MASARYKOVA UNIVERZITA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ FAKULTA LUCIE DOUDOVÁ DAVID HAMPEL JAROSLAV MICHÁLEK HANA PYTELOVÁ Z PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

´ MASARYKOVA UNIVERZITA • EKONOMICKO-SPRAVN I´ FAKULTA

L UCIE D OUDOV A´ DAVID H AMPEL Z UZANA H RDLI Cˇ KOV A´ ´ JAROSLAV M ICH ALEK H ANA P YTELOV A´ M AREK S EDLA Cˇ ´I K ´ SB´ IRKA ULOH ˇ Z PRAVDEPODOBNOSTI A STATISTIKY

BRNO 2006

preprint

1. Mnoˇziny Pˇr´ıklad 1.1. Bud’te A = {1, 2, 5, 7}, B = {1, 5, 8, 9, 10} mnoˇziny. Na z´akladn´ı mnoˇzinˇe M = {0, 1, . . . , 10} urˇcete: a) A ∪ B

g) A − B

b) A ∩ B

h) B − A

c) A ∪ B

i) A ∩ B

d) A − B

j) A ∩ B

e) B − A

k) A ∪ B

f) A ∩ B

l) A ∪ B

Pˇr´ıklad 1.2. Bud’te A = {0, 1, 3, 4, 9}, B = {1, 2, 3, 5, 8, 9, 10}, C = {1, 3, 5, 11} mnoˇziny. Na z´akladn´ı mnoˇzinˇe M = {0, 1, . . . , 11} urˇcete: a) (A ∪ B) ∩ C

f) A ∩ (B ∪ C)

b) (A ∩ B) ∪ C

g) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

c) (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

h) (A ∪ B) ∩ (A ∩ C)

d) (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

i) (A ∩ B) ∩ (A ∪ C)

e) A ∪ (B ∩ C)

j) (A ∩ C) ∩ (A ∩ B ∩ C)

Pˇr´ıklad 1.3. Pro koneˇcn´e mnoˇziny A, B zn´azornˇete pomoc´ı Vennova diagramu de Morganova pravidla. ˇ Oznaˇcme Pˇr´ıklad 1.4. Uvaˇzujeme 100 vybran´ych firem v CR. A1 ={firmy, kter´e v roce 2003 exportovaly} A2 ={firmy, kter´e mˇely v roce 2003 v´ıce jak 100 zamˇestnanc˚u} A3 ={firmy, kter´e dos´ahly v roce 2003 zisku}. 2

a) Zn´azornˇete mnoˇziny A1 , A2 , A3 pomoc´ı Vennova diagramu (pˇredpokl´ad´ame, zˇ e vˇsechny moˇzn´e kombinace zm´ınˇen´ych vlastnost´ı firem jsou zastoupeny). b) Zn´azornˇete a slovnˇe popiˇste n´asleduj´ıc´ı mnoˇziny: 3 3 T S A1 , A1 ∩ A2 , A2 ∪ A3 , Ai , Ai , A1 − A2 i=1

i=1

c) Ovˇeˇrte de Morganova pravidla (slovnˇe i graficky). Pˇr´ıklad 1.5. Necht’ A, B, C jsou mnoˇziny. Na z´akladn´ı mnoˇzinˇe M zn´azornˇete pomoc´ı Vennova diagramu: a) A ∪ B

f) B ∩ C

b) A ∩ B

g) A ∩ B

c) A − B

h) A ∩ B ∩ C

d) A ÷ B

i) A ∩ B ∩ C

e) A

j) A ∩ B ∩ C

Pˇr´ıklad 1.6. Urˇcete vˇsechny moˇzn´e podmnoˇziny mnoˇziny M = {3, −4, 5}. Pˇr´ıklad 1.7. Necht’ A, B, C jsou mnoˇziny. Na z´akladn´ı mnoˇzinˇe M zjednoduˇste: a) (A ∪ B) ∩ (B ∪ A) b) (A ∪ B) ∪ (B ∪ A) c) (A ∪ B) ∪ [(B ∪ C) ∩ (B ∩ C)] d) (A ∩ B ∩ C) ∪ [B ∩ (A ∪ C)]

3

Pˇr´ıklad 1.8. Necht’ A, B, C jsou mnoˇziny. Na z´akladn´ı mnoˇzinˇe M zjednoduˇste: a) A ∪ (B ∩ A) b) (A ∪ B) ∪ (A ∪ B) c) [A ∪ [B ∩ (A ∩ B)]] ∪ [(B ∩ C) ∩ (B ∪ C)] d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) Pˇr´ıklad 1.9. Necht’ A, B, C, D jsou mnoˇziny. Na z´akladn´ı mnoˇzinˇe M ovˇeˇrte rovnost: a) A ∪ (A ∩ B) = A b) A ∩ B ∩ C ∩ D = (A ∩ B ∩ D) ∩ (C ∪ D) c) (A ∩ B) ∩ C = (C ∪ D) ∩ (B ∩ A ∩ C) d) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)

4

2. Integr´al Pˇr´ıklad 2.1. Vypoˇctˇete obsah jednotkov´eho kruhu. Pˇr´ıklad 2.2. Vypoˇctˇete obsah plochy omezen´e kˇrivkou y = e−x , osami x, y a pˇr´ımkou x = 1. Pˇr´ıklad 2.3. Urˇcete obsah plochy pod kˇrivkou y = h−2, 5i.

λ −λ|x| e , 2

λ > 0 na intervalu

Pˇr´ıklad 2.4. Vypoˇctˇete obsah plochy omezen´e kˇrivkami 2 x2 + y 2 = 8 a y = x2 .

¤ £ 2π + 43

Pˇr´ıklad 2.5. Vypoˇctˇete obsah plochy omezen´e kˇrivkami y 2 = 2x + 1, x − y − 1 = 0 a y = 0.

£ 16 ¤ 3

Pˇr´ıklad 2.6. Pro λ1 > 0, λ2 > 0 vypoˇctˇete: Z5 λ1 e−λ1 x . λ2 e−λ2 (5−x) dx. 0

h

Pˇr´ıklad 2.7. Vypoˇctˇete:

Z∞ x.

λ1 λ2 −5λ2 λ1 −λ2 (e

i − e−5λ1 )

1 − x2 . e 2 dx. 3

0

£1√ ¤ 6 2π

Pˇr´ıklad 2.8. Je d´ana mnoˇzina M = {[x, y] ∈ R2 : y ≤ e−2x+1 , x ∈ (0, 1), y ≥ 0}. Vypoˇctˇete obsah t´eto mnoˇziny.

h

5

e2 −1 2e

i

Pˇr´ıklad 2.9. Vypoˇctˇete:

Z x5 lnx dx. h

Pˇr´ıklad 2.10. Je d´ana funkce ϕ(x) = Pro λ > 0 vypoˇctˇete:

½

λe−λx 0

x6 6 (ln x

i − 16 ) + c

pro x > 3 pro x ≤ 3

Z∞ ϕ(x) dx. −3

£ −3λ ¤ e

Pˇr´ıklad 2.11. Je d´ana funkce  2 x      −3x + 2 e−2x g(x) =   x−2    0 Vypoˇctˇete:

pro −4 ≤ x < −2 pro −2 ≤ x < 0 pro 0 ≤ x < 2 pro 2 ≤ x ≤ 5 jinak

Z∞ g(x)dx. −5

£ 442 15

−

1 2e4

¤

Pˇr´ıklad 2.12. Vypoˇctˇete objem u´ tvaru vymezen´eho funkc´ı ½ 2 pro 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 f (x, y) = 0 jinak a pˇredpisem x + y ≤ 1. Pˇr´ıklad 2.13. Je d´ana mnoˇzina M = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 .x2 ≤ k, 0 < xi ≤ 1, i = 1, 2}. Pro 0 < k < 1 vypoˇctˇete:

Z Z dx1 dx2 . M

[k − k ln k]

6

Pˇr´ıklad 2.14. Vypoˇctˇete

Z Z 2x1 x2 dx1 dx2 , G

kde G = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 + x2 ≤ 1, 0 ≤ xi < 1, i = 1, 2}. £1¤ 12

7

3. Kombinatorika Nejdˇr´ıve pˇripomeneme z´akladn´ı pojmy. Poˇcet uspoˇra´ dan´ych dvojic: Ze dvou koneˇcn´ych mnoˇzin A = {a1 , . . . , am }, B = {b1 , . . . , bn } vyb´ır´ame uspoˇra´ dan´e dvojice typu [al , bk ], kde al ∈ A, bl ∈ B. Vˇsechny moˇzn´e dvojice sestav´ıme do tabulky tak, zˇ e dvojice [al , bk ] bude v l-t´em ˇra´ dku a k-t´em sloupci. Kaˇzd´a dvojice bude v tabulce zaps´ana pr´avˇe jednou, tedy poˇcet uspoˇra´ dan´ych dvojic z m a n prvkov´ych mnoˇzin je mn. Poˇcet uspoˇra´ dan´ych k-tic: Nyn´ı pˇrejdˇeme ke k mnoˇzin´am A, B . . . , X, jejich poˇcet prvk˚u bude po ˇradˇe n1 , . . . , nk . Z tˇechto mnoˇzin vyb´ır´ame uspoˇra´ danou k-tici prvk˚u [ai , bj , . . . , xl ] tak, zˇ e ai ∈ A, bj ∈ B, . . . , xl ∈ X. Pokud bychom uvaˇzovali pouze 3 mnoˇziny, vezmeme vˇsechny uspoˇra´ dan´e dvojice z prvn´ıch dvou mnoˇzin za prvky nov´e mnoˇziny. Z pˇredchoz´ıho v´ıme, zˇ e m´a tato mnoˇzina n1 n2 prvk˚u. Nyn´ı tedy m˚uzˇ eme pohl´ızˇ et na trojici [a, b, c] jako na dvojici [[a, b], c]. Zˇrejmˇe m´a n1 n2 n3 prvk˚u. Matematickou indukc´ı pak zjist´ıme, zˇ e z k mnoˇzin, kde i-t´a m´a ni prvk˚u, i = 1, . . . , k, m˚uzˇ eme vytvoˇrit n1 × · · · × nk uspoˇra´ dan´ych k-tic. Variace: Je d´an n prvkov´y z´akladn´ı soubor A = {a1 , . . . , an }. Libovolnou uspoˇra´ danou k-tici [aj1 , . . . , ajk ], aj1 ∈ A, . . . , ajk ∈ A budeme naz´yvat uspoˇra´ dan´y v´ybˇer rozsahu k ze z´akladn´ıho souboru. Poˇcet vˇsech takov´ych v´ybˇer˚u bude zˇrejmˇe z´aleˇzet na tom, zda se prvky v k-tici mohou, nebo nemohou opakovat. Kdyˇz se prvky v uspoˇra´ dan´em v´ybˇeru nemohou opakovat, tvoˇr´ı tento uspoˇra´ dan´y v´ybˇer variaci bez opakov´an´ı k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚u. Kdyˇz se mohou opakovat, tvoˇr´ı uspoˇra´ dan´y v´ybˇer variaci s opakov´an´ım k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚u. Poˇcet variac´ı bez opakov´an´ı: Pˇredpokl´adejme, zˇ e n ≥ k. Pak prvn´ı prvek v´ybˇeru m˚uzˇ e b´yt vybr´an z n moˇzn´ych prvk˚u z´akladn´ıho souboru, druh´y uˇz pouze z n−1 prvk˚u atd. Variace bez opakov´an´ı tedy odpov´ıd´a uspoˇra´ dan´e k-tici vybran´e postupnˇe z mnoˇzin rozsahu n1 = n, n2 = n − 1, . . . , nk = n − k + 1. Tedy poˇcet variac´ı bez opakov´an´ı je (n)k = n(n − 1) · · · (n − k + 1). Zˇrejmˇe (n)k = 0 pro k > n. Pro x ∈ R klademe (x)k = x(x − 1) × · · · × (x − k + 1). Poˇcet permutac´ı bez opakov´an´ı Pokud n = k ud´avaj´ı variace bez opakov´an´ı poˇcet vˇsech uspoˇra´ d´an´ı n prvkov´e mnoˇziny a naz´yvaj´ı se permutace. Poˇcet permutac´ı je (n)n = n(n − 1) · · · 1 = n!. Klademe 0! = 1. 8

Poˇcet variac´ı s opakov´an´ım: Jak bylo ˇreˇceno, pokud se prvky ze z´akladn´ıho souboru mohou v uspoˇra´ dan´em v´ybˇeru opakovat, mluv´ıme o variaci s opakov´an´ım (uspoˇra´ dan´em v´ybˇeru s opakov´an´ım). Kaˇzd´y prvek v´ybˇeru rozsahu k vol´ıme z n prvk˚u z´akladn´ıho souboru. Variace s opakov´an´ım tedy odpov´ıd´a uspoˇra´ dan´e ktici, kdyˇz n1 = . . . = nk = n. Proto je poˇcet variac´ı s opakov´an´ım k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚u roven nk . Kombinace: Nyn´ı budeme pˇred pˇredpokl´adat, zˇ e z n prvkov´eho z´akladn´ıho souboru A = {a1 , . . . , an } vyb´ır´ame k-prvkov´y soubor, pˇriˇcemˇz na uspoˇra´ d´an´ı prvk˚u ve v´ybˇeru nez´aleˇz´ı. Libovoln´y takov´y vybran´y soubor naz´yv´ame kombinac´ı k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚u. Pokud se prvky v kombinaci nemohou opakovat, mluv´ıme o kombinaci bez opakov´an´ı, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe o kombinaci s opakov´an´ım. Kombinace k-t´e tˇr´ıdy z n prvk˚u tedy odpov´ıdaj´ı neuspoˇra´ dan´emu v´ybˇeru rozsahu k z n prvkov´eho z´akladn´ıho souboru. Poˇcet kombinac´ı bez opakov´an´ı: Pˇredpokl´adejme nejdˇr´ıve, zˇ e se prvky v neuspoˇra´ dan´em v´ybˇeru nemohou opakovat. Prvky kaˇzd´eho takov´eho v´ybˇeru mohou b´yt uspoˇra´ d´any k! zp˚usoby. Z pˇredchoz´ıho v´ıme, zˇ e poˇcet vˇsech variac´ı bez opakov´an´ı je (n)k . Tedy pokud poˇcet vˇsech kombinac´ı bez opakov´an´ı rozsahu k z n ¡ ¢ n! k prvk˚u oznaˇc´ıme x, pak xk! = (n)k . Odtud x = (n) = (n−k)!k! = nk pro k ≤ r. k! ¡ ¢ ¡¢ k Klademe nk = 0 pro k > n a xk = (x) pro x ∈ R. k! Poˇcet kombinac´ı s opakov´an´ım: Kombinac´ı s opakov´an´ım rozum´ıme neuspoˇra´ dan´y v´ybˇer k prvk˚u, kter´e vyb´ır´ame z n-prvkov´e z´akladn´ı mnoˇziny tak, zˇ e se vyb´ıran´e prvky mohou opakovat (a na poˇrad´ı vybran´ych prvk˚u nez´aleˇz´ı). Jejich poˇcet odpov´ıd´a poˇctu vˇsech rozklad˚u cˇ´ısla k na souˇcet k1 + k2 + · · · + kn , kde ki ≥ 0 je poˇcet v´yskyt˚u i-t´eho prvku z´akladn´ıho souboru ve vybran´em souboru, i = 1, . . . , n. Libovolnou kombinaci s opakov´an´ım m˚uzˇ eme zapsat pomoc´ı posloupnosti ∗” a |”. Napˇr. kombinace s opakov´an´ım ze z´akladn´ı mnoˇziny ” ” M = {a1 , a2 , a3 } m˚uzˇ e b´yt tvoˇrena prvky a1 , a3 , a1 , a1 . Tuto kombinaci z opakov´an´ım, kdy prvek a1 byl vybr´an tˇrikr´at, prvek a2 nebyl vybr´an a prvek a3 byl vybr´an pr´avˇe jednou, lze zn´azornit pomoc´ı posloupnosti symbol˚u ∗” a |” ” ” typu | ∗ ∗ ∗ || ∗ |. Pˇriˇcemˇz poˇcet ∗” mezi sousedn´ımi prvky typu |” ch´apeme ” ” jako poˇcet prvk˚u v pˇrihr´adce, vymezen´e dvˇema n´asledn´ymi symboly |” (tzv. ” hranice pˇrihr´adek). Kdyˇz v dan´e posloupnosti uveden´ych symbol˚u nepoˇc´ıt´ame pevn´e krajn´ı hranice pˇrihr´adek, je d´elka takov´e posloupnosti k + (n − 1) (kkr´at je obsaˇzena ∗” a (n − 1)-kr´at je obsaˇzena hranice pˇrihr´adky |”). Protoˇze ” ” um´ıstˇen´ım hranic pˇrihr´adek |” na m´ısta t´eto posloupnosti jednoznaˇcnˇe urˇc´ıme ” jednu z moˇzn´ych kombinac´ı s opakov´an´ım, odpov´ıd´a poˇcet kombinac´ı s opakov´an´ım poˇctu vˇsech rozm´ıstˇen´ı (n−1) hranic pˇrihr´adek |” na vybran´a m´ısta po” sloupnosti d´elky k + (n − 1). Rozm´ıstˇen´ı tedy m˚uzˇ eme popsat jako neuspoˇra´ dan´y v´ybˇer rozsahu n − 1 hranic pˇrihr´adek |”¡z mnoˇ ziny n + k − 1 pozic. Tedy poˇcet ” n+k−1¢ vˇsech kombinac´ı s opakov´an´ım je roven n−1 . 9

Poˇcet permutac´ı s opakov´an´ım: Nyn´ı hled´ame poˇcet zp˚usob˚u, jak´ymi m˚uzˇ e b´yt rozdˇeleno n prvk˚u z´akladn´ı mnoˇziny do k mnoˇzin, kde prvn´ı m´a n1 , druh´a n2 a posledn´ı nk prvk˚u. Pˇredpokl´ad´ame, zˇ e m´a b´yt rozdˇeleno vˇsech n prvk˚u z´akladn´ı mnoˇziny, tj. n = n1 + · · · + nk . Nejprve vybereme do prvn´ı mnoˇziny n1 prvk˚u ze z´akladn´ı mnoˇziny, n2 prvk˚u pro druhou mnoˇzinu vyb´ır´ame uˇz pouze ze zbyl´ych n − n1 prvk˚u z´akladn´ı mnoˇziny, atd. Po v´ybˇeru do (k − 1)-v´e mnoˇziny uˇz zb´yv´a pouze nk prvk˚u pro v´ybˇer do k-t´e mnoˇziny. Tedy poˇcet vˇsech tˇechto rozm´ıstˇen´ı je ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶µ n − n1 n − n1 − n2 n − n1 − · · · − n(k−1) n ··· . n1 n2 n3 nk Po rozeps´an´ı kombinaˇcn´ıch cˇ´ısel a u´ pravˇe dost´av´ame, zˇ e poˇcet tˇechto rozm´ıstˇen´ı je n! . n1 !n2 ! . . . nk ! Toto cˇ´ıslo ud´av´a poˇcet uspoˇra´ d´an´ı n prvkov´e mnoˇziny, kde je n1 stejn´ych prvk˚u typu 1, . . ., nk stejn´ych prvk˚u typu k. Takov´a uspoˇra´ d´an´ı se naz´yvaj´ı permutace s opakov´an´ım. Vlastnosti kombinaˇcn´ıch cˇ´ısel µ ¶ µ ¶ n n = k n−k

µ ¶ µ ¶ n n = =n 1 n−1

˚ trojuheln´ ´ Pascaluv ık n 0 1 2 3 4 .. .

¡4¢ 0

¡3¢ 0

¡2¢ 0

¡4 ¢ 1

¡1¢ 0

¡3¢ 1

¡0¢ 0

¡2¢ 1

¡4¢ 2

.. .

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 .. .

¡1 ¢ 1

¡3 ¢ 2

¡2¢ 2

¡4¢ 3

¡3¢ 3

¡4 ¢ 4

10

µ ¶ µ ¶ n n = =1 n 0

Binomick´a vˇeta

¶ n µ X n (x + y) = xk y n−k = k n

k=0

µ =

n

n 0

¶

µ 0 n

xy +

n

n P

µ

n 1

n k

¶

µ 1 n−1

xy

+

n 2

¶

µ 2 n−2

xy

+ ... +

n n

¶ xn y 0

¶

(1 + 1) = 2 = . . . poˇcet vˇsech podmnoˇzin n-prvkov´e mnoˇziny k=0 µ ¶ n . . . poˇcet k-prvkov´ych podmnoˇzin n-prvkov´e mnoˇziny k

11

Pˇr´ıklad 3.1. Zjistˇete, cˇ emu je rovno

¡n¢ k

+

¡

¢

n k+1

h¡ ¢i n+1 k+1

Pˇr´ıklad 3.2. Zjistˇete, cˇ emu je rovno ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ a) 44 + 54 + 64 + 74 + 84 ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡ ¢ b) 22 + 32 + 42 + . . . + 20 2 £¡9¢¡21¢¤ 5

Pˇr´ıklad 3.3. Ovˇeˇrte, zˇ e plat´ı vztah

n ¡ ¢¡ P a k=0

k

b n−k

¢

=

¡a+b¢ n

3

pro a = 3, b = 4, n = 5. [21]

ˇ ste n´asleduj´ıc´ı rovnice: Pˇr´ıklad 3.4. Reˇ ¡ x ¢ ¡x+1¢ a) x−2 − x =4 b)

¡x+1¢3 1

+6

¡x+1¢ 2

−6

¡x¢ 3

= 9x2 − 25 [ a) x = 5, (x = −2 nevyh.), b) ?]

