Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok

Sz¶cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Szeged, 2012. ®szi félév

Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2012. ®szi félév

1 / 48

Bevezetés

A kurzus céljai

A kurzus céljai Alapvet® feltevések a biztosítási matematikában: a kárnagyságok függetlenek és általában azonos eloszlásúak; a káresemények száma független a károk nagyságától. Élet és nem-élet biztosítások: id®ben statikus modellek, egy rögzített id®intervallumot vizsgálunk; cél a teljes kizetés valelméleti és statisztikai jellemzése; további cél a biztosítási díj meghatározása (nagy számok törvénye). Kockázati folyamatok: id®ben dinamikus modellek, cash ow szemlélet; f® kérdés: mekkora valószn¶ségel megy valaha cs®dbe a biztosító? további kérdés: mekkora kezd®t®kével induljon a biztosító, hogy ez a valószín¶ség elegend®en kicsi legyen?



2012. ®szi félév

2 / 48

Bevezetés

A kurzus céljai

A nem-élet biztosítások kurzuson bevezetett modellek: A kizetések

Z, Z , Z 1

2

,... ∼ F

nemnegatív érték¶, független és

azonos eloszlású változók. Adott egy

N

nemnegatív egész érték¶ változó, mely független a

károk nagyságától. A teljes kárigény a keletkezett károk összértéke, tehát a biztosító teljes kizetése:

SN = Z

1

+ · · · + ZN .

Egyedi kockázati modell

N Z

a biztosítottak száma, determinisztikus. az egy biztosítottra jutó kizetés, ami lehet 0 is:

F® szabály: az egy biztosítottra jutó

c

P (Z

= 0) ≥ 0. c ≥ E (Z ).

biztosítási díj legyen

Összetett kockázati modell

N Z

Az

a káresemények száma, nem determinisztikus. a kár nagysága, ami egy pozitív véletlen változó:

SN

P (Z

= 0) = 0.

teljes kárigény független és azonos eloszlású véletlen változók

véletlen tagszámú összege.



2012. ®szi félév

3 / 48

Bevezetés

A kurzus céljai

Új ötlet: azt is vegyük gyelembe, hogy mikor keletkeznek a károk.

Nt , t ≥ 0,

A kárszámfolyamat egy A kárnagyságok

Z ,Z 1

2

,...

számláló folyamat.

nemnegatív érték¶ független és azonos

eloszlású változók, melyek függetlenek a kárszámfolyamattól. A kárfolyamat vagy kárérték folyamat:

A

[0 , t ]

St =

PNt n=1 Zn ,

t ≥ 0.

id®intervallumra jutó teljes biztosítási díjbevétel

A biztosító kezdeti t®kéje

u ≥ 0.

A rizikófolyamat a biztosító t®kéje a

t

Pt .

id®pontban:

Ut = u + Pt − St .

A f® kérdés annak a valószín¶sége, hogy a biztosító valaha cs®dbe megy. A cs®d valószín¶ségét a kezd®t®ke függvényében fogjuk vizsgálni:

Ψ(u ) = P

létezik

t ≥ 0,

hogy

Ut < 0

,

u ≥ 0.

Mi csak klasszikus rizikófolyamatokat fogunk majd vizsgálni, amikor egy Poisson-folyamat és


Pt = ct .


2012. ®szi félév

Nt 4 / 48

Alapozó ismeretek

Összetett eloszlások


Összetett eloszlás

X

Egy

változó összetett eloszlású, ha el®áll

alakban, ahol és

N

Z ,Z 1

független a

2, . . . ∼ F Z1 , Z2 , . . .

FAE változó,

1

+ · · · + ZN

1

+ · · · + ZN

nemnegatív egész érték¶,

sorozattól.

Megjegyzés: Nem biztos, hogy az

Z

N

D X= SN = Z

X

változó 1 valószín¶séggel el®áll

alakban.

Az összetett Poisson- és összetett az negatív binomiális eloszlás Ha a fenti denícióban

N ∼ Po(λ),

akkor azt mondjuk, hogy az

változó összetett Poisson eloszlást követ. Jele: Ha a fenti denícióban

X

N ∼ NegBin(r , p),

X

∼ Po(λ, F ).

X

akkor azt mondjuk, hogy az

változó összetett negatív binomiális eloszlást követ.

Megjegyzés: Panjer-rekurzió a


Z

változó eloszlásának meghatározására?


2012. ®szi félév

5 / 48

Alapozó ismeretek


Generátorfüggvények Egy tetsz®leges

X

változó

e itX , momentumgenerátló függvénye MX (t ) = E e tX , valószín¶ségi generátorfüggvénye gX (t ) = E t X . karakterisztikus függvénye

Megjegyezések:

t ∈ R; ha X nemnegatív érték¶, akkor 0 ≤ MX (t ) < 1, t ≤ 0; ha X nemnegatív érték¶, akkor 0 ≤ gX (t ) < 1, 0 ≤ t < 1. a generátorfüggvények meghatározzák az X változó eloszlását. tetsz®leges

X

φX (t ) = E

esetén

φX (t ) ∈ C,

Összetett eloszlások karakterisztikus és momentumgeneráló függvénye Ha

X

összetett eloszlást követ, (tehát

φX (t ) = gN φZ (t )

,

t ∈ R,

(A második azonosság azon


t

D X= Z

illetve

1

+ · · · + ZN ,)

MX (t ) = gN MZ (t )

pontokban teljesül, ahol


akkor

M Z (t )

.

létezik.)

2012. ®szi félév

6 / 48

Alapozó ismeretek

Wald azonosság

X

1

Ha

2

Ha ezen túl


E (N ), E (Z ) < ∞, E (X ) = E (SN ) = E (N )E (Z ).

összetett eloszlást követ, és

akkor

D (N ), D (Z ) < ∞, akkor D (X ) = D (SN ) = E (N )D (Z ) + D (N )(E (Z )) 2

2

2

2

2

.

