Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce

Logaritmické rovnice Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Základní rovnice loga x  b , a  0  a  1 … řešíme pomocí vztahu x  a b . Složitější upravit na loga f x   loga g x  … potom f x   g x  (protože logaritmická funkce je prostá). Pokud stanovíme podmínky a budeme provádět pouze ekvivalentní úpravy, není zkouška nutná. Příklad: Řešte v R rovnici log2 x  6  3 . Řešení: Logaritmická funkce je definovaná pro kladné hodnoty argumentu. Takže stanovme nejdříve podmínku, za jaké bude mít rovnice smysl: x  6  0  x  6 . Rovnice je základní, proto log2 x  6  3  x  6  2 3 x 6  8 x  14 Tato hodnota podmínce vyhovuje, je to tedy hledané řešení rovnice. Příklad: Řešte v R rovnici logx  3  logx  2  2  log2 . Řešení: Stanovíme podmínky: x  3  0  x  3  x  2  0  x  2 . Musí platit obě současně, tedy x  2 . Rovnici budeme upravovat podle pravidel pro počítání s logaritmy. logx  3  logx  2  2  log2 logx  3x  2  2 log10  log2 ... protože loga x  loga y  loga x  y  a 1 loga a 100 logx 2  x  6  log 2

x ... protože k  loga x  loga x k a loga x  loga y  loga  y 2 logx  x  6  log50 ... rovnají-li se hodnoty funkce, musí se rovnat argumenty. 2 x  x  6  50 x 2  x  56  0 x1  7  1  1  224  1  225  1  15  x 1,2    x 2  8 2 2 2 Podmínce x  2 vyhovuje pouze x  7 . Během výpočtu jsme neprováděli neekvivalentní úpravy, proto zkouška není nutná.

  

Řešené příklady: 1. Určete x, jestliže platí a) log2 8  x

Řešení: loga x  b  x  a b , v tomto případě 8  2 x

23  2 x  x  3 . b) log4 x  

3 2

Řešení: loga x  b  x  a b , v tomto případě x  4

x 

c) logx



1 4

1 3  8 2

1 Řešení: loga x  b  x  a , v tomto případě x 8 b

3 2

3

3 2

 x 

 x3 

1 . 8

1 1  x  . 64 4

1 2 Řešení: Všechny členy na pravé straně rovnice vyjádříme jako logaritmus se x  základem 4 a potom je sloučíme užitím pravidla loga x  loga y  loga   . y  1 log4 x  2 log4 5  log4 125  2 3

d) log4 x  2 log4 5  log4 25 

1

log4 x  log4 5 2  log4 125 3  2  log4 4 ... protože log4 4  1

52 log4 x  log4 3  log4 4 2 125 52 5  x  log4 x  log4 . 2 54 16

2. Řešte v R rovnici log5 x  5  log5 2x  1 . Řešení: Protože jde o prostou funkci, rovnají-li se hodnoty funkce, musí se rovnat argumenty. Ale nejdříve stanovíme podmínky řešitelnosti. 1 x  5  0  x  5  2x  1  0  x  . Musí platit současně, podmínkou tedy 2 1 je x  . 2 Z rovnice log5 x  5  log5 2x  1 máme x  5  2x  1.

Potom  x  6 , tedy x  6 . Protože x  6 vyhovuje podmínce, je to řešení zadané rovnice. 3. Řešte v R rovnici log3 x 2  17  log3 x  3 . Řešení: Podmínky řešitelnosti: x 2  17  0  x 2  17  x  17  x    ,  17  17 ,  x  3  0  x  3





 





Obě podmínky platí pro x  17 ,  . Rovnice: log3 x 2  17  log3 x  3

x 2  17  x  3 x 2  x  20  0

x1  5 1  1  80 1  9   x 2  4 2 2 Kvadratická rovnice má dva kořeny, ale x 2  4 nevyhovuje podmínce řešitelnosti. Zadaná rovnice má tedy jediné řešení x  5 .

x 1,2 

4. Řešte v R rovnici log2 x  3  log2 x  3  2 log2 x  1 . Řešení: Nejdříve podmínky řešitelnosti: x  3  0 pro x  3 , x  3  0 pro x  3 a x  1 0 pro x  1. Aby tedy měla rovnice smysl, musí být x  3 . Rovnici upravíme užitím pravidel na rovnost dvou logaritmů, potom porovnáme argumenty: log2 x  3  log2 x  3  2 log2 x  1

log2 x  3x  3  log2 x  12 x  3x  3  x  12 Upravíme a vyřešíme: x 2  9  x 2  2x  1 2x  10 x  5 ... nevyhovuje podmínce! Rovnice nemá řešení.