Pˇr´ıklad 3.5. Seˇctˇete vybran´y ˇra´ dek Pascalova troj´uheln´ıka. [2n ]

Pˇr´ıklad 3.6. Ukaˇzte, zˇ e plat´ı: ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ a) n0 − n1 + n2 − n3 + . . . + (−1)n nn = 0 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ b) n0 + 2 n1 + 22 n2 + 23 n3 + . . . + 2n nn = 3n Pˇr´ıklad 3.7. Zjistˇete, a) kolik pˇrirozen´ych pˇeticifern´ych cˇ´ısel lze utvoˇrit z cˇ´ıslic 1, 5, 6, 8, 9. b) D´ale zjistˇete poˇcet pˇrirozen´ych cˇ tyˇrcifern´ych cˇ´ısel, kter´a lze utvoˇrit z cˇ´ıslic 1, 5, 6, 8, 9, v pˇr´ıpadˇe, zˇ e se cˇ´ıslice nesmˇej´ı opakovat a c) tak´e v pˇr´ıpadˇe, zˇ e se cˇ´ıslice opakovat mohou. £

a) 5!, b) 120, c) 54

¤

Pˇr´ıklad 3.8. Kolika zp˚usoby lze rozesadit 5 zˇ en a 5 muˇzu˚ kolem kulat´eho stolu tak, aby zˇ a´ dn´e dvˇe osoby t´ehoˇz pohlav´ı nesedˇely vedle sebe? [2 · 5! · 5!]

12

Pˇr´ıklad 3.9. Kolik pˇrirozen´ych cˇ´ısel menˇs´ıch neˇz 5000 lze vytvoˇrit z cˇ´ıslic 0, 3, 4, 5, jestliˇze se zˇ a´ dn´a cˇ´ıslice neopakuje? [42]

Pˇr´ıklad 3.10. Vojenskou kolonu budou tvoˇrit dva ter´enn´ı vozy UAZ, tˇri auta Praga V3S a cˇ tyˇri Tatry 138. Kolika zp˚usoby lze kolonu seˇradit, jestliˇze a) stejn´a vozidla maj´ı jet za sebou b) stejn´a vozidla maj´ı jet za sebou a pˇritom ter´enn´ı vozy UAZ mus´ı b´yt pˇred vozy Tatra 138 c) na poˇrad´ı vozidel nejsou kladeny zˇ a´ dn´e podm´ınky [ a) 3!, b) 3, c) 1260]

Pˇr´ıklad 3.11. Pˇri v´yrobˇe urˇcit´e souˇca´ stky je tˇreba prov´est cˇ tyˇri operace A, B, C, D, pro kter´e plat´ı n´asleduj´ıc´ı podm´ınky: 1. Operace B nesm´ı b´yt prvn´ı a operace A nesm´ı b´yt posledn´ı. 2. Operaci C mus´ıme prov´est dˇr´ıve neˇz operaci D. Kolik r˚uzn´ych postup˚u existuje pˇri v´yrobˇe t´eto souˇca´ stky? [7]

Pˇr´ıklad 3.12. Tˇri muˇzi a dvˇe zˇ eny hledaj´ı m´ısto. Ve mˇestˇe jsou tˇri z´avody, kde berou jen muˇze, dva, kde berou jen zˇ eny a dva, kde berou muˇze i zˇ eny. Kolika zp˚usoby se m˚uzˇ e pˇetice lid´ı rozm´ıstit do tˇechto z´avod˚u? [2000]

Pˇr´ıklad 3.13. Je d´ano k pˇredmˇet˚u, kter´e se maj´ı rozm´ıstit do n rozliˇsiteln´ych pˇrihr´adek. Kolika zp˚usoby to lze prov´est, jsou-li pˇredmˇety a) rozliˇsiteln´e, b*) nerozliˇsiteln´e. h

a) nk , b)

¡n−1+k¢i k

Pˇr´ıklad 3.14. Je d´ano k pˇredmˇet˚u, kter´e se maj´ı rozm´ıstit do n rozliˇsiteln´ych pˇrihr´adek tak, aby v kaˇzd´e pˇrihr´adce byl alespoˇn jeden pˇredmˇet. Kolika zp˚usoby to lze prov´est, jsou-li pˇredmˇety nerozliˇsiteln´e. h i ¡ k−1 ¢ k−n

13

Pˇr´ıklad 3.15. Je d´ano k pˇredmˇet˚u a n rozliˇsiteln´ych pˇrihr´adek. Kolik existuje zp˚usob˚u rozm´ıstˇen´ı pˇredmˇet˚u do pˇrihr´adek, kdyˇz v pˇredem dan´e pˇrihr´adce m´a b´yt pr´avˇe r pˇredmˇet˚u, jsou-li pˇredmˇety a) rozliˇsiteln´e, b*) nerozliˇsiteln´e. h a)

¡k¢ ¡ ¢i k−r , b) n−2+k−r (n − 1) r k−r

Pˇr´ıklad 3.16. Kolika zp˚usoby lze rozm´ıstit k pˇredmˇet˚u do n rozliˇsiteln´ych pˇrihr´adek, m´a-li b´yt pr´avˇe m pˇrihr´adek pr´azdn´ych (0 ≤ m ≤ n), jsou-li pˇredmˇety nerozliˇsiteln´e. h¡ ¢¡ ¢i n m

k−1 k−n+m

Pˇr´ıklad 3.17. Je d´ano n pˇrihr´adek. Do prvn´ı pˇrihr´adky m´ame um´ıstit k1 pˇredmˇet˚u, atd., aˇz do n-t´e pˇrihr´adky kn pˇredmˇet˚u. Pˇredmˇety jsou rozliˇsiteln´e a jejich celkov´y poˇcet je k = k1 + k2 + . . . + kn . Kolika zp˚usoby lze rozm´ıstˇen´ı prov´est? h i k! k1 !k2 !...kn !

Pˇr´ıklad 3.18. * Existuj´ı cˇ tyˇri krevn´ı skupiny, kter´e oznaˇcujeme A, B, AB, 0. Urˇcete poˇcet vˇsech moˇznost´ı rozdˇelen´ı deseti osob podle uveden´ych krevn´ıch skupin. [286]

Pˇr´ıklad 3.19. * Kolika zp˚usoby lze rozm´ıstit do dev´ıti pˇrihr´adek sedm b´ıl´ych a dvˇe cˇ ern´e koule? £¡ ¢¡ ¢¤ 10 2

15 7

Pˇr´ıklad 3.20. * Kolika zp˚usoby si mohou 4 dˇeti rozdˇelit 10 modr´ych, 15 cˇ erven´ych a 8 zelen´ych kuliˇcek, jestliˇze kaˇzd´e d´ıtˇe mus´ı dostat alespoˇn 1 kuliˇcku kaˇzd´eho druhu? £¡ ¢¡ ¢¡ ¢¤ 9 3

14 3

7 3

Pˇr´ıklad 3.21. * Ve v´yzkumn´em u´ stavu pracuje 67 lid´ı. Z nich 47 ovl´ad´a angliˇctinu, 35 nˇemˇcinu, 20 francouzˇstinu, 23 nˇemˇcinu a angliˇctinu, 12 angliˇctinu a francouzˇstinu, 11 nˇemˇcinu a francouzˇstinu a 5 lid´ı vˇsechny tˇri jazyky. Kolik pracovn´ık˚u u´ stavu neovl´ad´a zˇ a´ dn´y z tˇechto jazyk˚u? [6]

Pˇr´ıklad 3.22. * Do v´ytahu pˇetiposchod’ov´e budovy nastoupilo 8 osob. Kolika zp˚usoby se mohou rozm´ıstit do jednotliv´ych poschod´ı, kdyˇz v kaˇzd´em poschod´ı vystoup´ı alespoˇn jedna osoba? [126000]

14

4. Pravdˇepodobnost Klasick´a pravdˇepodobnost m(A) m(Ω)

P (A) =

P(

n [ i=1

Ai ) =

n X i=1

P (Ai ) −

n−1 X n X

P (Ai ∩ Aj ) +

i=1 j=i+1

n−2 X n−1 X n X

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak )−

i=1 j=i+1 k=j+1

+ . . . + (−1)n−1 P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An )

Geometrick´a pravdˇepodobnost Q(B) =

mes(B) mes(G)

Podm´ınˇen´a pravdˇepodobnost P (A|H) =

P(

n \

P (A ∩ H) P (H)

Ai ) = P (A1 ) · P (A2 |A1 ) · P (A3 |A1 ∩ A2 ) · . . . · P (An |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An )

i=1

P (A) =

X

P (Hi ) · P (A|Hi )

i∈I

P (Hk ) · P (A|Hk ) P (Hk |A) = P P (Hi ) · P (A|Hi ) i∈I

15

4.1 Klasick´a pravdˇepodobnost Pˇr´ıklad 4.1. Pˇri hodu 2 kostkami budeme sledovat souˇcet ok na obou kostk´ach. S jakou pravdˇepodobnost´ı dostaneme souˇcet a) roven 6, b) vˇetˇs´ı neˇz 7? [ a) 0, 139; b) 0, 417.]

Pˇr´ıklad 4.2. Pˇri hodu 3 kostkami budeme sledovat souˇcet ok na vˇsech tˇrech kostk´ach. a) S jakou pravdˇepodobnost´ı dostaneme souˇcet 8? b) Kter´y souˇcet je pravdˇepodobnˇejˇs´ı, 9 nebo 10? [ a) 0, 097; b) 10.]

Pˇr´ıklad 4.3. Paradox Chevaliera de M´er´e. Ch. de M´er´e pozoroval, zˇ e pˇri h´azen´ı tˇremi kostkami pad´a souˇcet 11 cˇ astˇeji neˇz souˇcet 12, i kdyˇz podle jeho n´azoru (nespr´avn´eho) maj´ı oba souˇcty stejnou pravdˇepodobnost. Stanovte pravdˇepodobnost obou jev˚u. [ a) 0.125, b) 0.1157.]

Pˇr´ıklad 4.4. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e pˇri hodu dvˇema kostkami bude a) souˇcin b) souˇcet ok sud´e cˇ´ıslo. [0.75; 0.5.]

Pˇr´ıklad 4.5. Hod´ıme tˇrikr´at jednou minc´ı. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e a) padne dvakr´at l´ıc a jednou rub, b) padne tˇrikr´at l´ıc, c) padne tˇrikr´at rub, d) padne jednou l´ıc a dvakr´at rub. £

¤ a) p = 3/23 , b) p = 1/23 , c) p = 1/23 , d) p = 3/23 .

16

Pˇr´ıklad 4.6. Hod´ıme pˇetkr´at minc´ı. Jak´a je pravdˇepdobnost, zˇ e l´ıc padne pr´avˇe tˇrikr´at? [0.3125.]

Pˇr´ıklad 4.7. Hod´ıme n-kr´at minc´ı. Jak´a je pravdˇepdobnost, zˇ e l´ıc padne pr´avˇe k-kr´at? £¡n¢ n ¤ k

/2 .

Pˇr´ıklad 4.8. Z u´ pln´e hry 32 karet vyt´ahneme dvakr´ate po sobˇe po jedn´e kartˇe, pˇri cˇ emˇz prvn´ı kartu nevrac´ıme zpˇet do hry. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e obˇe vytaˇzen´e karty jsou esa? [3/248.]

Pˇr´ıklad 4.9. Z u´ pln´e hry karet vyt´ahneme 2-kr´at po sobˇe po jedn´e kartˇe, pˇri cˇ emˇz prvn´ı kartu vr´at´ıme zpˇet do hry. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e obˇe vytaˇzen´e karty jsou t´ezˇ e barvy? [1/4.]

Pˇr´ıklad 4.10. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e lze sestrojit troj´uheln´ık ze tˇrech u´ seˇcek, kter´e n´ahodnˇe vybereme a) ze 4 u´ seˇcek o d´elk´ach 4, 6, 8 a 10, b) z 5 u´ seˇcek o d´elk´ach 5, 8, 10, 13 a 15. [ a) 3/4; b) 7/10.]

ˇ ısla 1, 2, . . . , n jsou n´ahodnˇe uspoˇra´ d´ana. Urˇcete pravdˇepodobnost Pˇr´ıklad 4.11. C´ toho, zˇ e cˇ´ısla a) 1 a 2, b) 1, 2 a 3 jsou uspoˇra´ d´ana hned vedle sebe v uveden´em poˇra´ dku. £ ¤ a) n−1 , b) 1/(n(n − 1)).

Pˇr´ıklad 4.12. Hr´acˇ A h´azˇ e sˇesti hrac´ımi kostkami a vyhraje, pokud padne alespoˇn jedna jedniˇcka. Hr´acˇ B h´azˇ e dvan´acti hrac´ımi kostkami a vyhr´av´a, pokud padnou alespoˇn dvˇe jedniˇcky. Kdo m´a vˇetˇs´ı pravdˇepodobnost v´yhry? Pˇr´ıklad 4.13. Najdˇete pravdˇepodobnost toho, zˇ e mezi k n´ahodnˇe vybran´ymi cˇ´ıslicemi nebudou zˇ a´ dn´e dvˇe stejn´e. h i pk =

10! −k (10−k)! 10 .

Pˇr´ıklad 4.14. Ve v´ytahu, kter´y zastavuje v n poschod´ıch, n ≥ k, je na zaˇca´ tku k osob. Jak´a je pravdˇepodobnost p toho, zˇ e zˇ a´ dn´e dvˇe osoby nevystoup´ı ve stejn´em poschod´ı, kdyˇz pˇredpokl´ad´ame, zˇ e osoba vol´ı poschod´ı, v nˇemˇz vystoup´ı n´ahodnˇe a nez´avisle na ostatn´ıch osob´ach. £ ¤ p = n−k n!/(n − k)!.

17

Pˇr´ıklad 4.15. H´az´ıme n hrac´ıch kostek. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e padne n1 jedniˇcek, . . ., n6 sˇestek, n1 + n2 + . . . + n6 = n.

[p = n!/(n1 !n2 ! . . . n6 ! · 6n ).]

Pˇr´ıklad 4.16. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e ve v´ybˇeru s opakov´an´ım mezi tˇremi n´ahodnˇe vybran´ymi cˇ´ıslicemi a) vˇsechny 3 cˇ´ıslice budou shodn´e, b) pr´avˇe 2 cˇ´ıslice budou shodn´e, c) zˇ a´ dn´e 2 cˇ´ıslice nebudou shodn´e. ˇ ste podobnou u´ lohu pro v´ybˇer cˇ tyˇr cifer. Reˇ [ a) p1 = 0, 01, p2 = 0, 27, p3 = 0, 72, b) p1 = 0, 001, p2 = 0, 063, p3 = 0, 432, p4 = 0, 504.]

Pˇr´ıklad 4.17. V osud´ı je a koul´ı b´ıl´ych a b koul´ı cˇ ern´ych. Vyt´ahneme dvakr´at po sobˇe vˇzdy po jedn´e kouli, pˇriˇcemˇz prvn´ı kouli nevr´at´ıme zpˇet. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e a) obˇe vytaˇzen´e koule jsou b´ıl´e, b) prvn´ı koule je b´ıl´a a druh´a cˇ ern´a, c) prvn´ı koule je cˇ ern´a a druh´a b´ıl´a, d) jedna koule bude cˇ ern´a a druh´a b´ıla, pˇriˇcemˇz nez´aleˇz´ı na jejich poˇrad´ı, e) druh´a vytaˇzen´a koule je b´ıl´a. h

a(a−1) ab (a+b)(a+b−1) , b) p = (a+b)(a+b−1) , i a(a+b−1) a (a+b)(a+b−1) = (a+b) .

a) p = e) p =

c) p =

ab (a+b)(a+b−1) ,

d) p =

2ab (a+b)(a+b−1) ,

Pˇr´ıklad 4.18. V osud´ı jsou 3 koule b´ıl´e a 5 koul´ı cˇ ern´ych. Vyt´ahneme dvakr´ate po sobˇe vˇzdy po jedn´e kouli a prvn´ı kouli nevr´at´ıme zpˇet. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e druh´a vytaˇzen´a koule je b´ıl´a? [3/8.]

Pˇr´ıklad 4.19. V osud´ı je a koul´ı b´ıl´ych a b koul´ı cˇ ern´ych. Vyt´ahneme k-kr´at po sobˇe vˇzdy po jedn´e kouli, pˇriˇcemˇz po zˇ a´ dn´em tahu kouli nevr´at´ıme zpˇet. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e posledn´ı vytaˇzen´ i ha koule je b´ıl´a. p=

18

a(a+b−1)(a+b−2)...(a+b−k+1) (a+b)(a+b−1)(a+b−2)...(a+b−k+1)

=

a (a+b) .

Pˇr´ıklad 4.20. Narozeniny k lid´ı pˇredstavuj´ı v´ybˇer s opakov´an´ım rozsahu k ze souboru vˇsech dn˚u v roce. Roky nemaj´ı stejnou d´elku, a v´ıme, zˇ e porodnost bˇehem roku nez˚ust´av´a st´al´a. Nicm´enˇe v prvn´ım pˇribl´ızˇ en´ı je moˇzn´e pˇredpokl´adat, zˇ e v roce je 365 dn˚u a uvaˇzovat n´ahodn´y v´ybˇer lid´ı m´ısto n´ahodn´eho v´ybˇeru dn˚u narozenin. Pˇri tˇechto pˇredpokladech urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e vˇsech k dn˚u narozenin je v r˚uzn´ych dnech. £ ¤ p = 365−k 365!/(365 − k)!.

Pˇr´ıklad 4.21. Pˇredpokl´adejme, zˇ e se 3 lid´e setkali zcela n´ahodnˇe. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e a) nemaj´ı narozeniny spoleˇcnˇe v 1 den (kaˇzd´y m´a narozeniny v jin´y den v roce), b) alespoˇn 2 osoby z tˇechto 3 maj´ı narozeniny spoleˇcnˇe v 1 den, c) pr´avˇe 2 osoby z tˇechto 3 maj´ı narozeniny spoleˇcnˇe v 1 den. Pozn.: pˇrestupn´y rok neuvaˇzujte.

£

¤ a) 0, 9918; b) 0, 0082; c) 8, 197 · 10−3 .

Pˇr´ıklad 4.22. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e pˇri souˇcasn´em hodu sˇesti kostkami padne a) na kaˇzd´e kostce jin´e cˇ´ıslo, b) sam´e jedniˇcky, c) pr´avˇe pˇet jedniˇcek, d) pr´avˇe cˇ tyˇri jedniˇcky, e) alespoˇn cˇ tyˇri jedniˇcky, f) sam´a lich´a cˇ´ısla, g) vˇsechna cˇ´ısla stejn´a, h) pr´avˇe k jedniˇcek. £

a)

6! , 66

b)

1 , 66

c)

5 , 65

d)

375 , 66

e)

406 , 66

f)

1 , 26

g)

1 , 65

h)

¡6¢ 6−k ¤ . k 5

Pˇr´ıklad 4.23. Ve skupinˇe student˚u je 7 muˇzu˚ a 4 zˇ eny. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e v sestaven´em sˇestiˇclenn´em volejbalov´em t´ymu budou alespoˇn dvˇe zˇ eny? [0.803.]

19

Pˇr´ıklad 4.24. Pep´ık dostal s´acˇ ek s deseti bonony, z nichˇz bylo pˇet ovocn´ych a pˇet mentolov´ych. Ze s´acˇ ku n´ahodnˇe vybral sˇest bonbon˚u, kter´e rozdˇelil kamar´ad˚um. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e mezi nimi byly dva mentolov´e? £ ¤ 5 21 .

Pˇr´ıklad 4.25. V urnˇe je 6 cˇ erven´ych, 3 modr´e a 3 b´ıl´e koule. Vyt´ahneme 4 koule. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e a) vˇsechny 4 koule budou cˇ erven´e, b) 3 koule budou cˇ erven´e a 1 modr´a, c) 2 koule budou cˇ erven´e, 1 modr´a a 1 b´ıl´a. [ a) 0, 030; b) 0, 121; c) 0, 273.]

Pˇr´ıklad 4.26. Z 52 hrac´ıch karet n´ahodnˇe vybereme 13 karet. Stanovte pravdˇepodobnost, zˇ e mezi tˇemito kartami bude 5 ♠, 4 ♣, 3 ♦ a 1 ♥.£¡ ¢¡ ¢¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢ ¤ 13 5

13 4

13 3

13 1

/

52 13

.

