Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor. Szeged, szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Pénzügyi matematika Sz¶cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Szeged, 2011. ®szi félév

Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)

Pénzügyi matematika

2011. ®szi félév

1 / 79

Bevezetés

Értékpapírpiacok

Értékpapírpiacok A t®zsde (piac, market) egy olyan intézmény, melyen a résztvev®k különféle eszközökkel (devizával, értékpapírral, árúval, energiával, stb.) kereskednek. Mi az értékt®zsdével, tehát a devizák és értékpapírok piacával foglalkozunk. Törvényileg el®írt szabályok: minden résztvev® ugyanazokhoz az információkhoz juthat hozzá (tiltott a bennfentes kereskedés); minden pénzügyi eszköz esetén engedélyezett a short selling (fedezetlen eladás). Feltevések, melyek a valóságban (általában) nem teljesülnek: minden pénzügyi eszköz (deviza és értékpapír) korlátlanul osztható és likvid (bármikor eladható és megvásárolható); nincsenek tranzakciós költségek, megbízási jutalékok; a banki betét- és hitelkamatok egyenl®ek; nincs korlátozás a bankkölcsön nagyságára és az értékpapírvásárlás mennyiségére. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

2 / 79

Bevezetés

Értékpapírpiacok

Matematikai modellek: mindig egy rögzített a determinisztikus

T

[0, T ] >0

id®intervallumot vizsgálunk; értéket lejárati id®pontnak nevezzük;

a cél bizonyos termékek piaci árának modellezése; további cél egy optimális kereskedési stratégia kidolgozása. Modellek típusai: diszkrét idej¶ modellek: csak bizonyos

0

= t0 < t1 < · · · < tN = T

id®pontokban kereskedhetünk, és emiatt az értékpapírok árát is csak ezekben az id®pontokban vizsgáljuk. folytonos idej¶ modellek: a

[0, T ]

intervallumon bármely id®pontban

kereskedhetünk, ezért az árakat folytonos id®ben modellezzük. A piaci szerepl®k a valóságban (általában) folytonos idej¶ modelleket alkalmaznak, de a tranzakciós költségek miatt csak véges sok id®pontban kereskednek. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

3 / 79

Bevezetés

Értékpapírpiacok

Részvény (Stock) Olyan eszköz, melynek nincs rögzített hozama. A piaci ára egy id®pontban egy

St

véletlen változó, melynek értéke a

t

0

≤t≤T

id®pont el®tt

(általában) nem ismert.

Kötvény (Bond) Olyan eszköz, melynek el®re bejelentett kamata van, tehát kockázatmentes. Értéke egy

0

≤t≤T

Például, diszkrét idej¶ piacokon:

tk

a részvény ára a

Bt ,

id®pontban (0

mely a

id®pontban

Sk = Stk ,

id®pontban válik ismerté;

tk −

1

id®pont el®tt is ismert.

= t0 < t1 < · · · < tN = T )

a kötvény ára ugyanebben az id®pontban legkés®bb a

t

mely csak a

Bk = Btk ,

tk

melyet

id®pontban kihírdetnek.

A modellekben egy vagy több részvénnyel, de csak egy kötvénnyel dolgozunk. (A piacon több kötvény is létezhet, de mi mindig kiválasztjuk azt, amelyik a legmagasabb hozamot biztosítja.) Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

4 / 79

Bevezetés

Származtatott értékpapírok

Származtatott értékpapírok Opciók

Opciónak nevezünk egy olyan szerz®dést, melyben az egyik fél vételi vagy eladási kötelezettséget vállal bizonyos piaci termékre a másik féllel szemben. Opciók közös jellemz®i: a kötelezettséget vállaló felet az opció eladójának nevezzük, és azt mondjuk, hogy rövid (short) pozícióban van; a másik felet vev®nek hívjuk, aki hosszú (long) pozícióban van; az opció mindig egy rögzített és véges vonatkozik,

T

[0 , T ]

id®intervallumra

a szerz®dés lejárati id®pontja;

a kötelezettség általában csak akkor lép életbe, ha bizonyos piaci feltételek teljesülnek; az opció érvényesítését lehívásnak nevezzük; a vev® a szerz®dés megkötésekor a kötelezettségvállalásért cserébe díjat zet az eladónak, ez az opció ára. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

5 / 79

Bevezetés


Az opciós szerz®déseket tovább lehet adni a másodlagos piacon, gyakorlatilag értékpapírnak tekinthet®ek.

Származtatott értékpapírok (derivatívák) A származtatott értékpapírok olyan pénzügyi eszközök, melyek értéke más eszközök értékét®l függ. Megjegyzés: Általában az opció tulajdonosa (a kedvezményezett) nem érvényesíti a vételi vagy eladási jogát, hanem az eladó az aktuális piaci árak alapján készpénzzel váltja ki a kötelezettségét. (Tranzakciós költségek!)

Kizetési függvény A kizetési függvény azt mutatja meg, hogy az opció tulajdonosa mekkora pénzösszeget realizál, ha optimálisan használja fel a jogosultságát. F® kérdés: Hogyan árazzunk egy opciót, tehát mennyiért adjuk el vagy vásároljuk meg, hogy megérje nekünk?



2011. ®szi félév

6 / 79

Bevezetés


Európai vételi (call) opció Vételi jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre. Az eladó vállalja, hogy a

T

lejárati id®pontban a szerz®désben rögzített

K

áron elad egy

darab részvényt az opció aktuális tulajdonosának, ha az ezt akarja. Az európai vételi opció jellemz®i: a

K

értéket kötési árnak (strike) nevezzük;

a továbbiakban

C

jelöli az opció piaci árát;

f (ST ) = (ST − K )+ ; a vev® nyeresége: f (ST ) − C = (ST − K )+ − C ; az eladó nyeresége: C − f (ST ) = C − (ST − K )+ . kizetési függvény:

C K

ST


-C

K Pénzügyi matematika

ST

K 2011. ®szi félév

ST

7 / 79

Bevezetés


Európai eladási (put) opció Eladási jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre. Az eladó vállalja, hogy a

T

lejárati id®pontban a szerz®désben rögzített

K

áron megvesz

egy darab részvényt az opció aktuális tulajdonosától, ha az ezt akarja. Az európai eladási opció jellemz®i: a

K

értéket kötési árnak (strike) nevezzük;

a továbbiakban

P

jelöli az opció piaci árát;

f (ST ) = (K − ST )+ ; a vev® nyeresége: f (ST ) − P = (K − ST )+ − P ; az eladó nyeresége: P − f (ST ) = P − (K − ST )+ . kizetési függvény:

K K -P K

ST


-P

P K Pénzügyi matematika

ST P-K

K 2011. ®szi félév

ST

8 / 79

Bevezetés


Kombinált opciók

Kombinált opciónak nevezzük azt, amikor az opciós szerz®dés több ugyanazon értékpapírra vonatkozó opciót egyesít. Példák:

(K1 , T )

Bull spread: vételi opció eladása, ahol

K

1

< K2 ;

Bear spread: vételi opció eladása, ahol

K

1

> K2 ;

(K1 , T )

Calendar spread: vételi opció

(K2 , T )

vétele + vételi opció


(K , T1 )

(K2 , T )


(K , T2 )

eladása;

Straddle (terpeszállás): vételi opció

(K , T )

(K , T )

vétele + eladási opció

vétele;

(K1 , T ) vétele + vételi ((K1 + K2 )/2, T ) eladása.

Buttery spread: vételi opció vétele + 2 vételi opció



opció

(K2 , T )

2011. ®szi félév

9 / 79

Bevezetés


Példa olyan opcióra, melynek kizetési függvénye nem csak az értékpapír lejáratkori árától függ:

Look-back vételi opció Vételi jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre a szerz®désben adott

T

id®pontban

f

min{

St , 0 ≤ t ≤ T }

kötési áron. Kizetési függvénye:

= ST − min{St , 0 ≤ t ≤ T } = max{ST − St , 0 ≤ t ≤ T } .

Példa olyan opcióra, mely a lejárat el®tt is lehívható:

Amerikai vételi opció

K

Vételi jog (de nem kötelesség) egy adott részvényre adott melyet a vev® a

τ

T

kötési áron,

id®pontig bármikor lehívhat. A lehívás id®pontja egy

véletlen változó (megállási id®), a kizetési függvény

f

= (Sτ − K )+ .

Feladat: Deniáljuk a look-back eladási és az amerikai eladási opciót, és írjuk fel a kizetési függvényüket. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

10 / 79

Bevezetés


Hogyan árazzunk egy opciót, mi egy opció igazságos ára? Az igazságos ár alatt megéri megvenni, efölött megéri eladni az opciót. Szerencsejátékoknál és biztosításmatematikában a nagy számok törvénye miatt az igazságos ár a várható kizetés, tehát a kizetés várható értéke. Ez most nem jó ötlet, a nagy számok törvénye nem alkalmazható, ugyanis egy-egy opciót csak egyszer kötünk meg, és az egyes opciók nem is függetlenek. Más módszert fogunk alkalmazni. Meghatározzuk, hogy minimálisan mennyi pénzre van szükségünk ahoz, hogy a futamid® végén a rendelkezésünkre álljon akkora összeg, amennyit zetnünk kell, tehát ami az opció kizetési függvénye. Az európai (és egyes más) opciók esetében elég a vételi opciót árazni, ebb®l az eladási opció ára meghatározható.



2011. ®szi félév

11 / 79

Bevezetés

Opcióárazás egylépéses bináris piacon

Opcióárazás egylépéses bináris piacon Kereskedési id®pontok: A részvény ára: A kötvény ára:

S B

0

0

0

= t0 < t1 = T .

(determinisztikus) és

B

1

= (1 + r )B0 ,

és

S

1

ahol

(véletlen).

r > −1.

Adott egy opció, a kizetési függvénye a részvény árától függ:

F

= f (S1 ).

