Kockázati folyamatok
Sz¶cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Szeged, 2012. ®szi félév
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
1 / 48
Bevezetés
A kurzus céljai
A kurzus céljai Alapvet® feltevések a biztosítási matematikában: a kárnagyságok függetlenek és általában azonos eloszlásúak; a káresemények száma független a károk nagyságától. Élet és nem-élet biztosítások: id®ben statikus modellek, egy rögzített id®intervallumot vizsgálunk; cél a teljes kizetés valelméleti és statisztikai jellemzése; további cél a biztosítási díj meghatározása (nagy számok törvénye). Kockázati folyamatok: id®ben dinamikus modellek, cash ow szemlélet; f® kérdés: mekkora valószn¶ségel megy valaha cs®dbe a biztosító? további kérdés: mekkora kezd®t®kével induljon a biztosító, hogy ez a valószín¶ség elegend®en kicsi legyen?
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
2 / 48
Bevezetés
A kurzus céljai
A nem-élet biztosítások kurzuson bevezetett modellek: A kizetések
Z, Z , Z 1
2
,... ∼ F
nemnegatív érték¶, független és
azonos eloszlású változók. Adott egy
N
nemnegatív egész érték¶ változó, mely független a
károk nagyságától. A teljes kárigény a keletkezett károk összértéke, tehát a biztosító teljes kizetése:
SN = Z
1
+ · · · + ZN .
Egyedi kockázati modell
N Z
a biztosítottak száma, determinisztikus. az egy biztosítottra jutó kizetés, ami lehet 0 is:
F® szabály: az egy biztosítottra jutó
c
P (Z
= 0) ≥ 0. c ≥ E (Z ).
biztosítási díj legyen
Összetett kockázati modell
N Z
Az
a káresemények száma, nem determinisztikus. a kár nagysága, ami egy pozitív véletlen változó:
SN
P (Z
= 0) = 0.
teljes kárigény független és azonos eloszlású véletlen változók
véletlen tagszámú összege.
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
3 / 48
Bevezetés
A kurzus céljai
Új ötlet: azt is vegyük gyelembe, hogy mikor keletkeznek a károk.
Nt , t ≥ 0,
A kárszámfolyamat egy A kárnagyságok
Z ,Z 1
2
,...
számláló folyamat.
nemnegatív érték¶ független és azonos
eloszlású változók, melyek függetlenek a kárszámfolyamattól. A kárfolyamat vagy kárérték folyamat:
A
[0 , t ]
St =
PNt n=1 Zn ,
t ≥ 0.
id®intervallumra jutó teljes biztosítási díjbevétel
A biztosító kezdeti t®kéje
u ≥ 0.
A rizikófolyamat a biztosító t®kéje a
t
Pt .
id®pontban:
Ut = u + Pt − St .
A f® kérdés annak a valószín¶sége, hogy a biztosító valaha cs®dbe megy. A cs®d valószín¶ségét a kezd®t®ke függvényében fogjuk vizsgálni:
Ψ(u ) = P
létezik
t ≥ 0,
hogy
Ut < 0
,
u ≥ 0.
Mi csak klasszikus rizikófolyamatokat fogunk majd vizsgálni, amikor egy Poisson-folyamat és
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Pt = ct .
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
Nt 4 / 48
Alapozó ismeretek
Összetett eloszlások
Összetett eloszlások
Összetett eloszlás
X
Egy
változó összetett eloszlású, ha el®áll
alakban, ahol és
N
Z ,Z 1
független a
2, . . . ∼ F Z1 , Z2 , . . .
FAE változó,
1
+ · · · + ZN
1
+ · · · + ZN
nemnegatív egész érték¶,
sorozattól.
Megjegyzés: Nem biztos, hogy az
Z
N
D X= SN = Z
X
változó 1 valószín¶séggel el®áll
alakban.
Az összetett Poisson- és összetett az negatív binomiális eloszlás Ha a fenti denícióban
N ∼ Po(λ),
akkor azt mondjuk, hogy az
változó összetett Poisson eloszlást követ. Jele: Ha a fenti denícióban
X
N ∼ NegBin(r , p),
X
∼ Po(λ, F ).
X
akkor azt mondjuk, hogy az
változó összetett negatív binomiális eloszlást követ.
Megjegyzés: Panjer-rekurzió a
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Z
változó eloszlásának meghatározására?
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
5 / 48
Alapozó ismeretek
Összetett eloszlások
Generátorfüggvények Egy tetsz®leges
X
változó
e itX , momentumgenerátló függvénye MX (t ) = E e tX , valószín¶ségi generátorfüggvénye gX (t ) = E t X . karakterisztikus függvénye
Megjegyezések:
t ∈ R; ha X nemnegatív érték¶, akkor 0 ≤ MX (t ) < 1, t ≤ 0; ha X nemnegatív érték¶, akkor 0 ≤ gX (t ) < 1, 0 ≤ t < 1. a generátorfüggvények meghatározzák az X változó eloszlását. tetsz®leges
X
φX (t ) = E
esetén
φX (t ) ∈ C,
Összetett eloszlások karakterisztikus és momentumgeneráló függvénye Ha
X
összetett eloszlást követ, (tehát
φX (t ) = gN φZ (t )
,
t ∈ R,
(A második azonosság azon
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
t
D X= Z
illetve
1
+ · · · + ZN ,)
MX (t ) = gN MZ (t )
pontokban teljesül, ahol
Kockázati folyamatok
akkor
M Z (t )
.
létezik.)
2012. ®szi félév
6 / 48
Alapozó ismeretek
Wald azonosság
X
1
Ha
2
Ha ezen túl
Összetett eloszlások
E (N ), E (Z ) < ∞, E (X ) = E (SN ) = E (N )E (Z ).
összetett eloszlást követ, és
akkor
D (N ), D (Z ) < ∞, akkor D (X ) = D (SN ) = E (N )D (Z ) + D (N )(E (Z )) 2
2
2
2
2
.
A Poisson és az összetett Poisson eloszlás néhány tulajdonsága 1
Ha
2
Ha
N ∼ Po(λ), akkor E (N ) = D (N ) = λ és gN (t ) = e λ(t − ) . X ∼ Po(λ, F ), akkor E (X ) = λE (Z ) és D (X ) = λ D (Z ) + (E (Z )) . 2
2
3
4
X
∼ Po(λ, F )
Ha
X
olyan
1
2
2
pontosan akkor, ha karakterisztikus függvénye
φX (t ) = exp λ(φZ (t ) − 1) ,
t ∈ R.
