1 Část pracovní verze odstavců o následujících tématech z připravovaných skript o integrálním počtu (autoři P.Ř. a V.Ž.): • Integrál jako funkce meze • První a druhá základní věta integrálního počtu • Výpočetní techniky pro Riemannův integrál • Nevlastní integrály • Jordanova–Peanova míra
Integrál jako funkce meze Nyní se podíváme na určitý integrál trochu jiným způsobem: Budeme zkoumat jeho vlastnosti v situaci, kdy horní mez (popřípadě dolní mez, resp. obě meze současně) chápeme jako proměnnou (resp. proměnné). Přesněji řečeno, pro funkci f integrovatelnou na intervalu ha, bi budeme zkoumat vlastnosti funkce Zx F (x) :=
f (t) dt,
(0.0.1)
a
která je na intervalu ha, bi dobře definována za předpokladu, že f ∈ R(a, x) pro každé x ∈ ha, bi Této funkci říkáme integrál jako funkce horní meze. Vzhledem k tomu, že určitý integrál souvisí s obsahem určitých obrazců, jejichž část hranice je tvořena grafem integrandu, lze význam funkce F (pro f kladné) znázornit následovně: Představme si, že rozvíjíme netypický koberec, jehož šířka f (x) se mění spojitě vzhledem k rozvinuté délce x, jako na následujícím obrázku. Funkce (0.0.1) pak vyjadřuje obsah rozvinuté části koberce v závislosti na jeho aktuální délce. Typický koberec má konstantní šířku, neboli f (x) = k pro všechna x ∈ h0, bi, kde b je jeho délka. V takovém případě je pokrytá plocha přímo úměrná rozvinuté délce, F (x) = k · x. Jinak řečeno, rychlost, jakou koberec pokrývá podlahu, je vzhledem k proměnné x konstantní a tato konstanta je právě k; zejména je funkce F diferencovatelná, a tudíž také spojitá. V obecnějším případě šířka koberce konstantní není, avšak předchozí závěry platí nadále: Obsah rozvinuté části koberce se mění spojitě vzhledem k jeho délce (tento poznatek zobecníme záhy ve Větě 0.0.1) a rychlost, jakou koberec pokrývá podlahu, je rovna jeho aktuální šířce (tento poznatek upřesníme ve Větě 0.0.3). Navíc si můžeme povšimnout, že obsah rozvinuté části odpovídající libovolnému podintervalu hc, di ⊆ ha, bi je roven rozdílu F (d) − F (c) (tento poznatek zobecníme ve Větě 0.0.5).
2 Spojitost funkce F Nyní ukážeme, že pokud je funkce F na nějakém intervalu definována, tzn. pokud je funkce f na tomto intervalu integrovatelná, potom F je nutně spojitá. Funkce f přitom spojitá být nemusí.
Věta 0.0.1. Jestliže je funkce f na intervalu ha, bi integrovatelná, potom Rx je funkce F (x) := f (t) dt na tomto intervalu spojitá. a
Důkaz. Z definice funkce F a aditivity určitého integrálu vzhledem k mezím plyne, že Z x+h |F (x + h) − F (x)| = f (t) dt x
pro každé x, x + h ∈ ha, bi. Z integrovatelnosti funkce f , plyne její omezenost, tudíž podle odstavce o nerovnostech dostáváme Z x+h f (t) dt ≤ M |h|, x
kde M je reálná konstanta shora omezující funkci |f | mezi x a x + h. Odtud vidíme, že pro dostatečně malá h je hodnota F (x + h) libovolně blízko F (x), přičemž pro h = 0 je zřejmě F (x + h) = F (x). Funkce F je tedy ve všech bodech intervalu ha, bi spojitá (v krajních bodech jednostranně). Poznámky 0.0.2. (i) Ve výše uvedeném znázornění můžeme uvažovat případ, kdy koberec nerozvíjíme, ale zavíjíme, příp. rozvíjíme či zavíjíme z druhé strany (nebo dokonce z obou stran současně). Odpovídající funkce popisující obsah rozvinuté části koberce budou analogické (0.0.1). Např. funkce odpovídající zavíjení z levé strany vypadá takto: Zb G(x) :=
f (t) dt, x
kde x ∈ h0, bi a b je délka celého koberce. Této funkci se říká integrál jako funkce dolní meze. Je velmi snadné ukázat, že funkce G má obdobné vlastnosti jako funkce F . (ii) Vzhledem k naší konvenci lze integrál jako funkci horní, resp. dolní meze na intervalu ha, bi definovat poněkud obecněji vzhledem k libovolnému bodu c ∈ ha, bi: Zx Zc F (x) := f (t) dt, resp. G(x) := f (t) dt. c
x
3 Vlastnosti funkce F , resp. G se ani v tomto obecnějším případě nezmění; zejména každá z těchto funkcí je spojitá, kdykoli je definována. (iii) Integrál jako funkce horní, resp. dolní meze, je v teorii integrálu velice užitečný. Díky němu v dalších odstavcích obecně vysvětlíme důležitou souvislost mezi pojmem primitivní funkce (tj. neurčitým integrálem) a určitým integrálem. Dále jej potřebujeme např. k zavedení tzv. nevlastního integrálu. Tímto způsobem lze také definovat nové (příp. novým způsobem zavést známé) funkce. Velký význam má také v jiných oblastech matematiky (teorie pravděpodobnosti, integrální transformace atd.).
Základní věty integrálního počtu Prozatím jsme viděli, že určité integrály umíme spočítat pouze ve velmi jednoduchých případech, a to z definice, „uhádnutím“ , příp. kombinací těchto možností a linearity. S těmito omezenými nástroji se jistě spokojit nehodláme a hledáme nějaké účinnější nástroje. Několik základních tvrzení v tomto odstavci vrcholí tzv. Newtonovou–Leibnizovou větou, jejíž výpočetní důsledky záhy rozvineme. První základní věta Vzhledem k důležitosti tohoto tvrzení se mu obvykle přezdívá první základní věta integrálního počtu. Jedná se o doplnění Věty 0.0.1 se silnějším předpokladem spojitosti:
Věta 0.0.3. Jestliže je funkce f na intervalu ha, bi spojitá, potom je funkce Rx F (x) := f (t) dt na tomto intervalu diferencovatelná a platí a
F 0 (x) = f (x).
Důkaz. Důkaz tohoto tvrzení není nijak složitý, vzhledem k výše uvedenému si můžeme dovolit následující zkratku: F (x + h) − F (x) h x+h Z Zx 1 = lim f (t) dt − f (t) dt h→0 h
F 0 (x) = lim
h→0
a
1 = lim h→0 h
definice derivace definice funkce F
a
x+h Z
f (t) dt
aditivita vzhledem k mezím
x
= lim f (ch )
Věta o střední hodnotě
= f (x)
spojitost funkce f
h→0
4 Číslo ch v předposledním kroku je takové číslo mezi x a x+h, že. f (ch ) je střední hodnotou funkce f na intervalu hx, x + hi, resp. hx + h, xi podle znaménka h. Zejména ch → x pro h → 0. Uvědomte si, že díky konvencím jsou všechny úpravy platné bez ohledu na znaménko h. V krajních bodech intervalu ha, bi máme samozřejmě na mysli jednostranné derivace. Poznámka 0.0.4. Z první základní věty se mimo jiné dozvídáme, že ke každé spojité funkci existuje funkce primitivní. Tímto je konečně dokázána věta, kterou jsme si uváděli na začátku semestru. Druhá základní aneb Newtonova–Leibnizova věta Primitivní funkce (tedy neurčitý integrál) ke spojité funkci je ve Větě 0.0.3 sestrojena pomocí určitého integrálu jakožto funkce horní meze. Tento výsledek však má pouze existenční charakter a zpravidla neumožňuje primitivní funkci k dané funkci najít. Naopak, známe-li primitivní funkci k dané funkci, jsme schopni velmi snadno určit hodnotu určitého integrálu: Předpokládejme, že f je spojitá na intervalu ha, bi a F je jakákoli k ní primitivní funkce. Rozdíl dvou primitivních funkcí k téže funkci je na libovolném Rx intervalu konstantní. Proto je podle předchozí věty F (x) = f (t) dt + C pro nějaké C ∈ R a všechna x ∈ ha, bi. Současně však platí
Ra
a
f (t) dt = 0, a tedy
a
F (a) = C. Odtud plyne, že Zx F (x) =
f (t) dt + F (a) a
pro všechna x ∈ ha, bi. Dosazením x = b zjišťujeme, že určitý integrál
Rb
f (x) dx je
a
jednoduše roven rozdílu hodnot primitivní funkce F v krajních bodech intervalu. Zobecnění tohoto poznatku pro obecné integrovatelné funkce je obsahem tzv. Newtonovy–Leibnizovy věty čili druhé základní věty integrálního počtu:
Věta 0.0.5 (Newtonova-Leibnizova). Jestliže je funkce f na intervalu ha, bi integrovatelná a F je funkce, která je k f na tomto intervalu primitivní, potom platí Zb f (x) dx = F (b) − F (a). (0.0.2) a
Důkaz. Ukážeme, že pro libovolné dělení D = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b} intervalu ha, bi existuje takový výběr reprezentantů V , že odpovídající Riemannův součet
5 S(D, V ) je roven F (b) − F (a). Z definice Riemannova určitého integrálu a z předpokladu integrovatelnosti funkce f poté vyplývá platnost (0.0.2). Funkce F je podle definice diferencovatelná, tudíž je také spojitá. Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě v každém z podintervalů dělení D a podle předpokladu F 0 = f dostáváme F (xi ) − F (xi−1 ) = F 0 (ci )(xi − xi−1 ) = f (ci )(xi − xi−1 ), kde ci je nějaký bod z intervalu hxi−1 , xi i a i = 1, 2, . . . , n. Sečtením všech těchto rovností se téměř všechny členy na levé straně vyruší, na pravé straně obdržíme Riemannův součet odpovídající výběru V = {c1 , . . . , cn }. Celkem tedy platí F (b) − F (a) =