Pˇr´ıklad 4.27. Pˇri bridˇzi obdrˇz´ı hr´acˇ 13, pˇri pokru 5 z 52 hrac´ıch karet. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e hr´acˇ a) bridˇze b) pokru dostane karty r˚uzn´ych hodnot (barvy karet se mohou shodovat). £ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¤ a) 413 /

52 13

. = 0, 0001057, b) 45

13 5

/

52 5

. = 0, 5071.

Pˇr´ıklad 4.28. V osud´ı je a koul´ı b´ıl´ych a b koul´ı cˇ ern´ych. Jedn´ım tahem vyt´ahneme (α + β) koul´ı. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e vyt´ahneme pr´avˇe α b´ıl´ych a β cˇ ern´ych koul´ı. h i p=

¡ a ¢¡ b ¢±¡ a+b ¢ α β α+β .

Pˇr´ıklad 4.29. V osud´ı je n l´ıstk˚u oˇc´ıslovan´ych cˇ´ısly 1, 2, . . . , n. Vyt´ahneme najednou m l´ıstk˚u. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e mezi vytaˇzen´ymi l´ıstky bude k l´ıstk˚u oznaˇceno pˇredem dan´ymi cˇ´ısly? h i p=

¡k¢¡ n−k ¢±¡ n ¢ k m−k m .

´ a sada 32 karet je rozd´ana mezi 4 hr´acˇ e. Jak´a je pravdˇepodobnost, Pˇr´ıklad 4.30. Upln´ zˇ e jeden urˇcit´y hr´acˇ m´a a) vˇsechna 4 esa, b) 2 esa a 1 kr´ale, c) 3 zelen´e a 2 cˇ erven´e karty? [ a) 0, 002; b) 0, 097; c) 0, 083.]

20

Pˇr´ıklad 4.31. Pokud se nauˇc´ıte ke zkouˇsce z 50 ot´azek pouze 25, jakou m´ate pravdˇepodobnost, zˇ e ze tˇr´ı vytaˇzen´ych ot´azek budete zn´at a) vˇsechny 3, b) pr´avˇe 2? [ a) 0, 117; b) 0, 383.]

Pˇr´ıklad 4.32. V tombole na plesu bylo prod´ano 960 los˚u a je pˇripraveno 20 vˇecn´ych cen. Pokud jste zakoupili 5 los˚u, s jakou pravdˇepodobnost´ı vyhrajete a) 1 cenu, b) alespoˇn 1 cenu? c) Vysvˇetlete, proˇc je pravdˇebodobnost pod a) menˇs´ı neˇz pod b). [ a) 0, 096; b) 0, 100.]

Pˇr´ıklad 4.33. Ve Sportce se z osud´ı obsahuj´ıc´ıho 49 cˇ´ısel losuje bez vracen´ı 6 cˇ´ısel. S´azej´ıc´ı oznaˇc´ı na s´azence 6 cˇ´ısel. Jak´a je pravdˇepodobnost a) v´yhry v 1. poˇrad´ı (uh´adnut´ı vˇsech 6 vylosovan´ych cˇ´ısel), b) v´yhry v 5. poˇrad´ı (uh´adnut´ı 3 vylosovan´ych cˇ´ısel), c) zˇ e s´azej´ıc´ı neuh´adne zˇ a´ dn´e vylosovan´e cˇ´ıslo? £

¤ a) 7, 151 · 10−8 ; b) 1, 765 · 10−2 ; c) 0, 436.

Pˇr´ıklad 4.34. V dod´avce 100 kus˚u stoln´ıch ventil´ator˚u je 5 vadn´ych. Ke kontrole t´eto dod´avky vybereme n´ahodnˇe 4 kusy. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e mezi kontrolovan´ymi ventil´atory a) nebude zˇ a´ dn´y vadn´y, b) bude 1 vadn´y, c) bude alespoˇn 1 vadn´y? [ a) 0, 812; b) 0, 176; c) 0, 188.]

Pˇr´ıklad 4.35. Bedna obsahuje 90 dobr´ych a 10 vadn´ych souˇca´ stek. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e mezi 10 vybran´ymi souˇca´ stkami nen´ı£zˇ a´ dn´ ¤ ± a vadn´a. 90! 80!

21

100! 90!

. = 0, 330476.

Pˇr´ıklad 4.36. (Odhad velikosti populace) Pˇredpokl´adejme, zˇ e z rybn´ıku bylo vyloveno tis´ıc ryb, kter´e byly n´aslednˇe oznaˇceny barvou a vypuˇstˇeny zpˇet. Pˇri dalˇs´ım odlovu tis´ıce ryb se uk´azalo, zˇ e sto z nich bylo oznaˇcen´ych. Z pozorovan´eho v´ysledku odhadnˇete nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı velikost populace ryb v rybn´ıku. [ Oznaˇcme n nezn´am´y poˇcet ryb v rybn´ıku. Ze zad´an´ı je zˇrejm´e, zˇ e ¡n ≥ ¢¡ 1900. Pravdˇ e podobnost, zˇ e v druh´em v´ylovu bylo ¢ ¡ n ¢ 1000 n−1000 100 oznaˇcen´ych ryb je p100 (n) = 100 / 1000 . Nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı poˇcet ryb 900 v rybn´ıku zjist´ıme maximalizac´ı pravdˇepodobnosti p100 (n). Hled´ame nejvˇetˇs´ı n pro kter´e pomˇer p100 (n)/p100 (n − 1) = (n − 1000)2 n−1 (n − 1900)−1 ≥ 1. Tedy sledovan´y jev m´a nejvˇetˇs´ı pravdˇepodobnost pro n = 10000. ]

Pˇr´ıklad 4.37. Technick´a kontrola provˇerˇuje v´yrobky ze sady skl´adaj´ıc´ı se z m v´yrobk˚u prvn´ıho druhu a n v´yrobk˚u druh´eho druhu. Zkouˇska prvn´ıch b v´yrobk˚u (b < n) n´ahodnˇe vybran´ych ze sady uk´azala, zˇ e vˇsechny byly druh´eho druhu. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e mezi dalˇs´ımi dvˇema v´yrobky vybran´ymi z dosud neprovˇ eˇren´ych nejv´ysˇe jeden v´yrobek bude druh´eho druhu. h ¡m¢ ¡m+n−b¢ / . Odeˇc´ıtan´y v´yraz je pravdˇepodobnost´ı, zˇ e oba v´yrobky jsou prvn´ıho 2 i2 druhu. 1−

Pˇr´ıklad 4.38. Hod´ıme n-kr´at po sobˇe jednou hrac´ı kostkou. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e alespoˇn v jednom hodu padne sˇestka”? £ ¡ 5 ¢n ¤ ” p=1−

6

.

Pˇr´ıklad 4.39. H´az´ıme n-kr´at po sobˇe dvˇema kostkami. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e alespoˇn pˇri jednom hodu padne souˇcet 12? £ ¡ ¢ ¤ p=1−

35 n . 36

Pˇr´ıklad 4.40. Kolikr´at mus´ıme h´azet hrac´ı kostkou, aby prvn´ı padnut´ı sˇestky” ” mˇelo pravdˇepodobnost a) vˇetˇs´ı neˇz£0,5 b) vˇ ¢s´ı neˇz 0,8 c) vˇetˇs´ı neˇz 0,9? ¤ ¡etˇ a) 1 −

5 n 6

> 0.5, n ≥ 4, b) n ≥ 9, c) n ≥ 13.

Pˇr´ıklad 4.41. Kolikr´at mus´ıme h´azet dvˇema hrac´ımi kostkami, abychom s pravdˇepodobnost´ı vˇetˇs´ı neˇz 1/2 oˇcek´avali, zˇ e aspoˇn jednou padne £ ¡souˇ ¢cet ok rovn´y 12?¤ 1−

35 n 36

≥ 0.5, n ≥ 25.

Pˇr´ıklad 4.42. Kolika zp˚usoby m˚uzˇ eme cˇ tyˇrem dˇetem rozdat 10 r˚uzn´ych duhov´ych kuliˇcek tak, aby Jirka dostal pr´avˇe 3 kuliˇcky? £¡ ¢ ¤ 10 3

4−10 (3)7 .

Pˇr´ıklad 4.43. Uvaˇzujme rozm´ıstˇen´ı k koul´ı do n osud´ı. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e pˇredem vybran´e osud´ı obsahuje pr´avˇe r koul´ı. h i ¡k¢ −k k−r . r n (n − 1)

22

Pˇr´ıklad 4.44. Pˇri bridˇzi je vˇsech 52 hrac´ıch karet rozdˇeleno cˇ tyˇrem hr´acˇ u˚ m. Stanovte pravdˇepodobnost, zˇ e kaˇzd´y hr´acˇ dostane jedno eso.h i 48! 4! (12!) 4

±

52! (13!)4

= 0, 105.

Pˇr´ıklad 4.45. Skupina se skl´ad´a z 5 muˇzu˚ a 10 zˇ en. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e pˇri jejich n´ahodn´em rozdˇelen´ı do 5 skupin po tˇrech lidech bude v kaˇzd´e skupinˇe muˇz. [ ¢Pˇri rozdˇelov´an´ı 15 lid´ı do 5 trojic je moˇzno ¡ ¢ ¡12 prvn´ı trojici vybrat 15 zp˚ u soby, druhou ı do 5 trojic je 3 , atd... Tedy vˇsech uskupen´ ¡15¢¡12¢¡9¢¡6¢¡3¢ 3 ¡10¢¡8¢¡6¢¡4¢¡2¢ 5 ´ vahou zjist´ıme, zˇ e existuje 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 = 15!/(3!) . Podobnou u seskupen´ı 10 zˇ en do 5 dvojic, pˇriˇcemˇz ke kaˇzd´emu seskupen´¤ı je moˇzno pˇridat libovolnou z permutac´ı 5 muˇzu˚ , tj. p = 10!5!(3!)5 /(25 15!) = 81/1001.

Pˇr´ıklad 4.46. Devˇet cestuj´ıc´ıch n´ahodnˇe nastoup´ı do tˇr´ı vag´on˚u. Kaˇzd´y cestuj´ıc´ı zvol´ı vag´on n´ahodnˇe a nez´avisle na ostatn´ıch cestuj´ıc´ıch. Jak´a je pravdˇepodobnost toho, zˇ e a) v kaˇzd´em vag´onˇe sed´ı 3 cestuj´ıc´ı, b) v jednom vag´onˇe sed´ı 4, v druh´em 3 a ve tˇret´ım 2 cestuj´ıc´ı? h a) p =

9! , (3!)3 39

i

b)

9! . 4!3!2!39

ˇ ri studenti si na st˚ul poloˇzili cˇ tyˇri sklenice s v´ınem. Po chv´ıli se Pˇr´ıklad 4.47. Ctyˇ ke stolu vr´atili a sklenice si vzali n´ahodnˇe. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e alespoˇn jeden z nich si vzal svoji sklenici? [0.625.]

Pˇr´ıklad 4.48. V osud´ı je r koul´ı oˇc´ıslovan´ych cˇ´ısly 1, 2, . . . , r. T´ahneme n-kr´at po sobˇe po jedn´e kouli, pˇriˇcemˇz kaˇzdou vytaˇzenou kouli vrac´ıme zpˇet. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e souˇcet cˇ´ısel, jimiˇz jsou vytaˇzen´e koule oˇc´ıslov´any, je roven cˇ´ıslu s? (n ≤ s ≤ nr) [Spoˇctˇete koeficient u mocniny xs v polynomu (x + x2 + . . . + xr )n ] h i p=

1 rn

Pk

i=0

¡n¢¡s−ir−1¢ s−n i i n−1 (−1) , kde k = [ r ].

Pˇr´ıklad 4.49. V osud´ı je n koul´ı oˇc´ıslovan´ych cˇ´ısly 1, 2, . . . , n. Vyt´ahneme nkr´at po sobˇe po jedn´e kouli, pˇriˇcemˇz vytaˇzen´e koule nevrac´ıme zpˇet. Osud´ı tedy ˇ vypr´azdn´ıme. Rekneme, zˇ e pro kouli s cˇ´ıslem i nastane setk´an´ı, pokud ji vyt´ahneme pr´avˇe v i-t´em tahu. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e a) pro kouli s cˇ´ıslem i nenastane setk´an´ı, b) ani pro kouli s cˇ´ısle i ani pro kouli s cˇ´ıslem k nenastane setk´an´ı, i 6= k. 23

h a) p =

n!−(n−1)! n!

= 1 − n1 , b) p =

n!−2(n−1)!+(n−2)! n!

=1−

2 n

i

+

1 n(n−1) .

Pˇr´ıklad 4.50. Z bal´ıcˇ ku 52 karet n´ahodnˇe vybereme 6 karet. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e mezi tˇemito kartami budou z´astupci vˇsech cˇ tyˇrech barev. ¡ ¢ ¡ ¢

52 [ Pravdˇepodobnost, zˇ e mezi 6 kartami nejsou ani jednou ♠, je rovna 39 6 / 6 . To je pravdˇepodobnost nepˇr´ıtomnosti karet jedn´e libovoln´ e ¢barvy. Tedy pravdˇepodobnost, ¡ ¢ ¡52 zˇ e mezi 6 kartami nen´ı nˇejak´a barva, je rovna 4 39 / epodobnost, zˇ e nejsou 6 6 . Pravdˇ ¡26¢ ¡52¢ ¡ ¢ ¡52¢ zastoupeny dvˇe dan´e barvy, je 6 / 6 , zˇ e nejsou zastoupeny tˇri dan´e barvy je 13 6 / 6 . ¡39¢ ¡52¢ ¡26¢ ¡52¢ ¡13¢ ¡52¢ ¤ Celkem p = 1 − 4 6 / 6 + 6 6 / 6 − 4 6 / 6 .

4.2 Geometrick´a pravdˇepodobnost Pˇr´ıklad 4.51. Hodiny, kter´e je tˇreba natahovat, se zastavily. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e se velk´a ruˇciˇcka a) zastavila mezi sˇestkou a osmiˇckou b) nezastavila mezi trojkou a pˇetkou c) zastavila pˇresnˇe na dvan´acti [ a) 1/6, b) 5/6, c) 0.]

Pˇr´ıklad 4.52. Proti s´ıti se cˇ tvercov´ymi oky o stranˇe 8 cm je kolmo hozen m´ıcˇ ek o pr˚umˇeru 5 cm. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e m´ıcˇ ek prolet´ı s´ıt´ı? [0.141.]

Pˇr´ıklad 4.53. V obd´eln´ıku o rozmˇerech 10 x 15 je zakreslena kruˇznice o polomˇeru 4 a cˇ tverec o stranˇe 4. V obd´eln´ıku zvol´ıme n´ahodnˇe bod N. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e tento bod a) leˇz´ı uvnitˇr kruˇznice, b) neleˇz´ı uvnitˇr cˇ tverce. [ a) 0, 335, b) 0, 893.]

Pˇr´ıklad 4.54. V´yskyt n´ahodn´ych cˇ´ısel lze simulovat na poˇc´ıtaˇc´ıch pomoc´ı tzv. gener´atoru pseudon´ahodn´ych cˇ´ısel (jedn´a se o umˇelou tvorbu n´ahodn´ych cˇ´ısel). Pˇredpokl´adejme, zˇ e nech´ame vygenerovat pseudon´ahodn´a cˇ´ısla rovnomˇernˇe rozloˇzen´a do intervalu (0;1); v´yskyt kaˇzd´eho cˇ´ısla z tohoto intervalu je tedy stejnˇe moˇzn´y. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e posledn´ı cˇ´ıslo z 50 vygenerovan´ych cˇ´ısel a) bude z intervalu (0,3; 0,5), 24

b) bude vˇetˇs´ı neˇz 0,7? [ a) 0, 2, b) 0, 3.]

Pˇr´ıklad 4.55. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e souˇcet dvou n´ahodnˇe zvolen´ych kladn´ych cˇ´ısel, z nichˇz zˇ a´ dn´e nen´ı vˇetˇs´ı neˇz jedna, bude nejv´ysˇe roven jedn´e a jejich souˇ cin nebude vˇetˇs´ı neˇz 92 ? £ Ω = {[x, y]| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}, A = {[x, y]| [x, y] ∈ Ω, x + y ≤ 1, xy ≤ 29 }, . p = 0, 487.]

Pˇr´ıklad 4.56. V kruhu o polomˇeru r se v dan´em smˇeru vedou tˇetivy. Vˇsechny pr˚useˇc´ıky tˇetiv s pr˚umˇerem kolm´ym k dan´emu smˇeru jsou stejnˇe moˇzn´e. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e d´elka n´ahodnˇe zvolen´e tˇetivy je nejv´£ysˇe r? √ ¤ p=1−

1 2

. 3 = 0, 134.

Pˇr´ıklad 4.57. Mezi dvˇema stanoviˇstˇemi, vzd´alen´ymi od sebe 600 metr˚u, je nataˇzen´y telefonn´ı kabel. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e bod, ve kter´em doˇslo k pˇreruˇsen´ı kabelu, bude od prvn´ıho stanoviˇstˇe vzd´alen a) v´ıce neˇz 75 metr˚u b) nejv´ysˇe 100 metr˚u [ a) 0.875, b) 0.167.]

Pˇr´ıklad 4.58. N´akladn´ı auto voz´ı nˇekolikr´at dennˇe cement z cement´arny na 20km vzd´alen´e staveniˇstˇe. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e v pˇr´ıpadˇe poruchy z˚ustane auto st´at a) nejd´ale 4 km od cement´arny nebo staveniˇstˇe b) v´ıce neˇz 8 km od cement´arny nebo staveniˇstˇe [ a) 0.4, b) 0.2.]

Pˇr´ıklad 4.59. Na u´ seˇcce o d´elce l se n´ahodnˇe um´ıst´ı dva body tak, zˇ e se u´ seˇcka rozdˇel´ı na tˇri cˇ a´ sti. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e z tˇr´ı vznikl´ych u´ seˇcek lze sestavit troj´uheln´ık. [Oznaˇcme x, y d´elky dvou u´ seˇcek. Ω = {[x, y]| 0 ≤ x + y ≤ l}, A = {[x, y]| [x, y] ∈ Ω, x ≤ l/2, y ≤ l/2, x + y ≥ l/2}, p = 0, 25.]

Pˇr´ıklad 4.60. Jak´a je pravdˇepodobnost toho, zˇ e z tˇr´ı n´ahodnˇe zvolen´ych u´ seˇcek, dlouh´ych nejv´ysˇe l, bude moˇzno sestrojit troj´uheln´ık? [Oznaˇcme x, y, z d´elky u´ seˇcek. Ω = {[x, y, z]| 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, 0 ≤ z ≤ l}, A = {[x, y, z]| [x, y, z] ∈ Ω, x + y ≥ z, x + z ≥ y, y + z ≥ x}, p = 0, 5.]

25

Pˇr´ıklad 4.61. Dva parn´ıky mus´ı pˇrirazit k t´emuˇz pˇr´ıstaviˇsti. Pˇr´ıjezdy obou parn´ık˚u jsou nez´avisl´e a stejnˇe moˇzn´e bˇehem cel´eho dne. Urˇcete pravdˇepodobnost toho, zˇ e jeden z parn´ık˚u bude muset cˇ ekat na uvolnˇen´ı pˇr´ıstaviˇstˇe, jestliˇze prvn´ı parn´ık stoj´ı v pˇr´ıstaviˇsti jednu hodinu a druh´y dvˇe hodiny. [Oznaˇcme x, y doby pˇr´ıjezdu parn´ık˚u. Ω = {[x, y]| 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}, A = {[x, y]| [x, y] ∈ Ω, y − x ≤ 1, x − y ≤ 2}. p = 0, 121.]

Pˇr´ıklad 4.62. Na zˇ elezniˇcn´ı trati se prov´ad´ı opravy, takˇze vlaky m˚uzˇ ou jezdit pouze po jedn´e koleji. Dva vlaky jedouc´ı v opaˇcn´em smˇeru, mohou t´ımto u´ sekem projet v pr˚ubˇehu tˇriceti minut v kteroukoli dobu se stejnou pravdˇepodobnost´ı. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e jeden vlak nebude muset cˇ ekat na druh´y, potˇrebuje-li prvn´ı vlak na projet´ı cel´eho u´ seku pˇet minut a druh´y vlak tˇri minuty. [0.752.]

Pˇr´ıklad 4.63. Dvˇe osoby se dohodly, zˇ e se setkaj´ı na stanoven´em m´ıstˇe mezi 17. a 18. hodinou. Ten, kdo pˇrijde jako prvn´ı, poˇck´a na toho druh´eho 15 minut a potom odejde. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e se setkaj´ı, je-li pˇr´ıchod obou v libovoln´em okamˇziku dohodnut´eho intervalu stejnˇe moˇzn´y? [7/16.]

Pˇr´ıklad 4.64. Dvˇe osoby maj´ı stejnou pravdˇepodobnost, zˇ e pˇrijdou nez´avisle na sobˇe na dohodnut´e m´ısto v libovoln´em okamˇziku cˇ asov´eho intervalu T . Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e jeden cˇ lovˇek bude cˇ ekat na druh´eho nejv´ysˇe po£dobu t? ¤ 1 − ( TT−t )2 .