A részvénynek, és ezáltal az opciónak két értéke lehet: eseménytér:

Ω = {ω ↑ , ω ↓ },

P ({ω↑ }) = p,

S

1

(ω) =

s↑ , s↓ ,

ω = ω↑ , ω = ω↓ ,

< p < 1;

(s ≥ s ↓ ) ↑ ω↑ , F (ω) = f (S1 ) = ff ↓ ,, ωω = = ω↓ ,

a részvény és a kizetési függvény értéke:

0

↑

Feladat: Árazzuk az opciót, tehát adjunk meg egy olyan

X

0

mellyel gazdálkodva az opció eladója a lejáratkor át tud adni

értéket,

F

= f (S1 )

összeget az opció tulajdonosának. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

12 / 79

Bevezetés


Portfólió A birtokunkban lév® részvények és kötvények együttesét portfóliónak nevezzük. A részvények és a kötvények száma a Erre a portfólióra a A portfólió értéke a A portfólióban

γ

β

és

πt = (βt , γt )

t

id®pontban

γt

illetve

βt .

jelölést fogjuk használni.

t

id®pontban:

Xt = βt Bt + γt St .

γ

lehet negatív is. A negatív

β

hitelfelvételt, a negatív

részvények kölcsönadását jelenti.

Replikáló portfólió

F

Azt mondjuk, hogy a portfólió replikál egy értéke

XT

=F

opciót, ha a lejáratkori

m.b.

Feladat: Adjuk meg azt a minimális

X

0

értéket, melyb®l kiindulva

összeállíthatunk egy replikáló portfóliót. Tehát adjuk egy

π1 = (β1 , γ1 )

portfóliót úgy, hogy

X

1


= β1 B1 + γ1 S1 = F Pénzügyi matematika

m.b. 2011. ®szi félév

13 / 79

Bevezetés


Ez az ár valóban igazságos, ugyanis bármely más opcióár esetén arbitrázsra, kockázatmentes hozamra van lehet®ség: Ha az opció piaci ára

X

0

C

> X0 ,

maradék

C −X

0

C

akkor adjuk el az opciót

(β1 , γ1 )

összegb®l állítsuk össze a

áron,

replikáló portfóliót, és a

összeget fektessük kötvénybe. A portfóliónk értéke

X

az opció lejárati id®pontjában éppen a kizetési függvény tehát kockázatmentesen kerestünk Ha az opció piaci ára

C

< X0 ,

(1 + r )(C − X0 )

akkor adjuk el

X

0

replikáló portfóliót (short selling). A bejöv® pénzb®l meg az opciót, a fennmaradó

X

0

−C

1

= F,

összeget. áron a

C

(β1 , γ1 )

áron vegyük

összeget fektessük kötvénybe.

A portfóliót a lejáratkor vissza kell ugyan vásárolnunk, de a birtokunkban lév® opció éppen fedezi ezt az árat, és a kötvények lejáratkori ára kockázatmentes nyereség.



2011. ®szi félév

14 / 79

Bevezetés

A

π1 = (β1 , γ1 )

portfólió értéke a


T

id®pontban:

β1 (1 + r )B0 + γ1 s ↑ = f ↑ ,

β1 (1 + r )B0 + γ1 s ↓ = f ↓ ,

ha

ω = ω↑ ,

ha

ω = ω↓ .

Ennek létezik egyértelm¶ megoldása:

γ1 =

f↑−f↓ , s↑ − s↓

A portfólió értéke a

0

β1 =

f ↑ − γ s↑ (1 + r )B 1

s ↑f ↓ − s ↓f ↑ (s ↑ − s ↓ )(1 + r )B

=

0

. 0

id®pontban, tehát az opció ára:

f ↑ + s ↑ − (1 + r )S f ↓ X =β B +γ S = 1+r s↑ − s↓ 1 1 ∗ ↑ 1 E ∗ (F ) = E ∗ (X ) , = p f + (1 − p∗ )f ↓ = 1+r 1+r 1+r 1

0

1

0

1

(1 + r )S0 − s ↓

0

0

1

ahol

p∗ = P ∗ ({ω↑ }) = P ∗ (F Ha

s ↓ < (1 + r )S

0

< s ↑,


akkor

0

= f ↑) =

(1 + r )S0 − s ↓ . s↑ − s↓

< p ∗ < 1.


(Arbitrázsmentesség!) 2011. ®szi félév

15 / 79

Bevezetés

Ha a

s

↓

< (1 + r )S0 < s

↑


feltétel nem teljesülne, akkor arbitrázsra,

kockázatmentes nyereségre lenne lehet®ség, amit a piac hosszabb vagy rövidebb id® alatt korrigálna:

(−S , B ) S kötvényt, és vegyünk B részvényt. A portfólió értéke: X = β B + γ S = 0, X = β B + γ S ≥ (−S )(1 + r )B + B s ↓ ≥ 0.

Ha

(1 + r )S0 ≤ s ↓

teljesülne, akkor állítsuk össze a

portfóliót, tehát adjunk el

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Mivel ezt a piac minden szerepl®je észrevenné, mindenki részvényt akarna venni, vagyis a részvény kiindulási Ha

(1 + r )S0 ≥ s ↑ ,

adjunk el

B

0

1

0

akkor állítsuk össze az

ára megemelkedne.

(S0 , −B0 )

részvényt (short selling), és vegyünk

A portfólió értéke:

X

S

X

0

= β1 B0 + γ1 S0 = 0 ,

S

0

portfóliót, kötvényt.

= β1 B1 + γ1 S1 ≥ S0 (1 + r )B0 + (−B0 )s ↑ ≥ 0.

Emiatt mindenki próbálna megszabadulni a részvényeit®l, hogy a pénzét kötvénybe fektesse, vagyis a részvény Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


S

0

ára leesne. 2011. ®szi félév

16 / 79

Bevezetés


K = 1 kötési árral: s ↑ = 2 s ↓ = 0, 5, f ↑ = 1, f ↓ = 0.

Példa: Európai call opció

r = 0, S

0

= B0 = 1,

A formulák alkalmazásával:

β1 = −1/3

A portfólió értéke a 0 id®pontban:

X

0

= β1 B0 + γ1 S0 = 1/3.

A mesterségesen bevezetett valószín¶ség:

E ∗ (X

1

γ1 = 2/3.

és

p∗ = 1/3,

amivel

) = E ∗ (F ) = p ∗ f ↑ + ( 1 − p ∗ )f ↓ = 1 /3 =

X 1

0

+r

.

Diszkontált értékfolyamat A

Vt = Xt /Bt ,

0

≤ t ≤ T,

folyamatot diszkontált értékfolyamatnak

nevezzük. A korábbiak miatt:

E ∗ (V Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)

1) =

E ∗ (X ) (1 + r )B 1

= 0


X B

0 0

= V0 . 2011. ®szi félév

17 / 79

Bevezetés

Opcióárazás kétlépéses bináris piacon

Opcióárazás kétlépéses bináris piacon Kereskedési id®pontok: Eseménytér: A kötvény ára:

0

= t0 < t1 < t2 = T .

Ω = {ω ↑↑ , ω ↑↓ , ω ↓↑ , ω ↓↓ }.

B

1

= B0 (1 + r1 )

és

B

= B1 (1 + r2 ),

2

ahol

B

0

és

r

1

determinisztikus, valamint

r

2

A részvény ára

S Az

F

2

1

=

S

0,

s s↓ ,

↑,

S

1

= és

r↑ , r↓ , S

2,

ω ∈ {ω ↑↑ , ω ↑↓ } , ω ∈ {ω ↓↑ , ω ↓↓ } . ahol

{ω ↑↑ , ω ↑↓ } ,

ω∈ ω ∈ {ω ↓↑ , ω ↓↓ } .

= f (S0 , S1 , S2 )


S

0

determinisztikus, és

S

2

=

      

kizetési függvény értékei: Pénzügyi matematika

s ↑↑ , s ↑↓ , s ↓↑ , s ↓↓ ,

ω ω ω ω

= ω ↑↑ , = ω ↑↓ , = ω ↓↑ , = ω ↓↓ .

f ↑↑ , f ↑↓ , f ↓↑ , f ↓↓ . 2011. ®szi félév

18 / 79

Bevezetés

Opcióárazás kétlépéses bináris piacon

Feladat: Határozzuk meg az opció igazságos árát, és adjunk meg egy replikáló stratégiát. Megoldás: Visszavezetjük a problémát három egylépéses piacra:

t

Meghatározzuk, hogy a

1

rendelkeznünk ahoz, hogy a portfóliónk. Az

F

F

id®pontban mekkora

t

t®kével kell

1

id®pontra legyen replikáló

2

változó értékei

1

F

1

Kiszámoljuk, hogy a

t

0

=

f↑, S f↓, S

1

1

= s↑ , = s↓ .

id®pontban mekkora

t®kével kell rendelkeznünk, hogy a

t

1 -ben

F

0

legyen

determinisztikus

F

1

összegünk.

Mindeközben az egylépéses piacok portfóliói stratégiát is adnak. Mindehez fel kell tennünk, hogy mindhárom piac arbitrázsmentes, tehát

s↓ < S

0

(1 + r ) < s ↑ ,

s ↑↓ < s ↑ (1 + r ↑ ) < s ↑↑ ,

Házi feladat: Adjunk formulát az

F

0

s ↓↓ < s ↓ (1 + r ↓ ) < s ↓↑ .