n X
f (ci )(xi − xi−1 ) = S(D, V ),
i=1
což jsme měli ukázat. Poznámky 0.0.6. (i) Nejprve si uvědomme, že skutečně nezáleží na tom, kterou z primitivních funkcí k funkci f ve vzorci (0.0.2) použijeme. (ii) Vzhledem ke konvencím je zřejmé, že formule (0.0.2) platí i v případech, kdy a > b. (iii) Naše verze Newtonovy-Leibnizovy věty předpokládá existenci primitivní funkce na celém integračním oboru ha, bi, což je však poměrně silný požadavek. Např. pro integrand mající nespojitost prvního druhu nemůže primitivní funkce existovat a nelze tedy větu přímo aplikovat. Takové situace lze často řešit vhodným rozdělením integračního oboru na podintervaly, kde jsou již předpoklady splněny, a pomocí aditivity integrálu vzhledem k integračnímu oboru. Případné problémy v krajních bodech podintervalů lze snadno ošetřit odkazem na tvrzení o integrálech „málo se lišících funkcí“ . Tyto myšlenky osvětlíme hned v následujících odstavcích, viz třeba Příklad 0.0.15. (v) Bezmyšlenkovité dosazování do formule (0.0.2) může vést k nesprávným výsledkům, viz třeba Příklad 0.0.7. Proto je nutné důsledně ověřovat předpoklady Newtonovy–Leibnizovy věty! Pokud nejsou splněny na celém integračním oboru, tak improvizujeme podle návodu v předchozí poznámce. (vi) Často budeme používat značení [F (x)]ba := F (b) − F (a), vztah (0.0.2) potom nabývá následující tvar: Zb f (x) dx = a
b
Z f (x) dx
. a
Příklad 0.0.7. Najděte chybu v následujícím výpočtu: 3π/4 Z
0
1 3π/4 dx = [tg x]0 = −1 − 0 = −1. cos2 x
6 Řešení. Funkce tg x je sice primitivní funkcí k funkci 1/ cos2 x, problém je v tom, že funkce 1/ cos2 x není definovaná v bodě π/2 ∈ h0, 3π/4i a v okolí tohoto bodu nabývá libovolně velkých hodnot. Tato funkce tudíž není na daném intervalu integrovatelná.1
Výpočetní techniky V této podkapitole se vracíme k problému, jež už byl párkrát zmíněn a který nyní můžeme zformulovat takto: Jak určit hodnotu určitého integrálu
Rb
f (x) dx?
a
Některé integrály lze vypočítat přímo z definice Riemannova integrálu, některé lze určit pomocí rozličných (často trikových) úprav a úvah, některé pomocí Newtonovy–Leibnizovy věty. Některé integrály lze počítat více způsoby (což může zahrnovat různé kombinace přístupů), některé neumíme přesně určit vůbec — v takových případech se musíme spokojit s jejich přibližným vyjádřením. V tomto odstavci uvádíme několik jednoduchých integrálů a upozorňujeme na typická úskalí při jejich řešení.
Podle definice Riemannova integrálu Přirozená výpočetní metoda je odvozená z jedné ekvivalentní charakterizace Riemannova integrálu. Problematickým místem uvedeného postupu je samozřejmě vyjádření Riemannových součtů S(Dn , Vn ) v uzavřeném tvaru, což nutně potřebujeme k tomu, abychom mohli počítat odpovídající limitu lim S(Dn , Vn ). n→∞ Určité integrály většiny elementárních funkcí tímto způsobem nejspíš nikdy nespočítáme. Zde je na ukázku několik z mála výjimek. Příklad 0.0.8. Vypočtěte
Rb
x3 dx a zamyslete se nad zobecněním
a
Rb
xk dx, kde
a
k ∈ N. Řešení. Zadaná funkce je spojitá na celém definičním oboru, což je R, tudíž je integrovatelná na jakémkoliv omezeném podintervalu. Pro ekvidistantní dělení daného intervalu zjistíme, že potřebujeme vhodně upravit součet třetích (obecněji k-tých) mocnin několika po sobě jdoucích přirozených čísel. To není neznámý problém, jeho obecné řešení však není vůbec jednoduché. Např. pro k = 3 platí 1 + 2 3 + 3 3 + · · · + n3 =
1 2 n (n + 1)2 ; 4
1 Všimněte si, že „výsledek“ je podezřelý už proto, že je záporný, přestože integrujeme kladnou funkci (s dolní mezí menší než horní).
7 ověřte indukcí. Odtud je již snadné vyjádřit posloupnost Riemannových součtů v závislosti na n, a tudíž spočítat limitu. Např. pro dělení intervalu h0, bi na n stejných dílů a výběr reprezentantů v pravých dělicích bodech tak dostáváme 3 n n X b4 X 3 b4 (n + 1)2 b ib , = 4 i = S(Dn , Vn ) = n n n i=1 4n2 i=1 a tudíž Zb
x3 dx =
b4 (n + 1)2 b4 lim = . 4 n→∞ n2 4
0
Odtud podle aditivity integrálu vzhledem k mezím dostáváme Zb
Zb
3
Za
x dx −
x dx = a
3
0
x3 dx =
b4 − a 4 . 4
0
V následujícím příkladu je naopak snazší upravit obecný součet posloupnosti, zato budeme mít trochu víc práce s limitou. Příklad 0.0.9. Vypočtěte
R1
rx dx, kde r ∈ (0, ∞), a zamyslete se nad zobecně-
0
ním
Rb
rx dx.
a
Řešení. Pro obecné r ∈ (0, ∞) je funkce rx spojitá pro všechna x ∈ R, tudíž je integrovatelná na každém intervalu. Pro ekvidistantní dělení intervalu h0, 1i a výběry reprezentantů v levých dělicích bodech dostáváme S(Dn , Vn ) =
1 1 + r1/n + r2/n + · · · + r(n−1)/n . n
Sčítanci v závorce tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem q = r1/n , kterou umíme bez problémů sečíst: S(Dn , Vn ) =
1−r . n(1 − r1/n )
Limitu můžeme dopočítat pomocí l’Hospitalova pravidla: Z1
rx dx = (1 − r) lim
n→∞
1/n r−1 = ··· = . ln r 1 − r1/n
0
Zobecnění vzhledem k mezím necháváme na čtenáři.
8 Poznámka 0.0.10. Všimněte si, že Riemannův integrál zde počítáme prostřednictvím jistých sum. Tyto sumy nemusíme však chápat jen jako aproximace integrálů. Lze je též považovat za jakési diskrétní protějšky (určitých) integrálů. Připomeňme, že diskrétním protějškem derivace je tzv. diference, kterou definujeme jako ∆f (k) = f (k + 1) − f (k). Obecněji lze brát i jinou hodnotu kroku P než právě jedničku, dokonce i proměnnou. Pokud pak zavedeme operátor jako inverzi k operátoru ∆, dostáváme diskrétní obdobu neurčitého integrálu P −1 1 = + C, C ∈ R, pracujeme-li na (tj. primitivní funkce). Např. k(k + 1) k oboru N. Ze znalosti neurčité sumy (tj. antidiference) dané posloupnosti je pak již snadné obdržet hodnotu sumy. Proces integrace uvedeným způsobem tedy můžeme znázornit takto: Riemannův součet
antidiference
−→
součet sumy
limitní přechod
−→
Riemannův integrál
Poznamenejme, že výpočet neurčité sumy však většinou bývá mnohem obtížnější než nalezení primitivní funkce.
Rafinovanosti a triky Jisté nesamozřejmé — čili trikové — myšlenky jsou obsaženy např. v postupu Fermatova řešení tzv. kvadratury paraboly. Připomínáme, že tam vystupující součty určitě nelze interpretovat jako součty Riemannovy, protože nesestávají z konečně mnoha sčítanců. Příklad 0.0.11. Zobecníme myšlenku Fermatova řešení pro libovolné integrály Rb typu xk dx, kde a, b, k ≥ 0. a
Řešení. Uvažme a = 0 a b, k ≥ 0 obecné. Stejně jako výše si pomůžeme číslem α ∈ (0, 1), které určuje posloupnost (bα, bα2 , bα3 , . . . ) dělící interval h0, bi na nekonečně mnoho postupně se zmenšujících podintervalů. Nyní máme S(α) := bk+1 (1 − α)(1 + αk+1 + α2(k+1) + · · · ). Sčítanci v pravé závorce tvoří geometrickou řadu s kvocientem αk+1 , který je díky předpokladu 0 < α < 1 ve stejných mezích. Řadu snadno sečteme, a pro α → 1 dostáváme Zb
1−α bk+1 = . α→1 1 − αk+1 k+1
xk dx = lim S(α) = bk+1 lim α→1
0
Odtud stejně jako v příkladu 0.0.8 zjišťujeme, že Zb a
xk dx =
Zb 0
xk dx −
Za 0
xk dx =
bk+1 − ak+1 . k+1
9 Případy k = 0, resp. 1 jsou samozřejmě triviální, ale v uvedeném řešení nejsou nijak výjimečné. Řešení taktéž nezávisí na tom, zda je k větší nebo menší než 1, podstatný je pouze předpoklad nezápornosti. Rozšíření tohoto návodu pro k < 0, avšak různé od −1, umíme provést s použitím nevlastního integrálu. Případ k = −1 je vskutku specifický, viz následující příklad. Jedná se o tzv. kvadraturu (rovnoosé) hyperboly a uvedené řešení je kompilací myšlenek Gregora Sv. Vincenta a Alfonse Antonia de Sarasy. Příklad 0.0.12. Všechny a konstanty a proměnné v následujících úkolech jsou kladná reálná čísla: (i) Dokažte, že pro libovolné c, d a u platí
Rd c
(ii) Dokažte, že F (x) :=
Rx 1 1
(iii) Vyjádřete
Rb a
1 x
t
1 x
dx =
ud R uc
1 x
dx.
dt je logaritmická funkce s přirozeným základem.
dx pro obecné a a b.
