d ch iterace je proces opakovan ho pou it funkce, kdy v dal m kroku se funk n hodnota pou ije jako argument t to funkce { pomoc matematick symboliky z

INFORMATIKA Animovan grafy v Excelu

;

TPN HUBLOVSK, P rodovdeck fakulta UHK, Hradec Krlov

lnek ukazuje monosti vytvoen jednoduchch animovanch graf v aplikaci MS Excel. Tyto animovan grafy lze vyuvat jako pomocn prostedek pro znzorn n prb hu funkc v matematice. V lnku je popsn princip iteranho pepotu bu ky v Excelu, na jeho zklad se animovan grafy vytvej.

Animace

Animace obecn znamen zpsob, jak zdnliv rozhbat statick obrzek. Principem animace je zaznamenn sekvence snmk, kter se nepatrn li. Pi rychl m zobrazovn t chto snmk za sebou vznik dky setrvanosti lidsk ho oka dojem pohybu. Zpsob, jak animovat graf, ukeme na pkladu animace prb hu kvadratick funkce f (x) = a(x + b)2 + c. Animovat graf znamen, e zm nou jednoho, pop. vce parametr, dojde ke zm n zdrojovch dat grafu a graf krok za krokem bude denovan

m nit svj tvar. Pokud tedy budeme m nit nap. parametr c (pi konstantnch parametrech a a b), bude se tento graf posouvat ve sm ru osy y { viz nap. 1]. Nyn si ukeme, jak zajistme zm nu parametru c pomoc tzv. iterativnho pepotu hodnoty bu ky.

Iterace

Obecn iterace znamen opakovn urit innosti { slovo iterace pochz z latinsk ho iterare { opakovat. V matematice a numerickch metoMatematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

485

dch iterace je proces opakovan ho pouit funkce, kdy v dalm kroku se funkn hodnota pouije jako argument t to funkce { pomoc matematick symboliky zapsno: x +1 = f (x ) { viz nap. 3]. Typickm pkladem vyuit iterac je numerick een nelinernch rovnic obecnou iteran metodou { viz nap. 2]. Iterace v programovn, podobn jako v matematice, znamen op tovn voln funkce, kdy argumentem funkce je vsledek pedel ho voln funkce. V programovn se s iteracemi setkvme pom rn asto. I piazovac pkaz typu A:= A + 1 lze chpat jako formu iterace. Tento vraz znamen, e nov hodnota prom nn je rovna pvodn hodnot A zven o 1 (AN+1 := AN + 1). Iterace v Excelu V Excelu se ve vzorci dan bu ky me vyskytnout cyklick odkaz. Znamen to, e vzorec v bu ce se odkazuje na hodnotu t to bu ky, pop. e vzorec t to bu ky se odkazuje na hodnotu jin bu ky, kter m ve vzorci op t odkaz na pvodn bu ku. Hodnotu takov bu ky lze stanovit pouze iterativnm pepotem. Pokud v nstrojch Excelu nen povolen iterativn pepoet (standardn je zakzn), vpoet se neprovede a bude oznmena chyba. Ve verzi Excelu 2007 se iterativn pepoet povol v dialogov m okn Mo nosti aplikace Excel (tlatko na oteven dialogov ho okna se objev po kliknut na Tlatko O"ce ;) v zloce Vzorce, co je patrno z obr. 1. Zde je teba zakrtnout volbu Povolit iterativn pepoet. Poloka Nejvy poet iterac uvd maximln poet iterac, opakovn, kter Excel provede pi iterativnm pepotu. Poloka Maximln zmna stanovuje pesnost vpotu { porovnv se zde hodnota bu ky ped iterac a hodnota n

n

;; Obr. 1 Nastaven hodnot pro iterativn p epoet

486

Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

;