Pˇr´ıklad 4.65. Na zast´avku pˇrij´ızˇ d´ı autobus linky A kaˇzd´ych 15 min. a autobus linky B kaˇzd´ych 20 min. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e od okamˇziku, kdy cestuj´ıc´ı pˇrijde na tuto zast´avku, pˇrijede a) autobus A dˇr´ıve neˇz autobus B, b) autobus A nebo autobus B do 5 minut. [ a) 5/8, b) 1/2.]

Pˇr´ıklad 4.66. (Buffonova u´ loha) V rovinˇe jsou nar´ysov´any rovnobˇezˇ ky, jejichˇz vzd´alenost je L. Urˇcete pravdˇepodobnost, zˇ e n´ahodnˇe vrˇzen´a jehla d´elky l (l < L) protne kteroukoliv pˇr´ımku. [ Oznaˇcme x vzd´alenost jehly od nejbliˇzsˇ´ı pˇr´ımky, ϕ u´ hel, kter´y sv´ır´a jehla s touto pˇr´ımkou. Ω = {[x,¤ ϕ]| 0 ≤ x ≤ L/2, 0 ≤ ϕ ≤ π}, 2l A = {[x, ϕ]| [x, ϕ] ∈ Ω, x ≤ (l/2) sin ϕ}, p = Lπ .

26

4.3 Podm´ınˇen´a pravdˇepodobnost Pˇr´ıklad 4.67. Hod´ıme dvˇemi hrac´ımi kostkami. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e padla alespoˇn jedna sˇestka, kdyˇz v´ıme, zˇ e souˇcet ok padl´ych na 1. a 2. kostce je 8? [2/5]

Pˇr´ıklad 4.68. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e pˇri hodu dvˇema kostkami padly dvˇe pˇetky, je-li zn´amo, zˇ e souˇcet ok je dˇeliteln´y pˇeti? [1/7]

Pˇr´ıklad 4.69. Z osud´ı, ve kter´em je m b´ıl´ych a n cˇ ern´ych koul´ı, vyt´ahneme postupnˇe bez vracen´ı dvˇe koule. Zjistili jsme, zˇ e prvn´ı vytaˇzen´a koule je b´ıl´a. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e druh´a vytaˇzen´a koule bude tak´e b´ıl´a? h i m−1 m+n−1

Pˇr´ıklad 4.70. Zjistili jsme, zˇ e pˇri hodu deseti hrac´ımi kostkami padla aspoˇn jedna jedniˇcka. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e padly 2 anebo v´ıce jedniˇ hcek? i 610 −3·510 610 −510

. = 0, 615

Pˇr´ıklad 4.71. Dokaˇzte, zˇ e jsou-li A a B nesluˇciteln´e jevy a P(A ∪ B) 6= 0, pak P(A|A ∪ B) =

P(A) . P(A) + P(B)

Pˇr´ıklad 4.72. Necht’ P(A|B) = 0, 7, P(A|B) = 0, 3, P(B|A) = 0, 6. Vypoˇctˇete P(A). [21/46]

Pˇr´ıklad 4.73. Firma odeb´ır´a stejn´e v´yrobky od dvou dodavatel˚u. Od prvn´ıho dodavatele odeb´ır´a mˇes´ıcˇ nˇe 8000 v´yrobk˚u, ze kter´ych je 10% vadn´ych. Od druh´eho dodavatele odeb´ır´a mˇes´ıcˇ nˇe 2000 v´yrobk˚u, ze kter´ych je 5% vadn´ych. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e n´ahodnˇe vybran´y v´yrobek z mˇes´ıcˇ n´ı dod´avky je vadn´y a poch´az´ı a) od prvn´ıho dodavatele, b) od druh´eho dodavetele. [ a) 0.08, b) 0.01]

Pˇr´ıklad 4.74. Ze sedmi v´yrobk˚u jsou tˇri vadn´e. N´ahodnˇe vybereme dva v´yrobky. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e jsou a) oba kvalitn´ı, b) pr´avˇe jeden vadn´y, 27

c) oba vadn´e? [ a) 2/7, b) 4/7, c) 1/7]

Pˇr´ıklad 4.75. V osud´ı je deset koul´ı oˇc´ıslovan´ych cˇ´ısly 0, 1, . . . , 9. N´ahodnˇe vybereme jednu kouli, poznamen´ame jej´ı cˇ´ıslo a kouli nevr´at´ıme zpˇet. Stejn´ym zp˚usobem vybereme i druhou a tˇret´ı kouli. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e dostaneme cˇ´ıslo 253? [1/720]

Pˇr´ıklad 4.76. Z osud´ı, ve kter´em je 6 b´ıl´ych a 4 cˇ ern´e koule, vybereme tˇrikr´at bez vracen´ı po jedn´e kouli. Oznaˇcme A1 jev: 1. vybran´a koule je cˇ ern´a”, A2 ” jev: 2. vybran´a koule je b´ıl´a”, A3 jev: 3. vybran´a koule je cˇ ern´a”. Vypoˇctˇete ” ” pravdˇepodobnost spoleˇcn´eho nastoupen´ı jev˚u A1 , A2 , A3 . [0.1]

Pˇr´ıklad 4.77. Z karetn´ı hry o 32 kart´ach vytahujeme postupnˇe 6 kr´at po sobˇe bez vracen´ı po jedn´e kartˇe. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e des´ıtka bude taˇzena aˇz v posledn´ım tahu? [0.0723]

Pˇr´ıklad 4.78. Ke kulat´emu stolu, kde je 2n m´ıst, si n´ahodnˇe posed´a n muˇzu˚ a n zˇ en. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e zˇ a´ dn´e dvˇe osoby stejn´eho pohlav´ı nebudou sedˇet vedle sebe? h i 2 2(n!) (2n)!

Pˇr´ıklad 4.79. V krabici je n lev´ych a n prav´ych rukavic stejn´eho druhu. Postupnˇe vyb´ır´ame vˇzdy dvˇe rukavice a nevrac´ıme je zpˇet. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e ve vˇsech takto vytaˇzen´ych p´arech bude lev´a i prav´a rukavice? h i 2n (n!)2 (2n)!

Pˇr´ıklad 4.80. Jsou d´ana tˇri osud´ı, pravdˇepodobnost volby kaˇzd´eho osud´ı je stejn´a. Prvn´ı osud´ı obsahuje 1 b´ılou, 2 modr´e a 3 cˇ erven´e koule. Druh´e osud´ı obsahuje 2 b´ıl´e koule, 1 modrou a 1 cˇ ervenou koul´ı. Tˇret´ı osud´ı obsahuje 4 b´ıl´e koule, 3 modr´e koul´ı a 3 cˇ erven´e. N´ahodnˇe zvol´ıme jedno osud´ı a vyt´ahneme z nˇej dvˇe koule a zjist´ıme, zˇ e jedna z tˇechto vytaˇzen´ych koul´ı je b´ıla a druh´a cˇ erven´a. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e tyto koule poch´azej´ı a) z prvn´ıho osud´ı, b) z druh´eho osud´ı, c) ze tˇret´ıho osud´ı? [ a) 1/4, b) 5/12, c) 1/3]

28

Pˇr´ıklad 4.81. Z osud´ı, kter´e obsahuje m b´ıl´ych (m > 3) a n cˇ ern´ych koul´ı, se ztratila jedna koule. Proto, abychom urˇcili obsah osud´ı, vybereme z osud´ı dvˇe koule. Zjistili jsme, zˇ e jsou b´ıl´e. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e ztracen´a koule je b´ıl´a? h i m−2 m+n−2

Pˇr´ıklad 4.82. Z osud´ı, kter´e obsahuje 3 b´ıl´e a 2 cˇ ern´e koule, byly nar´az vybr´any dvˇe koule. Ty byly vloˇzeny do druh´eho osud´ı, kter´e pˇredt´ım obsahovalo 4 b´ıl´e a 4 cˇ ern´e koule. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e po tomto pˇrem´ıstˇen´ı bude z druh´eho osud´ı vytaˇzena b´ıl´a koule? [0.52]

Pˇr´ıklad 4.83. Osud´ı obsahuje n koul´ı. Vˇsechny moˇzn´e poˇcty b´ıl´ych koul´ı v osud´ı jsou stejnˇe pravdˇepodobn´e. Zjistili jsme, zˇ e koule n´ahodnˇe vybran´a z osud´ı je b´ıl´a. Stanovte pravdˇepodobnost vˇsech moˇzn´ych p˚uvodn´ıch poˇct˚u b´ıl´ych koul´ı v osud´ı. Jak´y je nejpravdˇ epodobnˇejˇs´ı p˚uvodn´ı poˇcet b´ıl´ych koul´ı v osud´ı? h i P(Hi ) =

1 n+1 , P(Hi |B)

=

2i epodobnˇejˇs´ı n(n+1) , nejpravdˇ

je n koul´ı v osud´ı

Pˇr´ıklad 4.84. Osud´ı obsahuje celkem 10 koul´ı, z nichˇz nˇekter´e jsou b´ıl´e a nˇekter´e cˇ ern´e. Poˇcet b´ıl´ych koul´ı a cˇ ern´ych koul´ı vˇsak nen´ı pˇresnˇe zn´am. V´ıme jenom, zˇ e osud´ı bylo naplnˇeno t´ımto zp˚usobem: 10-kr´at po sobˇe bylo hozeno jednou minc´ı a pokud padl rub, byla do osud´ı vloˇzena b´ıl´a koule, pokud padl l´ıc, byla do osud´ı vloˇzena cˇ ern´a koule. Z takto naplnˇen´eho osud´ı bylo vytaˇzeno m-kr´at po sobˇe po jedn´e kouli, pˇriˇcemˇz po kaˇzd´em tahu byla vytaˇzen´a koule vr´acena zpˇet do osud´ı. Po proveden´ı tˇechto m tah˚u bylo zjiˇstˇeno, zˇ e vˇsech m koul´ı bylo b´ıl´ych. Stanovte pravdˇepodobnost, zˇ e a) dan´e osud´ı obsahovalo pouze b´ıl´e koule, tj. 10 b´ıl´ych a zˇ a´ dn´e cˇ ern´e koule. b) dan´e osud´ı obsahovalo jednu b´ılou a devˇet cˇ ern´ych koul´ı. ·

¸ a) P(H10 |A) =

m P1010 10 i=1

( i )im

, b) P(H1 |A) =

P10

10

i=1

(10i )im

Pˇr´ıklad 4.85. Pojiˇstovac´ı spoleˇcnost rozliˇsuje pˇri pojiˇst’ov´an´ı tˇri skupiny rˇidiˇcu˚ A, B, C. Pravdˇepodobnost toho, zˇ e ˇridiˇc patˇr´ıc´ı do skupiny A bude m´ıt bˇehem roku nehodu, je 0.02, zat´ımco u ˇridiˇce ze skupiny B je to 0.07 a u ˇridiˇce ze skupiny C je to 0.11. Z dlouhodob´eho sledov´an´ı spoleˇcnost odhadla, zˇ e 50% pojistn´ych smluv je uzavˇreno s ˇridiˇci ze skupiny A, 30% s ˇridiˇci ze skupiny B a 20% s ˇridiˇci ze skupiny C. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e ˇridiˇc, kter´y mˇel nehodu, patˇr´ı do skupiny a) A, b) B, c) C? [ a) 1/53, b) 21/53, c) 22/53]

29

Pˇr´ıklad 4.86. Jsou d´ana tˇri stejn´a osud´ı. Prvn´ı osud´ı obsahuje 2 b´ıl´e, 1 modrou a 3 cˇ erven´e koule. V druh´em osud´ı jsou 4 b´ıl´e, 3 modr´e a 2 cˇ erven´e koule. Tˇret´ı osud´ı obsahuje 1 b´ılou, 2 modr´e a 1 cˇ ervenou kouli. N´ahodnˇe zvol´ıme osud´ı a z toho vyt´ahneme postupnˇe dvˇe koule, pˇriˇcemˇz zˇ a´ dnou vytaˇzenou kouli nevrac´ıme zpˇet. Uk´azalo se, byla vytaˇzena jedna modr´a a jedna cˇ erven´a koule. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e koule byly vybr´any z a) z prvn´ıho osud´ı, b) z druh´eho osud´ı, c) ze tˇret´ıho osud´ı? [ a) 2/7, b) 5/21, c) 10/21]

Pˇr´ıklad 4.87. Z osud´ı, kter´e obsahuje 5 b´ıl´ych a 5 cˇ ern´ych koul´ı, bylo vytaˇzeno 5 koul´ı a vloˇzeno do jin´eho pr´azdn´eho osud´ı. Z tohoto osud´ı byly vytaˇzeny 3 koule a vloˇzeny do tˇret´ıho pr´azdn´eho osud´ı. Z tohoto tˇret´ıho osud´ı byla vytaˇzena jedna koule a bylo zjiˇstˇeno, zˇ e je b´ıl´a. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e vˇsech 5 koul´ı, vytaˇzen´ych z prvn´ıho osud´ı, bylo b´ıl´ych? [P(H5 |A) = 1/126]

´ Pˇr´ıklad 4.88. (Uloha Chevailera de M´er´e) a) Hod´ıme n kr´at jednou kostkou. Oznaˇcme A jev: sˇestka padne alespoˇn jednou.” Jak´e mus´ı b´yt minim´aln´ı n, aby ” pravdˇepodobnost, zˇ e nastane jev A byla alespoˇn 0.6? b) Hod´ıme n kr´at po sobˇe dvˇema kostkami. Oznaˇcme B jev: souˇcet 12 padne alespoˇn jednou”. Jak´e mus´ı ” b´yt minim´aln´ı n, aby jev B nastal alespoˇn s pravdˇepodobnost´ı 0.6? [ a) 6, b) 19]

Pˇr´ıklad 4.89. Kaˇzd´e z N + 1 osud´ı obsahuje N koul´ı. Osud´ı s cˇ´ıslem k obsahuje k cˇ erven´ych a N − k b´ıl´ych koul´ı, k = 0, 1, . . . , N . Z n´ahodnˇe zvolen´eho osud´ı nkr´at vybereme kouli, pˇriˇcemˇz vybranou kouli po tahu ihned vr´at´ıme zpˇet. Stanovte pravdˇepodobnost, zˇ e jsou vˇsechny vybran´e koule cˇ erven´e. h i PN

1 i=1 N +1

¡ i ¢n N

Pˇr´ıklad 4.90. V prvn´ı sadˇe v´yrobk˚u je 8 v´yrobk˚u, z toho 2 vadn´e. Ve druh´e sadˇe v´yrobk˚u je 14 v´yrobk˚u, z toho 1 vadn´y. Z prvn´ı sady n´ahodnˇe vybereme v´yrobek a pˇrem´ıst´ıme jej do druh´e sady. Pot´e n´ahodnˇe vybereme z druh´e sady jeden v´yrobek. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e je tento v´yrobek vadn´y? [1/12]

Pˇr´ıklad 4.91. Na zkouˇsku z matematiky se dostavilo 25 student˚u. Pravdˇepodobnost sloˇzen´ı zkouˇsky je pro 12 student˚u 0.75, pro 8 student˚u 0.5 a pro 5 student˚u 0.4. Stanovte pravdˇepodobnost, zˇ e n´ahodnˇe zvolen´y student tuto zkouˇsku sloˇz´ı. [3/5]

30

Pˇr´ıklad 4.92. Osud´ı obsahuje 6 b´ıl´ych a 5 cˇ ern´ych koul´ı. Vyt´ahneme z nˇej 4 koule a vloˇz´ıme je do jin´eho pr´azdn´eho osud´ı. Z tohoto druh´eho osud´ı vyt´ahneme jednu kouli a nevr´at´ıme je zpˇet. a) Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e je vytaˇzen´a koule cˇ ern´a? b) Z druh´eho osud´ı vyt´aheneme jeˇstˇe jednu kouli. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e je tato koule b´ıl´a, za pˇredpokladu, zˇ e prvn´ı taˇzen´a koule byla tak´e b´ıl´a? [ a) 5/11, b) 31/74]

Pˇr´ıklad 4.93. Jsou d´ana tˇri osud´ı, pravdˇepodobnost volby kaˇzd´eho osud´ı je stejn´a. V prvn´ım osud´ı je 1 b´ıl´a koule a 2 cˇ ern´e koule. Ve druh´em osud´ı jsou 2 b´ıl´e koule a 1 cˇ ern´a koule. Tˇret´ı osud´ı obsahuje 2 b´ıl´e koule a 2 cˇ ern´e koule. N´ahodnˇe zvol´ıme jedno osud´ı a vyt´ahneme z nˇej jednu kouli a zjist´ıme, zˇ e je b´ıl´a. Vytaˇzenou kouli nevr´at´ıme zpˇet do osud´ı a vyt´ahneme ze stejn´eho osud´ı jeˇstˇe jednu kouli. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e i tato druh´a koule je b´ıl´a? [1/3]

Pˇr´ıklad 4.94. Z´akazn´ık si n´ahodnˇe vyb´ır´a jeden z 12 obraz˚u, mezi nimiˇz jsou 3 kopie. V´ybˇeru je pˇr´ıtomen odborn´ık, kter´y pozn´a origin´al s pravdˇepodobnost´ı 3/8. a) Jestliˇze odborn´ık povaˇzuje obraz za origin´al, jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e skuteˇcnˇe jde o origin´al? b) Odborn´ık soud´ı, zˇ e z´akazn´ıkem zvolen´y obraz je kopie. Z´akazn´ık proto obraz odloˇz´ı a vol´ı n´ahodnˇe jeden ze zb´yvaj´ıc´ıch obraz˚u. Jak´a je nyn´ı pravdˇepodobnost, zˇ e z´akazn´ık zvol´ı origin´al? [ a) 9/13, b) 41/44]

Pˇr´ıklad 4.95. Hod´ıme n kr´at kostkou. Kdyˇz padne lich´e cˇ´ıslo, vloˇz´ıme do osud´ı b´ılou kouli, kdyˇz padne sud´e, vloˇz´ıme do osud´ı cˇ ernou kouli. Z takto naplnˇen´eho osud´ı vyt´ahneme n´ahodnˇe jednu kouli a nevr´at´ım ji zpˇet. Uk´azalo se, zˇ e je cˇ ern´a. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e dalˇs´ı vytaˇzen´a koule bude b´ıl´a? · ¸ Pn−1 n 1 Pi=1 ( i )i(n−i) n−1 n n−1 ( )(n−i) i=1

i

4.4 Stochasticky nez´avisl´e jevy Pˇr´ıklad 4.96. Hod´ıme dvˇemi hrac´ımi kostkami. Oznaˇcme n´ahodn´e jevy A1 na prvn´ı kostce padne sud´e cˇ´ıslo, A2 na druh´e kostce padne lich´e cˇ´ıslo, A3 souˇcet ok, kter´e padly na 1. a 2. kostce, je lich´e cˇ´ıslo. Dokaˇzte, zˇ e kaˇzd´e dva z jev˚u A1 , A2 , A3 jsou nez´avisl´e, ale jevy A1 , A2 , A3 nejsou nez´avisl´e. 31

Pˇr´ıklad 4.97. Necht’ jevy A a B1 jsou nez´avisl´e a tak´e jevy A a B2 jsou nez´avisl´e, pˇriˇcemˇz B1 a B2 jsou nesluˇciteln´e. Dokaˇzte, zˇ e jevy A a B1 ∪ B2 jsou nez´avisl´e. Pˇr´ıklad 4.98. Necht’ P(A) > 0 a P(B|A) = P(B|A). Dokaˇzte, zˇ e jevy A a B jsou nez´avisl´e. ˇ ri osoby vyplˇnovaly dotazn´ık pr˚uzkumu veˇrejn´eho m´ınˇen´ı se Pˇr´ıklad 4.99. Ctyˇ tˇremi ot´azkami, na kter´e bylo moˇzno odpovˇedˇet pouze ano”(1) nebo ne”(0). ” ” Odpovˇedi dotazovan´ych byly 111, 001, 010, 100. Oznaˇcme Ai jev: n´ahodnˇe zvo” len´a osoba z tˇechto cˇ tyˇr dotazovan´ych odpovˇedˇela kladnˇe na i-tou ot´azku”. Jsou jevy A1 , A2 , A3 stochasticky nez´avisl´e. [ne]

Pˇr´ıklad 4.100. Tˇri myslivci souˇcasnˇe vystˇrelili na medvˇeda. Medvˇeda zastˇrelili jednou kul´ı. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e medvˇeda zastˇrelil a) prvn´ı, b) druh´y, c) tˇret´ı myslivec, kdyˇz maj´ı pravdˇepodobnost z´asahu postupnˇe p1 = 0, 2; p2 = 0, 4; p3 = 0, 6? [ a) 0.048, b) 0.128, c) 0.288]

