Matematick´ a anal´ yza 1
Pˇredn´aˇsej´ıc´ı: doc. RNDr. Miroslav Kureˇs, PhD. Cviˇc´ıc´ı: Mgr. Jana Hoderov´a, PhD.
Vys´azel: Jan Nytra
´ Uvodn´ ı informace Toto je studijn´ı materi´al k pˇredmˇetu Matematick´a anal´ yza 1. Obsahuje pozn´amky z pˇredn´aˇsek a tak´e podklady pro cviˇcen´ı. Pˇr´ısluˇsn´e cviˇcen´ı je zaˇrazeno vˇzdy za danou teori´ı. K navigaci je moˇzno pouˇz´ıt bud’ z´aloˇzky, nebo obsah skript - vˇsechny poloˇzky jsou ”klikac´ı”, tzn. odkazuj´ı na pˇr´ısluˇsnou kapitolu atd. L´atka pˇredmˇetu je rozdˇelena do 3 celk˚ u: ´ 1. Uvod 2. Diferenci´aln´ı poˇcet funkce 1 promˇenn´e 3. Integr´aln´ı poˇcet funkce 1 promˇenn´e. Pro dalˇs´ı informace a materi´aly navˇstivte matematiku online. Souˇca´st´ı tohoto studijn´ıho materi´alu jsou i podp˚ urn´e materi´aly vytvoˇren´e v prostˇred´ı Maple, ve kter´ ych je uk´az´ana pr´ace s t´ımto softwarem. Tyto materi´aly jsou ke staˇzen´ı tak´e z matematiky online a pro otevˇren´ı z tohoto textu je potˇreba je um´ıstit do stejn´e sloˇzky jako samotn´ y studijn´ı text
Tento studijn´ı materi´al vznikl za podpory projektu OP VK reg.ˇc. CZ.1.07/2.4.00/17.0100 A-Math-Net - S´ıt’ pro transfer znalost´ı v aplikovan´e matematice.
Obsah 1 Pil´ıˇ re matematiky - teorie 1.1 Logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Teorie mnoˇzin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Pil´ıˇ re matematiky - cviˇ cen´ı 2.1 Logika, d˚ ukazy . . . . . . 2.2 Mnoˇziny . . . . . . . . . . 2.3 Relace . . . . . . . . . . . 2.4 Zobrazen´ı ˇca´st 1 . . . . . . 2.5 Zobrazen´ı ˇca´st 2 . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
1 1 3 10 10 13 15 17 18
3 Pˇ rirozen´ aˇ c´ısla
21
4 Cel´ aˇ c´ısla
22
5 Algebraick´ e struktury 5.1 Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 23 24
6 Koneˇ cn´ a pole 6.1 Prvoˇc´ıseln´a pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Neprvoˇc´ıseln´a pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26 26 27
7 Racion´ aln´ı ˇ c´ısla
30
8 Uspoˇ r´ adan´ e pole
32
9 Archim´ edovsk´ a pole
34
10 Re´ aln´ aˇ c´ısla 10.1 Dedekindovy ˇrezy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 vyj´adˇren´ı re´aln´ ych ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36 36 37
11 Mohutnost ˇ c´ıseln´ ych mnoˇ zin (kardinalita)
38
12 Metrick´ e prostory
41
13 Posloupnosti
45
14 Re´ aln´ e posloupnosti - teorie
47
15 Re´ aln´ e posloupnosti - cviˇ cen´ı
54
16 Funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e - teorie ´ 16.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Vlastnosti funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58 58 59
17 Funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e - cviˇ cen´ı
61
18 Limita funkce - teorie 18.1 Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe . . 18.2 Limita zprava . . . . . . . . . . . . 18.3 Nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe . 18.4 Vlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇe . 18.5 Nevlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇe
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
63 63 63 64 64 65
19 Limita funkce - cviˇ cen´ı
66
20 Spojitost funkce - teorie
67
21 Spojitost funkce - cviˇ cen´ı
70
22 Element´ arn´ı funkce - teorie 22.1 Polynomy . . . . . . . . . 22.2 Racion´aln´ı funkce . . . . . 22.3 Mocninn´e funkce . . . . . 22.4 Exponenci´aln´ı funkce . . . 22.5 Logaritmick´e funkce . . . 22.6 Goniometrick´e funkce . . . 22.7 Cyklometrick´e funkce . . . 22.8 Hyperbolick´e funkce . . . 22.9 Hyperbolometrick´e funkce
. . . . . . . . .
71 73 78 80 81 82 83 89 95 95
23 Element´ arn´ı funkce - cviˇ cen´ı 23.1 Rozklad na parci´aln´ı zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96 96
. . . . . . . . .
24 Derivace - teorie ´ 24.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . 24.2 Z´akladn´ı pravidla derivov´an´ı 24.3 Pˇrehled z´akladn´ıch vzorc˚ u . 24.4 Vyˇsˇs´ı derivace . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . .
97 97 100 101 101
25 Derivace - cviˇ cen´ı
102
26 Vˇ ety o derivaci - teorie 26.1 Rolleova vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Lagrangeova vˇeta (1. vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe) 26.3 Cauchyova vˇeta (2. vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe) . 26.4 Bernoulliho vˇeta (L’Hospitalovo pravidlo) . .
104 104 105 105 106
27 Vˇ ety o derivaci - cviˇ cen´ı
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
108
28 Diferenci´ al - teorie 109 ´ 28.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 28.2 Vyˇsˇs´ı diferenci´aly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 29 Diferenci´ al - cviˇ cen´ı
111
30 Taylor˚ uv polynom - teorie
112
31 Taylor˚ uv polynom - cviˇ cen´ı
114
32 Extr´ emy funkce - teorie 32.1 Lok´aln´ı extr´emy funkce . . . . . 32.2 V´ yznamn´e body funkce . . . . . 32.3 Definice konk´avnosti/kovexnosti 32.4 Glob´aln´ı extr´emy funkce . . . .
115 115 118 119 120
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
33 Extr´ emy funkce - cviˇ cen´ı
121
34 Asymptoty - teorie 34.1 Vodorovn´e asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2 Svisl´e asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ 34.3 Sikm´ e asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122 122 123 123
35 Asymptoty - cviˇ cen´ı
124
36 Pr˚ ubˇ eh funkce - teorie
125
37 Pr˚ ubˇ eh funkce - cviˇ cen´ı
126
38 Primitivn´ı funkce, neurˇ cit´ y integr´ al - teorie 38.1 Primitivn´ı funce . . . . . . . . . . . . . . . . 38.2 Pˇrehled vzorc˚ u pro integrov´an´ı . . . . . . . . 38.3 Z´akladn´ı pravidla integrov´an´ı . . . . . . . . 38.4 Metoda per partes . . . . . . . . . . . . . . 38.5 Substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.6 Intergrace racion´aln´ıch funkc´ı . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
133 133 134 135 135 136 137
39 Primitivn´ı funkce, neurˇ cit´ y integr´ al - cviˇ cen´ı 39.1 Pˇr´ım´a integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.2 Integrace pomoc´ı substituce . . . . . . . . . . 39.3 Integrace per partes . . . . . . . . . . . . . . . 39.4 Integrace racion´aln´ı lomen´e funkce . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
140 140 141 142 143
40 Riemann˚ uv integr´ al - teorie ´ 40.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2 Zaveden´ı Riemannova integr´alu . 40.3 Integrace nˇekter´ ych funkc´ı . . . . 40.4 Vlastnosti Riemannova integr´alu . 40.5 Newton˚ uv integr´al . . . . . . . . 40.6 Z´akladn´ı vˇeta integr´aln´ıho poˇctu .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
144 144 145 147 148 148 149
41 Riemann˚ uv integr´ al - cviˇ cen´ı
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
150
42 Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu - teorie 42.1 Obsah rovinn´e oblasti . . . . . . . . 42.2 D´elka kˇrivky . . . . . . . . . . . . . 42.3 Objem tˇelesa . . . . . . . . . . . . 42.4 Obsah pl´aˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa . . .
. . . .
43 Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu - cviˇ cen´ı 43.1 Obsah rovinn´e oblasti . . . . . . . . . 43.2 Objem tˇelesa . . . . . . . . . . . . . 43.3 D´elka kˇrivky . . . . . . . . . . . . . . 43.4 Porvch tˇelesa . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
151 151 153 154 156
. . . .
157 157 158 159 159
44 Integr´ al jako funkce horn´ı meze
160
45 Nevlastn´ı integr´ aly - teorie
163
46 Nevlastn´ı integr´ aly - cviˇ cen´ı
165
1 Pil´ıˇre matematiky - teorie
1
1
Pil´ıˇ re matematiky - teorie
1.1
Logika
- pouˇz´ıv´ame logiku Aristotelovu (napˇr. z´akon vylouˇcen´eho tˇret´ıho atd.) V´ yrok - tvrzen´ı, o kter´em lze ˇr´ıci, zda je pravdiv´e ˇci nikoliv - v´ yrokem nejsou rozkazy, ot´azky a nesmysly (napˇr. Colorless green ideas sleep furiously) - z jednoduch´ ych (atom´arn´ıch) v´ yrok˚ u m˚ uˇzeme pomoci logick´ ych spojek (∧ - konjunkce, ∨ - disjuknce, ⇒ - implikace, ⇐⇒ - ekvivalence) Kvantifik´ atory ∀ - obeck´ y (univerz´aln´ı) ∃ - existenˇcn´ı Negace - pˇri negaci v´ yrok˚ u pouˇz´ıv´ame opaˇcn´ y kvantifik´ator ¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B ¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B ¬(A ⇒ B) ⇐⇒ A ∨ ¬B Pˇ r. v´ yrok = Jestliˇze udˇel´am zkouˇsku, p˚ ujdu oslavovat. negace v´ yroku = Udˇel´am zkouˇsku a nep˚ ujdu oslavovat. ¬(A ⇐⇒ B) ⇐⇒ (A ∨ ¬B) ∧ (B ∨ ¬A) Stavebn´ı pil´ıˇ re matematiky a) primitivn´ı pojmy - ty, kter´e nejsou definov´any Pˇ r. bod, mnoˇzina b) axiomy - tvrzen´ı, kter´a se nedokazuj´ı (povaˇzuj´ı se za platn´a) Pˇ r. Existuje pr´azdn´a mnoˇzina. c) definice - zaveden´ı pojmu pomoc´ı pojm˚ u jiˇz zn´am´ ych Pˇ r. Prvoˇc´ıslo je ˇc´ıslo, kter´e m´a jen 2 dˇelitele - 1 a sebe sam´e. d) teor´ emy (vˇ ety) - tvrzen´ı, kter´a se vyvozuj´ı z axiom˚ u a jiˇz dok´azan´ ych teor´emu a kter´a se dokazuj´ı pomoc´ı logiky
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
1 Pil´ıˇre matematiky - teorie
2
Vˇ eta A⇒B D˚ ukaz a) pˇr´ım´ y - po koneˇcn´em poˇctu pravdiv´ ych v´ yrok˚ u dojdeme od v´ yroku A k v´ yroku B, tj A ⇒ V1 ⇒ V2 ⇒ . . . ⇒ Vn ⇒ B b) nepˇr´ım´ y - provedeme obr´acenou implikaci, tj ¬B ⇒ ¬A a tu pak dokazujeme pˇr´ımo, tj. ¬B ⇒ V1 ⇒ V2 ⇒ . . . ⇒ Vn ⇒ ¬A c) sporem - provedeme negaci v´ yroku, tj. A ∧ ¬B a postupnˇe dojdeme ke sporu: A ∧ ¬B ⇒ W1 ⇒ W2 ⇒ . . . ⇒ Wn ⇒ spor ⇒ plat´ı A ⇒ B d) matematickou indukc´ı - sest´av´a ze tˇr´ı krok˚ u: 1) dok´aˇzeme v´ yrok pro n = 1 2) udˇel´ame pˇredpoklad, ˇze v´ yrok plat´ı pro n = k 3) a pak dokazujeme, ˇze v´ yrok plat´ı pro n = k + 1 - ˇreˇs´ıme-li v realitˇe probl´em, provedeme abstrakci (pˇreveden´ı na probl´em matematick´ y) a po jeho vyˇreˇsen´ı provedeme implementaci do re´aln´eho svˇeta (aplikujeme nalezen´e ˇreˇsen´ı) Pˇ r. Mˇejme primitivn´ı pojmy j´elo, pn´ıkat a blefa; axiomy: 1) Kaˇzd´e j´elo pn´ıkat nejm´enˇe 2 blefy. 2) Existuje alespoˇ n jedna blefa, kterou pn´ıkaj´ı vˇsechna j´ela. 3) Kaˇrdou blefu pn´ık´a alespoˇ n 1 j´elo. 4) Mnoˇzina blef je nepr´azdn´a. a ot´azky: 1) M´a syst´em konkr´etn´ı realizaci (implementaci)? 2) Jsou axiomy nez´avisl´e? 3) Dokaˇzte vˇetu: Existuj´ı alespoˇ n 2 blefy. Vˇ eta Prvoˇc´ısel existuje nekoneˇcnˇe mnoho. D˚ ukaz Provedeme jej sporem. Pˇredpokl´adejme, ˇze prvoˇc´ısel je koneˇcn´ y poˇcet. Oznaˇcme je 2, 3, . . . , N . Nyn´ı sestrojme ˇc´ıslo a n´asledovnˇe a = 2 · 3 · ... · N + 1 Takov´eto ˇc´ıslo a nen´ı dˇeliteln´e ˇz´adn´ ym z ˇc´ıˇsel 2, 3, . . . , N ⇒ a je prvoˇc´ıslo a z´aroveˇ na> N ⇒ spor ⇒ prvoˇc´ısel je nekoneˇcnˇe mnoho.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
1 Pil´ıˇre matematiky - teorie
1.2
3
Teorie mnoˇ zin
- jej´ı z´aklady poloˇzil Cantor na pˇrelomu 19./20. stolet´ı mnoˇ zina = primitvin´ı pojem - znaˇc´ıme A, B, C, . . . - x ∈ A znaˇc´ıme pˇr´ısluˇsnost do mnoˇziny - A = {x; x2 = 1} - za ; p´ıˇseme vlastnost prvk˚ u mnoˇziny - prvkem m˚ uˇze b´ yt cokoliv (funkce, matice, . . . ) Russel˚ uv paradox - katalogov´ y probl´em a) katalog vˇsech prac´ı o matematice 1. Eukleides - Z´aklady matematiky .. . 32150. X. Y. - Pozn´amka o ˇc´ıslu 0 b) katalog vˇsech prac´ı o sportu 1. Guinessova kniha rekord˚ u .. . 1280. Katalog vˇsech prac´ı o sportu ⇒ tento katalog obsahuje s´am sebe c) katalog vˇsech katalog˚ u, kter´e samy sebe neobsahuj´ı 1. Katalog vˇsech prac´ı o matematice Nyn´ı si ovˇsem mus´ıme poloˇzit ot´azku. Lze tam zaˇradit i tento katalog? Dojdeme k tomu, ˇze to neum´ıme rozhodnout ⇒ pojem autorefence (tzn. objekt ukazuje s´am na sebe) matematicky zaps´ano A = {B; B ∈ B} ⇒ neum´ım rozhodnout, zda A ∈ A nebo A 6∈ A ⇓ Lze se zbavit nerozhodnuteln´ ych tvrzen´ı? - 2. fundament´aln´ı ot´azka ⇓ Zav´az´ı n´as na pojem tˇ r´ıda = mnoˇzina, kter´a obsahuje mnoˇzinu.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
1 Pil´ıˇre matematiky - teorie
4
ˇ 1. krize matematiky - ve starovˇek´em Recku - nevˇedˇeli, ˇze ˇc´ıslo m˚ uˇze b´ yt i iracion´aln´ı 12 + 12 =
p2 ⇒ 2q 2 = p2 ⇒ p2 sud´e ⇒ p sud´e ⇒ p dˇeliteln´e 4 ⇒ q 2 je sud´e ⇒ q je sud´e q2
p q
1
1
´ Obr´azek 1: Uhlopˇ r´ıˇcka ˇctverce
ale p a q mus´ı b´ yt nesoudˇeln´a 2. krize matematiky - pˇri z´akladech diferenci´aln´ıho poˇctu dy ⇒ zavedena limita dx 3. krize matematiky - katalogov´ y paradox Kurt G¨ odel - naˇsel odpovˇedi na 2 fundament´aln´ı ot´azky (G¨odel˚ uv d˚ ukaz, VUTIUM) 1. Je matematika bezesporn´a? - uvnitˇr matematiky nelze dok´azat jej´ı bezespornost 2. Lze se zbavit nerozhodnuteln´ ych tvrzen´ı? - nerozhodnuteln´ ych tvrzen´ı se zbavit nelze
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
1 Pil´ıˇre matematiky - teorie
5
Relace (vztahy) v mnoˇ zin´ ach Potenˇ cn´ı mnoˇ zina - mnoˇzina vˇsech podmnoˇzin mnoˇziny A Pˇ r. A = {x, y, z} - obsahuje 3 prvky P (A) = {∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {x, z}, {x, y, z}, } - 8 prvk˚ u ⇒ oznaˇcen´ı 2A 2∅ = {∅} Uspoˇ r´ adan´ a dvojice (a, b) = {{a}, {a, b}} - mnoˇzinov´a definice a ∈ A, b ∈ B - prvky mohou b´ yt i ze stejn´e mnoˇziny (a1 , . . . , an ) - uspoˇr´adan´a n-tice Kart´ ezsk´ y souˇ cin - mnoˇzina vˇsech uspoˇra´dan´ ych dvojic A × B = {(a, b), a ∈ A, b ∈ B} bin´ arn´ı relace R je podmnoˇzina A × B n-n´arn´ı relace R je podmnoˇzina A1 × . . . × An Pˇ r. A = {x, y, z}, B = {a, b} A × B = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)} R = {(x, b), (y, b), (z, a)}
Obr´azek 2: Relace Pˇ r. A - zamˇestnanci, B - vozidla firmy R = A × B - univerz´aln´ı relace R = ∅ - pr´azdn´a relace inverzn´ı relace R−1 k relaci R ⊆ A × B je podmnoˇzina B × A definov´ana takto: (b, a) ∈ R−1 ⇐⇒ (a, b) ∈ R
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
1 Pil´ıˇre matematiky - teorie
6
Zobrazen´ı (= funkce) - funkce je jist´a relace R ⊆ A × B z mnoˇziny A do mnoˇziny B takov´a, ˇze (a, b) ∈ R, (a, b) ∈ R ⇒ b = b (jeden vzor nem˚ uˇze m´ıt 2 obrazy) - m´ısto R ⊆ A × B pak p´ıˇseme f : A → B a m´ısto (a, b) ∈ R zapisujeme f (a) = b definiˇ cn´ı obor f : A → B je mnoˇzina Domf = {a ∈ A; ∃ b ∈ B, f (a) = b} obor hodnot f : A → B je mnoˇzina Imf = {b ∈ B; ∃ a ∈ A, f (a) = b}
Obr´azek 3: Zobrazen´ı Injekce (prost´a funkce) - speci´aln´ı zobrazen´ı f : A → B takov´e, ˇze plat´ı f (a) = b, f (a) = b ⇒ a = a Surjekce - je f : A → B takov´e, ˇze Imf = B (zobrazen´ı na mnoˇzinu) Bijekce - je f : A → B takov´e, ˇze Domf = A a f je souˇcasnˇe injekce i surjekce ⇒ stejn´ y poˇcet prvk˚ u v obou mnoˇzin´ach (d˚ uleˇzit´e pro porovn´av´an´ı nekoneˇcn´ ych mnoˇzin) Je inverzn´ı relace zobrazen´ı zase zobrazen´ım? Obecnˇe nemus´ı. Ale pokud bude zobrazen´ı injektivn´ı, bude i inverzn´ı zobrazen´ı injektivn´ı. Znaˇc´ıme pak f −1
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
1 Pil´ıˇre matematiky - teorie
7
Relace (bin´ arn´ı) na mnoˇ zinˇ e ˇ Rekneme, ˇze relace R ⊆ A × A je: a) reflexivn´ı, jestliˇze (a, a) ∈ R ∀a ∈ A b) symetrick´ a, jestliˇze (a, b) ∈ R ⇐⇒ (b, a) ∈ R ∀a, b ∈ A c) antisymetrick´ a, jestliˇze (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b ∀a, b ∈ A d) tranzitivn´ı, jestliˇze (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R ∀a, b, c ∈ A Pˇ r. A - lid´e, B - mluv´ı stejn´ ym jazykem reflexivn´ı, symetrick´a relace
ekvivalence = reflexivn´ı, symetrick´a a tranzitivn´ı relace uspoˇ r´ ad´ an´ı = reflexivn´ı, antisymetrick´a a tranzitivn´ı relace a) ekvivalence 1) A - studenti, R - studuj´ı stejn´ y roˇcn´ık ⇒ mnoˇzina se rozpadne na tˇ r´ıdy (podmoˇziny) 2) A = C, (x, y) ∈ R, jestliˇze x a y maj´ı stejnou re´alnou ˇc´ast ⇒ tˇr´ıdy = pˇr´ımky rovnobˇeˇzn´e s osou y, reprezentanti = re´aln´a ˇc´ısla
(a) Studenti
(b) Komplexn´ı ˇc´ısla
Obr´azek 4: Ekvivalence
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
1 Pil´ıˇre matematiky - teorie
8
3) A = Z, (x, y) ∈ R, jestliˇze po dˇelen´ı 3 dostanu tent´ yˇz zbytek {. . . , −3, 0, 3, 6, . . .} {. . . , −2, 1, 4, 7, . . .} {. . . , −4, −1, 2, 5, . . .} ⇒ disjunktn´ı tˇ r´ıdy Z3 (mnoˇzina zbytkov´ ych tˇr´ıd modulo 3) Z3 = {C0 , C1 , C2 } jednotliv´e tˇr´ıdy pak znaˇc´ıme Ci = {x ∈ Z, zbytek po dˇelen´ı ˇc´ısla x ˇc´ıslem m d´a zbytek i} b) uspoˇ r´ ad´ an´ı - napˇr. pˇredci, adreˇs´aˇre v PC, . . .
nesrovnateln´e prvky
Obr´azek 5: Uspoˇra´d´an´ı v M: ≤ ostr´ e uspoˇ r´ ad´ an´ı - irreflexivn´ı, (antisymetrick´a), tranzitivn´ı relace, znaˇc´ıme < Vˇ eta Je-li R irreflexivn´ı, tranzitivn´ı relace, pak je i antisymetrick´a. (tj. (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R⇒a=b) D˚ ukaz Je-li ovˇsem (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R, pak z tranzitivity plyne, ˇze (a, a) ∈ R, coˇz nelze (irreflexivita). Tzn., ˇze pˇredpoklad (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R nem˚ uˇze nastat. Tzn. tvrzen´ı trivi´alnˇe plat´ı.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
1 Pil´ıˇre matematiky - teorie
9
Pˇ r. A = N, (x, y) ∈ R, jestliˇze x|y 4
6
2
9
3
10
5
RSA numbers
7
prvoˇc´ısla
1
Obr´azek 6: Uspoˇra´d´an´ı - dˇelitelnost RSA numbers - ˇc´ısla, kter´a lze rozloˇzit na souˇcin 2 prvoˇc´ısel ˇ c´ asteˇ cnˇ e uspoˇra´dan´a mnoˇzina (poset) - existuj´ı nesrovnateln´e prvky, tzn. ∃ a, b ∈ M tak, ˇze (a, b) 6∈ R ∧ (b, a) 6∈ R u ´ plnˇ e (line´ arnˇ e) uspoˇra´dan´a mnoˇzina tzn. pro ∀a, b ∈ M plat´ı, ˇze (a, b) ∈ R ∨ (b, a) ∈ R Operace (bin´ arn´ı) - zobrazen´ı obecnˇe A × B → C Pˇ r. N × N → N f (3, 5) = 8 3+5=8 n-´ arn´ı operace A1 × . . . × An → A un´ arn´ı operace A → B odmocnina, |x|, n´asledn´ık
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
2 Pil´ıˇre matematiky - cviˇcen´ı
2
10
Pil´ıˇ re matematiky - cviˇ cen´ı
2.1
Logika, d˚ ukazy
1. Rozhodnˇete, zda jde o v´ yrok a u v´ yrok˚ u urˇcete pravdivostn´ı hodnotu: a) 3 · 3 = 10; ˇ e republiky. b) Praha je hlavn´ı mˇesto Cesk´ c) Pozor, schody jsou mokr´e! d)
0 0
= 0;
2. Mˇejmˇe v´ yroky A a B. Sestavte tabulku pravdivostn´ıch hodnot pro: negaci B, konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci v´ yrok˚ u A a B. 3. Urˇcete pravdivostn´ı hodnotu v´ yrazu: a) Je-li ˇc´ıslo 10 sud´e, pak ˇc´ıslo 2 dˇel´ı ˇc´ıslo 11. b) ((2 · 3 = 6) ∨ (3 · 4 = 14)) ⇒ (2 < 1) c) ((1 < 2) ∧ (2 6= 2) ⇒ (3 · 5 = 16) 4. Uved’te ekvivalentn´ı v´ yrok k dan´e negaci a pomoc´ı tabulky pravdivostn´ıch hodnot tuto ekvivalenci dokaˇzte: a) (¬(A ∧ B)) ⇐⇒ . . . b) (¬(A ∨ B)) ⇐⇒ . . . c) (¬(A ⇒ B)) ⇐⇒ . . . d) (¬(A ⇐⇒ B)) ⇐⇒ . . . 5. Mˇejme v´ yrok ve tvaru implikace A ⇒ B (napˇr´ıklad v´ yrok ∀x ∈ N : 6|x ⇒ 2|x). Rozhodnˇete, kter´e tvrzen´ı je pravdiv´e: a) A je nutnou podm´ınkou pro B a B je postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro A; b) A je postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro B a B je nutnou podm´ınkou pro A. 6. Znegujte sloˇzen´ y v´ yrok 2 < 3 ⇒ 2 · 3 = 6 7. Znegujte (1 + 2 = 3) ⇒ (1 > 2 ∨ 3 ≤ 4) 8. Znegujte ∀x ∈ N : x > 3 ⇒ 2x > 5) 9. Znegujte v´ yrok: Vˇsichni ˇzij´ıc´ı lid´e jsou vyˇsˇs´ı neˇz 230 cm.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
2 Pil´ıˇre matematiky - cviˇcen´ı
11
10. Dokaˇzte, ˇze jde o tautologie: a) (A ⇒ B) ⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A); b) ¬(A ∧ B) ⇐⇒ (¬A ∨ ¬B); c) (A ⇐⇒ B) ⇐⇒ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)); d) ¬(A ⇒ B) ⇐⇒ (A ∧ ¬B); 11. Dokaˇzte, ˇze (¬A ∨ B) ∧ (¬A ⇒ B) nen´ı kontradikce. 12. Rozhodnˇete, zda pro implikaci plat´ı asociativn´ı z´akon, tj. ovˇeˇrte platnost ekvivalence ((A ⇒ B) ⇒ C) ⇐⇒ (A ⇒ (B ⇒ C)). 13. Rozhodnˇete, zda je relace implikace tranzitivn´ı, tzn. zda plat´ı ((A ⇒ B)∧(B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C). 14. Detektiv vyˇsetˇruje pˇr´ıpad vraˇzdy. Vyˇsetˇrov´an´ım se okruh podezˇrel´ ych z´ uˇzil na 3 osoby A, B, C. O pˇr´ıtomnosti podezˇrel´ ych na m´ıstˇe ˇcinu by ˇzjiˇstˇeno: Jestliˇze byl v kritick´e dobˇe na m´ıstˇe ˇcinu podezˇrel´ y C, pak tam nebyl podezˇrel´ y A, ale byl tam podezˇrel´ y B. Neni pravda, ˇze na m´ıstˇe ˇcinu nebyl A a pˇritom tam nebyl C. Pokud byl na m´ıstˇe ˇcinu podezˇrel´ y A, nebyl tam C, a kdyˇz tam nebyl C, byl tam A. Detektiv promyslel vˇsechny moˇznosti a zjistil, ˇze mu informace k usvˇedˇcen´ı vraha nestaˇc´ı. Pˇri dalˇs´ım vyˇsetˇrov´an´ı se vˇsak zjistilo, ˇze pachatel byl na m´ıstˇe ˇcinu s´am. Kter´ y z podezˇrel´ ych je vrah? ˇ nka. Pˇritom m´a splnit tyto podm´ınky: 15. Tren´er m´a na z´avody poslat Adama, Bˇret’u nebo Ceˇ Pojedou nejv´ yˇse dva z´avodn´ıc´ı, pˇritom pojede alespoˇ n jeden. Pojede Adam, nebo ˇ ek, ale urˇcitˇe ne souˇcasnˇe. Nepojede-li Cenˇ ˇ ek, pak nepojede ani Bret’a. Cenˇ 16. Pracovn´ık pˇri obsluze stroje v danou chv´ıli v´ı, ˇze: a) Nebˇeˇz´ı-li motor, je vada v motoru nebo nejde proud. b) Je-li vada v motoru, je tˇreba volat oprav´aˇre. c) Proud jde. Pracovn´ık vid´ı, ˇze motor nebˇeˇz´ı. Usoud´ı: Nebˇeˇz´ı-li motor, je tˇreba volat oprav´aˇre. Je jeho u ´sudek spr´avn´ y? 17. M´ame dok´azat tvrzen´ı A ⇒ B. Struˇcnˇe popiˇstˇe princip d˚ ukazu pˇr´ım´eho, nepˇr´ım´eho a sporem. 18. Dokaˇzte pˇr´ımo, nepˇr´ımo i sporem tvrzen´ı ∀x ∈ R : x > 0 ⇒ x +
1 x
≥ 2.
