Afinn´ı zobrazenn´ı ´ Umluva Symbolem V (popˇr. V 0 ) budu vˇzdy znaˇcit nˇejak´ y vektorov´y prostor, symbolem A (popˇr. 0 A ) pak vˇzdy afinn´ı bodov´y prostor, zdvojen´a p´ısmena (napˇr. A, B, C, . . .) znaˇc´ı vˇzdy matice. Definice 1. Zobrazen´ı f afinn´ıho bodov´eho prostoru A do afinn´ıho bodov´eho prostoru A0 se naz´yv´a afinn´ı pokud kaˇzd´e tˇri r˚ uzn´e koline´arn´ı body B, C, D zobrazuje bud’ do jedin´eho bodu, nebo do tˇr´ı r˚ uzn´ych koline´arn´ıch bod˚ u f (B), f (C), f (D) tak, ˇze (A, B, C) = (f (A), f (B), f (C)) 1 . Vˇ eta 1. V afinn´ım zobrazen´ı je obrazem pˇr´ımky pˇr´ımka nebo bod. Vˇ eta 2. Ke kaˇzd´emu afin´ımu zobrazen´ı f afinn´ıho bodov´eho prostoru A do afinn´ıho bodov´eho prostoru A0 je jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazeno zobrazen´ı ϕ, kter´e zobrazuje zamˇeˇren´ı V prostoru A do zamˇeˇren´ı V 0 prostoru A0 pˇredpisem: ~u = D − C ⇒ ϕ(~u) = f (D) − f (C). Zobrazen´ı ϕ se naz´ yv´a asociovan´e zobrazen´ı k zobrazen´ı f . Vˇ eta 3. Zobrazen´ı ϕ asociovan´e k afinn´ımu zobrazen´ı f je line´arn´ı zobrazen´ı vektorov´eho prostoru V do V 0 . Pozn´ amka 1. Je-li zad´ano afinn´ı zobrazen´ı f , pak je urˇceno ϕ. Obr´acen´a implikace neplat´ı. Vˇ eta 4. Necht’ je d´ano zobrazen´ı ϕ vektorov´eho prostoru V do V 0 . Je-li bod B libovoln´ y bod z A a bod B 0 libovoln´ y bod z A0 , pak existuje pr´ avˇe jedno afinn´ı zobrazen´ı f : A 7→ A0 , jehoˇz asociovan´ ym zobrazen´ım je ϕ a B 7→ f (B). Plat´ı: f (X) = f (B) + ϕ(X − B), kde X je libovoln´ y bod z A. Pozn´ amka 2. Afinn´ı zobrazen´ı je tedy d´ano zobrazen´ım zamˇeˇren´ı a p´arem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u. M´am-li tedy napˇr. nˇejak´e afinn´ı zobrazen´ı, kter´e zobrazuje pˇr´ımku na jinou pˇr´ımku, staˇc´ı mi, pokud budu m´ıt zadan´ y bod a jeho obraz, a pˇredpis jak zobrazit smˇerov´ y vektor do jin´eho vektotu (smˇerov´eho vektoru t´e druh´e pˇr´ımky). Mohlo by v´am to b´ yt jasnˇejˇs´ı, pokud si uvˇedom´ıte, ˇze pokud chci zobrazit pˇr´ımku do jin´e, nestaˇc´ı mi zn´at pouze v´ ysledn´ y smˇer, ale i nˇejak´ y bod, kter´ ym m´a proch´azet.
