Matematická analýza 1

Matematick´ a anal´ yza 1

Pˇrednáˇsej´ıc´ı: doc. RNDr. Miroslav Kureˇs, PhD. Cviˇc´ıc´ı: Mgr. Jana Hoderová, PhD.

Vysázel: Jan Nytra

´ Uvodn´ ı informace Toto je studijn´ı materiál k pˇredmˇetu Matematická anal´ yza 1. Obsahuje poznámky z pˇrednáˇsek a také podklady pro cviˇcen´ı. Pˇr´ısluˇsné cviˇcen´ı je zaˇrazeno vˇzdy za danou teori´ı. K navigaci je moˇzno pouˇz´ıt bud’ záloˇzky, nebo obsah skript - vˇsechny poloˇzky jsou ”klikac´ı”, tzn. odkazuj´ı na pˇr´ısluˇsnou kapitolu atd. Látka pˇredmˇetu je rozdˇelena do 3 celk˚ u: ´ 1. Uvod 2. Diferenciáln´ı poˇcet funkce 1 promˇenné 3. Integráln´ı poˇcet funkce 1 promˇenné. Pro dalˇs´ı informace a materiály navˇstivte matematiku online. Souˇca´st´ı tohoto studijn´ıho materiálu jsou i podp˚ urné materiály vytvoˇrené v prostˇred´ı Maple, ve kter´ ych je ukázána práce s t´ımto softwarem. Tyto materiály jsou ke staˇzen´ı také z matematiky online a pro otevˇren´ı z tohoto textu je potˇreba je um´ıstit do stejné sloˇzky jako samotn´ y studijn´ı text

Tento studijn´ı materiál vznikl za podpory projektu OP VK reg.ˇc. CZ.1.07/2.4.00/17.0100 A-Math-Net - S´ıt’ pro transfer znalost´ı v aplikované matematice.

Obsah 1 Pil´ıˇ re matematiky - teorie 1.1 Logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Teorie mnoˇzin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Pil´ıˇ re matematiky - cviˇ cen´ı 2.1 Logika, d˚ ukazy . . . . . . 2.2 Mnoˇziny . . . . . . . . . . 2.3 Relace . . . . . . . . . . . 2.4 Zobrazen´ı ˇca´st 1 . . . . . . 2.5 Zobrazen´ı ˇca´st 2 . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1 1 3 10 10 13 15 17 18

3 Pˇ rirozen´ aˇ c´ısla

21

4 Cel´ aˇ c´ısla

22

5 Algebraick´ e struktury 5.1 Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 24

6 Koneˇ cn´ a pole 6.1 Prvoˇc´ıselná pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Neprvoˇc´ıselná pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 26 27

7 Racion´ aln´ı ˇ c´ısla

30

8 Uspoˇ r´ adan´ e pole

32

9 Archim´ edovsk´ a pole

34

10 Re´ aln´ aˇ c´ısla 10.1 Dedekindovy ˇrezy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 vyjádˇren´ı reáln´ ych ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 36 37

11 Mohutnost ˇ c´ıseln´ ych mnoˇ zin (kardinalita)

38

12 Metrick´ e prostory

41

13 Posloupnosti

45

14 Re´ aln´ e posloupnosti - teorie

47

15 Re´ aln´ e posloupnosti - cviˇ cen´ı

54

16 Funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e - teorie ´ 16.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Vlastnosti funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 58 59

17 Funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e - cviˇ cen´ı

61

18 Limita funkce - teorie 18.1 Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe . . 18.2 Limita zprava . . . . . . . . . . . . 18.3 Nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe . 18.4 Vlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇe . 18.5 Nevlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇe

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

63 63 63 64 64 65

19 Limita funkce - cviˇ cen´ı

66

20 Spojitost funkce - teorie

67

21 Spojitost funkce - cviˇ cen´ı

70

22 Element´ arn´ı funkce - teorie 22.1 Polynomy . . . . . . . . . 22.2 Racionáln´ı funkce . . . . . 22.3 Mocninné funkce . . . . . 22.4 Exponenciáln´ı funkce . . . 22.5 Logaritmické funkce . . . 22.6 Goniometrické funkce . . . 22.7 Cyklometrické funkce . . . 22.8 Hyperbolické funkce . . . 22.9 Hyperbolometrické funkce

. . . . . . . . .

71 73 78 80 81 82 83 89 95 95

23 Element´ arn´ı funkce - cviˇ cen´ı 23.1 Rozklad na parciáln´ı zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96 96

. . . . . . . . .

24 Derivace - teorie ´ 24.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . 24.2 Základn´ı pravidla derivován´ı 24.3 Pˇrehled základn´ıch vzorc˚ u . 24.4 Vyˇsˇs´ı derivace . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . .

97 97 100 101 101

25 Derivace - cviˇ cen´ı

102

26 Vˇ ety o derivaci - teorie 26.1 Rolleova vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Lagrangeova vˇeta (1. vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe) 26.3 Cauchyova vˇeta (2. vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe) . 26.4 Bernoulliho vˇeta (L’Hospitalovo pravidlo) . .

104 104 105 105 106

27 Vˇ ety o derivaci - cviˇ cen´ı

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

108

28 Diferenci´ al - teorie 109 ´ 28.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 28.2 Vyˇsˇs´ı diferenciály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 29 Diferenci´ al - cviˇ cen´ı

111

30 Taylor˚ uv polynom - teorie

112

31 Taylor˚ uv polynom - cviˇ cen´ı

114

32 Extr´ emy funkce - teorie 32.1 Lokáln´ı extrémy funkce . . . . . 32.2 V´ yznamné body funkce . . . . . 32.3 Definice konkávnosti/kovexnosti 32.4 Globáln´ı extrémy funkce . . . .

115 115 118 119 120

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

33 Extr´ emy funkce - cviˇ cen´ı

121

34 Asymptoty - teorie 34.1 Vodorovné asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2 Svislé asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ 34.3 Sikm´ e asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122 122 123 123

35 Asymptoty - cviˇ cen´ı

124

36 Pr˚ ubˇ eh funkce - teorie

125

37 Pr˚ ubˇ eh funkce - cviˇ cen´ı

126

38 Primitivn´ı funkce, neurˇ cit´ y integr´ al - teorie 38.1 Primitivn´ı funce . . . . . . . . . . . . . . . . 38.2 Pˇrehled vzorc˚ u pro integrován´ı . . . . . . . . 38.3 Základn´ı pravidla integrován´ı . . . . . . . . 38.4 Metoda per partes . . . . . . . . . . . . . . 38.5 Substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.6 Intergrace racionáln´ıch funkc´ı . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

133 133 134 135 135 136 137

39 Primitivn´ı funkce, neurˇ cit´ y integr´ al - cviˇ cen´ı 39.1 Pˇr´ımá integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.2 Integrace pomoc´ı substituce . . . . . . . . . . 39.3 Integrace per partes . . . . . . . . . . . . . . . 39.4 Integrace racionáln´ı lomené funkce . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

140 140 141 142 143

40 Riemann˚ uv integr´ al - teorie ´ 40.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2 Zaveden´ı Riemannova integrálu . 40.3 Integrace nˇekter´ ych funkc´ı . . . . 40.4 Vlastnosti Riemannova integrálu . 40.5 Newton˚ uv integrál . . . . . . . . 40.6 Základn´ı vˇeta integráln´ıho poˇctu .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

144 144 145 147 148 148 149

41 Riemann˚ uv integr´ al - cviˇ cen´ı

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

150

42 Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu - teorie 42.1 Obsah rovinné oblasti . . . . . . . . 42.2 Délka kˇrivky . . . . . . . . . . . . . 42.3 Objem tˇelesa . . . . . . . . . . . . 42.4 Obsah pláˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa . . .

. . . .

43 Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu - cviˇ cen´ı 43.1 Obsah rovinné oblasti . . . . . . . . . 43.2 Objem tˇelesa . . . . . . . . . . . . . 43.3 Délka kˇrivky . . . . . . . . . . . . . . 43.4 Porvch tˇelesa . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

151 151 153 154 156

. . . .

157 157 158 159 159

44 Integr´ al jako funkce horn´ı meze

160

45 Nevlastn´ı integr´ aly - teorie

163

46 Nevlastn´ı integr´ aly - cviˇ cen´ı

165

1 Pil´ıˇre matematiky - teorie

1

1

Pil´ıˇ re matematiky - teorie

1.1

Logika

- pouˇz´ıváme logiku Aristotelovu (napˇr. zákon vylouˇceného tˇret´ıho atd.) V´ yrok - tvrzen´ı, o kterém lze ˇr´ıci, zda je pravdivé ˇci nikoliv - v´ yrokem nejsou rozkazy, otázky a nesmysly (napˇr. Colorless green ideas sleep furiously) - z jednoduch´ ych (atomárn´ıch) v´ yrok˚ u m˚ uˇzeme pomoci logick´ ych spojek (∧ - konjunkce, ∨ - disjuknce, ⇒ - implikace, ⇐⇒ - ekvivalence) Kvantifik´ atory ∀ - obeck´ y (univerzáln´ı) ∃ - existenˇcn´ı Negace - pˇri negaci v´ yrok˚ u pouˇz´ıváme opaˇcn´ y kvantifikátor ¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B ¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B ¬(A ⇒ B) ⇐⇒ A ∨ ¬B Pˇ r. v´ yrok = Jestliˇze udˇelám zkouˇsku, p˚ ujdu oslavovat. negace v´ yroku = Udˇelám zkouˇsku a nep˚ ujdu oslavovat. ¬(A ⇐⇒ B) ⇐⇒ (A ∨ ¬B) ∧ (B ∨ ¬A) Stavebn´ı pil´ıˇ re matematiky a) primitivn´ı pojmy - ty, které nejsou definovány Pˇ r. bod, mnoˇzina b) axiomy - tvrzen´ı, která se nedokazuj´ı (povaˇzuj´ı se za platná) Pˇ r. Existuje prázdná mnoˇzina. c) definice - zaveden´ı pojmu pomoc´ı pojm˚ u jiˇz znám´ ych Pˇ r. Prvoˇc´ıslo je ˇc´ıslo, které má jen 2 dˇelitele - 1 a sebe samé. d) teor´ emy (vˇ ety) - tvrzen´ı, která se vyvozuj´ı z axiom˚ u a jiˇz dokázan´ ych teorému a která se dokazuj´ı pomoc´ı logiky

SA1

´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM


2

Vˇ eta A⇒B D˚ ukaz a) pˇr´ım´ y - po koneˇcném poˇctu pravdiv´ ych v´ yrok˚ u dojdeme od v´ yroku A k v´ yroku B, tj A ⇒ V1 ⇒ V2 ⇒ . . . ⇒ Vn ⇒ B b) nepˇr´ım´ y - provedeme obrácenou implikaci, tj ¬B ⇒ ¬A a tu pak dokazujeme pˇr´ımo, tj. ¬B ⇒ V1 ⇒ V2 ⇒ . . . ⇒ Vn ⇒ ¬A c) sporem - provedeme negaci v´ yroku, tj. A ∧ ¬B a postupnˇe dojdeme ke sporu: A ∧ ¬B ⇒ W1 ⇒ W2 ⇒ . . . ⇒ Wn ⇒ spor ⇒ plat´ı A ⇒ B d) matematickou indukc´ı - sestává ze tˇr´ı krok˚ u: 1) dokáˇzeme v´ yrok pro n = 1 2) udˇeláme pˇredpoklad, ˇze v´ yrok plat´ı pro n = k 3) a pak dokazujeme, ˇze v´ yrok plat´ı pro n = k + 1 - ˇreˇs´ıme-li v realitˇe problém, provedeme abstrakci (pˇreveden´ı na problém matematick´ y) a po jeho vyˇreˇsen´ı provedeme implementaci do reálného svˇeta (aplikujeme nalezené ˇreˇsen´ı) Pˇ r. Mˇejme primitivn´ı pojmy jélo, pn´ıkat a blefa; axiomy: 1) Kaˇzdé jélo pn´ıkat nejménˇe 2 blefy. 2) Existuje alespoˇ n jedna blefa, kterou pn´ıkaj´ı vˇsechna jéla. 3) Kaˇrdou blefu pn´ıká alespoˇ n 1 jélo. 4) Mnoˇzina blef je neprázdná. a otázky: 1) Má systém konkrétn´ı realizaci (implementaci)? 2) Jsou axiomy nezávislé? 3) Dokaˇzte vˇetu: Existuj´ı alespoˇ n 2 blefy. Vˇ eta Prvoˇc´ısel existuje nekoneˇcnˇe mnoho. D˚ ukaz Provedeme jej sporem. Pˇredpokládejme, ˇze prvoˇc´ısel je koneˇcn´ y poˇcet. Oznaˇcme je 2, 3, . . . , N . Nyn´ı sestrojme ˇc´ıslo a následovnˇe a = 2 · 3 · ... · N + 1 Takovéto ˇc´ıslo a nen´ı dˇelitelné ˇzádn´ ym z ˇc´ıˇsel 2, 3, . . . , N ⇒ a je prvoˇc´ıslo a zároveˇ na> N ⇒ spor ⇒ prvoˇc´ısel je nekoneˇcnˇe mnoho.

SA1



1.2

3

Teorie mnoˇ zin

- jej´ı základy poloˇzil Cantor na pˇrelomu 19./20. stolet´ı mnoˇ zina = primitvin´ı pojem - znaˇc´ıme A, B, C, . . . - x ∈ A znaˇc´ıme pˇr´ısluˇsnost do mnoˇziny - A = {x; x2 = 1} - za ; p´ıˇseme vlastnost prvk˚ u mnoˇziny - prvkem m˚ uˇze b´ yt cokoliv (funkce, matice, . . . ) Russel˚ uv paradox - katalogov´ y problém a) katalog vˇsech prac´ı o matematice 1. Eukleides - Základy matematiky .. . 32150. X. Y. - Poznámka o ˇc´ıslu 0 b) katalog vˇsech prac´ı o sportu 1. Guinessova kniha rekord˚ u .. . 1280. Katalog vˇsech prac´ı o sportu ⇒ tento katalog obsahuje sám sebe c) katalog vˇsech katalog˚ u, které samy sebe neobsahuj´ı 1. Katalog vˇsech prac´ı o matematice Nyn´ı si ovˇsem mus´ıme poloˇzit otázku. Lze tam zaˇradit i tento katalog? Dojdeme k tomu, ˇze to neum´ıme rozhodnout ⇒ pojem autorefence (tzn. objekt ukazuje sám na sebe) matematicky zapsáno A = {B; B ∈ B} ⇒ neum´ım rozhodnout, zda A ∈ A nebo A 6∈ A ⇓ Lze se zbavit nerozhodnuteln´ ych tvrzen´ı? - 2. fundamentáln´ı otázka ⇓ Zaváz´ı nás na pojem tˇ r´ıda = mnoˇzina, která obsahuje mnoˇzinu.

SA1



4

ˇ 1. krize matematiky - ve starovˇekém Recku - nevˇedˇeli, ˇze ˇc´ıslo m˚ uˇze b´ yt i iracionáln´ı 12 + 12 =

p2 ⇒ 2q 2 = p2 ⇒ p2 sudé ⇒ p sudé ⇒ p dˇelitelné 4 ⇒ q 2 je sudé ⇒ q je sudé q2

p q

1

1

´ Obrázek 1: Uhlopˇ r´ıˇcka ˇctverce

ale p a q mus´ı b´ yt nesoudˇelná 2. krize matematiky - pˇri základech diferenciáln´ıho poˇctu dy ⇒ zavedena limita dx 3. krize matematiky - katalogov´ y paradox Kurt G¨ odel - naˇsel odpovˇedi na 2 fundamentáln´ı otázky (Gödel˚ uv d˚ ukaz, VUTIUM) 1. Je matematika bezesporná? - uvnitˇr matematiky nelze dokázat jej´ı bezespornost 2. Lze se zbavit nerozhodnuteln´ ych tvrzen´ı? - nerozhodnuteln´ ych tvrzen´ı se zbavit nelze

SA1



5

Relace (vztahy) v mnoˇ zin´ ach Potenˇ cn´ı mnoˇ zina - mnoˇzina vˇsech podmnoˇzin mnoˇziny A Pˇ r. A = {x, y, z} - obsahuje 3 prvky P (A) = {∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {x, z}, {x, y, z}, } - 8 prvk˚ u ⇒ oznaˇcen´ı 2A 2∅ = {∅} Uspoˇ r´ adan´ a dvojice (a, b) = {{a}, {a, b}} - mnoˇzinová definice a ∈ A, b ∈ B - prvky mohou b´ yt i ze stejné mnoˇziny (a1 , . . . , an ) - uspoˇrádaná n-tice Kart´ ezsk´ y souˇ cin - mnoˇzina vˇsech uspoˇra´dan´ ych dvojic A × B = {(a, b), a ∈ A, b ∈ B} bin´ arn´ı relace R je podmnoˇzina A × B n-nárn´ı relace R je podmnoˇzina A1 × . . . × An Pˇ r. A = {x, y, z}, B = {a, b} A × B = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)} R = {(x, b), (y, b), (z, a)}

Obrázek 2: Relace Pˇ r. A - zamˇestnanci, B - vozidla firmy R = A × B - univerzáln´ı relace R = ∅ - prázdná relace inverzn´ı relace R−1 k relaci R ⊆ A × B je podmnoˇzina B × A definována takto: (b, a) ∈ R−1 ⇐⇒ (a, b) ∈ R

SA1



6

Zobrazen´ı (= funkce) - funkce je jistá relace R ⊆ A × B z mnoˇziny A do mnoˇziny B taková, ˇze (a, b) ∈ R, (a, b) ∈ R ⇒ b = b (jeden vzor nem˚ uˇze m´ıt 2 obrazy) - m´ısto R ⊆ A × B pak p´ıˇseme f : A → B a m´ısto (a, b) ∈ R zapisujeme f (a) = b definiˇ cn´ı obor f : A → B je mnoˇzina Domf = {a ∈ A; ∃ b ∈ B, f (a) = b} obor hodnot f : A → B je mnoˇzina Imf = {b ∈ B; ∃ a ∈ A, f (a) = b}

Obrázek 3: Zobrazen´ı Injekce (prostá funkce) - speciáln´ı zobrazen´ı f : A → B takové, ˇze plat´ı f (a) = b, f (a) = b ⇒ a = a Surjekce - je f : A → B takové, ˇze Imf = B (zobrazen´ı na mnoˇzinu) Bijekce - je f : A → B takové, ˇze Domf = A a f je souˇcasnˇe injekce i surjekce ⇒ stejn´ y poˇcet prvk˚ u v obou mnoˇzinách (d˚ uleˇzité pro porovnáván´ı nekoneˇcn´ ych mnoˇzin) Je inverzn´ı relace zobrazen´ı zase zobrazen´ım? Obecnˇe nemus´ı. Ale pokud bude zobrazen´ı injektivn´ı, bude i inverzn´ı zobrazen´ı injektivn´ı. Znaˇc´ıme pak f −1

SA1



7

Relace (bin´ arn´ı) na mnoˇ zinˇ e ˇ Rekneme, ˇze relace R ⊆ A × A je: a) reflexivn´ı, jestliˇze (a, a) ∈ R ∀a ∈ A b) symetrick´ a, jestliˇze (a, b) ∈ R ⇐⇒ (b, a) ∈ R ∀a, b ∈ A c) antisymetrick´ a, jestliˇze (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b ∀a, b ∈ A d) tranzitivn´ı, jestliˇze (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R ∀a, b, c ∈ A Pˇ r. A - lidé, B - mluv´ı stejn´ ym jazykem reflexivn´ı, symetrická relace

ekvivalence = reflexivn´ı, symetrická a tranzitivn´ı relace uspoˇ r´ ad´ an´ı = reflexivn´ı, antisymetrická a tranzitivn´ı relace a) ekvivalence 1) A - studenti, R - studuj´ı stejn´ y roˇcn´ık ⇒ mnoˇzina se rozpadne na tˇ r´ıdy (podmoˇziny) 2) A = C, (x, y) ∈ R, jestliˇze x a y maj´ı stejnou reálnou ˇcást ⇒ tˇr´ıdy = pˇr´ımky rovnobˇeˇzné s osou y, reprezentanti = reálná ˇc´ısla

(a) Studenti

(b) Komplexn´ı ˇc´ısla

Obrázek 4: Ekvivalence

SA1



8

3) A = Z, (x, y) ∈ R, jestliˇze po dˇelen´ı 3 dostanu tent´ yˇz zbytek {. . . , −3, 0, 3, 6, . . .} {. . . , −2, 1, 4, 7, . . .} {. . . , −4, −1, 2, 5, . . .} ⇒ disjunktn´ı tˇ r´ıdy Z3 (mnoˇzina zbytkov´ ych tˇr´ıd modulo 3) Z3 = {C0 , C1 , C2 } jednotlivé tˇr´ıdy pak znaˇc´ıme Ci = {x ∈ Z, zbytek po dˇelen´ı ˇc´ısla x ˇc´ıslem m dá zbytek i} b) uspoˇ r´ ad´ an´ı - napˇr. pˇredci, adreˇsáˇre v PC, . . .

nesrovnatelné prvky

Obrázek 5: Uspoˇra´dán´ı v M: ≤ ostr´ e uspoˇ r´ ad´ an´ı - irreflexivn´ı, (antisymetrická), tranzitivn´ı relace, znaˇc´ıme < Vˇ eta Je-li R irreflexivn´ı, tranzitivn´ı relace, pak je i antisymetrická. (tj. (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R⇒a=b) D˚ ukaz Je-li ovˇsem (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R, pak z tranzitivity plyne, ˇze (a, a) ∈ R, coˇz nelze (irreflexivita). Tzn., ˇze pˇredpoklad (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R nem˚ uˇze nastat. Tzn. tvrzen´ı triviálnˇe plat´ı.

SA1



9

Pˇ r. A = N, (x, y) ∈ R, jestliˇze x|y 4

6

2

9

3

10

5

RSA numbers

7

prvoˇc´ısla

1

Obrázek 6: Uspoˇra´dán´ı - dˇelitelnost RSA numbers - ˇc´ısla, která lze rozloˇzit na souˇcin 2 prvoˇc´ısel ˇ c´ asteˇ cnˇ e uspoˇra´daná mnoˇzina (poset) - existuj´ı nesrovnatelné prvky, tzn. ∃ a, b ∈ M tak, ˇze (a, b) 6∈ R ∧ (b, a) 6∈ R u ´ plnˇ e (line´ arnˇ e) uspoˇra´daná mnoˇzina tzn. pro ∀a, b ∈ M plat´ı, ˇze (a, b) ∈ R ∨ (b, a) ∈ R Operace (bin´ arn´ı) - zobrazen´ı obecnˇe A × B → C Pˇ r. N × N → N f (3, 5) = 8 3+5=8 n-´ arn´ı operace A1 × . . . × An → A un´ arn´ı operace A → B odmocnina, |x|, následn´ık

SA1


2 Pil´ıˇre matematiky - cviˇcen´ı

2

10

Pil´ıˇ re matematiky - cviˇ cen´ı

2.1

Logika, d˚ ukazy

1. Rozhodnˇete, zda jde o v´ yrok a u v´ yrok˚ u urˇcete pravdivostn´ı hodnotu: a) 3 · 3 = 10; ˇ e republiky. b) Praha je hlavn´ı mˇesto Cesk´ c) Pozor, schody jsou mokré! d)

0 0

= 0;

2. Mˇejmˇe v´ yroky A a B. Sestavte tabulku pravdivostn´ıch hodnot pro: negaci B, konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci v´ yrok˚ u A a B. 3. Urˇcete pravdivostn´ı hodnotu v´ yrazu: a) Je-li ˇc´ıslo 10 sudé, pak ˇc´ıslo 2 dˇel´ı ˇc´ıslo 11. b) ((2 · 3 = 6) ∨ (3 · 4 = 14)) ⇒ (2 < 1) c) ((1 < 2) ∧ (2 6= 2) ⇒ (3 · 5 = 16) 4. Uved’te ekvivalentn´ı v´ yrok k dané negaci a pomoc´ı tabulky pravdivostn´ıch hodnot tuto ekvivalenci dokaˇzte: a) (¬(A ∧ B)) ⇐⇒ . . . b) (¬(A ∨ B)) ⇐⇒ . . . c) (¬(A ⇒ B)) ⇐⇒ . . . d) (¬(A ⇐⇒ B)) ⇐⇒ . . . 5. Mˇejme v´ yrok ve tvaru implikace A ⇒ B (napˇr´ıklad v´ yrok ∀x ∈ N : 6|x ⇒ 2|x). Rozhodnˇete, které tvrzen´ı je pravdivé: a) A je nutnou podm´ınkou pro B a B je postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro A; b) A je postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro B a B je nutnou podm´ınkou pro A. 6. Znegujte sloˇzen´ y v´ yrok 2 < 3 ⇒ 2 · 3 = 6 7. Znegujte (1 + 2 = 3) ⇒ (1 > 2 ∨ 3 ≤ 4) 8. Znegujte ∀x ∈ N : x > 3 ⇒ 2x > 5) 9. Znegujte v´ yrok: Vˇsichni ˇzij´ıc´ı lidé jsou vyˇsˇs´ı neˇz 230 cm.

SA1



11

10. Dokaˇzte, ˇze jde o tautologie: a) (A ⇒ B) ⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A); b) ¬(A ∧ B) ⇐⇒ (¬A ∨ ¬B); c) (A ⇐⇒ B) ⇐⇒ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)); d) ¬(A ⇒ B) ⇐⇒ (A ∧ ¬B); 11. Dokaˇzte, ˇze (¬A ∨ B) ∧ (¬A ⇒ B) nen´ı kontradikce. 12. Rozhodnˇete, zda pro implikaci plat´ı asociativn´ı zákon, tj. ovˇeˇrte platnost ekvivalence ((A ⇒ B) ⇒ C) ⇐⇒ (A ⇒ (B ⇒ C)). 13. Rozhodnˇete, zda je relace implikace tranzitivn´ı, tzn. zda plat´ı ((A ⇒ B)∧(B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C). 14. Detektiv vyˇsetˇruje pˇr´ıpad vraˇzdy. Vyˇsetˇrován´ım se okruh podezˇrel´ ych z´ uˇzil na 3 osoby A, B, C. O pˇr´ıtomnosti podezˇrel´ ych na m´ıstˇe ˇcinu by ˇzjiˇstˇeno: Jestliˇze byl v kritické dobˇe na m´ıstˇe ˇcinu podezˇrel´ y C, pak tam nebyl podezˇrel´ y A, ale byl tam podezˇrel´ y B. Neni pravda, ˇze na m´ıstˇe ˇcinu nebyl A a pˇritom tam nebyl C. Pokud byl na m´ıstˇe ˇcinu podezˇrel´ y A, nebyl tam C, a kdyˇz tam nebyl C, byl tam A. Detektiv promyslel vˇsechny moˇznosti a zjistil, ˇze mu informace k usvˇedˇcen´ı vraha nestaˇc´ı. Pˇri dalˇs´ım vyˇsetˇrován´ı se vˇsak zjistilo, ˇze pachatel byl na m´ıstˇe ˇcinu sám. Kter´ y z podezˇrel´ ych je vrah? ˇ nka. Pˇritom má splnit tyto podm´ınky: 15. Trenér má na závody poslat Adama, Bˇret’u nebo Ceˇ Pojedou nejv´ yˇse dva závodn´ıc´ı, pˇritom pojede alespoˇ n jeden. Pojede Adam, nebo ˇ ek, ale urˇcitˇe ne souˇcasnˇe. Nepojede-li Cenˇ ˇ ek, pak nepojede ani Bret’a. Cenˇ 16. Pracovn´ık pˇri obsluze stroje v danou chv´ıli v´ı, ˇze: a) Nebˇeˇz´ı-li motor, je vada v motoru nebo nejde proud. b) Je-li vada v motoru, je tˇreba volat opraváˇre. c) Proud jde. Pracovn´ık vid´ı, ˇze motor nebˇeˇz´ı. Usoud´ı: Nebˇeˇz´ı-li motor, je tˇreba volat opraváˇre. Je jeho u ´sudek správn´ y? 17. Máme dokázat tvrzen´ı A ⇒ B. Struˇcnˇe popiˇstˇe princip d˚ ukazu pˇr´ımého, nepˇr´ımého a sporem. 18. Dokaˇzte pˇr´ımo, nepˇr´ımo i sporem tvrzen´ı ∀x ∈ R : x > 0 ⇒ x +

1 x

≥ 2.