értékre, valamint határozzuk meg a

replikáló portfóliók összetételét. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

19 / 79

Diszkrét idej¶ piacok

Deníciók

Diszkrét idej¶ piacok Diszkrét idej¶ piac Egy

{Ω, A, P , F, B , S }

nevezünk, ( jelölésben:

(Ω, A, P )

halmazt

(B , S )N

N

valószín¶ségi mez®,

F = {Fn : n = 1, . . . , N }

lépéses diszkrét idej¶ piacnak

), ha

N ∈ Z+ ;

ltráció az eseménytéren, melyre

F−1 = {∅, Ω} = F0 ⊆ F1 ⊆ · · · ⊆ FN = A;

B = {Bn ≥ 0 : n = 0, . . . , N } a kötvény el®rejelezhet® árfolyamata; S = {Sn ≥ 0 : n = 0, . . . , N } a részvény árfolyamata, mely adaptált az F ltrációhoz, tehát Sn mérhet® Fn -re, n = 0, . . . , N . El®rejelezhet®ség Azt mondjuk, hogy véletlen változóknak egy

el®rejelezhet®, ha

Bn


mérhet® az

B

Fn−1 -re


0

, . . . , BN

nézve,

sorozata

n = 0, . . . , N . 2011. ®szi félév

20 / 79


Deníciók

Diszkrét idej¶ bináris piac

(B , S )N diszkrét valamint (a1 , . . . , aN ) Egy

rn > −1

idej¶ piac bináris és

(b1 , . . . , bN )

(r1 , . . . , rN )

kamatlábakkal,

együtthatókkal, ha

bn > an > −1, n = 1, . . . , N ; a kötvény ára determinisztikus Bn = (1 + rn )Bn− , n = 1, . . . , N ; a részvény ára Sn = (1 + ρn )Sn− , és valamely 0 < pn < 1 mellett P (ρn = bn ) = pn és P (ρn = an ) = 1 − pn , n = 1, . . . , N ; és

1

1

minden információt a részvény árából szerzünk, tehát

Fn = σ(S0 , . . . , Sn ) = σ(ρ0 , . . . , ρn ),

n = 0, . . . , N ;

Diszkrét idej¶ homogén bináris piac Egy diszkrét idej¶ bináris piac homogén, ha

r , a, b, p ∈ R értékekre rn = r , an = a, bn = b

valamely

a

ρ1 , . . . , ρN

és

pn = p,

n = 1, . . . , N ;

változók függetlenek (és azonos eloszlásúak).



2011. ®szi félév

21 / 79


Deníciók

Kényelmi feltevés A továbbiakban feltesszük, hogy egy diszkrét idej¶ piac esetén véges az eseménytér, és minden kimenetelnek pozitív a valószín¶sége.

Jegyezzük meg, hogy egy diszkrét idej¶ bináris piac reprezentálható az alábbi módon. Legyen az eseménytér illetve az események halmaza

n o Ω0 = (x1 , . . . , xN ) : xn ∈ {an , bn }, n = 1, . . . , N Ekkor egy

A0 = P(Ω0 ) .

és

ω = (x1 , . . . , xN ) ∈ Ω kimenetel valószín¶sége P0 {ω} = P (ρ1 = x1 , . . . , ρN = xN ) .

A kényelmi feltevés miatt


P

0

(ω) > 0

minden


ω ∈ Ω0

esetén.

2011. ®szi félév

22 / 79


Stratégia és fedezet diszkrét idej¶ piacon

Stratégia és fedezet diszkrét idej¶ piacon Stratégia Legyen βn és γn Fn−1 σ -algebrára,

el®rejelezhet® változó, tehát legyenek mérhet®ek az

n = 0, . . . , N .

A

π = πn = (βn , γn ) : n = 0, . . . , N portfóliósorozatot stratégiának nevezzük. A stratégia értékfolyamata és

diszkontált értékfolyamata

Xnπ = βn Bn + γn Sn ,

Vnπ = Xnπ /Bn ,

n = 0, . . . , N .

Megjegyzések:

πn π0

az

n−1

id®pontban összeállított portfólió.

az eredetileg rendelkezésre álló portfólió, gyakran

π0 = (β0 , 0).

F−1 = F0 = {0, Ω}, ezért π0 és π1 determinisztikus. Xn és a Vnπ , n = 0, . . . , N , sorozat adaptált.

Nálunk Az

π



2011. ®szi félév

23 / 79



Önnanszírozó stratégia stratégia önnanszírozó, ha

π

A

Xnπ−

1

= βn Bn−1 + γn Sn−1 ,

n = 1, . . . , N .

Jelentése: Nem teszünk be és nem veszünk ki pénzt a rendszerb®l.

Dierenciasorozat Egy

αn

véletlen vagy determinisztikus sorozat dierenciasorozata

∆αn = αn − αn−1 ,

n = 1, 2, . . .

Önnanszírozó stratégiák Az alábbiak ekvivalensek. 1

A

2

∆Xn = βn ∆Bn + γn ∆Sn ,

3

π

stratégia önnanszírozó.

π

Bn −

1

∆βn + Sn−1 ∆γn = 0,


n = 1, . . . , N . n = 1, . . . , N .


2011. ®szi félév

24 / 79



K ≥ 1 részvény és egy kötvény. k = 1, . . . , K , n = 0, . . . , N , ára adaptált, az

Egy általánosabb diszkrét idej¶ modell: A részvények

Sn(k ) ,

egyes részvények árfolyamata általában nem független. Stratégia, el®rejelezhet® sorozat:

n o (1) (K ) π = πn = βn , γn , . . . , γn , n = 0, . . . , N . A portfólió értéke:

Xnπ = βn Bn +

PK (k ) (k ) k = 1 γn Sn ,

n = 0, . . . , N .

A stratégia önnanszírozó, ha az alábbi ekvivalens állítások valamelyike teljesül: 1 2 3

PK (k ) (k ) k =1 γn Sn−1 , P (k ) (k ) ∆Xnπ = βn ∆Bn + K k =1 γn ∆Sn , P Bn−1 ∆βn + Kk=1 Sn(k−)1 ∆γn(k ) = 0,

Xnπ−

1

= βn Bn−1 +



n = 1, . . . , N ; n = 1, . . . , N ; n = 1, . . . , N . 2011. ®szi félév

25 / 79



Fedezeti stratégia (hedging stratégia) Egy

(B , S )N

x ∈R

diszkrét idej¶ piacon legyen

mérhet® függvény. Egy

π

stratégiát

(x , fN )

és

fN : RN +

1

→R

hedging stratégiának,

fedezeti stratégiának vagy röviden fedezetnek nevezünk, ha

Xπ = x 0

és

XNπ ≥ fN S

0

, . . . , SN

m.b.

A fedezeti stratégiát minimálisnak vagy tökéletesnek nevezzük, ha

XNπ = fN S

0

, . . . , SN

m.b.

Megjegyzések: Az

Ω

eseményen nincsen 0 valószín¶ség¶ kimenetel, ezért a m.b.

egyenl®ség/egyenl®tlenség minden

ω∈Ω

kimenetelre teljesül.

(x , fN ) fedezeti stratégiákat fogunk vizsgálni. Π(x , fN ). fN S0 , . . . , SN = g (SN ). Például: Európai opciók.

Mi csak önnanszírozó Ezek halmaza: Speciális eset:



2011. ®szi félév

26 / 79



Arbitrázsstratégia Egy

(B , S )N

diszkrét idej¶ piacon egy

π

önnanszírozó stratégia

arbitrázs vagy arbirázsstratégia, ha

X π = 0 m.b.; Xnπ ≥ 0 m.b., n = 1, . . . , N ; P (XNπ > 0) > 0, tehát létezik 0

ω ∈ Ω,

melyre

XNπ (ω) > 0.

Általában feltesszük, hogy a piacon arbitrázsmentes, nincsen ingyenebéd.

Arbitrázsstratégia létezése Tfh egy

(B , S )N

diszkrét idej¶ piacon egy

π

önnanszírozó stratégiára

teljesül, hogy

Xπ = 0 0

m.b.,

XNπ ≥ 0

m.b.

és

P (XNπ > 0) > 0.

Ekkor létezik arbitrázsstratégia a piacon.



2011. ®szi félév

27 / 79


Ekvivalens martingálmértékek

Ekvivalens martingálmértékek Ekvivalens mértékek Legyen

µ

és

µ0

mérték egy

(X , F)

mérhet® téren. Azt mondjuk,

hogy a két mérték ekvivalens, ha abszolút folytonosak egymásra nézve, (azaz

µ µ0

és

µ0 µ),

µ(A) = 0

tehát tetsz®leges

A∈F

pontosan akkor teljesül, ha

mérhet® halmazra

µ0 (A) = 0.

Ekvivalens mértékek megszámlálható alaphalmazon Legyen

µ

halmaz és tetsz®leges

µ0 mérték az (X , F) téren, ahol X megszámlálható F = 2X . A két mérték pontosan akkor ekvivalens, ha x ∈ X elem esetén és

µ({x }) = 0 Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)

pontosan akkor, ha


µ0 ({x }) = 0. 2011. ®szi félév

28 / 79



Ekvivalens martingálmérték Azt mondjuk, hogy

P

∗

az

P∗

valószín¶ségi mérték az

Sn /Bn

(B , S )N

martingálmérték a

(Ω, A)

piacon, ha

téren;

folyamat martingált alkot a

P∗

mérték alatt az

Fn ,

n = 0, . . . , N , ltrációra nézve. ∗ ekvivalens mértékek, akkor P ∗ ekvivalens Ha ezen túl P és P martingálmérték a piacon. A továbbiakban E ∗ jelöli a P ∗ szerinti várható értéket.

Martingálmértékek diszkrét idej¶ piacon Egy

(B , S )N

diszkrét idej¶ piacon az alábbiak ekvivalensek.

1

P∗

2

Tetsz®leges

martingálmérték a piacon.

π

önnanszírozó stratégia esetén a

diszkontált értékfolyamat martingál a

n = 0, . . . , N ,

P∗

Vnπ = Xnπ /Bn

mérték alatt az

Fn ,

ltrációra nézve.



2011. ®szi félév

29 / 79



Ekvivalens martingálmértékek diszkrét idej¶ bináris piacon

(B , S )N

Tfh a

an < rn < bn , n = 1, . . . , N , (Ω0 , A0 , P0 ) reprezentációját.

diszkrét idej¶ bináris piacon

és tekintsük az eseménytér korábban vett Legyen

pn∗ = P∗

rn − an , bn − an

n = 1, . . . , N ,

Y (x1 , . . . , xN ) =

1≤n≤N

pn∗

xn =bn

Y 1≤n≤N

(1 − pn∗ ) .

xn =an

Ekkor teljesülnek az alábbiak. 1

A

ρ1 , . . . , ρN

P∗

változók függetlenek a

P ∗ (ρn = bn ) = pn∗ ,

P ∗ valószín¶ségre nézve, és n = 1, . . . , N .