Taky si zkuste promyslet, kter´a zobrazen´ı jsou afinn´ı: to kter´e zobraz´ı pˇr´ımku jako rovinu? Nebo snad to kter´e zobraz´ı rovinu jako pˇr´ımku? Vˇ eta 5. Pˇri afinn´ım zobrazen´ı se dvˇe rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky zobraz´ı do dvou rovnobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek nebo kaˇzd´a z nich do bodu. 1
T´ım (A, B, C) je samozˇrejmˇe myˇslen dˇel´ıc´ı pomˇer, pˇripom´ın´am, ˇze jsme si ho definovali jako nˇejak´e ˇc´ıslo λ takto: λ = (A, B, C) =
1
|AC| |BC|
D˚ ukaz. Mˇejme tedy dvˇe rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky (mus´ı m´ıt tedy sten´ y smˇerov´ y vektor) a nˇejak´e afinn´ı zobrazen´ı f : X = B + t(C − B) Y = D + t(C − B) Najdˇeme jejich obrazy:
³ ´ f (X) = f (B) + ϕ t(C − B) = f (B) + t · ϕ(C − B) = f (B) + t · (f (C) − f (B)) f (Y ) = . . . = f (D) + t · (f (C) − f (B))
Obrazy tedy maj´ı stejn´e zamˇeˇren´ı t(f (C) − f (B)), pokud by f (C) − f (B) = 0, obˇe by se zobrazili do bodu. 0 Vˇ eta 6 (o urˇ cenosti afinn´ıho zobrazen´ı). Mˇejme dva afinn´ı bodov´e prostory An a An . Necht’ M0 , M1 , . . . , Mn je n + 1 bod˚ u z An a M00 , M10 , . . . , Mn0 je n + 1 bod˚ u z An0 . Pak existuje pr´avˇe jedno afinn´ı zobrazen´ı f : A 7→ A0 takov´e, ˇze:
Mi0 = f (Mi )
∀i ∈ 1, . . . , n
Analytick´ e vyj´ adˇ ren´ı afinn´ıho zobrazen´ı Necht’ An = {P, e~1 , e~2 , . . . , e~n } A0 = {Q, d~1 , d~2 , . . . , d~m } m
Necht’ f : An 7→
A0m
a ϕ je asociovan´e zobrazen´ı k f tak, ˇze m X
ϕ(~ ej ) =
aij d~i
j = 1, . . . , n
i=1
kde aij jsou souˇradnice vektoru ϕ(~ ej ) v b´azi zamˇeˇren´ı A0n f (P ) = Q +
m X
bi d~i
i=1
kde bi jsou souˇradnice f (P ); X ∈ An , X 0 ∈ A0m . V´ıme tedy, ˇze pro x a f (x) plat´ı: X=P+
n X
xj e~j
f (X) = Q +
j=1
m X
x0i d~i
(1)
i=1
zobraz´ıme tedy bod X: f (X) = f (P ) +
n X
xj ϕ(~ ej ) = Q +
j=1
m X i=1
bi d~i +
n X j=1
xj
m X
aij d~i = Q +
m µX n X j=1
i=1
|i=1 x0i
Maticov´ y z´apis je samozˇrejmˇe mnohem elegantnˇejˇs´ı:
x01 x02 .. . x0m
=
a11 a21 .. . am1
X 0 = AX + B a12 . . . a1n a22 . . . a2n .. . ... .. . am2 . . . amn 2
x1 x2 .. . xn
+
b1 b2 .. . bm
¶ aij xj + bi d~i {z
}
z rovnice (1)
Vˇ eta 7. Sloˇzen´ım dvou afinn´ıch zobrazen´ı f1 a f2 vznikne zobrazen´ı f , kter´e je tak´e afinn´ı. Nav´ıc plat´ı, ˇze zobrazen´ı ϕ asociovan´e k f vznikne sloˇzen´ım ϕ1 , ϕ2 , kter´e jsou asociovan´e k f1 , f2 . Vˇ eta 8. Necht’ f je prost´e afinn´ı zobrazen´ı An 7→ A0n , kter´e maj´ı stejnou dimenzi. Pak k nˇemu existuje inverzn´ı zobrazen´ı f−1 , kter´e je rovnˇeˇz afinn´ı. Je-li ϕ asociovan´e k f , pak ϕ−1 je asociovan´e k f−1 . Definice 2. Vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´e afinn´ı zobrazen´ı afinn´ıho bodov´eho prostoru An na sebe nazveme afinn´ı transformac´ı (afinitou) prostoru An . Vˇ eta 9. Vˇsechny afinity prostoru An tvoˇr´ı afinn´ı grupu.2 . Vˇ eta 10. Necht’ M0 , M1 , . . . , Mn a M00 , M10 , . . . , Mn0 jsou dvˇe skupiny line´ arnˇe nez´avisl´ych bod˚ u z An , pak existuje jedin´a afinita f , takov´a, ˇze: f : f (Mi ) = Mi0
i ∈ 0, 1, . . . , n
Rovnice afinity prostoru An Jde tedy o speci´aln´ı pˇr´ıpad afinn´ıho zobrazen´ı z An do A0n a X 0 = AX + B. Zobrazen´ı f je vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´e ⇔ matice A je regul´ arn´ı Definice 3. Modulem afinity nazveme det A Pˇ r´ıklad 1. Mˇejme tedy afinitu v A2 definovanou vztahy: X 0 = X,
Y 0 = κY
Pak matice A a jej´ı determinant jsou: µ A =
1 0 0 κ
¶
|A| = κ Vˇ eta 11. Modul afinity prostoru An nez´avis´ı na volbˇe b´aze zamˇeˇren´ı Vn . Vˇ eta 12. Sloˇzen´ım dvou afinit vznikne afinita, jej´ıˇz modul je roven souˇcinu modul˚ u skl´adan´ ych afinit. Definice 4. Afinity, jejichˇz modul je kladn´y (resp. z´aporn´y) se naz´yvaj´ı pˇr´ım´e (resp. nepˇr´ım´e) afinity. Afinity jejichˇz modul je roven ±1 se naz´yvaj´ı ekviafinity. Vˇ eta 13. Objem (resp. obsah) mˇeˇriteln´eho u ´tvaru a jeho ekviafinn´ıho obrazu jsou si rovny.3 2 3
Roli neutr´aln´ıho prvku zde hraje identita Pokud by to nebyla zrovna ekviafinita, pak plat´ı: V 0 = |δ|V,
kde δ je modul t´e dan´e afinity. Pro obsah plat´ı anologick´ y vztah.
