¨ ggetlense ´gvizsga ´ lat Fu Vir´ag Katalin Szegedi Tudom´ anyegyetem, Bolyai Int´ ezet
F¨ uggetlens´ eg
¨ ggetlense ´g Fu
K´et v´altoz´o f¨ uggetlen, ha az egyik v´altoz´ o megfigyel´ese a m´asik v´altoz´ora n´ezve nem szolg´altat inform´aci´ ot; azaz az egyik v´altoz´o b´armely ´ert´eke mellett a m´asik v´altoz´onak ugyanaz az eloszl´asa.
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
2 / 17
K´ et diszkr´ et v´ altoz´ o
Khi-n´ egyzet-pr´ oba f¨ uggetlens´ egvizsg´ alatra
´gyzet-pro ´ ba fu ¨ ggetlense ´gvizsga ´ latra Khi-ne
´telek Felte Az aszimptotikus khi-n´egyzet-eloszl´as megfelel˝ o haszn´alat´ahoz a k¨ovetkez˝o felt´etelek sz¨ uks´egesek: Elemsz´ am: el´eg nagy elemsz´am´ u minta V´ art gyakoris´ agok: minden cella v´art gyakoris´ag´anak legal´abb 5-nek kell lennie.
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
3 / 17
K´ et diszkr´ et v´ altoz´ o
Khi-n´ egyzet-pr´ oba f¨ uggetlens´ egvizsg´ alatra
Tegy¨ uk fel, hogy X ´es Y diszkr´et v´altoz´ ok. X ´es Y lehets´eges ´ert´ekei: x1 , x2 , . . . , xr ´es y1 , y2 , . . . , ys . ´zis Nullhipote H0 : P(X = xi , Y = yj ) = P(X = xi )P(Y = yj ), 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ s A k´et v´altoz´o f¨ uggetlen.
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
4 / 17
K´ et diszkr´ et v´ altoz´ o
Khi-n´ egyzet-pr´ oba f¨ uggetlens´ egvizsg´ alatra
A megfigyelt gyakoris´agok t´abl´azata: kontingencia t´abl´azat:
x1 x2 .. . xr Total
y1 O11 O21 .. . Or 1 n.1
y2 O12 O22 .. . Or 2 n.2
... ... ... .. . ... ...
ys O1s O2s .. . Ors n.s
Total n1. n2. .. . nr . n
Az ismeretlen val´osz´ın˝ us´egeket a relat´ıv gyakoris´agokkal becs¨ ulj¨ uk: ni. ˆ P(X = xi ) = n
n.j ˆ P(Y = yj ) = n
nij ˆ P(X = xi , Y = yj ) = n
´Igy H0 teljes¨ ul´ese eset´en: ni. n.j nij ni. n.j ˆ = ⇒ P(X = xi , Y = yj ) = n n n n Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
5 / 17
K´ et diszkr´ et v´ altoz´ o
Khi-n´ egyzet-pr´ oba f¨ uggetlens´ egvizsg´ alatra
V´art gyakoris´agok: a nullhipot´ezis teljes¨ ul´ese, azaz f¨ uggetlens´eg eset´en: Eij =
ni. n.j n
Megfigyelt gyakoris´agok x1
V´art gyakoris´agok
y1
y2
...
ys
Total
O11
O12
...
O1s
n1.
y1
...
ys
Total
x1
n1. n.1 n
...
n1. n.s n
n1.
...
n2. n.s n
n2.
.. .
.. .
x2
O21
O22
...
O2s
n2.
x2
n2. n.1 n
.. .
.. .
.. .
..
.. .
.. .
.. .
.. .
..
xr
Or 1
Or 2
...
Ors
nr .
xr
nr . n.1 n
...
nr . n.s n
nr .
Total
n.1
n.2
...
n.s
n
Total
n.1
...
n.s
n
.
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
.
6 / 17
K´ et diszkr´ et v´ altoz´ o
Khi-n´ egyzet-pr´ oba f¨ uggetlens´ egvizsg´ alatra
´ bastatisztika Pro χ2 =
r X s X (Oij − Eij )2 Eij i=1 j=1
a megfigyelt ´es a v´art gyakoris´agok k¨ oz¨ otti elt´er´est jelzi. ´s Nulleloszla K¨ ozel´ıt˝oleg khi-n´egyzet-eloszl´as (r − 1)(s − 1) szabads´agi fokkal.
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
7 / 17
K´ et diszkr´ et v´ altoz´ o
Khi-n´ egyzet-pr´ oba f¨ uggetlens´ egvizsg´ alatra
´telek nem teljesu ¨ le ´se esete ´n A felte
´ges megolda ´ sok Lehetse Cell´ak egyes´ıt´ese Fisher-f´ele egzakt pr´ oba: fisher.test(). p-´ert´ek sz´am´ıt´asa Monte Carlo szimul´aci´ oval: chisq.test(x, simulate.p.value = TRUE)
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
8 / 17
K´ et norm´ alis eloszl´ as´ u v´ altoz´ o
Pearson-f´ ele korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ o
´le korrela ´ cio ´ s egyu ¨ tthato ´ Pearson-fe ´ ljuk Mikor haszna K´et folytonos v´altoz´o k¨oz¨ otti line´aris kapcsolat jellemz´es´ere.
