban!

Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága 48 mm hosszú, és az átfogót két olyan szakaszra osztja, amelyek hosszának különbsége

RÁADÁS A 2. a) példában azt láttuk, hogy a 10x2 - 29x + 10 = 0 egyenlet gyökei egymás reciprokai. Vajon ha a másodfokú egyenlet általános alakjában a = c, akkor mindig igaz ez? Nézzünk egy másik példát: 6x2 + 13x + 6 = 0. Ennek gyökei a - 2 és a - 3 , amelyek egymás reciprokai. Ha általánosan is igazol3 2 ni szeretnénk a sejtésünket, akkor ezt csak paraméter bevezetésével tehetjük meg: az ax2 + bx + a = 0 (a ! 0) egyenlet gyökei (ha vannak), egymás reciprokai (azaz a két gyök szorzata 1). Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa: D = b 2 - 4a 2 , vagyis csak akkor vannak gyökök, ha b 2 $ 4a 2 . A megoldóképlet szerint ekkor: x1 = - b +

b 2 - 4a 2 és x = - b - b 2 - 4a 2 . 2 2a 2a

Nézzük az x1 x2 szorzatot! 2 2 2 2 2 2 b 2 - 4a 2 $ - b - b 2 - 4a 2 = ^- b h - ^ b - 4a h = b - ^b - 4a h = 4a 2 = 1. 2a 2a 4a 2 4a 2 4a 2 Tehát x1 x2 = 1, vagyis x1 = 1 . A két gyök egymásnak reciproka. x2 2

x1 x2 = - b +

Megjegyzés Egyszerűbben is eljuthattunk volna ehhez az eredményhez, ha először az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 6-tal, majd alkalmazzuk a 115. oldal Ráadásában bemutatott összefüggéseket.

1 3 9 . l e c ke

DISZKRIMINÁNS

121

140

TERÍTŐT VARRNAK A LÁNYOK

F E L A DAT

1.

Dolgozzatok párban! Kövessétek Bence megoldásának menetét és ti is oldjátok meg a feladatot!

Az Arany lányok, Hajni és Csilla terítőt akarnak varrni Dédmama névnapjára, amit a kedvenc sublótjára tehet. Hajni meg is tervezte: egy szép zöld bársony téglalapból a sarkokon egyenlő szárú derékszögű háromszögeket vágnak le, a megmaradt hatszöget rojtos arany szegővel díszítik. Már kinézték a boltban a bársonyt és a szegőszalagot is. A sok közül azt választották, ami Csillának a legjobban tetszett, és az ára is elérhető volt. Bence megígérte, hogy másnap megvásárolja a számukra, ha megmondják, hány métert vegyen.

(x + 7) dm – Felírta, hogy mekkora a téglalap teHajni terve rülete (ez a 4 egyenx dm 2 lő szárú derékszögű 88 dm háromszög területének és a  88 dm2nek az összege). – Megoldotta a kapott másodfokú egyenletet. – Kiszámította, mekkorák a nagy téglalap oldalai. – A kapott adatokat felhasználva áttért a saját tervére. (x + 7) dm

x dm

Bence terve

Kiszámította, mekkorák a zöld háromszög befogói. x+7

Hajni megtréfálta Bencét: rejtvényben adta meg a méretet: A terítő területe 88 dm2, a bársonylap, amiből készítjük, 7 dm-rel hosszabb, mint amilyen széles. Számítsd ki azt is, hány méter szegőre lesz szükségünk, tegyél hozzá még 5%ot a varrásra, azután kerekítsd felfelé dm-ekre és vedd meg! Bence Csillával megy vásárolni. Útközben Csilla elmeséli, hogy a levágott bársony háromszögekre szüksége van, az óvodai ünnepségen ő lesz az erdei manó, és ezzel díszíti a ruháját. – Ha több bársony maradna, akkor manósapkát is csinálhatnék – sóhajtozik. – Tudod mit? – mondja Bence. – Vegyünk akkora bársonylapot, amilyent Hajni akar, de ne hatszög, hanem rombusz alakú terítőt varrjatok, akkor sokkal több bársony marad a manóruhádra! Megoldás Bence gyorsan rajzolni és számolni kezdett Hajni terve szerint: Rajzolt egy téglalapot, – a rövidebbik oldalát dm-ben mérve x-nek, a hoszszabbikat (x + 7)-nek vette.

122

x

– Pitagorasz tételével megkapta az átfogót, ennek 4-szerese a beszegni való rész. – Hozzáadta az 5%-ot, felfelé kerekített. – A boltban Bence vett a 150 cm széles bársonyból 80 cm-t és 3 m 6 dm szegőt. a) Ellenőrizzétek, jól számolt-e Bence! b) Számítsátok ki, hány dm2 bársony marad Csilla manóruhájára, ha Bence terve valósul meg! c) Mennyivel több ez, mint eredetileg lett volna? Vajon elég-e egy manósapkára? d) Elég-e a szegőszalag, ha Hajni ragaszkodik az eredeti terítőtervhez? Érveljetek számolás nélkül is a válaszotok mellett!

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy téglalap egyik oldala 14 cm-rel rövidebb, mint a másik. A téglalap területe 240 cm2. a) Mekkora a téglalap kerülete? b) Mekkora a téglalap köré írt kör kerülete és területe?

2.

A 100 cm hosszú AB szakasz felezőpontja F. Az F ponttól mekkora távolságra vegyük fel az FB szakaszon a P pontot úgy, hogy az AF : FP = FP : PB egyenlőség teljesüljön (azaz az FP szakasz hossza az AF és a PB szakasz hosszának mértani közepe legyen)? A

3.

50 cm

F x cm

P

4.

Adott két egybevágó téglalap, oldalaik hossza 24 cm és 10 cm. A két téglalap mindegyikéből egyegy rombuszt vágunk ki. Az egyik rombusz átlói a téglalap oldalaival egyenlő hosszúságúak, a másik téglalapból kivágott rombusz egyik átlója a téglalap egyik átlójával esik egybe, a másik átlója pedig a lehető legnagyobb.

B

Hány oldalú az a konvex sokszög, amelynek a) 65 átlója van, b) 5150 átlója van, c) 15-ször annyi átlója van, mint ahány oldala?

a) Számítsd ki a rombuszok oldalának hosszát! b) Melyik rombusz területe a nagyobb?

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

1.

A briliáns értéke egyenesen arányos a tömegének négyzetével. a) Mutassuk meg, hogy ha egy 12 karátos (1 karát = = 0,2 gramm) briliánst kettévágunk, akkor értéke csökken! b) Igazoljuk, hogy a két részre darabolás után akkor lesz a két darab együttes értéke a legkisebb, ha mindkét darab 6 karátos!

Megoldás a) A briliáns értéke E = k $ m 2 , ahol k egy (pozitív) arányossági tényező. Ez a tényező azt mutatja meg, hogy mennyi az 1 karátos briliáns értéke. Az eredeti 12 karátos briliáns értéke E1 = k $ 122 = 144 $ k . Ha ezt kettévágjuk, és az egyik darab tömege x karát (0 1 x 1 12), akkor a másik darab tömege 12 - x karát. A két darab értékének összege:

1 4 0 . l e c ke

T E R Í T Ő T VA R R N A K A L Á N YO K

E2 = k $ x 2 + k $ ^12 - x h2 = k $ ^2x 2 - 24x + 144h . Azt kell bizonyítanunk, hogy k $ ^2x 2 - 24x + 144h 1 144 $ k , ha 0 1 x 1 12. A pozitív k-val mindkét oldalt elosztva és rendezve az x 2 - 12x 1 0 egyenlőtlenséghez jutunk. Ez pedig minden esetben igaz, ha 0 1 x 1 12, hiszen x 2 - 12x = x ^ x - 12h , és itt a szorzat két tényezője különböző előjelű. Ezzel beláttuk, hogy a briliáns értéke csökken, ha két darabra vágjuk. b) Mivel E2 = 2k $ ^ x - 6h2 + 72 $ k , ezért a két darab együttes értéke abban az esetben lesz a legkisebb, ha x = 6 . Ez pedig azt jelenti, hogy éppen két egyenlő tömegű darabra vágtuk szét a briliánst. Az is látható, hogy ebben az esetben a két darab együttesen is csak az eredeti értéknek a felét éri (144  k helyett csak 72  k az értéke).

2.

Mutasd meg, hogy ha az eredeti briliánst kettőnél több darabra vágjuk szét, akkor is csökken az értéke!

123

141

GEOMETRIAI PROBLÉMÁK

F E L A DAT

1.

Arany Bence a barátaival kétnapos kirándulásra indul kerékpárral. Egyik barátjuk, Bumbi elkésett a találkozóról, nélküle indultak el a Csillagtérről. – Menjetek csak – mondta a telefonban Bumbi –, az én biciklim sokkal jobb, 6 km-rel többet tudok megtenni óránként, mint ti. Majd utolérlek benneteket. – Rendben – felelte Bence, azután megadta az útmutatást: – A Csillagtérről indulj a kék jelzésű bicikliúton! Bencéék 2 óra alatt megérkeztek szálláshelyükre, a Pipacstanyára, de Bumbi sehol. Hamarosan telefonált: – Már két órája nyomom a pedált Csillagtértől, de nem talállak benneteket. Most értem Piócamezőre. Merre menjek tovább? Bence előveszi a térképet, megkeresi Piócamezőt.

Szerencsére van egy egyenes út Piócamezőről idáig, de ez akkor sem két perc lesz. – Mit csináljak – kesereg Bumbi –, elindulok. Vajon mennyi idő alatt ért Bumbi Piócamezőről a Pipacstanyára?

2.

Pipacstanya

60 km

Csillagtér

Piócamezõ

C Egy 16 cm-es oldalú szabályos háromszögbe az ábra szerint M olyan szabályos háromszö16 cm get írunk, amelynek az oldalai 10 cm-esek. K a) Mekkorák a levá10 cm gott kis háromA x P L szögek (AKL, BLM, CMK) oldalai? b) Derékszögűek-e a levágott háromszögek? c) Mekkora a nagy háromszög részeinek a területe?

3.

Egy szabályos sokszög egy belső szöge 12°-kal kisebb, mint az 5-tel több oldalú szabályos sokszög egy belső szöge. Hány oldalúak ezek a szabályos sokszögek?

3.

Egy szabályos sokszög egy külső szöge 3,6°-kal nagyobb, mint a nála 5-tel több oldalú szabályos sokszög egy külső szöge. Hány oldalúak ezek a szabályos sokszögek? Egy téglalap alakú bádoglemezből felül nyitott dobozt készítünk úgy, hogy a lemez sarkainál 5 cm oldalú négyzeteket kivágunk, és az így kapott széleket felhajtjuk. Milyen méretű a bádoglemez, ha

– Te Bumbi! Mondtam, hogy a kék jelzésen indulj, de te a zöldön indultál el. Most éppen 60 km-nyire vagy tőlünk!

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

124

Egy kikötőből egyszerre indul két hajó: az egyik északnak, a másik keletnek. Két óra múlva 58 kmnyire lesznek egymástól. Állapítsd meg mindkét hajó sebességét, ha az egyik óránként 1 km-rel többet tett meg, mint a másik!

4.

Egy konvex sokszögnek 4-gyel több oldala és 2,7szer annyi átlója van, mint egy másiknak. Melyik hány oldalú?

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

B

hosszúsága kétszerese a szélességének, a belőle készített doboz térfogata pedig 1500 cm3? 5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm 5 cm

5.

Egy 1 dm-es oldalú négyzetbe szabályos háromszöget írunk az ábra szerint. Ezt a háromszöget pirosra színezzük. a) Mekkorák a piros háromszög oldalai? b) Mekkora a piros há1 romszög területe? x c) Mekkora a négyzet többi részének a területe?