3
Samodruˇ zn´ e body afinn´ıho zobrazen´ı Mˇejme tedy nˇejakou afinitu v prostoru A0n , kter´a je definov´ana: X 0 = AX + B
(2)
a hledejme jej´ı samodruˇzn´e body. M´a-li b´ yt bod X samodruˇzn´ y, mus´ı pro nˇej platit: X 0 = X. Z vlastnosti X = EX (kde E je jednotkov´a matice) a z rovnice (2) postupnˇe dost´av´ame: X0 X EX 0 0
= = = = =
AX + B AX + B AX + B AX − EX + B (A − E)X + B
(3)
Z toho je vidˇet, ˇze pokud nˇejak´e samodruˇzn´e body existuj´ı ⇔ dim A = dim(A − E). Pozn´ amka 3. Vztah (3) nen´ı nic jin´eho neˇz soustava n rovnic pro n souˇradnic x1 , . . . , xn . Vˇ eta 14. Existuje-li v afinitˇe f prostoru An k + 1 LNZ samodruˇzn´ ych bod˚ u, pak prostor Ak generovan´ y tˇemito body, obsahuje pouze samodruˇzn´e body. Pozn´ amka 4. Vˇsechny samodruˇzn´e body afinity jsou bud’: ˇz´adn´ y, jeden, pˇr´ımka, rovina, prostor.
Samodruˇ zn´ e smˇ ery afinit Definice 5. Smˇerem v afinn´ım bodov´em prostoru rozum´ıme jednorozmˇern´y podprostor jeho zamˇeˇren´ı Vn Definice 6. Smˇer je pˇri afinn´ım zobrazen´ı samodruˇzn´y ⇔ asociovan´e zobrazen´ı ϕ ho zobraz´ı tak, ˇze obraz je totoˇzn´y se vzorem4 : ϕ(~u) = λ~u λ∈R (4) Hledejme tedy samodruˇzn´e smˇery. Z definice pro nˇe mus´ı platit (4), oznaˇc´ıme-li ~u0 = ϕ(~u), a pokud si uvˇedom´ıme, ˇze ~u0 = A~u, a ˇze plat´ı identita5 ~u = E~u, pak mus´ı platit: ϕ(~u) ϕ(~u) λ~u λE ~0 ~0
= = = = = =
λ~u A~u A~u A~u A~u − λE ~u (A − λE) ~u
Soustava rovnic (5) m´a netrivi´aln´ı ˇreˇsen´ı ⇔ det(A − λE) = 0 Pˇ r´ıklad 2. Je d´ana afinita v E 2 : X 7→ X 0 , X = [x, y], X 0 = [x0 , y 0 ], vztahy: x0 = 2x − 2 y 0 = x + 3y + 2 M´ame naj´ıt jej´ı samodruˇzn´e body a samodruˇzn´e smˇery. 4 5
vektory (1, 2, 3), (2, 4, 6) ud´avaj´ı stejn´ y smˇer matice E je jednotkov´a matice
4
(5)
1. Pro samodruˇzn´e body mus´ı platit: x = x0 a y = y 0 , tedy: x = 2x − 2 y = x + 3y + 2 0 = −x − 2 0 = x + 2y + 2 ˇ sen´ım je bod [2; −2]. Afinita m´a tedy jeden samodruˇzn´ Reˇ y bod. 2. Pro samodruˇzn´e smˇery ~u = (u1 ; u2 ) plat´ı: λu1 = λu2 =
¯ ¯ ¯ ¯
2u1 u1 +
3u2
0 = (2 − λ)u1 0 = u1 + (3 − λ)u2 ¯ ½ 2−λ 0 ¯¯ λ1 = 2 = 0 ⇒ (2 − λ)(3 − λ) = 0 ⇒ ¯ 1 3−λ λ2 = 3
Kaˇzd´emu vlastn´ımu ˇc´ıslu odpov´ıd´a jeden vlastn´ı vektor. Dopoˇc´ıt´ame-li, pak pro λ1 = 2 plat´ı: 0 = u1 + u2 Tomu odpov´ıd´a napˇr´ıklad ~u(1) = (1; −1) – je urˇcen aˇz na n´asobek jednoznaˇcnˇe. Pro druh´ y vektor, tedy kdyˇz λ2 = 3, plat´ı: 0 = u1 Jsou to tedy takov´e vektory, kter´e maj´ı prvn´ı sloˇzku nulovou, napˇr. ~u(2) = (0; 1). Definice 7. Afinitu prostoru An nazveme z´akladn´ı afinitou, pokud nen´ı identitou a m´a nadrovinu samodruˇzn´ych bod˚ u. Vˇ eta 15. Z´akladn´ı afinita An je urˇcena nadrovinou samodruˇzn´ ych bod˚ u a vzorem a obrazem libovoln´eho bodu, kter´ y v nadrovinˇe neleˇz´ı. Vˇ eta 16 (o skl´ ad´ an´ı z´ akladn´ıch afinit). Kaˇzd´a afinita prostoru An se d´a sloˇzit nejv´ yˇse z n + 1 z´akladn´ıch afinit.