Řešení. Funkce f (x) = x1 je spojitá na R+ , na libovolném uzavřeném podintervalu R+ je tedy integrovatelná. (i) Každý z integrálů v uvedené rovnosti je limitou nějaké posloupnosti Riemannových součtů. Pokud v obou případech zvolíme např. posloupnosti ekvidistantních dělení s výběry v levých krajních bodech, potom pro každé n ∈ N je odpovídající Riemannův součet na intervalu hc, di zřejmě stejný jako na intervalu huc, udi. A stejné posloupnosti mají stejné limity. (ii) Odtud a z aditivity určitého integrálu vzhledem k mezím nyní plyne, že pro libovolné kladné u, v platí Zuv F (uv) =
1 dt = t
1
Zu
1 dt + t
Zuv
1 dt = t
u
1
Zu 1
1 dt + t
Zv
1 dt = F (u) + F (v). t
1
To je však definující vlastnost logaritmické funkce. Skutečně, je totiž známo , že každé spojité řešení tzv. Cauchyovy rovnice g(x + y) = g(x) + g(y) na R má tvar g(x) = kx, k ∈ R. Tato rovnice je sice jiného tvaru než F (uv) = F (u) + F (v). Stačí však šikovná substituce (najděte ji) a zjišťujeme, že každé spojité řešení rovnice F (uv) = F (u) + F (v) na (0, ∞) je tvaru F (x) = k ln x, k ∈ R. K tomu, abychom rozpoznali hodnotu konstanty k, stačí znát hodnotu, příp. derivaci funkce F v jednom bodě. Přímo z definice této funkce lze snadno vyvodit, že F 0 (1) = 1. Proveďte. Dostaneme tedy k = 1. (iii) Odtud již snadno plyne Zb a
1 dx = x
Zb 1
1 dx − x
Za 1
1 b dx = ln b − ln a = ln . x a
10
My samozřejmě díky Větě 0.0.3 víme, že funkce F (x) =
Rx 1 1
t
dt je primitivní
funkcí k funkci f (x) = x1 , tedy F (x) = ln x + c pro nějaké c. Vzhledem k tomu, že F (1) = 0, musí být c = 0, a tedy F (x) = ln x. Přestože v uvedeném řešení používáme dnešní terminologii, jsou jeho myšlenky historicky starší než Věta 0.0.3 ve své obecnosti.
Přímé užití Newtonovy–Leibnizovy věty Newtonova–Leibnizova věta 0.0.5 nabízí zajímavou početní alternativu za předpokladu, že umíme určit primitivní funkci k integrandu. Víme, že toto může skutečný oříšek i pro celkem nevinně vyhlížející elementární funkce. Nejprve se vrátíme k sérii problémů řešených v Příkladech 0.0.8, 0.0.11 a 0.0.12: Příklad 0.0.13. Vypočtěte
Rb
xk dx pro obecné k ∈ R a vhodné meze a a b.
a
Řešení. Definiční obor funkce f (x) = xk závisí na k; pro jednoduchost se omezíme pouze na kladná reálná čísla. Na libovolném omezeném podintervalu (0, ∞) je každá z uvažovaných funkcí spojitá, tedy integrovatelná. k+1 Pokud je k 6= −1, potom primitivní funkce je F (x) = xk+1 , a podle Newtonovy– Leibnizovy věty platí: Zb
xk+1 x dx = k+1
k
b
a
= a
bk+1 − ak+1 . k+1
Pokud je k = −1, tj. f (x) = x1 , potom primitivní funkce je F (x) = ln x, a podle Newtonovy–Leibnizovy věty platí: Zb
b 1 b dx = [ln x]a = ln b − ln a = ln . x a
a
Uvádíme ještě alternativní řešení Příkladu 0.0.9: Příklad 0.0.14. Vypočtěte
Rb
rx dx pro obecné a, b ∈ R a r ∈ R+ .
a
Řešení. Funkce f (x) = rx je integrovatelná na libovolném intervalu a funkce x F (x) = lnr r je funkcí k ní primitivní. Podle Newtonovy–Leibnizovy tedy platí: Zb a
rx dx =
rx ln r
b = a
rb − ra . ln r
Pro a = 0 a b = 1 dostáváme právě výsledek Příkladu 0.0.9.
11 Příklad 0.0.15. Určete integrál následující funkce na celém definičním oboru: ( cos x x ∈ h− π2 , π2 i, f (x) = sin x x ∈ ( π2 , πi. Řešení. Jediným bodem nespojitosti funkce f na definičním oboru je π2 . Vzhledem k typu této nespojitosti víme, že k funkci f neexistuje primitivní funkce na celém intervalu h− π2 , πi. Avšak na podintervalu h− π2 , π2 i je funkce f spojitá, tudíž integrovatelná, s dobře známou primitivní funkcí. Platí tedy Zπ/2
Zπ/2
π/2
cos x dx = [sin x]−π/2 = 1 − (−1) = 2.
f (x) dx = −π/2
−π/2
( π2 , πi
Podinterval je zleva otevřený a funkce f je na něm spojitá a omezená. Ať už funkci f v levém krajním bodě rozšíříme jakkoliv, tato funkce bude integrovatelná a hodnota integrálu bude Zπ
Zπ f (x) dx =
π/2
sin x dx = [− cos x]ππ/2 = 1 − 0 = 1.
π/2
Celkem tedy dostáváme Zπ/2
Zπ f (x) dx = −π/2
Zπ f (x) dx +
−π/2
f (x) dx = 2 + 1 = 3. π/2
K nalezení primitivní funkce velmi často potřebujeme různé pomocné úvahy a úpravy, jimž jsme věnovali celou kapitolu o výpočetních technikách. Dvě základní a účinné metody byly integrace per partes a integrace substitucí. V následujících dvou pododstavcích komentujeme užití Newtonovy–Leibnizovy věty v případech, kdy je k nalezení primitivní funkce použita některá z těchto metod.
Substituční metoda pro určité integrály Substituční metoda (pro neurčité integrály) je odvozena z věty o derivaci složené funkce. Např. Z Z sin x cos3 x dx = − u3 du = − 41 u4 + c = − 14 cos4 x + c. Odtud, pro libovolné a, b ∈ R, umíme podle Newtonovy–Leibnizovy věty vyjádřit Rb sin x cos3 x dx dosazením a, resp. b do posledního výrazu, což je zřejmě totéž, a
jako kdybychom do předposledního výrazu dosazovali cos a, resp. cos b: Zb
3
cos Z b
sin x cos x dx = − a
cos a
cos b b u3 du = − 14 u4 cos a = − 41 cos4 x a .
12 Zobecněním tohoto příkladu dostáváme následující analogii Věty o substitutci:
Věta 0.0.16. Uvažujme funkci ϕ spojitě diferencovatelnou na intervalu I = ha, bi a funkci f spojitou na obraze J = ϕ(ha, bi). Potom f je integrovatelná na J, funkce f (ϕ(x)) · ϕ0 (x) je integrovatelná na I a platí Zb
ϕ(b) Z
0
f (ϕ(x)) · ϕ (x) dx = a
f (u) du.