5 cm

RÁADÁS Arany Miklós személygépkocsija 36 km sebességgel halad h a 40-es korlátozású zónában. A mögötte lévő autó dühösen előzni kezdi, 54 km sebességgel, noha a záróvonal miatt h nem is előzhetne. Amikor a két kocsi éppen egymás mellett halad, egyszerre pillantanak meg egy úttestre kiguruló labdát maguk előtt és mindketten azonnal fékezni kezdenek. Apa éppen le tud fékezni a labda előtt. A család ijedten nézi, hogy a másik autó elszáguld a labda mellett. – Még jó, hogy nem ütött el senkit – sóhajt fel Hajni. – A labda biztosan valamelyik fáról eshetett le. – Vajon mekkora sebességgel ért a labdához? – gondolkozik hangosan Bence, aki éppen most írt dolgozatot kinematikából. – Ha hazaértünk, megoldjuk majd a feladatot – mondja neki Hajni. – Te ilyen jó voltál fizikából? – Történetesen igen, de akár hiszed, akár nem, ez egy geometria feladat. Otthon Hajni az alábbi grafikonokat rajzolja fel Bencének: v (m s) 16 14 12

v (t) = 15( m ) - 5( m2 ) × t s s

10 8 6 4 2 0 0 0,5 1 1,5

1 41 . l e c ke

2 2,5 3 t (s)

G E O M E T R I A I P RO B L É M Á K

– Íme, az alsó egyenes a mi sebességünk, 10 m kezdőses bességről lassultunk le. Én azt hiszem, nagyjából 2 másodperc volt az az idő, tehát úgy 5 m2 lehetett a lassulásunk. s A  mellettünk lévő kocsi emiatt 3 másodperc alatt lassult volna le. A megtett út a sebességfüggvény grafikonja és az időtengely által bezárt alakzat területével egyezik meg, ez nálunk a zöld derékszögű háromszög területe, a másik kocsinál pedig a piros derékszögű trapéz területe. Mindketten ugyanannyi utat tettünk meg a kiguruló labda vonaláig, tehát a feltételünk, hogy a zöld derékszögű háromszög területe éppen megegyezzen a piros derékszögű trapéz területével. Ebből már könnyedén ki tudod számolni a másik kocsi sebességét! – Valóban. De nekem nem tűnt két másodpercnek az az idő. Szerintem csak te érezted többnek. – Az lehet. Nagyon ijesztő volt – ismeri el Hajni. Kis gondolkodás után egyszerre szólalnak meg: – De ez lehet, hogy nem is számít! Hajninak és Bencének igaza van, a végeredmény nem függ a lassulástól. Oldjátok meg ti is az így kapott feladatot az 5  m2 lassulásból kiindulva! Ezután oldjátok meg a feladatot s úgy is, hogy a lassulást nem ismerjük! 40,25 km sebességet fogtok kapni. Láthatjátok, hogy a h szabálytalanul előző gépkocsi sebessége kevesebbel csökkent, mint a szabályosan közlekedőké, és még a megengedett korlát alá se tudott jutni! Ha a vezetők reakcióidejével (~0,2 mp) is számolunk, az eredményünk már függ a lassulás mértékétől is. 5-6 m2 lassulás esetén 42 km körüli érh s téket kapunk meg.

125

142

ALKALMAZZUK A MEGOLDÓKÉPLETET!

P É L DA

1.

Egy számnak és a reciprokának az összege 6,41. Melyik ez a szám?

Megoldás Legyen a keresett szám az x. Nyilván x ! 0, mert a 0-nak nincsen reciproka. A szöveg szerint: x + 1 = 6,41. Mindkét oldalt x-szel x 2 megszorozva: x + 1 = 6, 41x , x 2 - 6, 41x + 1 = 0 . A megoldóképlet szerint: 2 x1, 2 = 6, 41 ! 6, 41 - 4 $ 1 $ 1 = 6, 41 ! 6, 09 . 2 2 Ebből x1 = 6, 41 + 6, 09 = 6,25 , x2 = 6, 41 - 6, 09 = 0,16 . 2 2 A keresett szám a 6, 25 = 25 , vagy a 0,16 = 4 . 4 25 Mivel 6,25 + 0,16 = 6,41, ezért mindkét szám megoldása a feladatnak.

2.

Egy IC vonat 96  km-en keresztül teljes sebességgel ment, de a következő 68 km-en a pálya rosszabb minősége miatt csak 15 km -val csökkentett sebességh gel haladhatott. Mekkora az IC vonat teljes sebessége, ha a 164 km-es távolságot 1,5 óra alatt tette meg?

Megoldás A vonat teljes sebessége legyen x km , a csökkentett sebesh km ség ekkor (x - 15) . h

126

A 96 km megtételéhez szükséges idő 96 óra, a 68 km-hez x pedig 68 óra kell. x - 15 A szöveg szerint tehát: 96 + 68 = 1,5. Világos, hogy x x - 15 csak x 2 15 jöhet szóba. Az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg x ^ x - 15h -tel: 96^ x - 15h + 68x = 1,5x ^ x - 15h . A zárójelek felbontása után: 164x - 1440 = 1,5x 2 - 22,5x. Másodfokú egyenletet kaptunk, ezt átalakítjuk a megoldóképlet alkalmazásához megfelelő alakba: 1,5x 2 - 186,5x + 1440 = 0. A megoldóképlet szerint: 2 x1, 2 = 186,5 ! 186,5 - 4 $ 1,5 $ 1440 . 186,5 ! 161,7 . 3 3 Ebből x1 . 186,5 + 161,7 . 116 , x2 . 186,5 - 161,7 . 8. 3 3 Ez utóbbi nem lehet megoldása a feladatnak, mert kisebb 15-nél, tehát az IC vonat teljes sebessége közelítőleg 116  km volt. h

Ellenőrzés A 96 km-es út 96 . 0,83 órát vett igénybe, a 68 km-es 116 68 út pedig . 0, 67 órát. A két időtartam összege 101 valóban 1,5 óra.

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

F E L A DAT

1.

Egy szám 4,8-del kisebb a reciprokánál. Melyik ez a szám?

2.

Oldd meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! x + 3 = 1,1 5 + x+2 = 9 a) b) x+ 4 x x-5 x+5 5

3.

Tisza-túrán összesen 8 óra alatt sikerült túrakenuval Tivadartól Gergelyiugornyáig eljutni és onnan visszatérni. A két táborhely távolsága 21 folyamkilométer, a Tisza sebességét 2 km -nak vehetjük. h Mekkora lenne a túrakenu sebessége állóvízben? (Feltehetjük, hogy mindvégig ugyanolyan tempóban eveztünk.)

H Á Z I F E L A DAT

1.

Oldd meg a valós számok halmazán az egyenleteket! a) 3x - x + 3 = 11 x-3 x 4 10 x 8 b) +1 = 7+ x 7- x

3.

Hétvégi rokonlátogatás alkalmával a 150 km-es távolságot odafelé 10 km -val kisebb átlagsebességgel h tettük meg, mint hazafelé. Így a hazafelé vezető út fél órával rövidebb ideig tartott, mint az odafelé vezető. Mekkora volt az átlagsebesség odafelé és visszafelé?

2.

Ha 55 csavart veszünk, akkor a fizetendő összeg forintban kifejezve 600-zal több, mint ahány csavart vehettünk volna 720 forintért. Hány forintba kerül egy csavar?

4.

Egy kikötőből egyszerre indul két hajó, az egyik nyugatnak, a másik északkeletnek. Az északkelet felé haladó hajó sebessége másfélszer akkora, mint a másik hajó sebessége. két és fél óra elteltével a két hajó egymástól 120 km-re található. Mekkora az egyes hajók sebessége?

1 4 2 . l e c ke

ALKALMAZZUK A MEGOLDÓKÉPLETET!

1 27

143

SZÖVEGES FELADATOK

P É L DA A cukrászdába meghozták az édes és a sós teasüteményt, 2 kg-mal több édeset, mint sósat. Andi, a cukrászkisaszszony aláírta az átvételi elismervényt. Kifizetett az édes süteményért 42  000 Ft-ot, a sós süteményért 27  000 Ft-ot. – Tegyék csak le az ajtó elé, majd én behozom! – mondta a szállítóknak. – Nem magának való ez – mondta az udvariasabbik szállító –, majd én beviszem. Hiszen ez több mint 30 kiló! Így is történt, a szállító becipelte a két nagy csomagot. Andi tudta, hogy az édes sütemény kilója 600 forinttal kerül többe, mint a sósé, de hogy melyik hány forint, azt nem mondta meg a főnöknője. Nekiállt kiszámolni (a sok nulla csak zavaró lett volna, ezért ezer forintos egységeket használt). Először is egy táblázatot készített: Teljes ár (ezer Ft)

1 kg ára (ezer Ft)

Hány kg-ot szállítottak?

édes

42

x + 0,6

42 x + 0, 6

sós

27

x

27 x

Andi azért vette alapul a sós sütemény egységárát, hogy összeadással és ne kivonással írhassa fel a másikat. (A negatív számokkal Andi sokszor hibázott.) 42 2 27 (mégpedig 2-vel nagyobb), Felírta, hogy x + 0, 6 x amiből ilyen egyenletet kapott: 42 = 27 + 2 . x + 0, 6 x Ezt az egyenletet Andi a mérlegelvvel oldotta meg. Először megszorozta az egyenlet mindkét oldalát (x + 0,6)-del is és x-szel is, azután addig alakítgatta az egyenletet, amíg alkalmas lett a megoldóképlet használatára:

128

42x = 27(x + 0,6) + 2x(x + 0,6) 42x = 27x + 16,2 + 2x2 + 1,2x 2x2 - 13,8x + 16,2 = 0 x2 - 6,9x + 8,1 = 0 A megoldóképlet szerint: 2 x1, 2 = 6, 9 ! 6, 9 - 4 $ 8,1 = 6, 9 ! 15, 21 = 6, 9 ! 3, 9 ; 2 2 2 x1 = 6, 9 + 3, 9 = 5,4 ; x2 = 6, 9 - 3, 9 = 1,5 . 2 2 – Hát most akkor mennyibe kerül egy kiló sós sütemény? 5400 forintba vagy 1500 forintba? – törte a fejét Andi. Végiggondolta: – Ha a sós sütemény ára 5400 Ft/kg, akkor az édesé 600 Ft-tal több, vagyis 6000 Ft/kg. Ezt Andi nagyon soknak találta, de azért tovább számolt: a 42 000 forintból akkor 42 000 : 6000 = 7 kilogramm édes süteményre telik, a 27 000 Ft-ból pedig 27 000 : 5400 = 5 kilogramm sósra. Ez összesen 12 kg lenne, ami nem lehet, mert hiszen 30 kg-nál is több volt az áru, amit hoztak. – Ha a sós sütemény ára 1500 Ft/kg, akkor az édesé 600 Ft-tal több, vagyis 2100 Ft/kg. Andi látta, hogy ez már reális ár. Így folytatta a számolást: a 42 000 forintból akkor 42 000 : 2100 = 20 kilogramm édes süteményre telik, a 27  000 Ft-ból pedig 27  000 : 1500 = 18 kilogramm sósra. Ez összesen 38 kg, tehát tényleg több 30 kg-nál. Szerencse, hogy közben nem jöttek vevők, így Andi mindent tisztázott magában.

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

F E L A DAT

1.

c) Add hozzá a kisebbik számhoz az 1 ezer forintot! Írd fel, hogy ez az összeg egyenlő a nagyobb számmal! d) Oldd meg a kapott törtes egyenletet! A megoldáshoz használd a mérlegelvet! e) Két gyököt kapsz. Ellenőrizd mindkét gyökre vonatkozóan: – lehetséges-e, hogy a kórusnak ennyi tagja van; – melyik esetben mennyire sikerült lealkudni a kendők egységárát! f) A kendőket árusító boltból telefonálnak Hajninak, hogy a boltban sok fogyott a kendőkből, már csak 62 darab van raktáron. Azt kérdezik, rendeljenek-e még az énekkar vásárlása előtt. Most te felelj: hány tagú a kórus, ha Hajni „igen”-nel válaszolt, és hány tagú, ha „nem”mel?

Arany Hajni iskolájában leánykórus alakult. Nincs egyforma fellépőruhájuk, de szeretnének legalább egy szép vállkendőt a szereplésekre minden jelenlegi kórustagnak, sőt 10-et tartalékba is vennének. Az iskola alapítványától kérnek erre a célra 300 ezer forintot. Hamarosan választ is kapnak: a kuratórium megszavazott számukra 180 ezer forintot. A lányoktól nem akarnak pénzt kérni, ezért lemondtak a tartalék kendőkről, az eredeti árból pedig sikerült darabonként 1000 forintot lealkudniuk. Így elég lesz a 180 ezer forint. Hányan vannak a kórusban? a) Töltsd ki a következő táblázat üres helyeit a füzetedben! A Elkölthető Egy kendőre kendők összeg jutó összeg száma (ezer Ft) (ezer Ft) Az eredeti terv szerint A valóságban

300 x

180

2.

Egy tört nevezője 3-mal kisebb a számlálójánál, és a tört 2,1-del nagyobb a reciprokánál. Melyik ez a tört, ha a számlálója és a nevezője is egész szám?

3.

Egy traktor hátsó kerekének a kerülete kétszer akkora, mint az elsőé. Ha az első kerék kerülete 0,5 méterrel nagyobb volna, a hátsó kerék kerülete pedig 0,5 méterrel kisebb, akkor 150 m-es távon az első kerék 15-tel többet fordulna. Mekkora az első, illetve a hátsó kerék kerülete?

b) Írd fel, hogy az utolsó oszlopba írt számok egyike nagyobb a másiknál: … 2 … (ezer forinttal)!