A Poisson és az összetett Poisson eloszlás néhány tulajdonsága 1

Ha

2

Ha

N ∼ Po(λ), akkor E (N ) = D (N ) = λ és gN (t ) = e λ(t − ) . X ∼ Po(λ, F ), akkor E (X ) = λE (Z ) és D (X ) = λ D (Z ) + (E (Z )) . 2

2

3

4

X

∼ Po(λ, F )

Ha

X

olyan

1

2

2

pontosan akkor, ha karakterisztikus függvénye

φX (t ) = exp λ(φZ (t ) − 1) ,

t ∈ R.

∼ Po(λ, F ), akkor MX (t ) = exp λ(MZ (t ) − 1) t ∈ R pontban, ahol MZ (t ) létezik.



minden

2012. ®szi félév

7 / 48

Alapozó ismeretek

Az összetett Poisson eloszlás tulajdonságai


Független összetett Poisson eloszlások összege Ha

X

akkor

∼ Po(λ, F ) és Y ∼ Po(µ, G ), X + Y ∼ Po(λ + µ, H ), ahol

továbbá

µ λ H (x ) = λ+µ F (x ) + λ+µ G (x ) ,

Független Poisson eloszlások összege Ha

X

∼ Po(λ)

és

Y

∼ Po(µ)

független, akkor

X

Y

és

független,

x ∈ R. X +Y

∼ Po(λ + µ).

Nemnegatív egész érték¶ változó Bernoulli-felbontása (ritkítása) Legyen

N

nemnegatív egész érték¶ véletlen változó, továbbá legyen

1 , 1 , . . . ∼ Bernoulli(p ) független egymástól és az N változótól. Ekkor az M = 1 + · · · + 1N változót az N változó p valószín¶ség szerinti 1

2

1

ritkításának, az

(M , N − M )


párt Bernoulli-felbontásnak nevezzük.


2012. ®szi félév

8 / 48

Alapozó ismeretek


Összetett Poisson eloszlás Bernoulli-felbontása (ritkítása) Legyen

Z ,Z 1

2

,... ∼ F,

1 , 1 , . . . ∼ Bernoulli(p ) 1

2

és

N ∼ Po(λ)

független véletlen változó, továbbá legyen

X Az

= Z1 + · · · + ZN ∼ Po(λ, F )

Y

változót az

(Y , X − Y )

párt a

X p

változó

Y

és

p

= Z1 11 + · · · + ZN 1N .

valószín¶ség szerinti ritkításának, az

szerinti Bernoulli-felbontásának nevezzük.

Összetett Poisson eloszlás Bernoulli felbontása (ritkítása) Legyen

Y

Y

az

∼ Po(p λ, F ),

X ∼ Po(λ, F ) változó p X − Y ∼ Po((1 − p)λ, F ),

szerinti ritkítása. Ekkor és

Y

és

X −Y

független.

Poisson eloszlás Bernoulli felbontása

M az N ∼ Po(λ) változó p M ∼ Po(pλ), N − M ∼ Po((1 − p)λ),

Legyen


szerinti ritkítása. Ekkor és


M

és

N −M

független.

2012. ®szi félév

9 / 48

Alapozó ismeretek


Összetett Poisson eloszlás érték szerinti ritkítása

Z , Z , Z , . . . ∼ F és N ∼ Po(λ) független véletlen változó. Legyen B ∈ B tetsz®leges Borel halmaz, továbbá legyen A = {Z ∈ B } és p = P (Z ∈ B ). Tekintsük az Legyen

X

1

2

= Z1 + · · · + ZN

Y

és

= Z1 1{Z1 ∈B } + · · · + ZN 1{ZN ∈B }

változókat, és az

FZ ,A (x ) = P Z

≤ x |A ,

FZ ,A¯ (x ) = P Z

¯ ≤ x |A

,

x ∈ R.

feltételes eloszlásfüggvényeket. Ekkor a deniált változókra

Y továbbá

∼ Po

Y

pλ, FZ ,A

és

X −Y


és

X −Y

∼ Po (1 − p )λ, FZ ,A¯

,

független.


2012. ®szi félév

10 / 48

Alapozó ismeretek

Az összetett Poisson folyamat

Az összetett Poisson folyamat Legyen

X ,X 1

2

,... ∼ G

Tn = X + · · · + Xn , n = 0, 1, . . . N = {Nt : t ≥ 0}, Nt = max{n : Tn ≤ t }.

FAE,

Felújítási folyamat:

és

1

Tisztán ugró lépcs®s, monoton n®, mindenhol jobbtól folytonos.

m(t ) = E (Nt ), t ≥ 0. P Az el®z® félévben láttuk: m(t ) = ∞ n= FTn (t ), t ≥ 0. P t Felújítási díjfolyamat: S = {St , t ≥ 0}, St = N n= Zn , ahol Z , Z , . . . ∼ F FAE és független az N folyamattól. Ha X , X , . . . ∼ Exp(λ), akkor N Poisson folyamat λ intenzitással. Ekkor m (t ) = λt , t ≥ 0. Felújítási függvény:

1

1

1

1

2

2

Összetett Poisson folyamat Ha az

N

folyamat Poisson folyamat

λ > 0 intenzitással, akkor S S ∼ Po(λ, F , t ≥ 0).

összetett Poisson folyamat. Jelölésben: Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2012. ®szi félév

11 / 48

Alapozó ismeretek


A folyamatok asszimptotikus viselkedése 1

Ha

P (X

= 0) < 1,

lim

t →∞ 2

Ha

P (X lim

Nt t

1

=

St t

=

m.b.,

E (X )

= 0) < 1

t →∞

akkor

és

és

E (Z ) < ∞,

E (Z ) E (X )

m.b.,

lim

t →∞

m (t ) 1 = . t E (X )

akkor

és

lim

t →∞

E (St ) E (Z ) = . t E (X )

Következmények: Ha

E (X ) < ∞, Nt ∼ m(t ) ∼

akkor mindenki asszimptotikusan lineáris:

t , E (X )

St ∼ E (St ) ∼

E (Z )t , E (X )

t → ∞.

A felújítási függvény véges és jobbról folytonos a pozitív félegyenesen.