´ e ´ke Ert -1 ´es 1 k¨oz´e esik.
˝ jele Elo A line´aris kapcsolat ir´any´at mutatja.
´ ga Nagysa A line´aris kapcsolat szoross´ag´at mutatja. Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
9 / 17
K´ et norm´ alis eloszl´ as´ u v´ altoz´ o
Pearson-f´ ele korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ o
´le korrela ´ cio ´ s egyu ¨ tthato ´ ra A Pearson-fe ´ hipote ´zisvizsga ´ lat vonatkozo
´tel Felte K´etdimenzi´ os norm´alis eloszl´as.
´zis Nullhipote H0 : ρ = 0 A k´et v´altoz´o korrel´alatlan.
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
10 / 17
K´ et norm´ alis eloszl´ as´ u v´ altoz´ o
Pearson-f´ ele korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ o
´le korrela ´ cio ´ s egyu ¨ tthato ´ becsle ´se A Pearson-fe Pn (xi − x¯)(yi − y¯) r = i=1 (n − 1)SDx SDy ´ bastatisztika Pro r t=r
n−2 1 − r2
´s Nulleloszla Student-f´ele t-eloszl´as n − 2 szabads´agi fokkal.
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
11 / 17
K´ et folytonos v´ altoz´ o
Spearman-f´ ele rang korrel´ aci´ o
´le rang korrela ´ cio ´ Spearman-fe
´le korrela ´ cio ´ normalita ´ si felte ´tele se ´ ru ¨l Ha a Pearson-fe K´et v´altoz´o k¨oz¨otti monoton kapcsolat vizsg´alat´ara. cor.test(x, y, method = ”spearman”)
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
12 / 17
Egy norm´ alis eloszl´ as´ u ´ es egy diszkr´ et v´ altoz´ o
Egyszempontos ANOVA
Egyszempontos ANOVA
´telek Felte F¨ uggetlen megfigyel´esek Csoportonk´enti norm´alis eloszl´as Varianci´ak homogenit´asa
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
13 / 17
Egy norm´ alis eloszl´ as´ u ´ es egy diszkr´ et v´ altoz´ o
Egyszempontos ANOVA
´zis Nullhipote H0 : µ 1 = µ 2 = · · · = µ k ¨ tlet Alapo A f¨ ugg˝o v´altoz´o variabilit´as´at k´et r´eszre osztjuk: Csoportok k¨ oz¨ otti variancia: a csoport´atlagok k¨oz¨otti variabilit´ast m´eri. Csoporton bel¨ uli variancia: egyedek k¨ oz¨ otti k¨ ul¨onbs´eg (v´eletlen hiba). Ha a csoportok k¨oz¨otti variancia sokkal nagyobb, mint a csoportokon bel¨ uli variancia, akkor arra k¨ovetkeztet¨ unk, hogy nem minden ´atlag azonos.
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
14 / 17
Egy norm´ alis eloszl´ as´ u ´ es egy diszkr´ et v´ altoz´ o
Egyszempontos ANOVA
´ bastatisztika Pro F =
csoportok k¨ oz¨ otti variancia csoportokon bel¨ uli variancia
´s Nulleloszla F -eloszl´as k − 1 ´es n − k szabads´agi fokokkal.
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
15 / 17
Egy folytonos ´ es egy diszkr´ et v´ altoz´ o
Kruskal-Wallis H-teszt
´le H-pro ´ ba Kruskal-Wallis-fe
´ si felte ´tele se ´ru ¨l Ha az egyszempontos ANOVA normalita Azt vizsg´alja, hogy az eloszl´asok eltol´assal ´atvihet˝ ok-e egym´asba. kruskal.test()
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
16 / 17
¨ ggetlense ´gvizsga ´ latok Fu
Diszkr´et
Folytonos
Diszkr´et
Khi-n´egyzet-pr´ oba f¨ uggetlens´egvizsg´alatra
Folytonos
Kruskal-Wallis-Teszt
Spearman-f´ele korr. egy¨ utthat´ ora vonatkoz´ o pr´ oba
Norm´alis
Egyszempontos ANOVA
Spearman-f´ele korr. egy¨ utthat´ ora vonatkoz´ o pr´ oba
Vir´ ag Katalin (Bolyai Int´ ezet)
F¨ uggetlens´ egvizsg´ alat
Norm´alis
Pearson-f´ele korr. egy¨ utthat´ora vonatkoz´o pr´oba
17 / 17