19. Dokaˇzte pˇr´ımo, nepˇr´ımo i sporem tvrzen´ı ∀x ∈ N : x ≥ 2 ⇒ 6x + 3 > 13. 20. Dokaˇzte nepˇr´ımo tvrzen´ı ∀x ∈ N : x3 je sudé ⇒ x je sudé. 21. Dokaˇzte pˇr´ımo tvrzen´ı ∀a, b, c ∈ N : c|ab ⇒ c|a ∨ c|b. 22. Dokaˇzte sporem, ˇze log2 3 nen´ı racionálc´ı ˇc´ıslo. SA1



23. Dokaˇzte sporem, ˇze

12

√ √ 13 ≥ 2 2.

24. Dokaˇzte, ˇze souˇcin dvou sud´ ych ˇc´ısel je dˇeliteln´ y ˇctyˇrmi. 25. Dokaˇzte, ˇze pro libovolná reálná ˇc´ısla a, b plat´ı a2 + b2 ≥ 2ab. 26. Dokaˇzte, ˇze prvoˇc´ısel je nekoneˇcnˇe mnoho. 27. Dokaˇzte pˇr´ımo. Kvadratická rovnice ax2 + bx + c = a, a 6= 0 má alespoˇ n jeden koˇren rovn´ y nule, právˇe kdyˇz c = 0. 28. Necht’ má rovnice ax2 + bx + c = a, a 6= 0 celoˇc´ıselné koeficienty, pˇr´ıˇcemˇz a 6= 0 a b je liché ˇc´ıslo. Dokaˇzte, ˇze rovnice nem˚ uˇze m´ıt dvojnásobn´ y koˇren. 29. Jak postupujeme pˇr´ı d˚ ukazu v´ yrokové formule V (n) matematickou indukc´ı? 30. Dokaˇzte matematickou indukc´ı tvrzen´ı ∀n ∈ N : 3|(22n − 7). 31. Dokaˇzte matematickou indukc´ı tvrzen´ı ∀k ∈ N : 7|(62k − 8). 32. Dokaˇzte matematickou indukc´ı tvrzen´ı 1 + 2 + . . . + n = n2 (n + 1). 33. Dokaˇzte matematickou indukc´ı tvrzen´ı 1−3+5−7+. . .+(−1)n−1 (2n−1) = (−1)n−1 n. 34. Dokaˇzte matematickou indukc´ı tvrzen´ı 12 + 22 + 32 + . . . + 3n−1 = 12 (3n − 1). 35. Pomoc´ı matematické indukce urˇcete vzorec pro v´ ypoˇcet délky strany an pravidelného n 2 -´ uheln´ıka (n > 1), kter´ y je vepsan´ y do kruhu o polomˇeru R. 36. Dokaˇzte matematickou indukc´ı, ˇze n r˚ uzn´ ych pˇr´ımek v rovinˇe, které maj´ı spoleˇcn´ y pr˚ useˇc´ık, rozdˇeluje rovinu na 2n ˇca´st´ı.

SA1



2.2

13

Mnoˇ ziny

1. Mˇejme mnoˇziny A = {1, 4, 7, 9, 12} a B = {2, 4, 6, 9, 13}. Utvoˇrte jejich pr˚ unik A ∩ B, sjednocen´ı A ∪ B, rozd´ıl A − B a rozd´ıl B − A. 2. a) Mˇejme mnoˇzinu A = {a, b, c}. Vypiˇstˇe systém vˇsech podmoˇzin mnoˇziny A. Pozn. systém vˇsech podmnoˇzin se oznaˇcuje 2A . b) Necht’ mnoˇzina B je mnoˇzina vˇsech sud´ ych pˇrirozen´ ych ˇc´ısel menˇs´ıch neˇz 10. Vypiˇstˇe vˇsechny jej´ı podmnoˇziny. 3. Mˇejme koneˇcnou mnoˇzinu B o n prvc´ıch. Kolik prvk˚ u má mnoˇzina 2B ? 4. Uved’te pˇr´ıklad mnoˇzina A, B tak, aby A ∈ B a souˇcasnˇe A ⊆ B. 5. Je dána mnoˇzina A = {0, 1, 2}. Pˇreˇctˇete nahlas náslduj´ıc´ı v´ yroky a rozhodnˇete, které z nich jsou pravdivé a které nepravdivé: a) 0 ∈ A; b) {0} ∈ A; c) 0 ⊆ A; d) {0} ⊆ A; e) {} ∈ A; f) {} ⊆ A; g) {∅} ∈ A; h) {∅} ⊆ A; i) {2} ∈ {2, {2}}; j) {2} ⊆ {2, {2}}; k) Mnoˇzina {∅} nemá ˇza´dn´ y prvek; l) {1, 2} = {2, 1}; 6. Uved’te formáln´ı definici mnoˇzinov´ ych operac´ı (pozn. podobnˇe, jako je uvedeno v a) ) a) A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} b) A ∪ B = c) A − B = 7. Dokaˇzte, ˇze pro libovolné mnoˇziny A, B, C plat´ı: a) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C); b) A − (B − C) = (A − B) − C; c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 8. Jsou dány mnoˇziny A = {a} a B = {x, y}. Urˇcete mnoˇziny A × B a B × A.

SA1



14

9. Jsou dány mnoˇziny A = {1, 2, 3} a B = {3, 7}. Popiˇstˇe (tˇreba i grafiky) mnoˇziny A×B, B × A, B × B, B × 2B . 10. Udejte pˇr´ıklad mnoˇzin A, B tak, aby mnoˇzina A × B mˇela právˇe 32 podmnoˇzin. 11. Jsou dány mnoˇziny A = {x : x ∈ R, |x − 3| < 1}, B = {x : x ∈ R, x2 − 4x + 3 ≤ 0}. Spoˇctˇete a v souˇradnicovém systému zakreslete B ∪ (A − B), (A ∩ B) × (B − A).

SA1



2.3

15

Relace

1. Definujte pojem unárn´ı relace na mnoˇzinˇe M . 2. Definujte pojem (binárn´ı) relace mezi mnoˇzina A a B (v tomto poˇrad´ı). 3. Jak pˇreˇcteme zápis (x, y) ∈ R, je-li R relace? Uved’te jin´ y moˇzn´ y zápis relace R mezi prvky x, y. 4. Uvaˇzujme M jako mnoˇzinu pˇr´ıbuzn´ ych. M = {Adam (otec), Barbora (matka), Cyril (syn), Dana (dcera), Emanuel (dˇedeˇcek z otcovy strany)}. a) Je dána unárn´ı relace R1 = {x ∈ M : x je muˇzského pohlav´ı}. b) Je dána binárn´ı relace R2 = {(x, y) ∈ M × M : (x, y) je ve vztahu otec a syn}. c) Je dána binárn´ı relace R3 = {(x, y) ∈ M ×M : (x, y) je ve vztahu rodiˇc a potomek}. d) Je dána binárn´ı relace R4 = {(x, y) ∈ M × M : (x, y) je ve vztahu sourozenec a sourozenec}. e) Je dána ternárn´ı relace R5 = {(x, y, z) ∈ M × M × M : (x, y, z) je ve vztahu prarodiˇc, rodiˇc a potomek}. 5. Udejte pˇr´ıklady dvou r˚ uzn´ ych relac´ı mezi mnoˇzinami A = {a, b, c, d} a B = {x, y, z} a také zakreslete jejich uzlové grafy. 6. a) Co je to pr´ azdn´ a relace mezi mnoˇzinami A a B a co je univerz´ aln´ı relace mezi mnoˇzinami A a B? Formálnˇe tyto relace zapiˇstˇe. b) Zapiˇstˇe, jak vypadá prázdná a univerzáln´ı relace mezi prázdn´ ymi mnoˇzinami. 7. Definujte pojem (binárn´ı) relace na mnoˇzinˇe M . 8. Je dána mnoˇzina M = {a, b, c, d}. Zapiˇstˇe libovolnou relaci na mnoˇzinˇe M , která má alespoˇ n 4 prvky. Relace znázornˇete uzlov´ ym grafem relace a tabulkou relace. 9. Definujte na mnoˇzinˇe M pojem relace reflexivn´ı, symetrická, antisymetrická, tranzitivn´ı, u ´plná. 10. Mˇejme mnoˇzinu M = {a, b, c}. Udejte pˇr´ıklad relac´ı R1 , R2 , R3 , R4 pomoc´ı tabulky tak, aby kaˇzdá z tˇechto relac´ı mˇela právˇe jednu z vlastnost´ı (pokud je to v˚ ubec moˇzné): reflexivn´ı, symetrická, antisymetriká, u ´plná. 11. Na mnoˇzinˇe A = {2, 3, 4, 6, 11} je dána relace R = {(x, y) : y je dˇelitelem x}. Rozhodnˇete, zda tato relace je reflexivn´ı, symetrická, tranzitivn´ı. 12. Na mnoˇzinˇe A = {2, 3, 4, 6, 11} je dána relace R = {(x, y) : y je cifern´ y souˇcet x}. Rozhodnˇete, zda tato relace je reflexivn´ı, symetrická, tranzitivn´ı.

SA1



16

´ je-li pro 13. Je dána relace R na mnoˇzinˇe N. Rozhodnˇete, zda je relace R, S, A-S, T, U, x, y ∈ N: a) xRy ⇐⇒ x · y je liché ˇc´ıslo; b) xRy ⇐⇒ y = x ∨ y = 2x ∨ y = 3x; c) xRy ⇐⇒ |x − y| − 3 ∨ x = y;

[R, A-S] [R, S]

d) xRy ⇐⇒ x = y;

[R, S, A-S, T]

2

[A-S]

e) xRy ⇐⇒ y = x ;

SA1

[S, T]



2.4

17

Zobrazen´ı ˇ c´ ast 1

1. Mˇejme libovolné neprázdné mnoˇziny A a B. Definujte zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B: a) korektnˇe, tj. Necht’ f je relace mezi mnoˇzinami A a B, splˇ nuj´ıc´ı vlastnost, ˇze . . . Pak ” uspoˇra´danou trojici (A, B, f ) naz´ yváme zobrazen´ım mnoˇziny A do mnoˇziny B.“ b) názornˇeji, tj. Zobrazen´ım f mnoˇziny A do B rozum´ıme pˇredpis, kter´ y . . .“ ” 2. Rozhodnˇete, zda relace R v pˇr´ıkladu 11 (viz Relace) definuje na mnoˇzinˇe A zobrazen´ı. [nen´ı to zobrazen´ı] 3. Rozhodnˇete, zda zadan´ y pˇredpis f urˇcuje zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B: a) A = Z, B = N, f (x) = |x| ∀x ∈ Z.

[ne]

b) A = {a, b, c, d, e}, B = {u, v, w}, f (a) = u, f (c) = u, f (d) = w, f (x)e = w.

[ano]

4. Definujte zobrazen´ı injektivn´ı (tj. prosté), reps. surjektivn´ı, resp. bijektivn´ı. 5. Jak´ y je postup pˇri d˚ ukazu, ˇze zobrazen´ı f je injektivn´ı, resp. nen´ı injektivn´ı, resp. je surjektivn´ı, resp. nen´ı surjektivn´ı? 6. Rozhodnˇete, zda relace R v pˇr´ıkladu 12 (viz Relace) definuje na mnoˇzinˇe A zobrazen´ı. Pokud ano, rozhodnˇete, zda jde o zobrazen´ı prosté. [Je to zobrazen´ı, nen´ı prosté] 7. U zobrazen´ı z pˇr´ıkladu 3 rozhodnˇete, zda jsou injektivn´ı nebo surjektivn´ı. [a) nen´ı zobrazen´ı, b) nen´ı I, nen´ı S] 8. Dokaˇzte, ˇze mezi mnoˇzinami A = Z a B = S existuje bijekce.

SA1



2.5

18

Zobrazen´ı ˇ c´ ast 2

1. Zakreslete si mnoˇziny A a B schématiky jako dva ovály. Zakreslete, co si pˇredstavujete pod pojmem: a) Zobrazen´ı z mnoˇziny A do mnoˇziny B. b) Zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B. c) Zobrazen´ı z mnoˇziny A na mnoˇzinu B (tj. zobrazen´ı mezi mnoˇzinami). d) Zobrazen´ı z mnoˇziny A na mnoˇzinu B. 2. Zakreslete do souˇradného systému x, y: a) y = |x|; b) y 2 = x. Rozhodnˇete, která z kˇrivek je grafem funkce a která naopak grafem funkce nen´ı. 3. Mˇejme libovolné neprázdny mnoˇziny A a B. Definujte zobrazen´ı z mnoˇ ziny A do mnoˇ ziny B: a) korektnˇe, tj. Necht’ f je relace mezi mnoˇzinami A a B, splˇ nuj´ıc´ı vlastnost, ˇze . . . Pak ” uspoˇra´danou trojici (A, B, f ) naz´ yváme zobrazen´ım z mnoˇziny A do mnoˇziny B.“ b) názornˇeji, tj. Zobrazen´ım f z mnoˇziny A do mnoˇziny B rozum´ıme pˇredpis f , kter´ y ” . . .“ Pouˇz´ıváme zápis b = f (a). Poznámka: Zobrazen´ı f mezi ˇc´ıselnými mnoˇzinami ˇr´ıkáme ˇcastˇeji funkce a p´ıˇseme f : A → B. 4. Mˇejme libovolné neprázdny mnoˇziny A a B. Definujte zobrazen´ı mnoˇ ziny A do mnoˇ ziny B: a) korektnˇe, tj. Necht’ f je relace mezi mnoˇzinami A a B, splˇ nuj´ıc´ı vlastnost, ˇze . . . Pak ” uspoˇra´danou trojici (A, B, f ) naz´ yváme zobrazen´ım mnoˇziny A do mnoˇziny B.“ b) názornˇeji, tj. Zobrazen´ım f mnoˇziny A do mnoˇziny B rozum´ıme pˇredpis f , kter´ y ” . . .“ Pozn. Jde tedy o situaci, kdy mnoˇzina A je pˇr´ımo definiˇcn´ım oborem 5. Formulace: . . . zobrazen´ı na mnoˇzinˇe A . . . máme na mysli: a) . . . zobrazen´ı z mnoˇziny A do mnoˇziny A . . . , b) . . . zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny A . . . ? 6. Na mnoˇzinˇe A = {2, 3, 4, 6, 11} je dána relace R = {(x, y) : y je dˇelitelem x}. Rozhodnˇete, zda relace R definuje na mnoˇzinˇe A zobrazen´ı. [nen´ı to zobrazen´ı]

SA1



19

7. Rozhodnˇetem zda zadan´ y pˇredpis f urˇcuje zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B: a) A = Z, B = N, f (x) = |x + 2| ∀x ∈ Z. [ne, ale zobrazen´ı z mn. A do mn. B by to bylo] b) A = {a, b, c, d, e}, B = {u, v, w}, f (a) = u, f (b) = u, f (c) = u, f (d) = w, f (e) = w; [ano] c) A = Z, B = S, f (x) = 2x ∀x ∈ Z;

[ano]

d) A = R, B = R, f (x) = sin x ∀x ∈ R;

[ano]

e) A = R, B = h−1; 1i, f (x) = sin x ∀x ∈ R;

[ano]

f) A = B = N, f (x) = x + 1 ∀x ∈ N; ( 1 pro x = 1 g) A = B = N, f (x) = x − 1 pro x ≥ 2.

[ano] [ano]

8. Definujte zobrazen´ı injektivn´ı (tj. prosté), resp. surjektivn´ı, resp. bijektivn´ı. 9. Jak´ y je postup pˇri d˚ ukazu, ˇze zobrazen´ı f je injektivn´ı, resp. nen´ı injektivn´ı, resp. je surjektivn´ı, resp. nen´ı surjektivn´ı? 10. Na mnoˇzinˇe A = {2, 3, 4, 6, 11} je dána relace R = {(x, y) : y je cifern´ y souˇcet x}. Rozhodnˇete, zda relace R definuje na mnoˇzinˇe A zobrazen´ı. Pokud ano, rozhodnˇete, zda jde o zobrazen´ı prosté. [Je to zobrazen´ı, nen´ı prosté] 11. U zobrazen´ı z pˇr´ıkladu 7 rozhodnˇete, zda jsou injektivn´ı nebo surjektivn´ı. [a) nen´ı zobrazen´ı, b) nen´ı I, nen´ı S, c), d) nen´ı I, nen´ı S, e) nen´ı I, je S, f ) je I, nen´ı S, g) nen´ı I, je S] 12. Rozhodnˇete, zda dané zobrazen´ı f : N → N je injektivn´ı, resp. bijektivn´ı, je-li: a) f (x) = 2x − 1. ( 3 b) f (x) = x−3 ( x−1 c) f (x) = x+1 x+1 d) f (x) = 2 e) f (x) = 3x+1 2

[je I, nen´ı S] pro x ≤ 3 pro x > 3. pro xsudé pro xliché.

[nen´ı I, je S]

[je B] [nen´ı I, je S] [je I, nen´ı S]

Pozn.: [a] znamená celou ˇcást ˇc´ısla a.

SA1



20

13. Rozhodnˇete, zda dané zobrazen´ı f je injektivn´ı, resp. surjektivn´ı, je-li: a) f : R → R, f (x) = x2 + 6 +

+

b) f : R → R , f (x) = (x + 1)

[je I, nen´ı S] 2

[je B]

14. Dokaˇzte, ˇze mezi mnoˇzinami A = Z a B = S existuje bijekce. 15. Jsou dána bijektivn´ı zobrazen´ı f, g : R → R, f (x) = 3x − 4, g(x) = 2x + 53 . Zapiˇstˇe pˇredpis pro zobrazen´ı f ◦ g a g ◦ f .

SA1


3 Pˇrirozená ˇc´ısla

3

21

Pˇ rirozen´ aˇ c´ısla

unárn´ı operace n´ asledn´ık definována takto A’ = A ∪ {A} ∅’ = ∅ ∪ {∅} = {∅} {∅}’ = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}} {∅, {∅}}’ = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} = zaveden´ı pˇrirozen´ ych ˇc´ısel (pomoc´ı prázdné mnoˇziny) Operace Nyn´ı na N zavedeme binárn´ı operace f : N × N → N (obecnˇe f : A × B → C). Pˇ r. f (3, 5) = 8 3+5=8 1. Sˇ c´ıt´ an´ı Operaci sˇc´ıtán´ı zavedeme takto A+∅=A A + B’ = (A + B)’ Pˇ r. 4 + 2 =? 4 + 2 = 4 + 1’ = (4 + 1)’ = (4 + 0’)’ = ((4 + 0)’)’ = 5’ = 6 ⇒ 4 + 2 = 6 Operace sˇc´ıtán´ı je komunitativn´ı. 2. N´ asoben´ı Operaci násoben´ı zavedeme takto A×∅=∅ A × B’ = A × B + A Operace násoben´ı je komunitativn´ı.

SA1


4 Celá ˇc´ısla

4

22

Cel´ aˇ c´ısla

Uvaˇzujme uspoˇrádané dvojice pˇrirozen´ ych ˇc´ısel (a, b) ∈ N × N. Mezi takov´ ymi dvojicemi zavedeme relaci ∼: (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c

(a − b = c − d)

relace ∼ je: a) reflexivn´ı - tzn. (a, b) ∼ (a, b) ⇐⇒ a + b = b + a ∀(a, b) ∈ N × N operace sˇc´ıtán´ı je komunitativn´ı ⇒ je reflexivn´ı b) symetrická - tzn. (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ (c, d) ∼ (a, b) c) tranzitivn´ı - tzn. (a, b) ∼ (c, d) ∧ (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ (a, b) ∼ (e, f ) (a + d = b + c, c + f = d + e ⇒ a + f = b + e) ⇓ a + d + c + f = b + c + d + e ⇒ a + f = b + e ⇒ je tranzitivn´ı ⇒ relace ∼ je ekvivalence ⇒ N × N se rozpadne na tˇr´ıdy (3, 1)

(1, 3)

(5, 5)

(4, 2) (10, 12) (4, 4) 2

−2

0

⇒ Z jsou tˇr´ıdy ekvivalence Na Z nyn´ı zavedeme operace: 1. sˇ c´ıt´ an´ı zavedeme následovnˇe (a, b) + (c, d) = (e, f ) = (a + c, b + d) 2. souˇ cin zavedeme takto (a, b) × (c, d) = (e, f ) = (a · c + b · d, b · c + a · d)

SA1


5 Algebraické struktury

5

23

Algebraick´ e struktury

Algebraickou strukturou rozum´ıme mnoˇzinu s definovan´ ymi operacemi, které maj´ı jisté vlastnosti:

5.1

Grupa

mnoˇzina G s binárn´ı operac´ı ∗ splˇ nuj´ıc´ı: G1) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) ∀x, y, z ∈ G asociativn´ı z´ akon (sdruˇzovac´ı - sdruˇzován´ı do závorek) G2) ∃ e ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x ∀x ∈ G G3) ∀x ∈ G ∃ x−1 ∈ G, x ∗ x−1 = x−1 ∗ x = e se naz´ yvá grupa prvek e nazveme neutr´ aln´ı prvek grupy G −1 prvek x nazveme inverzn´ı prvek prvku x Pˇ r. 1. G = Z, ∗ = + ⇒ (Z, +) 2. G = Q − {0} = Q∗ , ∗ = × ⇒ (Q∗ , ·) 3. G = regulárn´ı matice daného ˇra´du s operac´ı ∗ = · 4. sˇc´ıtán´ı vektor˚ u pologrupa - asociativn´ı grupoid monoid - asociativn´ı grupoid, v kterém existuje neutráln´ı prvek Jestliˇze plat´ı nav´ıc G4) x ∗ y = y ∗ x ∀x, y ∈ G hovoˇr´ıme o komutativn´ı (abelovsk´ e) grupˇe.

SA1



5.2

24

Pole

Mnoˇzina F , která má alespoˇ n 2 prvky, se 2 operacemi znaˇcen´ ymi +, · splˇ nuj´ıc´ımi: F1) x + (y + z) = (x + y) + z

∀x, y, z ∈ F

F2) ∃ OF ∈ F tak, ˇze x + OF = OF + x = x ∀x ∈ F F3) ∀x ∈ F ∃ (−x) ∈ F tak, ˇze x + (−x) = (−x) + x = OF

∀x ∈ F

F4) x + y = y + x ∀x, y ∈ F F5) x · (y · z) = (x · y) · z

∀x, y, z ∈ F

F6) ∃ 1F ∈ F tak, ˇze x · 1F = 1F · x = x ∀x ∈ F F7) ∀x ∈ F ∃ x−1 ∈ F tak, ˇze x · x−1 = x−1 · x = 1F

∀x ∈ F

F8) distributivn´ı zákony x · (y + z) = x · y + x · z, (y + z) · x = y · x + z · x ∀x, y, z ∈ F se naz´ yvá pole (field, tˇ eleso). F1 - F4 = komutativn´ı grupa k + F5 - F7 = grupa k · F8 = distributiva Poˇzadujeme-li nav´ıc F9) x · y = y · x ∀x, y, z ∈ F hovoˇr´ıme o komutativn´ım poli.

