Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Pénzügyi matematika

Sz¶cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

2016. ®szi félév

Bevezetés

Értékpapírpiacok

Értékpapírpiacok A

t®zsde (piac, market) egy olyan intézmény, melyen a résztvev®k különféle

eszközökkel (értékpapírral, devizával, áruval, energiával, stb.) kereskednek. Mi az értékt®zsdével, tehát a devizák és értékpapírok piacával foglalkozunk. Törvényileg el®rt szabályok: minden résztvev® ugyanazokhoz az információkhoz juthat hozzá (tiltott a

bennfentes kereskedés);

minden pénzügyi eszköz esetén engedélyezett a (

fedezetlen eladás).

short selling

Modellfeltevések, melyek a valóságban nem teljesülnek: minden pénzügyi eszköz (deviza és értékpapír) korlátlanul osztható és likvid (bármikor eladható és megvásárolható); nincsenek tranzakciós költségek, megbízási jutalékok; a banki betét- és hitelkamatok egyenl®ek; nincs korlátozás a bankkölcsön és az értékpapírvásárlás volumenére. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

2 / 85

Bevezetés

Értékpapírpiacok

A matematikai modellekben

[0 , T ]

mindig egy rögzített és determinisztikus vizsgálunk, a

T >0

értéket

id®intervallumot

lejárati id®pontnak

nevezzük;

a cél bizonyos termékek piaci árának modellezése; további cél egy optimális kereskedési stratégia kidolgozása. Modellek típusai: diszkrét idej¶ modellek: csak bizonyos

0

= t0 < t1 < · · · < tN = T

kereskedési id®pontokban

vásárolhatunk vagy adhatunk el eszközt;

folytonos idej¶ modellek: a

[0, T ]

intervallumon bármely id®pontban

kereskedhetünk, ezért az árakat folytonos id®ben modellezzük. A piaci szerepl®k a tranzakciós költségek miatt csak véges sok id®pontban kereskednek, akkor is, ha folytonos idej¶ modelleket alkalmaznak.

Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

3 / 85

Bevezetés

Értékpapírpiacok

Részvény (Stock) Olyan eszköz, melynek nincs rögzített hozama. A piaci ára egy id®pontban egy

St

véletlen változó, melynek értéke a

t

t ∈ [0, T ]

id®pont el®tt

(általában) nem ismert.

Kötvény (Bond) Olyan eszköz, melynek el®re bejelentett kamata van, tehát kockázatmentes. Értéke egy

t ∈ [0, T ]

id®pontban

tk

mely a

t

id®pont el®tt is ismert.

= t0 < t1 < · · · < tN = T ) id®pontban Stk , mely csak a tk id®pontban

Például diszkrét idej¶ piacokon: a részvény ára a

Bt , (0

válik ismerté; a kötvény ára ugyanebben az id®pontban

tk−1

Btk ,

melyet legkés®bb a

id®pontban kihirdetnek.

A matematikai modellekben egy vagy több részvénnyel, de csak egy kötvénnyel dolgozunk. Ha a piacon több kötvény is létezik, akkor mi azt választjuk, amelyik a legmagasabb hozamot biztosítja. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

4 / 85

Bevezetés

Származtatott értékpapírok

Származtatott értékpapírok A t®zsdén nem csak azonnali (spot) vétel és eladás történik, hanem a jöv®re vonatkozó szerz®déseket is kötnek. Ezek közül mi kett®vel foglalkozunk.

Határid®s ügylet Határid®s ügyletnek

nevezünk egy olyan megállapodást, melyben két fél

megállapodik, hogy egy adott jöv®beli id®pontban az egyik fél elad egy adott terméket a másik félnek a szerz®désben meghatározott áron. A határid®s ügyletek két fontosabb típusa:

Future:

T®zsdei termék, mely sok szempontból (min®ség, mennyiség,

lejárati id®) standardizált.

Forward:

Olyan megállapodás, mely eltérhet a t®zsdei standardoktól.

Opció (Option) Opciónak nevezünk

egy olyan szerz®dést, melyben az egyik fél vételi vagy

eladási kötelezettséget vállal bizonyos piaci termékre a másik féllel szemben. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

5 / 85

Bevezetés


A határid®s és az opciós szerz®déseket tovább lehet adni a piacon, gyakorlatilag értékpapírnak tekinthet®ek. A standardizált ügyleteknek (például Futures) van spot árfolyama, úgy lehet velük kereskedni, mint bármelyik részvénnyel. A kevésbé standardizált eszközökkel (például a Forward szerz®désekkel) az OTC (over-the-counter) piacon kereskednek.

Származtatott értékpapírok, derivatívák (Derivatives) A származtatott értékpapírok olyan pénzügyi eszközök,

melyek értéke

más eszközök értékét®l függ. Milyen célból köt valaki határid®s vagy opciós szerz®dést? Spekuláció: pénzt akar keresni. Kockázatcsökkentés: árkockázat (árfolyamkockázat, alapanyagárak ingadozása, stb.) és ellátási biztonság. A célok függvényében az opció tulajdonosa (a kedvezményezett) nem mindig érvényesíti a vételi vagy eladási jogát, gyakran az eladó az aktuális piaci árak alapján készpénzzel is válthatja a kötelezettségét. (Ezt a lehet®séget természetesen rögzíteni kell a szerz®désben.) Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

6 / 85

Bevezetés


Határid®s ügylet kizetési függvénye A határid®s ügylet kizetési függvénye

azt mutatja meg, hogy a

szerz®dés teljesítésekor az egyes felek mekkora hasznot realizálnak. A kizetési függvény paraméterei: a

lejárati id®pont,

T > 0;

amikor a szerz®dést teljesítik:

az eszköz ára el®re rögzített, ez a az eszköz piaci ára a lejáratkor:

kötési ár: K ; ST .

A vev® illetve az eladó kizetési függvénye:

K

ST

f (ST ) = ST − K Sz¶cs Gábor (SZTE)


K

ST

f (ST ) = K − ST 2016. ®szi félév

7 / 85

Bevezetés


Az opciók közös jelemz®i:

eladójának, kibocsájtójának nevezzük, és azt mondjuk, hogy rövid (short) pozícióban van; a másik felet vev®nek hívjuk, aki hosszú (long) pozícióban van; a kötelezettséget vállaló felet az opció

az opció mindig egy rögzített és véges vonatkozik,

T

a szerz®dés

[0 , T ]

id®intervallumra

lejárati id®pontja;

a kötelezettség általában csak akkor lép életbe, ha bizonyos piaci feltételek teljesülnek, az opció érvényesítését

lehívásnak

nevezzük;

a vev® a szerz®dés megkötésekor a kötelezettségvállalásért cserébe díjat zet az eladónak, ez az opció

ára.

Opció kizetési függvénye A kizetési függvény azt mutatja meg, hogy az opció tulajdonosa mekkora pénzösszeget realizál, ha optimálisan használja fel a jogosultságát. A kizetési függvény ezen deníciója a határid®s szerz®désekre is alkalmazható, ugyanis ott csak egyféleképpen lehet felhasználni a szerz®dést, így ez egyben optimális is. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

8 / 85

Bevezetés


Európai vételi (call) opció Vételi jog (de nem kötelesség) egy adott eszközre. Az eladó vállalja, hogy a

T

lejárati id®pontban a szerz®désben rögzített

K kötési áron (strike)

elad egy darab eszközt az opció aktuális tulajdonosának, ha az ezt akarja. Az európai vételi opció jellemz®i: a továbbiakban

C

jelöli az európai call opció piaci árát;

f (ST ) = (ST − K )+ ; + a vev® nyeresége: f (ST ) − C = (ST − K ) − C ; + az eladó nyeresége: C − f (ST ) = C − (ST − K ) . kizetési függvény:

C K


ST

−C

K


ST

K

ST

2016. ®szi félév

9 / 85

Bevezetés


Európai eladási (put) opció Eladási jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre. Az eladó vállalja, hogy a

T

lejárati id®pontban a szerz®désben rögzített

K

áron megvesz

egy darab részvényt az opció aktuális tulajdonosától, ha az ezt akarja. Az európai eladási opció jellemz®i: a továbbiakban

P

jelöli az európai put opció piaci árát;

f (ST ) = (K − ST )+ ; + a vev® nyeresége: f (ST ) − P = (K − ST ) − P ; + az eladó nyeresége: P − f (ST ) = P − (K − ST ) . kizetési függvény:

P K


ST

−P

K


ST

K

2016. ®szi félév

ST

10 / 85

Bevezetés

Kombinált opciók Kombinált opciónak


nevezzük azt, amikor az opciós szerz®dés több

ugyanazon értékpapírra vonatkozó opciót egyesít. Példák:

Bull spread: (K , T ) 1

eladása, ahol

vételi opció vétele +

(K2 , T )

vételi opció

K1 < K2 ;

Bear spread: (K , T ) 1


K1 > K2 ; Calendar spread: (K , T1 )

(K2 , T )

vételi opció

eladása, ahol


(K , T2 )

vételi

opció eladása;

Straddle (terpeszállás): (K , T )


(K , T )

eladási opció vétele;

Buttery spread: (K , T ) 1

opció vétele + 2 db


((K1 + K2 )/2, T )

(K2 , T )

vételi

vételi opció eladása.

A kombinált opciók kizetési függvénye az elemeik kizetési függvényeinek az összege. Feladat: Írjuk fel a fenti kombinált opciók kizetési függvényeit. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

11 / 85

Bevezetés


Példa olyan opcióra, melynek kizetési függvénye nem csak az értékpapír lejáratkori árától függ:

Look-back vételi opció T

Vételi jog (de nem kötelesség) egy adott eszközre a szerz®désben adott

St áron. f St , t ∈ [0, T ] = ST −

id®pontban

min0≤t≤T

Kizetési függvénye: min

≤t≤T

0

St =

max

≤t≤T

0

(ST − St ) ≥ 0 .

Példa olyan opcióra, mely a lejárat el®tt is lehívható:

Amerikai vételi opció Vételi jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre adott melyet a vev® a

τ

T

K

kötési áron,

id®pontig bármikor lehívhat. A lehívás id®pontja egy

véletlen változó (megállási id®), a kizetési függvény

f = (Sτ − K )+ .

Feladat: Deniáljuk a look-back eladási és az amerikai eladási opciót, és írjuk fel a kizetési függvényüket. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

12 / 85

Bevezetés


A félév f® kérdése: Hogyan árazzunk egy derivatívát, tehát mennyiért adjuk el vagy vásároljuk meg, hogy megérje nekünk? Van a derivatíváknak igazságos ára? Szerencsejátékoknál és biztosításmatematikában a nagy számok törvénye miatt az igazságos ár a várható kizetés, tehát a kizetés várható értéke. Ez most nem jó ötlet, a nagy számok törvénye nem alkalmazható, ugyanis egy-egy opciót csak egyszer kötünk meg, és az egyes opciók nem is függetlenek. De akkor most mit csináljunk? Egy észrevétel: a szerz®désben vállalt kötelezettség teljesítéséhez elég, ha az opció eladója a lejáratkor rendelkezik akkora pénzösszeggel, amekkora a kizetési függvény értéke. Válasz az árazási kérdésre: határozzuk meg, hogy a 0 id®pontban minimálisan mennyi pénzre van szükségünk ahhoz, hogy a lejáratkor a rendelkezésünkre álljon a fenti összeg. Put-call paritás: az európai (és egyes más) opciók esetében elég a vételi opciót árazni, ebb®l az eladási opció ára meghatározható. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

13 / 85

Bevezetés

Opciórazás egylépéses bináris piacon

Opciórazás egylépéses bináris piacon Kereskedési id®pontok: A részvény ára: A kötvény ára:

S0 B0

0

= t0 < t1 = 1. S1

(véletlen).

ahol

r > −1.