2012. ®szi félév

12 / 48

Alapozó ismeretek


Az összetett Poisson folyamat tulajdonságai Legyen

N = {Nt , t ≥ 0}

Poisson folyamat

λ

S = {St , t ≥ 0} ∼ Po(λ, F , t ≥ 0),

intenzitással, és legyen

St =

PNt n=1 Zn ,

összetett Poisson folyamat. Ekkor teljesülnek az alábbiak.

1

2

S

független növekmény¶ folyamat, és tetsz®leges

St − Sτ

Ha az

∼ Po(λ(t − τ ), F ).

0

≤τ ≤t

esetén

U = {Ut , t ≥ 0} ∼ Po(µ, G , t ≥ 0) folyamat független az S S + U := {St + Ut , t ≥ 0} összegfolyamatra S + U ∼ Po(λ + µ, H , t ≥ 0),

folyamattól, akkor az

ahol

3

Ha

µ λ H (x ) = λ+µ F (x ) + λ+µ G (x ), M = {Mt , t ≥ 0} Poisson folyamat µ

független az

N

folyamattól, akkor

Poisson folyamat


λ+µ

x ∈ R. internzitással, mely

N + M := {Nt + Mt , t ≥ 0}

intenzitással.


2012. ®szi félév

13 / 48

Alapozó ismeretek


Az összetett Poisson folyamat tulajdonságai (folyatatás) 4

(Összetett Poisson folyamat Bernoulli-felbontása) Legyen

1 , 1 , . . . ∼ Bernoulli(p ) 1

FAE és független az

2

S

összetett

Poisson folyamattól, és tekintsük az

U = {Ut , t ≥ 0}, folyamatot. Ekkor

U ∼ Po 5

pλ, F , t ≥ 0

S−U

és

U

és

Ut =

PNt n=1 Zn 1n ,

független egymástól, továbbá

S − U ∼ Po (1 − p )λ, F , t ≥ 0

.

(Poisson folyamat Bernoulli felbontása) Legyen

1 , 1 , . . . ∼ Bernoulli(p ) 1

2

FAE és független az

N

Poisson

folyamattól, és tekintsük az

M = {Mt , t ≥ 0}, folyamatot. Ekkor

pλ

és

(1 − p )λ


M

és

N−M

Mt =

PNt n=1 1n ,

független Poisson folyamat rendre

intenzitással.


2012. ®szi félév

14 / 48

Alapozó ismeretek


Az összetett Poisson folyamat tulajdonságai (folyatatás) 6

(Összetett Poisson folyamat érték szerinti felbontása)

S ∼ Po(λ, F , t ≥ 0) összetett Poisson folyamat, és legyen B ∈ B tetsz®leges Borel halmaz. Legyen továbbá A = {Z ∈ B } és p = P (A), és tekintsük az P U = {Ut , t ≥ 0}, Ut = Nn=t Zn 1{Zn ∈B } ,

Legyen

1

folyamatot. Ekkor

U ∼ Po

U

és

pλ, FZ ,A , t ≥ 0

S−U

független egymástól, továbbá

és

S − U ∼ Po (1 − p )λ, FZ ,A¯ , t ≥ 0 ,

és

FZ ,A¯ (x ) = P Z

ahol

FZ ,A (x ) = P Z

≤ x |A



¯ ≤ x |A

,

x ∈ R.

2012. ®szi félév

15 / 48

Alapozó ismeretek

Függvények és sorozatok konvolúciója


Stieltjes-konvolúció φ(x ),

Legyen

G (x ), x ∈ R,

G

valós érték¶ mérhet® függvény, és legyen

càdlàg (continue à droite, limitée à gauche) és korlátos változású a véges intervallumonkon. A két függvény Stieltjes-konvolúciója

φ ? G (y ) := ami azon függvény

y ∈R

n-edik

Z

∞

−∞

φ(y − x ) dG (x ) ,

G ?n := G ? · · · ? G

Független véletlen változók összege Ha

X

∼G

és

G

pontokban van deniálva, ahol az integrál létezik. A

konvolúció hatványa a

Y

következik, hogy ha

∼ H független változó, akkor X1 , . . . , Xn ∼ G FAE, akkor

szorzat.

X + Y ∼ G ? H . Ebb®l X + · · · + Xn ∼ G ?n . 1

Követlezmény: Eloszlásfüggvények konvolúciója eloszlásfüggvény.



2012. ®szi félév

16 / 48

Alapozó ismeretek Ha

X

és

Y


független és abszolút folytonos változó

X +Y

s¶r¶ségfüggvénnyel, akkor az

g

s¶r¶ségfüggvénye

és

h

Ha

X

és

Y

és

h

Lebesgue-konvolúciója: Z ∞

g ∗ h (y ) :=

g

összeg is abszolút folytonos, és

∞

g (y − x )h(x ) dx .

független egész érték¶ változó, akkor

X +Y

is

egész érték¶. Legyen

pn := P (X

= n) = G (n)− G (n − 1) ,

Ekkor

G ∗ H (n) =

X k ,l ∈Z k +l ≤n

qn := P (Y pl qk ,

= n) ,

n ∈ Z.

n ∈ Z,

amib®l

P X +Y A

p∗q

= n = (p ∗ q )n :=

sorozat a


p

és a

X k ,l ∈Z k +l =n

q

pl qk =

∞ X

k =−∞

pn−k qk ,

n ∈ Z.

sorozatok konvolúciója.


2012. ®szi félév

17 / 48

Alapozó ismeretek


A konvolúció tulajdonságai Legyen

φ(x ), ψ(x ),

és tegyük fel, hogy

G (x ), H (x ), x ∈ R, valós érték¶ mérhet® függvény, G és H càdlàg és korlátos változású minden véges

intervallumon.

1

Disztributivitás: Ha valamely pontban a

ψ?H

tetsz®leges

aφ+ bψ 2

φ ? G, ψ ? G, φ ? H

és

konvolúciók mindegyike létezik, akkor ebben a pontban

?

a, b , c , d ∈ R

esetén

cG + dH ) = ac (φ? G )+ bc (ψ ? G )+ ab(φ? H )+ ab(ψ ? H ) .

