ŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S. DIPLOMOVÁ PRÁCE Ing. Markéta Černá

ŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S.

DIPLOMOVÁ PRÁCE

2015

Ing. Markéta Černá

ŠKODA AUTO VYSOKÁ ŠKOLA, O.P.S.

Studijní program: N6208 Ekonomika a management Studijní obor: 6208T088 Podniková ekonomika a management provozu

POKROČILEJŠÍ METODY REGULACE PROCESU

Ing. Markéta ČERNÁ

Vedoucí práce: doc. Ing. Eva Jarošová, CSc.

Tento list vyjměte a nahraďte zadáním diplomové práce

Prohlašuji,

že

jsem

diplomovou

práci

vypracovala

samostatně

s použitím uvedené literatury pod odborným vedením vedoucího práce. Prohlašuji, že citace použitých pramenů je úplná a v práci jsem neporušila autorská práva (ve smyslu zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském a o právech souvisejících s právem autorským).

V Mladé Boleslavi dne 6. 1. 2015

3

Děkuji doc. Ing. Evě Jarošové, CSc. za odborné vedení diplomové práce, poskytování informačních podkladů a cenných rad a vstřícnost při konzulacích.

4

Obsah Seznam použitých zkratek a symbolů .................................................................... 7 Úvod ....................................................................................................................... 8 1

2

3

4

Proces a jeho regulace .................................................................................. 10 1.1

Shewhartovy diagramy ............................................................................ 12

1.2

CUSUM ................................................................................................... 16

1.3

EWMA ..................................................................................................... 19

Testování předpokladů .................................................................................. 22 2.1

Testování normality ................................................................................. 22

2.2

Testování autokorelace dat ..................................................................... 25

2.3

Analýza rozptylu ...................................................................................... 26

Způsobilost procesu ....................................................................................... 28 3.1

Ukazatele způsobilosti procesu ............................................................... 29

3.2

Způsobilost procesu v případě nenormálního rozdělení hodnot .............. 34

3.3

Výkonnost procesu .................................................................................. 35

3.4

Způsobilost systému měření ................................................................... 35

3.5

Způsobilost a výkonnost procesu v automobilovém průmyslu ................ 37

Představení společnosti ŠKODA AUTO a.s. a analyzovaného procesu ........ 39 4.1

5

6

Popis procesu ......................................................................................... 40

Proces 1......................................................................................................... 42 5.1

Testování normality ................................................................................. 42

5.2

Testování autokorelace ........................................................................... 44

5.3

Metoda EWMA ........................................................................................ 45

5.4

Způsobilost procesu 1 ............................................................................. 48

Proces 2......................................................................................................... 50 6.1

Testování normality ................................................................................. 50

6.2

Testování autokorelace ........................................................................... 52

6.3

Shewhartovy regulační diagramy ............................................................ 52

6.4

Metoda EMWA ........................................................................................ 54

6.5

Metoda CUSUM ...................................................................................... 55

6.6

Porovnání metod z hlediska citlivosti....................................................... 58

5

6.7 7

Způsobilost procesu 2 ............................................................................. 60

Analýza současného stavu a návrh řešení .................................................... 62

Závěr .................................................................................................................... 65 Seznam literatury ................................................................................................. 68 Seznam obrázků a tabulek ................................................................................... 70 Seznam příloh ...................................................................................................... 72

6

Seznam použitých zkratek a symbolů a.s.

Akciová společnost

AIAG

Automotive Industry Action Group

ARL

Průměrná délka přeběhu

CL

Centrální přímka

CUSUM

Cumulative Sum

č.

Číslo

ČSN

Česká technická norma

EWMA

Exponentially Weighted Moving Average

FIR

Fast Initial Response

ISO

International Organization for Standardization

LCL

Dolní regulační mez

LSL

Dolní mez daná specifikací

LWL

Dolní varovná mez

SPC

Statistical Process Control

TQM

Total Quality Management

UCL

Horní regulační mez

USL

Horní mez daná specifikací

UWL

Horní varovná mez

7

Úvod Kontrola a neustálé zlepšování kvality je součástí firemní strategie mnoha společností. Toto tvrzení platí bez výjimky i ve vysoce konkurenčním prostředí automobilového průmyslu, kde je kvalita považována za konkurenční výhodu. Počátky statistické kontroly procesu spadají do období průmyslové revoluce, ve které došlo k prudkému nárůstu objemu výroby, ale i složitosti výrobních procesů. Na to reagovala i kontrola jakosti; nebylo možné kontrolovat každý výrobek, proto bylo nutné najít optimum mezi náklady vynaloženými na kontrolu a úrovní jakosti. Ve dvacátých letech 20. století byly do praxe uvedeny Shewhartovy diagramy, které monitorují variabilitu procesu. Velký posun ve statistické kontrole jakosti byl spojen s rozvojem počítačů a softwarových programů monitorujících kvalitu na konci 80. let 20. století. Díky tomu bylo možné zavést při kontrole jakosti i pokročilejší metody, které by byly dříve, vzhledem k složitosti jejich výpočtu, nemožné. Mezi ně patří i metoda kumulativních součtů (CUSUM) a exponenciálně vážených klouzavých průměrů (EWMA), které budou z teoretického i praktického hlediska představeny v této diplomové práci. Metody EWMA a CUSUM oproti Shewhartovým diagramům zohledňují všechna předchozí pozorování, zatímco Shewhartovy diagramy zkoumají jednotlivá pozorování izolovaně. Z tohoto důvodu jsou výše jmenované pokročilejší metody schopny detekovat i malý posun procesu. Díky tomu je možné dříve odhalit příčinu větší variability a odstranit ji. Zvláště vhodné jsou v případě statistické regulace procesu, v níž se analyzují individuální pozorování a ne tzv. logické podskupiny. Modifikovanou metodu EWMA lze použít i v případě autokorelace dat, ostatní metody jsou v tomto případě nevhodné. Cílem této diplomové práce je představit vybrané pokročilejší metody statistické regulace procesu a aplikovat je na vybraný výrobní proces ve ŠKODA AUTO a.s. V rámci této práce budou porovnány Shewhartovy diagramy s metodami EWMA a CUSUM. Diplomová práce se skládá ze dvou celků, teoretické a praktické části. V teoretické části bude nejprve v krátkosti přiblížen výrobní proces a možnosti jeho statistické kontroly, příčiny variability a druhy regulačních diagramů podle typu kontroly (srovnáváním a měřením). Dále bude pozornost věnována třem metodám

8

statistické

regulace

procesu,

Shewhartovým

diagramům,

metodě

EWMA

a CUSUM, a to jak z hlediska jejich principu, tak také z hlediska výhod a nevýhod použití. Při sestrojování regulačních diagramů je nutné testovat, zda mají data normální rozdělení, nejsou ovlivněna autokorelací a mají konstantní střední hodnotu. Proto autorka zařadila do teoretické části také kapitolu týkající se testování těchto předpokladů. Poslední kapitola teoretické části je věnována způsobilosti a výkonnosti procesu. V praktické části bude analyzován vybraný výrobní proces. Konkrétně se bude jednat o dva časové úseky procesu, ve kterém je regulovanou veličinou poloha závitového čepu pro uchycení zadního nárazníku. Na základě testování předpokladů a průběhu dat bude aplikována nejvhodnější metoda statistické regulace procesu. V prvním úseku procesu, ve kterém byla data ovlivněna autokorelací, bude použita metoda EWMA a její modifikovaná verze. V druhém úseku procesu bude statistická stabilita procesu sledována pomocí všech tří metod představených v teoretické části. Jednotlivé metody budou porovnány z hlediska jejich citlivosti na základě interpretace výsledných regulačních diagramů, ale také na základě výpočtu průměrné délky přeběhu ARL(δ). U obou úseků bude také spočítána způsobilost procesu. Na základě analýzy tohoto procesu uvádí autorka v závěru praktické části návrh, jak zlepšit dosavadní statistickou regulaci procesů ve ŠKODA AUTO a.s.

9

1

Proces a jeho regulace

V současné době, kdy na trhu panuje velká konkurence, je nutné, aby firmy vyráběly to, co zákazníci požadují a výroba byla co nejefektivnější. Z tohoto důvodu zavádí firmy celou řadu metod organizace výroby jako například Lean, Poka-Yoke nebo TQM, v nichž figuruje i kontrola a zlepšování jakosti. Total Quality Management (TQM) vychází z neustálého zlepšování ve všech oblastech fungování organizace. John S. Oakland v knize Statistical Process Control identifikuje tři základní prvky TQM – dobrý systém managementu, týmovou práci a nástroje statistické kontroly procesu (SPC) (Oakland, 2003) Existuje sedm nástrojů statistické kontroly procesu (Montgomery, 2009): -

histogram a číslicový diagram (Stem-and-Leaf plot);

-

kontrolní seznam (Check list);

-

Paretův diagram;

-

Ishikawův diagram (diagram příčin a následků);

-

diagram afinity (Defect concentration diagram);

-

korelogram;

-

regulační diagramy.

Jednou z definic zlepšení kvality je i snížení variability produktu nebo procesu (Montgomery, 2009, str. 7). Variabilita je součástí všech procesů, vyvolávají ji dva druhy příčin, zvláštní a inherentní. Zvláštní příčiny jsou ty, které nejsou procesu vlastní a neovlivňují všechny jednotky. Jedná se například o užití špatného nástroje, nevhodného materiálu či nesprávného postupu. V takovém případě regulační diagramy indikují, že proces není pod statistickou kontrolou a je nutná nápravná akce, která odstraní tuto příčinu. Asi 15 % problémů procesů je způsobeno zvláštními příčinami (Mitra, 2008). Inherentní příčiny jsou procesu vlastní a ovlivňují všechny jednotky. Jedná se o drobná vychýlení procesu, která jsou zapříčiněna například vibrací strojů nebo změnou pracovních podmínek. Pokud se jedná o nepravidelné drobné kolísání procesu, pak je proces pod statistickou kontrolou. Zvláštní příčiny mohou odstranit zaměstnanci, k odstranění inherentních příčin je nutný zásah managementu.

10

V případě výrobního procesu lze proces definovat jako systém, ve kterém figurují vstupy a výstup. Některé vstupy lze snadno ovlivnit (např. teplota, tlak), jiné lze ovlivnit velice složitě nebo je dokonce nelze ovlivnit vůbec (např. kvalita surovin, pracovní prostředí,…). Ve výrobním procesu se přemění tyto vstupy na výstup, u kterého se zjišťuje, zda jeho znaky kvality odpovídají specifikaci zákazníka (Montgomery, 2009). Regulační diagramy jsou nejexaktnější metodou statistické kontroly procesu, proto se také v praxi užívají nejvíce. Skládají se z centrální přímky (CL) a regulačních mezí (UCL a LCL). Na základě umístění jednotlivých pozorování v diagramu se rozhoduje, zda je proces pod statistickou kontrolou či nikoliv. Pokud se bod nachází mimo regulační meze nebo se body vyskytují ve zvláštních uskupeních, je to signálem, že se v procesu objevila zvláštní příčina variability, kterou je nutné najít a odstranit. Data nebo znaky kvality mohou mít dvě podoby: atributy a proměnné (variables). Proměnné jsou většinou spojité veličiny, které lze měřit, např. hmotnost nebo rozměr. U atributivních znaků kvality lze buď rozhodnout, zda odpovídají nebo neodpovídají specifikaci zákazníka nebo kolik je neshod na jedné jednotce výstupu. Na základě toho se dají regulační diagramy rozdělit podle způsobu kontroly – měřením (variable control charts) či srovnáváním (atributes control charts). Při kontrole měřením se analyzují měřitelné proměnné, což je výhodné, jelikož mají diagramy vyšší vypovídající hodnotu (konkrétní hodnota versus ano/ne u kvalitativního výstupu). Při kontrole měřením se používají tyto typy regulačních diagramů: x -diagram (diagram pro průměr), x-diagram (diagram pro individuální hodnoty), R-diagram (diagram pro rozpětí), MR-diagram (diagram pro klouzavá rozpětí), s-diagram (diagram pro směrodatnou odchylku), s2-diagram (diagram pro rozptyl). Při kontrole srovnáváním se používají atributivní znaky kvality. Sběr dat bývá levnější a snazší než při regulaci měřením. V tomto případě se používají tyto typy regulačních diagramů: p-diagram (pro podíl neshodných jednotek), np-diagram (pro počet neshodných jednotek), c-diagram (pro počet neshod), u-diagram (pro počet neshod na jednotku) (Česká společnost pro jakost, 2006; Montgomery, 2009). Koncept regulačních diagramů poprvé představil v roce 1924 Walter A. Shewhart v Bell Telephone Laboratories, což bývá označováno za počátek statistické

11

regulace procesu. Význam statistické regulace procesů v průmyslové výrobě vzrostl až v době druhé světové války. Vedle Shewhartových diagramů se dnes používají i další metody, které jsou schopny detekovat menší posuny, nebo které lze použít v podmínkách, kdy Shewhartův diagram není vhodný. Mezi ně patří například: CUSUM, EWMA, Shewhartovy diagramy s modifikovanými mezemi, diagram pro opotřebení nástroje (Toolwear), ARIMA diagramy, přejímací regulační diagramy, regulační diagramy pro krátké série nebo zónové regulační diagramy. V této diplomové práci bude věnována pozornost kromě Shewhartových diagramů jen prvním dvěma zmíněným pokročilejším metodám, CUSUM a EWMA.

1.1

Shewhartovy diagramy

Nejpoužívanější

metodou

statistické

regulace

procesu

jsou

Shewhartovy

diagramy, které byly poprvé do praxe zavedeny ve 20. letech 20. století. Jedná se o grafické znázornění procesu, kde jsou do grafu vynášeny výběrové charakteristiky pro jednotlivé podskupiny, které jsou v pravidelných intervalech odebírány z procesu. Diagramy lze sestrojit i pro individuální hodnoty (rozsah podskupiny 1), ale jsou méně účinné než v případě podskupin. Proto se pro individuální hodnoty doporučují jiné metody, například CUSUM nebo EWMA diagramy. Velikost podskupin a interval, ve kterém jsou odebírány, se musí volit s ohledem na charakter procesu. Rozsah podskupin se volí tak, aby byla variabilita v rámci podskupiny co nejmenší, to znamená, aby se v nich neprojevil vliv zvláštních příčin. Obvykle se volí čtyři nebo pět jednotek tvořících podskupinu. Při větším rozsahu podskupin Shewhartovy diagramy reagují rychleji. Menší rozsah podskupin se volí tehdy, když by bylo testování příliš drahé nebo by při něm docházelo k destrukci. Frekvence testování by měla být při zavádění kontroly procesu a jeho nastavení vyšší. Když je proces pod statistickou kontrolou, je možné frekvenci snížit (Oakland, 2003). Shewhartovy diagramy jsou tvořeny přímkami, které tvoří meze (viz obr. 1). Centrální přímka CL je očekávaná střední hodnota procesu. Horní a dolní regulační mez (UCL a LCL) se nachází ve vzdálenosti 

3 n

od centrální přímky,

to znamená, že pokud má proces normální rozdělení, pak by se mělo 99,73 %

12

hodnot nacházet v oblasti ohraničené mezemi UCL a LCL. Horní a dolní varovná mez (UWL a LWL) jsou umístěny ve vzdálenosti 

2

od centrální přímky (Česká

n statistická společnost, 2009; Wheeler, 2004).

Zdroj: Česká statistická společnost, 2009, str. 9 Obr. 1 Shewhartův regulační diagram – důležité meze

Pro podskupiny mají vzorce pro UCL, LCL a CL tento tvar (Wheeler, 2004):

CL  x UCL, LCL  x 

(1)

3ˆ n

(2)

kde x je průměr procesu, ˆ je odhad směrodatné odchylky, n je rozsah podskupiny. V případě individuálních hodnot, kdy je rozsah podskupiny roven jedné, mají centrální přímka CL a regulační meze UCL a LCL tento tvar (Wheeler, 2004):

CL  x

(3)

UCL, LCL  x  3ˆ

(4)

Aplikace Shewhartových diagramů lze rozdělit do několika fází. Nejprve je nutné přesně definovat proces a určit, jaký znak kvality se bude sledovat a jakým způsobem se bude měřit. Dále je nutné rozhodnout, zda budou při posuzování

13

statistické regulace použity individuální hodnoty nebo budou data rozdělena do podskupin, a dále jaký rozsah budou tyto podskupiny mít. V další fázi se spočítají příslušné výběrové charakteristiky. Dále se sestrojí regulační diagram, tedy centrální přímka a regulační meze a zanesou se výběrové charakteristiky pro jednotlivé podskupiny nebo individuální hodnoty. Pokud jsou všechny body uvnitř regulačních mezí, pak lze takto sestrojené zkušební meze považovat za konečné. Pokud ne, tak je nutné zkoumat příčinu výskytu bodu mimo regulační meze a případně přepočítat regulační meze bez těchto hodnot. V dalším kroku se již zakreslují do regulačního diagramu výběrové charakteristiky dalších sledovaných podskupin (nebo individuálních hodnot) a zkoumá se, zda je proces pod statistickou

kontrolou

(body

jsou

v rámci

regulačních

mezí)

či

nikoliv.