H Á Z I F E L A DAT

1.

Télire krumplit vásárol Vili papa és Ilka mama. 2400 forintért már majdnem meg is vettek egy zsák krumplit, amikor meglátták, hogy a szomszédos pultnál 20 forinttal olcsóbb a krumpli p kilója. Így aztán ott vásárolták ták meg 2400 forintért a téli-re valót; 4 kg-mal többet, mintha a drágább krumplit vették volna meg. Hány kg krumplit vásároltak Vili papáék?

2.

Egy tört nevezője 1-gyel nagyobb a tört számlálójánál. A tört reciproka 0,45-dal nagyobb, mint a tört. Melyik törtről van szó, ha a tört számlálója és nevezője is egész szám?

1 4 3 . l e c ke

S Z Ö V E G E S F E L A DAT O K

129

144

CSOPORTVERSENY

CSOPORTMUNKA Alkossatok négyfős csoportokat!

1.

Oldjátok meg az 1–4. feladatokat, a 4. feladat eredményét írjátok fel a táblára! Az a csoport nyer, amelyik először írja fel a jó eredményt. A verseny addig tart, amíg mindegyik csoport felírja eredményét a táblára. Ez alatt az idő alatt mindegyik csoport egyszer javíthat.

Jó tanács: érdemes egy kicsit gondolkozni, mielőtt nekiugrotok a megoldóképletnek! Egyes esetekben számolás nélkül is felelhettek a kérdésekre. 1. feladat Mik az ax2 + bx + c = 0 egyenlet gyökei, ha ebben az egyenletben az a szám az x2 - 7x + 6 = 0 egyenlet nagyobbik gyöke, a b szám az 5 - x = 15 - 4x egyenlet gyöke, 2x - 1 3x + 1 a c szám pedig a (3x + 7)(3x + 5) = 0 egyenlet gyökeinek az összege?

A két gyököt jelöljétek a K és az L betűvel!

2. feladat Mennyi az ax2 + bx + c = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata, ha ebben az egyenletben az a szám a 4x2 - 12x + 9 = 0 egyenlet gyökeinek a száma; b = -1, a c szám pedig az x(3x + 4) = 4 egyenlet kisebbik gyöke?

Az eredményt jelöljétek az M betűvel!

3. feladat Állapítsátok meg, hogy a következő egyenletek közül melyiknek hány gyöke van! (x + 7)(5 - x) = 8, x2 = 6x, 4x2 + x - 3 = 0, 2 2 -3x + 2x = 1, 5 - x = 6x + 14, 2x2 - 7x + 5 = 0.

A kapott 6 szám összegét jelöljétek N-nel, a 6 szám szorzatát pedig P-vel!

4. feladat Számítsátok ki, mennyi a (K + L) ⋅N ⋅(M - P) szorzat!

A kapott számot írjátok fel a táblára! Zárójelben tüntessétek fel a felírás időpontját!

2.

Az első 3 helyezett csapat bemutatja, milyen egyszerű módszereket alkalmazott (például melyik egyenletet nem kellett megoldóképlettel megoldania, melyik esetben nem volt szüksége még a diszkrimináns felírására sem).

H Á Z I F E L A DAT

1.

130

Az alábbi másodfokú egyenletek közül melyikről dönthető el a diszkrimináns kiszámítása nélkül, hogy két különböző gyöke van, vagy hogy nincs gyöke? Miért? a) 3x 2 + 5 = 0 c) - 2,8x 2 - 7,3x + 1, 24 = 0 b) 3x 2 + 11x - 9, 6 = 0 d) 9,8x 2 + 8,8x = 0

2.

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

Oldd meg az egyenleteket! Ne feledkezz meg az értelmezési tartomány vizsgálatáról! a)

^ x - 6h^ x + 1h

=0 2x + 2 2 b) x + 8x + 16 = 0 x+4

2 c) x + 4x - 5 = 6 x -1 2 d) x2 + x - 6 = 0,72 x + 3x - 4

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

3.

Oldd meg az egyenleteket! a) x + 3 + x - 2 = 2 x-2 x+3

b) x - 4 + x - x + 2 = 17 2x 3 5 30

c)

x 2 - x + 10 = x - 2,5 3 - x 6 - 2x

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG Paraméteres feladatok

1.

Melyik számot jelölheti a p, ha a (p - 2)x2 + (2p - 7)x + p = 0 egyenletnek két különböző gyöke van?

Megoldás D Akkor van ennek az egyenletnek két különböző gyöke, ha – másodfokú, vagyis p - 2 ! 0, és 49 – a diszkriminánsa pozitív. Jegyezzük meg, hogy p - 2 ! 0, vagyis p ! 2, és írjuk fel az egyenlet diszkriminánsát! 2,45 D = ^2p - 7h2 - 4 $ ^ p - 2h $ p = 4p 2 - 28p + 49 - 4p 2 + 8p = 49 - 20p . p 2 49 - 20p 2 0, ha 20p 1 49, vagyis p 1 2,45. Tehát az adott egyenletnek akkor és csakis akkor van két különböző gyöke, ha p 1 2,45, de nem egyenlő 2-vel. A p megfelelő értékeit a koordináta-rendszer vízszintes tengelyén zölddel jelöltük.

2.

Milyen számokat írjunk a p betű helyére, ha azt akarjuk, hogy a (p + 2)x2 + 6px + 4p + 1 = 0 egyenletnek a valós számok halmazában 1 gyöke legyen? Melyik esetben melyik szám az egyenlet gyöke?

Megoldás Ez az egyenlet elsőfokú, ha az x2 együtthatója 0. Ebben az esetben p = -2, maga az egyenlet pedig ilyen: -12x - 7 = 0. A mérlegelvvel megkapjuk, hogy itt x = - 7 . 12 Ha p ! -2, akkor a (p + 2)x2 + 6px + 4p + 1 = 0 egyenlet másodfokú. Egy másodfokú egyenletnek akkor van 1 gyöke, ha a diszkriminánsa 0. Jelöljük az egyenlet diszkriminánsát D-vel. Ekkor D = ^6p h2 - 4 $ ^ p + 2h^ 4p + 1h = 36p 2 - 16p 2 - 36p - 8 = 20p 2 - 36p - 8 = 4^5p 2 - 9p - 2h . Kell, hogy D = 0 legyen. Ebből a feltételből az 5p 2 - 9p - 2 = 0 másodfokú egyenlethez jutunk, amelyet megoldunk: p1, 2 = 9 ! 81 + 40 = 9 ! 121 = 9 ! 11 ; p1 = 2 ; p2 = - 1 . 10 10 10 5 Ha p = 2, akkor egyenletünk a 4x2 + 12x + 9 = 0 alakot veszi fel. Másképp: (2x + 3)2 = 0, amiből x = - 3 . 2 2 2 1 9 6 1 Ha p = - , akkor a x - x + = 0 egyenletet kapjuk. Ebből 5-tel szorozva a 9x + 6x + 1 = 0 egyenlethez jutunk, 5 5 5 5 2 ami (3x + 1) = 0 alakba is írható. Most már megkapjuk a gyököt is: x = - 1 . 3 Tehát a p betű helyére 3 különböző számot is írhatunk, ha azt akarjuk, hogy az egyenletnek a valós számok halmazában 1 gyöke legyen: ha p = -2, akkor ez a gyök a - 7 , 12 3 ha p = 2, akkor ez a gyök a - , 2 1 ha p = - , akkor ez a gyök a - 1 . 5 3 Számításunkból az is következik, hogy ha más számot írunk a p helyébe, akkor a kapott egyenletnek a valós számok halmazában vagy nincs gyöke, vagy 2 különböző gyöke van.

1 4 4 . l e c ke

CSOPORT VERSENY

1 31

145

FORDÍTÓIRODA

P É L DA

1.

A Pallasz Fordítóiroda megbízást kap egy lexikon magyarra fordítására. A fordítást egy ember 60 nap alatt végezné el, de a munkát – egyenlő részekre osztva – többen is végezhetik egyszerre. A megbízó először kiválasztja a fordítókat, majd szerződést köt velük. A megbízás annyi napra szól, ahány nap alatt együtt elvégzik a munkát. A fordítók az egy nap alatt lefordított anyagot továbbküldik egy lektornak is, akit ugyanannyi napra szerződtetnek, mint a fordítókat. A fordítók és a lektor napidíja egységesen 4000 Ft, ezenkívül a fordítók egyszeri, 40 000 Ft juttatást is kapnak. a) Mennyi költsége lesz a fordítóirodának, ha 1, 2, 5, x fő fordítót és egy lektort alkalmaz? b) A vezérigazgató végül 440 000 Ft kifizetését engedélyezi a fordítóknak és a lektornak. Vajon hány fordítót alkalmazott a fordítóiroda?

Megoldás a) Készítsünk táblázatot a költségek áttekintésére! Az összegeket ezer forintban adjuk meg. Fordítók Fizetett napok száma száma

Fordítók napidíja összesen (ezer Ft)

Lektor napidíja összesen (ezer Ft)

Egyszeri juttatás (ezer Ft)

Összes költség (ezer Ft)

1

60

1 ⋅ 60 ⋅ 4 = 240

60 ⋅ 4 = 240

40

520

2

30

2 ⋅ 30 ⋅ 4 = 240

30 ⋅ 4 = 120

2 ⋅ 40 = 80

440

5

12

5 ⋅ 12 ⋅ 4 = 240

12 ⋅ 4 = 48

5 ⋅ 40 = 200

488

x

60 x

x $ 60 $ 4 = 240 x

60 $ 4 = 240 x x

x $ 40 = 40x

240 + 240 + 40x x

A számoláshoz táblázatkezelő program is használható. b) Az a) részben már kiszámoltuk, hogy 2 fordító alkalmazása esetén is ennyi a költség, de vajon ez az egyetlen ilyen eset? Írjunk fel egyenletet a problémára: 240 + 240 + 40x = 440 . x Mindkét oldalt 40-nel osztva: 6 + 6 + x = 11 , mindkét oldalból 6-ot kivonva: 6 + x = 5. x x 2 2 Szorozzuk be mindkét oldalt x-szel: 6 + x = 5x, ezt 0-ra rendezve: x - 5x + 6 = 0. Az egyenletet megoldva: x1 = 2, x2 = 3 adódik. Igaz tehát, hogy 2 fordító esetén 440 000 Ft-ot fizet a fordítóiroda, de 3 fordító esetén is pontosan ennyi lesz a költség! A fordítóiroda tehát alkalmazhatott 3 fordítót is (így több embernek munkát adva), a költségeit ez nem befolyásolta.

2.

Andi és Tomi jelentkezett a fordítóiroda ajánlatára, mondván, hogy ők ketten 30 nap alatt le tudják fordítani az egész lexikont. Andi gyorsabban halad a fordítással, mert jobban ismeri a szakszavakat. Ezért ő egyedül 25 nappal hamarabb le tudná fordítani az egész lexikont, mint amennyi idő Tominak egyedül dolgozva szükséges hozzá. Hány nap alatt tudná Andi egyedül is lefordítani az egész lexikont?

Megoldás Ha Andinak a teljes lexikon lefordításához x nap szükséges, akkor Tominak ehhez (x + 25) napra van szüksége. Készítsünk táblázatot a jobb áttekinthetőség érdekében!

132

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l õ t l e n s é g e k

Andi

Tomi

Egyedül az egészet ennyi nap alatt fordítja le

x

x + 25

Egy nap alatt egyedül ekkora részt fordít le a lexikonból

1 x

1 x + 25

30 nap alatt egyedül ekkora részt fordít le a lexikonból

30 x

30 x + 25

Mivel 30 nap alatt együtt az egész lexikon lefordításával végeznek, ezért 30 + 30 = 1. x x + 25 Világos, hogy x csak pozitív lehet. Megszorozzuk az egyenlet mindkét oldalát x ^ x + 25h -tel: 30^ x + 25h + 30x = x ^ x + 25h . 30x + 750 + 30x = x 2 + 25x ,

ezt

nullára

rendezve:

2

0 = x - 35x - 750 .

Megoldóképlettel: x1, 2 = 35 ! 1225 + 3000 = 35 ! 65 . 2 2 Ebből x1 = 50 , x2 = -15 . Ez utóbbi nem megoldása a feladatnak. Andi 50 nap alatt, Tomi 75 nap alatt fordítaná le egyedül az egész lexikont. Ellenőrzés Andi naponta a lexikon 1 részét fordítja le, tehát 30 nap 50 30 3 alatt a lexikon részével végezne. Tomi naponta a = 50 5 lexikon 1 részét fordítja le, tehát 30 nap alatt a lexikon 75 30 = 2 részével végezne. Ketten együtt tehát lefordítják 75 5 a lexikon 3 + 2 = 5 részét, vagyis tényleg elkészülnének 5 5 5 a munkával.