∼ Po(λ, F ), akkor MX (t ) = exp λ(MZ (t ) − 1) t ∈ R pontban, ahol MZ (t ) létezik.
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
minden
2012. ®szi félév
7 / 48
Alapozó ismeretek
Az összetett Poisson eloszlás tulajdonságai
Az összetett Poisson eloszlás tulajdonságai
Független összetett Poisson eloszlások összege Ha
X
akkor
∼ Po(λ, F ) és Y ∼ Po(µ, G ), X + Y ∼ Po(λ + µ, H ), ahol
továbbá
µ λ H (x ) = λ+µ F (x ) + λ+µ G (x ) ,
Független Poisson eloszlások összege Ha
X
∼ Po(λ)
és
Y
∼ Po(µ)
független, akkor
X
Y
és
független,
x ∈ R. X +Y
∼ Po(λ + µ).
Nemnegatív egész érték¶ változó Bernoulli-felbontása (ritkítása) Legyen
N
nemnegatív egész érték¶ véletlen változó, továbbá legyen
1 , 1 , . . . ∼ Bernoulli(p ) független egymástól és az N változótól. Ekkor az M = 1 + · · · + 1N változót az N változó p valószín¶ség szerinti 1
2
1
ritkításának, az
(M , N − M )
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
párt Bernoulli-felbontásnak nevezzük.
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
8 / 48
Alapozó ismeretek
Az összetett Poisson eloszlás tulajdonságai
Összetett Poisson eloszlás Bernoulli-felbontása (ritkítása) Legyen
Z ,Z 1
2
,... ∼ F,
1 , 1 , . . . ∼ Bernoulli(p ) 1
2
és
N ∼ Po(λ)
független véletlen változó, továbbá legyen
X Az
= Z1 + · · · + ZN ∼ Po(λ, F )
Y
változót az
(Y , X − Y )
párt a
X p
változó
Y
és
p
= Z1 11 + · · · + ZN 1N .
valószín¶ség szerinti ritkításának, az
szerinti Bernoulli-felbontásának nevezzük.
Összetett Poisson eloszlás Bernoulli felbontása (ritkítása) Legyen
Y
Y
az
∼ Po(p λ, F ),
X ∼ Po(λ, F ) változó p X − Y ∼ Po((1 − p)λ, F ),
szerinti ritkítása. Ekkor és
Y
és
X −Y
független.
Poisson eloszlás Bernoulli felbontása
M az N ∼ Po(λ) változó p M ∼ Po(pλ), N − M ∼ Po((1 − p)λ),
Legyen
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
szerinti ritkítása. Ekkor és
Kockázati folyamatok
M
és
N −M
független.
2012. ®szi félév
9 / 48
Alapozó ismeretek
Az összetett Poisson eloszlás tulajdonságai
Összetett Poisson eloszlás érték szerinti ritkítása
Z , Z , Z , . . . ∼ F és N ∼ Po(λ) független véletlen változó. Legyen B ∈ B tetsz®leges Borel halmaz, továbbá legyen A = {Z ∈ B } és p = P (Z ∈ B ). Tekintsük az Legyen
X
1
2
= Z1 + · · · + ZN
Y
és
= Z1 1{Z1 ∈B } + · · · + ZN 1{ZN ∈B }
változókat, és az
FZ ,A (x ) = P Z
≤ x |A ,
FZ ,A¯ (x ) = P Z
¯ ≤ x |A
,
x ∈ R.
feltételes eloszlásfüggvényeket. Ekkor a deniált változókra
Y továbbá
∼ Po
Y
pλ, FZ ,A
és
X −Y
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
és
X −Y
∼ Po (1 − p )λ, FZ ,A¯
,
független.
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
10 / 48
Alapozó ismeretek
Az összetett Poisson folyamat
Az összetett Poisson folyamat Legyen
X ,X 1
2
,... ∼ G
Tn = X + · · · + Xn , n = 0, 1, . . . N = {Nt : t ≥ 0}, Nt = max{n : Tn ≤ t }.
FAE,
Felújítási folyamat:
és
1
Tisztán ugró lépcs®s, monoton n®, mindenhol jobbtól folytonos.
m(t ) = E (Nt ), t ≥ 0. P Az el®z® félévben láttuk: m(t ) = ∞ n= FTn (t ), t ≥ 0. P t Felújítási díjfolyamat: S = {St , t ≥ 0}, St = N n= Zn , ahol Z , Z , . . . ∼ F FAE és független az N folyamattól. Ha X , X , . . . ∼ Exp(λ), akkor N Poisson folyamat λ intenzitással. Ekkor m (t ) = λt , t ≥ 0. Felújítási függvény:
1
1
1
1
2
2
Összetett Poisson folyamat Ha az
N
folyamat Poisson folyamat
λ > 0 intenzitással, akkor S S ∼ Po(λ, F , t ≥ 0).
összetett Poisson folyamat. Jelölésben: Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
11 / 48
Alapozó ismeretek
Az összetett Poisson folyamat
A folyamatok asszimptotikus viselkedése 1
Ha
P (X
= 0) < 1,
lim
t →∞ 2
Ha
P (X lim
Nt t
1
=
St t
=
m.b.,
E (X )
= 0) < 1
t →∞
akkor
és
és
E (Z ) < ∞,
E (Z ) E (X )
m.b.,
lim
t →∞
m (t ) 1 = . t E (X )
akkor
és
lim
t →∞
E (St ) E (Z ) = . t E (X )
Következmények: Ha
E (X ) < ∞, Nt ∼ m(t ) ∼
akkor mindenki asszimptotikusan lineáris:
t , E (X )
St ∼ E (St ) ∼
E (Z )t , E (X )
t → ∞.
A felújítási függvény véges és jobbról folytonos a pozitív félegyenesen.
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
12 / 48
Alapozó ismeretek
Az összetett Poisson folyamat
Az összetett Poisson folyamat tulajdonságai Legyen
N = {Nt , t ≥ 0}
Poisson folyamat
λ
S = {St , t ≥ 0} ∼ Po(λ, F , t ≥ 0),
intenzitással, és legyen
St =
PNt n=1 Zn ,
összetett Poisson folyamat. Ekkor teljesülnek az alábbiak.