Obr. 2 st vvojovho diagramu popisujc iterativn p epoet

bu ky po iteraci. Pokud absolutn rozdl obou hodnot je men ne stanoven pesnost vpotu, bude iterace zastavena. Standardn jsou v Excelu nastaveny hodnoty Nejvy poet iterac na 100 a Maximln zmna na 0,001. Iterativn vpoet a jeho ukonen lze pro snaz pochopen vyjdit formou algoritmu zapsan ho vvojovm diagramem na obr. 2. Iterativn pepoet lze run spustit stiskem klvesy F9 a to i pesto, e v dialogov m okn Mo nosti aplikace Excel je Nastavena volba Automaticky. Nastaven iteranho pepotu pro animaci grafu. Vra%me se nyn k vyuit iteranho pepotu pro animovn grafu. Konkr tn budeme m nit nap. parametr c kvadratick funkce f (x) = = a(x + b)2 + c. Hodnotu tohoto parametru ulome do bu ky B4. Do t to bu ky dle napeme cyklick vzorec =B4+1, kter vyjaduje, e hodnota bu ky B4 se po proveden jednoho iteranho pepotu nav o 1. Runm provedenm pepotu stiskem klvesy F9 se provede tolik pepot, kolik udv hodnota stanoven v okn Maximln poet iterac. Chceme-li prov st jeden, vzorcem v bu ce B4 denovan pepoet, je nutn tuto hodnotu nastavit na 1, jak je zejm z obrzku 1. Nyn opakovanm stiskem, pop. drenm klvesy F9 se hodnota bu ky B4 bude opakovan

zvyovat o hodnotu 1. Pokud by v bu ce B4 byl uveden pouze vzorec =B4+1, hodnota B4 by se po kad m pepotu stle zvyovala. Dokonce i pi uloen souboru, jeho uzaven a nsledn m oteven se provede vdy jeden pepoet. Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

487

Je proto vhodn stanovit minimln mez { je udan hodnotou v bu ce C2, a maximln mez { je udan hodnotou v bu ce D2, v rmci kterch se budou pepoten hodnoty B4 pohybovat. To lze zajistit tak, e vzorec v bu ce B4 bude dopln n podmnkou: =KDY&(B4>=D2'C2'B4+E2) { obrzek 5. Tato podmnka porovnv hodnotu v bu ce B4 s hodnotou v bu ce D2. Pokud je podmnka (B4>=D2) spln na, hodnota v bu ce B4 se zm n na hodnotu v bu ce C2. V opan m ppad se provede iteran pepoet a hodnota bu ky B4 se zv o hodnotu uloenou v bu ce E2 { velikost iteranho kroku. Opakovanm stiskem, pop. drenm klvesy F9 se bude provd t ve denovan pepoet parametru c kvadratick funkce v mezch od minimln (D2) do maximln hodnoty (C2) se zadanm iteranm krokem (E2).

Grafy v Excelu

Tabulkov editor MS Excel m pom rn dobe implementovan nstroje pro tvorbu graf. Umo uje na zklad poadavk uivatele vytvet rzn typy graf, jejich (pln seznam lze najt v npov d Excelu, pop. v nabdce Vlo en grafu. V tomto lnku se budeme zabvat pouze grafy XY bodovmi, kter umo uj v rovin zobrazit mnoinu bod danch souadnicemi x a y. Pi dostaten m mnostv hust zvolench bod lze pomoc tohoto typu grafu zobrazovat prb hy zvolench funkc. Pprava hodnot pro XY bodov graf Jak ji bylo uvedeno ve, animaci grafu si ukeme na grafu zvolen kvadratick funkce. Tento graf zobrazme v intervalu pro x 2 h;10' 10i Pomoc iterativnho pepotu se bude m nit koecient c, jeho hodnota je uloena v bu ce B4, koecienty a, b budou nem nn a jsou uloeny v bu kch B2 a B3. Do jednoho ze sloupc (nap. A) vepeme pod sebe souadnice x vech zobrazovanch bod v dan m intervalu. S ohledem na pesnost zobrazen je nutn zvolit tyto souadnice pom rn hust vedle sebe, nap. po 0,1. S vhodou zde vyuijeme monosti automatick ho koprovn ady sel taenm za (chyt bu ky. Poet takto vytvoench bod je 201. Ve sloupci B provedeme vpoet hodnot funkce f (x). Vzorec uloen v bu ce B6 je pak zejm z obr. 3. Odkazy na koecienty a, b, c bu kch B2, B3 a B4 jsou absolutn, odkazy na hodnoty argumentu funkce ve sloupci A jsou relativn. Vytvoen vzorec taenm za (chyt pekoprujeme z bu ky B6 do bun k B7 a B206. Vytvoen a animace grafu Vybereme data, ze kterch budeme vytvet graf { v naem ppad

488


oblast A6:B206, a vlome bodov graf s vyhlazenmi spojnicemi (tento typ grafu je uren ke kreslen funkc). Na zobrazen m grafu je vhodn nastavit maximln a minimln meze obou os pevn , v opan m ppad

animace automaticky m n tyto hodnoty a vsledek nen tak nzorn. Ve verzi Excel 2007 se nastaven provd v dialogov m okn Formt osy, zvl% pro osu x, zvl% pro osy y { obr. 4.