19. Dokaˇzte pˇr´ımo, nepˇr´ımo i sporem tvrzen´ı ∀x ∈ N : x ≥ 2 ⇒ 6x + 3 > 13. 20. Dokaˇzte nepˇr´ımo tvrzen´ı ∀x ∈ N : x3 je sud´e ⇒ x je sud´e. 21. Dokaˇzte pˇr´ımo tvrzen´ı ∀a, b, c ∈ N : c|ab ⇒ c|a ∨ c|b. 22. Dokaˇzte sporem, ˇze log2 3 nen´ı racion´alc´ı ˇc´ıslo. SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
2 Pil´ıˇre matematiky - cviˇcen´ı
23. Dokaˇzte sporem, ˇze
12
√ √ 13 ≥ 2 2.
24. Dokaˇzte, ˇze souˇcin dvou sud´ ych ˇc´ısel je dˇeliteln´ y ˇctyˇrmi. 25. Dokaˇzte, ˇze pro libovoln´a re´aln´a ˇc´ısla a, b plat´ı a2 + b2 ≥ 2ab. 26. Dokaˇzte, ˇze prvoˇc´ısel je nekoneˇcnˇe mnoho. 27. Dokaˇzte pˇr´ımo. Kvadratick´a rovnice ax2 + bx + c = a, a 6= 0 m´a alespoˇ n jeden koˇren rovn´ y nule, pr´avˇe kdyˇz c = 0. 28. Necht’ m´a rovnice ax2 + bx + c = a, a 6= 0 celoˇc´ıseln´e koeficienty, pˇr´ıˇcemˇz a 6= 0 a b je lich´e ˇc´ıslo. Dokaˇzte, ˇze rovnice nem˚ uˇze m´ıt dvojn´asobn´ y koˇren. 29. Jak postupujeme pˇr´ı d˚ ukazu v´ yrokov´e formule V (n) matematickou indukc´ı? 30. Dokaˇzte matematickou indukc´ı tvrzen´ı ∀n ∈ N : 3|(22n − 7). 31. Dokaˇzte matematickou indukc´ı tvrzen´ı ∀k ∈ N : 7|(62k − 8). 32. Dokaˇzte matematickou indukc´ı tvrzen´ı 1 + 2 + . . . + n = n2 (n + 1). 33. Dokaˇzte matematickou indukc´ı tvrzen´ı 1−3+5−7+. . .+(−1)n−1 (2n−1) = (−1)n−1 n. 34. Dokaˇzte matematickou indukc´ı tvrzen´ı 12 + 22 + 32 + . . . + 3n−1 = 12 (3n − 1). 35. Pomoc´ı matematick´e indukce urˇcete vzorec pro v´ ypoˇcet d´elky strany an pravideln´eho n 2 -´ uheln´ıka (n > 1), kter´ y je vepsan´ y do kruhu o polomˇeru R. 36. Dokaˇzte matematickou indukc´ı, ˇze n r˚ uzn´ ych pˇr´ımek v rovinˇe, kter´e maj´ı spoleˇcn´ y pr˚ useˇc´ık, rozdˇeluje rovinu na 2n ˇca´st´ı.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
2 Pil´ıˇre matematiky - cviˇcen´ı
2.2
13
Mnoˇ ziny
1. Mˇejme mnoˇziny A = {1, 4, 7, 9, 12} a B = {2, 4, 6, 9, 13}. Utvoˇrte jejich pr˚ unik A ∩ B, sjednocen´ı A ∪ B, rozd´ıl A − B a rozd´ıl B − A. 2. a) Mˇejme mnoˇzinu A = {a, b, c}. Vypiˇstˇe syst´em vˇsech podmoˇzin mnoˇziny A. Pozn. syst´em vˇsech podmnoˇzin se oznaˇcuje 2A . b) Necht’ mnoˇzina B je mnoˇzina vˇsech sud´ ych pˇrirozen´ ych ˇc´ısel menˇs´ıch neˇz 10. Vypiˇstˇe vˇsechny jej´ı podmnoˇziny. 3. Mˇejme koneˇcnou mnoˇzinu B o n prvc´ıch. Kolik prvk˚ u m´a mnoˇzina 2B ? 4. Uved’te pˇr´ıklad mnoˇzina A, B tak, aby A ∈ B a souˇcasnˇe A ⊆ B. 5. Je d´ana mnoˇzina A = {0, 1, 2}. Pˇreˇctˇete nahlas n´aslduj´ıc´ı v´ yroky a rozhodnˇete, kter´e z nich jsou pravdiv´e a kter´e nepravdiv´e: a) 0 ∈ A; b) {0} ∈ A; c) 0 ⊆ A; d) {0} ⊆ A; e) {} ∈ A; f) {} ⊆ A; g) {∅} ∈ A; h) {∅} ⊆ A; i) {2} ∈ {2, {2}}; j) {2} ⊆ {2, {2}}; k) Mnoˇzina {∅} nem´a ˇza´dn´ y prvek; l) {1, 2} = {2, 1}; 6. Uved’te form´aln´ı definici mnoˇzinov´ ych operac´ı (pozn. podobnˇe, jako je uvedeno v a) ) a) A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} b) A ∪ B = c) A − B = 7. Dokaˇzte, ˇze pro libovoln´e mnoˇziny A, B, C plat´ı: a) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C); b) A − (B − C) = (A − B) − C; c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 8. Jsou d´any mnoˇziny A = {a} a B = {x, y}. Urˇcete mnoˇziny A × B a B × A.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
2 Pil´ıˇre matematiky - cviˇcen´ı
14
9. Jsou d´any mnoˇziny A = {1, 2, 3} a B = {3, 7}. Popiˇstˇe (tˇreba i grafiky) mnoˇziny A×B, B × A, B × B, B × 2B . 10. Udejte pˇr´ıklad mnoˇzin A, B tak, aby mnoˇzina A × B mˇela pr´avˇe 32 podmnoˇzin. 11. Jsou d´any mnoˇziny A = {x : x ∈ R, |x − 3| < 1}, B = {x : x ∈ R, x2 − 4x + 3 ≤ 0}. Spoˇctˇete a v souˇradnicov´em syst´emu zakreslete B ∪ (A − B), (A ∩ B) × (B − A).
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
2 Pil´ıˇre matematiky - cviˇcen´ı
2.3
15
Relace
1. Definujte pojem un´arn´ı relace na mnoˇzinˇe M . 2. Definujte pojem (bin´arn´ı) relace mezi mnoˇzina A a B (v tomto poˇrad´ı). 3. Jak pˇreˇcteme z´apis (x, y) ∈ R, je-li R relace? Uved’te jin´ y moˇzn´ y z´apis relace R mezi prvky x, y. 4. Uvaˇzujme M jako mnoˇzinu pˇr´ıbuzn´ ych. M = {Adam (otec), Barbora (matka), Cyril (syn), Dana (dcera), Emanuel (dˇedeˇcek z otcovy strany)}. a) Je d´ana un´arn´ı relace R1 = {x ∈ M : x je muˇzsk´eho pohlav´ı}. b) Je d´ana bin´arn´ı relace R2 = {(x, y) ∈ M × M : (x, y) je ve vztahu otec a syn}. c) Je d´ana bin´arn´ı relace R3 = {(x, y) ∈ M ×M : (x, y) je ve vztahu rodiˇc a potomek}. d) Je d´ana bin´arn´ı relace R4 = {(x, y) ∈ M × M : (x, y) je ve vztahu sourozenec a sourozenec}. e) Je d´ana tern´arn´ı relace R5 = {(x, y, z) ∈ M × M × M : (x, y, z) je ve vztahu prarodiˇc, rodiˇc a potomek}. 5. Udejte pˇr´ıklady dvou r˚ uzn´ ych relac´ı mezi mnoˇzinami A = {a, b, c, d} a B = {x, y, z} a tak´e zakreslete jejich uzlov´e grafy. 6. a) Co je to pr´ azdn´ a relace mezi mnoˇzinami A a B a co je univerz´ aln´ı relace mezi mnoˇzinami A a B? Form´alnˇe tyto relace zapiˇstˇe. b) Zapiˇstˇe, jak vypad´a pr´azdn´a a univerz´aln´ı relace mezi pr´azdn´ ymi mnoˇzinami. 7. Definujte pojem (bin´arn´ı) relace na mnoˇzinˇe M . 8. Je d´ana mnoˇzina M = {a, b, c, d}. Zapiˇstˇe libovolnou relaci na mnoˇzinˇe M , kter´a m´a alespoˇ n 4 prvky. Relace zn´azornˇete uzlov´ ym grafem relace a tabulkou relace. 9. Definujte na mnoˇzinˇe M pojem relace reflexivn´ı, symetrick´a, antisymetrick´a, tranzitivn´ı, u ´pln´a. 10. Mˇejme mnoˇzinu M = {a, b, c}. Udejte pˇr´ıklad relac´ı R1 , R2 , R3 , R4 pomoc´ı tabulky tak, aby kaˇzd´a z tˇechto relac´ı mˇela pr´avˇe jednu z vlastnost´ı (pokud je to v˚ ubec moˇzn´e): reflexivn´ı, symetrick´a, antisymetrik´a, u ´pln´a. 11. Na mnoˇzinˇe A = {2, 3, 4, 6, 11} je d´ana relace R = {(x, y) : y je dˇelitelem x}. Rozhodnˇete, zda tato relace je reflexivn´ı, symetrick´a, tranzitivn´ı. 12. Na mnoˇzinˇe A = {2, 3, 4, 6, 11} je d´ana relace R = {(x, y) : y je cifern´ y souˇcet x}. Rozhodnˇete, zda tato relace je reflexivn´ı, symetrick´a, tranzitivn´ı.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
2 Pil´ıˇre matematiky - cviˇcen´ı
16
´ je-li pro 13. Je d´ana relace R na mnoˇzinˇe N. Rozhodnˇete, zda je relace R, S, A-S, T, U, x, y ∈ N: a) xRy ⇐⇒ x · y je lich´e ˇc´ıslo; b) xRy ⇐⇒ y = x ∨ y = 2x ∨ y = 3x; c) xRy ⇐⇒ |x − y| − 3 ∨ x = y;
[R, A-S] [R, S]
d) xRy ⇐⇒ x = y;
[R, S, A-S, T]
2
[A-S]
e) xRy ⇐⇒ y = x ;
SA1
[S, T]
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
2 Pil´ıˇre matematiky - cviˇcen´ı
2.4
17
Zobrazen´ı ˇ c´ ast 1
1. Mˇejme libovoln´e nepr´azdn´e mnoˇziny A a B. Definujte zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B: a) korektnˇe, tj. Necht’ f je relace mezi mnoˇzinami A a B, splˇ nuj´ıc´ı vlastnost, ˇze . . . Pak ” uspoˇra´danou trojici (A, B, f ) naz´ yv´ame zobrazen´ım mnoˇziny A do mnoˇziny B.“ b) n´azornˇeji, tj. Zobrazen´ım f mnoˇziny A do B rozum´ıme pˇredpis, kter´ y . . .“ ” 2. Rozhodnˇete, zda relace R v pˇr´ıkladu 11 (viz Relace) definuje na mnoˇzinˇe A zobrazen´ı. [nen´ı to zobrazen´ı] 3. Rozhodnˇete, zda zadan´ y pˇredpis f urˇcuje zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B: a) A = Z, B = N, f (x) = |x| ∀x ∈ Z.
[ne]
b) A = {a, b, c, d, e}, B = {u, v, w}, f (a) = u, f (c) = u, f (d) = w, f (x)e = w.
[ano]
4. Definujte zobrazen´ı injektivn´ı (tj. prost´e), reps. surjektivn´ı, resp. bijektivn´ı. 5. Jak´ y je postup pˇri d˚ ukazu, ˇze zobrazen´ı f je injektivn´ı, resp. nen´ı injektivn´ı, resp. je surjektivn´ı, resp. nen´ı surjektivn´ı? 6. Rozhodnˇete, zda relace R v pˇr´ıkladu 12 (viz Relace) definuje na mnoˇzinˇe A zobrazen´ı. Pokud ano, rozhodnˇete, zda jde o zobrazen´ı prost´e. [Je to zobrazen´ı, nen´ı prost´e] 7. U zobrazen´ı z pˇr´ıkladu 3 rozhodnˇete, zda jsou injektivn´ı nebo surjektivn´ı. [a) nen´ı zobrazen´ı, b) nen´ı I, nen´ı S] 8. Dokaˇzte, ˇze mezi mnoˇzinami A = Z a B = S existuje bijekce.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
2 Pil´ıˇre matematiky - cviˇcen´ı
2.5
18
Zobrazen´ı ˇ c´ ast 2
1. Zakreslete si mnoˇziny A a B sch´ematiky jako dva ov´aly. Zakreslete, co si pˇredstavujete pod pojmem: a) Zobrazen´ı z mnoˇziny A do mnoˇziny B. b) Zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B. c) Zobrazen´ı z mnoˇziny A na mnoˇzinu B (tj. zobrazen´ı mezi mnoˇzinami). d) Zobrazen´ı z mnoˇziny A na mnoˇzinu B. 2. Zakreslete do souˇradn´eho syst´emu x, y: a) y = |x|; b) y 2 = x. Rozhodnˇete, kter´a z kˇrivek je grafem funkce a kter´a naopak grafem funkce nen´ı. 3. Mˇejme libovoln´e nepr´azdny mnoˇziny A a B. Definujte zobrazen´ı z mnoˇ ziny A do mnoˇ ziny B: a) korektnˇe, tj. Necht’ f je relace mezi mnoˇzinami A a B, splˇ nuj´ıc´ı vlastnost, ˇze . . . Pak ” uspoˇra´danou trojici (A, B, f ) naz´ yv´ame zobrazen´ım z mnoˇziny A do mnoˇziny B.“ b) n´azornˇeji, tj. Zobrazen´ım f z mnoˇziny A do mnoˇziny B rozum´ıme pˇredpis f , kter´ y ” . . .“ Pouˇz´ıv´ame z´apis b = f (a). Pozn´amka: Zobrazen´ı f mezi ˇc´ıseln´ymi mnoˇzinami ˇr´ık´ame ˇcastˇeji funkce a p´ıˇseme f : A → B. 4. Mˇejme libovoln´e nepr´azdny mnoˇziny A a B. Definujte zobrazen´ı mnoˇ ziny A do mnoˇ ziny B: a) korektnˇe, tj. Necht’ f je relace mezi mnoˇzinami A a B, splˇ nuj´ıc´ı vlastnost, ˇze . . . Pak ” uspoˇra´danou trojici (A, B, f ) naz´ yv´ame zobrazen´ım mnoˇziny A do mnoˇziny B.“ b) n´azornˇeji, tj. Zobrazen´ım f mnoˇziny A do mnoˇziny B rozum´ıme pˇredpis f , kter´ y ” . . .“ Pozn. Jde tedy o situaci, kdy mnoˇzina A je pˇr´ımo definiˇcn´ım oborem 5. Formulace: . . . zobrazen´ı na mnoˇzinˇe A . . . m´ame na mysli: a) . . . zobrazen´ı z mnoˇziny A do mnoˇziny A . . . , b) . . . zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny A . . . ? 6. Na mnoˇzinˇe A = {2, 3, 4, 6, 11} je d´ana relace R = {(x, y) : y je dˇelitelem x}. Rozhodnˇete, zda relace R definuje na mnoˇzinˇe A zobrazen´ı. [nen´ı to zobrazen´ı]
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
2 Pil´ıˇre matematiky - cviˇcen´ı
19
7. Rozhodnˇetem zda zadan´ y pˇredpis f urˇcuje zobrazen´ı mnoˇziny A do mnoˇziny B: a) A = Z, B = N, f (x) = |x + 2| ∀x ∈ Z. [ne, ale zobrazen´ı z mn. A do mn. B by to bylo] b) A = {a, b, c, d, e}, B = {u, v, w}, f (a) = u, f (b) = u, f (c) = u, f (d) = w, f (e) = w; [ano] c) A = Z, B = S, f (x) = 2x ∀x ∈ Z;
[ano]
d) A = R, B = R, f (x) = sin x ∀x ∈ R;
[ano]
e) A = R, B = h−1; 1i, f (x) = sin x ∀x ∈ R;
[ano]
f) A = B = N, f (x) = x + 1 ∀x ∈ N; ( 1 pro x = 1 g) A = B = N, f (x) = x − 1 pro x ≥ 2.
[ano] [ano]
8. Definujte zobrazen´ı injektivn´ı (tj. prost´e), resp. surjektivn´ı, resp. bijektivn´ı. 9. Jak´ y je postup pˇri d˚ ukazu, ˇze zobrazen´ı f je injektivn´ı, resp. nen´ı injektivn´ı, resp. je surjektivn´ı, resp. nen´ı surjektivn´ı? 10. Na mnoˇzinˇe A = {2, 3, 4, 6, 11} je d´ana relace R = {(x, y) : y je cifern´ y souˇcet x}. Rozhodnˇete, zda relace R definuje na mnoˇzinˇe A zobrazen´ı. Pokud ano, rozhodnˇete, zda jde o zobrazen´ı prost´e. [Je to zobrazen´ı, nen´ı prost´e] 11. U zobrazen´ı z pˇr´ıkladu 7 rozhodnˇete, zda jsou injektivn´ı nebo surjektivn´ı. [a) nen´ı zobrazen´ı, b) nen´ı I, nen´ı S, c), d) nen´ı I, nen´ı S, e) nen´ı I, je S, f ) je I, nen´ı S, g) nen´ı I, je S] 12. Rozhodnˇete, zda dan´e zobrazen´ı f : N → N je injektivn´ı, resp. bijektivn´ı, je-li: a) f (x) = 2x − 1. ( 3 b) f (x) = x−3 ( x−1 c) f (x) = x+1 x+1 d) f (x) = 2 e) f (x) = 3x+1 2
[je I, nen´ı S] pro x ≤ 3 pro x > 3. pro xsud´e pro xlich´e.
[nen´ı I, je S]
[je B] [nen´ı I, je S] [je I, nen´ı S]
Pozn.: [a] znamen´a celou ˇc´ast ˇc´ısla a.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
2 Pil´ıˇre matematiky - cviˇcen´ı
20
13. Rozhodnˇete, zda dan´e zobrazen´ı f je injektivn´ı, resp. surjektivn´ı, je-li: a) f : R → R, f (x) = x2 + 6 +
+
b) f : R → R , f (x) = (x + 1)
[je I, nen´ı S] 2
[je B]
14. Dokaˇzte, ˇze mezi mnoˇzinami A = Z a B = S existuje bijekce. 15. Jsou d´ana bijektivn´ı zobrazen´ı f, g : R → R, f (x) = 3x − 4, g(x) = 2x + 53 . Zapiˇstˇe pˇredpis pro zobrazen´ı f ◦ g a g ◦ f .
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
3 Pˇrirozen´a ˇc´ısla
3
21
Pˇ rirozen´ aˇ c´ısla
un´arn´ı operace n´ asledn´ık definov´ana takto A’ = A ∪ {A} ∅’ = ∅ ∪ {∅} = {∅} {∅}’ = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}} {∅, {∅}}’ = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} = zaveden´ı pˇrirozen´ ych ˇc´ısel (pomoc´ı pr´azdn´e mnoˇziny) Operace Nyn´ı na N zavedeme bin´arn´ı operace f : N × N → N (obecnˇe f : A × B → C). Pˇ r. f (3, 5) = 8 3+5=8 1. Sˇ c´ıt´ an´ı Operaci sˇc´ıt´an´ı zavedeme takto A+∅=A A + B’ = (A + B)’ Pˇ r. 4 + 2 =? 4 + 2 = 4 + 1’ = (4 + 1)’ = (4 + 0’)’ = ((4 + 0)’)’ = 5’ = 6 ⇒ 4 + 2 = 6 Operace sˇc´ıt´an´ı je komunitativn´ı. 2. N´ asoben´ı Operaci n´asoben´ı zavedeme takto A×∅=∅ A × B’ = A × B + A Operace n´asoben´ı je komunitativn´ı.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
4 Cel´a ˇc´ısla
4
22
Cel´ aˇ c´ısla
Uvaˇzujme uspoˇr´adan´e dvojice pˇrirozen´ ych ˇc´ısel (a, b) ∈ N × N. Mezi takov´ ymi dvojicemi zavedeme relaci ∼: (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c
(a − b = c − d)
relace ∼ je: a) reflexivn´ı - tzn. (a, b) ∼ (a, b) ⇐⇒ a + b = b + a ∀(a, b) ∈ N × N operace sˇc´ıt´an´ı je komunitativn´ı ⇒ je reflexivn´ı b) symetrick´a - tzn. (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ (c, d) ∼ (a, b) c) tranzitivn´ı - tzn. (a, b) ∼ (c, d) ∧ (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ (a, b) ∼ (e, f ) (a + d = b + c, c + f = d + e ⇒ a + f = b + e) ⇓ a + d + c + f = b + c + d + e ⇒ a + f = b + e ⇒ je tranzitivn´ı ⇒ relace ∼ je ekvivalence ⇒ N × N se rozpadne na tˇr´ıdy (3, 1)
(1, 3)
(5, 5)
(4, 2) (10, 12) (4, 4) 2
−2
0
⇒ Z jsou tˇr´ıdy ekvivalence Na Z nyn´ı zavedeme operace: 1. sˇ c´ıt´ an´ı zavedeme n´asledovnˇe (a, b) + (c, d) = (e, f ) = (a + c, b + d) 2. souˇ cin zavedeme takto (a, b) × (c, d) = (e, f ) = (a · c + b · d, b · c + a · d)
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
5 Algebraick´e struktury
5
23
Algebraick´ e struktury
Algebraickou strukturou rozum´ıme mnoˇzinu s definovan´ ymi operacemi, kter´e maj´ı jist´e vlastnosti:
5.1
Grupa
mnoˇzina G s bin´arn´ı operac´ı ∗ splˇ nuj´ıc´ı: G1) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) ∀x, y, z ∈ G asociativn´ı z´ akon (sdruˇzovac´ı - sdruˇzov´an´ı do z´avorek) G2) ∃ e ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x ∀x ∈ G G3) ∀x ∈ G ∃ x−1 ∈ G, x ∗ x−1 = x−1 ∗ x = e se naz´ yv´a grupa prvek e nazveme neutr´ aln´ı prvek grupy G −1 prvek x nazveme inverzn´ı prvek prvku x Pˇ r. 1. G = Z, ∗ = + ⇒ (Z, +) 2. G = Q − {0} = Q∗ , ∗ = × ⇒ (Q∗ , ·) 3. G = regul´arn´ı matice dan´eho ˇra´du s operac´ı ∗ = · 4. sˇc´ıt´an´ı vektor˚ u pologrupa - asociativn´ı grupoid monoid - asociativn´ı grupoid, v kter´em existuje neutr´aln´ı prvek Jestliˇze plat´ı nav´ıc G4) x ∗ y = y ∗ x ∀x, y ∈ G hovoˇr´ıme o komutativn´ı (abelovsk´ e) grupˇe.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
5 Algebraick´e struktury
5.2
24
Pole
Mnoˇzina F , kter´a m´a alespoˇ n 2 prvky, se 2 operacemi znaˇcen´ ymi +, · splˇ nuj´ıc´ımi: F1) x + (y + z) = (x + y) + z
∀x, y, z ∈ F
F2) ∃ OF ∈ F tak, ˇze x + OF = OF + x = x ∀x ∈ F F3) ∀x ∈ F ∃ (−x) ∈ F tak, ˇze x + (−x) = (−x) + x = OF
∀x ∈ F
F4) x + y = y + x ∀x, y ∈ F F5) x · (y · z) = (x · y) · z
∀x, y, z ∈ F
F6) ∃ 1F ∈ F tak, ˇze x · 1F = 1F · x = x ∀x ∈ F F7) ∀x ∈ F ∃ x−1 ∈ F tak, ˇze x · x−1 = x−1 · x = 1F
∀x ∈ F
F8) distributivn´ı z´akony x · (y + z) = x · y + x · z, (y + z) · x = y · x + z · x ∀x, y, z ∈ F se naz´ yv´a pole (field, tˇ eleso). F1 - F4 = komutativn´ı grupa k + F5 - F7 = grupa k · F8 = distributiva Poˇzadujeme-li nav´ıc F9) x · y = y · x ∀x, y, z ∈ F hovoˇr´ıme o komutativn´ım poli.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
5 Algebraick´e struktury
25
Pˇ r. 1. (Q, +, ×) 2. (R, +, ×) 3. komplexn´ı ˇc´ısla (C, +, ×), parakomplexn´ı ˇc´ısla (a + bi, i2 = 1, a, b ∈ R), du´ aln´ı ˇc´ısla (a + bi, i2 = 0, a, b ∈ R) 4. ˇc´ısla typu a + bi + cj + dk, a, b, c, d ∈ R, i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = −k, ji = k naz´ yv´ame kvaterniony (H, +, ×) - nen´ı to komutativn´ı pole - pouˇzit´ı hydromechanice, ve fyzice k popisu pohybu element´arn´ıch ˇc´astic nebo rotace sf´er 5. racion´ aln´ı funkce
2x3 + x + 2 x4 − x2 − 5x − 1
⇒ (Rac, +, ×) Pˇ r. pole se 2 prvky aditivn´ı operace
SA1
×
0 1
0 1
0
0 0
1 0
1
0 1
+
0 1
0 1
a multiplikativn´ı operace
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
6 Koneˇcn´a pole
6
26
Koneˇ cn´ a pole
Galois - existuje vˇzdy jedin´e pole o pn prvc´ıch, kde p je prvoˇc´ıslo a n ∈ N; pole o jin´em poˇctu prvku neexistuj´ı koneˇcn´a pole: a) prvoˇ c´ıseln´ a - poˇcet prvk˚ u = p (n = 1) → 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . b) neprvoˇ c´ıseln´ a - poˇcet prvk˚ u = pn , n ∈ N, n > 1 → 4, 8, 9, 16, 25, . . . pouˇzit´ı v kryptografii
6.1
Prvoˇ c´ıseln´ a pole
+ a × se poˇc´ıtaj´ı modul´ arnˇ e ⇒ modul´ arn´ı aritmetika (v´ ysledek operace je vˇzdy zbytek po dˇelen´ı ˇc´ıslem p ˇc´ısla, kter´e bychom dostali, kdybychom operaci provedli standartnˇe) Uk´azka na pˇr´ıkladu - mˇejme pole F5 . Poˇc´ıt´ame pak 4 + 3 (= 7 = 1 · 5 + 2) = 2, 4 · 3 (= 12 = 2 · 5 + 2) = 2 Z´apis tabulek pro pole F5 aditivn´ı
×
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0
0 0 0 0 0
1
1 2 3 4 0
1
0 1 2 3 4
2
2 3 4 0 1
2
0 2 4 1 3
3
3 4 0 1 2
3
0 3 1 4 2
4
4 0 1 2 3
4
0 4 3 2 1
+
0 1 2 3 4
0
a multiplikativn´ı
Pˇ r. F11 8+7=4 10 + 2 = 1 8·3=2 6·6=3
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
6 Koneˇcn´a pole
6.2
27
Neprvoˇ c´ıseln´ a pole
pro pole Fpn reprezentujeme prvky jako polynomy stupnˇe nejv´ yˇse n − 1 s koeficienty z Fp Pˇ r. Pole F4 0 1
2
0 1 x
3 x+1
Pˇ r. F81 ⇒ 0, 1, 2, x, x + 1, . . . , 2x3 + 2x2 + 2x + 2 - polynom 2x3 + 2x2 + 2x + 2 je nejvyˇsˇs´ı moˇzn´ y 1. sˇ c´ıt´ an´ı - v kaˇzd´em stupni sˇc´ıt´ame modulo p Pˇ r. F81 x3 +
+
2x2
3
+
2
0
+
2x
x
+ x
0
+
+
2
x +
2
Pˇ r. F4 +
0
1
x
x+1
0
0
1
x
x+1
1
1
0
x+1
x
x
x
x+1
0
1
x+1
x+1
x
1
0
2. n´ asoben´ı - vybereme redukˇ cn´ı polynom Pred stupnˇe n, kter´ y je nerozloˇziteln´ y (ireducibiln´ı) na souˇcin polynom˚ u niˇzˇs´ıho stupnˇe; vyn´asob´ıme potom opˇet modulo p - je-li v´ ysledkem polynom stupnˇe > n − 1, odeˇc´ıt´ame xi · Pred (pro vhodn´e i) tak dlouho, aˇz obdrˇz´ıme polynom stupnˇe ≤ n − 1 Pˇ r. F4 nejprve mus´ıme vybrat Pred : x2 = x · x x2 + 1 = (x + 1) · (x + 1) x2 + x = x · (x + 1) x2 + x + 1 = Pred
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
6 Koneˇcn´a pole
28
Multiplikativn´ı tabulka nakonec dopadne n´asledovnˇe ×
0
1
x
x+1
0
0
0
0
0
1
0
1
x
x+1
x
0
x
x+1
1
1
x
x+1
0 x+1
Nahrad´ıme-li polynomy opˇet ˇc´ısly, dost´av´ame pro F4 n´asleduj´ıc´ı tabulky aditivn´ı
×
0 1 2 3
1 2 3
0
0 0 0 0
1
0 3 2
1
0 1 2 3
2
2
3 0 1
2
0 2 3 1
3
3
2 1 0
3
0 3 1 2
+
0
1 2 3
0
0
1
a multiplikativn´ı
Pˇ r. F9 = F32 0 1 2
3
4
0 1 2
x x+1
5
6
7
8
x+2
2x
2x + 1
2x + 2
Pak 7 + 8 = 3 protoˇze +
2x +
1
2x +
2
x D´ale vyberme Pred x2 = x · x x2 + 1 = Pred1 x2 + 2 = (x + 1) · (x + 2) x2 + x = x · (x + 1) x2 + 2x = x · (x + 2) x2 + x + 1 = (x + 2) · (x+)) x2 + x + 2 = Pred2 x2 + 2x + 1 = (x + 1) · (x + 1) x2 + 2x + 2 = Pred3
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
6 Koneˇcn´a pole
29
Vezmˇeme Pred = x2 + 1 a poˇc´ıtejme: a) 7 · 8 =? (2x + 1)(2x + 2) x
2
+
x 2x
x2
+
2
+
2
→
-
x2
+
2
(x2
+
1)
⇒ 7·8=1
1
b) 6 · 6 =? x2 2x · 2x = x2 →
(x2
-
+
⇒6·6=2
1) 2
c) 5 · 8 =? (x + 2)(2x + 2) 2x2
+
2x x
2x2
+
1
+
1
→
-
2x2
+
1
(x2
+
1)
x
x2 →
-
(x2
+
2
1)
⇒ 5·8=2
2
koneˇcn´e pole je jen 1, ale mohou n´am vyj´ıt rozd´ıln´e tabulky (podle v´ ybˇeru Pred ) ⇒ existuje tzv. izomorfismus = bijektivn´ı zobrazen´ı, pro kter´e plat´ı ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b),
ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b)
tzn. zachov´av´a operaci a jej´ı vlastnosti Pozn. Uloha o 36-d˚ ustojn´ıc´ıch. M´ame seˇradit 36 d˚ ustojn´ık˚ u z 6 r˚ uzn´ ych pluk˚ u a 6 r˚ uzn´ ych hodnost´ı do ˇctverce tak, aby v jedn´e ˇradˇe ani v jednom sloupci nest´ali 2 d˚ ustojn´ıc´ı ze stejn´eho pluku nebo stejn´e hodnosti. Cviˇ cen´ı. Vyplˇ nte tabulky pro F8 . V z´avislosti na v´ ybˇeru Pred vyjdou r˚ uzn´e tabulky.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
7 Racion´aln´ı ˇc´ısla
7
30
Racion´ aln´ı ˇ c´ısla
Uvaˇzujme dvojice cel´ ych ˇc´ısel (a, b) ∈ Z × Z∗ (Z × Z − {0}) a zaved’me mezi nimi relaci ∼: a c (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a · d = b · c = b d Vˇ eta Relace ∼ je ekvivalence. D˚ ukaz 1. reflexivn´ı - tzn. (a, b) ∼ (a, b) ⇐⇒ a · b = b · a ∀(a, b) ∈ Z × Z∗ n´asoben´ı je komutativn´ı ⇒ je reflexivn´ı 2. symetrick´a 3. tranzitivn´ı - tzn. (a, b) ∼ (c, d), (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ (a, b) ∼ (e, f ) (a · d = b · c,
c · f = d · e)
Chceme dok´azat, ˇze a · f = b · e. Je-li a = 0 plat´ı, protoˇze a = 0 ⇒ c = 0 ⇒ e = 0 ⇒ 0 = 0 Je-li e = 0 plat´ı, protoˇze e = 0 ⇒ c = 0 ⇒ a = 0 ⇒ 0 = 0 Pˇredpokl´adejme d´ale, ˇze a 6= 0, e 6= 0 ⇒ c 6= 0. a · d · c · f = b · c · d · e ⇒ c · d · (a · f ) = c · d · (b · e). Jelikoˇz plat´ı, ˇze c 6= 0, d 6= 0, m˚ uˇzeme vykr´at´ıt a dost´av´ame a · f = b · e. ⇓ (2, 3) (0, 1) (4, 6) (0, 5) 2 3
0 1
p, q - nesoudˇeln´a, p ∈ Z, q ∈ N Nyn´ı na Q zaved’me operace: 1. sˇc´ıt´an´ı
(a, b) + (c, d) = (e, f ) = (ad + bc, bd)
2. n´asoben´ı (a, b) · (c, d) = (e, f ) = (ac, bd)
SA1
a c ad + bc + = b d bd
a c ac · = b d bd
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
7 Racion´aln´ı ˇc´ısla
31
Vˇ eta (Q, +, ·) je pole. D˚ ukaz Jde o pˇr´ıme ovˇeˇren´ı axiom˚ u pole. √ Pˇ r. Tvoˇr´ı mnoˇzina ˇc´ısel takov´ ych, ˇze a + b 2, a, b ∈ Q pole? Je tˇreba dok´azat multiplikativn´ı inverzi. Napˇr. vezmˇeme a =
1 2
a b = 3.