1
2
S
független növekmény¶ folyamat, és tetsz®leges
St − Sτ
Ha az
∼ Po(λ(t − τ ), F ).
0
≤τ ≤t
esetén
U = {Ut , t ≥ 0} ∼ Po(µ, G , t ≥ 0) folyamat független az S S + U := {St + Ut , t ≥ 0} összegfolyamatra S + U ∼ Po(λ + µ, H , t ≥ 0),
folyamattól, akkor az
ahol
3
Ha
µ λ H (x ) = λ+µ F (x ) + λ+µ G (x ), M = {Mt , t ≥ 0} Poisson folyamat µ
független az
N
folyamattól, akkor
Poisson folyamat
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
λ+µ
x ∈ R. internzitással, mely
N + M := {Nt + Mt , t ≥ 0}
intenzitással.
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
13 / 48
Alapozó ismeretek
Az összetett Poisson folyamat
Az összetett Poisson folyamat tulajdonságai (folyatatás) 4
(Összetett Poisson folyamat Bernoulli-felbontása) Legyen
1 , 1 , . . . ∼ Bernoulli(p ) 1
FAE és független az
2
S
összetett
Poisson folyamattól, és tekintsük az
U = {Ut , t ≥ 0}, folyamatot. Ekkor
U ∼ Po 5
pλ, F , t ≥ 0
S−U
és
U
és
Ut =
PNt n=1 Zn 1n ,
független egymástól, továbbá
S − U ∼ Po (1 − p )λ, F , t ≥ 0
.
(Poisson folyamat Bernoulli felbontása) Legyen
1 , 1 , . . . ∼ Bernoulli(p ) 1
2
FAE és független az
N
Poisson
folyamattól, és tekintsük az
M = {Mt , t ≥ 0}, folyamatot. Ekkor
pλ
és
(1 − p )λ
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
M
és
N−M
Mt =
PNt n=1 1n ,
független Poisson folyamat rendre
intenzitással.
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
14 / 48
Alapozó ismeretek
Az összetett Poisson folyamat
Az összetett Poisson folyamat tulajdonságai (folyatatás) 6
(Összetett Poisson folyamat érték szerinti felbontása)
S ∼ Po(λ, F , t ≥ 0) összetett Poisson folyamat, és legyen B ∈ B tetsz®leges Borel halmaz. Legyen továbbá A = {Z ∈ B } és p = P (A), és tekintsük az P U = {Ut , t ≥ 0}, Ut = Nn=t Zn 1{Zn ∈B } ,
Legyen
1
folyamatot. Ekkor
U ∼ Po
U
és
pλ, FZ ,A , t ≥ 0
S−U
független egymástól, továbbá
és
S − U ∼ Po (1 − p )λ, FZ ,A¯ , t ≥ 0 ,
és
FZ ,A¯ (x ) = P Z
ahol
FZ ,A (x ) = P Z
≤ x |A
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
¯ ≤ x |A
,
x ∈ R.
2012. ®szi félév
15 / 48
Alapozó ismeretek
Függvények és sorozatok konvolúciója
Függvények és sorozatok konvolúciója
Stieltjes-konvolúció φ(x ),
Legyen
G (x ), x ∈ R,
G
valós érték¶ mérhet® függvény, és legyen
càdlàg (continue à droite, limitée à gauche) és korlátos változású a véges intervallumonkon. A két függvény Stieltjes-konvolúciója
φ ? G (y ) := ami azon függvény
y ∈R
n-edik
Z
∞
−∞
φ(y − x ) dG (x ) ,
G ?n := G ? · · · ? G
Független véletlen változók összege Ha
X
∼G
és
G
pontokban van deniálva, ahol az integrál létezik. A
konvolúció hatványa a
Y
következik, hogy ha
∼ H független változó, akkor X1 , . . . , Xn ∼ G FAE, akkor
szorzat.
X + Y ∼ G ? H . Ebb®l X + · · · + Xn ∼ G ?n . 1
Követlezmény: Eloszlásfüggvények konvolúciója eloszlásfüggvény.
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
16 / 48
Alapozó ismeretek Ha
X
és
Y
Függvények és sorozatok konvolúciója
független és abszolút folytonos változó
X +Y
s¶r¶ségfüggvénnyel, akkor az
g
s¶r¶ségfüggvénye
és
h
Ha
X
és
Y
és
h
Lebesgue-konvolúciója: Z ∞
g ∗ h (y ) :=
g
összeg is abszolút folytonos, és
∞
g (y − x )h(x ) dx .
független egész érték¶ változó, akkor
X +Y
is
egész érték¶. Legyen
pn := P (X
= n) = G (n)− G (n − 1) ,
Ekkor
G ∗ H (n) =
X k ,l ∈Z k +l ≤n
qn := P (Y pl qk ,
= n) ,
n ∈ Z.
n ∈ Z,
amib®l
P X +Y A
p∗q
= n = (p ∗ q )n :=
sorozat a
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
p
és a
X k ,l ∈Z k +l =n
q
pl qk =
∞ X
k =−∞
pn−k qk ,
n ∈ Z.
sorozatok konvolúciója.
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
17 / 48
Alapozó ismeretek
Függvények és sorozatok konvolúciója
A konvolúció tulajdonságai Legyen
φ(x ), ψ(x ),
és tegyük fel, hogy
G (x ), H (x ), x ∈ R, valós érték¶ mérhet® függvény, G és H càdlàg és korlátos változású minden véges
intervallumon.
1
Disztributivitás: Ha valamely pontban a
ψ?H
tetsz®leges
aφ+ bψ 2
φ ? G, ψ ? G, φ ? H
és
konvolúciók mindegyike létezik, akkor ebben a pontban
?
a, b , c , d ∈ R
esetén
cG + dH ) = ac (φ? G )+ bc (ψ ? G )+ ab(φ? H )+ ab(ψ ? H ) .
Kommutativitás és asszociativitás: Ha az
G
és a
H
függvény
el®áll eloszlásfüggvények véges lineáris kombinációjaként, akkor
G ?H =H ?G, Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
(φ ? G ) ? H = φ ? (G ? H ) .