F E L A DAT

1.

Vili papa kertjét fel kell ásni, mert szeretné újra füvesíteni. Arany Miklós egyedül dolgozva 10 órával hamarabb felássa a kertet, mint Bence egyedül. Ha

mindketten nekilátnak, akkor 12 óra alatt felássák a kertet. Mennyi idő alatt ásná fel egyedül Bence az egész kertet?

2.

A Pallasz Fordítóiroda egy hosszabb könyv magyar nyelvre lefordított kéziratát három gépírónak adta oda gépelésre. A leggyorsabb gépíró feleannyi idő alatt is legépelné az egész anyagot, mint a leglassúbb. A harmadik gépíró 100 órával több idő alatt végezne egyedül az egész munkával, mint a leggyorsabb. Ha hárman együtt dolgoznak, akkor elvileg 67,2 óra alatt lesznek készen a kézirat legépelésével. a) Mennyi idő alatt gépelné le egyedül a leggyorsabb gépíró az egész anyagot? b) A kézirat hány százalékát gépelnék le az egyes gépírók a 67,2 óráig tartó közös munka alatt? c) Mennyi idő alatt lenne kész a kézirat gépelése, ha a munkát három egyenlő részre osztanák, és a kész szöveget csak akkor adnák le, amikor már mindegyikük végzett a saját adagjával?

1 4 5 . l e c ke

F O R D Í T Ó I RO DA

133

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

134

Az 1. példában a 440 ezer forintos költség 2 vagy 3 fordító és egy lektor alkalmazásával is elérhető. a) Mondj érvet amellett, hogy két fordítót alkalmazzon az iroda, és amellett is, hogy 3 fordítót! b) Ha te volnál az egyik fordító, akkor mennyi pénzt kapnál abban az esetben, ha rajtad kívül még egy, illetve ha még két fordítóval kötne szerződést a fordítóiroda? Érvelj amellett, hogy melyik esetet tartod előnyösnek! Gondolj arra is, hogy nem biztos az, hogy minden napra jut fordítási munkád, illetve arra is, hogy más fordítócég esetleg más feltételekkel kötne szerződést veled.

III. 150 + 120 = 1 x x + 45 a) Vajon melyik egyenlet mit fejez ki? b) Oldd meg a három közül azt az egyenletet, amelyiket a legegyszerűbbnek gondolod! c) Mennyi ideig dolgozott Magdi szombaton Ilka mamáéknál? d) Mennyi ideig dolgozott Hajni vasárnap délután?

3.

Ilka mama telefonált Aranyéknak, hogy segítségre van szüksége: olcsón kapna paradicsomot és paprikát, hogy eltegye télire lecsónak, de úgy megdagadt a csuklója, hogy hozzá sem tud kezdeni. A menye, Magdi megígérte, hogy szombat reggel autóval lemegy hozzájuk, és mindent megcsinál. Úgy is lett. Persze jól elfáradt, amíg a lecsóalapanyag dobozolva a fagyasztóba került. Annyira megtetszett azonban neki a szomszéd őstermelő zöldsége, hogy vett még kétszer annyit, mint amennyi Ilka mamáéknak kellett, ezt hazavitte. Otthon két egyenlő részre osztotta az alapanyagokat, a felét maguknak, a felét a szüleinek akarta elkészíteni. Vasárnap reggel 8 órakor már mosta, csumázta a paprikát. Fél 9-kor Hajni is csatlakozott hozzá. Együtt vidámabban ment a munka, fél 11-re már dobozokban állt Gyula papáék adagja. Hajni kedvet kapott a munkához, megígérte édesanyjának, hogy délután az ő részüket egyedül fogja feldolgozni. Állta is a szavát, de bizony kellett hozzá akaraterő. Kiderült, hogy Hajni 3 órával többet dolgozott ezzel az utolsó adag4 gal, mint édesanyja az Ilka mamáékéval. Bence nem segített. Ő most mindent egyenletekben látott. Felírt három egyenletet erre a lecsókészítési problémára: I. 2, 5 + 2 = 1 x x+ 3 4 5 8 II. + =1 2x 4x + 3

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

Két automata egyforma csavarokat gyárt. A korszerűbb gép 5 órával rövidebb idő alatt gyártaná le egyedül a 100 000 darabot, mint ha egyedül csak az elavultabb gép üzemelne. Ha mindkét gépet egyszerre üzemeltetik, akkor óránként 9000 csavart készítenek el együtt. a) Mennyi idő alatt gyártaná le a 100  000 darab csavart egyedül az elavultabb gép? b) Mennyi idő alatt készül el a 100 000 csavar, ha a két gép egyszerre üzemel?

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l õ t l e n s é g e k

Az 1. példában a fordítóiroda 440  000 Ft-ot fizetett a lexikon lefordításáért. A megadott feltételek mellett lehetett volna kevesebb is a fordítás költsége? Láttuk, hogy ha x fő fordítót alkalmaz az iroda, akkor a költség 240 + 240 + 40x ezer forint. A 240 ezer forint fix x költség (a fordítási munka 60 napra tervezett napidíjainak összege). A költség csökkentése tehát azon múlik, hogy sikerül-e a 240 + 40x összeget minél kisebbre megválaszx tani. Két pozitív szám esetén alkalmazhatjuk a számtani és mértani közepükről tanultakat: 240 + 40x x $ 240 $ 40x , amiből 2 x 240 + 40x x $ 240 $ 40 , vagyis 2 240 + 40x $ 2 $ 9600 . x Ez azt jelenti, hogy a 240 + 40x összeg semmiképpen x nem lehet kisebb, mint 2 $ 9600 . 196 . A fordítóiroda költsége tehát nem lehet kisebb, mint közelítőleg 240 + 196 = 436 ezer forint. Elérhető-e ez a legkisebb összeg? A tanultak szerint két pozitív szám számtani és mértani közepe csak akkor lehet egyenlő, ha két egyenlő számról van szó. Ezek szerint a 436 ezer forintos költség csak akkor érhető el, ha 240 = 40x , azaz x 2 = 6 . x Mivel x a fordítók száma, ezért x2 nem lehet 6. A 436 ezer forintos elméleti minimum tehát nem érhető el. Nyitva maradt még az a kérdés, hogy lehet-e 440 ezer forintnál kevesebb a költség. A megoldáshoz mellékelt táblázatban már láttuk, hogy 1, illetve 5 fordító esetén nagyobb lenne a költség. Ha a fordítók száma 6 vagy több, akkor már az egyszeri juttatásokért is legalább 6 ⋅ 40 = 240 ezer forintot kellene fizetni, és ehhez jön még a fordítók napidíjának fix 240 ezer forintos költsége. E két költségelem is már 480 ezer forintot tesz ki, pedig a lektor díját még nem is számoltuk hozzá. Már csak azt az esetet kell megvizsgálni, amelyben 4 fordítót alkalmaz a cég. Ekkor 15 napig tartana a munka. 240 ezer forint a fordítók napidíja, 15 ⋅ 4 = 60 ezer forint a lektor összes díja és 4 ⋅ 40 = 160 ezer forint a fordítók egyszeri juttatása. Összesen tehát 240 + 60 + 160 = 460 ezer forint lenne a költség.

1 4 5 . l e c ke

F O R D Í T Ó I RO DA

Ez több, mint a 440 ezer forint, tehát az adott feltételek mellett a 440 ezer forint a legkisebb költség. A költségek alakulását grafikonon is szemléltethetjük. ezer Ft 700 600 500 436 400 300 200 100 0

0

1

2 Ö6

3

4

5

6

x

135

146

PÉNZÜGYEK

P É L DA Vili papa újabb akciós pénzlekötési lehetőség után kutatva azt látja, hogy változó kamatozású értékpapírba is fektethetné 300 000 forintját. A futamidő két év, és a második évben a kamatláb 2-vel kisebb, mint az első évben. Így a két év után 356 400 forintot érne az értékpapír. a) Hány százalékos volt az első évi kamat? b) A befektetett összeghez képest elért növekmény után 20%-os „forrásadót” kell fizetni. Hány forintot kapna kézhez Vili papa, és ez hány százalékkal több, mint a befektetett összeg? c) A forrásadó levonása után kézhez vett (nettó) összeg évi hány százalékos kamatos kamatnak felel meg a kétéves futamidőt figyelembe véve?

136

Megoldás a) Ha az első évi kamatláb x (azaz x %-ot „fial” a befektetett összeg), akkor év végére 300 000 + 300 000 $ x = 300 000`1 + x j 100 100 forintot ér az értékpapír. A második évben ez kamatozik tovább ^ x - 2h %-os kamattal, így év végére 300 000`1 + x j`1 + x - 2 j forint lesz az értéke. 100 100 x Tehát 300 000`1 + 1 + x - 2 j = 356 400. 100 j` 100 100 x 98 x + + 300 000 $ $ = 356 400, 100 100 30 $ ^100 + x h^98 + x h = 356 400 ; ^100 + x h^98 + x h = 11 880 ; 9800 + 198x + x 2 = 11 880 ; x 2 + 198x - 2080 = 0 . A megoldóképletből: x1 = 10 , x2 = - 208 . Ez utóbbi nyilván nem megoldása a feladatnak, tehát az első évi kamat 10%-os volt (a második évi pedig 8%-os). b) A növekmény 56  400 Ft, ennek csak a 80%-át kapja kézhez Vili papa, azaz 56 400 $ 0,8 = 45 120 forintot. Ez a befektetett összegnek 45 120 $ 100 = 15, 04 szá300 000 zaléka. Összesen tehát 345 120 Ft-ot kapna kézhez Vili papa. c) Ha mindkét évben ugyanakkora lenne a kamatláb, akkor a 300  000 Ft mindkét évben ugyanannyiszorosára növekedne. Ha ez a növekedési ráta mondjuk q, akkor 300 000 $ q $ q = 345 120 , vagyis 300 000 $ q 2 = 345 120 lenne. (A növekedési ráta, más néven kamattényező p%-os növekedés esetén p c1 + m -zal egyenlő.) (Lásd 9. o. tankönyv, 16. lecke.) 100 Egyenletünkből megkapjuk a q-t: q 2 = 345 120 = 1,1504 , 300 000 és mivel q 2 0, ezért q = 1,1504 . 1,073. p 7,3 , vagyis Vili Most tehát 1 + = 1, 073 = 1 + 100 100 papa ezzel az értékpapírral akkora nettó jövedelemre tehet szert, mint ha évi (nettó) 7,3 százalékos kamatos kamatra tenné be a megtakarított pénzét.

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

F E L A DAT

1.

2.

Két hónapos lekötési akciót indít egy pénzintézet. Az elhelyezett betét után az első hónapban fizetett kamatot hozzáírja a betéthez, majd a második hónapban a megnövelt összeg után fizetett kamatot 0,5 százalékponttal megemeli (ez a szakkifejezés azt jelenti, hogy ha az első hónapban a kamat p%-os volt, akkor a második hónapban (p + 0,5)% lesz). a) Hány százalékos az első havi kamat, ha 200 000 Ft elhelyezett betét esetén két hónap múlva 207 060 forint járna? b) A kamat után 20% forrásadót kell fizetni. Végül hány százalékkal magasabb a kifizetett összeg, mint az elhelyezett betét?

b) Hány forint volt a törlesztőrészlet az első hónapban és a második hónapban?

3.

Egy divatjamúlt kabát ára 36  000 Ft, de ezen az áron a múlt hónapban egyetlen darab sem fogyott. Ezért az üzletvezető leértékeli a kabátot, de az új áron sem kelendő. Végül az új árat kétszer akkora százalékkal csökkenti, mint az előző árcsökkentésnél. Az így kialakított 13 500 forintos áron végre a teljes készletet sikerül eladnia. Hány százalékos volt az első árcsökkentés?

2.

Példánk a) részében kiderült, hogy Vili papa 300 000 forintja két év alatt 356 400 Ft-ra nőtt. a) Hány százalékos évi növekedés ez, ha felteszszük, hogy az első év végén hozzáteszik a kamatot a 300 ezer forinthoz, és a kamatlábat nem változtatják meg? b) Mennyi forrásadót vonnának le az a) feladat esetében Vili papától a második év végén, amikor felveszi a megnövekedett összeget?

3.

A sarki lemezboltban a legújabb CD árát két héttel karácsony előtt felemelték p%-kal, újév után pedig a felemelt árat leszállították (p - 5)%-kal. Így január 2-án ugyanannyiba került, mint december elején. Számítsd ki a p-t!