√ −1 1 +3 2 = ? 2 √ √ 1 1 −3 2 −3 2 12 √ 2 2 2 = + 2 = 1 = − 71 71 − 18 − 71 4 4
1 2
1 √ · +3 2
1 2 1 2
√ −3 2 √ −3 2
a, b ∈ Q ⇒ je to pole √ √ Cviˇ cen´ı Je mnoˇzina ˇc´ısel a + b 2 + c 3 takov´ ych, ˇze a, b, c ∈ Q, pole?
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
8 Uspoˇra´dan´e pole
8
32
Uspoˇ r´ adan´ e pole
ˇ Rekneme, ˇze pole F je uspoˇ r´ adan´ e, jestliˇze v nˇem existuje mnoˇzina P ⊆ F tak, ˇze plat´ı pr´avˇe jedna z moˇznost´ı: 1. x ∈ P 2. −x ∈ P 3. x = OF a d´ale 1. x ∈ P, y ∈ P ⇒ x + y ∈ P 2. x ∈ P, y ∈ P ⇒ x · y ∈ P
∀x, y ∈ F ∀x, y ∈ F
Pˇ r. Sestrojit P na mnoˇzinˇe Q. P = Q+ , P - podmnoˇzina pozitivn´ıch ˇc´ısel ⇓ pokud najdeme P , je pole uspoˇra´dan´e Pˇ r. F = R ⇒ P = R+ Vˇ eta Koneˇcn´a pole nejsou uspoˇr´adan´a pole. Vˇ eta C nelze uspoˇra´dat D˚ ukaz Pˇredpokl´adejme, ˇze 1 ∈ P . Pˇredpokl´adejme d´ale, ˇze tak´e i ∈ P . Jenˇze pak tak´e i2 = −1 ∈ P . Coˇz je ale spor, protoˇze 1 ∈ P ∧ −1 ∈ P . Zkusme pˇredpokl´adat, ˇze 1 ∈ P ∧ −i ∈ P . Jenˇze pak tak´e (−i)2 = −1 ∈ P . Coˇz je ale spor, protoˇze 1 ∈ P ∧ −1 ∈ P . Takˇze at’ vol´ıme kombinaci prvk˚ u jakkoliv, vˇzdy dojdeme ke sporu, tzn. ˇze C nelze uspoˇra´dat. M´ame-li uspoˇr´adan´e pole, pak v nˇem lze zav´est relaci ostr´eho uspoˇr´ad´an´ı takto x < y ⇐⇒ y − x ∈ P Pak zavedeme x ≤ y, jestliˇze x < y nebo x = y.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
8 Uspoˇra´dan´e pole
33
Vˇ eta Pole Rac je uspoˇr´adan´e pole. Kaˇzdou racion´aln´ı funkci lze zapsat v tzv. z´akladn´ım tvaru W+
U V
kde U, V, W jsou polynomy a plat´ı lc(W ) > 0 a degU < degV Racion´aln´ı funkce ve tvaru W +
SA1
U V
patˇr´ı do P , jestliˇze lc(W ) > 0 nebo W = 0 ∧ lc(U ) > 0.
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
9 Archim´edovsk´a pole
9
34
Archim´ edovsk´ a pole
ˇ Rekneme, ˇze uspoˇr´adan´e pole F je archim´ edovsk´ e, jestliˇze pro kaˇzd´a x, y ∈ P existuje nˇejak´e n ∈ N tak, ˇze n·x>y Je Q archim´edovsk´e pole? napˇr x =
1 1000
a y = 550000 ⇒ evidentnˇe ano
Vˇ eta Pole racion´aln´ıch funkc´ı je archim´edovsk´e pole. D˚ ukaz Vezmˇeme napˇr. x = t a y = t2 . Pokud vezmeme y − x = t2 − t, zjiˇst’ujeme, ˇze y − x ∈ P ⇒ y > x. Nyn´ı vyn´asobme ˇclen x ˇc´ıslem n. Ovˇsem zjist´ıme, ˇze pro y − nx = t2 − nt opˇet plat´ı, ˇze y − nx ∈ P ⇒ y > nx. Tzn., ˇze pro jak´ekoliv n bude y > nx ⇒ pole racion´aln´ıch funkc´ı nen´ı uspoˇr´adan´e. Jestliˇze pro nˇejak´e y ∈ P existuje x ∈ P takov´e, ˇze archim´edovsk´a vlastnost nen´ı splnˇena (tzn. neexistuje n ∈ N tak, aby nx > y), pak toto x nazveme infinitezim´ aln´ı (nekoneˇcnˇe mal´e) vzhledem k y. Pˇ r. polynom
1 t
je infinitezin´alm´ı vzhledem k 1
Jestliˇze pro nˇejak´e x existuje y takov´e, ˇze nen´ı splnˇena archim´edovsk´a vlastnost, pak toto y nazveme infinitn´ı (nekoneˇcnˇe velk´e) vzhledem k x. Tato cesta byla zavrˇzena - ti, kteˇr´ı touto cesto pokraˇcuj´ı ⇒ nestandartn´ı anal´ yza - pouˇz´ıv´a nearchim´edovsk´e pole a pˇrid´a si infinitezim´aln´ı prvky (, . . .) Vezmˇeme nyn´ı Q, A ⊆ Q, A 6= ∅ ˇ Rekneme, ˇze x ∈ Q je horn´ı z´ avora A, jestliˇze x ≥ a pro ∀a ∈ A ˇ Rekneme, ˇze x ∈ Q je doln´ı z´ avora A, jestliˇze x ≤ a pro ∀a ∈ A Nyn´ı vezmˇeme napˇr. A = {a ∈ Q, a ≤ 1}. Tato mnoˇzina m´a nekoneˇcno mnoho horn´ıch z´avor → nejmenˇs´ı horn´ı z´avoru nazveme supr´ emum A a oznaˇc´ıme ji supA. Obdobnˇe nejvˇetˇs´ı doln´ı z´avoru mnoˇziny A nazveme infimum A a znaˇc´ıme infA. ˇ Rekneme, ˇze A je shora ohraniˇ cen´ a, jestliˇze existuje nˇejak´a jej´ı horn´ı z´avora. ˇ Rekneme, ˇze A je zdola ohraniˇ cen´ a, jestliˇze existuje nˇejak´a jej´ı doln´ı z´avora. Maximum mnoˇziny A je jej´ı nejvˇetˇs´ı prvek, znaˇcen´ y maxA. Minimum mnoˇziny A je jej´ı nejmenˇs´ı prvek, znaˇcen´ y minA.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
9 Archim´edovsk´a pole
35
Mˇejme A ⊆ Q shora ohraniˇcenou. Sestrojme nyn´ı mnoˇzinu A tak, aby: 1. aby existovalo maximum i supr´emum - napˇr. A = {x ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 10} 2. aby existovalo supr´emum, ale ne maximum - napˇr. A = {x ∈ Q, 0 ≤ x < 10} 3. aby neexistovalo minimum ani supr´emum - napˇr. A = {x ∈ Q, x · x < 2} ⇒ d˚ uvod pro zaveden´ı R ˇ Rekneme, ˇze uspoˇr´adan´e pole F je hust´ e, jestliˇze pro kaˇzd´e 2 prvky x, y ∈ F takov´e, ˇze x < y existuje z ∈ F tak, ˇze x < z < y. Vˇ eta Q je hust´e pole. (d˚ ukaz - napˇr. aritmetick´ y pr˚ umˇer - vezmeme-li 2 libovoln´a racion´aln´ı ˇc´ısla x a y, x < y, a udˇel´ame-li jejich aritmetick´ y pr˚ umˇer, dostaneme racion´aln´ı ˇc´ıslo z, pro kter´e bude platit x < z < y) Vˇ eta Rac je hust´e pole.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
10 Re´aln´a ˇc´ısla
10
36
Re´ aln´ aˇ c´ısla
1. Dedekindovy ˇrezy 2. cauchyovsk´e posloupnosti 3. axiomatick´e zaveden´ı
10.1
Dedekindovy ˇ rezy
Definujme mnoˇzinu D ⊆ Q splˇ nuj´ıc´ı 2 podm´ınky: 1. jestliˇze x ∈ D, pak ∃ y ∈ D takov´e, ˇze x < y 2. jestliˇze x ∈ D a y je libovoln´e y ∈ Q a y < x, pak y ∈ D a nazvˇeme ji Dedekind˚ uv ˇ rez. Pˇ r. 1. Q → ozn. ∞ 2. Q → ozn. −∞ 3. Q− → ozn. O 4. A = {x ∈ Q, x < 1} . . . re´aln´e ˇc´ıslo 1 5. A = {x ∈ Q, x · x < 2} . . . re´aln´e ˇc´ıslo
√ 2
Mnoˇzinu vˇsedh Dedekindov´ ych ˇrez˚ u oznaˇc´ıme R a nazveme ji rozˇs´ıˇren´a re´ aln´ aˇ c´ısla. Samotn´a re´aln´a ˇc´ısla pak definujeme takto: R = R − {−∞, ∞} Operace: 1. souˇ cet Dedekindov´ ych ˇrez˚ u: D + E = {x ∈ Q, x = d + e, d ∈ D, e ∈ E} Pozn´amka k uspoˇra´d´an´ı Dedekindov´ ych ˇrez˚ u. D ≤ E definujeme takto x ∈ D ⇒ x ∈ E. Jestliˇze O ≤ D, nazveme D nez´ aporn´ ym Dedekindov´ ym ˇrezem. Jestliˇze O > D, nazveme D z´ aporn´ ym Dedekindov´ ym ˇrezem. Dedekind˚ uv ˇrez Q− − E = {x ∈ Q, x = d − e, d < 0 ∧ e ∈ Q − E} oznaˇcme −E a nazveme opaˇ cn´ y k E. Odeˇc´ıt´an´ı Dedekindov´ ych ˇrez˚ u pak definujeme takto D + (−E) = {x ∈ Q, x = d − e, d ∈ D ∧ e ∈ Q − E} SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
10 Re´aln´a ˇc´ısla
37
2. souˇ cin Dedekindov´ ych ˇrez˚ u: a) D, E jsou nez´aporn´e Dedekindovy ˇrezy D · E = {x ∈ Q, x = d · e, d ∈ D ∧ d ≥ 0, e ∈ E} b) D nez´aporn´ y a E z´aporn´ y D · E = −(D · (−E)) c) D z´aporn´ y a E nez´aporn´ y D · E = −(−D · E) d) D, E z´aporn´e D · E = (−D · (−E))
10.2
vyj´ adˇ ren´ı re´ aln´ ych ˇ c´ısel
a) napˇr. 3, 14159265 . . . - nekoneˇcn´ y desetinn´ y rozvoj b) pomoc´ı ˇretˇezov´ ych zlomk˚ u - takov´ y zlomek je jednoznaˇcn´ y a je-li ˇc´ıslo racion´aln´ı, je koneˇcn´ y Pozn. Racion´aln´ı ˇc´ıslo m´a ukonˇ cen´ y nebo periodick´ y desetinn´ y rozvoj. Pˇ r. 1 = 0, 9 = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . . = Pˇ r. 80 11
80 11
0, 9 =1 1 − 0, 1
=? cel´a ˇca´st 7
⇓
80 11
−7=
3 ; 11
1 3 11
⇓ 11 3
− 3 = 23 ;
1 2 3
⇓ 3 2
− 1 = 12 ;
⇓ 2 − 2 = 0;
1 1 2
=
=
11 3
3 2
cel´a ˇca´st 3 cel´a ˇc´ast 1
=2
konec ⇒ 80 1 =7+ 11 3 + 1+1 1 2
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
11 Mohutnost ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin (kardinalita)
11
38
Mohutnost ˇ c´ıseln´ ych mnoˇ zin (kardinalita)
ˇc´ıseln´e vyj´adˇren´ı poˇctu prvk˚ u Pˇ r. A = {x, y, z} ⇒ |A| = 3 (cardA = 3) |∅| = 0 |N| = ℵ0 Mohutnost nekoneˇcn´ ych mnoˇzin porovn´av´ame bijekc´ı. Demonstrace na vesm´ırn´ em hotelu: 1) vˇsechny pokoje jsou obsazen´e a pˇrijede 1 host ⇒ ˇrekneme st´avaj´ıc´ım host˚ um, at’ se posunou do pokoje s ˇc´ıslem o 1 vˇetˇs´ı N0 = N ∪ {0}
N 1
-
0
2
-
1
3
-
2
4
-
3
5 .. .
-
4 .. .
|N ∪ {0}| = ℵ0 |N ∪ A| = ℵ0 − A koneˇcn´a mnoˇzina 2) pˇrijede nekoneˇcnˇe mnoho nov´ ych host˚ u - st´avaj´ıc´ım host˚ um ˇrekneme, at’ se pˇresunou z pokoje ˇc´ısla x do pokoje 2x sud´a
N 1
-
2
2
-
4
3
-
6
4 .. .
-
8 .. .
|sud´a| = ℵ0 |lich´a| = ℵ0
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
11 Mohutnost ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin (kardinalita)
39
3) cel´a ˇc´ısla N
Z
1
-
0
2
-
1
3
-
−1
4
-
2
5 .. .
-
−2 .. .
130
-
65
131
- −65
|Z| = ℵ0 4) racion´aln´ı ˇc´ısla - |p| + q . . . v´ yˇsk´a racion´aln´ıho ˇc´ısla N
Q
1
-
2
-
3
-
4
-
5
-
6
-
7
-
8
-
9
-
10 .. .
-
0 1 − 11 1 1 − 21 − 12 1 2 2 1 − 31 − 13 1 3
.. .
|Q| = ℵ0 Pozn. Zaveden´ı interval˚ u Vezmˇeme A = {x ∈ Q, x < 1} = re´aln´e ˇc´ıslo 1. Vezmeme mnoˇzinu vˇsech Dedekindov´ ych ˇrez˚ u B, pro nˇeˇz plat´ı B ≤ A. Tuto mnoˇzinu oznaˇc´ıme (−∞, 1i. Nyn´ı vezmeme (−∞, 1i − A a v´ ysledek oznaˇc´ıme (−∞, 1). Obdobnˇe dostaneme interval (−∞, 0). Interval h0, 1) pak dostaneme takto: h0, 1) = (−∞, 1)− (−∞, 0).
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
11 Mohutnost ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin (kardinalita)
40
Vˇ eta |R| > ℵ0 D˚ ukaz - Cantorova diagon´aln´ı metoda Dok´aˇzeme, ˇze |h0, 1)| > ℵ0 Oznaˇcme nyn´ı postupnˇe vˇsechna ˇc´ısla z h0, 1) takto: a1 = 0, a11 a12 a13 a14 a2 = 0, a21 a22 a23 a24 a3 = 0, a31 a32 a33 a34 .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . Nyn´ı sestroj´ıme ˇc´ıslo b = 0, b1 b2 b3 b4 . . . takto: ( 1 pro aii 6= 1 bi = 2 pro aii = 1 ⇒ b 6= a1 , b 6= a2 , . . . ⇒ b nen´ı v n´ami sestrojen´em seznamu ˇc´ısel z h0, 1) ale b je v h0, 1) ⇒ spor ⇒ |h0, 1)| > ℵ0 ⇒ |R| > ℵ0 A = {x, y, z} |A| = 3 |2A | = 8 |2N | = ℵ1 |R| = c - dodnes nevyˇreˇseno, zda c = ℵ1 |C| = |R2 | = c Bijekce mezi R a R2 . [0, 325415] ⇒ [0, 351; 0, 245] ⇓ zobrazen´ı bodu do roviny ⇓ |R2 | = c
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
12 Metrick´e prostory
12
41
Metrick´ e prostory
vˇetsinou budeme pracovat s R drtiv´a vˇetˇsina re´aln´ ych ˇc´ısel nem´a n´azev (z´apis) |Q| = ℵ0 |R − Q| = c ⇒ je jich v´ıce neˇz Q √ √ algebraick´ aˇ c´ısla - koˇreny polynom˚ u (x2 −2, . . .) - vˇsechny odmocniny atd. ( 2, 32 1024, . . .) |algebraick´a ˇc´ısla| = ℵ0 √
transcedentn´ı ˇ c´ısla - takov´a iracion´aln´ı ˇc´ısla, kter´a nejsou koˇreny polynom˚ u (π, e, 2 2 ) |transcendentn´ı ˇc´ısla| = c Teorie metrick´ ych prostor˚ u Mˇejme X 6= ∅, funkci ρ : X × X → R splˇ nuj´ıc´ı: 1. ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
∀x, y ∈ X
2. ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y ∈ X 3. ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(x, z) ∀x, y, z ∈ X (troj´ uheln´ıkov´a nerovnost) Tuto funkci ρ nazveme metrika na X a mnoˇzinu (X, ρ), na kter´e funkci ρ definujeme, nazveme metrick´ y prostor. Vˇ eta ρ je nez´aporn´a funkce. D˚ ukaz ρ(x, x) = 0 ρ(x, x) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, x) ⇒ 2ρ(x, y) ≥ 0 ⇒ ρ(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X Lze na kaˇzd´e mnoˇzinˇe X zav´est metriku? Ano, tzv. trivi´ aln´ı metriku. ( ρ(x, y) =
0
pro x = y
1
pro x 6= y
1. X = R × R (re´aln´a rovina) M´ame body x = [x1 , x2 ], y = [y1 , y2 ]. Metriku definovanou p ρ(x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 nazveme eukleidovskou metrikou.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
12 Metrick´e prostory
42
Obecnˇe pro v´ıcedimenzion´aln´ı prostor X = Rn plat´ı v u n uX ρ(x, y) = t (xi − yi )2 i=1
2. X = R × R (re´aln´a rovina) M´ame body x = [x1 , x2 ], y = [y1 , y2 ]. Metriku definovanou ρ(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | nazveme manhattanskou (poˇ st´ ackou) metrikou. x
y
Obr´azek 7: Manhattansk´a metrika
3. X = R × R ρ(x, y) = (x1 − y1 ) Toto nen´ı metrika, protoˇze x 6= y a ρ(x, y) = 0 x y
Obr´azek 8: Pˇr. nemetriky“ ”
Pozn. Pro X = R splyne eukleidovsk´a a manhattansk´a metrika: p (x − y)2 = |x − y|
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
12 Metrick´e prostory
43
Otevˇ ren´ a koule Otevˇren´a koule v metrick´em prostotu X se stˇredem x0 a polomˇerem > 0 je definov´ana Bx0 , = {x ∈ X, ρ(x0 , x) < } eukleidovsk´ a metrika X = R × R
manhattansk´ a metrika X = R × R
y y x0 x0
x
x (a) Eukleidovsk´ a metrika
(b) Manhattansk´a metrika
Obr´azek 9: Otevˇren´e koule trivi´ aln´ı metrika < 1 - jen stˇred x0 >1-u ´plnˇe cel´a mnoˇzina Otevˇ ren´ a mnoˇ zina ˇ Rekneme, ˇze A ⊆ X je otevˇ ren´ a, jestliˇze pro ∀a ∈ A ∃ > 0 tak, ˇze: Ba, ⊆ A (tzn. ke kaˇzd´emu a m˚ uˇzeme sestrojit otevˇrenou kouli, kter´a je cel´a v A) y
x
Obr´azek 10: Otevˇren´a mnoˇzina
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
12 Metrick´e prostory
44
Pˇ r. pr´azdn´a mnoˇzina, cel´a mnoˇzina (trivi´aln´ı pˇr´ıpady), otevˇ ren´ e intervaly
Obr´azek 11: Otevˇren´e mnoˇziny Uzavˇ ren´ a mnoˇ zina ˇ Rekneme, ˇze mnoˇzina A je uzavˇ ren´ a, jestliˇze jej´ı doplnˇek je mnoˇzina otevˇren´a. Pˇ r. uzavˇren´ y interval, jedin´ y bod
Obr´azek 12: Uzavˇren´e mnoˇziny Vˇ eta Q nejsou uzavˇren´a mnoˇzina ani otevˇren´a mnoˇzina ∅ je z´aroveˇ n uzavˇren´a i otevˇren´a mnoˇzina R je z´aroveˇ n uzavˇren´a i otevˇren´a mnoˇzina
) clopen
Pˇ r. X = Q clopen mnoˇziny - ∅, R, A = {x ∈ Q, x · x < 2} ⇒ nedokonalost Q
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
13 Posloupnosti
13
45
Posloupnosti
a1 , a2 , a3 , . . . ; {an }∞ n=1 zobrazen´ı a : N → X a(1) = a1 a(2) = a2 vˇetˇsina posloupnost´ı bez pravidla, budeme br´at X = R ⇒ re´aln´e posloupnosti 2 zp˚ usoby zad´an´ı posloupnosti: 1. explicitn´ı zad´ an´ı zad´an´ı posloupnosti pomoc´ı obecn´eho ˇclenu an Pˇ r. an =
n nn +n!