SA1



25

Pˇ r. 1. (Q, +, ×) 2. (R, +, ×) 3. komplexn´ı ˇc´ısla (C, +, ×), parakomplexn´ı ˇc´ısla (a + bi, i2 = 1, a, b ∈ R), du´ aln´ı ˇc´ısla (a + bi, i2 = 0, a, b ∈ R) 4. ˇc´ısla typu a + bi + cj + dk, a, b, c, d ∈ R, i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = −k, ji = k naz´ yváme kvaterniony (H, +, ×) - nen´ı to komutativn´ı pole - pouˇzit´ı hydromechanice, ve fyzice k popisu pohybu elementárn´ıch ˇcástic nebo rotace sfér 5. racion´ aln´ı funkce

2x3 + x + 2 x4 − x2 − 5x − 1

⇒ (Rac, +, ×) Pˇ r. pole se 2 prvky aditivn´ı operace

SA1

×

0 1

0 1

0

0 0

1 0

1

0 1

+

0 1

0 1

a multiplikativn´ı operace


6 Koneˇcná pole

6

26

Koneˇ cn´ a pole

Galois - existuje vˇzdy jediné pole o pn prvc´ıch, kde p je prvoˇc´ıslo a n ∈ N; pole o jiném poˇctu prvku neexistuj´ı koneˇcná pole: a) prvoˇ c´ıseln´ a - poˇcet prvk˚ u = p (n = 1) → 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . b) neprvoˇ c´ıseln´ a - poˇcet prvk˚ u = pn , n ∈ N, n > 1 → 4, 8, 9, 16, 25, . . . pouˇzit´ı v kryptografii

6.1

Prvoˇ c´ıseln´ a pole

+ a × se poˇc´ıtaj´ı modul´ arnˇ e ⇒ modul´ arn´ı aritmetika (v´ ysledek operace je vˇzdy zbytek po dˇelen´ı ˇc´ıslem p ˇc´ısla, které bychom dostali, kdybychom operaci provedli standartnˇe) Ukázka na pˇr´ıkladu - mˇejme pole F5 . Poˇc´ıtáme pak 4 + 3 (= 7 = 1 · 5 + 2) = 2, 4 · 3 (= 12 = 2 · 5 + 2) = 2 Zápis tabulek pro pole F5 aditivn´ı

×

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0

0 0 0 0 0

1

1 2 3 4 0

1

0 1 2 3 4

2

2 3 4 0 1

2

0 2 4 1 3

3

3 4 0 1 2

3

0 3 1 4 2

4

4 0 1 2 3

4

0 4 3 2 1

+

0 1 2 3 4

0

a multiplikativn´ı

Pˇ r. F11 8+7=4 10 + 2 = 1 8·3=2 6·6=3

SA1


6 Koneˇcná pole

6.2

27

Neprvoˇ c´ıseln´ a pole

pro pole Fpn reprezentujeme prvky jako polynomy stupnˇe nejv´ yˇse n − 1 s koeficienty z Fp Pˇ r. Pole F4 0 1

2

0 1 x

3 x+1

Pˇ r. F81 ⇒ 0, 1, 2, x, x + 1, . . . , 2x3 + 2x2 + 2x + 2 - polynom 2x3 + 2x2 + 2x + 2 je nejvyˇsˇs´ı moˇzn´ y 1. sˇ c´ıt´ an´ı - v kaˇzdém stupni sˇc´ıtáme modulo p Pˇ r. F81 x3 +

+

2x2

3

+

2

0

+

2x

x

+ x

0

+

+

2

x +

2

Pˇ r. F4 +

0

1

x

x+1

0

0

1

x

x+1

1

1

0

x+1

x

x

x

x+1

0

1

x+1

x+1

x

1

0

2. n´ asoben´ı - vybereme redukˇ cn´ı polynom Pred stupnˇe n, kter´ y je nerozloˇziteln´ y (ireducibiln´ı) na souˇcin polynom˚ u niˇzˇs´ıho stupnˇe; vynásob´ıme potom opˇet modulo p - je-li v´ ysledkem polynom stupnˇe > n − 1, odeˇc´ıtáme xi · Pred (pro vhodné i) tak dlouho, aˇz obdrˇz´ıme polynom stupnˇe ≤ n − 1 Pˇ r. F4 nejprve mus´ıme vybrat Pred : x2 = x · x x2 + 1 = (x + 1) · (x + 1) x2 + x = x · (x + 1) x2 + x + 1 = Pred

SA1


6 Koneˇcná pole

28

Multiplikativn´ı tabulka nakonec dopadne následovnˇe ×

0

1

x

x+1

0

0

0

0

0

1

0

1

x

x+1

x

0

x

x+1

1

1

x

x+1

0 x+1

Nahrad´ıme-li polynomy opˇet ˇc´ısly, dostáváme pro F4 následuj´ıc´ı tabulky aditivn´ı

×

0 1 2 3

1 2 3

0

0 0 0 0

1

0 3 2

1

0 1 2 3

2

2

3 0 1

2

0 2 3 1

3

3

2 1 0

3

0 3 1 2

+

0

1 2 3

0

0

1

a multiplikativn´ı

Pˇ r. F9 = F32 0 1 2

3

4

0 1 2

x x+1

5

6

7

8

x+2

2x

2x + 1

2x + 2

Pak 7 + 8 = 3 protoˇze +

2x +

1

2x +

2

x Dále vyberme Pred x2 = x · x x2 + 1 = Pred1 x2 + 2 = (x + 1) · (x + 2) x2 + x = x · (x + 1) x2 + 2x = x · (x + 2) x2 + x + 1 = (x + 2) · (x+)) x2 + x + 2 = Pred2 x2 + 2x + 1 = (x + 1) · (x + 1) x2 + 2x + 2 = Pred3

SA1


6 Koneˇcná pole

29

Vezmˇeme Pred = x2 + 1 a poˇc´ıtejme: a) 7 · 8 =? (2x + 1)(2x + 2) x

2

+

x 2x

x2

+

2

+

2

→

-

x2

+

2

(x2

+

1)

⇒ 7·8=1

1

b) 6 · 6 =? x2 2x · 2x = x2 →

(x2

-

+

⇒6·6=2

1) 2

c) 5 · 8 =? (x + 2)(2x + 2) 2x2

+

2x x

2x2

+

1

+

1

→

-

2x2

+

1

(x2

+

1)

x

x2 →

-

(x2

+

2

1)

⇒ 5·8=2

2

koneˇcné pole je jen 1, ale mohou nám vyj´ıt rozd´ılné tabulky (podle v´ ybˇeru Pred ) ⇒ existuje tzv. izomorfismus = bijektivn´ı zobrazen´ı, pro které plat´ı ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b),

ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b)

tzn. zachovává operaci a jej´ı vlastnosti Pozn. Uloha o 36-d˚ ustojn´ıc´ıch. Máme seˇradit 36 d˚ ustojn´ık˚ u z 6 r˚ uzn´ ych pluk˚ u a 6 r˚ uzn´ ych hodnost´ı do ˇctverce tak, aby v jedné ˇradˇe ani v jednom sloupci nestáli 2 d˚ ustojn´ıc´ı ze stejného pluku nebo stejné hodnosti. Cviˇ cen´ı. Vyplˇ nte tabulky pro F8 . V závislosti na v´ ybˇeru Pred vyjdou r˚ uzné tabulky.

SA1


7 Racionáln´ı ˇc´ısla

7

30

Racion´ aln´ı ˇ c´ısla

Uvaˇzujme dvojice cel´ ych ˇc´ısel (a, b) ∈ Z × Z∗ (Z × Z − {0}) a zaved’me mezi nimi relaci ∼: a c (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a · d = b · c = b d Vˇ eta Relace ∼ je ekvivalence. D˚ ukaz 1. reflexivn´ı - tzn. (a, b) ∼ (a, b) ⇐⇒ a · b = b · a ∀(a, b) ∈ Z × Z∗ násoben´ı je komutativn´ı ⇒ je reflexivn´ı 2. symetrická 3. tranzitivn´ı - tzn. (a, b) ∼ (c, d), (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ (a, b) ∼ (e, f ) (a · d = b · c,

c · f = d · e)

Chceme dokázat, ˇze a · f = b · e. Je-li a = 0 plat´ı, protoˇze a = 0 ⇒ c = 0 ⇒ e = 0 ⇒ 0 = 0 Je-li e = 0 plat´ı, protoˇze e = 0 ⇒ c = 0 ⇒ a = 0 ⇒ 0 = 0 Pˇredpokládejme dále, ˇze a 6= 0, e 6= 0 ⇒ c 6= 0. a · d · c · f = b · c · d · e ⇒ c · d · (a · f ) = c · d · (b · e). Jelikoˇz plat´ı, ˇze c 6= 0, d 6= 0, m˚ uˇzeme vykrát´ıt a dostáváme a · f = b · e. ⇓ (2, 3) (0, 1) (4, 6) (0, 5) 2 3

0 1

p, q - nesoudˇelná, p ∈ Z, q ∈ N Nyn´ı na Q zaved’me operace: 1. sˇc´ıtán´ı

(a, b) + (c, d) = (e, f ) = (ad + bc, bd)

2. násoben´ı (a, b) · (c, d) = (e, f ) = (ac, bd)

SA1

a c ad + bc + = b d bd

a c ac · = b d bd


7 Racionáln´ı ˇc´ısla

31

Vˇ eta (Q, +, ·) je pole. D˚ ukaz Jde o pˇr´ıme ovˇeˇren´ı axiom˚ u pole. √ Pˇ r. Tvoˇr´ı mnoˇzina ˇc´ısel takov´ ych, ˇze a + b 2, a, b ∈ Q pole? Je tˇreba dokázat multiplikativn´ı inverzi. Napˇr. vezmˇeme a =

1 2

a b = 3.

√ −1 1 +3 2 = ? 2 √ √ 1 1 −3 2 −3 2 12 √ 2 2 2 = + 2 = 1 = − 71 71 − 18 − 71 4 4

1 2

1 √ · +3 2

1 2 1 2

√ −3 2 √ −3 2

a, b ∈ Q ⇒ je to pole √ √ Cviˇ cen´ı Je mnoˇzina ˇc´ısel a + b 2 + c 3 takov´ ych, ˇze a, b, c ∈ Q, pole?

SA1


8 Uspoˇra´dané pole

8

32

Uspoˇ r´ adan´ e pole

ˇ Rekneme, ˇze pole F je uspoˇ r´ adan´ e, jestliˇze v nˇem existuje mnoˇzina P ⊆ F tak, ˇze plat´ı právˇe jedna z moˇznost´ı: 1. x ∈ P 2. −x ∈ P 3. x = OF a dále 1. x ∈ P, y ∈ P ⇒ x + y ∈ P 2. x ∈ P, y ∈ P ⇒ x · y ∈ P

∀x, y ∈ F ∀x, y ∈ F

Pˇ r. Sestrojit P na mnoˇzinˇe Q. P = Q+ , P - podmnoˇzina pozitivn´ıch ˇc´ısel ⇓ pokud najdeme P , je pole uspoˇra´dané Pˇ r. F = R ⇒ P = R+ Vˇ eta Koneˇcná pole nejsou uspoˇrádaná pole. Vˇ eta C nelze uspoˇra´dat D˚ ukaz Pˇredpokládejme, ˇze 1 ∈ P . Pˇredpokládejme dále, ˇze také i ∈ P . Jenˇze pak také i2 = −1 ∈ P . Coˇz je ale spor, protoˇze 1 ∈ P ∧ −1 ∈ P . Zkusme pˇredpokládat, ˇze 1 ∈ P ∧ −i ∈ P . Jenˇze pak také (−i)2 = −1 ∈ P . Coˇz je ale spor, protoˇze 1 ∈ P ∧ −1 ∈ P . Takˇze at’ vol´ıme kombinaci prvk˚ u jakkoliv, vˇzdy dojdeme ke sporu, tzn. ˇze C nelze uspoˇra´dat. Máme-li uspoˇrádané pole, pak v nˇem lze zavést relaci ostrého uspoˇrádán´ı takto x < y ⇐⇒ y − x ∈ P Pak zavedeme x ≤ y, jestliˇze x < y nebo x = y.

SA1


8 Uspoˇra´dané pole

33

Vˇ eta Pole Rac je uspoˇrádané pole. Kaˇzdou racionáln´ı funkci lze zapsat v tzv. základn´ım tvaru W+

U V

kde U, V, W jsou polynomy a plat´ı lc(W ) > 0 a degU < degV Racionáln´ı funkce ve tvaru W +

SA1

U V

patˇr´ı do P , jestliˇze lc(W ) > 0 nebo W = 0 ∧ lc(U ) > 0.


9 Archimédovská pole

9

34

Archim´ edovsk´ a pole

ˇ Rekneme, ˇze uspoˇrádané pole F je archim´ edovsk´ e, jestliˇze pro kaˇzdá x, y ∈ P existuje nˇejaké n ∈ N tak, ˇze n·x>y Je Q archimédovské pole? napˇr x =

1 1000

a y = 550000 ⇒ evidentnˇe ano

Vˇ eta Pole racionáln´ıch funkc´ı je archimédovské pole. D˚ ukaz Vezmˇeme napˇr. x = t a y = t2 . Pokud vezmeme y − x = t2 − t, zjiˇst’ujeme, ˇze y − x ∈ P ⇒ y > x. Nyn´ı vynásobme ˇclen x ˇc´ıslem n. Ovˇsem zjist´ıme, ˇze pro y − nx = t2 − nt opˇet plat´ı, ˇze y − nx ∈ P ⇒ y > nx. Tzn., ˇze pro jakékoliv n bude y > nx ⇒ pole racionáln´ıch funkc´ı nen´ı uspoˇrádané. Jestliˇze pro nˇejaké y ∈ P existuje x ∈ P takové, ˇze archimédovská vlastnost nen´ı splnˇena (tzn. neexistuje n ∈ N tak, aby nx > y), pak toto x nazveme infinitezim´ aln´ı (nekoneˇcnˇe malé) vzhledem k y. Pˇ r. polynom

1 t

je infinitezinálm´ı vzhledem k 1

Jestliˇze pro nˇejaké x existuje y takové, ˇze nen´ı splnˇena archimédovská vlastnost, pak toto y nazveme infinitn´ı (nekoneˇcnˇe velké) vzhledem k x. Tato cesta byla zavrˇzena - ti, kteˇr´ı touto cesto pokraˇcuj´ı ⇒ nestandartn´ı anal´ yza - pouˇz´ıvá nearchimédovské pole a pˇridá si infinitezimáln´ı prvky (, . . .) Vezmˇeme nyn´ı Q, A ⊆ Q, A 6= ∅ ˇ Rekneme, ˇze x ∈ Q je horn´ı z´ avora A, jestliˇze x ≥ a pro ∀a ∈ A ˇ Rekneme, ˇze x ∈ Q je doln´ı z´ avora A, jestliˇze x ≤ a pro ∀a ∈ A Nyn´ı vezmˇeme napˇr. A = {a ∈ Q, a ≤ 1}. Tato mnoˇzina má nekoneˇcno mnoho horn´ıch závor → nejmenˇs´ı horn´ı závoru nazveme supr´ emum A a oznaˇc´ıme ji supA. Obdobnˇe nejvˇetˇs´ı doln´ı závoru mnoˇziny A nazveme infimum A a znaˇc´ıme infA. ˇ Rekneme, ˇze A je shora ohraniˇ cen´ a, jestliˇze existuje nˇejaká jej´ı horn´ı závora. ˇ Rekneme, ˇze A je zdola ohraniˇ cen´ a, jestliˇze existuje nˇejaká jej´ı doln´ı závora. Maximum mnoˇziny A je jej´ı nejvˇetˇs´ı prvek, znaˇcen´ y maxA. Minimum mnoˇziny A je jej´ı nejmenˇs´ı prvek, znaˇcen´ y minA.

SA1


9 Archimédovská pole

35

Mˇejme A ⊆ Q shora ohraniˇcenou. Sestrojme nyn´ı mnoˇzinu A tak, aby: 1. aby existovalo maximum i suprémum - napˇr. A = {x ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 10} 2. aby existovalo suprémum, ale ne maximum - napˇr. A = {x ∈ Q, 0 ≤ x < 10} 3. aby neexistovalo minimum ani suprémum - napˇr. A = {x ∈ Q, x · x < 2} ⇒ d˚ uvod pro zaveden´ı R ˇ Rekneme, ˇze uspoˇrádané pole F je hust´ e, jestliˇze pro kaˇzdé 2 prvky x, y ∈ F takové, ˇze x < y existuje z ∈ F tak, ˇze x < z < y. Vˇ eta Q je husté pole. (d˚ ukaz - napˇr. aritmetick´ y pr˚ umˇer - vezmeme-li 2 libovolná racionáln´ı ˇc´ısla x a y, x < y, a udˇeláme-li jejich aritmetick´ y pr˚ umˇer, dostaneme racionáln´ı ˇc´ıslo z, pro které bude platit x < z < y) Vˇ eta Rac je husté pole.

SA1


10 Reálná ˇc´ısla

10

36

Re´ aln´ aˇ c´ısla

1. Dedekindovy ˇrezy 2. cauchyovské posloupnosti 3. axiomatické zaveden´ı

10.1

Dedekindovy ˇ rezy

Definujme mnoˇzinu D ⊆ Q splˇ nuj´ıc´ı 2 podm´ınky: 1. jestliˇze x ∈ D, pak ∃ y ∈ D takové, ˇze x < y 2. jestliˇze x ∈ D a y je libovolné y ∈ Q a y < x, pak y ∈ D a nazvˇeme ji Dedekind˚ uv ˇ rez. Pˇ r. 1. Q → ozn. ∞ 2. Q → ozn. −∞ 3. Q− → ozn. O 4. A = {x ∈ Q, x < 1} . . . reálné ˇc´ıslo 1 5. A = {x ∈ Q, x · x < 2} . . . reálné ˇc´ıslo

√ 2

Mnoˇzinu vˇsedh Dedekindov´ ych ˇrez˚ u oznaˇc´ıme R a nazveme ji rozˇs´ıˇrená re´ aln´ aˇ c´ısla. Samotná reálná ˇc´ısla pak definujeme takto: R = R − {−∞, ∞} Operace: 1. souˇ cet Dedekindov´ ych ˇrez˚ u: D + E = {x ∈ Q, x = d + e, d ∈ D, e ∈ E} Poznámka k uspoˇra´dán´ı Dedekindov´ ych ˇrez˚ u. D ≤ E definujeme takto x ∈ D ⇒ x ∈ E. Jestliˇze O ≤ D, nazveme D nez´ aporn´ ym Dedekindov´ ym ˇrezem. Jestliˇze O > D, nazveme D z´ aporn´ ym Dedekindov´ ym ˇrezem. Dedekind˚ uv ˇrez Q− − E = {x ∈ Q, x = d − e, d < 0 ∧ e ∈ Q − E} oznaˇcme −E a nazveme opaˇ cn´ y k E. Odeˇc´ıtán´ı Dedekindov´ ych ˇrez˚ u pak definujeme takto D + (−E) = {x ∈ Q, x = d − e, d ∈ D ∧ e ∈ Q − E} SA1


10 Reálná ˇc´ısla

37

2. souˇ cin Dedekindov´ ych ˇrez˚ u: a) D, E jsou nezáporné Dedekindovy ˇrezy D · E = {x ∈ Q, x = d · e, d ∈ D ∧ d ≥ 0, e ∈ E} b) D nezáporn´ y a E záporn´ y D · E = −(D · (−E)) c) D záporn´ y a E nezáporn´ y D · E = −(−D · E) d) D, E záporné D · E = (−D · (−E))

10.2

vyj´ adˇ ren´ı re´ aln´ ych ˇ c´ısel

a) napˇr. 3, 14159265 . . . - nekoneˇcn´ y desetinn´ y rozvoj b) pomoc´ı ˇretˇezov´ ych zlomk˚ u - takov´ y zlomek je jednoznaˇcn´ y a je-li ˇc´ıslo racionáln´ı, je koneˇcn´ y Pozn. Racionáln´ı ˇc´ıslo má ukonˇ cen´ y nebo periodick´ y desetinn´ y rozvoj. Pˇ r. 1 = 0, 9 = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . . = Pˇ r. 80 11

80 11

0, 9 =1 1 − 0, 1

=? celá ˇca´st 7

⇓

80 11

−7=

3 ; 11

1 3 11

⇓ 11 3

− 3 = 23 ;

1 2 3

⇓ 3 2

− 1 = 12 ;

⇓ 2 − 2 = 0;

1 1 2

=

=

11 3

3 2

celá ˇca´st 3 celá ˇcást 1

=2

konec ⇒ 80 1 =7+ 11 3 + 1+1 1 2

SA1


11 Mohutnost ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin (kardinalita)

11

38

Mohutnost ˇ c´ıseln´ ych mnoˇ zin (kardinalita)

ˇc´ıselné vyjádˇren´ı poˇctu prvk˚ u Pˇ r. A = {x, y, z} ⇒ |A| = 3 (cardA = 3) |∅| = 0 |N| = ℵ0 Mohutnost nekoneˇcn´ ych mnoˇzin porovnáváme bijekc´ı. Demonstrace na vesm´ırn´ em hotelu: 1) vˇsechny pokoje jsou obsazené a pˇrijede 1 host ⇒ ˇrekneme stávaj´ıc´ım host˚ um, at’ se posunou do pokoje s ˇc´ıslem o 1 vˇetˇs´ı N0 = N ∪ {0}

N 1

-

0

2

-

1

3

-

2

4

-

3

5 .. .

-

4 .. .

|N ∪ {0}| = ℵ0 |N ∪ A| = ℵ0 − A koneˇcná mnoˇzina 2) pˇrijede nekoneˇcnˇe mnoho nov´ ych host˚ u - stávaj´ıc´ım host˚ um ˇrekneme, at’ se pˇresunou z pokoje ˇc´ısla x do pokoje 2x sudá

N 1

-

2

2

-

4

3

-

6

4 .. .

-

8 .. .

|sudá| = ℵ0 |lichá| = ℵ0

SA1



39

3) celá ˇc´ısla N

Z

1

-

0

2

-

1

3

-

−1

4

-

2

5 .. .

-

−2 .. .

130

-

65

131

- −65

|Z| = ℵ0 4) racionáln´ı ˇc´ısla - |p| + q . . . v´ yˇská racionáln´ıho ˇc´ısla N

Q

1

-

2

-

3

-

4

-

5

-

6

-

7

-

8

-

9

-

10 .. .

-

0 1 − 11 1 1 − 21 − 12 1 2 2 1 − 31 − 13 1 3

.. .

|Q| = ℵ0 Pozn. Zaveden´ı interval˚ u Vezmˇeme A = {x ∈ Q, x < 1} = reálné ˇc´ıslo 1. Vezmeme mnoˇzinu vˇsech Dedekindov´ ych ˇrez˚ u B, pro nˇeˇz plat´ı B ≤ A. Tuto mnoˇzinu oznaˇc´ıme (−∞, 1i. Nyn´ı vezmeme (−∞, 1i − A a v´ ysledek oznaˇc´ıme (−∞, 1). Obdobnˇe dostaneme interval (−∞, 0). Interval h0, 1) pak dostaneme takto: h0, 1) = (−∞, 1)− (−∞, 0).

SA1



40

Vˇ eta |R| > ℵ0 D˚ ukaz - Cantorova diagonáln´ı metoda Dokáˇzeme, ˇze |h0, 1)| > ℵ0 Oznaˇcme nyn´ı postupnˇe vˇsechna ˇc´ısla z h0, 1) takto: a1 = 0, a11 a12 a13 a14 a2 = 0, a21 a22 a23 a24 a3 = 0, a31 a32 a33 a34 .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . Nyn´ı sestroj´ıme ˇc´ıslo b = 0, b1 b2 b3 b4 . . . takto: ( 1 pro aii 6= 1 bi = 2 pro aii = 1 ⇒ b 6= a1 , b 6= a2 , . . . ⇒ b nen´ı v námi sestrojeném seznamu ˇc´ısel z h0, 1) ale b je v h0, 1) ⇒ spor ⇒ |h0, 1)| > ℵ0 ⇒ |R| > ℵ0 A = {x, y, z} |A| = 3 |2A | = 8 |2N | = ℵ1 |R| = c - dodnes nevyˇreˇseno, zda c = ℵ1 |C| = |R2 | = c Bijekce mezi R a R2 . [0, 325415] ⇒ [0, 351; 0, 245] ⇓ zobrazen´ı bodu do roviny ⇓ |R2 | = c

SA1


12 Metrické prostory

12

41

Metrick´ e prostory

vˇetsinou budeme pracovat s R drtivá vˇetˇsina reáln´ ych ˇc´ısel nemá název (zápis) |Q| = ℵ0 |R − Q| = c ⇒ je jich v´ıce neˇz Q √ √ algebraick´ aˇ c´ısla - koˇreny polynom˚ u (x2 −2, . . .) - vˇsechny odmocniny atd. ( 2, 32 1024, . . .) |algebraická ˇc´ısla| = ℵ0 √

transcedentn´ı ˇ c´ısla - taková iracionáln´ı ˇc´ısla, která nejsou koˇreny polynom˚ u (π, e, 2 2 ) |transcendentn´ı ˇc´ısla| = c Teorie metrick´ ych prostor˚ u Mˇejme X 6= ∅, funkci ρ : X × X → R splˇ nuj´ıc´ı: 1. ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y

∀x, y ∈ X

2. ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y ∈ X 3. ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(x, z) ∀x, y, z ∈ X (troj´ uheln´ıková nerovnost) Tuto funkci ρ nazveme metrika na X a mnoˇzinu (X, ρ), na které funkci ρ definujeme, nazveme metrick´ y prostor. Vˇ eta ρ je nezáporná funkce. D˚ ukaz ρ(x, x) = 0 ρ(x, x) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, x) ⇒ 2ρ(x, y) ≥ 0 ⇒ ρ(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X Lze na kaˇzdé mnoˇzinˇe X zavést metriku? Ano, tzv. trivi´ aln´ı metriku. ( ρ(x, y) =

0

pro x = y

1

pro x 6= y

1. X = R × R (reálná rovina) Máme body x = [x1 , x2 ], y = [y1 , y2 ]. Metriku definovanou p ρ(x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 nazveme eukleidovskou metrikou.

SA1



42

Obecnˇe pro v´ıcedimenzionáln´ı prostor X = Rn plat´ı v u n uX ρ(x, y) = t (xi − yi )2 i=1

2. X = R × R (reálná rovina) Máme body x = [x1 , x2 ], y = [y1 , y2 ]. Metriku definovanou ρ(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | nazveme manhattanskou (poˇ st´ ackou) metrikou. x

y

Obrázek 7: Manhattanská metrika

3. X = R × R ρ(x, y) = (x1 − y1 ) Toto nen´ı metrika, protoˇze x 6= y a ρ(x, y) = 0 x y

Obrázek 8: Pˇr. nemetriky“ ”

Pozn. Pro X = R splyne eukleidovská a manhattanská metrika: p (x − y)2 = |x − y|

SA1



43

Otevˇ ren´ a koule Otevˇrená koule v metrickém prostotu X se stˇredem x0 a polomˇerem > 0 je definována Bx0 , = {x ∈ X, ρ(x0 , x) < } eukleidovsk´ a metrika X = R × R

manhattansk´ a metrika X = R × R

y y x0 x0

x

x (a) Eukleidovsk´ a metrika

(b) Manhattanská metrika

Obrázek 9: Otevˇrené koule trivi´ aln´ı metrika < 1 - jen stˇred x0 >1-u ´plnˇe celá mnoˇzina Otevˇ ren´ a mnoˇ zina ˇ Rekneme, ˇze A ⊆ X je otevˇ ren´ a, jestliˇze pro ∀a ∈ A ∃ > 0 tak, ˇze: Ba, ⊆ A (tzn. ke kaˇzdému a m˚ uˇzeme sestrojit otevˇrenou kouli, která je celá v A) y

x

Obrázek 10: Otevˇrená mnoˇzina

SA1



44

Pˇ r. prázdná mnoˇzina, celá mnoˇzina (triviáln´ı pˇr´ıpady), otevˇ ren´ e intervaly

Obrázek 11: Otevˇrené mnoˇziny Uzavˇ ren´ a mnoˇ zina ˇ Rekneme, ˇze mnoˇzina A je uzavˇ ren´ a, jestliˇze jej´ı doplnˇek je mnoˇzina otevˇrená. Pˇ r. uzavˇren´ y interval, jedin´ y bod

Obrázek 12: Uzavˇrené mnoˇziny Vˇ eta Q nejsou uzavˇrená mnoˇzina ani otevˇrená mnoˇzina ∅ je zároveˇ n uzavˇrená i otevˇrená mnoˇzina R je zároveˇ n uzavˇrená i otevˇrená mnoˇzina

) clopen

Pˇ r. X = Q clopen mnoˇziny - ∅, R, A = {x ∈ Q, x · x < 2} ⇒ nedokonalost Q

SA1


13 Posloupnosti

13

45

Posloupnosti

a1 , a2 , a3 , . . . ; {an }∞ n=1 zobrazen´ı a : N → X a(1) = a1 a(2) = a2 vˇetˇsina posloupnost´ı bez pravidla, budeme brát X = R ⇒ reálné posloupnosti 2 zp˚ usoby zadán´ı posloupnosti: 1. explicitn´ı zad´ an´ı zadán´ı posloupnosti pomoc´ı obecného ˇclenu an Pˇ r. an =

n nn +n!

⇒ a1 = 21 , a2 = 31 , a3 =

1 , 11

a4 =

1 ,... 70

2. rekurentn´ı zad´ an´ı vyjádˇren´ı obecného ˇclenu an pomoc´ı ˇclen˚ u pˇredchoz´ıch Pˇ r. a1 = 0, a2 = 1, an = an−1 + an−2 , pro n ≥ 3 a3 = 1, a4 = 2, a5 = 3, a6 = 5 ⇒ Fibonacciho posloupnost tuto posloupnost lze vyjádˇrit také t´ımto explicitn´ım pˇredpisem √ √ (1 + 5)n − (1 − 5)n √ an = 2n 5 Pˇ r. Kobonovy troj´ uheln´ıky. Jednotlivé ˇcleny této posloupnosti z´ıskáváme jako maximáln´ı poˇcet troj´ uheln´ık˚ u, které vzniknou pˇri zkˇr´ıˇzen´ı n pˇr´ımek pro n ≥ 3. Nen´ı zat´ım znám explicitn´ı ani rekurentn´ı pˇredpis. Je známo pouze pár prvn´ıch ˇclen˚ u a to 1, 2, 5, 7, 11, . . .