Analytick´ e vyj´ adˇ ren´ı z´ akladn´ı afinity Je tedy d´ana rovnic´ı nadroviny v An : ρ:
c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn + c = 0
∃i ∈ 1, . . . , n : ci 6= 0
a jeden bod spolu se sv´ ym obrazem: M 0 [q1 , . . . , qn ].
M [p1 , . . . , pn ]
5
Vˇ eta 17. Necht’ je d´ana nadrovina ρ a body M, M 0 , M ∈ / ρ, afinita f:
x0i
=
n X
aij xj + bi
i = 1, . . . , n
j=1
m´a nadrovinu samodruˇzn´ ych bod˚ u ρ ⇔ kaˇzd´a z rovnic afinity je n´asobkem rovnice nadroviny ρ. Rovnice nadroviny afinity pak maj´ı tvar: Ã n ! X cj xj + c , x0i = xi + λi j=1
kde λi =
qi − pi n X
cj xj + c
j=1
za pˇredpokladu, ˇze M 7→ M 0 . Afinita je identitou, pokud ∀i : λi = 0
Osov´ a afinita v rovinˇ e Z´akladn´ı afinitou v rovinˇe je osov´ a afinita. Spojnice bodu a jeho obrazu se naz´ yv´a smˇer afinity. Podle polohy smˇeru afinity k ose afinity rozezn´av´ame tˇri typy osov´ ych afinit.
QQ Q 6 Q aA’ Q Q a0 ~s ¯ Q . Q o ³ ³ ³ a a ³ ³³ A ³³
Q aA’ Q ££± Q £ Q a0 ~s £ Q £ Q o £ ³ ³ £ ³ £ ³ a ³³ ³³£a
A
a)
b)
aJJ a AJ
´ a´ ´A0 ´ 0
J ´ J´ a
o
~s c)
Obr´azek 1: Tˇri typy osov´e afinity: a) pravo´ uhl´a, b) koso´ uhl´a, c) nevlastn´ı elace Vˇ eta 18. V osov´e afinitˇe odpov´ıdaj´ı rovnobˇeˇzn´ ym pˇr´ımk´am zase rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky. Pˇ r´ıklad 3. V osov´e afinitˇe, kter´a je dan´a osou o a dvojic´ı odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u A a A0 . M´ame naj´ıt obraz bodu B (viz Obr´azek 2). Vˇ eta 19. Jsou-li A 6= A0 odpov´ıdaj´ıc´ı si body v osov´e afinitˇe, kter´a nen´ı nevlastn´ı elac´ı, a bod X je pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky AA0 s osou afinity, pak dˇel´ıc´ı pomˇer k = (A, A0 , X) je konstantn´ı a nez´avis´ı ˇ ıslo k se naz´ na volbˇe odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u. C´ yv´a charakteristika afinity. Je-li k > 0, pak sobˇe odpov´ıdaj´ıc´ı body leˇz´ı v t´eˇze polorovinˇe urˇcen´e osou afinity. Je-li k < 06 , pak leˇz´ı v opaˇcn´ ych polorovin´ach. Pravo´ uhl´a afinita s charakteristikou k = −1 se naz´ yv´a osov´ a soumˇernost. Vˇ eta 20. V kaˇzd´e osov´e afinitˇe kruˇznicci nebo elipse odpov´ıd´a opˇet kruˇznice nebo elipsa. Vˇ eta 21. Ke kaˇzd´e elipse je moˇzno naj´ıt kruˇznici, kter´a ji odpov´ıd´a v jist´e afinitˇe. 6
~ a A~0 X opaˇcn´ To je tehdy, maj´ı-li vektory AX y smˇer.