; ; ; Obr. 3 Vzorec v bu ce B6 pro graf kvadratick funkce

Obr. 4 Nastaven vlastnost osy grafu

Po kad m proveden m iterativnm pepotu koecientu c dan kvadratick funkce v mezch a s krokem tak, jak bylo uvedeno v pedel m textu, dojde k pepotn funknch hodnot v oblasti B6:B206 a zrove dojde k automatick mu posunu statick ho grafu, graf funkce se posouv ve sm ru osy y. Vhodnou volbou velikosti iteranho kroku (hodnota bu ky E2) se graf jev jako animovan { obr. 5. Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

489

;;

Obr. 5 Animovan graf kvadratick funkce vytvo en iterativnm p epotem bu ky B4

Z vr

lnek se zabv monost vyuit ICT ve vuce matematiky. Na konkr tnm pkladu animace kvadratick funkce je ukzno vyuit iterativnho pepotu, implementovan ho do tabulkov ho editoru MS Excel, jako nstroje pro vytvoen jednoduchch animovanch graf. Podobn lze aplikovat metodu animace pro parametry a a b, pop. souasn m nit vce parametr najednou. Metodu animace lze pout samozejm i v jinch pedm tech i pro sloit j funkn zvislosti, dokonce i pro grack een fyziklnch model. Literatura 1] Odvrko, O.: Matematika pro gymnzia, Funkce, Prometheus, 1993. 2] Jehlika, V.: Numerick metody, 4. lekce: een nelinernch rovnic. Dostupn na http://lide.uhk.cz/pdf/ucitel/jehlivl1/vyuka/numeraky/numericke metody.htm 3] Redakce MFI: Odmocnina. MFI, r. 18 (2008/09), . 1, s. 52{53. (Autorkou vodn ilustrace je Mgr. Jaroslava ermkov.)

490


Souet dlitel a pota STANISLAV TRVN EK P rodovdeck fakulta UP, Olomouc

Pirozen sla, ta pece zn kad, kad dovede odkvat 1 2 3 4 : : : , co na nich me bt zajmav ho krom toho, e vyjaduj poet (mamut, knih, desetinnch mst)? Tak se n kdo me ptt pi povrchnm pohledu. Ale pohle*me trochu hloub ji. Pirozen sla postupn vznikala u v prvnch fzch komunikace naich prapedk a jen co se osvobodila od potanch pedm t (tj. vznikly pojmy jedna, dv , atd.), zaujala mnoho pemlivch a hravch pedchdc pozd jch matematik. V prb hu historie se jimi zabvali i ti nejv t matematikov a dodnes jsou tato sla pedm tem hlubokch studi. O jejich vlastnostech jsou napsny rozshl spisy, ale o obsah t chto spis nm dnes nepjde. Zkusme, jak by to bylo a jak bychom m li pocit, kdybychom cht li pijt na n co nov ho (i kdy to teba objektivn

nov nebude). V pedloen m lnku pojednme o jednom zajmav m probl mu, kter se tk d litel a jejich sout. Nahl dneme, jak me pota bt npomocen pi zskvn (vodnch poznatk o n jak m probl mu, na jejich zklad me matematik vytvet netriviln hypot zy.