⇒ a1 = 21 , a2 = 31 , a3 =
1 , 11
a4 =
1 ,... 70
2. rekurentn´ı zad´ an´ı vyj´adˇren´ı obecn´eho ˇclenu an pomoc´ı ˇclen˚ u pˇredchoz´ıch Pˇ r. a1 = 0, a2 = 1, an = an−1 + an−2 , pro n ≥ 3 a3 = 1, a4 = 2, a5 = 3, a6 = 5 ⇒ Fibonacciho posloupnost tuto posloupnost lze vyj´adˇrit tak´e t´ımto explicitn´ım pˇredpisem √ √ (1 + 5)n − (1 − 5)n √ an = 2n 5 Pˇ r. Kobonovy troj´ uheln´ıky. Jednotliv´e ˇcleny t´eto posloupnosti z´ısk´av´ame jako maxim´aln´ı poˇcet troj´ uheln´ık˚ u, kter´e vzniknou pˇri zkˇr´ıˇzen´ı n pˇr´ımek pro n ≥ 3. Nen´ı zat´ım zn´am explicitn´ı ani rekurentn´ı pˇredpis. Je zn´amo pouze p´ar prvn´ıch ˇclen˚ u a to 1, 2, 5, 7, 11, . . .
(a) n = 3
(b) n = 4
(c) n = 5
Obr´azek 13: Kobonovy troj´ uheln´ıky
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
13 Posloupnosti
46
ˇ Rekneme, ˇze posloupnost {an }∞ ze pro ∀ > 0 existuje N ∈ N n=1 konverguje k a ∈ X, jestliˇ takov´e, ˇze pro vˇsechna n ≥ N plat´ı, ˇze ρ(an , a) < . Pak p´ıˇseme lim an = a
(n→∞)
a
1
2
N
Obr´azek 14: Konvergentn´ı posloupnost ˇ a, jestliˇze ∀ > 0 ∃ N ∈ N takov´e, ˇze pro Rekneme, ˇze posloupnost {a∞ n=1 } je cauchyovsk´ ∀m, n ≥ N plat´ı, ˇze ρ(am , an ) < . Plat´ı, ˇze jestliˇze je posloupnost konvergentn´ı, je tak´e cauchyovsk´ a Definice Metrick´ y prostor nazveme u ´ pln´ y, jestliˇze v nˇem je kaˇzd´a cauchyovsk´a posloupnost konvergentn´ı. Vˇ eta Q nen´ı u ´pln´ y metrick´ y prostor. D˚ ukaz Vezmeme posloupnost an = (1 + Nyn´ı poˇc´ıtejme a2 − a1 =
9 4
1 n 9 64 625 ) = 2, , , ,... n 4 27 256
− 2 = 14 , a3 − a2 =
64 27
−
9 4
=
13 . 108
13 1 < 108 4 Evidentnˇe se rozd´ıly mezi ˇcleny zmenˇsuj´ı ⇒ je to cauchyovsk´ a posloupnost. Nen´ı to ale konvergentn´ı posloupnost v r´amci Q. (lim an = e 6∈ Q) ⇒ lim an v Q neexistuje. alternativn´ı konstrukce R Z´ uplnˇen´ım metrick´eho prostoru Q. Ke vˇsem cauchyovsk´ ym posloupnostem najdeme limity ⇒ tyto limity vytvoˇr´ı mnoˇzinu R (limity 6∈ Q, ale budou leˇzet v novˇe zaveden´e mnoˇzinˇe R).
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
14 Re´aln´e posloupnosti - teorie
14
47
Re´ aln´ e posloupnosti - teorie
a:N→R okol´ı bodu x ∈ R bude libovoln´ y otevˇren´ y interval obsahuj´ıc´ı x, znaˇc´ıme O(x) x
Obr´azek 15: Okol´ı bodu -okol´ı bodu x ∈ R je definov´ano jako interval (x − , x + ), znaˇc´ıme O (x) x
Obr´azek 16: -okol´ı bodu ryz´ı okol´ı bodu x ∈ R definujeme O(x) = O(x) − {x} x
Obr´azek 17: Ryz´ı okol´ı bodu ryz´ı -okol´ı bodu x ∈ R definujeme O (x) = O (x) − {x} x
Obr´azek 18: Ryz´ı -okol´ı bodu ˇ ze ∀O(a) ∃ N ∈ N tak, ˇze ∀n ≥ N Rekneme, ˇze posloupnost {an }∞ n=1 konverguje k a ∈ R, jestliˇ plat´ı, ˇze an ∈ O(a). nyn´ı to nemus´ı b´ yt -okol´ı ⇒ m˚ uˇzeme vz´ıt asymetrick´e okol´ı bodu x ˇ Rekneme, ˇze posloupnost {an }∞ ze pro ∀K ∈ R ∃N ∈ N tak, ˇze pro n=1 diverguje k ∞, jestliˇ ∀n ≥ N plat´ı, ˇze an > K a p´ıˇseme lim an = ∞ Posloupnost {an }∞ ze pro ∀K ∈ R ∃ N ∈ N tak, ˇze pro ∀n ≥ N n=1 diverguje k −∞, jestliˇ plat´ı, ˇze an < K a p´ıˇseme lim an = −∞ ⇓ divergentn´ı posloupnost Posloupnost, kter´a nediverguje ani nekonverguje, se naz´ yv´a osciluj´ıc´ı.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
14 Re´aln´e posloupnosti - teorie
48
Omezenost posloupnosti 1. shora omezen´ a - ∃ K ∈ R, an < K 2. zdola omezen´ a - ∃ K ∈ R, an > K 3. omezen´ a (ohraniˇ cen´ a) - omezen´a zdola i shora Monotonnost posloupnosti 1. rostouc´ı - ∀n ∈ N plat´ı an+1 > an 2. klesaj´ıc´ı - ∀n ∈ N plat´ı an+1 < an 3. nerostouc´ı - ∀n ∈ N plat´ı an+1 ≤ an 4. neklesaj´ıc´ı - ∀n ∈ N plat´ı an+1 ≥ an 5. konstantn´ı - ∀n ∈ N plat´ı an+1 = an monot´ onn´ı - 1) aˇz 4) ryze monot´ onn´ı - 1) a 2) ˇ a hromadn´ y bod a ∈ R, jestliˇze pro ∀O(a) plat´ı, ˇze Rekneme, ˇze posloupnost {an }∞ n=1 m´ nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ u t´eto posloupnosti leˇz´ı v O(a). Pˇ r. Posloupnost 1, 0, 1, 0, . . . ⇒ 2 hromadn´e body Pˇ r.
1 3 5 1 5 9 1 9 17 , , , , , , , , ,... 2 2 2 4 4 4 8 8 8 tato posloupnost m´a hromadn´e body 0, 1 a 2
ˇ Rekneme, ˇze posloupnost {an }∞ a hromadn´ y bod ∞, jestliˇze pro ∀K ∈ R plat´ı, ˇze n=1 m´ nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ u splˇ nuje, ˇze an > K. Napˇr.: 1, 2, 3, 4, . . . ˇ Rekneme, ˇze posloupnost {an }∞ a hromadn´ y bod −∞, jestliˇze pro ∀K ∈ R plat´ı, ˇze n=1 m´ nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ u splˇ nuje, ˇze an < K.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
14 Re´aln´e posloupnosti - teorie
49
Vˇ eta Kaˇzd´a posloupnost m´a alespoˇ n 1 hromadn´ y bod. D˚ ukaz Nen´ı-li shora omezen´a, je hromadn´ ym bodem ∞. Nen´ı-li zdola omezen´a, je hromadn´ ym bodem −∞. Pˇredpokl´adejme d´ale, ˇze posloupnost je omezen´a ⇒ an ∈ hK, Li. Pak alespoˇ n v jednom K+L K+L u posloupnosti. Takto budeme z interval˚ u hK, 2 i, ( 2 , Li leˇz´ı nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ pokraˇcovat aˇz dostaneme v limitn´ım pˇr´ıpadˇe bod ⇒ hromadn´ y bod. supr´ emum ze vˇsech hromadn´ ych bod˚ u posloupnosti se naz´ yv´a limes superior a oznaˇcuje lim sup an infimum ze vˇsech hromadn´ ych bod˚ u posloupnosti se naz´ yv´a limes inferior a oznaˇcuje lim inf an Pˇ r.
1 5 9 1 9 17 1 3 5 0, , , , 1, , , , 2, , , , 3, . . . 2 2 2 4 4 4 8 8 8 lim sup an = ∞, lim inf an = 0 posloupnost s nekoneˇcnˇe vysok´ ym poˇctem hromadn´ ych bod˚ u 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1 , , , , , , , , , , , , , , , ,... 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 16 16 16 16 32 lim sup an = 1, lim inf an = 0 Restrikc´ı (z´ uˇzen´ım) zobrazen´ı a : N → R na nekoneˇcnou mnoˇzinu J ⊆ N dost´av´ame vybranou podposloupnost. Vˇ eta M´a-li posloupnost {an }∞ y bod a, pak existuje jej´ı vybran´a podposloupnost, kter´a n=1 hromadn´ konverguje k a. Vˇ eta (Bolzano, Weierstrass) Pro kaˇzdou omezenou posloupnost {an }∞ ı vybran´a podposloupnost, kter´a je n=1 existuje jej´ konvergentn´ı.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
14 Re´aln´e posloupnosti - teorie
50
V´ ypoˇ cty limit ∞ {an }∞ ımi limitami. Pak plat´ı n´asleduj´ıc´ı vztahy: n=1 , {bn }n=1 posloupnosti s vlastn´ 1. lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn 2. lim(an · bn ) = lim an · lim bn 3. lim Pˇ r. lim
an bn
=
lim an lim bn
n3 ( n1 + n12 + n23 ) n2 + n + 2 =0 = lim n3 − 1 n3 (1 − n13 )
Poˇc´ıt´ame-li limitu v´ yr´az˚ u typu
P , Q
plat´ı:
P 1. lim Q = ±∞, pro degP > degQ P = 0, pro degP < degQ 2. lim Q P 3. lim Q = pod´ıl lc, pro degP = degQ
Vˇ eta V R plat´ı, ˇze posloupnost je konvergentn´ı ⇐⇒ cauchyovsk´a. D˚ ukaz ı, tj. konverguje k a ∈ R, 1) ⇒: Pˇredpokl´adejme, ˇze posloupnost {an }∞ n=1 je konvergentn´ tzn. pro ∀ > 0, tedy i pro 2 (> 0), existuje N ∈ N tak, ˇze |an − a| < 2 pro ∀n ≥ N a tak´e |am − a| < 2 pro ∀m ≥ N . Pak pro m, n ≥ N je |am − an | = |am − a + a − an | ≤ |am − a| + |an − a| < . Posloupnost je tedy tak´e cauchovsk´a. 2) ⇐: Pˇredpokl´adejme, ˇze posloupnost {an }∞ a. Pˇredpokl´adejme d´ale, ˇze n=1 je cauchyovsk´ 0 00 posloupnostt m´a 2 hromadn´e body a , a ∈ R. Tzn. existuje vybran´a podposloupnost {aki }∞ i=1 , kter´a konverguje k bodu a0 , tzn. pro ∀ > 0, tedy i pro 3 , ∃ N1 ∈ N tak, ˇze |aki − a0 | < 3 pro ∀ki ≥ N1 a existuje vybran´a podposloupnost {ali }∞ a konverguje k bodu a00 , tzn. i=1 , kter´ ∀ > 0, tedy i pro 3 , ∃ N2 ∈ N tak, ˇze |ali − a00 | < 3 pro ∀li ≥ N2 . Protoˇze je posloupnost cauchyovsk´a, existuje tak´e N ∈ N tak, ˇze |aki − ali | < 3 ∀ki , li ≥ N . Nyn´ı vezmeme N0 = max{N1 , N2 , N } Pak pro ki , li ≥ N0 je |a0 −a00 | = |a0 −aki +aki −ali +ali −a00 | = |a0 −aki |+|aki −ali |+—a00 −ali | < . Uk´azali jsme, ˇze pro kaˇzd´e > 0 splˇ nuj´ı hromadn´e body a0 , a00 podm´ınku |a0 − a00 | < . Tzn. 0 00 a = a , tedy posloupnost m´a jedin´ y hromadn´ y bod ⇒ t´ım p´adem je konvergentn´ı. D˚ usledek R je u ´pln´ y metrick´ y prostor, tzn. kaˇzd´a cauchyovsk´a posloupnost je zde konvergentn´ı.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
14 Re´aln´e posloupnosti - teorie
51
Stolzova vˇ eta {bn }∞ je (alespoˇ n od nˇejak´eho indexu) rostouc´ı posloupnost, tj lim bn = ∞. n=1 s´ı posloupnost. {an }∞ n=1 dalˇ Pak plat´ı: lim
an an − an−1 = lim bn bn − bn−1
D˚ ukaz Pˇredpokl´ad´ame, ˇze lim
an − an−1 =l bn − bn−1
tzn. pro ∀ > 0, tedy i pro 2 , ∃ N ∈ N tak, ˇze pro ∀n ≥ N je l−
an − an−1 <
Vezmeme-li tedy jak´ekoliv n > N (pevnˇe vybran´e n), tak potom vˇsechny zlomky an−1 − an−2 an − an−1 aN +1 − aN aN +2 − aN +1 aN +3 − aN +2 , , , ... , , bN +1 − aN bN +2 − aN +1 bN +3 − aN +2 bn−1 − an−2 bn − an−1 leˇz´ı mezi l −
2
a l + 2 . Mezi l −
2
a l+
2
leˇz´ı potom i zlomek an − aN bn − bN
({bn } rostouc´ ı ⇒ jmenovatel´e zlomk˚ u jsou kladn´e ⇒ m˚ uˇzeme vz´ıt pr˚ umˇer ˇcitatel˚ u i jmeno pr˚ umˇer ˇcitatel˚ u vatel˚ u ⇒ dost´av´ame tak n´aˇs zlomek). pr˚ umˇer jmenovatel˚ u Pak plat´ı: an − aN bn − bN − l < 2 Poˇc´ıt´ame: 1) an aN − lbN bN an − aN −l = + 1− −l bn bn bn bn − bN V´ ypoˇcet aN − lbN bN an − aN aN − lbN bn − bN an − aN + 1− −l = + −l = bn bn bn − bN bn bn bn − bN aN − lbN bn − bN an − aN − lbn + lbN aN − lbN an − aN − lbn + lbN + = + = = bn bn bn − bN bn bn =
an − lbn an lbn an = − = −l bn bn bn bn
2) an − l ≤ aN − lbN + 1 − bN an − aN − l bn bn bn bn − bN SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
14 Re´aln´e posloupnosti - teorie
52
V´ ypoˇcet - v´ıme, ˇze plat´ı an − aN aN − lbN b N < bn − bN − l < 2 , 1 − bn < 1 ⇒ staˇc´ı uk´azat, ˇze 2 bn Pamatujeme, ˇze lim bn = ∞ ⇒ zlomek bude nab´ yvat nekoneˇcnˇe mal´ ych hodnot (< 2 ). ⇓ Po tˇechto v´ ypoˇctech n´am vyjde an − l < , tzn. lim an = l. bn bn
Pˇredpokl´adejme nyn´ı, ˇze lim
an − an−1 =∞ bn − bn−1
Tzn., ˇze an −an−1 > bn −bn−1 (alespoˇ n od urˇcit´eho indexu). Jenˇze {bn } je rostouc´ı posloupnost ⇒ {an } tak´e rostouc´ı posloupnost. lim bn = ∞ ⇒ lim an = ∞ Pak m˚ uˇzeme poˇc´ıtat lim
bn − bn−1 =0 an − an−1
Pro pˇr´ıpad vlastn´ıho ˇc´ısla (limity) je uˇz Stolzova vˇeta dok´az´ana. {an } je nyn´ı v´aˇznˇe rostouc´ı, tzn. bn lim =0 an a odtud m´ame an lim =∞ bn (T´ım je Stolzova vˇeta dok´az´ana pro vlastn´ı i nevlastn´ı limity.)
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
14 Re´aln´e posloupnosti - teorie
53
Pˇ r.
1K + 2K + 3K + . . . + nK nK+1 9 , c3 = 36 ... napˇr. pro K = 3 m´ame c1 = 1, c2 = 16 81 cn =
limcn =? 1K + 2K + 3K + . . . + nK 1K + 2K + . . . + nK − (1K + 2K + . . . + (n − 1)K ) lim = lim = nK+1 nK+1 − (n − 1)K+1 nK
= lim nK+1 − (n − 1)(nK −
= lim
K 1
! nK−1 +
K
! nK−2 −
2
K 3
=
! nK−3 + . . . + (−1)K
nK nK 1 = lim = K+1 K+1 K K K K n −n + kn + n + niˇzs´ı mocniny kn + n + niˇzs´ı mocniny K +1
⇒ pro K = 3 n´am vyjde lim cn =
SA1
1 4
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
15 Re´aln´e posloupnosti - cviˇcen´ı
15
54
Re´ aln´ e posloupnosti - cviˇ cen´ı
I. ˇ c´ ast 1. Zakreslete zobrazen´ı f : N → R dan´e pˇredpisem f (x) = 2 − x1 . Jde o re´alnou posloupnost, kterou lze tak´e zapsat jako {an } (nˇekdy se tak´e p´ıˇse {an }∞ n=1 ), 1 kde an = 2 − n . 2. a) Definujte pojem vlastn´ı limita re´aln´e posloupnosti {an }. b) Definujte pojem nevlastn´ı limita re´aln´e posloupnosti {an }. n = 1. n→∞ n + 1 N´apovˇeda: ukaˇzte, ˇze ke kaˇzd´emu > 0 existuje N = N () takov´e, ˇze pro vˇsechna n > N plat´ı |an − 1| < .
3. a) Pomoc´ı definice limity posloupnosti dokaˇzte, ˇze lim
b) Doplˇ ntˇe tabulku:
0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001
Nmin (−1)n+1 = 0. n→∞ n
4. a) Pomoc´ı definice limity posloupnosti dokaˇzte, ˇze lim b) Doplˇ ntˇe tabulku:
0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001
Nmin 1 = 1. n→∞ n! N´apovˇeda: ukaˇzte, ˇze ke kaˇzd´emu > 0 existuje N = N () takov´e, ˇze pro vˇsechna n > N plat´ı |an − 1| < .
5. a) Pomoc´ı definice limity posloupnosti dokaˇzte, ˇze lim
b) Doplˇ ntˇe tabulku:
0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001
Nmin 6. a) Dokaˇzte, ˇze lim (−1)n n. = ∞, tj. ˇze dan´a posloupnost diverguje. n→∞
N´apovˇeda: ukaˇzte, ˇze ke kaˇzd´emu K > 0 existuje N = N (K) takov´e, ˇze pro vˇsechna n > N plat´ı |an | < K. b) Doplˇ ntˇe tabulku: K
10 100 1000 10000
Nmin 7. Rozhod’nˇete, zda je posloupnost {2, 1 12 , 1 14 , 1 18 , . . .} monot´onn´ı a pokuste se odhadnout jej´ı limitu. [1] SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
15 Re´aln´e posloupnosti - cviˇcen´ı
8. Odhadnˇete limn→∞
n . 2n
55
[0]
9. Spoˇctˇete n´asleduj´ıc´ı limity: n−1 ; n→∞ n + 1 b) lim (−1)n 0, 999n ; a) lim
n→∞
2n + 1 ; n→∞ 2n 2n + 3 d) lim ; n→∞ 1 − 4 · 2n 5 e) lim 2 − ; n→∞ 2n √ n f) lim 3; c) lim
n→∞
n2 + 2 ; n→∞ 4n2 + 1 sin n ; lim n→∞ n 2n + sin n lim ; n→∞ 3n − 1 n2 ; lim n→∞ n − 1 n2 + 1 lim 3 ; n→∞ n + 5n − 7 1 + (−1)n ; lim n→∞ 2 (n + 2)! + (n + 1)! lim ; n→∞ (n + 2)! − (n + 1)!
[0] [1] [− 14 ] [2] [1]
g) lim
[ 41 ]
h)
[0]
i) j) k) l) m)
1 + (−1)n ; n→∞ 2 3n2 − 123n − 1000 ; lim n→∞ 2n2 + n −n2 lim ; n→∞ 1000n + 2 n3 + 12n2 + 12n + 12 ; lim n→∞ n4 − 1 n + (−1)n lim ; n→∞ n − (−1)n (n + 1)(n + 2)(n + 3) lim ; n→∞ n3 1 lim ; n→∞ (1 − n)2
n) lim o) p) q) r) s) t)
SA1
[1]
[ 32 ] [∞] [0] [neexistuje] [1] [neexistuje] [ 23 ] [−∞] [0] [1] [1] [0]
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
15 Re´aln´e posloupnosti - cviˇcen´ı (−1)n ; n→∞ n nn ; v) lim n→∞ n! 2n w) lim ; n→∞ n! u) lim
SA1
56
[0] [∞] [0]
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
15 Re´aln´e posloupnosti - cviˇcen´ı
57
II. ˇ c´ ast 1. Urˇcete hodnotu n´asleduj´ıc´ıch v´ yr´az˚ u: 1 2 n−1 a) lim ; + + ... + n→∞ n2 n2 n2 N´apovˇeda: Je tˇreba vyuˇz´ıt vztahu 1 + 2 + . . . + k = . . . 2 1 22 (n − 1)2 b) lim ; + + ... + n→∞ n2 n2 n2 N´apovˇeda: Je tˇreba vyuˇz´ıt vztahu 12 + 22 + . . . + k 2 = dokaˇzte matematickou indukc´ı. 2 1 32 (2n − 1)2 c) lim ; + + ... + n→∞ n3 n3 n3
k(k+1)(2k+1) , 6
[ 21 ]
[ 31 ] kter´ y si nejprve
N´apovˇeda: Zkuste si nejprve odvodit vztah pro 12 + 32 + . . . + (2k − 1)2 = 1)2 = . . . = k(2k−1)(2k+1) 3 1 1 1 d) lim + + ... + ; n→∞ 1·2 2·3 n(n + 1) n X k 3 + 6k 2 + 11k + 5 e) lim ; n→∞ (k + 3)! k=1
[ 34 ] Pk
i=1 (2i −
[1] [ 53 ]
N´apovˇeda: Snahou je, naj´ıt v polynomu k 3 + 6k 2 + 11k + 5 ˇcinitel (k + 1)!, kter´ y by se zkr´atil. To se bohuˇzel nepovede, ale zkuste rozloˇzit na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u polynom k 3 + 6k 2 + 11k + 5 + 1. 2. Definujte pojem hromadn´ y bod posloupnosti. 3. Urˇcete hromadn´e bofy posloupnosti: a) b)
1 ; 2 1 ; 2
1 ; 2 1 ; 3
1 ; 4 2 ; 3
3 ; 4 1 ; 4
c) an = 3 1
n 7 ; . . . ; 21n ; 2 2−1 n ;... 8 3 1 2 3 4 ; ; ; ; ;... 4 5 5 5 5 − n1 + 2(−1)n
1 ; 8 2 ; 4
[0, 1] [vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla v intervalu h0, 1i] [1, 5]
4. Definujte pojem limes superior a limes inferior posloupnosti {an }. 5. Odhadnˇete lim inf an a lim sup an : n→∞
n→∞
a) an = (−1)n−1 2 + b) an =
(−1)n n
+
c) an = (−1)n n d) an = n
SA1
(−1)n
3 n
1+(−1)n 2
[−2, 2] [0, 1] [−∞, ∞] [0, ∞]
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
16 Funkce re´aln´e promˇenn´e - teorie
16 16.1
58
Funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e - teorie ´ Uvod
f : R → R - re´aln´a funkce re´aln´e promˇenn´e (f : N → R = posloupnosti) Domf = definiˇcn´ı obor Imf = obor hodnot pˇr´ıklady netradiˇcn´ıch“ funkc´ı: ” 1. Dirichletova funkce
( χ(x) =
1
pro x ∈ Q
0
pro x 6∈ Q
2. Riemannova funkce ( ρ(x) =
1 q
pro x ∈ Q (x = pq )
0
pro x 6∈ Q
3. ( λ(x) =
k pokud je v desetinn´em rozvoji ˇc´ısla x ˇc´ıslice 7 zastoupena k-kr´at −1 pokud je v desetinn´em rozvoji ˇc´ısla x ˇc´ıslice 7 zastoupena nekoneˇcnˇe mnohokr´at
λ(3, 7) = 1 λ(3) = 0 λ( 71 ) = −1 ⇒ na ˇza´dn´ım intervalu tato funkce nen´ı shora omezen´a restrikce (= z´ uˇ zen´ı) - vybr´an´ı podmnoˇziny Domf Pˇ r. f (x) = x2 , provedeme restrikci z Domf = R na Domf = h0, 1i
y
y
x
(a) Domf = R
1
x
(b) Domf = h0, 1i
Obr´azek 19: Restrikce Domf
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
16 Funkce re´aln´e promˇenn´e - teorie
59
extenze (= rozˇ s´ıˇ ren´ı) - vezmeme nadmnoˇzinu Domf a dodefinujeme funkˇcn´ı hodnoty y
x
Obr´azek 20: Extenze Domf
16.2
Vlastnosti funkce
1. Omezenost funkce: a) shora omezen´ a na mnoˇzinˇe M ∃ a ∈ R takov´e, ˇze pro ∀x ∈ M plat´ı, ˇze f (x) ≤ a b) zdola omezen´ a na mnoˇzinˇe M ∃ a ∈ R takov´e, ˇze pro ∀x ∈ M plat´ı, ˇze f (x) ≥ a c) omezen´ a (ohraniˇ cen´ a), je-li na mnoˇzinˇe M omezen´a shora i zdola 2. Monot´ onnost funkce: a) rostouc´ı x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf b) klesaj´ıc´ı x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf c) neklesaj´ıc´ı x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf d) nerostouc´ı x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf e) konstantn´ı x1 < x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf monotonnie - a), b), c) nebo d) ryz´ı monotonnie - a) nebo b) SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
16 Funkce re´aln´e promˇenn´e - teorie
60
3. Sudost/lichost Pro sudou ˇci lichou funkci mus´ı platit, aby mˇela soumˇern´ y Domf podle 0, tzn. x ∈ Domf ⇐⇒ −x ∈ Domf .
a) sud´ a funkce - f (x) = f (−x) Pˇ r.: cos x, x2 , . . . b) lich´ a funkce - f (x) = −f (−x) Pˇ r.: sin x, x3 , . . .
y
y
x
x (a) Sud´ a funkce
(b) Lich´a funkce
Obr´azek 21: Sudost/lichost funkce
4. Periodicita 1) existuje p > 0 tak, ˇze ∀x ∈ Domf plat´ı, ˇze f (x) = f (x + p) 2) mezi takov´ ymi p lze vybrat nejmenˇs´ı ⇒ perioda Pˇ r. f (x) = sin x ⇒ p = 2π Dirichtelova funkce periodick´a nen´ı, protoˇze nelze vybrat nejmenˇs´ı p.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
17 Funkce re´aln´e promˇenn´e - cviˇcen´ı
17
61
Funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e - cviˇ cen´ı
Grafy funkc´ı - naˇcrtnˇete grafy funkc´ı: x
−x
2
3
−1
1 2
x ; 2
1. e ; e ; log0,2 x; ln x; x ; x ; x ; x ; sin x; sin 2x; sin tg x; sinh x = ... −x−5 2. f1 (x) = 2 − 3−(x−1) ; f2 (x) = 1e ; f( x) = |31−x − 1|. 3. g1 (x) = log 1 (5 − x) − 4 + 2; g2 (x) = ln(x + 2).
ex −e−x 2
; cosh x;
e
4. h1 (x) = arcsin x; h2 (x) = arccos x; h3 (x) = arctg x; h4 (x) = arccotg x 5. f1 (x) = (x − 1)(x + 2); f2 (x) = (x + 1)(x − 2)(x + 3); f3 (x) = (1 − x2 )(2 + x); f4 (x) = x2 − x4 . Definiˇ cn´ı obor funkce q ; 6. f (x) = (x − 2) 1+x 1−x 7. f (x) =
√
[h−1, 1i]
−x2 + 8x − 12;
[h2, 6i]
√
2 + x − x2 ; √ √ 9. f (x) = log −x2 + 8x − 12 − 3 ; 2x 10. f (x) = arcsin x+1 ; 8. f (x) =
11. f (x) =
[h−1, 2i] [h3, 5i] [h− 31 , 1i]
x2 . x+1
[x 6= −1]
Monotonnost - Dokaˇzte, ˇze dan´e funkce jsou na dan´em intervalu ostˇre rostouc´ı, resp. ostˇre klesaj´ıc´ı: 12. f (x) = x2 pro x ∈ (0, ∞); 13. f (x) = tg x pro x ∈ − π2 , π2 ; 14. f (x) = cos x pro x ∈ (0, π). Inverzn´ı funkce - Najdˇete inverzn´ı funkci a urˇcete jej´ı definiˇcn´ı obor: 15. f (x) = x2 pro x ∈ (−∞, 0); √ 16. f (x) = 1 − x2 pro x ∈ h−1, 0i; 17. f (x) =
SA1
1−x 1+x
pro x 6= −1.