(determinisztikus) és és

B1 = (1 + r )B0 ,

Adott egy opció, a kizetési függvénye a részvény árától függ: Az eseménytér: Valószín¶ségek:

F = f (S1 ).

{ω ↑ , ω ↓ }.

Ω= P({ω ↑ }) = p ,

A részvény és a kizetési

P({ω ↓ }) = 1 − p , ↑ ↓ függvény értéke: (s ≥ s )

s ↑ := S1 (ω ↑ ), f ↑ := F (ω ↑ ) = f (s ↑ ), s ↓ := S1 (ω ↓ ), f ↓ := F (ω ↓ ) = f (s ↓ ).

↑

0

< p < 1;

ω

S1 = s ↑ , F = f ↑

ω↓

S1 = s ↓ , F = f ↓

S0

Feladat: Árazzuk az opciót, tehát adjunk meg egy olyan

x0

mellyel gazdálkodva az opció eladója a lejáratkor át tud adni

értéket,

F = f (S1 )

összeget az opció tulajdonosának. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

14 / 85

Bevezetés


A továbbiakban fel fogjuk tenni, hogy ez a feltétel nem teljesül, akkor

s ↓ < (1 + r )S0 < s ↑ ,

arbitrázsra,

ugyanis ha

kockázatmentes nyereségre

lenne lehet®ség, amit a piac korrigálna: Ha

(1 + r )S0 ≤ s ↓

teljesülne, akkor adjunk el

B0 darab (−S0 )B0 + B0 S0 = 0, míg

S0

darab kötvényt

(hitelfelvétel), és vásároljunk

részvényt. Ennek értéke a 0

id®pontban

az 1 id®pontban:

(−S0 )B1 + B0 S1 ≥ −S0 (1 + r )B0 + B0 s ↓ ≥ 0

m.b.

Mivel ezt a piac minden szerepl®je észrevenné, mindenki részvényt akarna venni, vagyis a részvény kiindulási Ha

(1 + r )S0 ≥

s ↑,

S0

ára megemelkedne.

B0 darab részvényt (short S0 darab kötvényt. Ennek értéke a 0 S0 B0 + (−B0 )S0 = 0, míg az 1 id®pontban: akkor adjunk el

selling), és vásároljunk id®pontban

S0 B1 + (−B0 )S1 ≥ S0 (1 + r )B0 − B0 s ↑ ≥ 0

m.b.

Emiatt mindenki próbálna megszabadulni a részvényeit®l, hogy a pénzét kötvénybe fektesse, vagyis a részvény Sz¶cs Gábor (SZTE)


S0

ára leesne. 2016. ®szi félév

15 / 85

Bevezetés


Portfólió A birtokunkban lév® részvények és kötvények együttesét portfóliónak

t ∈ [0, T ] id®pontban a kötvények és a részvények γt , portfóliót pedig πt = (βt , γt ) jelöli. A portfólió értékfolyamatnak nevezzük: Xt = βt Bt + γt St , 0 ≤ t ≤ T .

nevezzük. Egy adott számát értékét

βt

illetve

A portfólióban a kötvények és a részvények száma lehet negatív is. A negatív

βt

hitelfelvételt, a negatív

γt

fedezetlen eladást jelent.

Fedezet, replikáló portfólió Azt mondjuk, hogy egy

π

tökéletesen fedezi

fedezet egy F kizetési függvény¶ XT ≥ F m.b. A portfólió replikálja avagy ha XT = F m.b.

portfólió

opcióra, ha a lejáratkori értéke az opciót,

Feladat: Adjuk meg azt a minimális

x0

értéket, melyb®l kiindulva

összeállíthatunk egy replikáló portfóliót. Tehát adjuk egy

π1 = (β1 , γ1 )

portfóliót úgy, hogy

β1 B0 + γ1 S0 = x0 Sz¶cs Gábor (SZTE)

és

β1 B1 + γ1 S1 = F


m.b. 2016. ®szi félév

16 / 85

Bevezetés

Az így kapott

x0

más opcióár esetén

érték valóban igazságos ár az opcióra, ugyanis bármely

arbitrázsra, kockázatmentes nyereségre van lehet®ség:

Ha az opció piaci ára majd

x0


C > x0 ,

akkor adjuk el az opciót

összegb®l állítsuk össze a

π1

C

áron,

replikáló portfóliót. A

portfóliónk értéke az opció lejártakor egyenl® lesz a kizetési függvénnyel, ilyen módon ki tudjuk zetni az opció tulajdonosát. Ez azt jelenti, hogy kockázatmentesen kerestünk Ha az opció piaci ára

C < x0 ,

akkor adjuk el

C − x0 β1

részvényt (short selling). A befolyó összeg pontosan

összeget.

kötvényt és

x0 ,

melyb®l

γ1 C

áron vegyük meg az opciót a piacon. Az általunk fedezettlenül eladott kötvényeket és részvényeket a lejáratkor vissza kell ugyan vásárolnunk, de a birtokunkban lév® opció éppen fedezi azt az összeget, ami szükséges. Az

x0 − C

különbözet pedig kockázatmentes nyereség.

A piacon természetesen megjelenhet arbitrázslehet®ség, de ezt a piaci mechanizmusok gyorsan megszüntetik. Éppen ezért rövid id® után beáll az

x0 = C

egyenl®ség.



2016. ®szi félév

17 / 85

Bevezetés

π1 = (β1 , γ1 )

Egy


replikáló portfólióra

β1 (1 + r )B0 + γ1 s ↓ = f ↓

és

β1 B1 + γ1 S1 = F

m.b., ezért

β1 (1 + r )B0 + γ1 s ↑ = f ↑ .

Ennek az egyenletrendszernek létezik egyértelm¶ megoldása:

γ1 =

f↑−f↓ , s↑ − s↓

β1 =

f ↑ − γ1 s ↑ s ↑f ↓ − s ↓f ↑ = ↑ . (1 + r )B0 (s − s ↓ )(1 + r )B0

A portfólió értéke a 0 id®pontban, tehát az opció arbitrázsmentes ára:

(1 + r )S0 − s ↓ f ↑ + s ↑ − (1 + r )S0 f ↓ X0 = β1 B0 + γ1 S0 = 1+r s↑ − s↓ 1 ∗ ↑ 1 1 = p f + (1 − p ∗ )f ↓ = E ∗ (F ) = E ∗ (X1 ) , 1+r 1+r 1+r 1

ahol

E∗

a

P∗

valószín¶ségi mérték szerinti várható érték, és

P ∗ (F = f ↑ ) = P ∗ ({ω ↑ }) := p ∗ := Most

s ↓ < (1 + r )S0 < s ↑ ,


ezért

0

(1 + r )S0 − s ↓ . s↑ − s↓

< p∗ < 1


tényleg valószín¶ség. 2016. ®szi félév

18 / 85

Bevezetés


Példa: Európai call opció K = 1 kötési árral: r = 0, S0 = B0 = 1, s ↑ = 2, s ↓ = 0,5, f ↑ = 1, f ↓ = 0. A formulák alkalmazásával:

β1 = −1/3

A portfólió értéke a 0 id®pontban:

és

γ1 = 2/3.

X0 = β1 B0 + γ1 S0 = 1/3.

A mesterségesen bevezetett valószín¶ség:

p ∗ = 1/3,

amivel

E ∗ (X1 ) = E ∗ (F ) = p ∗ f ↑ + (1 − p ∗ )f ↓ = 1/3 = (1 + r )X0 .

Diszkontált értékfolyamat A

Vt = Xt /Bt ,

0

≤ t ≤ T,

folyamatot

diszkontált értékfolyamatnak

nevezzük. A korábbiak miatt:

E ∗ (V1 ) =


E ∗ (X1 ) X0 = = V0 . (1 + r )B0 B0 Pénzügyi matematika

2016. ®szi félév

19 / 85

Bevezetés

Opciórazás kétlépéses bináris piacon


t0 = 0, t1 = 1, t2 = 2. A kötvény ára: B1 = B0 (1 + r1 ) és B2 = B1 (1 + r2 ), ahol B0 és r1 ↑ és r ↓ . determinisztikus, r2 lehetséges értéke r A részvény ára S0 , S1 , S2 , ahol S0 determinisztikus, S1 lehetséges ↑ ↓ ↑↑ ↑↓ ↓↑ ↓↓ értékei s , s , továbbá S2 lehetséges értékei s , s , s , s . ↑↑ , f ↑↓ , f ↓↑ , f ↓↓ . Az F = f (S0 , S1 , S2 ) kizetési függvény értékei f Kereskedési id®pontok:

B1 , S1 = s ↑ B0 , S0 B1 , S1 = s ↓

B2 = B1 (1 + r ↑ ), S2 = s ↑↑ , F = f ↑↑ B2 = B1 (1 + r ↑ ), S2 = s ↑↓ , F = f ↑↓ B2 = B1 (1 + r ↓ ), S2 = s ↓↑ , F = f ↓↑ B2 = B1 (1 + r ↓ ), S2 = s ↓↓ , F = f ↓↓



2016. ®szi félév

20 / 85

Bevezetés


Feladat: Határozzuk meg az opció igazságos árát, és adjunk meg egy replikáló stratégiát. Megoldás: Visszavezetjük a problémát három egylépéses piacra: Meghatározzuk, hogy az 1 id®pontban mekkora t®kével kell rendelkeznünk ahhoz, hogy a 2 id®pontban legyen egy replikáló portfóliónk. Jelölje

F1

ezt a t®két, melynek lehetséges értékei

( f ↑ , S1 = s ↑ , F1 = f ↓ , S1 = s ↓ . Kiszámoljuk, hogy a 0 id®pontban mekkora rendelkeznünk ahhoz, hogy az 1-ben legyen

F0 F1

t®kével kell pénzünk.

Mindeközben az egylépéses piacok portfóliói stratégiát is adnak. Mindehhez fel kell tennünk, hogy mindhárom piac arbitrázsmentes, tehát

s ↓ < (1+r1 )S0 < s ↑ ,

s ↑↓ < (1+r ↑ )s ↑ < s ↑↑ ,

s ↓↓ < (1+r ↓ )s ↓ < s ↓↑ .