Souet dlitel

V rozvinutch kulturch ji dvno ili lid , kte se zajmali o pirozen sla, a kte si postupn uv domovali, e n kter sla jsou souinem jinch sel a jin ne, take se zaala rozliovat sla sloen a prvosla. Pi studiu sloench sel vytveli mnoiny vech d litel dan ho sla n, nap. slo 12 m d litele 1, 2, 3, 4 a 6 (tak 12, ale budeme zde uvaovat jen d litele men ne n a nebudeme se zabvat ppadem n = 1). A tu n koho nejm n ped dv ma a pl tisci lety napadlo vechny d litele dan ho sla sest. Pro, to je otzka, protoe krom lidsk zvdavosti pro to snad rozumn dvod ani nebyl. Ale postupn narstalo poznn o pirozench slech a matematici se mnoha probl my tkajcmi se d litelnosti a d litel i soutu d litel zabvaj dodnes. Podvejme se na tento probl m z programtorsk ho hlediska. Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

491

Souet d litel dan ho sla n ozname s(n), tedy nap. s(12) = 1+2+ 3 + 4 + 6 = 16, s(10) = 1 + 2 + 5 = 8, s(6) = 1 + 2 + 3 = 6. Pro vpoet s(n) na potai vytvome (v Pascalu) funkci function SD(M: Longint): Longint var S, K: Longint begin K := 2 S := 1 while M >= K * K do begin if M mod K = 0 then S := S + K + (M div K) if M = K * K then S := S - K Inc(K) end SD := S end

Na potku zadme velikost soutu S d litel hodnotou S = 1 (tm zapotvme samozejm ho d litele 1) a do S postupn akumulujeme dal d litele. V cyklu ponaje K = 2 a kde K postupn zvyujeme o jedniku, d lme zadan slo M slem K a pokud d len vyjde beze zbytku, piteme k S nejen p d litele K , ale i d litele M=K . Proto sta uvaovat K jen do hodnoty M , tj. cyklus se provd, pokud M K 2 . Kdy vyjde pesn

M = K 2 , nap. pro M = 25 a K = 5, byl by d litel K zapotn dvakrt (M=K = K ), tak poslednho d litele K jednou odeteme (ponechvme teni, aby vymyslel i jin zpsob oeten ppadu M = K 2). Pro zajmavost poznamenejme, e na internetu v sti Dokonal sla je v ukzce pouit jin algoritmus. V cyklu se k S pit jen prv zjit n d litel K a ptrn po d litelech kon a pro K = M=2. Tato odlinost velmi zpomaluje vpoty' jeho asov sloitost je O(M=2) na rozdl od p ve uveden ho algoritmu se sloitost O( M ). Pro v t M je to velk rozdl. Nap. pro M = 1 000 000 se poet prb h cyklem zmen z 500 000 pi O(M=2) na pouh 1 000 v naem ppad . Uvedenou funkci SD(M ) zapracujeme do vech dalch program v tomto lnku. Jako prvn si uve*me zcela jednoduch program na vpoet soutu 492


d litel sel n v zadan m rozmez od A do B . program SoucetD var A, B, N: Longint function SD(M: Longint): Longint ... begin {program} WriteLn('Soucet delitelu cisel n') Write('od A = ') ReadLn(A) if A = 1 then A := 2 Write('do B = ') ReadLn(B) N := A while N <= B do begin WriteLn(N,' ', SD(N)) if (N mod 20) = 0 then ReadLn Inc(N) end ReadLn end. {program}

Tento program po vstupu kadch dvaceti dk prci zastav, aby m l uivatel dostatek asu k prohl dnut novch vsledk. Jeho vedlejm pouitm me bt tak zji%ovn, zda dan slo n je prvoslo (v tomto ppad je s(n) = 1), i kdy samozejm mnohem vhodn j jsou k tomuto (elu programy, o jakch jsme pojednvali v redaknm lnku 1].

sla abundantn a decientn

Co pi vpotu s(n) vidme? Pro n kter n (nap. n = 12) je s(n) > n, takov sla se nazvaj abundantn' pro jin (nap. n = 10) je s(n) < n, tato sla se nazvaj de cientn. V n kterch ppadech je s(n) = n, to jsou tzv. sla dokonal, co pro mnoho ten jist nen novinkou. Sledujme etnosti sel abundantnch a decientnch pro n v zadan m Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

493

rozmez. K tomu teni sta jen mrn upravit pedchoz program (vynechat tisk a zav st dv potadla), kterm pak etnosti lehce zjistme. Zapime si n kter nahodil vsledky do tabulky: Rozmez n abundantnch 1 a 100 000 24 795 100 001 a 200 000 24 686 500 001 a 600 000 24 759 900 001 a 1 000 000 24 770 2 000 001 a 2 100 000 24 757 5 000 001 a 5 100 000 24 777

de cientnch 75 200 75 314 75 241 75 230 75 243 75 223

Take se meme zeptat: { Skuten je v kad m dostaten rozshl m rozmez n relativn etnost abundantnch sel mrn pod 25 % a decientnch mrn nad 75 %? (Na pesn j (vahu mme zjit no mlo dat). A pro je tomu tak?