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
17 Funkce re´aln´e promˇenn´e - cviˇcen´ı
62
Sudost, lichost - Rozhodnˇete u dan´ ych funkc´ı: 1−x 18. f (x) = ln 1+x ; √ 19. f (x) = ln x + 1 + x2 ;
[lich´ a] [lich´ a]
20. f (x) = ax + a−x pro a > 0.
[sud´ a]
Infimum a supr´ emum - Urˇcete u n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı: 21. f (x) = x2 pro x ∈ (−2, 5); 22. f (x) = x +
1 x
pro x ∈ (0, ∞);
23. Dokaˇzte, ˇze funkce f (x) =
SA1
x 1+x
pro x ∈ h0, ∞) m´a infimum m = 0 a supr´emum M = 1.
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
18 Limita funkce - teorie
18 18.1
63
Limita funkce - teorie Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇ e
ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) m´a v bodˇe x0 limitu a a p´ıˇseme lim f (x) = a
x→x0
jestliˇze pro ∀O(a) bodu a ∃ ryz´ı okol´ı O(x0 ) bodu x0 tak, ˇze ∀x ∈ O(x0 ) plat´ı, ˇze f (x) ∈ O(a). y b a
x0
x
Obr´azek 22: Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe
18.2
Limita zprava
O+ (x0 ) = (x0 , x0 + ) - ryz´ı okol´ı zprava x0
Obr´azek 23: Ryz´ı okol´ı zprava O− (x0 ) = (x0 − , x0 ) - ryz´ı okol´ı zleva x0
Obr´azek 24: Ryz´ı okol´ı zleva ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) m´a v bodˇe x0 limitu zprava a a p´ıˇseme lim f (x) = a
x→x+ 0
jestliˇze pro kaˇzd´e O(a) bodu a ∃ O(x0 ) bodu x0 tak, ˇze ∀x ∈ O+ (x0 ) plat´ı, ˇze f (x) ∈ O(a).
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
18 Limita funkce - teorie
18.3
64
Nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇ e
ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) m´a v bodˇe x0 limitu rovnu ∞ a p´ıˇseme lim f (x) = ∞
x→x0
jestliˇze pro ∀K ∈ R ∃ ryz´ı okol´ı O(x0 ) bodu x0 tak, ˇze pro ∀x ∈ O(x0 ) plat´ı, ˇze f (x) > K. y
x
Obr´azek 25: Nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe Obdobnˇe pro nevlastn´ı limitu rovnu −∞ lim f (x) = −∞
x→x0
jestliˇze pro ∀K ∈ R ∃ ryz´ı okol´ı O(x0 ) bodu x0 tak, ˇze pro ∀x ∈ O(x0 ) plat´ı, ˇze f (x) < K.
18.4
Vlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇ e
ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) m´a v ∞ limitu rovnu a a p´ıˇseme lim f (x) = a
x→∞
jestliˇze pro kaˇzd´e O(a) bodu a ∃ L ∈ R takov´e, ˇze pro ∀x > L plat´ı, ˇze f (x) ∈ O(a). y a
x
Obr´azek 26: Vlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇe
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
18 Limita funkce - teorie
18.5
65
Nevlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇ e
ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) m´a v ∞ limitu rovnu ∞ a p´ıˇseme lim f (x) = ∞
x→∞
jestliˇze pro ∀K ∈ R ∃ L ∈ R tak, ˇze pro ∀x > L plat´ı, ˇze f (x) > K. y K
L
x
Obr´azek 27: Nevlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇe Vˇ eta Funkce m´a v bodˇe (vlastn´ım nebo nevlastn´ım) nejv´ yˇse jednu limitu. Vˇ eta lim f (x) existuje ⇐⇒ existuje
x→x0
lim f (x) ∧ existuje lim+ f (x) a
x→x0 −
x→x0
a
lim f (x) = lim+ f (x)
x→x0 −
x→x0
a
x0
x0
a
x0
Obr´azek 28: Existence limity
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
19 Limita funkce - cviˇcen´ı
19
66
Limita funkce - cviˇ cen´ı
1. Definujte (pomoc´ı a δ) vlastn´ı limitu funkce f : R → R ve vlastn´ım bodˇe. 2. Definujte vlastn´ı limitu funkce f : R → R v nevlastn´ım bodˇe. 3. Definujte nevlastn´ı limitu funkce f : R → R ve vlastn´ım bodˇe. 4. Urˇcete limitu funkc´ı pro x → 0: a) f (x) = x2 + 1 ( x2 + 1 pro x 6= 0 b) g(x) = −1 pro x = 0 5. Odhadnˇete limitu funkc´ı pro x → 0: a) f (x) = x3 − 2 ( x3 − 2 pro x 6= 0 b) g(x) = 1 pro x = 0 6. Spoˇctˇete limity: x2 − 4 x→2 x − 2 1 b) lim 1 x→∞ 1 + e x cos x − sin x c) limπ x→ 4 cos 2x
[4]
a) lim
cos2 x x→∞ x 1 lim+ arctg x→0 x 3 sin x lim+ − 1 x→0 e x x − sin x lim x→∞ x + cos x √ x2 − x lim √ x→1 x−1
√
[
2 ] 2
d) lim
[0]
e)
[ π2 ]
f) g) h)
x3 − 2x − 1 x→−1 x5 − 2x − 1
i) lim
SA1
[ 21 ]
[∞] [1] [3] [ 31 ]
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
20 Spojitost funkce - teorie
20
67
Spojitost funkce - teorie
Spojitost v bodˇ e Funkce f (x) je spojit´a v bodˇe x0 , jestliˇze lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Spojitost na mnoˇ zinˇ e ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je spojit´a na mnoˇzinˇe M , jestliˇze je spojit´a v kaˇzd´em bodˇe x ∈ M . Dirichletova funkce - nen´ı spojit´a v ˇza´dn´em bodˇe (protoˇze v ˇza´dn´em bodˇe neexistuje limita) Riemannova funkce - v x0 = 0 spojit´a nen´ı, protoˇze ρ(0) = 1 6= 0 = lim ρ(x) x→0
Je spojit´a v irracion´aln´ıch ˇc´ıslech, tj. skoro vˇsude“. ” 1. vˇ eta Weierstrassova Funkce spojit´a na uzavˇren´em intervalu je na tomto intervalu ohraniˇcen´a. 2. vˇ eta Weierstrassova Funkce spojit´a na uzavˇren´em intervalu nab´ yv´a na tomto intervalu sv´eho maxima i minima. 1. vˇ eta Bolzanova Uvaˇzujme funkci f (x) pojitou na uzavˇren´em intervalu ha, bi takovou, ˇze f (a) · f (b) < 0. Pak existuje c ∈ ha, bi tak, ˇze f (c) = 0. y
a
c
b
x
Obr´azek 29: 1. Bolzanova vˇeta 2. vˇ eta Bolzanova Opˇet mˇejme funkce f (x) spojitou na uzavˇren´em intervalu. Zde nab´ yv´a vˇsech hodnot mezi sv´ ym maximem a minimem na tomto intervalu.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
20 Spojitost funkce - teorie
68
Browerova vˇ eta (O pevn´em bodˇe) Uvaˇzujme funkce f (x) spojitou na intervalu ha, bi, f (ha, bi) = ha, bi . . . spojit´e zobrazen´ı ha, bi do sebe. Pak existuje c ∈ ha, bi tak, ˇze f (c) = c. y b
a
a c1
c2 b
x
Obr´azek 30: Browerova vˇeta D˚ ukaz Je-li f (a) = a, pak vezmeme c = a. Je-li f (b) = b, pak vezmeme c = b. Pˇredpokl´adejme, ˇze f (a) 6= a a f (b) 6= b. Vezmˇeme funkci g(x) = x − f (x). ⇒ g(a) > 0, g(b) < 0 ⇒ g(a) · g(b) < 0. Funkce g(x) tak splˇ nuje pˇredpoklady 1. Bolzanovy vˇ ety ⇒ existuje c takov´e, ˇze g(c) = 0. 0 = g(c) = c − f (c) pak c = f (c) Znovu definice spojitosti funkce f v bodˇ e x0 ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je spojit´a v bodˇe x0 , jestliˇze pro ∀ okol´ı bodu f (x0 ) O(f (x0 )) existuje okol´ı bodu x0 O(x0 ) tak, ˇze pro ∀x ∈ O(x0 ) plat´ı, ˇze f (x) ∈ O(f (x0 )). Nyn´ı nahrad´ıme O(f (x0 )) v´ yrazem (f (x0 ) − , f (x0 ) + ) a O(f (x0 )) v´ yrazem (f (x0 ) − δ, f (x0 ) + δ). Spojitost na mnoˇ zinˇ e M (bodovˇe) ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je bodovˇe spojit´a na mnoˇzinˇe M , jestliˇze pro ∀x0 ∈ M a pro ∀O(f (x0 )) bodu f (x0 ) existuje Oδ (x0 ) (δ-okol´ı, tj. (x0 − δ, x0 + δ)) tak, ˇze pro ∀x ∈ Oδ (x0 ) plat´ı, ˇze f (x0 ) ∈ O(f (x0 )). ⇒ δ je z´avisl´e na v´ ybˇeru x0 , tj. nen´ı univerz´aln´ı pro mnoˇzinu M
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
20 Spojitost funkce - teorie
69
Stejnomˇ ern´ a spojitost Funkce f je stejnomˇernˇe spojit´a na mnoˇzinˇe M , jestliˇze pro ∀x0 ∈ M a pro ∀O(f (x0 )) (s pevn´ ym ) bodu f (x0 ) existuje Oδ (x0 ) bodu x0 tak, ˇze pro ∀x ∈ Oδ (x0 ) (tj. (x0 −δ, x0 +δ)) plat´ı, ˇze f (x0 ) ∈ O(f (x0 )). Nyn´ı chmeme δ univerz´aln´ı. stejnomˇ ernˇ e spojit´ a ⇒ bodovˇ e spojit´ a Vˇ eta Heineho Funkce spojit´a na uzavˇren´em intervalu je zde stejnomˇernˇe spojit´a.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
21 Spojitost funkce - cviˇcen´ı
21
70
Spojitost funkce - cviˇ cen´ı
1. Rozhodnˇete, zda je funkce v bodˇe x0 = 0 spojit´a: ( sin x pro x 6= 0 |x| a) f (x) = 1 pro x = 0 ( sin x pro x 6= 0 x b) f (x) = 1 pro x = 0 ( sin x1 pro x 6= 0 c) f (x) = 1 pro x = 0
[ne]
[ano]
[ne]
2. Metodou p˚ ulen´ı intervalu najdˇete pˇribliˇzn´e ˇreˇsen´ı rovnice ex +x = 0 v intervalu h−1, 0i s pˇresnost´ı 0, 2, v´ıte-li, ˇze ˇreˇsen´ı je na tomto intervalu pr´avˇe jedno. N´apovˇeda: Vyuˇzijte Bolzanovu vˇetu, kter´a ˇr´ık´a: Necht’ f (x) je spojit´a na ha, bi a f (a) · f (b) < 0 ⇒ . . .
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
22
71
Element´ arn´ı funkce - teorie
tj. takov´e, kter´e lze bez probl´em˚ u zderivovat (zintegrovat uˇz obt´ıˇznˇe) - mezi nejzn´amnˇejˇs´ı −x2 neelement´ arn´ı funkce patˇr´ı e , erf(x), Γx Na mnoˇzinˇe element´arn´ıch funkc´ı zavedeme operace: 1. sˇ c´ıt´ an´ı f + g = h zavedeme takto h(x) = f (x) + g(x)
y
y
y
=
+
1 x
1 x
x
Obr´azek 31: Sˇc´ıt´an´ı funkc´ı sˇc´ıt´ame po bodech (point-wise) 2. odeˇ c´ıt´ an´ı f − g = h 3. n´ asoben´ı f · g = h 4. dˇ elen´ı
f g
=h 2
5. umocnˇ en´ı - napˇr. (sin x)x , zavedeme tak´e po bodech
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
72
6. kompozice(skl´ ad´ an´ı) f ◦ g = f (g) . . . napˇred g a potom f (ˇcteme f po g)
g
Img
Domg f Imf Domf
Obr´azek 32: Kompozice funkc´ı m˚ uˇze se st´at, ˇze n´am vznikne pr´azdn´a funkce (tj. Img a Domf by byly disjunktivn´ı) ⇒ mnoˇziny mus´ı m´ıt nˇejak´ y pr˚ unik
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
22.1
73
Polynomy f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 x0
an 6= 0
an 6= 0 ⇒ polynom stupnˇe n promˇenn´e x a . . . koeficienty an xn . . . vedouc´ı ˇclen lt an . . . vedouc´ı koecifient lc 4x3 . . . monom (tj. pouze 1 nenulov´ y ˇclen) 11 . . . polynom stupnˇe 0 0 je polynom, ale nedefinovan´eho stupnˇe koˇ reny - takov´a r ∈ R, ˇze f (r) = 0 1. nulov´ y polynom f (x) = 0 vˇsechno je koˇrenem, tj ∀x ∈ R, sud´a i lich´a funkce z´aroveˇ n y
x
Obr´azek 33: Nulov´ y polynom
2. konstantn´ı f (x) = a, a 6= 0 sud´a funkce, nem´a ˇza´dn´ y koˇren y
x
Obr´azek 34: Konstatn´ı polynom
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
74
3. line´ arn´ı f (x) = ax + b, a 6= 0 1 koˇren: x1 = −
b a
y
x1
x
Obr´azek 35: Line´arn´ı polynom
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
75
4. kvadratick´ e f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0 0, 1 nebo 2 koˇreny: x1,2 =
−b ±
√ b2 − 4ac 2a
y y
x1
x2
x x1
(a) 2 re´ aln´e koˇreny
x
(b) Dvojn´asobn´ y koˇren y
x (c) 2 komplexn´ı koˇreny
Obr´azek 36: Kvadratick´e polynomy
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
76
5. kubick´ e f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0 1, 2 nebo 3 koˇreny (tj. alespoˇ n 1) - pro v´ ypoˇcet koˇren˚ u existuj´ı Cardanovy vzorce
y
y
x1
x2
x3
x
x1
(a) 3 re´ aln´e koˇreny
x2
x
(b) 3 re´aln´e koˇreny
y
x1
x
(c) 1 re´ aln´ y a 2 komplexnˇe sdruˇzen´e koˇreny
Obr´azek 37: Kubick´e polynomy
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
77
6. kvartick´ e f (x) = ax4 + bx3 + c2 x + dx + e, a 6= 0 0-4 koˇreny 7. 5. stupnˇ e 1-5 koˇren˚ u ⇒ alespoˇ n1 polynomy od 5. stupnˇe v´ yˇs - pro v´ ypoˇcet koˇren˚ u nejsou obecn´ e vzorce a nikdy nebudou (Abel) → koˇreny lze pˇribliˇznˇe zjistit tipovac´ı“ metodou = p˚ ulen´ım interval˚ u ” Z´ akladn´ı vˇ ety algebry Polynom stupnˇe n m´a n koˇren˚ u ∈ C, pokud poˇc´ıt´ame jejich n´asobnost x2 + 2x + 1 = 0 ⇒ x1,2 = −1 Pn = (x − r1 )(x − r2 ) . . . (x − rn ) rozklad na re´aln´e souˇcinitele → line´ arn´ı a kvardatick´ e (na tzv. nerozloˇziteln´e) kaˇzd´ y koˇren ∈ C m´a v rozkladu i sv˚ uj komplexnˇe sdruˇzen´ y koˇren → vyn´asoben´ım z´ısk´ame koˇren ∈ R Pˇ r. f (x) = x6 − x5 + 4x4 − 4x3 + 4x2 − 4x f (x) = x2 (x4 + 4x2 + 4) − x(x4 + 4x2 + 4) = (x2 − x)(x2 + 2)2 = x(x − 1)(x2 + 2)2 Pˇ r. f (x) = x4 + 1 √ √ f (x) = x4 + 2x2 + 1 − 2x2 = (x2 + 1)2 − 2x2 = (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1)
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
22.2
78
Racion´ aln´ı funkce f (x) =
P (x) Q(x)
P (x), Q(x) - polynomy; pokud Q(x) = 1 ⇒ racion´ aln´ı funkce celistv´ a (= polynom) jmenovatel nesm´ı b´ yt nulov´ y ⇒ omezen´ı Domf a) ryz´ı racion´aln´ı funkce - degP < degQ b) neryz´ı racion´aln´ı funkce - degP ≥ degQ ⇒ pˇrevod na souˇcet polynomu a ryz´ı racion´aln´ı funkce
kaˇzdou racion´aln´ı funkce pˇrevedeme na souˇcet parci´ aln´ıch zlomk˚ u (pozdˇeji d˚ uleˇzit´e pˇri integraci) typu: 1.
A , x−r
2.
A , (x−r)k
3.
Ax+B , x2 +px+q
4.
Ax+B (x2 +px+q)k
r . . . koˇren Q(x) k≥2 x2 + px + q . . . nerozloˇziteln´ y souˇcinitel Q(x)
Postup pro urˇ cen´ı parci´ aln´ıch zlomk˚ u
1. pˇrevod neryz´ı racion´aln´ı funkce a souˇcet polynomu a ryz´ı racion´aln´ı funkce 2. rozklad Q(x) je-li nˇejak´ y souˇcinitel v mocninˇe k, tak budeme m´ıt zlomky s dan´ ym souˇcinitelem v mocninˇe 1 aˇz k Pˇ r. x5 (x − 1)2 ⇒ A B C D E F G + 2+ 3+ 4+ 5+ + x x x x x x − 1 (x − 1)k P (x) a Q(x) rovnici vyn´asob´ıme polynomem Q(x) ⇒ metoda neurˇ cit´ ych koeficient˚ u - porovn´av´ame koeficienty u jednotliv´ ych mocnin na obou stran´ach ⇒ soustava line´ arn´ıch rovnic
3. nyn´ı poloˇz´ıme n´ami nalezen´e zlomky rovny p˚ uvodn´ı racion´aln´ı funkci ve tvaru
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
79
Pˇ r. f (x) =
2x6 + x3 + 5 x5 + 4x4 + 5x3
1. pˇrevedeme f (x) na racion´aln´ı funkci ryz´ı - vydˇel´ıme 2x6 + x3 + 5 polynomem x5 + 4x4 + 5x3 ⇒ dostaneme f (x) = 2x − 8 +
22x4 + 41x3 + 5 x5 + 4x4 + 5x3
2. rozloˇz´ıme jmenovatele x5 + 4x4 + 5x3 = x3 (x2 + 4x + 5) 3. rozklad na parci´aln´ı zlomky 22x4 + 41x3 + 5 A B C Dx + E = + 2+ 3+ 2 5 4 3 x + 4x + 5x x x x x + 4x + 5 4. vyn´asob´ıme jmenovatelem a dostaneme 22x4 +41x3 +5 = Ax4 +4Ax3 +5Ax2 +Bx3 +4Bx2 +5Bx+Cx2 +4Cx+5C +Dx4 +Ex3 x0 : 5 = 5C x1 : 0 = 5B + 4C x2 : 0 = 5A + 4B + C x3 : 41 = 4A + B + E x4 : 22 = A + D ˇreˇsen´ım t´eto soustavy dost´av´ame A = dosazen´ı dostaneme
11 ,B 25
= − 45 , C = 1, D =
539 ,E 25
=
1001 25
a po
11 4 1 539x + 1001 2x6 + x3 + 5 = 2x − 8 + − 2+ 3+ 5 4 3 x + 4x + 5x 25x 5x x 25x2 + 4x + 5
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
22.3
80
Mocninn´ e funkce f (x) = xa
1. a ∈ N ⇒ polynom 2. a = 0 ⇒ konstantn´ı funkce y = 1 s Domf = R − {0} 3. a ∈ Z, a < 0 ⇒ xa =
1 x−a
⇒ racion´aln´ı funkce
4. a ∈ Q a) a = n1 , n ∈ N
1
xa = x n =
√ n
x
√ n x pˇredstavuje ˇc´ıslo, pro nˇeˇz plat´ı: p · p · ... · p = x v pˇr´ıpadˇe, ˇze jsou tato ˇc´ısla 2, tak pouze to kladn´ e z nich Pˇ r.
√ 4
16 = 2
n sud´e ⇒ Domf = h0, ∞) n lich´e ⇒ Domf = R y y
x x (a) y =
√
x
(b) y =
√
x
Obr´azek 38: Domf mocninn´ ych funkc´ı
b) a =
p q
(z´akladn´ı tvar ˇc´ısla pq , p ∈ Z, q ∈ N) p
xa = x q =
√ q
xp
3
Pˇ r. f (x) = x 7 ⇒ Domf = R − {0}
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
81
5. a ∈ R Vezmeme posloupnost {an }∞ ze lim an = a a an ∈ Q (racion´aln´ı posloupn=1 takovou, ˇ nost). Pak xa = xlim an = lim xan a Domf = (0, ∞).
22.4
Exponenci´ aln´ı funkce f (x) = ax
a > 0, Domf = R
y
y
1
y
1 x
1 x
(a) 0 < a < 1
(b) a = 1
x (c) a > 1
Obr´azek 39: Exponenci´aln´ı funkce Pozn. ex . . . pˇrirozen´a exponenci´aln´ı funkce
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
22.5
82
Logaritmick´ e funkce
inverzn´ı k funkc´ım exponenci´aln´ım f (x) = loga x (ay = x) a > 0, a 6= 1, Domf = (0, ∞)
y
ax ax
1
y
loga x 1 x
1
1
x
loga x (a) a > 1
(b) 0 < a < 1
Obr´azek 40: Logaritmick´e funkce obecn´ a pravidla pro logaritmy: log a · b = log a + log b log ab = log a − log b log ab = b · log a
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
22.6
83
Goniometrick´ e funkce
a) Zaveden´ı pomoc´ı jednotkov´e kruˇznice cotgx
tgx
sin x x cos x
Obr´azek 41: Jednotkov´a kruˇznice b) Zaveden´ı na troj´ uheln´ıku B
c
a
α C
b
A
Obr´azek 42: Zaveden´ı na troj´ uheln´ıku a c b cos α = c a sin α tg α = = b cos α b cos α cotg α = = a sin α c 1 sec α = = b cos α c 1 cosec α = = a sin α
sin α =
sin - lich´ y, perioda = 2π cos - sud´ y, perioda = 2π tg , cotg - lich´e, perioda = π
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
sec =
84
1 cos x
Domf = R − {(2n + 1) π2 }, n ∈ Z Imf = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) y
1
π 2
π
3 2π
2π
x
−1
Obr´azek 43: y = sec x cosec x =
1 sin x
Domf = R − {nπ}, n ∈ Z Imf = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) y
1
π 2
π
3 2π
2π
x
−1
Obr´azek 44: y = cosec x
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
85
c) Zaveden´ı pomoc´ı nekoneˇcn´ ych ˇrad
1+
1 1 1 1 + + + ... = 2 4 8 1−
s1 = a1 = 12 s2 = a1 + a2 = 32 s3 = a1 + a2 + a3 = .. .
1 2
=2⇒
∞ X 1 je konvergentn´ı n−1 2 n=1
7 4
sk = a1 + . . . + ak . . . souˇcet koneˇcn´eho poˇctu k ˇclen˚ u konvergentn´ı (form´aln´ı souˇcet s lim sk
k→∞
∞(−∞) divergentn´ı neexistuje osciluj´ıc´ı
nyn´ı ˇc´ısla nahrad´ıme funkcemi a) a1 + a2 + a3 + . . . =
∞ X
an
n=1
nekoneˇcn´a ˇc´ıseln´a ˇrada b) f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . =
∞ X
fn (x)
n=1
nekoneˇcn´a funkˇcn´ı ˇrada a) je speci´aln´ım pˇr´ıpadem b)
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
86
Pˇ r.
∞ X
xn
n=1
f1 = x, f2 = x2 , f3 = x3 , . . .
y
y
y
x
x x (a) f1 = x
(b) f2 = x2
(c) f3 = x3
Obr´azek 45: Nekoneˇcn´a funkˇcn´ı ˇrada
s(x) =
∞ X
fn (x)
n=1
pro x = 1 ⇒ 1 + 1 + 1 + 1 + . . . divergentn´ı ˇrada ale pro x =
1 2
1 1 1 1 + + + ... = 2 2 4 8 1−
1 2
=1
funkˇcn´ı ˇrada je konvergentn´ı v bodˇe x0 , jestliˇze tam konverguje jej´ı ˇc´ıseln´a ˇrada obor konvergence - mnoˇzina vˇsech takov´ ych x0 (oblast, kde je funkˇcn´ı ˇrada konvergentn´ı) u t´eto ˇrady (−1, 1)
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
Nyn´ı vezmˇeme
∞ X xn n=0
n!
87
=1+x+
x 2 x3 x4 + + + . . . = ex 2 6 24
y y
x x (a) y = 1
(b) y = x
y y
x x (c) y =
x2 2
(d) y =
x3 6
Obr´azek 46: Zaveden´ı ex ˇca´st 1
y
y y
x
x
x (a) s1
(b) s2
(c) s3
Obr´azek 47: Zaveden´ı ex ˇca´st 2 obor konvergence = R pro x = 1 ⇒ e = e1 = 1 + 1 + 21 + 16 +
SA1
1 24
+ ...
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
88
Zavedeme-li nyn´ı nekoneˇcnou ˇradu ∞
x−
X x2n−1 x5 x3 + − ... = (−1)n−1 6 120 (2n − 1)! n=1
dostaneme n´am zn´amou funkci sin x
y y
x x
(a) s1
(b) s2
Obr´azek 48: Zaveden´ı sin x atd. aˇz v´aˇznˇe dostaneme sin x obdobnˇe
∞
X x 2 x4 x6 x2n 1− + − + ... = (−1)n = cos x 2 24 720 (2n)! n=0 nyn´ı poˇc´ıtejme ix5 x2 ix3 x4 e = 1 + ix − − + + − . . . = cos x + i sin x 2 6 24 120 ix
tzv. eulerova identita, pro x = π ve tvaru eiπ + 1 = 0 ix5 x2 ix3 x4 + + − − . . . = cos x − i sin x 2 6 24 120 eix + e−ix ix −ix 2 cos x = e + e ⇒ cos x = 2 ix e − e−ix 2i sin x = eix − e−ix ⇒ sin x = 2i
e−ix = 1 − ix −
ex + e−x ex − e−x e = cosh x + sinh x ⇒ cosh x = , sinh x = 2 2 x
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
22.7
89
Cyklometrick´ e funkce
inverzn´ı k funkc´ım goniometrick´ ym, pˇredpona arc pro konstrukci mus´ıme vybrat prostou (injektivn´ı) ˇca´st 1. f (x) = arcsin x y = Sin x Domf = h− π2 , π2 i Imf = h−1, 1i
y
1
− π2
π 2
x
−1
Obr´azek 49: y = Sin x y −1 = arcsin x Domf −1 = h−1, 1i Imf −1 = h− π2 , π2 i
y
π 2
−1
x
1
− π2
Obr´azek 50: y = arcsin x
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
90
2. f (x) = arccos x y = Cos x Domf = h0, πi Imf = h−1, 1i
y 1
π 2
π
x
−1
Obr´azek 51: y = Cos x y −1 = arccos x Domf −1 = h−1, 1i Imf −1 = h0, πi
y
π
π 2
−1
x
1
Obr´azek 52: y = arccos x
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
91
3. f (x) = arctg x funkce lich´a, prost´a, pˇrev´ad´ı R2 na pˇr´ımku y = Tg x Domf = − π2 , π2
Imf = R y
− π2
π 2
x
Obr´azek 53: y = Tg x y −1 = arctg x Domf −1 = R Imf −1 = − π2 , π2
y π 2
x − π2
Obr´azek 54: y = arctg x
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
92
4. f (x) = arccotg x y = Cotg x Domf = (0, π) Imf = R y
π 2
π
x
Obr´azek 55: y = Cotg x y −1 = arccotg x Domf −1 = R Imf −1 = (0, π)
y π
π 2
x
Obr´azek 56: y = arccotg x
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
93
5. f (x) = arcsec x y = Sec x Domf = h0, πi −
π 2
Imf = R y
1
π 2
π
x
−1
Obr´azek 57: y = Sec x y −1 = arcsec x Domf −1 = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) Imf −1 = h0, πi − { π2 }
y π
π 2
−1
x
1
Obr´azek 58: y = arcsec x
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
94
6. f (x) = arccosec x y = Cosec x Domf = h− π2 , π2 i − {0} Imf = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) y
1
− π2
π 2
x
−1
Obr´azek 59: y = Cosec x y −1 = arccosec x Domf −1 = (−∞, −1i ∪ h1, ∞) Imf −1 = h− π2 , π2 i − {0}
y π 2
−1
x
1 − π2
Obr´azek 60: y = arccosec x
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
22 Element´arn´ı funkce - teorie
22.8
95
Hyperbolick´ e funkce
ex − e−x 2 x e + e−x cosh x = 2 sinh x tgh x = cosh x cosh x 1 cotgh x = = sinh x tgh , x 1 sech x = cosh x 1 cosech x = sinh x
sinh x =
y y
x
1 x (a) sinh x
(b) cosh x
Obr´azek 61: Hyperbolick´e funkce funkce rostou exponenci´ aln´ı rychlost´ı
22.9
Hyperbolometrick´ e funkce
inverzn´ı k hyperbolick´ ym (opˇet mus´ıme vyb´ırat jen urˇcit´e ˇca´sti) Pˇ r. f (x) = argsinh - argument hyperbolick´eho sinu
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
23 Element´arn´ı funkce - cviˇcen´ı
23 23.1
96
Element´ arn´ı funkce - cviˇ cen´ı Rozklad na parci´ aln´ı zlomky
U ryze lomen´ ych funkc´ı proved’te rozklad na parci´aln´ı zlomky. U neryze Lomen´ ych nejprve proved’te dˇelen´ı a teprve potom rozkl´aedejte. x4 + 3x2 + 4x + 5 1. x2 + 1 2.
x2 + 4x + 1 x−2
3.
x4 + 6x2 + x − 2 x4 − 2x3
4.
