M - Kvadratická funkce

M - Kvadratická funkce

Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.


1

± Kvadratická funkce 2

Kvadratická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla a číslo a ¹ 0. Grafem kvadratické funkce je parabola (nebo její část).

Definičním oborem kvadratické funkce jsou všechna reálná čísla. Je-li číslo a > 0, pak má funkce minimum (viz horní obrázek), je-li a < 0, pak má funkce maximum.

5.7.2009 0:23:15

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1z9


1

Názvy členů funkce: 2

ax bx c

... ... ...

kvadratický člen lineární člen absolutní člen

I. Kvadratická funkce bez lineárního a bez absolutního členu -

2

jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax definičním oborem jsou všechna reálná čísla oborem hodnot je interval <0; +¥ ), je-li a > 0 a interval (-¥; 0> je-li a < 0 souřadnice maxima (resp. minima): M[0; 0] graf tedy protíná obě osy v počátku souřadného systému čím je absolutní hodnota čísla a větší, tím je graf užší, sevřenější.

II. Kvadratická funkce bez lineárního členu 2

- jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax + c - definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla - oborem hodnot je interval: pro a > 0 ... - souřadnice maxima (resp. minima): M[0; c] - graf tedy protíná osu y v bodě, který nazýváme maximum (resp. minimum) - je-li c > 0 a zároveň a < 0 nebo c < 0 a zároveň a > 0, pak graf protíná i osu x, a to ve dvou bodech, které jsou osově souměrné podle osy y. Souřadnice průsečíků s osou x mají v tomto případě souřadnice:

5.7.2009 0:23:15


2z9


é -c ù X1 ê ;0ú a ë û

1

é -c ù X 2 ê;0ú a ë û

III. Kvadratická funkce se všemi členy 2

- jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax + bx + c - definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla 2

Příklad.: Je dána funkce y = 2x + 3x + 4. Určete, zda má funkce maximum nebo minimum, zjistěte jeho souřadnice a určete souřadnice průsečíků s oběma osami. Řešení: Zda má funkce maximum nebo minimum, to rozhodneme podle čísla a. Vzhledem k tomu, že a = 2, což je větší než nula, má funkce minimum. Jeho souřadnice určíme tzv. doplněním na čtverec. Postup: 2 1. Vytkneme číslo a ... y = 2.(x + 1,5x + 2) 2 2. Podíváme se, jaké znaménko je u lineárního členu a podle toho rozhodneme, zda použijeme vzorec (A+B) 2 nebo (A-B) . V tomto případě použijeme ten první. 3. Z kvadratického členu u trojčlenu v závorce určíme číslo A. V tomto případě je tedy x. 4. Z lineárního členu u trojčlenu v závorce určíme číslo B. V tomto případě je tedy 0,75 2 2 2 5. Použijeme vzorec a dostaneme y = 2.[(x + 0,75) - 0,75 + 2] Pozn. 0,75 odečítáme proto, aby nebyla porušena rovnost, protože jsme to zahrnuli do závorky 6. Odstraníme hranatou závorku roznásobením číslem a: 2 y = 2.(x + 0,75) + 2,875 7. Určíme souřadnice hledaného minima: M[-0,75; 2,875] Všimněme si, že první souřadnici určujeme vždy s opačným znaménkem než má člen v závorce a naopak u druhé souřadnice zůstává znaménko zachováno. Určení průsečíků s osami: a) s osou x V tomto případě y = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme x 2 2x + 3x + 4 = 0 2 Diskriminant D = 3 - 4.2.4 = 9 - 32 = -23 Vzhledem k tomu, že diskriminant vyšel záporný, nemá kvadratická rovnice řešení a neexistují tedy průsečíky s osou x. b) s osou y V tomto případě x = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme y 2 y = 2.0 + 3.0 + 4 = 4 Hledané souřadnice tedy jsou Y[0; 4] Pokud máme souřadnice průsečíků a souřadnice extrému (tj. minima nebo maxima), pak můžeme snadno určit průběh grafu a graf tedy načrtnout. Číslo 2 před závorkou nám ještě říká, že graf bude trochu užší. Ačkoliv to nebylo úkolem, můžeme nyní i určit obor hodnot funkce zadané v předcházejícím příkladu. Je to jednoduché. Funkce má minimum, tedy hodnoty se nedostanou pod druhou souřadnici tohoto bodu. Oborem hodnot je tedy interval <2,875; +¥)

± Kvadratická funkce - procvičovací příklady

5.7.2009 0:23:15


3z9


1

1.

1350 Výsledek:

2.

1352 Výsledek:

Neexistuje - viz graf 3.

1357 Výsledek:

5.7.2009 0:23:15


4z9


1

4.

1362 Výsledek:

5.

1351 Výsledek:

6.

1346 Výsledek:

7.

1356 Výsledek:

5.7.2009 0:23:15


5z9


1

8.

1361 Výsledek:

9.

1345 Výsledek:

10.

1354

Výsledek:

Platí - viz graf

5.7.2009 0:23:15


6z9


1

11.

1360 Výsledek:

12.

1355

Výsledek:

13.

1347 Výsledek:

14.

1353

Výsledek:

Existuje - viz graf

5.7.2009 0:23:15


7z9


1

15.

1358 Výsledek:

16.

1359 Výsledek:

17.

1348 Výsledek:

5.7.2009 0:23:15


8z9


1

18.

1363 Výsledek:

19.

1349 Výsledek:

5.7.2009 0:23:15


9z9


1

Obsah Kvadratická funkce Kvadratická funkce - procvičovací příklady

5.7.2009 0:23:15


1 3

M - Kvadratická funkce

Recommend Documents