2

A piacon

3

Ha teljesül a kényelmi feltevés, tehát minden kimenetelnek pozitív a

P

0

az egyetlen martingálmérték.

valószín¶sége, akkor


P∗

ekvivalens martingálmérték.


2011. ®szi félév

30 / 79


Jegyezzük meg, hogy az

SN

az

(B , S )N

diszkrét idej¶ homogén bináris piacon

részvényár lehetséges értékei

sk = S

0

(1 + b)k (1 + a)N −k ,

A részvényár pontosan akkor

N −k


sk ,

ha az ár

k = 0, . . . , N . k

alkalommal lépett felfelé, és

N . k

alkalommal lépett lefelé. A binoniális fán az ilyen utak száma

Ekvivalens martingálmértékek diszkrét idej¶ homogén bináris piacon Tegyük fel, hogy a

(B , S )N

diszkrét idej¶ homogén piacon

a < r < b.

Ekkor a piacon létezik pontosan egy ekvivalens martingálmérték, melyre

P

∗

ahol

N k N −k SN = S0 (1+b) (1+a) =

k

p∗

k

p∗

1−

N − k

,

k = 0, . . . , N ,

p∗ = (r − a)/(b − a).



2011. ®szi félév

31 / 79



A közgazdászok az ekvivalens martingálmértéket kockázatsemleges

valószín¶ségnek nevezik. Az egyszer¶ség kedvéért legyen tegyük fel, hogy

S

0

B

0

= 1,

és

összeget fektetünk be.

Ha egy darab részvényt veszünk, akkor a befektetés diszkontált lejáratkori értékének várható értéke

E ∗ SN /BN

P∗

szerint

= S0 /B0 = S0 .

Ha a teljes összeget kötvénybe fektetjük, akkor a diszkontált lejáratkori érték várható értéke

E ∗ S BN /BN 0

= S0 .

Tehát a kockázatos részvénybefektetés várható értékben pontosan akkora hozamot ad, mint a kötvény. Speciálisan, diszkrét idej¶ bináris piacon

E ∗ (SN ) = (1 + r Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)

1

) · · · (1 + rN )S0 .


2011. ®szi félév

32 / 79



Martingálok

V

, . . . , VN

F0 , . . . , FN ltrációhoz adaptált sorozat, és tegyük fel, hogy tetsz®leges τ : Ω → {0, . . . , N } megállási id® esetén E (Vτ ) = E (V0 ). Ekkor V0 , . . . , VN martingál a ltrációra nézve. Legyen

0

az

Az arbitrázsmentességre vonatkozó f®tétel Egy

(B , S )N

diszkrét idej¶ piacon a következ®k ekvivalensek.

1

Létezik ekvivalens martingálmérték.

2

A piac kizárja az arbitrázslehet®séget.

A f®tétel következménye bináris piacon Tegyük fel, hogy egy

(B , S )N

diszkrét idej¶ bináris piacon teljesül a

kényelmi feltevés. Ekkor az alábbiak ekvivalensek. 1

Létezik ekvivalens martingálmérték.

2

A piac kizárja az arbitrázslehet®séget.

3

an < rn < bn , n = 1, . . . , N .



2011. ®szi félév

33 / 79


A piac teljessége

A piac teljessége Teljes piac A

(B , S )N

diszkrét idej¶ piac teljes, ha bármely

létezik minimális fedezet, tehát olyan

XNπ = fN S

0

π

fN

kizetési függvényhez

önnanszírozó stratégia, melyre

, . . . , SN

m.b.

A teljességre vonatkozó f®tétel következménye:

Teljesség diszkrét idej¶ bináris piacon A

(B , S )N

diszkrét idej¶ bináris piac pontosan akkor teljes, ha

an ≤ rn ≤ bn , Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)

n = 1, . . . , N .


2011. ®szi félév

34 / 79


A piac teljessége

A teljességre vonatkozó f®tétel Tegyük fel, hogy a

(B , S )N

P∗

diszkrét idej¶ piacon létezik

ekvivalens

martingálmérték. Ekkor az alábbiak ekvivalensek. 1

A piac teljes.

2

P∗

3

Tetsz®leges

az egyetlen ekvivalens martingálmérték a piacon.

(Mn , Fn , P ∗ )0≤n≤N

Mn = M

0

alakban, ahol a

+

γn ,

n X k =1

γk

martingál el®áll

Sn Sn− − Bn Bn −

n = 1, . . . , N

1 1

,

n = 1, . . . , N ,

változók el®rejelezhet®ek.

A gyakorlatban, ha adott egy piac és egy részvényopció: (2) Létezik egyértelm¶ ekvivalens martingálmérték

=⇒ =⇒

(1) Az opcióra létezik fedezeti stratégia, bár nem ismerjük (3) A fedezeti stratégia felírható, az opció árazható



2011. ®szi félév

35 / 79


Opciók árazása

Opciók árazása

Befektetési költség A

(B , S )N

diszkrét idej¶ piacon tekintsünk egy

fN (S

0

, . . . , SN )

kizetési függvényt, valamint az ehhez kapcsolódó opciót. A

CN ,fN = inf

x ∈ R : Π(x , fN ) 6= ∅

értéket az opció befektetési költségének nevezzük.

Fedezeti stratégia létezése A

(B , S )N piacon tetsz®leges fN (S0 , . . . , SN ) kizetési függvény x ∈ R, melyre Π(x , fN ) 6= ∅. Ebb®l CN ,fN < ∞.

esetén

létezik



2011. ®szi félév

36 / 79


Opciók árazása

Feltételes követelések árazása Tfh létezik

P∗

ekvivalens martingálmérték a

piacon, és tekintsünk egy

C N ,f N

fN (S

, . . . , SN )

diszkrét idej¶

kizetési függvényt. Ekkor

0

B ≥E f S BN N ∗

(B , S )N

0

0

, . . . , SN

.

Továbbá, ha a piac teljes, akkor a kizetési függvény replikálható, és a befektetési költség

C N ,f N

B f S =E BN N ∗

0

0

, . . . , SN

.

Megjegyzések: Teljes piacon az opció igazságos (arbitrázsmentes) ára Ha

π

egy minimális fedezeti stratégia, akkor

XNπ Xn = Bn E F BN n π

∗


= Bn E

∗

1

BN


C N ,f N .

fN S0 , . . . , SN Fn . 2011. ®szi félév

37 / 79


Néhány széles körben alkalmazott árazási formula

Néhány széles körben alkalmazott árazási formula Árazás diszkrét idej¶ bináris piacon Tfh a

(B , S )N

an < rn < bn , n = 1, . . . , N , ∗ az egyetlen feltevés. Jelölje P

diszkrét idej¶ bináris piacon

és tegyük fel, hogy teljesül a kényelmi

ekvivalens martingálmértéket a piacon, és tekintsünk egy tetsz®leges

fN (S

0

, . . . , SN )

kizetési függvényt. Ekkor az opcióra létezik minimális

fedezeti stratégia, és az opció árbitrázsmentes ára

C N ,f N =

1

d

d

E ∗ fN S

f (S

, 0 , . . . , SN

ahol

d=

N Y

(1 + rn ) .

n =1

, . . . , SN ) = g (SN ), akkor Y Y X Y Y g S0 (1 + bn ) (1 + an ) pn∗ (1 − pn∗ ) . n∈H n∈H n6∈H n6∈H H ⊆{1,...,N }

Speciálisan, ha

C N ,f N =

1

0



2011. ®szi félév

38 / 79



Fedezeti stratégia diszkrét idej¶ bináris piacon Az el®z® tétel feltételei mellett legyen 1

Mn = E ∗ fN S d h

0

i , . . . , SN | Fn ,

n = 0, . . . , N .

Ekkor teljesülnek az alábbiak. 1

Léteznek

hn : Rn → R Mn = hn

2

mérhet® determinisztikus függvények, hogy

ρ1 , . . . , ρn

m.b.,

n = 1, . . . , N .

Az alábbi stratégia egy lehetséges fedezet a kizetési függvényre:

β0 = M0 , γn =

Sn−

1

γ0 = 0 , h Bn hn (bn − an )


βn = Mn − γn

Sn , Bn

n = 1, . . . , N ,

i ρ1 , . . . , ρn−1 , bn − hn ρ1 , . . . , ρn−1 , an , Pénzügyi matematika

2011. ®szi félév

39 / 79



CoxRossRubinstein árazási formula A

(B , S )N

diszkrét idej¶ homogén bináris piacon legyen

Ekkor az európai call opció arbitrázsmentes ára

K

a < r < b.

lejáratkori ár esetén

CN ,K = S0 B (k0 , N , p˜) − K (1 + r )−N B (k0 , N , p ∗ ) , ahol

+b ∗ p˜ = p , 1+r

r −a , p = b−a

1

∗

továbbá

j ∈Z

k

0

$ =1+

≤ p ≤ 1 esetén  PN N k N −k ,  k =j k p (1 − p ) B (j , N , p) =  0 , 1, és

% K S0 (1+a)N , 1+b log 1+a

log

0



0

j j

≤j ≤N, >N, < 0. 2011. ®szi félév

40 / 79



Put-Call paritás Ha a

(B , S )N

diszkrét idej¶ piac teljes, akkor a

K

kötési árhoz tartozó

európai vételi és eladási opció arbitrázsmentes árára

PN ,K = CN ,K − S0 + KE ∗ Speciálisan, teljes bináris piacon

B /BN 0

.

PN ,K = CN ,K − S0 + K /

QN n = 1 ( 1 + rn ) .

Amerikai típusú opciók árazása Egy opciót amerikai típusúnak nevezünk, ha a lejárati id® el®tt is lehívható. Tegyük fel, hogy a

(B , S )N

piacon létezik

A kizetés, ha az opciót lehívják az

CnAm = max CnL , CnEu , Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)

C0Am ,

CnEu = E ∗

ekv. martingálmérték.

n = 0, . . . , N . n. id®pontban: CnL , n = 0, . . . , N .