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
18 / 48
Alapozó ismeretek
Függvények és sorozatok konvolúciója
φ(x ) = G (x ) = 0 minden x < 0 esetén, Z φ? G (y ) = φ(y − x ) dG (x ) , y ≥ 0 , [ 0 ,y ]
Ha
akkor
φ? G (y ) = 0 ,
y < 0.
g (x ) = h(x ) = 0, x < 0, és g ∗ h = p ∗ q = 0 a negatív félegyenesen,
S¶r¶ségfüggvényekre és sorozatokra: Ha
pn = qn = 0, n < 0, akkor továbbá y ≥ 0 és n ≥ 0 (g ∗ h)(y ) =
Z [0,y ]
esetén
g (y − x )h(x ) dx ,
(p ∗ q )n =
Fontos: LebesgueStieltjes-integrál esetén általában
R
n X k =0
[0,y ]
6=
pn−k qk . Ry 0
=
R
(0,y ] .
A konvolúció létezése Ha
φ
lokálisan korlátos, (azaz korlátos minden véges intervallumon,) és
G càdlàg és korlátos változású a véges intervallumokon, továbbá minden x < 0 esetén φ(x ) = G (x ) = 0, akkor a φ ? G konvolúció jól deniált
a valós egyenesen, és lokálisan korlátos függvény.
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
19 / 48
Alapozó ismeretek
A felújítási egyenlet
A felújítási egyenlet Legyen
Legyen
X ,X 1
2
,... ∼ G
Tn := X
1
FAE, nemnegatív érték¶,
+ · · · + Xn ∼ G
?n
P (X
= 0) < 1.
Ekkor
n = 1, 2, . . .
,
Nt , t ≥ 0, a kapcsolatos felújítási folyamat. A felújítási függvény: P P∞ ?n m(t ) = E (Nt ) = ∞ t ≥ 0. n= FTn (t ) = n= G (t ) , 1
1
Konvolúcióegyenlet a felújítási függvényre:
m(t ) = G (t ) +
Z
m(t − x ) dG (x ) = G + m ? G (t ) ,
[0,t ]
Felújítási egyenlet Legyen
a(t ), t ≥ 0,
mérhet® függvény.
Az
A(t ), t ≥ 0,
t ≥ 0.
függvényre
vonatkozó felújítási egyenlet:
A(t ) = a(t ) +
Z [0,t ]
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
A(t − x ) dG (x ) = a + A ? G (t ) ,
Kockázati folyamatok
t ≥ 0.
2012. ®szi félév
20 / 48
Alapozó ismeretek
A felújítási egyenlet
A felújítási egyenlet megoldása Ha
a(t ), t ≥ 0,
lokálisan korlátos függvény, akkor
A(t ) := a(t ) +
R
[0,t ]
a(t − x ) dm(x ) = (a + a ? m)(t ) ,
t ≥ 0.
lokálisan korlátos megoldása a felújítási egyenletnek, és ez az egyetlen megoldás a lokálisan korlátos függvények terében.
A felújítási függvény A felújítási függvény esetében az egyenlet
A=G +G ?m =G +G ?
m = G + m ? G,
P∞ P∞ ?k ?k k =1 G = k =1 G = m .
G
A felújítási egyenlet átrendezésével:
= m − G ? m.
A felújítási függvény egyértelm¶sége A felújítási folyamatok esetében a
a = G.
azaz
G
eloszlásfüggvény és az
m
felújítási
függvény kölcsönösen egyértelm¶en meghatározza egymást.
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
21 / 48
Alapozó ismeretek
A felújítási egyenlet
Rácsos eloszlású változók Azt mondjuk, hogy az hogy
X
X
változó rácsos eloszlású, ha létezik
{k δ : k ∈ Z}
egy valószín¶séggel a
legnagyobb ilyen tulajdonságú
δ
δ > 0,
halmazba esik. A
értéket rácsállandónak nevezzük.
Rácsos eloszlású változók Az egész érték¶ változók rácsosak, de az abszolút folytonosak nem.
X ∼ G nemnegatív egész érték¶ változó, és legyen pn := P (X = n) = G (n) − G (n − 1) , rn := m(n) − m(n − 1) .
Legyen
Ekkor
G (n) =
n X k =0
pk , m(n) =
n X k =0
rk ,
n = 0, 1, . . . ,
amib®l a felújítási függvényre vonatkozó felújítási egyenlet szerint
rn = pn +
n X k =0
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
rn−k pk = p + r ∗ p Kockázati folyamatok
n,
n = 0, 1, . . . 2012. ®szi félév
22 / 48
Alapozó ismeretek
A felújítási egyenlet
A diszkrét felújítási egyenlet Legyen
an , n = 0 , 1 , . . . ,
An , n = 0, 1, . . . ,
valós számsorozat. Az
sorozatra vonatkozó diszkrét felújítási egyenlet:
An = a n +
Pn k =0 An−k pk = (a + A ∗ p )n ,
n = 0, 1, . . .
A diszkrét felújítási egyenlet megoldása A diszkrét felújítási egyenletnek létezik egyértelm¶ megoldása, mely
An := an +
Pn k =0 an−k rk = (a + a ∗ r )n ,
n = 0, 1, . . .
Térjünk vissza az általános, nem feltétlenül diszkrét esethez, és legyen
M (t ) =
m(t ) + 1 , t ≥ 0 , 0, t < 0.
Ekkor az általános felújítási egyenlet megoldása
A(t ) = a(t ) +
Z
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
[ 0 ,t ]
a(t − x ) dm(x ) = Kockázati folyamatok
Z [0,t ]
a(t − x ) dM (x ) . 2012. ®szi félév
23 / 48
Alapozó ismeretek
A felújítási tétel Tegyük fel, hogy
1
X
Ha
P (X
A felújítási egyenlet
= 0) < 1.
nem rácsos eloszlású, akkor tetsz®leges
m(t + h) − m(t ) → 2
X
Ha
δ
rácsos eloszlású, és
érvényes minden
h , E (X )
X
esetén
t → ∞.
a rácsállandó, akkor a konvergencia
h = n δ , n ∈ N,
alakban el®álló értékre.
A megoldás asszimptotikus viselkedése Ha az
h>0
változó nem rácsos eloszlású, és
a(x ), x ≥ 0,
el®áll monoton
integrálható függvények véges összegeként, akkor
A( t ) → Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
1
Z
E (X )
∞
a(x ) dx ,
t → ∞.