(a) n = 3

(b) n = 4

(c) n = 5

Obrázek 13: Kobonovy troj´ uheln´ıky

SA1


13 Posloupnosti

46

ˇ Rekneme, ˇze posloupnost {an }∞ ze pro ∀ > 0 existuje N ∈ N n=1 konverguje k a ∈ X, jestliˇ takové, ˇze pro vˇsechna n ≥ N plat´ı, ˇze ρ(an , a) < . Pak p´ıˇseme lim an = a

(n→∞)

a

1

2

N

Obrázek 14: Konvergentn´ı posloupnost ˇ a, jestliˇze ∀ > 0 ∃ N ∈ N takové, ˇze pro Rekneme, ˇze posloupnost {a∞ n=1 } je cauchyovsk´ ∀m, n ≥ N plat´ı, ˇze ρ(am , an ) < . Plat´ı, ˇze jestliˇze je posloupnost konvergentn´ı, je také cauchyovsk´ a Definice Metrick´ y prostor nazveme u ´ pln´ y, jestliˇze v nˇem je kaˇzdá cauchyovská posloupnost konvergentn´ı. Vˇ eta Q nen´ı u ´pln´ y metrick´ y prostor. D˚ ukaz Vezmeme posloupnost an = (1 + Nyn´ı poˇc´ıtejme a2 − a1 =

9 4

1 n 9 64 625 ) = 2, , , ,... n 4 27 256

− 2 = 14 , a3 − a2 =

64 27

−

9 4

=

13 . 108

13 1 < 108 4 Evidentnˇe se rozd´ıly mezi ˇcleny zmenˇsuj´ı ⇒ je to cauchyovsk´ a posloupnost. Nen´ı to ale konvergentn´ı posloupnost v rámci Q. (lim an = e 6∈ Q) ⇒ lim an v Q neexistuje. alternativn´ı konstrukce R Z´ uplnˇen´ım metrického prostoru Q. Ke vˇsem cauchyovsk´ ym posloupnostem najdeme limity ⇒ tyto limity vytvoˇr´ı mnoˇzinu R (limity 6∈ Q, ale budou leˇzet v novˇe zavedené mnoˇzinˇe R).

SA1


14 Reálné posloupnosti - teorie

14

47

Re´ aln´ e posloupnosti - teorie

a:N→R okol´ı bodu x ∈ R bude libovoln´ y otevˇren´ y interval obsahuj´ıc´ı x, znaˇc´ıme O(x) x

Obrázek 15: Okol´ı bodu -okol´ı bodu x ∈ R je definováno jako interval (x − , x + ), znaˇc´ıme O (x) x

Obrázek 16: -okol´ı bodu ryz´ı okol´ı bodu x ∈ R definujeme O(x) = O(x) − {x} x

Obrázek 17: Ryz´ı okol´ı bodu ryz´ı -okol´ı bodu x ∈ R definujeme O (x) = O (x) − {x} x

Obrázek 18: Ryz´ı -okol´ı bodu ˇ ze ∀O(a) ∃ N ∈ N tak, ˇze ∀n ≥ N Rekneme, ˇze posloupnost {an }∞ n=1 konverguje k a ∈ R, jestliˇ plat´ı, ˇze an ∈ O(a). nyn´ı to nemus´ı b´ yt -okol´ı ⇒ m˚ uˇzeme vz´ıt asymetrické okol´ı bodu x ˇ Rekneme, ˇze posloupnost {an }∞ ze pro ∀K ∈ R ∃N ∈ N tak, ˇze pro n=1 diverguje k ∞, jestliˇ ∀n ≥ N plat´ı, ˇze an > K a p´ıˇseme lim an = ∞ Posloupnost {an }∞ ze pro ∀K ∈ R ∃ N ∈ N tak, ˇze pro ∀n ≥ N n=1 diverguje k −∞, jestliˇ plat´ı, ˇze an < K a p´ıˇseme lim an = −∞ ⇓ divergentn´ı posloupnost Posloupnost, která nediverguje ani nekonverguje, se naz´ yvá osciluj´ıc´ı.

SA1



48

Omezenost posloupnosti 1. shora omezen´ a - ∃ K ∈ R, an < K 2. zdola omezen´ a - ∃ K ∈ R, an > K 3. omezen´ a (ohraniˇ cen´ a) - omezená zdola i shora Monotonnost posloupnosti 1. rostouc´ı - ∀n ∈ N plat´ı an+1 > an 2. klesaj´ıc´ı - ∀n ∈ N plat´ı an+1 < an 3. nerostouc´ı - ∀n ∈ N plat´ı an+1 ≤ an 4. neklesaj´ıc´ı - ∀n ∈ N plat´ı an+1 ≥ an 5. konstantn´ı - ∀n ∈ N plat´ı an+1 = an monot´ onn´ı - 1) aˇz 4) ryze monot´ onn´ı - 1) a 2) ˇ a hromadn´ y bod a ∈ R, jestliˇze pro ∀O(a) plat´ı, ˇze Rekneme, ˇze posloupnost {an }∞ n=1 m´ nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ u této posloupnosti leˇz´ı v O(a). Pˇ r. Posloupnost 1, 0, 1, 0, . . . ⇒ 2 hromadné body Pˇ r.

1 3 5 1 5 9 1 9 17 , , , , , , , , ,... 2 2 2 4 4 4 8 8 8 tato posloupnost má hromadné body 0, 1 a 2

ˇ Rekneme, ˇze posloupnost {an }∞ a hromadn´ y bod ∞, jestliˇze pro ∀K ∈ R plat´ı, ˇze n=1 m´ nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ u splˇ nuje, ˇze an > K. Napˇr.: 1, 2, 3, 4, . . . ˇ Rekneme, ˇze posloupnost {an }∞ a hromadn´ y bod −∞, jestliˇze pro ∀K ∈ R plat´ı, ˇze n=1 m´ nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ u splˇ nuje, ˇze an < K.

SA1



49

Vˇ eta Kaˇzdá posloupnost má alespoˇ n 1 hromadn´ y bod. D˚ ukaz Nen´ı-li shora omezená, je hromadn´ ym bodem ∞. Nen´ı-li zdola omezená, je hromadn´ ym bodem −∞. Pˇredpokládejme dále, ˇze posloupnost je omezená ⇒ an ∈ hK, Li. Pak alespoˇ n v jednom K+L K+L u posloupnosti. Takto budeme z interval˚ u hK, 2 i, ( 2 , Li leˇz´ı nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ pokraˇcovat aˇz dostaneme v limitn´ım pˇr´ıpadˇe bod ⇒ hromadn´ y bod. supr´ emum ze vˇsech hromadn´ ych bod˚ u posloupnosti se naz´ yvá limes superior a oznaˇcuje lim sup an infimum ze vˇsech hromadn´ ych bod˚ u posloupnosti se naz´ yvá limes inferior a oznaˇcuje lim inf an Pˇ r.

1 5 9 1 9 17 1 3 5 0, , , , 1, , , , 2, , , , 3, . . . 2 2 2 4 4 4 8 8 8 lim sup an = ∞, lim inf an = 0 posloupnost s nekoneˇcnˇe vysok´ ym poˇctem hromadn´ ych bod˚ u 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1 , , , , , , , , , , , , , , , ,... 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 16 16 16 16 32 lim sup an = 1, lim inf an = 0 Restrikc´ı (z´ uˇzen´ım) zobrazen´ı a : N → R na nekoneˇcnou mnoˇzinu J ⊆ N dostáváme vybranou podposloupnost. Vˇ eta Má-li posloupnost {an }∞ y bod a, pak existuje jej´ı vybraná podposloupnost, která n=1 hromadn´ konverguje k a. Vˇ eta (Bolzano, Weierstrass) Pro kaˇzdou omezenou posloupnost {an }∞ ı vybraná podposloupnost, která je n=1 existuje jej´ konvergentn´ı.

SA1



50

V´ ypoˇ cty limit ∞ {an }∞ ımi limitami. Pak plat´ı následuj´ıc´ı vztahy: n=1 , {bn }n=1 posloupnosti s vlastn´ 1. lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn 2. lim(an · bn ) = lim an · lim bn 3. lim Pˇ r. lim

an bn

=

lim an lim bn

n3 ( n1 + n12 + n23 ) n2 + n + 2 =0 = lim n3 − 1 n3 (1 − n13 )

Poˇc´ıtáme-li limitu v´ yráz˚ u typu

P , Q

plat´ı:

P 1. lim Q = ±∞, pro degP > degQ P = 0, pro degP < degQ 2. lim Q P 3. lim Q = pod´ıl lc, pro degP = degQ

Vˇ eta V R plat´ı, ˇze posloupnost je konvergentn´ı ⇐⇒ cauchyovská. D˚ ukaz ı, tj. konverguje k a ∈ R, 1) ⇒: Pˇredpokládejme, ˇze posloupnost {an }∞ n=1 je konvergentn´ tzn. pro ∀ > 0, tedy i pro 2 (> 0), existuje N ∈ N tak, ˇze |an − a| < 2 pro ∀n ≥ N a také |am − a| < 2 pro ∀m ≥ N . Pak pro m, n ≥ N je |am − an | = |am − a + a − an | ≤ |am − a| + |an − a| < . Posloupnost je tedy také cauchovská. 2) ⇐: Pˇredpokládejme, ˇze posloupnost {an }∞ a. Pˇredpokládejme dále, ˇze n=1 je cauchyovsk´ 0 00 posloupnostt má 2 hromadné body a , a ∈ R. Tzn. existuje vybraná podposloupnost {aki }∞ i=1 , která konverguje k bodu a0 , tzn. pro ∀ > 0, tedy i pro 3 , ∃ N1 ∈ N tak, ˇze |aki − a0 | < 3 pro ∀ki ≥ N1 a existuje vybraná podposloupnost {ali }∞ a konverguje k bodu a00 , tzn. i=1 , kter´ ∀ > 0, tedy i pro 3 , ∃ N2 ∈ N tak, ˇze |ali − a00 | < 3 pro ∀li ≥ N2 . Protoˇze je posloupnost cauchyovská, existuje také N ∈ N tak, ˇze |aki − ali | < 3 ∀ki , li ≥ N . Nyn´ı vezmeme N0 = max{N1 , N2 , N } Pak pro ki , li ≥ N0 je |a0 −a00 | = |a0 −aki +aki −ali +ali −a00 | = |a0 −aki |+|aki −ali |+—a00 −ali | < . Ukázali jsme, ˇze pro kaˇzdé > 0 splˇ nuj´ı hromadné body a0 , a00 podm´ınku |a0 − a00 | < . Tzn. 0 00 a = a , tedy posloupnost má jedin´ y hromadn´ y bod ⇒ t´ım pádem je konvergentn´ı. D˚ usledek R je u ´pln´ y metrick´ y prostor, tzn. kaˇzdá cauchyovská posloupnost je zde konvergentn´ı.

SA1



51

Stolzova vˇ eta {bn }∞ je (alespoˇ n od nˇejakého indexu) rostouc´ı posloupnost, tj lim bn = ∞. n=1 s´ı posloupnost. {an }∞ n=1 dalˇ Pak plat´ı: lim

an an − an−1 = lim bn bn − bn−1

D˚ ukaz Pˇredpokládáme, ˇze lim

an − an−1 =l bn − bn−1

tzn. pro ∀ > 0, tedy i pro 2 , ∃ N ∈ N tak, ˇze pro ∀n ≥ N je l−

an − an−1 <
Vezmeme-li tedy jakékoliv n > N (pevnˇe vybrané n), tak potom vˇsechny zlomky an−1 − an−2 an − an−1 aN +1 − aN aN +2 − aN +1 aN +3 − aN +2 , , , ... , , bN +1 − aN bN +2 − aN +1 bN +3 − aN +2 bn−1 − an−2 bn − an−1 leˇz´ı mezi l −

2

a l + 2 . Mezi l −

2

a l+

2

leˇz´ı potom i zlomek an − aN bn − bN

({bn } rostouc´ ı ⇒ jmenovatelé zlomk˚ u jsou kladné ⇒ m˚ uˇzeme vz´ıt pr˚ umˇer ˇcitatel˚ u i jmeno pr˚ umˇer ˇcitatel˚ u vatel˚ u ⇒ dostáváme tak náˇs zlomek). pr˚ umˇer jmenovatel˚ u Pak plat´ı: an − aN bn − bN − l < 2 Poˇc´ıtáme: 1) an aN − lbN bN an − aN −l = + 1− −l bn bn bn bn − bN V´ ypoˇcet aN − lbN bN an − aN aN − lbN bn − bN an − aN + 1− −l = + −l = bn bn bn − bN bn bn bn − bN aN − lbN bn − bN an − aN − lbn + lbN aN − lbN an − aN − lbn + lbN + = + = = bn bn bn − bN bn bn =

an − lbn an lbn an = − = −l bn bn bn bn

2) an − l ≤ aN − lbN + 1 − bN an − aN − l bn bn bn bn − bN SA1



52

V´ ypoˇcet - v´ıme, ˇze plat´ı an − aN aN − lbN b N < bn − bN − l < 2 , 1 − bn < 1 ⇒ staˇc´ı ukázat, ˇze 2 bn Pamatujeme, ˇze lim bn = ∞ ⇒ zlomek bude nab´ yvat nekoneˇcnˇe mal´ ych hodnot (< 2 ). ⇓ Po tˇechto v´ ypoˇctech nám vyjde an − l < , tzn. lim an = l. bn bn

Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze lim

an − an−1 =∞ bn − bn−1

Tzn., ˇze an −an−1 > bn −bn−1 (alespoˇ n od urˇcitého indexu). Jenˇze {bn } je rostouc´ı posloupnost ⇒ {an } také rostouc´ı posloupnost. lim bn = ∞ ⇒ lim an = ∞ Pak m˚ uˇzeme poˇc´ıtat lim

bn − bn−1 =0 an − an−1

Pro pˇr´ıpad vlastn´ıho ˇc´ısla (limity) je uˇz Stolzova vˇeta dokázána. {an } je nyn´ı váˇznˇe rostouc´ı, tzn. bn lim =0 an a odtud máme an lim =∞ bn (T´ım je Stolzova vˇeta dokázána pro vlastn´ı i nevlastn´ı limity.)

SA1



53

Pˇ r.

1K + 2K + 3K + . . . + nK nK+1 9 , c3 = 36 ... napˇr. pro K = 3 máme c1 = 1, c2 = 16 81 cn =

limcn =? 1K + 2K + 3K + . . . + nK 1K + 2K + . . . + nK − (1K + 2K + . . . + (n − 1)K ) lim = lim = nK+1 nK+1 − (n − 1)K+1 nK

= lim nK+1 − (n − 1)(nK −

= lim

K 1

! nK−1 +

K

! nK−2 −

2

K 3

=

! nK−3 + . . . + (−1)K

nK nK 1 = lim = K+1 K+1 K K K K n −n + kn + n + niˇzs´ı mocniny kn + n + niˇzs´ı mocniny K +1

⇒ pro K = 3 nám vyjde lim cn =

SA1

1 4


15 Reálné posloupnosti - cviˇcen´ı

15

54

Re´ aln´ e posloupnosti - cviˇ cen´ı

I. ˇ c´ ast 1. Zakreslete zobrazen´ı f : N → R dané pˇredpisem f (x) = 2 − x1 . Jde o reálnou posloupnost, kterou lze také zapsat jako {an } (nˇekdy se také p´ıˇse {an }∞ n=1 ), 1 kde an = 2 − n . 2. a) Definujte pojem vlastn´ı limita reálné posloupnosti {an }. b) Definujte pojem nevlastn´ı limita reálné posloupnosti {an }. n = 1. n→∞ n + 1 Nápovˇeda: ukaˇzte, ˇze ke kaˇzdému > 0 existuje N = N () takové, ˇze pro vˇsechna n > N plat´ı |an − 1| < .

3. a) Pomoc´ı definice limity posloupnosti dokaˇzte, ˇze lim

b) Doplˇ ntˇe tabulku:

0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001

Nmin (−1)n+1 = 0. n→∞ n

4. a) Pomoc´ı definice limity posloupnosti dokaˇzte, ˇze lim b) Doplˇ ntˇe tabulku:

0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001

Nmin 1 = 1. n→∞ n! Nápovˇeda: ukaˇzte, ˇze ke kaˇzdému > 0 existuje N = N () takové, ˇze pro vˇsechna n > N plat´ı |an − 1| < .

5. a) Pomoc´ı definice limity posloupnosti dokaˇzte, ˇze lim

b) Doplˇ ntˇe tabulku:

0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001

Nmin 6. a) Dokaˇzte, ˇze lim (−1)n n. = ∞, tj. ˇze daná posloupnost diverguje. n→∞

Nápovˇeda: ukaˇzte, ˇze ke kaˇzdému K > 0 existuje N = N (K) takové, ˇze pro vˇsechna n > N plat´ı |an | < K. b) Doplˇ ntˇe tabulku: K

10 100 1000 10000

Nmin 7. Rozhod’nˇete, zda je posloupnost {2, 1 12 , 1 14 , 1 18 , . . .} monotónn´ı a pokuste se odhadnout jej´ı limitu. [1] SA1



8. Odhadnˇete limn→∞

n . 2n

55

[0]

9. Spoˇctˇete následuj´ıc´ı limity: n−1 ; n→∞ n + 1 b) lim (−1)n 0, 999n ; a) lim

n→∞

2n + 1 ; n→∞ 2n 2n + 3 d) lim ; n→∞ 1 − 4 · 2n 5 e) lim 2 − ; n→∞ 2n √ n f) lim 3; c) lim

n→∞

n2 + 2 ; n→∞ 4n2 + 1 sin n ; lim n→∞ n 2n + sin n lim ; n→∞ 3n − 1 n2 ; lim n→∞ n − 1 n2 + 1 lim 3 ; n→∞ n + 5n − 7 1 + (−1)n ; lim n→∞ 2 (n + 2)! + (n + 1)! lim ; n→∞ (n + 2)! − (n + 1)!

[0] [1] [− 14 ] [2] [1]

g) lim

[ 41 ]

h)

[0]

i) j) k) l) m)

1 + (−1)n ; n→∞ 2 3n2 − 123n − 1000 ; lim n→∞ 2n2 + n −n2 lim ; n→∞ 1000n + 2 n3 + 12n2 + 12n + 12 ; lim n→∞ n4 − 1 n + (−1)n lim ; n→∞ n − (−1)n (n + 1)(n + 2)(n + 3) lim ; n→∞ n3 1 lim ; n→∞ (1 − n)2

n) lim o) p) q) r) s) t)

SA1

[1]

[ 32 ] [∞] [0] [neexistuje] [1] [neexistuje] [ 23 ] [−∞] [0] [1] [1] [0]


15 Reálné posloupnosti - cviˇcen´ı (−1)n ; n→∞ n nn ; v) lim n→∞ n! 2n w) lim ; n→∞ n! u) lim

SA1

56

[0] [∞] [0]



57

II. ˇ c´ ast 1. Urˇcete hodnotu následuj´ıc´ıch v´ yráz˚ u: 1 2 n−1 a) lim ; + + ... + n→∞ n2 n2 n2 Nápovˇeda: Je tˇreba vyuˇz´ıt vztahu 1 + 2 + . . . + k = . . . 2 1 22 (n − 1)2 b) lim ; + + ... + n→∞ n2 n2 n2 Nápovˇeda: Je tˇreba vyuˇz´ıt vztahu 12 + 22 + . . . + k 2 = dokaˇzte matematickou indukc´ı. 2 1 32 (2n − 1)2 c) lim ; + + ... + n→∞ n3 n3 n3

k(k+1)(2k+1) , 6

[ 21 ]

[ 31 ] kter´ y si nejprve

Nápovˇeda: Zkuste si nejprve odvodit vztah pro 12 + 32 + . . . + (2k − 1)2 = 1)2 = . . . = k(2k−1)(2k+1) 3 1 1 1 d) lim + + ... + ; n→∞ 1·2 2·3 n(n + 1) n X k 3 + 6k 2 + 11k + 5 e) lim ; n→∞ (k + 3)! k=1

[ 34 ] Pk

i=1 (2i −

[1] [ 53 ]

Nápovˇeda: Snahou je, naj´ıt v polynomu k 3 + 6k 2 + 11k + 5 ˇcinitel (k + 1)!, kter´ y by se zkrátil. To se bohuˇzel nepovede, ale zkuste rozloˇzit na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u polynom k 3 + 6k 2 + 11k + 5 + 1. 2. Definujte pojem hromadn´ y bod posloupnosti. 3. Urˇcete hromadné bofy posloupnosti: a) b)

1 ; 2 1 ; 2

1 ; 2 1 ; 3

1 ; 4 2 ; 3

3 ; 4 1 ; 4

c) an = 3 1

n 7 ; . . . ; 21n ; 2 2−1 n ;... 8 3 1 2 3 4 ; ; ; ; ;... 4 5 5 5 5 − n1 + 2(−1)n

1 ; 8 2 ; 4

[0, 1] [vˇsechna reálná ˇc´ısla v intervalu h0, 1i] [1, 5]

4. Definujte pojem limes superior a limes inferior posloupnosti {an }. 5. Odhadnˇete lim inf an a lim sup an : n→∞

n→∞

a) an = (−1)n−1 2 + b) an =

(−1)n n

+

c) an = (−1)n n d) an = n

SA1

(−1)n

3 n

1+(−1)n 2

[−2, 2] [0, 1] [−∞, ∞] [0, ∞]


16 Funkce reálné promˇenné - teorie

16 16.1

58

Funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e - teorie ´ Uvod

f : R → R - reálná funkce reálné promˇenné (f : N → R = posloupnosti) Domf = definiˇcn´ı obor Imf = obor hodnot pˇr´ıklady netradiˇcn´ıch“ funkc´ı: ” 1. Dirichletova funkce

( χ(x) =

1

pro x ∈ Q

0

pro x 6∈ Q

2. Riemannova funkce ( ρ(x) =

1 q

pro x ∈ Q (x = pq )

0

pro x 6∈ Q

3. ( λ(x) =

k pokud je v desetinném rozvoji ˇc´ısla x ˇc´ıslice 7 zastoupena k-krát −1 pokud je v desetinném rozvoji ˇc´ısla x ˇc´ıslice 7 zastoupena nekoneˇcnˇe mnohokrát

λ(3, 7) = 1 λ(3) = 0 λ( 71 ) = −1 ⇒ na ˇza´dn´ım intervalu tato funkce nen´ı shora omezená restrikce (= z´ uˇ zen´ı) - vybrán´ı podmnoˇziny Domf Pˇ r. f (x) = x2 , provedeme restrikci z Domf = R na Domf = h0, 1i

y

y

x

(a) Domf = R

1

x

(b) Domf = h0, 1i

Obrázek 19: Restrikce Domf

SA1



59

extenze (= rozˇ s´ıˇ ren´ı) - vezmeme nadmnoˇzinu Domf a dodefinujeme funkˇcn´ı hodnoty y

x

Obrázek 20: Extenze Domf

16.2

Vlastnosti funkce

1. Omezenost funkce: a) shora omezen´ a na mnoˇzinˇe M ∃ a ∈ R takové, ˇze pro ∀x ∈ M plat´ı, ˇze f (x) ≤ a b) zdola omezen´ a na mnoˇzinˇe M ∃ a ∈ R takové, ˇze pro ∀x ∈ M plat´ı, ˇze f (x) ≥ a c) omezen´ a (ohraniˇ cen´ a), je-li na mnoˇzinˇe M omezená shora i zdola 2. Monot´ onnost funkce: a) rostouc´ı x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf b) klesaj´ıc´ı x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf c) neklesaj´ıc´ı x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf d) nerostouc´ı x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf e) konstantn´ı x1 < x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf monotonnie - a), b), c) nebo d) ryz´ı monotonnie - a) nebo b) SA1



60

3. Sudost/lichost Pro sudou ˇci lichou funkci mus´ı platit, aby mˇela soumˇern´ y Domf podle 0, tzn. x ∈ Domf ⇐⇒ −x ∈ Domf .

a) sud´ a funkce - f (x) = f (−x) Pˇ r.: cos x, x2 , . . . b) lich´ a funkce - f (x) = −f (−x) Pˇ r.: sin x, x3 , . . .

y

y

x

x (a) Sud´ a funkce

(b) Lichá funkce

Obrázek 21: Sudost/lichost funkce

4. Periodicita 1) existuje p > 0 tak, ˇze ∀x ∈ Domf plat´ı, ˇze f (x) = f (x + p) 2) mezi takov´ ymi p lze vybrat nejmenˇs´ı ⇒ perioda Pˇ r. f (x) = sin x ⇒ p = 2π Dirichtelova funkce periodická nen´ı, protoˇze nelze vybrat nejmenˇs´ı p.

SA1


17 Funkce reálné promˇenné - cviˇcen´ı

17

61

Funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e - cviˇ cen´ı

Grafy funkc´ı - naˇcrtnˇete grafy funkc´ı: x

−x

2

3

−1

1 2

x ; 2

1. e ; e ; log0,2 x; ln x; x ; x ; x ; x ; sin x; sin 2x; sin tg x; sinh x = ... −x−5 2. f1 (x) = 2 − 3−(x−1) ; f2 (x) = 1e ; f( x) = |31−x − 1|. 3. g1 (x) = log 1 (5 − x) − 4 + 2; g2 (x) = ln(x + 2).

ex −e−x 2

; cosh x;

e

4. h1 (x) = arcsin x; h2 (x) = arccos x; h3 (x) = arctg x; h4 (x) = arccotg x 5. f1 (x) = (x − 1)(x + 2); f2 (x) = (x + 1)(x − 2)(x + 3); f3 (x) = (1 − x2 )(2 + x); f4 (x) = x2 − x4 . Definiˇ cn´ı obor funkce q ; 6. f (x) = (x − 2) 1+x 1−x 7. f (x) =

√

[h−1, 1i]

−x2 + 8x − 12;

[h2, 6i]

√

2 + x − x2 ; √ √ 9. f (x) = log −x2 + 8x − 12 − 3 ; 2x 10. f (x) = arcsin x+1 ; 8. f (x) =

11. f (x) =

[h−1, 2i] [h3, 5i] [h− 31 , 1i]

x2 . x+1

[x 6= −1]

Monotonnost - Dokaˇzte, ˇze dané funkce jsou na daném intervalu ostˇre rostouc´ı, resp. ostˇre klesaj´ıc´ı: 12. f (x) = x2 pro x ∈ (0, ∞); 13. f (x) = tg x pro x ∈ − π2 , π2 ; 14. f (x) = cos x pro x ∈ (0, π). Inverzn´ı funkce - Najdˇete inverzn´ı funkci a urˇcete jej´ı definiˇcn´ı obor: 15. f (x) = x2 pro x ∈ (−∞, 0); √ 16. f (x) = 1 − x2 pro x ∈ h−1, 0i; 17. f (x) =

SA1

1−x 1+x

pro x 6= −1.