2x2 + 2x + 13 (x − 2)(x2 + 1)2
5.
4x + 3 x +2+ 2 x +1 13 x+6 x−2 2
1 (x +
1)(x2
+ x + 1)2
x4 − x3 + 3x2 − x + 1 6. x5 + 2x3 + x 7.
x3 − 4x2 + x − 2 x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1
8.
x2 − 2 x4 − 2x3 + 2x2
1 1 x − + (x2 + 1)2 x2 + 1 x x x − x2 + 1 (x − 1)2 1 x 1 − − 2+ 2 x x x − 2x + 2
Pro uk´azku pr´ace se softwarem Maple kliknˇete zde.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
24 Derivace - teorie
24 24.1
97
Derivace - teorie ´ Uvod
- analogie se silniˇcn´ım radarem - mˇeˇr´ı naˇsi okamˇzitou rychlost, tj. snaˇz´ı se zmˇeˇrit o kolik jsme se posunuli za co nejmenˇs´ı ˇcasov´ y okamˇzik ⇒ ∆t → 0 s ∆s s0
t0 ∆t
t
Obr´azek 62: Silniˇcn´ı radar Pak
∆s = s0 (t0 ) ∆t→0 ∆t
v(t0 ) = lim Definice derivace y
t f (x0 + h) f (x0 )
x0 x0 + h
x
Obr´azek 63: Definice derivace Derivac´ı funkce v bodˇe x0 rozum´ıme vlastn´ı limitu. Oznaˇcujeme ji y 0 (x0 ) =
dy (x0 ) dx
a zapisujeme f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h
y 0 (x0 ) = lim
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
24 Derivace - teorie
98
Vyjde-li limita ±∞, nepovaˇzujeme to za derivaci (tzv. nevlastn´ı derivace).
y
x
Obr´azek 64: Nevlastn´ı derivace Derivace zprava v bodˇe x0 lim+ =
x→x0
f (x) − f (x0 ) x − x0
Uvaˇzujeme li derivace funkce ve vˇsech bodech x0 → y 0 (x0 ), dostaneme derivaci funkce ⇒ dy 0 znaˇc´ıme y = dx → dost´av´ame novou funkci.
y
y
x
∆x (a) Nulov´ a derivace
∆x
x
(b) Kladn´a derivace
Obr´azek 65: Znam´enko derivace
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
24 Derivace - teorie
99
Plat´ı, ˇze Domf 0 ⊆ Domf , Domf − Domf 0 = {hroty}. Existuje dokonce funkce, kde Domf = R a Domf 0 = ∅ a f spojit´a R.
y
y
x
x (b) f 0 (x) =
(a) f (x) = ln x
1 x
Obr´azek 66: Porovn´an´ı grafu f a f 0 1
y
y
1
x
x (a) f (x) = |x|
−1 (b) f 0 (x) = sgn x
Obr´azek 67: Porovn´an´ı grafu f a f 0 2
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
24 Derivace - teorie
24.2
100
Z´ akladn´ı pravidla derivov´ an´ı
Pro funkci vyn´asobenou konstantou plat´ı (c · f )0 = c · f 0 Pro souˇcet dvou funkc´ı f + g plat´ı (f + g)0 = f 0 + g 0 Pro souˇcin f · g plat´ı (f · g)0 = f 0 · g + f · g 0 Pro pod´ıl
f g
plat´ı 0 f f 0 · g − f · g0 = g g2
Pro derivaci funkce inverzn´ı plat´ı f −1
0
=
1 f0
Pro derivaci funkce sloˇzen´e plat´ı (f (g))0 = f 0 (g) · g 0 Pro derivaci funkce umocnˇen´e na funkci plat´ı g 0
g·ln f 0
(f ) = e
SA1
=f
g
g · f0 g · ln f + f 0
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
24 Derivace - teorie
24.3
101
Pˇ rehled z´ akladn´ıch vzorc˚ u (xa )0 = a · xa−1 (ex ) = ex (ax )0 = ax ln a 1 x 1 (loga x) = x ln a 0 (sin x) = cos x (ln x)0 =
(cos)0 = − sin x 1 cos2 x 1 (cotg x)0 = − 2 sin x 1 (arcsin x)0 = √ 1 − x2 1 (arctg x)0 = 1 + x2 (sinh x)0 = cosh x (tg x)0 =
(cosh x)0 = sinh x (argsinh x)0 = √
24.4
1 1 + x2
Vyˇ sˇ s´ı derivace
(f 0 )0 = f 00 . . . druh´a derivace f d2 f f = dx2 00
f (25) - 25. derivace f pˇr: f (x) = ln x f (1) = x1 f (2) = − x12 f (3) = x23 f (4) = − x64 f (n) =
SA1
(−1)n−1 n − 1! xn
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
25 Derivace - cviˇcen´ı
25
102
Derivace - cviˇ cen´ı
Derivujte a d´ ale neupravujte 1. a) f (x) = 6x5 b) y = c) y =
3 x2
√ 3 x7
d) f (x) = π e) g(x) = sin2 x f) h(x) = sin x2 2. a) y = cos3 x3 b) y = ln(x2 + x − 1) c) f (x) = arctg (x2 + 1) d) k(x) = 5(sin(2x + 3)2 )3 3. a) y = sin3 (cos2 (tg x)) 4. a) y = (x2 + 3) sin x b) z(x) = cos3 x ln3 x3 p √ c) y = x sin x 1 − x2 d) y = x sin2 (x3 ) ln(x2 ) 5. a) t(x) = b) y =
tg x2 cotg x3
sin x cos x
Urˇ cete pˇ r´ısluˇ snou prvn´ı derivaci 6. a) s(t) = (t2 + 3t + 6) sin(5t), b) x(s) = sin s ln(cos2 s),
dx(s) ds
s(t) =? =?
7. a) k(ω) = tg (aω 2 + ω b ), kde a, b ∈ R, b) y(ω) = sin(ωt) cos(ω 2 t), kde t ∈ R,
dk(ω) dω dy(ω) dω
=? =?
Najdˇ ete prvn´ı derivaci funkce y = f (x) a zakreslete graf funkce f (x) a f 0 (x): 8. y = sin x 9. y = |x| 10. y = ln |x|
SA1
[f 0 (x) = cos x] [f 0 (x) = sgn x, kde x 6= 0] [f 0 (x) = x1 , kde x 6= 0]
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
25 Derivace - cviˇcen´ı
103
Urˇ cete prvn´ı a druhou derivaci funkce y = f (x), kter´ a je d´ ana parametricky rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ I: [f 0 (x) =
11. x = 4t + t2 , y = t3 + t 12. x = ln t, y = sin 2t
3t2 +1 , 4+2t
f 00 (x) =
6t2 +24t−2 ] (4+2t)3
[f 0 (x) = 2t cos 2t, f 00 (x) = 2t cos 2t − 4t2 sin 2t]
Urˇ cete rovnici teˇ cny a norm´ aly ke grafu funkce y = f (x) v bodˇ e T [xT , yT ], kter´ y je bodem dotyku: 13. f (x) = x1 , T = 12 , ? [t : 4x + y − 4 = 0, n : . . .] √ [t : 2x − y + 2 − π2 = 0, n : . . .] 14. f (x) = 2 2 sin x, T = π4 , ? 15. f (x) = e−x cos 2x, T = [0, ?]
[t : x + y − 1 = 0, n : . . .]
Pro uk´azku pr´ace se softwarem Maple kliknˇete zde.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
26 Vˇety o derivaci - teorie
26 26.1
104
Vˇ ety o derivaci - teorie Rolleova vˇ eta
Pˇredpokl´adejme, ˇze funkce f (x) splˇ nuje: 1. f (x) je spojit´a na ha, bi 2. f (x) m´a na otevˇren´em intervalu (a, b) vlastn´ı nebo nevlastn´ı derivaci 3. f (a) = f (b) Pak existuje c ∈ ha, bi takov´e, ˇze f 0 (c) = 0. y
a
b
x
Obr´azek 68: Rolleova vˇeta D˚ ukaz Je-li f (x) kontantn´ı funkce, lze vz´ıt c jako libovoln´ y bod z ha, bi. Pˇredpokl´adejme d´ale, ˇze f (x) nen´ı kontantn´ı funkce. Pak existuje bod m ∈ ha, bi takov´ y, ˇze f (x) nab´ yv´a v bodˇe m sv´eho maxima (viz. 2. Weierstrassova vˇeta). Dle podm´ınky 2) m´a f (x) v bodˇe m vlastn´ı nebo nevlastn´ı derivaci. Pˇredpokl´adejme, ˇze f 0 (m) > 0, tzn. f (x) − f (m) >0 x→m x−m
f 0 (m) = lim
(m) tzn. pro vhodn´e x ∈ O(m) (tj. pro x < m) je f (x)−f > 0. x−m f (x)−f (m) Ale pro x > m je x−m < 0, protoˇze f (x) < f (m). Tzn. ˇze f 0 (m) 6≥ 0.
Obdobnˇe pro pˇredpoklad f (x) − f (m) <0 x→m x−m lim
n´am vych´azi, ˇze f 0 (m) 6≤ 0. Tedy f 0 (m) = 0 a staˇc´ı vz´ıt c = m.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
26 Vˇety o derivaci - teorie
26.2
105
Lagrangeova vˇ eta (1. vˇ eta o stˇ redn´ı hodnotˇ e)
Pˇredpokl´adejme, ˇze funkce f (x) splˇ nuje: 1. f (x) je spojit´a na ha, bi 2. f (x) m´a na (a, b) vlastn´ı nebo nevlastn´ı derivaci Pak existuje c ∈ ha, bi takov´e, ˇze: f 0 (c) =
f (b) − f (a) b−a
y
a
c
b
x
Obr´azek 69: Lagrangeova vˇeta D˚ ukaz Vˇezmˇeme g(x) = (b − a) · f (x) − (f (b) − f (a)) · x - vyrovn´a f (b) a f (a). Nyn´ı uˇz staˇc´ı dok´az´at pˇredpoklady Rolleovy vˇety pro g(x) ⇒ pak existuje c takov´e, ˇze g 0 (c) = 0. g 0 (x) = (b − a) · f 0 (x) − (f (b) − f (a)) 0 = g 0 (c) = (b − a) · f 0 (c) − (f (b) − f (a)) f 0 (c) =
26.3
f (b) − f (a) b−a
Cauchyova vˇ eta (2. vˇ eta o stˇ redn´ı hodnotˇ e)
Pˇredpokl´adejme, ˇze f (x) a g(x) splˇ nuj´ı: 1. f (x), g(x) jsou spojit´e na ha, bi 2. f (x) m´a na (a, b) vlastn´ı nebo nevlastn´ı derivaci a g(x) m´a na (a, b) vlastn´ı derivaci 6= 0 Pak existuje c ∈ ha, bi takov´e, ˇze: f 0 (c) f (b) − f (a) = 0 g (c) g(b) − g(a) Pozn. Lagrangeova vˇeta je speci´aln´ım pˇr´ıkladem vˇety Cauchyovy pro g(x) = x.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
26 Vˇety o derivaci - teorie
26.4
106
Bernoulliho vˇ eta (L’Hospitalovo pravidlo)
Pˇredpokl´adejme, ˇze x0 ∈ R (i ± ∞) a ˇze bud’ 1) limx→x0 f (x) = limx→x0 g(x) = 0 nebo 2) limx→x0 g(x) = ∞ nebo limx→x0 g(x) = −∞ Pak plat´ı, ˇze: f (x) f 0 (x) lim = lim 0 x→x0 g(x) x→x0 g (x) za podminky, ˇze obˇe limity existuj´ı (toto pravidlo plat´ı i pro jednostrann´e limity). aplikace na neurˇcit´e v´ yrazy: 00 ,
∞ , ∞
0∞, ∞ − ∞, 1∞ , ∞0 , 00
Pˇ r´ıklady: 1. cos x sin x = lim =1 x→0 x→0 x 1 lim
2. x100 100 · x99 100! 0 = lim = . . . = x = lim x = 0 x x→∞ ex x→∞ x→∞ e e e lim
3. lim (x · ln x) = lim+
x→0+
x→0
ln x 1 x
1 x
= lim+
− x12
x→0
= lim+ (−x) = 0 x→0
4. lim
√
x→∞
x2 + x + 1 −
√
x2 − x + 1
a) obecn´ y n´avod pro lim f = ∞, lim g = ∞ lim(f − g) = lim(f − g) ·
1 f ·g 1 f ·g
= lim
1 g
−
1 f
1 f ·g
b) pˇri vhodn´em zad´an´ı vyn´asobit 1“, tj. zlomkem odmocnin s opaˇcn´ ym znam´enkem ” √ √x2 + x + 1 + √x2 − x + 1 √ √ lim x2 + x + 1 − x2 − x + 1 √ = x→∞ x 2 + x + 1 + x2 − x + 1 2 x + x + 1 − (x2 − x + 1) −2x = √ √ =√ = √ x2 + x + 1 + x 2 − x + 1 x2 + x + 1 + x2 − x + 1 = lim
x→∞ √2x+1 2 x2 +x+1
2 +
√2x−1 2 x2 −x+1
= lim q x→∞
2 4x2 +4x+1 4x2 +4x+4
+
q
4x2 −4x+1 4x2 −4x+4
=
2 =1 x→∞ 2
= lim
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
26 Vˇety o derivaci - teorie
107
5. x 1 1 1 lim 1 + = lim ex·ln(1+ x ) = elimx→∞ x·ln(1+ x ) x→∞ x→∞ x nyn´ı budeme ˇreˇsit pouˇze exponent e
1 lim x · ln 1 + x→∞ x
1+
= lim
1 x
1 x
x→∞
⇒
lim
x→∞
1
= lim
x+1 x
x→∞
1 1+ x
x
· − −x1 2 − x12
x =1 x→∞ x + 1
= lim
= e1 = e
6. lim
√ x
x→∞
1
1
x = lim x x = elimx→∞ x ·ln x x→∞
opˇet vyˇres´ıme limitu v exponentu 1 ln x = lim =0 x→∞ x · 1 x→∞ x lim
⇒ lim
x→∞
SA1
√ x x = e0 = 1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
27 Vˇety o derivaci - cviˇcen´ı
27
108
Vˇ ety o derivaci - cviˇ cen´ı
Pomoc´ı l’Hospitalova pravidla spoˇ ctˇ ete n´ asleduj´ıc´ı limity: a) lim
ex − e−x − 2x x→0 x − sin x
[2]
b) lim (π − 2arctg x) ln x
[0]
x→∞
1 c) lim cotg x − x→0 x tg x 1 d) lim+ x→0 x
[0]
[1]
tg x − 1 sin 4x
[− 21 ]
x − sin x x→0 1 − cos x
[0]
e) limπ x→ 4
f) lim
g) lim (1 − x)tg x→1
h) lim+ x→0
πx 2
[ π2 ]
ln x ln sin x
[1]
x3 − 3x + 2 x→1 x4 − 4x + 3
[ 21 ]
arcsin x x→0 x
[1]
arctg 2x x→0 sin 3x
[ 32 ]
i) lim
j) lim k) lim
1
[ √1e ]
l) lim (cos x) x2 x→0
1
[1]
m) lim x x x→∞
3
[e3 ]
n) lim+ x 4+ln x x→0
1 1 o) lim − x→1 x − 1 ln x 1 1 p) lim+ − x→0 x sin x q) lim+ (arcsin)tg x
[− 21 ] [0] [1]
x→0
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
28 Diferenci´al - teorie
28 28.1
109
Diferenci´ al - teorie ´ Uvod
Diferenci´alem funkce f (x) v bodˇe x0 rozum´ıme funkci (line´arn´ı). df (x0 ) = f 0 (x0 ) · dx = f 0 (x0 ) · (x − x0 )
y
df (x0 ) dx
x0
x
x
Obr´azek 70: Diferenci´al Pouˇzit´ı: napˇr. pro pˇribliˇzn´e v´ ypoˇcty Pˇ r. spoˇctˇete
√
16, 02
Zvol´ıme f (x) =
√ x, x0 = 16 a f (x) zderivujeme 1 f 0 (x) = √ , 2 x
dosazen´ım z´ısk´ame
f 0 (16) =
1 8
1 1 df (16) = (x − 16) = x − 2 8 8
pak pro x = 16, 02 m´ame p 1 · 16.02 − 2 = 2, 0025 − 2 = 0, 0025 ⇒ 16, 02 ≈ 4.0025 8 Pozn. oskulum - z latiny polibek styk 0. stupnˇe - kontantn´ı funkce protne funkci styk 1. stupnˇe - stejn´a 1. derivace styk 2. stupnˇe - stejn´a 2. derivace
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
28 Diferenci´al - teorie
28.2
110
Vyˇ sˇ s´ı diferenci´ aly
Pozn. Jin´ y z´apis diferenci´alu: f0 =
df dx
a nult´ y diferenci´al: d0 f (x0 ) = f (x0 ) Druh´ y deferenci´al pak zap´ıˇseme takto d2 f (x0 ) = f 00 (x0 ) · dx2 = f 00 (x0 ) · (x − x0 )2 ⇒ f 00 =
d2 f dx2
a obecnˇe pro r-t´ y diferenci´al dr f (x0 ) = f (r) (x0 ) · (x − x0 )r
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
29 Diferenci´al - cviˇcen´ı
29
111
Diferenci´ al - cviˇ cen´ı
Vypoˇ ctˇ ete diferenci´ al funkce: 1. f (x) = x sin(2x) q 2. f (x) = 1+x 1−x 3. f (x) = x2 v bodˇe a = 1 pˇri pˇr´ırustku h = 0, 1. Zn´azornˇete v´ ysledek graficky. Pomoc´ı diferenci´ alu spoˇ ctˇ ete pˇ ribliˇ znou hodnotu a zn´ azornˇ ete v´ ysledek graficky: 4. sin 35 5. arctg 0, 95
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
30 Taylor˚ uv polynom - teorie
30
112
Taylor˚ uv polynom - teorie
Taylor˚ uv polynom ˇr´adu r funkce f v bodˇe x0 : r
T (x0 ) =
r X di f (x0 ) i=0
i!
Taylorov´ ym polynomem defakto nahrad´ıme p˚ uvodn´ı funkci (zvyˇsov´an´ım jeho ˇra´du dos´ahneme pˇresnˇejˇs´ıho nahrazen´ı). Pozn. Pokud x0 = 0 ⇒ Maclaurin˚ uv polynom. Taylorova vˇ eta f : R → R, x0 ∈ Domf , ∃ O(x0 ) bodu x0 tak, ˇze pro ∀x ∈ O(x0 ) ex. derivace funkce f (x) v bodˇe x aˇz do ˇr´adu r + 1 Pak pro kaˇzd´e x ∈ O(x0 ) ex. c ∈ (x0 , x) tak, ˇze: f (x) = T r (x0 ) + f (r+1) (c) (x (r+1)!
f (r+1) (c) (x − x0 )r+1 (r + 1)!
− x0 )r+1 - Taylor˚ uv zbytek, tj. o kolik se liˇs´ıme nalezen´ ym polynomem
pˇribliˇzov´an´ım se x k x0 zvyˇsujeme pˇresnost, stejnˇe tak zvyˇsov´an´ım stupnˇe Taylorova polynomu Taylor˚ uv polynom ˇ r´ adu r: polynom stupnˇe ≤ r Pˇ r. f (x) = sin x d2 f (x0 ) = 0 T 2 . . . ale polynom stupnˇe 1 y
x
ˇ ad vs. stupˇen Obr´azek 71: R´ ˇ polynomu
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
30 Taylor˚ uv polynom - teorie
113
Pˇ r. Spoˇctˇete Maclaurin˚ um polynom 5. ˇr´adu pro f (x) = ex . d0 f = 1 d1 f = x d2 f = x2 d3 f = x3 d4 f = x4 d5 f = x5 ⇓ T 5 (x0 ) = 1 + x +
x2 2
+
x3 6
+
x4 24
+
x5 120
(viz. zaveden´ı goniometrick´ ych funkc´ı)
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
31 Taylor˚ uv polynom - cviˇcen´ı
31
114
Taylor˚ uv polynom - cviˇ cen´ı
Taylor˚ uv polynom: 1. Napiˇste obecn´ y tvar Taylorova polynomu ˇr´adu n v bodˇe a. 2. Napiˇste obecn´ y tvar Maclaurinova polynomu ˇr´adu n. 3. Napiˇstˇe Taylor˚ uv polynom ˇra´du 4 funkce f (x) = ln x v bodˇe a = 4. [T4 (x) = ln 4 + 14 (x − 4) −
1 (x 32
− 4)2 +
1 (x 192
− 4)3 −
1 (x 1024
− 4)4 ]
4. Napiˇstˇe Maclaurin˚ uv polynom ˇra´du 4 funkce f (x) = xe−x . [x − x2 + 12 x3 − 13 x4 ] Aproximujte n´ asleduj´ıc´ı funkce v okol´ı bodu a = 0 polynomem nejv´ yˇ se p´ at´ eho stupnˇ e: +
x4 4!
+
x5 ] 5!
6. y = sin x
[sin x ∼ x −
x3 3!
+
x5 ] 5!
7. y = cos x
[cos x ∼ 1 −
x2 2!
+
x4 ] 4!
5. y = ex
8. y =
[ex ∼ 1 + x +
1 1+x2
x2 2!
+
x3 3!
1 2 4 [ 1+x 2 ∼ 1 − x + x ]
Odhadnˇ ete absolutn´ı chybu v n´ asleduj´ıc´ıch pˇ ribliˇ zn´ ych vztaz´ıch 9. ex ∼ 1 + x + 10. sin x ∼ x −
+ ... +
xn n!
pro |x| ≤
1 2
x2 2!
x3 6
pro 0 ≤ x ≤ 1
[Je menˇs´ı neˇz
3 ] (n+1)!
[Je menˇs´ı neˇz
1 ] 3840
Pro uk´azku pr´ace se softwarem Maple kliknˇete zde.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
32 Extr´emy funkce - teorie
32 32.1
115
Extr´ emy funkce - teorie Lok´ aln´ı extr´ emy funkce
Definice monot´ onnosti ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je na intervalu I rostouc´ı, jestliˇze pro ∀x1 , x2 takov´a, ˇze x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Nem˚ uˇzeme pouze posuzovat derivaci, protoˇze v hrotech funkce nen´ı jej´ı derivace definov´ana. Je-li ale derivace v urˇcit´em bodˇe definov´ana, tak mus´ı b´ yt kladn´a. y
hroty
x
Obr´azek 72: Hroty funkce Definice lok´ aln´ıho extr´ emu ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) m´a v bodˇe x0 ostr´ e lok´ aln´ı minimum, jestliˇze ∃ O(x0 ) (ryz´ı okol´ı bodu x0 ) tak, ˇze pro ∀x ∈ O(x0 ) je f (x) − f (x0 ) > 0 y
f (x0 )
x0
x
Obr´azek 73: Lok´aln´ı minimum Obdobnˇe ˇrekneme, ˇze funkce f (x) m´a v bodˇe x0 ostr´ e lok´ aln´ı maximum, jestliˇze ∃ O(x0 ) (ryz´ı okol´ı bodu x0 ) tak, ˇze pro ∀x ∈ O(x0 ) je f (x) − f (x0 ) < 0
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
32 Extr´emy funkce - teorie
116
Mˇejme napamˇeti: 1. v bodˇe, kde nast´av´a lok´aln´ı extr´em, nemus´ı b´ yt derivace definov´ana y
x0
x
Obr´azek 74: Minimum v hrotu funkce
2. pokud nast´av´a v bodˇe x0 lok´aln´ı extr´em a z´aroveˇ n je v tomto bodˇe definov´ana derivace, ukaz Rolleovy vˇety) mus´ı platit f 0 (x0 ) = 0 (viz. d˚ y
x0
x
Obr´azek 75: Derivace v extr´emu
3. d´ale f 0 (x0 ) = 0 nezaruˇcuje v bodˇe x0 lok´aln´ı extr´em y
x0
x
Obr´azek 76: Nulov´a druh´a derivace
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
32 Extr´emy funkce - teorie
117
Pˇredpokl´adejme nyn´ı, ˇze f (x) m´a derivaci v bodˇe x0 . Pak nutnou podm´ınkou lok´aln´ıho minima v bodˇe x0 je f 0 (x0 ) = 0. Toto ale nen´ı postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro urˇcen´ı lok´aln´ıho minima (maxima). f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + 12 f 00 (x0 ) · (x − x0 )2 + . . . + O((x − x0 )n ), x → x0 ⇒ O → 0 ⇒ zanedb´av´ame f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + 12 (x0 ) · (x − x0 )2 podm´ınky pro lok´aln´ı minimum: f (x) − f (x0 ) > 0 (x − x0 ) nezn´am´eho znam´enka ⇒ f 0 (x0 ) = 0 (x − x0 )2 kladn´e ⇒ f 00 (x0 ) > 0 postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro lok´aln´ı minimum je napˇr. f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) > 0 Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou lok´aln´ıho minima je, aby nˇekter´a sud´a derivace byla kladn´a a vˇsechny pˇredchoz´ı byly nulov´e (z Taylorova polynomu). Pro lok´aln´ı maximum tak mus´ı platit: f 00 (x0 ) < 0 a f 0 (x0 ) = 0.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
32 Extr´emy funkce - teorie
32.2
118
V´ yznamn´ e body funkce
O funkci jiˇz v´ıme: 1. f (x) = 0 ⇒ x je nulov´ y bod nulov´e body 6= body, kde doch´az´ı ke zmˇenˇe znam´enka funkce y
x
Obr´azek 77: Zmˇeny znam´enka funkce
2. f 0 (x) = 0 ⇒ x je stacion´arn´ı bod stacion´arn´ı body 6= body, kde doch´az´ı ke zmˇenˇe monotonnie y
x
Obr´azek 78: Zmˇeny monotonnosti funkce
3. f 00 (x) = 0 ⇒ x je inflexn´ı bod inflexn´ı body 6= body, kde doch´az´ı ke zmˇenˇe konk´avnost/konvexnost
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
32 Extr´emy funkce - teorie
32.3
119
Definice konk´ avnosti/kovexnosti
ˇ Rekneme, ˇze funkce f (x) je konvexn´ı na intervalu I, jestliˇze pro ∀x1 , x2 , x3 ∈ I takov´a, ˇze x1 < x2 < x3 plat´ı: f (x3 ) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x1 ) < x2 − x1 x3 − x1 y
x1
x2
x3
x
Obr´azek 79: Konvexnost Pokud existuje f 00 (x), mus´ı b´ yt kladn´a. Obdobnˇe ˇrekneme, ˇze funkce f (x) je konk´avn´ı na intervalu I, jestliˇze pro ∀x1 , x2 , x3 ∈ I takov´a, ˇze x1 < x2 < x3 plat´ı: f (x2 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x1 ) > x2 − x1 x3 − x1 y
x1
x2
x3
x
Obr´azek 80: Konk´avnost
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
32 Extr´emy funkce - teorie
32.4
120
Glob´ aln´ı extr´ emy funkce
ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0 ostr´ e glob´ aln´ı minimum, jestliˇze pro ∀x ∈ Domf plat´ı, ˇze f (x) − f (x0 ) > 0 ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0 ostr´ e glob´ aln´ı maximum, jestliˇze pro ∀x ∈ Domf plat´ı, ˇze f (x) − f (x0 ) < 0 ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0 neostr´ e glob´ aln´ı minimum, jestliˇze pro ∀x ∈ Domf plat´ı, ˇze f (x) − f (x0 ) ≥ 0 ˇ Rekneme, ˇze funkce f m´a v bodˇe x0 neostr´ e glob´ aln´ı maximum, jestliˇze pro ∀x ∈ Domf plat´ı, ˇze f (x) − f (x0 ) ≤ 0
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
33 Extr´emy funkce - cviˇcen´ı
33
121
Extr´ emy funkce - cviˇ cen´ı
Urˇ cete lok´ aln´ı extr´ emy funkc´ı: 1. y = x +
4 x
[−2 l.max, 2 l.min]
2. y = 4x3 − 3x4 p 3. y = 2x + 3 3 (2 − x)2
[1 l.max] [0 l.max]
Urˇ cete glob´ aln´ı (= absolutn´ı) extr´ emy funkc´ı: 4. y = x3 − 3x + 20, 5. y = x − 2 ln x,
x ∈ h−3, 3)
x ∈ h1, ei
Urˇ cete inflexn´ı body funkc´ı: 6. y = xe−x 7. y =
x3 +2 2x
[2] √ [− 3 2]
8. y =
ex x+1
[ˇz´adn´e]
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
34 Asymptoty - teorie
34
122
Asymptoty - teorie
Asymptoty jsou pˇr´ımky (obecnˇe kˇrivky), ke kter´ ym se funkce bl´ıˇz´ı.