V Shewhartových digramech se zkoumá kromě překročení regulačních mezí i zvláštní seskupení bodů, což je první varování, že se mohla změnit sledovaná charakteristika procesu (např. střední hodnota nebo rozptyl), takže se může zasáhnout dříve (Wheeler, 2004). ČSN ISO 8258 popisuje následujících osm případů, které signalizují změnu v procesu: 1. Jeden bod leží mimo regulační meze; 2. Devět hodnot leží na téže straně centrální přímky; 3. Šest hodnot za sebou roste nebo klesá; 4. Čtrnáct bodů v řadě pravidelně kolísá; 5. Dvě ze tří hodnot jsou od centrální přímky dále než 2σ; 6. Čtyři z pěti hodnot jsou na stejné straně centrální přímky ve vzdálenosti větší než 1σ; 7. Patnáct hodnot je v intervalu ±1σ okolo centrální přímky; 8. Osm hodnot za sebou leží po obou stranách centrální přímky, vždy však mimo interval ±1σ (ČSN ISO 8258). Závěry plynoucí z regulačních diagramů jsou analogií testování hypotéz, regulační meze UCL a LCL tvoří hranice mezi zamítnutím a přijetím nulové hypotézy. Pokud se hodnota ocitne nad UCL nebo pod LCL, pak se zamítá nulová hypotéza, že parametry procesu zůstaly konstantní. Hrozí ale riziko chyby 1. nebo 2. druhu.

14

Chyba 1. druhu, tzv. falešný signál, nastává v situaci, kdy je proces označen jako statisticky nestabilní (bod je mimo regulační meze), i když ve skutečnosti stabilní je. Pravděpodobnost falešného signálu je vzhledem k vzdálenosti regulačních mezí 

3

od centrální přímky 0,0027. Chyba 2. druhu, tzv. chybějící signál,

n nastává v situaci, kdy je proces považován za stabilní, i když ve skutečnosti není. To znamená, že ačkoliv došlo k změně v procesu, tak se signál neobjevil. Vzdálenost regulačních mezí od centrální přímky ovlivňuje pravděpodobnost výskytu chyby prvního a druhého druhu. S rostoucí vzdáleností regulačních mezí od centrální přímky klesá pravděpodobnost falešného signálu, ale roste pravděpodobnost chybějícího signálu. S klesající pravděpodobností chyby prvního druhu roste pravděpodobnost chyby druhého druhu. Chyba druhého druhu je závislá také na rozsahu souboru (n). S rostoucí velikostí souboru jsou regulační meze blíže a pravděpodobnost chyby druhého druhu klesá (Mitra, 2008). Walter Shewhart zvolil pro diagramy vzdálenost regulačních mezí 

3

od centrální

n přímky na základě empirického pozorování. Při této vzdálenosti jsou regulační diagramy dostatečně citlivé a riziko falešného signálu je malé, takže nedochází k plýtvání zdroji, které by musely být vynaloženy na detekci problému, který ve skutečnosti neexistuje. Menší vzdálenost regulačních mezí ( 

2 n

nebo 

2,5

od

n

centrální přímky) se volí v případě, že je nutné co nejrychleji odhalit malé změny i za cenu vyšší pravděpodobnosti falešného signálu (Mitra, 2008; Wheeler, 2004). Důležitou vlastností regulace procesu je průměrná délka přeběhu (ARL = Average run length), což je průměrný počet jednotek (nebo podskupin) mezi vznikem vymezitelné příčiny a signálem, že proces není pod statistickou kontrolou. V případě statisticky regulovaného procesu je vhodné, aby průměrná délka přeběhu ARL(0) byla vysoká, jelikož bod mimo regulační meze je falešným signálem (chybou prvního druhu) (5). V případě statisticky nestabilního procesu je naopak žádoucí mít ARL(  ) co nejmenší, jelikož je snahou detekovat problém co nejrychleji od jeho vzniku. Pro Shewhartovy diagramy (vzdálenost regulačních mezí 

3

od centrální přímky) dosahuje ARL(0) hodnoty 370 (Mitra, 2008,

n str. 277). 15

kde

ARL (0)  1 / 

(5)

ARL ( )  1 /(1   )

(6)

 je pravděpodobnost chyby 1. druhu,  je pravděpodobnost chyby 2.

druhu. Shewhartovy diagramy nelze použít vždy. Výše uvedené vlastnosti platí v případě, že je proces statisticky zvládnutý (konstantní μ i σ) a je splněn předpoklad normálního rozdělení N(μ,σ2) dat. Data také nesmí být korelována. Hlavním nedostatkem této metody je především malá citlivost a hlavně neúčinnost při analýze individuálních hodnot. Z tohoto důvodu se zavádí pokročilejší metody (např. EWMA či CUSUM), které jsou složitější, ale citlivější, takže mohou odhalit menší posuny procesu. CUSUM diagramy jsou schopny odhalit relativně malé změny procesu (0,5σ až 2σ), protože využívají informací ze všech dosud získaných

pozorování,

takže

se

změna

procesu

projeví

výrazněji

než

u Shewhartových diagramů. Na druhou stranu, detekce větších změn procesu může pomocí této metody trvat déle než při použití Shewhartových diagramů (Česká statistická společnost, 2009; Mitra, 2008).

1.2

CUSUM

Metoda CUSUM (Cumulative Sum = kumulativní součet) se od Shewhartových diagramů liší tím, že uvažuje informace ze všech dosud získaných pozorování. Proto je i malý posun procesu patrný. Shewhartovy diagramy posuzují jednotlivá pozorování izolovaně. Podobně jako u Shewhartových diagramů se mohou i při této metodě uvažovat podskupiny nebo individuální pozorování. Kumulativní součet pro m-té pozorování v případě individuálních hodnot (podskupina o rozsahu n = 1) se spočítá pomocí vzorce (Mitra, 2008): m

Sm   ( Xi   0)  Sm  1   Xm   0 

(7)

i 1

kde Sm je kumulativní součet v okamžiku m-tého pozorování Xm , kde m=1,2,…,  0 je cílová hodnota procesu. Absolutní hodnota kumulativního součtu není tak důležitá jako trend hodnot Sm, který signalizuje, zda je proces pod statistickou kontrolou či nikoliv. Křivka hodnot

16

Sm v CUSUM diagramu má rostoucí trend, když jsou charakteristiky jednotlivých pozorování větší než cílová hodnota  0 . Klesající trend má tehdy, když jsou charakteristiky jednotlivých pozorování menší než zvolená hodnota  0 . Proto je důležité správně zvolit  0 , což může být například cílová hodnota rozměru nebo hmotnosti vyráběné součástky. Dále je nutné určit, jak velká změna trendu hodnot Sm (v násobcích směrodatné odchylky) bude považovaná za významnou a bude tedy signálem pro zásah do procesu (Mitra, 2008; Oakland, 2003). Metodu CUSUM lze aplikovat ve dvou podobách, grafické a tabelární. Grafická metoda využívá tzv. V-masku (obr. 2), která se přikládá k diagramu nebo je přímo sestrojená v CUSUM diagramu počítačovým programem.

Zdroj: Oakland, 2003, str. 239 Obr. 2 V-maska pro CUSUM diagramy

V-maska se přikládá ke CUSUM diagramu tak, aby byla úsečka AO rovnoběžná s osou x, vrchol V-masky byl umístěn na opačné straně než je osa y, tak, aby se ramena rozevírala směrem ke starším pozorováním. Bod A se překrývá v diagramu s posledním zobrazeným pozorováním. Pokud se všechna pozorování nachází uvnitř plochy vymezené rameny V-masky, pak je proces považován za statisticky stabilní. Citlivost V-masky se odvíjí od úhlu, který svírají ramena

17

V-masky. Pokud je požadována detekce malého posunu v procesu (např. 1σ), pak ramena V-masky svírají ostrý úhel. Čím více jsou rozevřena ramena V-masky, tím méně citlivý je CUSUM diagram. V-maska se definuje pomocí úhlu θ, který svírají ramena V-masky a d, což je vzdálenost mezi bodem O (vrchol V-masky) a bodem A, který představuje poslední pozorování. Parametr d v sobě odráží informaci o pravděpodobnosti chyby prvního a druhého druhu, která se volí. V programu Statgraphics se při konstrukci CUSUM diagramu pomocí V-masky volí přímo α (pravděpodobnost chyby prvního druhu) a β (pravděpodobnost chyby druhého druhu) (Mitra, 2008; Oakland, 2003). Konstrukci a použití V-masky se věnuje ISO norma 7870-4: 2011 Control charts – Cumulative sum charts v anglickém jazyce, český překlad nebyl v době psaní diplomové práce k dispozici. Grafická i tabelární metoda CUSUM je uvedena i v ISO normě ISO/TR 7871 Cumulative sum charts – Guidance on quality control and data analysis using CUSUM techniques. Správná konstrukce je obtížná, proto se dává přednost tabelární metodě. Tabelární metoda vychází z výpočtu horního a dolního kumulativního součtu (Mitra, 2008):





(8)





(9)

S m  max 0, Xm   0  K   S m 1 S m  max 0,  0  K   Xm  S m 1

kde S m je horní kumulativní součet pro m-té pozorování, S m je dolní kumulativní součet pro m-té pozorování, X m je m-té pozorování, kde m=1,2,…,  0 je cílová hodnota procesu, K je referenční hodnota, která je nejčastěji volená jako polovina rozdílu mezi  0 a střední hodnotou  1 , přičemž posun  0 na  1 chceme detekovat, S O a S O se volí nulové nebo případně jiná hodnota (viz FIR CUSUM). K identifikaci kladného posunu střední hodnoty procesu, (1   0 ) > 0 , slouží S m , k detekci záporného posunu střední hodnoty procesu se využívá S m . Tyto hodnoty se porovnávají s hodnotou H (také tzv. rozhodný interval), která se spočítá pomocí vzorce H  h , kde σ je směrodatná odchylka a hodnota h se volí obvykle rovna pěti. Pokud je hodnota S m nebo S m větší než hodnota H, pak proces není statisticky stabilní a došlo k posunu střední hodnoty. Tabelární metodu lze

18

znázornit i graficky. Regulační mez je určena hodnotou H. Pokud je hodnota S m větší než H, došlo k velkému kladnému posunu procesu a je nutné hledat příčinu posunu procesu. Pokud se ji podaří najít a odstranit, pak se kumulativní součty vynulují nebo se nastaví na jinou hodnotu (viz FIR CUSUM). Pokud se příčinu nepodaří odstranit, doporučuje se horní a dolní kumulativní součty neměnit (Mitra, 2008; Wheeler, 2004; Ryan, 2011). Může se ale stát, že posun procesu způsobilo více příčin a ne všechny byly odstraněny. To je nutné odhalit co nejdříve. Proto Lucas a Crosier modifikovali CUSUM metodu tak, že se po překročení regulační meze poslední hodnota Sm nevynuluje, ale položí se rovna

h . Díky tomu se sníží ARL, takže se posun 2

procesu detekuje dříve, než kdyby se kumulativní součty počítaly od nuly. Tato metoda je v literatuře označována jako FIR CUSUM (Fast Initial Response CUSUM) (Ryan, 2011). Hlavní předností metody CUSUM oproti Shewhartovým diagramům je větší citlivost. Metoda CUSUM je zvláště výhodná ve srovnání se Shewhartovými diagramy v případě individuálních hodnot. CUSUM diagramy jsou vhodné pro regulaci procesů, které jsou dlouhodobě stabilní, protože efektivně detekují malé posuny procesu, detekce velkých posunů procesu je touto metodou zdlouhavá, vhodnější

je

pak

použít

Shewhartovy

diagramy

nebo

kombinované

CUSUM-Shewhartovy diagramy. Problémem je také správné stanovení cílové hodnoty procesu  0 . Jedná se o složitější metodu regulace procesu, která vyžaduje trénink obsluhy, aby byly diagramy správně vyhodnoceny, a v případě potřeby, došlo k včasnému zásahu do procesu, což pro firmu představuje náklady na

školení

obsluhy.

Metoda

CUSUM

je

efektivní,

když

data

nejsou

autokorelována. Pokud data autokorelována jsou, liší se skutečná hodnota ARL od očekávané. CUSUM se dá aplikovat i na jiná rozdělení než normální (Mitra, 2008; Ryan, 2011).

1.3

EWMA

Metoda EWMA (Exponentially Weighted Moving Average = exponenciálně vážený klouzavý průměr) využívá stejně jako metoda CUSUM informací ze všech předchozích pozorování. Obě metody lze aplikovat jak na individuální hodnoty, tak

19

podskupiny. Rozdílem ale je, že jednotlivým pozorováním je při výpočtu připisována různá váha vyjádřená pomocí parametru  , který je z intervalu (0;1>. Nejvyšší

váhu

má

poslední

pozorování,

váha

předchozích

pozorování

exponenciálně klesá. Volba konkrétní hodnoty parametru  ovlivňuje vlastnosti diagramu. Čím menší je hodnota  , tím větší význam je přikládán předchozím pozorováním. Nízká hodnota parametru  zvyšuje citlivost diagramu k malým posunům procesu a naopak, vyšší hodnota  zvyšuje citlivost diagramu k větším posunům procesu. Proto také EWMA diagramy s  blízkým 1 jsou podobné Shewhartovým diagramům, a při stanovení  blízkým 0 se EWMA metoda podobá metodě CUSUM. Často se používá hodnota  = 0,2, což znamená, že poslednímu pozorování je přiřazena váha 0,2 (Oakland, 2003; Simões, Epprecht, Costa, 2010; Noskievičová, Brodecká, 2011). Hodnota statistiky EWMA se pro individuální hodnoty vypočítá takto (Ryan, 2011): wm  xm  (1   )wm  1

(10)

EWMA diagram se skládá z centrální přímky CL a horní a dolní regulační meze (UCL a LCL), kam se pak vynáší charakteristika wm (10). Pokud se vynesené body nachází uvnitř regulačních mezí, pak je proces pod statistickou kontrolou. Regulační meze nejsou konstantní, ale závisí na pořadí pozorování. Regulační meze UCL a LCL se spočítají podle vzorce (Ryan, 2011):

CL  x

(11)

   2m UCL, LCL  x  3  (1  (1   ) ) 2

(12)

kde σ je směrodatná odchylka, m je pořadí pozorování,  je zvolený parametr. Vzhledem k tomu, že se výraz (1  (1   ) 2m ) při vyšších hodnotách m limitně blíží k hodnotě 1, tak se někdy používají v regulačních diagramech konstantní meze (13), které se spočítají podle vzorce (Ryan, 2011):

   UCL, LCL  x  3   2

(13)

Regulační meze jsou v případě   1 vzdáleny 3σ od centrální přímky, což je shodné s Shewhartovými diagramy. EWMA je robustní metoda, takže i v případě

20

individuálních pozorování by se na vlastnostech diagramu nemělo příliš projevit nenormální rozdělení (Montgomery, 2009). Modifikovaná podoba EWMA, tzv. dynamický diagram EWMA lze použít i v případě, že jsou hodnoty ovlivněny pozitivní autokorelací a proces má nekonstantní střední hodnotu. Regulační meze jsou překročeny jen v případě náhlé změny střední hodnoty, drobné kolísání procesu signál nevyvolá. Metoda CUSUM nebo Shewhartovy diagramy jsou v případě autokorelace neefektivní (Noskievičová, Brodecká, 2011). Modifikovaná metoda EWMA lze použít tehdy, když specifikace procesu nepožaduje konstantní střední hodnotu, ale je možné její kolísání. Využívá jednokrokovou predikci EWMA (14), která je dána vzorcem (Montgomery, 2009): wm  xˆ m1 (m)

(14)

kde xˆm1 je předpověď hodnoty x pro další časový okamžik. Regulační meze jsou pak vzdáleny 3σ od této predikce EWMA. UCLm1  wm  3  xˆ m1 (m)  3

(15)

LCLm1  wm  3  xˆ m1 (m)  3

(16)

Do grafu se vynáší hodnoty statistiky EWMA (10) a hodnoty jednokrokové predikce statistiky EWMA (14), ty se porovnávají s modifikovanými regulačními mezemi UCLm1 a LCLm1 .