17 Funkce reálné promˇenné - cviˇcen´ı

62

Sudost, lichost - Rozhodnˇete u dan´ ych funkc´ı: 1−x 18. f (x) = ln 1+x ; √ 19. f (x) = ln x + 1 + x2 ;

[lich´ a] [lich´ a]

20. f (x) = ax + a−x pro a > 0.

[sud´ a]

Infimum a supr´ emum - Urˇcete u následuj´ıc´ıch funkc´ı: 21. f (x) = x2 pro x ∈ (−2, 5); 22. f (x) = x +

1 x

pro x ∈ (0, ∞);

23. Dokaˇzte, ˇze funkce f (x) =

SA1

x 1+x

pro x ∈ h0, ∞) má infimum m = 0 a suprémum M = 1.


18 Limita funkce - teorie

18 18.1

63

Limita funkce - teorie Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇ e

ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) má v bodˇe x0 limitu a a p´ıˇseme lim f (x) = a

x→x0

jestliˇze pro ∀O(a) bodu a ∃ ryz´ı okol´ı O(x0 ) bodu x0 tak, ˇze ∀x ∈ O(x0 ) plat´ı, ˇze f (x) ∈ O(a). y b a

x0

x

Obrázek 22: Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe

18.2

Limita zprava

O+ (x0 ) = (x0 , x0 + ) - ryz´ı okol´ı zprava x0

Obrázek 23: Ryz´ı okol´ı zprava O− (x0 ) = (x0 − , x0 ) - ryz´ı okol´ı zleva x0

Obrázek 24: Ryz´ı okol´ı zleva ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) má v bodˇe x0 limitu zprava a a p´ıˇseme lim f (x) = a

x→x+ 0

jestliˇze pro kaˇzdé O(a) bodu a ∃ O(x0 ) bodu x0 tak, ˇze ∀x ∈ O+ (x0 ) plat´ı, ˇze f (x) ∈ O(a).

SA1



18.3

64

Nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇ e

ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) má v bodˇe x0 limitu rovnu ∞ a p´ıˇseme lim f (x) = ∞

x→x0

jestliˇze pro ∀K ∈ R ∃ ryz´ı okol´ı O(x0 ) bodu x0 tak, ˇze pro ∀x ∈ O(x0 ) plat´ı, ˇze f (x) > K. y

x

Obrázek 25: Nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe Obdobnˇe pro nevlastn´ı limitu rovnu −∞ lim f (x) = −∞

x→x0

jestliˇze pro ∀K ∈ R ∃ ryz´ı okol´ı O(x0 ) bodu x0 tak, ˇze pro ∀x ∈ O(x0 ) plat´ı, ˇze f (x) < K.

18.4

Vlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇ e

ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) má v ∞ limitu rovnu a a p´ıˇseme lim f (x) = a

x→∞

jestliˇze pro kaˇzdé O(a) bodu a ∃ L ∈ R takové, ˇze pro ∀x > L plat´ı, ˇze f (x) ∈ O(a). y a

x

Obrázek 26: Vlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇe

SA1



18.5

65

Nevlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇ e

ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) má v ∞ limitu rovnu ∞ a p´ıˇseme lim f (x) = ∞

x→∞

jestliˇze pro ∀K ∈ R ∃ L ∈ R tak, ˇze pro ∀x > L plat´ı, ˇze f (x) > K. y K

L

x

Obrázek 27: Nevlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇe Vˇ eta Funkce má v bodˇe (vlastn´ım nebo nevlastn´ım) nejv´ yˇse jednu limitu. Vˇ eta lim f (x) existuje ⇐⇒ existuje

x→x0

lim f (x) ∧ existuje lim+ f (x) a

x→x0 −

x→x0

a

lim f (x) = lim+ f (x)

x→x0 −

x→x0

a

x0

x0

a

x0

Obrázek 28: Existence limity

SA1


19 Limita funkce - cviˇcen´ı

19

66

Limita funkce - cviˇ cen´ı

1. Definujte (pomoc´ı a δ) vlastn´ı limitu funkce f : R → R ve vlastn´ım bodˇe. 2. Definujte vlastn´ı limitu funkce f : R → R v nevlastn´ım bodˇe. 3. Definujte nevlastn´ı limitu funkce f : R → R ve vlastn´ım bodˇe. 4. Urˇcete limitu funkc´ı pro x → 0: a) f (x) = x2 + 1 ( x2 + 1 pro x 6= 0 b) g(x) = −1 pro x = 0 5. Odhadnˇete limitu funkc´ı pro x → 0: a) f (x) = x3 − 2 ( x3 − 2 pro x 6= 0 b) g(x) = 1 pro x = 0 6. Spoˇctˇete limity: x2 − 4 x→2 x − 2 1 b) lim 1 x→∞ 1 + e x cos x − sin x c) limπ x→ 4 cos 2x

[4]

a) lim

cos2 x x→∞ x 1 lim+ arctg x→0 x 3 sin x lim+ − 1 x→0 e x x − sin x lim x→∞ x + cos x √ x2 − x lim √ x→1 x−1

√

[

2 ] 2

d) lim

[0]

e)

[ π2 ]

f) g) h)

x3 − 2x − 1 x→−1 x5 − 2x − 1

i) lim

SA1

[ 21 ]

[∞] [1] [3] [ 31 ]



20

67

Spojitost funkce - teorie

Spojitost v bodˇ e Funkce f (x) je spojitá v bodˇe x0 , jestliˇze lim f (x) = f (x0 )

x→x0

Spojitost na mnoˇ zinˇ e ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je spojitá na mnoˇzinˇe M , jestliˇze je spojitá v kaˇzdém bodˇe x ∈ M . Dirichletova funkce - nen´ı spojitá v ˇza´dném bodˇe (protoˇze v ˇza´dném bodˇe neexistuje limita) Riemannova funkce - v x0 = 0 spojitá nen´ı, protoˇze ρ(0) = 1 6= 0 = lim ρ(x) x→0

Je spojitá v irracionáln´ıch ˇc´ıslech, tj. skoro vˇsude“. ” 1. vˇ eta Weierstrassova Funkce spojitá na uzavˇreném intervalu je na tomto intervalu ohraniˇcená. 2. vˇ eta Weierstrassova Funkce spojitá na uzavˇreném intervalu nab´ yvá na tomto intervalu svého maxima i minima. 1. vˇ eta Bolzanova Uvaˇzujme funkci f (x) pojitou na uzavˇreném intervalu ha, bi takovou, ˇze f (a) · f (b) < 0. Pak existuje c ∈ ha, bi tak, ˇze f (c) = 0. y

a

c

b

x

Obrázek 29: 1. Bolzanova vˇeta 2. vˇ eta Bolzanova Opˇet mˇejme funkce f (x) spojitou na uzavˇreném intervalu. Zde nab´ yvá vˇsech hodnot mezi sv´ ym maximem a minimem na tomto intervalu.

SA1



68

Browerova vˇ eta (O pevném bodˇe) Uvaˇzujme funkce f (x) spojitou na intervalu ha, bi, f (ha, bi) = ha, bi . . . spojité zobrazen´ı ha, bi do sebe. Pak existuje c ∈ ha, bi tak, ˇze f (c) = c. y b

a

a c1

c2 b

x

Obrázek 30: Browerova vˇeta D˚ ukaz Je-li f (a) = a, pak vezmeme c = a. Je-li f (b) = b, pak vezmeme c = b. Pˇredpokládejme, ˇze f (a) 6= a a f (b) 6= b. Vezmˇeme funkci g(x) = x − f (x). ⇒ g(a) > 0, g(b) < 0 ⇒ g(a) · g(b) < 0. Funkce g(x) tak splˇ nuje pˇredpoklady 1. Bolzanovy vˇ ety ⇒ existuje c takové, ˇze g(c) = 0. 0 = g(c) = c − f (c) pak c = f (c) Znovu definice spojitosti funkce f v bodˇ e x0 ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je spojitá v bodˇe x0 , jestliˇze pro ∀ okol´ı bodu f (x0 ) O(f (x0 )) existuje okol´ı bodu x0 O(x0 ) tak, ˇze pro ∀x ∈ O(x0 ) plat´ı, ˇze f (x) ∈ O(f (x0 )). Nyn´ı nahrad´ıme O(f (x0 )) v´ yrazem (f (x0 ) − , f (x0 ) + ) a O(f (x0 )) v´ yrazem (f (x0 ) − δ, f (x0 ) + δ). Spojitost na mnoˇ zinˇ e M (bodovˇe) ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je bodovˇe spojitá na mnoˇzinˇe M , jestliˇze pro ∀x0 ∈ M a pro ∀O(f (x0 )) bodu f (x0 ) existuje Oδ (x0 ) (δ-okol´ı, tj. (x0 − δ, x0 + δ)) tak, ˇze pro ∀x ∈ Oδ (x0 ) plat´ı, ˇze f (x0 ) ∈ O(f (x0 )). ⇒ δ je závislé na v´ ybˇeru x0 , tj. nen´ı univerzáln´ı pro mnoˇzinu M

SA1



69

Stejnomˇ ern´ a spojitost Funkce f je stejnomˇernˇe spojitá na mnoˇzinˇe M , jestliˇze pro ∀x0 ∈ M a pro ∀O(f (x0 )) (s pevn´ ym ) bodu f (x0 ) existuje Oδ (x0 ) bodu x0 tak, ˇze pro ∀x ∈ Oδ (x0 ) (tj. (x0 −δ, x0 +δ)) plat´ı, ˇze f (x0 ) ∈ O(f (x0 )). Nyn´ı chmeme δ univerzáln´ı. stejnomˇ ernˇ e spojit´ a ⇒ bodovˇ e spojit´ a Vˇ eta Heineho Funkce spojitá na uzavˇreném intervalu je zde stejnomˇernˇe spojitá.

SA1


21 Spojitost funkce - cviˇcen´ı

21

70

Spojitost funkce - cviˇ cen´ı

1. Rozhodnˇete, zda je funkce v bodˇe x0 = 0 spojitá: ( sin x pro x 6= 0 |x| a) f (x) = 1 pro x = 0 ( sin x pro x 6= 0 x b) f (x) = 1 pro x = 0 ( sin x1 pro x 6= 0 c) f (x) = 1 pro x = 0

[ne]

[ano]

[ne]

2. Metodou p˚ ulen´ı intervalu najdˇete pˇribliˇzné ˇreˇsen´ı rovnice ex +x = 0 v intervalu h−1, 0i s pˇresnost´ı 0, 2, v´ıte-li, ˇze ˇreˇsen´ı je na tomto intervalu právˇe jedno. Nápovˇeda: Vyuˇzijte Bolzanovu vˇetu, která ˇr´ıká: Necht’ f (x) je spojitá na ha, bi a f (a) · f (b) < 0 ⇒ . . .

SA1


22 Elementárn´ı funkce - teorie

22

71

Element´ arn´ı funkce - teorie

tj. takové, které lze bez problém˚ u zderivovat (zintegrovat uˇz obt´ıˇznˇe) - mezi nejznámnˇejˇs´ı −x2 neelement´ arn´ı funkce patˇr´ı e , erf(x), Γx Na mnoˇzinˇe elementárn´ıch funkc´ı zavedeme operace: 1. sˇ c´ıt´ an´ı f + g = h zavedeme takto h(x) = f (x) + g(x)

y

y

y

=

+

1 x

1 x

x

Obrázek 31: Sˇc´ıtán´ı funkc´ı sˇc´ıtáme po bodech (point-wise) 2. odeˇ c´ıt´ an´ı f − g = h 3. n´ asoben´ı f · g = h 4. dˇ elen´ı

f g

=h 2

5. umocnˇ en´ı - napˇr. (sin x)x , zavedeme také po bodech

SA1



72

6. kompozice(skl´ ad´ an´ı) f ◦ g = f (g) . . . napˇred g a potom f (ˇcteme f po g)

g

Img

Domg f Imf Domf

Obrázek 32: Kompozice funkc´ı m˚ uˇze se stát, ˇze nám vznikne prázdná funkce (tj. Img a Domf by byly disjunktivn´ı) ⇒ mnoˇziny mus´ı m´ıt nˇejak´ y pr˚ unik

SA1



22.1

73

Polynomy f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 x0

an 6= 0

an 6= 0 ⇒ polynom stupnˇe n promˇenné x a . . . koeficienty an xn . . . vedouc´ı ˇclen lt an . . . vedouc´ı koecifient lc 4x3 . . . monom (tj. pouze 1 nenulov´ y ˇclen) 11 . . . polynom stupnˇe 0 0 je polynom, ale nedefinovaného stupnˇe koˇ reny - taková r ∈ R, ˇze f (r) = 0 1. nulov´ y polynom f (x) = 0 vˇsechno je koˇrenem, tj ∀x ∈ R, sudá i lichá funkce zároveˇ n y

x

Obrázek 33: Nulov´ y polynom

2. konstantn´ı f (x) = a, a 6= 0 sudá funkce, nemá ˇza´dn´ y koˇren y

x

Obrázek 34: Konstatn´ı polynom

SA1



74

3. line´ arn´ı f (x) = ax + b, a 6= 0 1 koˇren: x1 = −

b a

y

x1

x

Obrázek 35: Lineárn´ı polynom

SA1



75

4. kvadratick´ e f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0 0, 1 nebo 2 koˇreny: x1,2 =

−b ±

√ b2 − 4ac 2a

y y

x1

x2

x x1

(a) 2 re´ alné koˇreny

x

(b) Dvojnásobn´ y koˇren y

x (c) 2 komplexn´ı koˇreny

Obrázek 36: Kvadratické polynomy

SA1



76

5. kubick´ e f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0 1, 2 nebo 3 koˇreny (tj. alespoˇ n 1) - pro v´ ypoˇcet koˇren˚ u existuj´ı Cardanovy vzorce

y

y

x1

x2

x3

x

x1

(a) 3 re´ alné koˇreny

x2

x

(b) 3 reálné koˇreny

y

x1

x

(c) 1 re´ aln´ y a 2 komplexnˇe sdruˇzené koˇreny

Obrázek 37: Kubické polynomy

SA1



77

6. kvartick´ e f (x) = ax4 + bx3 + c2 x + dx + e, a 6= 0 0-4 koˇreny 7. 5. stupnˇ e 1-5 koˇren˚ u ⇒ alespoˇ n1 polynomy od 5. stupnˇe v´ yˇs - pro v´ ypoˇcet koˇren˚ u nejsou obecn´ e vzorce a nikdy nebudou (Abel) → koˇreny lze pˇribliˇznˇe zjistit tipovac´ı“ metodou = p˚ ulen´ım interval˚ u ” Z´ akladn´ı vˇ ety algebry Polynom stupnˇe n má n koˇren˚ u ∈ C, pokud poˇc´ıtáme jejich násobnost x2 + 2x + 1 = 0 ⇒ x1,2 = −1 Pn = (x − r1 )(x − r2 ) . . . (x − rn ) rozklad na reálné souˇcinitele → line´ arn´ı a kvardatick´ e (na tzv. nerozloˇzitelné) kaˇzd´ y koˇren ∈ C má v rozkladu i sv˚ uj komplexnˇe sdruˇzen´ y koˇren → vynásoben´ım z´ıskáme koˇren ∈ R Pˇ r. f (x) = x6 − x5 + 4x4 − 4x3 + 4x2 − 4x f (x) = x2 (x4 + 4x2 + 4) − x(x4 + 4x2 + 4) = (x2 − x)(x2 + 2)2 = x(x − 1)(x2 + 2)2 Pˇ r. f (x) = x4 + 1 √ √ f (x) = x4 + 2x2 + 1 − 2x2 = (x2 + 1)2 − 2x2 = (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1)

SA1



22.2

78

Racion´ aln´ı funkce f (x) =

P (x) Q(x)

P (x), Q(x) - polynomy; pokud Q(x) = 1 ⇒ racion´ aln´ı funkce celistv´ a (= polynom) jmenovatel nesm´ı b´ yt nulov´ y ⇒ omezen´ı Domf a) ryz´ı racionáln´ı funkce - degP < degQ b) neryz´ı racionáln´ı funkce - degP ≥ degQ ⇒ pˇrevod na souˇcet polynomu a ryz´ı racionáln´ı funkce

kaˇzdou racionáln´ı funkce pˇrevedeme na souˇcet parci´ aln´ıch zlomk˚ u (pozdˇeji d˚ uleˇzité pˇri integraci) typu: 1.

A , x−r

2.

A , (x−r)k

3.

Ax+B , x2 +px+q

4.

Ax+B (x2 +px+q)k

r . . . koˇren Q(x) k≥2 x2 + px + q . . . nerozloˇziteln´ y souˇcinitel Q(x)

Postup pro urˇ cen´ı parci´ aln´ıch zlomk˚ u

1. pˇrevod neryz´ı racionáln´ı funkce a souˇcet polynomu a ryz´ı racionáln´ı funkce 2. rozklad Q(x) je-li nˇejak´ y souˇcinitel v mocninˇe k, tak budeme m´ıt zlomky s dan´ ym souˇcinitelem v mocninˇe 1 aˇz k Pˇ r. x5 (x − 1)2 ⇒ A B C D E F G + 2+ 3+ 4+ 5+ + x x x x x x − 1 (x − 1)k P (x) a Q(x) rovnici vynásob´ıme polynomem Q(x) ⇒ metoda neurˇ cit´ ych koeficient˚ u - porovnáváme koeficienty u jednotliv´ ych mocnin na obou stranách ⇒ soustava line´ arn´ıch rovnic

3. nyn´ı poloˇz´ıme námi nalezené zlomky rovny p˚ uvodn´ı racionáln´ı funkci ve tvaru

SA1



79

Pˇ r. f (x) =

2x6 + x3 + 5 x5 + 4x4 + 5x3

1. pˇrevedeme f (x) na racionáln´ı funkci ryz´ı - vydˇel´ıme 2x6 + x3 + 5 polynomem x5 + 4x4 + 5x3 ⇒ dostaneme f (x) = 2x − 8 +

22x4 + 41x3 + 5 x5 + 4x4 + 5x3

2. rozloˇz´ıme jmenovatele x5 + 4x4 + 5x3 = x3 (x2 + 4x + 5) 3. rozklad na parciáln´ı zlomky 22x4 + 41x3 + 5 A B C Dx + E = + 2+ 3+ 2 5 4 3 x + 4x + 5x x x x x + 4x + 5 4. vynásob´ıme jmenovatelem a dostaneme 22x4 +41x3 +5 = Ax4 +4Ax3 +5Ax2 +Bx3 +4Bx2 +5Bx+Cx2 +4Cx+5C +Dx4 +Ex3 x0 : 5 = 5C x1 : 0 = 5B + 4C x2 : 0 = 5A + 4B + C x3 : 41 = 4A + B + E x4 : 22 = A + D ˇreˇsen´ım této soustavy dostáváme A = dosazen´ı dostaneme

11 ,B 25

= − 45 , C = 1, D =

539 ,E 25

=

1001 25

a po

11 4 1 539x + 1001 2x6 + x3 + 5 = 2x − 8 + − 2+ 3+ 5 4 3 x + 4x + 5x 25x 5x x 25x2 + 4x + 5

SA1



22.3

80

Mocninn´ e funkce f (x) = xa

1. a ∈ N ⇒ polynom 2. a = 0 ⇒ konstantn´ı funkce y = 1 s Domf = R − {0} 3. a ∈ Z, a < 0 ⇒ xa =

1 x−a

⇒ racionáln´ı funkce

4. a ∈ Q a) a = n1 , n ∈ N

1

xa = x n =

√ n

x

√ n x pˇredstavuje ˇc´ıslo, pro nˇeˇz plat´ı: p · p · ... · p = x v pˇr´ıpadˇe, ˇze jsou tato ˇc´ısla 2, tak pouze to kladn´ e z nich Pˇ r.

√ 4

16 = 2

n sudé ⇒ Domf = h0, ∞) n liché ⇒ Domf = R y y

x x (a) y =

√

x

(b) y =

√

x

Obrázek 38: Domf mocninn´ ych funkc´ı

b) a =

p q

(základn´ı tvar ˇc´ısla pq , p ∈ Z, q ∈ N) p

xa = x q =

√ q

xp

3

Pˇ r. f (x) = x 7 ⇒ Domf = R − {0}

SA1



81

5. a ∈ R Vezmeme posloupnost {an }∞ ze lim an = a a an ∈ Q (racionáln´ı posloupn=1 takovou, ˇ nost). Pak xa = xlim an = lim xan a Domf = (0, ∞).

22.4

Exponenci´ aln´ı funkce f (x) = ax

a > 0, Domf = R

y

y

1

y

1 x

1 x

(a) 0 < a < 1

(b) a = 1

x (c) a > 1

Obrázek 39: Exponenciáln´ı funkce Pozn. ex . . . pˇrirozená exponenciáln´ı funkce

SA1



22.5

82

Logaritmick´ e funkce

inverzn´ı k funkc´ım exponenciáln´ım f (x) = loga x (ay = x) a > 0, a 6= 1, Domf = (0, ∞)

y

ax ax

1

y

loga x 1 x

1

1

x

loga x (a) a > 1

(b) 0 < a < 1

Obrázek 40: Logaritmické funkce obecn´ a pravidla pro logaritmy: log a · b = log a + log b log ab = log a − log b log ab = b · log a

SA1



22.6

83

Goniometrick´ e funkce

a) Zaveden´ı pomoc´ı jednotkové kruˇznice cotgx

tgx

sin x x cos x

Obrázek 41: Jednotková kruˇznice b) Zaveden´ı na troj´ uheln´ıku B

c

a

α C

b

A

Obrázek 42: Zaveden´ı na troj´ uheln´ıku a c b cos α = c a sin α tg α = = b cos α b cos α cotg α = = a sin α c 1 sec α = = b cos α c 1 cosec α = = a sin α

sin α =

sin - lich´ y, perioda = 2π cos - sud´ y, perioda = 2π tg , cotg - liché, perioda = π

SA1



sec =

84

1 cos x

Domf = R − {(2n + 1) π2 }, n ∈ Z Imf = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) y

1

π 2

π

3 2π

2π

x

−1

Obrázek 43: y = sec x cosec x =

1 sin x

Domf = R − {nπ}, n ∈ Z Imf = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) y

1

π 2

π

3 2π

2π

x

−1

Obrázek 44: y = cosec x

SA1



85

c) Zaveden´ı pomoc´ı nekoneˇcn´ ych ˇrad

1+

1 1 1 1 + + + ... = 2 4 8 1−

s1 = a1 = 12 s2 = a1 + a2 = 32 s3 = a1 + a2 + a3 = .. .

1 2

=2⇒

∞ X 1 je konvergentn´ı n−1 2 n=1

7 4

sk = a1 + . . . + ak . . . souˇcet koneˇcného poˇctu k ˇclen˚ u   konvergentn´ı (formáln´ı souˇcet   s lim sk

k→∞

∞(−∞) divergentn´ı    neexistuje osciluj´ıc´ı

nyn´ı ˇc´ısla nahrad´ıme funkcemi a) a1 + a2 + a3 + . . . =

∞ X

an

n=1

nekoneˇcná ˇc´ıselná ˇrada b) f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . =

∞ X

fn (x)

n=1

nekoneˇcná funkˇcn´ı ˇrada a) je speciáln´ım pˇr´ıpadem b)

SA1



86

Pˇ r.

∞ X

xn

n=1

f1 = x, f2 = x2 , f3 = x3 , . . .

y

y

y

x

x x (a) f1 = x

(b) f2 = x2

(c) f3 = x3

Obrázek 45: Nekoneˇcná funkˇcn´ı ˇrada

s(x) =

∞ X

fn (x)

n=1

pro x = 1 ⇒ 1 + 1 + 1 + 1 + . . . divergentn´ı ˇrada ale pro x =

1 2

1 1 1 1 + + + ... = 2 2 4 8 1−

1 2

=1

funkˇcn´ı ˇrada je konvergentn´ı v bodˇe x0 , jestliˇze tam konverguje jej´ı ˇc´ıselná ˇrada obor konvergence - mnoˇzina vˇsech takov´ ych x0 (oblast, kde je funkˇcn´ı ˇrada konvergentn´ı) u této ˇrady (−1, 1)

SA1



Nyn´ı vezmˇeme

∞ X xn n=0

n!

87

=1+x+

x 2 x3 x4 + + + . . . = ex 2 6 24

y y

x x (a) y = 1

(b) y = x

y y

x x (c) y =

x2 2

(d) y =

x3 6

Obrázek 46: Zaveden´ı ex ˇca´st 1

y

y y

x

x

x (a) s1

(b) s2

(c) s3

Obrázek 47: Zaveden´ı ex ˇca´st 2 obor konvergence = R pro x = 1 ⇒ e = e1 = 1 + 1 + 21 + 16 +

SA1

1 24

+ ...



88

Zavedeme-li nyn´ı nekoneˇcnou ˇradu ∞

x−

X x2n−1 x5 x3 + − ... = (−1)n−1 6 120 (2n − 1)! n=1

dostaneme nám známou funkci sin x

y y

x x

(a) s1

(b) s2

Obrázek 48: Zaveden´ı sin x atd. aˇz váˇznˇe dostaneme sin x obdobnˇe

∞

X x 2 x4 x6 x2n 1− + − + ... = (−1)n = cos x 2 24 720 (2n)! n=0 nyn´ı poˇc´ıtejme ix5 x2 ix3 x4 e = 1 + ix − − + + − . . . = cos x + i sin x 2 6 24 120 ix

tzv. eulerova identita, pro x = π ve tvaru eiπ + 1 = 0 ix5 x2 ix3 x4 + + − − . . . = cos x − i sin x 2 6 24 120 eix + e−ix ix −ix 2 cos x = e + e ⇒ cos x = 2 ix e − e−ix 2i sin x = eix − e−ix ⇒ sin x = 2i

e−ix = 1 − ix −

ex + e−x ex − e−x e = cosh x + sinh x ⇒ cosh x = , sinh x = 2 2 x

SA1



22.7

89

Cyklometrick´ e funkce

inverzn´ı k funkc´ım goniometrick´ ym, pˇredpona arc pro konstrukci mus´ıme vybrat prostou (injektivn´ı) ˇca´st 1. f (x) = arcsin x y = Sin x Domf = h− π2 , π2 i Imf = h−1, 1i

y

1

− π2

π 2

x

−1

Obrázek 49: y = Sin x y −1 = arcsin x Domf −1 = h−1, 1i Imf −1 = h− π2 , π2 i

y

π 2

−1

x

1

− π2

Obrázek 50: y = arcsin x

SA1



90

2. f (x) = arccos x y = Cos x Domf = h0, πi Imf = h−1, 1i

y 1

π 2

π

x

−1

Obrázek 51: y = Cos x y −1 = arccos x Domf −1 = h−1, 1i Imf −1 = h0, πi

y

π

π 2

−1

x

1

Obrázek 52: y = arccos x

SA1



91

3. f (x) = arctg x funkce lichá, prostá, pˇrevád´ı R2 na pˇr´ımku y = Tg x Domf = − π2 , π2

Imf = R y

− π2

π 2

x

Obrázek 53: y = Tg x y −1 = arctg x Domf −1 = R Imf −1 = − π2 , π2

y π 2

x − π2

Obrázek 54: y = arctg x

SA1



92

4. f (x) = arccotg x y = Cotg x Domf = (0, π) Imf = R y

π 2

π

x

Obrázek 55: y = Cotg x y −1 = arccotg x Domf −1 = R Imf −1 = (0, π)

y π

π 2

x

Obrázek 56: y = arccotg x

SA1



93

5. f (x) = arcsec x y = Sec x Domf = h0, πi −

π 2

Imf = R y

1

π 2

π

x

−1

Obrázek 57: y = Sec x y −1 = arcsec x Domf −1 = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) Imf −1 = h0, πi − { π2 }

y π

π 2

−1

x

1

Obrázek 58: y = arcsec x

SA1



94

6. f (x) = arccosec x y = Cosec x Domf = h− π2 , π2 i − {0} Imf = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) y

1

− π2

π 2

x

−1

Obrázek 59: y = Cosec x y −1 = arccosec x Domf −1 = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) Imf −1 = h− π2 , π2 i − {0}

y π 2

−1

x

1 − π2

Obrázek 60: y = arccosec x

SA1



22.8

95

Hyperbolick´ e funkce

ex − e−x 2 x e + e−x cosh x = 2 sinh x tgh x = cosh x cosh x 1 cotgh x = = sinh x tgh , x 1 sech x = cosh x 1 cosech x = sinh x

sinh x =

y y

x

1 x (a) sinh x

(b) cosh x

Obrázek 61: Hyperbolické funkce funkce rostou exponenci´ aln´ı rychlost´ı

22.9

Hyperbolometrick´ e funkce

inverzn´ı k hyperbolick´ ym (opˇet mus´ıme vyb´ırat jen urˇcité ˇca´sti) Pˇ r. f (x) = argsinh - argument hyperbolického sinu

SA1


23 Elementárn´ı funkce - cviˇcen´ı

23 23.1

96

Element´ arn´ı funkce - cviˇ cen´ı Rozklad na parci´ aln´ı zlomky

U ryze lomen´ ych funkc´ı proved’te rozklad na parciáln´ı zlomky. U neryze Lomen´ ych nejprve proved’te dˇelen´ı a teprve potom rozkláedejte. x4 + 3x2 + 4x + 5 1. x2 + 1 2.

x2 + 4x + 1 x−2

3.

x4 + 6x2 + x − 2 x4 − 2x3

4.