0
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
24 / 48
Alapozó ismeretek
A felújítási egyenlet
A reziduális id®k várható értéke Legyen Rt := TNt +1 − t a hátralév® a
t≥0
A(t ) = a(t ) + ahol Ha
Z [0,t ]
élettartam, avagy reziduális id®
A(t ) := E (Rt ), t ≥ 0.
id®pontban, és legyen
A(t − x ) dG (x ) ,
Ekkor
t ≥ 0,
a(t ) = (t ,∞) (x − t )dG (x ). E (X ) < ∞, akkor A lokálisan korlátos, amib®l R
A( t ) = a + a ? m ( t ) = a ( t ) +
Továbbá, ha
X
Z [0,t ]
a(t ) dm(t ) ,
t ≥ 0.
nem rácsos eloszlású, akkor
A(t ) = t →∞ lim
A Poisson-folyamat esetén
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
1
Z
E (X )
A(t ) = E (X
∞
a(x ) dx .
0 2
)/2E (X ) = 1/λ,
Kockázati folyamatok
t ≥ 0.
2012. ®szi félév
25 / 48
Alapozó ismeretek
Parciális integrálás
Parciális integrálás
Parciális integrálás
F (x ), G (x ), x ∈ (a, b],
Legyen
monoton és càdlàg függvény. Ha a két
függvénynek nincsen közös szakadási pontja, akkor
Z (a,b ]
G (x ) dF (x ) = F (b)G (b) − F (a)G (a) −
Z ( a ,b ]
F (x ) dG (x ) .
Változók függvényeinek várható értéke
∼F φ : [0, ∞) → R Legyen
Z
nemnegatív érték¶ véletlen változó, továbbá legyen monoton és abszolút folytonos függvény. Ekkor
E φ(Z ) = φ(0) +
∞
Z
φ0 (x )
1
− F (x )] dx ,
0
továbbá ha
E φ(Z ) < ∞,
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
akkor
φ(x )[1 − F (x )] → 0,
Kockázati folyamatok
x → ∞. 2012. ®szi félév
26 / 48
Alapozó ismeretek
Parciális integrálás
Nemnegatív érték¶ változók momentumai 1
Ha
Z
∼F
nemnegatív érték¶ véletlen változó, és
EZ α = α
∞
Z
x α−
1
1
α > 0,
akkor
− F (x ) dx ,
0
x α [1 − F (x )] → 0, x → ∞. A változó momentumgeneráló függvénye az r ∈ R pontban
és ha
2
EZ α < ∞,
akkor
MZ (r ) = E e rZ és ha
MZ (r ) < ∞,
=1+r
Z
∞
e rx
1
− F (x ) dx ,
0
e rx [1 − F (x )] → 0, x → ∞.
akkor
A reziduális id®k várható értéke (folytatás) Z
∞
a(t ) dt =
0
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Z 0
∞Z (t ,∞)
(x − t ) dG (x )dt =
Kockázati folyamatok
EX 2
2
.
2012. ®szi félév
27 / 48
Rizikófolyamatok
Deníciók
Rizikófolyamatok Kárszámfolyamat: Kárnagyságok:
Z ,Z 1
Nt , t ≥ 0,
2
,...
számláló folyamat.
FAE és függetlenek a kárszámfolyamattól.
Kárfolyamat vagy kárérték folyamat:
St =
Nt X n=1
Zn ,
t ≥ 0.
t ] id®intervallumra jutó teljes biztosítási díjbevétel: Pt . A biztosító kezdeti t®kéje: u ≥ 0. A biztosító pénze a t id®pontban: Ut = u + Pt − St . A [0,
Rizikófolyamat és klasszikus rizikófolyamat Az Ha
Ut , t ≥ 0, folyamatot rizikófolyamatnak nevezzük. Nt Poisson folyamat, és Pt = ct , t ≥ 0, akkor klasszikus
rizikófolyamatról beszélünk. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
28 / 48
Rizikófolyamatok
Deníciók
A klasszikus rizikófolyamat el®nye, hogy könnyen kezelhet®: a Poisson-folyamat tulajdonságait már ismerjük; az összetett Poisson-folyamatok családja zárt számos m¶veletre. Hátránya, hogy nem mindig áll összhangban a valósággal: rögzített
t
esetén
E (Nt ) = λt = D (Nt ); 2
a káresemények között exponenciális id®; id®t®l és kárszámtól függetlenül állandó a káresemények intenzitása. Megoldásként alkalmazhatunk más kárszámfolyamatot: felújítási folyamatok: események között nem exponenciális id®; inhomogén Markov-láncok: id®t®l és állapottól függ® intenzitás; Cox-folyamatok: véletlen intenzitás. Mi a biztosításmatematikai kérdésekre csak klasszikus rizikófolyamat esetén válaszolunk, de hasonló módszerekkel általánosabb modellek is kezelhet®ek.
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
29 / 48
Rizikófolyamatok
Deníciók
Klasszikus rizikófolyamat esetén a jelölések:
Z ∼ F , µ = E (Z ) > 0. λ > 0. Az egységnyi id®re jutó díjbevétel: c > 0. A biztosító kezd®t®kéje: u ≥ 0. A károk eloszlása és várható értéke: A Poisson-folyamat intenzitása:
A kurzus f® célja jellemezni a cs®d valószín¶ségét a
u
kezd®t®ke
függvényében, tehát a következ® függvénytfogjuk vizsgálni:
Ψ(u ) = P
létezik
t ≥ 0,
hogy
Ut < 0
,
u ≥ 0.
Annak valószín¶sége, hogy a biztosító sosem megy cs®dbe:
Φ(u ) = 1 − Ψ(u ) = P
Ut ≥ 0
minden
t≥0
esetén ,
u ≥ 0.
A klasszikus rizikófolyamat néhány tulajdonsága
St
Ut
1
Az
2
A
Ψ
és a
3
A
Φ
függvény abszolút folytonos, tehát m.m. deriválható, és
és az
Φ
folyamat független és stacionárius növekmény¶.
függvény monoton és càdlàg.