Az opció fedezéséhez szükséges összeg: Ekkor a befektetési költség

P∗

CnAm ,

ahol visszafelé haladó rekurzióval

Bn Bn+

1

CnAm F n , +1


n = 0, . . . , N − 1 . 2011. ®szi félév

41 / 79

Sztochasztikus kalkulus

A standard Wiener folyamat és tulajdonságai

A standard Wiener folyamat és tulajdonságai A standard Wiener folyamat A

W (t ), t ≥ 0,

sztochasztikus folyamat standard Wiener folyamat

vagy standard Brown mozgás, ha

W (0) = 0 m.b. W (t ), t ≥ 0, független növekmény¶. Tetsz®leges 0 ≤ s ≤ t esetén W (t ) − W (s ) ∼ N(0, t − s ). (=⇒ a folyamat stacionárius növekmény¶)

W (t ), t ≥ 0, Legyen

µ∈R

Brown mozgás

és

µ

mintafolytonos.

σ>0

tetsz®leges. Az

drifttel és

σ

folyamat

volatilitással, ha

X (t ) = µt + σW (t ) , Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)

X (t ), t ≥ 0,


t ≥ 0. 2011. ®szi félév

42 / 79



A standard Wiener folyamat tulajdonságai:

W (t ) ∼ N(0, t ),

t ≥ 0.

A standard Wiener folyamat Gauss folyamat

m(t ) = 0 ,

r (s , t ) = min(s , t ) ,

s, t ≥ 0 ,

várható érték és kovarianciafüggvénnyel. Tehát, tetsz®leges rögzített 0

≤ t1 < . . . < tn

esetén

ahol

W (t

), . . . , W ( t ) 1 n ∼ Nn

n

m = m(ti )

i =1

= 0,

Σ=

m, Σ

,

r (ti , tj )

n

i ,j =1

.

A standard Wiener folyamat martingál a generált ltrációra nézve. A folyamat 1 valószín¶séggel sehol sem dierenciálható. Mit állíthatunk az

X (t ), t ≥ 0,


Brown mozgásról?


2011. ®szi félév

43 / 79



Függvények varianciája

f (t ), a ≤ t ≤ b, tetsz®leges függvény, α > 0 rögzített Πn = {a = t0,n < t1,n < · · · < tn,n = b} beosztás, melyre n → ∞. |Πn | = max1≤k ≤n tk ,n − tk −1,n → 0 ,

Legyen és

Az

f

függvény

α

Vα ha a határérték a

rend¶ varianciája az

[a , b ]

valós,

intervallumon

n X f (tk ,n ) − f (tk −1,n ) α , = lim n →0 k =1

Πn

sorozattól függetlenül mindig azonos.

Az el®z® félévben láttuk: A Wiener folyamat kvadratikus varianciája: A Wiener folyamat teljes megváltozása:

V

1

V

2

= b − a,

= ∞,

m.b.

m.b.

Következmény: A Wiener folyamat m.b. nem korlátos változású! A Wiener folyamat szerinti integrál nem értelmezhet® LebesgueStieltjes értelemben! Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

44 / 79


A sztochasztikus integrál

A sztochasztikus integrál Tekintsük az halmaz azon

A−B

(Ω, A, P ) valószín¶ségi mez®t. Az L2 (Ω) = L2 (Ω, A, P ) : Ω → R függvényeket tartalmazza, melyek

X

mérhet®ek, tehát véletlen változók;

X dP < ∞. L (Ω) halmaz Hilbert tér, melyen a norma kX k = E (X ) / . u (t ) = u (ω, t ), a ≤ t ≤ b, determinisztikus vagy véletlen függvényre u ∈ L Ω × [a, b] = L Ω × [a, b], A × B|[a,b] , P × λ , második momentuma

Az Az

E (X

2

)=

R

2

Ω

2

2

2

1 2

2

amennyiben

u : Ω × [a, b] → R és A × B|[a,b] − B mérhet®; a függvény L normanégyzete 2

ku k = 2

Az

L

2

Ω × [a , b ]

Z

Ω×[a,b ]

u

2

(ω, t )d (P × λ) = E

Z [ a ,b ]

u (t )dt < ∞ . 2

halmaz szintén Hilbert tér.



2011. ®szi félév

45 / 79



Feltevések

t ≥ 0, ltráció az (Ω, A, P ) eseménytéren; W (t ), t ≥ 0, adaptált standard Wiener folyamat; u , v ∈ L Ω × [a, b] , 0 ≤ a ≤ b, adaptált folyamatok. Ft ,

2

Ft = σ(W (s ) : s ≤ t ), t ≥ 0. Πn = {a = t0,n < t1,n < · · · < tn,n = b} beosztás, melyre n → ∞. |Πn | = max tk ,n − tk −1,n → 0 , 1≤k ≤n

Kényelmi okokból feltesszük, hogy Legyen

Riemann integrálközelít® összeg az Itô esetben:

Sn = Sn (u ) =

n X i =1

u (ti − ,n ) W (ti ,n ) − W (ti − ,n )

1

1

.

Riemann integrálközelít® összeg a Sztratonovics esetben:

Tn =

n X u (ti −1,n ) + u (ti , n) i =1


2

W (ti ,n ) − W (ti − ,n )


1

.

2011. ®szi félév

46 / 79



Az integrálközelít® összegek konvergenciája A Feltevések mellett az határérték nem függ a

Sn Πn

sorozat konvergál az

L

2

(Ω)

térben, és a

beosztássorozat választásától.

Az Itô féle sztochasztikus integrál

u (t ), a ≤ t ≤ b, határértéke az L (Ω)

Az

2

S sorozat Rb n I (u ) = Ia,b (u ) = a u (t )dW (t ).

folyamat sztochasztikus integrálja az térben. Jelölése:

Megjegyzés: A denícióból

P Sn −→ I (u ),

de a konvergencia általában nem

teljesül 1 valószín¶séggel.

A sztochasztikus integrál elemi tulajdonságai 1 2 3 4

Ia,a (u ) = 0. Ia,b (α) = α(W (b) − W (a)), α ∈ R. Ia,c (u ) + Ic ,b (u ) = Ia,b (u ), a ≤ c ≤ b. Ia,b (αu + β v ) = αIa,b (u ) + β Ia,b (v ), α, β ∈ R.



2011. ®szi félév

47 / 79



A sztochasztikus integrál várható értéke és szórása

E (I (u )) = 0,

A Feltevések mellett

Cov D I (u ) 2

Következmény: Az

továbbá

I (u ), I (v ) = E =E

I (u ) 2

=E

Z b

u (t )v (t )dt ,

a Z b

u (t )dt = ku k 2

a Ia,b : L2 (Ω × [a, b]) → L2 (Ω)

2

.

leképezés izometria.

Determinisztikus függvények sztochasztikus integrálja Ha az

u

függvény determinisztikus, akkor

ku k2 = Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)

Z b

a

Ia,b (u ) ∼ N(0, ku k

2

),

ahol

u (t )dt . 2


2011. ®szi félév

48 / 79



Progresszív mérhet® folyamatok 0 ≤ t ≤ T , folyamat progresszív mérhet®, ha ≤ τ ≤ T esetén az u |[0,τ ] : Ω × [0, τ ] → R leképezés Fτ × B|[0,τ ] − B mérhet®. (Ekkor a folyamat adaptált.) Az

u (t ) = u (ω, t ),

tetsz®leges

0

Sztochasztikus integrálfolyamat Legyen

u∈L

2

(Ω × [0, T ], A × B|[0,T ] , P × λ)

progresszív mérhet®. A

folyamat sztochasztikus integrálfüggvénye

Iτ (u ) =

Z T 0

u (t )1{t ≤τ } dW (t ) =

Z

τ

u (t )dW (t ) ,

0

≤t≤T.

0

A sztochasztikus integrálfolyamat tulajdonságai 1 2 3

I (u ) = 0. Iτ (u ) folytonos a [0, T ] intervallumon L Iτ (u ) martingál az Fτ ltrációra nézve. 0


2


és

m.b.

értelemben.

2011. ®szi félév

49 / 79


Sztochasztikus dierenciálok és az Itô-formula

Sztochasztikus dierenciálok és az Itô-formula Sztochasztikus dierenciál

X (t ), a(t ) és b(t ), 0 ≤ t ≤ T , adaptált folyamat, és tegyük fel, hogy a és b integrálható rendre Lebesgues és Itô értelemben. Azt mondjuk, hogy az X (t ) folyamat sztochasztikus dierenciálja Legyen

dX (t ) = a(t )dt + b(t )dW (t ) , ha tetsz®leges

0

≤t≤T

esetén

X (t ) = X (0) +

Z t

a(τ )d τ +

Z t

0

Jelentése: A folyamat növekménye egy rövid

b(τ )dW (τ ) .

0

(t , t + ∆t ]

intervallumon

∆X (t ) = X (t + ∆t ) − X (t ) ≈ a(t )∆t + b(t )∆W (t ) . Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

50 / 79



Az Itô-formula (Itô-lemma) Tegyük fel, hogy az

X

folyamat sztochasztikus dierenciálja

dX (t ) = a(t )dt + b(t )dW (t ) , f (t , x ) ∈ C , , 0 ≤ t ≤ T , x ∈ R, függvényt. Ekkor Y (t ) = f (t , X (t )), 0 ≤ t ≤ T , folyamat sztochasztikus dierenciálja 1 2

és tekintsünk egy az

dY (t ) = ft t , X (t ) + fx t , X (t ) a(t ) + + fx t , X (t ) b(t )dW (t ) ,

1 2

fxx t , X (t ) b2 (t )

dt

f (t , x ) = f (x ), akkor 1 dY (t ) = fx X (t ) a(t ) + fxx X (t ) b2 (t ) dt + fx X (t ) b(t )dW (t ) .

feltéve, hogy a jobb oldal létezik. Speciálisan, ha

2



2011. ®szi félév

51 / 79



A Brown mozgás dierenciálja A Brown mozgásra

dX (t ) = µdt + σdW (t ),

X (t ) = µt + σW (t ) = X (0) +

Z t

µd τ +

0

Speciálisan, a Wiener folyamatra

ugyanis

Z t

σ dW (τ ) ,

0

≤t≤T.

0

dW (t ) = 0dt + 1dW (t ).

A Wiener folyamat sztochasztikus integrálja Legyen

X (t ) = W (t )

és

f (x ) = x

2

.