Akciós áruhitel igénybevételével az első hónap végén alacsonyabb törlesztést kell fizetnünk, mint a második hónapban. A második hónapban a hónap elején fennálló tartozás után fizetett törlesztés 3 százalékponttal nagyobb volt, mint az első hónapban. Így a kezdeti 80 000 forint tartozásunk a második hónap végére 74 480 forintra csökkent. a) Hány százalék volt az első hónapban a törlesztés? (A két hónap során a hitelintézet nem számított fel kamatot és kezelési költséget sem.)

H Á Z I F E L A DAT

1.

Egy tv-készülék árát először felemelték p%-kal, majd ugyenennyi százalékkal csökkentették az új árat. Melyik kijelentés igaz és melyik hamis? Válaszodat indokold! a) A második árváltozás után ugyannyi lett a tv ára, mint eredetileg volt. b) A második árváltoztatás után olcsóbb lett a tv, mint eredetileg volt. c) A második árváltoztatás után drágább lett a tv, mint eredetileg volt. p2 e) A második árváltoztatás után %-kal ol100 csóbb lett a tv, mint eredetileg volt. f) Ugyanannyi lett a tv ára, mint ha először p%-os árcsökkentés, majd ugyanennyi százalékos áremelés lett volna.

1 4 6 . l e c ke

P É N Z Ü GY E K

1 37

147

POLINOM GYÖKTÉNYEZŐS ALAKJA

P É L DA

1.

Hajni gyakoroltatni akarja az öccsével a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Olyan egyenleteket akar számára készíteni, amelyeknek egész számok a gyökei. Így fog hozzá: Az (x - 5)(x - 2) = 0 állítás akkor és csakis akkor igaz, ha x - 5 = 0 (ami azt jelenti, hogy x = 5) vagy x - 2 = 0 (ami azt jelenti, hogy x = 2). Vagyis az (x - 5)(x - 2) = 0 egyenlet gyökei: 2 és 5. Beszorozva: (x - 5)(x - 2) = x2 - 5x - 2x + 10 = x2 - 7x + 10. Tehát Hajni odaadhatja Bencének az x2 - 7x + 10 = 0 egyenletet, mert tudja róla, hogy a gyökei: 2 és 5. Azt mondjuk, hogy az (x - 5)(x - 2) forma az x2 - 7x + 10 polinom gyöktényezős alakja.

F E L A DAT

1.

Készíts te is Bence számára másodfokú egyenleteket! Az egyenlet gyökei legyenek: a) 1 és 3 b) 2 és -4

c) 7 és 8

d) -6 és -5

ELMÉLET Legyenek a, b és c adott valós számok, és a ! 0. Foglalkozzunk az ax2 + bx + c másodfokú polinommal! – Azokat a számokat, amelyeket az x helyébe írva ax2 + bx + c = 0, a polinom zérushelyeinek mondjuk. – Bizonyítható, hogy ha az ax2 + bx + c polinom zérushelyei x1 és x2, akkor ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2). Ezt az utóbbi alakot a polinom gyöktényezős alakjának nevezzük. Például – a 3x2 - x - 2 = 0 egyenlet gyökei 1 és `- 2 j , ezért a 3x2 - x - 2 polinom gyöktényezős alakja 3^ x - 1h` x + 2 j , 3 3 – a 3x2 - x + 2 = 0 egyenletnek a valós számok halmazában nincs gyöke, ezért a 3x2 - x + 2 polinomnak nincs gyöktényezős alakja. – a 4x 2 - 12x + 9 polinomnak egy gyöke van, az 1,5; a polinom gyöktényezős alakja 4^ x - 1,5h^ x - 1,5h . Megjegyzés Az 1,5-et 4x 2 - 12x + 9 = 0 egyenlet kettős gyökének (vagy kétszeres gyökének) nevezzük.

138

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

P É L DA

2.

Oldjuk meg az x2 - 10x + 16 = 0 egyenletet szorzattá alakítással!

81 + 90 + 16 = -18 + 1 ; -11

Megoldás Első módszer Ha kitaláljuk, hogy x2 - 10x + 16 = (x - 2)(x - 8), akkor az egyenletet (x - 2)(x - 8) = 0 alakba írhatjuk, amiről leolvashatjuk, hogy az egyenlet gyökei 2 és 8. Második módszer A „kitalálás” helyett használjuk a teljes négyzetté kiegészítést! x 2 - 10x + 16 = ^ x - 5h2 - 25 + 16 = ^ x - 5h2 - 9 = = ^ x - 5h2 - 32. Emlékezzünk az a 2 - b 2 = ^a + b h^a - b h azonosságra! Ezzel: 2 ^ x - 5h2 - 3 = ^ x - 5 + 3h^ x - 5 - 3h = ^ x - 2h^ x - 8h . Tehát x 2 - 10x + 16 = ^ x - 2h^ x - 8h , és így leolvasható, hogy az x 2 - 10x + 16 = 0 egyenlet gyökei a 2 és a 8.

3.

^- 9h2 - 10 $ ^- 9h + 16 = 2^- 9h + 1 ; ^- 9h - 2

Bence és a barátja, Dönci nekiállt, hogy megoldja az x 2 - 10x + 16 = 2x + 1 egyenletet. Melyikük ügyex-2 sebb?

Megoldás Bence így okoskodott: az x - 2 nevezőben szerepel, ezért az x nem lehet 2, de bármely más valós szám igen. Ezután megszorozta az egyenlet mindkét oldalán álló kifejezést (x - 2)-vel, elvégezte a kijelölt szorzást, és alkalmazta a mérlegelvet: x 2 - 10x + 16 = 2x + 1, x- 2 x 2 - 10x + 16 = ^2x + 1h^ x - 2h ;

-17 = -17 igaz állítást kapta, vagyis a (-9) gyöke az eredeti egyenletnek is, és az átalakítások során kapott többi egyenletnek is. A 2-vel csak az eredeti egyenlet esetében „van baj”, az (x - 2)-vel való szorzás után kapott egyenleteknek ez is gyöke. 2 Döncinek ismerős volt az x - 10x + 16 = 2x + 1 egyenx- 2 letben a tört számlálója. Eszébe jutott, hogy a 2. példában látta: x2 - 10x + 16 = (x - 2)(x - 8). Ezért így dolgozott: x 2 - 10x + 16 = ^ x - 2h^ x - 8h = x - 8, x- 2 x-2 2 16 x x 10 + vagyis az = 2x + 1 egyenlet helyett veheti x- 2 a sokkal egyszerűbbet, az x - 8 = 2x + 1 egyenletet. Ezt a mérlegelvvel oldotta meg: x - 8 = 2x + 1; x = -9. Behelyettesítéssel ellenőrizte, hogy a (-9) az eredeti egyenletnek is gyöke.

Megállapíthatjuk, hogy Dönci számolt ügyesebben, mert észrevette, hogy használhatja a másodfokú polinom gyöktényezős alakját.

x 2 - 10x + 16 = 2x 2 + x - 4x - 2 ; x 2 + 7x - 18 = 0 . A megoldóképlet szerint x1, 2 = - 7 ! 49 + 4 $ 18 = - 7 ! 11 , vagyis 2 2 x1 = 2 és x2 = -9. Azt már megfigyelte, hogy a 2 nem jöhet szóba (mert akkor a tört nevezője 0 lenne), tehát csak a (-9) lehet az egyenlet gyöke. Behelyettesítéssel megvizsgálja, hogy valóban az-e. 2 Ha x = -9, akkor az x - 10x + 16 = 2x + 1 egyenletből a x- 2

1 47. l e c ke

P O L I N O M GY Ö K T É N Y E Z Ő S A L A K JA

139

F E L A DAT

2.

Alakítsd szorzattá a gyöktényezős alak segítségével a másodfokú polinomokat! a) 2x 2 - 9x - 5 b) 5x 2 + 13x + 8

3.

Megoldhatók-e Dönci módszerével is és Bence módszerével is a következő egyenletek? Ha igen, akkor oldd meg mindkét módszerrel! 2 a) 2x - 9x - 5 = 4x + 7 x- 5 2 x 5 13x + 8 = 5x + 8 + b) x +1

ELMÉLET Az x2 - 10x + 16 = 0 egyenlet két gyöke: 2 és 8. Ezeknek az összege 10 (az x együtthatójának az ellentettje), szorzata 16 (a nulladfokú tag); az x2 + 7x - 18 = 0 egyenlet két gyöke: 2 és -9 . Ezeknek az összege (-7) (az x együtthatójának az ellentettje), szorzata (-18) (a nulladfokú tag). Általánosan is igaz: Ha a, b, c adott valós számok, a ! 0 és az ax2 + bx + c = 0 egyenlet két gyöke x1 és x2, akkor x1 + x2 = - b és x1 $ x2 = c . a a Ezt a két képletet a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseknek, másképp: Viète-formuláknak nevezzük. Például a 3x2 - 8x + 4 = 0 egyenlet két gyöke 2, illetve 2 . A gyökök összege éppen 8 , a szorzatuk pedig 4 . 3 3 3

H Á Z I F E L A DAT

1.

2.

140

Alakítsd szorzattá a gyöktényezős alak segítségével a másodfokú polinomokat! a) x 2 - 26x + 120 c) 10x 2 + x - 21 2 d) - 5x 2 + 17x - 14 b) x - 7x - 18 A számlálót és a nevezőt is írd elsőfokú polinomok szorzataként, majd egyszerűsítsd a törteket! Hogyan változott az egyszerűsítés során a tört értelmezési tartománya? 2 2 b) - 5x 2+ 17x - 14 a) x 2 - 26x + 120 10x + x - 21 x - 15x - 100

3.

Oldd meg a valós számok halmazán az egyenleteket! 2 a) x - 26x + 120 = 5 x - 20 2 b) x + 10x + 24 = 3x - 2 x+ 4

4.

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

Oldd meg a 12x2 - 17x + 6 = 0 egyenletet a megoldóképlettel! Ellenőrizd, érvényesek-e itt a Vièteformulák!

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG I. Bizonyítsuk be a Viète-formulákat! Legyen az ax2 + bx + c = 0 egyenlet két gyöke x1 és x2, jelöljük D-vel a (b2 - 4ac) diszkriminánst. Ekkor a megoldóképletnek megfelelően x1 = - b + D és x2 = - b - D . Írjuk fel a gyökök összegét és szorzatát! 2a 2a x1 + x2 = - b + D + - b - D = - 2b = - b ; 2a 2a 2a a 2 b D ^ h b 2 - ^b 2 - 4ac h x1 $ x2 = - b + D $ - b - D = = = 4ac2 = c . Ezt akartuk bizonyítani. 2a 2a a 4a 2 4a 2 4a [François Viète (1540–1603) francia matematikus volt. Az ő nevéhez fűződik a másodfokú egyenlet megoldásainak betűk segítségével történő felírása és a tételben szereplő két összefüggés is. Ő volt az első, aki fel tudta írni a r-t egy sorozat elemeinek szorzataként: 2 2 2 r = 2$ 2 $ $ $ $f 2 2+ 2 2+ 2+ 2 2+ 2+ 2+ 2 Descartes – noha ezt egész életében tagadta – nagy valószínűséggel Viète műveire is alapozta saját algebrai és geometriai munkásságát.] A Viète-formulák segítségével további felfedezéseket tehetünk. II. A másodfokú polinom gyöktényezős alakja Tétel: Ha a, b, c adott valós számok, a ! 0 és az ax2 + bx + c = 0 egyenlet két gyöke x1 és x2, akkor az ax2 + bx + c másodfokú polinom szorzattá alakítható: ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2). Bizonyítás Használjuk fel az egyenletre vonatkozó Viète-formulákat! Írjunk a b együttható helyébe - a ^ x1 + x2h -t, a c együttható helyébe ax1 x2 -t: ax 2 + bx + c = ax 2 - a ^ x1 + x2h x + ax1 x2 = a ^ x 2 - x1 x - x2 x + x1 x2h = a ^ x - x1h^ x - x2h . Ezt akartuk bizonyítani. Az is igaz, hogy ha az ax2 + bx + c = 0 egyenletnek nincsenek gyökei, akkor az ax2 + bx + c másodfokú polinom nem alakítható szorzattá. (Ha ugyanis a másodfokú polinom két elsőfokú polinom szorzatára bomlana, akkor az elsőfokú polinomok zérushelyei az ax2 + bx + c = 0 egyenlet gyökei lennének. Ez azonban ellentmondás lenne azzal a feltevésünkkel, hogy az ax2 + bx + c = 0 egyenletnek nincsenek gyökei.)

F E L A DAT

1.

Vannak-e valós gyökei a 6x2 - 7x + 2 = 0 egyenletnek? Ha vannak, akkor mennyi ezek összege, és mennyi ezek szorzata?