(0.0.3)
ϕ(a)
Důkaz. Funkce ϕ je spojitá, tudíž obrazem intervalu je interval (nebo bod). Funkce f je spojitá, tudíž integrovatelná, na J a každém jeho podintervalu. Také poslední komponenta, z nichž je poskládaná funkce g(x) := f (ϕ(x)) · ϕ0 (x), je spojitá; proto je funkce g spojitá, a tedy integrovatelná na I. Podle Věty 0.0.3, má funkce f primitivní funkci, kterou označíme F . Funkce G(x) := F (ϕ(x)) je zřejmě primitivní funkcí k funkci g(x), podle Newtonovy– Leibnizovy věty tedy platí Zb
0
f (ϕ(x)) · ϕ (x) dx =
[F (ϕ(x))]ba
=
ϕ(b) [F (u)]ϕ(a)
a
ϕ(b) Z
=
f (u) du. ϕ(a)
Jako obvykle předpoklady věty lze různými způsoby zeslabovat. Tak lze získat obecnější (avšak obtížněji dokazatelná) tvrzení. Pro naše účely uvedená verze stačí. S rovností (0.0.3) budeme — stejně jako s její předchůdkyní — nakládat dvojím způsobem: Její užití ve smyslu zleva doprava je ilustrováno v Příkladu 0.0.17, aplikace zprava doleva v Příkladu 0.0.18. Zπ/2 Příklad 0.0.17. Vypočtěte 0
sin x cos2 x √ dx. 4 1 + cos3 x
Řešení. Integrovaná funkce je definovaná a spojitá všude kromě lichých násobků čísla π; na daném intervalu je tedy integrovatelná. V čitateli integrandu rozeznáváme (až na nějakou tu konstantu) derivaci funkce pod odmocninou ve jmenovateli, což nás přirozeně navádí k substituci podle rovnosti (0.0.3) ve smyslu zleva doprava (nová proměnná je funkcí té stávající), totiž u = ϕ(x) := 1 + cos3 x. Tato funkce je spojitě diferencovatelná na celém R, tedy i na intervalu I = h0, π/2i. Vyjádříme du = ϕ0 (x) dx = −3 cos2 x sin x dx a zjistíme, jak se trans-
13 formují meze: a = 0 7→ ϕ(a) = 2 a b = π/2 7→ ϕ(b) = 1. Po dosazení dostáváme Zπ/2 0
1 sin x cos2 x √ dx = 4 3 1 + cos3 x
Z1
− du √ , 4 u
2
což je integrál, který přímo podle Newtonovy–Leibnizovy věty spočítá každý √ pozorný čtenář. Konečným výsledkem je číslo 4( 4 8 − 1)/9. Povšimněte si, že v předchozím výpočtu máme a < b a současně ϕ(a) > ϕ(b), tedy nová dolní mez je větší než nová horní; to je jen důsledkem toho, že funkce ϕ je na uvažovaném intervalu klesající, což není nic neobvyklého. Ve výpočtu jsme √ také nijak nekomentovali spojitost, resp. integrovatelnost funkce f (u) = 1/ 4 u na intervalu J = h1, 2i; tato vlastnost je však zřejmá a je důsledkem dříve uvedených poznatků. Z9 √ x−1 √ Příklad 0.0.18. Vypočtěte dx. x+1 1
Řešení. Integrovaná funkce je definovaná a spojitá pro nezáporná x, tudíž je na daném intervalu integrovatelná. Hledáme-li substituci, která by nás zbavila nepříjemné odmocniny, musí nás napadnout x = ϕ(t) := t2 . Tato volba odpovídá užití rovnosti (0.0.3) ve smyslu zprava doleva (stávající proměnná je funkcí té nové).2 Funkce ϕ je spojitě diferencovatelná na celém R a platí dx = ϕ0 (t) dt = 2t dt. Na rozdíl od předchozího příkladu však musíme být obezřetní s transformací mezí: Funkce ϕ(t) = t2 totiž není prostá a vzorem intervalu J = h1, 9i není interval, ale sjednocení dvou intervalů I+ = h1, 3i a I− = h−3, −1i. Pokud uvažujeme t ∈ I+ , potom se meze transformují takto ϕ(a) = 1 7→ a = 1 a ϕ(b) = 9 7→ a = 3; celkem potom dostáváme Z9 √ Z3 x−1 t(t − 1) √ dx = 2 dt, t+1 x+1 1
1
což je integrál racionální lomené funkce, který umí dopočítat každý. Konečný výsledek je ln 16. Pokud bychom uvažovali t ∈ I− , potom by se meze měnily takto ϕ(a) = 1 7→ a = −1 a ϕ(b) =√9 7→ a = −3. Při dosazování do integrandu si navíc √ uvědomujeme, že x = t2 = −t, neboli dostáváme Z9 √ Z−3 x−1 t(−t − 1) √ dx = 2 dt. −t + 1 x+1 1 2 Pokud
−1
někoho plete značení proměnných, nechť si přepíše x na u a t na x.
14 Výsledek odtud samozřejmě musí vyjít stejně. Pokud je substituční funkce ϕ prostá, potom k přepočítání mezí stačí aplikovat inverzní funkci ϕ−1 ; z prostosti (a spojitosti) funkce ϕ plyne, že vzorem intervalu J = hϕ(a), ϕ(b)i je právě interval I = ha, bi. Pokud funkce ϕ prostá není, potom ze spojitosti funkce ϕ plyne jenom to, že vzorem intervalu J je sjednocení intervalů; pak je nutné se na některý z těchto intervalů zúžit podobně, jako jsme to udělali v předchozím výpočtu. Porovnejte tuto diskuzi s formulací druhé části věty o substituci.
Metoda per partes pro určité integrály Metoda per partes (pro neurčité integrály) je odvozena z věty o derivaci součinu funkcí; její princip a možnosti užití byly vysvětleny dříve. Např. víme Z Z x cos x dx = x sin x − sin x dx = . . . . Odtud podle Newtonovy–Leibnizovy věty platí Zb
b Zb Z x cos x dx = x sin x − sin x dx = [x sin x]ba − sin x dx = . . . , a
a
a
a to pro libovolné a, b ∈ R. Zobecněním tohoto příkladu dostáváme následující analogii známého tvrzení: Věta 0.0.19. Uvažujme funkce u a v, které jsou spojitě diferencovatelné na intervalu ha, bi. Potom jsou funkce u0 · v a u · v 0 integrovatelné na ha, bi a platí Zb
0
u(x) · v (x) dx = [u(x) · a
v(x)]ba
Zb −
u0 (x) · v(x) dx.
(0.0.4)
a
Důkaz. Funkce u a v jsou diferencovatelné, zejména jsou spojité a stejně tak jsou spojité jejich derivace u0 a v 0 . Všechny tyto funkce jsou tudíž integrovatelné, a proto je integrovatelná taky funkce u0 · v + u · v 0 , viz vlastnosti (i) a (iii) v Odstavci 6.1. Funkce u · v je primitivní funkcí k u0 · v + u · v 0 , jsou splněny všechny předpoklady Věty 0.0.5 a rovnost (0.0.4) je jen upravená Newtonova– Leibnizova formule. Předpoklady věty lze jako obvykle zeslabit, např. stačí předpokládat diferencovatelnost u a v a integrovatelnost jejich derivací. Vzhledem k úvahám v odstavci málo lišících se funkcích je možné tyto předpoklady dále zeslabovat, aniž by to mělo nějaký zásadní vliv na zdůvodnění. Pro naše účely uvedená verze stačí.
15
Příklad 0.0.20. Vypočtěte
π/2 R
sink x dx pro libovolné k = 2, 3, 4, . . . .
0
Řešení. Předně si uvědomme, že pro jakékoliv uvažované k je funkce sink x integrovatelná na libovolném intervalu. Pro konkrétní (malá) k umíme hodnotu integrálu vypočítat, a to dokonce několika způsoby. Formulace úlohy nás však navádí k nalezení nějakého obecného vztahu v závislosti na k. Neznámý integrál označíme Ik a přepíšeme do tvaru Zπ/2 sin x sink−1 x dx. Ik = 0
Pomocí metody per partes, brzy nalezneme rekurentní vztah Ik =
k−1 Ik−2 . k
Odvoďte explicitní vzorec pro Ik a ověřte jej indukcí. Všimněme si, že rekurentní formule je druhého řádu. Potřebujeme tedy dvě počáteční podmínky. Ty jsou dány hodnotami I1 a I2 , které lze snadno spočítat. Celkem dostáváme ( (k−1)(k−3)···3·1 Zπ/2 · k(k−2)···4·2 k sin x dx = (k−1)(k−3)···4·2 0
k(k−2)···5·3
π 2
pro k sudé, pro k liché.
Přibližné vyjádření Tyto výpočetní možnosti zde nyní nebudeme podrobněji diskutovat. Jedná se zejména o numerickou integraci, dále o využití nerovností a vět o střední hodnotě a také o aplikaci mocninných řad.
Nevlastní integrály V souvislosti s určitým Riemannovým integrálem jsme se dosud zabývali pouze případy, kdy • integrační obor je ohraničený (zejména uzavřený) interval, • integrand je funkce ohraničená na tomto intervalu. Viděli jsme, že je možno hovořit o integrálu funkce i přes interval otevřený, či polouzavřený; důležitá však byla jeho omezenost. V řadě situací (ať už jde o aplikace či čistě matematické úvahy) si však s integrálem omezené funkce na omezeném intervalu nevystačíme. Proto nyní rozšíříme pojem určitého integrálu i na případy, kdy je alespoň jeden z těchto
16 předpokladů porušen. Integrály tohoto typu se nazývají nevlastní. Nejprve se budeme zabývat integrály přes intervaly typu ha, ∞) a (−∞, bi. Dále budeme zkoumat integrály funkcí neomezených na omezeném intervalu (tj. majících tzv. singulární bod). Též zmímíme zobecnění integrálu, které vznikne určitou kombinací těchto typů a nakonec se budeme zabývat kritérii konvergence integrálu.