2x2 + 2x + 13 (x − 2)(x2 + 1)2

5.

4x + 3 x +2+ 2 x +1 13 x+6 x−2 2

1 (x +

1)(x2

+ x + 1)2

x4 − x3 + 3x2 − x + 1 6. x5 + 2x3 + x 7.

x3 − 4x2 + x − 2 x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1

8.

x2 − 2 x4 − 2x3 + 2x2

1 1 x − + (x2 + 1)2 x2 + 1 x x x − x2 + 1 (x − 1)2 1 x 1 − − 2+ 2 x x x − 2x + 2

Pro ukázku práce se softwarem Maple kliknˇete zde.

SA1


24 Derivace - teorie

24 24.1

97

Derivace - teorie ´ Uvod

- analogie se silniˇcn´ım radarem - mˇeˇr´ı naˇsi okamˇzitou rychlost, tj. snaˇz´ı se zmˇeˇrit o kolik jsme se posunuli za co nejmenˇs´ı ˇcasov´ y okamˇzik ⇒ ∆t → 0 s ∆s s0

t0 ∆t

t

Obrázek 62: Silniˇcn´ı radar Pak

∆s = s0 (t0 ) ∆t→0 ∆t

v(t0 ) = lim Definice derivace y

t f (x0 + h) f (x0 )

x0 x0 + h

x

Obrázek 63: Definice derivace Derivac´ı funkce v bodˇe x0 rozum´ıme vlastn´ı limitu. Oznaˇcujeme ji y 0 (x0 ) =

dy (x0 ) dx

a zapisujeme f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h

y 0 (x0 ) = lim

SA1



98

Vyjde-li limita ±∞, nepovaˇzujeme to za derivaci (tzv. nevlastn´ı derivace).

y

x

Obrázek 64: Nevlastn´ı derivace Derivace zprava v bodˇe x0 lim+ =

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

Uvaˇzujeme li derivace funkce ve vˇsech bodech x0 → y 0 (x0 ), dostaneme derivaci funkce ⇒ dy 0 znaˇc´ıme y = dx → dostáváme novou funkci.

y

y

x

∆x (a) Nulov´ a derivace

∆x

x

(b) Kladná derivace

Obrázek 65: Znaménko derivace

SA1



99

Plat´ı, ˇze Domf 0 ⊆ Domf , Domf − Domf 0 = {hroty}. Existuje dokonce funkce, kde Domf = R a Domf 0 = ∅ a f spojitá R.

y

y

x

x (b) f 0 (x) =

(a) f (x) = ln x

1 x

Obrázek 66: Porovnán´ı grafu f a f 0 1

y

y

1

x

x (a) f (x) = |x|

−1 (b) f 0 (x) = sgn x

Obrázek 67: Porovnán´ı grafu f a f 0 2

SA1



24.2

100

Z´ akladn´ı pravidla derivov´ an´ı

Pro funkci vynásobenou konstantou plat´ı (c · f )0 = c · f 0 Pro souˇcet dvou funkc´ı f + g plat´ı (f + g)0 = f 0 + g 0 Pro souˇcin f · g plat´ı (f · g)0 = f 0 · g + f · g 0 Pro pod´ıl

f g

plat´ı 0 f f 0 · g − f · g0 = g g2

Pro derivaci funkce inverzn´ı plat´ı f −1

0

=

1 f0

Pro derivaci funkce sloˇzené plat´ı (f (g))0 = f 0 (g) · g 0 Pro derivaci funkce umocnˇené na funkci plat´ı g 0

g·ln f 0

(f ) = e

SA1

=f

g

g · f0 g · ln f + f 0



24.3

101

Pˇ rehled z´ akladn´ıch vzorc˚ u (xa )0 = a · xa−1 (ex ) = ex (ax )0 = ax ln a 1 x 1 (loga x) = x ln a 0 (sin x) = cos x (ln x)0 =

(cos)0 = − sin x 1 cos2 x 1 (cotg x)0 = − 2 sin x 1 (arcsin x)0 = √ 1 − x2 1 (arctg x)0 = 1 + x2 (sinh x)0 = cosh x (tg x)0 =

(cosh x)0 = sinh x (argsinh x)0 = √

24.4

1 1 + x2

Vyˇ sˇ s´ı derivace

(f 0 )0 = f 00 . . . druhá derivace f d2 f f = dx2 00

f (25) - 25. derivace f pˇr: f (x) = ln x f (1) = x1 f (2) = − x12 f (3) = x23 f (4) = − x64 f (n) =

SA1

(−1)n−1 n − 1! xn


25 Derivace - cviˇcen´ı

25

102

Derivace - cviˇ cen´ı

Derivujte a d´ ale neupravujte 1. a) f (x) = 6x5 b) y = c) y =

3 x2

√ 3 x7

d) f (x) = π e) g(x) = sin2 x f) h(x) = sin x2 2. a) y = cos3 x3 b) y = ln(x2 + x − 1) c) f (x) = arctg (x2 + 1) d) k(x) = 5(sin(2x + 3)2 )3 3. a) y = sin3 (cos2 (tg x)) 4. a) y = (x2 + 3) sin x b) z(x) = cos3 x ln3 x3 p √ c) y = x sin x 1 − x2 d) y = x sin2 (x3 ) ln(x2 ) 5. a) t(x) = b) y =

tg x2 cotg x3

sin x cos x

Urˇ cete pˇ r´ısluˇ snou prvn´ı derivaci 6. a) s(t) = (t2 + 3t + 6) sin(5t), b) x(s) = sin s ln(cos2 s),

dx(s) ds

s(t) =? =?

7. a) k(ω) = tg (aω 2 + ω b ), kde a, b ∈ R, b) y(ω) = sin(ωt) cos(ω 2 t), kde t ∈ R,

dk(ω) dω dy(ω) dω

=? =?

Najdˇ ete prvn´ı derivaci funkce y = f (x) a zakreslete graf funkce f (x) a f 0 (x): 8. y = sin x 9. y = |x| 10. y = ln |x|

SA1

[f 0 (x) = cos x] [f 0 (x) = sgn x, kde x 6= 0] [f 0 (x) = x1 , kde x 6= 0]


25 Derivace - cviˇcen´ı

103

Urˇ cete prvn´ı a druhou derivaci funkce y = f (x), kter´ a je d´ ana parametricky rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ I: [f 0 (x) =

11. x = 4t + t2 , y = t3 + t 12. x = ln t, y = sin 2t

3t2 +1 , 4+2t

f 00 (x) =

6t2 +24t−2 ] (4+2t)3

[f 0 (x) = 2t cos 2t, f 00 (x) = 2t cos 2t − 4t2 sin 2t]

Urˇ cete rovnici teˇ cny a norm´ aly ke grafu funkce y = f (x) v bodˇ e T [xT , yT ], kter´ y je bodem dotyku: 13. f (x) = x1 , T = 12 , ? [t : 4x + y − 4 = 0, n : . . .] √ [t : 2x − y + 2 − π2 = 0, n : . . .] 14. f (x) = 2 2 sin x, T = π4 , ? 15. f (x) = e−x cos 2x, T = [0, ?]

[t : x + y − 1 = 0, n : . . .]


SA1


26 Vˇety o derivaci - teorie

26 26.1

104

Vˇ ety o derivaci - teorie Rolleova vˇ eta

Pˇredpokládejme, ˇze funkce f (x) splˇ nuje: 1. f (x) je spojitá na ha, bi 2. f (x) má na otevˇreném intervalu (a, b) vlastn´ı nebo nevlastn´ı derivaci 3. f (a) = f (b) Pak existuje c ∈ ha, bi takové, ˇze f 0 (c) = 0. y

a

b

x

Obrázek 68: Rolleova vˇeta D˚ ukaz Je-li f (x) kontantn´ı funkce, lze vz´ıt c jako libovoln´ y bod z ha, bi. Pˇredpokládejme dále, ˇze f (x) nen´ı kontantn´ı funkce. Pak existuje bod m ∈ ha, bi takov´ y, ˇze f (x) nab´ yvá v bodˇe m svého maxima (viz. 2. Weierstrassova vˇeta). Dle podm´ınky 2) má f (x) v bodˇe m vlastn´ı nebo nevlastn´ı derivaci. Pˇredpokládejme, ˇze f 0 (m) > 0, tzn. f (x) − f (m) >0 x→m x−m

f 0 (m) = lim

(m) tzn. pro vhodné x ∈ O(m) (tj. pro x < m) je f (x)−f > 0. x−m f (x)−f (m) Ale pro x > m je x−m < 0, protoˇze f (x) < f (m). Tzn. ˇze f 0 (m) 6≥ 0.

Obdobnˇe pro pˇredpoklad f (x) − f (m) <0 x→m x−m lim

nám vycházi, ˇze f 0 (m) 6≤ 0. Tedy f 0 (m) = 0 a staˇc´ı vz´ıt c = m.

SA1



26.2

105

Lagrangeova vˇ eta (1. vˇ eta o stˇ redn´ı hodnotˇ e)

Pˇredpokládejme, ˇze funkce f (x) splˇ nuje: 1. f (x) je spojitá na ha, bi 2. f (x) má na (a, b) vlastn´ı nebo nevlastn´ı derivaci Pak existuje c ∈ ha, bi takové, ˇze: f 0 (c) =

f (b) − f (a) b−a

y

a

c

b

x

Obrázek 69: Lagrangeova vˇeta D˚ ukaz Vˇezmˇeme g(x) = (b − a) · f (x) − (f (b) − f (a)) · x - vyrovná f (b) a f (a). Nyn´ı uˇz staˇc´ı dokázát pˇredpoklady Rolleovy vˇety pro g(x) ⇒ pak existuje c takové, ˇze g 0 (c) = 0. g 0 (x) = (b − a) · f 0 (x) − (f (b) − f (a)) 0 = g 0 (c) = (b − a) · f 0 (c) − (f (b) − f (a)) f 0 (c) =

26.3

f (b) − f (a) b−a

Cauchyova vˇ eta (2. vˇ eta o stˇ redn´ı hodnotˇ e)

Pˇredpokládejme, ˇze f (x) a g(x) splˇ nuj´ı: 1. f (x), g(x) jsou spojité na ha, bi 2. f (x) má na (a, b) vlastn´ı nebo nevlastn´ı derivaci a g(x) má na (a, b) vlastn´ı derivaci 6= 0 Pak existuje c ∈ ha, bi takové, ˇze: f 0 (c) f (b) − f (a) = 0 g (c) g(b) − g(a) Pozn. Lagrangeova vˇeta je speciáln´ım pˇr´ıkladem vˇety Cauchyovy pro g(x) = x.

SA1



26.4

106

Bernoulliho vˇ eta (L’Hospitalovo pravidlo)

Pˇredpokládejme, ˇze x0 ∈ R (i ± ∞) a ˇze bud’ 1) limx→x0 f (x) = limx→x0 g(x) = 0 nebo 2) limx→x0 g(x) = ∞ nebo limx→x0 g(x) = −∞ Pak plat´ı, ˇze: f (x) f 0 (x) lim = lim 0 x→x0 g(x) x→x0 g (x) za podminky, ˇze obˇe limity existuj´ı (toto pravidlo plat´ı i pro jednostranné limity). aplikace na neurˇcité v´ yrazy: 00 ,

∞ , ∞

0∞, ∞ − ∞, 1∞ , ∞0 , 00

Pˇ r´ıklady: 1. cos x sin x = lim =1 x→0 x→0 x 1 lim

2. x100 100 · x99 100! 0 = lim = . . . = x = lim x = 0 x x→∞ ex x→∞ x→∞ e e e lim

3. lim (x · ln x) = lim+

x→0+

x→0

ln x 1 x

1 x

= lim+

− x12

x→0

= lim+ (−x) = 0 x→0

4. lim

√

x→∞

x2 + x + 1 −

√

x2 − x + 1

a) obecn´ y návod pro lim f = ∞, lim g = ∞ lim(f − g) = lim(f − g) ·

1 f ·g 1 f ·g

= lim

1 g

−

1 f

1 f ·g

b) pˇri vhodném zadán´ı vynásobit 1“, tj. zlomkem odmocnin s opaˇcn´ ym znaménkem ” √ √x2 + x + 1 + √x2 − x + 1 √ √ lim x2 + x + 1 − x2 − x + 1 √ = x→∞ x 2 + x + 1 + x2 − x + 1 2 x + x + 1 − (x2 − x + 1) −2x = √ √ =√ = √ x2 + x + 1 + x 2 − x + 1 x2 + x + 1 + x2 − x + 1 = lim

x→∞ √2x+1 2 x2 +x+1

2 +

√2x−1 2 x2 −x+1

= lim q x→∞

2 4x2 +4x+1 4x2 +4x+4

+

q

4x2 −4x+1 4x2 −4x+4

=

2 =1 x→∞ 2

= lim

SA1



107

5. x 1 1 1 lim 1 + = lim ex·ln(1+ x ) = elimx→∞ x·ln(1+ x ) x→∞ x→∞ x nyn´ı budeme ˇreˇsit pouˇze exponent e

1 lim x · ln 1 + x→∞ x

1+

= lim

1 x

1 x

x→∞

⇒

lim

x→∞

1

= lim

x+1 x

x→∞

1 1+ x

x

· − −x1 2 − x12

x =1 x→∞ x + 1

= lim

= e1 = e

6. lim

√ x

x→∞

1

1

x = lim x x = elimx→∞ x ·ln x x→∞

opˇet vyˇres´ıme limitu v exponentu 1 ln x = lim =0 x→∞ x · 1 x→∞ x lim

⇒ lim

x→∞

SA1

√ x x = e0 = 1


27 Vˇety o derivaci - cviˇcen´ı

27

108

Vˇ ety o derivaci - cviˇ cen´ı

Pomoc´ı l’Hospitalova pravidla spoˇ ctˇ ete n´ asleduj´ıc´ı limity: a) lim

ex − e−x − 2x x→0 x − sin x

[2]

b) lim (π − 2arctg x) ln x

[0]

x→∞

1 c) lim cotg x − x→0 x tg x 1 d) lim+ x→0 x

[0]

[1]

tg x − 1 sin 4x

[− 21 ]

x − sin x x→0 1 − cos x

[0]

e) limπ x→ 4

f) lim

g) lim (1 − x)tg x→1

h) lim+ x→0

πx 2

[ π2 ]

ln x ln sin x

[1]

x3 − 3x + 2 x→1 x4 − 4x + 3

[ 21 ]

arcsin x x→0 x

[1]

arctg 2x x→0 sin 3x

[ 32 ]

i) lim

j) lim k) lim

1

[ √1e ]

l) lim (cos x) x2 x→0

1

[1]

m) lim x x x→∞

3

[e3 ]

n) lim+ x 4+ln x x→0

1 1 o) lim − x→1 x − 1 ln x 1 1 p) lim+ − x→0 x sin x q) lim+ (arcsin)tg x

[− 21 ] [0] [1]

x→0

SA1


28 Diferenciál - teorie

28 28.1

109

Diferenci´ al - teorie ´ Uvod

Diferenciálem funkce f (x) v bodˇe x0 rozum´ıme funkci (lineárn´ı). df (x0 ) = f 0 (x0 ) · dx = f 0 (x0 ) · (x − x0 )

y

df (x0 ) dx

x0

x

x

Obrázek 70: Diferenciál Pouˇzit´ı: napˇr. pro pˇribliˇzné v´ ypoˇcty Pˇ r. spoˇctˇete

√

16, 02

Zvol´ıme f (x) =

√ x, x0 = 16 a f (x) zderivujeme 1 f 0 (x) = √ , 2 x

dosazen´ım z´ıskáme

f 0 (16) =

1 8

1 1 df (16) = (x − 16) = x − 2 8 8

pak pro x = 16, 02 máme p 1 · 16.02 − 2 = 2, 0025 − 2 = 0, 0025 ⇒ 16, 02 ≈ 4.0025 8 Pozn. oskulum - z latiny polibek styk 0. stupnˇe - kontantn´ı funkce protne funkci styk 1. stupnˇe - stejná 1. derivace styk 2. stupnˇe - stejná 2. derivace

SA1


28 Diferenciál - teorie

28.2

110

Vyˇ sˇ s´ı diferenci´ aly

Pozn. Jin´ y zápis diferenciálu: f0 =

df dx

a nult´ y diferenciál: d0 f (x0 ) = f (x0 ) Druh´ y deferenciál pak zap´ıˇseme takto d2 f (x0 ) = f 00 (x0 ) · dx2 = f 00 (x0 ) · (x − x0 )2 ⇒ f 00 =

d2 f dx2

a obecnˇe pro r-t´ y diferenciál dr f (x0 ) = f (r) (x0 ) · (x − x0 )r

SA1


29 Diferenciál - cviˇcen´ı

29

111

Diferenci´ al - cviˇ cen´ı

Vypoˇ ctˇ ete diferenci´ al funkce: 1. f (x) = x sin(2x) q 2. f (x) = 1+x 1−x 3. f (x) = x2 v bodˇe a = 1 pˇri pˇr´ırustku h = 0, 1. Znázornˇete v´ ysledek graficky. Pomoc´ı diferenci´ alu spoˇ ctˇ ete pˇ ribliˇ znou hodnotu a zn´ azornˇ ete v´ ysledek graficky: 4. sin 35 5. arctg 0, 95

SA1



30

112

Taylor˚ uv polynom - teorie

Taylor˚ uv polynom ˇrádu r funkce f v bodˇe x0 : r

T (x0 ) =

r X di f (x0 ) i=0

i!

Taylorov´ ym polynomem defakto nahrad´ıme p˚ uvodn´ı funkci (zvyˇsován´ım jeho ˇra´du dosáhneme pˇresnˇejˇs´ıho nahrazen´ı). Pozn. Pokud x0 = 0 ⇒ Maclaurin˚ uv polynom. Taylorova vˇ eta f : R → R, x0 ∈ Domf , ∃ O(x0 ) bodu x0 tak, ˇze pro ∀x ∈ O(x0 ) ex. derivace funkce f (x) v bodˇe x aˇz do ˇrádu r + 1 Pak pro kaˇzdé x ∈ O(x0 ) ex. c ∈ (x0 , x) tak, ˇze: f (x) = T r (x0 ) + f (r+1) (c) (x (r+1)!

f (r+1) (c) (x − x0 )r+1 (r + 1)!

− x0 )r+1 - Taylor˚ uv zbytek, tj. o kolik se liˇs´ıme nalezen´ ym polynomem

pˇribliˇzován´ım se x k x0 zvyˇsujeme pˇresnost, stejnˇe tak zvyˇsován´ım stupnˇe Taylorova polynomu Taylor˚ uv polynom ˇ r´ adu r: polynom stupnˇe ≤ r Pˇ r. f (x) = sin x d2 f (x0 ) = 0 T 2 . . . ale polynom stupnˇe 1 y

x

ˇ ad vs. stupˇen Obrázek 71: R´ ˇ polynomu

SA1



113

Pˇ r. Spoˇctˇete Maclaurin˚ um polynom 5. ˇrádu pro f (x) = ex . d0 f = 1 d1 f = x d2 f = x2 d3 f = x3 d4 f = x4 d5 f = x5 ⇓ T 5 (x0 ) = 1 + x +

x2 2

+

x3 6

+

x4 24

+

x5 120

(viz. zaveden´ı goniometrick´ ych funkc´ı)

SA1


31 Taylor˚ uv polynom - cviˇcen´ı

31

114

Taylor˚ uv polynom - cviˇ cen´ı

Taylor˚ uv polynom: 1. Napiˇste obecn´ y tvar Taylorova polynomu ˇrádu n v bodˇe a. 2. Napiˇste obecn´ y tvar Maclaurinova polynomu ˇrádu n. 3. Napiˇstˇe Taylor˚ uv polynom ˇra´du 4 funkce f (x) = ln x v bodˇe a = 4. [T4 (x) = ln 4 + 14 (x − 4) −

1 (x 32

− 4)2 +

1 (x 192

− 4)3 −

1 (x 1024

− 4)4 ]

4. Napiˇstˇe Maclaurin˚ uv polynom ˇra´du 4 funkce f (x) = xe−x . [x − x2 + 12 x3 − 13 x4 ] Aproximujte n´ asleduj´ıc´ı funkce v okol´ı bodu a = 0 polynomem nejv´ yˇ se p´ at´ eho stupnˇ e: +

x4 4!

+

x5 ] 5!

6. y = sin x

[sin x ∼ x −

x3 3!

+

x5 ] 5!

7. y = cos x

[cos x ∼ 1 −

x2 2!

+

x4 ] 4!

5. y = ex

8. y =

[ex ∼ 1 + x +

1 1+x2

x2 2!

+

x3 3!

1 2 4 [ 1+x 2 ∼ 1 − x + x ]

Odhadnˇ ete absolutn´ı chybu v n´ asleduj´ıc´ıch pˇ ribliˇ zn´ ych vztaz´ıch 9. ex ∼ 1 + x + 10. sin x ∼ x −

+ ... +

xn n!

pro |x| ≤

1 2

x2 2!

x3 6

pro 0 ≤ x ≤ 1

[Je menˇs´ı neˇz

3 ] (n+1)!

[Je menˇs´ı neˇz

1 ] 3840


SA1


32 Extrémy funkce - teorie

32 32.1

115

Extr´ emy funkce - teorie Lok´ aln´ı extr´ emy funkce

Definice monot´ onnosti ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je na intervalu I rostouc´ı, jestliˇze pro ∀x1 , x2 taková, ˇze x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Nem˚ uˇzeme pouze posuzovat derivaci, protoˇze v hrotech funkce nen´ı jej´ı derivace definována. Je-li ale derivace v urˇcitém bodˇe definována, tak mus´ı b´ yt kladná. y

hroty

x

Obrázek 72: Hroty funkce Definice lok´ aln´ıho extr´ emu ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) má v bodˇe x0 ostr´ e lok´ aln´ı minimum, jestliˇze ∃ O(x0 ) (ryz´ı okol´ı bodu x0 ) tak, ˇze pro ∀x ∈ O(x0 ) je f (x) − f (x0 ) > 0 y

f (x0 )

x0

x

Obrázek 73: Lokáln´ı minimum Obdobnˇe ˇrekneme, ˇze funkce f (x) má v bodˇe x0 ostr´ e lok´ aln´ı maximum, jestliˇze ∃ O(x0 ) (ryz´ı okol´ı bodu x0 ) tak, ˇze pro ∀x ∈ O(x0 ) je f (x) − f (x0 ) < 0

SA1



116

Mˇejme napamˇeti: 1. v bodˇe, kde nastává lokáln´ı extrém, nemus´ı b´ yt derivace definována y

x0

x

Obrázek 74: Minimum v hrotu funkce

2. pokud nastává v bodˇe x0 lokáln´ı extrém a zároveˇ n je v tomto bodˇe definována derivace, ukaz Rolleovy vˇety) mus´ı platit f 0 (x0 ) = 0 (viz. d˚ y

x0

x

Obrázek 75: Derivace v extrému

3. dále f 0 (x0 ) = 0 nezaruˇcuje v bodˇe x0 lokáln´ı extrém y

x0

x

Obrázek 76: Nulová druhá derivace

SA1



117

Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze f (x) má derivaci v bodˇe x0 . Pak nutnou podm´ınkou lokáln´ıho minima v bodˇe x0 je f 0 (x0 ) = 0. Toto ale nen´ı postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro urˇcen´ı lokáln´ıho minima (maxima). f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + 12 f 00 (x0 ) · (x − x0 )2 + . . . + O((x − x0 )n ), x → x0 ⇒ O → 0 ⇒ zanedbáváme f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + 12 (x0 ) · (x − x0 )2 podm´ınky pro lokáln´ı minimum: f (x) − f (x0 ) > 0 (x − x0 ) neznámého znaménka ⇒ f 0 (x0 ) = 0 (x − x0 )2 kladné ⇒ f 00 (x0 ) > 0 postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro lokáln´ı minimum je napˇr. f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) > 0 Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou lokáln´ıho minima je, aby nˇekterá sudá derivace byla kladná a vˇsechny pˇredchoz´ı byly nulové (z Taylorova polynomu). Pro lokáln´ı maximum tak mus´ı platit: f 00 (x0 ) < 0 a f 0 (x0 ) = 0.