2.

Írd fel a Viète-formulákat az x2 + px + q = 0 egyenletre! (Van megoldása az egyenletnek.)

3.

Alakítsd elsőfokú polinomok szorzatává a következő polinomokat! a) x2 - 10x + 21 c) 2x3 + 5x2 + 6x 2 d) 2x3 - 4x2 - 6x b) x - 4x + 1

1 47. l e c ke

P O L I N O M GY Ö K T É N Y E Z Ő S A L A K JA

4.

Mennyi a valós gyökök négyzetösszege a következő egyenletekben? a) x2 + 4x + 7 = 0 b) x2 + 4x - 7 = 0

5.

A (p + 3)x2 + (p2 + 6p + 1)x - 5p = 0 egyenlet egyik gyöke az 5. Mi lehet a másik gyöke?

6.

Mely B és C értékekre lesz az x2 + Bx + C = 0 másodfokú egyenletnek pontosan két gyöke, melyek egymás reciprokai?

1 41

148

EKVIVALENS EGYENLETEK

P É L DA 2 Oldjuk meg a 2x + 5x - 1 = x - 1 egyenletet! x+ 3

Megoldás Most is törtes egyenletet vizsgálunk. Nevezőben szerepel az x + 3, ezért az x nem lehet (-3), de bármely más valós szám igen. Tehát az egyenlet értelmezési tartománya az R \ {-3} halmaz. Megvizsgáljuk, használható-e itt a múlt órán is alkalmazott „Dönci-módszer”, vagyis lehet-e a törtet (x + 3)mal egyszerűsíteni. Akkor lehetne, ha a (-3) a számláló zérushelye lenne. 2 · (-3)2 + 5 · (-3) - 1 = 18 - 15 - 1 = 2 ! 0, tehát a számláló nem bontható olyan szorzatra, amelynek az egyik tényezője (x + 3) lenne. Ezért ennél a feladatnál csak a „Bence-módszerrel” dolgozhatunk. Szorozzuk meg az egyenlet két oldalán álló kifejezést a bal oldalon álló tört nevezőjével, végezzük el a kijelölt szorzást, és alkalmazzuk a mérlegelvet! 2x 2 + 5x - 1 = ^ x + 3h^ x - 1h 2x 2 + 5x - 1 = x 2 + 3x - x - 3 x2 + 3x + 2 = 0

A megoldóképlet szerint x1 = -1 és x2 = -2. Mindkét szám benne van az értelmezési tartományban. 2 Ha x1 = -1, akkor a 2x + 5x - 1 = x - 1 egyenletx+3 2 $ ^-1h2 + 5 $ ^-1h - 1 ből a = -1 - 1 ; 2 - 5 - 1 = - 2 ; 2 ^-1h + 3 -2 = -2 igaz állítást kapjuk, vagyis a (-1) gyöke az eredeti egyenletnek is, és az átalakítások során kapott többi egyenletnek is. 2 Ha x1 = -2, akkor az 2x + 5x - 1 = x - 1 egyenletből x+ 3 a

2 $ ^- 2h2 + 5 $ ^- 2h - 1 = -2 - 1; ^- 2h + 3

8 - 10 - 1 = -3; 1

-3 = -3 igaz állítást kapjuk, vagyis a (-2) gyöke az eredeti egyenletnek is, és az átalakítások során kapott többi egyenletnek is. 2 Tehát a 2x + 5x - 1 = x - 1 egyenlet megoldáshalmaza: x+3 {-1; -2}.

ELMÉLET Ha két egyenletnek egy alaphalmazon ugyanaz a megoldáshalmaza, akkor ezeket az egyenleteket ekvivalenseknek mondjuk. Az ekvivalens szó latin eredetű, magyarul egyenértékűt jelent. Például – az imént példában az R alaphalmazon 2 a 2x + 5x - 1 = x - 1 ; a 2x 2 + 5x - 1 = ^ x + 3h^ x - 1h ; a 2x 2 + 5x - 1 = x 2 + 3x - x - 3 és az x2 + 3x + 2 = 0 x+3 egyenletek ekvivalensek egymással, mert hiszen ugyanazok a gyökeik, a (-1) és a (-2); – az x2 - 10x + 16 = (2x + 1)(x - 2); x2 - 10x + 16 = 2x2 + x - 4x - 2; x2 + 7x - 18 = 0 egyenletek ekvivalensek egymással, mert ugyanaz a két gyökük van, a 2 és a (-9); – a múlt órán láthattuk (a 3. példában), hogy Dönci megoldásában az R alaphalmazon minden egyenlet ekvivalens volt az eredeti egyenlettel (és így egymással is ekvivalensek voltak), míg Bence megoldásában ez nem volt igaz. Ugyanis: 2 a) az x - 10x + 16 = 2x + 1 egyenlet és az x - 8 = 2x + 1 egyenlet ekvivalens egymással, mert ugyanaz az egyetx- 2 len gyökük van, a (-9);

142

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

2 b) az x - 10x + 16 = 2x + 1 egyenlet nem ekvivalens az x- 2 x 2 - 10x + 16 = ^2x + 1h^ x - 2h ; x 2 - 10x + 16 = 2x 2 + x - 4x - 2 ; x 2 + 7x - 18 = 0 egyenletek egyikével sem, mert a törtes egyenletnek csak egy gyöke van, a (-9), a többinek pedig két gyöke van, a 2 és a (-9).

F E L A DAT

1.

Ekvivalens-e az R alaphalmazon a) a 3^2 - x h + 7 = 5x + 13 egyenlet és a 4 12^2 - x h + 28 = 5x + 13 egyenlet; 2 b) az x + 2x = 2 egyenlet és az x 2 + 2x = 2x x egyenlet; c) az 5x + 1 = 1 egyenlet és az 5x = 0 egyenlet; x x ^ x - 3h^ x + 5h d) az = - 2 egyenlet és a 3 ^ x + 2h^ x + 5h 3^ x - 3h = - 2^ x + 2h egyenlet;

f) a

x = 2 - x egyenlet és az x = ^2 - x h2

egyenlet?

2.

Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán! Mindegyik esetben állapítsd meg, hogy a megoldás során egymás után kapott egyenletek ekvivalensek-e az eredeti egyenlettel! 2 a) x - 10x + 16 = 12 - 15x x+ 5 b) x + 1 = 2 x c) x = x - 12

2.

Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán! Mindegyik esetben állapítsd meg, hogy a megoldás során kapott egyenletek ekvivalensek-e az eredeti egyenlettel! a) 2 x + 5 =5 x + 7x + 10 b) 2 x + 5 = 5x + 14 x + 7x + 10 2 c) x + 7x + 10 = - 3 x+ 5 d) ^7x - 8h2 = ^8 - 3x h2

e) az ^ x + 8h2 = ^ 4 - 3x h2 egyenlet és az x + 8 = 4 - 3x egyenlet;

H Á Z I F E L A DAT

1.

Ekvivalens-e egymással az R alaphalmazon a következő két-két egyenlet? a) ^ x + 3h2 = 16 és x + 3 = - 4 b) 2x + 3 x = 3 x - 8 c)

2

és

2x = - 8

2

x - 16 = 0 és x - 16 = 0 d) 23x = 0 és 3x = 0 x +4

1 4 8 . l e c ke

E K V I VA L E N S E GY E N L E T E K

143

149

GYÖKÖS EGYENLETEK

P É L DA Hány megoldása (gyöke) lehet a x + 2 = A egyenletnek, ha az A valamilyen valós számot jelöl?

y y = Öx + 2

Megoldás Ha A 1 0, akkor nincs az egyenletnek gyöke, mert egy szám négyzetgyöke nem lehet negatív. Ha A = 0, akkor x + 2 = 0, s eszerint x = -2 (az egyenletnek 1 gyöke van). Ha A 2 0, akkor négyzetre emeljük az egyenlet két oldalán álló számot: x + 2 = A2; x = A2 - 2 (az egyenletnek 1 gyöke van). Tehát az A szám nagyságától függ, hogy az egyenletnek 0 vagy 1 gyöke van. Ha megrajzoljuk az y = x + 2 egyenletű görbét, ami egy fél parabola, ugyanezt tapasztaljuk.

A>0 1 A=0 0

1

x A<0

Használható a GeoGebra vagy a Graph progH ram r is.

F E L A DAT

1.

144

Bhászkara hindu tudósról már írtunk a 139. leckében. Ő több mint 800 évvel ezelőtt írt egy könyvet a leánya számára, Lilavati (elbűvölő) címen, abból való ez a feladat: Melyik az a szám, amely 3-mal szorozva, azután a szorzat háromnegyed részével növelve, 7-tel osztva, a harmadrészével csökkentve, önmagával szorozva és 52-vel csökkentve, azután belőle négyzetgyököt vonva, hozzáadva 8-at, és elosztva 10-zel, 2-t ad?

Jelöld a keresett számot egy betűvel, és írd fel, hogyan kapod ebből a 2-t! Ezután lebontogatással (lépésről lépésre visszafelé haladva) megkaphatod azt a bizonyos számot. Sőt: két számot is, a 28-at és a (-28)-at. Ha csak a 28-at találtad meg, akkor úgy jártál, mint annak idején maga Bhászkara.

2.

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

Oldd meg a x + 3 + 9 = 2x egyenletet! a) Állapítsd meg az egyenlet értelmezési tartományát! b) Alakítsd át az egyenletet úgy, hogy ha négyzetre emeled az egyenlet két oldalán álló kifejezést, akkor ne legyen benne négyzetgyök! c) Végezd el a négyzetre emelést! d) Oldd meg a keletkező másodfokú egyenletet! Benne vannak-e a kapott gyökök az egyenlet értelmezési tartományában? e) A másodfokú egyenlet gyökei közül melyik gyöke az eredeti egyenletnek, és melyik nem?

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

ELMÉLET Ha A is és B is számot jelöl, és A = B, akkor biztos, hogy A2 = B2. Ha azonban csak azt tudjuk, hogy A2 = B2, akkor nem biztos, hogy A = B, mert az is lehetséges, hogy A = -B. Ezt az egyszerű gondolatsort használjuk fel a négyzetgyökös egyenletek megoldására. Például ha azt az x számot keressük, amelyre igaz, hogy

x + 2 = 1 - x , akkor az a szám biztosan gyöke a négyzetre emelés után 2

kapott 2 2 ^ x + 2h = `1 - x j ; 2

2 x + 2 = 1 - 2x + x ; 4x + 8 = 1 - 2x + x 2 ; x 2 - 6x - 7 = 0 4 egyenleteknek is (ha A = B, akkor biztos, hogy A2 = B2). De az már nem biztos, hogy az utolsó egyenlet mindegyik gyöke megoldása az eredetinek is. Itt az utolsó egyenletnek két gyöke van, a (-1) és a 7, és közülük csak a (-1) gyöke az eredeti egyenletnek, a 7 nem. Ugyanis behelyettesítéssel a következőket kapjuk: 1 - ^-1h – ha x = -1, akkor a -1 + 2 = igaz állítás, mert azt mutatja, hogy 1 = 1, 2 – ha x = 7, akkor a 7 + 2 = 1 - 7 hamis állítás, mert azt mutatja, hogy 3 = -3. 2 1 Azt mondjuk, hogy a x + 2 = - x egyenletnek következményegyenlete a belőle négyzetre emelés útján kapott 2 2 x + 2 = 1 - 2x + x , az ebből mérlegelvvel adódó 4x + 8 = 1 - 2x + x 2 és az x 2 - 6x - 7 = 0 egyenlet is. 4 A következményegyenlet gyökei között az eredeti egyenlet minden gyöke megtalálható.

Megfigyelések 2 – Az x + 2 = 1 - 2x + x egyenletnek következményegyenlete a 4x + 8 = 1 - 2x + x 2 , és ez fordítva is igaz: a máso4 dik egyenletnek következményegyenlete az első (hiszen a két egyenlet gyökei azonosak). Ez a két egyenlet ekvivalens az R alaphalmazon. 2 – A x + 2 = 1 - x egyenletnek következménye az x + 2 = 1 - 2x + x egyenlet, de fordítva ez nem igaz: a második 4 2 egyenletnek nem következményegyenlete az első [ugyanis az első egyenletnek csak a (-1) gyöke, míg a másodiknak a 7 és a (-1) is]. Ez a két egyenlet nem ekvivalens az R alaphalmazon (sem az első egyenlet értelmezési tartományán mint alaphalmazon).

F E L A DAT

3.