Nevlastní integrál na neohraničeném intervalu Uvažujme funkci f definovanou na ha, ∞), a ∈ R, takovou, že f ∈ R(a, b) pro každé b ∈ (a, ∞). Definujme funkci t
Z F (t) =
f (x) dx,
t ≥ a,
a
a zkoumejme její chování, roste-li t neomezeně. Rozlišíme dva případy limitního chování, které mohou nastat a podle nich definujeme následující typy: Říkáme, že nevlastní integrál Z ∞ f (x) dx a
– konverguje R ∞ (nebo že existuje), existuje-li vlastní limita limt→∞ F (t); klademe a f (x) dx = limt→∞ F (t), – diverguje, neexistuje-li vlastní limita limt→∞ F (t), tj. je-li limt→∞ F (t) nevlastní nebo neexistuje. Poznámka 0.0.21. (i) Někdy se hovoří o nevlastním integrálu vlivem mezí či nevlastním integrálu vlivem intervalu či nevlastním integrálu 1. druhu. (ii) Analogicky definujeme pojem konvergujícího resp. divergujícího nevlastního integrálu Z b f (x) dx, kde b ∈ R. −∞
Již víme, že určitý integrál lze interpretovat jako obsah jistého obrazce. V případě vhodného nevlastního integrálu, který konverguje, pak snadno dostaneme příklad obrazce, který má neomezený obvod, avšak konečný obsah. Příklad 0.0.22. Vyšetřete konvergenci nevlastního integrálu Z ∞ dx , xp 1 kde p ∈ R. Řešení. Označme F (t) = F (t) =
Rt 1
1/xp dx. Je-li p 6= 1, pak máme
1 −p+1 t 1 x = 1 −p + 1 1−p
1 tp−1
−1 .
17 Odtud ( 1/(p − 1) pro p > 1, lim F (t) = t→∞ ∞ pro p < 1. Jestliže p = 1, pak F (t) = ln t. Celkem tedy dostáváme: Z Nevlastní integrál 1
∞
( konverguje (a má hodnotu 1/(p − 1)), je-li p > 1 1/x dx diverguje, je-li p ≤ 1. p
Dobře si všimněte, jakým způsobem při výpočtech nevlastních integrálů postupujeme. Nelze např. používat zápis – i když R ∞ to mnoho studentů dělá – znamenající jakési „dosazování nekonečna“ , tj. 1 1/xp dx = 1/(−p + 1)[x−p+1 ]∞ 1 = . . . . Je důležité si uvědomit, že je potřeba argumentovat pomocí limitního přechodu. Dále si všimněte, že na konvergenci či divergenci v tomto případě nemá vliv to, když dolní mez nahradíme libovolným kladným číslem; zajímá nás chování v „okolí nekonečna“ . Diskutovaný integrál je velmi užitečný pro srovnávací účely v některých kritériích konvergence, viz níže.
Nevlastní integrál neomezené funkce Nyní budeme pracovat na omezeném intervalu, ovšem s funkcí, jež je na něm neomezená. Uvažujme funkci f definovanou na intervalu ha, b), a, b ∈ R, a < b, takovou, že f ∈ R(a, c) pro každé c ∈ (a, b). Jestliže f je neomezená na ha, b), pak říkáme, že bod b je singulárním bodem funkce f . Podobně jako v předchozím odstavci definujme funkci Z F (t) =
t
f (x) dx,
t ∈ ha, b),
a
a zkoumejme její chování pro t blížící se zleva k bodu b. Opět rozlišíme dva případy limitního chování, které mohou nastat, a podle nich definujeme následující typy: Říkáme, že nevlastní integrál Z
b
f (x) dx a
– konverguje (nebo že existuje), existuje-li vlastní limita limt→b− F (t); klaRb deme a f (x) dx = limt→b− F (t), – diverguje, neexistuje-li vlastní limita limt→∞ F (t), tj. je-li limt→b− F (t) nevlastní nebo neexistuje. Poznámka 0.0.23. (i) Někdy se hovoří o nevlastním integrálu vlivem funkce či nevlastním integrálu 2. druhu.
18 (ii) Analogicky definujeme singulární bod a funkce f definované na intervalu (a, bi a konvergenci nebo divergenci nevlastního integrálu Z b f (x) dx, kde b ∈ R. a
(iii) Jistě je na první pohled viditelné, že oba typy nevlastního integrálu, vlivem intervalu a vlivem funkce, jsou si velmi podobné; jakoby singulární bod hrál roli nekonečna. A skutečně lze jeden typ jednoduše převést na druhý a naopak. Rb Uvažujme např. nevlastní integrál a f (x) dx se singulárním bodem b. Nechť je ε malé kladné číslo, které nám „zařizuje lokalizaci“ v libovolně malém levém okolí bodu b. Potom nám následující situace převede integrál 2. druhu na integrál 1. druhu Z 1/ε Z b−ε x = b − 1/t 1 1 −2 dx = t dt dt. f (x) dx = f b− = t t2 a 1/(b−a) a ; 1/(b − a), b − ε ; 1/ε Detaily si promyslete sami; zejména zkoumejte případ, kdy ε → 0+ . Příklad 0.0.24. Vyšetřete konvergenci nevlastního integrálu Z 1 dx , p 0 x kde p ∈ R. Řešení. Vzhledem k podobnosti s příkladem z předchozího odstavce přenecháme detaily výpočtu čtenáři. Zmiňme R 1 pouze, že 0 je zde singulárním bodem. Výsledek je tento: Nevlastní integrál 0 1/xp dx konverguje (přičemž má hodnotu 1/(1 − p)), je-li p ∈ (0, 1) a diverguje, je-li p ≥ 1. Pro p ≤ 0 již 0 není singulárním bodem, integrál není nevlastní a počítá se běžným způsobem.
Nevlastní integrál — obecný případ Při studiu nevlastního integrálu jsme doposud předpokládali, že integrační obor obsahuje právě jeden „špatný“ bod. Vždy to byl krajní bod a buďto způsoboval neomezenost intervalu (−∞ nebo ∞) nebo neomezenost funkce (singulární bod). Je zcela přirozené se nyní zajímat o situaci, kde může být v integračním oboru těchto „špatných“ bodů víc (konečný počet). Hlavní myšlenka spočívá v tom, že mezi „špatné“ body vložíme pomocné body a rozdělíme pomocí nich a singulárních bodů integrační obor tak, aby vzniklé podintervaly neobsahovaly uvnitř už žádný singulární bod, tj. všechny singulární body budou krajními body některých podintervalů, přitom každý podinterval bude mít „špatný“ právě jeden konec. Uvažujme nyní tedy a, b ∈ R ∪ {±∞}, a < b, a nechť {a1 , . . . , an−1 } je konečná množina reálných čísel taková, že a = a0 < a1 < · · · < an−1 < an = b.
19 Sn Nechť f je funkce definovaná na množině k=1 (ak−1 , ak ), pro niž a1 , . . . , an−1 jsou její singulární body (body a a b mohou, ale nemusí být jejími singulárními body, anebo může nastat a = −∞ nebo b = ∞). Volme čísla c1 , . . . , cn tak, že a0 < c1 < a1 < c2 · · · < an−1 < cn < an . (0.0.5) Rb O nevlastním integrálu a f (x) dx řekneme, že konverguje, jestliže konvergují R ck Ra všechny nevlastní integrály ak−1 f (x) dx, ckk f (x) dx (k = 1, . . . , n) a jeho hodnotu definujeme jako součet těchto integrálů. Všimněte si, že pomocné body c1 , . . . , cn měly splňovat pouze podmínku (0.0.5), jinak byly voleny zcela libovolně. Promyslete si, proč je tato libovolnost možná. Z ∞ dx . Příklad 0.0.25. Vypočtěte 2−1 x −∞ Řešení. Singulárními body jsou zde body −1, 1. Proto lze za pomocné body volit např. −2, 0, 2 a vyšetřujeme tedy nevlastní integrály Z −2 Z −1 Z 0 Z 1 Z 2 Z ∞ dx dx dx dx dx dx , , , , , . 2−1 2−1 2−1 2−1 2−1 2−1 x x x x x x −∞ −2 −1 0 1 2 2 Primitivní funkci k funkci 1/(x − 1) najdeme (rozkladem rozkladem v parciální 1 t − 1 . Nyní je již jednoduché zjistit, že některé z jedzlomky) ve tvaru ln 2 t + 1 notlivých nevlastních integrálů konvergují a některé nikoliv (vyšetřete všechny a v případě těch konvergentních určete jejich hodnotu). Poněvadž alespoň jeden z těchto integrálů diverguje, tak diverguje i původní integrál. Z 1 dx Příklad 0.0.26. Vypočtěte . 2 −1 x
Řešení. Na tomto důležitém příkladu si nejprve demonstrujme, kam může vést neprávně zvolený přístup, kterého se studenti bohužel někdy dopouštějí. Ignorují totiž, že jde o nevlastní integrál a použijí formálně Newtonovu-Leibnizovu formuli, jako by šlo o běžný určitý integrál. Jejich výpočet pak vypadá nějak takto: 1 Z 1 1 dx = − = −2. 2 x −1 −1 x To je samozřejmě úplně špatně! V tomto případě nelze použít Newtonovu-Leibnizovu formuli, neboť nejsou splněny potřebné předpoklady (proč?). Přinejmenším by nás však mělo „trknout“ , že integrál kladné funkce vyšel záporný. Pro správné vyřešení problému si stačí uvědomit, že integrační obor obsahuje singulární bod 0. Rozdělením na dva podintervaly získáme dva nevlastní integrály 2. druhu, které zřejmě divergují. Detaily si promyslete sami. Poznámka 0.0.27. Právě uvedený příklad nás motivuje k poznámce, že uvažujemeRb li výraz a f (x) dx, a, b ∈ R, musíme zvažovat, zda je funkce f na intervalu ha, bi omezená, či zda obsahuje singulární bod(y).