5. Řešte v R rovnici log4x  4  log2  x   1. Řešení: Podmínky řešitelnosti jsou 4x  4  0 , tj. x  1 a 2  x  0 , tj. x  2 . Obě tyto nerovnosti splňují x  1, 2 . log4x  4  log2  x   1 4x  4 log  log10 2x 4x  4  10 / 2  x  2x

4x  4  20  10x 14x  24 12 12 x  . Protože  1, 2 , je to hledané řešení rovnice. 7 7

6. Řešte v R rovnici

2 logx  2  1. log 3x  10

Řešení: Podmínky x  2  0 a 3x  10  0 platí současně pro x  2 2 logx  2 1 log 3x  10 log 3x  10 2 logx  2  log3x  10 logx  22  log3x  10

x  22

 3x  10 x  4x  4  3x  10 x 2  x 6  0 x1  2  1  1  24  1  5  x 1,2   x 2  3 2 2 Kořen x 2  3 nesplňuje podmínku, takže jediným řešením rovnice je x  2 . Odtud

2

7. Řešte v R rovnici log2 x 2  3 log2 x  10  0 . Řešení: Rovnice má smysl pro x  0 . V rovnici nahradíme log2 x  a . Po dosazení dostaneme rovnici a 2  3a  10  0 . a1  5 3  9  40 3  7  a 1,2   a 2  2 2 2 Vrátíme-li se k původní proměnné, je 1) log2 x  5 nebo 2) log2 x  2 5 x 2 x  2 2 1 x2  x 1  32 4 Rovnice má dvě řešení, protože obě vyhovují podmínce.

8. Řešte v R rovnici log x 3  1 

10 . log x

Řešení: Rovnice má smysl pro x  0 . 10 Rovnici upravíme: 3 log x  1  / log x log x 3log x 2  log x  10

Nahradíme log x  a , potom dostaneme rovnici 3a 2  a  10  0 . 5  1  1  120  1  11 a1  Její kořeny a 1,2    3 6 6 a 2  2 Vrátíme se k původní proměnné: 5 1) log x  nebo 2) log x  2 3

x  10

5 3

x  10 2

x  3 105 Rovnice má dvě řešení, x 

x 

1 100

1 a x  3 105 . 100

9. Řešte v R rovnici 3 log x  4  log x . Řešení: Musí být x  0 . Rovnici umocníme: 9 log x  16  8 log x  log2 x log2 x  17 log x  16  0 Použijeme substituci log x  a , potom řešíme kvadratickou rovnici a 2  17a  16  0 .

a 1,2 

a 1  16 17  289  64 17  15   a2  1 2 2

Vrátíme se k původní proměnné: 1) log x  16 nebo x 1  1016

2) log x  1

x 2  10

Obě hodnoty splňují podmínku řešitelnosti. Ale protože jsme při řešení použili neekvivalentní úpravu, musíme provést zkoušku! Pro x 1  1016 je L 1 3 log1016  3 log108  3  8 log10  24

P1  4  log1016  4  16 log10  4  16  12 Protože L 1 P1 , není x 1  1016 řešením zadané rovnice. Pro x 2  10 je L 2  3 log10  3 1  3 P2  4  log10  4  1  3 Protože L 2  P2 , x 2  10 je řešením zadané rovnice. Rovnice má jediné řešení x  10 .

10. Řešte v R rovnici log2 2x 2  log2 16x  

9 log22 x . 2

Řešení: Pro x  0 budeme řešit především užitím pravidel pro počítání s logaritmy. 9 log2 2x 2  log2 16x   log22 x 2 log2 2  log2 x 2  log2 16  log2 x   9 log22 x 2

1 log

2

9 2

x 2  log2 2 4  log2 x   log22 x

1 2 log2 x   4  log2 x   9 log22 x 2

4  log2 x  8 log2 x  2 log22 x  5  log22 x  9 log2 x  4  0 2 5  a 2  9a  4  0 /  2 2 5a 2  18a  8  0 /  2

9 log22 x 2

... označíme log2 x  a

a1  4 18  324  160 18  484 18  22 2  a 1,2    a2   10 10 10 5 Vrátíme-li se k původní proměnné, je 2 1) log2 x  4 nebo 2) log2 x   5

x 2

x 2

4

x2 

x 1  16



2 5

1 5 4

Příklady na procvičení: 1. Určete x, jestliže platí 1 a) log8  x 4 2 b) log8 x  3

c) logx

1  3 27

1 d) log x  2log3  log 2  log9 2

2. Řešte v R rovnice a) log2 x  3  log2 x  3  2 log2 x  1 b) log2x  9  2 log x  logx  4  log2

c) log x  1  log x  2  log100  log50 d) log x  4  log 3x  1  log 40  1 3. Řešte v R rovnice a) 2  log x   log x  1 1 5 b)  3 1  ln x 3  ln x c) log4 x  2  log4 x 

3 log4 x  1 2

Výsledky: 1  2 1 1. a)  , b) 4, c) 3, d) 12 ; 2. a) 5, b) 36, c) 2, d) 5 ; 3. a) , b) e , e 3 , c) 2, 64. 10 3