y y
x
x
y
x
Obr´azek 81: Asymptoty funkce
34.1
Vodorovn´ e asymptoty
⇒ rovnobˇeˇzn´e s osou x Pokud n´am vyjde lim f (x) = a ∈ R,
x→∞
ˇrekneme, ˇze, f (x) m´a pro x → ∞ asymptotickou pˇ r´ımku y = a mus´ıme poˇc´ıtat i pro x → −∞ - pˇr´ımky mohou obecnˇe vyj´ıt r˚ uznˇe, napˇr. u arctg x
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
34 Asymptoty - teorie
34.2
123
Svisl´ e asymptoty
1. lim f (x) = +∞
x→x0 +
tak pak ˇrekneme, ˇze f (x) m´a pro x → x0 + asymptotickou pˇ r´ımku x = x0 2. lim f (x) = −∞
x→x0 +
tak pak ˇrekneme, ˇze f (x) m´a pro x → x0 + asymptotickou pˇ r´ımku x = x0 3. lim f (x) = +∞
x→x0 −
tak pak ˇrekneme, ˇze f (x) m´a pro x → x0 − asymptotickou pˇ r´ımku x = x0 4. lim f (x) = −∞
x→x0 −
tak pak ˇrekneme, ˇze f (x) m´a pro x → x0 − asymptotickou pˇ r´ımku x = x0
34.3
ˇ Sikm´ e asymptoty
1. lim
x→∞
f (x) =a∈R x
2. lim (f (x) − ax) = b ∈ R
x→∞
pokud obˇe limity vyjdou vlastn´ı, tak ˇrekneme, ˇze funkce f m´a asymptotickou pˇ r´ımku y = ax + b poˇc´ıtat i pro x → −∞
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
35 Asymptoty - cviˇcen´ı
35
124
Asymptoty - cviˇ cen´ı
Urˇ cete asymptoty funkc´ı: 1. y =
x3 2(x + 1)2 1
2. y = xe x
SA1
[x = −1, y = 21 x − 1] [x = 0, y = x + 1]
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
36 Pr˚ ubˇeh funkce - teorie
36
125
Pr˚ ubˇ eh funkce - teorie
1. Z´ akladn´ı vlastnosti funkce a) urˇcit Domf b) Imf (pokud to u dan´e funkce jednoznaˇcnˇe jde) c) sudost/lichost d) periodocita 2. Zjiˇ stˇ en´ı znam´ enka funkce a) f (x) = 0 ⇒ nulov´e body
Obr´azek 82: Znam´enko funkce Pozn. Na ˇc´ıselnou osu zaneseme nulov´e body, body nespojitosti a nedefinovanosti. 3. Vyˇ setˇ ren´ı monotonnie funkce a) f 0 (x) = 0 ⇒ stacion´arn´ı body → urˇcit Domf 0
Obr´azek 83: Monotonnie funkce b) lok´aln´ı extr´emy (a urˇcit v nich funkˇcn´ı hodnoty) c) glob´aln´ı extr´emy 4. Konvexnost/konk´ avnost a) f 00 (x) = 0 ⇒ inflexn´ı body → urˇcit Domf 00
Obr´azek 84: Konvexnost/konk´avnost funkce
5. Asymptoty a) vodorovn´e b) svisl´e c) ˇsikm´e 6. Graf
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
37 Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı
37
126
Pr˚ ubˇ eh funkce - cviˇ cen´ı
Vyˇ setˇ rete pr˚ ubˇ eh funkc´ı: 1. y =
1 − x3 x2
2. y =
x3 2(x + 1)2 1
3. y = xe x 4. y =
2x +x −1
x2
5. f (x) =
(x − 1)3 x2
D(f ) = R − {0}, N = [1; 0], f 0 (x) = f 00 (x) =
(x − 1)2 (x + 2) , D(f 0 ) = D(f ), E = [−2; 6, 75], x3
6(x − 1) , D(f 00 ) = D(f ), x = 0 pro x → 0± , y = x − 3 pro x → ±∞. x4 y 6 4 2
−6
−4
−2
2
4
6
8
x
−2 −4 −6 −8 −10
Obr´azek 85: Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 1
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
37 Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı
6. f (x) =
127
x2 − 2x x2 − 2x + 2
D(f ) = R, N1 = [0; 0], N2 = [2; 0], f 0 (x) =
4(x − 1) , D(f 0 ) = D(f ), E = [1; −1], − 2x + 2)2
(x2
4(−3x2 + 6x − 2) f (x) = , D(f 00 ) = D(f ), I1 = [0, 42; −0, 5], I2 = [1, 58; −0, 5], y = 1 2 3 (x − 2x + 2) pro x → ±∞. 00
y 1
0, 5
−15
−10
−5
5
10
15
x
−0, 5
−1
Obr´azek 86: Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 2
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
37 Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı
7. f (x) =
128
2x2 + 3x − 4 x2
D(f ) = R − {0}, N1 = [−2, 35; 0], N2 = [0, 85; 0], f 0 (x) = E = [2, 67; 2, 56], f 00 (x) =
−3x + 8 , D(f 0 ) = D(f ), 3 x
6(x − 4) , D(f 00 ) = D(f ), I = [4; 2, 5], y = 2 pro x → ±∞. x4 y
2
1
−15
−10
−5
5
10
15
x
−1
−2
−3
Obr´azek 87: Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 3
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
37 Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı
8. f (x) =
129
x2 x2 − 1
D(f ) = R − {−1, 1}, N = [0; 0], f 0 (x) =
−2x , D(f 0 ) = D(f ), E = [0; 0], − 1)2
(x2
2(3x2 + 1) , D(f 00 ) = D(f ), x = −1 pro x → −1± , x = 1 pro x → 1± , (x2 − 1)3 y = 1 pro x → ±∞.
f 00 (x) =
y 4
2
−4
−2
2
4
x
−2
−4
Obr´azek 88: Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 4
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
37 Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı
9. f (x) =
130
x3 x−1
D(f ) = R − {1}, N = [0; 0], f 0 (x) = f 00 (x) =
x2 (2x − 3) , D(f 0 ) = D(f ), E = [1, 5; 6, 75], (x − 1)2
2x(x2 − 3x + 3) , D(f 00 ) = D(f ), I = [0; 0], x = 1 pro x → 1± . (x − 1)3 y 15
10
5
−4 −3 −2 −1
1
2
3
x
−5
−10
Obr´azek 89: Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 5
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
37 Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı
10. f (x) =
131
x2 3 − x2
√ √ D(f ) = R − {− 3, 3}, N = [0; 0], f 0 (x) =
6x , D(f 0 ) = D(f ), E = [0; 0], (3 − x2 )2 √ √ √ √ 18(x2 + 1) , D(f 00 ) = D(f ), x = − 3 pro x → − 3± , x = 3 pro x → 3± , f 00 (x) = 2 3 (3 − x ) y = −1 pro x → ±∞. y 4
2
−4
−2
2
4
x
−2
−4
Obr´azek 90: Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 6
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
37 Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı
132
11. f (x) = (x − 2x)ex D(f ) = R, N = [0, 5; 0], f 0 (x) = −(2x + 1)ex , D(f 0 ) = D(f ), E = [−0, 5; −0, 05], f 00 (x) = −(2x + 3)ex , D(f 00 ) = D(f ), I = [−1, 5; −4, 5], y = 0 pro x → −∞. y 1
−10
−5
5
x
−1 −2 −3 −4
Obr´azek 91: Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 7
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
38 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integr´al - teorie
38 38.1
133
Primitivn´ı funkce, neurˇ cit´ y integr´ al - teorie Primitivn´ı funce
ˇ Rekneme, ze funkce F je primitivn´ı funkc´ı k funkci f na intervalu I, jestliˇze: F 0 (x) = f (x), pro ∀x ∈ I Pˇ r. f (x) = x5 6 F (x) = x6 Pˇ r. f (x) = |x| F (x) = sgn x ·
x2 2
y
y
x
x
(a) f (x) = |x|
(b) F (x) = sgn x ·
x2 2
Obr´azek 92: Primitivn´ı funkce Vˇ eta Jestliˇze je f (x) na ha, bi spojit´a, existuje k n´ı primitivn´ı funkce F (x). Jestliˇze existuje F (x), tak jich existuje R nekoneˇcnˇe mnoho - mnoˇzina vˇsech primitivn´ıch funkc´ı k funkci f (x) = neurˇ c it´ y integr´ a l ( f (x) dx). R mohutnost f (x) dx = c (kontinuum)
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
38 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integr´al - teorie
38.2
134
Pˇ rehled vzorc˚ u pro integrov´ an´ı Z c dx = c · x + C Z
xa dx =
Z
xa+1 +C a+1
1 dx = ln |x| + C x
Z Z
ex dx = ex + C ax dx =
ax +C ln a
Z sin x dx = − cos x + C Z cos x dx = sin x + C Z
1 dx = −cotg x + C sin2 x Z 1 dx = tg x + C cos2 x
Z
1 dx = arctg x + C1 = −arccotg x + C2 1 + x2 Z 1 √ dx = arcsin x + C1 = − arccos x + C2 1 − x2 Z √ 1 √ dx = ln(x + x2 + a) + C a > 0 x2 + a Z 1 x 1 dx = arctg + C 2 2 x +a a a Z 0 f (x) dx = ln |f (x)| + C f (x)
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
38 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integr´al - teorie
38.3
135
Z´ akladn´ı pravidla integrov´ an´ı
Pˇredpokl´adejme, ˇze tyto 3 integr´aly existuj´ı. Potom plat´ı, ˇze nast´av´a tato rovnost. Z Z Z (f ± g) dx = f (x) dx ± g(x) dx Z Napˇr. pro f (x) = χ(x) a g(x) = −χ(x) neexistuje
(f + g) dx, protoˇze neexistuj´ı integr´aly
k f (x) a g(x) D´ale plat´ı: Z
Z c · f (x) dx = c ·
38.4
f (x) dx
Metoda per partes
Pro souˇcin dvou funkc´ı u(x)v(x) plat´ı: Z Z 0 u · v dx = u · v + u0 · v dx D˚ ukaz Pˇredpokl´adejme, ˇze u(x), v(x), u0 (x) a v 0 (x) maj´ı na intervalu I sv´e primitivn´ı funkce F . Pak plat´ı: (u · v)0 = u0 · v + u · v 0 Z Z 0 u · v = u · v dx + u · v 0 dx Z Z 0 u · v dx = u · v + u0 · v dx Pˇ r. Z
u0 = ex u = ex x · ex dx = v = x v0 = 1
Z x = x · e − ex dx + C = x · ex − ex + C = ex (x − 1) + C
Pˇ r. Z
u0 = 1 u=x ln x dx = v = ln x v 0 = 1 x
SA1
Z = x · ln x + 1 dx + C = x ln x + x + C = x(ln x + 1) + C
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
38 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integr´al - teorie
136
Pˇ r.
Z u0 = ex x u = e x x e sin x dx = = e · sin x − ex cos x dx + C = v = sin x v 0 = cos x Z u0 = ex x u = e x x x = = e · sin x − e · cos x − e · (− sin x) dx + C = v = cos x v 0 = − sin x Z Z ex (sin x − cos x) x x x +C = e · sin x − e · cos x − e · sin x dx + C ⇒ ex · sinx dx = 2 Z
Pˇ r. Z
u0 = 1 u=x arctg x dx = v = arctg x v 0 = 21 x +1 = x · arctg x −
38.5
Z 2x 1 dx + C = = x · arctg x − 2 2 x +1
1 ln |x2 + 1| + C 2
Substituce
f definov´ana na intervalu I, ϕ definov´ano na I (ϕ : J → I) ⇒ ϕ(J) = I, ϕ injektivn´ı zobrazen´ R ı Pak f (x) dx na I existuje pr´avˇe tehdy, kdyˇz existuje Z f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt na J a plat´ı: Z F (x) = a
Z G(t) =
Pˇ r.
SA1
Z f (x) dx = 0
f (ϕ0 (t))ϕ0 (t) dt = F (ϕ(t)) Z
f (ϕ(t))ϕ (t) dt =
x2 = t Z 3 x2 ex dx = 2x dx = dt x dx = dt 2
f (x) dx = G(ϕ−1 (x))
Z t e 1 1 3 = dt = et + C = ex + C 3 3 2
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
38 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integr´al - teorie
38.6
137
Intergrace racion´ aln´ıch funkc´ı
1.
Pˇ r.
Z
A dx = A ln |x − r| + C x−r
Z
3 dx = 3 · ln |x + 4| + C x+4
2. Z
Pˇ r.
Z
A 1 A dx = +C (x − r)k (1 − k) (x − r)k−1
3 dx = (x − 2)53
Z
3 3 3 dt = − 52 + C = − +C 53 t 52t 52(x − 2)52
3. Z
Ax + B dx + px + q
x2
1 - vhodn´ ymi u ´pravami pˇrevedu ˇcitatel v derivaci jmenovatele (pˇr´ıpadnˇe jej´ı n´asobek) a integr´al rozdˇelit 2 - integr´al s konstantou v ˇcitateli ⇒ ten pak pˇrev´est na derivaci arctg x Pˇ r. Z
3x − 8 3 dx = 2 x + 4x + 7 2
2x − 16 3 3 dx = 2 x + 4x + 7 2
Z
3 = ln |x2 + 4x + 7| − 2
Z
dx = x2 + 4x + 7
1 =√ 3 Z ⇒
SA1
Z
x2
Z t2
Z
2x + 4 3 dx− 2 x + 4x + 7 2
14 dx + C ⇒ ˇres´ıme integr´al 2 x + 4x + 7
Z
x + 2 = √3t dx = √ (x + 2)2 + 3 dx = 3 dt
28 3
Z
x2 + 4x + 7 Z x2
dx =
dx + 4x + 7
Z √ 3 dt = = 3t2 + 3
dt 1 x+2 1 = √ arctg t + C = √ arctg √ + C ⇒ +1 3 3 3
3x − 8 3 14 x+2 dx = ln |x2 + 4x + 7| − √ arctg √ + C + 4x + 7 2 3 3 ´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
38 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integr´al - teorie
138
4. Z (x2
Ax + B dx + px + q)k
1 - v ˇcitateli dostat derivaci jmenovatele a integr´al rozdˇelit 2 - provedeme substituce t = polynom ⇒ 1.integr´al se vyˇreˇs´ı a ˇreˇs´ımˇe druh´ y R 1 3 - tlaˇc´ıme“ na tvar podobn´ y derivaci arctg x, tj tvar (t2 −1) k = Ik ” 4 - vyˇreˇs´ıme podle rekurentn´ıho vzorce pro Ik+1 (odvozen z integrace per partes) Pˇ r.
Z
2x + 5 dx = 2 (x + 2x + 9)2
Z
2x + 2 dx + 3 2 (x + 2x + 9)2
Vyˇreˇs´ıme nejprve prvn´ı integr´al Z x2 + 2x + 9 = u 2x + 2 dx = (2x + 2) dx = du (x2 + 2x + 9)2
Z (x2
dx + 2x + 9)2
Z du 1 1 = − + C = − +C = u2 u x2 + 2x + 9
Nyn´ı ˇreˇs´ıme druhou ˇca´st integr´alu Z
dx = 2 (x + 2x + 9)2
Z
x + 1 = 2√2t dx = √ ((x + 1)2 + 8)2 dx = 2 2 dt
Z √ 2 2 dt = = (8t2 + 8)2
√ Z √ Z 2 2 2 dt dt = 2 = 2 2 2 8 (t + 1) 32 (t + 1)2
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
38 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integr´al - teorie
Oznaˇcme
Z (t2
139
dt = Ik . + 1)k
Poˇc´ıtejme nyn´ı Z
u= 1 2t u0 = −k (t2 −1) dt k+1 (t2 −1)k = 2 k 0 v =1 (t + 1) v=t
Z t t2 + 2k dt = = 2 (t + 1)k (t2 + 1)k+1
Z Z t2 + 1 − 1 dt dt t dt = 2 + 2k − 2k 2 k+1 k 2 k 2 (t + 1) (t + 1) (t + 1) (t + 1)k+1 t t 1 Ik = 2 + 2kIk − 2kIk+1 ⇒ Ik+1 = + (2k − 1)Ik , I1 = arctg t (t + 1)k 2k (t2 + 1)k t = 2 + 2k (t + 1)k
Z
1 I2 = 2 Z ⇒
t + arctg t (t2 + 1)
pro k = 1 x+1
√ 1 1 2x + 5 2 2 dx = − + 2 (x2 + 2x + 9)2 x2 + 2x + 9 2 x+1 √ 2 2
SA1
+ arctg +1
x+1 √ 2 2
+C
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
39 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integr´al - cviˇcen´ı
39
140
Primitivn´ı funkce, neurˇ cit´ y integr´ al - cviˇ cen´ı
39.1
Pˇ r´ım´ a integrace Z
- ˇcast´e vyuˇzit´e z´akladn´ıho vzorce
f 0 (x) dx = ln |f (x)| + C f (x)
5x2 − 3 √ dx x Z 1 2 3x − 2x + √ dx 2. x3 Z x 3 cos2 x − 5 3. dx cos2 x Z 4. cotg x dx Z
1.
Z √ 4 x + 2 + x−4 5. dx x3 Z 1 6. dx x ln x Z 7. x(x − 2)(x − 3) dx
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
39 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integr´al - cviˇcen´ı
39.2
141
Integrace pomoc´ı substituce
- ˇcasto nutno vyuˇz´ıt vzorce: 1 − cos 2x , 2 1 + cos 2x cos2 x = : 2 Z sin2 x 8. dx cos4 x Z √ 3 arctg x 9. dx 1 + x2 Z 1 √ 10. dx 4x + 9 Z 1 11. dx 7x − 9 Z 12. ex cos(ex ) dx
sin2 x =
Z 13. Z 14. Z 15. Z 16. Z 17.
SA1
[ [
1 3 tg x, (substituce: tg x = t) ] 3
3p 3 (arctg x)4 , (substituce: arctg x = t) ] 4 [ [
1√ 4x + 9, (substituce: 4x + 9 = t) ] 2
1 ln |7x − 9|, (substituce: 7x − 9 = t) ] 7 [sin(ex) , (substituce: ex = t) ]
1
ex dx x2
1
[ −e x , (substituce:
x3 √ dx 1 − x8
[
√ 2x x2 + 1 dx
[
1 dx x · ln x · ln(ln x) 2x √ dx 1 + 4x
1 x
= t) ]
1 arcsin x4 , (substituce: x4 = t) ] 4
2 2 (x + 1)3 , (substituce: x2 + 1 = t) ] 3 [ ln | ln(ln x)| ]
[
√ 1 ln 2x + 1 + 4x , (substituce: 2x = t) ] ln 2
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
39 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integr´al - cviˇcen´ı
39.3
142
Integrace per partes Z
- umˇet odvodit vzorec Z 18. Z 19. Z 20. Z 21. Z 22.
0
u v dx = uv −
Z
uv 0 dx z derivace souˇcinu uv:
x2 cos x dx
[ (x2 − 2) sin x + 2x cos x ]
x2 arctg x dx
[
x3 1 1 arctg x − x2 + ln(x2 + 1) ] 3 6 6
sin2 x dx
[
x dx sin2 x
1 (x − sin x cos x) ] 2
[ −xcotg x ln | sin x| ] ex [ (sin x + cos x) ] 2
x
e cos x dx Z
23.
arcsin x dx Z
24. Z 25.
x2 sin(2x) dx x3 cos x dx
[ x arcsin x + [−
SA1
cos(ln x) dx
1 − x2 ]
x 1 x2 cos(2x) + sin(2x) + cos(2x) ] 2 2 4 [ (x3 − 6x) sin x + (3x2 − 6) cos x ]
Z 26.
√
[
x (cos(ln x) sin(ln x)) ] 2
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
39 Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integr´al - cviˇcen´ı
39.4
Integrace racion´ aln´ı lomen´ e funkce
- nejprve nutn´e rozloˇzit na parci´aln´ı zlomky: Z 6 27. dx x+5 Z −2 28. dx (x − 8)2 Z 3x 29. dx x2 + 4 Z 5 dx 30. 2 x +2 Z 6x dx 31. 2 x +x+2 Z −2 32. dx x2 + 2x + 8 Z 4 x + 6x2 + x − 2 33. dx x4 − 2x3 Z 5 34. dx (2x − 3)3 Z 27 √ dx 35. 2x − 5 Z 8x − 31 36. dx 2 x − 9x + 14 Z 11x2 − 2x − 33 dx 37. x2 − 3 Z 4x2 + 4x − 11 38. dx (2x − 1)(2x + 3)(2x − 5) Z 4 − 4x dx 39. 2 4x − 4x + 1 Z 6x + 6 dx 40. 2x2 + 3x
SA1
143
[ x − 3 ln |x| −
1 + 5 ln |x − 2| ] 2x2 [−
5 1 ] 4 (2x − 3)2
√ 27 [ √ ln | 2x − 5| ] 2 [ 3 ln |x − 2| + 5 ln |x − 7| ] [ − ln |x −
√
3| − ln |x +
√
3| + 11x ]
1 (2x − 1)3 (2x − 5)3 [ ln ] 8 2x + 3 [ − ln |2x − 1| +
1 ] 2x − 1
[ ln |2x3 + 3x2 ]
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
40 Riemann˚ uv integr´al - teorie
40 40.1
144
Riemann˚ uv integr´ al - teorie ´ Uvod
”sˇc´ıt´an´ı obd´eln´ıˇck˚ u”
y
f (x)
x
Obr´azek 93: Urˇcit´ y integr´al Pˇr´ıklady jin´ ych integr´al˚ u: Lebesgue˚ uv integr´al - vodorovn´e dˇelen´ı na obd´eln´ıˇcky Stieltjes˚ uv integr´al - vyuˇzit´ı v pravdˇepodobnosti Kurzweil˚ uv integr´al - pojmenov´an po ˇcesk´em matematikovi
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
40 Riemann˚ uv integr´al - teorie
40.2
145
Zaveden´ı Riemannova integr´ alu
Mˇejme funkci f ohraniˇcenou na ha, bi y
f (x)
a = x0
x1
x2
x3
b = x4
x
Obr´azek 94: Zaveden´ı Riemannova integr´alu interval ha, bi rozdˇel´ıme = dˇelen´ı D a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b dˇelen´ı nemus´ı b´ yt ekvidistantn´ı (libovolnˇe velik´e intervaly po dˇelen´ı) oznaˇcne mi =
inf f (x)
a
Mi =
xi−1 ≤ x ≤ xi
sup f (x) xi−1 ≤ x ≤ xi
s(f, D) =
n X
mi (xi − xi−1 )
i=1
nazveme doln´ı integr´ aln´ı poˇ cet - z´avis´ı na f a tak´e na dˇelen´ı D = obsah obd´eln´ıˇck˚ u pod jednotliv´ ymi inf odbodnˇe horn´ı integr´ aln´ı poˇ cet: S(f, D) =
n X
Mi (xi − xi−1 )
i=1
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
40 Riemann˚ uv integr´al - teorie
146
sup s(f, D) - supr´emum pˇres vˇsechna moˇzn´a D (supr´emum vˇsech doln´ıch integr´aln´ıch D souˇct˚ u) toto supr´emum oznaˇc´ıme doln´ı Riemann˚ uv integr´ al a oznaˇc´ıme jej: Z b sup s(f, D) = f (x) dx a
D obdobnˇe pro horn´ı Riemann˚ uv integr´ al: Z inf S(f, D) =
b
f (x) dx a
D
Jestliˇze se horn´ı a doln´ı Riemannovy integr´aly rovnaj´ı, je funkce f na intervalu ha, bi Riemannovsky integrovateln´a ⇒ Z b Z b Z b f (x) dx = f (x) dx = f (x) dx a
SA1
a
a
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
40 Riemann˚ uv integr´al - teorie
40.3
147
Integrace nˇ ekter´ ych funkc´ı
1. Je Dirichtelova funkce riemannovsky integrovateln´a na h0, 1i? Pro kaˇzd´e dˇelen´ı vyjde 1
Z
f (x) dx = 0 0
a
1
Z
f (x) dx = 1 0
⇒ Dirichtelova funkce nen´ı riemannovky integrovateln´a. 2. Je Riemannova funkce riemannovsky integrovateln´a na h0, 1i? ( 1 x∈Q ρ(x) q 0 x∈R−Q 1
Z
ρ(x) dx = 0 0
zjemˇ nov´an´ım dˇelen´ı jsme schopni z´ıskat Z
1
ρ(x) = 0 0
y 1
1
x
Obr´azek 95: Integrace Riemannovy funkce ⇒ riemannovsky integrovateln´a a vych´az´ı Z 1 ρ(x) = 0 0
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
40 Riemann˚ uv integr´al - teorie
40.4
148
Vlastnosti Riemannova integr´ alu
1. aditiva vzledem k funkc´ım Z b Z b Z b (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx a
a
a
2. aditiva vzledem k integraˇcn´ımu oboru a < c < b Z b Z c Z b f (x) dx f (x) dx + f (x) dx = c
a
a
3. homogenita b
Z
Z c · f (x) dx = c ·
b
f (x) dx a
a
aditivita + homogenita ⇒ linearita
40.5
Newton˚ uv integr´ al
Existuje-li na ha, bi primitivn´ı funkce F (x) k funkci f (x), definujeme Newton˚ uv integr´al Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a)
(N ) a
tj. f (x) je na ha, bi newtonovsky integrovateln´ a
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
40 Riemann˚ uv integr´al - teorie
40.6
149
Z´ akladn´ı vˇ eta integr´ aln´ıho poˇ ctu
Obr´azek 96: Integrovatelnost Jestliˇze je funkce f (x) na ha, bi integrovateln´a newtonovsky i riemannovsky, pak si jsou Riemann˚ uv a Newton˚ uv intergr´al rovny Z b f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a) a
tzn. plat´ı Newton - Leibnitzova formule Pozn. Zav´adime-li pˇri v´ ypoˇctu substituci, mus´ıme pˇrepoˇc´ıtat meze.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
41 Riemann˚ uv integr´al - cviˇcen´ı
41
150
Riemann˚ uv integr´ al - cviˇ cen´ı
Urˇ cit´ y Riemann˚ uv integr´ al Z
1
xarctg dx
1.