21

2

Testování předpokladů

Při statistické regulaci procesu je vedle sestrojení regulačních diagramů také nutné testování předpokladů. Především se jedná o testování normality, autokorelace a konstantní střední hodnoty. O těchto třech předpokladech bude pojednáno dále. Způsobilost procesu lze spočítat jen tehdy, když mají data normální rozdělení. Pokud se nachází body mimo regulační meze nebo se nachází ve zvláštních uskupeních, pak se zkoumá, zda nejsou data ovlivněna autokorelací nebo zda se nemění střední hodnota procesu.

2.1

Testování normality

Pro výběr vhodné metody regulace procesu je nutné otestovat, jaké mají data z daného procesu rozdělení, zda normální N(μ,σ2) či jiné. Normální rozdělení spojité náhodné veličiny je definováno pomocí funkce hustoty: f ( x) 

1

 2



e

( x )2 2 2

(17)

kde μ je střední hodnota, σ2 je rozptyl. Shewhartovy diagramy mají očekávané vlastnosti pouze v případě, že je splněn požadavek normálního rozdělení, konstantního rozptylu a konstantní střední hodnoty. Tomu ale v praxi vyhovuje pouze 2 % výrobních procesů (Michálek, 2001). K ověření předpokladu normality lze použít grafické metody nebo statistické testy, výsledek je obsažen ve výstupu ze statistických softwarových programů (p-hodnota). Grafické metody Histogram

je

reprezentujících

grafické

znázornění

jednotlivé

intervaly

dat

pomocí

hodnot.

stejně

Výška

širokých

sloupců

jednotlivých

sloupců

(znázorněná na ose y) je úměrná četnosti v jednotlivých intervalech. Pokud se jedná o normální rozdělení, pak by měl mít histogram tvar Gaussovy křivky. Počet intervalů, do kterých budou data rozdělena, závisí na počtu pozorování a na oboru hodnot. Histogram není vhodné používat při malém počtu pozorování, doporučuje se jich minimálně 100. V případě menšího počtu pozorování je histogram velice citlivý na změnu počtu a šířky jednotlivých intervalů, takže tvar histogramu a z něj plynoucí závěry mohou být zavádějící (Montgomery, 2009). 22

Obvykle se ale k ověření normality používají jiné grafické metody. V případě kvantil-kvantilového (Q-Q) grafu jsou na ose x vyneseny kvantily normálního rozdělení, na ose y jsou vyneseny výběrové kvantily. Obě stupnice jsou lineární. Pokud mají data normální rozdělení, pak body leží v blízkosti přímky y=x. Alternativou je pravděpodobností graf, což je Q-Q graf s nelineární stupnicí, kde na ose x jsou hodnoty teoretické distribuční funkce, na ose y jsou hodnoty empirické distribuční funkce. Pokud je empirické rozdělení stejné jako námi zvolené teoretické (normální), pak body tvoří přímku o směrnici 1 (Montgomery, 2009). Statistické testy Existuje celá řada statistických testů normality, pro účely této diplomové práce byly vybrány jen ty, které jsou k dispozici v programu Statgraphics, který bude využíván v praktické části. Jedná se o chí-kvadrát test dobré shody, test šikmosti a špičatosti, Shapiro – Wilkův test a Kolmogorov – Smirnovův test. Test šikmosti a špičatosti rozdělení vychází z faktu, že u normálního rozdělení jsou oba koeficienty rovny nule. Koeficient šikmosti je dán vztahem (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012): n

aš 

 (x i 1

i

 x)3

(18)

ns n3

Koeficient špičatosti je dán vztahem (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012): n

a4 

 (x i 1

i

 x) 4

ns n4

3

(19)

kde x je aritmetický průměr, n je počet hodnot, s n je směrodatná odchylka. Chí-kvadrát test dobré shody je metodou, která porovnává distribuční funkci sledované spojité náhodné veličiny s distribuční funkcí normovaného normálního rozdělení. Nulová hypotéza H0 zní: data pocházejí z normálního rozdělení, alternativní hypotéza H1 je formulována: data nepocházejí z normálního rozdělení. Testová statistika má tvar (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012):

23

k

(n j  n j ) 2

j 1

n j

G

(20)

kde k je počet intervalů, do kterých je rozdělen soubor, n j je skutečná četnost,

n j je očekávaná četnost, c je počet neznámých parametrů. Hodnota testové statistiky je porovnána s tabelovanou hodnotou 12 (v) , kde v=k-c-1. Pokud je vypočítaná hodnota G menší nebo rovna tabelované, pak se H0 nezamítá, pokud je vypočtená hodnota větší než tabelovaná, pak má sledovaný znak jiné než normální rozdělení. Ověřování normality rozdělení pomocí G není vhodné při malém rozsahu souboru. V tomto případě je vhodnější použít Kolmogorov – Smirnovův test (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012). Testová statistika je rovná největší vzdálenosti mezi distribuční funkcí F(x) určitého rozdělení (v tomto případě normálního) a distribuční funkcí výběrového souboru Fn(x).

d n  sup Fn ( x)  F ( x)

(21)

x

Fn ( x) 

N ( x i  x) n

(22)

kde n je rozsah výběrového souboru, N ( xi  x) je počet hodnot menších nebo rovných x. Pokud je testová statistika (21) dn větší než tabelovaná hodnota d n,1 , pak se zamítá nulová hypotéza, že výběrový soubor pochází z daného rozdělení. Pro výběr o malém rozsahu (7 ≤ n ≤ 30) lze normalitu testovat také pomocí Shapiro – Wilkova testu, který je citlivější než chí-kvadrát test dobré shody. Hodnota testové statistiky W je dána vzorcem (Panik, 2005):

W

k   a j ( x ( n  j 1)  x ( j ) )  j 1  n

 (x i 1

i

24

 x)

2

2

(23)

kde aj(n) jsou tabelované konstanty uvedené např. v Panik, 2005, str. 761, v případě sudého počtu hodnot k=n/2, v případě lichého počtu hodnot k= (n-1)/2, n je rozsah výběru, x(1) až x(n) ve vzorci znamenají jednotlivá měření seřazená vzestupně podle velikosti. Vypočtená hodnota W se porovnává s hodnotou tabelovanou, pokud je vypočtená hodnota W menší než tabelovaná, pak se zamítá nulová hypotéza o normalitě rozdělení. Využití p-hodnoty Ve statistických softwarových programech jako je např. Statgraphics, Statistica či MATLAB jsou obsaženy nástroje k ověření předpokladu normality (např. chí-kvadrát, Shapiro-Wilkův test, Kolmogorov – Smirnov, Anderson – Darling nebo Ryan – Joiner test). Vedle hodnoty testové statistiky je uvedena i p-hodnota. Ta je definována následovně (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012, str. 194): „P-hodnota (p-value) je nejmenší hladina významnosti, při které je možné ještě zamítnout nulovou hypotézu H.“ Pokud je p-hodnota menší než námi zvolená hladina významnosti (α), pak na hladině významnosti α zamítáme nulovou hypotézu. Díky p-hodnotě není nutné hledat kritické hodnoty ve speciálních

tabulkách

a porovnávat je s vypočtenými testovými statistikami, při rozhodování o normalitě rozdělení stačí využít p-hodnotu.

2.2

Testování autokorelace dat

Dalším porušením předpokladů může být autokorelace dat, tedy situace, kdy naměřená hodnota xi do jisté míry závisí na předešlé hodnotě xi-1, což je častý problém časových řad. Jedná se o tzv. pamět procesu. Důsledkem autokorelace je vychýlený odhad rozptylu, proto při silnější autokorelaci některé statistické metody regulace procesu ztrácí vypovídací schopnost. To je dáno tím, že vychýlený odhad rozptylu ovlivní regulační meze diagramů. Autokorelace může být negativní či pozitivní. Nejčastěji se vyskytuje autokorelace prvního řádu (náhodná složka závisí pouze na náhodné složce minulého období), která se testuje pomocí Durbin-Watsonovy statistiky (Wheeler, 2004). Durbin-Watsonova statistika je dána vzorcem (Wooldridge, 2013):

25

n

DW 

 (uˆ t 2

t

 uˆ t 1 ) 2

(24)

n

 uˆ t 1

2 t

kde uˆt je reziduum v čase t; reziduum je rozdíl mezi skutečnou hodnotou x a předpovědí na základě modelu. Statistika DW nabývá hodnot v intervalu <0;4>. K tomu, aby bylo možné prohlásit, zda jsou data autokorelována či nikoli, je nutné v tabulkách Durbin-Watsonovy statistiky vyhledat dolní a horní mez, dL a dU, pro příslušný počet hodnot a vysvětlujících proměnných a určit, do kterého z intervalů spadá vypočítaná hodnota DW. Pokud se vypočítané DW nachází v intervalu (0, dL), pak se jedná o významnou pozitivní autokorelaci, pokud je DW v intervalu (4-dL, 4), jedná se o významnou negativní autokorelaci. Pokud se vypočítaná hodnota DW nachází kolem hodnoty 2, tedy v intervalu (dU, 4-dU), pak lze přijmout nulovou hypotézu, že autokorelace neexistuje. Nedostatkem této metody zjišťování autokorelace je existence pásma neprůkaznosti, což znamená, že v těchto intervalech nelze přijmout ani zamítnout nulovou hypotézu, tedy že autokorelace neexistuje (Wooldridge, 2013). Univerzálnější metodou testování autokorelace dat je Breusch-Godfreyův test, jelikož

testuje

i

autokorelaci

vyšších

řádů.

Durbin-Watsonova

statistika,

Breusch-Godfreyův test a další testy autokorelace jsou obsaženy ve statistických programech.

2.3

Analýza rozptylu

K analýze rozptylu se přistoupí tehdy, když body v regulačním diagramu naznačují v průběhu sledování změnu střední hodnoty. Na základě analýzy rozptylu (ANOVA) lze určit, zda mají jednotlivé podskupiny stejné střední hodnoty nebo zda se liší. ANOVA předpokládá normální rozdělení v každé podskupině, nezávislost měření a homogenitu rozptylů uvnitř každé podskupiny. Pokud toto není splněno, je nutné k analýze rozptylu použít jinou metodu, např. Kruskall-Wallisův test. O tom, zda mají podskupiny stejné střední hodnoty, se rozhoduje na základě F-testu. Celkový rozptyl souboru se dělí na rozptyl mezi podskupinami a rozptyl v rámci podskupiny. F-statistika se spočítá jako podíl variability mezi jednotlivými

26

podskupinami a variabilitou v rámci podskupin. Vypočtená hodnota F-statistiky se porovná s tabelovanou hodnotou, pokud je větší než tabelovaná, pak se zamítá nulová hypotéza o shodě středních hodnot.

27

3

Způsobilost procesu

Způsobilost procesu je podle ISO normy 21747 charakterizována takto (ISO 21747, 2009; str. 13): „statistický odhad výsledného výstupu znaku z procesu, u něhož bylo prokázáno, že je ve statisticky zvládnutém stavu; tento výsledný výstup popisuje schopnost procesu realizovat hodnotu znaku, která bude splňovat požadavky na tento proces.“ Způsobilost procesu tedy vyjadřuje schopnost procesu

dostát

daným

požadavkům

zákazníků,

které

jsou

vyjádřeny

prostřednictvím specifikací v podobě mezí (USL a LSL). Vedle mezí daných specifikací se v souvislosti se způsobilostí procesů definují ještě tzv. přirozené toleranční meze, které vycházejí z variability procesu a běžně se stanovují ve vzdálenosti ± 3σ od střední hodnoty procesu μ. Pokud má sledovaná charakteristika procesu normální rozdělení, pak se bude v intervalu definovaném těmto mezemi nacházet 99,73 % hodnot. Způsobilost procesu se hodnotí jen tehdy, když je proces pod statistickou kontrolou, což znamená, že veškerá variabilita (kolísání) je pouze inherentní a nezpůsobila ji žádná zvláštní příčina. Oproti tomu výkonnost procesu se sleduje bez ohledu na to, zda je nebo není proces ve statisticky zvládnutém stavu. To, do jaké míry je proces způsobilý se dá posoudit ze vztahu mezi přirozenými tolerančními mezemi a mezemi danými specifikací. Mohou nastat tři případy. Jsou-li přirozené toleranční meze menší než meze dané specifikací, znamená to, že většina hodnot (více než 99,73 %) bude odpovídat požadavkům zákazníka. Pokud se meze dané specifikací a přirozené toleranční meze rovnají, pak to znamená, že v případě normálního rozdělení a centrovaného procesu (střední hodnota μ leží přesně uprostřed USL a LSL) přesně 99,73 % výstupů procesu bude odpovídat daným specifikacím. Jsou-li meze dané specifikací uvnitř přirozených tolerančních mezí, znamená to, že i když je proces pod statistickou kontrolou, tak je inherentní variabilita procesu větší než šířka tolerančního pole, takže se mimo meze dané specifikací ocitne více hodnot než v předešlých případech. V takovém případě je nutné uvažovat o úpravě šířky tolerančního pole (po dohodě se zákazníkem) nebo snížení variability procesu (např. použitím kvalitnějších surovin, lepším vyškolením operátorů strojů,…). Tyto návrhy na změnu je nutné před jejich zavedením nejprve zhodnotit z ekonomického hlediska.

28

Může se totiž stát, že bude ekonomicky výhodnější proces ani meze dané specifikací neměnit i za cenu většího počtu nevyhovujících výrobků (Mitra, 2008). Dříve než se přistoupí k hodnocení způsobilosti procesu, je nutné nejprve zjistit, zda je proces statisticky stabilní (pomocí regulačních diagramů) a zda mají pozorování normální rozdělení. Na základě toho se pak volí vhodný ukazatel způsobilosti resp. výkonnosti procesu. Způsobilost procesu se vyjadřuje pomocí ukazatelů způsobilosti, které se doporučují doplnit i graficky, pomocí histogramu. Histogram je jednoduchý nástroj, který poskytuje informaci o přibližné způsobilosti procesu.

K tomu, aby bylo

možné na základě histogramu rozhodnout o způsobilosti nebo nezpůsobilosti procesu, je nutné, aby v něm bylo zaneseno minimálně 100 pozorování (Montgomery, 2009, str. 347). Problémem ale je, že rozhodnutí, zda, je proces způsobilý nebo ne, záleží na subjektivním posouzení diagramu. Nejobjektivnější je hodnocení na základě výpočtu ukazatelů způsobilosti procesu, což jsou bezrozměrná čísla, díky nimž je možné snadno určit, jestli je proces způsobilý, ale také porovnat mezi sebou několik procesů nebo dodavatelů (Montgomery, 2009).

3.1

Ukazatele způsobilosti procesu

Cp Nejjednodušším ukazatelem způsobilosti procesu je ukazatel Cp , který se spočítá podle vzorce (Kotz, Johson, 1993): Cp 

USL  LSL 6

(25)

kde USL je horní mez pro sledovaný znak, LSL je dolní mez pro sledovaný znak, σ je směrodatná odchylka. Pokud není směrodatná odchylka známá, je nutné její hodnotu odhadnout, v tomto případě se Cˆ p získá dosazením do rovnice (Kotz, Johson, 1993): USL  LSL Cˆ p  6ˆ

kde ˆ je odhad směrodatné odchylky. Směrodatnou odchylku lze odhadnout pomocí vzorců (Ryan, 2011):

29

(26)

ˆ 

R d2

(27)

ˆ 

s c4

(28)

kde R je průměrné rozpětí procesu, s je výběrová směrodatná odchylka, d 2 a c4 jsou konstanty, které jsou uvedené v normě ISO 8258. Kromě oboustranného ukazatele Cp resp. Cˆ p se dá způsobilost procesu vyjádřit pomocí

horního

a

dolního

jednostranného

ukazatele

CpU

a

CpL

(Montgomery, 2009): CpU 

USL   3

(29)

CpL 

  LSL 3

(30)

kde USL a LSL je horní a dolní mez určená specifikací, μ je střední hodnota, σ je směrodatná odchylka. Pokud hodnoty μ a σ nejsou známy, tak se použije jejich odhad. Ukazatel Cp vyjadřuje pouze potenciální způsobilost procesu, která by skutečně platila jen v případě, že by byl proces statisticky stabilní, střední hodnota procesu μ byla umístěna přesně uprostřed USL a LSL (tzv. centrovaný proces), a hodnoty by měly normální rozdělení. Když je Cp rovno jedné, tak to znamená, že se mezi USL a LSL (vzdálenost ± 3σ od střední hodnoty μ) nachází 99,73 % hodnot. Pokud by nebyl proces centrovaný, tak by se mohlo stát, že i při Cp větším než 1 by mimo interval vymezený mezemi USL a LSL leželo více než 0,27 % hodnot. V praxi se za způsobilý proces považuje takový, který má Cp > 1,33, což znamená, že pouze 0,007 % hodnot leží mimo interval USL a LSL (Montgomery, 2009; Mitra, 2008, str. 424). I v případě jednostranných ukazatelů způsobilosti CpU a CpL by měly být ukazatelé větší než jedna. Pokud je CpU = 1, pak to znamená, že 0,135 % hodnot se nachází nad USL, CpL = 1 vyjadřuje, že 0,135 % hodnot se nachází pod LSL. To platí jen

30

tehdy, když je proces centrovaný a je splněn předpoklad normality rozdělení (Mitra, 2008). V tabulce č. 1 jsou uvedeny počty neshodných na milion (ppm) pro vybrané hodnoty Cp za předpokladu, že je proces statisticky stabilní, centrovaný a je splněn předpoklad normality rozdělení. Je patrné, že počet neshodných klesá s rostoucí hodnotou Cp . Pro porovnání jsou uvedeny počty neshodných pro oboustrannou i jednostrannou specifikaci ( CpU a CpL ). Tab. 1 Počty neshodných v ppm pro různé hodnoty ukazatele způsobilosti

Hodnota ukazatele způsobilosti

Oboustranná specifikace ( Cp )

Jednostranná specifikace ( CpU a CpL )

0,25

453 255

226 628

0,50

133 614

66 807

1,00

2 700

1 350

1,20

318

159

1,50

7

4

1,80

0,06

0,03

2,00

0,0018

0,0009

Zpracováno dle: Montgomery, 2009, str. 353

V tabulce č. 2 jsou doporučené hodnoty ukazatele způsobilosti procesu Cp v případě jednostranné i oboustranné specifikace, kterých by měl proces minimálně dosahovat, aby byl označený za způsobilý.