Ekkor

dW (t ) = dt + 2W (t )dW (t ) , 2

amib®l

Z T

W (τ )dW (τ ) =

0

W (T ) − 1 2

2

∼

N(0,

T)

2

2

−1

.

Feladat: Határozzuk meg az integrált integrálközelít® összegekkel. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

52 / 79



Az exponenciális Brown mozgás Legyen

X

µ∈R

Brown mozgás

drifttel és

Y (t ) = exp(X (t )), t ≥ 0, mozgásnak nevezzük. Az f (x ) = e x dY (t ) = df X (t )

Speciálisan, ha

σ>0

volatilitással.

folyamatot exponenciális Brown

Ekkor az

függvénnyel

σ2 Y (t )dt + σY (t )dW (t ) . = µ+ 2

µ = −σ 2 /2, akkor Z t Y (t ) = 1 + σY (τ )dW (τ ) ,

t ≥ 0.

0

Tehát ebben az esetben az exponenciális Brown mozgás martingál:

Y (t ) = exp

σ W (t ) − σ 2 t /2 ,

t ≥ 0.

Feladat: Lássuk be az utolsó eredményt a martingálok deníciójával. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

53 / 79


Diúziós folyamatok

Diúziós folyamatok Diúzió: Egy elemei részecske mozgása valamely közegben.

X (t ), a(t , x ).

A részecske mozgásának út-id® függvénye: Rendezett mozgás: a közeg sebessége

≤ t ≤ T.

0

Rendezettlen mozgás (h®mozgás): a diúziós együttható Elmozdulás egy rövid

∆t

b(t , x ).

id®intervallumon:

∆X (t ) = a t , X (t ) ∆t + b t , X (t ) ∆W (t ). Ekkor

∆t → 0

mellett

X (T ) = X (0) + → X (0) +

X

a t , X (t ) ∆t +

Z T

a t , X (t ) dt +

0

Tehát

X

b t , X (t ) ∆W (t )

Z T

b t , X (t ) dW (t ) .

0

dX (t ) = a(t , X (t ))dt + b(t , X (t ))dW (t ),

0

≤ t ≤ T.

Hasonló egyenlettel pénzügyi folyamatok is leírhatóak. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

54 / 79



W (t ), 0 ≤ t ≤ T . Generált ltráció: Ft = σ(W (s ) : 0 ≤ s ≤ t ), 0 ≤ t ≤ T . Adaptált folyamatok: a(t ), b(t ), 0 ≤ t ≤ T . Folyamat az eseménytéren: X (t ), 0 ≤ t ≤ T . Egy F -mérhet® véletlen változó: Z. Standard Wiener folyamat:

0

Sztochasztikus dierenciálegyenlet

X (t ),

Azt mondjuk, hogy az

0

≤ t ≤ T,

folyamat (er®s) megoldása a

dX (t ) = a(t )dt + b(t )dW (t ), sztochasztikus dierenciálegyenletnek

Z

kezdeti értekkel, ha

X (t ) adaptált a Wiener folyamat által generált X (0) = Z m.b.; tetsz®leges 0 ≤ t ≤ T esetén X (t ) = X (0) +

Z t

a(τ )d τ +

0



Z t

Ft

ltrációhoz;

b(τ )dW (τ ) .

0

2011. ®szi félév

55 / 79



Kérdések, melyek általában nehezek: Megoldás létezése és egyértelm¶sége? Megoldás tulajdonságai: mintafolytonosság, korlátosság, stb.? Megoldás bizonyos funkcionáljainak eloszlása, várható értéke?

Diúziós folyamat Az

X (t ),

0

≤ t ≤ T,

folyamat diúziós folyamat, ha

mintafolytonos; létezik a(t , x ) és b (t , x ) mérhet® determinisztikus függvény és F0 -mérhet® véletlen változó, hogy X (t ) megoldása a dX (t ) = a t , X (t ) dt + b t , X (t ) dW (t ) , X (0) = Z ,

Z

kezdeti érték problémának. Megjegyzés: Egyes könyvek a diúziós folyamatokat kissé vagy sokkal általánosabban deniálják. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

56 / 79



A sztochasztikus PicardLindelöf-tétel

a (t , x )

Tegyük fel, hogy az

és a

b(t , x )

K

>0 1 + |x | ,

lineáris növekmény¶, tehát valamely

a(t , x ) + b(t , x ) ≤ K1

függvény 1

konstansra 0

≤t≤T.

rendelkezik a Lipschitz tulajdonsággal, tehát valamely konstansra tetsz®leges

0

≤t≤T

a(t , x ) − a(t , y ) ≤ K2 |x − y | , Tegyük fel továbbá, hogy a folyamattól és

E (Z

dX (t ) = a

Z

K

2

>0

mellett

b(t , x ) − b(t , y ) ≤ K2 |x − y | .

változó független a

W (t )

Wiener

2

) < ∞. Ekkor a t , X (t ) dt + b t , X (t ) dW (t ) ,

kezdeti érték problémának létezik egyértelm¶

X (t ),

X (0) = Z , 0

≤ t ≤ T,

megoldása, mely mintafolytonos. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

57 / 79



A diúziós folyamatok Markov folyamatok Ha

X (t ),

tetsz®leges

≤ t ≤ T , diúziós folyamat, akkor Markov folyamat, tehát 0 ≤ s ≤ t ≤ T id®pontok és B ∈ B Borel halmaz mellett P X (t ) ∈ B | X (τ ), τ ≤ s = P X (t ) ∈ B | X (s ) . 0

Továbbá, ha

a (t , x ) = a (x )

b(t , x ) = b(x ),

és

0

≤ t ≤ T,

akkor a

Markov folyamat id®homogén, tehát

P X (t ) ∈ B | X (s )

X (t − s ) ∈ B | X (0)

≤s≤t≤T Xt ≤ y | Xs = x ,

Átmenetvalószín¶ségek: Rögzített

F (s , x , t , y ) = P

=P 0

és

x ∈R

mellett

y ∈ R.

Kérdés: Hogyan határozhatjuk meg az átmenetvalószín¶ségeket? Válasz: Kolmogorov típusú egyenletek a diúziós folyamatokra. Diúziós folyamatokra is létezik innitezimális generátor, de nem vizsgáljuk. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

58 / 79



OrnsteinUhlenbeck folyamat (1930) Sztochasztikus dierenciálegyenlet:

α, σ > 0,

dX (t ) = −αX (t )dt + σdW (t ) ,

X (0) = Z .

Létezik egyértelm¶ megoldása, az OrnsteinUhlenbeck folyamat:

X (t ) = Ze

−αt

Z t +σ

e −α(t −τ ) W (τ ) ,

t ≥ 0.

0

Ha

Z

∼ N(0, σ 2 /2α)

E X (t )

= 0,

és

Cov

Z

független a Wiener folyamattól, akkor

X (s ), X (t )

=

σ 2 −α(t −s ) e , 2α

0

≤s ≤t,

vagyis a folyamat Gauss, Markov és stacionárius. A triviális folyamatoktól eltekintve ez az egyetlen, mely rendelkezik mindhárom tulajdonsággal. Továbbá, a fenti reprezentáció mintafolytonos is. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

59 / 79



FeynmanKac formula

X (t ), 0 ≤ t ≤ T , diúziós folyamatot, és legyen u = u (t , x ) ∈ C , , c = c (t , x ) ∈ C és h(x ) ∈ C , 0 ≤ t ≤ T , x ∈ R, korlátos determinisztikus függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek. 1 Az u függvény megoldása az alábbi dierenciálegyenletnek: Tekintsük a korábbi 1 2

1

1

ut + aux + b uxx + cu = 0 , 2

2

2

Az

u

u (T , x ) = h(x ) , x ∈ R .

függvény el®áll, mint

u (t , x ) = E h(XT ) exp

Z T

s

c (τ, Xτ )d τ

X ( t ) = x .

Alkalmazások: Az

X (t )

folyamat bizonyos funkcionáljainak meghatározása.

Egyes parciális diegyenletek numerikus megoldása szimulációval. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

60 / 79



A FeynmanKac formula két következménye Legyen 1

X (t ),

0

≤ t ≤ T,

a korábbi diúziós folyamat.

(Kolmogorov visszafelé haladó egyenletei.) Ha

h(y ) ∈ C

1

y ∈ R,

,

korlátos determinisztikus függvény, akkor az

u (t , x ) = E h X (T ) X (t ) = x h

i

,

0

≤t≤T,

x ∈ R,

függvény megoldása az alábbi végfeltételes dierenciálegyenletnek: 1

ut + aux + b uxx = 0 ,

u (T , y ) = h(y ) .

2

2

2

Az

F

= F (s , x ) = F (s , x , T , y ) 1

Fs + aFx + b Fxx = 0 , 2

2

(Vigyázat:

F

0

≤s
nem deriválható


átmenetvalószín¶ségekre

x

F (T , x ) =

szerint a


(T , y )

1, 0,

x ≤y, x >y.

pontban!)

2011. ®szi félév

61 / 79



Tfh az átmenetvalószín¶ségek abszolút folytonosak, tehát tetsz®leges 0

≤s≤t≤T

és

x ∈R

esetén létezik

s¶r¶ségfüggvény, melyre

P X (t ) ≤ y | X (s ) = x

Z y = −∞

f (s , x , t , y ), y ∈ R,

f (s , x , t , y )dy ,

y ∈ R.

Ez milyen feltételek mellett teljesül? Nehéz kérdés.