20 Typickým příznakem je, že funkce není v některém bodě definovaná. Nejčastěji jde o dělení nulou.RTo ovšem pořád neznamená, že musí jít o nevlastní π integrál. Např. v integrálu 0 je „problematickým“ bodem nula. Funkce (sin x)/x zde není definovaná. Je však na integračním oboru omezená a jde o běžný určitý integrál. Můžeme si nyní položit přirozenou otázku, co se stane, když při výpočtu běžného integrálu postupujeme, jako by šlo o nevlastní integrál. Ukazuje se, že (naštěstí) se nestane nic. To plyne z vlastností určitého integrálu jako funkce mezí. R1 Někdy je dokonce výhodné takto postupovat; spočtěte např. integrál 0 x ln x dx tak, že nejdřív budete „běžně“ integrovat přes ha, 1i a v obdrženém výsledku pak provedete limitní přechod pro a → 0+ . Vyhneme se tak trochu problematickému nalezení primitivní funkce v bodě 0 (i když i pro tyto případy existuje vhodné zobecnění Newtonovy-Leibnizovy formule). Rovněž si ověřte, že funkce x ln x je ohraničená na intervalu (0, 1i (stačí spočíst její limitu pro x → 0+ ); nejde tedy o nevlastní integrál.
Kritéria konvergence nevlastních integrálů Chceme-li řešit otázku konvergence či divergence daného neurčitého integrálu, s našimi dosavadními znalostmi jsme schopni pouze jediného postupu: vypočítat jistý pomocný integrál jako funkci dolní či horní meze a poté provést patřičný limitní přechod. Zejména první část tohoto postupu však může skýtat značné úskalí, jak jsme viděli dříve; pro aplikaci Newtonovy-Leibnizovy formule totiž potřebujeme spočíst primitivní funkci, což může být velmi obtížné až nemožné. Naštěstí však pro zjištění konvergence či divergence nevlastního integrálu není vždy potřeba hledat jeho přesnou hodnotu. Existuje totiž řada kritérií, která nám umožní zjistit tuto informaci daleko snadněji. My si zde uvedeme pouze ta nejzákladnější kritéria, a to pro případ nezáporných integrandů. Srovnávací kritérium Uvažujme funkci f , která je definovaná a nezáporná R ∞ na ha, ∞) a f ∈ R(a, b) pro b > a. Tj., zkoumejme nevlastní integrál typu a f (x) dx Všechny ostatní případy, tj. integrandů na intervalu (−∞, bi či na intervalu obsahujícím singulární body by se vyšetřovaly podobně; promyslete si je. Rovněž si promyslete, jak by vypadaly případy, kde by předpoklad nezápornosti funkce f byl nahrazen R t předpokladem její nekladnosti. Nejprve poznamenejme, že funkce F (t) = a f (x) dx je na intervalu ha, ∞) neklesající, a proto limt→∞ F (t) buďto existuje jako konečné číslo, anebo je rovna ∞. Uvažujme další funkci g definovanou na intervalu ha, ∞), splňující 0 ≤ f (x) ≤ g(x) na ha, ∞). a g ∈ R(a, b) pro b > a. Potom je jednoduché dokázat (promyslete si sami; Rt pracujte zejména s funkcemi F (t) a G(t) = a g(x) dx), že platí tato intuitivní tvrzení (tzv. srovnávací kritérium): R∞ R∞ • Jestliže konverguje a g(x) dx, konverguje i a f (x) dx.
21 • Jestliže diverguje
R∞ a
f (x) dx, diverguje i
R∞ a
g(x) dx.
K nevlastním integrálům vhodným pro srovnávací účely patří např. Z ∞ Z ∞ 1 dx, nebo ekx dx, xp a a kde p, k jsou reálné parametry a a ∈ (0, ∞). Lze lehce odvodit, pro které hodnoty parametrů integrály konvergují resp. divergují; proveďte. Vhodné srovnávací integrály pro jiné případy (tj. např. integrační obor je (−∞, bi, nebo interval obsahuje singulární body) se obdrží podobným způsobem. R∞ 2 Příklad 0.0.28. Vyšetřete konvergenci nevlastního integrálu 1 e−x dx. R 2 Řešení. Nejprve poznamenejme, že e−x dx je vyšší transcendentní funkcí, a proto je bezprostřední výpočet R ∞ v naši situaci prakticky nemožný. Protože však 2 platí e−x ≥ e−x na h1, ∞) a 1 e−x dx konverguje, konverguje podle srovnávacího kritéria i původní nevlastní integrál. Limitní srovnávací kritérium R∞ Opět se zajímejme o nevlastní integrál 1. druhu, tj. a f (x) dx, přičemž ostatní případy se vyšetří podobně (proveďte!). Předpokládáme, že f, g ∈ R(a, R ∞ b) jsou nezáporné na ha, ∞). Vzhledem k tomu, že pro kovergenci či divergenci a f (x) dx je rozhodující chování funkce f v okolí nekonečna, nepřekvapí nás, že srovnání dvou integrandů postačí provést jistou limitní cestou. Předpokládejme, že existuje limita f (x) = M ∈ h0, ∞) ∪ {∞}. (0.0.6) lim x→∞ g(x) Platí tzv. limitní srovnávací kritérium: R∞ R∞ • Jestliže M < ∞ a konverguje a g(x) dx, konverguje i a f (x) dx. R∞ R∞ • Jestliže M > 0 a diverguje a g(x) dx, diverguje i a f (x) dx. Důležitou roli v jeho důkazu hraje předchozí srovnávací kritérium, neboť např. existence vlastní limity (0.0.6) nám umožní nalézt „rozumný“ vztah mezi f a g. Dobře si rozmyslete, jaké (vzájemné) asymptotické chování vykazují funkce f a g v závislosti na hodnotě M . Z π/2 4 cos x √ dx. Příklad 0.0.29. Vyšetřete konvergenci integrálu 3 sin2 2x 0 Řešení. Integrand, který označíme f , je spojitý v intervalu (0, π/2). Sami ověřte, že lim f (x) = ∞, lim f (x) = 0; x→0+
x→π/2−
první rovnost je zřejmá, druhá využívá L’Hospitalovo pravidlo. Dodefinujeme-li f (π/2) = 0, je funkce f spojitá v intervalu (0, π/2i, přičemž tato změna zřejmě
22 nemá vliv na konvergenci či divergenci původního integrálu. Jediným singulárním bodem integrálu je tedy 0. Položme g(x) = x−2/3 . Pak platí limx→0+ f (x)/g(x) = R π/2 4·2−2/3 > 0; ověřte. Protože integrál 0 x−2/3 dx konverguje, konverguje podle limitního srovnávacího kritéria také původní integrál. Nutná podmínka konvergence Limitní srovnávací kritérium může být užito k obdržení velmi jednoduché podmínky, která musí platit pro „rozumné“ integrandy konvergujících nevlastních integrálů. Předpokládejme, že Z ∞ f (x) dx konverguje a existuje lim f (x) = L. x→∞
a
Potom platí L=0 (tzv. nutná podmínka konvergence). Důkaz je velmi jednoduchý. Naznačíme pouze hlavní myšlenku, detaily promyslete sami. Předpokládáme-li totiž sporem, že L 6= 0, bez újmy na obecnosti vezměme např. L > 0, a zvolíme-li v limitním R∞ srovnávacím kritériu g(x) = 1, pak dostaneme divergenci a f (x) dx, což je spor. Pozor: Tato věta netvrdí, že integrand konvergentního integrálu musí mít limitu. Obecně nic takového neplatí, jak ukazuje následující příklad. ( R∞ x pro x ∈ N, Příklad 0.0.30. Vypočtěte 0 f (x) dx, kde f (x) = 0 pro x ∈ h0, ∞) \ N. Rt Řešení. Označme F (t) = 0 f (x) dx. Poněvadž se funkce f v intervalu h0, ti pro libovolné t > 0 liší od identicky nulové funkce jen v konečném počtu bodů, tak platí F (t) pro každé t > 0. To plyne z Rodstavce o málo líšících se funkcích. ∞ Odtud dostáváme limt→∞ F (t) = 0, a tedy 0 f (x) dx konverguje a má hodnotu 0. Přitom limx→∞ f (x) zřejmě neexistuje; dokonce je funkce f na integračním oboru h0, ∞) neohraničená.
Jordanova–Peanova míra Již několikrát jsme se v souvislosti s určitým integrálem zmínili o výpočtu obsahu rovinných obrazců. Tomu se budeme věnovat zejména v následujícím odstavci. Chceme-li však k této látce přistupovat aspoň trochu poctivě, je třeba přesněji vymezit intuitivně jasný pojem obsah rovinného obrazce. Tento pojem je nám zřejmý v případě jednoduchých obrazců, jako je např. obdélník či trojúhelník (i když skutečně precizní vysvětlení, proč je obsah obdélníka o délkách stran m a n právě m · n, není úplně triviální. V případě složitějších množin jsou buďto známy vzorce pro obsah, 3 anebo je potřeba nějak jejich obsah spočíst (za předpokladu, 3 Zde je však potřeba říct, ža řada studentů neví, odkud se vlastně takové vzorce vzaly. A to včetně i těch nejznámějších formulek, jako je např. obsah kruhu. Prostě těmto vzorcům jen „uvěří“ .