31

Tab. 2 Hodnoty

Cp v závislosti na typu procesu

Oboustranná specifikace ( Cp )

Jednostranná specifikace ( CpU a CpL )

Existující proces

1,33

1,25

Nový proces

1,50

1,45

Existující proces – znak důležitý např. z bezpečnostního hlediska

1,50

1,45

Nový proces - znak důležitý např. z bezpečnostního hlediska

1,67

1,60

Zdroj: Montgomery, 2009, str. 354

Hodnota ukazatele způsobilosti Cˆ p vychází z odhadu μ a σ, což znamená, že kdykoli se změní výběr hodnot, tak dochází k přepočítání ˆ a ˆ a s tím se i mění hodnota ukazatele. Z tohoto důvodu se někdy vyjadřuje způsobilost procesu Cp pomocí tzv. konfidenčního intervalu. Ten udává, v jakém intervalu se s určitou pravděpodobností bude nacházet Cp . 100(1-α)% konfidenční interval pro Cp je (Bissel, 1994): Cˆ p



2

 /2

v

(v )

 Cp  Cˆ p



2 1 / 2

v

v=k(n-1) x korekční faktor kde



2

 /2

(v ) a



2 1 / 2

(v )

(31) (32)

(v) jsou kvantily chí-kvadrát rozdělení s v stupni volnosti, k je

počet podskupin, n je rozsah podskupiny, hodnoty korekčního faktoru jsou uvedeny např. v Bissell, 1994, str. 306. Cpk Ukazatel způsobilosti Cpk se v praxi používá nejčastěji, protože zohledňuje, na rozdíl od Cp , i umístění střední hodnoty procesu. Pokud je proces centrovaný (střední hodnota leží přesně v polovině vzdálenosti mezí LSL a USL), pak se Cpk

32

rovná Cp . Stejně jako u Cp je nutné, aby byl splněn předpoklad normality rozdělení a proces byl pod statistickou kontrolou. Pokud by tomu tak nebylo, pak by došlo k chybné interpretaci ukazatele způsobilosti. Někdy se Cpk nazývá ukazatelem

aktuální způsobilosti,

zatímco

Cp

je

ukazatelem potenciální

způsobilosti (Montgomery, 2009, str. 356). Ukazatel Cpk se spočítá podle vzorce (Montgomery, 2009):  USL     LSL  Cpk  min  ,   min CpU , CpL 3   3

(33)

Proces je způsobilý, když je Cpk ≥ 1,33; v praxi se ale často vyžaduje ještě vyšší

Cpk (1,67 nebo 2,00) (Oakland, 2003, str. 266-267). Konfidenční

interval,

který

udává,

v jakém

intervalu

se

s

100(1-α)%

pravděpodobností nachází Cpk , se určí podle (Bissell, 1994):   1 1  1 1    C pk  Cˆ pk 1  u1 / 2  Cˆ pk 1  u1 / 2   2 ˆ2 2v  2 v    9knCˆ pk 9 kn C pk  

kde

(34)

Cˆ pk je odhad Cpk (použití ˆ a ˆ ), u je kvantil normovaného normálního

rozdělení , k je počet podskupin, n je rozsah podskupiny, v je počet efektivních stupňů volnosti (viz vzorec č. 32) Cpm Ukazatel způsobilosti Cpm patří, stejně jako Cpk , k ukazatelům tzv. druhé generace, které zohledňují polohu procesu. Jak moc je střední hodnota vzdálená od středu tolerančního pole lze posoudit porovnáním Cpk s Cp nebo pomocí ukazatele způsobilosti Cpm , který v sobě tuto informaci nese. Nedostatkem ale je, že Cpm nezahrnuje informaci o vztahu mezi střední hodnotnou procesu μ a mezemi danými specifikací. Proto je v případě, že jsou meze USL a LSL umístěny asymetricky od cílové hodnoty T, ukazatel Cpm nepřesný (Ryan, 2011, Mitra, 2008). C pm 

USL  LSL USL  LSL  6 6  2  (  T ) 2

(35)

kde  je odmocnina ze střední kvadratické odchylky od cílové hodnoty T podle 2 vzorce  2  E  X  T   , μ je střední hodnota, σ2 je rozptyl.  

33

Cpmk Ukazatel způsobilosti Cpmk patří do tzv. třetí generace ukazatelů způsobilosti. Cpmk vychází z ukazatelů Cpk a Cpm (33, 35), takže poskytuje informaci o variabilitě procesu, umístění střední hodnoty μ a vzdálenosti střední hodnoty od cílové hodnoty procesu T. Cpmk se rovná Cpk , když platí μ = T. Cpmk se rovná Cpm , když jsou meze dané specifikací symetricky umístěné kolem μ. Pokud jsou splněny oba předpoklady (μ = T, symetrické meze USL a LSL), pak se Cpmk rovná Cp (Ryan, 2011, str. 231; Mitra, 2008, str. 428).

C pmk 

3.2

C pmC pk Cp



min (USL   ), (   LSL) 3  2  (  T ) 2

(36)

Způsobilost procesu v případě nenormálního rozdělení hodnot

Výše uvedené ukazatele způsobilosti předpokládají normální rozdělení dat. Pokud tomu tak není, nemá ukazatel dobrou vypovídací schopnost. Proto se v případě nenormálního rozdělení volí některá z jiných možností, jak určit způsobilost procesu. První je tzv. transformace dat tak, aby odpovídala normálnímu rozdělení a následně se na ně daly aplikovat zmíněné vzorce pro ukazatele způsobilosti. Další možností je použít ukazatel způsobilosti Cpc (Montgomery, 2009), který normální rozdělení nevyžaduje.

USL  LSL

C pc 

6

 2

(37)

E X T

Třetí možností, jak určit způsobilost procesu v případě jakéhokoliv rozdělení, je pomocí ukazatelů způsobilosti, které k výpočtu používají kvantily. Vzorce jsou uvedeny v ČSN ISO 21747.

Cp 

USL  LSL X 0,99865  X 0,00135

C pk L 

C pk U 

X 0,5  LSL X 0,5  X 0,00135

USL  X 0,5 X 0,99865  X 0,5

34

(38)

(39)

(40)

kde X 0,99865, X 0,00135 a X 0,5 jsou 99,865% resp. 0,135% a 50% kvantil příslušného rozdělení.

3.3

Výkonnost procesu

Výkonnost procesu definuje Česká technická norma (ISO 21747, 2009, str. 11) jako: „statistický ukazatel výsledného výstupu znaku z procesu, o němž nemusí být prokazováno, že je ve statisticky zvládnutém stavu.“ Interpretace ukazatele výkonnosti procesu proto může být někdy zavádějící, protože v případě, že proces není statisticky stabilní (variabilita plyne i ze zvláštních příčin a nejen inherentních), tak není možné předpovídat budoucí chování procesu. Výpočet výkonnosti se od způsobilosti liší pouze tím, že se směrodatná odchylka σ odhadne pomocí výběrové směrodatné odchylky na základě všech naměřených hodnot, takže vyjadřuje celkovou variabilitu (kolísání) sledovaného znaku. Pokud není splněn předpoklad normality rozdělení, pak je, stejně jako u výpočtu způsobilosti procesu, možné data transformovat, aby normálnímu rozdělení odpovídala, nebo je možné výkonnost procesu spočítat pomocí kvantilů. Vzorce jsou uvedeny v ČSN ISO 21747.

Pp 

USL  LSL X 0,99865  X 0,00135

Ppk L 

Ppk U 

X 0,5  LSL X 0,5  X 0,00135

USL  X 0,5 X 0,99865  X 0,5

(41)

(42)

(43)

kde X 0,99865, X 0,00135 a X 0,5 jsou 99,865% resp. 0,135% a 50% kvantil příslušného rozdělení.

3.4

Způsobilost systému měření

Při analýze způsobilosti procesu pro měřitelné znaky kvality není celková variabilita procesu ve skutečnosti dána jen rozdíly mezi měřenými jednotkami, ale také variabilitou, která plyne ze systému měření, ta ale není v dříve uvedených ukazatelích způsobilosti zohledněna. Celkovou variabilitu lze vyjádřit následovně (Mitra, 2008): 35

 m2   2   e2

(44)

kde  m2 je celková variabilita,  e2 je variabilita plynoucí ze systému měření a  2 je variabilita daná rozdíly mezi měřenými jednotkami. Obvykle se variabilita způsobená systémem měření zanedbává, což je možné jen v případě, když je způsobilost systému měření dostatečná (vyšší než 1,67). Pokud tomu tak není, je vhodnější při vykazování způsobilosti procesu místo dříve uvedené směrodatné odchylky σ raději použít k výpočtu  m . Variabilitu způsobenou systémem měření  e2 lze rozdělit na několik složek, jak je znázorněno na obrázku 3.

Zdroj: Mitra, 2008, str. 436 Obr. 3 Složky celkové variability

Variabilita způsobená systémem měření se dělí na dvě složky (Mitra, 2008): opakovatelnost (  t2 ) a reprodukovatelnost (  p2 ).

 e2   t2   p2

(45)

Opakovatelnost označuje kolísání hodnot, ke kterým dochází při opakovaném měření stejné jednotky za stejných podmínek (stejné měřidlo, stejný operátor,…).

36

Naopak reprodukovatelnost označuje kolísání hodnot z důvodu rozdílných podmínek

(jiný

operátor,

jiné

měřicí

zařízení,…).

Vedle

opakovatelnosti

a reprodukovatelnosti se v rámci analýzy systému měření zkoumá ještě linearita, stabilita a vychýlení (Montgomery, 2009). To, do jaké míry se na celkové variabilitě podílí variabilita způsobená systémem měření (v potaz se bere jen opakovatelnost a reprodukovatelnost) se dá vyjádřit pomocí ukazatele %R&R (Repeatability&Reproducibility). Snahou je, aby byl ukazatel %R&R menší než 10 %, akceptovatelné jsou hodnoty do 30 % (Mitra, 2008). %R & R 

3.5

e 100 m

(46)

Způsobilost a výkonnost procesu v automobilovém průmyslu

Na základě normy QS-9000 se v automobilovém průmyslu a u jeho dodavatelů musí sledovat způsobilost a výkonnost procesu. Pro procesy, které jsou statisticky stabilní, doporučuje AIAG (Automotive Industry Action Group) používat ukazatele

Cp a Cpk . Pro statisticky nestabilní procesy se doporučuje používat ukazatele výkonnosti procesu Pp a Ppk . Pokud odběratel neurčí jinak, tak AIAG požaduje, aby pro statisticky stabilní proces s normálním rozdělením dat dosahoval ukazatel

Cpk hodnoty větší nebo rovné 1,33. Pro trvale nestabilní proces by měla hodnota ukazatele

Ppk

dosahovat

nejméně

hodnoty

1,67

(Steiner,

Abraham,

MacKay,1997). S používáním ukazatelů Pp a Ppk pro hodnocení nestabilního procesu nesouhlasí řada autorů (např. Montgomery, 2009, str. 363-364; Kotz, Johnson, 2002, str. 38-39; Kotz, Johnson, 1993, str. 37-38), jelikož nelze predikovat chování nestabilního procesu.

Podle jejich názoru nemají interpretace ani výpočet

ukazatelů výkonnosti a způsobilosti pro statisticky nestabilní proces význam. V praxi automobilového průmyslu jsou ukazatele Pp a Ppk často používány před zahájením výroby, aby se přibližně odhadla způsobilost, které bude proces v budoucnu dosahovat. Vzhledem k tomu, že se jedná pouze o informativní hodnotu, tak se běžně volí menší počet pozorování a nekontroluje se stabilita procesu, která je jinak pro hodnocení způsobilosti procesu nezbytná. Ukazatelé Cp

37

a Cpk se využívají v případě sériové výroby. Sledovaný proces musí být pod statistickou kontrolou, k posouzení způsobilosti se v tomto případě volí více pozorování, minimálně 25 podskupin nebo 125 individuálních hodnot. Ukazatelé

Cp , Cpk předpokládají normální rozdělení, proto je nutné testovat, zda sledovaná data tento předpoklad splňují a pokud ne, pak je nutné zvolit jiný model (Kotz, Johnson, 2002). Vzhledem k tomu, že ukazatelé Cp a Pp v sobě neobsahují informaci o umístnění průměru procesu, dává se přednost vykazování ukazatelů Cpk a Ppk v kombinaci s histogramem. Rozdíl mezi Cpk a Ppk je v tom, zda se bere v potaz jen variabilita v rámci podskupin ( Cpk ) nebo i mezi podskupinami navzájem ( Ppk ). Z pohledu odběratele je proto podstatnější Ppk , jelikož bere v potaz veškerou variabilitu procesu (Steiner, Abraham, MacKay, 1997). Stěžejní roli při výpočtu ukazatelů způsobilosti a výkonnosti procesu hraje způsob sběru dat, především volba časového období, ve kterém bude způsobilost nebo výkonnost procesu hodnocená a metoda výběru (frekvence a rozsah výběru,…). Na data se dále kladou tyto požadavky: musí pocházet z procesu, který je statisticky stabilní, musí být reprezentativní pro celý soubor, musí jich být tolik, aby bylo možné určit, zda mají data normální rozdělení. Volba časového období se většinou odvíjí od požadavků odběratelů, obecně by mělo být voleno dostatečně dlouhé, tak, aby se v něm stihly projevit všechny podstatné zdroje variability procesu. Čím větší je rozsah výběru, tím je přesnější odhad ukazatele. Hodnota ukazatele se s každým dalším pozorováním přepočítává a mění, proto se někdy uvádí interval, ve kterém se způsobilosti nebo výkonnost pohybuje (Steiner, Abraham, MacKay, 1997; Ryan, 2011). Posuzování způsobilosti a výkonnosti procesů v průmyslové výrobě se věnuje norma ISO. V českém znění je označena jako ČSN ISO 21747 Statistické metody – Ukazatele výkonnosti a způsobilosti procesu pro měřitelné znaky kvality.

.

38

4 Představení společnosti ŠKODA AUTO a.s. a analyzovaného procesu ŠKODA AUTO a.s. je jedním z nejstarších výrobců automobilů na světě. Společnost byla založena roku 1895 Václavem Klementem a Václavem Laurinem, kteří nejprve vyráběli jízdní kola. V roce 1925 přechází firma Laurin & Klement pod koncern Škodových závodů v Plzni, které se již od roku 1869 zabývaly výrobou lokomotiv, zbraní či mostních konstrukcí. ŠKODA AUTO a.s. je od roku 1991 součástí koncernu Volkswagen společně s těmito značkami: Audi, Bentley, Bugatti, Ducati, Lamborghini, MAN, Porsche, Scania, SEAT, Volkswagen (osobní a užitkové vozy). V současné době se společnost ŠKODA AUTO a.s. věnuje vývoji, výrobě a prodeji automobilů, komponentů, originálních dílů a příslušenství a poskytování servisních služeb. ŠKODA AUTO a.s. má výrobní závody v České republice (Mladá Boleslav, Kvasiny, Vrchlabí), na Slovensku, Ukrajině, v Indii, Kazachstánu, Číně a Rusku a celosvětově zaměstnává více než 25 tisíc zaměstnanců. Za rok 2013 se prodalo celkově 920 750 vozů (ŠKODA AUTO, 2014, str. 3). V roce 2013 bylo na trh uvedeno osm nových nebo přepracovaných modelů, takže současné produktové portfolio zahrnuje tyto modely: Citigo, Fabia a Fabia Combi, Roomster, Rapid, Rapid Spaceback, Yeti, Octavia, Octavia Combi, Superb, a Superb Combi.