Kommutativitás és asszociativitás: Ha az

G

és a

H

függvény

el®áll eloszlásfüggvények véges lineáris kombinációjaként, akkor

G ?H =H ?G, Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)

(φ ? G ) ? H = φ ? (G ? H ) .


2012. ®szi félév

18 / 48

Alapozó ismeretek


φ(x ) = G (x ) = 0 minden x < 0 esetén, Z φ? G (y ) = φ(y − x ) dG (x ) , y ≥ 0 , [ 0 ,y ]

Ha

akkor

φ? G (y ) = 0 ,

y < 0.

g (x ) = h(x ) = 0, x < 0, és g ∗ h = p ∗ q = 0 a negatív félegyenesen,

S¶r¶ségfüggvényekre és sorozatokra: Ha

pn = qn = 0, n < 0, akkor továbbá y ≥ 0 és n ≥ 0 (g ∗ h)(y ) =

Z [0,y ]

esetén

g (y − x )h(x ) dx ,

(p ∗ q )n =

Fontos: LebesgueStieltjes-integrál esetén általában

R

n X k =0

[0,y ]

6=

pn−k qk . Ry 0

=

R

(0,y ] .

A konvolúció létezése Ha

φ

lokálisan korlátos, (azaz korlátos minden véges intervallumon,) és

G càdlàg és korlátos változású a véges intervallumokon, továbbá minden x < 0 esetén φ(x ) = G (x ) = 0, akkor a φ ? G konvolúció jól deniált

a valós egyenesen, és lokálisan korlátos függvény.



2012. ®szi félév

19 / 48

Alapozó ismeretek

A felújítási egyenlet

A felújítási egyenlet Legyen

Legyen

X ,X 1

2

,... ∼ G

Tn := X

1

FAE, nemnegatív érték¶,

+ · · · + Xn ∼ G

?n

P (X

= 0) < 1.

Ekkor

n = 1, 2, . . .

,

Nt , t ≥ 0, a kapcsolatos felújítási folyamat. A felújítási függvény: P P∞ ?n m(t ) = E (Nt ) = ∞ t ≥ 0. n= FTn (t ) = n= G (t ) , 1

1

Konvolúcióegyenlet a felújítási függvényre:

m(t ) = G (t ) +

Z

m(t − x ) dG (x ) = G + m ? G (t ) ,

[0,t ]

Felújítási egyenlet Legyen

a(t ), t ≥ 0,

mérhet® függvény.

Az

A(t ), t ≥ 0,

t ≥ 0.

függvényre

vonatkozó felújítási egyenlet:

A(t ) = a(t ) +

Z [0,t ]


A(t − x ) dG (x ) = a + A ? G (t ) ,


t ≥ 0.

2012. ®szi félév

20 / 48

Alapozó ismeretek


A felújítási egyenlet megoldása Ha

a(t ), t ≥ 0,

lokálisan korlátos függvény, akkor

A(t ) := a(t ) +

R

[0,t ]

a(t − x ) dm(x ) = (a + a ? m)(t ) ,

t ≥ 0.

lokálisan korlátos megoldása a felújítási egyenletnek, és ez az egyetlen megoldás a lokálisan korlátos függvények terében.

A felújítási függvény A felújítási függvény esetében az egyenlet

A=G +G ?m =G +G ?

m = G + m ? G,

P∞ P∞ ?k ?k k =1 G = k =1 G = m .

G

A felújítási egyenlet átrendezésével:

= m − G ? m.

A felújítási függvény egyértelm¶sége A felújítási folyamatok esetében a

a = G.

azaz

G

eloszlásfüggvény és az

m

felújítási

függvény kölcsönösen egyértelm¶en meghatározza egymást.



2012. ®szi félév

21 / 48

Alapozó ismeretek


Rácsos eloszlású változók Azt mondjuk, hogy az hogy

X

X

változó rácsos eloszlású, ha létezik

{k δ : k ∈ Z}

egy valószín¶séggel a

legnagyobb ilyen tulajdonságú

δ

δ > 0,

halmazba esik. A

értéket rácsállandónak nevezzük.

Rácsos eloszlású változók Az egész érték¶ változók rácsosak, de az abszolút folytonosak nem.

X ∼ G nemnegatív egész érték¶ változó, és legyen pn := P (X = n) = G (n) − G (n − 1) , rn := m(n) − m(n − 1) .

Legyen

Ekkor

G (n) =

n X k =0

pk , m(n) =

n X k =0

rk ,

n = 0, 1, . . . ,

amib®l a felújítási függvényre vonatkozó felújítási egyenlet szerint

rn = pn +

n X k =0


rn−k pk = p + r ∗ p Kockázati folyamatok

n,

n = 0, 1, . . . 2012. ®szi félév

22 / 48

Alapozó ismeretek


A diszkrét felújítási egyenlet Legyen

an , n = 0 , 1 , . . . ,

An , n = 0, 1, . . . ,

valós számsorozat. Az

sorozatra vonatkozó diszkrét felújítási egyenlet:

An = a n +

Pn k =0 An−k pk = (a + A ∗ p )n ,

n = 0, 1, . . .

A diszkrét felújítási egyenlet megoldása A diszkrét felújítási egyenletnek létezik egyértelm¶ megoldása, mely

An := an +

Pn k =0 an−k rk = (a + a ∗ r )n ,

n = 0, 1, . . .

Térjünk vissza az általános, nem feltétlenül diszkrét esethez, és legyen

M (t ) =

m(t ) + 1 , t ≥ 0 , 0, t < 0.

Ekkor az általános felújítási egyenlet megoldása

A(t ) = a(t ) +

Z


[ 0 ,t ]

a(t − x ) dm(x ) = Kockázati folyamatok

Z [0,t ]

a(t − x ) dM (x ) . 2012. ®szi félév

23 / 48

Alapozó ismeretek

A felújítási tétel Tegyük fel, hogy

1

X

Ha

P (X


= 0) < 1.

nem rácsos eloszlású, akkor tetsz®leges

m(t + h) − m(t ) → 2

X

Ha

δ

rácsos eloszlású, és

érvényes minden

h , E (X )

X

esetén

t → ∞.

a rácsállandó, akkor a konvergencia

h = n δ , n ∈ N,

alakban el®álló értékre.