Pˇr´ıklad 4.101. Stˇrelec stˇr´ıl´ı tˇrikr´at nez´avisle na sobˇe do terˇce. Pravdˇepodobnosti z´asahu pˇri prvn´ı, druh´em a tˇret´ım v´ystˇrelu jsou postupnˇe 0.3, 0.5 a 0.6. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e stˇrelec zas´ahne c´ıl a) pr´avˇe jednou, b) alespoˇn jednou, b) pr´avˇe dvakr´at? [ a) 0.41, b) 0.86, c) 0.36]

Pˇr´ıklad 4.102. Jevy A1 , A2 , A3 jsou stochasticky nez´avisl´e, P(A1 ) = 0.4, P(A2 ) = 0.4, P(A3 ) = 0.25. Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost nastoupen´ı alespoˇn jednoho z jev˚u A1 , A2 , A3 . [0.73]

Pˇr´ıklad 4.103. Pravdˇepodobnost, zˇ e investice firmˇe pˇrinese zisk je 0.3. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e se z sˇesti (nez´avisl´ych) investic firmˇe vyplat´ı alespoˇn jedna? [0.8824]

Pˇr´ıklad 4.104. Patn´actkr´at nez´avisle na sobˇe h´az´ıme cˇ tyˇrmi mincemi. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e alespoˇn v jednom hodu padnou cˇ tyˇri l´ıce? [0.6202]

Pˇr´ıklad 4.105. Je pravdˇepodobnˇejˇs´ı vyhr´at se stejnˇe siln´ym soupeˇrem tˇri partie ze cˇ tyˇr nebo pˇet prati´ı z osmi, kdyˇz nerozhodn´y v´ysledek je vylouˇcen a v´ysledky jsou nez´avisl´e? [P(A) = 0.25, P(B) = 0.21875]

32

Pˇr´ıklad 4.106. Osmkr´at nez´avisle na sobˇe h´az´ıme tˇremi kostkami. Jak´a je pravdˇe-podobnost, zˇ e pr´avˇe dvakr´at padnou tˇri sˇestky? [0.00058]

33

5. N´ahodn´e veliˇciny 5.5 Distribuˇcn´ı funkce F (x) = P (X ≤ x) Vlastnosti distribuˇcn´ı funkce: • F (x) je neklesaj´ıc´ı, tj.: ∀ x1 , x2 ∈ R : F (x1 ) ≤ F (x2 ) • F (x) je zprava spojit´a, tj.: lim+ F (x) = F (x0 ) x→x0

• F (x) je normovan´a, tj.: lim F (x) = 0, lim F (x) = 1 x→−∞

x→+∞

• ∀ a, b ∈ R : P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) • P (X = x0 ) = F (x0 ) − lim− F (x) x→x0

Pˇr´ıklad 5.1.(Rozhodnˇete, zda funkce F (x) je distribuˇcn´ı funkc´ı. 0 x<0 F (x) = x x≥0 x+1

[ano]

Pˇr´ıklad 5.2. Urˇcete konstanty k1 a k2 tak, aby funkce F (x) byla distribuˇcn´ı funkc´ı n´ahodn´e veliˇciny X. Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost, zˇ e n´ahodn´a veliˇcina X se bude realizovat v intervalu (− a2 , a2 >.   x < −a 0 x F (x) = k1 + k2 arcsin a −a ≤ x < a   1 x≥a h k1 = 12 , k2 =

34

1 1 pi ; 3

i

Pˇr´ıklad 5.3. Urˇcete konstanty a a b tak, aby funkce F (x) = a + b arctan x byla distribuˇcn´ı funkc´ı n´ahodn´e veliˇciny X. £ ¤ a = 21 ; b =

1 π

5.6 Diskr´etn´ı n´ahodn´a veliˇcina Pravdˇepodobnostn´ı funkce p(x) a jej´ı vlastnosti • F (x) =

P

p(t)

t≤x

• p(x) ≥ 0 •

∞ P

p(x) = 1

x=−∞

• p(x0 ) = P (X = x0 )

• p(x1 , x2 ) = P (X1 = x1 ∧ X2 = x2 ) • p1 (x1 ) =

∞ P

p(x1 , x2 ),

p2 (x2 ) =

p(x1 , x2 )

x1 =−∞

x2 =−∞

∞ P

• p12 (x1 , x2 ) =

∞ P

p(x1 , x2 , x3 )

x3 =−∞

• p1 (x1 ) =

∞ P

∞ P

p(x1 , x2 , x3 )

x2 =−∞ x3 =−∞

Pˇr´ıklad 5.4. Hod´ıme cˇ tyˇrikr´at minc´ı. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet padl´ych l´ıc˚u v tˇechto cˇ tyˇrech hodech. Naleznˇete pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e velicˇ iny X a tak´e jej´ı distribuˇcn´ı£funkci. ¤ p(0) =

1 16 ,

p(1) = 14 , p(2) = 83 , p(3) = 14 , p(4) =

1 16

Pˇr´ıklad 5.5. Hod´ıme dvˇema kostkami. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet ok na prvn´ı kostce, n´ahodn´a veliˇcina Y ud´av´a poˇcet ok na druh´e kostce. Oznaˇcme Z = X + Y . Naleznˇete pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny Z a tak´e jej´ı distribuˇ ¤ £ cn´ı funkci. p(2; 12) =

1 36 ,

p(3; 11) =

2 36 ,

p(4; 10) =

3 36 ,

35

p(5; 9) =

4 36 ,

p(6; 8) =

5 36 ,

p(7) =

6 36

Pˇr´ıklad 5.6. Postupnˇe je zkouˇseno pˇet pˇr´ıstroj˚u. Dalˇs´ı pˇr´ıstroj se zkouˇs´ı, pokud je pˇredchoz´ı pˇr´ıstroj spolehliv´y. Kaˇzd´y z pˇr´ıstroj˚u vydrˇz´ı zkouˇsku s pravdˇepodobnost´ı 0.9. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet zkouˇsen´ych pˇr´ıstroj˚u. Urˇcete pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X. [p(0) = 0.1, p(1) = 0.09, p(2) = 0.081, p(3) = 0.0729, p(4) = 0.6561]

Pˇr´ıklad 5.7. Stˇrelec stˇr´ıl´ı do terˇce aˇz do prvn´ıho z´asahu. M´a v z´asobˇe cˇ tyˇri n´aboje. Pravdˇepodobnost z´asahu je pˇri kaˇzd´em v´ystˇrelu 0.6. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet nespotˇrebovan´ych n´aboj˚u. Stanovte pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X. [p(0) = 0.064, p(1) = 0.096, p(2) = 0.24, p(3) = 0.6]

Pˇr´ıklad 5.8. Rodiˇce pl´anuj´ı m´ıt tˇri dˇeti. Pˇredpokl´adejme, zˇ e pravdˇepodobnost narozen´ı chlapce i d´ıvky je stejn´a. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet dˇet´ı stejn´eho pohlav´ı, kter´e se narodily za sebou (napˇr pro HDD je X = 2). Urˇcete pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X. [p(1) = 0.25, p(2) = 0.5, p(3) = 0.25]

Pˇr´ıklad 5.9. Auto mus´ı projet cˇ tyˇri kˇriˇzovatky ˇr´ızen´e nez´avisl´ymi semafory. Na kaˇzd´em semaforu sv´ıt´ı zelen´a nebo cˇ erven´a s pravdˇepodobnost´ı 0.5. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet projet´ych kˇriˇzovatek do prvn´ı kˇriˇzovatky, kdy auto mus´ı zastavit. Naleznˇete pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X. [p(0) = 0.5, p(1) = 0.25, p(2) = 0.125, p(3) = 0.0625, p(4) = 0.0625]

Pˇr´ıklad 5.10. M˚uzˇ e b´yt n´ızˇ e uveden´a funkce p(x) pˇri vhodn´e konstantˇe c pravdˇepodobnostn´ ( ı funkc´ı? c(1 − ϑ)x x = 0, 1, 2, . . . ϑ ∈ (0, 1) p(x) = 0 jinak [c = ϑ]

Pˇr´ıklad 5.11. Je d´ana funkce p(x). Urˇcete konstantu k tak, aby p(x) byla pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny X. Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost, zˇ e n´ahodn´a ( veliˇcina X nabude hodnoty vˇetˇs´ı neˇz 4. k 0.7x pro x = 1, 2, . . . p(x) = 0 jinak £

¤

k = 37 ; 0.24

Pˇr´ıklad 5.12. Necht’ je d´an syst´em sloˇzen´y ze dvou blok˚u. Pravdˇepodobnost, zˇ e i-t´y blok spr´avnˇe funguje je ϑi , i = 1, 2; 0 < ϑi < 1. Pravdˇepodobnost, zˇ e spr´avnˇe funguj´ı oba bloky je ϑ12 , 0 < ϑ12 < 1. N´ahodn´a veliˇcina Xi nab´yv´a hodnoty 1, kdyˇz i-t´y blok funguje spr´avnˇe a Xi = 0 kdyˇz nefunguje. Vyj´adˇrete pravdˇepodobnostn´ı funkci p(x1 , x2 ) a obˇe margin´aln´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce p(x1 ), p(x2 ). 36

Pˇr´ıklad 5.13. Urˇcete konstantu k tak, aby funkce p(x1 , x2 , x3 ) byla pravdˇepodobnostn´ı ( kx1 x2 x23 x1 ∈ {0, 1}, x2 ∈ {0, 1}, x3 ∈ {0, 1, 2, 3} funkc´ı. p(x1 , x2 , x3 ) = 0 jinak £1¤ 14

5.7 Spojit´a n´ahodn´a veliˇcina Hustota pravdˇepodobnosti f (x) a jej´ı vlastnosti Rx

• F (x) =

f (t)dt

−∞

• f (x) ≥ 0 •

R∞

f (x) = 1

−∞

• P (x0 < X < x0 + h) =

x0R+h

f (x)dx

x0

• P (X = x0 ) = 0 • f (x) =

∂F (x) ∂x

• f12 (x1 , x2 ) =

ve vˇsech bodech spojitosti f (x) R∞

f (x1 , x2 , x3 ) dx3

−∞

• f1 (x1 ) =

R∞ R∞

f (x1 , x2 , x3 ) dx2 dx3

−∞ −∞

Pˇr´ıklad 5.14. Spojit´a n´ahodn´a veliˇcina X m´a hustotu pravdˇepodobnosti f (x). Urˇcete konstantu a. Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost, zˇ e se n´ahodn´a veliˇcina X bude realizovat v ( intervalu (1/3; 2/3). ax 0 ≤ x < 1 f (x) = 0 jinak [2; 1/3]

37

Pˇr´ıklad 5.15. Spojit´a n´ahodn´a veliˇcina X m´a distribuˇcn´ı funkci F (x). Urˇcete hustotu f (x). Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost, zˇ e se n´ahodn´a veliˇcina X bude realizovat v intervalu (−2;  2) pomoc´ı hustoty i pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce.  x < −5 0 x+5 F (x) = −5 ≤ x < 2 7   1 x≥2 £ f (x) =

1 7

x ∈< −5; 2);

4 7

¤

Pˇr´ıklad 5.16. Je d´ana funkce F (x). Urˇcete konstanty a a b tak, aby F (x) byla distribuˇcn´ı funkc´ı spojit´e n´ahodn´e veliˇciny X. Urˇcete tak´e hustotu n´ahodn´e veliˇciny X.   x<0 0 F (x) = a + b sin x 0 ≤ x < π2   1 x ≥ π2 £ a = 0; b = 1; f (x) = cos x

0≤x<

π 2

¤

Pˇr´ıklad 5.17. Na automatick´e lince se pln´ı krabice ml´ekem, kaˇzd´a krabice m´a obsahovat pˇresnˇe 1000 ml ml´eka, avˇsak p˚usoben´ım n´ahodn´ych vliv˚u kol´ıs´a mnoˇzstv´ı ml´eka v intervalu (980 ml, 1020 ml). Kaˇzd´e mnoˇzsˇtv´ı ml´eka v tomto intervalu povaˇzujeme za stejnˇe moˇzn´e. N´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a mnoˇzstv´ı ml´eka v n´ahodnˇe vybran´e krabici. Najdˇete hustotu f (x), distribuˇcn´ı funkci F (x), nakreslete grafy tˇechto £ funkc´ı a vypoˇctˇete pravdˇepodobnost, zˇ e X > 990 ml. ¤ f (x) =

1 40 ,

x ∈ (980, 1020); F (x) =

Pˇr´ıklad 5.18. Je d´a( na funkce kx1 x2 x23 f (x1 , x2 , x3 ) = 0

1 40 (x

− 980), x ∈ (980, 1020); 0.75

0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1, 0 < x3 < 3 jinak

a) Urˇcete konstantu k tak, aby funkce f (x1 , x2 , x3 ) byla hustotou pravdˇepodobnosti spojit´eho n´ahodn´eho vektoru (X1 , X2 , X3 ). b) Najdˇete vˇsechny margin´aln´ı hustoty. c) Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost P (0 < x1 <

1 2

∧

1 3

< x2 <

2 3

∧ 1 < x3 < 2).

[ a) 49 , b) f (x1 , x2 ) = 4x1 x2 , f (xi , x3 ) = 29 xi x23 , i = 1, 2;] [ f (xi ) = 2xi , i = 1, 2; f (x3 ) = Pˇr´ıklad 5.19. Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost P ((X1 , X2 )0 ∈ G), kde G = {(x1 , x2 )0 ∈ R2 , 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1}, je-li zn´amo, zˇ e f (x1 , x2 ) = π2 (1+x21)(1+x2 ) 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1, 0 < x3 < 3 1

2

x23 , 9

c)

7 ] 324

£1¤ 16

38

Pˇr´ıklad 5.20. Necht’ (X1 , X2 )0 m´a spojit´e rovnomˇern´e rozdˇelen´ı soustˇredˇen´e na a) G = {(x1 , x2 )0 ∈ R2 , 0 ≤ x1 < 1, 0 ≤ x2 < 1} b) G = {(x1 , x2 )0 ∈ R2 , 0 ≤ x1 < 1, 0 ≤ x2 < 1 − x1 } V obou pˇr´ıpadech urˇcete sdruˇzen´e a margin´aln´ı hustoty. [ a) f (x1 , x2 ) = 1, f1 (x1 ) = 1, f2 (x2 ) = 1] [ b) f (x1 , x2 ) = 2, f1 (x1 ) = 2(1 − x1 ), f2 (x2 ) = 2(1 − x2 )]

39

6. Diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny Pˇr´ıklad 6.1. Dvakr´at h´az´ıme minc´ı. Popiˇste prostor element´arn´ıch jev˚u Ω. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet padl´ych l´ıc˚u. Urˇcete rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny X, jej´ı pravdˇepodobnostn´   ı a distribuˇcn´ı funkci. Nakreslete jejich grafy. Ω = {[R, R], [R, L], [L, R], [L, L]},      0, x < 0,      1/4, x = 0, 2,     1/4, x ∈< 0, 1),  p(x) = 1/2, x = 1, , F (x) =    3/4, x ∈< 1, 2),     0 jinak,  1 x ≥ 2,

       

Pˇr´ıklad 6.2. Dvakr´at h´az´ıme hrac´ı kostkou. Popiˇste prostor element´arn´ıch jev˚u Ω. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a souˇcet hodnot, kter´e padnou v 1. a 2. hodu. Urˇcete rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny X, jej´ı pravdˇepodobnostn´ı a distribuˇcn´ı funkci. Nakreslete jejich grafy.    (  6−|x−7|  ,  p(x) = 36  0

Ω = {[1, 1], . . . , [1, 6], [2, 6], . . . , [6, 6]},  min{x,12}   P 6−|i−7| x = 2, . . . , 12, 36 , , F (x) = i=2  jinak, 0,

  x ≥ 2,    x < 2.

Pˇr´ıklad 6.3. H´az´ıme minc´ı, dokud nepadne l´ıc. Popiˇste prostor element´arn´ıch jev˚u Ω. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet proveden´ych hod˚u. Urˇcete rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny X, jej´ı pravdˇepodobnostn´ı a distribuˇcn´ı funkci. Nakreslete jejich grafy.    (  1  ,  p(x) = 2x 0

Ω = {[L], [R, L], [R, R, L], . . .}, P x 1  x = 1, 2, . . . , i, , F (x) = i=1 2  jinak, 0,

  x ≥ 1,   x < 1.

Pˇr´ıklad 6.4. Stˇr´ıl´ıme na c´ıl do prvn´ıho z´asahu. Z´asahy pˇri r˚uzn´ych v´ystˇrelech jsou nez´avisl´e jevy, pravdˇepodobnost z´asahu pˇri kaˇzd´em v´ystˇrelu je p. Popiˇste prostor element´arn´ıch jev˚u Ω. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a celkov´y poˇcet v´ystˇrel˚u. Urˇcete rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny X, jej´ı pravdˇepodobnostn´ı a distribuˇcn´ı funkci. Nakreslete jejich grafy. 40





Ω = {[Z], [M, Z], [M, M, Z], . . .}, ( (   x−1  p(x) = (1 − p) p, x = 1, 2, . . . , , F (x) = 0, 1 − (1 − p)[x] , 0 jinak,

 x < 1,   x ≥ 1,

Pˇr´ıklad 6.5. Stˇrelec n-kr´at vystˇrel´ı na c´ıl. Pˇredpokl´adejme, zˇ e z´asahy pˇri jednotliv´ych v´ystˇrelech jsou nez´avisl´e jevy a oznaˇcme p pravdˇepodobnost z´asahu pˇri kaˇzd´em v´ystˇrelu. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet z´asah˚u pˇri n v´ystˇrelech. Urˇcete pravdˇepodobnostn´ı a distribuˇcn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X a nakreslete jejich grafy. (           

¡n¢ x n−x , x = 0, . . . , n, x (1 − p) p p(x) = , 0 jinak,   0, x < 0,   P [x] ¡ ¢ n i n−i , 0 ≤ x < n, F (x) = i (1 − p) p   i=1   1, x ≥ n.

        

Pˇr´ıklad 6.6. Studentovi je pˇredloˇzen test, kter´y obsahuje 10 ot´azek a ke kaˇzd´e z nich 4 moˇzn´e odpovˇedi, z nichˇz jedin´a je spr´avn´a; tu m´a student podtrhnout. a) Stanovte rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny X, kter´a ud´av´a poˇcet spr´avnˇe zodpovˇezen´ych ot´azek, jestliˇze l´atku student nezn´a a vol´ı odpovˇed´ı n´ahodnˇe. b) Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e student zodpov´ı spr´avnˇe alespoˇn 5 ot´azek? "

(¡ ¢ # n x 0.75n−x , x = 0, . . . , n, 0.25 x a) p(x) = , b) 0.0781 0 jinak,

Pˇr´ıklad 6.7. Dva hr´acˇ i koˇs´ıkov´e stˇr´ıdavˇe h´azej´ı na koˇs tak dlouho, dokud jeden z nich nezas´ahne. Prvn´ı hr´acˇ zas´ahne koˇs s pravdˇepodobnost´ı p1 , druh´a s pravdˇepodobnost´ı p2 . Urˇcete rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı poˇctu hod;, kter´e provede kaˇzd´y z nich. (   (1 − p1 )x−1 (1 − p2 )x−1 p1 + (1 − p1 )x (1 − p2 )x−1 p2 , x = 1, . . . , p (x) =  X1 0 jinak,      x = 0,  p1 ,  x x x x−1  pX2 (x) = (1 − p1 ) (1 − p2 ) p1 + (1 − p1 ) (1 − p2 ) p2 , x = 1, . . . ,   0 jinak.

      

Pˇr´ıklad 6.8. Kter´a z d´ale uveden´ych funkc´ı je pravdˇepodobnostn´ı funkce diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny a) px q 2 , q = 1 − p, 0 < p ≤ 1, x = 1, 2, . . ., b) px−n q, q = 1 − p, 0 < p ≤ 1, n > 0, x = n, n + 1, . . ., 41

c) d)

1 ,x x(x+1) x+1 R

∈ R,

f (t)dt, x = 0, 1, . . ., kde

R∞

x

e)

2x x!

f (t)dt = 1, f je nez´aporn´a funkce,

0

e−2 , x = 0, 1, . . .? [ b) , d) , e) ]

Pˇr´ıklad 6.9. Je d´ana funkce ( p(x) =

c0.4x 0

x = 1, 2, . . . jinak,

a) Stanovte konstantu c ∈ R tak, aby p(x) byla pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny X. b) Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost P(X < 4). c) Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost P(X ≥ 5). d) Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost P(−1 < X ≤ 2). [ a) 3/2, b) 0, 936, c) 0, 0256, d) 0.84.]