Kérdés: Milyen kereskedési stratégiát lenne érdemes folytatni akkor, ha a három közül valamelyik piac nem lenne arbitrázsmentes? Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

21 / 85

Diszkrét idej¶ piacok

Martingálok diszkrét id®ben

Martingálok diszkrét id®ben A továbbiakban egy

(Ω, F, P)

valószín¶ségi mez®n dolgozunk, minden

N ∈ {1, 2, . . . , ∞}

véletlen változó ezen van értelmezve. Az

Sztochasztikus folyamat, sz¶rés Diszkrét idej¶ sztochasztikus folyamat: Az

Változóknak egy véges

X = {X0 , . . . , XN } = (Xn )N n=0 .

vagy végtelen sorozata. Jelölésben:

Trajektória:

érték rögzített.

X0 (ω), . . . , XN (ω)

értékek sorozata adott

ω∈Ω

kimenetel mellett.

Sz¶rés, ltráció:

Az

sorozata. Jelölésben:

F σ -algebra F = (Fn )N n=0 ,

Generált sz¶rés: F = Filtrált valószín¶ségi mez®:

(Fn )N n=0 ,

sz¶réssel. Jelölésben: Diszkrét idej¶ piacokon az

rész-σ -algebráinak egy b®vül® ahol

ahol

F0 ⊆ · · · ⊆ FN ⊆ F .

Fn = σ(X0 , . . . , Xn ).

Egy valószín¶ségi mez® ellátva egy

(Ω, F, P, F). Fn σ -algebra

az

n

id®pontban rendelkezésre

álló információt jelenti, ami az id® el®rehaladtával b®vül. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

22 / 85



Példa: generált sz¶rés Legyen 1

Az

Fn = σ(X0 , . . . , Xn ). n

Ekkor az alábbiak ekvivalensek.

id®pontban tudjuk, hogy az

Fn σ -algebrában

található

események közül melyek következik be, és melyek nem.

n

X0 , . . . , Xn

2

Az

3

Ismerjük minden olyan véletlen változó értékét, mely mérhet®

id®pontban ismerjük az

függvénye az

X0 , . . . , Xn

változók értékét.

változóknak.

Adaptált és el®rejelezhet® folyamatok Tekintsünk egy

X = (Xn )N n=0

X folyamat adaptált az F ≤ n ≤ N esetén Xn mérhet®

Az 0

folyamatot és egy

Jelentése: Az

Xn

F = (Fn )N n=0

sz¶rést.

sz¶réshez, ha tetsz®leges az

Fn σ -algebrára

változó értéke ismert az

n

nézve.

id®pontban.

X folyamat el®rejelezhet® vagy predikálható, ha tetsz®leges ≤ n ≤ N esetén Xn mérhet® az Fn−1 σ -algebrára nézve.

Az 1

Jelentése: Az Sz¶cs Gábor (SZTE)

Xn

változó értéke ismert az Pénzügyi matematika

n−1

id®pontban is. 2016. ®szi félév

23 / 85



Martingál, szubmartingál, szupermartingál Legyen melyre

N X = (Xn )N n=0 az F = (Fn )n=0 E |Xn | < ∞ minden n esetén.

sz¶réshez adaptált folyamat, Ekkor az

(Xn , Fn )N n=0

sorozat

martingál, ha E [Xn+ |Fn ] = Xn , n = 0, . . . , N − 1. szubmartingál, ha E [Xn+ |Fn ] ≥ Xn , n = 0, . . . , N − 1. szupermartingál, ha E [Xn+ |Fn ] ≤ Xn , n = 0, . . . , N − 1. 1

1

1

Ekvivalens deníciók Legyen melyre 1

N X = (Xn )N n=0 az F = (Fn )n=0 E |Xn | < ∞ minden n esetén.

sorozat

E [Xn+k |Fn ] = Xn , n ≥ 0, k ≥ 1. E (XN ) = E (XN1 ) = · · · = E (X0 ). E [Xn+k |Fn ] ≥ Xn , n ≥ 0, k ≥ 1. E (XN ) ≥ E (XN1 ) ≥ · · · ≥ E (X0 ).

pontosan akkor szubmartingál, ha Ebben az esetben

3

(Xn , Fn )N n=0

pontosan akkor martingál, ha Ebben az esetben

2

sz¶réshez adaptált folyamat, Ekkor az

E [Xn+k |Fn ] ≤ Xn , n ≥ 0, k ≥ 1. E (XN ) ≤ E (XN1 ) ≤ · · · ≤ E (X0 ).

pontosan akkor szupermartingál, ha Ebben az esetben Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

24 / 85



A véletlen bolyongás Legyen

Z1 , Z2 , . . .

független és azonos eloszlású változó,

P(Zn = −1) = 1 − p ,

P(Zn = 1) = p , Tekintsük az bolyongást és

p ∈ (0, 1),

és

n = 1, 2, . . .

X0 = 0, Xn = Z1 + · · · + Zn , n = 1, 2, . . . , véletlen az Fn = σ(X0 , . . . , Xn ), n ≥ 0, generált sz¶rés. Ekkor

a bolyongás adaptált a sz¶réshez;

P(−n ≤ Xn ≤ n) = 1,

amib®l

E |Xn | < ∞, n ≥ 0.

E [Xn+1 |Fn ] = Xn + (2p − 1), n ≥ 0. Kapjuk, hogy a bolyongás a generált sz¶réssel martingál, ha

p = 1/2;

szubmartingál, ha szupermartingál, ha

p ≥ 1/2; p ≤ 1/2.

Hasonló módon megmutatható, hogy a szimmetrikus esetben az

(Xn2 )∞ n=0

folyamat szubmartingál. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

25 / 85



Megállási id® τ : Ω → {0, . . . , N}

A

véletlen változó

sz¶résre nézve, ha tetsz®leges

megállási id®

n = 0, . . . , N

esetén

F = (Fn )N n=0 {τ ≤ n} ∈ Fn . az

Példák Tekintsük az

X = (Xn )∞ n=0

a generált sz¶rés, és legyen Els® elérési id®:

τ

F = (Fn )N n=0

a ∈ Z.

τ = inf {n ≥ 0 : Xn = a}

Els® lokális maximum: Ha

a véletlen bolyongást, legyen

megállási id®.

τ = inf {n ≥ 0 : Xn > Xn+1 }

nem megállási id®.

determinisztikus, akkor megállási id®.

Ekvivalens deníciók a megállási id®re Legyen

τ : Ω → {0, . . . , N}.

Ekkor az alábbiak ekvivalensek.

1

τ

2

{τ > n} ∈ Fn , n = 0, . . . , N .

3

{τ = n} ∈ Fn , n = 0, . . . , N .

megállási id®.



2016. ®szi félév

26 / 85


Diszkrét idej¶ piacok és stratégiák


Diszkrét idej¶ piac Egy

{Ω, F, P, F, B, S, N} N

N (B, S)N

halmazt

nevezünk, (rövidebb jelölésben:

lépéses diszkrét idej¶ piacnak ), ha

egy determinisztikus pozitív egész szám;

(Ω, F, P, F) ltrált valószín¶ségi mez®, és az F = (Fn )N n=−1 sz¶résre F−1 = F0 = {∅, Ω} és FN = F . A Az

B = (Bn )N n=0 S=

(Sn )N n=0

folyamat el®rejelezhet®, és

Bn > 0, n ≥ 0.

folyamat adaptált a sz¶réshez, és

Sn > 0, n ≥ 0.

A fenti fogalmak jelentése:

Fn Bn

az és

n Sn

id®pontban rendelkezésünkre álló információ; a kötvény illetve a részvény ára az

n

id®pontban.

A továbbiakban a kötvény ára determinisztikus lesz. A legtöbb állítás ezen feltevés nélkül is igaz, de néhány eredményt nehezebb lenne bizonyítani. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

27 / 85



Diszkrét idej¶ bináris piac Egy

(B, S)N diszkrét idej¶ piac bináris (r1 , . . . , rN ) kamatlábakkal, (a1 , . . . , aN ) és (b1 , . . . , bN ) együtthatókkal, ha

valamint

rn > −1

és

bn > an > −1

minden

a kötvény ára determinisztikus és a részvény ára

értékre;

Bn = (1 + rn )Bn−1 , n = 1, . . . , N ;

Sn = (1 + ρn )Sn−1 ,

P(ρn = bn ) = pn ,

n = 1, . . . , N ahol valamilyen

P(ρ = an ) = 1 − pn ,

pn ∈ (0, 1)-re n = 1, . . . , N ;

minden információt a részvény árából szerzünk, tehát

Fn = σ(S0 , . . . , Sn ) = σ(ρ1 , . . . , ρn ),

n = 1, . . . , N ;

Diszkrét idej¶ homogén bináris piac (binomiális piac) Egy diszkrét idej¶ bináris piac homogén, ha valamely

r , a, b, p

rn = r , a

ρ1 , . . . , ρN


értékekre

an = a,

bn = b ,

pn = p ,

n = 1, . . . , N ;

változók függetlenek. Pénzügyi matematika

2016. ®szi félév

28 / 85



Egy techikai feltevés A továbbiakban diszkrét idej¶ piacok esetén mindig feltesszük, hogy az eseménytér véges, és minden kimenetelnek pozitív a valószín¶sége. Jegyezzük meg, hogy egy diszkrét idej¶ bináris piac mindig reprezentálható

(Ω0 , F0 , P0 ) valószín¶ségi mez®n: n o Ω0 := (x1 , . . . , xN ) : xn ∈ {an , bn }, n = 1, . . . , N , F0 := 2Ω0 . P0 (x1 , . . . , xN ) := P(ρ1 = x1 , . . . , ρN = xN ).

az alábbi

Speciálisan homogén bináris piacon legyen száma az

k = k(ω)

azon komponensek

ω = (x1 , . . . , xN ) vektorban, melyek egyenl®ek b -vel. Ekkor P0 {ω} = P(ρ1 = x1 ) · · · P(ρN = xN ) = p k (1 − p)N−k .

Ebb®l adódik, hogy homogén bináris (azaz binomiális) piacon

k

P0 SN = S0 (1 + b) (1 + a) Sz¶cs Gábor (SZTE)

N−k

N k = p (1 − p)N−k , k


k = 0, 1, . . . , N . 2016. ®szi félév

29 / 85


Stratégia Stratégiának


nevezzük az el®rejelezhet®

π = πn = (βn , γn ) : n = 0, . . . , N portfóliósorozatokat. A stratégia

értékfolyamata

Xnπ = βn Bn + γn Sn ,

értékfolyamata Vnπ = Xnπ /Bn ,

illetve

diszkontált

n = 1, . . . , N .

Megjegyzések:

π0

az eredetileg rendelkezésre álló portfólió, gyakran

n≥1 Nálunk

esetén

πn

az

n−1

F−1 = F0 = {∅, Ω},

π0 = (β0 , 0).

id®pontban összeállított portfólió. ezért

π0

és

π1

determinisztikus.

A portfóliósorozat el®rejelezhet®ségéb®l következik, hogy a

N és a (γn )n=1 folyamat szintén el®rejelezhet®. N N Az (Xn )n=1 és a (Vn )n=1 folyamat adaptált. Sz¶cs Gábor (SZTE)


(βn )N n=1

2016. ®szi félév

30 / 85


Önnanszírozó stratégia A π stratégia önnanszírozó,


ha

Xn−1 = βn Bn−1 + γn Sn−1 ,

n = 1, . . . , N .