A megoldás asszimptotikus viselkedése Ha az

h>0

változó nem rácsos eloszlású, és

a(x ), x ≥ 0,

el®áll monoton

integrálható függvények véges összegeként, akkor

A( t ) → Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)

1

Z

E (X )

∞

a(x ) dx ,

t → ∞.

0


2012. ®szi félév

24 / 48

Alapozó ismeretek


A reziduális id®k várható értéke Legyen Rt := TNt +1 − t a hátralév® a

t≥0

A(t ) = a(t ) + ahol Ha

Z [0,t ]

élettartam, avagy reziduális id®

A(t ) := E (Rt ), t ≥ 0.

id®pontban, és legyen

A(t − x ) dG (x ) ,

Ekkor

t ≥ 0,

a(t ) = (t ,∞) (x − t )dG (x ). E (X ) < ∞, akkor A lokálisan korlátos, amib®l R

A( t ) = a + a ? m ( t ) = a ( t ) +

Továbbá, ha

X

Z [0,t ]

a(t ) dm(t ) ,

t ≥ 0.

nem rácsos eloszlású, akkor

A(t ) = t →∞ lim

A Poisson-folyamat esetén


1

Z

E (X )

A(t ) = E (X

∞

a(x ) dx .

0 2

)/2E (X ) = 1/λ,


t ≥ 0.

2012. ®szi félév

25 / 48

Alapozó ismeretek

Parciális integrálás



F (x ), G (x ), x ∈ (a, b],

Legyen

monoton és càdlàg függvény. Ha a két

függvénynek nincsen közös szakadási pontja, akkor

Z (a,b ]

G (x ) dF (x ) = F (b)G (b) − F (a)G (a) −

Z ( a ,b ]

F (x ) dG (x ) .

Változók függvényeinek várható értéke

∼F φ : [0, ∞) → R Legyen

Z

nemnegatív érték¶ véletlen változó, továbbá legyen monoton és abszolút folytonos függvény. Ekkor

E φ(Z ) = φ(0) +

∞

Z

φ0 (x )

1

− F (x )] dx ,

0

továbbá ha

E φ(Z ) < ∞,


akkor

φ(x )[1 − F (x )] → 0,


x → ∞. 2012. ®szi félév

26 / 48

Alapozó ismeretek


Nemnegatív érték¶ változók momentumai 1

Ha

Z

∼F

nemnegatív érték¶ véletlen változó, és

EZ α = α

∞

Z

x α−

1

1

α > 0,

akkor

− F (x ) dx ,

0

x α [1 − F (x )] → 0, x → ∞. A változó momentumgeneráló függvénye az r ∈ R pontban

és ha

2

EZ α < ∞,

akkor

MZ (r ) = E e rZ és ha

MZ (r ) < ∞,

=1+r

Z

∞

e rx

1

− F (x ) dx ,

0

e rx [1 − F (x )] → 0, x → ∞.

akkor

A reziduális id®k várható értéke (folytatás) Z

∞

a(t ) dt =

0


Z 0

∞Z (t ,∞)

(x − t ) dG (x )dt =


EX 2

2

.

2012. ®szi félév

27 / 48

Rizikófolyamatok

Deníciók

Rizikófolyamatok Kárszámfolyamat: Kárnagyságok:

Z ,Z 1

Nt , t ≥ 0,

2

,...

számláló folyamat.

FAE és függetlenek a kárszámfolyamattól.

Kárfolyamat vagy kárérték folyamat:

St =

Nt X n=1

Zn ,

t ≥ 0.

t ] id®intervallumra jutó teljes biztosítási díjbevétel: Pt . A biztosító kezdeti t®kéje: u ≥ 0. A biztosító pénze a t id®pontban: Ut = u + Pt − St . A [0,

Rizikófolyamat és klasszikus rizikófolyamat Az Ha

Ut , t ≥ 0, folyamatot rizikófolyamatnak nevezzük. Nt Poisson folyamat, és Pt = ct , t ≥ 0, akkor klasszikus

rizikófolyamatról beszélünk. Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2012. ®szi félév

28 / 48

Rizikófolyamatok

Deníciók

A klasszikus rizikófolyamat el®nye, hogy könnyen kezelhet®: a Poisson-folyamat tulajdonságait már ismerjük; az összetett Poisson-folyamatok családja zárt számos m¶veletre. Hátránya, hogy nem mindig áll összhangban a valósággal: rögzített

t

esetén

E (Nt ) = λt = D (Nt ); 2

a káresemények között exponenciális id®; id®t®l és kárszámtól függetlenül állandó a káresemények intenzitása. Megoldásként alkalmazhatunk más kárszámfolyamatot: felújítási folyamatok: események között nem exponenciális id®; inhomogén Markov-láncok: id®t®l és állapottól függ® intenzitás; Cox-folyamatok: véletlen intenzitás. Mi a biztosításmatematikai kérdésekre csak klasszikus rizikófolyamat esetén válaszolunk, de hasonló módszerekkel általánosabb modellek is kezelhet®ek.



2012. ®szi félév

29 / 48

Rizikófolyamatok

Deníciók

Klasszikus rizikófolyamat esetén a jelölések:

Z ∼ F , µ = E (Z ) > 0. λ > 0. Az egységnyi id®re jutó díjbevétel: c > 0. A biztosító kezd®t®kéje: u ≥ 0. A károk eloszlása és várható értéke: A Poisson-folyamat intenzitása:

A kurzus f® célja jellemezni a cs®d valószín¶ségét a

u

kezd®t®ke

függvényében, tehát a következ® függvénytfogjuk vizsgálni:

Ψ(u ) = P

létezik

t ≥ 0,

hogy

Ut < 0

,

u ≥ 0.

Annak valószín¶sége, hogy a biztosító sosem megy cs®dbe:

Φ(u ) = 1 − Ψ(u ) = P

Ut ≥ 0

minden

t≥0

esetén ,

u ≥ 0.