Za rok 2013 se vyrobilo nejvíce vozů modelu Octavia

(celosvětově 356 286 vozů, což představuje 38,2 %) a Fabia (celosvětově 196 732 vozů) (ŠKODA AUTO, 2014, str. 21). Nejvíce vozů se prodalo do Číny (226 971), Německa (136 415) a Ruska (87 456). V České republice prodala ŠKODA AUTO a.s. ve srovnání s konkurenčními značkami automobilů nejvíce vozů, celkem 60 042 (ŠKODA AUTO, 2014, str. 24). Při analýze rizik společnosti ŠKODA AUTO a.s. se vedle hospodářských rizik, například v podobě změny poptávky spotřebitelů a finančních rizik (především změna směnných kurzů měn), věnuje pozornost i rizikům v oblasti kvality. Ve výroční zprávě ŠKODA AUTO a.s. z roku 2013 je uvedeno následující (ŠKODA AUTO, 2014, str. 33): „Vzhledem k neustále stoupajícímu konkurenčnímu tlaku, ke vzrůstající složitosti výrobních technologií a vysokému počtu dodavatelů je zajištění kvality významnou součástí výrobního procesu. Aby se rizika kvality již

39

od samého počátku snížila na minimum, snaží se Skupina nasazením metod kvality, kontrolami a různými testy zabránit těmto rizikům ve všech procesech, které ovlivňují kvalitu výrobku.“

4.1

Popis procesu

K analýze byl vybrán výrobní proces ve ŠKODA AUTO a.s., ve kterém je regulovanou veličinou poloha závitového čepu pro uchycení zadního nárazníku. Závitové čepy jsou roboticky navařovány na karoserii již v podkompletu platformy. Poloha závitového čepu je dána třemi rozměry (obr. 4), v rámci této diplomové práce bude pozornost věnována pouze rozměru X.

Zdroj: Interní materiály ŠKODA AUTO a.s. Obr. 4 Regulovaná veličina – rozměr X (díl č. 5E5 800 701)

40

K analýze byly vybrány dva úseky procesu. První úsek je tvořen 155 pozorováními od 27. 8. 2014 do 30. 10. 2014 (dále v textu označen jako proces 1). Druhý úsek tvoří 101 pozorování od 12. 6. 2014 do 25. 7. 2014 (dále v textu označen jako proces 2). V obou případech se sledovalo, zda rozměr odpovídá specifikaci, která byla vyjádřena minimem (dolní mez), což bylo 3 568,279 mm a maximem (horní mez) 3 569,279 mm. Při regulaci procesu přichází v úvahu dvě možnosti. V první etapě (ve Statgraphicsu označované Initial Study), se zjišťuje, zda je proces pod statistickou kontrolou či nikoliv. Centrální přímka není v tomto případě určena cílovou hodnotou, ale průměrem, který je spočítán ze všech pozorování. Směrodatná odchylka je také vypočtena ze všech sledovaných pozorování. V druhé etapě, kdy je proces již správně nastaven, je vhodné volit spíše druhou možnost, tzv. Control to Standard. V tomto případě je střední přímka určena cílovou hodnotou a lze nastavit i velikost směrodatné odchylky. Vzhledem k tomu, že oba úseky procesu neodpovídaly specifikacím a pozorování se nacházela nad centrální přímkou, zvolila autorka první možnost, tedy tzv. Initial Study, takže centrální přímka je určena průměrem ze všech pozorování a ne specifikací. V tomto případě by byla centrální přímka umístěna v hodnotě 3 568,779 mm.

41

5

Proces 1

V tomto případě bylo analyzováno, zda byl proces v době od 27. 8. 2014 do 30. 10. 2014 statisticky stabilní či nikoliv. Všech 155 pozorování spadajících do tohoto období je znázorněno na obrázku 5.

3570,5

hodnota X

3570

3569,5

3569

3568,5

3568 0

40

80 pozorovani

120

160

Obr. 5 Proces 1 – pozorování (Statgraphics)

V prvním kroku bylo ověřováno, zda mají data normální rozdělení, a zda se v nich neobjevila autokorelace.

5.1

Testování normality

K ověření byly použity grafické metody a statistické testy, které jsou obsaženy v programu Statgraphics. Vzhledem k tomu, že bylo analyzováno celkem 155 pozorování, je možné posoudit normalitu i pomocí histogramu, který jinak může být při malém počtu pozorování (méně než 100) zavádějící.

42

Grafické metody

30

Distribution Normal

25

cetnost

20 15 10 5 0 3568

3568,5

3569

3569,5 hodnota X

3570

3570,5

Obr. 6 Histogram procesu 1 (Statgraphics)

Tvar histogramu (obr. 6) je podobný Gaussově křivce, která je zde naznačena modrou linií. Na základě toho se lze domnívat, že data mají normální rozdělení. Histogram, stejně jako ostatní grafické metody, poskytují spíše rychlou a orientační informaci o typu rozdělení. Proto závěr, zda mají data skutečně normální rozdělení či nikoliv, bude možný učinit až na základě statistických testů, které jsou exaktnější.

3570,5

Distribution Normal

hodnota X

3570

3569,5 3569

3568,5 3568 3568

3568,5

3569 3569,5 normalni rozdeleni

Obr. 7 Q-Q graf pro proces 1 (Statgraphics)

43

3570

3570,5

I na základě Q-Q grafu (obr. 7) se zdá, že data mají normální rozdělení, jelikož se většina hodnot nachází v blízkosti modré přímky, která odpovídá normálnímu rozdělení. Statistické testy Tab. 3 Testy normality pro proces 1 (Statgraphics)

Test

Statistic

P-Value

Chi-Square

22,1806

0,678773

Shapiro-Wilk W

0,978542

0,315127

Skewness Z-score

0,553285

0,580065

Kurtosis Z-score

0,353106

0,724005

Kolmogorov-Smirnov test

0,88636

Všechny vypočtené p-hodnoty (tab. 3) jsou podstatně větší než 0,05. To znamená, že na hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout nulovou hypotézu, že data mají normální rozdělení.

5.2

Testování autokorelace 1

autokorelace

0,6

0,2

-0,2

-0,6

-1 0

5

10

15

20

25

zpozdeni Obr. 8 Testování autokorelace – proces 1 (Statgraphics)

Na základě průběhu autokorelační funkce (obr. 8) se ukázalo, že je v datech obsažena silná pozitivní autokorelace. Koeficient autokorelace překračuje horní

44

hranici 95% intervalu spolehlivosti (naznačeno červenými křivkami). Pozitivní autokorelace může vést k většímu počtu falešných signálů a proces se bude jevit jako statisticky nestabilní. Z tohoto důvodu je použití Shewhartových diagramů a diagramů CUSUM nevhodné. V takovémto případě je možné použít např. modifikované EWMA diagramy (Montgomery, 2009).

5.3

Metoda EWMA

U metody EWMA se citlivost diagramu mění parametrem  , který nabývá hodnot z intervalu (0;1> a parametrem L, který udává vzdálenost regulačních mezí. Pokud je

hodnota

parametru



rovná

jedné,

jsou

diagramy

EWMA

totožné

s Shewhartovými diagramy (viz obr. 10). Čím blíže je hodnota  nule, tím je větší důraz kladen na nejnovější pozorování. Pro srovnání jsou uvedeny EWMA diagramy pro   1 a   0,2 , které bývá v praxi používáno nejčastěji. Vzdálenost regulačních mezí byla v obou případech volena L = 3.

3569,9

EWMA

3569,7

3569,68

3569,5 3569,39 3569,3 3569,1

3569,10

3568,9 0

Obr. 9 EWMA diagram pro

40

  0,2

80 pozorovani

120

160

(Statgraphics)

V EWMA diagramu s  =0,2 (obr. 9) se mimo regulační meze ocitlo celkem 39 hodnot EWMA, konkrétně se jedná o pozorování číslo: 31, 33-48, 118, 134, 135 a 138-155.

45

3570,5 3570,25

EWMA

3570 3569,5

3569,39

3569 3568,52

3568,5 3568 0

40

Obr. 10 EWMA diagram pro

80 pozorovani

120

160

  1 (Statgraphics)

Když se parametr  rovnal jedné (obr. 10), tak se mimo regulační meze ocitly tři hodnoty EWMA, konkrétně u pozorování číslo: 129,134 a 135, což je totožné s výsledky získanými při použití Shewhartových diagramů. Vedle této klasické metody EWMA, která předpokládá konstantní střední hodnotu, lze v případě autokorelovaných dat použít ještě modifikovanou metodu EWMA, která připouští kolísání střední hodnoty. Tím pádem se snižuje pravděpodobnost falešného signálu. Při této metodě se používá jednokroková předpověď EWMA, která vychází z nejlepšího modelu ARIMA. V případě tohoto procesu se jako nejlepší model jevil model ARIMA (0,1,1), v němž byla dosažena nejmenší možná autokorelace reziduí. To je patrné z obrázku 11 a 12. 3570,5 actual forecast 95,0% limits

hodnota X

3570 3569,5 3569 3568,5 3568 0

30

60

90

120

150

Obr. 11 Nejvhodnější ARIMA model pro daná pozorování (Statgraphics)

46

180

1

autokorelace

0,6

0,2

-0,2

-0,6

-1 0

5

10

15

20

25

zpozdeni

Obr. 12 Reziduální autokorelace při použití modelu ARIMA (0,1,1) (Statgraphics)

Pokud by se připustilo určité kolísání střední hodnoty (přičemž by nebyly překročeny meze dané specifikací USL a LSL), pak by regulační diagram pro modifikovanou metodu EWMA (obr. 13) vypadal takto:

Obr. 13 Modifikovaný diagram EWMA s kolísáním střední hodnoty (Statgraphics)

47

V předcházejících diagramech byla centrální přímka definovaná průměrem ze všech měření. V tomto případě je určená jednokrokovou přepovědí EWMA (přímka forecast), která vychází z modelu ARIMA (0,1,1). Regulační meze UCL a LCL jsou umístěny vždy ve vzdálenosti 3σ od předpovědi EWMA. Z regulačního diagramu vyplývá, že pokud je povolené kolísání střední hodnoty, pak je analyzovaný proces statisticky stabilní, jelikož se všechna pozorování nachází uvnitř regulačních mezí. Pokud ale kolísání střední hodnoty není povolené, pak je proces statisiticky nestabilní, jelikož se body v diagramu EWMA (obr. 9) nachází mimo regulační meze.

5.4

Způsobilost procesu 1

Vzhledem k tomu, že autokorelace ovlivňuje odhad směrodatné odchylky, dochází ke zkreslení hodnot ukazatelů výkonnosti a způsobilosti procesu. Při pozitivní autokorelaci jsou tyto ukazatele nadhodnocené. Pokud je dostatečný počet pozorování (n ≥ 100), anebo není autokorelace příliš silná, je možné způsobilost a výkonnost procesu počítat podle vzorců uvedených v teoretické části diplomové práce. Pokud je však pozorování méně nebo je autokorelace příliš silná, je nutné místo σ použít upravený odhad  AC (Shore, 1997, str. 619; Wheeler, 2004, str. 284; Zhang, 1998, str. 564).

 AC 

1 n  ( xi  x ) 2 n  1 i 1

1 1  r12

(47)

kde r1 je odhad autokorelační funkce při zpoždění 1, n je počet pozorování, x je aritmetický průměr ze všech pozorování. Po dosazení je:

ˆ AC 

1 1  0,381562 2

1  21,30519  0,4023918 154

(48)

Po dosazení příslušných hodnot se upravený odhad směrodatné odchylky rovná 0,4024. Pokud by autokorelace nebyla zohledněna, pak by byl odhad směrodatné odchylky 0,3719. USL  LSL 3568,28  3569,28 Cˆ p    0,41419 6ˆ AC 6  0,4023918

48

(49)

 USL     LSL   3569,28  3569,39 3569,39  3568,28    min  Cˆ pk  min  , ,   0,091 3ˆ AC  3  0,4023918   3  0,4023918  3ˆ AC (50) Pokud by se při výpočtu způsobilosti procesu zohlednila autokorelace, pak by se ukazatel způsobilosti Cˆ p rovnal 0,414 a ukazatel způsobilosti Cˆ pk by dosahoval hodnoty -0,091. Záporná hodnota ukazatele způsobilosti Cˆ pk je dána tím, že se střední hodnota nachází mimo toleranční pole. Pokud by byla zvolena druhá možnost, tedy autokorelaci v případě většího počtu pozorování při výpočtu ukazatelů způsobilosti neuvažovat, pak by byl ukazatel Cp vyšší a dosahoval by hodnoty 0,58 (obr. 14). Ukázalo se, že v případě autokorelace je tento ukazatel nadhodnocený a proces je ve skutečnosti ještě méně způsobilý. Normal Mean=3569,39 Std. Dev.=0,371948

30 25

Cp = 0,58 Pp = 0,45 Cpk = -0,12 Ppk = -0,09 Short-term DPM = 643010,23 Long-term DPM = 613640,04 LSL = 3568,28; USL = 3569,28

cetnost

20 15 10 5 0 3568

3568,5

3569

3569,5 hodnota X

3570

Obr. 14 Způsobilost procesu 1 (Statgraphics)

49

3570,5

3571

6

Proces 2

V tomto případě bylo analyzováno, zda byl proces v době od 12. 6. 2014 do 25. 7. 2014 statisticky stabilní či nikoliv. I v tomto případě byla zvolena tzv. Initial Study. V prvním kroku bylo ověřováno, zda mají data normální rozdělení, a zda se v nich neobjevila autokorelace. Všech 101 pozorování spadajících do tohoto období je znázorněno na obrázku 15. 3571

hodnota X

3570,5 3570 3569,5 3569 3568,5 3568 0

10

20

30

40

50 60 pozorovani

70

80

90

100

110

Obr. 15 Proces 2 – pozorování (Statgraphics)

6.1

Testování normality

Grafická metoda Na základě obou grafických metod (obr. 16, obr. 17) lze soudit, že data budou mít normální rozdělení. Tvar histogramu (obr. 16) je podobný naznačené Gaussově křivce, v případě Q-Q grafu (obr. 17) se jednotlivá pozorování nachází v blízkosti přímky y = x, která odpovídá normálnímu rozdělení. Přesné závěry lze ale učinit až na základě statistických testů.

50

20

Distribution Normal

cetnost

16 12 8 4 0 3568

3568,5

3569

3569,5 hodnota X

3570

3570,5

3571

Obr. 16 Histogram procesu 2 (Statgraphics)

3571

Distribution Normal

hodnota X

3570,5 3570 3569,5 3569 3568,5 3568 3568

3568,5

3569

3569,5 3570 normalni rozdeleni

3570,5

Obr. 17 Q-Q graf pro proces 2 (Statgraphics)

Statistické testy Tab. 4 Testy normality pro proces 2 (Statgraphics)

Test

Statistic

P-Value

Chi-Square

19,0

0,58514

Shapiro-Wilk W

0,979077

0,476101

Skewness Z-score

1,32892

0,183874

Kurtosis Z-score

1,15212

0,249271

Kolmogorov-Smirnov test

0,421898

51

3571

Všechny vypočtené p-hodnoty (tab. 4) jsou podstatně větší než 0,05. To znamená, že na hladině pravděpodobnosti 0,05 nelze zamítnout nulovou hypotézu, že data pocházejí z normálního rozdělení.

6.2

Testování autokorelace

Na základě testu autokorelace (obr. 18) se prokázalo, že data nejsou ovlivněna autokorelací, takže je možné použít všechny tři metody regulace procesu – Shewhartovy diagramy, metodu CUSUM i EWMA. 1

autokorelace

0,6 0,2 -0,2 -0,6 -1 0

5

10

15

20

25

zpozdeni

Obr. 18 Testování autokorelace - proces 2 (Statgraphics)

6.3

Shewhartovy regulační diagramy

V Shewhartových diagramech se kromě překročení regulačních mezí někdy zkoumají i zvláštní seskupení bodů. Na obrázku 19 je patrné, že regulační meze byly překročeny pouze jednou, a to v případě pozorování 66. V diagramu pro klouzavá rozpětí (obr. 20) byla všechna pozorování uvnitř regulačních mezí.