Jelentése: Nem teszünk be és nem veszünk ki pénzt a rendszerb®l.

Dierenciasorozat Egy

(αn )N n=0

véletlen vagy determinisztikus sorozat

∆αn = αn − αn−1 ,

dierenciasorozata

n = 1, . . . , N .

Önnanszírozó stratégiák Legyen

π

stratégia. Ekkor az alábbiak ekvivalensek.

π

stratégia önnanszírozó.

1

A

2

∆Xnπ

3

Bn−1 ∆βn + Sn−1 ∆γn = 0,

= βn ∆Bn + γn ∆Sn ,


n = 1, . . . , N . n = 1, . . . , N .


2016. ®szi félév

31 / 85



Fedezeti stratégia (hedging stratégia) (B, S)N diszkrét idej¶ piacon fN : RN+1 → R mérhet® függvény.

Egy

Egy

stratégiának, fedezeti stratégiának X0π = x A fedezeti stratégiát

és

x ∈ R értéket és egy (x, fN ) hedging

tekinstünk egy

π

stratégiát

vagy csak

fedezetnek

XNπ ≥ fN (S0 , . . . , SN )

minimálisnak

vagy

tökéletesnek

XNπ = fN (S0 , . . . , SN )

nevezünk, ha

m.b. nevezzük, ha

m.b.

Megjegyzések: Mivel az eseménytéren minden kimenetelnek pozitív a valószín¶sége, a m.b. egyenl®ségek/egyenl®tlenségek minden kimenetelre teljesülnek. Mi csak önnanszírozó

(x, fN )

fedezeti stratégiákat vizsgálunk. Ezek

halmazát a következ®képpen fogjuk jelölni: Sok alkalmazásban fN (S0 , . . . , SN ) Sz¶cs Gábor (SZTE)

= g (SN ).


Π(x, fN ). Példa: Európai opciók. 2016. ®szi félév

32 / 85



Arbitrázsstratégia Egy

(B, S)N

diszkrét idej¶ piacon egy

arbirázsstratégia

vagy

Xπ

=0

m.b.;

Xnπ

≥0

m.b.,

0

P(XNπ

arbitrázs,

π

önnanszírozó stratégia

ha teljesülnek az alábbiak

n = 1, . . . , N ;

> 0) > 0,

tehát létezik

ω ∈ Ω,

melyre

XNπ (ω) > 0.

Általában feltesszük, hogy a piac arbitrázsmentes, nincsen ingyenebéd.

Arbitrázsstratégia létezése Tegyük fel, hogy a

(B, S)N

diszkrét idej¶ piacon egy

π

önnanszírozó

stratégiára teljesül, hogy

X0π = 0

m.b.,

XNπ ≥ 0

m.b.

és

P(XNπ > 0) > 0.

Ekkor ezen a piacon létezik arbitrázsstratégia.



2016. ®szi félév

33 / 85


Ekvivalens martingálmértékek


Ekvivalens mértékek Legyen

µ

és

µ0

mérték egy

hogy a két mérték

ekvivalens,

tehát tetsz®leges

A∈F

µ(A) = 0

(X , F)

mérhet® téren. Azt mondjuk,

ha abszolút folytonosak egymásra nézve,

mérhet® halmazra

pontosan akkor teljesül, ha

µ0 (A) = 0 .

Ekvivalens mértékek megszámlálható alaphalmazon Legyen

µ

halmaz és

µ0 mérték az (X , F) téren, ahol X F = 2X . Ekkor az alábbiak ekvivalensek. és

1

A két mérték ekvivalens.

2

Tetsz®leges

x ∈X

µ({x}) = 0 Sz¶cs Gábor (SZTE)

megszámlálható

elem esetén pontosan akkor teljesül, ha Pénzügyi matematika

µ0 ({x}) = 0 . 2016. ®szi félév

34 / 85



Ekvivalens martingálmérték ∗ martingálmérték Azt mondjuk, hogy P

a

(B, S)N

diszkrét idej¶

piacon, ha teljesíti az alábbi feltételeket:

P∗ az

valószín¶ségi mérték az

(Sn /Bn )N n=0

Ha ezen túl

P

és

téren;

folyamat martingál a

P∗

P∗

mértékre nézve.

ekvivalens mértékek, akkor a

ekvivalens martingálmértéknek P∗

(Ω, F)

P∗

mértéket

nevezzük. A továbbiakban

E∗

jelöli a

szerinti várható értéket.

Martingálmértékek diszkrét idej¶ piacon Egy

(B, S)N

1

P∗

2

Bármely

diszkrét idej¶ piacon az alábbiak ekvivalensek.

martingálmérték a piacon.

π

értékfolyamat martingál a


(Vnπ )N n=0 diszkontált az F sz¶résre nézve.

önnanszírozó stratégia esetén a

P∗

mérték alatt


2016. ®szi félév

35 / 85



Ekvivalens martingálmértékek diszkrét idej¶ bináris piacon Tegyük fel, hogy a

n = 1, . . . , N ,

(B, S)N

an < rn < bn , (Ω0 , F0 , P0 ) mez®t.

diszkrét idej¶ bináris piacon

és tekintsük a korábban bevezetett

Ekkor teljesülnek az alábbiak. 1

A piacon létezik egy szín¶ségre nézve a

P ∗ egyértelm¶ martingálmérték. A P ∗ valóρ1 , . . . , ρN változók függetlenek egymástól, és

P ∗ (ρn = bn ) = pn∗ :=

rn − an , b n − an

n = 1, . . . , N .

(x1 , . . . , xN ) ∈ Ω0

Ebb®l következik, hogy tetsz®leges

kimenetel

esetén

P∗

Y Y (x1 , . . . , xN ) = pn∗ ≤n≤N xn =bn

1

2

1

− pn∗ .

≤n≤N xn =an

1

Ha teljesül a technikai feltevés, tehát minden kimenetelnek pozitív a

P0

valószín¶sége, akkor


P∗

ekvivalens martingálmérték.


2016. ®szi félév

36 / 85


(B, S)N

Jegyezzük meg ismét, hogy egy piacon az

SN


diszkrét idej¶ homogén bináris

részvényár lehetséges értékei az alábbi alakúak:

sk = S0 (1 + b)k (1 + a)N−k , A részvényár pontosan akkor

N −k

sk ,

ha az ár

k = 0, . . . , N . k

alkalommal lépett felfelé, és

alkalommal lépett lefelé. A binomiális fán az ilyen utak száma

N k .

Ekvivalens martingálmértékek diszkrét idej¶ homogén bináris piacon (B, S)N

Tegyük fel, hogy a

diszkrét idej¶ homogén piacon

a < r < b.

Ekkor a piacon létezik egy egyértelm¶ ekvivalens martingálmérték, melyre

P

∗

ahol

k

SN = S0 (1+b) (1+a)

N−k

N ∗k = p (1−p ∗ )N−k , k

k = 0, 1, . . . , N ,

p ∗ = (r − a)/(b − a).



2016. ®szi félév

37 / 85



A közgazdászok az ekvivalens martingálmértéket

valószín¶ségnek kedvért legyen

kockázatsemleges

nevezik, aminek a következ® az oka. Az egyszer¶ség

B0 = 1,

és tegyük fel, hogy

S0

összeget fektetünk be.

Ha 1 darab részvényt veszünk, akkor a befektetés diszkontált lejáratkori értékének várható értéke

E ∗ (SN /BN )

P∗

szerint

= S0 /B0 = S0 .

Ha a teljes összeget kötvénybe fektetjük, akkor a lejáratkori érték determinisztikus, és diszkontált értéke

S0 BN /BN = S0 . Tehát a kockázatos részvénybefektetés várható értékben pontosan akkora hozamot ad, mint a kötvény. Speciálisan, diszkrét idej¶ bináris piacon

E ∗ (SN ) = S0 (1 + r1 ) · · · (1 + rN ).



2016. ®szi félév

38 / 85


A két f®tétel

A két f®tétel

A martingálok egy további ekvivalens deníciója Legyen

N<∞

és

X = (Xn )N n=0

id® esetén

E (Xτ ) = E (X0 ),

(Ω, F, P, F) τ : Ω → {0, . . . , N} megállási X folyamat martingál.

adaptált folyamat az

ltrált valószín¶ségi mez®n. Ha minden akkor az

Megjegyzés: Ha a folyamat martingál, akkor az opcionális megállási tétel szerint

E (Xτ ) = E (X0 ).

Tehát ez egy szükséges és elegend® feltétel.

Az arbitrázsmentességre vonatkozó f®tétel Egy diszkrét idej¶

(B, S)N

piacon az alábbiak ekvivalensek.

1

Létezik ekvivalens martingálmérték.

2

A piac kizárja az arbitrázslehet®séget.

Arbitrázsmentesség diszkrét idej¶ bináris piacon Egy ha

(B, S)N diszkrét idej¶ bináris an < rn < bn , n = 1, . . . , N . Sz¶cs Gábor (SZTE)

piac pontosan akkor arbitrázsmentes,


2016. ®szi félév

39 / 85


A két f®tétel

A piac teljessége (B, S)N

A

diszkrét idej¶ piac

teljes, ha bármely fN

létezik minimális fedezet, tehát olyan

π

kizetési függvényhez

önnanszírozó stratégia, melyre

XNπ = fN (S0 , . . . , SN )

m.b.

A teljességre vonatkozó f®tétel Tegyük fel, hogy a

(B, S)N

P∗

diszkrét idej¶ piacon létezik

ekvivalens

martingálmérték. Ekkor az alábbiak ekvivalensek. 1

A piac teljes.

2

P∗

3

Tetsz®leges

az egyetlen ekvivalens martingálmérték a piacon.

(Mn , Fn , P ∗ )N n=0

Mn = M0 +

n X k=1

alakban, ahol Sz¶cs Gábor (SZTE)

(γk )N k=1

γk

martingál el®áll

Sk Sk−1 − Bk Bk−1

,

n = 1, . . . , N ,

el®rejelezhet® folyamat. Pénzügyi matematika

2016. ®szi félév

40 / 85


A két f®tétel

Az el®z® tétel bizonyításából is látszik, hogy a teljesség fogalma csak egy összeköt® kapocs az állítás (2) és (3) pontja között. Ha adott egy részvényopció, akkor a tételt a következ®képpen lehet alkalmazni: (2) Létezik egyértelm¶ ekvivalens martingálmérték

=⇒ =⇒

(1) Az opcióra létezik fedezeti stratégia, bár nem ismerjük (3) A fedezeti stratégia felírható, az opció árazható

Teljesség diszkrét idej¶ bináris piacon Tegyük fel, hogy a

(B, S)N

diszkrét idej¶ bináris piacon teljesül a korábbi

technikai feltevésünk, tehát minden kimenetelnek pozitív a

P

mérték

szerinti valószín¶sége. Ekkor az alábbiak ekvivalensek. 1

A piac teljes.

2

an < rn < bn , n = 1, . . . , N .

3

A piac arbitrázsmentes.