A klasszikus rizikófolyamat néhány tulajdonsága

St

Ut

1

Az

2

A

Ψ

és a

3

A

Φ

függvény abszolút folytonos, tehát m.m. deriválható, és

és az

Φ

folyamat független és stacionárius növekmény¶.

függvény monoton és càdlàg.

Φ(u ) = Φ(0) + Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)

Ru 0

Φ0 (z ) dz ,


u ≥ 0. 2012. ®szi félév

30 / 48

Rizikófolyamatok

Deníciók

A cs®dvalószín¶ség asszimptotikus viselkedése 1

Ha

2

Ha

c ≤ λµ, c > λµ,

akkor

Φ(u ) = 0,

u ≥ 0.

Φ(∞) = 1. ε > 0 esetén létezik

akkor

Köv: Tetsz®leges

u > 0,

hogy

A következ® hetek témája: Mekkora a cs®d valószín¶sége

Φ(u ) > 1 − ε.

c > λµ

esetén,

illetve ha cs®dbe megyünk, akkor mennyire súlyos a cs®d?

Részletösszegek asszimptotikus vislekedése Legyen

Y ,Y 1

2

,...

E (Y ) ∈ [−∞, ∞]

független és azonos eloszlású

várható értékkel. Ekkor 1 valószín¶séggel teljesülnek az alábbiak.

1

Ha

2

Ha

3

Ha

E (Y ) > 0, E (Y ) < 0, E (Y ) = 0,

lim sup(

n→∞

Y

1

akkor akkor

Y limn→∞ (Y limn→∞ (

1 1

+ · · · + Yn ) = ∞.

+ · · · + Yn ) = −∞.

akkor

+ · · · + Yn ) = ∞


és

Y

lim sup(


n→∞

1

+ · · · + Yn ) = −∞ . 2012. ®szi félév

31 / 48

Rizikófolyamatok

A cs®dvalószín¶ségre vonatkozó integrálegyenlet

A cs®dvalószín¶ségre vonatkozó integrálegyenlet El®ször megmutatjuk, hogy a

Φ

függvény kielégít egy integrálegyenletet,

majd ennek segítségével felírunk egy hasonló egyenletet a

A Φ függvényre vonatkozó integrálegyenlet Klasszikus rizikófolyamat esetén a bevezetett

Φ(u ) = Φ(0) +

Z λ u

c

Φ(u − z )

1

Φ(u ),

Ψ

u ≥ 0,

− F (z ) dz ,

függvényre.

függvényre

u ≥ 0.

0

Az integrálegyenlet ekvivalens alakja Klasszikus rizikófolyamat esetén a bevezetett

Φ(u ),

u ≥ 0,

függvény

pontosan akkor elégíti ki a fenti integrálegyenletet, ha a deriváltja

Φ0 (u ) =

λ

c

Φ(u ) −


λ

c

Z [0,u ]

Φ(u − z ) dF (z ) ,


u ≥ 0. 2012. ®szi félév

32 / 48

Rizikófolyamatok

A cs®dvalószín¶ségre vonatkozó integrálegyenlet

A Φ és a Ψ függvény értéke az u = 0 pontban Klasszikus rizikófolyamatra

c > λµ

Φ(0) = 1 −

esetén

λµ

és

c

Ψ(0) =

λµ

c

.

A cs®d valószín¶sége exponenciális egyedi károk esetén Ha a kárnagyságok exponenciálist eloszlást követnek, akkor

Ψ(u ) = 1 − Φ(u ) =

λµ

c

exp

c − λµ − u µc

,

u ≥ 0.

A cs®dvalószín¶ségre vonatkozó integrálegyenlet Klasszikus rizikófolyamat esetén ha

Ψ(u ) =

λ

c

Z

u

∞

λ 1 − F (z ) dz +


c

c > λµ,

Z u

akkor

Ψ(u − z )

1

− F (z ) dz ,

u ≥ 0.

0


2012. ®szi félév

33 / 48

Rizikófolyamatok

A cs®dvalószín¶ség asszimptotikus viselkedése

A cs®dvalószín¶ség asszimptotikus viselkedése A

Z

kárnagyság momentumgeneráló függvénye és ennek eltoltja:

M (r ) =

Z

e rz dF (z )

h(r ) = M (r ) − 1 .

és

R Megjegyzések: A A

h h

függvény véges a negatív félegyenesen, és

h(0) = 0.

függvény konvex azon a halmazon, ahol véges. Emiatt a

h(r )/r = λ/c

egyenletnek legfeljebb egy pozitív megoldása van. Most

E (Z )

létezik egy

véges, ezért ha az

r ∈R

M

momentumgeneráló függvény

pont valamely környezetében, akkor abban a

pontban deriválható, és

M (r ) = 0


Z [0,∞)

ze rz dF (z ) = h0 (r ) ,


2012. ®szi félév

34 / 48

Rizikófolyamatok


A CramérLundberg approximációs tétel Tegyük fel, hogy a

c

egyenletnek létezik pozitív

R

függvény véges az

λ

R

=

h (r ) r

e Ru Ψ(u ) = C u→∞ lim

:=

c − λµ , λh0 (R ) − c

tehát a cs®d valószín¶sége asszimptotikusan A tételben deniált

R

h

megoldása, továbbá tegyük fel, hogy a

pont valamely környezetében. Ekkor

Ψ(u ) ∼ Ce −Ru ,

u → ∞.

értéket Lundberg-kitev®nek nevezzük.

Az asszimptotikus viselkedés exponenciális egyedi károk esetén −Ru , u → ∞, ahol Ha Z ∼ Exp(1/µ), akkor Ψ(u ) ∼ Ce

M (r ) =

1

1

− µr

,


h (r ) =

µr , 1 − µr


R=

1

µ

−

λ

c

,

C

=

2012. ®szi félév

λµ

c

. 35 / 48

Rizikófolyamatok

A cs®dvalószín¶ség kiemelked® egyedi károk esetén

A cs®dvalószín¶ség kiemelked® egyedi károk esetén Pareto-elv (1906): Egyes jelenségeknél a következmények k%-a az okok (100-k)%-ára vezethet® vissza. Például, 80-20 szabály: Egy vállalat bevételének 80%-a a vev®k 20%-ától jön. A földbirtokok 80%-a a népesség 20%-ának kezében van. Ennek oka: Ha

Z

jelöli egy véletlenszer¶en választott ember vagyonát,

akkor

P (Z

= k ) ≈ ck −γ ,

Ekkor nagy valószín¶séggel:

k ∈ Z+ . Z + · · · + Zn ≈ max(Z , . . . , Zn ). 1

1

Hasonló jelenségek, bár nem feltétlenül a 8020 szabállyal: Településméretek: városok a Monarchiában. Nyersanyaglel®helyek nagysága: olajmez®k, gyémántbányák. Természeti katasztrófák által okozott kár: erd®t¶z, földrengés. Bizonyos biztosítástípusoknál az egyedi kár nagysága.