Φ(u ) = Φ(0) + Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Ru 0
Φ0 (z ) dz ,
Kockázati folyamatok
u ≥ 0. 2012. ®szi félév
30 / 48
Rizikófolyamatok
Deníciók
A cs®dvalószín¶ség asszimptotikus viselkedése 1
Ha
2
Ha
c ≤ λµ, c > λµ,
akkor
Φ(u ) = 0,
u ≥ 0.
Φ(∞) = 1. ε > 0 esetén létezik
akkor
Köv: Tetsz®leges
u > 0,
hogy
A következ® hetek témája: Mekkora a cs®d valószín¶sége
Φ(u ) > 1 − ε.
c > λµ
esetén,
illetve ha cs®dbe megyünk, akkor mennyire súlyos a cs®d?
Részletösszegek asszimptotikus vislekedése Legyen
Y ,Y 1
2
,...
E (Y ) ∈ [−∞, ∞]
független és azonos eloszlású
várható értékkel. Ekkor 1 valószín¶séggel teljesülnek az alábbiak.
1
Ha
2
Ha
3
Ha
E (Y ) > 0, E (Y ) < 0, E (Y ) = 0,
lim sup(
n→∞
Y
1
akkor akkor
Y limn→∞ (Y limn→∞ (
1 1
+ · · · + Yn ) = ∞.
+ · · · + Yn ) = −∞.
akkor
+ · · · + Yn ) = ∞
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
és
Y
lim sup(
Kockázati folyamatok
n→∞
1
+ · · · + Yn ) = −∞ . 2012. ®szi félév
31 / 48
Rizikófolyamatok
A cs®dvalószín¶ségre vonatkozó integrálegyenlet
A cs®dvalószín¶ségre vonatkozó integrálegyenlet El®ször megmutatjuk, hogy a
Φ
függvény kielégít egy integrálegyenletet,
majd ennek segítségével felírunk egy hasonló egyenletet a
A Φ függvényre vonatkozó integrálegyenlet Klasszikus rizikófolyamat esetén a bevezetett
Φ(u ) = Φ(0) +
Z λ u
c
Φ(u − z )
1
Φ(u ),
Ψ
u ≥ 0,
− F (z ) dz ,
függvényre.
függvényre
u ≥ 0.
0
Az integrálegyenlet ekvivalens alakja Klasszikus rizikófolyamat esetén a bevezetett
Φ(u ),
u ≥ 0,
függvény
pontosan akkor elégíti ki a fenti integrálegyenletet, ha a deriváltja
Φ0 (u ) =
λ
c
Φ(u ) −
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
λ
c
Z [0,u ]
Φ(u − z ) dF (z ) ,
Kockázati folyamatok
u ≥ 0. 2012. ®szi félév
32 / 48
Rizikófolyamatok
A cs®dvalószín¶ségre vonatkozó integrálegyenlet
A Φ és a Ψ függvény értéke az u = 0 pontban Klasszikus rizikófolyamatra
c > λµ
Φ(0) = 1 −
esetén
λµ
és
c
Ψ(0) =
λµ
c
.
A cs®d valószín¶sége exponenciális egyedi károk esetén Ha a kárnagyságok exponenciálist eloszlást követnek, akkor
Ψ(u ) = 1 − Φ(u ) =
λµ
c
exp
c − λµ − u µc
,
u ≥ 0.
A cs®dvalószín¶ségre vonatkozó integrálegyenlet Klasszikus rizikófolyamat esetén ha
Ψ(u ) =
λ
c
Z
u
∞
λ 1 − F (z ) dz +
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
c
c > λµ,
Z u
akkor
Ψ(u − z )
1
− F (z ) dz ,
u ≥ 0.
0
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
33 / 48
Rizikófolyamatok
A cs®dvalószín¶ség asszimptotikus viselkedése
A cs®dvalószín¶ség asszimptotikus viselkedése A
Z
kárnagyság momentumgeneráló függvénye és ennek eltoltja:
M (r ) =
Z
e rz dF (z )
h(r ) = M (r ) − 1 .
és
R Megjegyzések: A A
h h
függvény véges a negatív félegyenesen, és
h(0) = 0.
függvény konvex azon a halmazon, ahol véges. Emiatt a
h(r )/r = λ/c
egyenletnek legfeljebb egy pozitív megoldása van. Most
E (Z )
létezik egy
véges, ezért ha az
r ∈R
M
momentumgeneráló függvény
pont valamely környezetében, akkor abban a
pontban deriválható, és
M (r ) = 0
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Z [0,∞)
ze rz dF (z ) = h0 (r ) ,
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
34 / 48
Rizikófolyamatok
A cs®dvalószín¶ség asszimptotikus viselkedése
A CramérLundberg approximációs tétel Tegyük fel, hogy a
c
egyenletnek létezik pozitív
R
függvény véges az
λ
R
=
h (r ) r
e Ru Ψ(u ) = C u→∞ lim
:=
c − λµ , λh0 (R ) − c
tehát a cs®d valószín¶sége asszimptotikusan A tételben deniált
R
h
megoldása, továbbá tegyük fel, hogy a
pont valamely környezetében. Ekkor
Ψ(u ) ∼ Ce −Ru ,
u → ∞.
értéket Lundberg-kitev®nek nevezzük.
Az asszimptotikus viselkedés exponenciális egyedi károk esetén −Ru , u → ∞, ahol Ha Z ∼ Exp(1/µ), akkor Ψ(u ) ∼ Ce
M (r ) =
1
1
− µr
,
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
h (r ) =
µr , 1 − µr
Kockázati folyamatok
R=
1
µ
−
λ
c
,
C
=
2012. ®szi félév
λµ
c
. 35 / 48
Rizikófolyamatok
A cs®dvalószín¶ség kiemelked® egyedi károk esetén
A cs®dvalószín¶ség kiemelked® egyedi károk esetén Pareto-elv (1906): Egyes jelenségeknél a következmények k%-a az okok (100-k)%-ára vezethet® vissza. Például, 80-20 szabály: Egy vállalat bevételének 80%-a a vev®k 20%-ától jön. A földbirtokok 80%-a a népesség 20%-ának kezében van. Ennek oka: Ha
Z
jelöli egy véletlenszer¶en választott ember vagyonát,
akkor
P (Z
= k ) ≈ ck −γ ,
Ekkor nagy valószín¶séggel:
k ∈ Z+ . Z + · · · + Zn ≈ max(Z , . . . , Zn ). 1
1
Hasonló jelenségek, bár nem feltétlenül a 8020 szabállyal: Településméretek: városok a Monarchiában. Nyersanyaglel®helyek nagysága: olajmez®k, gyémántbányák. Természeti katasztrófák által okozott kár: erd®t¶z, földrengés. Bizonyos biztosítástípusoknál az egyedi kár nagysága.