2016. ®szi félév

41 / 85


Opciók árazása

Opciók árazása

Befektetési költség (B, S)N diszkrét idej¶ piacon tekintsünk egy x ∈ R értéket fN : RN+1 → R mérhet® függvényt. Legyen Π(x, fN ) azon π

Egy

és egy

önnanszírozó stratégiák halmazát, melyekre teljesül az alábbi két feltétel:

x:

A stratégia kezd®értéke A stratégia fedezet az

fN (S0 , . . . , SN )

XNπ A kapcsolatos opció

X0π = x kizetési függvényre, tehát

≥ fN (S0 , . . . , SN )

befektetési költségének

m.b.

az alábbi értéket nevezzük:

CN,fN = inf x ∈ R : Π(x, fN ) 6= ∅

Fedezeti stratégia létezése (B, S)N x ∈ R érték,

Egy

fN Π(x, fN ) 6= ∅.

piacon tetsz®leges melyre


kizetési függvény esetén létezik Ebb®l következik, hogy


CN,fN < ∞.

2016. ®szi félév

42 / 85


Opciók árazása

Feltételes követelések árazása Tegyük fel, hogy a

(B, S)N

P∗

diszkrét idej¶ piacon létezik

martingálmérték, és tekintsünk egy Ekkor

CN,fN ≥ E

∗

fN (S0 , . . . , SN )

ekvivalens

kizetési függvényt.

B0 fN (S0 , . . . , SN ) . BN

Továbbá, ha a piac teljes, akkor a kizetési függvény replikálható, és a befektetési költség

CN,fN = E

∗

B0 fN (S0 , . . . , SN ) . BN

Megjegyzések: Teljes piacon az opció igazságos (arbitrázsmentes) ára Ha

π

CN,fN .

egy minimális fedezeti stratégia, akkor

π Xnπ ∗ XN ∗ 1 =E fN (S0 , . . . , SN ) Fn Fn = E Bn BN BN Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

43 / 85


Opciók árazása

Árazás diszkrét idej¶ bináris piacon Tegyük fel, hogy a

n = 1, . . . , N ,

(B, S)N

an < rn < bn , P∗

diszkrét idej¶ bináris piacon

és tegyük fel, hogy teljesül a technikai feltevés. Jelölje

az egyetlen ekvivalens martingálmértéket, és tekintsünk egy tetsz®leges

fN (S0 , . . . , SN )

kizetési függvényt. Ekkor az opcióra létezik minimális

fedezeti stratégia, és az opció árbitrázsmentes ára

CN,fN = Speciálisan, ha

CN,fN =

1

d

1

d

∗

E fN (S0 , . . . , SN ) ,

ahol

d=

N Y

(1 + rn ) .

n=1

fN (S0 , . . . , SN ) = g (SN ),

akkor

! X H⊆{1,...,N}


g S0

Y n∈H

(1 + bn )

Y

(1 + an )

n6∈H


Y n∈H

pn∗

Y

(1 − pn∗ ) .

n6∈H

2016. ®szi félév

44 / 85


Opciók árazása

Fedezeti stratégia diszkrét idej¶ bináris piacon Az el®z® tétel feltételei mellett legyen

Mn =

1

BN

E ∗ fN (S0 , . . . , SN ) | Fn ,

n = 1, . . . , N .

Ekkor teljesülnek az alábbiak. 1

Léteznek

hn : Rn → R

mérhet® determinisztikus függvények, hogy

Mn = hn (ρ1 , . . . , ρn ) 2

m.b.,

n = 1, . . . , N .

Az alábbi stratégia egy lehetséges fedezet a kizetési függvényre:

β 0 = M0 , γn =

γ0 = 0 ,

βn = Mn−1 − γn

Sn−1 , Bn−1

n = 1, . . . , N ,

h i Bn hn (ρ1 , . . . , ρn−1 , bn ) − hn (ρ1 , . . . , ρn−1 , an ) . Sn−1 (bn − an )



2016. ®szi félév

45 / 85


Opciók árazása

CoxRossRubinstein (CRR) árazási formula A

(B, S)N

diszkrét idej¶ homogén bináris piacon legyen

Ekkor az európai call opció arbitrázsmentes ára

K

a < r < b.

kötési ár esetén

CN,K = S0 B(k0 , N, p) ˜ − K (1 + r )−N B(k0 , N, p ∗ ) , ahol

r −a , p = b−a

+b ∗ p˜ = p , 1+r 1

∗

továbbá

j ∈Z


0

$ k0 = 1 +

K S0 (1+a)N 1+b log 1+a

log

% ,

esetén

N k

p k (1 − p)N−k ,


≤j ≤N, j >N, j < 0.

0

2016. ®szi félév

46 / 85


Opciók árazása

Put-Call paritás Ha a

(B, S)N

diszkrét idej¶ piac teljes, akkor a

K

kötési árhoz tartozó

európai eladási (put) opció arbitrázsmentes árára

PN,K = CN,K − S0 + KB0 /BN . Speciálisan teljes bináris piacon

PN,K = CN,K − S0 + K /

QN

n=1 (1

+ rn ).

Amerikai típusú opciók árazása Egy opciót amerikai típusúnak nevezünk, ha a lejárati id® el®tt is lehívható.

P ∗ ekv. martingálmérték. Az opció fedezéséhez szükséges összeg: CnAm n = 0, . . . , N . A kizetés, ha az opciót lehívják az n. id®pontban: CnL , n = 0, . . . , N . Am Ekkor a befektetési költség C0 , ahol visszafelé haladó rekurzióval Bn Am Am L Eu Eu ∗ Cn = max Cn , Cn , Cn = E C | Fn , n = 0, . . . , N . Bn+1 n+1 Tegyük fel, hogy a


(B, S)N

piacon létezik


2016. ®szi félév

47 / 85

Folytonos idej¶ piacok

Folytonos idej¶ martingálok


Sz¶rés, megállási id® Legyen Egy

(Ω, A, P)

(Ft )T t=0 Ft ⊆ A Fs ⊆ Ft ,

valószín¶ségi mez®, és legyen

rendszert

sz¶résnek

rész-σ -algebra minden

0

vagy

minden

≤s≤t≤T

Azt mondjuk, hogy a sz¶rés teljesíti a

F0

tartalmazza a

melyekre

0

T >0

ltrációnak ≤t≤T

rögzített.

nevezünk , ha

esetén;

esetén.

szokásos feltételeket,

P -null halmazokat, tehát azon

A

ha

eseményeket,

P(A) = 0;

a sz¶rés jobbról folytonos, tehát

Ft = Ft+ := ∩s>t Fs .

τ : Ω → [0, T ] véletlen változót megállási id®nek {τ ≤ t} ∈ Ft teljesül minden t ∈ [0, T ] esetén. Egy



nevezünk, ha

2016. ®szi félév

48 / 85



Adaptáltság, progresszív mérhet®ség Legyen

(Xt )T t=0

Azt mondjuk, hogy a folyamat változó mérhet® az

t ∈ [0, T ]

adaptált az (Ft )Tt=

Ft σ -algebrára

Azt mondjuk, hogy a folyamat rögzített

(Ω, A, P) valószín¶ségi X : Ω × [0, T ] → R függvény.

sztochasztikus folyamat az

mez®n, ami értelmezhet® úgy is, mint egy

nézve minden

Xt

sz¶réshez, ha az

0

t ∈ [0, T ]

progresszív mérhet®,

esetén.

ha tetsz®leges

X : Ω × [0, t] → R, (ω, s) 7→ Xs (ω), az Ft × B[0, t] σ -algebrára nézve.

esetén az

kétváltozós függvény mérhet®

Kapcsolat a mérhet®ségi tulajdonságok között 1

Ha az

(Xt )T t=0

folyamat progresszív mérhet®, akkor:

a folyamat adaptált, tehát az minden

t ∈ [0, T ]

Xt : Ω → R

a trajektóriák mérhet®ek, tehát az Borel-mérhet® minden 2

függvény

Ft -mérhet®

esetén;

ω∈Ω

X (ω) : [0, T ] → R

függvény

kimenetel mellett.

Ha a sztochasztikus folyamat adaptált és jobbról folytonos, akkor progresszív mérhet® is. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

49 / 85



Martingálok Az

(Xt , Ft )T t=0 az

(Xt )T t=0

E |Xt | < ∞,

folyamat

Az

ha teljesülnek az alábbi feltételek:

(Ft )T t=0

folyamat adaptált az 0

E [Xt |Fs ] = Xs , (Xt )T t=0

martingál,

sz¶réshez;

≤ t ≤ T; 0

folyamat

≤ s ≤ t ≤ T.

szubmartingál

szupermartingál,

illetve

harmadik pontban az egyenl®ség helyett

≥

illetve

≤

ha a

áll.

Martingálok konvex transzformáltjai Legyen

(Xt )T t=0

martingál, és tekintsünk egy

ϕ(Xt ) változó integrálható (ϕ(Xt ))T t=0 folyamat szubmartingál.

függvényt. Ha a akkor a



ϕ : R → R konvex minden t ∈ [0, T ] esetén,

2016. ®szi félév

50 / 85



Doob maximál egyenl®tlensége Legyen

(Xn )∞ n=1

Mn = max1≤k≤n Xk .

diszkrét idej¶ szubmartingál, és

n = 1, 2, . . .

Ekkor tetsz®leges

és

x >0

Z xP(Mn > x) ≤ {Mn >x}

esetén

Xn dP ≤ EXn+ .

Egy lemma Legyen

X

és

Y

olyan nemnegatív érték¶ véletlen változó, melyre

Z xP(X > x) ≤

Y dP ,

x > 0.

{X >x} Ekkor tetsz®leges

p>1

esetén

p

EX ≤ Sz¶cs Gábor (SZTE)

p p−1

p

EY p .


2016. ®szi félév

51 / 85



Diszkretizálás Tekintsünk egy determinisztikus Ha az

(Xt , Ft )T t=0

0

= t0 < t1 < · · · < tN = T

beosztást.

folyamat folytonos idej¶ martingál, szubmartingál

vagy szupermartingál, akkor a

(Xtn , Ftn )N n=0

diszkrét idej¶ martingál,

szubmartingál vagy szupermartingál.

Doob maximál egyenl®tlensége folytonos id®ben Legyen

(Xt )t≥0

jobbról folytonos szubmartingál, és legyen

0

≤S ≤T

tetsz®leges. 1

Bármely

x >0

xP

esetén

sup

Z ≤

Xt > x

{supS≤t≤T Xt >x}

S≤t≤T 2

XT dP ≤ EXT+ .

Ha a folyamat majdnem biztosan nemnegatív, akkor

p

E

sup

S≤t≤T Sz¶cs Gábor (SZTE)

Xt

≤

p p−1

p


EXTp ,

p > 1. 2016. ®szi félév

52 / 85



DoobMeyer-felbontás (Xt )T t=0 jobbról folytonos szubmartingál, melyre tetsz®leges a ∈ [0, T ] esetén az alábbi változók egyenletesen integrálhatóak: Xτ | τ : Ω → [0, a] megállási id® . Legyen

Ekkor a szubmartingál felírható

(Mt )T t=0

Xt = Mt + At , t ∈ [0, T ], alakban, ahol (At )T t=0 jobbról folytonos és

jobbról folytonos martingál és

monoton növekv® adaptált folyamat. Továbbá ez az el®állítás egyértelm¶.