2012. ®szi félév

36 / 48

Rizikófolyamatok

Pareto-eloszlás Egy nemnegatív érték¶

Z


változó Pareto eloszlást követ

α, λ > 0

paraméterekkel, ha eloszlásfüggvénye, illetve s¶r¶ségfüggvénye

F (z ) = 1 −

λ λ+z

α

f (z ) =

,

αλα , (λ + z )α+1

z ≥ 0.

A Pareto eloszlás momentumai és momentumgeneráló függvénye Ha

Z

∼ Pareto(α, λ),

E Zk

akkor

Γ(α − k ) = λk k ! , Γ(α)

k < α,

M (t ) = ∞ , t > 0 .

Következmény: Pareto káreloszlás esetén a CramérLundberg approximáció nem alkalmazható, nincsen Lundberg-kitev®.

A Pareto- és az exponenciális eloszlás Ha

Z

∼ Pareto(α, λ),


akkor

ln(1

+ Z /λ) ∼ Exp(α).


2012. ®szi félév

37 / 48

F (z ), z ∈ R,

Legyen

Rizikófolyamatok


Z

tetsz. eloszlásfüggvény,

1

, . . . , Zn ∼ F

FAE, és

Mn = max ≤k ≤n Zn . 1

Vegyük észre, hogy ekkor

P (Z + · · · + Zn > z ) = 1 − F (∗n) (z ), P (Mn > z ) ∼ n[1 − F (z )], z → ∞. 1

Szubexponenciális eloszlásfüggvények Tegyük fel, hogy az

z > 0.

F

eloszlásfüggvényre

z ∈ R,

F (0) = 0,

és

Az eloszlásfüggvény szubexponenciális, ha minden

esetén lim

− F ?n (z ) = n. 1 − F (z )

1

z →∞

Következmény: Subexponenciális eloszlásfüggvény esetén

P Z

1

F (z ) < 1, n ≥ 2 egész

z →∞

mellett

+ · · · + Zn > z = 1 − F ?n (z ) ∼ n[1 − F (z )] ∼ P (Mn > z ),

tehát az összeg eloszlását lényegében a legnagyobb tag határozza meg.



2012. ®szi félév

38 / 48

Rizikófolyamatok


A következ® tétel szerint ugyanez véletlen kárszám esetén is teljesül:

Véletlen tagszámú kárösszegek Legyen Legyen

Z , Z , . . . ∼ F FAE, ahol F szubexponenciális eloszlásfüggvény. N a sorozattól független nemnegatív egész érték¶ változó, és 1

2

tegyük fel, hogy valamely

∞ X

k =0

ε>0

mellett

(1 + ε)k P (N = k ) < ∞ .

Legyen továbbá

S := Z

1

+ · · · + ZN ,

M := max Z

1

, . . . , ZN ) .

Ekkor

P (S > z ) → E (N ) , 1 − F (z ) Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)

P (S > z ) → 1, P (M > z ) Kockázati folyamatok

z → ∞. 2012. ®szi félév

39 / 48

Rizikófolyamatok


Milyen feltétel van a CramérLindberg-tételben, ami esetleg nem teljesül? Pl: Pareto-eloszlás esetén Ennek oka: Tetsz®leges

MZ (r ) = ∞,

r >0

esetén

r > 0 esetén. rz e [1 − F (z )] → ∞, z → ∞. minden

Nehézfarkú eloszlásfüggvények Legyen

F

egy nemnegatív érték¶ változó eloszlásfüggvénye. Ekkor az

eloszlásfüggvény nehézfarkú, ha tetsz®leges

e

rz

1

− F (z ) → ∞,

r >0

esetén

z → ∞.

Feltételek a szubexponenciális tulajdonságra

F

1

Ha

2

Ha az

nehézfarkú eloszlásfüggvény, akkor szubexponenciális.

F


lim

z →∞ akkor

F

− F ?2 (z ) = 2, 1 − F (z )

1

szubexponenciális.



2012. ®szi félév

40 / 48

Rizikófolyamatok


Szubexponenciális eloszlásfüggvények Legyen

N

k = 0, 1, . . . , Legyen

ε > 0 esetén P∞ gN (1 + ε) = k =0 pk (1 + ε)k < ∞.

és tegyük fel, hogy valamely

G (z ), z ∈ R,

Ha

G

G (0) = 0,

eloszlásfüggvény, melyre

H (z ) = 1

P∞ ?k k =0 pk G (z ),

z ∈ R.

− H (z ) = E (N ) . z →∞ 1 − G (z ) Ha

és legyen

szubexponenciális eloszlásfüggvény, akkor

lim

2

pk = P (N = k ),

nemnegatív egész érték¶ változó, legyen

(∗)

teljesül, és

1

pk > 0

valamely

k ≥2

(∗) esetén, akkor

G

szubexponenciális.

3

Ha

G

akkor

szubexponenciális, és valamely

H

k ≥1

esetén

pk > 0,

is szubexponenciális eloszlásfüggvény.



2012. ®szi félév

41 / 48

Rizikófolyamatok



F (z ), z ∈ R, a kárnagyságok közös eloszlásfüggvénye, tegyük fel, hogy λµ < c , és legyen Legyen

F (x ) = 0

1

µ

Z x

1

− F (z )

dz ,

x ≥ 0.

0

Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

1

F

2

A

0

szubexponenciális eloszlásfüggvény.