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
36 / 48
Rizikófolyamatok
Pareto-eloszlás Egy nemnegatív érték¶
Z
A cs®dvalószín¶ség kiemelked® egyedi károk esetén
változó Pareto eloszlást követ
α, λ > 0
paraméterekkel, ha eloszlásfüggvénye, illetve s¶r¶ségfüggvénye
F (z ) = 1 −
λ λ+z
α
f (z ) =
,
αλα , (λ + z )α+1
z ≥ 0.
A Pareto eloszlás momentumai és momentumgeneráló függvénye Ha
Z
∼ Pareto(α, λ),
E Zk
akkor
Γ(α − k ) = λk k ! , Γ(α)
k < α,
M (t ) = ∞ , t > 0 .
Következmény: Pareto káreloszlás esetén a CramérLundberg approximáció nem alkalmazható, nincsen Lundberg-kitev®.
A Pareto- és az exponenciális eloszlás Ha
Z
∼ Pareto(α, λ),
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
akkor
ln(1
+ Z /λ) ∼ Exp(α).
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
37 / 48
F (z ), z ∈ R,
Legyen
Rizikófolyamatok
A cs®dvalószín¶ség kiemelked® egyedi károk esetén
Z
tetsz. eloszlásfüggvény,
1
, . . . , Zn ∼ F
FAE, és
Mn = max ≤k ≤n Zn . 1
Vegyük észre, hogy ekkor
P (Z + · · · + Zn > z ) = 1 − F (∗n) (z ), P (Mn > z ) ∼ n[1 − F (z )], z → ∞. 1
Szubexponenciális eloszlásfüggvények Tegyük fel, hogy az
z > 0.
F
eloszlásfüggvényre
z ∈ R,
F (0) = 0,
és
Az eloszlásfüggvény szubexponenciális, ha minden
esetén lim
− F ?n (z ) = n. 1 − F (z )
1
z →∞
Következmény: Subexponenciális eloszlásfüggvény esetén
P Z
1
F (z ) < 1, n ≥ 2 egész
z →∞
mellett
+ · · · + Zn > z = 1 − F ?n (z ) ∼ n[1 − F (z )] ∼ P (Mn > z ),
tehát az összeg eloszlását lényegében a legnagyobb tag határozza meg.
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
38 / 48
Rizikófolyamatok
A cs®dvalószín¶ség kiemelked® egyedi károk esetén
A következ® tétel szerint ugyanez véletlen kárszám esetén is teljesül:
Véletlen tagszámú kárösszegek Legyen Legyen
Z , Z , . . . ∼ F FAE, ahol F szubexponenciális eloszlásfüggvény. N a sorozattól független nemnegatív egész érték¶ változó, és 1
2
tegyük fel, hogy valamely
∞ X
k =0
ε>0
mellett
(1 + ε)k P (N = k ) < ∞ .
Legyen továbbá
S := Z
1
+ · · · + ZN ,
M := max Z
1
, . . . , ZN ) .
Ekkor
P (S > z ) → E (N ) , 1 − F (z ) Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
P (S > z ) → 1, P (M > z ) Kockázati folyamatok
z → ∞. 2012. ®szi félév
39 / 48
Rizikófolyamatok
A cs®dvalószín¶ség kiemelked® egyedi károk esetén
Milyen feltétel van a CramérLindberg-tételben, ami esetleg nem teljesül? Pl: Pareto-eloszlás esetén Ennek oka: Tetsz®leges
MZ (r ) = ∞,
r >0
esetén
r > 0 esetén. rz e [1 − F (z )] → ∞, z → ∞. minden
Nehézfarkú eloszlásfüggvények Legyen
F
egy nemnegatív érték¶ változó eloszlásfüggvénye. Ekkor az
eloszlásfüggvény nehézfarkú, ha tetsz®leges
e
rz
1
− F (z ) → ∞,
r >0
esetén
z → ∞.
Feltételek a szubexponenciális tulajdonságra
F
1
Ha
2
Ha az
nehézfarkú eloszlásfüggvény, akkor szubexponenciális.
F
eloszlásfüggvényre
lim
z →∞ akkor
F
− F ?2 (z ) = 2, 1 − F (z )
1
szubexponenciális.
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
40 / 48
Rizikófolyamatok
A cs®dvalószín¶ség kiemelked® egyedi károk esetén
Szubexponenciális eloszlásfüggvények Legyen
N
k = 0, 1, . . . , Legyen
ε > 0 esetén P∞ gN (1 + ε) = k =0 pk (1 + ε)k < ∞.
és tegyük fel, hogy valamely
G (z ), z ∈ R,
Ha
G
G (0) = 0,
eloszlásfüggvény, melyre
H (z ) = 1
P∞ ?k k =0 pk G (z ),
z ∈ R.
− H (z ) = E (N ) . z →∞ 1 − G (z ) Ha
és legyen
szubexponenciális eloszlásfüggvény, akkor
lim
2
pk = P (N = k ),
nemnegatív egész érték¶ változó, legyen
(∗)
teljesül, és
1
pk > 0
valamely
k ≥2
(∗) esetén, akkor
G
szubexponenciális.
3
Ha
G
akkor
szubexponenciális, és valamely
H
k ≥1
esetén
pk > 0,
is szubexponenciális eloszlásfüggvény.
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
41 / 48
Rizikófolyamatok
A cs®dvalószín¶ség kiemelked® egyedi károk esetén
A cs®dvalószín¶ség asszimptotikus viselkedése
F (z ), z ∈ R, a kárnagyságok közös eloszlásfüggvénye, tegyük fel, hogy λµ < c , és legyen Legyen
F (x ) = 0
1
µ
Z x
1
− F (z )
dz ,
x ≥ 0.
0
Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
1
F
2
A
0
szubexponenciális eloszlásfüggvény.