Martingál monoton növekv® folyamata Ha

(Xt )T t=0

(Xt2 )T t=0

martingál, akkor

szubmartingál. Ha ennek a

szubmartingálnak létezik a DoobMeyer-felbontása, akkor a kapcsolatos

(At )T t=0

folyamatot a martingál

nevezzük. Jelölésben:


monoton növekv® folyamatának

hX it = At .


2016. ®szi félév

53 / 85


A standard Wiener-folyamat


A standard Wiener-folyamat (standard Brown-mozgás) (Wt )t≥0

A

sztochasztikus folyamat

standard Brown-mozgás, W1

W0 = 0

standard Wiener-folyamat

vagy

ha teljesülnek az alábbi tulajdonságok:

m.b.

W2 A folyamat független növekmény¶. W3 Tetsz®leges

t≥s≥0

esetén

Wt − Ws ∼ N(0, t − s).

(Ebb®l az is következik, hogy a folyamat stacionárius növekmény¶.) W4 A folyamat mintafolytonos.

A standard Wiener-folyamat ekvivalens deníciói Az alábbiak ekvivalensek: 1

W1 és W2 és W3.

2

W1 és W2, továbbá tetsz®leges

3

Gauss-folyamat, Sz¶cs Gábor (SZTE)

E (Wt ) = 0,

t≥0

esetén

Cov(Ws , Wt )


Wt ∼ N(0, t).

= min(s, t), s, t ≥ 0. 2016. ®szi félév

54 / 85



A standard Wiener-folyamat néhány eloszlásbeli tulajdonsága Legyen

c >0 1

(Wt )t≥0

standard Wiener-folyamat, és tekintsünk egy tetsz®leges

értéket. Ekkor teljesülnek az alábbiak.

Az alábbi folyamatok szintén standard Wiener-folyamatok:

Wt+c − Wc , 2

√

cWt/c ,

Az alábbi folyamatok martingálok az

t ≥ 0.

Ft = σ(Ws : s ≤ t), t ≥ 0,

generált sz¶résre nézve:

Wt ,

Wt2 − t ,

e aWt −a

2

t/2 ,

t ≥ 0.

Ebb®l következik, hogy a standard Wiener-folyamat monoton növekv® folyamata:

hW it = t .



2016. ®szi félév

55 / 85


Tekintsünk egy

[a, b] ⊆ R


Π = {a = t0 < t1 < · · · < tn = b} beosztás egy adott |Π| = max |tk − tk−1 |.

intervallumon. A beosztás nomsága:

≤k≤n

1

A Wiener-folyamat trajektóriánkénti tulajdonságai Legyen 1

(Wt )t≥0

Wiener folyamatra,

0

≤a≤b

pedig tetsz®leges.

A Wiener-folyamat négyzetes megváltozása: ha

|Π| → 0,

akkor

n X 2 L2 Wtk − Wtk−1 −→ b − a . k=1 2

A Wiener-folyamat teljes megváltozása: ha

|Π| → 0,

akkor

n X P Wt − Wt −→ ∞. k k−1 k=1 3

A diadikus beosztássorozat esetén a fenti konvergenciák majdnem biztos értelemben is teljesülnek.

4

A standard Wiener-folyamat 1 valószín¶séggel sehol sem deriválható. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

56 / 85



A továbbiakban szeretnénk a Wiener-folyamat szerint integrálni. Hogyan deniáljuk az

I =

RT 0

f (t)dWt

integrált? Az els® ötlet a trajektóriánkénti

ω ∈ Ω kimenetel R f (t)dWt (ω) = [0,T ] f dµW (ω) ,

LebesgueStieltjes-integrál, tehát minden

I (ω) = ahol

µW (ω)

RT 0

a Wiener-folyamat

W (ω)

LebesgueStieltjes-mérték. Ez a mérték

esetén legyen

trajektóriája által generált

µW (ω) = µW + (ω) − µW − (ω)

alakban van deniálva, máramennyiben léteziknek olyan monoton növekv®

(Wt+ )T t=0 t ∈ [0, T ].

és

(Wt− )T t=0

folyamatok, melyekre

Wt = Wt+ − Wt− ,

Vajon a standard Wiener-folyamatra létezik ilyen felbontás?

Egy függvény pontosan akkor írható fel két monoton növekv® függvény különbségeként, ha a függvény korlátos változású. Ez azt jelenti, hogy a standard Wiener-folyamat fenti reprezentációja csak a korlátos változású trajektóriákra m¶ködik. Láttuk, hogy a trajektóriák 1 valószín¶séggel nem korlátos változásúak! Ez azt jelenti, hogy a fenti módon bevezetett

I

integrál 1 valószín¶séggel nem jól deniált. Valami mást kell kitalálni... Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

57 / 85


A sztochasztikus integrál


Egyszer¶ folyamatok sztochasztikus integrálja (Wt )T t=0 X = (Xt )T t=0

Legyen

standard Wiener-folyamat,

Az

sztochasztikus folyamat

Xt = ξ0 1{t=0} +

n−1 X

(Ft )T t=0

egyszer¶,

ξi 1{t∈(ti ,ti+1 ]} ,

a generált sz¶rés.

ha

t ∈ [0, T ] ,

i=0

= t0 < t1 < · · · < tn = T egy determinisztikus beosztás, és a ξi Fti -mérhet®. Tetsz®leges t ∈ (0, T ] esetén legyen k azaz érték, melyre t ∈ (tk , tk+1 ]. Az X egyszer¶ folyamat sztochasztikus integrálja a következ® folyamat: legyen I0 (X ) := 0 és ahol

0

változó rendre

It (X ) :=

k−1 X

ξi Wti+1 − Wti + ξk Wt − Wtk ,

t ∈ (0 , T ] .

i=0 Jegyezzük meg, hogy ez egy trajektóriánkénti RiemannStieltjes-integrál. Legyen továbbá Sz¶cs Gábor (SZTE)

Rt s

Xt dWt := It (X ) − Is (X ), Pénzügyi matematika

0

≤ s ≤ t ≤ T. 2016. ®szi félév

58 / 85


Az

It (X ) =

Rt 0

Xu dWu


integrál:

ξ1 ξk ξ0 t1 t2

ξn−1

···

t3

tk

t

tk+1 · · · tn−1

T

ξ2 Az

It (X ) − Is (X ) =

Rt s

Xu dWu

integrál:

ξ`+1 ξk ξ`

···

t` s t`+1 t`+2 · · · tk−1

tk

t

tk+1 · · ·

ξk−1 Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

59 / 85



A sztochasztikus integrál tulajdonságai egyszer¶ folyamat esetén 1

Az egyszer¶ folyamatok adaptáltak az

2

Az integrál lineáris, tehát ha

a, b ∈ R,

akkor

Az

4

Tetsz®leges

integrálfolyamat folytonos martingál.

≤s≤t≤T

0

Z E s

t

t

E

Rt s

E sup0≤t≤T Sz¶cs Gábor (SZTE)

Rt 0

Ru

Xu dWu | Fs = 0

s

Xu dWu = 0

Z

és

2 Xu dWu

s

Xu dWu

2

≤ 4E

és

t

=E

s 5

E

s

Xu dWu

Var

esetén

Z t 2 2 Xu du Fs Xu dWu Fs = E

Ebb®l következik, hogy

Z

sz¶réshez.

X és Y egyszer¶ folyamat és It (aX + bY ) = aIt (X ) + bIt (Y ), t ∈ [0, T ].

I (X ) = (It (X ))T t=0

3

(Ft )T t=0

RT 0

Z =E

t

Xu2 du .

s

Xu2 du .


2016. ®szi félév

60 / 85


Jelölje

M

integál egy


I

a folytonos martingálok halmazát. Az

M

sztochasztikus

érték¶ függvény az egyszer¶ folyamatok halmazán.

H

Célunk a deníciót kiterjeszteni a következ®

n H = X = (Xt )T t=0 : X

adaptált és

E

RT 0

halmazra:

o Xt2 dt < ∞ ⊆ L2 Ω × [0, T ] .

L2 (Ω × [0, T ]) egy Hilbert-tér, melyben RT 2 2 Xt dt . normanégyzete kX k 2 = E 0 L

Jegyezzük meg, hogy

X =

(Xt )T t=0

elem

az

A sztochasztikus integrál kiterjesztése 1

Tetsz®leges

X ∈H

X (1) , X (2) , . . . ∈ H

esetén léteznek

egyszer¶

folyamatok olyan módon, hogy

X − X (n) 2 2 = E L 2

T

nevezzük

H

(n)

Xt − Xt

2

dt → 0 ,

n → ∞.

0

Az egyszer¶ folyamatokon deniált kiterjesztése a

3

Z

I

leképezésnek létezik folytonos

halmazra. Az így kapott

I :H→M

Itô-féle sztochasztikus integrálnak.

függvényt

A kiterjesztett operátorra teljesülnek az el®z® oldalon felsorolt tulajdonságok tetsz®leges Sz¶cs Gábor (SZTE)

X,Y ∈ H

esetén.


2016. ®szi félév

61 / 85



A Riemann-integrál esetében annak nincs szerepe, hogy az integrálközelít® összegben az integrálandó függvény értékét a beosztásköz mely pontjában vesszük, az integrálközelít® összeg mindig konvergált az integrálhoz. A sztochasztikus integrál esetében a helyzet jóval bonyolultabb.

Az osztáspontok szerepe az integrálközelít® összegben Célunk meghatározni az 0

Rt

= t0 < t1 < . . . < tn = t

0

Wu dWu

integrál értékét. Tekintsünk egy

beosztást és egy

ε ∈ [0, 1]

értéket. Ekkor

többféle integrálközelít® összeg is felírható, és

Sε,n =

n−1 X

εWti+1 + (1 − ε)Wti

L2

Wti+1 − Wti −→

i=0

Wt2 2

1 + ε− t, 2

ε = 0 mellett Wu dWu = (Wt2 − t)/2. Vegyük

amint a beosztás nomsága fut nullához. Speciálisan visszakapjuk az Itô-integrált, tehát

Rt 0

észre, hogy ez a folyamat valóban folytonos martingál. Ezzel szemben

ε>0

esetén a határfolyamat nem martingál.



2016. ®szi félév

62 / 85


Itô-folyamatok

Itô-folyamatok

Itô-folyamatok Legyen

(Wt )T t=0

standard Wiener-folyamat, és legyen

(Ft )T t=0

a

generált sz¶rés. Legyen továbbá

Z

t

Xt = X0 +

Z Ks ds +

0

t

Hs dWs ,

0

≤t≤T,

0

ahol

X0 F0 -mérhet®; T (Kt )T t=0 és (Ht )t=0 adaptált sztochasztikus folyamat; RT RT |Ks |ds < ∞ és 0 Hs2 ds < ∞ majdnem biztosan. 0 Ekkor az

(Xt )T t=0

folyamatot

Itô-folyamatnak nevezzük, és a folyamatra

a következ® diegyenletes jelölést alkalmazzuk:

Ks ds a folyamat korlátos változású része 0 H dW a folyamat martingál része. Azt is szoktuk mondani, hogy s s 0 T (Wt )t=0 Wiener-folyamat hajtja meg az Itô-folyamatot.