Ψ(u ),

u ≥ 0,

cs®dvalószín¶ségre

Ψ(u ) = C2 = u→∞ 1 − F0 (u ) lim

Speciálisan, ha

F

0

c

λµ . − λµ

nehézfarkú, akkor testz®leges

e ru Ψ(u ) ∼ C2 e ru 1 − F0 (u ) → ∞,

r > 0 esetén u → ∞.

Ekkor a cs®dvalószín¶ség exponenciálisnál lassabban cseng le, tehát a CramérLundberg approximáció nem alkalmazható.



2012. ®szi félév

42 / 48

Rizikófolyamatok


A cs®dvalószín¶ség Pareto káreloszlás esetén Ha a kárnagyságok

Pareto(α, λ

λ0 , µ= α−1

eloszlást követnek, akkor

F (x ) = 1 −

0

amib®l

Ψ(u ) ∼

0)

c

λ0 λ0 + x

α−1 ,

α−1 λµ λ0 , − λµ λ0 + u

x ≥ 0,

u → ∞.

A szubexponenciális tulajdonság ellen®rzése Tekintsük az el®z® tételben bevezetett jelöléseket. Ha az alábbi feltételek közül valamelyik teljesül, akkor Az

F F

0

szubexponenciális eloszlásfüggvény.


Az

F

lim supx →∞ 1

− F (x ) 1 − F (2x ) < ∞.

eloszlásfüggvénynek létezik

f x

f

lim supx →∞ ( ) 1− Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok

s¶r¶ségfüggvénye, és

F (x )

< ∞. 2012. ®szi félév

43 / 48

Rizikófolyamatok

A Lundberg-kitev® becslése

A Lundberg-kitev® becslése Probléma: A gyakorlatban a kárszámfolyamat intenzitását és a káreloszlás momentumgeneráló függvényét nem ismerjük. Kérdések: Hogyan lehet a Lundberg-kitev®t megbecsülni? Milyen statisztikai tulajdonságai vannak a becslésnek? A becsült kitev® segítségével hogyan becsülhet® a cs®d valószín¶sége? Rögzített

T

>0

mellett legyen

g (r ) = h(r ) −

=

a [0,

λ 1

GT (r ) = AT

cr

NT

= M (r ) − 1 −

NT X k =1

e rZk − 1 −

cr

=E

λ

cr

NT /T

,

e rZ

−1−

cr

r ∈ R,

T ] intervallumon van pozitív kárnagyság



,

λ

.

2012. ®szi félév

44 / 48

Rizikófolyamatok


Megjegyzések: Az

R

g (r ) = 0

Lundberg-kitev® a

egyenlet egyetlen pozitív gyöke.

A nagy számok törvénye szerint

P GT

jól deniált

= P (NT > 0) → 1 ,

T

→ ∞.

GT pontonként er®sen konzisztens becslése a g függvénynek, tehát GT (r ) → g (r ) m.b. azon r ∈ R pontokban, ahol g létezik. GT0 pontonként er®sen konzisztens becslése a g 0 deriváltnak. Ha P (Z = 0) < 1, akkor P (AT ) → 1. Ha

AT A

GT függvény konvex. GT (r ) = 0 egyenlet gyökei:

R

Lundberg-kitev®t az

A

Az

bekövetkezik egy rögzített


RT

T

>0

a

0

mellett, akkor

és egy

RT

>0

érték.

értékkel fogjuk becsülni.


2012. ®szi félév

45 / 48

Rizikófolyamatok


A Lundberg-kitev® becslése Tegyük fel, hogy

c > λµ, P (Z

= 0) < 1,

és

g (R ) = 0

R>0

egy

értékre.

1

M (r )

Ha

P

véges az

GT (r ) = 0

a

amint

T

→ ∞.

R

valamely környezetében, akkor

egyenletnek létezik egyértelm¶ pozitív gyöke

RT .

Legyen ez a gyök

Ekkor

RT

→ 1,

R

az

Lundberg-kitev® er®sen konzisztens becslése, tehát

RT 2

Ha

M (2R ) < ∞, √

→R,

T RT − R


T

akkor

T →∞

−→ N D

→ ∞,

0, σ

2

m.b.

mellett

,


σ2 =

g (2R ) λ[g 0 (R )]

2

.

2012. ®szi félév

46 / 48

Rizikófolyamatok


Kondencia intervallum a Lundberg kitev®re Rögzített

α ∈ (0, 1)

xα ∈ R

mellett legyen

P N (0, 1) ≤ xα

azaz érték, melyre

= 1 − α/2.

Ha teljesülnek az el®z® tétel feltételei, akkor

√ i

√

RT − σxα / T , RT + σxα / T

h egy asszimptotikusan

1

−α

megbízhatóságú kondencia intervallum a

Lundberg kitev®re, tehát

P

σx σx RT − √ α ≤ R ≤ RT + √ α

A gyakorlatban a

T

σ2

T

→ 1 − α,

T

→ ∞.

ismeretlen, de van er®sen konzisztens becslése:

GT (2RT ) σT2 = . (NT /T )[GT0 (RT )]2 Sz¶cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet)


2012. ®szi félév

47 / 48

Rizikófolyamatok Legyen


cT − ST −RT u e , NT GT0 (RT )

ΨT (u ) =

u ≥ 0.

A cs®dvalószín¶ség becslése Tfh

1

c > λµ, P (Z = 0) < 1, és g (R ) = 0 valamely R > 0 értékre. Ha M (r ) véges az R Lundberg-kitev® valamely környezetében, akkor a ΨT (u ) függvény pontonként er®sen konzisztens becslése a Ψ(u ) cs®dvalószín¶ségnek, azaz tetsz®leges u ≥ 0 esetén ΨT (u ) → Ψ(u )

2

Ha

M (2R ) < ∞, u→∞

akkor

ln

→ ∞.

olyan, hogy

√ u / T → u˜ ∈ R ,

és

ΨT (u ) Ψ(u )


u = u (T )

és

T

m.b.,

−→ N D

u

0, (˜ σ)


2

,

T T

→ ∞,

→ ∞. 2012. ®szi félév

48 / 48

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Recommend Documents