52

3571 3570,68 3570,5 3570 X

3569,82 3569,5 3569

3568,96

3568,5 3568 0

10

20

30

40

50 60 pozorovani

70

80

90

100

110

Obr. 19 Shewhartův diagram pro proces 2 – individuální hodnoty (Statgraphics)

1,2 1,06

1

MR(2)

0,8 0,6 0,4 0,32 0,2 0

0,00 0

10

20

30

40

50 60 pozorovani

70

80

90

100

110

Obr. 20 Shewhartův diagram pro proces 2 – klouzavá rozpětí (Statgraphics)

V tabulce 5 jsou uvedená všechna zvláštní seskupení bodů, která se objevila v rámci všech pozorování. Vedle čísla pozorování je uvedeno i písmeno vyjadřující důvod označení. Písmena znamenají následující: o (A) Devět hodnot leží na téže straně centrální přímky. o (B) Šest hodnot za sebou roste nebo klesá. o (C) Čtyři z pěti hodnot jsou na stejné straně centrální přímky ve vzdálenosti větší než 1σ.

53

o (D) Dvě ze tří hodnot jsou od centrální přímky dále než 2σ. o (E) Patnáct hodnot je v intervalu ±1σ okolo centrální přímky. o (F) Osm hodnot za sebou leží po obou stranách centrální přímky, vždy však mimo interval ±1σ. o (G) Čtrnáct bodů v řadě pravidelně kolísá Tab. 5 Zvláštní seskupení bodů – proces 2 (Statgraphics)

Pozorování

x-diagram

45

AC

46

AC

MR-diagram

95

D

97

D

98

CD

Závěry plynoucí z Shewhartových diagramů a testů zvláštních seskupení bodů budou diskutovány dále v souvislosti s metodami EWMA a CUSUM.

6.4

Metoda EMWA

Při analýze statistické stability procesu pomocí metody EWMA byla zvolena hodnota parametru λ rovná 0,2. To znamená, že aktuálnímu pozorování je dána váha 0,2, váha předchozích pozorování exponenciálně klesá. Aby bylo možné mezi sebou porovnat vlastnosti metody EWMA, CUSUM a Shewhartových diagramů, je nutné nastavit stejnou hodnotu ARL(0), což je v případě Shewhartových diagramů 370. Proto byla upravena vzdálenost regulačních mezí u metody EWMA pomocí parametru L. Při λ = 0,2 a L = 2,859σ je ARL(0) EWMA diagramu rovno hodnotě 370. Na základě EWMA diagramu (obr. 21) je patrné, že všechna pozorování až na dvě (pozorování číslo 45, 46) se nachází uvnitř regulačních mezí. V případě metody EWMA i z Shewhartových diagramů je patrné, že v předcházejících pozorování docházelo k růstu střední hodnoty. Toto zvláštní seskupení bodů odhalily Shewhartovy diagramy u 45. podskupiny, kde došlo k porušení pravidla A (devět hodnot leží na téže straně centrální přímky) a C (čtyři z pěti hodnot jsou na stejné straně centrální přímky ve vzdálenosti větší než 1σ). Stejná pravidla byla porušena i v případě podskupiny 46. U metody EWMA je růst střední hodnoty patrný

54

z rostoucího trendu křivky hodnot EWMA. Vzhledem k tomu, že je metoda EWMA citlivější a využívá informace ze všech předchozích pozorování, tak se pozorování 45 a 46 ocitla mimo regulační meze, i když v případě Shewhartových diagramů byla stále uvnitř. Opačná situace nastala v případě pozorování 66, které bylo jako jediné pod dolní regulační mezí v Shewhartově regulačním diagramu pro individuální hodnoty. Tím, že Shewhartovy diagramy zkoumají pozorování izolovaně, tak se 66. pozorování, ve kterém se x rovnalo 3 568,88 mm, umístilo pod LCL. Při metodě EWMA byla zohledněna i předchozí pozorování, takže trend křivky hodnot EWMA byl klesající, ale nedošlo k tak prudkému poklesu hodnoty x mezi 65. a 66. pozorování, takže se hodnoty stále nacházely uvnitř regulačních mezí.

3570,3

EWMA

3570,1

3570,09

3569,9 3569,82 3569,7 3569,55 3569,5 0

20

40

60 pozorovani

80

100

120

Obr. 21 EWMA diagram pro proces 2 (λ=0,2; L=2,859) (Statgraphics)

6.5

Metoda CUSUM

CUSUM metoda má dvě podoby – tabelární a V-masku. V praxi se více používá tabelární metoda. Vlastnosti diagramu se v případě tabelární metody ovlivňují pomocí referenční hodnoty k a rozhodovacího intervalu h. Změny průměrné délky přeběhu ARL(  ) v závislosti na velikosti posunu procesu, kterou chceme detekovat, budou diskutovány později. Aby bylo možné srovnat citlivost této metody s Shewhartovými diagramy a metodou EWMA, tak je nutné nastavit, aby bylo ARL(0) rovné 370,0. Tomu odpovídá k = 0,5 a h = 4,773 (Wheeler, 2004, str. 307).

55

1,6

H=1,37

CuSum

1,1

K=0,14

0,6

AIM=0,00

0,1

K=-0,14

-0,4

H=-1,37

-0,9 -1,4 0

20

40

60 pozorovani

80

100

120

Obr. 22 CUSUM – tabelární metoda (k = 0,5; h = 4,773) (Statgraphics)

Z obrázku 22 vyplývá, že mimo regulační meze se ocitla pouze jedna hodnota CUSUM, která odpovídá 46. pozorování. To se nacházelo mimo regulační meze i při aplikaci metody EWMA, v níž byla hodnota EWMA mimo regulační mez u 45. i 46. pozorování. I Shewhartovy diagramy označily podskupinu 45 a 46 na základě testování zvláštních seskupení bodů, ale ani v jednom případě nedošlo k překročení regulačních mezí, ty byly překročeny pouze u pozorování 66. Toto pozorování nebylo ani v metodě EWMA, ani v tabelární podobě metody CUSUM vyhodnoceno jako signál posunu procesu. To je dáno tím, že jsou brána v potaz všechna dosavadní pozorování. Druhou formou metody CUSUM je tzv. V-maska. Principem V-masky je postupné přikládání sestrojené V-masky na jednotlivá pozorování vynesená v regulačním diagramu. Proces je pod statistickou kontrolou tehdy, když se v jakékoliv poloze V-masky nachází všechna pozorování uvnitř plochy vymezené jejími rameny. Citlivost V-masky se odvíjí od úhlu, který svírají ramena V-masky. V programu Statgraphics se při konstrukci V-masky volí parametry α a β (pravděpodobnost chyby prvního a druhého druhu) a velikost posunu, který chceme detekovat. Parametr β se často volí nulový. Parametr α se spočítá pomocí rovnic (Montgomery, 2009):



ln( ) d  2 2



56

(51)

h  dk

(52)

kde α je pravděpodobnost chyby prvního druhu, δ je velikost posunu, který chceme detekovat, k je referenční hodnota, h je rozhodovací interval. Po dosazení hodnot k = 0,5 (detekce posunu o velikosti 1σ) a h = 4,773, které byly použity v tabelární metodě, vyšla hodnota parametru α rovná 0,017. V-maska, která odpovídá výše uvedené tabelární metodě je definovaná takto: δ = 1σ, α = 0,017, β = 0,00001 (program Statgraphics nedovoluje tento parametr rovný nule). Postupným přikládáním V-masky k jednotlivým bodům znázorňujícím hodnoty CUSUM v daném pozorování se ukázalo, že stejně jako v případě tabelární metody, je mimo regulační meze pouze jedna hodnota. Ta odpovídá 46. pozorování. To je patrné z obrázku 23, kde je bod A V-masky (viz obr. 2) umístěn na 46. pozorování. V bodě 46 došlo k signálu, že proces není statisticky stabilní, k posunu procesu došlo zhruba kolem bodu 22. 2,5

CuSum

1,5 0,5 -0,5 -1,5

-2,5 0

20

40

60 pozorovani

80

100

120

Obr. 23 CUSUM – V- maska umístěna na 46. pozorování (Statgraphics)

Pokud ale byla V-maska přiložena na jakýkoliv jiný bod reprezentující hodnotu CUSUM, pak byla všechna pozorování uvnitř ramen V-masky, což znamená, že jiný signál nenastal. Na obrázku 24 je V-maska umístěna na poslední hodnotě CUSUM, která odpovídá 101. pozorování.

57

2,5

CuSum

1,5 0,5 -0,5 -1,5

-2,5 0

20

40

60 pozorovani

80

100

120

Obr. 24 CUSUM – V- maska umístěna na 101. pozorování (Statgraphics)

6.6

Porovnání metod z hlediska citlivosti

Na základě porovnání výsledků metody EWMA, CUSUM a Shewhartových diagramů pro proces 2, lze konstatovat následující. Všechny tři metody shodně odhalily posun střední hodnoty procesu, ke kterému došlo u pozorování 46. U tabelární metody CUSUM byla hodnota CUSUM reprezentující 46. pozorování mimo regulační meze. Při přiložení V-masky k bodu reprezentující hodnotu CUSUM ve 46. pozorování se některá pozorování nenacházela uvnitř ramen V-masky. V případě metody EWMA se mimo regulační meze nacházela hodnota EWMA pro 45. i 46. pozorování. Shewhartovy diagramy, které jsou považovány za méně citlivé, zaznamenaly tento posun procesu ve stejnou dobu jako ostatní metody. Pozorování 46 se neocitlo mimo regulační meze, ale na základě testování zvláštních seskupení bodů byla označena pozorování 45 a 46. Ukázalo se, že pokročilejší metody regulace procesu EWMA a CUSUM lépe odhalí drobné posuny střední hodnoty. To lze demonstrovat na pozorování 18 - 24. Vzhledem k tomu, že metoda EWMA i CUSUM zohledňují předchozí pozorování, tak je z tvaru křivky patrné, že docházelo neustále k drobnému poklesu hodnoty x. Křivky hodnot CUSUM i EWMA se blížily k regulačním mezím, ale nepřekročily je. Oproti tomu Shewhartovy diagramy, které zkoumají pozorování odděleně, tento posun procesu vůbec nedetekovaly, ba naopak pozorování 18 - 24 se na základě Shewhartova diagramu pro individuální hodnoty nachází

58

v blízkosti centrální přímky a tento úsek ani nebyl označen při testování zvláštních seskupení bodů. Uvedené tři metody lze porovnat také z hlediska jejich průměrné délky přeběhu ARL. Tato hodnota vyjadřuje průměrný počet pozorování mezi vznikem vymezitelné příčiny a signálem, což je umístění bodu mimo regulační mez. Pokud je proces statisticky stabilní, je žádoucí, aby byla průměrná délka přeběhu vysoká, aby nedocházelo k falešným signálům. Naopak, při posunu procesu je třeba, aby bylo ARL(  ) malé, aby byla doba mezi vznikem vymezitelné příčiny a signálem co nejkratší. V tabulce 6 jsou uvedené hodnoty ARL pro Shewhartovy diagramy, pro metodu EWMA (λ = 0,2; L = 2,859) pro metodu CUSUM (k = 0,5; h = 4,773). Všechny takto definované metody mají stejné ARL(0), které se rovná 370. Výrazně se ale liší hodnoty ARL(δ) pro jednotlivé posuny střední hodnoty, které detekují. Tab. 6 Hodnoty ARL pro Shewhartovy diagramy, metodu EWMA a CUSUM

0σ

Shewhartovy diagramy 370

EWMA (λ=0,2; L=2,859 370

CUSUM (k=0,5; h=4,773) 370

0,2σ

303

161,9

163,5

0,4σ

200

55,4

54,5

0,6σ

120

25,3

24,6

0,8σ

72

14,6

14,4

1,0σ

44

9,8

9,9

1,2σ

28

7,3

7,5

1,4σ

18

5,8

6,1

1,6σ

12

4,8

5,1

1,8σ

8,7

4,1

4,4

2,0σ

6,3

3,6

3,9

2,2σ

4,7

3,2

3,5

2,4σ

3,6

2,9

3,1

2,6σ

2,9

2,7

2,9

2,8σ

2,4

2,5

2,7

3,0σ

2,0

2,3

2,5

Posun δ

59

Na základě hodnot ARL(δ) pro jednotlivé metody lze konstatovat, že u metody EWMA a CUSUM je průměrná délka přeběhu menší než u Shewhartových diagramů, takže se, obzvláště malý posun střední hodnoty procesu, detekuje daleko dříve než při použití Shewhartových diagramů. Například posun procesu o velikosti 0,2σ detekují Shewhartovy diagramy po 303 pozorováních od vzniku vymezitelné příčiny, u takto definované metody EWMA se posun detekuje po 161,9 pozorování a u metody CUSUM je to po 163,5 pozorování. Z tabulky 6 vyplývá, že metoda EWMA i CUSUM jsou srovnatelně rychlé při detekci posunu, hodnoty ARL(δ) se od sebe moc neliší. Tyto dvě pokročilé metody statistické procesu je vhodné aplikovat především ve druhé fázi regulace, kdy je proces stabilní, je nastavená cílová hodnota a proces se dále monitoruje, zda je nadále statisticky stabilní nebo zda nedochází k posunu střední hodnoty. V první fázi regulace procesu se využívají spíše méně citlivé Shewhartovy diagramy, které jsou schopny detekovat velké posuny procesu (2,8σ nebo 3σ) dříve. Proto je také v tomto případě průměrná délka přeběhu menší než u metody CUSUM a EWMA.

6.7

Způsobilost procesu 2

Výpočet ukazatelů Cp a Cpk resp. Pp a Ppk vychází z horní a dolní meze dané specifikací pro sledovaný znak (LSL a USL). Vzhledem k tomu, že tyto meze zcela neodpovídaly procesu a proces se díky tomu jevil jako zcela statisticky nestabilní, tak tyto meze nebyly brány v potaz a po celou dobu se pracovalo s tzv. Initial Study, která místo cílové hodnoty pracuje s průměrem spočítaným ze všech sledování. Pokud by se při výpočtu způsobilosti procesu 2 zadaly specifikace zákazníka, tedy LSL = 3 568,28 a USL = 3 569,28, tak by dosahoval ukazatel Cp hodnoty 0,58 a Pp hodnoty 0,54, což jsou nepřijatelné hodnoty signalizující zcela nezpůsobilý proces. Na obrázku 25 je patrné, že regulační meze UCL a LCL, které jsou znázorněny nižšími červenými rovnoběžkami, jsou širší než meze dané specifikací LSL a USL (vyšší červené rovnoběžky).

60

20

Normal Mean=3569,82 Std. Dev.=0,305941

cetnost

16 Cp = 0,58 Pp = 0,54 Cpk = -0,63 Ppk = -0,59 Short-term DPM = 969729,36 Long-term DPM = 961200,53 LSL = 3568,28; USL = 3569,28

12 8

4 0 3568

3568,5

3569

3569,5 hodnota X

3570

3570,5

3571

Obr. 25 Způsobilost procesu 2 při zadání původních hodnot LSL a USL (Statgraphics)

Pokud by pro výpočet ukazatelů způsobilosti byla uvažována stejná šířka specifikačního pole (tedy 1 mm), ale místo původních hodnot USL a LSL by byly zvoleny nové, mezi nimiž by přesně v polovině ležel průměr všech pozorování, pak by se způsobilost nezměnila (viz obr. 26). Normal Mean=3569,82 Std. Dev.=0,305941

20

cetnost

16 Cp = 0,58 Pp = 0,54 Cpk = 0,58 Ppk = 0,54 Short-term DPM = 82200,15 Long-term DPM = 102195,36 LSL = 3569,32; USL = 3570,32

12 8 4 0 3568

3568,5

3569

3569,5 hodnota X

3570

3570,5

3571

Obr. 26 Způsobilost procesu 2 při zadání nových hodnot LSL a USL (Statgraphics)

Způsobilost procesu se může zvýšit jen v případě, že se sníží variabilita procesu nebo se, po domluvě se zákazníkem, rozšíří rozpětí dané specifikací.

61

7 Analýza současného stavu a návrh řešení V současné době se ve ŠKODA AUTO a.s. pro regulaci procesu měřením, ve které se zkoumají individuální pozorování, používají Shewhartovy diagramy, které zkoumají jednotlivá pozorování izolovaně. Ty jsou vhodné k detekci velkých posunů procesu, drobný posun je ale rozpoznán později. Průměrná délka přeběhu ARL(δ), která vyjadřuje počet pozorování, která uplynou mezi vznikem vymezitelné příčiny a signálem, je u Shewhartových diagramů vyšší ve srovnání s metodami EWMA a CUSUM. Proto jsou tyto metody schopny detekovat malý posun procesu dříve.