Dokonal sla

Prv tato sla nejvce znepokojuj matematiky celch t ch dva a pl tisce let. Nebudeme se vak zde jimi zabvat, jen si uve*me prvn tyi: 6, 28, 496, 8128. (Nezasv cen ten se me na internetu o t chto slech a o historii jejich poznvn dozv d t mnoho zajmavost, sta vyhledat heslo dokonal sla' nap. e vech 46 dosud znmch dokonalch sel jsou sla sud a e se dosud nev, zda existuje n jak lich dokonal slo.) Mohli bychom mt nmitku, pro prv vlastnost s(n) = n je tak vznamn, e v n spatujeme jakousi dokonalost, ale berme to tak, e se ta sla prost takto jmenuj. Chce-li ten prot pocit objevitele dokonalch sel, me k tomu pout nsledujc program, ale nesm bt zklamn, e t ch dokonalch sel moc neobjev. program DokCis var A, B, N: Longint function SD(M: Longint): Longint ...

494


begin {program} WriteLn('Dokonala cisla') Write('od A = ') ReadLn(A) Write('do B = ') ReadLn(B) N := ((A+1) div 2)*2 {vytvome N sude} while N <= B do begin if SD(N) = N then WriteLn(N) Inc(N,2) end WriteLn('Konec') ReadLn end. {program}

V programu na internetu je poznmka: : : : lich dokonal slo asi neexistuje a pokud ano, tak je v t ne 10300 , co je mimo rozsah formtu sel i tohoto algoritmu. Proto i v programu DokCis se postupuje jen po sudch slech.

Posloupnosti navazujcch sel

U pythagorejci zjistili existenci tzv. sptelench sel, co jsou takov dvojice n1 , n2 , pro n plat s(n1 ) = n2 a souasn s(n2 ) = n1 , je to nap. dvojice 220, 284. Takovmi dvojicemi se zabval nap. i L. Euler a u se v, e je jich nekonen mnoho. (Pro tene by nem lo bt sloit pipravit si program, kter by po sptelench slech ptral.) Jsou znma i tzv. pospolit sla, kter jsou jakmsi zobecn nm sptelench sel a tvo cyklus. Zatm byly objeveny jen tylenn skupiny, kde pro i = 1 2 3 plat s(n ) = n +1 a dle s(n4 ) = n1 : : : . Je to nap. tveice 12 496, 14 288, 15 472, 14 536. V tomto zobec ovn pokraujme jet dle a denujme posloupnosti navazujcch sel. Budeme tak oznaovat posloupnosti (konen nebo nekonen ) i

i

n1 n2 n3 : : : n : : : v nich pro vechna i plat s(n ) = n +1 : : : . Takovou posloupnost je nap. 24 36 55:17 1' k

i

i


495

za posledn jednikou by mohly nsledovat u jen sam jedniky, kter vak nebudeme uvaovat, a uvedenou posloupnost budeme povaovat za konenou. Jin pklad: 222 234 312 528 960 2 088 3 762 5 598 6 570 10 746 : : : ' jej 108. len je 1 677 601 896 (109. len je ji mimo monosti formtu Longint) a je otzka, zda je tato posloupnost konen nebo nekonen, ppadn kolik m len. Skutenost, e se nm tato posloupnost jev jako rostouc, toti jet nic neznamen. Na potku se takto stejn chov nap. posloupnost. 120 240 504 1 056 1 968 3 240 7 650 14 112 32 571 jej pokraovn je 27 333 12 161 1 nebo% 12 161 je prvoslo. Take se nabz otzka: { Existuje n jak nekonen posloupnost navazujcch sel nebo jsou vechny tyto posloupnosti konen ? Nabzme teni program, s jeho pomoc si me posloupnosti navazujcch sel poizovat, a pak zkoumat jejich chovn. program PoNaCis var N, Suma: Longint C: Integer function SD(M: Longint): Longint ... begin {program} WriteLn('Posloupnost navazujicich cisel prvni clen') Write('1. ') ReadLn(N) C := 2 Suma := 0 while ((C <= 100) and (Suma <> 1)) do begin Suma := SD(N)