23 že je to vůbec možné v nějakém rozumném smyslu). Dokonce mohou existovat množiny, jako např. {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x, y ∈ Q},
(0.0.7)
u kterých bychom velmi váhali, jestli je lze vůbec rozumně „změřit“ . Míru lze chápat jako zobecnění či spíše zpřesnění pojmů délka, obsah, či objem; my se nyní zabýváme především obsahem. Měřitelná množina (v R2 ), je dostatečně „rozumná“ množina, u které lze určit její obsah. Obecně se touto problematikou zabývá tzv. teorie míry, která jde nad rámec našeho kurzu. Hned na začátku musíme čtenáře zklamat, že níže sestrojená Jordanova–Peanova míra vlastně není mírou, tj. nemá všechny vlastnosti, které od míry v moderní matematice požadují. Jde však o poměrně jednoduchý objekt, který pro naše účely naprosto postačí. Asi tak jako nám postačuje Riemannův integrál. Většinou se Jordanova–Peanova míra konstruuje podobným způsobem, jako popíšeme nyní. Všimněte si podobnosti s přístupem, který používal vlastně už Archimedes. Totiž aproximaci rovinného útvaru pomocí jednodušších útvarú. Nejdříve uvažujme množinu v rovině (nazývejme ji třeba elementární množinou), kterou definujeme jako konečné sjednocení obdélníků majících navzájem disjunktní vnitřky.4 Nechť E značí množinu všech elementárních množin v rovině. Dále nechť m(M ) pro M ∈ E znamená míru neboli obsah množiny M ; s obsahem elementárních množin jistě nemáme problém.5 Uvažujme množinu A v rovině, která je omezená (tj. celá se nachází v dostatečně velkém kruhu či obdélníku). Potom množina {m(M ) : M ∈ E, M ⊆ A} je neprázdná a shora omezená; promyslete si tuto skutečnost. Podobně je množina {m(M ) : M ∈ E, M ⊇ A} neprázdná a zdola omezená. Můžeme tedy bez obav definovat m∗ (A) = inf{m(M ) : M ∈ E, M ⊆ A}, tzv. vnější Jordanovu míru, a m∗ (A) = sup{m(M ) : M ∈ E, M ⊆ A}, tzv. vnitřní Jordanovu míru. Zřejmě platí m∗ (A) ≤ m∗ (A). Jestliže nastane rovnost, pak máme hledanou míru:
Definice 0.0.31. Jestliže m∗ (A) = m∗ (A), pak říkáme, že množina A je měřitelná (v Jordanově či Jordanově–Peanově smyslu) a definujeme její (Jordanovu) míru (obsah) vztahem m(A) = M∗ (A) = m∗ (A). 4 Někdy
se elementární množina definuje jako sjednocení množin tvaru I × J, kde I, J jsou intervaly. Nezáleží na tom, zda se tyto množiny překrývají. Nezáleží na typu intervalů I, J. Máme zde jen drobné technické rozdíly, které lze snadno překlenout. Ve skutečnosti lze ukázat, že každá takto definovaná množina se dá vyjádřit jako sjednocení disjunktních množin tvaru I × J, kde I, J jsou intervaly. 5 Chceme-li být formálně přesní, měli bychom ještě ukázat, že míra elementární množiny je nezávislá na rozdělení do obdélníků. To však skutečně platí.
24 Pochopitelně bychom místo obdélníků mohli uvažovat stejně dobře např. trojúhelníky, anebo bychom mohli utvořit v rovině přímo čtvercovou síť a sledovat situaci při neomezeném zjemňování této sítě. Pokuste se o takovou konstrukci, kde rovinu pokryjeme nejdříve čtvercovou sítí, v níž je délka stran jednotlivých čtverců rovna 1, v dalším kroku je rovna 1/2, pak 1/4 atd. 6 Vnitřní a vnější míru pak dostáváme jako limity jistých omezených monotonních posloupností. Poznamenejme, že Jordan používal čtvercovou síť a Peano mnohoúhelníky. Právě sestrojená míra má základní vlastnosti obsahu ve smyslu elementární geometrie. Nemění se posunutím, otočením nebo provedením osové souměrnosti. Jsou-li A, B měřitelné množiny, jsou A ∪ B, A ∩ B, A \ B taky měřitelné. Dále platí (za předpokladu, že A, B jsou měřitelné množiny): • • • •
m(A) ≥ 0 (tj. obsah je vždy nezáporný), A ∩ B 6= ∅ ⇒ m(A ∪ B) = m(A) + m(B) (tj. obsah je „aditivní“ ), A ⊆ B ⇒ m(A) ≤ m(B) (tj. obsah je „monotónní“ ), A je obdélník o délkách stran m, n ⇒ m(A) = m · n (tj. obsah obdélníku se počítá tak, jak jsme zvyklí).
Téměř bezprostředně z definice plyne: Jestliže pro každé ε > 0 existují M1 , M2 ∈ E takové, že M1 ⊆ A ⊆ M2 a že m(M2 ) − m(M1 ) < ε, pak A je měřitelná. Dále si uvědomme, že množiny, které uvažujeme při definici horního a dolního součtu jsou elementární. Užitím těchto dvou faktů dostáváme následující tvrzení: Nechť f ∈ R(a, b) je nezáporná funkce definovaná na ha, bi. Potom 6 Uvažujme
omezenou množinu M ⊂ R2 .
• Sestrojme v rovině tzv. síť řádu n, n ∈ N ∪ {0} pomocí přímek rovnoběžných s osami x, y, které procházejí body [k2−n , 0] resp. [0, k2−n ], k ∈ Z. • Síť řádu n nám rozdělí rovinu na tzv. čtverce řádu n, z nichž každý má zřejmě míru (tj. obsah) rovnu 4−n . • Tzv. elementární množinu řádu n definujeme jako sjednocení konečného počtu čtverců téhož řádu n s disjunktními vnitřky. • Tzv. jádro řádu n množiny M (ozn. Jn (M )) definujeme jako elementární množinu vytvořenou všemi čtverci řádu n obsaženými ve vnitřku M ◦ . • Tzv. obal řádu n množiny M (ozn. On (M )) definujeme jako elementární množinu vy¯ je neprázdný. tvořenou všemi čtverci řádu n, jejichž průnik s uzávěrem M Platí ¯ ⊆ On (M ) Jn (M ) ⊆ M ◦ ⊆ M ⊆ M a m(Jn (M )) ≤ m(Jn+1 (M )), m(On (M )) ≥ m(On+1 (M )), n ∈ N ∪ {0}, kde m značí míru (obsah) dané elementární množiny. (S výpočtem obsahů elementárních množin jistě není problém.) Všimněte si, že jsme takto obdrželi jisté posloupnosti, které jsou omezené a monotonní. Tedy máme zaručenu existenci limit a lze bez obav definovat m∗ (M ) = lim m(Jn (M )), n→∞
m∗ (M ) = lim m(On (M )); n→∞
m∗ (M ) se nazývá vnitřní Jordanova míra množiny M a m∗ (M ) se nazývá vnější Jordanova míra množiny M . Vždy platí 0 ≤ m∗ (M ) ≤ m∗ (M ).
25 Gf (a, b) je měřitelná množina a platí m(Gf (a, b)) = tzv. subgraf funkce f definovaný jako
Rb a
f (x) dx, kde Gf (a, b) je
Gf (a, b) = {[x, y] ∈ R2 : x ∈ ha, bi, 0 ≤ y ≤ f (x)}. Platí ovšem také opačná implikace. Celkem tedy dostáváme:
Věta 0.0.32. Nechť f je omezená, nezáporná funkce definovaná na ha, bi. Potom f ∈ R(a, b) ⇔ Gf (a, b) je měřitelná. V případě měřitelnosti (či integrovatelnosti) potom platí Z m(Gf (a, b)) =
b
f (x) dx.
(0.0.8)
a
Vlastnosti uvedené za Definicí 0.0.31 jsou jistě ty „rozumné“ vlastnosti, které by měl obsah mít. Někdy se na základě takových rozumných vlastností (axiomů) obsah zavádí. Můžeme postupovat třeba takto. Chceme najít dostatečně širokou třídu nezáporných funkcí, pro něž dovedeme určit obsah (míru) jejich subgrafu. Přesněji, uvažujeme nějakou třídu M nezáporných funkcí, z nichž každá je definována na nějakém uzavřeném intervalu. Dále nechť G(M) značí množinu všech subgrafů všech funkcí z M. Pro zobrazení m : G(M) → R definujme tyto vlastnosti: (m1 ) Jestliže f ∈ M, ha, bi ⊆ Dom(f ) a c ∈ (a, b), potom m(Gf (a, b)) = m(Gf (a, c)) + m(Gg (c, b)). (m2 ) Jestliže f, g ∈ M, ha, bi ⊆ Dom(f ), hc, di ⊆ Dom(g) a Gg (c, d) ⊆ Gf (a, b), potom m(Gg (c, d)) ≤ m(Gf (a, b)). (m3 ) Jestliže f (x) = c ∈ h0, ∞) pro x ∈ ha, bi, potom f ∈ M a m(Gf (a, b)) = c(b − a). Nazývejme číslo m(Gf (a, b)) obsahem (měrou) množiny Gf (a, b). Existuje-li třída funkcí M a zobrazení m : G(M) → R splňující (m2 ) a (m3 ), pak je m(Gf (a, b)) ≥ 0 pro každou f ∈ M. Dokažte si tento fakt. Následující věta říká, že náš výše formulovaný problém je jednoznačně řešitelný, vezmeme-li M = MR , kde MR je množina všech nezáporných funkcí, z nichž každá je definovaná a Riemannovsky integrovatelná na nějakém uzavřeném intervalu.