Kolmogorov egyenletei a s¶r¶ségfüggvényekre Kolmogorov visszafelé haladó egyenletei:

∂ ∂ f (s , x , t , y ) + a(s , x ) f (s , x , t , y ) + ∂s ∂x

1 2

b (s , x ) 2

∂2 f (s , x , t , y ) = 0 . ∂x 2

Kolmogorov el®rehaladó egyenletei:

1 ∂2 ∂ ∂ 2 f (s , x , t , y )+ a(t , y )f (s , x , t , y ) − b ( t , y ) f ( s , x , t , y ) = 0. ∂t ∂y 2 ∂y 2 (FokkerPlanck típusú parabolikus parciális dierenciálegyenlet.) Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

62 / 79



A standard Wiener folyamat

(W (t ) | W (s ) = x ) ∼ N(x , t − s ). (y − x )2 1 exp − f (s , x , t , y ) = fN (x ,t −s ) (y ) = p . 2(t − s ) 2π(t − s )

A standard Wiener folyamatra

Most

a≡0

és

b ≡ 1,

így Kolmogorov hátra és el®re egyenletei:

2 ∂ 1 ∂ f (s , x , t , y ) = − 2 f (s , x , t , y ) , ∂s 2 ∂x

∂ f (s , x , t , y ) = ∂t

∂2 f (s , x , t , y ) . 2 ∂y 2 1

Az el®re egyenlet a h®vezetés egyenlete! Ez nem véletlen egybeesés.

(W (T ) | W (t ) = x ) ∼ N(x , T − t ). W 2 (T ) | W (t ) = x = (T − t ) + x 2

Feltételes második momentum:

u (t , x ) = E 1

ut (t , x ) + uxx (t , x ) = 0 , 2


0

≤t≤T,


u (T , x ) = x

2

.

2011. ®szi félév

63 / 79

Folytonos idej¶ piacok

A részletösszeg-folyamat

A részletösszeg-folyamat Folytonos függvények tere, szuprémumtávolság:

d (u , v ) = Metrika

→

sup

≤t ≤T

0

u (t ) − v (t ) ,

topológia (nyílt halmazok)

X : Ω → C [0, T ] W = {W (t ), 0 ≤ t ≤ T }

C [0, T ], T > 0, u , v ∈ C [0, T ] .

→ σ -algebra

(Borel-halmazok).

Véletlen függvény:

mérhet® leképezés.

Például, a

standard Wiener folyamat.

Folytonos folyamat eloszlásbeli konvergenciája Legyen

X, Xn ,

n = 1, 2, . . . ,

a

sorozat eloszlásban konvergál az

f : C [0, T ] → R

C [0, T ] X

Xn D −→ X) , ha tetsz. E f (Xn ) → E f (X).

tér véletlen eleme. Az

folyamathoz (Xn

korlátos folytonos funkcionál esetén

Folytonos transzformált eloszlásbali konvergenciája Legyen X D Xn −→ X,

L : C [0, T ] → X folytonos leképezés. D L(Xn ) −→ L(X) az X térben.

topológikus tér, akkor



2011. ®szi félév

Ha

64 / 79


E (Y ) = 0, D (Y ) < ∞. Részletösszegsorozat: S = 0, Sn = Y + · · · + Yn , n = 1, 2, . . . Részletösszeg-folyamat: Un = {Un (t ), 0 ≤ t ≤ 1}, √ t = k /n , k = 0 , . . . n , U (t ) = Sk nD (Y ) , Legyen

Y ,Y

A részletösszeg-folyamat

1

2

,...

FAE, 0

n

1

lineáris interpoláció,

Átskálázott folyamat:

Xn (t ) =

√

egyébként.

Xn = {Xn (t ), 0 ≤ t ≤ T }, √ T Sk nD (Y ) , t = kT /n ,

lineáris interpoláció,

k = 0, . . . n ,

egyébként.

A részletösszeg folyamat eloszlásbeli konvergenciája D D

Un −→ W

C [0, 1]

a

térben,

és emiatt

Xn −→ W

a

C [0, T ]

térben.

Megjegyzés: Az eloszlásbeli konvergencia akkor is teljesül, ha

Y ,n , . . . , Yn,n soronként FAE véges szórással + extra feltételek; S k ,n = Y ,n , . √ . . , Yk ,n , k = 0, . . . , n, n = 1, 2, . . . ; √ Xn (kT /n) = T Sk ,n nD (Y ), n = 1, 2, . . . + lin. interpoláció. 1

1



2011. ®szi félév

65 / 79


A Bachelier és a BlackScholesMerton modell

A Bachelier és a BlackScholesMerton modell Bachelier (1901): matematikai modell a párizsi t®zsdére.

T ≥ 0, n = 1, 2, . . . rögzített. tk = k ∆t = kT /n, n = 0, 1, . . . . Bn (tk ) = Bn (tk − )(1 + rn ), 1 + rn = exp(r ∆t ), Bn (tk ) = B (0)(1 + rn )k = b exp(rtk ) . Sn (tk ) = Sn (tk − )(1 + ρn ),

Diszkrét idej¶ homogén bináris modell: Kereskedési id®pontok: Kötvényár:

1

0

Részvényár:

P

1+ρn 1

, . . . , Yn

FAE,


P (Y

1 2

=P

1+ρn

√ = exp µ∆t +σ ∆t .

= −1) = 1/2 = P (Y = 1), akkor √ Sn (tk ) = S (0) exp µtk + Y1 + · · · + Yk σ ∆t = s0 exp µtk + σ Xn (tk ) . Természetes áttérés folytonos id®re: Bn = {Bn (t )}, Sn = {Sn (t )}, Bn (t ) = b0 exp(rt ), Sn (t ) = s0 exp µt + σXn (t ) , 0 ≤ t ≤ T . Ha

Y

= exp

1

√ µ∆t −σ ∆t =


2011. ®szi félév

66 / 79



A Bachelier modell asszimptotikus viselkedése D A Bachelier modellben

B (t ) = b

0

exp(

Bn ≡ B

rt ),

és

S (t ) = s

0

Sn −→ S,

exp

amint

µt + σ W (t ) ,

n → ∞, 0

ahol

≤ t ≤ T.

Ez a BlackScholesMerton modell. A diszkontált részvényfolyamat:

V (t ) =

S (t ) s = B (t )

Vegyük észre, hogy

dV (t ) = A

V (t )

t + σW (t )) s = exp (µ − r )t + σ W (t ) . b exp(rt ) b V (t ) exponenciális Brown mozgás, melyre

0

exp(µ

0

0

(µ − r ) +

σ2 2

0

V (t )dt + σV (t )dW (t ) ,

folyamat nem martingál, nem tudunk árazni!

Ekvivalens martingálmérték a diszkrét idej¶ modellben:

√

0

≤t≤T.

∆t = T /n,

r ∆t √ ) − exp(µ∆t − σ ∆t ) 1 √ → . 2 exp(µ∆t + σ ∆t ) − exp(µ∆t − σ ∆t ) ∗ Arbitrázsmentesség ⇐⇒ 0 < pn < 1. (Teljesül, ha n elég nagy.) pn∗ =

exp(



2011. ®szi félév

67 / 79


Legyen

Y

∗ ,..., 1,n

Y

∗ n ,n ,

P (Yk∗,n = +1) = pn∗ ,


n = 1, 2, . . . soronként FAE, P (Yk∗,n = −1) = 1 − pn∗ ,

D (Y ∗,n ) = 4pn∗ (1 − pn∗ ) → 1. A kapcsolatos részletösszeg-folyamat: tk = k ∆t = kT /n, √ (Y ∗,n − EY ∗,n ) + · · · + (Y ∗,n − EY ∗,n ) ∗ √ Xn (tk ) = T . nD (Y ∗,n ) Ekkor

E (Y ∗,n ) = 2pn∗ − 1 → 0

k = 1, . . . , n.

2

és

1

1

1

1

1

1

1

A részvényár az ekvivalens martingálmérték alatt:

Sn∗ (tk ) = s

0

exp

µtk +

Y ∗,n + · · · + Yk∗,n

= s0 exp µtk + σ

1

h

√ σ ∆t √

D Y ∗,n Xn∗ (tk ) + E Y ∗,n tk

∆t

i

t + σD Y ∗,n Xn∗ (t )

.

1

1

.

Áttérés folytonos id®re:

Sn∗ (t ) = s

0

exp

h


µ + σE

Y ∗,n 1

√

∆t


i

1

2011. ®szi félév

68 / 79



A modell asszimptotikus viselkedése

D

S∗n −→ S∗ ,

Az ekvivalens martingálmérték szerinti részvényár

S ∗ (t ) = s

0

exp

r −σ

2

/2

t + σW ∗ (t )

,

0

ahol

≤t≤T.

A diszkontált részvényfolyamat:

σ S ∗ (t ) S ∗ (t ) s = = exp − t + σ W ∗ (t ) , 0 ≤ t ≤ T . V (t ) = B (t ) B (t ) b 2 ∗ ∗ ∗ ∗ A V (t ) folyamat martingál, melyre dV (t ) = σ V (t )dW (t ). ∗

0

2

0

A részvény értéke lejáratkor:

S ∗ (T ) ∼ s

0

h

exp N

r −σ

2

/2

T,σ T 2

i

.

Az európai call opció kizetési függvényének várható értéke:

C T ,K

B (0) ∗ =E f S (T ) B (T )


=

B (0) ∗ E S (T ) − K + . B (T )


2011. ®szi félév

69 / 79



A BlackScholes-Merton formula (1973) Az európai call opció arbitrázsmentes ára

˜ ) − Ke −rT Φ(x0 , T , m∗ ) , CT ,K = s0 Φ(x0 , T , m ahol

x

0

=

K√/s σ T

ln(

0

továbbá tetsz®leges

)

m∗ =

,

r −σ

x, m ∈ R 1

Φ(x , T , m) = √

2π

Z

x

2

/2 √

σ

T , m˜ =

r +σ

2

/2 √

σ

T,

esetén

∞

e −(y −m) / dy = P N (m, 1) > x 2

2

.

Közgazdasági Nobel-díj: 1997. Orosz válság, a modell cs®dje: 1998. Folytonos id®ben is úgy kell csinálni a dolgokat, mint diszkrét id®ben? Az arbitrázsmentes ár az ekvivalens martingálmérték szerinti várható érték? Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

70 / 79


A Girsanov-tétel

A Girsanov-tétel (0 ≤ t ≤ T ) s0 (µ − r )t + σ W (t ) ∼ LogNorm (µ − r )t , σ 2 t .

A BlackScholes modellben a

V (t ) = A

P

∗

s b

0

exp

0

P

mérték alatt:

b

0

ekvivalens martingálmérték alatt a folyamatnak más az eloszlása.