Velkou nevýhodou Shewhartových diagramů je také malá robustnost,

z tohoto důvodu se je nedoporučuje používat v případě nenormálního rozdělení. Nevhodné jsou také v případě autokorelace dat. Pro statistickou regulaci procesu, ve které se vychází z individuálních pozorování, by bylo vhodnější používat metodu EWMA nebo CUSUM, které zohledňují všechna předešlá pozorování. Tyto metody jsou velice efektivní při odhalování malých posunů procesu, velké posuny mohou ale detekovat později než méně citlivé Shewhartovy diagramy. Z tohoto důvodu by bylo vhodné používat některou z modifikovaných metod, např. CUSUM - Shewhartovy diagramy, které spojují přednosti obou metod. Dále by bylo vhodné pravidelně analyzovat, zda se v datech neobjevila autokorelace. Ta by vedla k velkému množství falešných signálů (pozorování by se ocitlo mimo regulační meze, ač by nedošlo k posunu procesu), což by vedlo k růstu nákladů spojených s hledáním příčin posunu procesu a snahou je odstranit. Proto je v případě autokorelace zcela nevhodné použít Shewhartovy diagramy nebo metodu CUSUM. Pokud by se v datech objevila autokorelace, což se v případě některých procesů často stává, je vhodné pro regulaci procesu použít modifikovanou metodu EWMA, pokud specifikace procesu dovoluje kolísání střední hodnoty v rámci mezí daných specifikací. Toto tvrzení je doloženo také v praktické části této diplomové práce na příkladu procesu číslo jedna. Při použití metody EWMA byla některá pozorování mimo regulační meze a proces se jevil jako statisticky nestabilní. To bylo z důvodu autokorelace dat. Když byl ale tento proces

analyzován

pomocí

modifikované

62

metody EWMA,

která

využívá

jednokrokové predikce statistiky EWMA, tak byla všechna pozorování v rámci regulačních mezí a nedocházelo tedy ke zbytečným falešným signálům. Regulační diagramy se aplikují ve dvou etapách. V první je cílem analyzovat daný proces a základě toho jej nastavit do budoucna (v programu Statgraphics je tato etapa označena Initial Study). V této etapě se při sestrojování regulačních diagramů místo cílové hodnoty používá průměr ze všech pozorování. V druhé etapě, kdy je proces již nastaven a je stabilní, je cílem kontrolovat, zda i nadále všechny další výrobky odpovídají dané specifikaci nebo zda nedochází k posunu procesu, na který by bylo nutné co nejrychleji reagovat. V této etapě se již pracuje s cílovou hodnotou, nastavuje se i výše akceptovatelné směrodatné odchylky, která byla v první fázi také počítána ze všech pozorování. Domnívám se, že v první etapě, pokud není v datech obsažena autokorelace, je možné použít Shewhartovy diagramy. Je nutné ale pamatovat na omezení této metody, která se projevují především v případě individuálních hodnot. Ve druhé etapě je ale podle mého názoru důležité, aby se případný posun procesu odhalil co nejdříve, čehož nejsou Shewhartovy diagramy sestrojované pro individuální pozorování dostatečně schopné. To plyne z tabulky 6, ve které jsou uvedeny průměrné délky přeběhu pro všechny tři metody regulace procesu. Při detekci malého posunu procesu jsou hodnoty ARL(δ) pro Shewhartovy diagramy mnohem větší než pro metodu EWMA a CUSUM. Z toho důvodu by bylo vhodnější pro statistickou regulaci již stabilního procesu používat některou z pokročilejších metod, které odhalí i malý posun procesu. Tak je možné příčinu posunu procesu rychleji odhalit, sníží se zmetkovitost, takže nedochází z plýtvání. V případě obou úseků analyzovaného procesu lze konstatovat, že zcela neodpovídají specifikaci zákazníka v podobně horní a dolní meze dané specifikací (USL a LSL). Z tohoto důvodu byla také provedena tzv. Initial Study, takže místo cílové hodnoty dané specifikací zákazníka byl uvažován průměr ze všech analyzovaných pozorování. Pokud by byla dosazena cílová hodnota, tak by všechny tři použité metody označily oba úseky procesu za statisticky nestabilní a ukazatel způsobilosti by byl nízký a neodpovídal by hodnotě způsobilosti, která se vyžaduje u výrobních procesů v automobilovém průmyslu. Pro další etapu regulace procesu, při které již bude brána v potaz cílová hodnota požadovaná zákazníkem, je nutné, aby byly se zákazníkem projednány specifikace procesu.

63

Pokud by trval na původních hodnotách USL a LSL, pak by bylo nutné změnit nastavení přístroje tak, aby těmto požadavkům odpovídal.

64

Závěr Cílem této diplomové práce bylo aplikovat pokročilejší metody statistické regulace na výrobní proces ve ŠKODA AUTO a.s. K tomu byl vybrán proces, v němž byla regulovanou veličinou poloha závitového čepu pro uchycení zadního nárazníku. Analyzovány byly dva časové úseky, první tvořilo 155 individuálních pozorování spadajících do období od 27. 8. 2014 do 30. 10. 2014. Druhý úsek tvořilo 101 pozorování v době od 12. 6. 2014 do 25. 7. 2014. U procesu byly zadané meze dané specifikací USL a LSL, ale vzhledem k tomu, že jim ani jeden úsek procesu neodpovídal, byla zvolena tzv. Initial Study, což znamená, že místo cílové hodnoty byl při konstrukci regulačních diagramů použit průměr ze všech pozorování daného procesu. U obou souborů dat bylo testováno, zda mají hodnoty normální rozdělení či nikoli. Normalita rozdělení se v obou případech potvrdila na základě grafických metod (histogramu i Q-Q grafu) i na základě statistických testů (chí-kvadrátu testu dobré shody,

koeficientu

špičatosti

a

šikmosti,

Shapirova-Wilkova

testu

a Kolmogorovova-Smirnovova testu). Dále bylo testováno, zda není v datech obsažena autokorelace. Pozitivní autokorelace se objevila v případě prvního úseku procesu. Díky autokorelaci dochází k velkému počtu falešných signálů, což zvyšuje náklady na regulaci procesu, jelikož musí obsluha hledat příčinu posunu procesu, která ale ve skutečnosti neexistuje. Z tohoto důvodu se v případě autokorelace nedoporučuje používat Shewhartovy diagramy ani metodu CUSUM, vhodnější je např. modifikovaná metoda EWMA, která byla použita v případě kontroly statistické stability prvního úseku procesu. Pokud byla aplikována metoda EWMA s parametrem λ = 0,2 a L = 3, tak se mimo regulační meze ocitlo 39 hodnot a proces byl označen za statisticky nestabilní. Vedle této klasické podoby metody EWMA byla v praktické části hodnocena statistická stabilita také pomocí modifikované metody EWMA, ve které se nepředpokládala konstantní střední hodnota, ale bylo povoleno její kolísání (v rámci mezí daných specifikací). Centrální „přímku“ tvořila jednokroková předpověď statistiky EWMA na základě modelu ARIMA (0,1,1), od níž byly umístěny regulační meze ve vzdálenosti 3σ. V tomto případě se všechny hodnoty nacházely uvnitř regulačních mezí a proces

65

byl tedy statisticky stabilní. Autokorelace byla zohledněna také při výpočtu způsobilosti procesu, pokud by tomu tak nebylo, byl by ukazatel způsobilosti nadhodnocený. Místo směrodatné odchylky ze všech pozorování byl při výpočtu použit odhad směrodatné odchylky ˆ AC . Pokud autokorelace nebyla zohledněna, což je možné při větším počtu pozorování, tak byl ukazatel způsobilosti Cp roven 0,58 a Cpk roven -0,12, pokud autokorelace zohledněna byla, pak se Cˆ p rovnal 0,41 a Cˆ pk -0,091. Všechny hodnoty jsou ale z hlediska požadavků kladených na způsobilost procesu v automobilovém průmyslu zcela nevyhovující. V druhém analyzovaném úseku procesu autokorelace obsažena nebyla, takže bylo možné pro statistickou regulaci aplikovat všechny tři metody uvedené v teoretické části diplomové práce (Shewhartovy diagramy, metodu EWMA a dvě podoby metody CUSUM – tabelární a V-masku). U všech metod bylo nastavené stejné ARL(0), aby bylo možné porovnat citlivost, s jakou reagují na posun procesu. Pokročilejší metody statistické regulace procesu EWMA a CUSUM, které zohledňují všechna předchozí pozorování, shodně označily posun, ke kterému došlo u 45. a 46. pozorování. Mimo regulační meze se při použití metody EWMA ocitly 2 hodnoty (45. a 46. pozorování), v metodě CUSUM bylo mimo regulační meze pouze pozorování 46. V případě Shewhartových diagramů byla pozorování 45 a 46 uvnitř regulačních mezí, ale obě byla označena na základě testování zvláštních seskupení bodů. Naopak, vzhledem k tomu, že Shewhartovy diagramy zkoumají pozorování izolovaně, bylo pozorování 66 mimo regulační meze v Shewhartově regulačním diagramu pro individuální hodnoty, při použití ostatních metod se pozorování nacházelo uvnitř mezí. Citlivost metod byla posouzena nejen prostřednictvím regulačních diagramů a umístěním konkrétních pozorování mimo regulační meze, ale také pomocí průměrné délky přeběhu pro různě velké posuny procesu. Pro malé posuny procesu byly hodnoty ARL(δ) pro metodu EWMA a CUSUM menší než pro Shewhartovy diagramy, z toho vyplývá, že drobný posun procesu je detekován po menším počtu pozorování, která uplynou mezi vznikem vymezitelné příčiny a signálem. U velkých posunů (2,8σ a 3,0σ) jsou ARL(δ) přibližně stejné pro všechny tři metody. To bylo ověřeno i v druhém analyzovaném úseku procesu, kdy došlo k velkému posunu v případě 45. a 46. pozorování a všechny tři metody

66

na to zareagovaly je stejnou dobu. Ani v tomto případě nedosahovala způsobilost procesu požadovaných hodnot. Na závěr diplomové práce autorka představila návrh na zlepšení statistické regulace výrobních procesů ve ŠKODA AUTO a.s., který spočívá v testování, zda se v datech neobjevuje autokorelace a použití pokročilejších metod regulace procesu, zvláště ve druhé fázi regulace procesu a v případě, že se při regulaci procesu vychází z individuálních hodnot, pro které nejsou Shewhartovy diagramy vhodné.

67

Seznam literatury BISSELL, D. Statistical Methods for SPC and TQM. 1. vyd. New Delhi: Chapman & Hall, 1994. ISBN 978-0-412-39440-9. ČESKÁ SPOLEČNOST PRO JAKOST. Statistická regulace procesu (SPC). 2. vyd. Praha: Česká společnost pro jakost, 2006. ISBN 80-02-01810-9. ČESKÁ STATISTICKÁ SPOLEČNOST. Informační bulletin České statistické společnosti. Praha: 2009, roč. 20., č. 4. ISSN 1210-8022. ČSN ISO 8258:1994. Shewhartovy regulační diagramy. ČSN ISO 21747: 2009 Statistické metody – Ukazatele výkonnosti a způsobilosti procesu pro měřitelné znaky. ISO 7870-4: 2011 Control charts - Part 4: Cumulative sum charts. ISO/TR 7871:1997 Cumulative sum charts - Guidance on quality control and data analysis using CUSUM techniques. KOTZ, S. a JOHNSON, N. L. Process Capability Indices – A Review 1992-2000. Journal of Quality Technology, 2002, roč. 34., č. 1., s. 2-53. KOTZ, S. a JOHNSON, N. L. Process Capability Indices. 1. vyd. London: Chapman & Hall, 1993. ISBN 0 412 54380 X. MICHÁLEK, J. Nový pohled na Shewhartovy diagramy. AUTOMA. Praha: 2001, roč. 7., č. 7-8., s.10-12. MITRA, A. Fundamentals of Quality Control and Improvement. 3. vyd. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc, 2008. ISBN 978-0-470-22653-7. MONTGOMERY, D. C. Introduction to Statistical Quality Control. 6. vyd. Jefferson City: John Wiley & Sons, Inc, 2009. ISBN 978-0-470-16992-6. NEUBAUER, J., SEDLAČÍK, M. a KŘÍŽ, O. Základy statistiky: Aplikace v technických a ekonomických oborech. 1. vyd. Praha: Grada, 2012. ISBN 978-80247-4273-1. NOSKIEVIČOVÁ, D. a BRODECKÁ, K. Statistická regulace procesu pro Lean Six Sigma. AUTOMA. Praha: 2011, roč. 17., č. 6., s. 49-53. ISSN 1210-9592. OAKLAND, J. S. Statistical Process Control. Butterworth-Heinemann, 2003. ISBN 0 7506 5766 9.

5.

vyd.

Burlington:

PANIK, M. J. Advanced Statistics from an Elementary Point of View. 1. vyd. Academic Press. ISBN 978-0120884940.

68

RYAN, T. P. Statistical methods for quality improvement. 3. vyd. Hoboken: John Wiley & Sons, Inc, 2011. ISBN 978-0-470-59074-4. SHORE, H. Process Capability Analysis when Data are Autocorrelated. Quality Engineering, 1997, roč. 9., č. 4., s. 615-626. Simoes, B.F.T., Epprecht, E.K. a Costa, A.F.B. 2010. Performance comparisons of EWMA control chart schemes. Quality Technology and Quantitative Management, 2010, roč. 7., č.3.,str 249-261. STEINER, S., ABRAHAM, B. a MacKay, J. Understanding Process Capability Indices. IIQP Research Report no. 2, University of Waterloo, Canada [online]. 1997, [cit. 2. 1. 2015]. Dostupný z URL: <sas.uwaterloo.ca/~shsteine/papers/cap.pdf>. Škoda Auto Česká republika: Výroční zpráva 2013 [online]. 2014. [cit. 25. 11. 2014]. Dostupný z URL:< go.skoda.eu/annual-report-2013-cs>. WHEELER, D. J. Advanced Topics in Statistical Process Control: The Power of Shewhart´s Charts. 2. vyd. Knoxville: SPC Press, 2004. ISBN 978-0945320630. WOOLDRIDGE, J. M. Introductory Econometrics: A Modern Approach. 5. vyd. Mason: Cengage Learning, 2013. ISBN 978-1-111-53104-1. ZHANG, N. F. Estimating Process Capability Indexes for Autocorrelated Data. Journal of Applied Statistics,1998, roč. 25., č. 4., s. 559-574.

69

Seznam obrázků a tabulek Seznam obrázků Obr. 1 Shewhartův regulační diagram – důležité meze ........................................ 13 Obr. 2 V-maska pro CUSUM diagramy ................................................................ 17 Obr. 3 Složky celkové variability ........................................................................... 36 Obr. 4 Regulovaná veličina – rozměr X (díl č. 5E5 800 701) .............................. 40 Obr. 5 Proces 1 – pozorování.............................................................................. 42 Obr. 6 Histogram procesu 1 ................................................................................ 43 Obr. 7 Q-Q graf pro proces 1............................................................................... 43 Obr. 8 Testování autokorelace – proces 1 .......................................................... 44 Obr. 9 EWMA diagram pro   0,2 ...................................................................... 45 Obr. 10 EWMA diagram pro   1 ...................................................................... 46 Obr. 11 Nejvhodnější ARIMA model pro daná pozorování .................................. 46 Obr. 12 Reziduální autokorelace při použití modelu ARIMA (0,1,1) .................... 47 Obr. 13 Modifikovaný diagram EWMA s kolísáním střední hodnoty .................... 47 Obr. 14 Způsobilost procesu 1 ............................................................................ 49 Obr. 15 Proces 2 – pozorování............................................................................ 50 Obr. 16 Histogram procesu 2 ............................................................................. 51 Obr. 17 Q-Q graf pro proces 2............................................................................. 51 Obr. 18 Testování autokorelace - proces 2 ......................................................... 52 Obr. 19 Shewhartův diagram pro proces 2 – individuální hodnoty ...................... 53 Obr. 20 Shewhartův diagram pro proces 2 – klouzavá rozpětí ........................... 53 Obr. 21 EWMA diagram pro proces 2 (λ=0,2; L=2,859) ..................................... 55 Obr. 22 CUSUM – tabelární metoda (k = 0,5; h = 4,773) ..................................... 56 Obr. 23 CUSUM – V-maska umístěna na 46. pozorování ................................... 57 Obr. 24 CUSUM – V-maska umístěna na 101. pozorování ................................. 58 70

Obr. 25 Způsobilost procesu 2 při zadání původních hodnot LSL a USL ............ 61 Obr. 26 Způsobilost procesu 2 při zadání nových hodnot LSL a USL ................. 61

Seznam tabulek Tab. 1 Počty neshodných v ppm pro různé hodnoty ukazatele způsobilosti ........ 31 Tab. 2 Hodnoty Cp v závislosti na typu procesu ................................................... 32 Tab. 3 Testy normality pro proces 1 .................................................................... 44 Tab. 4 Testy normality pro proces 2 .................................................................... 51 Tab. 5 Zvláštní seskupení bodů – proces 2 ........................................................ 54 Tab. 6 Hodnoty ARL pro Shewhartovy diagramy, metodu EWMA a CUSUM ..... 59

71

Seznam příloh Příloha č. 1 Proces 1 - hodnoty ............................................................................ 73 Příloha č. 2 Proces 2 - hodnoty ............................................................................ 76