SA1



32.2

118

V´ yznamn´ e body funkce

O funkci jiˇz v´ıme: 1. f (x) = 0 ⇒ x je nulov´ y bod nulové body 6= body, kde docház´ı ke zmˇenˇe znaménka funkce y

x

Obrázek 77: Zmˇeny znaménka funkce

2. f 0 (x) = 0 ⇒ x je stacionárn´ı bod stacionárn´ı body 6= body, kde docház´ı ke zmˇenˇe monotonnie y

x

Obrázek 78: Zmˇeny monotonnosti funkce

3. f 00 (x) = 0 ⇒ x je inflexn´ı bod inflexn´ı body 6= body, kde docház´ı ke zmˇenˇe konkávnost/konvexnost

SA1



32.3

119

Definice konk´ avnosti/kovexnosti

ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je konvexn´ı na intervalu I, jestliˇze pro ∀x1 , x2 , x3 ∈ I taková, ˇze x1 < x2 < x3 plat´ı: f (x3 ) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x1 ) < x2 − x1 x3 − x1 y

x1

x2

x3

x

Obrázek 79: Konvexnost Pokud existuje f 00 (x), mus´ı b´ yt kladná. Obdobnˇe ˇrekneme, ˇze funkce f (x) je konkávn´ı na intervalu I, jestliˇze pro ∀x1 , x2 , x3 ∈ I taková, ˇze x1 < x2 < x3 plat´ı: f (x2 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x1 ) > x2 − x1 x3 − x1 y

x1

x2

x3

x

Obrázek 80: Konkávnost

SA1



32.4

120

Glob´ aln´ı extr´ emy funkce

ˇ Rekneme, ˇze funkce f má v bodˇe x0 ostr´ e glob´ aln´ı minimum, jestliˇze pro ∀x ∈ Domf plat´ı, ˇze f (x) − f (x0 ) > 0 ˇ Rekneme, ˇze funkce f má v bodˇe x0 ostr´ e glob´ aln´ı maximum, jestliˇze pro ∀x ∈ Domf plat´ı, ˇze f (x) − f (x0 ) < 0 ˇ Rekneme, ˇze funkce f má v bodˇe x0 neostr´ e glob´ aln´ı minimum, jestliˇze pro ∀x ∈ Domf plat´ı, ˇze f (x) − f (x0 ) ≥ 0 ˇ Rekneme, ˇze funkce f má v bodˇe x0 neostr´ e glob´ aln´ı maximum, jestliˇze pro ∀x ∈ Domf plat´ı, ˇze f (x) − f (x0 ) ≤ 0

SA1


33 Extrémy funkce - cviˇcen´ı

33

121

Extr´ emy funkce - cviˇ cen´ı

Urˇ cete lok´ aln´ı extr´ emy funkc´ı: 1. y = x +

4 x

[−2 l.max, 2 l.min]

2. y = 4x3 − 3x4 p 3. y = 2x + 3 3 (2 − x)2

[1 l.max] [0 l.max]

Urˇ cete glob´ aln´ı (= absolutn´ı) extr´ emy funkc´ı: 4. y = x3 − 3x + 20, 5. y = x − 2 ln x,

x ∈ h−3, 3)

x ∈ h1, ei

Urˇ cete inflexn´ı body funkc´ı: 6. y = xe−x 7. y =

x3 +2 2x

[2] √ [− 3 2]

8. y =

ex x+1

[ˇzádné]

SA1


34 Asymptoty - teorie

34

122

Asymptoty - teorie

Asymptoty jsou pˇr´ımky (obecnˇe kˇrivky), ke kter´ ym se funkce bl´ıˇz´ı.

y y

x

x

y

x

Obrázek 81: Asymptoty funkce

34.1

Vodorovn´ e asymptoty

⇒ rovnobˇeˇzné s osou x Pokud nám vyjde lim f (x) = a ∈ R,

x→∞

ˇrekneme, ˇze, f (x) má pro x → ∞ asymptotickou pˇ r´ımku y = a mus´ıme poˇc´ıtat i pro x → −∞ - pˇr´ımky mohou obecnˇe vyj´ıt r˚ uznˇe, napˇr. u arctg x

SA1


34 Asymptoty - teorie

34.2

123

Svisl´ e asymptoty

1. lim f (x) = +∞

x→x0 +

tak pak ˇrekneme, ˇze f (x) má pro x → x0 + asymptotickou pˇ r´ımku x = x0 2. lim f (x) = −∞

x→x0 +

tak pak ˇrekneme, ˇze f (x) má pro x → x0 + asymptotickou pˇ r´ımku x = x0 3. lim f (x) = +∞

x→x0 −

tak pak ˇrekneme, ˇze f (x) má pro x → x0 − asymptotickou pˇ r´ımku x = x0 4. lim f (x) = −∞

x→x0 −

tak pak ˇrekneme, ˇze f (x) má pro x → x0 − asymptotickou pˇ r´ımku x = x0

34.3

ˇ Sikm´ e asymptoty

1. lim

x→∞

f (x) =a∈R x

2. lim (f (x) − ax) = b ∈ R

x→∞

pokud obˇe limity vyjdou vlastn´ı, tak ˇrekneme, ˇze funkce f má asymptotickou pˇ r´ımku y = ax + b poˇc´ıtat i pro x → −∞

SA1


35 Asymptoty - cviˇcen´ı

35

124

Asymptoty - cviˇ cen´ı

Urˇ cete asymptoty funkc´ı: 1. y =

x3 2(x + 1)2 1

2. y = xe x

SA1

[x = −1, y = 21 x − 1] [x = 0, y = x + 1]


36 Pr˚ ubˇeh funkce - teorie

36

125

Pr˚ ubˇ eh funkce - teorie

1. Z´ akladn´ı vlastnosti funkce a) urˇcit Domf b) Imf (pokud to u dané funkce jednoznaˇcnˇe jde) c) sudost/lichost d) periodocita 2. Zjiˇ stˇ en´ı znam´ enka funkce a) f (x) = 0 ⇒ nulové body

Obrázek 82: Znaménko funkce Pozn. Na ˇc´ıselnou osu zaneseme nulové body, body nespojitosti a nedefinovanosti. 3. Vyˇ setˇ ren´ı monotonnie funkce a) f 0 (x) = 0 ⇒ stacionárn´ı body → urˇcit Domf 0

Obrázek 83: Monotonnie funkce b) lokáln´ı extrémy (a urˇcit v nich funkˇcn´ı hodnoty) c) globáln´ı extrémy 4. Konvexnost/konk´ avnost a) f 00 (x) = 0 ⇒ inflexn´ı body → urˇcit Domf 00

Obrázek 84: Konvexnost/konkávnost funkce

5. Asymptoty a) vodorovné b) svislé c) ˇsikmé 6. Graf

SA1


37 Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı

37

126

Pr˚ ubˇ eh funkce - cviˇ cen´ı

Vyˇ setˇ rete pr˚ ubˇ eh funkc´ı: 1. y =

1 − x3 x2

2. y =

x3 2(x + 1)2 1

3. y = xe x 4. y =

2x +x −1

x2

5. f (x) =

(x − 1)3 x2

D(f ) = R − {0}, N = [1; 0], f 0 (x) = f 00 (x) =

(x − 1)2 (x + 2) , D(f 0 ) = D(f ), E = [−2; 6, 75], x3

6(x − 1) , D(f 00 ) = D(f ), x = 0 pro x → 0± , y = x − 3 pro x → ±∞. x4 y 6 4 2

−6

−4

−2

2

4

6

8

x

−2 −4 −6 −8 −10

Obrázek 85: Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 1

SA1



6. f (x) =

127

x2 − 2x x2 − 2x + 2

D(f ) = R, N1 = [0; 0], N2 = [2; 0], f 0 (x) =

4(x − 1) , D(f 0 ) = D(f ), E = [1; −1], − 2x + 2)2

(x2

4(−3x2 + 6x − 2) f (x) = , D(f 00 ) = D(f ), I1 = [0, 42; −0, 5], I2 = [1, 58; −0, 5], y = 1 2 3 (x − 2x + 2) pro x → ±∞. 00

y 1

0, 5

−15

−10

−5

5

10

15

x

−0, 5

−1


SA1



7. f (x) =

128

2x2 + 3x − 4 x2

D(f ) = R − {0}, N1 = [−2, 35; 0], N2 = [0, 85; 0], f 0 (x) = E = [2, 67; 2, 56], f 00 (x) =

−3x + 8 , D(f 0 ) = D(f ), 3 x

6(x − 4) , D(f 00 ) = D(f ), I = [4; 2, 5], y = 2 pro x → ±∞. x4 y

2

1

−15

−10

−5

5

10

15

x

−1

−2

−3


SA1



8. f (x) =

129

x2 x2 − 1

D(f ) = R − {−1, 1}, N = [0; 0], f 0 (x) =

−2x , D(f 0 ) = D(f ), E = [0; 0], − 1)2

(x2

2(3x2 + 1) , D(f 00 ) = D(f ), x = −1 pro x → −1± , x = 1 pro x → 1± , (x2 − 1)3 y = 1 pro x → ±∞.

f 00 (x) =

y 4

2

−4

−2

2

4

x

−2

−4


SA1



9. f (x) =

130

x3 x−1

D(f ) = R − {1}, N = [0; 0], f 0 (x) = f 00 (x) =

x2 (2x − 3) , D(f 0 ) = D(f ), E = [1, 5; 6, 75], (x − 1)2

2x(x2 − 3x + 3) , D(f 00 ) = D(f ), I = [0; 0], x = 1 pro x → 1± . (x − 1)3 y 15

10

5

−4 −3 −2 −1

1

2

3

x

−5

−10


SA1



10. f (x) =

131

x2 3 − x2

√ √ D(f ) = R − {− 3, 3}, N = [0; 0], f 0 (x) =

6x , D(f 0 ) = D(f ), E = [0; 0], (3 − x2 )2 √ √ √ √ 18(x2 + 1) , D(f 00 ) = D(f ), x = − 3 pro x → − 3± , x = 3 pro x → 3± , f 00 (x) = 2 3 (3 − x ) y = −1 pro x → ±∞. y 4

2

−4

−2

2

4

x

−2

−4


SA1



132

11. f (x) = (x − 2x)ex D(f ) = R, N = [0, 5; 0], f 0 (x) = −(2x + 1)ex , D(f 0 ) = D(f ), E = [−0, 5; −0, 05], f 00 (x) = −(2x + 3)ex , D(f 00 ) = D(f ), I = [−1, 5; −4, 5], y = 0 pro x → −∞. y 1

−10

−5

5

x

−1 −2 −3 −4


SA1


38 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integrál - teorie

38 38.1

133

Primitivn´ı funkce, neurˇ cit´ y integr´ al - teorie Primitivn´ı funce

ˇ Rekneme, ze funkce F je primitivn´ı funkc´ı k funkci f na intervalu I, jestliˇze: F 0 (x) = f (x), pro ∀x ∈ I Pˇ r. f (x) = x5 6 F (x) = x6 Pˇ r. f (x) = |x| F (x) = sgn x ·

x2 2

y

y

x

x

(a) f (x) = |x|

(b) F (x) = sgn x ·

x2 2

Obrázek 92: Primitivn´ı funkce Vˇ eta Jestliˇze je f (x) na ha, bi spojitá, existuje k n´ı primitivn´ı funkce F (x). Jestliˇze existuje F (x), tak jich existuje R nekoneˇcnˇe mnoho - mnoˇzina vˇsech primitivn´ıch funkc´ı k funkci f (x) = neurˇ c it´ y integr´ a l ( f (x) dx). R mohutnost f (x) dx = c (kontinuum)

SA1



38.2

134

Pˇ rehled vzorc˚ u pro integrov´ an´ı Z c dx = c · x + C Z

xa dx =

Z

xa+1 +C a+1

1 dx = ln |x| + C x

Z Z

ex dx = ex + C ax dx =

ax +C ln a

Z sin x dx = − cos x + C Z cos x dx = sin x + C Z

1 dx = −cotg x + C sin2 x Z 1 dx = tg x + C cos2 x

Z

1 dx = arctg x + C1 = −arccotg x + C2 1 + x2 Z 1 √ dx = arcsin x + C1 = − arccos x + C2 1 − x2 Z √ 1 √ dx = ln(x + x2 + a) + C a > 0 x2 + a Z 1 x 1 dx = arctg + C 2 2 x +a a a Z 0 f (x) dx = ln |f (x)| + C f (x)

SA1



38.3

135

Z´ akladn´ı pravidla integrov´ an´ı

Pˇredpokládejme, ˇze tyto 3 integrály existuj´ı. Potom plat´ı, ˇze nastává tato rovnost. Z Z Z (f ± g) dx = f (x) dx ± g(x) dx Z Napˇr. pro f (x) = χ(x) a g(x) = −χ(x) neexistuje

(f + g) dx, protoˇze neexistuj´ı integrály

k f (x) a g(x) Dále plat´ı: Z

Z c · f (x) dx = c ·

38.4

f (x) dx

Metoda per partes

Pro souˇcin dvou funkc´ı u(x)v(x) plat´ı: Z Z 0 u · v dx = u · v + u0 · v dx D˚ ukaz Pˇredpokládejme, ˇze u(x), v(x), u0 (x) a v 0 (x) maj´ı na intervalu I své primitivn´ı funkce F . Pak plat´ı: (u · v)0 = u0 · v + u · v 0 Z Z 0 u · v = u · v dx + u · v 0 dx Z Z 0 u · v dx = u · v + u0 · v dx Pˇ r. Z

u0 = ex u = ex x · ex dx = v = x v0 = 1

Z x = x · e − ex dx + C = x · ex − ex + C = ex (x − 1) + C

Pˇ r. Z

u0 = 1 u=x ln x dx = v = ln x v 0 = 1 x

SA1

Z = x · ln x + 1 dx + C = x ln x + x + C = x(ln x + 1) + C



136

Pˇ r.

Z u0 = ex x u = e x x e sin x dx = = e · sin x − ex cos x dx + C = v = sin x v 0 = cos x Z u0 = ex x u = e x x x = = e · sin x − e · cos x − e · (− sin x) dx + C = v = cos x v 0 = − sin x Z Z ex (sin x − cos x) x x x +C = e · sin x − e · cos x − e · sin x dx + C ⇒ ex · sinx dx = 2 Z

Pˇ r. Z

u0 = 1 u=x arctg x dx = v = arctg x v 0 = 21 x +1 = x · arctg x −

38.5

Z 2x 1 dx + C = = x · arctg x − 2 2 x +1

1 ln |x2 + 1| + C 2

Substituce

f definována na intervalu I, ϕ definováno na I (ϕ : J → I) ⇒ ϕ(J) = I, ϕ injektivn´ı zobrazen´ R ı Pak f (x) dx na I existuje právˇe tehdy, kdyˇz existuje Z f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt na J a plat´ı: Z F (x) = a

Z G(t) =

Pˇ r.

SA1

Z f (x) dx = 0

f (ϕ0 (t))ϕ0 (t) dt = F (ϕ(t)) Z

f (ϕ(t))ϕ (t) dt =

x2 = t Z 3 x2 ex dx = 2x dx = dt x dx = dt 2

f (x) dx = G(ϕ−1 (x))

Z t e 1 1 3 = dt = et + C = ex + C 3 3 2



38.6

137

Intergrace racion´ aln´ıch funkc´ı

1.

Pˇ r.

Z

A dx = A ln |x − r| + C x−r

Z

3 dx = 3 · ln |x + 4| + C x+4

2. Z

Pˇ r.

Z

A 1 A dx = +C (x − r)k (1 − k) (x − r)k−1

3 dx = (x − 2)53

Z

3 3 3 dt = − 52 + C = − +C 53 t 52t 52(x − 2)52

3. Z

Ax + B dx + px + q

x2

1 - vhodn´ ymi u ´pravami pˇrevedu ˇcitatel v derivaci jmenovatele (pˇr´ıpadnˇe jej´ı násobek) a integrál rozdˇelit 2 - integrál s konstantou v ˇcitateli ⇒ ten pak pˇrevést na derivaci arctg x Pˇ r. Z

3x − 8 3 dx = 2 x + 4x + 7 2

2x − 16 3 3 dx = 2 x + 4x + 7 2

Z

3 = ln |x2 + 4x + 7| − 2

Z

dx = x2 + 4x + 7

1 =√ 3 Z ⇒

SA1

Z

x2

Z t2

Z

2x + 4 3 dx− 2 x + 4x + 7 2

14 dx + C ⇒ ˇres´ıme integrál 2 x + 4x + 7

Z

x + 2 = √3t dx = √ (x + 2)2 + 3 dx = 3 dt

28 3

Z

x2 + 4x + 7 Z x2

dx =

dx + 4x + 7

Z √ 3 dt = = 3t2 + 3

dt 1 x+2 1 = √ arctg t + C = √ arctg √ + C ⇒ +1 3 3 3

3x − 8 3 14 x+2 dx = ln |x2 + 4x + 7| − √ arctg √ + C + 4x + 7 2 3 3 ´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM


138

4. Z (x2

Ax + B dx + px + q)k

1 - v ˇcitateli dostat derivaci jmenovatele a integrál rozdˇelit 2 - provedeme substituce t = polynom ⇒ 1.integrál se vyˇreˇs´ı a ˇreˇs´ımˇe druh´ y R 1 3 - tlaˇc´ıme“ na tvar podobn´ y derivaci arctg x, tj tvar (t2 −1) k = Ik ” 4 - vyˇreˇs´ıme podle rekurentn´ıho vzorce pro Ik+1 (odvozen z integrace per partes) Pˇ r.

Z

2x + 5 dx = 2 (x + 2x + 9)2

Z

2x + 2 dx + 3 2 (x + 2x + 9)2

Vyˇreˇs´ıme nejprve prvn´ı integrál Z x2 + 2x + 9 = u 2x + 2 dx = (2x + 2) dx = du (x2 + 2x + 9)2

Z (x2

dx + 2x + 9)2

Z du 1 1 = − + C = − +C = u2 u x2 + 2x + 9

Nyn´ı ˇreˇs´ıme druhou ˇca´st integrálu Z

dx = 2 (x + 2x + 9)2

Z

x + 1 = 2√2t dx = √ ((x + 1)2 + 8)2 dx = 2 2 dt

Z √ 2 2 dt = = (8t2 + 8)2

√ Z √ Z 2 2 2 dt dt = 2 = 2 2 2 8 (t + 1) 32 (t + 1)2

SA1



Oznaˇcme

Z (t2

139

dt = Ik . + 1)k

Poˇc´ıtejme nyn´ı Z

u= 1 2t u0 = −k (t2 −1) dt k+1 (t2 −1)k = 2 k 0 v =1 (t + 1) v=t

Z t t2 + 2k dt = = 2 (t + 1)k (t2 + 1)k+1

Z Z t2 + 1 − 1 dt dt t dt = 2 + 2k − 2k 2 k+1 k 2 k 2 (t + 1) (t + 1) (t + 1) (t + 1)k+1 t t 1 Ik = 2 + 2kIk − 2kIk+1 ⇒ Ik+1 = + (2k − 1)Ik , I1 = arctg t (t + 1)k 2k (t2 + 1)k t = 2 + 2k (t + 1)k

Z

1 I2 = 2 Z ⇒

t + arctg t (t2 + 1)

pro k = 1 x+1

√ 1 1 2x + 5 2 2 dx = − + 2 (x2 + 2x + 9)2 x2 + 2x + 9 2 x+1 √ 2 2

SA1

+ arctg +1

x+1 √ 2 2

+C


39 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integrál - cviˇcen´ı

39

140

Primitivn´ı funkce, neurˇ cit´ y integr´ al - cviˇ cen´ı

39.1

Pˇ r´ım´ a integrace Z

- ˇcasté vyuˇzité základn´ıho vzorce

f 0 (x) dx = ln |f (x)| + C f (x)

5x2 − 3 √ dx x Z 1 2 3x − 2x + √ dx 2. x3 Z x 3 cos2 x − 5 3. dx cos2 x Z 4. cotg x dx Z

1.

Z √ 4 x + 2 + x−4 5. dx x3 Z 1 6. dx x ln x Z 7. x(x − 2)(x − 3) dx

SA1



39.2

141

Integrace pomoc´ı substituce

- ˇcasto nutno vyuˇz´ıt vzorce: 1 − cos 2x , 2 1 + cos 2x cos2 x = : 2 Z sin2 x 8. dx cos4 x Z √ 3 arctg x 9. dx 1 + x2 Z 1 √ 10. dx 4x + 9 Z 1 11. dx 7x − 9 Z 12. ex cos(ex ) dx

sin2 x =

Z 13. Z 14. Z 15. Z 16. Z 17.

SA1

[ [

1 3 tg x, (substituce: tg x = t) ] 3

3p 3 (arctg x)4 , (substituce: arctg x = t) ] 4 [ [

1√ 4x + 9, (substituce: 4x + 9 = t) ] 2

1 ln |7x − 9|, (substituce: 7x − 9 = t) ] 7 [sin(ex) , (substituce: ex = t) ]

1

ex dx x2

1

[ −e x , (substituce:

x3 √ dx 1 − x8

[

√ 2x x2 + 1 dx

[

1 dx x · ln x · ln(ln x) 2x √ dx 1 + 4x

1 x

= t) ]

1 arcsin x4 , (substituce: x4 = t) ] 4

2 2 (x + 1)3 , (substituce: x2 + 1 = t) ] 3 [ ln | ln(ln x)| ]

[

√ 1 ln 2x + 1 + 4x , (substituce: 2x = t) ] ln 2



39.3

142

Integrace per partes Z

- umˇet odvodit vzorec Z 18. Z 19. Z 20. Z 21. Z 22.

0

u v dx = uv −

Z

uv 0 dx z derivace souˇcinu uv:

x2 cos x dx

[ (x2 − 2) sin x + 2x cos x ]

x2 arctg x dx

[

x3 1 1 arctg x − x2 + ln(x2 + 1) ] 3 6 6

sin2 x dx

[

x dx sin2 x

1 (x − sin x cos x) ] 2

[ −xcotg x ln | sin x| ] ex [ (sin x + cos x) ] 2

x

e cos x dx Z

23.

arcsin x dx Z

24. Z 25.

x2 sin(2x) dx x3 cos x dx

[ x arcsin x + [−

SA1

cos(ln x) dx

1 − x2 ]

x 1 x2 cos(2x) + sin(2x) + cos(2x) ] 2 2 4 [ (x3 − 6x) sin x + (3x2 − 6) cos x ]

Z 26.

√

[

x (cos(ln x) sin(ln x)) ] 2



39.4

Integrace racion´ aln´ı lomen´ e funkce

- nejprve nutné rozloˇzit na parciáln´ı zlomky: Z 6 27. dx x+5 Z −2 28. dx (x − 8)2 Z 3x 29. dx x2 + 4 Z 5 dx 30. 2 x +2 Z 6x dx 31. 2 x +x+2 Z −2 32. dx x2 + 2x + 8 Z 4 x + 6x2 + x − 2 33. dx x4 − 2x3 Z 5 34. dx (2x − 3)3 Z 27 √ dx 35. 2x − 5 Z 8x − 31 36. dx 2 x − 9x + 14 Z 11x2 − 2x − 33 dx 37. x2 − 3 Z 4x2 + 4x − 11 38. dx (2x − 1)(2x + 3)(2x − 5) Z 4 − 4x dx 39. 2 4x − 4x + 1 Z 6x + 6 dx 40. 2x2 + 3x

SA1

143

[ x − 3 ln |x| −

1 + 5 ln |x − 2| ] 2x2 [−

5 1 ] 4 (2x − 3)2

√ 27 [ √ ln | 2x − 5| ] 2 [ 3 ln |x − 2| + 5 ln |x − 7| ] [ − ln |x −

√

3| − ln |x +

√

3| + 11x ]

1 (2x − 1)3 (2x − 5)3 [ ln ] 8 2x + 3 [ − ln |2x − 1| +

1 ] 2x − 1

[ ln |2x3 + 3x2 ]


40 Riemann˚ uv integrál - teorie

40 40.1

144

Riemann˚ uv integr´ al - teorie ´ Uvod

”sˇc´ıtán´ı obdéln´ıˇck˚ u”

y

f (x)

x

Obrázek 93: Urˇcit´ y integrál Pˇr´ıklady jin´ ych integrál˚ u: Lebesgue˚ uv integrál - vodorovné dˇelen´ı na obdéln´ıˇcky Stieltjes˚ uv integrál - vyuˇzit´ı v pravdˇepodobnosti Kurzweil˚ uv integrál - pojmenován po ˇceském matematikovi

SA1



40.2

145

Zaveden´ı Riemannova integr´ alu

Mˇejme funkci f ohraniˇcenou na ha, bi y

f (x)

a = x0

x1

x2

x3

b = x4

x

Obrázek 94: Zaveden´ı Riemannova integrálu interval ha, bi rozdˇel´ıme = dˇelen´ı D a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b dˇelen´ı nemus´ı b´ yt ekvidistantn´ı (libovolnˇe veliké intervaly po dˇelen´ı) oznaˇcne mi =

inf f (x)

a

Mi =

xi−1 ≤ x ≤ xi

sup f (x) xi−1 ≤ x ≤ xi

s(f, D) =

n X

mi (xi − xi−1 )

i=1

nazveme doln´ı integr´ aln´ı poˇ cet - závis´ı na f a také na dˇelen´ı D = obsah obdéln´ıˇck˚ u pod jednotliv´ ymi inf odbodnˇe horn´ı integr´ aln´ı poˇ cet: S(f, D) =

n X

Mi (xi − xi−1 )

i=1

SA1



146

sup s(f, D) - suprémum pˇres vˇsechna moˇzná D (suprémum vˇsech doln´ıch integráln´ıch D souˇct˚ u) toto suprémum oznaˇc´ıme doln´ı Riemann˚ uv integr´ al a oznaˇc´ıme jej: Z b sup s(f, D) = f (x) dx a

D obdobnˇe pro horn´ı Riemann˚ uv integr´ al: Z inf S(f, D) =

b

f (x) dx a

D

Jestliˇze se horn´ı a doln´ı Riemannovy integrály rovnaj´ı, je funkce f na intervalu ha, bi Riemannovsky integrovatelná ⇒ Z b Z b Z b f (x) dx = f (x) dx = f (x) dx a

SA1

a

a



40.3

147

Integrace nˇ ekter´ ych funkc´ı

1. Je Dirichtelova funkce riemannovsky integrovatelná na h0, 1i? Pro kaˇzdé dˇelen´ı vyjde 1

Z

f (x) dx = 0 0

a

1

Z

f (x) dx = 1 0

⇒ Dirichtelova funkce nen´ı riemannovky integrovatelná. 2. Je Riemannova funkce riemannovsky integrovatelná na h0, 1i? ( 1 x∈Q ρ(x) q 0 x∈R−Q 1

Z

ρ(x) dx = 0 0

zjemˇ nován´ım dˇelen´ı jsme schopni z´ıskat Z

1

ρ(x) = 0 0

y 1

1

x

Obrázek 95: Integrace Riemannovy funkce ⇒ riemannovsky integrovatelná a vycház´ı Z 1 ρ(x) = 0 0

SA1



40.4

148

Vlastnosti Riemannova integr´ alu

1. aditiva vzledem k funkc´ım Z b Z b Z b (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx a

a

a

2. aditiva vzledem k integraˇcn´ımu oboru a < c < b Z b Z c Z b f (x) dx f (x) dx + f (x) dx = c

a

a

3. homogenita b

Z

Z c · f (x) dx = c ·

b

f (x) dx a

a

aditivita + homogenita ⇒ linearita

40.5

Newton˚ uv integr´ al

Existuje-li na ha, bi primitivn´ı funkce F (x) k funkci f (x), definujeme Newton˚ uv integrál Z

b

f (x) dx = F (b) − F (a)

(N ) a

tj. f (x) je na ha, bi newtonovsky integrovateln´ a

SA1



40.6

149

Z´ akladn´ı vˇ eta integr´ aln´ıho poˇ ctu

Obrázek 96: Integrovatelnost Jestliˇze je funkce f (x) na ha, bi integrovatelná newtonovsky i riemannovsky, pak si jsou Riemann˚ uv a Newton˚ uv intergrál rovny Z b f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a) a

tzn. plat´ı Newton - Leibnitzova formule Pozn. Zavádime-li pˇri v´ ypoˇctu substituci, mus´ıme pˇrepoˇc´ıtat meze.