Pˇr´ıklad 6.10. Diskr´etn´ı n´ahodn´a veliˇcina X m´a distribuˇcn´ı funkci tvaru   0 x < 2,      0.2 x ∈< 2, 3), F (x) = 0.4 x ∈< 3, 5),   0.7 x ∈< 5, 6),    1 x ≥ 6. a) Stanovte pravdˇepodobnostn´ı funkci p(x) n´ahodn´e veliˇciny X. b) Vypoˇctˇete P(2, 3 < X ≤ 5, 5) jak z distribuˇcn´ı funkce F (x), tak z pravdˇepodobnostn´ı funkce p(x).    0.2 x = 2, 3     a) p(x) = 0.3 x = 5, 6 , b) 0.5   0 jinak, 

Pˇr´ıklad 6.11. N´ahodn´a veliˇcina X m´a rozdˇelen´ı x p

-1

0

1

1 3

1 3

1 3

42

Urˇcete pravdˇepodobnostn´ı a distribuˇcn´ı funkci a) n´ahodn´e veliˇciny Y = |X|, b) n´ahodn´ e veliˇciny Y= X 2 . Nakreslete grafy  tˇechto funkc´ı.     a) p(y) =

  y < 0, 1/3 y = 0, 0,  2/3 y = 1, F (y) = 1/3, y ∈< 0, 1), b) stejn´e jak v a)     0 jinak, 1, y ≥ 1,

Pˇr´ıklad 6.12. N´ahodn´a veliˇcina X m´a rozdˇelen´ı x p

-1 0,2

0 0,1

1 0,3

2 0,4

Urˇcete pravdˇepodobnostn´ı a distribuˇcn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny Y = 2X . Nakreslete jejich grafy.      0, y = 1/2,      y = 1, 0, 2, y = 2, F (y) = 0, 3,    0, 6, y = 4,     1, jinak,

 0, 2        0, 1  p(y) = 0, 3      0, 4      0

y y y y y

< 1/2,  ∈< 1/2, 1),   ∈< 1, 2),    ∈< 2, 4),  ≥ 4.

Pˇr´ıklad 6.13. Necht’ X je n´ahodn´a veliˇcina s rozdˇelen´ım x p

-1

1

1 2

1 2

Urˇcete pravdˇepodobnostn´ı a distribuˇcn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny Y = sin(Xπ). Nakreslete jejich grafy. " ( ( # p(y) =

1, y = 0, F (y) = 0, jinak,

0, y < 0, 1, y ≥ 0.

Pˇr´ıklad 6.14. N´ahodn´a veliˇcina X m´a pravdˇepodobnostn´ı funkci p(x) = x/16 pro x = 1, 3, 5, 7, p(x) = 0 jinak. Vypoˇctˇete a) P(X = 1 ∨ X = 3), b) P(5/2 < X < 11/2), c) P(5 ≤ X ≤ 7.3), [ a) 1/4, b) 1/2, c) 3/4]

Pˇr´ıklad 6.15. N´ahodn´a veliˇcina X m´a rozdˇelen´ı x p

-1 -0,5 -0,1 0 0,1 0,2 0,5 1 1,5 2 0,005 0,012 0,074 0,102 0,148 0,231 0,171 0,16 0,081 0,016 43

¡ ¢ Vypoˇctˇete a) P(X ≤ −0, 05), b) P(X > 1), c) P |X| ≤ 12 , d) P(|X| > 1, 5).

[ a) 0, 091, b) 0, 257, c) 0, 738, d) 0, 097]

Pˇr´ıklad 6.16. H´az´ıme dvˇema hrac´ımi kostkami. Popiˇste prostor element´arn´ıch jev˚u Ω. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet sˇestek, kter´e padly na prvn´ı kostce, n´ahodn´a veliˇcina Y ud´av´a poˇcet sˇestek, kter´e padly na druh´e kostce. Urˇcete sdruˇzen´e rozdˇ  elen´ı X a Y . Dokaˇzte, zˇ e jsou veliˇciny X a Y nez´avisl´e.     25    36 ,     5  ,  p(X,Y ) (x, y) = 36 1     36 ,   0

Ω = {[1, 1], . . . , [1, 6], [2, 6], . . . , [6, 6]},

 [x, y] = [0, 0], 5  6, [x, y] ∈ {[0, 1], [1, 0]} , pX (x) = pY (x) = 16 ,  [x, y] = [1, 1],  0 jinak,

   x = 0,   x = 1,   jinak, 

Pˇr´ıklad 6.17. H´az´ıme dvˇema hrac´ımi kostkami. Popiˇste prostor element´arn´ıch jev˚u Ω. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X je poˇcet ok padl´ych na prvn´ı kostce, n´ahodn´a veliˇcina Y ud´av´a poˇcet ok padl´ych na druh´e kostce. Urˇcete sdruˇzen´e rozdˇelen´ı X a Y . Dokaˇ  zte, zˇ e jsou veliˇciny X a Y nez´avisl´e.  Ω = {[1, 1], . . . , [1, 6], [2, 6], . . . , [6, 6]} ( (    1 1 , [x, y] ∈ Ω , x = 1, . . . , 6   p  36 6 , pX (x) = pY (x) = (X,Y ) (x, y) = 0 jinak, 0 jinak,

Pˇr´ıklad 6.18. H´az´ıme dvˇema hrac´ımi kostkami. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X je poˇcet ok, kter´e padly na prvn´ı kostce, n´ahodn´a veliˇcina Y ud´av´a maximum z poˇctu ok na obou kostk´ach. Urˇcete sdruˇzen´e rozdˇelen´ı X a Y . [ Sdruˇzenou pravdˇepodobnostn´ı funkci lze zadat matic´ı 6 × 6 s hlavn´ı diagon´alou 1/36, 2/36, . . . , 6/36. Pod diagon´alou jsou vˇsechny cˇ leny nulov´e, nad n´ı 1/36. ]

Pˇr´ıklad 6.19. V z´asilce 10 v´yrobk˚u je 8 kvalitn´ıch a 2 nekvalitn´ı. Mezi kvalitn´ımi je 5 prvn´ı jakosti a 3 druh´e jakosti. Ze z´asilky n´ahodnˇe vybereme 2 v´yrobky, pˇriˇcemˇz vybran´e v´yrobky nevrac´ıme zpˇet. Poˇcet kvalitn´ıch kus˚u se v´ybˇeru je n´ahodn´a veliˇcina X a poˇcet vybran´ych v´yrobk˚u prvn´ı jakosti je n´ahodn´a veliˇcina Y . Urˇcete sdruˇzen´e rozdˇelen´ı n´ahodn´ych veliˇcin X a Y a zjistˇete, zda jsou n´ahodn´e veliˇciny X a Y nez´avisl´e.

44

                      

 1   45 , [x, y] = [0, 0],    6   45 , [x, y] = [1, 0],    3 , [x, y] = [2, 0], p(X,Y ) (x, y) = 45 10   45 , [x, y] ∈ {[1, 1], [2, 2]},    15  45 , [x, y] = [2, 1],    0 jinak,   1 10   , x = 0,   45 45 , y = 0,      16 , x = 1,  16 , y = 1, pX (x) = 45 , pY (y) = 45 28 28   , x = 2,    45  45 , y = 2,   0 0 jinak, jinak, N´ahodn´e veliˇciny X a Y nejsou nez´avisl´e.

                      

Pˇr´ıklad 6.20. N´ahodn´a veliˇcina X m´a rozdˇelen´ı x p

-1 0,2

0 0,1

1 0,3

2 0,4

Zjistˇete, zda jsou n´ahodn´eveliˇciny X a Y = 2X nez´avisl´e.           

 0, 2      0, 1 p(X,Y ) (x, y) = 0, 3   0, 4     0

 0, 2 y = 1/2, [x, y] = [−1, 1/2],      [x, y] = [0, 1], 0, 1 y = 1, , p(y) = 0, 3 y = 2, [x, y] = [1, 2],    0, 4 y = 4, [x, y] = 2, 4,     0 jinak, jinak, N´ahodn´e veliˇciny X a Y nejsou nez´avisl´e.

          

Pˇr´ıklad 6.21. Necht’ X nab´yv´a hodnot ±1, ±2, kaˇzdou s pravdˇepodobnost´ı 41 , a Y = X 2 . a) Urˇcete sdruˇzen´e rozdˇelen´ı X a Y . b) Zjistˇete, zda jsou veliˇciny X a Y nez´  avisl´e. (  1 , [x, y] ∈ {[1, 1], [−1, 1], [2, 4], [−2, 4]} ,  a) p(X,Y ) (x, y) = 4  0 jinak,  (  1 , y = 1, 4  b) pY (y) = 2 , tedy n´ahodn´e veliˇciny X a Y nejsou nez´avisl´e. 0 jinak,

    

Pˇr´ıklad 6.22. N´ahodn´e veliˇciny X1 a X2 jsou nez´avisl´e a maj´ı stejn´e geometrick´e rozdˇelen´ı (p(x) = q x p, x = 0, 1, . . . , p > 0, q = 1 − p). Necht’ Y = max(X1 , X2 ). Urˇcete rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny Y a sdruˇzen´e rozdˇelen´ı veliˇcin Y a X1 .

45

       

( 2q y p − q 2y p − q 2y+1 p, pY (y) = 0  x+y p2 ,  q p(Y,X1 ) (y, x) = (1 − q y+1 )q y p,   0

y = 0, 1, . . . , jinak, y > x, x, y = 0, 1, . . . , y = x = 0, 1 . . . , jinak.

       

Pˇr´ıklad 6.23. Necht’ X1 a X2 jsou nez´avisl´e n´ahodn´e veliˇciny a maj´ı Poissonovo rozdˇelen´ı X1 ∼ Po(λ1 ) a X2 ∼ Po(λ2 ). Dokaˇzte, zˇ e n´ahodn´a veliˇcina Y = X1 + X2 m´a Poissonovo rozdˇelen´ı s parametrem λ1 + λ2 .

46

ˇ ıseln´e charakteristiky 7. C´ n´ahodn´ych veliˇcin Stˇredn´ı hodnota ∞ X

E(X) =

Z∞ x · p(x)

E(Y ) =

x · f (x)dx

E(X) =

respektive

x=−∞

x=−∞

Z∞

∞ X

g(x) · p(x)

E(Y ) =

respektive

x=−∞

g(x) · f (x)dx x=−∞

pro Y = g(X) kde g je borelovsk´a funkce. Necht’ a,b jsou re´aln´a cˇ´ısla, X, X1 , . . . , Xn , n´ahodn´e veliˇciny. Pak: • E(a) = a; E(a + bX) = a + bE(X); • E(

n P

Xi ) =

i=1

n P

E(Xi ); E(

n Q

Xi ) =

n Q

E(Xi )

jsou-li Xi stoch. nez.

i=1

i=1

i=1

E(X − E(X)) = 0

Rozptyl D(X) = E([X − E(X)]2 ) = E(X 2 ) − [E(X)]2 Necht’ a,b jsou re´aln´a cˇ´ısla, X, X1 , . . . , Xn , n´ahodn´e veliˇciny. Pak: • D(a) = 0; • D(

n P i=1

Xi ) =

D(a + bX) = b2 D(X) n P

D(Xi ) + 2

i=1

• smˇerodatn´a odchylka σx =

n−1 P

n P

i=1 j=1+1

p D(X)

47

C(Xi , Xj )

ˇ Sikmost

E([X − E(X)]3 ) A3 (X) = p 3 D(X)

ˇ catost Spiˇ

E([X − E(X)]4 ) A4 (X) = −3 p 4 D(X)

Kovariance C(X1 , X2 ) = E([X1 − E(X1 )][X2 − E(X2 )]) = E(X1 X2 ) − E(X1 )E(X2 ) Necht’ a1 , a2 , b1 , b2 jsou re´aln´a cˇ´ısla, X, X1 , . . . , Xn , Y, Y1 , . . . , Ym n´ahodn´e veliˇciny. Pak • C(a1 , X2 ) = C(X1 , a2 ) = C(a1 , a2 ) = 0 • C(a1 + b1 X1 , a2 + b2 X2 ) = b1 b2 C(X1 , X2 ) • C(X, X) = D(X) • C(X1 , X2 ) = C(X2 , X1 ) • C(

n P

i=1

Xi ,

m P

Yj ) =

j=1

m n P P

C(Xi , Yj )

i=1 j=1

Korelace à R(X1 , X2 ) = E

X1 − E(X1 ) X2 − E(X2 ) p · p D(X1 ) D(X2 )

! =

C(X1 , X2 ) σx1 σx2

Necht’ a1 , a2 , b1 , b2 jsou re´aln´a cˇ´ısla, X, X1 , X2 , n´ahodn´e veliˇciny. Pak • R(a1 , X2 ) = R(X1 , a2 ) = R(a1 , a2 ) = 0 • R(a1 + b1 X1 , a2 + b2 X2 ) = sgn(b1 b2 )R(X1 , X2 ) • R(X, X) = 1 • R(X1 , X2 ) = R(X2 , X1 )

48

Regresn´ı pˇr´ımka Y na X (jak Y z´avis´ı na X) Y = E(Y ) + ρ ·

σy (X − E(X)) σx

X na Y (jak X z´avis´ı na Y) Y = E(Y ) +

1 σy · (X − E(X)) ρ σx

α-kvantil Kα (X) α-kvantil Kα (X)n´ahodn´e veliˇciny X je minim´aln´ı cˇ´ıslo x0 takov´e, zˇ e F (x0 ) ≥ α Ve spojit´em pˇr´ıpadˇe: KZ α (X)

α = F (Kα (X)) =

f (x)dx −∞

• uα = u1−α • tα = t1−α • Fα (n1 , n2 ) =

1 F1−α (n2 ,n1 )

Pˇr´ıklad 7.1. Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu a rozptyl n´ahodn´e veliˇciny, kter´a m´a rozdˇelen´ı a) alternativn´ı A(θ), b) binomick´e Bi(n, θ), c)

Poissonovo Po(λ),

d)

geometrick´e G(θ),

e)

z´apornˇe binomick´e Zb(n, θ),

f)

rovnomˇern´e R(α, β),

g)

exponenci´aln´ı Ex(λ),

h)

norm´aln´ı N(µ, σ 2 ),

i)

Pearsonovo χ2 (ν),

j)

Studentovo t(ν),

k)

Fisher-Snedecorovo F(ν1 , ν2 ).

  a) ϑ; ϑ(1−ϑ), b) nϑ; nϑ(1−ϑ), c) λ; λ, d) (1−θ)/θ; (1−θ)/θ2 e) n(1−θ)/θ; n(1− θ)/θ2 f) a+b ; (b−a)2 g) 1 ; 1 h) µ; σ 2 i) ν; 2ν j) 0 pro ν ≥ 2, pro ν = 1 neexistuje;   2 12 λ λ2 ν/(ν − 2)pro ν ≥ 3, pro ν = 1, 2 neexistuje, k) ν2 /(ν2 − 2) pro ν2 ≥ 3, pro ν2 = 1, 2   neexistuje; 2ν 2 (ν + ν − 2)/[ν (ν − 2)2 (ν − 4)] pro ν ≥ 5, pro ν = 1, 2, 3, 4 2 1 2 2 2 2 2 1 neexistuje;

49

Pˇr´ıklad 7.2. N´ahodn´a veliˇcina X m´a Poissonovo rozdˇelen´ı s parametrem 2. a) Nakreslete pravdˇepodobnostn´ı funkci pro x = 0, 1, . . . , 9. b) Urˇcete stˇredn´ı hodnotu µ a smˇerodatnou odchylku σ n´ahodn´e veliˇciny X a zakreslete interval [µ − σ, µ + σ] do grafu. c) Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e X leˇz´ı v intervalu [µ − σ, µ + σ]? h b) E(X) = 2,

i p . D(X) = 1, 414.

Pˇr´ıklad 7.3. N´ahodn´a veliˇcina X m´a binomick´e rozdˇelen´ı s parametry n = 20 a p = 0, 7. a) Vypoˇctˇete P (X = 14). b) Vypoˇctˇete P (X ≤ 10). c) Vypoˇctˇete P (X > 10). d) Vypoˇctˇete P (8 ≤ X ≤ 17). e) Vypoˇctˇete P (8 < X < 17). f) Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu µ, rozptyl σ 2 a smˇerodatnou odchylku σ n´ahodn´e veliˇciny X. g) Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e X padne do intervalu [µ − 2σ, µ + 2σ]? Pˇr´ıklad 7.4. N´ahodn´a veliˇcina X m´a rozdˇelen´ı x p

10 0,1

20 30 0,25 0,3

40 0,2

50 0,1

60 0,05

a) Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu µ, rozptyl σ 2 a smˇerodatnou odchylku σ. b) Nakreslete graf pravdˇepodobnostn´ı funkce p(x). c) Oznaˇcte v grafu hodnotu µ a interval µ ± 2σ. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e X padne do intervalu µ ± 2σ? [ a) 31; 169; 13, b) 0.95]

Pˇr´ıklad 7.5. N´ahodn´a veliˇcina X m´a rozdˇelen´ı x p

1 0,05

2 0,3

3 0,35 50

4 0,2

5 0,1

a) Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu µ, rozptyl σ 2 a smˇerodatnou odchylku σ. b) Nakreslete graf p(x). c) Oznaˇcte v grafu hodnotu µ a interval µ ± σ. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e X padne do intervalu µ ± σ? d) Oznaˇcte v grafu hodnotu µ a interval µ ± 3σ. Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e X padne do tohoto intervalu? Pˇr´ıklad 7.6. N´ahodn´a veliˇcina X m´a rozdˇelen´ı x p

-4 -3 0,02 0,07

-2 0,1

-1 0,15

0 0,3

1 0,18

2 0,1

3 0,06

4 0,02

a) Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu µ, rozptyl σ 2 a smˇerodatnou odchylku σ. b) Nakreslete graf p(x). Oznaˇcte v grafu hodnotu µ, µ − 2σ a µ + 2σ. c) Jak´a je pravdˇepodobnost, zˇ e X padne do intervalu µ ± 2σ? Pˇr´ıklad 7.7. Pˇredpokl´adejme, zˇ e v urˇcit´e populaci m´a n´ahodn´a veliˇcina X ud´avaj´ıc´ı poˇcet telefon˚u v jedn´e dom´acnosti pravdˇepodobnostn´ı funkci p zadanou n´asleduj´ıc´ı tabulkou. x p

1 2 0,35 0,45

3 0,15

4 0,04

5 0,01

Urˇcete stˇredn´ı hodnotu a smˇerodatnou odchylku n´ hahodn´e veliˇciny X. E(X) = 1, 91,

p

i D(X) = 0, 86.

Pˇr´ıklad 7.8. Hodnoty pravdˇepodobnostn´ı funkce n´ahodn´ych veliˇcin X a Y jsou zaps´any v n´asleduj´ıc´ı tabulce. x pX (x) pY (x)

0 0,6 0,1

1 0,3 0,3

2 0,1 0,3

3 0 0,1

4 0 0,2

Vypoˇctˇete EX, EY , DX a DY [EX = 0, 5, EY = 2]

Pˇr´ıklad 7.9. Necht’ X a Y maj´ı simult´ann´ı rozdˇelen´ı s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı zavedenou v n´asleduj´ıc´ı tabulce.

51

x

y

1 2 3

1

2

3

0 0 1/6

0 1/3 0

1/2 0 0

1/2 1/3 1/6

1/6

1/3

1/2

1

Urˇcete kovarianci C(X, Y ) a korelaˇcn´ı koeficient ρ. Rozhodnˇete, zda X a Y jsou nez´avisl´e n´ahodn´e veliˇciny. [C(X, Y ) = −5/9, ρ = −1.]

Pˇr´ıklad 7.10. Necht’ X a Y maj´ı simult´ann´ı rozdˇelen´ı definovan´e n´asleduj´ıc´ı tabulkou hodnot pravdˇepodobnostn´ı funkce.

x 1 2

y

0

1

2

0,2 0

0,1 0,2

0,3 0,2

Vypoˇctˇete kovarianci C(X, Y ) a rozptyl D(X + Y ). Rozhodnˇete, zda X a Y jsou nez´avisl´e. [C(X, Y ) = 0, 08, D(X + Y ) = 1, 01.]

Pˇr´ıklad 7.11. Simult´ann´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce n´ahodn´ych veliˇcin X a Y je zad´ana n´asleduj´ıc´ı tabulkou. (x, y) p(x, y)

(1,1) 2/15

(1,2) 4/15

(1,3) 3/15

(2,1) 1/15

(2,2) 1/15

(2,3) 4/15

Jinak je funkce p(x, y) = 0. Naleznˇete korelaˇcn´ı koeficient ρ. Ovˇeˇrte, zda X a Y jsou nez´avisl´e. £ √ ¤ 7/ 804.

Pˇr´ıklad 7.12. Necht’ pro n´ahodn´e veliˇciny Y a Z plat´ı P (Y = 0, Z = 0) = 0, 1; P (Y = 0, Z = 1) = 0, 2; P (Y = 1, Z = 0) = 0, 3; P (Y = 1, Z = 1) = 0, 4. Vypoˇctˇete korelaˇcn´ı koeficient ρY,Z . ¤ £ 5 . ρY,Z = − 56

Pˇr´ıklad 7.13. Necht’ n´ahodn´e veliˇciny X a Y maj´ı simult´ann´ı pravdˇepodobnostn´ı funkci a) p(x, y) = 13 , (x, y) ∈ {(0, 0), (1, 1), (2, 2)}, jinak je p(x, y) = 0. 52

b) p(x, y) = 13 , (x, y) ∈ {(0, 2), (1, 1), (2, 0)}, jinak je p(x, y) = 0. c) p(x, y) = 13 , (x, y) ∈ {(0, 0), (1, 1), (2, 0)}, jinak je p(x, y) = 0. Vypoˇctˇete korelaˇcn´ı koeficient X a Y . D´ale ovˇeˇrte, zda X a Y jsou nez´avisl´e n´ahodn´e veliˇciny. [ a) 1, b) − 1, c) 0.]