6
Q a A0 Q Q B0 £± £ ££ QQa m0 ~s £ ££ QQ ££ £ Q o £ ££ ³³³ ££ a ³ m ³ £ £ ³³³££B a £ ³³ ³
A
Obr´azek 2: Hled´an´ı obrazu obrazu bodu B: uˇzijeme pˇr´ıkmy rovnobˇeˇzn´e s ~s, kter´a proch´az´ı B, a d´ale pˇr´ımky m a jej´ıho obrazu m0 .
Sdruˇ zen´ e pr˚ umˇ ery elipsy V osov´e afinitˇe vz´ajemnˇe kolm´ ym pr˚ umˇer˚ um p = AB a q = CD kruˇznice k z obr´azku 3, odpov´ıdaj´ı pr˚ umˇery p0 = A0 B 0 a q 0 = C 0 D0 elipsy k 0 . Pr˚ umˇery p, q kruˇznice a pr˚ umˇery p0 , q 0 elipsy maj´ı jedno spoleˇcn´e: teˇcny v krajn´ıch bodech jednoho pr˚ umˇeru jsou rovnobˇeˇzn´e s druh´ ym pr˚ umˇerem.
Obr´azek 3: Sdruˇzen´e pr˚ umˇery kruˇznice a elipsy K dan´emu pr˚ umˇeru kruˇznice najdeme tedy sdruˇzen´ y tak, ˇze v jeho krajn´ım bodˇe sestroj´ıme teˇcnu, a pak uˇz jen vedeme rovnobˇeˇzku s touto teˇcnou, kter´a proch´az´ı stˇredem prvn´ıho pr˚ umˇeru. Vˇ eta 22. Dva pr˚ umˇery kruˇznice nebo elipsy tvoˇr´ı dvojici sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u pr´avˇe tehdy, kdyˇz tˇetivy rovnobˇeˇzn´e s jedn´ım pr˚ umˇerem jsou druh´ ym p˚ uleny.
Troj´ uheln´ıkov´ a konstrukce elipsy Troj´ uheln´ıkov´a konstrukce elipsy, je konstrukce ze dvou soustˇredn´ ych kruˇznic, kter´e maj´ı polomˇery stejn´e s hlavn´ı (resp. vedlejˇs´ı) poloosou elipsy. Vˇ eta 23. Je tedy d´ana elipsa sv´ ymi osami AB = 2a, CD = 2b, pak jej´ı bod M m˚ uˇzeme sestrojit 0 00 0 00 pomoc´ı kruˇznic k a k tak, ˇze bodem M (M ) vedeme rovnobˇeˇzku s vedlejˇs´ı (hlavn´ı) osou. Jejich pr˚ useˇc´ıkem je bod elipsy M . 7
Obr´azek 4: Troj´ uheln´ıkov´a konstrukce elipsy.
D˚ ukaz. V pravo´ uhl´e afinitˇe s osou o = AB a p´arem elipsa k a kruˇznice k 0 — charakteristika t´eto afinity je pak plat´ı: |M M0 | |M 00 S| = = |M 0 M0 | |M 0 S|
odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u C, C 0 si odpov´ıdaj´ı b . Je-li M0 pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky M 0 M a osou o, a |CS| b = |AS| a
Bod M tedy odpov´ıd´a v dan´e afinitˇe bodu M 0 , leˇz´ı proto na elipse k.
8