496


WriteLn(C, '. ', Suma) if (C mod 20) = 0 then ReadLn Inc(C) N := Suma end WriteLn('Konec') ReadLn end. {program}

Tdy D(x)

Nech% x je cel slo. Tda D(x) je mnoina vech takovch pirozench sel n, pro n plat s(n) = n + x. Uvme-li, e D(0) je mnoina vech dokonalch sel, vidme, e tdy D(x) dvaj na souty d litel obecn j pohled. Svj nzev kdysi dostaly i prvky ze tdy D(1), a to skoro dokonal sla, ale tato tda nen a tak zajmav, protoe obsahuje prv jen vechny kladn mocniny dvou, tj. 2 , kde k je pirozen slo. Vyetovn td D(x) je docela zajmav , otevr adu probl m a umo uje formulovat mnoho hypot z. Uve*me pklady. V rozmez n od 1 do 1 000 000 m tda D(4) t chto 8 prvk: 12 70 88 1 888 4 030 5 830 32 128 521 726: Ve stejn m rozmez m tda D(;4) t chto 10 prvk: 3 14 44 110 152 884 2 144 8 384 18 632 116 624 zatmco nap. tda D(3) zde m jen jeden prvek, a to 18, a D(3) dokonce dn. Podvejme se nyn v nsledujcch tabulkch na poet prvk n kterch td D(x) v rozmez sel n od 1 do 100 000 (prvn dek) a od 1 do 1 000 000 (druh dek). k

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 0 5 1 7 0 2 1 8 0 2 0 1 929 0 3 0 5 0 7 1 8 0 3 1 11 0 3 0 15227 0 4 0

x

;15 ;14 ;13 ;12 ;11 ;10 ;9 ;8 ;7 ;6 ;5 ;4 ;3 ;2 ;1

poet prvk

poet prvk

0 0

4 4

0 0

5 6

0 1

7 9

0 9 1 0 12 1


6 6

1 9 0 1 10 0

4 16 4 19

497

Na zklad poznatk z t chto tabulek ns jist napadnou n kter otzky, kter mohou bt podkladem rznch hypot z. Nap.: { Je to tak, e pro lich x 6= ;1 jsou pslun tdy D(x) przdn nebo obsahuj nanejv jeden prvek? { Jak to, e tda D(12) se potem prvk tak prudce vymyk ostatnm tdm? M nekonen mnoho prvk? Poznamenejme, e prvky tdy D(12) nachzme i mezi sly velmi velikmi (z hlediska fungovn celch sel na potai), nap. jich najdeme 8 v rozsahu od 2 147 483 000 do 2 147 483 600, tj. na sam m okraji sel formtu Longint. Nejv t dosaiteln naimi programy je 2 147 483 636. { Vidme, e pro nmi zvolen sud x se nmi zjit n prvky td D(x) pro x 6= 12 nachzej v tinou nebo i vechny pro n ji v rozmez od 1 do 100 000 (ppadn jet menm). Maj vbec n kter tyto tdy nekonen poet prvk? Je docela zajmav vyzkouet i dal hodnoty x, dle od 0. Meme tak zjistit dal anomlii, a to pro x = 56. Poet prvk D(56) pro n v rozsahu do 100 000 je toti 505 a v rozsahu do 1 000 000 je jich ji 3 801. { Pro pro x = 56 je etnost prvk D(x) (v dan m rozmez n) vrazn

vy? Jsou i dal takov tdy D(x) s vy etnost prvk? Uveden poty prvk st td D(x) byly zjit ny tmto programem: program TridyDX var A, B, N, Suma: Longint Pocet, X: Integer function SD(M: Longint): Longint ... begin {program} WriteLn('Cisla z tridy D(x)') Write('x = ') ReadLn(X) Write('od A = ') ReadLn(A) Write('do B = ') ReadLn(B) Pocet := 0 N := A while N <= B do

498


begin Suma := SD(N) if Suma = N + X then begin WriteLn(N,' ', Suma) Inc(Pocet) end Inc(N) end WriteLn('Pocet: ', Pocet) ReadLn end. {program}