Pˇr´ıklad 7.14. Necht’ X a Y maj´ı sdruˇzen´e rozdˇelen´ı s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı ( 1 (x + y + 1) x = 0, 1, 2, y = 0, 1 p(x, y) = 15 0 jinak Urˇcete kovarianci C(X, Y ) a korelaˇcn´ı koeficient R(X, Y ).

. [C(X, Y ) = −6/225, R(X, Y ) = −0.07]

Pˇr´ıklad 7.15. ( Necht’ X a Y maj´ı simult´ann´ı rozdˇelen´ı s pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı x+2y (x, y)0 ∈ {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} 18 p(x, y) = 0 jinak a) Urˇcete kovarianci a korelaˇcn´ı koeficient. b) Naleznˇete obˇe regresn´ı pˇr´ımky. c) Ovˇeˇrte, zda X a Y jsou stochasticky nez´avisl´e. ·

1 X a) C(X, Y ) = − 162 , R(X, Y ) = −0.025, b) Y = − 40 + c) nejsou

33 20 ,

Y = − 77X 2 +

¸

123 2 ,

Pˇr´ıklad 7.16. Naleznˇete sˇikmost a sˇpiˇcatost n´ahodn´e veliˇciny X, kter´a m´a rozdˇelen´ı dan´e n´asleduj´ıc´ı tabulkou. x p(x)

0 1 0.25 0.5

2 0.25 [0]

Pˇr´ıklad 7.17. Naleznˇete kvantily K0.2 , K0.6 , K0.8 diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny X, kter´a m´a n´asleduj´ıc´ı rozdˇelen´ı: x p(x)

1 2 0.25 0.5

3 0.25 [1, 2, 3]

53

Pˇr´ıklad 7.18. Poˇcet r˚uzn´ych druh˚u zboˇz´ı, kter´e z´akazn´ık nakoup´ı pˇri jedn´e n´avˇstˇevˇe obchodn´ıho domu, je n´ahodn´a veliˇcina X. Statisticky bylo zjiˇstˇeno, zˇ e tato veliˇcina nab´yv´a hodnot 0, 1, 2, 3, 4 s pravdˇepodobnostmi 0,25; 0,55; 0,11; 0,07; 0,02. Najdˇete momentov´e charakteristiky polohy, variability, sˇikmosti a sˇpiˇcatosti dan´e veliˇciny. [E(X) = 1, 06, D(X) = 0, 8164, A3 = 1, 1, A4 = 1, 33.]

Pˇr´ıklad 7.19. Ve velk´em mˇestˇe byl proveden pr˚uzkum veˇrejn´eho m´ınˇen´ı u 20´ celem je zjistit pozorov´an´ı n´ahodn´e veliˇciny X, kter´a je rovna poˇctu ti voliˇcu˚ . Uˇ hlas˚u ve prospˇech urˇcit´eho kandid´ata na starostu. Pˇredpokl´adejme, zˇ e ve skuteˇcnosti n´am nezn´am´ych 60% voliˇcu˚ ve mˇestˇe upˇrednostˇnuje tohoto kandid´ata. a) Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu µ a smˇerodatnou odchylku σ n´ahodn´e veliˇciny X. b) Urˇcete pravdˇepodobnost P (X ≤ 10). c) Urˇcete pravdˇepodobnost P (X > 12). d) Urˇcete pravdˇepodobnost P (X = 11). e) Nakreslete pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı n´ahodn´e veliˇciny X a oznaˇcte v nˇem hodnoty µ, µ − 2σ a µ + 2σ.   a) N´ahodn´a veliˇcina X m´ e rozdˇelen´ı s parametry n = 20 a p = 0, 6. pa binomick´ p Tedy E(X) = np = 12, D(X) = np(1 − p) = 2, 2. b) P (X ≤ 10) = 0, 245. c) P (X > 12) = 0, 416. d) P (X = 11) = 0, 159.

Pˇr´ıklad 7.20. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet ok pˇri hodu kostkou. Naleznˇete jej´ı rozptyl. £ 35 ¤ 12

Pˇr´ıklad 7.21. Jedenkr´at hod´ıme osmi kostkami. Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu a smˇerodatnou odchylku souˇctu ok padl´ych na vˇsech osmi kostk´ach. Pˇr´ıklad 7.22. Mˇestsk´a rada se skl´ad´a ze cˇ tyˇr liber´al˚u a cˇ tyˇr konzervativc˚u. Tˇri cˇ lenov´e rady jsou n´ahodnˇe vybr´ani do komise. Necht’ X ud´av´a poˇcet vybran´ych liber´al˚u. Urˇcete pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X a spoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu.    4   56 , x = 0, 3   , E(X) = 1, 5. p(x) = 24 56 , x = 1, 2   0, jinak

Pˇr´ıklad 7.23. N´ahodnˇe bez opakov´an´ı zvol´ıme tˇri cˇ´ısla z 1, 2, . . . , 9. Necht’ X ud´av´a nejvˇetˇs´ı z tˇechto tˇr´ı cˇ´ısel. Urˇcete stˇredn´ı hodnotu E(X). [E(X) = 7, 5.]

54

Pˇr´ıklad 7.24. Osoba m´a cˇ tyˇri podobn´e kl´ıcˇ e, z nichˇz pouze jedn´ım m˚uzˇ e otevˇr´ıt dveˇre sv´e kancel´aˇre. N´ahodnˇe, bez opakov´an´ı zkouˇs´ı tyto kl´ıcˇ e. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X ud´av´a poˇcet kl´ıcˇ u˚ , kter´e osoba musela vyzkouˇset, neˇz odemkla svou kancel´aˇr (vˇcetnˇe kl´ıcˇ e, kter´ym kancel´aˇr odemkla). a) Urˇcete pravdˇepodobnostn´ı funkci n´ahodn´e veliˇciny X. b) Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnou a smˇerodatnou odchylku X. c) Stanovte pravdˇepodobnostn´ı funkci X za pˇredpokladu, zˇ e osoba vyb´ır´a kl´ıcˇ e n´ahodnˇe, s opakov´an´ım. Pˇr´ıklad 7.25. V osud´ı jsou 3 b´ıl´e a 6 cˇ ern´ych koul´ı. Nar´az n´ahodnˇe vybereme cˇ tyˇri koule. Necht’ X ud´av´a poˇcet takto vytaˇzen´ych b´ıl´ych koul´ı. Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnou a rozptyl n´ahodn´e veliˇciny X. Pˇr´ıklad 7.26. V s´erii v´yrobk˚u, kter´a je pˇripravena k expedici, je 8% v´yrobk˚u s vadou povrchov´e u´ pravy. Dlouhodob´ym statistick´ym pozorov´an´ım bylo zjiˇstˇeno. zˇ e pravdˇepodobnost reklamace v´yrobku s uvedenou vadou je 0,8. Bylo uvaˇzov´ano o dvou variant´achprodeje tˇechto v´yrobk˚u: bud’ z´akazn´ıkovi v pˇr´ıpadˇe reklamace bude poskytnuta 50% sleva, nebo p˚uvodn´ı cena v´yrobku bude sn´ızˇ ena o 5% (bez moˇznosti reklamace). Pˇredpokl´adan´a cena v´yrobku je c. Kter´a z obou variant prodeje je pro spotˇrebitele v´yhoddnˇejˇs´ı? [ a) 0, 968c; b) 0, 95c Tedy pro spotˇrebitele je v´yhodnˇejˇs´ı druh´a varianta.]

Pˇr´ıklad 7.27. Podle u´ mrtnostn´ıch tabulek (1960 aˇz 1961) je pravdˇepodobnost u´ mrt´ı 25 let´eho muˇze bˇehem roku rovna 0,001674. Pojiˇst’ovna nab´ız´ı muˇzu˚ m tohoto vˇeku, zˇ e pˇri roˇcn´ım pojistn´em 100Kˇc vyplat´ı poz˚ustal´ym v pˇr´ıpadˇe u´ mrt´ı pojiˇstˇence 30 000Kˇc. Jak´y zisk m˚uzˇ e pojiˇst’ovna oˇcek´avat, jestliˇze takovouto pojistku uzavˇre 1000 muˇzu˚ uveden´eho vˇeku? [49780.]

ˇ SPOJITE´ VELICINY Pˇr´ıklad 7.28. N´ahodn´a veliˇcina X m´a rovnomˇern´e rozdˇelen´ı s parametry a = 20, b = 45. a) Urˇcete hustotu f (x). b) Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu µ a smˇerodatnou odchylku σ n´ahodn´e veliˇciny X. c) Nakreslete graf hustoty f (x), vyznaˇcte hodnotu µ spolu s intervalem [µ − 2σ, µ+2σ]. Vˇsimnˇete si, zˇ e n´ahodn´a veliˇcina X leˇz´ı v intervalu [µ−2σ, µ+ 2σ] s pravdˇepodobnost´ı 1.

55

Vypoˇctˇete:

d)

P (20 ≤ X ≤ 35) ,

e)

P (20 < X < 35),

f)

P (X ≥ 35),

g)

P (X ≤ 20),

h)

P (X ≤ 25),

i)

P (10 ≤ X ≤ 40),

j)

P (X ≥ 36),

k)

P (X ≥ 35, 5),

l)

P (20, 2 ≤ X ≤ 35, 5), m)

P (X < 20, 5).

Pˇr´ıklad 7.29. N´ahodn´a veliˇcina X m´a rovnomˇern´e rozdˇelen´ı s parametry a = 2, b = 4. a) Urˇcete hustotu f (x). b) Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu µ a smˇerodatnou odchylku σ n´ahodn´e veliˇciny X. Vypoˇctˇete:

c)

P (µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) , d)

P (X > 2, 78),

e)

P (2, 4 ≤ X ≤ 3, 7),

P (X < 2).

f)

Pˇr´ıklad 7.30. N´ahodn´a veliˇcina X m´a rovnomˇern´e rozdˇelen´ı na intervalu (0, a).Spoˇctˇete sˇikmost a sˇpiˇcatost. S pouˇzit´ım vlastnost´ı stˇredn´ı hodnoty a rozptylu urˇcete: a) E(2X + 3); b) E(3X 2 − 2X + 1); c) D(2X + 3); d) D(X 2 + 1). £

¤ a) a + 3; b) a2 − a + 1; c) a2 /3; d) 4a4 /45.

Pˇr´ıklad 7.31. N´ahodn´a veliˇcina X m´a rovnomˇern´e rozdˇelen´ı v intervalu (2,6). Vypoˇctˇete: a) E(2X + 3); b) E(4X 2 − 5X + 2); c) D(6X − 7); d) D(X 2 ). [ a) 11; b) 154/3 c) 48 d) 87.]

Pˇr´ıklad 7.32. Naleznˇete stˇredn´ı hodnotu, medi´an, doln´ı a horn´ı kvartil, mezikvartilov´e rozpˇet´ı, doln´ı a horn´ı decil n´ahodn´e veliˇciny X, kter´a m´a rovnomˇern´e rozdˇelen´ı na intervalu (0, 2). [EX = 1, K0.5 = 1, K0.25 = 0.5, K0.75 = 1.5, IQR = 1, K0.1 = 0.2, K0.9 = 1.8]

56

Pˇr´ıklad 7.33. Naleznˇete stˇredn´ı hodnotu, medi´an, doln´ı a horn´ı kvartil, mezikvartilov´e rozpˇet´ı, doln´ı a horn´ı decil n´ahodn´e veliˇciny X, kter´a m´a exponenci´aln´ı rozdˇ£elen´ı s parametrem λ = 2. ¤ EX = 12 , K0.5 = 0.35, K0.25 = 0.14, K0.75 = 0.69, K0.1 = 0.05, K0.9 = 1.15

Pˇr´ıklad 7.34. Naleznˇete stˇredn´ı hodnotu, medi´an, doln´ı a horn´ı kvartil, mezikvartilov´e rozpˇet´ı, doln´ı a horn´ı decil n´ahodn´e veliˇciny X, kter´a m´a rozdˇelen´ı s hustotou  2  0≤x≤1 5x x 1 f (x) = − 10 + 2 1<x≤5   0 jinak [EX = 2, K0.5 = 1.84, K0.25 = 1.13, K0.75 = 2.76, K0.1 = 0.71, K0.9 = 3.59]

Pˇr´ıklad 7.35. N´ahodn´a veliˇcina X m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı s parametry µ = 45, σ = 10. Urˇcete: a) P (X ≤ 50) , b) P (X ≤ 35, 6), c) P (40, 7 ≤ X ≤ 65, 8), d)

P (22, 9 ≤ X ≤ 33, 2),

e)

P (X ≥ 25, 3),

f)

P (X ≤ 25, 3).

[ a) 0.69146, c) 0.98124, e) 0.97558]

Pˇr´ıklad 7.36. N´ahodn´a veliˇcina X m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı s parametry µ = 30, σ = 8. Urˇcete konstantu x0 tak, aby a) P (X ≥ x0 ) = 0, 5, b) P (X < x0 ) = 0, 025, c)

P (X > x0 ) = 0, 1,

d)

P (X > x0 ) = 0, 95,

e) 10% hodnot X bylo menˇs´ıch neˇz x0 , f) 80% hodnot X bylo menˇs´ıch neˇz x0 , g) 1% hodnot X bylo vˇetˇs´ıch neˇz x0 . [ a) 30, c) 40.32, e) 19.75 g) 48.61]

Pˇr´ıklad 7.37. N´ahodn´a veliˇcina X m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou 100 a smˇerodatnou odchylkou 8. Naˇcrtnˇete graf hustoty n´ahodn´e veliˇciny X. Do grafu zakreslete hodnotu µ a interval µ ± 2σ. Urˇcete pravdˇepodobnost a) P (µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) , b) P (X ≥ µ + 2σ) , c)

P (X ≤ 92),

d)

P (92 ≤ X ≤ 116) ,

e)

P (92 ≤ X ≤ 96) ,

f)

P (76 ≤ X ≤ 124) . [ a) 0.9545, b) 0.02275]

Pˇr´ıklad 7.38. N´ahodn´a veliˇcina X m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı se smˇerodatnou odchylkou 25. V´ıme, zˇ e pravdˇepodobnost, zˇ e X bude vˇetˇs´ı neˇz 150 je 0,9. Urˇcete stˇredn´ı hodnotu µ n´ahodn´e veliˇciny X. [182.04]

57

Pˇr´ıklad 7.39. Jestliˇze n´ahodn´a veliˇcina X m´a rozdˇelen´ı N (µ; σ 2 ) takov´e, zˇ e P (X < 85) = 0, 90 a P (X < 95) = 0, 95, jak´e jsou hodnoty µ a σ£2 ? ¤ µ = 49, 7; σ 2 = 758, 9

Pˇr´ıklad 7.40. a) Necht’ n´ahodn´a veliˇcina U ∼ N (0, 1). Naleznˇete medi´an, doln´ı a horn´ı kvartil a mezikvartilov´e rozpˇet´ı. b) Naleznˇete χ20.025 (25) c) Naleznˇete t0.99 (30) a t0.05 (24) d) Naleznˇete F0.975 (5, 20) a F0.05 (2, 10) [ a) 0; −0.67449; 0.67449, b) 13.12, c) 2.4573; −1.7109, d) 3.2891; 0.05156]

Pˇr´ıklad 7.41. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina T ∼ t(14). Naleznˇete konstantu c tak, aby P (−c < T < c) = 0.9. [1.7613]

Pˇr´ıklad 7.42. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X ∼ F (5, 8). Naleznˇete konstanty a a b tak, aby P (X ≤ a) = 0.05 a P (X ≤ b) = 0.95. [0.2075; 3.6875]

Pˇr´ıklad 7.43. Vypoˇctˇete momentov´e charakteristiky n´ahodn´e veliˇciny X, kter´a m´a hustotu f (x) = Ae−|x| pro − ∞ < x < ∞. [A = 1/2; E(X) = 0; D(x) = 2; A3 = 0; A4 = 3.]

Pˇr´ıklad 7.44. Necht’ (X, Y )0 m´a hustotu pravdˇepodobnosti f (x, y). Naleznˇete E(X), D(X),( E(Y ), D(Y ). 1−x+y 0 < x < 1, 0 < y < 1 f (x, y) = 0 jinak £ E(X) =

5 12 ,

D(X) =

11 144 ,

E(Y ) =

7 12 ,

Pˇr´ıklad 7.45. Hustota n´ahodn´eho vektoru (X, Y )0 je tvaru ( 24x2 y(1 − x), 0 < x < 1, 0 < y < 1, f (x, y) = 0, jinak. a) Naleznˇete margin´aln´ı hustotu n´ahodn´e veliˇciny X. b) Naleznˇete margin´aln´ı hustotu n´ahodn´e veliˇciny Y . c) Rozhodnˇete, zda jsou stochasticky nez´avisl´e. 58

D(Y ) =

11 144

¤

d) Naleznˇete stˇredn´ı hodnotu a rozptyl veliˇciny X.   a) fX (x) = 12x2 (1 − x) pro 0 < x < 1, 0 jinak, b) fY (y) = 2y pro 0 < y < 1, 0 jinak, c) nejsou, d) E(X) = 3/5, D(X) = 1/25

Pˇr´ıklad 7.46. Hustota n´ahodn´eho vektoru (X, Y )0 je rovna ( 24xy(1 − x2 ), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, f (x, y) = 0, jinak. Dokaˇzte, zˇ e jsou X a Y nez´avisl´e. A naleznˇete stˇredn´ı hodnotu a rozptyl veliˇcin X aY. Pˇr´ıklad 7.47. Hustota n´ahodn´eho vektoru (X, Y )0 je rovna ( xe−x(1+y) , x > 0, y > 0, f (x, y) = 0, jinak. Najdˇete margin´aln´ı hustoty n´ahodn´ych veliˇcin X a Y . Spoˇctˇete korelaci veliˇcin X, Y . £ ¤ −x −2 fX (x) = e

, pro x > 0, 0 jinak.fY (y) = (1 + y)

, pro y > 0, 0 jinak.

Pˇr´ıklad 7.48. Necht’ X a Y maj´ı rovnomˇern´e rozdˇelen´ı na n´ızˇ e uveden´e mnoˇzinˇe G. Urˇcete kovarianci a korelaˇcn´ı koeficient. G = {(X, Y )0 ∈ R2 : 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1, x + y ≤ 1} [C(X, Y ) = −1/36, R(X, Y ) = −1/2]

Pˇr´ıklad 7.49. Necht’ X a Y maj´ı rovnomˇern´e rozdˇelen´ı na n´ızˇ e uveden´e mnoˇzinˇe G. G = {(X, Y )0 ∈ R2 : 0 < x < y < 1} a) Urˇcete kovarianci a korelaˇcn´ı koeficient. b) Naleznˇete obˇe regresn´ı pˇr´ımky. c) Ovˇeˇrte, zda X a Y jsou stochasticky nez´avisl´e. [ a) C(X, Y ) = 1/36, R(X, Y ) = −1/2, b) Y = (X + 1)/2, X = Y /2, c) nejsou]

59

Pˇr´ıklad 7.50. Necht’ n´ahodn´e veliˇciny X a Y maj´ı sdruˇzenou hustotu  1 1 1 1  1, (x, y) ∈ (0, 2 ) × ( 2 , 1) ∪ ( 2 , 1) × (0, 2 ), f (x, y) = 2, (x, y) ∈ ( 12 , 1) × ( 12 , 1),   0, jinak. Vypoˇctˇete korelaˇcn´ı koeficient ρX,Y . (Doplˇnuj´ıc´ı u´ loha: takto zadanou hustotu naˇcrtnˇete a ovˇeˇrte, zda skuteˇcnˇe m´a vlastnosti, kter´e m´a hustota m´ıt. Ovˇeˇrte tyto vlastnosti i u spoˇcten´ych margin´aln´ıch hustot.) £ ¤ 3 ρX,Y = − 13 .

Pˇr´ıklad 7.51. Necht’ n´ahodn´e veliˇciny X a Y maj´ı sdruˇzenou hustotu ( π −1 , x2 + y 2 ≤ 1, f (x, y) = 0, jinak. Vypoˇctˇete margin´aln´ı hustoty veliˇcin X a Y , d´ale vypoˇctˇete EX, EY, DX, DY a ρX,Y . £ ¤ EX = 0, EY = 0, DX = 14 , DY = 14 , ρX,Y = 0.