Ebben a feladatban egy-egy négyzetgyökös egyenlet megoldásának részleteit láthatod. Először állapítsd meg az egyenlet értelmezési tartományát! Döntsd el a megoldásban szereplő egyenletek mindegyikéről, hogy – az R alaphalmazon – a megelőzőek közül melyik egyenletnek következménye, és melyiknek nem!

1 4 9 . l e c ke

GY Ö K Ö S E GY E N L E T E K

a)

x + 14 + x = 16 x + 14 = 16 - x x + 14 = ^16 - x h2 x 2 - 33x + 242 = 0

b) x = 3x - 2 + 4 x - 4 = 3x - 2 ^ x - 4h2 = 3x - 2 x 2 - 11x + 18 = 0

145

H Á Z I F E L A DAT

1.

A két egyenlet közül melyik következménye a másiknak? Vannak-e ekvivalensek az egyenletpárok között? a) x 2 = 16 és x = - 4 b) x - 1 = 5 c) 3x - 1 = 5 4 = 3 d) 3x - 6 5x - 10

és és és

x - 1 = 25 ^3x - 1h2 = 25 3x - 6 = 5x - 10 4 3

2.

3.

Oldd meg grafikus módszerrel és algebrai úton is a következő egyenleteket! a)

x =x

c)

x = 2x - 6

b)

x = -x

d)

x +1 = x -1

Oldd meg az egyenleteket! a)

5x - 9 = 3 - x

c)

b)

13 - 6x = 5 - 3x d) 5 x - 2 x =

5x + 23 = x - 7 x + 18

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

1.

^ 4 3x - 2 h = ^ x + 6h2 ; 16(3x - 2) = x2 + 12x + 36;

Melyik valós számot jelölheti az x, ha a) 4x + 8 = 2 + 3x - 2 ; b) 5 - 8x = 4 - 3x - 4 ?

2

Megoldás a) Először vizsgáljuk meg, mely valós számok esetén van értelmük a gyökös kifejezéseknek! A négyzetgyökjel alatt nem lehet negatív szám, ezért kell, hogy 4x + 8 is és 3x - 2 is pozitív vagy 0 legyen. – A (4x + 8) akkor és csakis akkor nemnegatív, ha 4x $ -8, vagyis x $ -2. –3

–2

–1

0

1

2

3

– A (3x - 2) akkor és csakis akkor nemnegatív, ha 3x $ 2, vagyis x $ 2 . 0,67. 3 –3

–2

–1

2 1 3

0

2

3

Mindkét feltétel teljesül, ha x $ 2 . Tehát ezek között 3 a számok között keressük az egyenlet gyökeit. Emeljük négyzetre az = jel két oldalán álló számot: ^ 4x + 8 h = ^2 + 2

3x - 2 h , 2

4x + 8 = 4 + 4 3x - 2 + 3x - 2 ; 4 3x - 2 = x + 6 . Úgy rendeztük az egyenletet, hogy ha most ismét négyzetre emelést végzünk, akkor már ne legyen az új egyenletben négyzetgyök:

146

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

48x - 32 = x2 + 12x + 36; x2- 36x + 68 = 0. Ha van gyöke az eredeti egyenletnek, akkor az gyöke a most kapott egyszerű egyenletnek is. Az x2 - 36x + 68 = 0 egyenletre alkalmazzuk a megoldóképletet: 2 x1, 2 = 36 ! 36 - 4 $ 68 = 36 ! 1024 = 36 ! 32 ; 2 2 2 x1 = 34; x2 = 2. Mindkét szám nagyobb 2 -nál, tehát szóba jöhet 3 megoldásként. Behelyettesítve:

Ha x = 34, akkor a 4x + 8 = 2 + letből a következőt kapjuk:

3x - 2 egyen-

4 $ 34 + 8 = 2 + 3 $ 34 - 2 ; 144 = 2 + 100 ; 12 = 2 + 10, ami igaz állítás. Ha pedig x = 2, akkor ez adódik: 4$2+ 8 = 2+ 3$2- 2; 16 = 2 + 4 ; 4 = 2 + 2, ami szintén igaz állítás. Tehát a 4x + 8 = 2 + 3x - 2 egyenletben az x két számot is jelölhet, a 2-t is és a 34-et is. Másképp A valós számok halmazán mint alaphalmazon a 4x + 8 = 2 + 3x - 2 egyenlet megoldáshalmaza: {2; 34}.

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

b) Először vizsgáljuk meg, mely valós számok esetén van értelmük a gyökös kifejezéseknek! A négyzetgyökjel alatt nem lehet negatív szám, ezért kell, hogy 5 - 8x is és 3x - 4 is pozitív vagy 0 legyen. – Ha 5 - 8x $ 0, akkor 8x # 5, vagyis x # 5 = 0,625. 8 –3

–2

–1

0

5 8

1

2

3

– Ha 3x - 4 $ 0, akkor 3x $ 4, vagyis x $ 4 . 1,33. 3 –3

–2

–1

0

1 4 3

2

3

Azt tapasztaljuk, hogy nincs olyan szám, amely szóba jöhetne, mert ha egy szám kisebb 0,625-nél, akkor nem lehet nagyobb 4 -nál. Itt tehát kár lett volna 3 hozzáfogni az egyenlet megoldásához, mert biztosan nincs megoldása. Ekvivalens, illetve következményegyenletek a négyzetgyökös egyenleteknél

2.

Oldjuk meg a valós számok halmazán mint alaphalmazon a 3x + 7 - x + 3 = 2 egyenletet!

Megoldás A négyzetgyökök miatt x $ - 7 és x $ - 3 . 3 Az egyenlet értelmezési tartománya: 8- 7 ; + 3 8. 3 Úgy érdemes átrendezni az egyenletet, hogy az egyik oldalon csak az egyik négyzetgyökös kifejezés legyen: 3x + 7 = x + 3 + 2 . Ha valamely x valós szám esetében ez az állítás igaz, akkor igaz a következő is: 2 2 ^ 3x + 7 h = ^ x + 3 + 2h ; 3x + 7 = x + 3 + 4 x + 3 + 4 ; 2x = 4 x + 3 ; x = 2 x+ 3, sőt, igaz a legutóbbi egyenlet négyzetre emelésével kapott állítás is: x 2 = 4 ^ x + 3h ; x 2 - 4x - 12 = 0 . Szakszavakkal kifejezve: a 3x + 7 = x + 3 + 2 egyenletnek következményegyenlete a négyzetre emelésekkel és átrendezésekkel kapott valamennyi egyenlet.

1 4 9 . l e c ke

GY Ö K Ö S E GY E N L E T E K

Gondolatmenetünkből következik: ha van gyöke a 3x + 7 - x + 3 = 2 egyenletnek, akkor az a szám gyöke az x 2 - 4x - 12 = 0 egyenletnek is. Ennek az utolsó egyszerű egyenletnek két gyöke van, a (-2) és a 6. Gyökei ezek az eredeti gyökös egyenletnek is? Mindkét szám benne van az egyenlet értelmezési tartományában (lásd előző feladat), tehát mindkettő szóba jöhet. Behelyettesítjük a (-2)-t és a 6-ot: – ha x = -2, akkor 3x + 7 - x + 3 = - 6 + 7 - - 2 + 3 = = 1 - 1 = 0 ! 2, tehát a (-2) nem gyöke az adott egyenletnek; – ha x = 6, akkor 3x + 7 - x + 3 = 18 + 7 - 6 + 3 = = 5 - 3 = 2, tehát a 6 az adott egyenletnek is gyöke. Tehát a valós számok halmazán mint alaphalmazon a 3x + 7 a 6.

x + 3 = 2 egyenletnek egyetlen gyöke van,

Eredményünk azt mutatja, hogy a 3x + 7 - x + 3 = 2 egyenletnek következményegyenlete az x 2 - 4x - 12 = 0 egyenlet, de a két egyenlet nem ekvivalens egymással. Megfigyelések 1. Behelyettesítéssel ellenőrizheted, hogy az x 2 - 4x - 12 = 0 egyenlet másik gyöke, vagyis a (-2) a második négyzetre emelés után kapott egyenleteknek is gyöke, a többinek azonban nem gyöke. Ez azért nyilvánvaló, mert az első négyzetre emelés után kapott egyenleteknek nem lehet gyöke negatív szám. Például az x = 2 x + 3 egyenlet jobb oldala egy négyzetgyök 2-szerese, ez csak pozitív vagy 0 lehet, tehát a bal oldalon sem állhat negatív szám. 2. A megoldásban előforduló egyenletek közül a következők ekvivalensek egymással: 3x + 7 - x + 3 = 2 ; 3x + 7 = x + 3 + 2 ; 3x + 7 = x + 3 + 4 x + 3 + 4 ; 2x = 4 x + 3 ; x = 2 x + 3 (ezeknek egyetlen gyökük van, a 6), illetve x 2 = 4^ x + 3h ; x 2 - 4x - 12 = 0 [ezeknek két gyökük van, a (-2) és a 6].

1 47

150

LABORATÓRIUMI FEJLESZTÉSEK

F E L A DAT Arany Miklós (Hajni, Csilla és Bence édesapja) gazdasági tanácsadó. Egy nagy nemzetközi kozmetikai cég – a MyCream – magyarországi laboratóriumának vezetője kérte fel egy munkára. Tájékoztatta, hogy – az elmúlt három negyedévben rendre 525 millió, 566 millió, illetve 486 millió forint volt a MyCream bevétele, – a bevétel egy részét a laboratórium kapja, ebből kell fedeznie a rezsit, a bérköltséget, és ebből képezhet tartalékot a laboratórium fejlesztésére, – az előző negyedévekben a bérköltség mindig a MyCream bevételének 2%-a volt, – mindegyik negyedévben 125 millió forint volt a laboratórium rezsije, – az elmúlt három negyedévben rendre 9,50 milliót, 9,68 milliót, illetve 9,28 milliót tudtak tartalékolni fejlesztési célokra. A vezető a következő pontokban fogalmazta meg kérését, illetve kérdéseit: A) Arany úr készítsen olyan matematikai modellt, amely megmutatja, hány millió forint tartalék jut negyedévenként a laboratórium fejlesztésére a bevétel függvényében! B) Mekkora negyedéves bevétel esetén lesz ez a tartalék 10 millió forint? C) Elérhető-e – Arany úr modellje szerint – a negyedévenkénti 15 milliós tartalékképzés? Arany úr munkához látott. Kövesd nyomon gondolatait és számításait!

1.

148

a) Először kiszámolta, mennyi maradt a cég bevételéből a 125 milliós rezsi kifizetése után. Aztán megnézte, mennyi a laboratóriumi bérköltség és a tartalék összege. Kitöltött egy táblázatot, ekkor kapcsolatot fedezett fel a két kiszámított összeg között. Milyen kapcsolatot fedezhetett fel Arany úr? A füzetedben dolgozz!

Bevétel (millió Ft)

525

566

486

Bevétel – 125 (millió Ft) Bérköltség (millió Ft) Bérköltség + tartalék (millió Ft) Kapcsolat

b) A fentiek alapján a következő modellt készítette el: Ha a MyCream bevétele B millió Ft és a laboratórium fejlesztési tartaléka T millió Ft, akkor B - 125 = 0,02B + T . Ellenőrizd, megfelel-e ez az egyenlet az elmúlt három negyedév adatainak!

2.

Ha a következő negyedévben a kereslet hanyatlása miatt csak 400 millió forint bevételt érne el a MyCream Magyarországon, akkor a modell szerint hány millió forintot tehetne a laboratórium fejlesztési tartalékába?

3.

Arany úr készített egy grafikont is a modelljéhez. Ezen azt vizsgálta, hogy hány millió forint bevétel esetén érhető el az 5 millió forintos tartalékképzés. a) Milyen eredményre jutott Arany úr? y (M Ft) 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Ú JA B B U TA KO N A Z A L G E B R Á B A N

y = ÖB – 125 y = 0,02B + 5

B (M Ft) 0

500

1000

1500

2000

b) Ábrázold a 2. feladatban kiszámított tartalékképzéshez tartozó y = 0,02B + T félegyenest is ugyanebben a koordináta-rendszerben a füzetedben! Törekedj minél pontosabb ábrázolásra!

M á s o d f o k ú e g ye n l e t e k , e g ye n l ő t l e n s é g e k

c) Igaz-e, hogy növekvő bevételhez növekvő tartalék tartozik? d) Körülbelül mekkora lehet a legnagyobb tartalék, amely a modell szerint elérhető? Minél pontosabb ábrát készítesz, annál pontosabb lesz a válaszod.

4.

Számítsd ki a modell alapján B-t, ha T = 10! Fogalmazd meg szavakkal, mit jelent az eredményed! Rajzold meg az előző koordináta-rendszerben a tartalékképzésnek megfelelő félegyenest, és add meg az egyenes egyenletét is!

5.