Nehéz más valószín¶ségi mértékkel számolni, ezért inkább a folyamatot módosítjuk. A

P

P∗

folyamat eloszlása

V

alatt azonos a

V∗

folyamat

szerinti eloszlásával, ahol

V ∗ (t ) =

s b

0

exp

−

σ2 2

0

Ekkor tetsz®leges

t + σ W ∗ (t )

h:R→R

s b

0

LogNorm

0

−

σ2 2

t, σ t 2

.

mérhet® kizetési függvény esetén

i

=E

Kérdés: Hogyan határozható meg a

P∗

E ∗ h V (T ) h

∼

h

h V ∗ (T )

i

.

ekvivalens martingálmérték a

folytonos idej¶ modellben? Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

71 / 79


A Girsanov-tétel

Ekvivalens mérték a végesdimenziós esetben Legyen legyen

P

és

P∗

ekvivalens valószín¶ségi mérték az eseménytéren, és

ξ : Ω → Rn

véletlen vektorváltozó. Tegyük fel, hogy

F (x ) = P (ξ ≤ x ) , abszolút folytonos legyen 1

A

f (x )

µ = µF

és

µ

µ∗

és a

µ∗

F ∗ (x ) = P ∗ (ξ ≤ x ) ,

és

= µF ∗

A

P˜

d µ∗ /d µ(x ) = f ∗ (x )/f (x ) =: φ(x ), x ∈ R.

halmazfüggvény valószín¶ségi mérték az eseménytéren, ahol

P˜ (A) = E 3

s¶r¶ségfüggvénnyel, és

a kapcsolatos LebesgueStieltjes mérték.

eloszlás abszolút folytonos egymásra nézve, és a

RadonNikodym derivált 2

f ∗ (x ), x ∈ Rn ,

x ∈ Rn .

h

i Z φ(ξ)1A = φ(ξ)dP , A

A ∈ A.

˜ alatt, továbbá tetsz®leges ξ változó azonos eloszlású P ∗ és P ∗ ˜ h : R → R mérhet® fgvre E h ξ = E h ξ = E h ξ φ ξ .

A



2011. ®szi félév

72 / 79


A Girsanov-tétel

A tétel alkalmazása a BlackScholes modellben Legyen

és a

ξ = V (T ) : Ω → R

= b0 = 1. Ekkor 1 [x − (µ − r )T ]2 f (x ) = √ 2 exp − , 2σ 2 2πσ T [x + σ 2 T /2]2 1 ∗ f (x ) = √ 2 exp − , 2σ 2 2πσ T f ∗ (x ) [x − (µ − r )T ]2 − [x + σ 2 T /2]2 φ(x ) = = exp , f (x ) 2σ 2 h i A ∈ A, P˜ (A) = E φ V (T ) 1A ,

V (T )

és

s

0

változó azonos eloszlású

P∗

P˜

és

Mindez akkor kezd érdekes lenni, ha nem egy

ξ

alatt.

vektorváltozóból indulunk

ki, hanem egy folyamatból, és ehez keresünk martingálmértéket. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

73 / 79


A Girsanov-tétel

A Girsanov-tétel Legyen

W (t ),

eseménytéren, legyen

u (t ),

≤ t ≤ T , standard Wiener folyamat az (Ω, A, P ) jelölje F = {Ft , 0 ≤ t ≤ T } a generált ltrációt, és 0 ≤ t ≤ T , determinisztikus függvény, melyre 0

Z T

u (t )dt < ∞ . 2

0

Legyen továbbá

W˜ (t ) = W (t ) +

Z t

u (τ ) d τ ,

0

≤t≤T,

0

P˜ (A) = Ekkor az

F

P˜

Z

A

exp

−

Z T 0

u (t ) dW (t ) −

1

Z T

2

u (t ) dt dP , A ∈ A . 2

0

valószín¶ségi mérték az eseménytéren, és

W (t ), 0 ≤ t ≤ T , P˜ -ra nézve.

ltrációhoz adaptált standard Wiener folyamat a



2011. ®szi félév

74 / 79


A Girsanov-tétel

Alkalmazzuk a Girsanov-tételt a BlackScholes modellre. A diszkontált részvényfolyamat a

P

valószín¶ség alatt nem martingál, hiszen

σ2 dV (t ) = µ − r + V (t )dt + σV (t )dW (t ) , 2

Olyan

P˜

valamilyen

mértéket keresünk, mely alatt

W˜ (t ),

0

≤ t ≤ T,

0

≤t≤T.

dV (t ) = σV (t )d W˜ (t ),

standard Wiener folyamatra. Vegyük

észre, hogy ez az egyenlet teljesül, ha

W˜ (t ) = ahol

− 2r + σ 2 t + W (t ) = 2σ

2µ

u (t ) ≡ (2µ − 2r + σ

2

)/(2σ).

Z t

u (τ ) d τ + W (t ) ,

0

≤t≤T,

0

Kérdés:

W˜ (t )

milyen

P˜

mérték

alatt lesz standard Wiener folyamat? A Girsanov tétel szerint

P˜ (A) =

Z

A

exp

−


2µ

− 2r + σ 2 W (T ) − 2σ Pénzügyi matematika

1 2µ 2

− 2r + σ 2 T 2σ

dP .

2011. ®szi félév

75 / 79



Folytonos idej¶ piacok Folytonos idej¶ piacról beszélünk, ha a

[0, T ]

id®intervallum minden

pontjában kereskedhetünk. Deníciók, jelölések:

(Ω, A, P ), F = {Ft : 0 ≤ t ≤ T }. S (t ), 0 ≤ t ≤ T , adaptált folyamat. B (t ), 0 ≤ t ≤ T , el®rejelezhet®(?) folyamat.

Valószín¶ségi mez®, ltráció: A részvény ára: A kötvény ára:

(Megjegyzés: Nálunk a kötvényár determinisztikus lesz.)

Stratégia:

π

adaptált vektor érték¶ folyamat:

n o π = π(t ) = β(t ), γ(t ) , 0 ≤ t ≤ T . A stratégia értékfolyamata illetve diszkontált értékfolyamata:

X π (t ) = β(t )B (t ) + γ(t )S (t ) , V π (t ) = X π (t )/B (t ) , A

π

0

≤t≤T.

stratégia önnanszírozó, ha

dX π (t ) = B (t )d β(t ) + S (t )d γ(t ) = 0 , Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


0

≤t≤T. 2011. ®szi félév

76 / 79



Az opcióárazással kapcsolatos fogalmak és jelölések:

F

Az opció kizetési függvénye: A

π

= f (S (t ), 0 ≤ t ≤ T )

önnanszírozó stratégia fedezet az opcióra, ha

m.b., és minimális fedezet, ha

F

= X π (T )

F

véletlen vált.

≤ X π (T )

m.b.

x ≥ 0, melyhez létezik π tökéletes fedezet, hogy X = x és X π (T ) = F . ∗ valószín¶ségi mérték az Ω eseménytéren. A P ∗ mérték Legyen P Az opció arbitrázsmentes ára az a minimális

π (0)

ekvivalens martingálmérték, ha

P

A

P ∗ ekvivalens mértékek, és ∗ alatt. az S (t )/B (t ) diszkontált részvényfolyamat martingál P B (t ) és S (t ) folyamatra vonatkozó bizonyos(!) feltételek mellett ∗ ekvivalens martingálmérték; a piac arbitrázsmentes ⇐⇒ létezik P és

a piac teljes

⇐⇒

az ekvivalens martingálmérték egyértelm¶;

az opció arbitrázsmentes ára

=

E ∗ (FB (0)/B (T )).

Tehát bizonyos feltételek mellett minden úgy történik, mint diszkrét id®ben. A Black-Scholes-Merton modellben ezek a feltételek teljesülnek. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

77 / 79


További folytonos idej¶ modellek

További folytonos idej¶ modellek Orosz válság (1998): A BlackScholes modellnek számos hiányossága van. A modell paramétereit

(µ ,

σ)

általában nem ismerjük, ezeket statisztikai

úton kell meghatározni. Például az alábbi módon.

Visszaszámolt volatilitás (implied volatility) A piacon meggyelt opcióárak segítségével a BlackScholes formulából kifejezett

σ = σ(K , T )

Észrevétel: A

σ(K , T )

függvényt visszaszámolt volatilitásnak nevezzük. függvény nem konstans! A volatilitás függ a

kötési ártól és a lejáratig hátralév® id®t®l. A kötési ártól való függés: volatility smile. A kötési ártól és a lejárati id®t®l való függés: implied volatility surface. A BlackScholes modell egy lehetséges általánossítása:

dSt = µSt dt + σ(T − t , K )S (t )dW (t ) ,

0

≤t≤T.

Ez még egy kezelhet® diúziós folyamat: Kolmogorov egyenletek. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

78 / 79


További folytonos idej¶ modellek

Milyen folytonos idej¶ kamatláb érvényes a részvényre? Tehát

S (t + ∆t ) = S (t ) exp(ρ),

ahol

ρ = ρ(t , ∆t )

véletlen változó.

A BlackScholes modellben

ρ = ln

h i S (t + ∆t ) = r ∆t + σ W (t + ∆t ) − W (t ) ∼ N r ∆t , σ∆t . S (t )

Empirikus adatok:

ρ

nem normális eloszlású, inkább nehézfarkú eloszlás!

A valóságban a modellhez viszonyítva gyakrabban fordulnak el® nagy emelkedések és esések. A probléma oka: a volatilitás determinisztikus. Sztochasztikus volatilitás modellek:

σ 2 (t ) = v (t )

dS (t ) = µS (t )dt + v (t )S (t )dW (t ) , p

sztoch. folyamat, és 0

≤t≤T.

A klasszikus sztochasztikus volatilitás modellben:

dv (t ) = α(t )dt + β(t )dW 0 (t ) ,

0

≤t≤T.

A Heston modellben:

dv (t ) = θ

p ω − v (t ) dt + ξ v (t )dW 0 (t ) ,

0

≤t≤T.

Ekvivalens martingálmérték és árazás ezekben a modellekben??? Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2011. ®szi félév

79 / 79

Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor. Szeged, szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Recommend Documents