Pˇr´ıklad 7.52. N´ahodn´y vektor (X, Y )0 m´a rovnomˇern´e rozdˇelen´ı na kruˇznici o rovnici x2 + y 2 = 1. a) Naleznˇete margin´aln´ı hustoty n´ahodn´e veliˇciny X a n´ahodn´e veliˇciny Y . b) Vypoˇctˇete EX, EY, DX, DY . c) Rozhodnˇete, zda jsou X a Y nez´avisl´e. h a) fX (x) = fY (x) =

√2 , π 1−x2

i pro − 1 < x < 1, 0 jinak. b) EX = EY = 0

Pˇr´ıklad 7.53. N´ahodn´y vektor (X, Y )0 m´a rovnomˇern´e rozdˇelen´ı na oblasti: y2 x2 + = 1. 2 a b2 a) Naleznˇete margin´aln´ı hustotu n´ahodn´e veliˇciny X. b) Naleznˇete margin´aln´ı hustotu n´ahodn´e veliˇciny Y . c) Vypoˇctˇete EX, EY . d) Vypoˇctˇete C(X, Y ). Pˇresvˇedˇcte se, zˇ e n´ahodn´e veliˇciny X a Y jsou nekorelovan´e, ale z´avisl´e. q   2 2 a) fX (x) = πa 1 − xa2 pro |x| < a, 0 jinak.   q y2 2 b) fY (y) = πb 1 − b2 pro |y| < b, 0 jinak.

60

Pˇr´ıklad 7.54. N´ahodn´y vektor (X, Y, Z)0 m´a hustotu f (x, y, z) rovnou konstantˇe c, kdyˇz x2 + y 2 + z 2 ≤ 1. Jinak je hustota (X, Y, Z)0 rovna 0. a) Stanovte konstantu c. b) Naleznˇete margin´aln´ı hustoty n´ahodn´ych veliˇcin X, Y , Z. c) Naleznˇete margin´aln´ı hustoty vektor˚u (X, Y )0 a (X, Z)0 . d) Vypoˇctˇete EX, EY, EZ, DX, DY, DZ, C(X, Y )0 a var(X, Y, Z)0 . Pˇr´ıklad 7.55. Hustota n´ahodn´eho vektoru (X, Y )0 je tvaru ( [(1 + ax)(1 + ay) − a] e−x−y−axy , x > 0, y > 0, f (x, y) = 0, jinak, kde 0 < a < 1. Urˇcete a) margin´aln´ı hustoty n´ahodn´ych veliˇcin X, Y . b) distribuˇcn´ı funkci (X, Y )0 . c) stˇredn´ı hodnoty EX, EY , rozptyly DX, DY a kovarianci C(X, Y ).   a) fX (x) = fY((x) = e−x pro x > 0, 0 jinak,  −x−y−axy − e−x − e−y , x > 0, y > 0, b) F (x, y) = 1 + e  0, jinak.

Pˇr´ıklad 7.56. Hustota n´ahodn´eho vektoru (X, Y )0 je rovna ( p−1 x (y−x)q−1 e−y , 0 < x < y, Γ(p)Γ(q) f (x, y) = 0, jinak. Najdˇete margin´ £ aln´ı hustoty n´ahodn´ych veliˇcin X a Y .

¤ fX (x) = e−x , pro x > 0, 0 jinak.fY (y) = (1 + y)−2 , pro y > 0, 0 jinak.

Pˇr´ıklad 7.57. Hustota n´ahodn´eho vektoru (X1 , X2 ) je rovna ( x1 + x2 , 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1, f (x1 , x2 ) = 0, jinak. Vypoˇctˇete hustotu n´ahodn´e veliˇciny Y = X1 + X2 . Spoˇctˇete D(Y ).

 2  0 < z ≤ 1, z ,   fY (z) = z(2 − z), 1 < z ≤ 2,    0, jinak.

61

Pˇr´ıklad 7.58. Trolejbusy mˇestsk´e dopravy odj´ızˇ dˇej´ıze stanice v pˇetiminutov´ych intervalech. Cestuj´ıc´ı m˚uzˇ e pˇrij´ıt na stanici v libovoln´em okamˇziku. Jak´a je stˇredn´ı hodnota a smˇerodatn´a odchylka doby jeho cˇ ek´an´ı na odjezd ze stanice? [E(X) = 2, 5; D(X) = 2, 08.]

Pˇr´ıklad 7.59. V´yrobn´ı zaˇr´ızen´ı m´a poruchu v pr˚umˇeru jednou za 2000 hodin. Pˇredpokl´adejme, zˇ e ”doba cˇ ek´an´ı” na poruchu je n´ahodn´a veliˇcina s exponencia´ ln´ım rozdˇelen´ım. Stanovte hodnotu t tak, aby pravdˇepodobnost, zˇ e pˇr´ıstroj bude pracovat delˇs´ı dobu neˇz t, byla 0,99. [20, 5]

ˇ Pˇr´ıklad 7.60. Zivotnost urˇcit´eho v´yrobku se rˇ´ıd´ı exponenci´aln´ım rozdˇelen´ım se stˇredn´ı hodnotou 3 roky. Jak dlouhou z´aruˇcn´ı dobu poskytne v´yrobce z´akazn´ık˚um, jestliˇze zˇ a´ d´a, aby relativn´ı cˇ etnost v´yrobk˚u, kter´e bˇehem z´aruˇcn´ı doby pˇrestanou plnit svou funkci, byla v pr˚umˇeru 0,1? [0, 32]

´ Upravy Pˇr´ıklad 7.61. Necht’ E(X 2 ) = 65 a E(X) = 7. Urˇcete smˇerodatnou odchylku n´ahodn´e veliˇciny X. h i p D(X) = 4.

Pˇr´ıklad 7.62. Necht’ E(X) = 3 a E[X(X − 1)] = 6. Urˇcete rozptyl D(X). Pˇr´ıklad 7.63. Necht’ D(X) = D(Y ) = C(X, Y ) = 1. Vypoˇctˇete a) D(3 − X), b) C(X, X), c) D(2X + 4),

d)

C(X, X + Y ),

e) D(X − Y ),

f)

D(4X + Y − 7), [ a) 1, b) 1, c) 4, d) 2, e) 0, f) 25.]

Pˇr´ıklad 7.64. Uvaˇzujme n´ahodnou veliˇcinu X se stˇredn´ı hodnotou E(X) = −1, rozptylem D(X) = 4 a n´ahodnou veliˇcinu Y = 2 − 3X. Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu a rozptyl veliˇciny Y , kovarianci a koeficient korelace veliˇcin X,Y . [E(Y ) = 5; D(Y ) = 36; C(X, Y ) = −12; R(X, Y ) = −1.]

Pˇr´ıklad 7.65. Necht’ X a Y jsou nez´avisl´e n´ahodn´e veliˇciny s σX = σY = 1. Vypoˇctˇete a) D(2X + Y ), b) C(2X + Y, X − Y ), c) ρX,Y ,

d)

ρU,V , kde U = 2X + Y , V = X − Y . h

a) 5, b) 1, c) 0, d)

62

√1 10

i

Pˇr´ıklad 7.66. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X m´a stˇredn´ı hodnotu E(X) = µ a rozptyl D(X) = σ 2 . Urˇcete a) E(Y ) a D(Y ), kde Y = X − E(X) b) E(U ) a D(U ), kde U = £

X−µ σ

a) E(Y ) = 0, D(Y ) = σ 2 , b) E(U ) = 0, D(U ) = 1

¤

Pˇr´ıklad 7.67. Necht’ X1 , X2 , . . . , Xn jsou nez´avisl´e stejnˇe rozdˇelen´e n´ahodn´e veliˇciny se stejn´ymi stˇredn´ımi hodnotami µ a rozptyly σ12 , σ22 , . . . , σn2 , X je jejich pr˚umˇer. Spoˇctˇete D(X). £ ¤ P D(X) =

1 n2

n 2 i=1 σi .

Pˇr´ıklad 7.68. Urˇcete stˇredn´ı hodnotu veliˇciny Z = 3X 2 − 2XY + Y 2 − 3, je-li zn´amo, zˇ e E(X) = −2, E(Y ) = 4, D(X) = 4, D(Y ) = 9, R(X, Y ) = −0.5. [68]

Pˇr´ıklad 7.69. Necht’ X1 , X2 a X jsou nez´avisl´e n´ahodn´e veliˇciny, pro kter´e plat´ı EX1 = 1, EX2 = 2, EX = 3, DX1 = 4, DX2 = 5, DX = 6. Poloˇzme Y = X1 + X, Z = X2 − X. Vypoˇctˇete korelaˇcn´ı koeficient ρY,Z , parci´aln´ı korelaˇcn´ı koeficient ρY,Z.X a koeficient mnohon´ahsobn´e korelace ρX,(Y,Z) . i 6 ρY,Z = − √110 , ρY,X = 0, ρX,(Y,Z) =

√9 . 111

Pˇr´ıklad 7.70. Necht’ X je n´ahodn´y vektor o rozmˇerech 3 × 1,   5 2 3 var(X) =  2 3 0  . 3 0 2 a) Poloˇzme Z = X1 − 2X2 + X3 . Najdˇete D(Z) b) Najdˇete varianˇcn´ı matici var(Y ) = var(Y1 , Y2 )0 , kdyˇz Y1 = X1 +X2 a Y2 = X1 + X2 + X3 . · µ ¶ ¸ 12 15 D(Z) = 17, var(Y ) = . 15 20

Pˇr´ıklad 7.71. Nekorelovan´e n´ahodn´e veliˇciny X a Y maj´ı rozptyly D(X) = k a ˇ D(Y ) = 2. Cemu je rovno k, jestliˇze rozptyl n´ahodn´e veliˇciny Z = 3Y − X je D(Z) = 25? [k = 7.]

63

Pˇr´ıklad 7.72. Nekorelovan´e n´ahodn´e veliˇciny X1 , X2 , X3 , X4 maj´ı identick´y z´akon rozdˇelen´ı s hustotou ( 2xi , 0 < xi < 1, i = 1, 2, 3, 4 f (xi ) = 0, jinak Vypoˇctˇete stˇredn´ı hodnotu a rozptyl n´ahodn´e veliˇciny Y = 2X1 + X2 − X3 + X4 . [E(Y ) = 2; D(Y ) = 7/18.] 0

Pˇr´ıklad 7.73. Najdˇete korelaˇcn´ı matici n´ahodn´eho vektoru X = [X1 , X2 , X3 ] , jehoˇz kovarianˇcn´ı matice je   16 −14 12 C =  −14 49 −21  . 12 −21 36 



  1 −0, 5 0, 5 R =  −0, 5 1 −0, 5  . 0, 5 −0, 5 1

Pˇr´ıklad 7.74. Necht’ X = (X1 , X2 , . . . , Xn )0 je n´ahodn´y vektor a uvaˇzujme n´ahodn´e veliˇciny Y1 = X1 , Yi = Xi − Xi−1 , i = 2, 3, . . . , n. Najdˇete varianˇcn´ı matici var(X) = var(X1 , X2 , . . . , Xn )0 za pˇredpokladu, zˇ e n´ahodn´e veliˇciny Yi jsou navz´ajem nez´avisl´e a kaˇzd´a z nich m´a stejn´y rozptyl σ2. " ( # C(Xi , Xj ) =

iσ 2 , i ≤ j, jσ 2 , i > j.

Pˇr´ıklad 7.75. Necht’ X = (X1 , X2 , . . . , Xn )0 je n´ahodn´y vektor a uvaˇzujme n´ahodn´e veliˇciny Y1 = X1 , Yi = Xi − Xi−1 , i = 2, 3, . . . , n. Najdˇete varianˇcn´ı matici var(Y ) = var(Y1 , Y2 , . . . , Yn )0 za pˇredpokladu, zˇ e n´ahodn´e veliˇciny Xi jsou navz´ajem nez´avisl´e a kaˇzd´a z nich m´a stejn´y rozptyl σ 2 . 





σ2

−σ 2

0 ··· 0       ..  ..    .  −σ 2 2σ 2 −σ 2  .        ..  var(Y ) =  0 2 2 . −σ 2σ 0         .  .. .. .. 2   ..  . . . −σ        0 ··· 0 −σ 2 2σ 2

Pˇr´ıklad 7.76. Necht’ X1 , X2 , . . . , Xn jsou n´ahodn´e veliˇciny, kter´e maj´ı stejn´y rozptyl σ 2 . Poloˇzme Z1 = X1 a Zi+1 = ρZi + a pro i = 1, 2, . . . , n − 1, kde a a ρ 0 jsou re´aln´a cˇ´ısla. Najdˇete varianˇcn´ı matici var(Z) = var(Z £ 1 , Z 2 , . . . , Zn ) . ¤ C(Zi , Zj ) = ρi+j−2 σ 2 .

64

D˚ukazy Pˇr´ıklad 7.77. Necht’ X1 , X2 , . . . , Xn jsou nez´avisl´e stejnˇe rozdˇelen´e n´ahodn´e veliˇ ciny se stejn´ymi stˇredn´ımi hodnotami µ a rozptyly σ12 , σ22 , . . . , σn2 . Dokaˇzte, P zˇ e ni=1 (Xi − X)2 /[n(n − 1)] je nestrann´ym odhadem D(X). Pˇr´ıklad 7.78. Necht’ n´ahodn´e veliˇciny X1 , X2 , . . . , Xn maj´ı stejn´e stˇredn´ı hodnoty µ, stejn´e rozptyly σ 2 a korelace libovoln´eho p´aru tˇechto r˚uzn´ych n´ahodn´ych −1 veliˇcin je rovna konstantˇe ρ. Najdˇete D(X) a ukaˇzte odtud, zˇ e n−1 ≤ ρ ≤ 1. h D(X) =

σ2 n (1

i + ρ(n − 1)).

Pˇr´ıklad 7.79. Necht’ X0 , X1 , X2 , . . . , Xn jsou nez´avisl´e stejnˇe rozdˇelen´e n´ahodn´e veliˇciny s rozdˇelen´ım N (µ, σ 2 ). Poloˇzme n

1 X S = (Xi − X)2 . n − 1 i=1 2

Dokaˇzte, zˇ e S 2 je nestrann´ym odhadem σ 2 . Pˇr´ıklad 7.80. Necht’ X0 , X1 , X2 , . . . , Xn jsou nez´avisl´e stejnˇe rozdˇelen´e n´ahodn´e veliˇciny s rozdˇelen´ım N (µ, σ 2 ). Poloˇzme n

1 X S = (Xi − X)2 , n − 1 i=1 2

n−1

X 1 Q= (Xi−1 − Xi )2 . 2(n − 1) i=1 a) Dokaˇzte, zˇ e var(S 2 ) =

2σ 4 . n−1

b) Dokaˇzte, zˇ e Q je nestrann´y odhad parametru σ 2 . Pˇr´ıklad 7.81. Necht’ n´ahodn´e veliˇciny X a Y maj´ı stejn´y rozptyl. Dokaˇzte, zˇ e C(X + Y, X − Y ) = 0. Najdˇete protipˇr´ıklad, kter´ym uk´azˇ ete, zˇ e z nulovosti t´eto kovariance neplyne nez´avislost tˇechto n´ahodn´ych veliˇcin. ¸ · Protipˇr´ıklad: X = Z1 + Z3 , Y = Z1 + Z2 , kde Zi jsou nez´avisl´e n´ahodn´e veliˇciny se stejn´ym rozptylem σ 2 > 0.

Pˇr´ıklad 7.82. Necht’ kaˇzd´a z n´ahodn´ych veliˇcin X a Y nab´yv´a pouze hodnot 0 a 1, pˇriˇcemˇz P (X = i, Y = j) = pij , i = 0, 1, j = 0, 1. Dokaˇzte, zˇ e tyto veliˇciny jsou nez´avisl´e pr´avˇe tehdy, kdyˇz C(X, Y ) = 0. Pˇr´ıklad 7.83. Necht’ n´ahodn´a veliˇcina X m´a symetrickou hustotu (f (−x) = f (x)) a nulov´e stˇredn´ı hodnoty. Pˇredpokl´adejme nav´ıc, zˇ e existuj´ı jej´ı 3. momenty. Dokaˇzte, zˇ e C(X, X 2 ) = 0. 65

Pˇr´ıklad 7.84. Necht’ hustota n´ahodn´ych veliˇcin X, Y a Z m´a tvar ( 1 (1 + xyz) −1 ≤ x, y, z ≤ 1, f (x, y, z) = 8 0, jinak. Dokaˇzte, zˇ e tyto veliˇciny jsou po dvou nez´avisl´e, ale nejsou vz´ajemnˇe nez´avisl´e. Pˇr´ıklad 7.85. Necht’ n´ahodn´e veliˇciny X1 , X2 , . . . , Xn maj´ı stejn´e stˇredn´ı hodnoty µ a jsou stochasticky nez´avisl´e. Poloˇzme Q1 =

n X

(Xi − X)2 ,

i=1

Q2 = (X1 − X2 )2 + (X2 − X3 )2 + · · · + (Xn−1 − Xn )2 + (Xn − X1 )2 . Dokaˇzte, zˇ e

·

¸ 3Q1 − Q2 E = var(X). n(n − 3)

Pˇr´ıklad 7.86. Necht’ korelaˇcn´ı koeficient ρ n´ahodn´ych veliˇcin X a Y existuje. Ukaˇzte, zˇ e −1 ≤ ρ ≤ 1. [Vezmˇete v u´ vahu diskriminant nez´aporn´e kvadratick´e funkce g(v) = E {[(X − µ1 ) + v(Y − µ2 )]2 }, kde re´aln´e cˇ´ıslo v nen´ı funkc´ı X ani Y .] Pˇr´ıklad 7.87. Necht’ X a Y jsou n´ahodn´e vektory o rozmˇerech m × 1 a n × 1, a a b jsou re´aln´e vektory o rozmˇerech m × 1 a n × 1. Dokaˇzte, zˇ e pro kovarianˇcn´ı matici plat´ı cov(X − a, Y − b) = cov(X, Y ). Pˇr´ıklad 7.88. Dokaˇzte, zˇ e cov(X, Y ) = E(XY 0 ) − (EX)(EY )0 . Pˇr´ıklad 7.89. Necht’ A je symetrick´a matice a X je n´ahodn´y vektor. Dokaˇzte, zˇ e E(X 0 AX) = tr[AE(XX 0 )], kde tr(A) znaˇc´ı stopu matice A. Pˇr´ıklad 7.90. Necht’ X1 , X2 , . . . , Xn jsou nez´avisl´e n´ahodn´e veliˇciny se stejn´ym rozdˇelen´ım N (0, σ 2 ) a A a B jsou symetrick´e re´aln´e matice o rozmˇerech n × n, X = (X1 , X2 , . . . , Xn )0 je n´ahodn´y vektor. Dokaˇzte, zˇ e cov(X 0 AX, X 0 BX) = 2σ 4 tr(AB).

66

Obsah 1. Mnoˇziny

2

2. Integr´al

5

3. Kombinatorika

8

4. Pravdˇepodobnost 4.1 Klasick´a pravdˇepodobnost . . 4.2 Geometrick´a pravdˇepodobnost 4.3 Podm´ınˇen´a pravdˇepodobnost . 4.4 Stochasticky nez´avisl´e jevy . .

. . . .

15 16 24 27 31

5. N´ahodn´e veliˇciny 5.5 Distribuˇcn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Diskr´etn´ı n´ahodn´a veliˇcina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Spojit´a n´ahodn´a veliˇcina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 35 37

6. Diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny

40

ˇ ıseln´e charakteristiky n´ahodn´ych veliˇcin 7. C´

47

. . . .

67

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Literatura [1] Feller, V.: An Introduction to Probability Theory and its Applications, Volume I. Rusk´y pˇreklad: Izdatelstvo Mir, Moskva, 1967. [2] Jemeljanov, G. V., Skitoviˇc, V. P.: Zadaˇcnik po teorii vˇerojatnostˇej i matematiˇceskoj statistike. Izdatelstvo Leningradskovo universitˇeta, Leningrad, 1967. ´ [3] Seitz, J.: Uvod do poˇctu pravdˇepodobnosti. UK, Praha, 1968. [4] Sveˇsnikov, A. A.: Sb´ırka u´ loh z teorie pravdˇepodobnosti matematick´e statistiky a teorie n´ahodn´ych funkc´ı. SNTL, Praha, 1971. [5] Dupaˇc V., Huˇskov´a M.: Pravdˇepodobnost a matematick´a statistika, Karolinum, Praha, 2001. [6] Heb´ak P., Kahounov´a J.: Poˇcet pravdeˇepodobnosti v pˇr´ıkladech, SNTL, Praha, 1988. [7] Kˇr´ızˇ , O.: Sb´ırka u´ loh ze statistiky I. VVSˇ PV Vyˇskov, 1999. ˇ Oseck´y, P.: Teorie pravdˇepodobnosti a matema[8] Bud´ıkov´a, M.; Mikol´asˇ, S.; tick´a statistika. Brno, 2002. ˇ sen´e maturitn´ı u´ lohy z matematiky. SPN, Praha, 1988. [9] Buˇsek, I.: Reˇ [10] Calda, E.; Dupaˇc, V.: Matematika pro gymn´azia - Kombinatorika, pravdˇepodobnost a statistika. Prometheus, Praha, 1994.

68