Írd fel a modell alapján az egyenletet, ha T = 15, és oldd meg! Fogalmazd meg Arany úr számára a megfigyelésedet! Rajzold meg a tartalékképzésnek megfelelő félegyenest a megadott koordináta-rendszerben!

6.

a) A T = 0 esethez mekkora bevétel tartozik a modell szerint? Mit jelentene a valóságban a laboratórium számára ez a helyzet? b) Arany úr modellje „nem működik”, ha a bevétel kisebb 125 millió forintnál. Okoz-e gondot a cég szempontjából a modellnek ez a „hiányossága”?

2.

Mutasd meg grafikus úton, hogy a következő egyenletek egyikének sincs gyöke!

H Á Z I F E L A DAT

1.

a) Arany úr modellje szerint mit jelentene a laboratórium számára az, ha a MyCream magyarországi bevétele 125 millió forint lenne egy negyedévben? b) A laboratóriumi dolgozók létszámát és bérét te állapítod meg. A megállapított bérek ismeretében számítsd ki Arany úr modellje alapján, mekkora bevételt kell elérnie a MyCreamnek Magyarországon a következő negyedévben, hogy a laboratóriumi dolgozók hiánytalanul megkaphassák a bérüket! Jut-e fejlesztésre is pénz ebben a negyedévben?

a)

x -2= x

c) 2 - x =

b)

x +1 = -x

d) 2 x + 3 = 3x + 12

x- 3

E Ellenőrizd a megoldásaidat függvény-ábrázoló pprogrammal!

3.

A következő egyenleteket oldd meg algebrai módszerrel, majd mutasd meg grafikusan is, hogy a megoldásod helyes! a) 4 - 2x = x b) x + 1 = x + 1 2

2.

Oldd meg a következő egyenleteket eredeti alakjából kiindulva is és előzetes átrendezés után is! Melyik út vezetett egyszerűbb számításhoz?

K I E G É S Z Í T Ő A N YAG F E L A DAT

1.

Emeld négyzetre a 3x + 7 - x + 3 = 2 egyenlet két oldalán álló számot, majd folytasd az egyenlet megoldását! Ezután rendezd a kapott egyenletet úgy, hogy az egyik oldalon csak egy négyzetgyökös kifejezés legyen, majd végezz még egy négyzetre emelést!

1 5 0 . l e c ke

L A B O R AT Ó R I U M I F E J L E S Z T É S E K

a)

x2 + 3 +

4 - 3x 2 = 3

b)

2x 2 + 1 =

5 - x2 - x

149

ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS Minden év tavaszán a 6., a 8. és a 10. évfolyam diákjai Országos Kompetenciamérésen vesznek részt. Bence osztálya is készült a megmérettetésre. Emiatt Bence megnézte az iskolájának egy korábbi matematikaeredményét az interneten. Ennek alapján minden iskola össze tudja hasonlítani tanulóinak a teljesítményét a többi iskoláéval.

a) Hány iskolában mérték a 10. évfolyamosok teljesítményét az országban? Ezek közül hány 4 évfolyamos gimnázium van? b) Hány 4 évfolyamos gimnázium 10.-es tanulói teljesítettek jobban, mint Bence iskolájának 10.-esei? c) Országos összehasonlításban az iskolák hány százalékának 10.-es diákjai értek el jobb kompetenciaeredményt, mint Bence iskolájának tanulói?

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hasonló

Gyengébb

75 48

42 46

889

393

Képességeloszlás Bence kíváncsi arra is, hogy a kompetenciamérés eredménye mennyire tükrözi iskolája értékelését. Emiatt megnézte az alábbi grafikont, amely a tanulók képességeloszlását mutatja az előző év végi matematikajegyek függvényében. Néhány váratlan meglepetés érte!

Standardizált képességpont

2.

Jobb

4. évfolyamos gimnáziumok

Átlageredmények Az alábbi diagram azt mutatja, hogy az átlageredmények alapján hány iskola 10. osztályos tanulóinak teljesítménye jobb, hasonló, illetve gyengébb, mint Bence iskolájának diákjaié.

Országos

1.

2200 2100 2000 1900 1800 1700 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800

A c jelű osztály tanulói Medián

1

2 3 4 Előző évi matematikajegy

5

a) Hányas osztályzatot kapott az a tanuló az előző évben, aki idén a legkevesebb, illetve a legtöbb „standardizált képességpontot” érte el? b) Milyen osztályzatot kaptak azok a tanulók tavaly, akik idén 1750 pont körül teljesítettek? c) Hány olyan tavalyi ötös van, aki minden tavalyi négyesnél több képességpontot ért el idén? d) Hány olyan tanuló van, aki tavaly hármast kapott ugyan, de idén van olyan tavalyi ötös, akinél több képességpontot ért el?

150

NÉHÁNY FELADAT VÉGEREDMÉNYE 102. lecke: 1. 45,36A forint. 107. lecke: 1. a) . 5,1 ∙ 1019. b) . 1,46 ∙ 1011. c) . 8,78 ∙ 1011. 2. 3360. 3. a) 40 320. b) 10 080. c) 360. d) 21 600. e) 720. 109. lecke: 1. a) 1 millió  938  ezer Ft. b) 161,5 ezer Ft. c) Többet. d) 120 ezer Ft-tal. 2. a) 24,07 g. b) Igen. 3. 132%, 132,25%. 110. lecke: 1. a) 2712. b) 360. 2. a) 19,5 cm. b) 18 cm. 3. Csabáéké. 4. A másodiké. 111. lecke: 1. a) 278, 311, 369, 391, 466, 524. b) 2. 2. 2,5 millió Ft. 3. a) 20,449 millió Ft. b) 2,1 millió Ft, 8,349 millió Ft. c) 5,2245 millió Ft. d) 1,43-szoros, 4,3 millió Ft, 6,149 millió Ft. 4. a) 12 322. b) 1161. c) 12 322. d) . 11%-os; kevesebb. 5. a) 3,36 millió Ft, 2,856 millió Ft. b) 32%-ot. c) . 2,859 millió Ft. d) . 17,54%. 112. lecke: 1. a) 20, 5/2. b) 24, 3. c) 60, 6/5. 4. 26, 28, 30, 29. 113. lecke: 4. a) 12; -12. b) 6; -6. c) 2,4; -2,4. d) 28 ; -4 -4 - 28 . e) 0,4; 0,4. f) 10 ; 10 . 5. a) 2. b) -18. c) 12 + 2 35 . d) 32 - 10 7 . 114. lecke: 1. 36°, 36°, 108°. 2. 108°, 72°, 4 cm. 3. a) 5. b) 36°, 36°, 108°, 36°, 72°, 72°. 115. lecke: 1. a) x . 14 m. 2. . 29 m. 116. lecke: 1. b) . 32 m. c) . 38 m. 2. e) 245 m. 117. lecke: 2. a) 7,2 cm; 9 cm; 12 cm. b) 7,5 cm. 3. a) 17 cm. b) 64/17 cm; 225/17 cm. c) 120/17 cm. 118. lecke: 3. b) 10 cm; 8 cm.

. l e c ke

N É H Á N Y F E L A DAT V É G E R E D M É N Y E

122. lecke: 1. a) 100°, 160°, 20°, 80°. b) 51,4°, 160°, 102,9°, 128,6°. 2. . 3046 km. 3. a) 113 cm2. b) . 7,63 m2. 4. a) . 37 000 km. b) . 5756 km-t. 123. lecke: 1. a) 36°. b) . 2182°; 6. c) a 16. sor. d) 27,4 mm. 2. a) 42–43 cm. b) 251 cm2. 3. a) . 0,041°. b) . 107 600 km hosszúságút. c) . 8,1 ∙ 1012. 4. a) . 34. b) . 189. 124. lecke: 1. b) 2 dm; 5 2 dm. d) . 91,1; . 37,6. 2. d) 48 + 12 3 . 8,3 (cm). 133. lecke: 2. x 7 (x + 2)2 + 5; x 7 -(x + 2)2 + 5. 3. a) (2;1), min. b) (-4; -4), min. c) (2; 0), max. d) (3; 27), max. 135. lecke: a) . 20,8;  . 7,6. b) 13; 7,7. c) 10 200; 23 648.  137. lecke: 1. 11. 2. 19. 3. a) 3. b) igen. c) 7. 141. lecke: 1. 2,5 óra. 2. a) 8 + 2 3 cm; 8 - 2 3 cm. b) nem. c) 25 3 cm3; 13 3 cm3. 3. 10, 15. 143. lecke: 1. f) 90; 20. 2. 5/2. 145. lecke: 1. 30 óra alatt. 2. a) 140 óra. b) 48%, 28%, 24%. c) 280/3 . 93,3 óra alatt. 146. lecke: 1. a) 1,5%. b) 2,8%. 2. a) 2%. b) 1600 Ft, 3920 Ft. 3. 25%. 147. lecke: 3. a) -3. b) R\{-1}. 148. lecke: 1. a) igen. b) nem. c) nem. d) igen. e) nem. f) nem. 2. a) 4 és 11/16. b) 1. c) 16. 150. lecke: 2. . 8,58 millió Ft. 4. 750, y = 0,02B + 10. 5. Nem érhető el 15 milliós megtakarítás.

151

TARTALOM Előszó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

101 Lapozzunk bele a könyvünkbe! . . . . . . . . . . . . .

4

MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

126 Tessék, csak tessék! Olcsó a CD-m! . . . . . . . . . .

82

127 Családi vakáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

102 Szálloda tervezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

128 Amit már tudunk a függvényekről . . . . . . . . . .

90

103 Igaz vagy hamis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

129 A legnagyobb állatfarm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

104 Apa 45 éves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

130 „Fel”-„le”, „jobbra”-„balra” . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

105 Összetett állítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

131 „Soványabb”, „kövérebb” . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

106 VAGY-művelet, ÉS-művelet nyitott mondatok esetében . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132 Összetett függvénytranszformációk . . . . . . . . .

100

22

133 Másodfokú függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

107 Hányféleképpen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

134 Bence és a másodfokú függvények . . . . . . . . . .

104

108 Rendezzük táblázatba! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

135 Modell és valóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

109 Átlag, számtani közép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

110 Számtani közép, mértani közép . . . . . . . . . . . . .

34

111 Változások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

ÚJABB UTAKON AZ ALGEBRÁBAN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

112 Számológéppel vagy nélküle? . . . . . . . . . . . . . . .

40

136 Feladatok, egyenletek, megoldások . . . . . . . . . .

113 Négyzetgyökök itt és ott . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

SÍKIDOMOK MINDENÜTT Geometriai mérések, számítások

152

HOGYAN SEGÍTENEK PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁBAN A FÜGGVÉNYEK? Másodfokú függvények

2

110

137 Az x + px + q = 0 típusú egyenletek . . . . . . . . .

114

138 A másodfokú egyenlet megoldóképlete . . . . . .

116

139 Diszkrimináns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

140 Terítőt varrnak a lányok . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

114 Egybevágó háromszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

141 Geometriai problémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

115 Búvárok a tengeren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

142 Alkalmazzuk a megoldóképletet! . . . . . . . . . . .

126

116 Hol van a tengeralattjáró? . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

143 Szöveges feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

117 Magasságtétel, befogótétel . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

144 Csoportverseny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

118 Szerkesszünk és számoljunk! . . . . . . . . . . . . . . .

60

145 Fordítóiroda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

119 Csoportverseny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

146 Pénzügyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

120 A Föld kerülete és a szerencsekerék . . . . . . . . .

64

147 Polinom gyöktényezős alakja . . . . . . . . . . . . . . .

138

121 Középponti szög, körív, körcikk . . . . . . . . . . . .

66

148 Ekvivalens egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

122 Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

149 Gyökös egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

123 Körívek, körcikkek a mindennapokban . . . . . .

74

150 Laboratóriumi fejlesztések . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

124 Gyakorlás, ismétlés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Országos kompetenciamérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

125 Tudáspróba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Néhány feladat végeredménye . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

TA R TA L O M

Régi latin bölcsességek Non scholae sed vitae discimus. – Nem az iskolának, hanem az életnek tanulunk. Non multa, sed multum. – Ne sokat, hanem sokszor (alaposan).

Matematika

Raktári szám: FI-503011001 ISBN 978-963-682-783-0

Litterarum radices amarae sunt, fructus dulces. – A tudomány gyökerei keserűek, gyümölcsei azonban édesek. Usus magister est optimus. – Gyakorlat teszi a mestert. Repetitio est mater studiorum. – Ismétlés a tudás anyja.

Matematika Első kötet

10 KÍSÉRLETI TANKÖNYV

10

MAT-TK_10_1-B-2014-07-07-A.indd 1

2014.07.07. 8:45:11