72

Příloha č. 1 Proces 1 - hodnoty Pořadí

Datum

Čas

Hodnota [mm]

Pořadí

Datum

Čas

Hodnota [mm]

1

27.8.2014

4:03:48

3 569,874

28

8.9.2014

0:34:16

3 568,841

2

27.8.2014

19:36:22

3 569,704

29

8.9.2014

7:01:50

3 568,533

3

28.8.2014

1:58:31

3 569,316

30

9.9.2014

7:38:23

3 568,754

4

28.8.2014

4:59:09

3 569,149

31

9.9.2014

19:47:51

3 568,979

5

28.8.2014

16:43:27

3 569,771

32

10.9.2014

1:25:56

3 569,227

6

28.8.2014

21:21:30

3 569,507

33

10.9.2014

7:25:10

3 568,940

7

28.8.2014

22:34:22

3 569,003

34

10.9.2014

10:05:14

3 569,055

8

29.8.2014

1:39:16

3 569,604

35

10.9.2014

16:11:07

3 568,939

9

29.8.2014

4:57:53

3 568,849

36

10.9.2014

16:37:55

3 569,075

10

29.8.2014

11:09:23

3 569,570

37

11.9.2014

8:05:57

3 568,542

11

29.8.2014

15:38:21

3 569,693

38

11.9.2014

15:16:31

3 568,861

12

29.8.2014

16:32:54

3 569,906

39

12.9.2014

0:55:35

3 568,785

13

1.9.2014

1:39:51

3 569,403

40

12.9.2014

9:57:25

3 569,027

14

1.9.2014

7:35:02

3 569,365

41

12.9.2014

19:29:21

3 569,283

15

1.9.2014

11:24:09

3 569,540

42

13.9.2014

0:11:10

3 568,924

16

1.9.2014

17:59:41

3 569,510

43

15.9.2014

1:15:49

3 569,272

17

2.9.2014

13:55:44

3 569,035

44

15.9.2014

3:01:05

3 568,784

18

2.9.2014

14:55:02

3 569,477

45

15.9.2014

5:09:44

3 568,823

19

2.9.2014

17:08:55

3 569,493

46

15.9.2014

16:32:11

3 569,098

20

3.9.2014

17:57:34

3 569,696

47

15.9.2014

23:22:16

3 569,262

21

3.9.2014

20:29:34

3 569,244

48

16.9.2014

10:43:21

3 569,266

22

4.9.2014

6:58:03

3 568,883

49

16.9.2014

16:54:04

3 569,673

23

4.9.2014

15:44:49

3 569,833

50

16.9.2014

21:21:23

3 569,485

24

5.9.2014

2:00:53

3 569,016

51

16.9.2014

23:52:41

3 569,430

25

5.9.2014

9:20:54

3 569,406

52

17.9.2014

16:12:44

3 569,092

26

5.9.2014

14:24:19

3 569,909

53

17.9.2014

21:02:36

3 569,253

27

5.9.2014

23:05:51

3 569,528

54

17.9.2014

23:02:30

3 569,290

73

Pořadí

Datum

Čas

Hodnota [mm]

Pořadí

Datum

Čas

Hodnota [mm]

55

18.9.2014

8:43:52

3 569,558

83

29.9.2014

5:19:22

3 569,156

56

18.9.2014

15:43:49

3 569,483

84

29.9.2014

9:41:03

3 569,598

57

19.9.2014

11:05:55

3 569,223

85

29.9.2014

16:53:35

3 569,122

58

20.9.2014

0:07:48

3 569,758

86

29.9.2014

20:30:42

3 569,846

59

20.9.2014

1:19:52

3 569,252

87

30.9.2014

5:29:29

3 569,593

60

22.9.2014

5:36:27

3 569,749

88

30.9.2014

8:23:38

3 569,473

61

22.9.2014

8:20:27

3 569,239

89

30.9.2014

17:43:13

3 569,401

62

22.9.2014

12:10:15

3 569,361

90

1.10.2014

4:12:19

3 569,665

63

23.9.2014

8:03:44

3 569,250

91

1.10.2014

8:27:22

3 569,567

64

23.9.2014

12:22:31

3 569,198

92

2.10.2014

5:26:23

3 569,295

65

23.9.2014

12:35:02

3 569,318

93

2.10.2014

10:06:32

3 569,190

66

23.9.2014

14:17:10

3 569,382

94

2.10.2014

12:04:52

3 568,943

67

23.9.2014

14:47:14

3 569,703

95

2.10.2014

23:53:59

3 568,685

68

23.9.2014

17:51:09

3 569,121

96

3.10.2014

1:24:02

3 569,385

69

23.9.2014

19:24:01

3 569,162

97

3.10.2014

9:09:16

3 569,464

70

24.9.2014

0:32:05

3 569,298

98

4.10.2014

1:46:26

3 569,118

71

24.9.2014

5:52:01

3 569,214

99

5.10.2014

22:19:55

3 569,414

72

24.9.2014

11:48:25

3 569,455

100

6.10.2014

0:35:57

3 568,665

73

24.9.2014

17:52:13

3 569,571

101

6.10.2014

2:06:56

3 569,008

74

25.9.2014

2:05:05

3 568,971

102

6.10.2014

6:28:02

3 569,331

75

25.9.2014

4:15:34

3 569,564

103

6.10.2014

7:09:06

3 569,375

76

25.9.2014

10:49:42

3 569,465

104

6.10.2014

8:58:17

3 569,332

77

25.9.2014

14:42:00

3 569,343

105

6.10.2014

18:03:00

3 569,493

78

25.9.2014

17:06:42

3 569,644

106

6.10.2014

23:41:06

3 569,385

79

25.9.2014

23:14:18

3 569,049

107

7.10.2014

15:30:06

3 569,407

80

26.9.2014

5:51:57

3 569,246

108

7.10.2014

17:45:39

3 569,415

81

26.9.2014

8:56:19

3 569,559

109

7.10.2014

20:29:18

3 569,434

82

26.9.2014

15:01:50

3 569,408

110

7.10.2014

23:57:23

3 569,586

74

Pořadí

Datum

Čas

Hodnota [mm]

Pořadí

Datum

Čas

Hodnota [mm]

111

8.10.2014

8:20:31

3 569,678

139

18.10.2014

0:50:37

3 569,473

112

8.10.2014

23:23:27

3 569,450

140

20.10.2014

7:34:33

3 569,977

113

9.10.2014

18:01:28

3 569,157

141

20.10.2014

12:28:11

3 570,198

114

9.10.2014

20:24:43

3 568,552

142

20.10.2014

16:49:25

3 569,877

115

9.10.2014

22:55:25

3 568,958

143

21.10.2014

3:32:51

3 569,834

116

10.10.2014

4:24:45

3 568,903

144

21.10.2014

7:07:00

3 569,505

117

10.10.2014

5:58:38

3 569,319

145

21.10.2014

17:46:04

3 569,607

118

10.10.2014

11:15:40

3 568,769

146

22.10.2014

8:18:08

3 569,913

119

10.10.2014

11:59:48

3 569,404

147

23.10.2014

0:51:34

3 569,568

120

10.10.2014

17:32:32

3 569,706

148

23.10.2014

9:49:41

3 569,948

121

10.10.2014

20:31:47

3 569,532

149

23.10.2014

23:03:12

3 570,223

122

10.10.2014

22:21:04

3 569,472

150

24.10.2014

7:20:17

3 569,644

123

11.10.2014

3:37:11

3 568,792

151

24.10.2014

13:43:00

3 569,611

124

13.10.2014

4:49:52

3 569,406

152

28.10.2014

23:08:05

3 569,622

125

13.10.2014

6:58:30

3 568,948

153

29.10.2014

9:16:40

3 569,713

126

13.10.2014

16:24:05

3 570,034

154

29.10.2014

17:14:50

3 570,117

127

13.10.2014

18:03:57

3 569,486

155

30.10.2014

9:49:16

3 569,353

128

14.10.2014

12:48:48

3 569,429

129

14.10.2014

18:46:49

3 570,299

130

15.10.2014

7:43:55

3 569,412

131

15.10.2014

9:48:12

3 569,510

132

15.10.2014

16:21:38

3 569,064

133

16.10.2014

4:04:17

3 569,848

134

16.10.2014

18:40:55

3 570,294

135

16.10.2014

23:22:01

3 570,403

136

17.10.2014

9:20:43

3 569,030

137

17.10.2014

13:19:10

3 569,974

138

17.10.2014

19:32:07

3 570,150

75

Příloha č. 2 Proces 2 - hodnoty Pořadí

Datum

Čas

Hodnota [mm]

Pořadí

Datum

Čas

Hodnota [mm]

1

12.6.2014

4:41:09

3 569,148

28

20.6.2014

11:13:50

3 570,065

2

12.6.2014

17:51:29

3 569,545

29

21.6.2014

4:25:38

3 570,162

3

12.6.2014

21:13:50

3 569,838

30

21.6.2014

4:47:43

3 569,964

4

13.6.2014

8:21:14

3 569,808

31

23.6.2014

2:13:57

3 569,818

5

13.6.2014

19:42:57

3 569,523

32

23.6.2014

4:45:03

3 569,633

6

16.6.2014

3:17:36

3 570,074

33

23.6.2014

23:44:59

3 569,996

7

16.6.2014

3:36:17

3 569,737

34

24.6.2014

2:10:08

3 570,138

8

16.6.2014

5:23:18

3 569,863

35

24.6.2014

6:12:39

3 570,242

9

16.6.2014

8:04:25

3 569,881

36

24.6.2014

9:52:06

3 569,590

10

16.6.2014

10:04:32

3 570,026

37

24.6.2014

18:10:40

3 570,022

11

16.6.2014

10:57:07

3 569,835

38

25.6.2014

0:52:40

3 570,024

12

16.6.2014

11:28:12

3 570,342

39

25.6.2014

1:15:37

3 569,947

13

16.6.2014

11:41:36

3 569,772

40

25.6.2014

1:32:50

3 569,908

14

16.6.2014

11:51:33

3 569,945

41

25.6.2014

3:58:22

3 570,310

15

16.6.2014

12:48:53

3 569,962

42

25.6.2014

15:45:25

3 569,944

16

16.6.2014

15:03:15

3 569,857

43

25.6.2014

19:00:30

3 570,201

17

16.6.2014

15:46:20

3 569,961

44

26.6.2014

2:25:28

3 570,300

18

16.6.2014

17:46:00

3 569,432

45

26.6.2014

4:43:19

3 570,130

19

16.6.2014

22:49:31

3 569,492

46

26.6.2014

5:39:53

3 570,255

20

17.6.2014

4:42:41

3 569,576

47

26.6.2014

13:59:02

3 569,455

21

17.6.2014

6:09:45

3 569,233

48

26.6.2014

14:23:06

3 569,291

22

17.6.2014

12:39:54

3 569,846

49

26.6.2014

16:24:56

3 570,196

23

18.6.2014

5:13:19

3 569,452

50

26.6.2014

23:46:00

3 569,915

24

18.6.2014

6:52:12

3 569,418

51

27.6.2014

3:17:56

3 569,563

25

18.6.2014

14:42:39

3 569,874

52

27.6.2014

8:17:05

3 570,246

26

19.6.2014

6:20:34

3 569,864

53

28.6.2014

2:55:17

3 569,480

27

20.6.2014

2:45:46

3 570,056

54

28.6.2014

5:16:38

3 570,008

76

Pořadí

Datum

Čas

Hodnota [mm]

Pořadí

Datum

Čas

Hodnota [mm]

55

30.6.2014

6:15:36

3 569,836

83

10.7.2014

18:11:44

3 569,493

56

30.6.2014

9:27:39

3 569,802

84

11.7.2014

16:59:48

3 569,697

57

30.6.2014

12:52:50

3 569,628

85

11.7.2014

20:56:06

3 570,328

58

30.6.2014

16:57:37

3 569,819

86

13.7.2014

23:38:57

3 569,755

59

30.6.2014

19:33:44

3 569,890

87

14.7.2014

7:01:27

3 569,813

60

1.7.2014

5:45:31

3 569,732

88

14.7.2014

15:36:02

3 570,232

61

1.7.2014

9:53:57

3 570,234

89

15.7.2014

14:44:25

3 569,494

62

1.7.2014

19:04:32

3 569,713

90

16.7.2014

8:58:01

3 569,771

63

1.7.2014

20:55:48

3 569,885

91

16.7.2014

15:28:49

3 569,444

64

1.7.2014

21:23:15

3 569,765

92

17.7.2014

16:17:18

3 569,810

65

1.7.2014

22:44:26

3 569,474

93

17.7.2014

19:32:31

3 569,963

66

1.7.2014

23:54:09

3 568,880

94

18.7.2014

11:22:11

3 568,995

67

2.7.2014

0:40:30

3 569,668

95

18.7.2014

17:55:52

3 569,854

68

2.7.2014

4:35:26

3 570,093

96

20.7.2014

22:30:06

3 569,533

69

2.7.2014

16:22:11

3 569,648

97

21.7.2014

16:43:24

3 570,585

70

3.7.2014

6:04:23

3 569,921

98

24.7.2014

13:46:49

3 569,646

71

3.7.2014

9:13:59

3 569,134

99

25.7.2014

6:46:57

3 569,685

72

3.7.2014

11:48:35

3 569,835

100

25.7.2014

7:42:36

3 569,881

73

3.7.2014

18:24:56

3 569,558

101

25.7.2014

19:25:33

3 569,896

74

4.7.2014

11:08:21

3 569,674

75

4.7.2014

18:49:05

3 570,042

76

7.7.2014

1:27:30

3 569,800

77

7.7.2014

10:13:21

3 569,448

78

8.7.2014

9:52:41

3 570,002

79

8.7.2014

16:27:50

3 570,021

80

9.7.2014

16:10:40

3 569,972

81

10.7.2014

10:09:34

3 570,238

82

10.7.2014

16:58:23

3 570,062

77

ANOTAČNÍ ZÁZNAM AUTOR

Ing. Markéta Černá

STUDIJNÍ OBOR

6208T088 Podniková ekonomika a management provozu Pokročilejší metody regulace procesu

NÁZEV PRÁCE VEDOUCÍ PRÁCE

doc. Ing. Eva Jarošová, CSc.

KATEDRA

KLRK - Katedra logistiky a řízení kvality

POČET STRAN

72

POČET OBRÁZKŮ

26

POČET TABULEK

6

POČET PŘÍLOH

2

STRUČNÝ POPIS

KLÍČOVÁ SLOVA

ROK ODEVZDÁNÍ

2015

Cílem diplomové práce bylo představit pokročilejší metody statistické regulace procesu CUSUM a EWMA a aplikovat je na výrobní proces ve ŠKODA AUTO a.s. Analyzovány byly dva úseky procesu, kde regulovanou veličinou byla poloha závitového čepu. V prvním úseku byla data ovlivněna autokorelací, proto byla aplikována metoda EWMA a její modifikovaná podoba. Na druhý úsek byly aplikovány Shewhartovy diagramy, metoda EWMA a CUSUM. Citlivost metod byla porovnávána na základě interpretace výsledných regulačních diagramů a průměrné délky přeběhu. Prokázalo se, že metody EWMA a CUSUM jsou při statistické regulaci procesu, ve které se analyzují individuální hodnoty, vhodnější, jelikož jsou schopny detekovat i malý posun procesu.

EWMA CUSUM Statistická regulace procesu Regulační diagramy

PRÁCE OBSAHUJE UTAJENÉ ČÁSTI: Ne

ANNOTATION AUTHOR

Ing. Markéta Černá

FIELD

6208T088 Production Management and Global Business Advanced methods of statistical process control

THESIS TITLE

SUPERVISOR

doc. Ing. Eva Jarošová, CSc.

DEPARTMENT

KLRK - Department of Logistics and Quality Management

NUMBER OF PAGES

72

NUMBER OF PICTURES

26

NUMBER OF TABLES

6

NUMBER OF APPENDICES

2

YEAR

2015

SUMMARY

The aim of this diploma thesis was to introduce advanced methods of statistical process control CUSUM and EWMA and apply them to the production process of ŠKODA AUTO a.s. There were analyzed two sections of the process where the process variable was the location of the threaded stud. In the first section the data were affected by autocorrelation, therefore EWMA method and its modified vision were applied. The second segment was analyzed by Shewhart control charts, EWMA and CUSUM method. The sensitivity of these methods was compared on the basis of the interpretation of the resulting control charts and the average run length. It was proven that the methods EWMA and CUSUM are more suitable in statistical porcess control, in which the individual values are analyzed, since they are capable of detecting even a small process shift.

KEY WORDS

EWMA CUSUM Statistical Process Control Control charts

THESIS INCLUDES UNDISCLOSED PARTS: No