Vra%me se jet ke td D(12) a vypime si postupn od potku n kolik jejch len 24 30 42 54 66 78 90 : : : ' zjistme zajmavou v c, toti e v D(12) je obsaena p tilenn podposloupnost navazujcch sel 30 42 54 66 78' (ale dl u ne, protoe s(78) = 90 62 D(12)). Lehce se pesv dme, e navazujcch dvojic obsahuje D(12) celou adu. Nap. 246 2 D(12), s(246) = 258 2 D(12)' podobn namtkou vybereme dvojice 8 562, 8 574' 13 602, 13 614' 380 334, 380 346' 5 868 426, 5 868 438' 45 991 866, 45 991 878' atd., kter maj stejnou ve uvedenou vlastnost. Mon, e se po peten informac o td D(12) bude n kter mu teni jevit tato tda zajmav j a zhadn j ne D(0) { dokonal sla. A pichz otzka: { Kolik navazujcch dvojic obsahuje D(12)? Obsahuje i jin vcelenn navazujc podposloupnosti? { Vyskytuje se tento jev i v jinch tdch D(x)? Vyzkoume-li zatky nmi zkoumanch td D(x), objevme jen jednu navazujc dvojici ve td D(10)' 21 2 D(10), s(21) = 11 2 D(10).

Tdy Q(r)

Nech% r je racionln slo. Tda Q(r) je mnoina vech takovch pirozench sel n, pro n plat s(n) = r n. Vidme, e Q(1) je mnoina Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

499

vech dokonalch sel, take tdy Q(r) tak obohacuj pohled na souty d litel. Chceme-li zskat informace o potench prvcch mnoin Q(r), meme k tomu pout nsledujc program. program TridyQR var A, B, N, P, Q, Suma: Longint Pocet: Integer function SD(M: Longint): Longint ... begin {program} WriteLn('Cisla z tridy r(n)=(p/q)n') Write('citatel p = ') ReadLn(P) Write('jmenovatel q = ') ReadLn(Q) WriteLn('pro n v rozsahu') Write('od A = ') ReadLn(A) Write('do B = ') ReadLn(B) Pocet := 0 N := ((A + Q - 1) div Q) * Q while N <= B do begin Suma := SD(N) if (Q * Suma = P * N) then begin WriteLn(N, ' ', Suma) Inc(Pocet) end Inc(N,Q) end WriteLn('Pocet: ', Pocet) WriteLn('Konec') ReadLn end. {program}

500


Pro pedstavu o tdch Q(r) si uve*me n kolik pklad' pro n v rozmez od 1 do 1 000 000 dostvme pro zadan r tyto prvky pslunch td: Q(3=2): 24' Q(2=1): 120, 672, 523 746' Q(5=2): 4 320, 4 680, 26 208' Q(3=1): 30 240, 32 760' Q(4=3): 12, 234' Q(5=3)' 84, 270, 1 488, 1 638, 24 384' Q(7=3): 1 080, 6 048, 6 552, 435 708' Q(3=4): 4' Q(5=4): 40, 224, 174 592' Q(7=4): 47 616. Na zklad zskanch poznatk lze poloit tyto otzky: { Jsou vechny tdy Q(r) konen ? Nebo je to jinak? { Vechny zde uveden pklady obsahuj jen sud sla. Jak je to s lichmi sly, a existuj i netriviln ppady? Trivilnm ppadem pitom nazveme nap. slo 105 a jeho zatd n: s(105) = 87, take 105 2 Q(29=35).

Z vr

V tomto lnku jsme poloili n kolik otzek' jak jsou monosti najt na n odpov * i s matematickm odvodn nm t to odpov di? Jsou v podstat dv : { odpov * a jej odvodn n u matematika dvno zn, jen je teba objevit pslunou literaturu' { odpov * v literatue nenachzme a pokoume se na zklad hlubho studia (k n kter otzce) o vlastn zv r. V me, e jsme tmto lnkem inspirovali n kter tene, aby cht li hloub ji proniknout do tajemstv pirozench sel a proili pitom zajmav chvle. Literatura 1] Redakce: Rozklady slo!ench sel. MFI, 16 (2006{07), . 1, str. 37{40.


501

d ch iterace je proces opakovan ho pou it funkce, kdy v dal m kroku se funk n hodnota pou ije jako argument t to funkce { pomoc matematick symboliky z

Recommend Documents