A folyamat deníciójában és a

dXt = Kt dt + Ht dWt .

Rt

Rt



2016. ®szi félév

63 / 85


Itô-folyamatok

Az Itô-folyamatok egyértelm¶sége 1

RT

Tegyük fel, hogy Ha az

0

(Mt )T t=0

|Ks |ds < ∞

m.b., és legyen

folyamat martingál, akkor

P(Kt = 0

következik, hogy

m.m.

Mt =

Mt ≡ 0

Rt 0

Ks ds .

m.b.

Ebb®l

t -re) = 1. Kt ≡ 0 T (Kt )t=0 és

2

Egy Itô-folyamat pontosan akkor martingál, ha

3

Az Itô-folyamatok deníciójában szerepl®

m.b.

(Ht )T t=0

folyamat egyértelm¶en meghatározott.

Az Itô-formula (Itô-lemma) Legyen

(Xt )T t=0

Itô-folyamat, és a továbbiakban alkalmazzuk az

Itô-folyamatok deníciójában szerepl® jelöléseket. Ha

f :R→R

kétszer

folytonosan dierenciálható determinisztikus függvény, akkor

Z

t

1

Z

t

f (Xs ) dXs + f 00 (Xs )Hs2 ds , 2 0 Z0 t Z t 1 0 00 2 = f (X0 ) + f (Xs )Ks + f (Xs )Hs ds + f 0 (Xs )Hs dWs ,

f (Xt ) = f (X0 ) +

0

2

0

Ebb®l következik, hogy Sz¶cs Gábor (SZTE)

(f (Xt ))T t=0

0

szintén Itô-folyamat.


2016. ®szi félév

64 / 85


Itô-folyamatok

Exponenciális Brown-mozgás Tetsz®leges

µ∈R

és

σ>0

mellett oldjuk meg a következ®

sztochasztikus dierenciálegyenletet: Mutassuk meg, hogy az

dXt = µXt dt + σXt dWt .

exponenciális Brown-mozgás

a megoldás:

Xt = X0 exp σWt + µ − σ 2 /2 t .

Egy martingál Legyen

(Xt )T t=0

adaptált folyamat, és legyen

Z

t

Xs dWs −

ζt = 0

1

Z

2

t

Xs2 ds .

0

Rt

Zt = e ζt folyamatra Zt = 1 + 0 Zs Xs dWs . Ebb®l következik, T hogy (Zt )t=0 Itô-folyamat és martingál, továbbá E (Zt ) = 1. Az Xt ≡ a speciális esetben Zt = exp(Wt − t/2). Ezzel a folyamattal Ekkor a

már találkoztunk a Wiener-folyamat elemi tulajdonságainál. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

65 / 85


Itô-folyamatok

Az Itô-formula általánosabb alakja Legyen

(Xt )T t=0

Itô-folyamat, és a továbbiakban alkalmazzuk az Itô-

folyamatok deníciójában szerepl® jelöléseket. Ha

f : R2 → R, f ∈ C 1,2 ,

determinisztikus függvény, akkor

t ∂f (s, Xs ) ds f (t, Xt ) = f (0, X0 ) + ∂t 0 Z t Z t 2 ∂f ∂ f 1 + (s, Xs ) dXs + (s, Xs )Hs2 ds ∂x 2 0 ∂x 2 0 Z t 2 ∂f ∂f 1∂ f 2 = f (0, X0 ) + (s, Xs ) + (s, Xs )Ks + (s, X )H s s ds ∂t ∂x 2 ∂x 2 0 Z t ∂f (s, Xs )Hs dWs . + ∂x 0

Z

A kapott azonosságot röviden így is lehet írni:

2 ∂f ∂f 1∂ f ∂f 2 df (t, Xt ) = (t, Xt )+ (t, Xt )Kt + (t, Xt )Ht dt+ (t, Xt )Ht dWt 2 ∂t ∂x 2 ∂x ∂x Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

66 / 85


Itô-folyamatok

Az OrnsteinUhlenbeck-folyamat Tekintsük az úgynevezett Langevin-egyenletet: és legyen

Y0

független a

(Wt )T t=0

egyenletenek a megoldása az

Yt = e

−µt

dYt = −µYt dt + σdWt ,

Wiener-folyamattól. Ennek az

OrnsteinUhlenbeck-folyamat:

Z t µs Y0 + σ e dWs ,

t ≥ 0.

0

A folyamat pontonkénti várható értéke és második momentuma:

EYt = e −µt EY0 , Ha az

Y0

EYt2 = e −2µt EY02 +

σ 2µ

(1 − e −2µt ) .

változó normális eloszlást követ 0 várható értékkel és

szórásnégyzettel, akkor az

(Yt )T t=0

σ 2 /(2µ)

stacionárius Gauss-folyamat, és

kovarianciafüggvénye:

Cov(Yt , Ys ) Sz¶cs Gábor (SZTE)

=

σ 2 −µ(t−s) e . 2µ


2016. ®szi félév

67 / 85


Itô-folyamatok

Többdimenziós Itô-folyamatok Xt = (Xt1 , . . . , Xtd ), t ∈ [0, T ],

Az

Itô-folyamat,

folyamat

d -dimenziós

ha minden komponense el®áll a következ® alakban:

Xti

r Z X

t

Z

i

Ksi

= X0 +

ds +

0

t

Hsi,j dWsj ,

0

j=1

ahol

X0 = (X01 , . . . , X0d ) F0 -mérhet®; (Kti ) és (Hti,j ) RT i |Kt |dt < ∞ 0

adaptált folyamat minden

RT

és

(Wt1 ), . . . , (Wtr )

0

(Hti,j )2 dt

<∞

i, j -re;

minden

i, j -re;

független standard Wiener-folyamatok.

A fenti formula vektoros alakban is felírható:



Xt1





X01



 ..   ..   . = . + Xtd X0d Sz¶cs Gábor (SZTE)

 Z 0

t

Ks1



 ..   .  ds + Ksd

 Z 0

t

Hs1,1 · · · Hs1,r

 

. . .

Hsd,1


  1 Wt .   .  . d  .  . . d,r Wtr · · · Hs 2016. ®szi félév

68 / 85


Itô-folyamatok

A többdimenziós Itô-formula Legyen

(Xt ) d -dimenziós

Itô-folyamat, és alkalmazzuk a denícióban

bevezetett jelöléseket. Legyen továbbá

f : R1+d → R, f ∈ C 1,2 ,

determinisztikus függvény. Ekkor

f (t, Xt1 , . . . , Xtd ) = f (0, X01 , . . . , X0d ) +

Z

t

0

d Z X

∂f f (s, Xs1 , . . . , Xsd ) ds ∂t

t

∂f f (s, Xs1 , . . . , Xsd ) dXsi ∂xi 0 i=1 d Z t r X 1 X ∂2f 1 d + f (s, Xs , . . . , Xs ) Hsi,k Hsj,k ds . 2 ∂xi ∂xj 0

+

i,j=1


k=1


2016. ®szi félév

69 / 85


Itô-folyamatok

Parciális integrálás (Xt , Yt ), t ∈ [0, T ], kétdimenziós Itô-folyamat, ahol Z t Z t Z t Z t fs . Xt = X0 + Ks ds + Hs dWs , Yt = Y0 + Ls ds + Gs d W

Legyen

0

1

Ha

0

ft ), (Wt ) = (W

0

0

tehát a két folyamatot azonos Wiener-folyamat

hajtja meg, akkor

Z

t

Z

t

Xs dYs = Xt Yt − X0 Y0 − 0

2

Ha

(Wt )

Z Ys dXs −

0

ft ) (W

és

Z

Gs Hs ds . 0

független Wiener-folyamatok akkor

t

Z Xs dYs = Xt Yt − X0 Y0 −

0


t

t

Ys dXs . 0


2016. ®szi félév

70 / 85


Itô-folyamatok

Martingál reprezentációs tétel (Ft )

Tegyük fel, hogy az

(Mt ) olyan (Yt )

tetsz®leges létezik

sz¶rés teljesíti a szokásos feltételeket. Ekkor

folytonos és négyzetesen integráható martingál esetén adaptált folyamat, melyre

Z Mt = M0 +

t

Ys dWs ,

t ∈ [0 , T ] .

0

Lévy tétele a Wiener-folyamat karakterizációjáról Legyen

(Mt )t≥0

folytonos martingál. Ha

(Mt )t≥0

martingál, akkor

(Mt2 − t)t≥0

szintén

standard Wiener-folyamat.

A Poisson-folyamat Az el®z® tételben a folytonossági feltevést nem lehet elhagyni. Legyen

(Nt )t≥0 t ≥ 0.

λ = 1 intenzitással, és legyen Mt = Nt − t , 2 és (Mt − t)t≥0 martingál, pedig (Mt )t≥0

Poisson-folyamat Ekkor

(Mt )t≥0

nem standard Wiener-folyamat. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

71 / 85


Mértékváltás

Mértékváltás

(Ω, A, P) valószín¶ségi mez®, és legyen a Q mérték abszolút folytonos a P -re nézve (Q P ), ami azt jelenti, hogy létezik olyan M∞ : Ω → R mérhet® függvény, (tehát véletlen változó,) melyre Z Q(A) = M∞ dP , A ∈ A. Legyen adva egy

A

Q mértéknek a P mértékre vett RadonNikodym-deriváltja: M∞ = dQ/dP . R R A két mérték szerinti várható értékek: EP X = Ω XdP , EQ X = Ω XdQ . Tekintsünk egy (Ft )t≥0 sz¶rést, és legyen Mt = EP [M∞ |Ft ], t ≥ 0, ami egy P -martingál. Ekkor igaz a következ® állítás: Ekkor azt mondjuk, hogy az

M∞

változó a

Kapcsolat a P - és a Q -martingálok között Az

(Xt )t≥0 folyamat Q -martingál.

pontosan akkor

P -martingál,

ha az

(Mt Xt )t≥0

folyamat



2016. ®szi félév

72 / 85


Mértékváltás

Girsanov-tétel Legyen

(θt )T t=0

olyan adaptált folyamat, melyre

RT 0

θs2 ds < ∞

m.b., és

tegyük fel, hogy

Z −

Λt = exp

t

θs dWs − 0

P -martingál,

ahol

(Wt )T t=0

1 2

Z

t 2

θs ds ,

t ∈ [0 , T ] ,

0

P

standard Wiener-folyamat a

mérték

alatt. Legyen

Z Qθ (A) =

A ∈ FT .

ΛT dP , A

Ekkor

ft = Wt + W

Rt 0

θs ds , t ∈ [0, T ],

standard Wiener-folyamat a

Q

mérték alatt. Vegyük észre, hogy a deníció értélmében


dQθ /dP = ΛT .