Ψ(u ),
u ≥ 0,
cs®dvalószín¶ségre
Ψ(u ) = C2 = u→∞ 1 − F0 (u ) lim
Speciálisan, ha
F
0
c
λµ . − λµ
nehézfarkú, akkor testz®leges
e ru Ψ(u ) ∼ C2 e ru 1 − F0 (u ) → ∞,
r > 0 esetén u → ∞.
Ekkor a cs®dvalószín¶ség exponenciálisnál lassabban cseng le, tehát a CramérLundberg approximáció nem alkalmazható.
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
42 / 48
Rizikófolyamatok
A cs®dvalószín¶ség kiemelked® egyedi károk esetén
A cs®dvalószín¶ség Pareto káreloszlás esetén Ha a kárnagyságok
Pareto(α, λ
λ0 , µ= α−1
eloszlást követnek, akkor
F (x ) = 1 −
0
amib®l
Ψ(u ) ∼
0)
c
λ0 λ0 + x
α−1 ,
α−1 λµ λ0 , − λµ λ0 + u
x ≥ 0,
u → ∞.
A szubexponenciális tulajdonság ellen®rzése Tekintsük az el®z® tételben bevezetett jelöléseket. Ha az alábbi feltételek közül valamelyik teljesül, akkor Az
F F
0
szubexponenciális eloszlásfüggvény.
eloszlásfüggvényre
Az
F
lim supx →∞ 1
− F (x ) 1 − F (2x ) < ∞.
eloszlásfüggvénynek létezik
f x
f
lim supx →∞ ( ) 1− Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok
s¶r¶ségfüggvénye, és
F (x )
< ∞. 2012. ®szi félév
43 / 48
Rizikófolyamatok
A Lundberg-kitev® becslése
A Lundberg-kitev® becslése Probléma: A gyakorlatban a kárszámfolyamat intenzitását és a káreloszlás momentumgeneráló függvényét nem ismerjük. Kérdések: Hogyan lehet a Lundberg-kitev®t megbecsülni? Milyen statisztikai tulajdonságai vannak a becslésnek? A becsült kitev® segítségével hogyan becsülhet® a cs®d valószín¶sége? Rögzített
T
>0
mellett legyen
g (r ) = h(r ) −
=
a [0,
λ 1
GT (r ) = AT
cr
NT
= M (r ) − 1 −
NT X k =1
e rZk − 1 −
cr
=E
λ
cr
NT /T
,
e rZ
−1−
cr
r ∈ R,
T ] intervallumon van pozitív kárnagyság
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
,
λ
.
2012. ®szi félév
44 / 48
Rizikófolyamatok
A Lundberg-kitev® becslése
Megjegyzések: Az
R
g (r ) = 0
Lundberg-kitev® a
egyenlet egyetlen pozitív gyöke.
A nagy számok törvénye szerint
P GT
jól deniált
= P (NT > 0) → 1 ,
T
→ ∞.
GT pontonként er®sen konzisztens becslése a g függvénynek, tehát GT (r ) → g (r ) m.b. azon r ∈ R pontokban, ahol g létezik. GT0 pontonként er®sen konzisztens becslése a g 0 deriváltnak. Ha P (Z = 0) < 1, akkor P (AT ) → 1. Ha
AT A
GT függvény konvex. GT (r ) = 0 egyenlet gyökei:
R
Lundberg-kitev®t az
A
Az
bekövetkezik egy rögzített
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
RT
T
>0
a
0
mellett, akkor
és egy
RT
>0
érték.
értékkel fogjuk becsülni.
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
45 / 48
Rizikófolyamatok
A Lundberg-kitev® becslése
A Lundberg-kitev® becslése Tegyük fel, hogy
c > λµ, P (Z
= 0) < 1,
és
g (R ) = 0
R>0
egy
értékre.
1
M (r )
Ha
P
véges az
GT (r ) = 0
a
amint
T
→ ∞.
R
valamely környezetében, akkor
egyenletnek létezik egyértelm¶ pozitív gyöke
RT .
Legyen ez a gyök
Ekkor
RT
→ 1,
R
az
Lundberg-kitev® er®sen konzisztens becslése, tehát
RT 2
Ha
M (2R ) < ∞, √
→R,
T RT − R
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
T
akkor
T →∞
−→ N D
→ ∞,
0, σ
2
m.b.
mellett
,
Kockázati folyamatok
σ2 =
g (2R ) λ[g 0 (R )]
2
.
2012. ®szi félév
46 / 48
Rizikófolyamatok
A Lundberg-kitev® becslése
Kondencia intervallum a Lundberg kitev®re Rögzített
α ∈ (0, 1)
xα ∈ R
mellett legyen
P N (0, 1) ≤ xα
azaz érték, melyre
= 1 − α/2.
Ha teljesülnek az el®z® tétel feltételei, akkor
√ i
√
RT − σxα / T , RT + σxα / T
h egy asszimptotikusan
1
−α
megbízhatóságú kondencia intervallum a
Lundberg kitev®re, tehát
P
σx σx RT − √ α ≤ R ≤ RT + √ α
A gyakorlatban a
T
σ2
T
→ 1 − α,
T
→ ∞.
ismeretlen, de van er®sen konzisztens becslése:
GT (2RT ) σT2 = . (NT /T )[GT0 (RT )]2 Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
Kockázati folyamatok
2012. ®szi félév
47 / 48
Rizikófolyamatok Legyen
A Lundberg-kitev® becslése
cT − ST −RT u e , NT GT0 (RT )
ΨT (u ) =
u ≥ 0.
A cs®dvalószín¶ség becslése Tfh
1
c > λµ, P (Z = 0) < 1, és g (R ) = 0 valamely R > 0 értékre. Ha M (r ) véges az R Lundberg-kitev® valamely környezetében, akkor a ΨT (u ) függvény pontonként er®sen konzisztens becslése a Ψ(u ) cs®dvalószín¶ségnek, azaz tetsz®leges u ≥ 0 esetén ΨT (u ) → Ψ(u )
2
Ha
M (2R ) < ∞, u→∞
akkor
ln
→ ∞.
olyan, hogy
√ u / T → u˜ ∈ R ,
és
ΨT (u ) Ψ(u )
Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)
u = u (T )
és
T
m.b.,
−→ N D
u
0, (˜ σ)
Kockázati folyamatok
2
,
T T
→ ∞,
→ ∞. 2012. ®szi félév
48 / 48