SA1


41 Riemann˚ uv integrál - cviˇcen´ı

41

150

Riemann˚ uv integr´ al - cviˇ cen´ı

Urˇ cit´ y Riemann˚ uv integr´ al Z

1

xarctg dx

1.

[

0

Z

2

2.

(x2 + 1)

1

Z

4

3. 1

Z

x

π 4

4.

3 2

dx

0

Z

5

5. 2

Z

ln 2

SA1

x−1 √ dx 4x − 2

ln 3

6.

1 1 [ − √ + 1 √ , (substituce: x2 + 1 = t2 ) ] 5 2

1 √ dx (1 + x) x sin x cos2 x dx

ex dx e2x − 1

π 1 − , (per partes) ] 4 2

[ 2arctg 2 −

π , (substituce: x = t2 ) ] 2

√ 1 (4 − 2), (substituce: cos x = t) ] 12 √ 3 2 [ , (substituce: 4x − 2 = t) ] 2 1 1 1 [ ln − ln , (substituce: ex = t) ] 2 2 3 [


42 Aplikace urˇcitého integrálu - teorie

42

151

Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu - teorie

42.1

Obsah rovinn´ e oblasti

1. obsah podgrafu: y

f (x)

a

x

b

Obrázek 97: Obsah podgrafu

a) explicitn´ı zadán´ı Z S=

b

f (x) dx a

b) parametrické zadán´ı Z S =

β

α

ψ(t) · ϕ0 (t) dt

2. plocha mezi 2 grafy: f (x) y

g(x)

a

b x

Obrázek 98: Plocha mezi 2 rafy Z

b

(f (x) − g(x)) dx

S= a

SA1



152

Pˇ r. Odvod’me vzorec pro obsah elipsy. y

b

a

x

Obrázek 99: Obsah elipsy Z analytické rovnice elipsy x2 y 2 + 2 =1 a2 b vyjádˇr´ıme explicitn´ı pˇredpis pro horn´ı ˇca´st elipsy takto r x2 y = f (x) = b · 1 − 2 a Pro jednoduchost vypoˇcteme obsah elipsy jako 4-násobek jedné jej´ı ˇca´sti takto Z a r Z x2 4b a √ 2 b · 1 − 2 dx = S=4 a − x2 dx a a 0 0 zavedeme nyn´ı substituci takto: x = a sin t ⇒ dx = a cos t dt, 0 → 0, a → 4b S= a

Z

π 2

Z p 2 2 2 a − a sin t · a cos t dt = 4ab

0

π 2

2

Z

cos t dt = 2ab

0

π 2

⇒

π 2

(cos 2t + 1) dt = 0

π2 sin 2t = 2ab + t = πab 2 0

(pokud a = b = r ⇒ S = πr2 )

SA1



42.2

153

D´ elka kˇ rivky y

f (x)

a

x

b

Obrázek 100: Délka kˇrivky

1. explicitn´ı zadán´ı Z bp l= 1 + (f 0 (x))2 dx a

2. parametrické zadán´ı x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ ha, bi ⇒ Z

β

l=

p (ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt

α

Pˇ r. Odvod’me vzorec pro délku kruˇrnice. Mohli bychom poˇc´ıtat z analytického vyjádˇren´ı kruˇrnice √ x2 + y 2 = R 2 ⇒ y = R 2 − x2 ale odmocnina by se asi integrovala obt´ıˇznˇe. Zvol´ıme proto parametrické vyjádˇren´ı kruˇznice. ϕ = R · cos t ⇒ ϕ0 = −R · sin t,

ψ = R · sin t ⇒ ψ 0 = R · cos t,

t ∈ h0, 2πi

Pak máme Z l= 0

SA1

2π

Z p 2 2 2 2 R sin t + R cos t dt =

2π

R dt = [Rt]2π 0 = 2πR

0



42.3

154

Objem tˇ elesa

1. S(x) ploˇsn´ y pr˚ uˇrez obsahu, a ≤ x ≤ b v kaˇzdém x z ha, bi známe ploˇsn´ y obsah pr˚ uˇrezu ⇒ Z b S(x) dx V = a

Pˇ r. z

1

√

√

3

2

y x

Obrázek 101: Ploˇsn´ y pr˚ uˇrez tˇelesa √

S(0) = 1,

3 S(1) = , 2

1 S = 2

√ 2+ 3 2

√

· 2

√ 2+ 3 2

√ √ 2+2 6+3 5+2 6 = = 8 8

Ve v´ yˇsce v plat´ı pro délku odvˇesny: √ √ √ √ √ v = 2 + v( 3 − 2) = 2(1 − v) + 3 · v Pak dostaneme √ 2 1 √ 1 √ 2 · (1 − 2v − v 2 ) + 2 6(v − v 2 ) + 3v 2 = Sv = 2(1 − v) + v 3 = 2 2 √ 5 √ = − 6 v 2 + ( 6 − 2)v + 1 2 ⇒

S(x) =

Z V = 0

1

√ 5 √ − 6 x2 + ( 6 − 2)x + 1 2

" √ 5 √ − 6 x2 + ( 6 − 2)x + 1 dx = 2

5 2

−

#1 √ 3 √ 6 x ( 6 − 2)x2 + +x = 3 2 0

√

= ... =

SA1

5+ 6 6 ´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM


155

2. objem tˇelesa vzniklého rotac´ı kolem osy x a) explicitn´ı zadán´ı Z

b

f 2 (x) dx

V =π a

b) parametrické zadán´ı Z V = π

β

α

ψ (t) · ϕ (t) dt 0

2

Pˇ r. Odvod’te objem kuˇzele. y

y=

r v

·x

v

x

Obrázek 102: Objem kuˇzele Z V =π 0

v

3 v Z v r 2 r2 r2 r2 x v3 1 2 x dx = 2 · π = 2 ·π· x dx = 2 · π = πvr2 v v v 3 0 v 3 3 0

3. objem tˇelesa, vzniklého rotac´ı kolem osy y Z b xf (x) dx V = 2π a

Pˇ r. Odvod’me objem anuloidu. Budeme poˇc´ıtat pro rotaci p˚ ulkruhu. Polokruˇznice má rovnici p (x − R)2 + y 2 = r2 ⇒ y = r2 − (x − R)2

y

x r R

Obrázek 103: Objem anuloidu

SA1



156

x − R = rt Z R+r p dx = r dt 2 2 V = 2·2π x r − (x − R) dx = R−r R − r → −1 R+r →1 = 4πr

2

Z

1

Z √ 2 (R + rt) 1 − t2 dt = 4πr R

−1 2

1

√

Z 1 √ = 4π (rt+R)·r 1 − t2 ·r dt = −1

1 − t2 dt + r

−1

Z

1

= 4πr · R

√ 1 − t2 dt + 0 = 4πr2 · R

−1

Z

1

Z

√ t 1 − t2 dt =

−1 0

√

Z 1−

t2

dt +

−1

1

√

1−

t2

dt =

0

t = sin u Z πp Z 1√ 2 dt = cos u du 2 2 2 1 − t dt = = 8πr · R 1 − sin2 u · cos u du = = 4πr · R · 2 0 → 0 0 0 π 1→ 2 π2 Z π Z π 2 2 sin 2u 1 cos 2u 1 2 2 2 2 cos u du = 8πr ·R + du = 8πr R + u = 8πr ·R = 2 2 4 2 0 0 0 = 2π 2 r2 R

42.4

Obsah pl´ aˇ stˇ e rotaˇ cn´ıho tˇ elesa

1. explicitn´ı zadán´ı Z

b

f (x)

S = 2π

p 1 + (f 0 (x))2 dx

a

2. parametrické zadán´ı Z

β

P = 2π

p ψ(t) (ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt

α

SA1


43 Aplikace urˇcitého integrálu - cviˇcen´ı

43

157

Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu - cviˇ cen´ı explicitn´ı rovnice

ˇ Y ´ OBSAH PLOSN OBJEM ´ ˇ DELKA KRIVKY ´ ST ˇ E ˇ POVRCH PLA

parametrické rovnice

y = f (x), x ∈ ha, bi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi Z β Z b 0 S= f (x) dx S= ψ(t) · ϕ (t) dt Zα β Za b 2 2 0 [f (x)] dx V =π V = π [ψ(t)] · ϕ (t) dt Z β α Z b pa p 0 2 0 2 2 L= 1 + [f (x)] dx L= [ϕ (t)] + [ψ(t)] dt Z β α Z ab p p f (x) 1 + [f 0 (x)]2 dx P = ψ(t) [ϕ0 (t)]2 + [ψ(t)]2 dt P = 2π a

43.1

α

Obsah rovinn´ e oblasti

1. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcené kˇrivkou y = x2 a osou x pro x ∈ h−3, 3i. 2. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcené kˇrivkami y = x3 a y = x pro x ∈ h1, 2i. 3. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcené kˇrivkami y =

2 1+x2

a y = xx .

[ 18 ] [ 94 ] [ π − 23 ]

4. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcené kˇrivkami y = x3 + x2 − 6x a osou x pro x ∈ h−3, 3i. [ 28 32 ] 5. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcené kˇrivkami y = 2x2 a y = x2 a y = 1. 6. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcené kˇrivkami y = ex − 1 a y = e2x a x = 0.

√

[ 2 2−3

2

]

[ ln 4 − 12 ]

7. Urˇcete obsah p˚ ulkruhu zadaného prametrick´ ymi rovnicemi x = r cos t, y = r sin t, 2 t ∈ h0, πi. [ πr2 ] 8. Pomoc´ı urˇcitého integrálu urˇcete obsah troj´ uheln´ıka ABC, kde A = [−1, 0], A = [2, 0], A = [0, 2]. [3]

SA1



43.2

158

Objem tˇ elesa

9. Vypoˇctˇete objem kuˇzelu, kter´ y vznikne rotac´ı pˇr´ımky y = 12 x − 1 kolem osy x pro x ∈ h2, 6i. [ π 16 ] 3 10. Vypoˇctˇete Pˇr´ıklad 14 pomoc´ı vhodné parametrizace. 11. Vypoˇctˇete objem tˇelesa, kter´ y vznikne rotac´ı plochy mezi kˇrivkami y = x2 + 1, y = 0, x = 1 a x = 0 kolem osy y. [ 32 π ] 12. Vypoˇctˇete objem tˇelesa, kter´ y vznikne rotac´ı plochy mezi kˇrivkami y = 5x, y = 5x2 : a) kolem osy x; b) pro x ∈ h1, 4i kolem osy y;

[ 10 π] 3 [ 4590π ]

13. Vypoˇctˇete objem tˇelesa, kter´ y vznikne rotac´ı plochy mezi kˇrivkami y = 21 x2 + 1, y = 1 − 2 x + 4 a x = 0: a) kolem osy x;

[ 92 π] 5

b) kolem osy y;

[ 4π ]

14. Odvod’te vztah pro objem rotaˇcn´ıho komolého kuˇzelu s polomˇery podstav 0 < r1 ≤ r2 a v´ yˇskou v. Z r2 − r1 [ V = π 0v x + r1 dx ] v 15. Urˇcete objem elipsoidu, kter´ y vznikne rotac´ı elipsy dané parametrick´ ymi rovnicemi x = a cos t, y = b cos t, t ∈ h0, 2πi kolem osy x. [ 4πr2 ]

SA1



43.3

159

D´ elka kˇ rivky

16. Urˇcete délku asteroidy dané parametrick´ ymi rovnicemi x = a cos3 t, y = b sin3 t, t ∈ h0, 2πi. [ 6a ]

43.4

Porvch tˇ elesa

17. Pomoc´ı Riemannova integrálu urˇcete povrch koule o polomˇeru r, je-li tvoˇr´ıc´ı p˚ ulkruˇznice dána: √ [ 4πr2 ] a) explicitnˇe y = + r2 − x2 ; b) parametricky x = r cos t, y = r sin t, kde t ∈ h0, πi;

[ 4πr2 ]

18. Urˇcete pláˇstˇe tˇelesa, které vznikne rotac´ı ˇca´sti asteroidy x = a cos3 t, y = b sin3 t,

povrch [ 65 πa2 ] t ∈ 0, π2 kolem osy x. 19. Odvod’te vzorec pro povrch koule o polomˇeru r.

SA1


44 Integrál jako funkce horn´ı meze

44

160

Integr´ al jako funkce horn´ı meze

Mˇejme f (x) na ha, bi riemannovsky integrovatelnou, pro x ∈ ha, bi Z x f (t) dt a

nazveme integr´ al jako funkce horn´ı meze. Pˇ r. y = x2 , ha, bi x

Z

3 x t x3 1 t dt = + = 3 1 3 3 2

1

⇒ a má vliv na konstantu Z

x

f (t) dt = 0 (pro x = a) x

Z a

Z

Z f (t) dt = −

x
x

a

f (t) dt x

b

f (t) dt . . . integrál jako funkce doln´ı meze x

pouˇzit´ı: Z dx ln x Z zavedeme a

x

dt = Li(x) . . . zavedli jsme zcela konkrétn´ı funkci, tzv. funkci logaritmus inln t

tegrál Li(x)

SA1



161

Vˇ eta Pˇredpokládejme, ze f (x) je riemannovsky integrovatelná ja ha, bi. Pak je Z x f (t) dt F (x) = a

spojitá na ha, bi. D˚ ukaz x0 ∈ ha, bi, > 0, funkce f (x) je riemannovsky integrovatelná na ha, bi, tzn. je zde omezená. Tzn. existuje c ∈ R takové, ˇze |f (x)| ≤ c. Oznaˇcme δ = c . Vezmˇeme x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ ha, bi. Pak Z x0 Z x0 Z x f (t) dt ≤ |x − x0 |c < δc = c = f (t) dt = f (t) dt − |F (x0 ) − F (x)| = c x a a

y c

x0

x

x

Obrázek 104: F (x) omezená Tzn. F (x) je spojitá.

SA1



162

Vˇ eta Pˇredpokládeje, ˇze f (x) je riemannovsky integrovatelná na ha, bi a spojitá v x0 ∈ ha, bi. Pak Z x f (t)dt F (x) = a

má derivaci a plat´ı, ˇze F 0 (x0 ) = f (x0 ). (Je-li x0 = a nebo x0 = b, jedná se o derivaci jednostrannou). D˚ ukaz > 0, f (x) spojitá v x0 , tzn. pro 2 existuje δ > 0 takové, ˇze ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ ha, bi plat´ı |f (x) − f (x0 )| < 2 . Pro x 6= x0 , x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ ha, bi máme Z x Z x0 1 F (x) − F (x0 ) f (x )(x − x ) 0 0 = = − f (x ) f (t) dt − f (t) dt − 0 x − x0 x − x0 x − x0 a a Z 1 = x − x0

x

Z f (t) dt −

x0

1 ≤ |x − x0 |

Z ·

x

x0

x

x0

f (x0 ) dt =

|f (t) − f (x0 )| dt ≤

1 |x − x0 |

1 |x − x0 |

Z ·

x

x0

Z x · (f (t) − f (x0 ) dt ≤ x0

h i x 1 t = < . dt = 2 |x − x0 | 2 x0 2

Tzn. F 0 (x0 ) = f (x0 ). D˚ usledky 1. Je-li f (x) spojitá na ha, bi, pak Z F (x) =

x

f (t)dt a

má derivaci na ha, bi a plat´ı F 0 (x) = f (x) tzn. F (x) je na ha, bi primitivn´ı funkc´ı k funkci f (x). 2. k funkci spojité na ha, bi existuje funkce primitivn´ı a to spojitá. ⇒ i pro Riemannovu funkci tak existuje primitivn´ı funkce F (x) a to v bodech spojitosti, tj. v iracionáln´ıch ˇc´ıslech. F (x) tak existuje bodovˇe, ne na urˇcitém intervalu.

SA1


45 Nevlastn´ı integrály - teorie

45

163

Nevlastn´ı integr´ aly - teorie ∞

Z

x

Z

f (t) dt

f (x) dx = lim

x→∞

a

a

nazveme nevlastn´ı integr´ al vlivem meze. y

f (x) =

1 x2

x

Obrázek 105: Nevlastn´ı integrál vlivem meze Vyjde-li limita vlastn´ı, tak ˇrekneme, ˇze integrál je konvergentn´ı. Vyjde-li limita nevlastn´ı, tak ˇrekneme, ˇze integrál je divergentn´ı. Neexistuje-li limita, tak ˇrekneme, ˇze integrál je divergentn´ı. Pˇ r.

Z 1

∞

1 dx = lim x→∞ x2 Z

Z

x

1

1 f (t) dt = lim − +1=1 x→∞ x

b

b

Z

f (t) dt

f (x) dx = lim

x→−∞

−∞

Z

∞

Z

a

Z

f (x) dx = −∞

∞

f (x) dx . . . nutno integrál rozdˇelit

f (x) dx + −∞

x

a

Bude konvergentn´ı, pokud budou konvergentn´ı oba integrály na pravé stranˇe rovnosti. y

1 f (x) = e−x

2

x

Obrázek 106: Gaussova kˇrivka

SA1


45 Nevlastn´ı integrály - teorie

164

Roste-li funkce na námi zkoumaném intervalu nadevˇsechny meze, tak poˇc´ıtáme Z b Z x f (x) dx = lim− f (t) dt x→b

a

a

a nazveme tento integrál nevlastn´ım integr´ alem vlivem funkce. y

a

b

x

Obrázek 107: Nevlastn´ı integrál vlivem funkce

SA1


46 Nevlastn´ı integrály - cviˇcen´ı

46

165

Nevlastn´ı integr´ aly - cviˇ cen´ı

1. Spoˇctˇete následuj´ıc´ı nevlastn´ı integrály: Z 1 x ln x dx a) 0

Z

∞

b) 1

Z

8

c) 0

Z

x3 + 1 dx x4

[6]

1 2

(x − 1) 3

0

Z

dx

[6]

∞

e−ax cos bx dx

e) 0

Z

[ diverguje ]

1 √ dx 3 x

2

d)

[ − 14 ]

∞

a [ a2 +b 2 ]

2

xe−x dx

f)

[ 12 ]

0

Z

∞

g) 1

Z

h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r)

arctg x dx 1 + x2

2

[ − 3π ] 32

1

1 dx 1 − x2 0 Z ∞ 1 dx 2 −∞ 1 + x Z ∞ 1 √ dx x x 1 Z ∞ 1 dx x2 2 Z ∞ 1 √ dx x 1 Z ∞ 1 dx 2 x(x + 1) 1 Z ∞ 1 dx x ln x 2 Z ∞ 1 √ dx x x+1 1 Z ∞ x2 e−x dx 0 Z ∞ 1 dx −x + ex −∞ e Z ∞ cos x dx

[ π2 ]

√

[π] [2] [ 12 ] [ diverguje ] [ 12 ln 2 ] [ ∞, diverguje ] √

[ ln √2+1 ] 2−1 [2] [ π2 ] [ diverguje ]

1

SA1


46 Nevlastn´ı integrály - cviˇcen´ı Z

∞

s) 1

Z t)

1 x4 +2

166

[1 −

dx

π 4

]

∞

e−3x dx

[ 13 ]

0

Z

∞

2. Rozhodnˇete, pro která k > 0 konverguje, resp. diverguje integrál 1

1 dx. xk

pro 0 < k ≤ 1 diverguje, pro k > 1 konverguje k ˇc´ıslu − Z 3. Rozhodnˇete, pro která k > 0 konverguje, resp. diverguje integrál 0

1

1 dx. xk

pro k ≥ 1 diverguje, pro 0 < k < 1 konverguje k ˇc´ıslu Z 4. Rozhodnˇete, pro která k > 0 konverguje, resp. diverguje integrál

1 1−k

1 1−k

∞

e−kx dx.

0

pro vˇsechna k > 0 konverguje k ˇc´ıslu

SA1

1 k


46 Nevlastn´ı integrály - cviˇcen´ı

167

Vˇ eta (Srovnávac´ı kritérium integrál˚ u) Necht’ 0 ≤ f (x) ≤ g(x) v ha, bi, kde f (x) je v levém okol´ı bodu b neohraniˇcená a inteZ b grovatelná na vˇsech ha, ci, a < c < b. Pak plat´ı, ˇze konverguje-li integrál g(x) dx, pak a Z b Z b Z b g(x) dx. f (x) dx, pak diverguje i f (x) dx. Diverguje-li konverguje také a

a

a

5. Na základˇe srovnávac´ıho kritéria rozhodnˇete o konvergenci integrál˚ u: Z ∞ Z ∞ ln(x2 + 2) 1 a) dx Srovnávat napˇr. s dx, diverguje x x 1 1 Z ∞ Z ∞ 1 x dx Srovnávat napˇr. s b) dx, konverguje 3 x +1 x2 1 1 Z ∞ Z ∞ 1 arctg x dx Srovnávat napˇr. s dx, diverguje c) x x 1 1

Vˇ eta (Integráln´ı kritérium pro konvergenci nekoneˇcné ˇrady

∞ X

an )

n=1

Necht’ f (x) je na intervalu ha, ∞), a > 0 taková spojitá nezáporná nerostouc´ı funkce, ˇze Z ∞ ∞ X an a integrál f (x) dx f (n) = an pro skoro vˇsechna pˇrirozená n. Pak nekoneˇcná ˇrada n=1

a

zároveˇ n konverguj´ı nebo diverguj´ı. 6. Na základˇe integráln´ıho kritéria rozhodnˇete o konvergenci nekoneˇcné ˇrady: a) b) c) d)

∞ X 1+n 1 + n2 n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1

SA1

n (n + 1)3

diverguje konverguje

n 1 + n2

diverguje

1 −1

konverguje

n2


Seznam obrázk˚ u

168

Seznam obr´ azk˚ u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 SA1

´ Uhlopˇ r´ıˇcka ˇctverce . . . . . . . . . Relace . . . . . . . . . . . . . . . . Zobrazen´ı . . . . . . . . . . . . . . Ekvivalence . . . . . . . . . . . . . Uspoˇra´dán´ı . . . . . . . . . . . . . Uspoˇra´dán´ı - dˇelitelnost . . . . . . Manhattanská metrika . . . . . . . Pˇr. nemetriky“ . . . . . . . . . . . ” Otevˇrené koule . . . . . . . . . . . Otevˇrená mnoˇzina . . . . . . . . . Otevˇrené mnoˇziny . . . . . . . . . . Uzavˇrené mnoˇziny . . . . . . . . . Kobonovy troj´ uheln´ıky . . . . . . . Konvergentn´ı posloupnost . . . . . Okol´ı bodu . . . . . . . . . . . . . -okol´ı bodu . . . . . . . . . . . . . Ryz´ı okol´ı bodu . . . . . . . . . . . Ryz´ı -okol´ı bodu . . . . . . . . . . Restrikce Domf . . . . . . . . . . . Extenze Domf . . . . . . . . . . . Sudost/lichost funkce . . . . . . . . Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe . . Ryz´ı okol´ı zprava . . . . . . . . . . Ryz´ı okol´ı zleva . . . . . . . . . . . Nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe . Vlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇe . Nevlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇe Existence limity . . . . . . . . . . . 1. Bolzanova vˇeta . . . . . . . . . . Browerova vˇeta . . . . . . . . . . . Sˇc´ıtán´ı funkc´ı . . . . . . . . . . . . Kompozice funkc´ı . . . . . . . . . . Nulov´ y polynom . . . . . . . . . . . Konstatn´ı polynom . . . . . . . . . Lineárn´ı polynom . . . . . . . . . . Kvadratické polynomy . . . . . . . Kubické polynomy . . . . . . . . . Domf mocninn´ ych funkc´ı . . . . . Exponenciáln´ı funkce . . . . . . . . Logaritmické funkce . . . . . . . . Jednotková kruˇznice . . . . . . . . Zaveden´ı na troj´ uheln´ıku . . . . . . y = sec x . . . . . . . . . . . . . . . y = cosec x . . . . . . . . . . . . . . Nekoneˇcná funkˇcn´ı ˇrada . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 5 6 7 8 9 42 42 43 43 44 44 45 46 47 47 47 47 58 59 60 63 63 63 64 64 65 65 67 68 71 72 73 73 74 75 76 80 81 82 83 83 84 84 86


Seznam obrázk˚ u

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 SA1

Zaveden´ı ex ˇca´st 1 . . . . . . . . Zaveden´ı ex ˇca´st 2 . . . . . . . . Zaveden´ı sin x . . . . . . . . . . y = Sin x . . . . . . . . . . . . . y = arcsin x . . . . . . . . . . . y = Cos x . . . . . . . . . . . . y = arccos x . . . . . . . . . . . y = Tg x . . . . . . . . . . . . . y = arctg x . . . . . . . . . . . . y = Cotg x . . . . . . . . . . . . y = arccotg x . . . . . . . . . . y = Sec x . . . . . . . . . . . . . y = arcsec x . . . . . . . . . . . y = Cosec x . . . . . . . . . . . y = arccosec x . . . . . . . . . . Hyperbolické funkce . . . . . . Silniˇcn´ı radar . . . . . . . . . . Definice derivace . . . . . . . . Nevlastn´ı derivace . . . . . . . . Znaménko derivace . . . . . . . Porovnán´ı grafu f a f 0 1 . . . . Porovnán´ı grafu f a f 0 2 . . . . Rolleova vˇeta . . . . . . . . . . Lagrangeova vˇeta . . . . . . . . Diferenciál . . . . . . . . . . . . ˇ ad vs. stupˇen R´ ˇ polynomu . . . . Hroty funkce . . . . . . . . . . Lokáln´ı minimum . . . . . . . . Minimum v hrotu funkce . . . . Derivace v extrému . . . . . . . Nulová druhá derivace . . . . . Zmˇeny znaménka funkce . . . . Zmˇeny monotonnosti funkce . . Konvexnost . . . . . . . . . . . Konkávnost . . . . . . . . . . . Asymptoty funkce . . . . . . . . Znaménko funkce . . . . . . . . Monotonnie funkce . . . . . . . Konvexnost/konkávnost funkce Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 1 . . . . Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 2 . . . . Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 3 . . . . Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 4 . . . . Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 5 . . . . Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 6 . . . . Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 7 . . . . Primitivn´ı funkce . . . . . . . .

169

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 87 88 89 89 90 90 91 91 92 92 93 93 94 94 95 97 97 98 98 99 99 104 105 109 112 115 115 116 116 116 118 118 119 119 122 125 125 125 126 127 128 129 130 131 132 133


Seznam obrázk˚ u

93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107

SA1

Urˇcit´ y integrál . . . . . . . . . . Zaveden´ı Riemannova integrálu Integrace Riemannovy funkce . Integrovatelnost . . . . . . . . . Obsah podgrafu . . . . . . . . . Plocha mezi 2 rafy . . . . . . . Obsah elipsy . . . . . . . . . . . Délka kˇrivky . . . . . . . . . . . Ploˇsn´ y pr˚ uˇrez tˇelesa . . . . . . Objem kuˇzele . . . . . . . . . . Objem anuloidu . . . . . . . . . F (x) omezená . . . . . . . . . . Nevlastn´ı integrál vlivem meze . Gaussova kˇrivka . . . . . . . . . Nevlastn´ı integrál vlivem funkce

170

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

144 145 147 149 151 151 152 153 154 155 155 161 163 163 164


Matematická analýza 1

Recommend Documents