2016. ®szi félév

73 / 85




Folytonos idej¶ piacok Egy

{Ω, A, P, F, B, S, T } T ∈ (0, ∞)

halmazt

folytonos idej¶ piacnak

nevezünk, ha

rögzített valós szám;

F = (Ft )T t=0 sz¶rés az (Ω, A, P) valószín¶ségi mez®n; B = (Bt )T t=0 determinisztikus folyamat, a kötvény ára; T S = (St )t=0 Itô-folyamat (és ezáltal adaptált), a részvény

Stratégiának

πt = (βt , γt ), t ∈ [0, T ], RT |βt |dt < ∞ és 0 γt2 dt < ∞ m.b.

nevezünk egy olyan

folyamatot, melyre

RT 0

ára.

adaptált

részvény diszkontált ára, a stratégia értékfolyamata illetve a stratégia diszkontált értékfolyamata: A

St =

B0 St , Bt

Xt = βt Bt + γt St ,

A továbbiakban legyen Sz¶cs Gábor (SZTE)

Bt = B0 e rt ,

ahol

Xt = r >0


B0 Xt , Bt

t ∈ [0, T ] .

determinisztikus. 2016. ®szi félév

74 / 85



Önnanszírozó stratégiák, arbitrázs Azt mondjuk, hogy a

(πt )T t=0

stratégia

önnanszírozó,

ha

dXt = βt dBt + γt dSt . Egy önnanszírozó stratégia

XT ≥ 0 Q

A

m.b., és

arbitrázsstratégia,

valószín¶ségi mértéket

ha ekvivalens a

P

ha

X0 = 0

m.b.,

P(XT > 0) > 0.

ekvivalens martingálmértéknek

mértékkel, és

(S t )T t=0

nevezzük,

Q -martingál.

Az önnanszírozó stratégiák és arbitrázsmentesség Tegyük fel, hogy a folytonos idej¶ piacon

Bt = B0 e rt .

Ekkor teljesülnek

az alábbiak:

dX t = γt dS t .

1

Egy stratégia pontosan akkor önnanszírozó, ha

2

Ha a piacon létezik ekvivalens martingálmérték, akkor a piac

arbitrázsmentes, Sz¶cs Gábor (SZTE)

tehát nem létezik arbitrázsstratégia. Pénzügyi matematika

2016. ®szi félév

75 / 85



Véletlen követelés, fedezeti stratégia FT -mérhet® fT véletlen változót véletlen követelésnek nevezünk. Egy (πt )Tt=0 önnanszírozó stratégia fedezeti stratégia a véletlen követelésre x kezd®t®kével, ha X0 = x és XT ≥ fT majdnem biztosan. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a stratégia egy (fT , x)-fedezet. Az fT követelés igazságos ára: CT (fT ) = inf x ∈ R : létezik (fT , x)-fedezet .

Folytonos idej¶ piacon egy

Véletlen követelések igazságos ára Ha a folytonos idej¶ piacon létezik

Q

ekvivalens martingálmérték, akkor

CT (fT ) ≥ EQ e −rT fT .



2016. ®szi félév

76 / 85



A BlackScholes-modell Legyen

µ ∈ R, σ, r > 0.

A

BlackScholes-modell

egy olyan folytonos

idej¶ piac, ahol a kötvény és a részvény ára a következ® dinamikát követi:

dBt = rBt dt ,

B0 = 1,

dSt = µSt dt + σSt dWt ,

S0 = S0 .

A BlackScholes-modell tulajdonságai 1

A kötvény és a részvény ára explicit formulával:

Bt = e rT , 2

Legyen

θ = (µ − r )/σ

St = S0 exp σWt + (µ − σ 2 /2)t . Λt = exp(−θWt − θ2 t/2).

és

Ekkor a

Z Q(A) =

ΛT dP ,

A ∈ A,

A mérték ekvivalens martingálmérték a BlackScholes-piacon. Ebb®l következik, hogy a piac arbitrázsmentes. Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

77 / 85


Tekintsünk egy

fT


véletlen követelést, és legyen

t ∈ [0, T ]. Ekkor a martingál reprezentációs tétel (Yt )T t=0 adaptált folyamat, hogy Z t fs . Ys d W Nt = N 0 +

Nt = EQ [e −rT fT |Ft ], értelmében létezik olyan

0

Árazás és fedezeti stratégia A BlackScholes-modellben egy tetsz®leges igazságos ára

CT (fT ) =

EQ [e −rT fT ],

fT

véletlen követelés

és a következ® stratégia egy

tökéletes fedezet:

βt = Nt −

Yt , σ

γt =

Yt e rt , σSt

t ∈ [0, T ] .

Egy egyben azt is jelenti, hogy a BlackScholes-piac teljes.



2016. ®szi félév

78 / 85



A BlackScholes-formula A BlackScholes-modellben a

K

kötési árhoz tartozó európai call opció

igazságos ára

CT (K ) = S0

1

√ − Φ(γ − σ T ) − e −rT K 1 − Φ(γ) ,

ahol

K ln − γ= √ S0 σ T 1

σ2 2

−r T .

A fenti formula 1973-ból származik, és a szerz®k 1997-ben kaptak érte közgazdasági Nobel-díjat. Jegyezzük meg, hogy a formulát nem az általunk bemutatott módon bizonyították be, ugyanis a piacok matematikájának az elmélete akkor még nem volt kidolgozva. Black és Scholes közgazdasági megfontolások alapján levezette, hogy a

V (t, S)

árfüggvény kielégíti az

alábbi parciális dierenciálegyenletet, és a fenti formula ennek a megoldása: 1 ∂2V ∂V ∂V + σ 2 S 2 2 + rS − rV = 0 . ∂t 2 ∂S ∂S Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

79 / 85


Markov-folyamatok

Markov-folyamatok

Markov-folyamatok Egy

(Xt )t≥0

ha tetsz®leges

sztochasztikus folyamatot

τ ≥t≥0

Markov-folyamatnak

nevezünk,

id®pontok esetén

P Xτ ∈ B | Xs , s ≤ t = P Xτ ∈ B | Xt ) ,

B ∈ B.

Ekkor a

pτ,t (B|x) = P Xτ ∈ B | Xt = x)

átmenetvalószín¶ségeknek nevezzük. A Markovid®homogén, ha pτ,t (B|x) = pτ −t, (B|x) =: pτ −t (B|x).

valószín¶ségeket folyamat

0

ChapmanKolmogorov-egyenletek Ha

(Xt )t≥0

Markov-folyamat, akkor tetsz®leges

0

≤t≤s≤τ

esetén

Z pτ,s (B|y )ps,t (dy |x) .

pτ,t (B|x) = R Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

80 / 85


Markov-folyamatok

Innitezimális generátor Tegyük fel, hogy az

(Xt )t≥0 Markov-folyamat id®homogén és Xt →P X0 , amint t → 0.

sztochasztikusan folytonos a 0 pontban, tehát Legyen továbbá

Px (Xt ∈ B) = P Xt ∈ B | X0 = x , A folyamat

f 7→ Sf

innitezimális generátora

Ex f (Xt ) = E f (Xt ) | X0 = x . a következ® formulával deniált

operátor:

(Sf )(x) =

lim

t→0

Ex f (Xt ) − f (x) , t

x ∈ R.

f : R → R függvényekre deniáljuk, melyekre ez a x valós szám esetén létezik. Az S operátor tartományát jelölje D(S). Megmutatható, hogy a korlátos

Az operátort azon

határérték minden értelmezési

és

mérhet® függvények elemei az értelmezési tartománynak.



2016. ®szi félév

81 / 85


Markov-folyamatok

Kolmogorov-egyenletei Legyen

(Xt )t≥0

id®homogén Markov-folyamat, mely sztochasztikusan

folytonos a 0 pontban. Egy

µ

mérték esetén

S ∗µ

jelölje azt a

mértéket, melyre

Z

Z (Sf )(y )µ(dy ) =

R Az

S∗

operátort az

f (y )(S ∗ µ)(dy ) .

R

S adjungáltjának

nevezzük. Ekkor megfelel®

további feltételek mellett teljesülnek az alábbiak: 1

Kolmogorov visszafelé haladó egyenlete. ∂ pt (B|x) = (Spt )(B|·) (x) . ∂t

2

Kolmogorov el®refelé haladó egyenlete. ∂ pt (B|x) = (S ∗ pt )(·|x) (B) . ∂t Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

82 / 85


Markov-folyamatok

A Poisson-folyamat A

λ=1

intenzitású Poisson-folyamat id®homogén Markov-folyamat,

melynek átmenetvalószín¶ségei

pt (y |x) =

e −1 , (y − x)!

x, y ∈ N0 , y ≥ x .

A folyamat innitezimális generátora:

(Sf )(x) = f (x + 1) − f (x) ,

x ∈ N0 .

A Kolmogorov hátra egyenlet:

∂ pt (B|x) = pt (B|x + 1) − pt (B|x) , ∂t Az el®re egyenlet:

∂ pt (B|x) = pt (B − 1|x) − pt (B|x) . ∂t Sz¶cs Gábor (SZTE)


2016. ®szi félév

83 / 85


Markov-folyamatok

A standard Wiener-folyamat A standard Wiener-folyamat id®homogén Markov-folyamat, melynek átmenet-s¶r¶ségfüggvénye illetve átmenetvalószín¶ségei:

ρt (y |x) = √

1 2πt

exp

A folyamat generátora:

(y − x)2 (2t)

Z ,

ρt (y |x) dy .

pt (B|x) = B

(Sf )(x) = f 00 (x)/2, f ∈ C 2 , x ∈ R.

A hátra illetve az el®re egyenlet:

∂ pt (B|x) = ∂t

∂2 pt (B|x) , 2 ∂x 2 1

∂ ∂2 pt (y |x)dy = pt (y |x)dy . ∂t ∂y 2

Mindez a s¶r¶ségfüggvényekre átírva:

∂ ρt (B|x) = ∂t Sz¶cs Gábor (SZTE)

∂2 ρt (B|x) , 2 ∂x 2 1

∂ ∂2 ρt (y |x)dy = ρt (y |x) . ∂t ∂y 2


2016. ®szi félév

84 / 85


Diúziós folyamatok Diúziós folyamatnak

Markov-folyamatok

(Xt )t≥0 sztochasztikus µ, σ : R → R függvények mellett megoldása dXt = µ(Xt )dt + σ(Xt )dWt .

nevezünk egy olyan

folyamatot, mely megfelel® a következ® egyenletnek:

Diúziós folyamatok innitezimális generátora Diúziós folyamat esetén

(Sf )(x) = µ(x)f 0 (x) + σ(x)

f 00 (x) 2

f ∈ C2 , x ∈ R .

,

A Kolmogorov hátra egyenlet:

Az el®re

∂ ∂ ∂2 pt (B|x) = µ(x) pt (B|x) + σ 2 (x) 2 pt (B|x) . ∂t ∂x ∂x R egyenlet a s¶r¶ségfüggvényre: pt (B|x) = B ρt (y |x)dy

∂ ∂ ρt (B|x) = − µ(y )ρt (y |x) + ∂t ∂y Sz¶cs Gábor (SZTE)


∂2 2 σ (y )ρ (y |x) . t 2 ∂y 2

1

2016. ®szi félév

85 / 85

Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Recommend Documents