[
0
Z
2
2.
(x2 + 1)
1
Z
4
3. 1
Z
x
π 4
4.
3 2
dx
0
Z
5
5. 2
Z
ln 2
SA1
x−1 √ dx 4x − 2
ln 3
6.
1 1 [ − √ + 1 √ , (substituce: x2 + 1 = t2 ) ] 5 2
1 √ dx (1 + x) x sin x cos2 x dx
ex dx e2x − 1
π 1 − , (per partes) ] 4 2
[ 2arctg 2 −
π , (substituce: x = t2 ) ] 2
√ 1 (4 − 2), (substituce: cos x = t) ] 12 √ 3 2 [ , (substituce: 4x − 2 = t) ] 2 1 1 1 [ ln − ln , (substituce: ex = t) ] 2 2 3 [
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
42 Aplikace urˇcit´eho integr´alu - teorie
42
151
Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu - teorie
42.1
Obsah rovinn´ e oblasti
1. obsah podgrafu: y
f (x)
a
x
b
Obr´azek 97: Obsah podgrafu
a) explicitn´ı zad´an´ı Z S=
b
f (x) dx a
b) parametrick´e zad´an´ı Z S =
β
α
ψ(t) · ϕ0 (t) dt
2. plocha mezi 2 grafy: f (x) y
g(x)
a
b x
Obr´azek 98: Plocha mezi 2 rafy Z
b
(f (x) − g(x)) dx
S= a
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
42 Aplikace urˇcit´eho integr´alu - teorie
152
Pˇ r. Odvod’me vzorec pro obsah elipsy. y
b
a
x
Obr´azek 99: Obsah elipsy Z analytick´e rovnice elipsy x2 y 2 + 2 =1 a2 b vyj´adˇr´ıme explicitn´ı pˇredpis pro horn´ı ˇca´st elipsy takto r x2 y = f (x) = b · 1 − 2 a Pro jednoduchost vypoˇcteme obsah elipsy jako 4-n´asobek jedn´e jej´ı ˇca´sti takto Z a r Z x2 4b a √ 2 b · 1 − 2 dx = S=4 a − x2 dx a a 0 0 zavedeme nyn´ı substituci takto: x = a sin t ⇒ dx = a cos t dt, 0 → 0, a → 4b S= a
Z
π 2
Z p 2 2 2 a − a sin t · a cos t dt = 4ab
0
π 2
2
Z
cos t dt = 2ab
0
π 2
⇒
π 2
(cos 2t + 1) dt = 0
π2 sin 2t = 2ab + t = πab 2 0
(pokud a = b = r ⇒ S = πr2 )
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
42 Aplikace urˇcit´eho integr´alu - teorie
42.2
153
D´ elka kˇ rivky y
f (x)
a
x
b
Obr´azek 100: D´elka kˇrivky
1. explicitn´ı zad´an´ı Z bp l= 1 + (f 0 (x))2 dx a
2. parametrick´e zad´an´ı x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ ha, bi ⇒ Z
β
l=
p (ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt
α
Pˇ r. Odvod’me vzorec pro d´elku kruˇrnice. Mohli bychom poˇc´ıtat z analytick´eho vyj´adˇren´ı kruˇrnice √ x2 + y 2 = R 2 ⇒ y = R 2 − x2 ale odmocnina by se asi integrovala obt´ıˇznˇe. Zvol´ıme proto parametrick´e vyj´adˇren´ı kruˇznice. ϕ = R · cos t ⇒ ϕ0 = −R · sin t,
ψ = R · sin t ⇒ ψ 0 = R · cos t,
t ∈ h0, 2πi
Pak m´ame Z l= 0
SA1
2π
Z p 2 2 2 2 R sin t + R cos t dt =
2π
R dt = [Rt]2π 0 = 2πR
0
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
42 Aplikace urˇcit´eho integr´alu - teorie
42.3
154
Objem tˇ elesa
1. S(x) ploˇsn´ y pr˚ uˇrez obsahu, a ≤ x ≤ b v kaˇzd´em x z ha, bi zn´ame ploˇsn´ y obsah pr˚ uˇrezu ⇒ Z b S(x) dx V = a
Pˇ r. z
1
√
√
3
2
y x
Obr´azek 101: Ploˇsn´ y pr˚ uˇrez tˇelesa √
S(0) = 1,
3 S(1) = , 2
1 S = 2
√ 2+ 3 2
√
· 2
√ 2+ 3 2
√ √ 2+2 6+3 5+2 6 = = 8 8
Ve v´ yˇsce v plat´ı pro d´elku odvˇesny: √ √ √ √ √ v = 2 + v( 3 − 2) = 2(1 − v) + 3 · v Pak dostaneme √ 2 1 √ 1 √ 2 · (1 − 2v − v 2 ) + 2 6(v − v 2 ) + 3v 2 = Sv = 2(1 − v) + v 3 = 2 2 √ 5 √ = − 6 v 2 + ( 6 − 2)v + 1 2 ⇒
S(x) =
Z V = 0
1
√ 5 √ − 6 x2 + ( 6 − 2)x + 1 2
" √ 5 √ − 6 x2 + ( 6 − 2)x + 1 dx = 2
5 2
−
#1 √ 3 √ 6 x ( 6 − 2)x2 + +x = 3 2 0
√
= ... =
SA1
5+ 6 6 ´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
42 Aplikace urˇcit´eho integr´alu - teorie
155
2. objem tˇelesa vznikl´eho rotac´ı kolem osy x a) explicitn´ı zad´an´ı Z
b
f 2 (x) dx
V =π a
b) parametrick´e zad´an´ı Z V = π
β
α
ψ (t) · ϕ (t) dt 0
2
Pˇ r. Odvod’te objem kuˇzele. y
y=
r v
·x
v
x
Obr´azek 102: Objem kuˇzele Z V =π 0
v
3 v Z v r 2 r2 r2 r2 x v3 1 2 x dx = 2 · π = 2 ·π· x dx = 2 · π = πvr2 v v v 3 0 v 3 3 0
3. objem tˇelesa, vznikl´eho rotac´ı kolem osy y Z b xf (x) dx V = 2π a
Pˇ r. Odvod’me objem anuloidu. Budeme poˇc´ıtat pro rotaci p˚ ulkruhu. Polokruˇznice m´a rovnici p (x − R)2 + y 2 = r2 ⇒ y = r2 − (x − R)2
y
x r R
Obr´azek 103: Objem anuloidu
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
42 Aplikace urˇcit´eho integr´alu - teorie
156
x − R = rt Z R+r p dx = r dt 2 2 V = 2·2π x r − (x − R) dx = R−r R − r → −1 R+r →1 = 4πr
2
Z
1
Z √ 2 (R + rt) 1 − t2 dt = 4πr R
−1 2
1
√
Z 1 √ = 4π (rt+R)·r 1 − t2 ·r dt = −1
1 − t2 dt + r
−1
Z
1
= 4πr · R
√ 1 − t2 dt + 0 = 4πr2 · R
−1
Z
1
Z
√ t 1 − t2 dt =
−1 0
√
Z 1−
t2
dt +
−1
1
√
1−
t2
dt =
0
t = sin u Z πp Z 1√ 2 dt = cos u du 2 2 2 1 − t dt = = 8πr · R 1 − sin2 u · cos u du = = 4πr · R · 2 0 → 0 0 0 π 1→ 2 π2 Z π Z π 2 2 sin 2u 1 cos 2u 1 2 2 2 2 cos u du = 8πr ·R + du = 8πr R + u = 8πr ·R = 2 2 4 2 0 0 0 = 2π 2 r2 R
42.4
Obsah pl´ aˇ stˇ e rotaˇ cn´ıho tˇ elesa
1. explicitn´ı zad´an´ı Z
b
f (x)
S = 2π
p 1 + (f 0 (x))2 dx
a
2. parametrick´e zad´an´ı Z
β
P = 2π
p ψ(t) (ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt
α
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
43 Aplikace urˇcit´eho integr´alu - cviˇcen´ı
43
157
Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu - cviˇ cen´ı explicitn´ı rovnice
ˇ Y ´ OBSAH PLOSN OBJEM ´ ˇ DELKA KRIVKY ´ ST ˇ E ˇ POVRCH PLA
parametrick´e rovnice
y = f (x), x ∈ ha, bi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi Z β Z b 0 S= f (x) dx S= ψ(t) · ϕ (t) dt Zα β Za b 2 2 0 [f (x)] dx V =π V = π [ψ(t)] · ϕ (t) dt Z β α Z b pa p 0 2 0 2 2 L= 1 + [f (x)] dx L= [ϕ (t)] + [ψ(t)] dt Z β α Z ab p p f (x) 1 + [f 0 (x)]2 dx P = ψ(t) [ϕ0 (t)]2 + [ψ(t)]2 dt P = 2π a
43.1
α
Obsah rovinn´ e oblasti
1. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkou y = x2 a osou x pro x ∈ h−3, 3i. 2. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = x3 a y = x pro x ∈ h1, 2i. 3. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y =
2 1+x2
a y = xx .
[ 18 ] [ 94 ] [ π − 23 ]
4. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = x3 + x2 − 6x a osou x pro x ∈ h−3, 3i. [ 28 32 ] 5. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = 2x2 a y = x2 a y = 1. 6. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = ex − 1 a y = e2x a x = 0.
√
[ 2 2−3
2
]
[ ln 4 − 12 ]
7. Urˇcete obsah p˚ ulkruhu zadan´eho prametrick´ ymi rovnicemi x = r cos t, y = r sin t, 2 t ∈ h0, πi. [ πr2 ] 8. Pomoc´ı urˇcit´eho integr´alu urˇcete obsah troj´ uheln´ıka ABC, kde A = [−1, 0], A = [2, 0], A = [0, 2]. [3]
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
43 Aplikace urˇcit´eho integr´alu - cviˇcen´ı
43.2
158
Objem tˇ elesa
9. Vypoˇctˇete objem kuˇzelu, kter´ y vznikne rotac´ı pˇr´ımky y = 12 x − 1 kolem osy x pro x ∈ h2, 6i. [ π 16 ] 3 10. Vypoˇctˇete Pˇr´ıklad 14 pomoc´ı vhodn´e parametrizace. 11. Vypoˇctˇete objem tˇelesa, kter´ y vznikne rotac´ı plochy mezi kˇrivkami y = x2 + 1, y = 0, x = 1 a x = 0 kolem osy y. [ 32 π ] 12. Vypoˇctˇete objem tˇelesa, kter´ y vznikne rotac´ı plochy mezi kˇrivkami y = 5x, y = 5x2 : a) kolem osy x; b) pro x ∈ h1, 4i kolem osy y;
[ 10 π] 3 [ 4590π ]
13. Vypoˇctˇete objem tˇelesa, kter´ y vznikne rotac´ı plochy mezi kˇrivkami y = 21 x2 + 1, y = 1 − 2 x + 4 a x = 0: a) kolem osy x;
[ 92 π] 5
b) kolem osy y;
[ 4π ]
14. Odvod’te vztah pro objem rotaˇcn´ıho komol´eho kuˇzelu s polomˇery podstav 0 < r1 ≤ r2 a v´ yˇskou v. Z r2 − r1 [ V = π 0v x + r1 dx ] v 15. Urˇcete objem elipsoidu, kter´ y vznikne rotac´ı elipsy dan´e parametrick´ ymi rovnicemi x = a cos t, y = b cos t, t ∈ h0, 2πi kolem osy x. [ 4πr2 ]
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
43 Aplikace urˇcit´eho integr´alu - cviˇcen´ı
43.3
159
D´ elka kˇ rivky
16. Urˇcete d´elku asteroidy dan´e parametrick´ ymi rovnicemi x = a cos3 t, y = b sin3 t, t ∈ h0, 2πi. [ 6a ]
43.4
Porvch tˇ elesa
17. Pomoc´ı Riemannova integr´alu urˇcete povrch koule o polomˇeru r, je-li tvoˇr´ıc´ı p˚ ulkruˇznice d´ana: √ [ 4πr2 ] a) explicitnˇe y = + r2 − x2 ; b) parametricky x = r cos t, y = r sin t, kde t ∈ h0, πi;
[ 4πr2 ]
18. Urˇcete pl´aˇstˇe tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı ˇca´sti asteroidy x = a cos3 t, y = b sin3 t,
povrch [ 65 πa2 ] t ∈ 0, π2 kolem osy x. 19. Odvod’te vzorec pro povrch koule o polomˇeru r.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
44 Integr´al jako funkce horn´ı meze
44
160
Integr´ al jako funkce horn´ı meze
Mˇejme f (x) na ha, bi riemannovsky integrovatelnou, pro x ∈ ha, bi Z x f (t) dt a
nazveme integr´ al jako funkce horn´ı meze. Pˇ r. y = x2 , ha, bi x
Z
3 x t x3 1 t dt = + = 3 1 3 3 2
1
⇒ a m´a vliv na konstantu Z
x
f (t) dt = 0 (pro x = a) x
Z a
Z
Z f (t) dt = −
x
x
a
f (t) dt x
b
f (t) dt . . . integr´al jako funkce doln´ı meze x
pouˇzit´ı: Z dx ln x Z zavedeme a
x
dt = Li(x) . . . zavedli jsme zcela konkr´etn´ı funkci, tzv. funkci logaritmus inln t
tegr´al Li(x)
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
44 Integr´al jako funkce horn´ı meze
161
Vˇ eta Pˇredpokl´adejme, ze f (x) je riemannovsky integrovateln´a ja ha, bi. Pak je Z x f (t) dt F (x) = a
spojit´a na ha, bi. D˚ ukaz x0 ∈ ha, bi, > 0, funkce f (x) je riemannovsky integrovateln´a na ha, bi, tzn. je zde omezen´a. Tzn. existuje c ∈ R takov´e, ˇze |f (x)| ≤ c. Oznaˇcme δ = c . Vezmˇeme x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ ha, bi. Pak Z x0 Z x0 Z x f (t) dt ≤ |x − x0 |c < δc = c = f (t) dt = f (t) dt − |F (x0 ) − F (x)| = c x a a
y c
x0
x
x
Obr´azek 104: F (x) omezen´a Tzn. F (x) je spojit´a.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
44 Integr´al jako funkce horn´ı meze
162
Vˇ eta Pˇredpokl´adeje, ˇze f (x) je riemannovsky integrovateln´a na ha, bi a spojit´a v x0 ∈ ha, bi. Pak Z x f (t)dt F (x) = a
m´a derivaci a plat´ı, ˇze F 0 (x0 ) = f (x0 ). (Je-li x0 = a nebo x0 = b, jedn´a se o derivaci jednostrannou). D˚ ukaz > 0, f (x) spojit´a v x0 , tzn. pro 2 existuje δ > 0 takov´e, ˇze ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ ha, bi plat´ı |f (x) − f (x0 )| < 2 . Pro x 6= x0 , x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ ha, bi m´ame Z x Z x0 1 F (x) − F (x0 ) f (x )(x − x ) 0 0 = = − f (x ) f (t) dt − f (t) dt − 0 x − x0 x − x0 x − x0 a a Z 1 = x − x0
x
Z f (t) dt −
x0
1 ≤ |x − x0 |
Z ·
x
x0
x
x0
f (x0 ) dt =
|f (t) − f (x0 )| dt ≤
1 |x − x0 |
1 |x − x0 |
Z ·
x
x0
Z x · (f (t) − f (x0 ) dt ≤ x0
h i x 1 t = < . dt = 2 |x − x0 | 2 x0 2
Tzn. F 0 (x0 ) = f (x0 ). D˚ usledky 1. Je-li f (x) spojit´a na ha, bi, pak Z F (x) =
x
f (t)dt a
m´a derivaci na ha, bi a plat´ı F 0 (x) = f (x) tzn. F (x) je na ha, bi primitivn´ı funkc´ı k funkci f (x). 2. k funkci spojit´e na ha, bi existuje funkce primitivn´ı a to spojit´a. ⇒ i pro Riemannovu funkci tak existuje primitivn´ı funkce F (x) a to v bodech spojitosti, tj. v iracion´aln´ıch ˇc´ıslech. F (x) tak existuje bodovˇe, ne na urˇcit´em intervalu.
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
45 Nevlastn´ı integr´aly - teorie
45
163
Nevlastn´ı integr´ aly - teorie ∞
Z
x
Z
f (t) dt
f (x) dx = lim
x→∞
a
a
nazveme nevlastn´ı integr´ al vlivem meze. y
f (x) =
1 x2
x
Obr´azek 105: Nevlastn´ı integr´al vlivem meze Vyjde-li limita vlastn´ı, tak ˇrekneme, ˇze integr´al je konvergentn´ı. Vyjde-li limita nevlastn´ı, tak ˇrekneme, ˇze integr´al je divergentn´ı. Neexistuje-li limita, tak ˇrekneme, ˇze integr´al je divergentn´ı. Pˇ r.
Z 1
∞
1 dx = lim x→∞ x2 Z
Z
x
1
1 f (t) dt = lim − +1=1 x→∞ x
b
b
Z
f (t) dt
f (x) dx = lim
x→−∞
−∞
Z
∞
Z
a
Z
f (x) dx = −∞
∞
f (x) dx . . . nutno integr´al rozdˇelit
f (x) dx + −∞
x
a
Bude konvergentn´ı, pokud budou konvergentn´ı oba integr´aly na prav´e stranˇe rovnosti. y
1 f (x) = e−x
2
x
Obr´azek 106: Gaussova kˇrivka
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
45 Nevlastn´ı integr´aly - teorie
164
Roste-li funkce na n´ami zkouman´em intervalu nadevˇsechny meze, tak poˇc´ıt´ame Z b Z x f (x) dx = lim− f (t) dt x→b
a
a
a nazveme tento integr´al nevlastn´ım integr´ alem vlivem funkce. y
a
b
x
Obr´azek 107: Nevlastn´ı integr´al vlivem funkce
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
46 Nevlastn´ı integr´aly - cviˇcen´ı
46
165
Nevlastn´ı integr´ aly - cviˇ cen´ı
1. Spoˇctˇete n´asleduj´ıc´ı nevlastn´ı integr´aly: Z 1 x ln x dx a) 0
Z
∞
b) 1
Z
8
c) 0
Z
x3 + 1 dx x4
[6]
1 2
(x − 1) 3
0
Z
dx
[6]
∞
e−ax cos bx dx
e) 0
Z
[ diverguje ]
1 √ dx 3 x
2
d)
[ − 14 ]
∞
a [ a2 +b 2 ]
2
xe−x dx
f)
[ 12 ]
0
Z
∞
g) 1
Z
h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r)
arctg x dx 1 + x2
2
[ − 3π ] 32
1
1 dx 1 − x2 0 Z ∞ 1 dx 2 −∞ 1 + x Z ∞ 1 √ dx x x 1 Z ∞ 1 dx x2 2 Z ∞ 1 √ dx x 1 Z ∞ 1 dx 2 x(x + 1) 1 Z ∞ 1 dx x ln x 2 Z ∞ 1 √ dx x x+1 1 Z ∞ x2 e−x dx 0 Z ∞ 1 dx −x + ex −∞ e Z ∞ cos x dx
[ π2 ]
√
[π] [2] [ 12 ] [ diverguje ] [ 12 ln 2 ] [ ∞, diverguje ] √
[ ln √2+1 ] 2−1 [2] [ π2 ] [ diverguje ]
1
SA1
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
46 Nevlastn´ı integr´aly - cviˇcen´ı Z
∞
s) 1
Z t)
1 x4 +2
166
[1 −
dx
π 4
]
∞
e−3x dx
[ 13 ]
0
Z
∞
2. Rozhodnˇete, pro kter´a k > 0 konverguje, resp. diverguje integr´al 1
1 dx. xk
pro 0 < k ≤ 1 diverguje, pro k > 1 konverguje k ˇc´ıslu − Z 3. Rozhodnˇete, pro kter´a k > 0 konverguje, resp. diverguje integr´al 0
1
1 dx. xk
pro k ≥ 1 diverguje, pro 0 < k < 1 konverguje k ˇc´ıslu Z 4. Rozhodnˇete, pro kter´a k > 0 konverguje, resp. diverguje integr´al
1 1−k
1 1−k
∞
e−kx dx.
0
pro vˇsechna k > 0 konverguje k ˇc´ıslu
SA1
1 k
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
46 Nevlastn´ı integr´aly - cviˇcen´ı
167
Vˇ eta (Srovn´avac´ı krit´erium integr´al˚ u) Necht’ 0 ≤ f (x) ≤ g(x) v ha, bi, kde f (x) je v lev´em okol´ı bodu b neohraniˇcen´a a inteZ b grovateln´a na vˇsech ha, ci, a < c < b. Pak plat´ı, ˇze konverguje-li integr´al g(x) dx, pak a Z b Z b Z b g(x) dx. f (x) dx, pak diverguje i f (x) dx. Diverguje-li konverguje tak´e a
a
a
5. Na z´akladˇe srovn´avac´ıho krit´eria rozhodnˇete o konvergenci integr´al˚ u: Z ∞ Z ∞ ln(x2 + 2) 1 a) dx Srovn´avat napˇr. s dx, diverguje x x 1 1 Z ∞ Z ∞ 1 x dx Srovn´avat napˇr. s b) dx, konverguje 3 x +1 x2 1 1 Z ∞ Z ∞ 1 arctg x dx Srovn´avat napˇr. s dx, diverguje c) x x 1 1
Vˇ eta (Integr´aln´ı krit´erium pro konvergenci nekoneˇcn´e ˇrady
∞ X
an )
n=1
Necht’ f (x) je na intervalu ha, ∞), a > 0 takov´a spojit´a nez´aporn´a nerostouc´ı funkce, ˇze Z ∞ ∞ X an a integr´al f (x) dx f (n) = an pro skoro vˇsechna pˇrirozen´a n. Pak nekoneˇcn´a ˇrada n=1
a
z´aroveˇ n konverguj´ı nebo diverguj´ı. 6. Na z´akladˇe integr´aln´ıho krit´eria rozhodnˇete o konvergenci nekoneˇcn´e ˇrady: a) b) c) d)
∞ X 1+n 1 + n2 n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1
SA1
n (n + 1)3
diverguje konverguje
n 1 + n2
diverguje
1 −1
konverguje
n2
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
Seznam obr´azk˚ u
168
Seznam obr´ azk˚ u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 SA1
´ Uhlopˇ r´ıˇcka ˇctverce . . . . . . . . . Relace . . . . . . . . . . . . . . . . Zobrazen´ı . . . . . . . . . . . . . . Ekvivalence . . . . . . . . . . . . . Uspoˇra´d´an´ı . . . . . . . . . . . . . Uspoˇra´d´an´ı - dˇelitelnost . . . . . . Manhattansk´a metrika . . . . . . . Pˇr. nemetriky“ . . . . . . . . . . . ” Otevˇren´e koule . . . . . . . . . . . Otevˇren´a mnoˇzina . . . . . . . . . Otevˇren´e mnoˇziny . . . . . . . . . . Uzavˇren´e mnoˇziny . . . . . . . . . Kobonovy troj´ uheln´ıky . . . . . . . Konvergentn´ı posloupnost . . . . . Okol´ı bodu . . . . . . . . . . . . . -okol´ı bodu . . . . . . . . . . . . . Ryz´ı okol´ı bodu . . . . . . . . . . . Ryz´ı -okol´ı bodu . . . . . . . . . . Restrikce Domf . . . . . . . . . . . Extenze Domf . . . . . . . . . . . Sudost/lichost funkce . . . . . . . . Vlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe . . Ryz´ı okol´ı zprava . . . . . . . . . . Ryz´ı okol´ı zleva . . . . . . . . . . . Nevlastn´ı limita ve vlastn´ım bodˇe . Vlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇe . Nevlastn´ı limita ve nevlastn´ım bodˇe Existence limity . . . . . . . . . . . 1. Bolzanova vˇeta . . . . . . . . . . Browerova vˇeta . . . . . . . . . . . Sˇc´ıt´an´ı funkc´ı . . . . . . . . . . . . Kompozice funkc´ı . . . . . . . . . . Nulov´ y polynom . . . . . . . . . . . Konstatn´ı polynom . . . . . . . . . Line´arn´ı polynom . . . . . . . . . . Kvadratick´e polynomy . . . . . . . Kubick´e polynomy . . . . . . . . . Domf mocninn´ ych funkc´ı . . . . . Exponenci´aln´ı funkce . . . . . . . . Logaritmick´e funkce . . . . . . . . Jednotkov´a kruˇznice . . . . . . . . Zaveden´ı na troj´ uheln´ıku . . . . . . y = sec x . . . . . . . . . . . . . . . y = cosec x . . . . . . . . . . . . . . Nekoneˇcn´a funkˇcn´ı ˇrada . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 5 6 7 8 9 42 42 43 43 44 44 45 46 47 47 47 47 58 59 60 63 63 63 64 64 65 65 67 68 71 72 73 73 74 75 76 80 81 82 83 83 84 84 86
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
Seznam obr´azk˚ u
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 SA1
Zaveden´ı ex ˇca´st 1 . . . . . . . . Zaveden´ı ex ˇca´st 2 . . . . . . . . Zaveden´ı sin x . . . . . . . . . . y = Sin x . . . . . . . . . . . . . y = arcsin x . . . . . . . . . . . y = Cos x . . . . . . . . . . . . y = arccos x . . . . . . . . . . . y = Tg x . . . . . . . . . . . . . y = arctg x . . . . . . . . . . . . y = Cotg x . . . . . . . . . . . . y = arccotg x . . . . . . . . . . y = Sec x . . . . . . . . . . . . . y = arcsec x . . . . . . . . . . . y = Cosec x . . . . . . . . . . . y = arccosec x . . . . . . . . . . Hyperbolick´e funkce . . . . . . Silniˇcn´ı radar . . . . . . . . . . Definice derivace . . . . . . . . Nevlastn´ı derivace . . . . . . . . Znam´enko derivace . . . . . . . Porovn´an´ı grafu f a f 0 1 . . . . Porovn´an´ı grafu f a f 0 2 . . . . Rolleova vˇeta . . . . . . . . . . Lagrangeova vˇeta . . . . . . . . Diferenci´al . . . . . . . . . . . . ˇ ad vs. stupˇen R´ ˇ polynomu . . . . Hroty funkce . . . . . . . . . . Lok´aln´ı minimum . . . . . . . . Minimum v hrotu funkce . . . . Derivace v extr´emu . . . . . . . Nulov´a druh´a derivace . . . . . Zmˇeny znam´enka funkce . . . . Zmˇeny monotonnosti funkce . . Konvexnost . . . . . . . . . . . Konk´avnost . . . . . . . . . . . Asymptoty funkce . . . . . . . . Znam´enko funkce . . . . . . . . Monotonnie funkce . . . . . . . Konvexnost/konk´avnost funkce Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 1 . . . . Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 2 . . . . Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 3 . . . . Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 4 . . . . Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 5 . . . . Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 6 . . . . Pr˚ ubˇeh funkce - cviˇcen´ı 7 . . . . Primitivn´ı funkce . . . . . . . .
169
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87 87 88 89 89 90 90 91 91 92 92 93 93 94 94 95 97 97 98 98 99 99 104 105 109 112 115 115 116 116 116 118 118 119 119 122 125 125 125 126 127 128 129 130 131 132 133
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM
Seznam obr´azk˚ u
93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107
SA1
Urˇcit´ y integr´al . . . . . . . . . . Zaveden´ı Riemannova integr´alu Integrace Riemannovy funkce . Integrovatelnost . . . . . . . . . Obsah podgrafu . . . . . . . . . Plocha mezi 2 rafy . . . . . . . Obsah elipsy . . . . . . . . . . . D´elka kˇrivky . . . . . . . . . . . Ploˇsn´ y pr˚ uˇrez tˇelesa . . . . . . Objem kuˇzele . . . . . . . . . . Objem anuloidu . . . . . . . . . F (x) omezen´a . . . . . . . . . . Nevlastn´ı integr´al vlivem meze . Gaussova kˇrivka . . . . . . . . . Nevlastn´ı integr´al vlivem funkce
170
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
144 145 147 149 151 151 152 153 154 155 155 161 163 163 164
´ FSI VUT v Brnˇe, 21. srpna 2011 UM