26
Věta 0.0.33. Existuje jediné zobrazení m : G(MR ) → R, které splňuje axiomy (m1 ), (m2 ), (m3 ). Toto zobrazení je dáno vztahem m(Gf (a, b)) = Rb f (x) dx. a Rb Důkaz. Pro f ∈ MR položme m(Gf (a, b)) = a f (x) dx. Pak m je zobrazení G(MR ) do R, které splňuje (m1 ), (m2 ), (m3 ); ověřte tuto skutečnost s využitím dříve odvozených vlastností Riemannova integrálu. Při důkazu jednoznačnosti postupujeme takto: Vezmeme libovolné zobrazení m : G(MR ) → R splňující (m1 ), (m2 ), (m3 ) a libovolnou funkci f ∈ MR definovanou na ha, bi. Potom S(D, inf) ≤ m(Gf (a, b)) ≤ S(D, sup) pro libovolné dělení D intervalu ha, bi, kde S(D, inf) resp. S(D, sup) je dolní resp. horní integrální součet. Řádně si odvoďte tento fakt, využívá se vlastností (m1 ), Rb (m2 ), (m3 ). Odtud pak již plyne m(Gf (a, b)) = a f (x) dx, neboť f ∈ (a, b). V této souvislosti si nemůžeme odpustit ještě jedno poměrně zřejmé tvrzení, které je vlastně přepisem známého faktu v jiné(řeči: Jestliže f je spojitá a ne0 pro x = a záporná funkce na ha, bi, pak funkce F (x) = je m(Gf (a, x)) pro x ∈ (a, bi primitivní funkcí k f na ha, bi. V Definici 0.0.31 jsme zavedli dvoudimenzionální (Jordanovu–Peanovu) míru. Analogicky ji lze definovat obecně v Rn , n ∈ N. Pro ilustraci naznačme jednu poněkud úspornější konstrukci. Prostor Rn lze vidět jako sjednocení n–rozměrných intervalů tvaru ha1,j1 −1 , a1,j1 i × ha2,j2 −1 , a2,j2 i × · · · × han,jn −1 , an,jn i, kde množina čísel ai,j (i = 1, 2, . . . , n; j = 0, ±1, ±2, . . . ), s vlastnostmi ai,j−1 < n ai,j , limj→±∞ ai,j = ±∞, je dělení Rn . Tzv. charakteristickou ( funkci χM : R → 1 pro [x, y] ∈ M R množiny M ⊂ Rn definujeme předpisem χM (x, y) = . 0 pro [x, y] 6∈ M Nechť A ⊂ Rn je omezená množina. Potom vnitřní měrou množiny A máme na mysli číslo X m∗ (A) = sup min χA (x)m(J), x∈J
kde m(J) je objem n–rozměrného intervalu J ve smyslu elementární geometrie (tj. součin délek jeho hran), sčítá se přes všechny intervaly dělení a supremum se bere přes všechna dělení prostoru Rn . Podobně definujeme vnější míru množiny A jako X m∗ (A) = inf max χA (x)m(J). x∈J
Platí-li rovnost m∗ (A) = m∗ (A) =: m(A),
(0.0.9)
27 pak m(A) je Jordanova–Peanova míra množiny A. Jako speciální případ pro n = 2 dostaneme míru (obsah) z Definice 0.0.31. Pro n = 3 jsme takto dali přesný formální smysl intuitivně jasnému pojmu objem. Pozor: je třeba uvažovat dimenzi prostoru, v němž pracujeme; např. úsečka má v R míru rovnu své délce, ale v R2 má míru nulovou (lze ji chápat jako obdélník s jednou stranou nulovou). Ve Větě 0.0.32 jsme propojili Rimannův integrál s dvoudimenzionální (Jordanovou– Peanovou) mírou. Nyní poukážeme na souvislost Riemannova integrálu s mírou na přímce.
Věta 0.0.34. Množina A ⊆ ha, bi je měřitelná, právě když χA ∈ R(a, b). V Rb případě měřitelnosti (či integrovatelnosti) potom platí m(A) = a χA (x) dx. Důkaz. Dokážeme nejdříve implikaci zleva doprava. Nechť tedy A je měřitelná. Vezměme libovolné ε > 0. Pak lze najít elementární množiny M, N ⊂ R (tedy jsou tvořeny konečným sjednocením intervalů) takové, že M ⊆ A ⊆ N a m(N \ M ) ≤ ε. Zřejmě χM ≤ χA ≤ χN a χM , χN ∈ R(a, b). Uvažujme dělení D sestavené z koncových bodů množin M, N . Poněvadž M, N jsou elementární, pro horní a dolní součty jejich charakteristických funkcí platí S(D, sup; χM ) = S(D, inf, χM ) = m(M ) a S(D, sup; χN ) = S(D, inf; χN ) = m(N ). Máme S(D, sup; χA ) ≤ S(D, sup; χN ) a S(D, inf; χA ) ≥ S(D, inf; χM ). Dostáváme tak S(D, sup, χA ) − S(D, inf, χA ) ≤ ε, odkud již snadno plyne tvrzení. Naopak předpokládejme, že χA ∈ R(a, b). Pro libovolné ε > 0 umíme najít dělení takové, že n X max χA (x) − min χA (x) (xi − xi−1 ) < ε. i=1
xi−1 ≤x≤xi
xi−1 ≤x≤xi
Vezměme elementární množiny M, N v R takové, že MS⊆ A ⊆ N a N = S hx , x i, přičemž max χA = 1 na hxi−1 , xi i a M = i (xi−1 , xi ), přičemž i−1 i i min χA = 1 na hxi−1 , xi i. Potom máme m(N ) − m(M ) < ε. Vzhledem k Větě 0.0.34 nás nepřekvapí, že Jordanova–Peanova míra množiny na R se někdy zavádí pomocí Riemannova integrálu. Přesněji formulováno: nechť χA ∈ R(a, b) pro A ∈ ha, bi. Pak míru množiny A definujeme jako Rb m(A) = a χA (x) dx. Uvedená konstrukce je univerzální, tj. lze ji použít na množiny v R2 , R3 a obecně v Rn pro libovolné n ∈ N. Předpokladem pro možnost její aplikace je ovšem vybudování teorie n-rozměrného integrálu. Protože se náš text vícerozměrnými integrály nezabývá, zmiňme pouze, že konstrukce je velmi obdobná jednorozměrnému případu. Při posuzování (ne)měřitelnosti množiny můžeme jistě postupovat dle definice, avšak většinou to není zrovna optimální postup. Ještě než si vyslovíme
28 jednoduché a užitečné kritérium měřitelnosti, přemýšlejte nad následujícími tvrzeními: • Omezená množina a její uzávěr mají stejnou Jordanovu vnější míru. • Omezená množina a její vnitřek mají stejnou Jordanovu vnitřní míru. Věta 0.0.35. Omezená množina je měřitelná, právě když její hranice má míru nula. Příklad 0.0.36. Příkladem měřitelné množiny v R2 je zřejmě např. subgraf nezáporné spojité funkce na ha, bi. Neměřitelnou množinou je např. množina uvedená v (0.0.7). Řádně si zdůvodněte, proč je její vnější míra ostře větší než vnitřní míra. Najděte nějakou (omezenou) neměřitelnou množinu v R. Následuje trochu rafinovanější příklad, kde najdeme nejdříve otevřenou neměřitelnou množinu a poté uzavřenou neměřitelnou množinu. Příklad 0.0.37. Vezměme množinu h0, 1i ∩ Q a nahlížejme na ní ve tvaru {rn : n ∈ N}. Uvažujme otevřenou množinu A=
∞ [ n=1
rn −
ε
2
, rn + n+2
ε 2n+2
.
SN Potom m∗ (A) ≤ ε a m∗ (A) = 1. Skutečně, jestliže i=1 Ii ⊃ A, potom mnoSN žina h0, 1i \ i=1 Ii (která je také konečným sjednocením disjunktních intervalů) nemůže obsahovat nedegenerované intervaly díky naší konstrukci. Tedy SN SN m(h0, 1i \ i=1 Ii ) = 0 a tedy m( i=1 Ii ) = 1. Proto m∗ (A) = 1. Podobně, vezmeme-li h0, 1i \ A, lze dokázat existenci uzavřených neměřitelných množin. Jak jsme viděli, tak celkem snadno najdeme množinu, která není měřitelná v Jordanově smyslu. Neumíme tedy spočíst její „obsah“ . Mezi další nedostatky Jordanovsky měřitelných množin patří, že např. spočetné sjednocení takových množin nemusí být Jordanovsky měřitelné; stačí si projít Příklad 0.0.37 nebo vezmeme třeba posloupnost elementárních množin An = {x ∈ h0, 1i : x = q/p, kde p ≤ n}. Teď už možná lépe rozumíme tomu, proč jsme na začátku této kapitoly tvrdili, že Jordanova–Peanova míra není mírou tak, jak je tento pojem chápán v moderní matematice. Tyto nedostatky odstraňuje obecnější pojem tzv. Lebesgueovy míry. Tato teorie však již překračuje rámec našeho kurzu.
Geometrické (a jiné) aplikace ...
